Linijinis priklausomybė ir linijinė vektorių nepriklausomybė.
Pagrindiniai vektoriai. Afrikos koordinatės sistema

Auditorija turi vežimėlį su šokoladu, ir kiekvienas lankytojas šiandien gaus saldus pora - analitinė geometrija su linijine algebra. Šiame straipsnyje nedelsiant iškels du aukštojo matematikos skyriai, ir pamatysime, kaip jie patenka į vieną suvynį. Padarykite pauzę, būkite nuobodu "Twix"! ... prakeikimas, gerai, nesąmoningas sporas. Nors gerai, aš nesibaigsiu, galų gale, turėtų būti teigiamas požiūris į mokymąsi.

Linijinė vektorių priklausomybė, linijinis nepriklausomybės vektoriai, pagrindas Vectors. ir kiti. Sąlygos turi ne tik geometrinį interpretaciją, bet visų pirma, algebrinė reikšmė. Labai sąvoka "vektoriaus" pagal linijinį algebrą ne visada yra "paprastas" vektorius, kurį galime pavaizduoti plokštumoje arba erdvėje. Nereikia eiti į daug įrodymų, pabandykite atkreipti penkių dimensijų erdvės vektorių. . Arba orų vektorius, dėl kurio aš tiesiog nuėjau į Gismeteo: - temperatūros ir atmosferos slėgį, atitinkamai. Pavyzdys, žinoma, neteisinga nuo vektoriaus vietos savybių požiūriu, tačiau vis dėlto niekas neleidžia formalizuoti šių parametrų vektoriais. Rudens kvėpavimas ...

Ne, aš nesiruošiu išsiųsti jūsų teorijos, linijinių vektorinių erdvių, užduotis yra suprasti Apibrėžimai ir teoremai. Naujos sąlygos (linijinė priklausomybė, nepriklausomumas, linijinis derinys, pagrindas ir tt) yra taikomi visiems vektoriams nuo algebriniu požiūriu, tačiau pavyzdžiai bus suteikta geometriniai. Taigi viskas yra paprasta, prieinama ir vizuali. Be analitinės geometrijos užduočių, mes pažvelgsime ir kai kurios tipinės algebros užduotys. Įsisavinti medžiagą, patartina susipažinti su pamokas Vektoriai ir. \\ T Kaip apskaičiuoti veiksnį?

Lyglinių vektorių linijinė priklausomybė ir nepriklausomybė.
Lėktuvo pagrindo ir afiniteto koordinatės sistema

Apsvarstykite kompiuterio lentelės plokštumą (tik stalas, naktiniai stalai, grindys, lubos, kurie mėgsta tai, kas). Užduotis susideda į šiuos veiksmus:

1) Pasirinkite pagrindinę plokštumą. Apytiksliai kalbant, stalviršiai turi ilgį ir plotį, todėl jis yra intuityvus, kad du vektoriai turės sukurti bazę. Vienas vektorius yra akivaizdžiai nepakanka, trys vektoriai - Lishka.

2) Remiantis pasirinktu pagrindu nustatykite koordinačių sistemą (koordinuoti tinklelį) priskirti koordinates visiems stalo subjektams.

Nenaudokite nustebinti, pirmiausia paaiškinimai bus jūsų pirštuose. Ir, ant tavo. Prašome pateikti kairiosios rankos pirštas Ant stalo viršaus krašto, kad jis pažvelgė į monitorių. Tai bus vektorius. Dabar vieta mySilineal dešinė Ant stalo krašto yra lygiai tas pats - jis nukreiptas į monitoriaus ekraną. Tai bus vektorius. Šypsosi, jūs nuostabiai atrodote! Ką galima pasakyti apie vektorių? Šie vektoriai collinearnny.ir todėl linelo išreiškiamas vieni kitiems:
Na, arba atvirkščiai:, kur - kai numeris, išskyrus nulį.

Šio veiksmo paveikslėlį galima peržiūrėti pamokoje Vektoriaikur aš paaiškinau skaičiaus vektorinę dauginimo taisyklę.

Ar jūsų pirštai nustatė pagrindą kompiuterio stalo plokštumoje? Akivaizdu, kad ne. Ten yra ir čia keliauja collinear vektoriai vienas Kryptis, ir plokštuma turi ilgį ir plotį.

Tokie vektoriai vadinami linijly priklausomas.

Nuoroda: Žodžiai "linijinė", "linijinė" nurodykite tai, kad matematinės lygtys. \\ T, išraiškos nėra kvadratų, kubelių, kitų laipsnių, logaritmų, sinusų ir kt. Yra tik linijinis (1-oji laipsnis) išraiškų ir priklausomybių.

Du vektoriniai lėktuvai linijly priklausomas Tada ir tik tada, kai jie yra collinear.

Perkelkite pirštus ant stalo, kad būtų tarp jų bet koks kampas, išskyrus 0 arba 180 laipsnių. Du vektoriniai lėktuvailinelo nepriklauso nuo to, ir tik jei jie nėra collinear. Taigi, pagrindas gaunamas. Nebūtina sutrikdyti, kad pagrindas pasirodė esąs "įstrižai" su neterspektoriais skirtingų ilgių vektorių. Labai netrukus pamatysime, kad jos konstrukcija yra ne tik 90 laipsnių kampu, o ne tik vieniši, vienodo ilgio vektoriai

Bet kokia dalis Vektoriaus plokštuma vienintelis kelias Atskleista pagal bazę:
kur - galiojantys numeriai. Skaičiai vadinami vektoriaus koordinatės Šioje bazėje.

Taip pat pasakykite vector. Paskelbta forma linijinis derinys Pagrindiniai vektoriai. Tai yra, išraiška vadinama vektoriaus skaidymas. \\ Tpagrindai. arba. \\ T linijinis derinys Pagrindiniai vektoriai.

Pavyzdžiui, galime pasakyti, kad vektorius yra suskaidytas ant lėktuvo ordonormaliu pagrindu, ir galima teigti, kad jis yra atstovaujamas kaip linijinis vektorių derinys.

Formuluoti pagrindo apibrėžimas. \\ T oficialiai: Bazinė plokštuma vadinama linijinių nepriklausomų (neliečiarinių) vektorių pora, \\ t , kur. \\ T bet kokia dalis Lėktuvo vektorius yra linijinis pagrindinių vektorių derinys.

Esminis apibrėžimo taškas yra tai, kad vektoriai yra paimti tam tikra tvarka. Pagrindai - Tai dvi visiškai skirtingos bazės! Kaip sako sakinys, mažasis kairiosios rankos pirštas nebus pertvarkytas Mizinza dešinėje.

Pagrindas išsiaiškino, tačiau nepakanka nustatyti koordinačių tinklelį ir priskirti koordinates kiekvienam kompiuterio stalo objektui. Kodėl gi ne pakankamai? Vektoriai yra laisvi ir klajojo visoje plokštumoje. Taigi, kaip priskirti tų mažų nešvarių lentelės taškų koordinates, kurios išliko po greito savaitgalio? Mums reikia pradinės nuorodos. Ir tokia gairė yra pažįstamas taškas - koordinatės pradžia. Mes suprantame koordinačių sistemą:

Pradėsiu nuo "mokyklos" sistemos. Jau įvadinėje pamokoje Vektoriai Aš pabrėžiau tam tikrus skirtumus tarp stačiakampio koordinačių sistemos ir ortonormalaus pagrindo. Čia yra standartinis vaizdas:

Kai jie sako O. stačiakampio koordinačių sistema, Dažniausiai jie reiškia koordinates kilmę, koordinuoti ašis ir mastu išilgai ašių. Pabandykite surinkti paieškos "stačiakampio koordinačių sistemą", ir pamatysite, kad daugelis šaltinių jums pasakys apie susipažinę su 5-6 klasės koordinatės ašimis ir kaip atidėti taškus ant plokštumos.

Kita vertus, atrodo, kad stačiakampio koordinačių sistema gali būti nustatoma per ortopalią pagrindą. Ir tai yra beveik tokia. Formuluotė skamba taip:

Koordinatės pradžia, I. Ortonormal.pagrindas. \\ T carteso stačiakampio plokštumos koordinatės sistema . Tai yra, stačiakampio koordinačių sistema aiškus Nustatomas vieninteliu tašku ir dviem vieninteliais ortogoniniais vektoriais. Štai kodėl matote piešinį, kurį buvau vadovaujamas aukščiau - geometrinėse užduotims, dažnai (bet ne visada) atkreipti vektorių ir koordinuoti ašis.

Manau, kad kiekvienas yra aiškus, kad su tašku (koordinatės pradžia) ir ortonormaliu pagrindu Bet koks plokštumos taškas ir bet kokioje plokštumos vektoriujegalite priskirti koordinates. Išsmaškai kalbant, "plokštumoje viskas gali būti sunumeruota".

Ar koordinatės vektoriai privalo būti izoliuoti? Ne, jie gali turėti savavališką ne nulinį ilgį. Apsvarstykite savavališko nulinio ilgio tašką ir du stačiakampius vektoriai:

Toks pagrindas yra vadinamas ortogoninis. Koordinatės su vektoriais kilmė nustato koordinačių tinklelį ir bet kokį plokštumos tašką, bet koks vektorius turi savo koordinates šioje bazėje. Pavyzdžiui, arba. Akivaizdus nepatogumas yra tai, kad koordinačių vektoriai apskritai Turi skirtingus ilgius, išskyrus vieną. Jei ilgis yra lygus vienai, tada gaunamas įprastas ortopalvis.

! Pastaba : Ortogoniniu pagrindu, taip pat žemiau pateiktos plokštumos ir erdvės adfine bazės, laikomi ašių vienetais Sąlyga. Pavyzdžiui, viename vienete išilgai abscisos ašies, jame yra 4 cm, viename vienete palei ordinatą 2 ašis, žr.

Ir antrasis klausimas, dėl kurio atsakymas jau yra suteiktas - ar būtina lyginti 9 laipsnius tarp pagrindinių vektorių? Ne! Sako apibrėžimas, turi būti pagrindiniai vektoriai tik neliečiamoji. Atitinkamai, kampas gali būti bet kas, išskyrus 0 ir 180 laipsnių.

Taško plokštuma Koordinatės pradžia, I. nonollilinija Vectors. , paklauskite afrikos koordinatės plokštumos sistema :

Kartais tokia koordinačių sistema vadinama kosholnaya. sistema. Pavyzdžiai, kaip pavyzdžiai brėžinyje, taškai ir vektoriai:

Kaip suprantate, adfine koordinačių sistema yra dar mažiau patogi, ji neveikia dektorių ir segmentų, kuriuos mes apsvarstėme antroje pamokos dalyje VektoriaiDaug skanių formulių, susijusių su scalar produkto vektoriai. Tačiau yra galiojančias taisykles dėl vektorių pridėjimo ir dauginimo vektoriaus pagal numerį, segmento skyriaus formulę šiuo atžvilgiu, taip pat kai daugiau užduočių, kurias mes tikimės netrukus.

Ir išvada, kad patogiausias privatus atvejis afiniteto koordinatės sistemos yra dekoratyvinė stačiakampė sistema. Todėl jis, gimtoji, dažniausiai ir turi būti svarsto. ... vis dėlto viskas šiame gyvenime yra santykinis - yra daug situacijų, kai kosholnaya yra tinkama (arba kas kita, pavyzdžiui, polar.) koordinatės sistema. Taip, ir humanoids tokios sistemos gali ateiti į skonį \u003d)

Eikite į praktinę dalį. Visos šios pamokos užduotys galioja tiek stačiakampio koordinačių sistemai, tiek bendrai. Čia nėra nieko sunku, visa medžiaga yra netgi prieinama mokykloje.

Kaip nustatyti plokštumos vektorių kolorinį?

Tipiškas dalykas. Kad dviem lėktuvo vektoriui buvo collinear, tai yra būtina ir pakankamai, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos. Pasak tvarinio, tai yra doveble išsamiai iš akivaizdžių santykių.

1 pavyzdys.

a) Patikrinkite, ar collinearny vektoriai .
b) ar pagrindas yra vektoriai ?

Sprendimas:
a) Sužinokite, ar yra vektoriai Proporcingumo koeficientas, kurį turi atlikti lygybė:

Aš tikrai pasakysiu apie šios taisyklės "PZHONSKAYA" rūšį, kurios praktiškai tęsiasi. Idėja yra nedelsiant padengti dalį ir pažiūrėkite, ar tai bus tiesa:

Padarykite proporciją iš atitinkamų vektorių koordinatės:

Raudona žuvis:
Taigi atitinkamos koordinatės yra proporcingos, todėl

Atsisakymas gali būti konvertuojamas priešingai, tai yra vienoda versija:

Savarankiškam bandymui galima naudoti faktą, kad collinear vektoriai yra tiesiškai išreikšti vienas kitam. Šiuo atveju yra lygybės . Jų teisingumas yra lengvai tikrinamas pagal pagrindinius veiksmus su vektoriais:

b) Du lėktuvo vektorius yra pagrindas, jei jie nėra collinear (tiesiškai nepriklausoma). Naršykite Collinearity vektoriai . Padarykite sistemą:

Iš pirmosios lygties matyti, kad nuo antros lygties matyti, kad tai reiškia, kad sistema yra neišsami (Nėra sprendimų). Taigi atitinkamos vektorių koordinatės nėra proporcingos.

Produkcija: Vektoriai yra linijiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Supaprastinta sprendimo versija atrodo taip:

Padarykite atitinkamų vektorių koordinates :
Tai reiškia, kad šie vektoriai yra linijiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Paprastai ši galimybė nėra pažymėta recenzentų, tačiau problema kyla tais atvejais, kai kai kurios koordinatės yra nulinės. Kaip šitas: . Arba taip: . Arba taip: . Kaip veikti per proporciją? (Iš tiesų neįmanoma pasidalinti nuliui). Būtent dėl \u200b\u200bšios priežasties aš vadinau supaprastintą sprendimą "pozhonky".

Atsakymas:a), b) forma.

Nedidelis kūrybinis pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

2 pavyzdys.

Kokia parametro vektoriaus vertė Ar collinearins?

Mėginio tirpale parametras yra proporcingas.

Yra elegantiškas algebrinis metodas tikrinant vektorių kollineirumą., Mes susisteminome savo žinias ir penktą elementą tiesiog pridėti:

Šie teiginiai yra lygiaverčiai dviem plokštumų vektoriams.:

2) vektorių forma;
3) vektoriai nėra collinear;

+ 5) veiksnys, sudarytas iš šių vektorių koordinatės skiriasi nuo nulio.

Atitinkamai, Šie priešingi pareiškimai yra lygiaverčiai.:
1) vektoriai yra linijiškai priklausomi;
2) vektoriai nesudaro pagrindo;
3) "Collinear" vektoriai;
4) vektoriai gali būti tiesiškai išreikšti vienas kitam;
+ 5) Šių vektorių koordinatės yra nulinis.

Esu labai ir labai tikiuosi, kad šiuo metu jau suprantate visas sąlygas ir įtarimus.

Apsvarstykite naują, penktąjį tašką: du vektoriniai lėktuvai Tada kollinearnny ir tik tuo atveju, jei veiksnys, sudarytas iš vektorių duomenų koordinatės, yra nulis:. Norint taikyti šią funkciją, žinoma, turite sugebėti rasti identifikuoja.

Lemiamas 1 pavyzdys:

a) apskaičiuoti veiksnį, sudarytą iš vektorių koordinatės :
Taigi, šie collinear vektoriai.

b) Du lėktuvo vektorius yra pagrindas, jei jie nėra collinear (tiesiškai nepriklausoma). Apskaičiuoti veiksnį, sudarytą iš vektorių koordinatės :
Taigi, vektoriai yra linijiškai nepriklausomi ir sudaro pagrindą.

Atsakymas:a), b) forma.

Jis atrodo daug kompaktiškas ir gražesnis už sprendimą su proporcijomis.

Naudodamiesi laikoma medžiaga, gali būti įdiegta ne tik vektorių kolorinė, bet taip pat įrodyti segmentų lygiagretus, tiesiogiai. Apsvarstykite funkcijų su konkrečiomis geometrinėmis formomis pora.

3 pavyzdys.

Dana viršūnių. Įrodyti, kad Quadril yra lygiagrečiai.

Įrodymai: Brėžinys nėra būtinas užduotyje, nes tirpalas bus tik analitinis. Prisiminkite lygiagrogramos apibrėžimą:
Parallelogram. Vadinamas keturračiu, kuris turi priešingų pusių porai lygiagrečiai.

Taigi, jums reikia įrodyti:
1) priešingų pusių lygiagrerumas ir;
2) priešingų pusių lygiagrečiai ir. \\ T

Mes įrodome:

1) Ieškoti vektorių:

2) Ieškoti vektorių:

Paaiškėjo tą patį vektorių ("mokykloje" - lygūs vektoriai). Collinearity yra visiškai akivaizdu, tačiau geriau priimti sprendimą su derinimu. Apskaičiuokite veiksnį, sudarytą iš vektorių koordinatės:
Tai reiškia, kad tai yra collinear vektoriai ir.

Produkcija: Priešingos keturkampio pusės yra lygiagrečios lygiagrečiai, tai reiškia, kad tai yra lygiagretė pagal apibrėžimą. Q.E.D..

Daugiau gerų ir skirtingų skaičių:

4 pavyzdys.

Dana viršūnių. Įrodyti, kad kvadrilis yra trapecija.

Dėl griežtesnės įrodinėjimo formuluotės, žinoma, geriau gauti trapecijos apibrėžimą, tačiau pakanka ir tiesiog prisiminkite, kaip atrodo.

Tai yra nepriklausomo sprendimo užduotis. Pilnas sprendimas pamokos pabaigoje.

Ir dabar atėjo laikas tyliai išeiti iš lėktuvo į kosmosą:

Kaip nustatyti kosmoso vektorių kolorinį?

Taisyklė yra labai panaši. Kad du laivo vektoriai būtų collinear, tai yra būtina ir pakankamai, kad jų atitinkamos koordinatės būtų proporcingos.

5 pavyzdys.

Sužinokite, ar "Collinear" bus šie erdvės vektoriai:

bet);
b) b)
į

Sprendimas:
a) Patikrinkite, ar yra proporcingumo santykis atitinkamoms koordinatėms vektorių:

Sistema neturi jokio sprendimo, tai reiškia, kad vektoriai nėra collinear.

"Supaprastinta" išduodama tikrinant proporciją. Tokiu atveju:
- Atitinkamos koordinatės nėra proporcingos, tai reiškia, kad vektoriai nėra collinear.

Atsakymas: Vektoriai nėra collinear.

b-C) Tai yra nepriklausomo sprendimo elementai. Išbandykite jį susitarti dviem būdais.

Yra tai, kaip patikrinti erdvinių vektorių kollineirumą ir per trečiosios eilės determinant, šis metodas yra įtrauktas į straipsnį Vektoriniai meno kūriniai.

Panašiai kaip ir plokščia dėklas, laikomas įrankių rinkinys gali būti naudojamas studijuoti erdvinių segmentų lygiagrečiai ir tiesiogiai.

Sveiki atvykę į antrąjį skyrių:

Linijinė trimatės erdvės vektorių priklausomybė ir nepriklausomumas.
Erdvinės bazės ir affine koordinačių sistema

Daugelis įstatymų, kuriuos pažvelgėme į lėktuvą, bus teisinga erdvės. Bandžiau sumažinti teorijos santrauką, nes liūto dalis jau yra bloginama. Tačiau rekomenduoju atidžiai perskaityti įvadinę dalį, nes bus rodomos naujos sąlygos ir sąvokos.

Dabar vietoj kompiuterio lentelės plokštumos, mes išnagrinėjame trimatis erdvę. Pirmiausia sukurti jo pagrindą. Kažkas dabar yra kambaryje, kažkas gatvėje, bet bet kuriuo atveju, mes negalime eiti bet kur nuo trijų matmenų: plotis, ilgiai ir aukščiai. Todėl reikės trijų erdvinių vektorių, kad būtų sukurta bazė. Vienas ar du vektoriai yra nedideli, ketvirta yra nereikalinga.

Ir vėl kvėpuokite ant pirštų. Prašome pakelti savo ranką ir skleisti skirtingomis kryptimis. didelis, indeksas ir vidurinis pirštas. Tai bus vektoriai, jie žiūri į skirtingas kryptis, turi skirtingą ilgį ir turi skirtingus kampus vienas su kitu. Sveikiname, trimatės erdvės pagrindas yra pasirengęs! Beje, nebūtina parodyti tokių mokytojų, nesvarbu, kaip atvėsti pirštus, ir apibrėžimai nesiruošia niekur \u003d)

Be to, mes apibrėžti svarbų klausimą, bet kokie trys vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą? \\ T Paspauskite tris pirštus sandariai į kompiuterio stalo stalviršį. Kas nutiko? Trys vektoriai yra toje pačioje plokštumoje, o apytiksliai kalbame, mes praradome vieną iš matavimų - aukščio. Tokie vektoriai yra suderinamieji Ir tai yra gana akivaizdu, kad trimatės erdvės pagrindas nesukuria.

Pažymėtina, kad skyriaus vektoriai neprivalo meluoti toje pačioje plokštumoje, jie gali būti lygiagrečiose lėktuvuose (tiesiog nedarykite to su pirštais, todėl tik Salvadoras davė \u003d)).

Apibrėžimas: Vektoriai vadinami suderinamiejiJei yra plokštuma, su kuria jie yra lygiagrečiai. Tai logiška čia, kad jei tokia plokštuma neegzistuoja, tada vektoriai nebus skyrius.

Trys skyrių vektoriai visada priklauso nuo linijiškai., tai yra, tiesiškai išreikšta viena kitai. Paprastumas, mes vėl įsivaizduojame, kad jie yra toje pačioje plokštumoje. Pirma, vektoriai nėra pakankami, kad įmonės taip pat gali būti collinear, tada bet koks vektorius gali būti išreikštas per bet kokį vektorių. Antruoju atveju, jei, pavyzdžiui, vektoriai nėra collinear, tada trečiasis vektorius yra išreikštas per juos vienintelis būdas: (Ir kodėl - lengva atspėti remiantis ankstesnio skyriaus medžiagomis).

Teisingas ir priešingas pareiškimas: Trys nekomercinės vektoriai visada yra linijiškai nepriklausomi, tai nėra jokiu būdu išreikštas viename drauge. Ir, žinoma, tik tokie vektoriai gali sudaryti trimatį pagrindą.

Apibrėžimas: Trimatės erdvės pagrindas vadinamas tripliu linijiniu būdu nepriklausomais (neskelbiais) vektoriais, mokoma, su bet kokia vektoriaus erdvė vienintelis kelias Šiuo pagrindu, kur - vektoriaus koordinatės šioje bazėje

Prisiminu, kad taip pat galite pasakyti, kad vektorius pateikiamas linijinis derinys Pagrindiniai vektoriai.

Koordinatės sistemos koncepcija įvedama taip pat, kaip ir vienodai, tik vienas taškas ir visi trys linijiniai nepriklausomi vektoriai:

Koordinatės pradžia, I. nedomplenar. Vectors. priimtas, paklauskite trijų dimensijų erdvės adfalo koordinatės sistema :

Žinoma, koordinatės akių "įstrižai" ir prastai pasisuka, tačiau vis dėlto sukonstruota koordinatės sistema leidžia mums aiškus Nustatykite bet kurio erdvės taško vektorines ir koordinates koordinates. Panašiai adfine koordinatės sistemos plokštuma neveiks tam tikroms formulėms, kurias jau minėjau.

Labiausiai pažįstamas ir patogiausias privatus korpuso koordinačių sistemos atvejis, kaip kiekvienas yra spėjantis stačiakampio kosmoso koordinatės sistema:

Taško erdvė, vadinama Koordinatės pradžia, I. Ortonormal.pagrindas. \\ T kartupow stačiakampio kosmoso koordinatės sistema . Pažįstamas vaizdas:

Prieš pereinant prie praktinių užduočių, mes vėl susisteminome informaciją:

Trys erdvės vektoriai yra lygiaverčiai šiems teiginiams:
1) vektoriai yra linijiškai nepriklausomi;
2) vektorių forma;
3) vektoriai nėra skyrius;
4) vektoriai negali linijiškai išreikšti vienas kitą;
5) veiksnys, sudarytas iš šių vektorių koordinatės skiriasi nuo nulio.

Manau, yra suprantami.

Linijinės vietos vektorių priklausomybė / nepriklausomybė tradiciškai tikrinama pagal veiksnį (5 dalis). Likusios praktinės užduotys bus ryškiai išreikštos algebrinės. Atėjo laikas pakabinti ant nagų geometrinio klubo ir vyniojimo beisbolo šikšnosparnių linijinės algebra:

Trys vektoriniai vektoriai Tada compiana ir tik tuo atveju, jei lemiamai parengtas iš šių vektorių koordinatės yra nulis: .

Atkreipiu dėmesį į mažą techninį niuansą: vektorių koordinates galima įrašyti ne tik stulpeliuose, bet ir eilutėje (lemiamo veiksnio vertė nesikeis nuo šio veiksnių savybių). Bet daug geriau stulpeliuose, nes jis yra pelningesnis sprendžiant kai kurias praktines užduotis.

Taigi skaitytojai, kurie yra nedideli iššūkiai apskaičiuojant veiksnius ir paprastai gali būti sutelktas į juos, rekomenduoju vieną iš seniausių pamokų: Kaip apskaičiuoti veiksnį?

6 pavyzdys.

Patikrinkite, ar trys dimensijos pagrindas sudaro šiuos vektoriai:

Sprendimas Šis sprendimas: Tiesą sakant, visas sprendimas sumažinamas pagal veiksnio skaičiavimą.

a) Apskaičiuokite veiksnį, sudarytą iš vektorių koordinatės (veiksnys atskleidžiamas pirmoje eilutėje):

Tai reiškia, kad vektoriai yra linijiškai nepriklausomi (ne skyriuje) ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

Atsakymas: Šie vektoriai sudaro pagrindą

b) nepriklausomo sprendimo elementą. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Rasta kūrybingos užduotys:

7 pavyzdys.

Kokia vektorinio parametro vertė bus skyrius?

Sprendimas Šis sprendimas: Vektoriai yra skyrius, jei ir tik tada, jei veiksnys, sudarytas iš vektorių duomenų koordinatės, yra nulis:

Iš esmės reikia išspręsti lygtį su lemia. Mes kreipiamės į nulius, nes kerchings ant vamzdžių - lemiamas yra palankiausias atskleisti antrą eilutę ir nedelsiant atsikratyti minusų:

Mes atliekame tolesnius supaprastinimus ir sumažinti paprasčiausią linijinė lygtis:

Atsakymas: dėl

Tai lengva atlikti čekį, nes jums reikia pakeisti gautą vertę į pradinį veiksnį ir įsitikinkite, kad , Vėl atsiveria.

Apibendrinant, apsvarstykite kitą užduotį, kuri dėvi daugiau algebrinių ir tradiciškai įsijungia į linijinę algebą. Tai yra toks dažnas, kuris nusipelno atskiros temos:

Įrodyti, kad 3 vektoriai sudaro trimatį pagrindą
ir rasti 4-ojo vektoriaus koordinates šiuo pagrindu

8 pavyzdys.

Didžiuliai vektoriai. Parodykite, kad vektoriai sudaro trimatės erdvės pagrindą ir suraskite vektoriaus koordinates šioje bazėje.

Sprendimas Šis sprendimas: Pirmiausia mes išartiname su sąlyga. Dėl būklės, keturi vektoriai yra duoti, ir, kaip matote, jie jau turi koordinates tam tikru pagrindu. Koks pagrindas mums nėra suinteresuotas. Ir jus domina šis dalykas: trys vektoriai gali sudaryti naują pagrindą. Ir pirmasis etapas visiškai sutampa su 6 pavyzdžio sprendimu, būtina patikrinti, ar vektoriai iš tikrųjų yra linijiškai nepriklausomi:

Apskaičiuokite veiksnį, sudarytą iš vektorių koordinatės:

Taigi, vektoriai yra linijiškai nepriklausomi ir sudaro trimatės erdvės pagrindą.

Prielaida. Linijinė N funkcijų priklausomybė.

Leiskite funkcijoms, turi išvestinę ribą (N-1).

Apsvarstykite veiksnį: (1)

W (x) yra įprasta, kad būtų vadinama "Vronsky" funkcijoms.

1 teorija. Jei funkcijos yra priklausomos nuo intervalo (A, B), jų vrosanisan w (x) yra identiškas lygus lygus nuliui šiame intervale.

Įrodymai. Pagal teorijos būklę, santykis atliekamas

(2) jei jie nėra lygūs nuliui. Leisti būti . Tada

(3). Atskirti šį tapatybę N-1 kartą ir,

pakeičiant vietoj jų gautų vertybių į Vronskio veiksnį, \\ t

mes gauname:

Į bronsky veiksnys, pastaroji stulpelis yra Lingy derinys ankstesnių N-1 stulpelių ir ryšium su tai yra nulis visuose intervaluose (A, B).

2 teorija.Tuo atveju, kai funkcijos y 1, ..., Yn yra lin-eyes nepriklausomi lygties sprendimai l [y] \u003d 0, kurių koeficientai yra nepertraukiamos intervalo (A, B), tada Rogsman iš šių tirpalų skiriasi nuo nulio kiekviename taško intervale (A, B).

Įrodymai. Tarkime priešingai. Yra x 0, kur w (x 0) \u003d 0. Padaryti lygčių sistemą

Akivaizdu, kad sistema (5) turi nulinį tirpalą. Leiskite (6).

Padarykime "Lina" sprendimų derinį y 1, ..., y n.

(X) yra lygties l [y] \u003d 0. Be to. Pagal I lygties tirpalo unikalumo teore [y] \u003d 0 su nulinės pradinės sąlygos turėtų būti tik nulis, ᴛ.ᴇ. .

Mes gauname tapatybę, kur ne visi yra lygūs nuliui, ir tai reiškia, kad y 1, ..., y n lineliciškai priklausomi, kurie prieštarauja teorijos būklei. Todėl tokio taško nėra, kur w (x 0) \u003d 0.

Remiantis 1 teorijos ir 2 teorijos pagrindu, galite suformuluoti šį teiginį. Norint, kad N lygties l lygtis \u003d 0, kad jis būtų išleistas nepriklausomas intervale (A, B), tai yra labai svarbi ir pakankamai, kad jų Vronoskanas nebūtų sprendžiamas nuliui bet kuriuo šio intervalo tašku.

Taip pat laikomasi tokių akivaizdžių Vronoskano savybių.

1. Jei n tirpalai l [y] \u003d 0 yra nulis viename taške x \u003d x 0 iš intervalo (A, B), kurioje CEE produktai P I (x) yra nuolatiniai, tada jis yra nulis, kad ex taškai šio intervalo.
2. Jei L lygties l [y] \u003d 0 skiriasi nuo nulio vienu tašku X \u003d X 0 iš intervalo (A, B), tada jis skiriasi nuo nulio visuose šio intervalo taškuose.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, už Lin-Etering nepriklausomi Sprendimai L lygtis l [y] \u003d 0 intervalo (A, B), kurioje lygtis R I (X) yra nepertraukiamos, tai yra labai svarbi ir pakankamai Dėl jų vrosanijos skiriasi nuo nulio bent vieną šio intervalo tašką.

Reikiama sąlyga linijinės priklausomybės N funkcijų. - koncepcija ir rūšys. Klasifikavimas ir funkcijos kategorijos "Reikalinga sąlyga linijinės priklausomybės N funkcijų". 2017, 2018 m.

-

Laivai per laivų krovos pavara) Paskaita Nr. 6 Tema: Krovinių pavara (krovinių pavara) 6.1. Laivas per krovinių tvarkymo įrankius). 6.2. Krovinių kranai. 6.3. Prijuostės. Perkrova yra krovinio judėjimas į transporto priemonę arba iš jos. Daugelis ...

- krovinių kranai (krovinių kranai)

Sertifikatai (sertifikatai) funkcijų atskyrimas (užduočių skyrius) Tikrinimas, sertifikavimas ir atsakomybė yra padalinta tokiu būdu: & ....

- Ar tu jį pažįsti? Loces?

Čia - Alla Čia - "Aqui" kavinėje - En El Cafe darbe - En El Trabajo ant jūros - en El Mar 1. Jūs nežinote, kur kavinė? 2. Jūs nežinote, kur Sasha? 3. Jūs nežinote, kur biblioteka? 4. Jūs nežinote, kur yra "Olya"? 5. Nežinote, kur dabar yra Natasha? Gera diena! Aš ...

- Zmin ir Xmin apibrėžimas nuo pjovimo nebuvimo

5,9 pav. Apie pjovimo dantų ratus. Apsvarstykite, kaip X geležinkelio perjungimo koeficientas yra susijęs su dantų skaičiumi, kurį gali būti kapotas ant bėgio ant rato. Leiskite geležinkeliui įrengti 1 padėtyje (5 pav.). Šiuo atveju tiesioginės geležinkelio galvutės bus kirsti N-N autobusų liniją T. ir ...

ORD.Elementų sistema x 1, ..., X m Lin. Prospektas V yra tiesiškai priklausomas, jei ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | ... + | λ m | ≠ 0) toks, kad λ 1 x 1 + ... + λ mxm \u003d θ.

ORD.Elementų sistema x 1, ..., x M ∈ V yra linijiškai nepriklausoma, jei iš lygybės λ 1 x 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d θ λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

ORD.Elementas x ∈ v yra linijinis elementų derinys x 1, ..., xm ∈ v, jei ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ toks, kad x \u003d λ 1 x 1 + ... + λ mx m.

Teorema (linijinė priklausomybė kriterijus): Vektorių x 1, ..., x M ∈ V yra tiesiškai priklausomas, jei ir tik jei bent viena sistemos sistema yra linijiškai išreikšta poilsio.

Prieplauka. Būtinybė: Leiskite x 1, ..., xm būti tiesiškai priklausomi ⟹ ∃ ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | ... + | λ m | ≠ 0), kad λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 + λ mxm \u003d θ. Tarkime, λ m ≠ 0, tada

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Tinkamumas. \\ T: Leiskite bent vienam iš vektorių tiesiai išreikštų poilsio vektorių: xm \u003d λ 1 x 1 + ... + λ M -1 xm -1 (λ 1, ..., λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 + (- 1) xm \u003d 0 λ m \u003d (- 1) ≠ 0 ⟹ x 1, ..., xm - linearly nepriklausoma.

Kaina. Linijinės priklausomybės sąlyga:

Jei sistemoje yra nulinis elementas arba tiesiškai priklausomas posistemis, jis yra išlaikomas tiesiškai.

λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 - tiesiškai priklausoma sistema

1) Leiskite x 1 \u003d θ, tada ši lygybė galioja λ 1 \u003d 1 ir λ \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

2) Leiskite λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 būti linijiniu išlaikomu posistemiu ⟹ | λ 1 | ... + | λ m | ≠ 0. Tada λ 1 \u003d 0 taip pat gaunami, | λ 1 | ... + | λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 yra linijinė priklausoma sistema.

Pagrindu linijinė erdvė. Šioje bazėje vektoriniai koordinatės. Koordinates vektorių ir darbų vektoriaus pagal numerį. Reikalinga ir pakankama sąlyga linijinei priklausomybei nuo vektorių sistemos.

Apibrėžimas: Užsakyta Elements E 1, ..., Linijinės erdvės v yra vadinama šios vietos pagrindu, jei:

A) e 1 ... e n linearly nepriklausoma

B) ∀ x ∈ α 1 ... α n toks, kad x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n

x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n - elemento X Sumažymas pagal pagrindą E 1, ..., e n

α 1 ... α n ∈ ℝ - elemento X koordinatės pagal e 1, ..., e n

Theorem: Jei pagrindas e 1, ..., E N yra pateiktas linijinėje erdvėje V, tada ∀ x ∈ v stulpelį x koordinates pagrindu E 1, ..., E N yra apibrėžta unikaliai (koordinatės yra apibrėžtos unikaliai)

Įrodymai: Leiskite x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n ir x \u003d β 1 e 1 + ... + β n e n

x \u003d ⇔ \u003d θ, t.e. e 1, ..., o n - tiesiškai nepriklausomas, tada - \u003d 0 ∀ i \u003d 1, ..., n ⇔ \u003d ∀ i \u003d 1, ..., n h. t. d.

Theorem: leiskite e 1, ..., E n būti linijinė erdvė V; X, Y - savavališki kosmoso elementai, λ ∈ ℝ - savavališkas numeris. Be X ir Y, jų koordinatės yra sulankstytos, su daugybe x λ, X koordinatės taip pat padaugintos iš λ.

Įrodymai: x \u003d (e 1, ..., e n) ir y \u003d (e 1, ..., e n)

x + y \u003d + \u003d (e 1, ..., e n)

λx \u003d λ) \u003d (e 1, ..., e n)

Lemma1: (būtina ir pakankama sistemos sistemos linijinė priklausomybė)

Leiskite e 1 ... lt būti erdvės pagrindu V. elementų F1, ..., F K ∈ V yra tiesiškai priklausomas, jei ir tik tada, kai šių elementų stulpeliai pagal E 1 ,. .., lt yra linijiškai priklausomi

Įrodymai: Spatrato f1, ..., F k pagrindu e 1, ..., e n

f m \u003d (e 1, ..., e n) m \u003d 1, ..., k

λ 1 F 1 + ... + λ k f k \u003d (E1, ..., E n) [λ 1 + ... + λ n] I.E. λ 1 f 1 + ... + λ k f k \u003d θ

⇔ λ 1 + ... + λ n \u003d tai, kas turėjo įrodyti.

13. Linijinės vietos aspektas. Teorema dėl dimensijos ir bazės prijungimo.
Apibrėžimas: Linijinė erdvė v yra vadinama N-matmenų erdve, jei yra N linijiniai nepriklausomi elementai V, ir sistema nuo bet kokių N + 1 elementų vietos V yra tiesiškai priklausomas. Šiuo atveju N yra vadinamas linijinės erdvės V ir reiškia DIMV \u003d N dimensiją.

Linijinė erdvė yra vadinama begaliniu dimensija, jei ∀n ∈ ℕ erdvėje V egzistuoja tiesiškai nepriklausoma sistema, kurioje yra N elementai.

Theorem: 1) Jei v yra n-dimensinė linijinė erdvė, tada bet kokia užsakyta sistema iš N linearly nepriklausomų šios vietos elementų yra suformuota pagal pagrindą. 2) Jei linijinėje erdvėje V yra pagrindas, sudarytas iš N elementų, tada matmuo V yra N (DIMV \u003d N).

Įrodymai: 1) Leiskite Dimv \u003d N ⇒ V ∃ n linearly nepriklausomi elementai E 1, ..., E N. Mes įrodome, kad šie elementai sudaro pagrindą, tai yra, mes įrodome, kad ∀ x ∈ v gali būti suskaidytas pagal E 1, ..., E n. Pritvirtinkite X: E 1, ..., E N, X į juos - ši sistema yra N + 1 vektoriaus ir tai reiškia, kad jis yra linijiškai priklausomas. Nuo E 1, ..., E n yra tiesiškai nepriklausoma, tada 2 teorija x. linijiškai išreikšta per e 1, ..., e n i. ∃, ..., pvz., X \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n. Taigi E 1, ..., E N yra erdvės V. 2) Leiskite E 1, ..., E N būti pagrindu V, todėl V ∃ n linearly nepriklausomi elementai. Paimkite savavališką F1, ..., F N, F N +1 ∈ V + 1 elementus. Mes parodome savo linijinę priklausomybę. Skleiskite juos pagrindu:

f \u003d (e 1, ..., e n) \u003d kur m \u003d 1, ..., N padaryti matrica iš koordinačių stulpelių: a \u003d matrica yra n stygos ⇒ rga≤n. Stulpelių skaičius N + 1\u003e N ≥ RGA ⇒ kolonėlės matricos a (t.e., koordinačių koordinatės F1, ..., F n, f n +1) yra linijiškai priklausomi. Iš lemmos 1 ⇒, ..., F N, F N +1 - tiesiškai priklausomas ⇒ dimv \u003d n.

Pasekmė:Jei bet kokiu pagrindu yra N elementai, tada bet kuriuo kitu šios vietos pagrindu yra N elementai.

2 teorija: Jei vektorių x 1, ..., xm -1, xm yra linijiškai priklausomas, ir jo posistemis x 1, ..., xm -1 yra linijiškai nepriklausomas, tada x m - tiesiškai išreikštas x 1, .. ., x m -1

Įrodymai: Nes. x 1, ..., x M -1, x m - tiesiškai priklausomas, tada ∃, ... ,,,

, ..., | , | taip. Jei ,, ..., | \u003d\u003e x 1, ..., x M -1 - tiesiškai nepriklausomas, kuris negali būti. Taigi m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x M -1.

Atkreipkite dėmesį, kad ateityje, netrukdant bendrumo, mes apsvarstysime vektorių atvejį trimatėje erdvėje. Ant lėktuvo, vektorių svarstymas yra panašiai. Kaip minėta pirmiau, visi rezultatai, žinomi iš linijinio algebros algebros vektorių žinoma, gali būti perduodami į ypatingą geometrinių vektorių atvejį. Tai padaryk tai.

Leiskite fiksuotiems vektoriams.

Apibrėžimas.Suma, kur - kai kurie numeriai vadinami linijiniu deriniu vektorių. Šiuo atveju šie skaičiai bus vadinami linijinio derinio koeficientais.

Mes suinteresuoti, kad linijinio derinio lygybės į nulinį vektorių klausimą. Pagal vektorinių erdvių savybes ir ašias tampa akivaizdu, kad bet kuriam vektorių sistemai yra trivialus (nulis) koeficientų rinkinys, kuriam atliekama ši lygybė:

Yra klausimas dėl šios vektorių sistemos egzistavimo ne trivialus koeficientų rinkinio (tarp kurių yra bent vienas ne tarpusavio koeficientas), kuriam atliekamas minėtas lygybė. Pagal tai, mes atskirsime tiesiškai priklausančias ir nepriklausomas sistemas.

Apibrėžimas.Vektorių sistema yra vadinama tiesiškai nepriklausoma, jei yra tokio numerių rinkinys, tarp kurių yra bent vienas nulinis, toks, kad atitinkamas linijinis derinys yra lygus nuliniam vektoriui:

Vektorių sistema vadinama linijiniu nepriklausomu, jei lygybė

galbūt tik trivialus koeficientų rinkinio atveju:

Nurodome pagrindines linijinių priklausomų ir nepriklausomų sistemų savybes yra linijinė algebra.

1. Bet kokia vektorių, turinčių nulinį vektorių, sistema yra linijiškai priklausoma.

2. Leiskite ten būti linijiniu priklausomu posistemiu vektorių sistemoje. Tada visa sistema taip pat priklauso linijinei.

3. Jei vektorių sistema yra linijiškai nepriklausoma, bet kuris jo posistemis taip pat yra linijiškai nepriklausomas.

4. Jei vektoriuose yra du vektoriai, iš kurių vienas gaunamas iš kito dauginimo skaičiaus, tada visa sistema yra linijiškai priklausoma.

Teorema (linijinės priklausomybės kriterijus).Vektorių sistema yra linijiškai priklausoma, jei ir tik tuo atveju, jei vienas iš šios sistemos vektorių bus pateikiamas kaip linijinis likusių sistemos vektorių derinys.

Atsižvelgiant į dviejų vektorių kolorinės kriterijų galima teigti, kad jų kolinarai yra jų linijinės priklausomybės kriterijus. Trys erdvės vektoriai yra teisingi.

Theorem (trijų geometrinių vektorių linijinės priklausomybės kriterijus).Trys vektoriai ir linijiškai priklausomi, jei ir tik jei jie yra skyrius.

Įrodymai.

Būtinybė.Leiskite vektoriams ir linijiškai priklausomai nuo. Mes įrodome savo skyrių. Tada, remiantis bendru algebrinių vektorių linijinės priklausomybės kriterijumi, teigiame, kad vienas iš šių vektorių bus pristatytas linijinio kitų vektorių derinio forma. Leiskite, pavyzdžiui,

Jei visi trys vektoriai ir prijungiami prie bendrojo pradžios, vektorinis sutampa su lygiagramografu, pastatytomis vektoriuose ir. \\ T Tačiau tai reiškia, kad vektoriai ir guli toje pačioje plokštumoje, t. Y. Compliannas.

Tinkamumas.Leiskite vektoriams ir palyginimui. Mes parodome, kad jie yra linijiškai priklausomi. Visų pirma, apsvarstykite atvejį, kai kai kurie garai iš nurodyto collinear vektorių. Šiuo atveju, anot ankstesnės teorijos, vektorių sistema, yra tiesiškai priklausomas posistemis, todėl pats tiesiškai priklauso nuo 2 linijiškai priklausomų ir nepriklausomų vektorių nuosavybės. Dabar, ne, nėra svarstomų vektorių pora nėra collinear. Mes perkeliame visus tris vektorių į vieną plokštumą ir duokite jiems bendrą pradžią. Leiskite praleisti per vektorinį tiesioginių lygiagrečių vektorių ir. Žymi tiesios, lygiagrečios vektoriaus sankirtos tašką su tiesia linija, ant kurios gulėjo vektorius, ir sankirtos raidės taškas, lygiagrečiai vektoriui, tiesia linija, ant kurios gulėjo vektorius. Pagal vektorių apibrėžimą gauname:

.

Kadangi "Vector Collinear" yra ne nulinis vektorius, tada yra galiojantis numeris

Nuo panašių argumentų, galiojančio tokio skaičiaus egzistavimas

Kaip rezultatas, mes turėsime:

Tada, nuo bendro kriterijaus linijinės priklausomybės algebrinių vektorių, mes gauname, kad vektoriai, linijiškai priklausomi. ■.

Teorema (keturių vektorių linijinė priklausomybė).Bet kokie keturi vektoriai yra išlaikomi.

Įrodymai. Visų pirma, apsvarstykite atvejį, kai kai kurie trigubai nuo nustatytų keturių skyriaus vektorių. Šiuo atveju šis trivietis yra linijiškai priklausomas pagal ankstesnę teoriją. Todėl pagal 2 linijinių priklausomų ir nepriklausomų vektorių sistemų turtą, o visa keturi yra linijiškai priklausomi.

Dabar leiskite vektoriams neturi trijų vektorių vektorių. Mes duodame visus keturis vektorių ,, į bendrą pradžią ir praleisti po lėktuvo vektoriaus galo lygiagrečiai planams, aptikti didžiosios poros; ; . Nurodytų lėktuvų sankirtos taškai tiesiai, ant kurių yra vektoriai, ir, atitinkamai, raidės ir. Nuo vektorių sumos nustatymo to išplaukia

kuris, atsižvelgiant į bendruosius algebrinių vektorių priklausomybės kriterijų, rodo, kad visi keturi vektoriai yra linijiškai priklausomi. ■.

Apibrėžimas 18.2. Funkcijų sistemaf., ..., f P.vadinamasl.i- Nip O. Z. ir į ir s ir m. apie intervalą (Bet, (3) Jei kai kurie nerivinantys 5 linijinis šių funkcijų derinys šiame intervale yra nulinis:

Apibrėžimas 18.3. Sistemos vektoriai g 1, ..., x P Skambučiai, tai yra tiesinė ir į ir s ir m apie, jei kai kurie netriviniai, linijinis šių vektorių derinys yra lygus kulkos vektoriui:

L. Siekiant išvengti painiavos, mes tęsime vektoriaus (vektoriaus funkcijos) komponentų skaičių, kurį norite žymėti apatiniame indekse, o viršutinė vektorinė (jei yra keletas tokių vektorių).

"Primename, kad linijinis derinys vadinamas neriviniu, jei ne visi jo koeficientai yra nulis.

Apibrėžimas 18.4. Vektorių funkcijų sistema x 1 ^), ..., x n (t) vadinama linijine Z. ir s ir m apie intervalą, (Bet, / 3) Jei tam tikras nerivinis linijinis šių vektoriaus funkcijų derinys yra identiškas, lygus šiam atotrūkiui iki nulinio vektoriaus:

Svarbu išspręsti šias tris koncepcijas (linijinė priklausomybė nuo funkcijų, vektorių ir vektorinių funkcijų) tarpusavyje.

Visų pirma, jei pateikiate formulę (18,6) dislokuotoje formoje (prisimindami, kad kiekvienas iš jų x g (1) yra vektorius)

tada jis bus lygiavertis lygiaverčiai sistemai

reiškia linijinę ponia priklausomybė Komponentas pirmajame apibrėžime (kaip funkcijos). Sakoma, kad linijinė priklausomybė nuo vektorinių funkcijų reiškia juos pomponent. Linijinė priklausomybė.

Atvirkščiai, apskritai, neteisinga: pakankamai, kad apsvarstytų vektorinių funkcijų poros pavyzdį

Pirmieji šių vektorinių funkcijų komponentai tiesiog sutampa reiškia, kad jie yra linijiškai priklausomi. Antra komponentai yra proporcingi, tai reiškia. Taip pat priklauso linijinė. Tačiau, jei stengiamės statyti savo linijinį derinį, lygų nuliui vienodai, tada nuo santykio

nedelsiant gauti sistemą

kuris turi vienintelį sprendimą C - S.-2 - 0. Taigi, mūsų vektoriniai funkcijos yra tiesiškai nepriklausomos.

Kokia yra tokio keisto turto priežastis? Kas yra dėmesys, kuris leidžia jums sukurti linijinę nepriklausomą vektorines funkcijas nuo akivaizdžiai priklausomų funkcijų?

Pasirodo, kad visa tai nėra tiek daug linijinės komponento priklausomybės, kaip ir koeficientų, kurios būtina gauti nulį. Atsižvelgiant į linijinę priklausomybę nuo vektorinių funkcijų atveju tas pats koeficientų rinkinys aptarnauja visus komponentus, nepriklausomai nuo skaičiaus. Tačiau pavyzdyje, mes suteikėme už vieną komponentą, buvo reikalinga viena koeficientų dalis ir kitai kitai. Taigi fokusavimas iš tikrųjų yra paprastas: norint gauti linijinę vektoriaus funkcijų priklausomybę, būtina, kad visi komponentai būtų linijiškai priklausomi "toje pačioje proporcijoje".

Dabar mes kreipiamės į linijinės priklausomybės nuo vektorinių funkcijų ir vektorių. Čia yra beveik akivaizdu, kad nuo linijinės vektorinės funkcijos priklausomybės seka, kad kiekvienam fiksuotai t * Vector.

jie bus išlaikomi tiesiškai.

Atvirkštinis, apskritai kalbant, neturi vietos: nuo linijinės vektorių priklausomybės nuo kiekvieno t. Ne linijinė vektolių funkcijų priklausomybė. Lengva pamatyti dviejų vektorinių funkcijų pavyzdžiu.

Dėl t \u003d 1, t \u003d 2 ir t \u003d 3 Mes gauname vektorių porą

atitinkamai. Kiekviena vektorių pora yra proporcinga (atitinkamai 1,2 ir 3 koeficientai). Sunku suprasti, kas už fiksuotą t * Mūsų vektorių pora bus proporcinga koeficientui t *.

Jei stengiamės sukurti linijinį vektorinių funkcijų derinį, lygų nuliui vienodai, tada pirmieji komponentai suteikia mums santykį

kas yra tik tada, jei Nuo. = Nuo.2 = 0. Taigi mūsų vektoriniai funkcijos pasirodė esančios linijiškai nepriklausomos. Vėlgi, šio poveikio paaiškinimas yra tai, kad linijinės priklausomybės nuo vektorinių funkcijų atveju, tas pats rinkinys CJ konstantų tarnauja visas vertes t, ir mūsų pavyzdžiu kiekvienai vertei t. Reikalavo jo santykio tarp koeficientų.