Пружні хвилі. стоячі хвилі

Якщо в середовищі поширюється одночасно кілька хвиль, то коливання частинок середовища виявляються геометричній сумою коливань, які здійснювали б частинки при поширенні кожної з хвиль окремо. Отже, хвилі просто накладаються одна на іншу, не бунтували один одного. Це твердження називається принципом суперпозиції (накладення) хвиль.

У разі, коли коливання, обумовлені окремими хвилями в кожній з точок середовища, мають постійну різницею фаз, хвилі називаються когерентними. (Більш суворе визначення когерентності буде дано в § 120.) При додаванні когерентних хвиль виникає явище інтерференції, що полягає в тому, що коливання в одних точках підсилюють, а в інших точках послаблюють одна одну.

Дуже важливий випадок інтерференції спостерігається при накладенні двох зустрічних плоских хвиль з однаковою амплітудою. Виникає в результаті коливальний процес називається стоячій хвилею. Практично стоячі хвилі виникають при відображенні хвиль від перешкод. Падаюча на перешкоду хвиля і біжить їй назустріч відбита хвиля, накладаючись один на одного, Дають стоячу хвилю.

Напишемо рівняння двох плоских хвиль, що поширюються уздовж осі х в протилежних напрямках:

Склавши докупи ці рівняння і перетворивши результат за формулою для суми косинусів, одержимо

Рівняння (99.1) є рівняння стоячій хвилі. Щоб спростити його, виберемо початок відліку так, щоб різниця, стала рівною нулю, а початок відліку - так, щоб виявилася рівною нулю сума Крім того, замінимо хвильове число k його значенням

Тоді рівняння (99.1) набуде вигляду

З (99.2) видно, що в кожній точці стоячої хвилі відбуваються коливання тієї ж частоти, що і у зустрічних хвиль, причому амплітуда залежить від х:

амплітуда коливань досягає максимального значення. Ці точки називаються пучностями стоячій хвилі. З (99.3) виходять значення координат пучностей:

Слід мати на увазі, що пучность являє собою не одну єдину точку, а площину, точки якої мають значення координати х, які визначаються формулою (99.4).

У точках, координати яких задовольняють умові

амплітуда коливань звертається в нуль. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться у вузлах, сумнівів не роблять. Координати вузлів мають значення

Вузол, як і пучность, являє собою не одну точку, а площину, точки якої мають значення координати х, які визначаються формулою (99.5).

З формул (99.4) і (99.5) випливає, що відстань між сусідніми пучностями, так само як і відстань між сусідніми вузлами, так само. Пучності і вузли зрушені один щодо одного на чверть довжини хвилі.

Звернемося знову до рівняння (99.2). Множник при переході через нульове значення змінює знак. Відповідно до цього фаза коливань по різні боки від вузла відрізняється на Це означає, що точки, що лежать по різні боки від вузла, коливаються в протифазі. Всі точки, укладені між двома сусідніми вузлами, коливаються синфазно (т. Е. В однаковій фазі). На рис. 99.1 дано ряд «моментальних фотографій» відхилень точок від положення рівноваги.

Перша «фотографія» відповідає моменту, коли відхилення досягають найбільшого абсолютного значення. Наступні «фотографії» зроблені з інтервалами в чверть періоду. Стрілками показані швидкості частинок.

Продифференцировав рівняння (99.2) один раз по t, а іншим разом за х, знайдемо вирази для швидкості частинок і для деформації середовища:

Рівняння (99.6) описує стоячу хвилю швидкості, а (99.7) - стоячу хвилю деформації.

На рис. 99.2 зіставлені «моментальні фотографії» зміщення, швидкості і деформації для моментів часу 0 і З графіків видно, що вузли і пучности швидкості збігаються з вузлами і пучностями зміщення; вузли же і пучности деформації збігаються відповідно з пучностями і вузлами зсуву. У той час як досягають максимальних значень, звертається в нуль, і навпаки.

Відповідно двічі за період відбувається перетворення енергії стоячій хвилі то повністю в потенційну, зосереджену в основному поблизу вузлів хвилі (де знаходяться пучности деформації), то повністю в кінетичну, зосереджену в основному поблизу пучностей хвилі (де знаходяться пучности швидкості). В результаті відбувається перехід енергії від кожного вузла до сусідніх з ним пучностям і назад. Середній за часом потік енергії в будь-якому перетині хвилі дорівнює нулю.

6.1 Стоячі хвилі в пружному середовищі

Згідно з принципом суперпозиції, при распростране-ванні в пружною середовищі одночасно декількох хвиль віз-ника їх накладення, причому хвилі не обурюють один одного: коливання частинок середовища є векторної сум-мій коливань, які здійснювали б частинки при рас-рення кожної з хвиль окремо .

Хвилі, що створюють коливання середовища, різниці фаз між-ду якими в кожній точці простору постійні, на-ни опиняються когерентними.

При додаванні когерентних хвиль виникає явище інтерференції, Що полягає в тому, що в одних точках простору хвилі підсилюють одна одну, а в інших точках - послаблюють. Важливий випадок інтерференції наб-люду при накладенні двох зустрічних плоских хвиль з однаковою частотою і амплітудою. Виникаючі при цьому коливання називають стоячій хвилею. Найчастіше все-го стоячі хвилі виникають при відображенні біжучої хвилі від перешкоди. При цьому падаюча хвиля і відображена назустріч їй хвиля при складанні дають стоячу хвилю.

Отримаємо рівняння стоячої хвилі. Візьмемо дві пло-кі гармонійні хвилі, що поширюються навстечу один одному уздовж осі X і мають однакову частоту і амплітуду:

де - фаза коливань точок середовища при про-ходінні першої хвилі;

- фаза коливань точок середовища при про-ходінні другої хвилі.

Різниця фаз в кожній точці на осі X НЕ буде зави-мережу від часу, тобто буде постійною:

Отже, обидві хвилі будуть когерентними.

Виник в результаті складання розглянутих хвиль коливання частинок середовища буде наступним:

Перетворимо суму косинусів кутів за правилом (4.4) і отримаємо:

Перегрупувавши множники, отримаємо:

Для спрощення виразу виберемо початок відліку так, щоб різниця фаз і початок відліку часу, щоб і сума фаз дорівнювала нулю: .

Тоді рівняння для суми хвиль набуде вигляду:

Рівняння (6.6) називається рівнянням стоячій віл-ни. З нього видно, що частота стоячій хвилі дорівнює частоті хвилі, що біжить, а амплітуда, на відміну від біжучої хвилі, залежить від відстані від початку відліку:

. (6.7)

З урахуванням (6.7) рівняння стоячої хвилі набуває вигляду:

. (6.8)

Таким чином, точки середовища коливаються з частотою, що збігається з частотою хвилі, що біжить, і амплітудою a, Що залежить від положення точки на осі X. Відповідно, амплітуда змінюється за законом косинуса і має свої максимуми і мінімуми (рис. 6.1).

Для того, щоб наочно уявити розташування мінімумів і максимумів амплітуди замінимо, згідно (5.29), хвильове число його значенням:

Тоді вираз (6.7) для амплітуди набуде вигляду

(6.10)

Звідси стає видно, що амплітуда зміщення мак-симально при , Тобто в точках, координата кото-яких задовольняє умові:

, (6.11)

де

Звідси отримуємо координати точок, де амплітуда сме-щення максимальна:

; (6.12)

Точки, де амплітуда коливань середовища максимальна, називаються пучностями хвилі.

Амплітуда хвилі дорівнює нулю в точках, де . Координата таких точок, які називаються вузлами хвилі, Удов-летворяет умові:

, (6.13)

де

З (6.13) видно, що координати вузлів мають зна-чення:

, (6.14)

На рис. 6.2 показаний приблизний вигляд стоячої хвилі, від-мечено розташування вузлів і пучностей. Видно, що со-Седнів вузли і пучности зміщення відстоять один від одного на одне і те ж відстань.

Знайдемо відстань між сусідніми пучностями і уз-лами. З (6.12) отримуємо відстань між пучностями:

(6.15)

Відстань між вузлами отримуємо з (6.14):

(6.16)

З отриманих співвідношень (6.15) і (6.16) видно, що відстань між сусідніми вузлами, як і між сусідніми пучностями, постійно і дорівнює; вузли та Пуч-ності зрушені відносно один одного на (рис. 6.3).

З визначення довжини хвилі можна записати Вира-ються для довжини стоячої хвилі: вона дорівнює половині довжини хвилі, що біжить:

Запишемо, з урахуванням (6.17), вирази для координат уз-лов і пучностей:

, (6.18)

, (6.19)

Множник, що визначає амплітуду стоячи-чий хвилі, змінює свій знак при переході через нульове значення, внаслідок чого фаза коливань по різні сто-ку від вузла відрізняється на. Отже, всі крапки, що лежать по різні боки від вузла, коливаються в про-тівофазе. Всі точки, що знаходяться між сусідніми уз-лами, коливаються синфазно.

Вузли умовно поділяють середу на автономні області, В яких гармонійні коливання відбуваються незалежні-сімо. Ніякої передачі руху між областями немає, і, значить, перетікання енергії між областями немає. Тобто немає передачі обурення вздовж осі. Тому хвиля називається стоячою.

Отже, стояча хвиля утворюється з двох протилежний-но спрямованих біжучих хвиль рівних частот і амп-літуд. Вектори Умова кожної з цих хвиль рівні по мо-дулю і протилежні при напрямку, і при склалося-ванні дають нуль. Отже, стояча хвиля енергії не переносить.

6.2 Приклади стоячих хвиль

6.2.1 Стояча хвиля в струні

Розглянемо струну довжиною L, Закріплену з обох кон-цов (рис. 6.4).

Розташуємо уздовж струни вісь X таким чином, щоб лівий кінець струни мав координату x \u003d 0, А правий - x \u003d L. У струні виникають коливання, описувані рівнян-ням:

Запишемо граничні умови для даної стру-ни. Оскільки її кінці закріплені, то в точках з коор-динатами x \u003d 0 і x \u003d L коливань немає:

(6.22)

Знайдемо рівняння коливань струни виходячи з запи-санних граничних умов. Запишемо рівняння (6.20) для лівого кінця струни з урахуванням (6.21):

Співвідношення (6.23) виконується для будь-якого часу t в двох випадках:

1. . Це можливо в тому випадку, якщо колі-банія в струні відсутні (). Даний випадок інте-Реса не представляє, і ми його розглядати не будемо.

2.. Тут фаза. Цей випадок і дозволить нам отримати рівняння коливань струни.

Підставами отримане значення фази в граничну умову (6.22) для правого кінця струни:

. (6.25)

Враховуючи що

, (6.26)

з (6.25) отримаємо:

Знову виникають два випадки, при яких виконується співвідношення (6.27). Випадок, коли коливання в струні від-сутствуют (), ми розглядати не будемо.

У другому випадку має виконуватися рівність:

а це можливо лише тоді, коли аргумент синуса кратний це-лому числу:

Значення ми відкидаємо, тому що при цьому, а це означало б або нульову довжину струни ( L \u003d 0) Або віл-нове число k \u003d 0. З огляду на зв'язок (6.9) між хвильовим числом і довжиною хвилі видно, що для того, щоб віл-нове число дорівнювало б нулю, довжина хвилі повинна б бути нескінченною, а це означало б відсутність коливань.

З (6.28) видно, що хвильове число при коливаннях струни, закріпленої з обох кінців, може приймати тільки певні дискретні значення:

З огляду на (6.9), запишемо (6.30) у вигляді:

звідки волучаем вираз для можливих довжин хвиль в струні:

Іншими словами, на довжині струни L має уклади-тися ціле число n полуволн:

Відповідні частоти коливань можна визна-лити з (5.7):

Тут - фазова швидкість хвилі, що залежить, соглас-но (5.102), від лінійної щільності струни і сили на-тяжіння струни:

Підставивши (6.34) в (6.33), отримаємо вираз, описи-вающее можливі частоти коливань струни:

, (6.36)

частоти називають власними частотами стру-ни. Частоту (при n = 1):

(6.37)

називають основною частотою (або основним тоном) Струни. Частоти, які визначаються при n\u003e 1 називаються обертонами або гармоніками. Номер гармоніки дорівнює n-1. Наприклад, частота:

відповідає першій гармоніці, а частота:

сответствует другій гармоніці, і т.д. Оскільки струну можна представити у вигляді дискретної системи з беско-кінцевих числом ступенів свободи, то кожна гармоніка є модою коливань струни. У загальному випадку колі-банія струни являють собою суперпозицію мод.

Кожній гармоніці відповідає своя довжина хвилі. Для основного тону (при n \u003d1) довжина хвилі:

відповідно для першої та другої гармоніки (при n \u003d2 і n \u003d3) довжини хвиль будуть:

На рис.6.5 показаний вид декількох мод коливань, що здійснюються струною.

Таким чином, струна з закріпленими кінцями реа-лізует в рамках класичної фізики винятковий випадок - дискретний спектр частоти коливань (або довжин хвиль). Таким же чином поводиться пружний стер-жень з одним або обома затиснутими кінцями і коливання повітряного стовпа в трубах, що і буде розглянуто в наступних розділах.

6.2.2 Вплив початкових умов на рух

безперервної струни. Фур'є-аналіз

Коливання струни з затиснутими кінцями крім дис-конкретного спектру частот коливань мають ще однією важливою властивістю: конкретна форма коливань струни залежить від способу збудження коливань, тобто від на-чільного умов. Розглянемо детальніше.

Рівняння (6.20), яке описує одну моду стоячій віл-ни в струні, є приватним рішенням диференціальних-ного хвильового рівняння (5.61). Оскільки коливання струни складається з усіх можливих мод (для струни - біс-кінцеве кількість), то і загальне рішення хвильового рівняння (5.61) складається з нескінченного числа приватних рішень:

, (6.43)

де i - номер моди коливань. Вираз (6.43) записи-но з урахуванням того, що кінці струни закріплені:

а також з урахуванням зв'язку частоти i-й моди і її хвильового числа:

(6.46)

тут - хвильове число i-й моди;

- хвильове число 1-й моди;

Знайдемо величину початкової фази для кожної моди коливань. Для цього в момент часу t \u003d 0 додамо струні форму, описувану функцією f 0 (X), Вираз для якої отримаємо з (6.43):

. (6.47)

На рис. 6.6 показаний приклад форми струни, що описують-мій функцією f 0 (X).

У момент часу t \u003d 0 струна ще спочиває, тобто ско-кість всіх її точок дорівнює нулю. З (6.43) знайдемо висловлю-ня для швидкості точок струни:

і, підставивши в нього t \u003d 0, Отримаємо вираз для скорос-ти точок струни в початковий момент часу:

. (6.49)

Оскільки в початковий момент часу швидкість рав-на нулю, то вираз (6.49) дорівнюватиме нулю для всіх точок струни, якщо. З цього випливає, що на-чільного фаза для всіх мод теж дорівнює нулю (). З урахуванням цього вираз (6.43), яке описує рух струни, набуває вигляду:

, (6.50)

а вираз (6.47), яке описує початкову форму стру-ни, виглядає як:

. (6.51)

Стояча хвиля в струні описується функцією, перио-дичних на інтервалі, де дорівнює двом довжинам струни (рис. 6.7):

Це видно з того, що періодичність на інтервалі означає:

отже,

що і призводить нас до вираження (6.52).

З математичного аналізу відомо, що будь-яка пе-періодичних функція може бути розкладена з високою-кою точністю до кількох Фур'є:

, (6.57)

де,, - коефіцієнти Фур'є.

Розглянемо результат інтерференції двох синусоїдальних плоских хвиль однакової амплітуди і частоти, що поширюються в протилежних напрямках. Для простоти міркувань припустимо, що рівняння цих хвиль мають вигляд:

Це означає, що на початку координат обидві хвилі викликають коливання в однаковій фазі. У точці А з координатою х сумарне значення коливається величини, згідно з принципом суперпозиції (див. § 19), так само

Дане рівняння показує, що в результаті інтерференції прямої і зворотної хвиль в кожній точці середовища (з фіксованою координатою відбувається гармонійнеколивання з тією ж частотою, але з амплітудою

залежної від значення координати х. В точках середовища, в яких коливання відсутні зовсім: ці точки називаються вузлами коливань.

У точках, де амплітуда коливань має найбільше значення, рівне Ці точки називаються пучностями коливань. Легко показати, що відстань між сусідніми вузлами або сусідніми пучностями одно відстань між пучності і найближчим вузлом одно При зміні х на косинус у формулі (5.16) змінює знак на зворотний (його аргумент змінюється на тому якщо в межах однієї напівхвилі - від одного вузла до іншого - частинки середовища відхилилися в одну сторону, то в межах сусідньої напівхвилі частки середовища будуть відхилені в протилежну сторону.

Хвильовий процес в середовищі, що описується формулою (5.16), називається стоячій хвилею. Графічно стояча хвиля може бути зображена так, як це показано на рис. 1.61. Припустимо, що у є зміщення точок середовища від стану рівноваги; тоді формула (5.16) описує «стоячу хвилю зміщення». В деякий момент часу, коли всі крапки середовища мають максимальні зміщення, напрямок яких в залежності від величини координати х визначається знаком Ці зміщення показані на рис. 1.61 суцільними стрілками. Через чверть періоду, коли зміщення всіх точок середовища дорівнюють нулю; частинки середовища проходять через лінію з різними швидкостями. Ще через чверть періоду, коли частинки середовища знову матимуть максимальні зміщення, але протилежного напрямку; ці зсуви показані на

мал. 1.61 пунктирними стрілками. Точки суть пучности стоячій хвилі зсуву; точки вузли цієї хвилі.

Характерні особливості стоячій хвилі на відміну від звичайної розповсюджується, або біжить, хвилі такі (маються на увазі плоскі хвилі при відсутності загасання):

1) в стоячій хвилі амплітуди коливань різні в різних місцях системи; в системі є вузли і пучности коливань. У «біжить» хвилі ці амплітуди скрізь однакові;

2) в межах ділянки системи від одного вузла до сусіднього всі крапки середовища коливаються в однаковій фазі; при переході до сусіднього ділянці фази коливань змінюються на зворотні. У біжучому хвилі фази коливань, згідно з формулою (5.2), залежать від координат точок;

3) в стоячій хвилі немає одностороннього переносу енергії, як це має місце в біжучому хвилі.

При описі коливальних процесів в пружних системах за коливається величину у можна прийняти не тільки зміщення або швидкості частинок системи, а й величину відносної деформації або величину напруги на стиск, розтяг або зрушення і т. Д. При цьому в стоячій хвилі, в місцях, де утворюються пучности швидкостей частинок, розташовуються вузли деформацій і, навпаки, вузли швидкостей збігаються з пучностями деформацій. Перетворення енергії з кінетичної форми в потенційну і назад відбувається в межах ділянки системи від пучности до сусіднього вузла. Можна вважати, що кожна така ділянка не обмінюється енергією з сусідніми ділянками. Зауважимо, що перетворення кінетичної енергії часток, що рухаються в потенційну енергію деформованих ділянок середовища за один період відбувається двічі.

Вище, розглядаючи інтерференцію прямої і зворотної хвиль (див. Вирази (5.16)), ми не цікавилися походженням цих хвиль. Припустимо тепер, що середовище, в якому відбувається поширення коливань, має обмежені розміри, наприклад коливання викликаються в якомусь суцільному тілі - в стрижні або струні, в стовпі рідини або газу і т. Д. Хвиля, що поширюється в такому середовищі (теле) , відбивається від кордонів, тому в межах обсягу цього тіла безперервно відбувається інтерференція хвиль, викликаних зовнішнім джерелом і відбитих від кордонів.

Розглянемо найпростіший приклад; допустимо, в точці (рис. 1.62) стержня або струни за допомогою зовнішнього синусоїдального джерела збуджується коливальний рух з частотою; початок відліку часу виберемо так, щоб в цій точці зміщення виражалося формулою

де амплітуда коливань в точці Викликана в стрижні хвиля відіб'ється від другого кінця стрижня 0% і піде в зворотному

напрямку. Знайдемо результат інтерференції прямий і відображеної хвиль в певній точці стержня має координату х. Для простоти міркувань припустимо, що в стрижні немає поглинання енергії коливань і тому амплітуди прямої і відбитої хвиль рівні.

В деякий момент часу коли зсув, хто вагається частинок в точці дорівнює у, в іншій точці стержня зміщення викликане прямий хвилею буде, згідно з формулою хвилі, так само

Через цю ж точку А проходить також і відбита хвиля. Щоб знайти зміщення викликане в точці А відбитою хвилею (в той же самий момент часу необхідно розрахувати час, протягом якого хвиля пройде шлях від до і назад до точки Так як то зсув, викликаний в точці відбитою хвилею, дорівнюватиме

При цьому передбачається, що на відбиває кінці стержня в процесі відображення не відбувається стрибкоподібного зміни фази коливання; в деяких випадках така зміна фази (зване втратою фази) має місце і має бути враховано.

Сложейіе коливань, викликаних в різних точках стрижня прямий і відображеної хвилями, дає стоячу хвилю; дійсно,

де деяка постійна фаза, яка не залежить від координати х, а величина

є амплітудою коливань в точці вона залежить від координати х, т. е. різна в різних місцях стержня.

Знайдемо координати тих точок стержня, в яких утворюються вузли і пучности стоячій хвилі. Звернення косинуса в нуль або одиницю відбувається при значеннях аргументу, кратних

де ціле число. При непарному значенні цього числа косинус звертається в нуль і формула (5.19) дає координати вузлів стоячої хвилі; при парних ми отримаємо координати пучностей.

Вище було вироблено складання тільки двох хвиль: прямий, що йде від і відбитої, що розповсюджується від Однак слід врахувати, що відбита хвиля на кордоні стрижня знову відіб'ється і піде в напрямку прямої хвилі. таких відображень

від кінців стрижня буде багато, і тому необхідно знайти результат інтерференції не двох, а всіх одночасно існуючих в стрижні хвиль.

Припустимо, що зовнішнє джерело коливань викликав в стрижні хвилі протягом деякого часу після чого надходження енергії коливань ззовні припинилося. За цей час в стрижні відбулося відображень, де час, протягом якого хвиля пройшла від одного кінця стрижня до іншого. Отже, в стрижні буде одночасно існувати хвиль, що йдуть в прямому, і хвиль, що йдуть в зворотному напрямках.

Припустимо, що в результаті інтерференції однієї пари хвиль (прямий і відображеної) зміщення в точйе А виявилося рівним у. Знайдемо умову, за якої всі зміщення у, що викликаються кожною парою хвиль, мають в точці А стрижня однакові напрямки і тому складаються. Для цього фази коливань, викликаних кожною парою хвиль в точці повинні відрізнятися на від фази коливань, викликаних наступною парою хвиль. Але кожна хвиля знову повертається в точку А з тим же напрямком поширення лише через час т. Е. Відстає по фазі на зі прирівнюючи це відставання де ціле число, отримуємо

т. е. вздовж довжини стержня має вміститися ціле число півхвиль. Зауважимо, що цю умову фази всіх хвиль, що йдуть від в прямому напрямку, відрізняються один від одного на де ціле число; точно так же фази всіх хвиль, що йдуть від в зворотному напрямку, відрізняються один від одного на Тому, якщо одна пара хвиль (пряма і зворотна) дає уздовж стрижня розподіл зсувів, яке визначається формулою (5.17), то при інтерференції пар таких хвиль розподіл зсув не зміниться; збільшаться лише амплітуди коливань. Якщо максимальна амплітуда коливань при інтерференції двох хвиль, згідно з формулою (5.18), дорівнює то при інтерференції багатьох хвиль вона буде більше. Позначимо її через тоді розподіл амплітуди коливань уздовж стрижня замість виразу (5.18) визначиться за формулою

З виразів (5.19) і (5.20) визначаються точки, в яких косинус має значення чи 1:

де ціле число Координати вузлів стоячої хвилі вийдуть з цієї формули при непарних значеннях тоді в залежності від довжини стержня, т. е. величини

координати пучностей вийдуть при парних значеннях

На рис. 1.63 схематично показана стояча хвиля в стержні, довжина якого; точки суть пучности, точки вузли цієї стоячої хвилі.

У гл. було показано, що при відсутності періодичних зовнішніх впливів характер кодебательних рухів в системі і перш за все основна величина - частота коливань - визначаються розмірами і фізичними властивостями системи. Кожна коливальна система володіє власним, їй властивим коливальним рухом; це коливання можна спостерігати, якщо вивести систему зі стану рівноваги і потім усунути зовнішні впливи.

У гл. 4 ч. I розглядалися переважно коливальні системи з зосередженими параметрами, в яких інертною масою володіли одні тіла (точкові), а пружними властивостями - інші тіла (пружини). На відміну від них коливальні системи, в яких маса і пружність притаманні кожному елементарному обсягом, називаються системами з розподіленими параметрами. До них відносяться розглянуті вище стрижні, струни, а також стовпи рідини або газу (в духових музичних інструментах) і т. Д. Для таких систем власними коливаннями є стоячі хвилі; основна характеристика цих хвиль - довжина хвилі або розподіл вузлів і пучностей, а також частота коливань - визначається тільки розмірами і властивостями системи. Стоячі хвилі можуть існувати і при відсутності зовнішнього (періодичного) дії на систему; це вплив необхідно тільки для того, щоб викликати або підтримати в системі стоячі хвилі або ж змінити амплітуди коливань. Зокрема, якщо зовнішній вплив на систему з розподіленими параметрами відбувається з частотою, рівній частоті її власних коливань, т. е. частоті стоячій хвилі, то має місце явище резонансу, розглянуте в гл. 5. для різних частот однакова.

Таким чином, у систем з розподіленими параметрами власні коливання - стоячі хвилі - характеризуються цілим спектром частот, кратних між собою. Найменша з цих частот, відповідна найбільшій довжині хвилі називається основною частотою; інші) - обертонами або гармоніками.

Кожна система характеризується не тільки наявністю такого спектру коливань, але і певним розподілом енергії між коливаннями різних частот. Для музичних інструментів цей розподіл надає звуку своєрідну особливість, так званий тембр звуку, різний для різних інструментів.

Викладені вище розрахунки відносяться до вільного хиткому "стрижня довжиною Проте зазвичай ми маємо стрижні, закріплені на одному або обох кінцях (наприклад, що коливаються струни), або ж уздовж стрижня є одна або кілька точок закріплення. Місця закріплення, де частинки системи не можуть здійснювати коливального руху, є вимушеними вузлами зсуву. Наприклад,

якщо в стрижні необхідно отримати стоячі хвилі при одній, двох, трьох точках закріплення і т. д., то ці точки не можуть бути обрані довільно, а повинні розташовуватися уздовж стрижня так, щоб вони виявилися в вузлах утворилася стоячій хвилі. Це показано, наприклад, на рис. 1.64. На цьому ж малюнку пунктиром показані зміщення точок стержня при коливаннях; на вільних кінцях завжди утворюються пучности зміщення, на закріплених - вузли зміщення. Для тих, хто вагається повітряних стовпів в трубах вузли зміщення (і швидкості) виходять у відображають твердих стінок; на відкритих кінцях трубок утворюються пучности зсувів і швидкостей.

Дуже важливий випадок інтерференції спостерігається при накладенні плоских хвиль з однаковою амплітудою. Виникає в результаті цього коливальний процес називається стоячій хвилею.

Практично стоячі хвилі виникають при відображенні хвиль від перешкод. Падаюча на перешкоду хвиля і біжить їй назустріч відбита хвиля, накладаючись один на одного, дають стоячу хвилю.

Розглянемо результат інтерференції двох синусоїдальних плоских хвиль однакової амплітуди, що поширюються в протилежних напрямках.

Для простоти міркувань припустимо, що обидві хвилі викликають на початку координат коливання в однаковій фазі.

Рівняння цих коливань мають вигляд:

Складаючи обидва рівняння і перетворюючи результат, за формулою для суми синусів отримаємо:

- рівняння стоячої хвилі.

Порівнюючи це рівняння з рівнянням гармонійних коливань, ми бачимо, що амплітуда результуючих коливань дорівнює:

Так як, а, то.

В точках середовища, де, коливання відсутні, тобто . Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі.

У точках, де, амплітуда коливань має найбільше значення, рівне. Ці точки називаються пучностями стоячій хвилі. Координати пучностей знаходяться з умови, тому що , То.

Звідси:

Аналогічно координати вузлів знаходяться з умови:

Звідки:

З формул координат вузлів і пучностей слід, що відстань між сусідніми пучностями, також як і відстані між сусідніми вузлами, так само. Пучності і вузли зрушені один щодо одного на чверть довжини хвилі.

Порівняємо характер коливань в стоячій і біжить хвилі. У біжучому хвилі кожна точка здійснює коливання, амплітуда яких не відрізняється від амплітуди інших точок. Але коливання різних точок відбуваються з різними фазами.

У стоячій хвилі все частки середовища, що знаходяться між двома сусідніми вузлами коливаються в одній і тій же фазі, але з різними амплітудами. При переході через вузол фаза коливань стрибкоподібно змінюється на, тому що змінюється знак.

Графічно стояча хвиля може бути зображена наступним чином:

У момент часу, коли, всі крапки середовища мають максимальні зміщення, на-правління яких визначається знаком. Ці зміщення показані на малюнку суцільними стрілками.

Через чверть періоду, коли, зміщення всіх точок дорівнюють нулю. Частинки проходять через лінію з різними швидкостями.

Ще через чверть періоду, коли, частинки знову матимуть максимальні зміщення, але протилежного напрямку (пунктирні стрілки).

При описі коливальних процесів в пружних системах за коливається величину можна прийняти не тільки зміщення, а й швидкість часток, а також і величину відносної деформації середовища.

Для знаходження закону зміни швидкості стоячій хвилі продифференцируем по рівняння зміщення стоячій хвилі і для знаходження закону зміни деформації продифференцируем по рівняння стоячої хвилі.

Аналізуючи ці рівняння, ми бачимо, що вузли і пучности швидкості збігаються з вузлами і пучностями зміщення; вузли та пучности деформації збігаються відповідно з пучностями і вузлами швидкості і зміщення.

коливання струни

У закріпленої з обох кінців натягнутою струни при порушенні поперечних коливань встановлюються стоячі хвилі, причому в місцях закріплення струни повинні розташовуватися вузли. Тому в струні збуджуються тільки такі коливання, половина довжини яких укладається на довжині струни ціле число раз.

Звідси випливає умова:

де - довжина струни.

Або інакше. Цим довжинах хвиль відповідають частоти, де - фазова швидкість хвилі. Величина її визначається силою натягу струни і її масою.

При - основна частота.

При - власні частоти коливань струни або обертони.

ефект Доплера

Розглянемо найпростіші випадки, коли джерело хвиль і спостерігач рухаються щодо середовища уздовж однієї прямої:

1. Джерело звуку рухається щодо середовища зі швидкістю, приймач звуку спочиває.

У цьому випадку за період коливань звукова хвиля відійде від дже-ника на відстань, а сам джерело зміститься на відстань рівне.

Якщо джерело видаляти від приймача, тобто рухати в напрямку зворотному напрямку поширення хвилі, то довжина хвилі.

Якщо джерело звуку наближати до приймача, тобто рухати в напрямку поширення хвилі, то.

Частота звуку сприймається приймачем дорівнює:

Підставами замість їх значення для обох випадків:

З урахуванням того, що, де - частота коливань джерела, рівність набуде вигляду:

Розділимо і чисельник і знаменник цього дробу на, тоді:

2. Джерело звуку нерухомий, а приймач рухається щодо середовища зі швидкістю.

У цьому випадку довжина хвилі в середовищі не змінюється і як і раніше дорівнює. Разом з тим дві послідовні амплітуди, що відрізняються за часом на один період коливань, дійшовши до рухомого приймача, будуть відрізнятися за часом в моменти зустрічі хвилі з приймачем на відрізок часу, величина якого більше або менше в залежності від того, віддаляється або наближається приймач до джерела звуку. За час звук поширюється на відстань, а приймач зміститься на відстань. Сума цих величин і дає нам довжину хвилі:

Період коливань, які сприймаються приймачем, пов'язаний з частотою цих коливань співвідношенням:

Підставивши замість його вираз з рівності (1), отримаємо:

Оскільки , Де - частота коливань джерела, а, то:

3. Джерело і приймач звуку рухаються щодо середовища. Поєднуючи результати, отримані в двох попередніх випадках, отримаємо:

звукові хвилі

Якщо пружні хвилі, що поширюються в повітрі, мають частоту в межах від 20 до 20000 Гц, то, досягнувши людського вуха, вони викликають відчуття звуку. Тому хвилі лежать в цьому діапазоні частот називаються звуковими. Пружні хвилі з частотою менше 20 Гц називаються інфразвуком . Хвилі з частотою більше 20000 Гц називаються ультразвуком. Ультразвуки і інфразвуки людське вухо не чує.

Звукові відчуття характеризуються висотою звуку, тембром і гучністю. Висота звуку визначається частотою коливань. Однак джерело звуку випромінює не одну, а цілий спектр частот. Набір частот коливань, присутніх в даному звуці, називається його акустичним спектром. Енергія коливання розподіляється між усіма частотами акустичного спектру. Висота звуку визначається по одній - основний частоті, якщо на частку цієї частоти припадає значно більша кількість енергії, ніж на частку інших частот.

Якщо спектр складається з безлічі частот, які перебувають в інтервалі частот від до, то такий спектр називається суцільним (Приклад - шум).

Якщо спектр складається з набору коливань дискретних частот, то такий спектр називається лінійчатим (Приклад - музичні звуки).

Акустичний спектр звуку залежно від свого характеру і від розподілу енергії між частотами визначає своєрідність звукового відчуття, зване тембром звуку. Різні музичні інструменти мають різний акустичний спектр, тобто відрізняються тембром звуку.

Інтенсивність звуку характеризується раз-особистими величинами: коливаннями частинок середовища, їх швидкостями, силами тиску, напругою в них та ін.

Вона характеризує амплітуду коливань кожної з цих величин. Однак, оскільки ці величини взаємопов'язані, доцільно ввести єдину енергетичну характеристику. Така характеристика для хвиль будь-якого типу була запропонована в 1877 році. Н.А. Умів.

Виріжемо подумки з фронту хвилі, що біжить майданчик. За час цей майданчик переміститься на відстань, де - швидкість хвилі.

Позначимо через енергію одиниці об'єму хитається середовища. Тоді енергія всього обсягу буде дорівнює.

Ця енергія була перенесена за час хвилею, що розповсюджується через майданчик.

Розділивши цей вираз на і, отримаємо енергію, що переноситься хвилею через одиницю площі в одиницю часу. Ця величина позначається буквою і носить назву вектора Умова

Для звукового поля вектор Умова носить назву сили звуку.

Сила звуку є фізичною характеристикою інтенсивності звуку. Ми оцінюємо її суб'єктивно, як гучність звуку. Людське вухо сприймає звуки, сила яких перевищує деякий мінімальне значення, різне для різних частот. Це значення називається порогом чутності звуку. Для середніх частот порядку Гц поріг чутності порядку.

При дуже великій силі звуку порядку звук сприймається крім вуха органами дотику, а в вухах викликає болюче відчуття.

Значення інтенсивності, при якому це відбувається, називається порогом больового відчуття. Поріг больового відчуття, також як і поріг чутності, залежить від частоти.

Людина має досить складним апаратом для сприйняття звуків. Звукові коливання збираються вушної раковиною і через слуховий канал впливають на барабанну перетинку. Коливання її передаються в невелику порожнину, яка називається равликом. Усередині равлики розташоване велика кількість волокон, що мають різну довжину і натяг і, отже, різні власні частоти коливань. При дії звуку кожне з волокон резонує на той тон, частота якого збігається з власною частотою волокна. Набір резонансних частот в слуховому апараті і визначає область сприймаються нами звукових коливань.

Суб'єктивно оцінювана нашим вухом гучність зростає набагато повільніше, ніж інтенсивність звукових хвиль. У той час, як інтенсивність зростає в геометричній прогресії - гучність зростає в арифметичній прогресії. На цій підставі рівень гучності визначається як логарифм відношення інтенсивності даного звуку до інтенсивності, прийнятої за вихідну

Одиниця рівня гучності називається білому. Використовують і більш дрібні одиниці - децибели(В 10 разів менше білого).

де - коефіцієнт поглинання звуку.

Величина коефіцієнта поглинання звуку зростає пропорційно квадрату частоти звуку, тому низькі звуки поширюються далі високих.

В архітектурній акустиці для великих приміщень істотну роль відіграє реверберація або гучність приміщень. Звуки, відчуваючи багаторазові відбиття від огороджувальних поверхонь, сприймаються слухачем протягом деякого досить великого проміжку часу. Це збільшує силу доходить до нас звуку, однак, при занадто тривалої реверберації окремі звуки накладаються один на одного і мова перестає сприйматися розбірливо. Тому стіни залів покривають спеціальними звукопоглинальними матеріалами для зменшення реверберації.

Джерелом звукових коливань може служити будь-який тіло, що коливається: язичок дзвінка, камертон, струна скрипки, стовп повітря в духових інструментах і т.д. ці ж тіла можуть служити і приймачами звуку, коли вони починають рухатися під дією коливань навколишнього середовища.

ультразвук

Щоб отримати спрямовану, тобто близько до плоскої, хвилю розміри випромінювача повинні бути в багато разів більше довжини хвилі. Звукові хвилі в повітрі мають довжину до 15 м, в рідких і твердих тілах довжина хвилі ще більше. Тому побудувати випромінювач, який створював би спрямовану хвилю подібної довжини, практично не представляється можливим.

Ультразвукові коливання мають частоту понад 20000 Гц, тому довжина хвилі їх дуже мала. Зі зменшенням довжини хвилі зменшується також роль дифракції в процесі поширення хвиль. Тому ультразвукові хвилі можуть бути отримані у вигляді спрямованих пучків, подібних пучків світла.

Для збудження ультразвукових хвиль використовують два явища: зворотний п'єзоелектричний ефекті магнітострикція.

Зворотний п'єзоелектричний ефект полягає в тому, що платівка деяких кристалів (сегнетової солі, кварцу, титанату барію і ін.) Під дією електричного поля злегка деформується. Помістивши її між металевими обкладинками, на які подається змінна напруга, можна викликати вимушені коливання пластинки. Ці коливання передаються навколишньому середовищу і породжують в ній ультразвукову хвилю.

Магнітострикція полягає в тому, що феромагнітні речовини (залізо, нікель, їх сплави і т.д.) під дією магнітного поля деформуються. Тому, помістивши феромагнітний стержень в змінне магнітне поле, можна порушити механічні коливання.

Високі значення акустичних швидкостей і прискорень, а також добре розроблені методи вивчення та прийому ультразвукових коливань, дозволили використовувати їх для вирішення багатьох технічних завдань. Перерахуємо деякі з них.

У 1928 р радянський вчений С.Я. Соколов запропонував використовувати ультразвук для цілей дефектоскопії, тобто для виявлення прихованих внутрішніх дефектів типу раковин, тріщин, рихлоти, шлакових включень та ін. в металевих виробах. Якщо розміри дефекту перевищують довжину хвилі ультразвуку, то ультразвуковий імпульс відбивається від дефекту і повертається назад. Посилаючи в виріб ультразвукові імпульси, і реєструючи відображені ехосигнали, можна не тільки виявляти наявність дефектів у виробах, а й судити про розміри і місце розташування цих дефектів. В даний час цей метод широко використовується в промисловості.

Спрямовані ультразвукові пучки знайшли широке застосування для цілей локації, тобто для виявлення у воді предметів і визначення відстані до них. Вперше ідея ультразвукової локації була виказати видатним французьким фізиком П. Ланжевеном і розроблена ним під час першої світової війни для виявлення підводних човнів. В даний час принципи гидролокациі використовуються для виявлення айсбергів, косяків риби і т.д. цими методами може бути також визначена глибина моря під днищем корабля (ехолот).

Ультразвукові хвилі великої амплітуди широко застосовуються в даний час в техніці для механічної обробки твердих матеріалів, очищення дрібних предметів (деталей годинникових механізмів, трубопроводів і т.д.), поміщених в рідину, знегажування і т.д.

Створюючи при своєму проходженні сильні пульсації тиску в середовищі, ультразвукові хвилі зумовлюють цілий ряд специфічних явищ: подрібнення (диспергування) частинок, зважених в рідини, освіта емульсій, прискорення процесів дифузії, активацію хімічних реакцій, вплив на біологічні об'єкти і т.д.

Якщо в середовищі поширюються одночасно кілька хвиль, то коливання частинок середовища виявляються геометричній сумою коливань, які здійснювали б частинки при поширенні кожної з хвиль окремо. Отже, хвилі просто накладаються одна на іншу, не бунтували один одного. Це твердження називається принципом суперпозиції хвиль. Принцип суперпозиції стверджує, що рух, викликане поширенням відразу декількох хвиль, є знову деякий хвильовий процес. Таким процесом, наприклад, є звучання оркестру. Воно виникає від одночасного збудження звукових коливань повітря окремими музичними інструментами. Чудово, що при накладенні хвиль можуть виникати особливі явища. Їх називають ефектами складання або, як ще кажуть, суперпозиції хвиль. Серед цих ефектів найбільш важливими є інтерференція і дифракція.

Інтерференція - явище стійкого в часі перерозподілу енергії коливань в просторі, в результаті якого в одних місцях коливання посилюються, а в інших послаблюються. Це явище виникає при складанні хвиль з зберігається в часі різницею фаз, так званих когерентних хвиль. Інтерференцію великого числа хвиль прийнято називати дифракцией. Принципової різниці між інтерференцією і дифракцією немає. Природа цих явищ одна і та ж. Ми обмежимося обговоренням тільки одного дуже важливого интерференционного ефекту, який полягає в утворенні стоячих хвиль.

необхідною умовою освіти стоячих хвиль є наявність кордонів, що відображають падаючі на них хвилі. Стоячі хвилі утворюються в результаті додавання падаючих і відбитих хвиль. Явища такого роду зустрічаються досить часто. Так, кожен тон звучання будь-якого музичного інструменту порушується стоячій хвилею. Ця хвиля утворюється або в струні (струнні інструменти), або в стовпі повітря (духові інструменти). Відбивають межами в цих випадках є точки закріплення струни і поверхні внутрішніх порожнин духових інструментів.

Кожна стояча хвиля має такі властивості. Вся область простору, в якій порушена хвиля, може бути розбита на клітинки таким чином, що на межі комірок коливання повністю відсутні. Точки, розташовані на цих кордонах, називаються вузлами стоячої хвилі. Фази коливань у внутрішніх точках кожного осередку однакові. Коливання в сусідніх осередках відбуваються назустріч один одному, тобто в протифазі. В межах одного осередку амплітуда коливань змінюється в просторі і в якомусь місці досягає максимального значення. Точки, в яких це спостерігається, називаються пучностями стоячій хвилі. Нарешті, характерною властивістю стоячих хвиль є дискретність спектра їх частот. У стоячій хвилі коливання можуть відбуватися тільки зі строго визначеними частотами, і перехід від однієї з них до іншої відбувається стрибком.

Розглянемо простий приклад стоячій хвилі. Припустимо, що струна обмеженої довжини натягнута вздовж осі; кінці її жорстко закріплені, причому лівий кінець знаходиться на початку координат. Тоді координата правого кінця буде. Порушимо в струні хвилю

,

що поширюється уздовж зліва направо. Від правого кінця струни хвиля відіб'ється. Припустимо, що це станеться без втрати енергії. В цьому випадку відбита хвиля буде мати ту ж амплітуду і ту ж частоту, що і падаюча. Тому відбита хвиля повинна мати вигляд:

Її фаза містить постійну, визначальну зміна фази при відображенні. Оскільки відображення відбувається на обох кінцях струни і без втрат енергії, то в струні будуть одночасно поширюватися хвилі однакових частот. Тому при додаванні і повинна виникнути інтерференція. Знайдемо результуючу хвилю.

Це і є рівняння стоячій хвилі. З нього випливає, що в кожній точці струни відбуваються коливання з частотою. При цьому амплітуда коливань в точці дорівнює

.

Так як кінці струни закріплені, то там коливання відсутні. З умови випливає, що. Тому остаточно отримаємо:

.

Тепер ясно, що в точках, в яких, коливання відсутні зовсім. Ці точки і є вузлами стоячої хвилі. Там же, де, амплітуда коливань максимальна, вона дорівнює подвоєному значенню амплітуди коливань, що. Ці точки є пучностями стоячій хвилі. У появі пучностей і вузлів якраз і полягає інтерференція: в одних місцях коливання посилюються, а в інших зникають. Відстань між сусідніми вузлом і пучності знаходиться з очевидного умови:. Оскільки, то. Отже, відстань між сусідніми вузлами.

З рівняння стоячої хвилі видно, що множник при переході через нульове значення змінює знак. Відповідно до цього фаза коливань по різні боки від вузла відрізняється на. Це означає, що точки, що лежать по різні боки від вузла, коливаються в протифазі. Всі точки, укладені між двома сусідніми вузлами, коливаються в однаковій фазі.

Таким чином, при складанні падаючої і відбитої хвиль дійсно можна отримати картину хвильового руху, яка була охарактеризована раніше. При цьому осередку, про які йшла мова, в одновимірному випадку є відрізки, укладені між сусідніми вузлами і мають довжину.

Переконаємося, нарешті, в тому, що розглянута нами хвиля може існувати тільки при строго певних частотах коливань. Скористаємося тим, що коливання на правому кінці струни відсутні, тобто. Звідси виходить, що. Це рівність можливо, якщо, де - ціле довільне позитивне число.