Fourierova transformacija. Linearno filtriranje u frekvencijskoj domeni
Linearno filtriranje slika može se izvesti i u prostornom i u frekvencijskom području. Smatra se da "niske" prostorne frekvencije odgovaraju glavnom sadržaju slike - pozadini i objektima velike veličine, a "visoke" prostorne frekvencije - objektima male veličine, malim detaljima velikih oblika i komponenti šuma.
Tradicionalno, metode koje se temelje na $ \\ textit (Fourierova transformacija) $ koriste se za prelazak na prostornu frekvencijsku domenu. U posljednjih godina metode koje se temelje na $ \\ textit (wavelet-transform) $ također se sve više koriste.
Fourierova transformacija.
Fourierova transformacija omogućuje vam predstavljanje gotovo bilo koje funkcije ili skupa podataka kao kombinaciju takvih trigonometrijske funkcije, poput sinusa i kosinusa, što vam omogućuje prepoznavanje periodičnih komponenata u podacima i procjenu njihovog doprinosa strukturi izvornih podataka ili obliku funkcije. Tradicionalno postoje tri glavna oblika Fourierove transformacije: integralna Fourierova transformacija, Fourierova serija i diskretna Fourierova transformacija.
Integralna Fourierova transformacija pretvara stvarnu funkciju u par stvarnih funkcija ili jednu složenu funkciju u drugu.
Stvarna funkcija $ f (x) $ može se proširiti u smislu ortogonalnog sustava trigonometrijskih funkcija, odnosno predstaviti u obliku
$$ f \\ lijevo (x \\ desno) \u003d \\ int \\ limit_0 ^ \\ infty (A \\ lijevo (\\ omega \\ desno)) \\ cos \\ lijevo ((2 \\ pi \\ omega x) \\ desno) d \\ omega - \\ int \\ limit_0 ^ \\ infty (B \\ lijevo (\\ omega \\ desno)) \\ sin \\ lijevo ((2 \\ pi \\ omega x) \\ desno) d \\ omega, $$
gdje se $ A (\\ omega) $ i $ B (\\ omega) $ nazivaju integralnim kosinusnim i sinusnim transformacijama:
$$ A \\ lijevo (\\ omega \\ desno) \u003d 2 \\ int \\ ograničenja _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (f \\ lijevo (x \\ desno)) \\ cos \\ lijevo ((2 \\ pi \\ omega x) \\ desno) dx; \\ quad B \\ lijevo (\\ omega \\ desno) \u003d 2 \\ int \\ limit _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (f \\ lijevo (x \\ desno)) \\ sin \\ lijevo ((2 \\ pi \\ omega x) \\ desno) dx. $$
Fourierov niz predstavlja periodičnu funkciju $ f (x) $, zadanu na intervalu $$, kao beskonačni niz u sinusima i kosinusima. Odnosno, periodična funkcija $ f (x) $ pridružena je beskonačnom nizu Fourierovih koeficijenata
$$ f \\ lijevo (x \\ desno) \u003d \\ frac (A_0) (2) + \\ zbroj \\ limite_ (n \u003d 1) ^ \\ infty (A_n) \\ cos \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi xn) ( ba)) \\ desno) + \\ zbroj \\ limite_ (n \u003d 1) ^ \\ infty (B_n \\ sin \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi xn) (ba)) \\ desno)), $$
$$ A_n \u003d \\ frac (2) (ba) \\ int \\ limit_a ^ b (f \\ lijevo (x \\ desno)) \\ cos \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi nx) (ba)) \\ desno) dx ; \\ quad B_n \u003d \\ frac (2) (ba) \\ int \\ limit_a ^ b (f \\ lijevo (x \\ desno)) \\ sin \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi nx) (ba)) \\ desno) dx ... $$
Diskretna Fourierova transformacija pretvara konačni slijed realnih brojeva u konačni slijed Fourierovih koeficijenata.
Neka $ \\ left \\ ((x_i) \\ right \\), i \u003d 0, \\ ldots, N-1 $ bude slijed stvarnih brojeva - na primjer, očitanja svjetline piksela duž crte slike. Taj se slijed može predstaviti kao kombinacija konačnih zbrojeva oblika
$$ x_i \u003d a_0 + \\ zbroj \\ limite_ (n \u003d 1) ^ (N / 2) (a_n) \\ cos \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi ni) (N)) \\ desno) + \\ zbroj \\ limite_ (n \u003d 1) ^ (N / 2) (b_n \\ sin \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi ni) (N)) \\ desno)), $$
$$ a_0 \u003d \\ frac (1) (N) \\ sum \\ limit_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i), \\ quad a_ (N / 2) \u003d \\ frac (1) (N) \\ sum \\ limite_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i) \\ lijevo ((- 1) \\ desno) ^ i, \\ quad a_k \u003d \\ frac (2) (N) \\ zbroj \\ limite_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i \\ cos \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi ik) (N)) \\ desno)), $$
$$ b_k \u003d \\ frac (2) (N) \\ sum \\ limit_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i \\ sin \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi ik) (N)) \\ desno) ), \\ quad i \\ le k Glavna razlika između tri oblika Fourierove transformacije je u tome što ako je integralna Fourierova transformacija definirana na cijeloj domeni funkcije $ f (x) $, tada su niz i diskretna Fourierova transformacija definirani samo na diskretnom skupu točke, beskonačne za Fourierov niz i konačne za diskretnu transformaciju. Kao što se može vidjeti iz definicija Fourierove transformacije, diskretna Fourierova transformacija je od najvećeg interesa za sustave digitalne obrade signala. Podaci primljeni s digitalnih medija ili izvora informacija poredani su skupovi brojeva zapisani kao vektori ili matrice. Obično se pretpostavlja da su ulazni podaci za diskretnu transformaciju jednoliki uzorak s korakom $ \\ Delta $, a vrijednost $ T \u003d N \\ Delta $ naziva se duljina zapisa ili glavno razdoblje. Osnovna frekvencija je $ 1 / T $. Dakle, u diskretnoj Fourierovoj transformaciji ulazni se podaci razlažu na frekvencije koje su cijeli broj višestruki od osnovne frekvencije. Maksimalna frekvencija, određena dimenzijom ulaznih podataka, jednaka je $ 1/2 \\ Delta $ i naziva se $ \\ it (Nyquistova frekvencija) $. Računanje Nyquistove frekvencije važno je kada se koriste diskretne transformacije. Ako ulazni podaci imaju periodične komponente s frekvencijama višim od Nyquistove frekvencije, tada će se pri izračunavanju diskretne Fourierove transformacije visokofrekventni podaci zamijeniti nižom frekvencijom, što može dovesti do pogrešaka u tumačenju rezultata diskretnih transformirati. $ \\ It (energetski spektar) $ također je važan alat za analizu podataka. Snaga signala na frekvenciji $ \\ omega $ određuje se na sljedeći način: $$ P \\ lijevo (\\ omega \\ desno) \u003d \\ frac (1) (2) \\ lijevo ((A \\ lijevo (\\ omega \\ desno) ^ 2 + B \\ lijevo (\\ omega \\ desno) ^ 2) \\ desno ). $$ Ova se količina često naziva $ \\ it (energija signala) $ na $ \\ omega $. Prema Parsevalovom teoremu, ukupna energija ulaznog signala jednaka je zbroju energija na svim frekvencijama. $$ E \u003d \\ zbroj \\ limite_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i ^ 2) \u003d \\ zbroj \\ limite_ (i \u003d 0) ^ (N / 2) (P \\ lijevo ((\\ omega _i) \\ desno)). $$ Grafikon snage naspram frekvencije naziva se spektar snage ili spektar snage. Energetski spektar omogućuje otkrivanje skrivene periodičnosti ulaznih podataka i procjenu doprinosa određenih frekvencijskih komponenata strukturi početnih podataka. Uz trigonometrijski oblik pisanja diskretne Fourierove transformacije, $ \\ it (složeni prikaz) $ se široko koristi. Složeni oblik snimanja Fourierove transformacije široko se koristi u multivarijantnoj analizi, a posebno u obradi slika. Prijelaz iz trigonometrijskog u složeni oblik provodi se na temelju Eulerove formule $$ e ^ (j \\ omega t) \u003d \\ cos \\ omega t + j \\ sin \\ omega t, \\ quad j \u003d \\ sqrt (-1). $$ Ako su ulazni slijed $ N $ složeni brojevi, tada će njegova diskretna Fourierova transformacija imati oblik $$ G_m \u003d \\ frac (1) (N) \\ sum \\ limit_ (n \u003d 1) ^ (N-1) (x_n) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jmn) (N)), $$ i inverzna transformacija $$ x_m \u003d \\ zbroj \\ ograničenja_ (n \u003d 1) ^ (N-1) (G_n) e ^ (\\ frac (2 \\ pi jmn) (N)). $$ Ako je ulazni niz niz realnih brojeva, tada za njega postoje i složene i sinusno-kosinusne diskretne transformacije. Odnos između ovih stavova izražava se na sljedeći način: $$ a_0 \u003d G_0, \\ quad G_k \u003d \\ lijevo ((a_k -jb_k) \\ desno) / 2, \\ quad 1 \\ le k \\ le N / 2; $$ ostale vrijednosti transformacije $ N / 2 $ složeno su konjugirane i ne nose dodatne informacije. Stoga je diskretna Fourierova grafa spektra snage simetrična s obzirom na $ N / 2 $. Najjednostavniji način izračuna diskretne Fourierove transformacije (DFT) je izravna sumacija koja rezultira operacijama $ N $ za svaki koeficijent. Ukupni koeficijenti su $ N $, pa je ukupna složenost $ O \\ lijevo ((N ^ 2) \\ desno) $. Ovaj pristup nije od praktičnog interesa, jer postoje mnogo učinkovitiji načini izračunavanja DFT-a, koji se nazivaju brza Fourierova transformacija (FFT), a koji imaju složenost od $ O (N \\ log N) $. FFT se odnosi samo na nizove koji imaju duljinu (broj elemenata) koja je višekratnik snage 2. Najopćenitiji princip FFT algoritma je razdvajanje ulaznog niza u dvije poludužne sekvence. Prva sekvenca ispunjena je podacima s parnim brojevima, a druga s neparnim brojevima. To omogućuje izračunavanje DFT koeficijenata kroz dvije transformacije dimenzije $ N / 2 $. Označi $ \\ omega _m \u003d e ^ (\\ frac (2 \\ pi j) (m)) $, zatim $ G_m \u003d \\ sum \\ limit_ (n \u003d 1) ^ ((N / 2) -1) (x_ (2n )) \\ omega _ (N / 2) ^ (mn) + \\ zbroj \\ limite_ (n \u003d 1) ^ ((N / 2) -1) (x_ (2n + 1)) \\ omega _ (N / 2) ^ (mn) \\ omega _N ^ m $. Za $ m< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Diskretna Fourierova transformacija za dvodimenzionalni niz brojeva veličine $ M \\ puta N $ definirana je kako slijedi: $$ G_ (uw) \u003d \\ frac (1) (NM) \\ zbroj \\ limiti_ (n \u003d 1) ^ (N-1) (\\ zbroj \\ limite_ (m \u003d 1) ^ (M-1) (x_ (mn ))) e ^ ((- 2 \\ pi j \\ lijevo [(\\ frac (mu) (M) + \\ frac (nw) (N)) \\ desno])), $$ i inverzna transformacija $$ x_ (mn) \u003d \\ zbroj \\ ograničenja_ (u \u003d 1) ^ (N-1) (\\ zbroj \\ ograničenja_ (w \u003d 1) ^ (M-1) (G_ (uw))) e ^ ((2 \\ pi j \\ lijevo [(\\ frac (mu) (M) + \\ frac (nw) (N)) \\ desno])). $$ U slučaju obrade slike, komponente 2D Fourierove transformacije nazivaju se $ \\ textit (prostorne frekvencije) $. Važno svojstvo dvodimenzionalne Fourierove transformacije je sposobnost izračunavanja pomoću jednodimenzionalnog FFT postupka: $$ G_ (uw) \u003d \\ frac (1) (N) \\ sum \\ limit_ (n \u003d 1) ^ (N-1) (\\ lijevo [(\\ frac (1) (M) \\ sum \\ limit_ (m \u003d 0) ^ (M-1) (x_ (mn) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jmw) (M)))) \\ desno]) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jnu) (N) ), $$ Ovdje je izraz u uglastim zagradama jednodimenzionalna transformacija reda matrice podataka koja se može izvesti jednodimenzionalnim FFT-om. Dakle, da bi se dobila dvodimenzionalna Fourierova transformacija, prvo treba izračunati jednodimenzionalne transformacije redaka, zapisati rezultate u izvornu matricu i izračunati jednodimenzionalne transformacije za stupce dobivene matrice. Pri izračunavanju dvodimenzionalne Fourierove transformacije, niske frekvencije koncentrirat će se u uglovima matrice, što nije baš prikladno za daljnju obradu primljenih informacija. Da biste preveli prikaz dvodimenzionalne Fourierove transformacije, u kojoj su niske frekvencije koncentrirane u središtu matrice, možete izvesti jednostavan postupak koji se sastoji od množenja izvornih podataka s $ -1 ^ (m + n) $ Na sl. Slika 16 prikazuje izvornu sliku i njezinu Fourierovu transformaciju. Slika u sivim tonovima i njena Fourierova transformacija (slike dobivene u LabVIEW sustavu) Konvolucija funkcija $ s (t) $ i $ r (t) $ definirana je kao $$ s \\ ast r \\ cong r \\ ast s \\ cong \\ int \\ limit _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (s (\\ tau)) r (t- \\ tau) d \\ tau. $$ U praksi se mora suočiti s diskretnom konvolucijom, u kojoj se kontinuirane funkcije zamjenjuju skupovima vrijednosti na čvorovima jednolike mreže (obično se uzima cjelobrojna mreža): $$ (r \\ ast s) _j \\ cong \\ sum \\ limit_ (k \u003d -N) ^ P (s_ (j-k) r_k). $$ Ovdje $ -N $ i $ P $ definiraju raspon izvan kojeg je $ r (t) \u003d 0 $. Pri izračunavanju konvolucije pomoću Fourierove transformacije koristi se svojstvo Fourierove transformacije prema kojem je umnožak slika funkcija u frekvencijskoj domeni ekvivalentan konvoluciji tih funkcija u vremenskoj domeni. Da bi se izračunalo usklađivanje, potrebno je transformirati izvorne podatke u frekvencijsku domenu, odnosno izračunati njihovu Fourierovu transformaciju, pomnožiti rezultate transformacije i izvesti inverznu Fourierovu transformaciju, vraćajući izvorni prikaz. Jedina suptilnost u radu algoritma povezana je s činjenicom da se u slučaju diskretne Fourierove transformacije (za razliku od kontinuirane), dvije periodične funkcije savijaju, tj. Naši skupovi vrijednosti točno određuju razdoblja ovih funkcija, a ne samo vrijednosti na nekom odvojenom odjeljku osi. Odnosno, algoritam smatra da točku $ x_ (N) $ ne prati nula, već točku $ x_ (0) $ i tako dalje u krugu. Stoga je za pravilno očitavanje konvolucije potrebno signalu dodijeliti dovoljno dugačak niz nula. Metode linearnog filtriranja među dobro su strukturiranim metodama za koje su razvijene učinkovite računske sheme temeljene na algoritmima brze konvolucije i spektralnoj analizi. Općenito, algoritmi linearnog filtriranja izvode transformaciju oblika $$ f "(x, y) \u003d \\ int \\ int f (\\ zeta -x, \\ eta -y) K (\\ zeta, \\ eta) d \\ zeta d \\ eta, $$ gdje je $ K (\\ zeta, \\ eta) $ jezgro linearne transformacije. Kada je signal diskretno predstavljen, integral u ovoj formuli degenerira se u ponderirani zbroj uzoraka izvorne slike unutar određenog otvora. U ovom slučaju, odabir jezgre $ K (\\ zeta, \\ eta) $ u skladu s jednim ili drugim kriterijem optimalnosti može dovesti do brojnih korisnih svojstava (Gaussovo zaglađivanje u regularizaciji problema numeričke diferencijacije slike itd.). Linearne metode obrade najučinkovitije se primjenjuju u frekvencijskom području. Korištenje Fourierove transformacije slike za izvođenje operacija filtriranja prvenstveno je zbog većih performansi takvih operacija. Tipično, izvođenje 2D Fourierove transformacije naprijed i obrnuto i množenje Fourierovom transformacijom filtra traje manje vremena od izvođenja 2D konvolucije izvorne slike. Algoritmi filtriranja u frekvencijskoj domeni temelje se na teoremu o konvoluciji. U dvodimenzionalnom slučaju, konvolucijska transformacija izgleda ovako: $$ G \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \u003d H \\ lijevo ((u, v) \\ desno) F \\ lijevo ((u, v) \\ desno), $$ gdje je $ G $ Fourierova transformacija rezultata konvolucije, $ H $ je Fourierova transformacija filtra, a $ F $ je Fourierova transformacija izvorne slike. Odnosno, u frekvencijskoj domeni dvodimenzionalna konvolucija zamjenjuje se elementnim umnožavanjem slika izvorne slike i odgovarajućeg filtra. Da biste izvršili konvoluciju, morate izvršiti sljedeće korake. Odnos između funkcije filtra u frekvencijskoj i prostornoj domeni može se odrediti pomoću teorema o konvoluciji $$ \\ Phi \\ lijevo [(f \\ lijevo ((x, y) \\ desno) \\ ast h (x, y)) \\ desno] \u003d F \\ lijevo ((u, v) \\ desno) H \\ lijevo (( u, v) \\ desno), $$ $$ \\ Phi \\ lijevo [(f \\ lijevo ((x, y) \\ desno) h (x, y)) \\ desno] \u003d F \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \\ ast H \\ lijevo (( u, v) \\ desno). $$ Konvolucija funkcije s impulsnom funkcijom može se predstaviti na sljedeći način: $$ \\ sum \\ ograničenja_ (x \u003d 0) ^ M (\\ zbroj \\ ograničenja_ (y \u003d 0) ^ N (s \\ lijevo ((x, y) \\ desno))) \\ delta \\ lijevo ((x-x_0, y-y_0) \\ desno) \u003d s (x_0, y_0). $$ Fourierova transformacija impulsne funkcije $$ F \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \u003d \\ frac (1) (MN) \\ zbroj \\ limiti_ (x \u003d 0) ^ M (\\ zbroj \\ limite_ (y \u003d 0) ^ N (\\ delta \\ lijevo ((x, y) \\ desno))) e ^ ((-2 \\ pi j \\ lijevo ((\\ frac (ux) (M) + \\ frac (vy) (N)) \\ desno))) \u003d \\ frak (1) (MN). $$ Neka je $ f (x, y) \u003d \\ delta (x, y) $, a zatim konvolucija $$ f \\ lijevo ((x, y) \\ desno) \\ ast h (x, y) \u003d \\ frac (1) (MN) h \\ lijevo ((x, y) \\ desno), $$ $$ \\ Phi \\ lijevo [(\\ delta \\ lijevo ((x, y) \\ desno) \\ ast h (x, y)) \\ desno] \u003d \\ Phi \\ lijevo [(\\ delta \\ lijevo ((x, y) \\ desno)) \\ desno] H \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \u003d \\ frac (1) (MN) H \\ lijevo ((u, v) \\ desno). $$ Iz ovih se izraza može vidjeti da su funkcije filtra u frekvencijskoj i prostornoj domeni međusobno povezane Fourierovom transformacijom. Za danu funkciju filtra u frekvencijskoj domeni uvijek možete pronaći odgovarajući filtar u prostornoj domeni primjenom inverzne Fourierove transformacije. Isto vrijedi i za suprotan slučaj. Pomoću ovog odnosa možete definirati postupak sinteze prostornih linearnih filtara. ($ \\ textit (Idealan filtar niskog prolaza) $) $ H (u, v) $ ima oblik $$ H (u, v) \u003d 1, \\ quad \\ mbox (if) D (u, v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($ \\ textit (Idealan visokopropusni filtar) $) dobiva se invertiranjem idealnog niskopropusnog filtra: $$ H "(u, v) \u003d 1-H (u, v). $$ Ovdje dolazi do potpunog suzbijanja niskofrekventnih komponenata uz održavanje visoke frekvencije. Međutim, kao i kod idealnog niskopropusnog filtra, njegova je upotreba opterećena značajnim izobličenjima. Za oblikovanje filtara s minimalnim izobličenjima koriste se različiti pristupi. Jedna od njih je sinteza eksponencijalnih filtara. Takvi filtri unose minimalna izobličenja u rezultirajuću sliku i prikladni su za sintezu u frekvencijskoj domeni. Obitelj filtara temeljena na stvarnoj Gaussovoj funkciji široko se koristi u obradi slika. $ \\ textit (niskopropusni Gaussov filtar) $ je $$ h \\ lijevo (x \\ desno) \u003d \\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma Ae ^ (- 2 \\ lijevo ((\\ pi \\ sigma x) \\ desno) ^ 2) \\ mbox (i) H \\ lijevo ( u \\ desno) \u003d Ae ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma ^ 2)) $$ Što je profil filtra uži u frekvencijskoj domeni (što je veća $ \\ sigma $), to je širi u prostornoj domeni. ($ \\ textit (Gaussov filtar visokih prolaza) $) ima oblik $$ h \\ lijevo (x \\ desno) \u003d \\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma _A Ae ^ (- 2 \\ lijevo ((\\ pi \\ sigma _A x) \\ desno) ^ 2) - \\ sqrt (2 \\ pi ) \\ sigma _B Budi ^ (- 2 \\ lijevo ((\\ pi \\ sigma _B x) \\ desno) ^ 2), $$ $$ H \\ lijevo (u \\ desno) \u003d Ae ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma _A ^ 2)) - Budite ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma _B ^ 2 ))). $$ U dvodimenzionalnom slučaju ($ \\ it (low-pass) $), Gaussov filtar izgleda ovako: $$ H \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \u003d e ^ (- \\ frac (D ^ 2 \\ lijevo ((u, v) \\ desno)) (2D_0 ^ 2)). $$ Gaussov filtar ($ \\ it (High Frequency) $) ima oblik $$ H \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \u003d 1-e ^ (- \\ frac (D ^ 2 \\ lijevo ((u, v) \\ desno)) (2D_0 ^ 2)). $$ Razmotrimo primjer filtriranja slike (slika 1) u frekvencijskoj domeni (slike 17 - 22). Imajte na umu da frekvencijsko filtriranje slike može imati smisla i za sabijanje ($ \\ textit (filtriranje niske frekvencije) $) i za izdvajanje obrisa i objekata male veličine ($ \\ textit (filtriranje visoke frekvencije) $). Kao što se vidi sa Sl. 17, 19, kako se "snaga" filtriranja povećava u niskofrekventnoj komponenti slike, učinak "prividnog defokusiranja" ili $ \\ it (zamućenja) $ slike postaje sve izraženiji. Istodobno, velik dio informacijskog sadržaja slike postupno prelazi u visokofrekventnu komponentu, gdje se na početku promatraju samo konture predmeta (slika 18, 20-22). Razmotrimo sada ponašanje visokopropusnih i niskopropusnih filtara (slike 23 - 28) u prisutnosti aditivnog Gaussova šuma na slici (slika 7). Kao što se vidi sa Sl. 23, 25, svojstva niskopropusnih filtara za suzbijanje aditivnog slučajnog šuma slična su svojstvima prethodno razmatranih linijskih filtara - s dovoljnom snagom filtra buka je potisnuta, ali cijena za to je jako zamućenje rubova i "defokusiranje" cijele slike. Visokofrekventna komponenta bučne slike prestaje biti informativna, jer je tamo, osim kontura i podataka o objektu, i komponenta buke u potpunosti prisutna (slike 27, 28). Upotreba frekvencijskih metoda najprikladnija je u slučaju kada su poznati statistički model procesa šuma i / ili optička prijenosna funkcija kanala za prijenos slike. Pogodno je uzeti u obzir takve apriorne podatke odabirom generaliziranog filtra kojim se upravlja (parametrima $ \\ sigma $ i $ \\ mu $) kako slijedi: $$ F (w_1, w_2) \u003d \\ lijevo [(\\ frac (1) (P (w_1, w_2))) \\ desno] \\ cdot \\ lijevo [(\\ frac ((\\ vert P (w_1, w_2) \\ vert ) ^ 2) (\\ vert P (w_1, w_2) \\ vert ^ 2 + \\ alpha \\ vert Q (w_1, w_2) \\ vert ^ 2)) \\ desno]. $$ gdje je 0 dolara< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Prednosti metoda linearnog filtriranja uključuju njihovo jasno fizičko značenje i jednostavnost analize rezultata. Međutim, s oštrim pogoršanjem omjera signal-šum, s mogućim varijantama površinske buke i prisutnošću impulsnog šuma velike amplitude, linearne metode predobrade mogu biti nedovoljne. U ovoj su situaciji nelinearne metode puno moćnije. 19 Ulaznica1. Dilatacijska operacija 2. Prostorno-spektralne značajke Dilatacijske operacije. Neka su A i B skupovi iz prostora Z 2. Dilatacija skupa A nad skupom B (ili s obzirom na B) označava se s A iB i definira se kao Može se prepisati na sljedeći način: Skup B nazvat ćemo skupom koji tvori strukturu ili primitivnom dilatacijom. (11) temelji se na dobivanju središnjeg odraza skupa B u odnosu na njegove početne koordinate (središte B), tada je pomak ovog skupa u točku z, dilatacija skupa A duž B skup svih takvih pomaka z kod kojih se A i A podudaraju u barem jednom elementu. Ova definicija nije jedina. Međutim, postupak dilatacije u određenom je smislu sličan operaciji konvolacije koja se izvodi na skupovima. Prostorno-spektralne značajke U skladu s (1.8), dvodimenzionalna Fourierova transformacija definira se kao gdje š x, w y - prostorne frekvencije. Kvadrat modula spektra M ( š x, w y) \u003d | F ( š x, w y) | 2 se može koristiti za izračunavanje brojnih značajki. Integracija funkcije M(š x, w y) kutom na ravnini prostornih frekvencija daje značajku prostorne frekvencije koja je invarijantna u odnosu na pomak i rotaciju slike. Predstavljamo funkciju M(š x, w y) u polarne koordinate, ovu značajku zapisujemo u oblik gdje q\u003d arctg ( w y/š x); r 2 = š x 2 +w y 2 . 20 Ulaznica1. Operacija erozije Diskretna dvodimenzionalna Fourierova transformacija matrice uzorka slike definirana je kao niz: gdje je i diskretna inverzna transformacija: Po analogiji s terminologijom kontinuirane Fourierove transformacije, varijable se nazivaju prostornim frekvencijama. Valja napomenuti da se svi istraživači ne koriste definicijama (4.97), (4.98). Neki radije stavljaju sve konstante ljestvice u izraz za inverznu transformaciju, dok drugi mijenjaju znakove u jezgrama u suprotne. Budući da su jezgre transformacije simetrične i odvojive, dvodimenzionalna transformacija može se izvesti kao uzastopne jednodimenzionalne transformacije duž redova i stupaca matrice slike. Osnovne funkcije transformacije su eksponenti sa složenim eksponentima koji se mogu razgraditi na sinusnu i kosinusnu komponentu. Na ovaj način, Spektar slike ima mnogo zanimljivih strukturnih značajki. Spektralna komponenta u ishodištu frekvencijske ravnine jednako povećanom u N puta prosječna vrijednost (u odnosu na izvornu ravninu) svjetline slike. Zamjena u jednakost (4.97) gdje su i konstante, dobivamo: Za bilo koje cjelobrojne vrijednosti i, drugi eksponencijalni faktor jednakosti (4.101) postaje jedan. Dakle, za, što ukazuje na periodičnost frekvencijske ravnine. Ovaj je rezultat prikazan na slici 4.14, a. Dvodimenzionalni Fourierov spektar slike u osnovi je prikaz Fourierove serije dvodimenzionalnog polja. Da bi ovaj prikaz bio valjan, izvorna slika također mora imati periodičnu strukturu, t.j. imaju uzorak koji se ponavlja okomito i vodoravno (slika 4.14, b). Dakle, desni rub slike susjedni je lijevom, a gornji rub donjem dijelu. Zbog diskontinuiteta vrijednosti svjetline na tim mjestima u spektru slike pojavljuju se dodatne komponente koje leže na koordinatnim osi frekvencijske ravnine. Te se komponente ne odnose na vrijednosti osvjetljenja unutarnjih točaka slike, ali su potrebne za reprodukciju njezinih oštrih rubova. Ako niz uzoraka slika opisuje polje svjetline, tada će brojevi biti stvarni i pozitivni. Međutim, Fourierov spektar ove slike općenito ima složene vrijednosti. Budući da spektar sadrži komponente koje predstavljaju stvarne i zamišljene dijelove ili fazu i modul spektralnih komponenata za svaku frekvenciju, moglo bi se činiti da Fourierova transformacija povećava dimenziju slike. To, međutim, nije slučaj, jer ima složenu simetriju konjugacije. Ako u jednakosti (4.101) postavimo i jednako cijelim brojevima, tada nakon složene konjugacije dobivamo jednakost: Korištenjem supstitucije i src \u003d http: //electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif\u003e možete pokazati da Zbog prisutnosti složene konjugirane simetrije, gotovo polovica spektralnih komponenata je pretjerana, t.j. mogu se oblikovati od ostatka komponenata (slika 4.15). Prekomjerne komponente mogu se, naravno, smatrati harmonikama koje ne padaju u donju, već u desnu poluravninu. Fourierova analiza u obradi slike koristi se u iste svrhe kao i za jednodimenzionalne signale. Međutim, u frekvencijskoj domeni slike ne predstavljaju nikakve značajne informacije, što čini Fourierovu transformaciju ne tako korisnim alatom za analizu slike. Na primjer, kada se Fourierova transformacija primijeni na 1D audio signal, teško formalizirani i složeni valni oblik u vremenskoj domeni pretvara se u lako razumljiv spektar u frekvencijskoj domeni. Za usporedbu, uzimajući Fourierovu transformaciju (Fourierova transformacija) slike, pretvaramo poredane informacije u prostornoj domeni (prostorna domena) u kodirani oblik u frekvencijskoj domeni (frekvencijska domena). Ukratko, ne očekujte da će vam Fourierova transformacija pomoći da razumijete informacije kodirane na slikama. Isto tako, nemojte se pozivati \u200b\u200bna frekvencijsku domenu prilikom dizajniranja filtra. Glavna karakteristična značajka na slikama je obrub - crta koja razdvaja jednu objektili regijaod drugog objektili područja... Budući da konture na slici sadrže širok raspon frekvencijskih komponenata, pokušaj promjene slike manipuliranjem frekvencijskim spektrom neučinkovit je zadatak. Filtri za obradu slike obično su dizajnirani u prostornoj domeni gdje su informacije predstavljene u najjednostavnijem i najpristupačnijem obliku. Pri rješavanju zadataka obrade slike, prije je potrebno djelovati u operacijskom smislu zaglađivanjei podvlačenjekonture (prostorna domena) nego u terminima visokopropusni filtari niskopropusni filtar(frekvencijska domena). Unatoč tome, Fourierova analiza slike ima nekoliko korisnih svojstava. Na primjer, konvolucijau prostornoj domeni odgovara množenjeu frekvencijskoj domeni. To je važno jer je množenje jednostavnija matematička operacija od konvolucije. Kao i kod 1D valnih oblika, ovo svojstvo omogućuje FFT konvoluciju i razne tehnike dekonvolucije. Ostalo korisno svojstvo u frekvencijskoj domeni je teorem Fourierovog sektora, uspostavljanje korespondencije između slike i njenih projekcija (prikazi iste slike s različitih strana). Ovaj teorem čini teorijsku osnovu za pravce kao što su računalna tomografija, fluoroskopijanaširoko koristi u medicini i industriji. Frekvencijski spektar slike može se izračunati na nekoliko načina, ali najpraktičnija metoda za izračunavanje spektra je FFT algoritam. Kada se koristi FFT algoritam, izvorna slika mora sadržavati N linije i N stupce i broj N mora biti višekratnik snage 2, tj. 256, 512, 1024 i itd. Ako izvorna slika nije višekratnik snage 2 u smislu svoje dimenzije, tada je potrebno dodati piksele s nultom vrijednošću da biste sliku dovršili do potrebne veličine. Zbog činjenice da Fourierova transformacija čuva redoslijed informacija, amplitude niskofrekventnih komponenata nalazit će se na uglovima dvodimenzionalnog spektra, dok će visokofrekventne komponente biti u njegovom središtu. Kao primjer, razmotrite rezultat Fourierove transformacije elektronsko-mikroskopske slike ulaznog stupnja operativnog pojačala (slika 4.16). Budući da frekvencijska domena može sadržavati piksele s negativnim vrijednostima, ljestvica sive boje ovih slika pomaknuta je na takav način da se negativne vrijednosti percipiraju kao tamne točke na slici, nulte vrijednosti kao sive, a pozitivne vrijednosti kao lagane. Obično su niskofrekventne komponente spektra slike amplitude puno veće od visokofrekventnih, što objašnjava prisutnost vrlo svijetlih i vrlo tamnih točaka u četiri kuta slike spektra (slika 4.16, b). Kao što se može vidjeti sa slike, tipičan specijalSloženi prikaz Fourierove transformacije.
Brza Fourierova transformacija.
Dvodimenzionalna Fourierova transformacija.
Konvolucija korištenjem Fourierove transformacije.
Filtriranje slika u frekvencijskoj domeni.
Znak je nepromjenjiv u odnosu na mjerilo
