Trouvez la distribution de la somme de deux variables aléatoires. La loi de la distribution de la somme de deux variables aléatoires

1) c + d ≤ z ≤ a + d. Puis

2) a + D ≤ Z ≤ B + C. Puis

3) b + C ≤ Z ≤ A + B. Puis

Une telle distribution s'appelle la loi de Simpson. À la Fig.8, 9 représente les graphiques de la densité de distribution de SV de=0, rÉ.=0.

Nous utilisons la méthode générale ci-dessus pour résoudre un problème, à savoir, pour trouver la loi de la distribution de la somme de deux variables aléatoires. Il existe un système de deux variables aléatoires (x, y) avec la densité de distribution F (x, y).

Considérons la somme des variables aléatoires X et Y: Et nous trouvons la valeur de la distribution de Z .. Pour ce faire, nous construirons sur le plan de ligne Xou, dont l'équation (Fig. 6.3.1). Ceci est une ligne droite qui coupe les axes de segments égaux à z. Droit divise le plan XOW en deux parties; Le droit et au dessus de cela ; Gauche et plus bas

La région D dans ce cas est la partie inférieure gauche du plan XOU, ombragée de la Fig. 6.3.1. Selon la formule (6.3.2), nous avons:

Il s'agit d'une formule générale pour la densité de distribution de la somme de deux variables aléatoires.

Pour des considérations de symétrie, la tâche est relative à X et Y, vous pouvez écrire une autre variante de la même formule:

Il est nécessaire de faire une composition de ces lois, c'est-à-dire trouver la loi de la distribution de la valeur :.

Appliquez la formule générale pour la composition des lois de distribution:

Substituer ces expressions dans la formule déjà survenant

et ce n'est qu'une loi normale avec un centre de diffusion

En outre, la conclusion peut être significativement plus facile avec le raisonnement qualitatif suivant.

Sans parenthèses révélant et non transformations dans la fonction d'intégrande (6.3.3), nous arrivons immédiatement à la conclusion que l'indicateur est carré trois décisions relatives au type X

où dans le coefficient et la valeur z n'est pas incluse du tout, dans le coefficient du premier degré et dans le coefficient C - dans le carré. Avec cela à l'esprit et appliquer une formule (6.3.4), nous arrivons à la conclusion que g (z) il existe une fonction indicative, dont l'indicateur est une diminution carrée trois diminue par rapport à Z et la densité de distribution; Cette espèce correspond à la loi normale. Ainsi, nous; Nous arrivons à une conclusion purement de qualité: les autorisations de Z doivent être normales. Trouver les paramètres de cette loi - et - Nous utilisons la formation de l'ajout d'attentes mathématiques et de l'ajout de dispersions. Par la formation de la formation d'attentes mathématiques . Par addition de théorème de dispersion ou alors D'où la formule (6.3.7) suit.

S'absenter des écarts types à proportionnels aux écarts probables, nous obtenons:
.

Ainsi, nous sommes arrivés à la règle suivante: avec la composition des lois normales, une loi normale est obtenue à nouveau et les attentes mathématiques et la dispersion (ou les carrés des écarts probables) sont résumées.

La règle de la composition des lois normales peut être généralisée en cas de nombre arbitraire de variables aléatoires indépendantes.

S'il existe n variables aléatoires indépendantes: subordonnées à des lois normales avec des centres de dispersion et des écarts RMS, la valeur est également subordonnée à la loi normale avec des paramètres

Si le système de variables aléatoires (X, Y) est distribué en fonction d'une loi normale, mais les valeurs de X, y sont dépendantes, il n'est pas difficile de prouver, tout comme avant, sur la base de la formule générale (6.3. 1), que la loi de la répartition de la valeur est également une loi normale. Les centres de dispersion sont toujours algébriquement, mais pour les écarts types, la règle devient plus complexe: , où, r est le coefficient de corrélation de x et y.

Lors de l'ajout de plusieurs variables aléatoires dépendantes subordonnées à la loi normale, la loi de la distribution du montant s'avère également normale avec des paramètres.

où est le coefficient de corrélation de X I, X J et la sommation s'applique à toutes les paires de combinaisons de magnitude.

Nous avons été convaincus d'une propriété très importante d'une loi normale: avec la composition des lois normales, une loi normale est obtenue à nouveau. C'est la soi-disant "propriété de la durabilité". La loi de distribution s'appelle durable si la composition du même type est à nouveau obtenue avec la composition de deux lois de ce type. Ci-dessus, nous avons montré que la loi normale est stable. La propriété de la durabilité est très peu de lois de la distribution. La loi de la densité uniforme est instable: la composition de deux lois d'une densité uniforme sur les parcelles de 0 à 1, nous avons reçu la loi Simpson.

La durabilité de la loi normale est l'une des conditions essentielles à son caractère généralisé. Cependant, certaines autres lois de distribution ont la propriété de la stabilité, sauf normalité. La particularité de la loi normale est qu'avec une composition d'un nombre suffisamment important de lois sur la répartition pratiquement arbitraires, la loi totale s'avère arbitrairement proche de la normale, que les lois de la répartition des composants soient. Cela peut être illustré, par exemple, en faisant la composition de trois lois de densité uniforme dans les zones de 0 à 1. La transaction résultante G (Z) est décrite à la Fig. 6.3.1. Comme on peut le voir sur le dessin, le graphique de la fonction G (z) est très rappelé par un graphique d'une loi normale.

Un décideur peut utiliser une assurance pour réduire l'impact financier défavorable de certains types d'événements aléatoires.

Mais cette considération est très générale, car dans les décideurs, cela pourrait être impliqué comme une personne distincte à la recherche d'une protection contre les dommages causés par des biens, des économies ou des revenus et de la protection de la protection des mêmes dommages.

En fait, une telle organisation peut être une compagnie d'assurance qui cherche des moyens de se protéger des pertes financières en raison d'un grand nombre de demandes d'assurance survenues avec son client séparé ou avec son portefeuille d'assurances. Cette protection est appelée réassurance.

Considérer l'un des deux modèles (à savoir modèle de risques individuels) Largement utilisé dans la définition des taux d'assurance et des réserves, ainsi que dans la réassurance.

Dénoter S.l'ampleur des pertes aléatoires de la compagnie d'assurance pour une certaine partie de ses risques. Dans ce cas S.c'est une valeur aléatoire pour laquelle nous devons déterminer la répartition des probabilités. Historiquement, Distributions S.V. S.il y avait deux ensembles de postulats. Le modèle des risques individuels détermine S.de la manière suivante:

où s.v. Reconnaît les pertes causées par un objet d'assurance avec le nombre JE, mais n.indique le nombre total d'objets d'assurance.

On suppose généralement qu'ils sont des valeurs aléatoires indépendantes, car dans ce cas, des calculs mathématiques sont plus simples et non nécessaires sur la nature de la relation entre elles. Le deuxième modèle est un modèle de risque collectif.

Le modèle considéré de risques individuels ne reflète pas les changements de valeur de l'argent au fil du temps. Ceci est fait pour simplifier le modèle et c'est pourquoi le titre de l'article fait référence à un intervalle de temps court.

Nous ne considérerons que des modèles fermés, c'est-à-dire Ceux dans lesquels le nombre d'objets d'assurance N. Dans la formule (1.1), il est connu et enregistré au tout début de l'intervalle de temps considéré. Si nous introduisons des hypothèses sur la présence de migration de ou dans le système d'assurance, nous obtenons un modèle ouvert.

Variables aléatoires décrivant les paiements individuels

Nous rappelons d'abord les dispositions de base concernant l'assurance-vie.

En cas d'assurance en cas de décès pendant un an, l'assureur s'engage à payer le montant b.Si le preneur d'assurance meurt tout au long de l'année à compter de la date de la conclusion du contrat d'assurance et ne paie rien si l'assuré vivra cette année.

La probabilité de l'occurrence de l'événement assuré au cours de l'année spécifiée est indiquée par.

La valeur aléatoire décrivant les paiements d'assurance a une distribution pouvant être définie soit par fonction de probabilité.

(2.1)

soit la fonction de distribution correspondante

(2.2)

De la formule (2.1) et de la détermination des moments que nous obtenons

(2.4)

Ces formules peuvent également être reçues par écrit X.comme

où est la valeur constante versée en cas de décès et est une valeur aléatoire qui prend la valeur 1 à la survenue de la mort et de 0 sinon.

Alors, et et la valeur moyenne et la dispersion s.v. égal et, en conséquence, la valeur moyenne et la dispersion s.v. égal et, ce qui coïncide avec les formules écrites ci-dessus.

La valeur aléatoire avec la zone de valeurs (0,1) est largement utilisée dans les modèles actuariels.

Dans les manuels de la théorie de la probabilité, on l'appelle indicateur, bernoullievskaya aléatoire Valeur ou binomial variable aléatoire Dans le seul schéma de test.

Nous l'appellerons indicateurpour des considérations de brièveté, et aussi parce qu'elle indique une offensive ou non une offensive, l'événement à l'étude.

Passons à la recherche de modèles plus généraux dans lesquels le montant des paiements d'assurance est également une valeur aléatoire et plusieurs événements assurés peuvent survenir dans l'intervalle de temps considéré.

L'assurance en cas de maladie, d'assurance automobile et d'autres types de biens, ainsi que l'assurance responsabilité civile fournit immédiatement de nombreux exemples. Résumant la formule (2.5), mettre

où est une valeur aléatoire décrivant les paiements d'assurance dans l'intervalle de temps considéré, à l'intervalle Indique la quantité totale de paiements dans cet intervalle et s.v. C'est un indicateur pour un événement composé de ce qui s'est produit au moins un cas assuré.

Être indicateur d'un tel événement, s.v. Corrige la disponibilité () ou absence () Les cas d'assurance dans cet intervalle de temps, mais pas le nombre de cas assurés dedans.

La probabilité continuera d'être notée.

Discutons de plusieurs exemples et déterminons la distribution de variables aléatoires et dans certains modèles.

Nous considérons d'abord une assurance en cas de décès pour une période d'un an avec un paiement supplémentaire, si la mort est venue à la suite d'un accident.

Pour définir la définition, supposons que si la mort s'est produite à la suite d'un accident, le montant du paiement sera de 50000. Avec la mort, selon d'autres raisons, le montant du paiement sera de 25 000.

Supposons que pour le visage de cet âge, l'état de la santé et de la profession, la probabilité de décès résultant d'un accident au cours de l'année est de 0,0005, et la probabilité de mort pour d'autres raisons est de 0,0020. La formule ressemble à ceci:

Somme à toutes les valeurs possibles, nous obtenons

,

Distribution conditionnelle avec. dans. à condition qu'il semble

Nous considérons maintenant l'assurance des voitures à partir de collisions (une indemnité est versée au propriétaire de la voiture pour les dommages causés par sa voiture) avec l'ampleur de la franchise inconditionnelle 250 et avec le montant maximal de paiement 2000.

Pour plus de clarté, supposons que la probabilité de l'occurrence d'un événement assuré au cours de la période considérée pour une personne particulière soit de 0,15, et la probabilité de la survenue de plus d'une collision est nulle:

, .

Une hypothèse irréaliste que cela ne peut avoir plus d'un cas d'assurance peut survenir pendant une période, il est fait afin de simplifier la distribution de S.V. .

Nous refuserons cette hypothèse dans la section suivante après avoir examiné la distribution du montant de plusieurs événements assurés.

Comme il s'agit de la quantité de paiement de l'assureur et non des dommages causés par la voiture, nous pouvons considérer deux caractéristiques et.

Premièrement, l'événement comprend ces collisions dans lesquelles les dommages sont inférieurs à la franchise inconditionnelle, égale à 250.

Deuxièmement, la distribution de s.v. Il y aura un "bouquet" de masse probabiliste au maximum de paiements d'assurance, soit 2000.

Supposons que la masse probabiliste centrée à ce stade soit 0,1. Ensuite, supposons que la quantité de paiements d'assurance comprise entre 0 et 2000 puisse être simulée par une distribution continue avec la fonction de densité proportionnelle à (En pratique, une courbe continue, sélectionnée pour représenter la répartition des paiements d'assurance, résulte de l'étude du montant des paiements de la période précédente.)

Résumé de ces hypothèses sur la distribution conditionnelle de S.V. Situé, nous arrivons à la distribution d'un type mixte ayant une densité positive comprise entre 0 et 2000 et une "bouquet" de la masse probabiliste au point 2000. Ceci est illustré par le calendrier de la Fig. 2.2.1.

La fonction de distribution de cette distribution conditionnelle ressemble à ceci:

Fig.2.1. Fonction de distribution S.V. B Sous la condition i \u003d 1

Nous calculons les attentes et la dispersion mathématiques dans l'exemple de l'exemple de l'assurance automobile de deux manières.

Premièrement, nous allons diviser la distribution de S.V. Et nous l'utilisons pour calculer et. Désignant la fonction de distribution s.v. , avoir

Pour x.<0

C'est la distribution de type mixte. Comme le montre la Fig. 2.2, il a à la fois une "pochette" de la masse probabiliste au point 2000) et la partie continue. Cette fonction de distribution correspond à la combinaison de fonctions de probabilité.

Figure. 2.2. Fonction de distribution S.V. X \u003d ib.

et fonctions de densité

En particulier et . donc .

Il existe un certain nombre de formules qui lient des moments de variables aléatoires avec des attentes mathématiques conditionnelles. Pour les attentes mathématiques et pour la dispersion, ces formules sont

(2.10)

(2.11)

Il est entendu que les expressions dans les parties gauche de ces égales sont calculées directement par la distribution de S.V. . Lors du calcul des expressions dans les parties appropriées, à savoir la distribution conditionnelle de S.V. Avec une valeur fixe de S.V. .

Ces expressions sont donc des fonctions s.v. et nous pouvons calculer leurs moments en utilisant la distribution de s.v. .

Les distributions conditionnelles sont utilisées dans de nombreux modèles actuariels, ce qui vous permet d'appliquer directement les formules déchargées ci-dessus. Dans notre modèle. Considérant s.v. AS et S.V. En qualité, obtenez

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

et envisager des attentes mathématiques conditionnelles

(2.16)

(2.17)

Les formules (2.16) et (2.17) sont définies comme fonction de S.V. Ce qui peut être enregistré sous la forme de la formule suivante:

Depuis quand, alors (2.21)

Car nous avons (2.22)

Les formules (2.21) et (2.22) peuvent être combinées: (2.23)

Ainsi, (2.24)

Substitution (2.21), (2.20) et (2.24) dans (2.12) et (2.13), nous obtenons

Appliquez les formules obtenues pour calculer et dans l'exemple de l'assurance automobile (Fig. 2.2). Depuis la fonction de densité S.V. Sous la condition est exprimée par la formule

en outre P (b \u003d 2000 | i \u003d 1)\u003d 0,1, nous avons

Enfin, croyait Q. \u003d 0,15, des formules (2.25) et (2.26), nous recevrons les égalités suivantes:

Pour décrire une autre situation d'assurance, d'autres modèles peuvent être proposés pour S.V. .

Exemple: modèle pour le nombre de décès résultant de la catastrophe de l'aviation

À titre d'exemple, examinez le modèle du nombre de décès survenus à la suite d'une catastrophe d'aviation dans une période d'activité d'une année de la compagnie aérienne.

Nous pouvons commencer par une variable aléatoire décrivant le nombre de décès pour un vol, puis résumer de telles variables aléatoires sur tous les vols par an.

Pour un événement de vol fera l'apparition de l'accident d'avion. Le nombre de décès causés par cette catastrophe sera représenté par le produit de deux variables aléatoires et, où - le coefficient de la charge de l'aéronef, c'est-à-dire le nombre de personnes à bord au moment de l'accident de l'aéronef et la part de la mort parmi ceux qui étaient à bord.

Le nombre de décès semble être précisément de cette manière, car des statistiques séparées pour les valeurs et sont plus abordables que les statistiques de l'A.V. . Ainsi, bien que la part des résultats fatales entre ceux qui se trouvaient à bord et que le nombre de personnes à bord soient probablement liés les uns aux autres, en tant que première approximation, on peut supposer que l'A.V. Et indépendant.

Quantité de variables aléatoires indépendantes

Dans le modèle des risques individuels, les paiements d'assurance effectués par la compagnie d'assurance sont présentés comme le montant des paiements à de nombreuses personnes.

Rappelez-vous les deux méthodes de détermination de la distribution de la quantité de variables aléatoires indépendantes. Considérons d'abord la somme de deux variables aléatoires, dont l'espace sélectif est montré à la Fig. 3.1.

Figure. 2.3.1. Événement

Direct et région sous ce direct est un événement. Par conséquent, la fonction de distribution s.v. S. Il a la forme (3.1)

Pour deux variables aléatoires non négatives discrètes, nous pouvons utiliser la formule de probabilité complète et écrire (3.1) comme

Si un X. et Y. Indépendant, le dernier montant peut être réécrit comme

(3.3)

La fonction de probabilité correspondant à cette fonction de distribution peut être trouvée par la formule

(3.4)

Pour des variables aléatoires continues non négatives de formules, correspondant aux formules (3.2), (3.3) et (3.4), sont

Jamais seul ou les deux variables aléatoires X. et Y. Demandez à une distribution de type mixte (qui est typique des modèles de risques individuels), les formules sont similaires, mais plus lourdes. Pour les variables aléatoires pouvant également prendre des valeurs négatives, des quantités et des intégrales dans les formules ci-dessus sont prises sur toutes les valeurs de.

Dans la théorie de la probabilité, l'opération de formules (3.3) et (3.6) s'appelle une convolution de deux fonctions de distribution et est indiquée par. L'opération de convolutionnaire peut également être définie pour une paire de fonctions de probabilité ou des fonctions de densité avec des formules (3.4) et (3.7).

Pour déterminer le montant de la quantité de plus de deux variables aléatoires, nous pouvons utiliser les itérations de la prise de convolution. Pour , où ils sont des valeurs aléatoires indépendantes, indique la fonction de distribution S.V. et est la fonction de la distribution S.V. , nous aurons

Exemple 3.1 illustre cette procédure pour trois variables aléatoires discrètes.

Exemple 3.1. Variables aléatoires et indépendantes et ont des distributions déterminées par des colonnes (1), (2) et (3) du tableau ci-dessous.

Nous repoussons la fonction des probabilités et de la fonction de distribution S.V.

Décision. La table utilise les désignations entrées devant l'exemple:

Dans les colonnes (1) - (3) contient des informations disponibles.

La colonne (4) est obtenue à partir de colonnes (1) et (2) en utilisant (3.4).

La colonne (5) est obtenue à partir de colonnes (3) et (4) en utilisant (3.4).

La définition de la colonne (5) termine la recherche de fonctions de probabilité pour s.v. . Sa fonction de distribution dans la colonne (8) est un ensemble de somme de colonne partielle (5), à partir d'en haut.

Pour plus de clarté, nous avons inclus la colonne (6), la fonction de distribution pour la colonne (1), la colonne (7), qui peut être obtenue directement à partir de colonnes (1) et (6), appliquant (2.3.3) et colonne (8 ), défini de la même manière, dans les colonnes (3) et (7). La colonne (5) peut être déterminée à partir de la colonne (8) par soustraction séquentielle.

Passons à la considération de deux exemples avec des valeurs aléatoires continues.

Exemple 3.2. Soit s.v. Il a une distribution uniforme sur l'intervalle (0,2) et laissez S.V. ne dépend pas de S.V. et a une distribution uniforme sur l'intervalle (0,3). Déterminer la fonction de distribution s.v.

Décision. Depuis les distributions s.v. Et continu, nous utilisons la formule (3.6):

Puis

Espace sélectif S.V. et illustré Fig. 3.2. La zone rectangulaire contient toutes les paires possibles et. Événement que vous êtes intéressé,, décrit dans le chiffre pour cinq valeurs s..

Pour chaque valeur, la ligne droite traverse l'axe Y. Au point S. Et droit au point. Les valeurs de la fonction pour ces cinq cas sont décrites par la formule suivante:

Figure. 3.2. Couper deux distributions uniformes

Exemple 3.3. Considérer trois s.v indépendants . Pour s.v. Il a une distribution indicative et. Trouver la fonction de densité S.V. , appliquant une opération de convolution.

Décision. Avoir

Tirer parti de la formule (3.7) trois fois, nous obtenons

Une autre méthode permettant de déterminer la distribution de la quantité de variables aléatoires indépendantes est basée sur le caractère unique de la fonction génératrice des moments, qui pour S.V. déterminé par le ratio .

S'il s'agit d'une attente mathématique bien sûr pour tous T. D'un intervalle ouvert contenant l'origine des coordonnées, il s'agit de la seule méthode de distribution de S.V. Distribution En ce sens qu'il n'y a pas d'autre fonction autre que cela produirait la fonction de la distribution de S.V. .

Cette unicité peut être utilisée comme suit: pour le montant

Si indépendant, l'attente mathématique du travail dans la formule (3.8) est égale ..., de sorte que

Trouver une expression explicite pour la seule distribution qui correspond aux fonctions génératrices des moments (3.9), elle aurait complété le fondement de la distribution de S.V. . S'il n'est pas possible de le spécifier explicitement, il est possible de le rechercher avec des méthodes numériques.

Exemple 3.4.. Considérons des variables aléatoires de l'exemple 3.3. Déterminez la fonction de densité S.V. en utilisant la fonction de production des moments s.v. .

Décision. Selon l'égalité (3.9), Ce qui peut être écrit sous la forme Avec la méthode de décomposition sur la fraction la plus simple. La décision est . Mais il s'agit d'une fonction fonctionnelle de la distribution indicative avec le paramètre, de sorte que la fonction de densité s.v. A l'apparence

Exemple 3.5. Dans l'étude des processus aléatoires, la distribution gaussienne inverse a été introduite. Il est utilisé comme distribution s.v. DANS, Paiements d'assurance. La fonction de densité et le fonctionnement des moments de la distribution des gaussiens inverse sont définis par des formules

Trouvez la distribution de S.V. où s.v. Indépendant et ont les mêmes distributions gaussiennes inverse.

Décision. Profitant de la formule (3.9), nous obtenons l'expression suivante pour la fonction de production du S.V. :

Les fonctions génératrices des moments correspondent à la seule distribution et vous pouvez vous assurer qu'il a une distribution gaussienne inverse avec des paramètres et.

Approximation de la distribution du montant

Le théorème central limite fournit un procédé de recherche de valeurs numériques pour distribuer la quantité de variables aléatoires indépendantes. En règle générale, ce théorème est formulé pour la quantité de variables aléatoires indépendantes et également distribuées, où .

Pour toute distribution N S.V. où \u003d. a une attente mathématique 0 et une dispersion 1. Comme vous le savez, la séquence de telles distributions (quand n.\u003d 1, 2, ...) tend à la distribution normale standard. Lorsque N. Veliko Ce théorème est utilisé pour apporter la distribution de S.V. Distribution normale avec moyenne μ et dispersion. De même, la distribution de la quantité n. Variables aléatoires approchant de la distribution normale avec le milieu et la dispersion.

L'efficacité d'une telle approximation dépend non seulement du nombre de composants, mais également de la proximité de la distribution des composants à la normale. Dans de nombreux cours élémentaires de statistiques, il est indiqué que n devrait avoir au moins 30 ans pour que l'approximation soit raisonnable.

Toutefois, l'un des programmes de génération de variables aléatoires normalement distribuées utilisées dans la modélisation d'imitation implémente une valeur aléatoire normale sous la forme de milieu 12 réparties indépendamment à l'intervalle (0,1) de variables aléatoires.

Dans de nombreux modèles de risques individuels, les variables aléatoires incluses dans la quantité ne sont pas distribuées de manière égale. Cela sera illustré par les exemples de la section suivante.

Le théorème de la limite centrale s'étend également à la séquence de variables aléatoires distribuées inégales.

Pour illustrer certaines applications de risque individuel, nous utiliserons l'approximation normale de la distribution de la quantité de variables aléatoires indépendantes pour obtenir des solutions numériques. Si un T.

et plus loin, si s.v. Indépendant, T.

Pour la demande considérée, nous n'avons besoin que de:

• trouver moyen et dispersion de variables aléatoires qui simulent des pertes individuelles,
• résumez-les afin d'obtenir un moyen et dispersion de la perte de la compagnie d'assurance dans son ensemble
• profiter de l'approximation normale.

Ci-dessous, nous illustrons cette séquence d'actions.

Annexes à l'assurance

Dans cette section, quatre exemples illustrent l'utilisation d'une approximation normale.

Exemple 5.1. Une compagnie d'assurance-vie offre un contrat d'assurance de décès pour une période d'un an avec les paiements de taille 1 et 2 aux personnes dont la probabilité de décès est de 0,02 ou 0,01. Le tableau ci-dessous montre le nombre de personnes. Nk. Dans chacune des quatre classes formées conformément au paiement b K. et probabilité d'un événement assuré q K:

La compagnie d'assurance souhaite collecter à partir de ce groupe de 1 800 personnes un montant égal au 95ème pourcentage de la répartition du montant total des paiements d'assurance pour ce groupe. En outre, elle veut que la proportion de chaque personne de ce montant soit proportionnelle à la taille attendue du paiement de l'assurance pour cette personne.

La part de la personne avec le nombre, dont le versement moyen est égal à, devrait être. De l'exigence du 95e centile, il s'ensuit que. L'ampleur de dépassement, est une indemnité de risque et s'appelle une surtaxe relative des risques. Compter.

Décision. La valeur est déterminée par le ratio \u003d 0,95, où S \u003d x 1 + x 2 + ... + x 1800.Cette déclaration sur la probabilité est équivalente aux éléments suivants:

Conformément à ce qui a été mentionné sur le théorème de la limite centrale de la section. 4, nous approchons de la distribution de s.v. Distribution normale standard et profitez de son 95e centile, d'où nous obtenons:

Pour quatre classes auxquelles les assureurs sont cassés, nous obtenons les résultats suivants:

De cette façon,

Par conséquent, la surtaxe du risque relatif est égale

Exemple 5.2. Les clients de la société engagés dans une assurance automobile sont distribués en deux classes:

La distribution indicative tronquée est déterminée par la fonction de distribution

Ceci est la distribution de type mixte avec une fonction de densité et "bouquet" de masse probabiliste au point L.. Le graphique de cette fonction de distribution est illustré à la Fig.5.1.

Figure. 5.1. Distribution indicative tronquée

Comme auparavant, la probabilité que le montant total des paiements d'assurance dépasse le montant recueilli des titulaires de police devrait être égal à 0,05. Nous supposons que la surtaxe du risque relatif doit être la même dans chacune des deux classes en question. Calculer.

Décision. Cet exemple est très similaire au précédent. La seule différence est que les quantités de paiements d'assurance sont maintenant des valeurs aléatoires.

Nous obtenons d'abord des expressions pour les moments d'une distribution indicative tronquée. Ce sera une étape préparatoire pour l'utilisation de formules (2.25) et (2.26):

Profitant des valeurs des données Paramètres dans la condition et à l'aide de formules (2.25) et (2.26), nous obtenons les résultats suivants:

Donc, S., le montant total des paiements d'assurance, a des moments

La condition de détermination reste la même que dans l'exemple 5.1, à savoir,

Tirer parti de l'approximation avec une distribution normale, nous obtenons

Exemple 5.3. Le portefeuille de la compagnie d'assurance comprend 16 000 contrats d'assurance de décès d'une année selon le tableau suivant:

La probabilité de l'occurrence d'un événement assuré Q pour chacun des 16 000 clients (ces événements sont destinés à être mutuellement indépendants) égal à 0,02. La société veut fixer le niveau de sa propre rétention. Pour chaque titulaire d'assurance, le niveau de sa propre rétention est le montant du paiement ci-dessous que cette société (CEDENTI Société) exerce de manière indépendante et les paiements supérieurs à cette valeur sont couverts par l'accord de réassurance par une autre société (réassureur).

Par exemple, si le niveau de détention propre est de 200 000, la Société se réserve une couverture du montant allant jusqu'à 20 000 pour chaque titulaire d'assurance et d'acheter une réassurance pour couvrir la différence entre le paiement de l'assurance et le montant de 20 000 pour chacun des 4500 assureries, l'assurance paiements pour lesquels sont supérieurs au montant de 20 000.

Comme critère de décision, la société choisit de minimiser la probabilité que les paiements d'assurance laissés sur leur propre déduction, ainsi que le montant payé pour la réassurance dépassera le montant de 8 250 000. La réassurance coûte 0,025 par unité de revêtement (c'est-à-dire 125% de la attendu l'ampleur des paiements d'assurance par unité 0,02).

Nous pensons que le portefeuille en question est fermé: de nouveaux contrats d'assurance conclus au cours de l'année en cours ne seront pas pris en compte dans le processus décisionnel décrit.

Solution partielle. Je passe d'abord tous les calculs en choisissant un paiement de 10 000 par unité. Comme illustration, nous supposons qu'avec. dans. S. Il s'agit de la quantité de paiements laissée sur leur propre rétention, a la forme suivante:

À ces paiements d'assurance laissés sur leur propre déduction, S.La quantité de primes de réassurance est ajoutée. Total, la quantité totale de revêtement selon un tel schéma est

Le montant laissé sur sa propre déduction est égal à

Ainsi, la valeur totale réassurée est de 35 000-24 000 \u003d 11 000 et le coût de la réassurance est

Cela signifie que dans le niveau de leur propre déduction, égale à 2, les paiements d'assurance laissés sur leur propre déduction plus les coûts de réassurance sont. Le critère décisionnel repose sur la probabilité que ce total dépasse 825,

En utilisant une distribution normale, nous obtenons que cette valeur est approximativement égale à 0,0062.

Les valeurs moyennes des paiements d'assurance pour assurer l'excès de non-rentabilité, comme l'un des types de réassurance, peut être approché à l'aide de la distribution normale en tant que répartition des paiements d'assurance générale.

Laissez les paiements d'assurance générale X ont une distribution normale avec moyenne et dispersion

Exemple 5.4. Considérez le portefeuille d'assurances, comme dans l'exemple 5.3. Nous constaterons l'attente mathématique du montant des paiements d'assurance dans le contrat d'assurance pour une non-respectabilité excessante, si

(a) la réassurance individuelle est une franchise absente et inconditionnelle est fixée à 7 500 000 000

(b) La rétention propre a été établie dans le montant de 20 000 sous contrat d'assurance individuelle et l'ampleur de la franchise inconditionnelle sur le portefeuille est de 5 300 000.

Décision.

a) En l'absence de réassurance individuelle et de transition à 10 000 comme unité monétaire

l'utilisation de formule (5.2) donne

ceci est la quantité de 43 770 dans les unités source.

(b) Dans l'exemple 5.3, nous avons obtenu une moyenne et une dispersion du montant total des paiements d'assurance au titre de leur propre niveau de rétention de 20 000, égal à 480 et 784, respectivement, si nous considérons 10 000 comme une unité. Ainsi, \u003d 28.

l'utilisation de formule (5.2) donne

quelle est la quantité de 4140 dans les unités source.

En pratique, il est souvent nécessaire de trouver la loi de la distribution de variables aléatoires.

Que ce soit un système (X b x 2) Deux continue s. dans. Et leur somme

Trouvez la densité de distribution avec. dans. W. Conformément à la solution générale du paragraphe précédent, nous trouvons la zone de l'avion où x + x 2 (Fig. 9.4.1):

Différencie cette expression sur y, nous obtenons p. R. Variable aléatoire Y \u003d x + x 2:

Puisque la fonction f (x b x 2) \u003d xj + x 2 est symétrique sur ses arguments,

Si avec. dans. H. et H. 2 Inspecté, puis formules (9.4.2) et (9.4.3) jetteront un coup d'oeil:

Dans le cas quand indépendant avec. dans. X. et X 2 Ils parlent de la composition des lois de la distribution. Produire composition Deux lois de distribution - cela signifie trouver la loi de la distribution de la somme de deux indépendants. c., distribué selon ces lois. Un enregistrement symbolique est appliqué pour désigner les lois de distribution

qui fait essentiellement référence aux formules (9.4.4) ou (9.4.5).

Exemple 1. Le travail de deux dispositifs techniques est considéré (TU). Premièrement, la tuve fonctionne après sa défaillance (échec) est incluse dans le fonctionnement de TU 2. Temps de travail sans problème que b tu 2 - X. et H. 2 - indépendant et distribué en termes de lois indicatives avec des paramètres A, 1 et X 2. Par conséquent, heure Y. Travail réfléchi qui comprend cela! et que 2 sera déterminé par la formule

Nécessite de trouver p. R. Variable aléatoire Y, c'est-à-dire la composition de deux lois de démonstration avec des paramètres et X 2.

Décision. Selon la formule (9.4.4), nous obtenons (à\u003e 0)

S'il y a une composition de deux lois de démonstration avec les mêmes paramètres (? C \u003d H. 2 \u003d Y), puis dans l'expression (9.4.8), il éteint l'incertitude du type 0/0, révélant lequel, nous obtenons:

Comparaison de cette expression avec l'expression (6.4.8), nous sommes convaincus que la composition des deux lois indicatives identiques (? C \u003d H. 2 = X)c'est la loi d'Erlang deuxième ordre (9.4.9). Avec une composition de deux lois de démonstration avec divers paramètres X. et a-2 obtenir droit généralisé Erland Deuxième commande (9.4.8). ?

Tâche 1. La loi de la distribution de la différence entre deux s. dans. Système avec. dans. (X et x 2) Il a un joint p.: / (X b x 2). Trouver p. R. Leur différence Y \u003d x. - X 2.

Décision. Pour le système avec. dans. (X b - x 2) etc. sera / (x b - x 2) C'est-à-dire, nous avons remplacé la différence. Par conséquent, p. R. Une variable aléatoire sera perdue (voir (voir (9.4.2), (9.4.3)):

Si un de. dans. X xi 2 Indépendant, T.

Exemple 2. Trouver la p. R. La différence de deux distribuée indépendamment avec. dans. Avec des paramètres X. et X 2.

Décision. Par formule (9.4.11) nous obtenons

Figure. 9.4.2 Figure. 9.4.3

La figure 9.4.2 montre p. R. g. (Y). Si la différence entre les deux distribuées de manière indépendante. dans. avec les mêmes paramètres (A-i= H. 2 = MAIS,),cette g. (Y) \u003d / 2 - déjà familier

loi Laplace (Fig. 9.4.3). ?

Exemple 3. Trouvez la loi de la distribution de la somme de deux indépendants. dans. H. et X 2 distribué par la loi de Poisson avec des paramètres un H. et a 2.

Décision. Trouvez la probabilité d'un événement (X. + H. 2 = t) (t \u003d 0, 1,

Par conséquent, avec. dans. Y \u003d x x + H. 2 Distribué par la loi de Poisson avec le paramètre et x2) - et x + a 2. ?

Exemple 4. Trouvez le montant de la distribution de la somme de deux indépendants. dans. X. et X 2 Distribué par des lois binomiales avec des paramètres p x r 2, r respectivement.

Décision. Imaginez avec. dans. X. comme:

où X 1) - Indicateur d'événement MAIS Wu "-M Expérience:

Rangée de distribution avec. dans. X, - a la forme

Nous ferons une représentation similaire pour p. dans. X 2:où x] 2) - indicateur d'événement MAIS Dans l'expérience:

D'où,

où x? 1) + (2) Si un indicateur d'événement MAIS:

Ainsi, nous avons montré qu'avec. dans. Prendre la somme (sh + p 2) Indicateurs d'événement MAISD'où il s'ensuit qu'avec. dans. ^ est distribué par une loi binomiale avec des paramètres ( p. + п 2), r.

Notez que si les probabilités r Dans diverses séries d'expériences sont différentes, puis à la suite de l'ajout de deux indépendants. c., Distribué par des lois binomiales, fonctionnera avec. c., distribué non par la loi binomiale. ?

Les exemples 3 et 4 sont facilement résumés sur un nombre arbitraire de termes. Avec la composition des lois de Poisson avec des paramètres un kommersant 2, ..., t. Encore une fois la loi de Poisson avec un paramètre a (t) \u003d a x + et 2 + ... + à.

Avec la composition des lois binomiales avec des paramètres (n b); (I 2, r) , (NT, R) encore une fois, il s'avère une loi binomiale avec des paramètres ("("), R), Où p (t) \u003d sh + n 2 + ... + pt

Nous avons prouvé les propriétés importantes de la loi de Poisson et de la loi binomiale: «Propriété de la durabilité». La loi de distribution est appelée durable Si, avec la composition de deux lois du même type, la loi du même type est obtenue (seuls les paramètres de cette loi diffèrent). Au paragraphe 9.7, nous montrerons que la loi normale a la même propriété de stabilité.

Nous utilisons la méthode générale ci-dessus pour résoudre un problème, à savoir, pour trouver la loi de la distribution de la somme de deux variables aléatoires. Il existe un système de deux variables aléatoires (x, y) avec la densité de distribution F (x, y). Considérons la somme des variables aléatoires X et Y: et nous trouverons la valeur de la distribution de la valeur de Z. Pour cela, nous construisons sur le plan de ligne Xou, dont l'équation (figure 7). Ceci est une ligne droite qui coupe les axes de segments égaux à z. Direct divise le plan de la façon dont deux parties; le droit et au dessus de celui-ci; Gauche et plus bas.

La région D dans ce cas est la partie inférieure gauche du plan XOU, ombragée de la Fig. 7. Selon la formule (16), nous avons:

Différencie cette expression sur la variable Z, qui est incluse dans la limite supérieure de l'intégrale interne, nous obtenons:

Il s'agit d'une formule générale pour la densité de distribution de la somme de deux variables aléatoires.

Pour des considérations de symétrie, la tâche est relative à X et Y, vous pouvez écrire une autre variante de la même formule:

qui est équivalent au premier et peut être appliqué à la place.

Un exemple de composition des lois normales. Considérez deux variables aléatoires indépendantes X et Y, subordonnées à des lois normales:

Il est nécessaire de faire une composition de ces lois, c'est-à-dire trouver la loi de la distribution de la valeur :.

Appliquez la formule générale pour la composition des lois de distribution:

Si vous révélez des crochets dans un indicateur du degré de fonctionnement intégré et apportons des membres similaires, nous obtenons:

Substituer ces expressions dans la formule déjà survenant

après transformation, nous obtenons:

et ce n'est qu'une loi normale avec un centre de diffusion

et déviation RMS

En outre, la conclusion peut être significativement plus facile avec le raisonnement qualitatif suivant.

Sans supports d'ouverture et ne produit pas de transformations dans la fonction d'intégrande (17), nous arrivons immédiatement à la conclusion que l'indicateur du degré est carré trois décisions relatives au type X

où dans le coefficient et la valeur z n'est pas incluse du tout, dans le coefficient du premier degré et dans le coefficient C - dans le carré. Ayant cela à l'esprit et à appliquer une formule (18), nous arrivons à la conclusion que g (z) est une fonction indicative, l'indicateur du degré dont une baisse carrée est une diminution carrée par rapport à Z et la densité de distribution; Cette espèce correspond à la loi normale. Ainsi, nous; Nous arrivons à une conclusion purement de qualité: les autorisations de Z doivent être normales. Pour trouver les paramètres de cette loi - et - nous utilisons le théorème pour l'ajout d'attentes mathématiques et l'ajout de dispersions. Par la formation de la formation d'attentes mathématiques. Par addition de théorème de dispersion ou d'où il suit la formule (20).

Parcourant les écarts types des écarts probables proportionnels à eux, nous obtenons :.

Ainsi, nous sommes arrivés à la règle suivante: avec la composition des lois normales, une loi normale est obtenue à nouveau et les attentes mathématiques et la dispersion (ou les carrés des écarts probables) sont résumées.

La règle de la composition des lois normales peut être généralisée en cas de nombre arbitraire de variables aléatoires indépendantes.

S'il existe n variables aléatoires indépendantes: subordonnées à des lois normales avec des centres de dispersion et des écarts RMS, la valeur est également subordonnée à la loi normale avec des paramètres

Au lieu de formule (22), il est possible d'appliquer la formule équivalente à celle-ci:

Si le système de variables aléatoires (X, Y) est distribué en fonction d'une loi normale, mais les valeurs de X, y sont dépendantes, il n'est pas difficile de prouver, tout comme avant, sur la base de la formule générale (6.3. 1), que la loi de la répartition de la valeur est également une loi normale. Les centres de dispersion sont toujours algébriquement, mais pour les écarts types, la règle devient plus complexe:, où, r est le coefficient de corrélation x et Y.

Lors de l'ajout de plusieurs variables aléatoires dépendantes subordonnées à la loi normale, la loi de la distribution du montant s'avère également normale avec des paramètres.

ou dans des écarts probables

où est le coefficient de corrélation de X I, X J et la sommation s'applique à toutes les paires de combinaisons de magnitude.

Nous avons été convaincus d'une propriété très importante d'une loi normale: avec la composition des lois normales, une loi normale est obtenue à nouveau. C'est la soi-disant "propriété de la durabilité". La loi de distribution s'appelle durable si la composition du même type est à nouveau obtenue avec la composition de deux lois de ce type. Ci-dessus, nous avons montré que la loi normale est stable. La propriété de la durabilité est très peu de lois de la distribution. La loi de la densité uniforme est instable: la composition de deux lois d'une densité uniforme sur les parcelles de 0 à 1, nous avons reçu la loi Simpson.

La durabilité de la loi normale est l'une des conditions essentielles à son caractère généralisé. Cependant, certaines autres lois de distribution ont la propriété de la stabilité, sauf normalité. La particularité de la loi normale est qu'avec une composition d'un nombre suffisamment important de lois sur la répartition pratiquement arbitraires, la loi totale s'avère arbitrairement proche de la normale, que les lois de la répartition des composants soient. Cela peut être illustré, par exemple, en faisant la composition de trois lois de densité uniforme dans les zones de 0 à 1. La transaction résultante G (Z) est décrite à la Fig. 8. Comme on peut le voir à partir du dessin, le graphique de la fonction G (z) rappelle beaucoup le calendrier d'une loi normale.