Raskite dviejų atsitiktinių kintamųjų sumos pasiskirstymą. Dviejų atsitiktinių kintamųjų sumos paskirstymo įstatymas

1) c + D ≤ Z ≤ A + D. Tada

2) a + D ≤ Z ≤ b + c. Tada

3) b + C ≤ Z ≤ A + B. Tada

Toks platinimas vadinamas Simpsono įstatymu. 8 pav. 9 pavaizduoti SV paskirstymo tankio grafikus nuo.=0, d.=0.

Mes naudojame pirmiau nurodytą bendrą metodą, kad išspręstume vieną problemą, būtent rasti dviejų atsitiktinių kintamųjų sumos paskirstymo įstatymą. Yra dviejų atsitiktinių kintamųjų sistema (x, y) su platinimo tankiu F (x, y).

Apsvarstykite atsitiktinių kintamųjų x ir y sumą: ir mes randame Z. tai padaryti vertę .. Norėdami tai padaryti, mes sukursime "Xou" linijos plokštumoje, kurios lygtis (6.3.1 pav.). Tai yra tiesia linija, kuri išsiskiria ant segmentų, lygių z. Tiesiai dalijasi XOW plokštuma į dvi dalis; Dešinėje ir virš jos ; Kairėn ir mažesnė

Šiuo atveju D regionas yra kairioji XOU plokštumos dalis, tamsesnė pav. 6.3.1. Pagal formulę (6.3.2), mes turime:

Tai yra bendroji dviejų atsitiktinių kintamųjų sumos paskirstymo tankio formulė.

Simetrijos svarstymams užduotis yra palyginti su X ir Y, galite parašyti kitą tos pačios formulės variantą:

Reikia sudėties šių įstatymų, t. Y., Raskite vertės paskirstymo įstatymą :. \\ T

Taikyti bendrą formulę, skirtą paskirstymo įstatymų sudėčiai:

Pakeičiant šias išraiškas jau įvykusios formulės

ir tai yra tik normalus įstatymas su sklaidos centru

Be to, išvada gali būti gerokai lengviau su šiais kokybiniais argumentais.

Atskleidžiant skliausteliuose ir ne transformacijas Integrand funkcija (6.3.3), mes iš karto atėjo į išvadą, kad rodiklis yra trijų sprendimų, susijusių su x tipu

kur koeficiente ir vertė Z nėra įtraukta į koeficientą pirmame laipsnyje ir koeficiente C - aikštėje. Su tuo omenyje ir taikant formulę (6.3.4), mes pasiekiame išvadą, kad G (z) yra orientacinė funkcija, kurio rodiklis yra trijų kvadrato sumažėjimas, palyginti su Z, ir paskirstymo tankis; Ši rūšis atitinka įprastą teisę. Taigi, mes; Atvykome į grynai kokybišką išvadą: Z leidimai yra normalūs. Rasti šio įstatymo parametrus - ir - Mes naudojame matematinių lūkesčių pridėjimo formavimąsi ir išsklaidytus dispersijas. Formuojant matematinius lūkesčius . Pridedant dispersijos teoremą arba. \\ T Iš kur formulės (6.3.7) seka.

Pasukimas iš standartinių nuokrypių proporcingai tikėtiniems nukrypimams, mes gauname:
.

Taigi, mes atėjome į kitą taisyklę: su normalių įstatymų sudėtį, normalus įstatymas yra gaunamas vėl, ir matematiniai lūkesčiai ir dispersija (arba tikėtinų nuokrypių kvadratų) yra apibendrinti.

Įprastų įstatymų sudėties taisyklė gali būti apibendrinta savavališko nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų skaičių.

Jei yra N nepriklausomi atsitiktiniai kintamieji: pavaldiniai normaliems įstatymams su dispersijos centrais ir RMS nukrypimais, tada vertė taip pat yra pavaldi normaliam įstatymui su parametrais

Jei atsitiktinių kintamųjų sistema (X, Y) yra paskirstyta pagal įprastą įstatymą, tačiau X, Y vertės yra priklausomos, tai nėra sunku įrodyti, kaip ir anksčiau, remiantis bendrą formulę (6.3. 1), kad vertės pasiskirstymo įstatymas taip pat yra normalus įstatymas. Dispersijos centrai vis dar yra algebrai, tačiau standartiniams nuokrypiams taisyklė tampa sudėtingesnė: , kur r yra X ir Y koreliacijos koeficientas.

Pridėjus keletą priklausomų atsitiktinių kintamųjų, esančių įprastai įstatymui, sumos paskirstymo įstatymas taip pat yra normalus su parametrais

kur yra X I, X J koreliacijos koeficientas, ir apibendrinimas taikomas visoms skirtingoms derinių derinių poroms.

Buvome įsitikinę labai svarbiu įprastos teisės turtu: su įprastų įstatymų sudėtį, normalus įstatymas yra gaunamas. Tai vadinamasis "tvarumo turtas". Platinimo įstatymas vadinamas tvariu, jei to paties tipo sudėtis vėl gaunama su dviejų šio tipo įstatymų sudėtį. Aukščiau, mes parodėme, kad normalus įstatymas yra stabilus. Tvarumo turtas yra labai mažai platinimo įstatymai. Vienodo tankio įstatymas yra nestabili: su dviejų vienodų tankio įstatymų dėl sklypų nuo 0 iki 1, sudėtį gavome Simpson įstatymą.

Įprasto įstatymo tvarumas yra viena iš esminių sąlygų plačiai paplitęs praktikoje. Tačiau kai kurie kiti platinimo įstatymai turi stabilumo turtą, išskyrus įprastą. Įprasto įstatymo ypatumas yra ta, kad su pakankamai daug praktiškai savavališkų platinimo įstatymų sudėtį, bendras įstatymas pasirodo savavališkai arti normalia, neatsižvelgiant į tai, ar iš komponentų paskirstymo įstatymai buvo. Tai gali būti iliustruojama, pavyzdžiui, trijų vienodo tankio įstatymų kompozicija vietovėse nuo 0 iki 1. Gautas sandoris g (Z) yra pavaizduotas Fig. 6.3.1. Kaip matyti iš brėžinio, funkcijos g (z) grafikas yra labai primenamas įprastos teisės diagramoje.

Sprendimų priėmėjas gali naudoti draudimą sumažinti nepalankų finansinį poveikį kai kurių atsitiktinių įvykių tipų.

Tačiau šis svarstymas yra labai bendras, nes pagal sprendimų priėmėjus, jis gali būti numanomas kaip atskiras asmuo, ieškantis apsaugos nuo žalos, kurią sukelia turtas, taupymas ar pajamos ir organizacija, siekianti apsaugoti nuo tos pačios žalos.

Tiesą sakant, tokia organizacija gali būti draudimo bendrovė, kuri ieško būdų, kaip apsaugoti save nuo finansinių nuostolių dėl pernelyg didelio draudimo reikalavimų, kurie įvyko su atskirais klientais arba draudimo portfeliu. Tokia apsauga vadinama perdraudimas.

Apsvarstykite vieną iš dviejų modelių (būtent individualios rizikos modelis) Plačiai naudojamas draudimo tarifų ir rezervų apibrėžimui, taip pat perdraudimui.

Žymi. \\ T S.draudimo įmonės atsitiktinių nuostolių dydis kai kuriai jos rizikai. Tokiu atveju S.tai yra atsitiktinė vertė, už kurią turime nustatyti tikimybių platinimą. Istoriškai skirstomiems S.V. S.buvo du postulatų rinkiniai. Atskirų rizikų modelis nustato S.tokiu būdu:

kur S.V. Pripažįsta nuostolius, kuriuos sukelia draudimo objektas su numeriu I, Bet n.nurodo bendrą draudimo objektų skaičių.

Paprastai daroma prielaida, kad jos yra nepriklausomos atsitiktinės vertės, nes šiuo atveju matematiniai skaičiavimai yra paprastesni ir nereikalaujama dėl jų santykių pobūdžio. Antrasis modelis yra kolektyvinio rizikos modelis.

Laikui bėgant laikomas laikomas atskirų rizikų modelis neatspindi pinigų vertės pokyčių. Tai daroma siekiant supaprastinti modelį, ir todėl straipsnio pavadinime nurodoma trumpo laiko intervalui.

Mes apsvarstysime tik uždarytus modelius, i.e. Tie, kuriuose yra draudimo objektų skaičius N. Formulėje (1.1), jis yra žinomas ir užregistruotas pačiame laiko intervalo pradžioje. Jei pristatysime prielaidas apie migracijos buvimą iš arba į draudimo sistemą, mes gauname atvirą modelį.

Atsitiktiniai kintamieji, apibūdinantys individualius mokėjimus

Pirmiausia prisimename pagrindines nuostatas dėl gyvybės draudimo.

Uždengus mirties atveju vienerius metus, draudikas įsipareigoja sumokėti sumą b.Jei draudėjas miršta ištisus metus nuo draudimo sutarties sudarymo dienos ir nemoka nieko, jei draudėjas gyvens šiais metais.

Apdraustojo įvykio įvykio tikimybė per nustatytus metus nurodomas.

Atsitiktinė vertė, apibūdinanti draudimo mokėjimus, turi paskirstymą, kurį galima nustatyti tikimybės funkcija

(2.1)

arba atitinkama paskirstymo funkcija

(2.2)

Nuo formulės (2.1) ir nuo momentų, kuriuos gauname, nustatymo

(2.4)

Šios formulės taip pat gali būti gaunamos raštu X.kaip

kur yra nuolatinė vertė, mokama mirties atveju, ir yra atsitiktinė vertė, kuri vertina 1 mirties ir 0 atsiradimo atveju.

Taigi, ir ir vidutinė vertė ir dispersija S.V. EQUAL ir, atitinkamai, vidutinė vertė ir dispersija S.V. lygus ir, kuris sutampa su pirmiau pateiktomis formulėmis.

Atsitiktinė vertė su vertybių sritimi (0,1) yra plačiai naudojamas aktuariniuose modeliuose.

Tikimybės teorijos vadovėliuose tai vadinama rodiklis. \\ T, bernoulievskaya atsitiktinai Vertė arba. \\ T binominis atsitiktinis kintamasis Vienintelėje bandymų sistemoje.

Mes ją paskambinsime rodiklis. \\ Tdėl trumpumo aspektų, taip pat dėl \u200b\u200bto, kad jis nurodo įžeidžiantį, nagrinėjamą įvykį.

Pasikarkime į bendresnius modelius, kuriuose draudimo išmokų suma taip pat yra atsitiktinė vertė ir keliais intervalais gali atsirasti keli apdraustieji įvykiai.

Draudimas ligos atveju, automobilio draudimas ir kitos rūšies turtas, taip pat civilinės atsakomybės draudimas nedelsiant pateikia daug pavyzdžių. Apibendrinti formulę (2.5), įdėti

kur yra atsitiktinė vertė, apibūdinanti draudimo mokėjimus nagrinėjamu laikotarpiu, S.V. Nurodo bendrą mokėjimų sumą šiame intervale ir S.V. Tai rodiklis įvykiui, kurį sudaro tai, kas įvyko bent vienas apdraustasis atvejis.

Būdamas tokio įvykio rodiklis, S.V. Nustato prieinamumą () arba nebuvimas () Draudimo atvejai šiuo metu intervale, bet ne apdraustųjų bylų skaičius jame.

Tikimybė ir toliau bus pažymėta.

Aptarkime keletą pavyzdžių ir nustatykite atsitiktinių kintamųjų platinimą ir kai kuriame modelyje.

Pirmiausia apsvarstysime draudimą mirties atveju vienerių metų laikotarpiui su papildomu mokėjimu, jei mirtis atsirado dėl nelaimingo atsitikimo.

Dėl aiškumo, tarkime, kad jei mirtis įvyko dėl nelaimingo atsitikimo, mokėjimo suma bus 50000. Su mirtimi pagal kitas priežastis, mokėjimo suma bus 25 000.

Tarkime, kad dėl šio amžiaus, sveikatos ir profesijos būklė, mirties tikimybė dėl nelaimingo atsitikimo per metus yra 0,0005, o mirties tikimybė už kitas priežastis yra 0,0020. Formulė atrodo taip:

Apibendrinimas visomis galimas vertėmis, mes gauname

,

Sąlyginis platinimas. Į ji atrodo

Dabar apsvarstysime automobilių draudimą nuo susidūrimų (kompensacija mokama automobilio savininkui už jo automobilio padarytą žalą) su besąlygiško franšizės 250 dydžiu ir didžiausia mokėjimo suma 2000 m.

Siekiant aiškumo, tarkime, kad vienos apdraustojo įvykio įvykio tikimybė tam tikram asmeniui peržiūrima yra 0,15, o daugiau nei vieno susidūrimo atsiradimo tikimybė yra nulis:

, .

Nereali prielaida, kad vienam laikotarpiui gali atsirasti ne daugiau kaip vienas draudimo byla, tai daroma siekiant supaprastinti S.V paskirstymą. .

Mes atsisakysime šios prielaidos kitame skyriuje po to, kai svarsto kelių apdraustų įvykių dydį.

Kadangi tai yra draudiko mokėjimo suma, o ne automobilio sukelta žala, mes galime apsvarstyti dvi savybes ir.

Pirma, įvykis apima tuos susidūrimus, kuriuose žala yra mažesnė už besąlyginę franšizę, kuri yra lygi 250.

Antra, S.V pasiskirstymas. Bus "krūva" tikimybinės masės didžiausia draudimo išmokų suma, kuri yra 2000 m.

Tarkime, kad šiame punkte tikimybinė masė yra 0,1. Be to, manau, kad draudimo išmokų suma nuo 0 iki 2000 gali būti imituojami nepertraukiamo pasiskirstymo su tankio funkcija proporcinga (Praktiškai, nepertraukiama kreivė, kuri yra pasirinkta atstovauti draudimo išmokų platinimui, yra mokėjimų suma per ankstesnį laikotarpį.)

Apibendrinant šias prielaidas dėl S.V sąlyginio pasiskirstymo. Pateikėme mišrios rūšies pasiskirstymą, turintį teigiamą tankį nuo 0 iki 2000 m. Ir 2000 m. 2.2.1.

Šio sąlyginio pasiskirstymo paskirstymo funkcija atrodo taip:

2 pav. Platinimo funkcija S.V. B pagal sąlygą i \u003d 1

Apskaičiuojame matematinius lūkesčius ir dispersiją pavyzdžiu su automobilio draudimu dviem būdais.

Pirma, mes nukreipsime S.V pasiskirstymą. Ir mes jį naudojame apskaičiuoti ir. Žymi per paskirstymo funkciją S.V. , turi

Dėl x.<0

Tai yra mišraus tipo pasiskirstymas. Kaip parodyta Fig. 2.2, ji turi ir diskretišką ("sankabą" iš tikimybinės masės 2000 m) ir nuolatinę dalį. Ši paskirstymo funkcija atitinka tikimybių funkcijų derinį.

Fig. 2.2. Platinimo funkcija S.V. X \u003d IB.

ir tankio funkcijos

Visų pirma ir . todėl .

Yra daug formulių, kurie sujungia atsitiktinių kintamųjų akimirkas su sąlyginiais matematiniais lūkesčiais. Dėl matematinių lūkesčių ir dispersijos, šios formulės yra

(2.10)

(2.11)

Suprantama, kad kairiųjų šių lygių dalių išraiškos tiesiogiai apskaičiuojamos S.V paskirstymu. . Apskaičiuojant išraiškas teisingose \u200b\u200bdalyse, būtent, sąlyginis S.V pasiskirstymas. Su fiksuota S.V vertė. .

Taigi šios išraiškos yra S.V. Ir mes galime apskaičiuoti savo momentus naudojant S.V paskirstymą. .

Sąlyginiai paskirstymai naudojami daugelyje aktuarinių modelių, ir tai leidžia jums tiesiogiai taikyti aukščiau esančias formules. Mūsų modelyje. Atsižvelgiant į S.V. AS ir S.V. Kokybiškai, gauti

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

ir apsvarstyti sąlyginius matematinius lūkesčius

(2.16)

(2.17)

Formulės (2.16) ir (2.17) yra apibrėžiami kaip S.V funkcija. Ką galima įrašyti į tokią formulę:

Nuo tada, kai tada (2.21)

Nes mes turime (2.22)

Formulės (2.21) ir (2,22) gali būti derinami: (2.23)

Taigi, (2.24)

Pakeičiant (2.21), (2,20) ir (2.24) (2.12) ir (2.13), mes gauname

Taikyti gautas formules apskaičiuojant ir į automobilių draudimo pavyzdį (2.2 pav.). Nuo tankio funkcijos S.V. Pagal sąlygą išreiškiama formulė

be to P (b \u003d 2000 | I \u003d 1)\u003d 0,1, mes turime

Galiausiai tikėjo Q. \u003d 0,15, nuo formulių (2,25) ir (2.26) Gausime šiuos lygius:

Apibūdinti kitą draudimo situaciją, kiti modeliai gali būti siūlomi S.V. .

Pavyzdys: Mirties skaičiaus modelis dėl aviacijos katastrofos

Pavyzdžiui, apsvarstyti dėl mirčių skaičiaus, kuris įvyko aviacijos katastrofos, skaičių vienerių metų veiklos laikotarpiu oro linijų.

Mes galime pradėti nuo atsitiktinio kintamo apibūdinančio mirčių skaičių vienam skrydžiui, o tada apibendrina tokius atsitiktinius kintamuosius visuose skrydžiuose per metus.

Vienam skrydžio renginiui bus pažymėta orlaivio avarijos pradžia. Mirties, kuri sukėlė šią katastrofą, skaičius bus atstovaujamas dviejų atsitiktinių kintamųjų produktas ir, kur - orlaivio apkrovos koeficientas, ty orlaivio avarijos asmenų skaičius ir mirties dalis tie, kurie buvo laive.

Atrodo, kad mirčių skaičius yra būtent tokiu būdu, nes atskiras vertybių statistika ir yra labiau prieinama už S.V statistiką. . Taigi, nors mirtinų rezultatų dalis tarp tų, kurie buvo laive, ir laive esančių asmenų skaičius tikriausiai yra susijęs su viena su kita, kaip pirmojo derinimo, galima daryti prielaidą, kad S.V. Nepriklausomai.

Nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų kiekis

Atskirų rizikos modelyje draudimo išmokos draudimo bendrovės pateikiami kaip mokėjimų suma daugeliui asmenų.

Prisiminkite du būdus, kaip nustatyti nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų kiekio paskirstymą. Apsvarstykite pirmiausia dviejų atsitiktinių kintamųjų sumą, pasirinktinę erdvę, kuri parodyta Fig. 3.1.

Fig. 2.3.1. Įvykis. \\ T

Tiesioginis ir plotas pagal šį tiesioginį yra įvykis. Todėl platinimo funkcija S.V. S. Ji turi formą (3.1)

Dėl dviejų diskretiškų ne neigiamų atsitiktinių kintamųjų, mes galime naudoti visą tikimybę formulę ir užrašyti (3.1) kaip

Jeigu X. ir. \\ T Y. Nepriklausoma, paskutinė suma gali būti perrašyta kaip

(3.3)

Tikimybės funkcija, atitinkanti šią paskirstymo funkciją, galima rasti formulėje

(3.4)

Nepertraukiamais ne neigiamais atsitiktiniais formulių kintamaisiais, atitinkančiais formules (3.2) (3.3) ir (3.4), yra

Vieni arba abu atsitiktiniai kintamieji X. ir. \\ T Y. Turite mišrios rūšies paskirstymą (kuris yra būdingas individualios rizikos modeliams), formulės yra panašios, bet sudėtingesnės. Atsitiktiniai kintamieji, kurie taip pat gali imtis neigiamų verčių, sumos ir integralai pirmiau minėtose formulėse yra perimamos visos vertės.

Tikimybės teorija, formulės veikimas (3.3) ir (3,6) yra vadinama dviejų platinimo funkcijų konvoliucija ir yra nurodyta. Konvoliucinė operacija taip pat gali būti apibrėžta tikimybės funkcijų ar tankio funkcijų pora su formulėmis (3,4) ir (3.7).

Norėdami nustatyti daugiau nei dviejų atsitiktinių kintamųjų sumos sumą, mes galime naudoti involiucijos iteracijas. Dėl , kur jie yra nepriklausomos atsitiktinės vertės, žymi paskirstymo funkciją S.V. ir yra paskirstymo S.V funkcija. , mes gausime

3.1 pavyzdys iliustruoja šią procedūrą trijų diskretiškų atsitiktinių kintamųjų tvarka.

3.1 pavyzdys. Atsitiktiniai kintamieji ir nepriklausomi ir turi paskirstymus, kurie yra nustatyti pagal žemiau esančios lentelės stulpelius (1), (2) ir (3).

Atšaukiame tikimybių funkciją ir paskirstymo funkciją S.V.

Sprendimas. Lentelėje naudojama pavadinimai, įvesti priešais pavyzdį:

Stulpeliuose (1) - (3) yra turimos informacijos.

4) stulpelis gaunamas iš stulpelių (1) ir (2) naudojant (3.4).

5) stulpelis gaunamas iš stulpelių (3) ir (4) naudojant (3.4).

Stulpelio apibrėžimas (5) baigia S.V tikimybių funkcijų nustatymą. . Jo paskirstymo funkcija (8) yra dalinių stulpelių sumas (5), pradedant nuo aukščiau.

Siekiant aiškumo, įtraukėme (6) stulpelį, 1) stulpelio paskirstymo funkciją, stulpelį (7), kurią galima gauti tiesiai iš stulpelių (1) ir (6), taikant (2.3.3) ir stulpelį (8) ), kaip apibrėžta panašiai, stulpeliuose (3) ir (7). Stulpelyje (5) galima nustatyti nuo stulpelio (8) nuosekliais atimtimais.

Pasukkime dviejų pavyzdžių, kuriuose yra nuolatinės atsitiktinės vertės, atlygį.

3.2 pavyzdys. Leiskite S.V. Ji turi vienodą pasiskirstymą intervalui (0,2) ir leiskite S.V. nepriklauso nuo S.V. ir turi vienodą pasiskirstymą intervalui (0,3). Nustatykite paskirstymo funkciją S.V.

Sprendimas. Nuo paskirstymo S.V. Ir tęstinis, mes naudojame formulę (3.6):

Tada

Selektyvus erdvė s.v. ir iliustruotas Fig. 3.2. Stačiakampio ploto yra visos galimos poros ir. Įvykis, kurį domina ,, pavaizduota penkių vertybių skaičiui s..

Kiekvienai vertei tiesi linija kerta ašį Y. Tuo metu. \\ T S. Ir tiesiai taške. Šių penkių atvejų funkcijos vertės yra apibūdinamos pagal šią formulę:

Fig. 3.2. Pjauti du vienodus paskirstymus

3.3 pavyzdys. Apsvarstykite tris nepriklausomus S.V. . S.V. Jis turi orientacinį platinimą ir. Raskite tankio funkciją S.V. , taikant konvoliucijos operaciją.

Sprendimas. Turėti

Pasinaudojant formulės (3.7) tris kartus, mes gauname

Kitas nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų kiekio paskirstymo metodas yra pagrįstas momentų generavimo funkcijos funkcijos unikalumu, kuris S.V. nustatomas pagal santykį .

Jei tai yra matematinis lūkesčius, žinoma visiems T. Iš atviro intervalo, kuriame yra koordinatės kilmė, tai yra vienintelis S.V paskirstymo paskirstymo metodas Ta prasme, kad nėra jokios kitos funkcijos, išskyrus tai, kad būtų sukurta S.V paskirstymo funkcija. .

Šis unikalumas gali būti naudojamas taip: už sumą

Jei nepriklausoma, (3.8) formulės darbo matematinis lūkestis yra lygus ..., taip

Rasti aiškią išraišką vieninteliu pasiskirstymu, kuris atitinka generuojančias funkcijas momentų (3.9), ji būtų baigtas S.V paskirstymo pagrindą. . Jei neįmanoma aiškiai nurodyti, tai galima ieškoti su skaitmeniniais metodais.

3.4 pavyzdys.. Apsvarstykite atsitiktinius kintamuosius nuo 3.3 pavyzdžio. Nustatykite tankio funkciją S.V. Naudojant momentų gamybą S.V. .

Sprendimas. Pagal lygybę (3.9), Ką galima parašyti formoje Su skilimo metodu dėl paprasčiausios frakcijos. Sprendimas yra . Bet tai yra veikianti orientacinio pasiskirstymo funkcija su parametru, kad tankio funkcija S.V. Turi išvaizdą

3.5 pavyzdys. Atsižvelgiant į atsitiktinių procesų tyrimą, buvo įvestas atvirkštinis Gauso platinimas. Jis naudojamas kaip platinimas S.V. Į, Draudimo mokėjimai. Tankio funkcija ir atvirkštinio Gauso platinimo akimirkų veikimas yra formules

Raskite S.V pasiskirstymą. kur S.V. Nepriklausomas ir turi tuos pačius atvirkštinius Gauso paskirstymus.

Sprendimas. Pasinaudojant formulė (3.9), mes gauname tokią išraišką S.V gamybos funkcijai. :

Akimirkų generavimo funkcijos atitinka vienintelį platinimą, ir jūs galite įsitikinti, kad jis turi atvirkštinį Gauso pasiskirstymą su parametrais ir.

Sumos paskirstymo derinimas

Centrinė riba teorema suteikia metodą rasti skaitmenines vertes paskirstyti nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų kiekį. Paprastai ši teorinė yra suformuluota dėl nepriklausomų ir vienodai paskirstytų atsitiktinių kintamųjų, kur .

Bet kuriam n paskirstymui S.V. kur \u003d. turi matematinį laukti 0 ir dispersijos 1. Kaip žinote, tokių paskirstymų seka (kada n.\u003d 1, 2, ...) linkęs standartinis normalus platinimas. Kada N. Veliko Šis teorema naudojama S.V pasiskirstymui. Normalus platinimas su vidutiniu μ ir dispersija. Panašiai, sumos paskirstymas n. Atsitiktiniai kintamieji artėja prie įprastinio paskirstymo su vidutiniu ir dispersija.

Tokio derinimo efektyvumas priklauso ne tik nuo komponentų skaičiaus, bet ir nuo komponentų pasiskirstymo iki normalaus. Daugelyje pradinių statistinių duomenų kursų nurodoma, kad n turėtų būti bent 30, kad suderinimo būtų pagrįstas.

Tačiau viena iš būdų generuoti įprastai paskirstytus atsitiktinius kintamuosius, naudojamus imitacijos modeliavimuose, įgyvendina normalią atsitiktinę vertę vidutinio 12-aisiais, nepriklausomai platinami atsitiktinių kintamųjų intervalais (0,1).

Daugelyje individualių rizikų modelių atsitiktiniai kintamieji, įtraukti į sumą, nėra vienodai paskirstytos. Tai bus iliustruojama pavyzdžiais kitame skyriuje.

Centrinė riba teorema taip pat tęsiasi iki nevienodų paskirstytų atsitiktinių kintamųjų sekos.

Jei norite iliustruoti kai kurias individualių rizikų programas, mes naudosime įprastą nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų kiekio paskirstymo derinimą, kad gautume skaitmeninius sprendimus. Jeigu T.

ir toliau, jei S.V. Nepriklausoma, T.

Dėl nagrinėjamos paraiškos mums reikia tik:

• rasti laikmeną ir atsitiktinių kintamųjų, kurie imituoja individualius nuostolius, dispersija,
• apibendrinti juos, kad būtų gauta visos draudimo bendrovės nuostolių ir išsklaidymo
• pasinaudoti įprastu suderinimu.

Žemiau pateikiame šią veiksmų seką.

Draudimo priedai

Šiame skyriuje keturi pavyzdžiai iliustruoja normalaus suderinimo naudojimą.

5.1 pavyzdys. Gyvybės draudimo bendrovė siūlo draudimo sutartį dėl mirties vienerių metų laikotarpiui su 1 ir 2 dydžio mokėjimais asmenims, kurių mirties tikimybė yra 0,02 arba 0,01. Toliau pateiktoje lentelėje nurodomas asmenų skaičius. Nk. Kiekvienoje iš keturių klasių, sudarytų pagal mokėjimą b K. ir tikimybė apdraustojo įvykio q K:

Draudimo bendrovė nori surinkti iš šios grupės 1 800 asmenų suma, lygi 95 procentinei bendro šios grupės draudimo išmokų sumos paskirstymo procentui. Be to, ji nori, kad kiekvieno asmens dalis šioje sumoje yra proporcinga numatomam šio asmens draudimo išmokos dydžiui.

Asmens dalis su numeriu, kurio vidutinis mokėjimas yra lygus, turėtų būti. Iš 95 procentilio reikalavimo tai darytina. Viršijimo dydis yra rizikos pašalpa ir vadinama santykine rizika. Skaičiuoti.

Sprendimas. Vertę nustatoma pagal santykį \u003d 0,95, kur S \u003d x 1 + x 2 + ... + x 1800.Šis teiginys apie tikimybę yra lygiavertė:

Pagal tai, kas buvo paminėta apie centrinę ribą teoremo skyriuje. 4, mes suderiname S.V pasiskirstymą. Standartinis normalus paskirstymas ir pasinaudoti savo 95 procle, iš kur mes gauname:

Keturioms klasėms, kurioms draudžia draudikai, gauname šiuos rezultatus:

Šiuo būdu,

Todėl santykinis rizikos mokestis yra lygus

5.2 pavyzdys. Automobilių draudimo įmonės klientai platinami dviem klasėms:

Sutrumpintas orientacinis pasiskirstymas nustatomas pagal paskirstymo funkciją

Tai yra mišrios tipas su tankio funkcija ir "BUNCH" iš tikimybinės masės L.. Šios paskirstymo funkcijos grafikas parodytas Fig.5.1.

Fig. 5.1. Sutrumpintas orientacinis platinimas

Kaip ir anksčiau, tikimybė, kad bendra draudimo išmokų suma viršija draudėjams surinktą sumą turėtų būti lygi 0,05. Manome, kad santykinis mokestis turi būti vienodas kiekvienoje iš dviejų klausimų klasių. Apskaičiuoti.

Sprendimas. Šis pavyzdys yra labai panašus į ankstesnį. Vienintelis skirtumas yra tas, kad draudimo išmokų sumos dabar yra atsitiktinės vertės.

Pirmiausia gauname išraiškos už sutrumpinto orientacinio pasiskirstymo momentus. Tai bus parengiamasis žingsnis formulėms (2,25) ir (2.26):

Pasinaudojant parametrų duomenų reikšmėmis į būklę ir formules (2,25) ir (2.26), gauname šiuos rezultatus:

Taigi, S., bendra draudimo išmokų suma turi akimirkų

Nustatymo sąlyga išlieka tokia pati kaip ir 5.1 pavyzdyje, būtent,

Pasinaudojant suderinimu su įprastu platinimu, mes gauname

5.3 pavyzdys. Draudimo bendrovės portfelį sudaro 16 000 mirties draudimo sutarčių vienerius metus pagal šią lentelę:

Apdraustojo įvykio Q įvykio tikimybė kiekvienam iš 16 000 klientų (šie įvykiai yra skirti tarpusavyje nepriklausomiems), lygūs 0,02. Bendrovė nori nustatyti savo išlaikymo lygį. Kiekvienam draudėjui savo išlaikymo lygis yra mokėjimo suma, kuri yra mažesnė už šią bendrovę (Cedenti bendrovės) pratimai savarankiškai, ir mokėjimai pranašesni už šią vertę yra taikoma pagal perdraudimo sutartį kitos bendrovės (perdraudiklis).

Pavyzdžiui, jei savarankiško ūkio lygis yra 200 000, tada bendrovė rezervuoja sumą iki 20 000 už kiekvieną draudėjui ir pirkti perdraudimą, kad padengtų skirtumą tarp draudimo išmokos ir 20 000 už kiekvieną iš 4500 apdraustojų, draudimo mokėjimai, už kuriuos yra pranašesni už 20 000 sumų.

Kaip sprendimo priėmimo kriterijus, bendrovė nusprendžia sumažinti tikimybę, kad draudimo mokėjimai paliekami savo atskaitymui, taip pat suma, mokama už perdraudimą, bus viršyti 8,250 000 dydžio. Perdraudimo išlaidos 0,025 už vieneto dengimą (ty 125% Numatoma, kad draudimo mokėjimų dydis už 0,02 vienetą).

Mes tikime, kad nagrinėjamas portfelis yra uždarytas: nauji draudimo sutartys, sudarytos per einamaisiais metais, neatsižvelgiama į aprašytą sprendimų priėmimo procesą.

Dalinis sprendimas. Aš pirmą kartą praleidžiu visus skaičiavimus pasirenkant 10 000 mokėjimo už vienetą. Kaip iliustracija, mes manome, kad su. Į S. Tai yra mokėjimų suma, kuriai priklauso jų pačių saugojimui, turi tokią formą:

Į šiuos draudimo mokėjimus paliktas jų atskaitymui, \\ t S.Pridedama perdraudimo įmokų suma. Iš viso bendras dangos kiekis pagal tokią schemą yra

Savo atskaitos suma yra lygi

Taigi bendra perdrausta vertė yra 35 000-24,000 \u003d 11 000 ir perdraudimo kaina yra

Tai reiškia, kad jų atskaitymo lygiu, lygiu 2, draudimo mokėjimai, kurie buvo palikti jų atskaitomybei, taip pat yra perdraudimo išlaidos. Sprendimų priėmimo kriterijus grindžiamas tikimybe, kad šis bendras bus viršyti 825,

Naudojant įprastą pasiskirstymą, gauname, kad ši vertė yra maždaug lygi 0,0062.

Vidutinės draudimo išmokų vertės už draudimo nuopelniškumo apsaugą, kaip vieną iš perdraudimo tipų, gali būti suderinta naudojant įprastą pasiskirstymą kaip bendrųjų draudimo išmokų paskirstymą.

Leiskite bendrai draudimo mokėjimams x turi normalų pasiskirstymą vidutiniu ir dispersija

5.4 pavyzdys. Apsvarstykite draudimo portfelį, kaip nurodyta 5.3 pavyzdyje. Mes surasime matematinį lūkesčius draudimo išmokų dydį draudimo sutartyje dėl pernelyg didelio nuostolios, jei

a) Individualus perdraudimas nėra ir besąlyginė franšizė yra 7,500,000

b) Savo išlaikymas buvo nustatytas 20 000 dydžio pagal individualias draudimo sutartis ir besąlygiško franšizės dydį portfelyje yra 5,300,000.

Sprendimas.

a) nesant atskirų perdraudimo ir pereinant prie 10 000 kaip piniginio vieneto

formulės (5.2) naudojimas suteikia

tai yra 43 770 šaltinių vienetų suma.

(B) 5.3 pavyzdys, mes gavome vidutinį ir sklaidos bendrą sumą draudimo išmokų pagal individualų lygį savo paties išlaikymo 20.000, lygus 480 ir 784, atitinkamai, jei mes manome, 10 000 kaip vienetas. Taigi, \u003d 28.

formulės (5.2) naudojimas suteikia

koks yra 4140 kiekis šaltinio vienetuose.

Praktiškai reikia rasti atsitiktinių kintamųjų pasiskirstymo įstatymą.

Tegul yra sistema (X b x 2) Du nuolatiniai s. Į Ir jų suma

Raskite paskirstymo tankį. Į W. Pagal bendrą ankstesnės pastraipos sprendimą, mes randame plokštumos sritį, kur x + x 2 (9.4.1 pav.):

Išskirti šią išraišką y, mes gauname p. R. Atsitiktinis kintamasis Y \u003d x + x 2:

Kadangi funkcija f (x b x 2) \u003d XJ + x 2 yra simetriška apie savo argumentus,

Jei su. Į H. ir. \\ T H. 2 Tikrinami, tada formulės (9.4.2) ir (9.4.3) atrodys:

Tuo atveju, kai nepriklausoma. Į X. ir. \\ T X 2 Jie kalba apie paskirstymo įstatymų sudėtį. Gaminti sudėtis. \\ T Du platinimo įstatymai - tai reiškia rasti dviejų nepriklausomų dviejų nepriklausomų sumos paskirstymo įstatymą. c., platinamas pagal šiuos įstatymus. Paskirstymo įstatymams taikoma simbolinė įrašymas

kuri iš esmės reiškia formules (9.4.4) arba (9.4.5).

1 pavyzdys. Apsvarstyta dviejų techninių įtaisų darbas (TU). Pirma, įdedamas po jo nesėkmės (nesėkmės) yra įtrauktas į TU 2 veikimą. Bėdų neturinčių darbo laikas, kuris b Tu 2 - X. ir. \\ T H. 2 - nepriklausomas ir platinamas orientacinių įstatymų su parametrais A, 1 ir X 2. Todėl laikas Y. Apgalvotas darbas, kurį sudaro! ir kad 2 bus nustatoma pagal formulę

Reikia rasti p. R. Atsitiktinis kintamasis Y, I.E. Dviejų demonstracinių įstatymų sudėtis su parametrais ir X 2.

Sprendimas. Pagal formulę (9.4.4) mes gauname (ne\u003e 0)

Jei yra dviejų demonstracinių įstatymų sudėtis su tais pačiais parametrais (C \u003d H. 2 \u003d Y), tada išraiškoje (9.4.8) paaiškėja 0/0 tipo neapibrėžtumas, atskleidžiantis, kuris gauname:

Palyginus šią išraišką su išraiška (6.4.8), mes esame įsitikinę, kad dviejų vienodų orientacinių įstatymų sudėtis (C \u003d H. 2 = X)tai yra Erlang antrosios eilės įstatymas (9.4.9). Su dviejų demonstracinių įstatymų sudėtį su skirtingais parametrais X. ir A-2 gauti bendras įstatymas Erlandas Antroji tvarka (9.4.8). ?

Užduotis 1. Pasiskirstymo tarp dviejų s. Į Sistema su. Į (X ir x 2) Jis turi sąnarį p.: / (X B x 2). Rasti p. R. Jų skirtumas Y \u003d x. - X 2.

Sprendimas. Sistemai su. Į (X b - x 2) ir tt bus / (x b - x 2) t. y., pakeitėme skirtumą. Todėl R. R. Bus prarastas atsitiktinis kintamasis (žr (žr (9.4.2) (9.4.3)):

Jeigu nuo. Į X Xi. 2 Nepriklausoma, T.

2. pavyzdys. Rasti p. R. Dviejų savarankiškų skirtumas. Į Su parametrais X. ir. \\ T X 2.

Sprendimas. Pagal formulę (9.4.11) mes gauname

Fig. 9.4.2. Fig. 9.4.3.

9.4.2 pav. Rodo p. R. g. (y). Jei skirtumas tarp dviejų savarankiškai paskirstytų s. Į su tais pačiais parametrais (A-i= H. 2 = Bet,),tam. \\ T g. (y) \u003d / 2 - jau pažįstami

laplaso teisė (9.4.3 pav.). ? \\ T

3. Ieškokite dviejų nepriklausomų dviejų nepriklausomų sumos paskirstymo įstatymą. Į H. ir. \\ T X 2 Platinama pagal Poissono įstatymą su parametrais a H. ir. \\ T a 2.

Sprendimas. Raskite įvykio tikimybę (X. + H. 2 = t) (t \u003d 0, 1,

Todėl. Į Y \u003d x x + H. 2 Platinama pagal Poissono įstatymą su parametru ir x2) - ir x + a 2. ?

8 pavyzdys. Raskite dviejų nepriklausomų sumos paskirstymo sumą. Į X. ir. \\ T X 2 platinami binominiais įstatymais su parametrais p x r 2, r atitinkamai.

Sprendimas. Įsivaizduokite. Į X. Kaip:

kur X 1) - Įvykio rodiklis Bet Wu "-m patirtis:

Pasiskirstymo eilutė. Į X, - turi formą

Mes padarysime panašų atstovavimą p. Į X 2:kur x] 2) - įvykių indikatorius Bet "Patirtis:

Taigi,

kur x? 1) + (2) Jei įvykio rodiklis Bet:

Taigi, mes tai parodėme. Į Paimkite sumą (sh + p 2) Įvykių rodikliai BetIš kur tai reiškia. Į ^ platina binominis įstatymas su parametrais ( p. + п 2), r.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tikimybės r. Įvairių serijų eksperimentų yra skirtingi, tada dėl dviejų nepriklausomų su. c., platinami binomialiniais įstatymais. c., platinamas ne binominio įstatymo. ? \\ T

3 ir 4 pavyzdžiai yra lengvai apibendrinti savavališkai. Su Poissono įstatymų su parametrais sudėtį kommersant 2, ..., t. vėl poissono įstatymas su parametru a (t) \u003d a x + ir 2 + ... + a.

Su binominio įstatymų sudėtį su parametrais (N B.); (I 2, r) r) , (nt, r) Vėlgi paaiškėja binominį įstatymą su parametrais ("("), R), Kur p (t) \u003d sh + n 2 + ... + pt.

Įrodėme svarbias poissono ir binominio įstatymo įstatymo savybes: "tvarumo turtas". Paskirstymo įstatymas vadinamas thing. Jei, su dviejų to paties tipo įstatymų sudėtis, gaunamas to paties tipo įstatymas (tik šio įstatymo parametrai skiriasi). 9.7 poskirsnyje parodysime, kad įprastas įstatymas turi tą patį stabilumo turtą.

Mes naudojame pirmiau nurodytą bendrą metodą, kad išspręstume vieną problemą, būtent rasti dviejų atsitiktinių kintamųjų sumos paskirstymo įstatymą. Yra dviejų atsitiktinių kintamųjų sistema (x, y) su platinimo tankiu F (x, y). Apsvarstykite atsitiktinių kintamųjų x ir y sumą: ir mes surasime Z. vertės pasiskirstymo vertę. Tai yra tiesia linija, kuri išsiskiria ant segmentų, lygių z. Tiesioginė dalijasi į dvi dalis; dešinėje ir virš jos; Kairėn ir mažesnė.

Šiuo atveju D regionas yra kairioji XOU plokštumos dalis, tamsesnė pav. 7. Pagal formulę (16) mes turime:

Išskirti šią išraišką kintamuoju Z, kuris yra įtrauktas į viršutinę ribą vidinio integralo, mes gauname:

Tai yra bendroji dviejų atsitiktinių kintamųjų sumos paskirstymo tankio formulė.

Simetrijos svarstymams užduotis yra palyginti su X ir Y, galite parašyti kitą tos pačios formulės variantą:

tai yra lygiavertis pirmam ir gali būti taikomas vietoj.

Įprastų įstatymų sudėties pavyzdys. Apsvarstykite du nepriklausomus atsitiktinius kintamuosius x ir y, pavaldžiais įstatymais:

Reikia sudėties šių įstatymų, t. Y., Raskite vertės paskirstymo įstatymą :. \\ T

Taikyti bendrą formulę, skirtą paskirstymo įstatymų sudėčiai:

Jei atskleidžiate skliaustelius į integruotos funkcijos laipsnio rodiklį ir pareikšti panašius narius, mes gauname:

Pakeičiant šias išraiškas jau įvykusios formulės

po transformacijos gauname:

ir tai yra tik normalus įstatymas su sklaidos centru

ir RMS nukrypimas

Be to, išvada gali būti gerokai lengviau su šiais kokybiniais argumentais.

Be atidarymo skliausteliuose ir nesukelia transformacijų Integrand Funkcija (17), mes nedelsdami pateikiame išvadą, kad laipsnio rodiklis yra trijų sprendimų, susijusių su x tipu

kur koeficiente ir vertė Z nėra įtraukta į koeficientą pirmame laipsnyje ir koeficiente C - aikštėje. Turėdamas tai omenyje ir taikant formulę (18), mes pasiekėme išvadą, kad G (Z) yra orientacinė funkcija, kurio laipsnio rodiklis yra trijų kvadratų sumažėjimas, palyginti su Z, ir paskirstymo tankis; Ši rūšis atitinka įprastą teisę. Taigi, mes; Atvykome į grynai kokybišką išvadą: Z leidimai yra normalūs. Norėdami rasti šio įstatymo parametrus - ir - mes naudojame teoriją matematinių lūkesčių pridėjimo ir dispersijų. Formuojant matematinius lūkesčius. Pridedant dispersijos teoremą arba iš kur jis atitinka formulę (20).

Pasukdami nuo standartinių nukrypimų iki tikėtinų nukrypimų jiems proporcingai, mes gauname :.

Taigi, mes atėjome į kitą taisyklę: su normalių įstatymų sudėtį, normalus įstatymas yra gaunamas vėl, ir matematiniai lūkesčiai ir dispersija (arba tikėtinų nuokrypių kvadratų) yra apibendrinti.

Įprastų įstatymų sudėties taisyklė gali būti apibendrinta savavališko nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų skaičių.

Jei yra N nepriklausomi atsitiktiniai kintamieji: pavaldiniai normaliems įstatymams su dispersijos centrais ir RMS nukrypimais, tada vertė taip pat yra pavaldi normaliam įstatymui su parametrais

Vietoj formulės (22), galima taikyti lygiavertį formulę:

Jei atsitiktinių kintamųjų sistema (X, Y) yra paskirstyta pagal įprastą įstatymą, tačiau X, Y vertės yra priklausomos, tai nėra sunku įrodyti, kaip ir anksčiau, remiantis bendrą formulę (6.3. 1), kad vertės pasiskirstymo įstatymas taip pat yra normalus įstatymas. Dispersijos centrai vis dar yra algebrai, tačiau standartiniais nuokrypiais taisyklė tampa sudėtingesnė :, kur r yra koreliacijos koeficientas X ir Y.

Pridėjus keletą priklausomų atsitiktinių kintamųjų, esančių įprastai įstatymui, sumos paskirstymo įstatymas taip pat yra normalus su parametrais

arba tikėtinais nuokrypiais

kur yra X I, X J koreliacijos koeficientas, ir apibendrinimas taikomas visoms skirtingoms derinių derinių poroms.

Buvome įsitikinę labai svarbiu įprastos teisės turtu: su įprastų įstatymų sudėtį, normalus įstatymas yra gaunamas. Tai vadinamasis "tvarumo turtas". Platinimo įstatymas vadinamas tvariu, jei to paties tipo sudėtis vėl gaunama su dviejų šio tipo įstatymų sudėtį. Aukščiau, mes parodėme, kad normalus įstatymas yra stabilus. Tvarumo turtas yra labai mažai platinimo įstatymai. Vienodo tankio įstatymas yra nestabili: su dviejų vienodų tankio įstatymų dėl sklypų nuo 0 iki 1, sudėtį gavome Simpson įstatymą.

Įprasto įstatymo tvarumas yra viena iš esminių sąlygų plačiai paplitęs praktikoje. Tačiau kai kurie kiti platinimo įstatymai turi stabilumo turtą, išskyrus įprastą. Įprasto įstatymo ypatumas yra ta, kad su pakankamai daug praktiškai savavališkų platinimo įstatymų sudėtį, bendras įstatymas pasirodo savavališkai arti normalia, neatsižvelgiant į tai, ar iš komponentų paskirstymo įstatymai buvo. Tai gali būti iliustruojama, pavyzdžiui, trijų vienodo tankio įstatymų kompozicija vietovėse nuo 0 iki 1. Gautas sandoris g (Z) yra pavaizduotas Fig. 8. Kaip matyti iš brėžinio, funkcijos g (z) grafikas yra labai primena įprastos teisės grafiką.