Pronađite distribuciju zbroja dvije nasumične varijable. Zakon distribucije zbroja dve slučajne varijable

1) c + D ≤ z ≤ A + D. Onda

2) a + D ≤ z ≤ B + C. Onda

3) b + C ≤ z ≤ A + B. Onda

Takva se distribucija naziva Simpsonovom zakonom. Na slici8, 9 prikazuje grafikone gustoće distribucije SV od=0, d.=0.

Koristimo gornju opću metodu za rješavanje jednog problema, naime, da bismo pronašli zakon distribucije zbroja dve slučajne varijable. Postoji sistem dvije nasumične varijable (x, y) s gustoćom distribucije F (x, y).

Razmotrite zbroj slučajnih varijabli X i Y: I pronalazimo vrijednost distribucije z .. da bismo to učinili, izgradit ćemo se na Xou linijskom ravnini, jednadžbi od kojih (Sl. 6.3.1). Ovo je ravna linija koja se prekida na osi segmenata jednakim z. Ravni Podijeli Xow ravninu na dva dijela; Pravo i iznad njega ; Lijevo i niže

Region D u ovom slučaju je lijevi donji dio Xou aviona, zasjenjen na slici. 6.3.1. Prema formuli (6.3.2), imamo:

Ovo je opća formula za gustinu distribucije zbroja dve slučajne varijable.

Za razmatranja simetrije, zadatak je u odnosu na X i Y, možete napisati drugu varijantu iste formule:

Potrebno je napraviti sastav ovih zakona, I.E., pronađite zakon distribucije vrijednosti :.

Primijenite opću formulu za sastav zakona o distribuciji:

Zamjena ovih izraza u formuli koja se već pojavljuje

i to nije ništa drugo nego normalan zakon sa centrom za rasipanje

Pored toga, zaključak može biti znatno lakši sa sljedećim kvalitativnim rezonovanjem.

Bez otkrivanja nosača i ne-transformacija u funkciji Integrand (6.3.3), odmah smo došli do zaključka da je pokazatelj kvadratne tri odluke u odnosu na x tip

tamo gdje u koeficijentu i vrijednost z uopće nije uključena u koeficijent u prvom stepenu, a u koeficijentu C - na trgu. Imajući to u vidu i nanošenjem formule (6.3.4), dolazimo do zaključka da je G (z) indikativna funkcija, čiji je pokazatelj četvrtasti tri smanjenje u odnosu na Z i gustina distribucije; Ova vrsta odgovara normalnom zakonu. Dakle, mi; Dolazimo na čisto kvalitetan zaključak: Dozvole Z moraju biti normalne. Da biste pronašli parametre ovog zakona - i - Koristimo formiranje dodavanja matematičkih očekivanja i dodavanje disperzije. Formiranjem formiranja matematičkih očekivanja . Do dodavanja raspršivanja teorema ili Odakle slijedi formula (6.3.7).

Pretvaranje od standardnih odstupanja na proporcionalno vjerovatnim odstupanjima, dobivamo:
.

Stoga smo došli do sljedećeg pravila: sa sastavom normalnih zakona, ponovo se dobija normalan zakon, a matematička očekivanja i disperzija (ili trgovi vjerovatne odstupanja) sažeti su.

Pravilo sastava normalnih zakona može se generalizirati u slučaju proizvoljnog broja nezavisnih slučajnih varijabli.

Ako postoje n nezavisne slučajne varijable: podređene u normalne zakone sa disperzijskim centrima i odstupanjima od RMS-a, tada je vrijednost također podređena normalnom zakonu s parametrima

Ako se sistem slučajnih varijabli (X, Y) distribuira prema normalnom zakonu, ali vrijednosti X, y ovise su, nije teško dokazati, baš kao i prije, na osnovu opće formule (6.3. 1) da je zakon distribucije vrijednosti takođe normalan zakon. Disperzijski centri su i dalje algebarjski, ali za standardna odstupanja, pravilo postaje složenije: , gde je r koeficijent korelacije X i Y.

Kada dodajete nekoliko ovisnih slučajnih varijabli podređenih u normalnom zakonu, zakon distribucije iznosa također se ispostavlja normalan s parametrima

gdje je koeficijent korelacije X I, X J i sažet primjenjuje se na sve različite parove kombinacija veličine.

Uvjereni smo na vrlo važno svojstvo normalnog zakona: sa sastavom normalnih zakona, normalan zakon se ponovo dobija. Ovo je takozvana "imovina održivosti". Zakon o distribuciji naziva se održivim, ako se sastav iste vrste ponovo dobiva sa sastavom dva zakona ove vrste. Gore, pokazali smo da je normalan zakon stabilan. Vlasništvo održivosti vrlo je malo zakona distribucije. Zakon jednoobrazne gustoće je nestabilan: sa sastavom dva zakona jednoobrazne gustoće na parcelama od 0 do 1, dobili smo Simpson zakon.

Održivost uobičajenog zakona jedan je od bitnih uslova za raširenu u praksi. Međutim, neki drugi zakoni o distribuciji imaju vlasništvo stabilnosti, osim normalnog. Posebnost normalnog zakona je da se sa sastavom dovoljno velikog broja praktički proizvoljnih zakona distribucije, pokazuje da je ukupni zakon proizvoljno blizak normalno, bez obzira da li su zakoni distribucije komponenti. To se može ilustrirati, na primjer, izrada sastava tri zakona jednoobrazne gustoće u područjima od 0 do 1. Rezultirajuća transakcija G (z) prikazana je na slici. 6.3.1. Kao što se može vidjeti sa crteža, grafikon funkcije G (z) vrlo se podsjeća na grafikonom normalnog zakona.

Donosilac odluka može koristiti osiguranje za smanjenje nepovoljnog finansijskog utjecaja nekih vrsta slučajnih događaja.

Ali ovo je vrlo općeno, jer bi se prema donositeljima odluka moglo podrazumijevati kao zasebna osoba koja traži zaštitu od štete uzrokovane imovinom, uštedom ili prihodima i organizacijom koja traži zaštitu od iste štete.

U stvari, takva organizacija može biti osiguravajuće društvo koje traže načine za zaštitu od financijskih gubitaka zbog prevelike broj zahtjeva za osiguranje koji su se dogodili sa svojim zasebnim klijentom ili sa svojim portfeljem osiguranja. Takva zaštita se naziva reosiguranje.

Razmotrite jedan od dva modela (naime model pojedinačnih rizika) Široko se koristi u definiciji stope osiguranja i rezervi, kao i u reosiguranju.

Označavaju S.veličina slučajnih gubitaka osiguravajućeg društva za neki dio rizika. U ovom slučaju S.to je slučajna vrijednost za koju moramo odrediti raspodjelu vjerojatnosti. Povijesno, distribucije S.V. S.bila su dva skupa postulata. Model pojedinačnih rizika određuje S.na sledeći način:

gde S.V. Prepoznaje gubitke uzrokovane objektom osiguranja s brojem Ja, ali n.označava ukupan broj osiguranja objekata.

Obično se pretpostavlja da su neovisne nasumične vrijednosti, jer su u ovom slučaju matematički proračuni jednostavniji i nisu potrebni u pogledu prirode odnosa između njih. Drugi model je model kolektivnog rizika.

Razmatrani model pojedinačnih rizika ne odražava promjene vrijednosti novca s vremenom. To se učini kako bi se pojednostavio model i zato se naslov članka odnosi na kratki vremenski interval.

Razmotrit ćemo samo zatvorene modele, I.E. Oni u kojima je broj osiguranja objekata N. U formuli (1.1), poznata je i evidentirana na samom početku vremenskog intervala u razmatranju. Ako uvedemo pretpostavke o prisutnosti migracije iz ili u sustav osiguranja, dobivamo otvoreni model.

Slučajne varijable koje opisuju pojedinačne isplate

Prvo sećamo osnovnih odredbi u vezi sa životnim osiguranjem.

Kada se osigurava u slučaju smrti za godinu dana, osiguratelj se obavezuje da će platiti iznos b.Ako držač politike umre tokom dana od dana završetka ugovora o osiguranju, i ne plaća ništa ako osigurani će živjeti ove godine.

Verovatnoća pojavljivanja osiguranog događaja tokom određene godine naznačena je putem.

Slučajna vrijednost koja opisuje plaćanje osiguranja ima distribuciju koja se može postaviti ili putem funkcije vjerojatnosti

(2.1)

bilo odgovarajuća funkcija distribucije

(2.2)

Od formule (2.1) i iz određivanja trenutaka koje dobijamo

(2.4)

Ove formule se mogu primiti i pisanjem X.kao

gdje je stalna vrijednost plaćena u slučaju smrti i slučajna vrijednost uzima vrijednost 1 na pojavu smrti i 0 u suprotnom.

Dakle, i i prosječna vrijednost i disperzija S.V. jednak i, u skladu s tim, prosječna vrijednost i disperzija S.V. jednaki i, koji se podudaraju s formulama napisanim gore.

Slučajna vrijednost s područjem vrijednosti (0,1) široko se koristi u aktuarskim modelima.

U udžbenicima o teoriji vjerojatnosti se zove indikator, bernoullievskaya nasumična Vrijednost ili binom slučajna varijabla U jedinoj shemi testiranja.

Nazvat ćemo je indikatorza sažetost razmatranja, kao i zato što ukazuje na uvredljiv, ili nije uvredljiv, događaj koji se razmatra.

Dopustite da se pretražite za općenitijim modelima u kojima je iznos plaćanja osiguranja takođe slučajna vrijednost i nekoliko osiguranika može doći u vremenskom intervalu u razmatranju.

Osiguranje u slučaju bolesti, osiguranja automobila i drugih vrsta imovine, kao i osiguranje civilne odgovornosti odmah pružaju mnogo primjera. Rezimirajući formulu (2.5), stavi

gdje je slučajna vrijednost koja opisuje plaćanje osiguranja u vremenskom intervalu koji se razmatra, S.V. Ukazuje na ukupni iznos plaćanja u ovom intervalu i S.V. To je pokazatelj za događaj koji se sastoji od onoga što se dogodilo barem jedan osigurani slučaj.

Biti pokazatelj takvog događaja, S.V. Ispravlja dostupnost () ili odsustvo () Slučajevi osiguranja u ovom vremenskom intervalu, ali ne i broj osiguranih slučajeva u njemu.

Verovatnoća će se i dalje označiti.

Razgovarajmo o nekoliko primjera i odredimo raspodjelu slučajnih varijabli i u nekom modelu.

Prvo razmatramo osiguranje u slučaju smrti u periodu od jedne godine uz dodatnu uplatu, ako smrt dođe kao rezultat nesreće.

Za definitivnost, pretpostavimo da ako se smrt dogodila kao rezultat nesreće, tada će iznos plaćanja biti 50000. Sa smrću, prema drugim razlozima, iznos plaćanja bit će 25.000.

Pretpostavimo da je za lice ove dobi, zdravstveno stanje i profesija, vjerojatnost smrti kao rezultat nesreće tokom godine iznosi 0.0005, a vjerojatnost smrti iz drugih razloga iznosi 0,0020. Formula izgleda ovako:

Zminju u svim mogućim vrijednostima, dobivamo

,

Uslovna distribucija sa. u. pod uslovom da se čini

Sada razmatramo osiguranje automobila od sudara (naknada se plaća vlasniku automobila za štetu nastalu od strane automobila) sa veličinom bezuslovne franšize 250 i sa maksimalnim iznosom plaćanja 2000.

Za jasnoću, pretpostavimo da je verovatnoća pojave jednog osiguranog događaja u razdoblju u razdoblju za određenu osobu 0,15, a verovatnoća o pojavi više sudara je nula:

, .

Nerealna pretpostavka da se ne može pojaviti više od jednog slučaja osiguranja za jedan period, to se radi kako bi se pojednostavila distribucija S.V. .

Ovu pretpostavku ćemo odbiti u sljedećem odjeljku nakon što razmotrimo distribuciju iznosa nekoliko osiguranih događaja.

Budući da je to iznos plaćanja osiguravatelja, a ne štete uzrokovanu automobilom, možemo razmotriti dvije karakteristike i.

Prvo, događaj uključuje one sudare u kojima je šteta manja od bezuslovne franšize, što je jednako 250.

Drugo, distribucija S.V. Postojat će "gomila" vjerojatne mase po maksimalnom iznosu plaćanja osiguranja, što je 2000. godine.

Pretpostavimo da se vjerovatno fokusirala verovatnoća masa 0,1. Pretpostavimo da iznos plaćanja osiguranja u rasponu od 0 do 2000 može se simulirati kontinuiranoj distribuciji s denzitetom proporcionalnom (U praksi kontinuirana krivulja koja je odabrana za predstavljanje raspodjele plaćanja osiguranja rezultat je studije iz iznosa plaćanja u prethodnom periodu.)

Zminju ove pretpostavke o uslovnoj distribuciji S.V. Osigurani, dođemo do raspodjele mješovite vrste koji ima pozitivnu gustoću u rasponu od 0 do 2000, a neki "gomila" vjerojatne mase na točki 2000. To je prikazano na slici na slici. 2.2.1.

Funkcija distribucije ove uvjetne distribucije izgleda ovako:

Sl.2.1. Funkcija distribucije S.V. B pod uvjetom I \u003d 1

Izračunavamo matematičko očekivanje i disperziju u primjeru primjera sa automobilskim osiguranjem na dva načina.

Prvo ćemo preusmjeriti distribuciju S.V. I koristimo ga za izračunavanje i. Označava kroz funkciju distribucije S.V. , imati

Za x.<0

Ovo je distribucija mešovite vrste. Kao što je prikazano na Sl. 2.2, ima i diskretan ("kvačilo" vjerojatne mase na točki 2000) i kontinuirani dio. Ova distribucija odgovara kombinaciji funkcija vjerojatnosti.

Sl. 2.2. Funkcija distribucije S.V. X \u003d ib.

i funkcije gustoće

Posebno i . stoga .

Postoji niz formula koji vežu trenutke slučajnih varijabli sa uslovnim matematičkim očekivanjima. Za matematička očekivanja i za disperziju, ove formule su

(2.10)

(2.11)

Razumije se da izrazi u lijevim dijelovima ovih jednakosti izračunavaju se direktno distribucijom S.V. . Prilikom izračunavanja izraza u pravim dijelovima, naime, uvjetna distribucija S.V. Sa fiksnom vrijednošću S.V. .

Ovi izrazi su tako funkcije S.V. I možemo izračunati njihove trenutke koristeći distribuciju S.V. .

Uslovna distribucija koriste se u mnogim aktuarskim modelima, a to vam omogućuje direktno primijeniti formule ispuštene gore. U našem modelu. S obzirom na S.V. AS i S.V. U kvaliteti, dobiti

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

i razmotrite uvjetna matematička očekivanja

(2.16)

(2.17)

Formule (2.16) i (2.17) definiraju se kao funkcija iz S.V. Šta se može zabilježiti u obliku sljedeće formule:

Od kada, onda (2.21)

Jer imamo (2,22)

Formule (2,21) i (2,22) mogu se kombinirati: (2,23)

Dakle, (2,24)

Zamjena (2,21), (2,20) i (2,24) u (2.12) i (2.13), dobivamo

Primijenite dobijene formule za izračunavanje i primjer automobilskog osiguranja (Sl. 2.2). Od funkcije gustoće S.V. Pod stanjem izražava se formula

Štaviše P (B \u003d 2000 | I \u003d 1)\u003d 0,1, imamo

Konačno, verovati TUŽILAC WHITING - PITANJE: \u003d 0,15, iz formula (2,25) i (2,26) dobit ćemo sljedeće jednakosti:

Opisati drugu situaciju u osiguranju, za S.V. mogu se ponuditi i drugi modeli. .

Primjer: model za broj smrti kao rezultat zrakoplovnih katastrofa

Kao primjer razmotrite model za broj smrtnih slučajeva koji su se dogodili kao rezultat zrakoplovne katastrofe u jednogodišnjem periodu aktivnosti aviokompanije.

Možemo započeti s slučajnim varijablom koja opisuje broj smrti za jedan let, a zatim sakupite takve slučajne varijable na svim letovima godišnje.

Za jedan let događaja označaće početak pada zrakoplova. Broj smrtnih slučajeva koji je uzrokovao ovu katastrofu bit će zastupljen proizvodom dvije nasumične varijable i, gdje - koeficijent opterećenja zrakoplova, tj. Broj osoba na brodu u vrijeme nesreće zrakoplova, i udio smrti među Oni koji su bili na brodu.

Čini se da je broj smrti upravo na ovaj način, jer su zasebne statistike za vrijednosti i pristupačnije od statistike za S.V. . Dakle, iako su udio fatalnih ishoda među onima koji su bili na brodu, a broj osoba na brodu vjerojatno su povezani jedni s drugima, kao prvu aproksimaciju, može se pretpostaviti da je S.V. I nezavisno.

Količina nezavisnih slučajnih varijabli

U modelu pojedinačnih rizika, plaćanja osiguranja koju osiguravaju osiguravajuće društvo predstavljene su kao iznos plaćanja mnogim pojedincima.

Podsjetite dvije metode za određivanje raspodjele količine neovisnih nasumičnih varijabli. Razmislite o prvom zbroju dvije nasumične varijable, od kojih se selektivni prostor prikazuje na slici. 3.1.

Sl. 2.3.1. Događaj

Direktno i područje pod ovim direktnim je događaj. Stoga, distributivna funkcija S.V. S. Ima obrazac (3.1)

Za dvije diskretne negativne slučajne varijable možemo koristiti punu formulu vjerojatnosti i zapisati (3.1) kao

Ako a X. i Y. Nezavisni, posljednji iznos može se prepisati kao

(3.3)

Značajka vjerojatnosti koja odgovara ovoj funkciji distribucije može se naći formulom

(3.4)

Za neprekidne negativne slučajne varijable formula, odgovaraju formulama (3.2), (3.3) i (3.4), su

Ikad sami ili obje slučajne varijable X. i Y. Imajte mješovitu raspodjelu tipa (koja je tipična za modele pojedinačnih rizika), formule su slične, ali glomazno. Za nasumične varijable koje mogu uzeti i negativne vrijednosti, iznosi i integrali u gore navedenim formulama prenose se na sve vrijednosti od do.

U teoriji vjerojatnosti, operacija u formulama (3.3) i (3.6) naziva se konvolucijom dvije distribucijske funkcije i naznačeno je. Konvolucionarna operacija može se definirati i za par funkcija vjerojatnosti ili funkcija gustoće s formulama (3.4) i (3.7).

Da bi se utvrdila iznos iznos više od dvije slučajnih varijabli, možemo koristiti iteracije u iznošenju sa konvolu. Za , gdje su neovisne nasumične vrijednosti, označava funkciju distribucije S.V., a je funkcija distribucije S.V. , dobićemo

Primjer 3.1 ilustrira ovaj postupak za tri diskretne slučajne varijable.

Primjer 3.1. Slučajne varijable i neovisne i imaju distribucije koje su određene stupovima (1), (2) i (3) tablice u nastavku.

Odbijamo funkciju vjerojatnosti i funkciju distribucije S.V.

Odluka. Tablica koristi oznake unesene ispred primjera:

U stupcima (1) - (3) sadrži dostupne informacije.

Stupac (4) dobiva se iz stupaca (1) i (2) koristeći (3.4).

Stupac (5) dobiva se iz stupaca (3) i (4) koristeći (3.4).

Definicija stupca (5) dovršava pronalazak funkcija vjerojatnosti za S.V. . Njegova distribucija funkcija u stupcu (8) je skup zbirnih kolumnih sija (5), počevši od gore navedenog.

Za jasnoću, uključili smo stupac (6), distribucijsku funkciju za stupac (1), stupac (7), koji se može dobiti direktno iz stupaca (1) i (6), a nanošenje (8) (8) ), definirano slično, u stupcima (3) i (7). Stupac (5) može se odrediti iz stupca (8) prema uzastopnim oduzimanjem.

Okrenimo se na razmatranje dva primjera sa kontinuiranim nasumičnim vrijednostima.

Primjer 3.2. Pusti S.V. Ima jednoliku distribuciju u intervalu (0,2), a pusti S.V. ne ovisi o S.V. i ima jednoliku distribuciju u intervalu (0,3). Odredite funkciju distribucije S.V.

Odluka. Od distribucija S.V. I kontinuirano, koristimo formulu (3.6):

Onda

Selektivni prostor S.V. i ilustrirana smokva. 3.2. Pravougaoni prostor sadrži sve moguće parove i. Događaj koji vas zanima ,, prikazan na slici za pet vrijednosti s..

Za svaku vrijednost, ravna linija prelazi osovinu Y. U točki S. I ravno u trenutku. Vrijednosti funkcije za ovih pet slučajeva opisane su sljedećom formulom:

Sl. 3.2. Rezanje dva jednolična distribucija

Primjer 3.3. Razmotrite tri nezavisna S.V. . Za S.V. Ima indikativnu distribuciju i. Pronađite funkciju gustoće S.V. , primjenjujući operaciju salonosti.

Odluka. Imati

Iskorištavanje formule (3,7) tri puta, dobivamo

Druga metoda za određivanje raspodjele količine nezavisnih nasumičnih varijabli zasniva se na jedinstvenosti generirajuće funkcije trenutnih trenutaka, koji za S.V. određeno omjerom .

Ako je ovo matematičko očekivanje naravno za sve T. Iz nekog otvorenog intervala koji sadrži podrijetlo koordinata, to je jedina metoda distribucije S.V. distribucije U smislu da nema druge funkcije koja bi bila proizvodnja funkcije distribucije S.V. .

Ova jedinstvenost može se koristiti na sljedeći način: za iznos

Ako je nezavisno, matematičko očekivanje rada u formuli (3.8) jednako je jednako ..., tako da

Pronalaženje eksplicitnog izražavanja za jedinu distribuciju koja odgovara generiranju funkcija trenutaka (3.9), završila bi temelj distribucije S.V. . Ako ga nije moguće izričito odrediti, moguće je ga pretražiti numeričkim metodama.

Primjer 3.4.. Razmislite o nasumičnim varijablama od primjera 3.3. Odredite funkciju gustoće S.V. Korištenje funkcije proizvodnje momenata S.V. .

Odluka. Prema jednakosti (3.9), Šta se može napisati u obliku Sa metodom raspadanja na najjednostavnijem frakciji. Odluka je . Ali to je funkcionalna funkcija indikativne distribucije s parametrom, tako da funkcija gustoće S.V. Ima izgled

Primjer 3.5.. U istraživanju slučajnih procesa uvedena je inverzna Gaussova distribucija. Koristi se kao distribucija S.V. U, Isplate osiguranja. Funkcija gustoće i funkcioniranje momenata obrnutog Gaussove distribucije određuju se formulama

Pronađite distribuciju S.V. gde S.V. Nezavisno i imaju iste inverzne gassove distribucije.

Odluka. Iskorištavanje formule (3.9), dobivamo sljedeći izraz za proizvodnu funkciju S.V. :

Funkcije generiranja momenata odgovaraju jedinoj distribuciji, a možete osigurati da ima inverzu Gaussovu distribuciju s parametrima i.

Aproksimacija za distribuciju iznosa

Central Limit Theorem pruža metodu za pronalaženje numeričkih vrijednosti za distribuciju iznosa neovisnih slučajnih varijabli. Obično se ta teorema formulira za iznos neovisnih i jednako raspoređenih slučajnih varijabli, gde .

Za bilo koji N distribuciju S.V. gde \u003d. ima matematičko čekanje 0 i disperziju 1. Kao što znate, slijed takvih distribucija (kada n.\u003d 1, 2, ...) ima tendenciju standardnoj normalnoj distribuciji. Kada N. Veliko Ova teorema koristi se za donošenje distribucije S.V. Normalna distribucija sa prosekom μ i disperzija. Slično tome, distribucija iznosa n. Slučajne varijable približavaju se normalnoj distribuciji sa medijom i disperzijom.

Učinkovitost takve apropatnosti ne ovisi ne samo o broju komponenti, već i iz blizine raspodjele komponenata u normalu. U mnogim elementarnim tečajevima, naznačeno je da n treba biti najmanje 30 kako bi približavala razumna.

Međutim, jedan od programa za generiranje normalno raspoređenih nasumičnih varijabli koje se koriste u modeliranju imitacije implementira normalnu slučajnu vrijednost u obliku srednjeg 12 nezavisno raspoređenih u intervalu (0,1) slučajnih varijabli.

U mnogim modelima pojedinačnih rizika, nasumične varijable uključene u iznos nisu jednako distribuirane. Ovo će biti ilustrirani primjerima u sljedećem odjeljku.

Central Limit Teorem se proteže i na redoslijed nejednakih distribuiranih nasumičnih varijabli.

Da bismo ilustrirali neke primjene pojedinačnih rizika, koristit ćemo normalnu aproksimaciju distribucije iznosa neovisnih nasumičnih varijabli za dobivanje numeričkih rješenja. Ako a T.

i dalje, ako je S.V. Nezavisno, T.

Za aplikaciju koja se razmatra, treba nam samo:

• pronađite medij i disperziju slučajnih varijabli koje simuliraju pojedinačne gubitke,
• sažeti ih kako bi se dobio medij i disperziju gubitka osiguravajućeg društva u cjelini
• iskoristite normalnu približavanje.

Ispod ilustrujemo ovaj niz akcija.

Prilozi osiguranju

U ovom su odjeljku četiri primjera ilustriraju upotrebu normalne aproksimacije.

Primjer 5.1. Kompanija za život osiguranja nudi ugovor o osiguranju za smrt u periodu od jedne godine s isplatama veličine 1 i 2 prema osobama čija je vjerovatnoća smrti 0,02 ili 0,01. Tablica u nastavku prikazuje broj osoba. NK. U svakoj od četiri klase formirane u skladu s plaćanjem b K. i verovatnoću osiguranog događaja q k:

Osiguravajuće društvo želi prikupiti iz ove grupe od 1.800 osoba iznos jednak 95. postotku raspodjele ukupnog iznosa plaćanja osiguranja za ovu grupu. Pored toga, želi da udio svake osobe u ovom iznosu bude proporcionalna očekivanoj veličini plaćanja osiguranja za ovu osobu.

Udio osobe s brojem, prosječno plaćanje, treba biti jednako, treba biti. Od zahtjeva 95. postojana to slijedi. Veličina prekoračenja, predstavlja naknadu za rizik i naziva se relativno uz nadoplatu rizika. Broj računa.

Odluka. Vrijednost je određena omjerom \u003d 0,95, gdje S \u003d x 1 + x 2 + ... + x 1800.Ova izjava o vjerojatnosti ekvivalentna je sljedećem:

U skladu s onim što je spomenuto u odjeljku Central Liction Teorem u odjeljku. 4, približavamo distribuciju S.V. Standardna normalna distribucija i iskoristite svoj 95. postotak, odakle imamo:

Za četiri klase kojima su osiguratelji razbijeni, dobivamo sljedeće rezultate:

Na ovaj način,

Zbog toga je doplata relativnog rizika jednaka

Primjer 5.2. Kupci kompanije koji se bave osiguranjem automobila distribuiraju se u dvije klase:

Skraćena indikativna distribucija određena je funkcijama distribucije

Ovo je distribucija mješovite vrste s funkcija gustoće i "gomila" vjerojatne mase u točki L.. Grafikon ove distribucijske funkcije prikazan je na slici.5.1.

Sl. 5.1. Skraćena indikativna distribucija

Kao i prije, vjerojatnost da ukupni iznos plaćanja osiguranja premašuje iznos prikupljeni od osiguranika, treba biti jednak 0,05. Pretpostavljamo da doplata relativnog rizika mora biti ista u svakom od dva razreda u pitanju. Izračunati.

Odluka. Ovaj je primjer vrlo sličan prethodnom. Jedina razlika je da su iznosi plaćanja osiguranja sada slučajnu vrijednosti.

Prvo dobijamo izraze za trenutke skraćene indikativne distribucije. Ovo će biti pripremni korak za upotrebu formula (2,25) i (2,26):

Iskoristite vrijednosti podataka parametara u stanju i koristeći formule (2,25) i (2,26), dobivamo sljedeće rezultate:

Dakle, S., ukupan iznos plaćanja osiguranja ima trenutke

Uvjet za utvrđivanje ostaje isto kao u primjeru 5.1, naime,

Iskorištavanje aproksimacije s normalnom distribucijom, dobivamo

Primjer 5.3. Portfelj osiguravajućeg društva uključuje 16.000 ugovora o osiguranju smrti za godinu dana prema sljedećoj tablici:

Vjerojatnost pojave osiguranog događaja Q za svako od 16.000 klijenata (ovi događaji namijenjeni su međusobno neovisnim) jednakim od 0,02. Kompanija želi da postavi nivo vlastitog zadržavanja. Za svakog osiguranika, nivo vlastitog zadržavanja je iznos plaćanja u nastavku za koju ova kompanija (CEDEnti kompanija) vrši samostalno, a plaćanja superiorna od ove vrijednosti pokrivena su ugovor o reosiguranju druge kompanije (reosiguratelja).

Na primjer, ako je nivo vlastitog holdinga 200.000, tada zadržava pokriće iznosa do 20.000 za svakog osiguranika i kupuju reosiguranje za pokrivanje razlike između plaćanja osiguranja i iznosa za svaki od 4500 osiguranika, osiguranja plaćanja za koja su superiorna od iznosa od 20.000.

Kao kriterij za donošenje odluke, iznosi minimiziranje vjerojatnosti da će isplate osiguranja ostaviti na vlastitom odbitku, plus iznos koji se plaća za reosiguranje premašit će iznos od 8.250.000. Troškovi reosiguranja 0,025 po jedinici (tj. 125% od Očekivana veličina plaćanja osiguranja po jedinici 0,02).

Vjerujemo da je portfelj u pitanju zatvoren: novi ugovori o osiguranju zaključeni tokom tekuće godine neće se uzeti u obzir u opisanom procesu donošenja odluka.

Djelomično rješenje. Prvo provodim sve izračune odabirom plaćanja 10.000 po jedinici. Kao ilustraciju, pretpostavljamo. u. S. To je iznos plaćanja koji su ostavljeni na vlastitom zadržavanju, ima sljedeći obrazac:

Na ove isplate osiguranja ostavljene na vlastitom odbitku, S.Dodaje se iznos premije za reosiguranje. Ukupno, ukupna količina premaza prema takvoj shemi je

Iznos koji je ostavljen na vlastitom odbitku jednak je

Dakle, ukupna obnovljena vrijednost je 35.000-24.000 \u003d 11.000, a troškovi reosiguranja je

To znači da je na nivou vlastitog odbitka, jednak 2, isplate osiguranja ostavljene na vlastiti odbitak plus troškovi reosiguranja. Kriterij odlučivanja zasnovan je na vjerojatnosti da će ovaj ukupni biti veći od 825,

Koristeći normalnu distribuciju, dobivamo da je ta vrijednost približno jednaka 0,0062.

Prosječne vrijednosti plaćanja osiguranja za osiguranje pretera nevoljetnosti, kao jedno od vrsta reosiguranja, mogu se približiti korištenjem normalne distribucije kao raspodjele općih plaćanja osiguranja.

Neka opće plaćanje osiguranja X imaju normalnu distribuciju srednjom i disperzijom

Primjer 5.4. Razmotrite portfelj osiguranja, kao u primjeru 5.3. Naći ćemo matematičko očekivanje iz iznosa plaćanja osiguranja u ugovoru o osiguranju za pretjerano neprofiniteljivost, ako

(a) Individualno reosiguranje je odsutno i bezuvjetna franšiza je postavljena na 7.500.000

(b) Svojena zadržavanja uspostavljena je u iznosu od 20.000 prema individualnim ugovorima o osiguranju, a veličina bezuslovne franšize na portfelju je 5.300.000.

Odluka.

(a) U nedostatku individualnog reosiguranja i u prijelazu na 10.000 kao monetarna jedinica

upotreba formule (5.2) daje

ovo je iznos od 43.770 u izvornim jedinicama.

(b) U primjeru 5.3, dobili smo prosjek i disperziju ukupnog iznosa plaćanja osiguranja pod pojedinačnim nivoom njihovog zadržavanja 20.000, jednako 480 i 784, ako smatramo 10.000 kao jedinicu. Dakle, \u003d 28.

upotreba formule (5.2) daje

koliki je iznos od 4140 u izvornim jedinicama.

U praksi je često potrebno pronaći zakon distribucije slučajnih varijabli.

Neka postoji sistem (X B x 2) Dva kontinuirana s. u. I njihovu sumu

Pronađite gustoću distribucije sa. u. W. U skladu s općim rješenjem prethodnog stava, nalazimo područje aviona gdje x + x 2 (Sl. 9.4.1):

Razlikujući ovaj izraz na y, dobivamo p. R. Slučajna varijabla Y \u003d x + x 2:

Budući da je funkcija f (x b x 2) \u003d xj + x 2 simetrična o svojim argumentima,

Ako sa. u. H. i H. 2 Pregledano, zatim formule (9.4.2) i (9.4.3) pogledat će:

U slučaju kada je neovisan. u. X. i X 2 Oni govore o sastavu zakona distribucije. Proizvesti sastav Dva zakona o distribuciji - znači pronaći zakon distribucije zbroja dvoje neovisnih. c., distribuiran u skladu sa ovim zakonima. Primjenjuje se simbolički snimak za označavanje zakona o distribuciji

što se u suštini odnosi na formule (9.4.4) ili (9.4.5).

Primjer 1. Rad dva tehničkih uređaja smatra se (TU). Prvo, tuva radi nakon njegovog neuspjeha (neuspjeh) je uključen u rad tu 2. Vremena nevolje bez problema koja je b tu 2 - X. i H. 2 - nezavisno i distribuirano u pogledu indikativnih zakona s parametrima a, 1 i X 2. Stoga je vrijeme Y. Promišljeni posao koji se sastoji od toga! i da će 2 biti određena formulom

Zahtijeva da pronađe p. R. Slučajna varijabla Y, I.E. Sastav dva demonstrativna zakona s parametrima i X 2.

Odluka. Prema formuli (9.4.4) dobivamo (na\u003e 0)

Ako postoji sastav dva demonstracijska zakona s istim parametrima (? C \u003d H. 2 \u003d Y), a zatim u izrazu (9.4.8) ispada neizvjesnost tipa 0/0, otkrivajući koji dobivamo:

Upoređujući ovaj izraz s izrazom (6.4.8), uvjereni smo da sastav dva identična indikativna zakona (? C \u003d H. 2 = X)to je zakon Erlang drugog reda (9.4.9). Sa sastavom dva demonstracijska zakona sa različitim parametrima X. i-2 get generalizirani zakon Erland Drugi red (9.4.8). ?

Zadatak 1. Zakon distribucije razlike između dva s. u. Sistem sa. u. (X i x 2) Ima zajednički str.: / (X b x 2). Pronađite str. R. Njihova razlika Y \u003d x. - X 2.

Odluka. Za sistem sa. u. (X B - X 2) itd. biće / (x b - x 2) I.E., zamijenili smo razliku. Shodno tome, str. R. Izgubljena će se slučajna varijabla (vidi (vidi (9.4.2), (9.4.3)):

Ako a od. u. X xi 2 Nezavisno, T.

Primjer 2. Pronađite str. R. Razlika dva samostalno raspoređena. u. Sa parametrima X. i X 2.

Odluka. Formulom (9.4.11) Dobijamo

Sl. 9.4.2 Sl. 9.4.3.

Slika 9.4.2 prikazuje str. R. g. (y). Ako je razlika između dva neovisno distribuirala s. u. sa istim parametrima (A-i= H. 2 = Ali,),to g. (y) \u003d / 2 - već poznato

lapusni zakon (Sl. 9.4.3). ?

Primjer 3. Pronađite zakon distribucije zbroja dvoje neovisnih. u. H. i X 2 distribuirani zakonom Poissona sa parametrima a H. i a 2.

Odluka. Pronađite vjerojatnost događaja (X. + H. 2 = t) (t \u003d 0, 1,

Prema tome, sa. u. Y \u003d x x + H. 2 Distribuiran zakonom Poissona sa parametrom i x2) - i x + a 2. ?

Primjer 4. Pronađite količinu distribucije zbroja dva neovisna. u. X. i X 2 distribuirani binskim zakonima sa parametrima p X R 2, R Respektivno.

Odluka. Zamislite sa. u. X. kao:

gde X 1) - Indikator događaja Ali WU "-M iskustvo:

Red distribucije sa. u. X, - ima obrazac

Napravit ćemo sličan zastupljenost za str. u. X 2:gdje je x] 2) - indikator događaja Ali U "iskustvu:

Otuda,

gde je x? 1) + (2) ako indikator događaja Ali:

Tako smo to pokazali. u. Uzmi zbroj (sh + p 2) Indikatori događaja AliOdakle to slijedi. u. ^ distribuira se binomnim zakonom sa parametrima ( p. + p 2), r.

Imajte na umu da ako vjerojatnosti r U raznim serijama eksperimenata različite su, tada kao rezultat dodavanja dva neovisna sa. c., distribuirati binskim zakonima, sa čime će raditi. c., distribuiran ne binomnim zakonom. ?

Primjeri 3 i 4 lako se sažeti na proizvoljni broj pojmova. Sa sastavom zakona Poissona sa parametrima kommersant 2, ..., t. opet zakon poissona sa parametrom a (t) \u003d A X + A 2 + ... + a t.

Sa sastavom binualnih zakona sa parametrima (n b); (I 2, r) , (NT, R) opet pokazuje binomni zakon sa parametrima ("("), R), Gde p (t) \u003d sh + n 2 + ... + pt

Dokazali smo važna svojstva Zakona o Poissonu i binomnom zakonu: "Vlasništvo održivosti". Zakon o distribuciji se zove održiv Ako sa sastavom dva zakona iste vrste dobije se zakon iste vrste (samo se parametri ovog zakona razlikuju). U pododjeljku 9.7 pokazat ćemo da normalan zakon ima istu imovinu stabilnosti.

Koristimo gornju opću metodu za rješavanje jednog problema, naime, da bismo pronašli zakon distribucije zbroja dve slučajne varijable. Postoji sistem dvije nasumične varijable (x, y) s gustoćom distribucije F (x, y). Razmotrite zbroj slučajnih varijabli X i Y: I mi ćemo pronaći vrijednost raspodjele vrijednosti Z. Za ovo, izgrađujemo na Xou linijskoj ravnini, jednadžbe od koje (Sl. 7). Ovo je ravna linija koja se prekida na osi segmenata jednakim z. Direktan dijeli ravninu kako u dva dijela; pravo i iznad njega; Lijevo i niže.

Region D u ovom slučaju je lijevi donji dio Xou aviona, zasjenjen na slici. 7. Prema formuli (16) imamo:

Razlikovanje ovog izraza na varijabli z, koji je uključen u gornju granicu unutarnjeg integralnog integrala, dobivamo:

Ovo je opća formula za gustinu distribucije zbroja dve slučajne varijable.

Za razmatranja simetrije, zadatak je u odnosu na X i Y, možete napisati drugu varijantu iste formule:

što je jednako prvo i može se primijeniti umjesto toga.

Primjer sastava normalnih zakona. Razmotrite dvije nezavisne slučajne varijable x i y, podređene normalnim zakonima:

Potrebno je napraviti sastav ovih zakona, I.E., pronađite zakon distribucije vrijednosti :.

Primijenite opću formulu za sastav zakona o distribuciji:

Ako otkrijete zagrade u pokazatelju stupnja integrirane funkcije i donosite slične članove, dobivamo:

Zamjena ovih izraza u formuli koja se već pojavljuje

nakon transformacije, dobivamo:

i to nije ništa drugo nego normalan zakon sa centrom za rasipanje

i odstupanje od RMS-a

Pored toga, zaključak može biti znatno lakši sa sljedećim kvalitativnim rezonovanjem.

Bez otvaranja zagrada i ne proizvodi transformacije u funkciji Integrand (17), odmah smo došli do zaključka da je pokazatelj diplome kvadratni tri odluke u odnosu na X Tip

tamo gdje u koeficijentu i vrijednost z uopće nije uključena u koeficijent u prvom stepenu, a u koeficijentu C - na trgu. Imajući to u vidu i primjenu formule (18), dolazimo do zaključka da je G (z) indikativna funkcija, pokazatelj stupnja je kvadrat tri smanjenje u odnosu na Z i gustoću distribucije; Ova vrsta odgovara normalnom zakonu. Dakle, mi; Dolazimo na čisto kvalitetan zaključak: Dozvole Z moraju biti normalne. Da biste pronašli parametre ovog zakona - i - Koristimo teoremu za dodavanje matematičkih očekivanja i dodavanje disperzije. Formiranjem formiranja matematičkih očekivanja. Dodavanjem disperzijskog teoreme ili odakle slijedi formulu (20).

Pretvaranje od standardnih odstupanja na vjerovatne odstupanja proporcionalna im, dobivamo:.

Stoga smo došli do sljedećeg pravila: sa sastavom normalnih zakona, ponovo se dobija normalan zakon, a matematička očekivanja i disperzija (ili trgovi vjerovatne odstupanja) sažeti su.

Pravilo sastava normalnih zakona može se generalizirati u slučaju proizvoljnog broja nezavisnih slučajnih varijabli.

Ako postoje n nezavisne slučajne varijable: podređene u normalne zakone sa disperzijskim centrima i odstupanjima od RMS-a, tada je vrijednost također podređena normalnom zakonu s parametrima

Umjesto formule (22), moguće je primijeniti formulu ekvivalent:

Ako se sistem slučajnih varijabli (X, Y) distribuira prema normalnom zakonu, ali vrijednosti X, y ovise su, nije teško dokazati, baš kao i prije, na osnovu opće formule (6.3. 1) da je zakon distribucije vrijednosti takođe normalan zakon. Disperzijski centri su još uvijek algebarjski, ali za standardna odstupanja, pravilo postaje složenije :, gdje je R je koeficijent korelacije X i Y.

Kada dodajete nekoliko ovisnih slučajnih varijabli podređenih u normalnom zakonu, zakon distribucije iznosa također se ispostavlja normalan s parametrima

ili u vjerovatnim odstupanjima

gdje je koeficijent korelacije X I, X J i sažet primjenjuje se na sve različite parove kombinacija veličine.

Uvjereni smo na vrlo važno svojstvo normalnog zakona: sa sastavom normalnih zakona, normalan zakon se ponovo dobije. Ovo je takozvana "imovina održivosti". Zakon o distribuciji naziva se održivim, ako se sastav iste vrste ponovo dobiva sa sastavom dva zakona ove vrste. Gore, pokazali smo da je normalan zakon stabilan. Vlasništvo održivosti vrlo je malo zakona distribucije. Zakon jednoobrazne gustoće je nestabilan: sa sastavom dva zakona jednoobrazne gustoće na parcelama od 0 do 1, dobili smo Simpson zakon.

Održivost uobičajenog zakona jedan je od bitnih uslova za raširenu u praksi. Međutim, neki drugi zakoni o distribuciji imaju vlasništvo stabilnosti, osim normalnog. Posebnost normalnog zakona je da se sa sastavom dovoljno velikog broja praktički proizvoljnih zakona distribucije, pokazuje da je ukupni zakon proizvoljno blizak normalno, bez obzira da li su zakoni distribucije komponenti. To se može ilustrirati, na primjer, izrada sastava tri zakona jednoobrazne gustoće u područjima od 0 do 1. Rezultirajuća transakcija G (z) prikazana je na slici. 8. Kao što se može vidjeti sa crteža, grafikon funkcije G (z) vrlo podsjeća raspored normalnog zakona.