Визначення передавальної функції W(p).

07.05.2021

Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії

$W$ -функція Ламбертавизначається як зворотна функція до $f(w)=w e^w$ для комплексних $w$ . Позначається $W(x)$ або $\operatorname(LambertW)(x)$ . Для будь-якого комплексного $z$ вона визначається функціональним рівнянням:

$z=W(z) e^(W(z))$

$W$ -функція Ламберта може бути виражена в елементарних функціях . Вона застосовується в комбінаториці, наприклад, при підрахунку числа дерев, а також при вирішенні рівнянь.

Історія

Функція вивчалася ще роботі Леонарда Ейлера в 1779 року , але мала самостійного значення і назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple, де для неї використовувалося ім'я LambertW. Ім'я Йоганна Генріха Ламберта було обрано, оскільки Ейлер посилався у своїй роботі на праці Ламберта, і оскільки «називати ще одну функцію ім'ям Ейлера було б марно».

Багатозначність

Оскільки функція $f(w)$ не є ін'єктивною на інтервалі $(-\infty,0)$ , $W(z)$ є багатозначною функцією на $[-\frac(1)(e),0)$ . Якщо обмежитися речовими $z = x\geqslant-1/e$ і вимагати $w\geqslant -1$ , буде визначено однозначну функцію $W_0(x)$ .

Асимптотики

Корисно знати функції асимптотики при прагненні до деяких ключових точок. Наприклад, для прискорення збіжності під час виконання рекурентних розрахунків.

$\left.W(z)\right|_(z \to \infty) = \log(z)-\log(\log(z))$

$\left.W(z)\right|_(z \to -\frac(1)(e)) = \sqrt( 2 (ez + 1) )-1$

Інші формули

\int_(0)^(\pi) W\bigl(2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt(\pi)

\int_(0)^(+\infty) W\left(\frac(1)(x^2)\right)\;\mathrm dx = \sqrt(2\pi)

\int_(0)^(+\infty) \frac(W(x))(x\sqrt(x))\mathrm dx = 2\sqrt(2\pi)

Властивості

За допомогою диференціювання неявної функції можна отримати, що за $z\ne -\tfrac(1)(e)$ функція Ламберта задовольняє наступного диференціального рівняння:

$(dW\over dz) = \frac(1)(z) \frac(W(z))(W(z)+1).$ $e^(-c x) = a_o (x-r_1) (x-r_2) ~~\qquad\qquad(2)$ і де константи r 1 і r 2 є корінням цього квадратичного багаточлена. У разі рішенням цього рівняння є функція з аргументом x, а r i та a o є параметрами цієї функції. З цієї точки зору, незважаючи на те, що дане узагальнене застосування W-функції Ламберта нагадує гіпергеометричну функцію та функцію “Meijer G”, воно належить до іншого типу функцій. r 1 = r 2 то обидві сторони рівняння (2) можуть бути спрощені до рівняння (1), і таким чином загальне рішенняспрощується до стандартної W-функції. Рівняння (2) показує визначальні відносини в скалярному полі дилатонної , з чого випливає вирішення задачі вимірювання лінійної гравітації парних тіл в 1+1 вимірах (вимір простору та вимірювання часу) у разі нерівних мас, а також вирішення задачі двовимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з потенціалом вигляді дельта-функції Дірака для різних зарядів в одному вимірі. $e^(-cx) = a_o \frac(\displaystyle \prod_(i=1)^(\infty) (x-r_i))(\displaystyle \prod_(i=1)^(\infty) (x-s_i )) \qquad \qquad\qquad(3)$ де r i та s i константи, а xє функцією між внутрішньою енергією та відстанню всередині ядра R. Рівняння (3), а також його спрощені форми, виражені в рівняннях (1) та (2), відносяться до типу диференціальних рівняньіз запізненням.

Застосування W-Функції Ламберта в основних проблемах фізики не обмежуються стандартним рівнянням (1), як було нещодавно показано в областях атомної, молекулярної та оптичної фізики.

Обчислення

$W$ -функція може бути приблизно обчислена за допомогою рекурентного співвідношення:

w_(j+1)=w_j-\frac(w_j e^(w_j)-z)(e^(w_j)(w_j+1)-\frac((w_j+2)(w_je^(w_j)-z) ) (2w_j+2))

Приклад програми на мові Python:

import math def lambertW(x, prec=1e-12): w = 0 for i in xrange(100): wTimesExpW = w*math.exp(w) wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w) w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2)) if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): break if ( prec<= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x return w

Для наближеного обчислення можна використовувати формулу: !!!Наведена функція схожа, але більш ніж на 10% відрізняється від функції Ламберта

W(x) \approx \left\( \begin(matrix) 0(,)665\cdot (1+0(,)0195\ln(x+1))\ln(x+1) + 0(,) 04 & \ :\ & 0 500 \end(matrix) \right.

Напишіть відгук про статтю "W-функція Ламберта"

Посилання

Corless та ін. (1996). "". Adv. Computational Maths. 5 : 329-359.
T. C. Scott, R. B. Mann (2006). "". AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing) 17 (1): 41–47. DOI :10.1007/s00200-006-0196-1.
T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst (2013). "". SIGSAM (ACM Special Interest Group в Symbolic and Algebraic Manipulation) 47 (185): 75–83.
T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst, W.Z. Чжан (2014). "". SIGSAM 48 (1/2): 42–56.
PS Farrugia, RB Mann, TC Scott (2007). "". Class. Quantum Grav. 24 (18): 4647-4659. DOI: 10.1088/0264-9381/24/18/006.
T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst (2006). "". Chem. Phys. 324 : 323-338. DOI: 10.1016/j.chemphys.2005.10.031.
Maignan, Aude (2016). "Fleshing out the Generalized Lambert W Function". SIGSAM 50 (2): 45-60. DOI: 10.1145/2992274.2992275.
T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III (2007). "The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions". Phys. Rev. A 75 : 060101. DOI :10.1103/PhysRevA.75.060101 .
у пакеті

Уривок, що характеризує W-функція Ламберта

– А другий то австріяк, з ним був, наче крейдою вимазаний. Як мука, білий. Я чай, як чистять амуніцію!
- Що, Федешоу! ... казав він, чи, коли страждання почнуться, ти ближче стояв? Говорили все, у Брунові сам Бунапарт стоїть.
- Бунапарт стоїть! бач, бреше, дурепа! Чого не знає! Тепер прусак бунтує. Австріяк його, значить, утихомирює. Як він примириться, тоді і з Бунапартом війна відкриється. А то, каже, у Брунові Бунапарті стоїть! То й видно, що дурень. Ти слухай більше.
– Бач чорти квартир'єри! П'ята рота, дивись, уже на село завертає, вони кашу зварять, а ми ще до місця не дійдемо.
- Дай сухарика те, чорте.
- А тютюну то вчора дав? То, брате. Ну, на, Бог із тобою.
- Хоч би привал зробили, а то ще верст п'ять не їсти.
— То любо було, як німці нам коляски подавали. Їдеш, знай: важливо!
- А тут, брате, народ зовсім шалений пішов. Там все начебто поляк був, все російської корони; а нині, брате, суцільний німець пішов.
- Пісенники вперед! – почувся крик капітана.
І перед ротою з різних лав вибігло чоловік двадцять. Барабанник заспівало обернувся обличчям до піснярів, і, махнувши рукою, затягнув протяжну солдатську пісню, що починалася: «Чи не зоря, сонечко займалося…» і закінчилася словами: «То те, братики, буде слава нам з Каменським батьком…» Пісня ця була складена у Туреччині і співалася тепер в Австрії, тільки з тією зміною, що на місце «Каменським батьком» вставляли слова: «Кутузовим батьком».
Відірвавши по солдатськи ці останні слова і махнувши руками, ніби він кидав щось на землю, барабанщик, сухий і гарний солдат років сорока, суворо оглянув солдатів піснярів і замружився. Потім, переконавшись, що всі очі спрямовані на нього, він ніби обережно підняв обома руками якусь невидиму, дорогоцінну річ над головою, потримав її кілька секунд і раптом відчайдушно кинув її.
Ах, ви, сіни мої, сіни!
«Сені нові мої…», підхопили двадцять голосів, і ложечник, незважаючи на тяжкість амуніції, жваво вискочив уперед і пішов задом перед ротою, поворухуючи плечима і погрожуючи комусь ложками. Солдати, розмахуючи руками в такт пісні, йшли просторим кроком, мимоволі потрапляючи в ногу. Позаду роти почулися звуки коліс, похрумкування ресор і тупіт коней.
Кутузов із почтом повертався до міста. Головнокомандувач дав знак, щоб люди продовжували йти вільно, і на його обличчі і на всіх обличчях його почту висловилося задоволення при звуках пісні, побачивши танцюючого солдата і солдатів роти, що весело і жваво йшли. У другому ряду, з правого флангу, з якого коляска обганяла роти, мимоволі впадав у вічі блакитноокий солдат, Долохов, який особливо жваво і граціозно йшов у такт пісні і дивився на обличчя проїжджаючих з таким виразом, наче він шкодував усіх, хто не йшов. у цей час із ротою. Гусарський корнет із почту Кутузова, який передразнивав полкового командира, відстав від коляски і під'їхав до Долохова.
Гусарський корнет Жерков у свій час у Петербурзі належав до того буйного суспільства, яким керував Долохов. За кордоном Жерков зустрів Долохова солдатом, але не вважав за потрібне впізнати його. Тепер, після розмови Кутузова з розжалованим, він із радістю старого друга звернувся до нього:
- Друг сердешний, ти як? - сказав він при звуках пісні, рівняючи крок свого коня з кроком роти.
- Я як? - відповів холодно Долохов, - як бачиш.
Жвава пісня надавала особливого значення тону розв'язної веселості, з якою говорив Жерков, і навмисної холодності відповідей Долохова.
– Ну, як ладнаєш із начальством? - Запитав Жерков.
- Нічого, добрі люди. Ти як у штаб затесався?
- Прикомандований, чергую.
Вони помовчали.
"Випускала сокола та з правого рукава", говорила пісня, мимоволі збуджуючи бадьоре, веселе почуття. Розмова їх, мабуть, була б іншою, якби вони говорили не при звуках пісні.
- Що правда, австрійців побили? - Запитав Долохов.
– А чорт їх знає, кажуть.
- Я радий, - відповів Долохов коротко і ясно, як того вимагала пісня.
- Що ж, приходь до нас колись увечері, фараон закладеш, - сказав Жерков.
– Чи у вас багато грошей завелося?
– Приходь.
– Не можна. Зарок дав. Не п'ю і не граю, доки не зроблять.
– Та що ж, до першої справи…
- Там буде видно.
Знову вони помовчали.
– Ти заходь, коли що треба, всі у штабі допоможуть… – сказав Жерков.
Долохов посміхнувся.
- Ти краще не турбуйся. Мені що треба, я просити не стану, сам візьму.
– Та що ж, я так…
– Ну, я так.
– Прощавай.
- Будь здоров…
… і високо, і далеко,
На рідний бік...
Жерков торкнув шпорами кінь, який три рази, гарячкував, перебив ногами, не знаючи, з якого почати, впорався і поскакав, обганяючи роту і наздоганяючи коляску, теж у такт пісні.

Повернувшись з огляду, Кутузов, супутній австрійським генералом, пройшов у свій кабінет і, клікнувши ад'ютанта, наказав подати собі деякі папери, що належали до стану військ, і листи, отримані від ерцгерцога Фердинанда, який керував передовою армією. Князь Андрій Болконський із необхідними паперами увійшов до кабінету головнокомандувача. Перед розкладеним на столі планом сиділи Кутузов та австрійський член гофкрігсрату.
– А… – сказав Кутузов, оглядаючись на Болконського, ніби цим словом запрошуючи ад'ютанта почекати, і продовжував французькою розмовою.
- Я тільки говорю одне, генерале, - говорив Кутузов із приємною витонченістю висловів та інтонації, що змушувало вслухатися в кожне неквапливо сказане слово. Видно було, що Кутузов сам із задоволенням слухав себе. - Я тільки одне кажу, генерале, що якби справа залежала від мого особистого бажання, то воля його величності імператора Франца давно була б виконана. Я давно вже приєднався б до ерцгерцога. І вірте моїй честі, що для мене особисто передати вище начальство армією більше за мене обізнаного й майстерного генерала, яким така багата Австрія, і скласти з себе всю цю тяжку відповідальність для мене особисто було б відрадою. Але обставини бувають сильнішими за нас, генерале.
І Кутузов усміхнувся з таким виразом, ніби він казав: «Ви маєте повне право не вірити мені, і навіть мені абсолютно байдуже, чи вірите ви мені чи ні, але ви не маєте приводу сказати це мені. І в цьому вся справа».
Австрійський генерал мав незадоволений вигляд, але не міг не в тому самому тоні відповідати Кутузову.
- Навпаки, - сказав він буркотливим і сердитим тоном, що так суперечило приємному значенню слів, що вимовляються, - навпаки, участь вашого превосходительства в загальній справі високо цінується його величністю; але ми вважаємо, що справжнє уповільнення позбавляє славні російські війська та його головнокомандувачів тих лаврів, що вони звикли пожинати в битвах, – закінчив він мабуть підготовлену фразу.
Кутузов вклонився, не зраджуючи посмішки.
- А я так переконаний і, ґрунтуючись на останньому листі, яким вшанував мене його високість ерцгерцог Фердинанд, припускаю, що австрійські війська, під начальством такого майстерного помічника, який генерал Мак, тепер уже здобули рішучу перемогу і не потребують більше нашої допомоги, - сказав Кутузов.
Генерал насупився. Хоч і не було позитивних звісток про поразку австрійців, але було надто багато обставин, що підтверджували спільні невигідні чутки; і тому припущення Кутузова про перемогу австрійців було схоже на глузування. Але Кутузов лагідно посміхався, все з тим самим виразом, який говорив, що він має право припускати це. Дійсно, останній лист, отриманий ним з армії Мака, сповіщав його про перемогу і про найвигідніше стратегічне становище армії.

19.2.1. ВизначенняФункція комплексної змінної нічим не відрізняється від загального визначення функціональної залежності. Нагадаємо , що областюна площині ми називаємо будь-яке відкрите зв'язкове безліч точок цієї площини. Область однозв'язкова, якщо будь-яка підобласть, обмежена безперервною замкнутою самонепересекающейся кривою, що у цій галузі, цілком належить області.

Розглянемо дві площини комплексних чисел: C = {z | z = x + iy ) та W = {w | w = u + iv ). Нехай у площині З задана область D і задано правило, що ставить у відповідність кожній точці
певне комплексне число
. У цьому випадку кажуть, що на області D визначено однозначна функція w = f (z ) (або визначено відображення
). Область D називається областю визначення функції, безліч - безліччю значень функції (або образом області D при відображенні f .

Якщо кожному
ставиться у відповідність кілька значень
(тобто крапка z має кілька образів), то функція w = f (z ) називається багатозначною.

Функція w = f (z ) називається про днолистийв області
якщо вона взаємно однозначно відображає область D на область
(тобто кожна точка
має єдиний образ
, і назад, кожна точка
має єдиний прообраз
.

19.2.2. Дійсна та уявна частина функції комплексної змінної. Так як

w = u + iv , z = x + iy , то залежність w = f (z ) можна записати у вигляді

w = u + iv = f (z ) = f (x + iy ) = Re f (x + iy ) + i Im f (x + iy ). Таким чином, завдання комплекснозначної фуакції w = f (z ) комплексної змінноїz рівносильне завданню двох дійсних функційu = u (x , y ) = Re f (z ), v = v (x , y ) = Im f (z ) двох дійсних змінних х , у .

приклади: 1. w = z 3 . Висловлюємо z 3 через х ,у : z 3 = (x + iy ) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 x i 2 y 2 + i 3 y 3 =

2. w = e z . Тут

Далі багато властивостей ФКП (функцій комплексної змінної) ми будемо формулювати в термінах її дійсної частини u (x , y ) та уявної частини v (x , y ), тому техніка виділення цих частин має бути добре відпрацьована.

19.2.3. Геометричне зображення ФКП. Завдання функції w = f (z ) як пари

u = u (x , y ), v = v (x , y ) наводить на думку зображати ФКП як пару поверхонь u (x , y ), v (x , y ) у тривимірному просторі, проте цей спосіб незручний, тому що він не дозволяє осмислити пару ( u , v ) як комплексне число. Іноді зображають поверхню, яку називають рельєфомфункції w = f (z ). Цю поверхню наносять лінії рівня функції Arg f (z ); за наявності певного досвіду цієї інформації достатньо для того, щоб скласти уявлення про зміну функції полярних координатах. Однак універсальний спосіб зображення ФКП полягає в тому, що малюють множини, відповідні один одному при відображенні, що розглядається. Найчастіше беруть координатні лінії (декартових чи полярних координат) і знаходять їх образи.

приклади. 1. Лінійна функція w = a z + b де - фіксовані комплексні числа, a 1 , b 1 - їх дійсні частини, a 2 , b 2 - їх уявні частини.

Представимо цю функцію у вигляді суперпозиції двох функцій: w 1 = az і w = w 1 + b . Відображення
, згідно з інтерпретацією множення чисел у тригонометричній формі, призводить до збільшення (зменшення) аргументу числа z на arg a та розтягування (стиснення) його модуля в | a | разів; відображення
призводить до зсуву точки: w 1 на вектор: b (b 1 , b 2). Таким чином, лінійна функція w = a z + b розтягує (при
) кожен вектор z у | a | раз (або стискає його в разів при | a | <1), поворачивает на угол arg a і зрушує на вектор b . В результаті всі прямі перетворюються на прямі, кола - в кола.

2. Ступенева функція w = z 2 . Розглянемо цю функцію у верхній напівплощині

C + = {z | y = Im z >0). У показовій формі w = z 2 = (|z | e i arg z ) 2 = |z | 2 e 2 i arg z . Отже, півколо переходить у коло з виколотою точкою ,

промінь - у промінь. Вся верхня напівплощина З + перейде в площину W з викинутою позитивною піввіссю.

П уявімо це відображення в декартових координатах. Так як

w = z 2 = (x + iy ) 2 = x 2 - y 2 + 2 ixy , то u (x , y ) = x 2 - y 2 , v (x , y ) = 2 xy . Знайдемо образи координатних ліній. Пряма y = y 0 перейде в криву, параметричні рівняння якої u = x 2 – y 0 2 ,

v = 2 xy 0 (х - Параметр). Виключаючи х , отримаємо рівняння параболи
. Промінь
перейде в u = x 0 2 – y 2 ,

v = 2 x 0 y (параметр y >0). Виключаючи у , отримаємо гілку параболи
.

З v = 2 x 0 y випливає, що v зберігає знак x 0 , тому це буде верхня гілка при x 0 >0, і нижня при x 0 <0. Луч x 0 = 0 перейде в промінь u < 0, v = 0.

Ми розглядаємо функцію w = z 2 у верхній напівплощині З + , незважаючи на те, що вона визначена у всій площині З з тієї причини, що вона однолиста в цій напівплощині. Нижня напівплощина C - = {z | y = Im z <0} при отображении w = z 2 також накриє всю площину W (за винятком позитивної півосі). Якщо розглядати весь образ площини З при цьому відображенні, то він складатиметься з двох екземплярів площини W (Двох листів, що накривають цю площину).

На цьому прикладі ми отримали алгоритм побудови образів ліній та областей під час відображення w = f (z ). Якщо w = u (x , y ) + iv (x , y ), те, щоб знайти рівняння образу лінії L : F (x , y ) = 0 при відображенні, треба із системи рівнянь
виключити змінні х і у ; в результаті буде отримано рівняння
образу лінії L у площині W . Щоб знайти образ області D , обмеженою замкненою кривою L , треба знайти образ цієї лінії, якщо образ - замкнута лінія, далі треба визначити, чи переходить D в область, обмежену цією лінією, або зовнішність цієї області.

П рімер: нехай z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + i , z 3 = 1 + 2 i . Знайти образ трикутника z 1 z 2 z 3 під час відображення w = z 2 .

Знаходимо, куди відбиваються вершини трикутника. w 1 = z 1 2 = (1 + i ) 2 = 1 + 2i - 1 = 2i ;

w 2 = z 2 2 = (2 + i ) 2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i ;

w 3 = z 3 2 = (1 + 2i ) 2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i . Сторона z 1 z 2 є частиною прямої у =у 0 =1. Ця пряма відображається, як ми бачили, у параболу
. Нам потрібна частина цієї параболи між точками w 1 і w 2 . Далі, сторона z 1 z 3 є частиною прямої х =х 0 =1, що відображається в параболу
; беремо ділянку цієї параболи між точками w 1 і w 3 . Сторона z 2 z 3 лежить на прямій х +у =3; рівняння образу цієї прямої отримаємо, виключивши із системи
змінні х і у : . Ділянка цієї параболи між точками w 2 та w 3 і дасть образ сторони z 2 z 3 . Зображення трикутника збудовано. Легко переконатися, що область, обмежена цим трикутником, переходить у нутро криволінійного трикутника w 1 w 2 w 3 (для цього достатньо знайти, наприклад, образ однієї точки цієї області).

3. Більш загальна статечна функція w = z n , де n - натуральне число, діє аналогічно до функції w = z 2 . Так як w = z n = (|z | e i arg z ) n = |z | n e i n arg z , то це відображення збільшує в n раз усі кути з вершиною в точці z= 0. Будь-які дві точки z 1 і z 2 з однаковими модулями та аргументами, що відрізняються на число, кратне (і лише вони), переходять в одну точку w , тобто. "склеюються" при відображенні. Отже, відображення неоднолисте у жодній області, що містить такі точки. Приклад області, де це відображення однолистно - сектор
. Цей сектор перетворюється на область, тобто. у площину W з викинутою позитивною піввіссю. Будь-яка область, укладена в секторі розчину менше , однолистно відображається в W .

19.2.4. Межа ФКП.

Визначення.Нехай функція w = f (z ) визначена в проколотій околиці точки z 0 = x 0 + iy 0 . Комплексне число w 0 = u 0 + iv 0 називається межею функції при
якщо для будь-якої -околиці
(>0) точки w 0 знайдеться така проколота -околиця
крапки z 0 , що для всіх
значення f (z ) належать
. Іншими словами, якщо z 0 - власна точка площини, то для будь-якого >0 має існувати таке >0, що з нерівності
слідує нерівність
(аналогічно розписується визначення для невласної точки
). Таким чином, мовою -визначення межі ФКП повністю збігається з визначенням межі функції однієї дійсної змінної; позначається межа, як завжди:
.

Нерівність
означає, що , або . Для модуля комплексних чисел справедливі всі основні властивості абсолютної величини, зокрема, тому звідси легко отримати, що

. Таким чином, існування межі функції комплексної змінної рівносильне існуванню меж двох дійсних функцій u (x , y ) та v (x , y ) двох дійсних змінних. Тому в комплексний аналіз автоматично переносяться всі теореми про межу функції в точці (межа суми функцій тощо). Так само можна довести, що якщо , то
(Для існування нульової межі достатньо, щоб
).

19.2.5. Безперервність ФКП.Нехай функція w = f (z ) визначена на околиці точки z 0 = x 0 + iy 0 . Функція називається безперервною у точці z 0 якщо:

Як і у випадку межі, можна показати, що w = f (z ) буде безперервною в точці z 0 = x 0 + iy 0 тоді і лише тоді, коли функції u (x , y ) та v (x , y ) безперервні в точці ( x 0 , y 0), тому на ФКП переносяться всі основні теореми про безперервність функцій.

Кафедра Інформаційно-керуючих систем

Курсова робота з автоматики на тему: «Аналіз та синтез системи автоматичного управління».

Виконав:

Варіант 7

Перевірив:

Москва 2008

Вступ 4

Розрахунково-графічна частина: 6

1. Визначення передавальної функції W(p) 6

2.Визначення передавальної функції W(p) 7

3. Визначення передавальної функції W(p) 9

4. Визначення передавальної функції W(p) 10

5. Розрахунок перехідного процесу регульованого параметра в САУ 13

6. Визначення показників якості регулювання та максимального регульованого параметра. 15

7. Визначення показників якості регулювання 15

8. Побудова ЛАЧХ не змінюваної частини розімкнутої САУ 15

9. Побудова бажаної ЛАЧХ 17

10. Визначення ЛАЧХ коригувального ланки 19

11.Визначення передавальної функції розімкнутою САУ за бажаною ЛАЧХ 19

12.Визначення передавальної функції коригувального ланки по ЛАЧХ 20

13. Розрахунок перехідного процесу скоригованої САУ 21

14. Визначення запасу стійкості скоригованої САУ за амплітудою та фазою. 21

15. Визначення показників якості регулювання скоригованої САУ 23

Висновок 25

Список використаних джерел 26
ВСТУП

Автоматичне регулювання є найбільш ефективним принципом автоматики при частковій автоматизації, коли технічні засоби автоматики здійснюють лише прості функціїуправління, пов'язані з вимірюванням, аналізом, контролем різних фізичних величин та відпрацюванням рішень, прийнятих оператором у вигляді установок, програм або інших сигналів управління.

На зміну частковою прийшла комплексна автоматизація, коли здійснюється автоматизація не тільки функцій управління, але і викликаних виробленням цих сигналів або прийняттям рішень, виходячи з цілей управління. В даний час системи автоматичного регулювання (САР) є основним технічним засобомдля створення автоматизованих виробництв, цехів, технологічних процесів

Складність сучасних автоматичних системзначно зросла. Якщо в період часткової автоматизації вони зазвичай складалися з окремих систем автоматичного регулювання, взаємна координація дій яких здійснювалася людиною, то тепер виникла необхідність автоматичної координації їх дій і, отже, у створенні складних взаємопов'язаних та багаторівневих систем автоматичного регулювання (САУ). Причому, на першому рівні досліджуються та автоматизуються порівняно прості локальні процеси регулювання, а на другому та наступних – процеси управління, що мають більш загальний та складний характер.

Теоретично автоматичного управління можна назвати дві характерні завдання:

· У заданій САУ знайти та оцінити перехідні процеси – це завдання аналізу САУ;

· За заданими перехідними процесами та основними показниками розробити САУ – це завдання синтезу САУ.

Друге завдання складніше через свою неоднозначність, багато що визначається творчими здібностями проектувальника. Тому зазвичай завдання синтезу САУ ставиться обмежено. Вважається, що основна частина системи вже задана, що зазвичай має місце. Потрібно синтезувати коригувальні ланки, тобто. вибрати їх схему та параметри. При цьому необхідно, щоб в результаті корекції САУ забезпечувався необхідний запас стійкості, точність управління в режимах, що встановилися, і якість управління в динамічних режимах.

Синтез автоматичних систем є основним і практично найважливішим додатком результатів, отриманих теорією автоматичного регулювання та управління.

Синтез системи – це вибір її структури та складових елементів – їхньої фізичної природи, конструкції та параметрів. При цьому властивості системи повинні задовольняти деяким наперед встановленим вимогам. Пред'являються як загальноінженерні вимоги щодо габаритів, ваги, вартості, надійності тощо, так і вимоги специфічні – до статичних та динамічних властивостей системи, якості регулювання.

Завданням даної курсової роботиє аналіз заданої системи автоматичного регулювання та її синтез з метою поліпшення її властивостей.

Розглянемо статечну функцію

Мал. 23

де п- натуральне число. Похідна w" = nzn ~ 1існує і відмінна від нуля у всіх точках z ф 0, z фоо. Тому відображення, яке здійснюється функцією (10.1), є конформним у всіх точках, крім z = 0 год z = оо.Якщо записати змінні zі wу показовій формі, z = re l w - ре 1в, то (10.1) призводить до рівностей

(ми вже розглядали відображення (10.1) для випадку п= 2 у прикладі 5.1). Звідси видно, що кола z = гпереходять до кола |-ш| = г", кут 0 ip а 2 it/n, з вершиною на початку координат, що лежить у площині змінного z, відображається на кут 0 у площині ш. Отже, конформність відображення порушується у точці z =0 : кути в цій точці збільшуються при відображенні в празів. Неважко показати, що відображення (10.1) не є конформним і у точці z = оо(спробуйте зробити це самостійно).

Нехай крапки zі z-2 такі, що Z2 = п^ 2. Легко ви

діти, що Z ф 22, та Zo= г”е /п з вершиною на початку координат.

Щоб ввести функцію, зворотну статечною, нам потрібні такі визначення.

Багатозначною функцією комплексного змінногоназивається правило (закон), за яким комплексним числом zз множини Dвідповідає кілька (можливо, нескінченно багато) комплексних чисел w.

Усі функції, розглянуті раніше (крім функції Argz), були однозначними. Функція Argz є багатозначною:

де argz - головне значення аргументу та до -будь-яке ціле число. Надалі під терміном функція, що використовується без будь-яких пояснень, мається на увазі однозначна функція; багатозначність досліджуваних функцій завжди обговорюватиметься додатково.

Нехай функція ш = f(z)відображає область Dна область Е. Зворотній до функції w = f(z)називається функція (власне кажучи, багатозначна) z = g(w),визначена на області Е,яка кожному комплексному числу w € Еставить у відповідність усі комплексні числа z € D,такі що f(z) = w.

Іншими словами, функція, зворотна до w = f(z),- це правило, за яким кожній точці w € Евідповідають усі її прообрази z € D.

Якщо функція і)= /(г) однолистна D, то зворотна функція однозначна (і також однолистная) в Еякщо w = f(z)не однолиста, то зворотна функція буде багатозначною. Наприклад, зворотної до функції w = z nє багатозначна функція z - y/w:кожному значенню ш, відмінному від 0 та оо, відповідає прізних коренів п-йступеня, що визначаються формулою (2.12). Числа 0 і ос мають один корінь: >/0 = 0, >/оо = оо.

Теорема 10.1. Нехай функція w = f(z) однолистна та аполітична в області D, відображає D на область Е та f"(z) ф 0. Тоді зворотна функція z = g(w) також аполітична в області Е та

Доведення. Зафіксуємо довільну точку z € Dі візьмемо приріст Az ф 0. Тоді, через однолистість функції w= /(г), відповідне збільшення Aw = f(z + Az) - f(z)також не дорівнює нулю. Тому

Оскільки функція w = f(z)ана/штична, то вона безперервна в точці z.Отже, Aw-> 0 при Az-> 0, а з взаємної однозначності вірне і протилежне: Az-у 0 при Aw-> 0. Звідси

що і потрібно було довести.

Аргументом функції z = g(tv),зворотній w =/(-г), є змінна w.Оскільки аргумент функції часто позначають через 2, то для однаковості ієре позначають змінні zі wта пишуть w = g(z).Наприклад, зворотна функція до w = z nзапишеться як w = yfz.

Розглянемо докладніше функцію w = y/z.Як було зазначено вище, вона є багатозначною. Проте можна визначити цю функцію на безлічі складнішого пристрою, ніж комплексна площина, на якій функція w = y/zстане взаємно-однозначною та безперервною. Опишемо відповідну множину. Візьмемо пекземплярів ("листів") Do, D,..., D n -iкомплексної площини, що розрізає уздовж позитивної півосі, і розташуємо їх один над одним (на рис. 24, апоказаний випадок п= 4). Потім той край розрі-

Мал. 24, а

за області до якого ми підходимо знизу від променя ОХ(тобто але напівплощини у D склеїмо з верхнім краєм розрізу області D-2 і т.д., поки не склеїмо нижній край розрізу D n -чз верхнім краєм розрізу D n -.Тепер склеїмо нижній край розрізу області, що залишилися вільними. D n -(На рис. 24, аце D 3) з верхнім краєм розрізу області Do-У тривимірному просторі таку склейку неможливо здійснити без перетину з уже зробленими склейками проміжних листів. Але ми умовимося вважати цю склейку непересічною з попередніми (тобто точки цієї склейки вважаються відмінними від точок інших склейок). Отримана поверхня показано на рис. 24, 6 . Вона називається римановою поверхнеюфункції w = fz.Над кожною точкою комплексної площини, відмінної від 0 та ос, розташовано рівно пточок риманової поверхні. Крапки х> 0 дійсної півосі не становлять винятку, оскільки всі склеювання, розташовані над нею, вважаються такими, що не перетинаються. Лише дві точки не мають цієї властивості: z = 0 та z = ос.Всі листи риманової поверхні вважаються склеєними в точках, розташованих над точками z= 0 і z= оо.

Визначимо тепер функцію w = s/zна побудованій римановій поверхні. Нагадаємо, що якщо z - re, v? , то все коріння n-йступеня з zвизначаються формулою (2.12):

Мал. 24, б

Кут у>у цій формулі можна вибирати з будь-якого проміжку довжини 27г; нам зручно припускати, що 0 ^ ip

Крапкам z = re t лежить на аркуші Doта склеювання Doз D n _1, ставимо у відповідність значення кореня з до= 0; точкам, що лежать на аркуші D 1 та склейці Dз Do, - значення кореня з до= 1. Взагалі, точок, що лежать на D* при 1 ^ до ^ п- 1, і склеюванні D* з D*._i, відповідає значення кореня з даними до.Побудована відповідність буде однозначною функцією на римановій поверхні.

Неважко показати, що ця функція взаємно однозначно відображає риманову поверхню на всю комплексну площину. Справді,

~ - * 2ТГ* 27г(&+1) „ -

лист і добуде відображатися в кут

Покажемо, що це відображення є безперервним. Якщо точка zлежить на аркуші D* з розрізом, то безперервність у цій точці прямо випливає з формули (10.3) з фіксованим до.Для демонстрації

безперервності в точках склейок розглянемо контур на рімановій поверхні, що складається з точок, розташованих над коло z= 1 комплексної поверхні. Почнемо обходити цей контур з точки г, розташованої на верхньому краї розрізу листа По.Оскільки г = 1, кр = 0, до= 0, то w = y/z= 1. При обході першого витка контуру на аркуші Doбуде f 2iг

г-2 т . . 2 т: _ м

і Vz-> cos - + i sin -. Перейшовши по склеюванню на аркуш П.ми отримаємо, за п п

- f + 2 т . f + 2 т

визначенню, л/г = cos-+ г sin- (оскільки до = 1). Зокрема,

при = 0 буде те саме значення коріння, до якого ми наближалися, підходячи до нижнього берега розрізу але листу Do.Значить, у точках склеювання заз Пфункція sfzбуде безперервною. Аналогічно показується безперервність кореня і під час переходу з Dk-iна D* при 1^ до ^ п - 1. Нарешті, обходячи контур по листу D„_ 1 і наближаючись до нижнього краю розрізу, отримаємо до = 11 - 1, f-е 2 т, і

тобто. те саме значення, з якого ми починали на верхньому краї розрізу листа П0.Таким чином, функція>/г буде безперервною у всіх точках риманової поверхні.Як функція, зворотна до аналітичної, вона є однозначною аналітичною функцією на цій поверхні (крім точок z= 0 і z= оо).

Візьмемо будь-яке коло z= г на комплексній площині, що охоплює точку z = 0.Це коло буде охоплювати також п точку z= оо. Обходячи контур на ріманової поверхні, що складається з точок, розташованих над цим колом, ми переходимо з одного аркуша риманової поверхні на інший. Тому точки z= 0 і z= оо називаються точками розгалуження.Жодна інша точка описаною властивістю нс має: якщо взяти коло з центром у точці z ф 0, z фоо, що не містить в собі точку 0, то відповідні точки на римановой поверхні утворюють пкіл, не пов'язаних один з одним. Обминаючи кожну з них, ми не вийдемо за межі одного й того самого аркуша.

Однозначна аналітична в області Dфункція f(z)називається регулярною гілкоюбагатозначної функції F(z),визначеної в цій же області, якщо значення f(z)у кожній точці г області Dзбігається з одним із значень F(z)у цій точці.

Багатозначна функція F(z)є однозначною та аналітичною на своїй римановій поверхні (за винятком точок розгалуження). Тому можливість виділити в області Dрегулярну гілка означає можливість розташувати цю область на рімановій поверхні, не розрізаючи Dі не зачіпаючи точок розгалуження. Облап Dповинна при цьому повністю укладатися на одному аркуші або спускатися по склейці з одного аркуша на інший (як килим сходами). Наприклад, кільце 1 z F(z) = sfz, п^ 2, оскільки точки кільця.

розташовані над позитивною піввіссю, повинні одночасно потрапити на різні листи, що неможливо. Але якщо розрізати кільце за будь-яким радіусом, то таке розташування стає можливим. При цьому розташувати Dна римановій поверхні можна пспособами (і, отже, виділити в D прізних гілок функції y/z).Для виділення конкретної гілки достатньо вказати значення функції у будь-якій точці області D.Тим самим вказується лист ріманової поверхні, на який потрапляє ця точка, а значить фіксується розташування і всієї області D.

Приклад 10.2. Видати регулярну гілку f(z) функції w =

2 = e ttp : - -

Рішення. Область Dє комплексною площиною з розрізом але уявної півосі у^ 0. Отже, виділення регулярної гілки в Dможливо. За формулою (10.3)

Щоб виділити гілку /(г), потрібно знайти потрібне значення А *. Оскільки /(1) = г, то підставляючи ip= 0, г = 1, отримаємо

звідки випливає, що до= 1. Отже, потрібна гілка

Зокрема,

Ми проводили побудову риманової поверхні функції w == fz, Розрізаючи комплексну площину З вздовж позитивної півосі. Зазначимо, що вибір лінії розрізу не є принциповим: аналогічну конструкцію можна було проробити, розрізаючи, наприклад, уздовж будь-якого променя, що виходить з початку координат.

Нехай z=x+iyEC, тоді, за визначенням e z =e x (cos(y)+i∙sin(y)).

Функція w=e z визначена по всій З, вона аналітична С, т.к.

W=u+iv=ex (cos(y)+i∙sin(y)) _ (u=ex cos(y), v=ex sin(y)] _ u,vЄC 1 (R 2) та виконуються умови Коші-Рімана: ∂u/∂x=ex cos(y), ∂v/∂y=ex cos(y), ∂u/∂y=-ex sin(y), ∂x/∂x=ex sin(y) y) _ (∂y/∂x=∂v/∂y, ∂u/∂y=-∂v/∂x] _ w=ez – аналітична функція на С. (ez)"=∂(ex(cos( y)+i∙sin(y)))/∂x=ex (cos(y)+i∙sin(y))=ez .

sz 1 ,z 2 ЄC e z 1 ∙e z 2 =e z 1+ z 2 , т.к. ez 1 ∙ez 2 =ex 1 (cos(y 1)+i∙sin(y 1)), ex 2 =(cos(y 2)+i∙sin(y 2))=ex 1+ x 2 (cos (y 1 +y 2)+i∙sin(y 1 +y 2))=ez 1+ z 2 . При z=x виходить обмеження функції w=e z на речову пряму – функція e x .

Функція w=ez періодична з періодом T=2πi, ez +2π i =ez ∙e 2π i , e 2π i =e 0 (cos(2π)+i∙sin(2π))=1 _ ez +2π i =ez , szЄC.

Нехай e z 1 = e z 2 помножимо на e - z 2: e z1-z2 = 1. Число z 1 -z 2 =T 1 +i∙T 2 _ e T 1+ i ∙ T 2 =1 _ e T 1 (cosT 2 +i∙sinT 2)=1; e T 1 =1, cosT 2 =1, sinT 2 =0 _ T 1 =0, T 2 =2πk _z 1 -z 2 =2πki _ T=2πi – період. Звідси, якщо область D не містить точок z 1 і z 2 таких, що z 1 -z 2 =2πki, kЄZ, то область D – область однозадачності функції w=e z . Як D можна взяти див. рис.

Ще за темою 6. Показова функція w=ez та її основні властивості.

1 Поняття, основні властивості та класифікація юридичної науки. Методологія ТГП.
Основні властивості пухлин. Патологія мітозу та апоптозу.
39. Опишіть цілі та функції страхових компаній. Сформулюйте основні напрями страхової діяльності.
Пропозиції з відокремленими членами (поняття відокремлення; функції відокремлених членів речення). Основні умови відокремлення. Різновиди відокремлених членів та оборотів.

переглядів

Зберегти Однокласники Зберегти ВКонтакте