Perkėlimo funkcijos W reikšmė (p).

Medžiaga iš Vikipedijos

$W$- Lamberto funkcija Skambėjimo funkcijos pradžia yra iki $f\; (w)\; =\; w\; e\; ^\; w$ kompleksams $w$... Pasirašyti $W\; (x)$ abo $\backslash \; operatoriaus\; vardas\; (LambertW)\; (x)$... Bet kokiam kompleksui $z$čia yra šeimos funkcijos:

$z\; =\; W\; (z)\; e\; ^\; (W\; (z))$

$W$-functions Lambert gali būti naudojamas elementariose funkcijose. Vona lieka kombinacijoje, pavyzdžiui, didinant medžių skaičių, taip pat kai pažeidžiamas medžių skaičius.

Istorija

Leonardo Eilerio robotikos funkcija 1779 m. gimė maža nepriklausoma reikšme ir buvo pavadinta iki 1980 m. Kompiuterinės algebros Maple sistemoje buvo įdiegta savarankiška Būlio funkcija LambertW... Johano Heinricho Lamberto vardas buvo pakeistas, Oskilas Eileris pasiuntė savo robotus pagirti Lambertą, o oskilka „Norėčiau pavadinti vieną Eulerio imperatoriaus funkciją“.

Bagato vertė

Funkcijos $f\; (w)$ neaktyvus intervale $(-\; \backslash \; infty,\; 0)$, $W\; (z)$є įjungta didelės vertės funkcija $[-\; \backslash \; frac\; (1)\; (e),\; 0)$... Yaksho turi būti persipynęs su kalba $z\; =\; x\; \backslash \; geqslant-1\; /\; e$ aš vimagati $w\; \backslash \; geqslant\; -1$, bus priskirta vienareikšmė funkcija $W\_0\; (x)$.

Asimptotika

Asimptotinės funkcijos kilmingiesiems svarbu pragmatiškai atsižvelgti į kai kuriuos pagrindinius dalykus. Pavyzdžiui, siekiant paspartinti efektyvumo didėjimą, valanda yra pasikartojančių projektų apsilankymas.

$\backslash \; left.W\; (z)\; \backslash \; right\; |\; \_\; (z\; \backslash \; to\; \backslash \; infty)\; =\; \backslash \; log\; (z)\; -\; \backslash \; log\; (\backslash \; log\; (z))$

$\backslash \; left.W\; (z)\; \backslash \; right\; |\; \_\; (z\; \backslash \; to\; -\; \backslash \; frac\; (1)\; (e))\; =\; \backslash \; sqrt\; (2\; (ez\; +\; 1))\; -1$

Інші formulės

$\backslash \; int\_\; (0)\; ^\; (\backslash \; pi)\; W\; \backslash \; bigl\; (2\; \backslash \; vaikiška\; lovelė\; ^\; 2\; (x)\; \backslash \; didesnis)\; \backslash \; sek\; ^\; 2\; (x)\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; dx\; =\; 4\; \backslash \; kvadratas\; (\backslash \; pi)$ $\backslash \; int\_\; (0)\; ^\; (+\; \backslash \; infty)\; W\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; (1)\; (x\; ^\; 2)\; \backslash \; right)\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; dx\; =\; \backslash \; sqrt\; (2\; \backslash \; pi)$ $\backslash \; int\_\; (0)\; ^\; (+\; \backslash \; infty)\; \backslash \; frac\; (W\; (x))\; (x\; \backslash \; sqrt\; (x))\; \backslash \; mathrm\; dx\; =\; 2\; \backslash \; sqrt\; (2\; \backslash \; pi)$

Galia

Norint papildomai diferencijuoti numanomą funkciją, galima paneigti $z\; \backslash \; ne\; -\; \backslash \; tfrac\; (1)\; (e)$ Lamberto funkcija džiaugiasi įžeidžiančiomis diferencialinėmis varžybomis:

$(dW\; \backslash \; virš\; dz)\; =\; \backslash \; frac\; (1)\; (z)\; \backslash \; frac\; (W\; (z))\; (W\; (z)\; +1).$ $e\; ^\; (-\; c\; x)\; =\; a\_o\; (x-r\_1)\; (x-r\_2)\; ~~\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (2)$ i de pastovus r 1 i r 2 є kvadratinio maišelio šaknys. Funkcijos sprendinių su argumentu atveju x, a r aš tai a o є centrinės funkcijos parametrai. Žvelgiant iš požiūrio, nesvarbu, kas suteikiama Lamberto W funkcijos stagnacijai, hipergeometrinei funkcijai ir „Meijerio G“ funkcijai, ji turi būti uždėta ant kito tipo funkcijų. r 1 = r 2 tada nusikaltusios šalys šeimą (2) gali būti atleistos šeimai (1), ir tokiu rangu namų sprendimas Atsisveikinkite su standartine W funkcija. Rіvnyannya (2) pokazuє viznachalnі vіdnosini skaliariniame polі dilatonnoї, S chogo viplivaє virіshennya zadachі vimіryuvannya lіnіynoї gravіtatsії žmogus til 1 + 1 vimіrah (vimіr skliauto, vimіryuvannya veikia) ne razі nerіvnih svorio ir takozh virіshennya zadachі dvovimіrnogo statsіonarnogo rіvnyannya Shredіngera iš potentsіalom viglyadі Delta Dirac funkcijos už papildomus mokesčius viename vimire. $e\; ^\; (-\; cx)\; =\; a\_o\; \backslash \; frac\; (\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\_\; (i\; =\; 1)\; ^\; (\backslash \; infty)\; (x-r\_i))\; (\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\_\; (i\; =\; 1)\; ^\; (\backslash \; infty)\; (x-s\_i\; ))\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (3)$ de r aš tai s aš esu pastovus ir xє funkcija tarp vidinės energijos ir grįžimo į R šerdies vidurį. Diferencialiniai ekvivalentai iš įrašų.

Lamberto W-funkcijų sustingimas pagrindinėse fizikos problemose nėra apsuptas standartinių ekvivalentų (1), kuris jau seniai buvo įrodytas atominės, molekulinės ir optinės fizikos srityse.

Įvertinta

$W$-funkcija gali būti apytiksliai apskaičiuota pridedant pasikartojantį ryšį:

w_ (j + 1) = w_j- \ frac (w_j e ^ (w_j) -z) (e ^ (w_j) (w_j + 1) - \ frac ((w_j + 2) (w_je ^ (w_j) -z) ) (2w_j + 2))

Movi Python taikomosios programos:

importuoti math def lambertW (x, prec = 1e-12): w = 0 i xrange (100): wTimesExpW = w * math.exp (w) wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp (w) w - = (wTimesExpW-x) / (wPlusOneTimesExpW- (w + 2) * (wTimesExpW-x) / (2 * w + 2)) if (prec> abs ((x-wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW)): pertrauka if ( prec<= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x return w

Norėdami atlikti išsamų skaičiavimą, galite naudoti vikoristovuvati formulę: !!!Funkcija panaši, bet daugiau nei 10% labiau panaši į Lamberto funkciją

W (x) \ apytikslis \ kairysis \ (\ pradžia (matrica) 0 (,) 665 \ cdot (1 + 0 (,) 0195 \ ln (x + 1)) \ ln (x + 1) + 0 (,) 04 & \: \ & 0 500 \ pabaiga (matrica) \ dešinė.

Parašykite vadovą apie straipsnį „Lamberto W funkcija“

Posilannya

1. Corless ta ін. (1996). "". Adv. Skaičiavimo matematika. 5 : 329-359.
2. T. C. Scott, R. B. Mann (2006). "". AAECC (taikoma algebra inžinerijoje, komunikacijoje ir skaičiavimuose) 17 (1): 41-47. DOI: 10.1007 / s00200-006-0196-1.
3. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst (2013). "". SIGSAM (ACM specialiųjų interesų grupė simbolių ir algebrinių manipuliacijų srityje) 47 (185): 75–83.
4. T. C. Scottas, G. Fee'as, J. Grotendorstas, W. Z. Zhang (2014). "". SIGSAM 48 (1/2): 42–56.
5. PS Farrugia, RB Mann, TC Scott (2007). "". Klasė. Kvantinė grava. 24 (18): 4647-4659. DOI: 10.1088 / 0264-9381 / 24/18/006.
6. T. C. Scott, M. Aubert-Frécon, J. Grotendorst (2006). "". Chem. Fizik. 324 : 323-338. DOI: 10.1016 / j.chemphys.2005.10.031.
7. Maignan, Aude (2016). „Apibendrintos Lamberto W funkcijos patikslinimas“. SIGSAM 50 (2): 45–60. DOI: 10.1145 / 2992274.2992275.
8. T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini, J. D. Morgan III (2007). „Helio atomo savųjų funkcijų mazginiai paviršiai“. Fizik. Rev. A 75 : 060101. DOI: 10.1103 / PhysRevA.75.060101.
9. prie pakuotės

Urivok, apibūdinantis Lamberto W funkciją

– O kitas austras, su juo, bouw, vimazaniy pradžioje. Jako miltai, bili. Aš esu arbata, kaip išvalyti amunitsіyu!
- Taip, Fedešau! ... parodęs laimėjimą, či, jei tautiečiai ilsisi, stovi arčiau? Jie visi sakė, kad pats Brunovas turėjo Bunapartą.
- Bunapartas to vertas! bach, pažeidimas, kvailys! Aš nežinau ką! Dabar Prusak sukilimas. Avstriyak yogo, tai reiškia, nusiramino. Jakas laimi susitaikyti, todi ir su Bunapart būtinai susitaikyk. Ir tada, atrodo, Brunov Bunaparti yra vertas! Matai, kad esi kvailys. Jūs girdite daugiau.
- Bacho chti kvartiry'єri! P'yata kompanija, nustebkite, jau įvyniota į kaimą, dvokia verdant košes, ir iki šiol nesiruošia.
- Duok man skrebučius tiems velniams.
- O tada duoti tyutyun? Tai, broli. Na, Dieve dėl tavęs.
- Norėtume sustoti, kitaip jie nebūtų toliau nei už penkių mylių.
– Buvo taip, kaip mums davė vežimus. Їdesh, žinok: tai svarbu!
- O štai, brolau, žmonės išdykėlį vadina pišovu. Ten viskas lenkas, visos Rusijos karūnos; bet nina, brolis, yra sucily nimets of pishov.
- Pirmyn! - pajusite kapitono šauksmą.
Aš priešais lavos vibiglo būrį apie dvidešimt. Būgnininkas užmigo, atsisukęs į vaikų veidus ir, mostelėdamas ranka, griežtindamas kareivio giesmę, pataisė: „Aš neaušru, aš užsiėmęs sūnumi...“ ir baigė žodžiais. : „Tie, broliai, tebūnie mums šlovė... Jis buvo saugomas Tureččinoje, o dabar miegojo Austrijoje, tik su šia gyvate, bet vietoje „Kamenskiy Batko“ buvo įterpti žodžiai: „Kutuzovy Batko“.
Būgnininkas, sausas ir puošnus uolinės šarkos kareivis, žvilgtelėjęs į kareivius, žvelgdamas į kareivius mostelėdamas rankomis, mojuodamas rankomis, parpuolė ant žemės, būgnininkas, sausakimšas ir puošnus kareivis. lemtingoji šarka, žvilgtelėjusi į kareivius. Tada, perbraukus, visų akys nukrypsta į naują, aš saugus savo rankomis, jaučiu nematomus, brangius turtus virš galvos, pajutęs kelias sekundes ir labai nuoširdžiai susižavėjęs.
O, vi, mano mėlyna, mėlyna!
„Seni new my...“, – jie išgirdo dvidešimt balsų, o šaukštas, nepaveiktas amunicijos stiprumo, kramtė į ​​priekį ir atgal priešais gurkšnį, sukdamas pečius ir grasino šaukštais šukos. Kareiviai, siūbuodami rankomis pagal dainos ritmą, buvo plačiai išskėtę, mėgdžiodami koją. Už roti pasigirdo kolių garsai, niurzgėjimas ir žirgų nuobodulys.
Kutuzovas iš pašto pasuko į vietą. Vyriausiasis vadas davė ženklą, kad žmonės pralinksmins, ir, prisidengę visomis pašto žinutėmis, jie džiaugėsi dainos garsais, labai linksmai ir linksmai daužydami šokantį kareivį ir roti kareivius. laimingai paliko. Kitoje eilėje, iš dešiniojo flango, roti daužė vežimą, mėgdžiodami įkrisdami vienas į kitą juodaakį kareivį Dolokhovą, kuris ypač žvaliai ir grakščiai stebėjosi tapytojo plakimu ir stebėjosi gyvųjų veidais. tokiu būdu. valandos pabaigoje ir roto. Husaro kornetas iš Kutuzovo pašto, kuris imitavo pulko vadą, išvažiavo iš vežimo ir nuvažiavo į Dolokhovą.
Husaras kornetas Žerkovas vieną valandą Peterburge gulėjo prieš tą smurtinį sustabdymą, kaip keruvavas Dolokhovas. Už kordono Žerkovas padėjo Dolokhovui kaip karys, visiškai nepaisydamas jo poreikių. Dabar nuėjau pasikalbėti apie Kutuzovą su peticija ir dėl seno draugo džiaugsmo kreipiausi į jį:
- Širdies draugas, ty jak? - pasakęs vin skambant dainai, tavo žirgo krokas su roti yra lygus.
- Ar aš jakas? - Man šalta, Dolokhovas, - jak bachish.
Žvavos daina suteikė ypatingą prasmingą rožinio linksmumo toną, kaip kalbėjo Žerkovas, ir didžiulį Dolokhovo idėjų šaltumą.
- Na, ar gerai iš viršininkų? - Maitindamas Žerkovą.
-Viskas gerai, geri žmonės. Ty jakas būstinėje?
- Komandos, po velnių.
Aplink stumdė smarvė.
„Išleidau sakalą iš dešinės rankovės“, – sakė daina, mimovoly zbujyuchi badiore, jausdamasi linksmiau. Rozmova їkh, mabut, bula b іnshoyu, yakby smarvė nekalbėjo skambant dainoms.
– Ar tiesa, jie įveikė austrus? - Įjungęs Dolokhovą.
– O velnias žino, atrodo.
„Aš esu radijus“, – trumpai ir aiškiai pasakė Dolokhovas, tarsi tai būtų daina.
- Na, ateik prieš mus, sužeisk, faraonas paguldys, - pasakė Žerkovas.
- Ar turi daug pinigų?
- Ateiti.
- Neįmanoma. Zarok dovanoja. Nerūkau, nežaidžiu, dokai netrūkinėja.
- Na, prieš pat pirmąjį...
– Ten bus matyti.
Žinau, kad aplinkui tvyro smarvė.
„Ateikite, jei jums to reikia, galėsite padėti viskuo štabe...“ - sakė Žerkovas.
Dolokhovas nusijuokė.
- Per daug nesijaudink. Nieko neprašysiu, neprašysiu, aš pats.
- Na, aš taip...
- Na, aš esu.
- Viso gero.
- Būk sveikas…
... і aukštai, і toli,
Į gimtinę...
Žerkovas baksnoja spurtais, kaip tris kartus, karštas, pertraukia kojomis, nežinau, kaip pradėti, ir šuoliuoja aplinkui, gaudo kompaniją ir kviečia vežimą, gal dainos ritmu.

Apsisukęs apsidairęs, pro savo kabinetą ėjo pavaldinys austrų generolas Kutuzovas ir, spustelėję ad'yutant, nubaudę dejako mokesčius, atsigulė ant stovo, o lapus iš globėjo atėmė. ginkluotųjų pajėgų. Princas Andrijus Bolkonskis iš reikalingų dokumentų veda į vyriausiojo vado kabinetą. Prieš paskleidžiant planą ant stalo, Kutuzovas ir austras Valstybinio civilinės gynybos komiteto narys sėdėjo.
- Ir…
- Sakau tik viena, generole, - tarė Kutuzovas iš priimančio vislovų ir Antonijaus gyvybingumo, todėl žodis nuskambėjo garsiai odoje. Matyti, kad pačiam Kutuzovui buvo malonu išgirsti iš jo paties. - Tik, atrodo, sakau vienas, generole, kad lyg dešinėje buvo ypatingas bazhanas, tai imperatoriaus Franzo didybės valia jau seniai buvo vikonas. Seniai tapau kunigaikščio hercogu. Visų pirma, mano garbė, todėl būčiau ypač atsakingas, jei daugiau dėmesio skirsčiau kariuomenės vadovybei, o ne žinomam ministro generolui, kaip Austrijos, ir visą didelį matomumą atiduočiau man. laimingas. Ale parūpink mums stipriausią, generole.
Aš Kutuzovas nusišypsojau iš tokio virazo, bet jis nežinojo: „Jūs turite teisę manęs nebandyti ir visiškai mane orientuoti, jei netikite. Apskritai aš esu dešinėje“.
Austrijos generolas nesutiko su jo viglyadu, bet tai nebuvo neteisingas būdas pasakyti Kutuzovui.
- Navpaki, - šiurkščiu ir piktu tonu, kuris taip prižiūrėjo priimtiną žodžių prasmę, pasakęs, kaip būti imobilizuotam, - Navpaki, jūsų ekscelencijos likimas užmiesčio dešinėje yra labai vertinamas dėl šios didybės; ale mi vvazhaєmo, kuris gali padėti tau atleisti šlovingą rusišką vіyska, kad yogo vadas ramiai skina laurus, kaip skambėjo smarvė mūšiuose skinti, – baigęs frazę.
Kutuzovas nesijuokdamas pasilenkė.
- Ir aš esu toks perekonivajus, ryuntuyuchsya ant likusių lapų, kaip mano pasakojime, erchercogas Ferdinandas, pripažįstu, kad austrų vyyska, vadovaujamas tokiam meistro padėjėjui, kaip generolas Macas, dabar per daug nerimauju Kutuzovas. .
Generolas susiraukė. Nenorėčiau girdėti teigiamų garsų apie austrų puolimą, šiek tiek daugiau nei daug baldų, bet jie buvo jautrūs; Be to, Kutuzovo įžanga apie austrų įveikimą panaši į rijų. Ale Kutuzovas tingiai nusijuokė, visi su tuo pačiu virazu, tarsi sakydamas, kad gali sau tai leisti. Puikus, paskutinės minutės lapelis, išvedantis jį iš Aguonos armijos, skaitantis apie pokyčius ir apie naują strateginę kariuomenės stovyklą.

19.2.1. Viznachennya Sudėtingų pokyčių funkcija visai nelaikoma išorine funkcinio išsekimo forma. Nagadamo , scho regione aikštėje būkite tarsi pamatysite begarsius visos teritorijos taškus. Regionas viena nuoroda, tarsi tai būtų posritis, apsuptas nepertraukiamos, uždaros savaime nesikertančios kreivės, kad būtų galima atsekti plotą.

Matomos dvi kompleksinių skaičių sritys: C = {z | z = x + oi ) tai W = {w | w = u + iv ). Eik šalia aikštės Z duotoje srityje D і buvo nustatyta taisyklė,
ne kompleksinis skaičius
... Man atrodo, kad tai regione D paskirta nedviprasmiška funkcija w = f (z ) (bet kokiu atveju vizualizacija
). Regionas D vadinti funkcijos sritimi, be funkcijos reikšmės (ar srities vaizdo D kai pateikiama f .

Odai
įdėti į vertės tipą
(tobto spec z mažas vaizdas), tada funkcija w = f (z ) būti pašauktam reikšmingas.

Funkcijos w = f (z ) skambinti ilgalapis srityje
jei yra nedviprasmiškas vietovės vaizdas D vienam regionui
(iki odos taško
gali būti vienas vaizdas
, і nugara, odos taškas
ma єdinny prototipas
.

19.2.2. Dizainas yra aiškus ir yra sudėtingų pokyčių funkcijos dalis... Taigi jakas

w = u + iv , z = x + oi , tada pūdymas w = f (z ) galima parašyti viglyadі

w = u + iv = f (z ) = f (x + oi ) = Re f (x + oi ) + i Aš f (x + oi ). Esant tokiam rangui, kompleksinės vertės fu kūrimas akcijos w = f (z ) sudėtinga žiemaz efektyviau aprūpinti dviem funkcinėmis funkcijomisu = u (x , y ) = Re f (z ), v = v (x , y ) = Aš f (z ) dvi efektyvios žiemos NS , adresu .

Užsidėk: 1. w = z 3. Vistulamo z 3 per NS ,adresu : z 3 = (x + oi ) 3 = x 3 + 3 x 2 i y + 3 x i 2 y 2 + i 3 y 3 =

2. w = e z ... čia

Daugelį FKP galių (kompleksinių pokyčių funkcija) suformuluosime efektyvios dalies požiūriu u (x , y ) tą aiškią dalį v (x , y ), todėl tsikh chastin matymo technika yra pakankamai gera.

19.2.3. FKP geometrinis vaizdas... Funkcijos w = f (z ) jako statymas

u = u (x , y ), v = v (x , y ) pagalvoti apie FKP jako įvaizdį porą paviršių u (x , y ), v (x , y ) trivialioje erdvėje, neparankiu būdu, tam neleidžiama suprasti poros ( u , v ) yra kompleksinis skaičius. Inodi pavaizduokite paviršių, pavadinkite jaku relfomas funkcijas w = f (z ). Qiu pritaikyti funkcijos Arg linijos paviršių f (z ); dainuojančios informacijos akivaizdumui informacijos pakanka pateikti informaciją apie poliarinių koordinačių funkcijos kitimą. Tačiau universalus FKP įvaizdžio būdas yra tame, kad daug žmonių yra nutapyti, žiūrint jie atrodo vienas prieš vieną, kaip atrodo. Dažniausiai ima koordinačių linijas (Dekarto ir poliarines koordinates) ir žino jų atvaizdus.

Užsidėk... 1. Linijos funkcija w = a z + b de - fiksuoti kompleksiniai skaičiai, a 1 , b 1 - їх dizaino dalys, a 2 , b 2 - їх skaidrios dalys.

Įsivaizduokite dviejų funkcijų superpozicijos rodinio funkciją: w 1 = az і w = w 1 + b ... Vaizdavimas
, iš skaičių daugybos aiškinimo trigonometrine forma, kad argumentas būtų sumažintas iki skaičiaus z ant arg a kad th modulio tempimas (suspaudimas) | a | raziv; vizualizacija
prie suvu taško: w 1 vienam vektoriui: b (b 1 , b 2). Tokiame reitinge linijos funkcija w = a z + b tempimas (dėl
) odos vektorius z adresu | a | kartų (suspausti jogą raziv at | a | <1), поворачивает на угол arg a і zrushuє ant vektoriaus b ... Dėl to viskas tiesiogiai virsta tiesia linija, kola – į kolą.

2. Žingsnio funkcija w = z 2. Funkcija lengvai matoma viršuje

C + = {z | y = Aš z > 0). Prie parodos formų w = z 2 = (|z | e i arg z ) 2 = |z | 2 e 2 i arg z ... Otzhe, pivkolo perėjimas prie kolonos su vikolotoy tašku,

promin - prie promin. Visa viršutinė sritis Z + eik į aikštę W su bloga teigiama žinia.

NS aiškiai rodomas Dekarto koordinatėmis. Taigi jakas

w = z 2 = (x + oi ) 2 = x 2 - y 2 + 2 ixy , tada u (x , y ) = x 2 - y 2 , v (x , y ) = 2 xy ... Žinome koordinačių linijų vaizdus. Tiesiai y = y 0 eiti į kreivę, parametrinė rivnyannya yako u = x 2 – y 0 2 ,

v = 2 xy 0 (NS - Parametras). Viklyuchauchi NS , otrimaєmo rіvnyannya paraboli
... Promin
eiti į u = x 0 2 – y 2 ,

v = 2 x 0 y (parametras y > 0). Viklyuchauchi adresu , otrimaєmo gіlku paraboli
.

Z v = 2 x 0 y viplyaє, scho v zberigak ženklas x 0, tada bus viršutinė galvutė x 0> 0, і mažesnis ties x 0 <0. Луч x 0 = 0 pereiti prie promin u < 0, v = 0.

Mes žiūrime į funkcijas w = z 2 viršutiniame aukšte Z +, neturi įtakos tie, kurie pažymėti visoje srityje Z dėl šios priežasties jis yra vienalapis tsіy napіvploshinі. Apatinė napivploshina C - = {z | y = Aš z <0} при отображении w = z 2 taip pat apima visą plotą W (už teigiamo pivosi vinyat). Yaksho pažvelgti į visą vietovės vaizdą Z tuo pačiu metu yra dvi srities kopijos W (Du lapai, kad padengtumėte plotą).

Įvairiose programose buvo naudojamas algoritmas, kuris sužadino linijų ir regionų vaizdus vieną valandą rodomo w = f (z ). Jakšo w = u (x , y ) + iv (x , y ), norintiems sužinoti linijos vaizdą L : F (x , y ) = 0 vaizduojant, reikalavimas yra iš sistemos
viklyuchiti zmіnnі NS і adresu ; kaip rezultatas, tai bus rivnyannya
linijos vaizdas L netoli teritorijos W ... Žinokite regiono įvaizdį D , apsuptas uždaros kreivės L , jūs turite žinoti linijos vaizdą, nes vaizdas yra uždara linija, jums reikia eiti D regione, apsuptas centrine linija, arba centrinio regiono pavadinimas.

NS rimeris: labas z 1 = 1 + i , z 2 = 2 + i , z 3 = 1 + 2 i ... Žinokite trikotažo žmogaus įvaizdį z 1 z 2 z 3 pd valandos rodymo w = z 2 .

Yra žinoma, kad kudi varomi į triračio viršūnę. w 1 = z 1 2 = (1 + i ) 2 = 1 + 2i - 1 = 2i ;

w 2 = z 2 2 = (2 + i ) 2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i ;

w 3 = z 3 2 = (1 + 2i ) 2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i ... Šoninė z 1 z 2 є iš dalies tiesus adresu =adresu 0 = 1. Qia yra paprasta pasirodyti, yak mi bachili, prie parabolės
... Mums reikia parabolės dalies tarp taškų w 1 i w 2. Dal, pusė z 1 z 3 є iš dalies tiesus NS =NS 0 = 1, kuris rodomas parabolėje
; tarp taškų paimame parabolinio apskritimo dilyanką w 1 i w 3. Šoninė z 2 z 3 guli tiesiai NS +adresu = 3; rivnyannya į tsієї vaizdą tiesiogiai otremaєmo, turint
pakeisti NS і adresu :. Parabolės centro tarp taškų Dilyanka w 2 tai w 3 pateikiu vakarėlio vaizdą z 2 z 3. Pabudęs triračio vaizdas. Lengva apvirsti, teritoriją supa triratis triratis, kirsti triračio triračio viduje w 1 w 2 w 3 (visiems užtenka žinoti, pavyzdžiui, viso regiono vieno taško vaizdą).

3. Didelė moderniausia funkcija w = z n , de n - natūralusis skaičius, panašus į funkciją w = z 2. Taigi jakas w = z n = (|z | e i arg z ) n = |z | n e i n arg z , tada vaizdas bus rodomas n kai jūs turite pjauti su viršumi taške z= 0. Būti kaip du taškai z 1 i z 2 su tais pačiais moduliais ir argumentais, kurie padauginami iš (jei nėra smarvės), eik į vieną tašką w , tobto. „sulipdytas“, kai atvaizduojamas. Otzhe, vіdobrazhennya diversifikuotas zhodnіy oblastі, būtina atkeršyti dėl tokių taškų. Regiono užpakalis, de tse vaizdavimas vienareikšmiškai - sektorius
... Visas sektorius bus paverstas sritimi, tobto. šalia aikštės W su bloga teigiama žinia. Be-yaka plotas, supakuotas į sektorius mažiau nei , vienareikšmiškai rodomas W .

19.2.4. Meža FKP.

Viznachennya. Nagi funkcija w = f (z ) yra nurodytas prie taško esančiame pradurtame z 0 = x 0 + oi 0. Sudėtingas skaičius w 0 = u 0 + iv 0 vadinti ribine funkcija, kai
kaip būti panašus - kolekcijos
(> 0) taškų w 0 tu žinai, kad taka pradurta -kolitsa
dėmės z 0, visiems
vertė f (z ) atsigulti
... Kitaip tariant, yaksho z 0 - srities vlasna taškas, tada bet kam > 0 maє isnuvati taip pat > 0
tolesnių veiksmų nenuoseklumas
(panašiai rašoma nekintamo taško reikšmė
). Esant tokiam rangui, mano -tarp-FKP reikšmė padidins vieno veiksmo pokyčio interfunkcijos reikšmę; reiškia sieną, jak zavzhd:
.

Neištikimybė
reiškia, scho, abo. Kompleksinių skaičių moduliui galioja visos pagrindinės absoliučios reikšmės zokrem laipsniai, todėl jį lengva paneigti, todėl

... Tokiame reitinge sudėtingo pokyčio funkcija yra galingesnė nei tarp dviejų funkcijų. u (x , y ) tai v (x , y ) dvi efektyvios žiemos. Tam visos teoremos apie tarp funkcijų taškuose (taip pat ir tarp funkcijų sumos) automatiškai perkeliamos į kompleksinę analizę. Taigi, jei norite, galite atsinešti patys
(Nulinės eilutės pradžiai pakanka
).

19.2.5. FKP saugumas. Nagi funkcija w = f (z ) yra pažymėtas taško pakraštyje z 0 = x 0 + oi 0. Funkcija taške vadinama nepertraukiama z 0 yaksho:

Jakas і ties lašeliu, galima parodyti, w = f (z ) taškuose bus nepertraukiamas z 0 = x 0 + oi 0 tody ir todeless tody, jei funkcijos u (x , y ) tai v (x , y ) be pertraukų taškuose ( x 0 , y 0), todėl visos pagrindinės teoremos apie funkcijų tęstinumą perkeliamos į FKP.

Informacinių sistemų katedra

Kursinis robotika tema: „Automatinio valdymo sistemų analizė ir sintezė“.

Viconav:

7 variantas

Atvirkščiai:

Maskva 2008 m

4 įrašas

Rozrakhunkovo ​​grafinė dalis: 6

1. Perkėlimo funkcijos W (p) reikšmė 6

2.Perkėlimo funkcijos W reikšmė (p) 7

3. Perkėlimo funkcijos W (p) reikšmė 9

4. Perkėlimo funkcijos W (p) reikšmė 10

5. Razrakhunok pereinamasis reguliuojamo parametro procesas ACS 13

6. Reguliavimo kokybės ir maksimalaus reguliuojamo parametro rodiklių reikšmė. 15

7. Kokybės kontrolės rodiklių reikšmė 15

8. Pobudova LACHH nepakeitė sąrašo ACS 15 dalies

9. Pobudova bazhanoi LACHH 17

10. Viznachennya LACHH Koriguval Lanka 19

11.Dizaino perdavimo funkcija rozimknoyu ACS už bazhany LACHH 19

12.Dizaino perdavimo funkcija coriguval lanka pagal LACHH 20

13. Razrakhunok perėjimo procesas įvertintas ACS 21

14. Tos fazės amplitudės taškinės ACS standumo Viznachennya atsarga. 21

15. 23 balais vertinamo AKSS kokybės rodiklių reikšmė

Visnovok 25

Vikoristanikh dzherel 26 sąrašas
PRISIJUNK

Automatinis reguliavimas – efektyviausias automatizavimo principas dalinėje automatizacijoje, jei reikalinga techninė automatikos dalis paprastos funkcijos valdymas, sujungimas su vizualizacija, analize, valdymas skirtingų fizinių verčių ir operatoriaus priimtų sprendimų iš įrenginių, programų ar kitų valdymo signalų.

Kompleksinė automatika atėjo pakeisti privatų sektorių, jei automatika yra ne tik valdymo funkcijos, bet ir valdymo signalų pergalės, siekiant priimti sprendimus, išeiti į valdymo tikslus. Šią valandą automatinės valdymo sistemos (ATS) є pagrindinis techniškai automatizuotų virobnitstv, dirbtuvių, technologinių procesų stabdymui

Kasdienio sulankstymas automatinės sistemosŽymiai išaugo. Net privataus automatizavimo laikotarpiu smarvė sklido iš automatinių valdymo sistemų, mainais už tai, ką žmonės darė, o dabar vynui reikia automatinio automatinio valdymo sistemų, saugojimo sistemų ir Be to, pirmajame etape tai yra automatizuoti, kai kuriais atvejais, paprasti vietiniai reguliavimo procesai, o kita vertus, puolamieji - valdymo procesai, kurie gali atrodyti didesnio ir lankstesnio pobūdžio.

Teoriškai automatinį valdymą galima pavadinti dviem būdingais įrenginiais:

· AKC pavedimu žinoti, kad pereinamųjų procesų įvertinimas – AKS analizės kaina;

· Už pateiktų pereinamųjų procesų ir pagrindinių AKS raidos rodiklių – AKS sintezės procesas.

Kitos zavdannya susilanksto per savo dviprasmiškumą, jos kilmė yra gausi iš kūrybinių dizainerio norų. Kad zzvychay zavdannya ACS sintezė turi būti įtraukta tarp. Norint dalyvauti, pagrindinė sistemos dalis jau nustatyta, vadink mane pelėmis. Reikia susintetinti koriguval lanka, tobto. vibruoti їkh schema ir parametrai. Tuo pačiu metu dėl ACS korekcijos būtinas reikalingas standumo tiekimas, valdymo tikslumas nustatytais režimais ir valdymas dinaminiuose režimuose.

Automatinių sistemų sintezė yra pagrindinis ir praktinis rezultatų papildymas, atsižvelgiant į automatinio reguliavimo ir valdymo teoriją.

Sistemos sintezė – visa vibracijos struktūra ir saugojimo elementai – fizinė prigimtis, dizainas ir parametrai. Su visa sistemos galia ir kaltė, sutikimas dėl veikų iš anksto įsteigti vimogus... Jis pateikiamas tiek iš esmės inžineriškai, atsižvelgiant į matmenis, matmenis, kintamumą, patikimumą ir specifiškumą – į statines ir dinamines sistemos galias, reguliavimo kokybę.

Zavdannya duota kurso robotaiє pateiktos sistemos analizė ir automatinis reguliavimas bei sintezė poliravimo galios metodu.

Lengvai suprantama funkcija

Mažas. 23

de NS yra natūralusis skaičius. Pohidna w" = nzn ~ 1іsnu ir іdmіnna nuo nulio visuose taškuose z f 0, z f oo. Tam vaizdas, kaip ir funkcija (10.1), atitinka visus taškus, z = 0 metų z = oo. Noriu užsirašyti žiemą zі w parodos formose, z = re l w - pe 1b, tada (10.1) padaryti

(mes jau peržiūrėjome paveikslėlį (10.1), skirtą NS= 2 užpakaliui 5.1). Zvidsey galima pamatyti, kokia kola z = r eiti į laužą | -sh | = r ", kut 0 ip a 2 tai / n, su viršuje ant koordinačių burbulo, gulėti ties z, rodomas 0 pjūvyje sh srityje. Be to, vaizdo atitiktis pažeidžiama taške z =0 : kuti in tsy taškas užaugti, kai atvaizduojamas in NS plėtra Nesvarbu parodyti, kad vaizdas (10.1) taškuose neatitinka є z = oo(Pabandykite patys).

Nagi taškeliai zі z-2 taki, uh Z2 = NS^ 2. Lengvas vi

vaikai, mokyk Z f 22, tai Zo= r "e / n su viršūne ant koordinačių burbuliuko.

Norint įvesti funkciją, kuri yra pažodinė, mums reikia tokios reikšmės.

Kompleksinio pokyčio bagato vertės funkcija taisyklė (dėsnis), po kompleksinio skaičiaus z daug D kompleksinių skaičių tipas w.

Visos anksčiau matytos funkcijos (išskyrus Argz funkcijas) buvo vienareikšmės. Argz funkcija yra labai svarbi:

de argz – sutepti argumento prasmę prieš - būti visas skaičius. Duokite terminą funkcija, scho vikoristovuєtsya be jokių paaiškinimų, pasikliauti pagarba yra vienareikšmė funkcija; Anksčiau paminėtų funkcijų gausa bus aptarta iš anksto.

Nekhai funkcija w = f (z) peržiūros sritis D vienam regionui E. Zvorotn_y prieš funkciją w = f (z) vadinti funkcija z = g (w), pažymėtas regione E, jako odos kompleksinis skaičius w € E ekrane padėkite kompleksinius skaičius z € D, taki scho f (z) = w.

Kitaip tariant, funkcija skamba w = f (z),- visa taisyklė, už aiškaus odos taško w € Ežiūrėkite prototipus z D €.

Yaksho funkcija і)= f (r) yra vienavalentis D, tada sūkurio funkcija yra vienareikšmė (ir taip pat vienavalentė) E jaksho w = f (z) ne vienalapis, tada skambėjimo funkcija bus turtinga prasmės. Pavyzdžiui, garsas, kad veiktų w = z nє labai reikšminga funkcija z – y/w: odos vertė w, vidminnom vid 0 ir oo, vidpovida NSįsišaknijęs nthžingsnis, kuris prasideda formule (2.12). Skaičiai 0 ir turi vieną šaknį:> / 0 = 0,> / oo = oo.

10.1 teorema. Tegul funkcija w = f (z) yra vienavalentė ir apolitiška srityje D, transformuojant D į sritį E ir f "(z) φ 0. Sūkurio funkcija z = g (w) taip pat yra apolitiška E ir srityje

Pristatyta. Zafiksuєmo iki taško z € Dі vіzmemo priіst Az f 0. Todi per unisheet funkciją w= / (g), padidinimo atveju Oi = f (z + Az) – f (z) tai irgi nebrangu. Tomas

Funkcijos w = f (z) ana / shtichna, tada ji yra be pertraukos taške z. Otzhe, Oi-> 0 už Az-> 0; Az-y 0 val Oi-> 0. Žvidsi

būtina atnešti.

Funkcijos argumentas z = g (televizorius), zvorotn_y w =/ (- g), є zminna w. Oskilki funkcijos argumentas dažnai žinomas per 2, tačiau dėl tos pačios priežasties jis reiškia pokytį zі w kad rašo w = g (z). Pavyzdžiui, skambėjimo funkcija iki w = z n užsiregistruoti jakas w = yfz.

Funkcijos pristatymas w = y / z. Yak bulo yra vadinamas whish, laimėjo є kaip prasmingas. Apsaugoti galima turėti funkciją nesulankstomame priede, po sudėtinga sritimi, funkcijai w = y / z taps vienas su vienu, kad be pertrūkių. Aprašyta daug. Vіzmemo NS kopijas ("lapus") daryti, D,..., D n -i kompleksinis plotas, kuriame auga teigiamos sąlygos, o augimas vienas per vieną (24 pav., a vipadoks indikacijos NS= 4). Paimkime tą kraštą

Mažas. 24, a

už zonos, į kurią einama iš mainų apačios OI(tobto ale nap_vploshchini adresu D klijai nuo viršutinio srities krašto D-2 ir tt, neklijuokite apatinio krašto D n -h nuo viršutinio krašto iki dydžio D n -. Dabar apatinis regiono kraštas yra suklijuotas, kuris tapo perkrautas. D n -(24 pav. a tse D 3) nuo viršutinio srities krašto Daryk- Trivialioje erdvėje tokį klijavimą nepatogu dirbti neperpildant jau nutrūkusių tarpinių lakštų klijavimo. Ale mi, galime gerbti tą klijavimą, kuris nesikerta su priekiniais (kad viso klijavimo taškai būtų skaičiuojami nuo kito klijavimo taškų). Otrimanos paviršius parodytas fig. 24, 6 . Vaughn būti vadinamas Riemanno paviršius funkcijas w = fz. Virš dermos taško kompleksinėje srityje, nuo 0 iki 0, surūšiuota NS Riemanno paviršiaus taškai. Dėmės NS> 0 dіysnoї pіvosі netampa kaltas, atplaišos visų klijuoti, roztashovany per jį, vvazhayutsya toks, kad nesikeičia. Jei neturite dviejų taškų, nepraraskite galios: z = 0 ir z = os. Visi Riemanno paviršiaus lakštai taškuose suklijuojami, paskirstomi per taškus z= 0 і z= oo.

Matyt, dabar funkcija w = s / z sukelti Riemanno paviršių. Nagadaєmo, scho yaksho z - re, v? tada viskas šaknis n-oji z žingsnis z pradėkite pagal formulę (2.12):

Mažas. 24, b

Coot y> formules galima vibruoti nuo bet kokio intervalo iki 27g; galėsime leisti rankiniu būdu, 0 ^ ip

Krapkam z = re t gulėti ant arkos Daryk kad klijavimas Daryk s D n _1, nustatyta šakninės reikšmės s dispersijoje prieš= 0; taškų gulėti ant arkos D 1 tie klijai D s Do, - šaknies z reikšmė prieš= 1. Bzagal, taškai, esantys ant D *, jei 1 < prieš ^ NS- 1, і klijuota D * z D * ._ i, remiantis duomenų šaknine verte prieš. Tai paskatins vienareikšmiška Riemann paviršiaus funkcija.

Nėra svarbu parodyti, kad funkcija unikaliai ir nedviprasmiškai vaizduoja Riemann paviršių visame kompleksiniame plote. Šviesus,

~ - * 2ТГ * 27 g (ir + 1) „-

lapas prieš bus matyti kut

Rodoma, kad vaizdas yra nepertraukiamas. Jakšo taškas z gulėti ant arkos D * su rože, tada taškuose nėra pertraukų tiesiai iš formulės (10.3) su fiksavimu prieš. Dėl demonstravimo

be pertrūkių klijavimo taškuose, kontūras ant paviršiaus z= 1 kompleksinis paviršius. Šiek tiek apeikite kontūrą nuo taško z, paskleiskite viršutinį lapo kraštą Autorius. Oskilki r = 1, kr = 0, prieš= 0, tada w = y / z= 1. Aplenkiant pirmąjį posūkį, kontūras ant lanko Daryk valios f 2i G

G-2 T . . 2 T: _ m

і Vz-> cos - + i sin -. Pereyshovy klijuojant ant arkush NS. mi otrimaєmo, už n n

- f + 2 T . f + 2 T

vertė, l / g = cos- + g sin- (fragmentai prieš = 1). Zokremas,

adresu = 0 būtų ta pati šaknies reikšmė, prie kurios jie artėjo, eidami į apatinį ale lapo krantą Daryk. Vadinasi, klijavimo taškuose per s NS funkcija sfz bus nepertraukiamas. Panašiai šaknies tęstinumas ir perėjimas iš Dk-i ant D * 1 ^ prieš ^ NS - 1. Nareshti, apeinant kontūrą lape D „_ 1 ir priartėjus prie apatinio rožės krašto, galime jį padaryti prieš = 11 - 1, f-e 2 T, і

tobto. tos pačios vertybės, kurios buvo pataisytos viršutiniame lapo krašte P0. Esant tokiam rangui, funkcija> / r bus nepertraukiamas visuose Riemann paviršiaus taškuose. Jako funkcija, skambėjimas iki analitinės, laimėjo є nedviprasmiška analitinė funkcija paviršiuje z= 0 і z= oo).

Vіzmemo be-yake colo z= g sudėtingoje srityje, kur aš medžioju tašką z = 0. Tse kolo bude patrauks ir n tašką z= oo. Apeinant kontūrą ant romėniško paviršiaus, kuris yra sulankstytas iš taškų, kurie yra pasklidę per cimbolą, pereiname nuo vienos Riemann paviršiaus arkos į pirmąjį. Iki taško z= 0 і z= oo paskambino šešėlių taškai. Zhodna іnsha tašką aprašo valdžia ns maє: kaip imti akcijų su centru taške z f 0, z f oo, neimkite taško 0 savo, tada nustatomi taškai ant Riemann paviršiaus NS kіl, o ne surištas po vieną. Paspauskite nuo jų odą, mes nematome už vieno iš to paties arkušo ribų.

Vienareikšmiškai analitinė srityje D funkcija f (z) būti pašauktam reguliariai vertingos funkcijos F (z), paskirta tame pačiame regione, taip pat f (z) srities odos taške D užima vieną iš reikšmių F (z) ts_y taškuose.

Bagato vertės funkcija F (z)є nedviprasmiška, kuri yra analitinė savo Riemann paviršiuje (už paskirstymo taškų vinjetės). Tai yra, yra galimybė pamatyti regione D Reguliarus spaudimas reiškia galimybę auginti plotą mažame paviršiuje, o ne augti D ir nešvaistykite plaukų šalinimo taškų. Uždengti D Esu kaltas, jei daug, kad tilpau ant vienos arkos, arba palei klijus nusileidau nuo vienos arkos iki kitos (jak kilim nusileidimu). Pavyzdžiui, kilce 1 z F (z) = sfz, n^ 2, apskritimo taško skeveldros.

roztashovani per teigiamą pareiškimą, kaltas vieną valandą valgyti ant lapų, bet tai nemalonu. Jei sukursite ratą už spindulio, mes užaugsime per jauni. Kai tsomu roztashuvati D ant Riemann paviršiaus tai įmanoma NS būdai (і, iš to paties, žr D p naujų funkcijų y / z). Norint pamatyti konkretų tašką, pakanka atlikti prasmingą funkciją bet kuriame regiono taške D. Pats Timas išbandys romėniško paviršiaus lapą, kuriam galėsi panaudoti tašką, o tai reiškia, kad jis pasirūpins visu plotu D.

Paraiška 10.2. Pamatyti įprastą gilką f (z) funkcijas w =

2 = e ttp : - -

Sprendimas. Regionas Dє sudėtingas plotas su a adresu^ 0. Šiuo metu matoma reguliariai D tai yra įmanoma. Formulei (10.3)

Jei matote gilk / (g), turite žinoti A * reikšmę. Oskilki / (1) = g, tada yra ip= 0, г = 1, galime

viplya žvaigždės prieš= 1. Otzhe, būtina

Zokremas,

Atlikome Riemanno paviršiaus funkcijos indukciją w == fz, Razrzіzajuchi komplekso plotas Z vdovzh positivnoї pivosі. Svarbu tai, kad mes nenaudojame principų, kad vibruotume vystymosi liniją: analogišką dizainą galima progresuoti, plėtoti, pavyzdžiui, sujungiant bet kokius mainus, kaip eiti nuo koordinačių burbuliuko.

Tegul z = x + iyEC, tody, e z = e x reikšmėms (cos (y) + i ∙ sin (y)).

Funkcija w = e z priskirta pagal visus Z, ji analogiška C, kadangi

W = u + iv = ex (cos (y) + i ∙ sin (y)) _ (u = ex cos (y), v = ex sin (y)] _ u, vЄC 1 (R 2) Cauchy-Rimann : ∂u / ∂x = ex cos (y), ∂v / ∂y = ex cos (y), ∂u / ∂y = -ex sin (y), ∂x / ∂x = ex sin (y) y ) _ (∂y / ∂x = ∂v / ∂y, ∂u / ∂y = -∂v / ∂x] _ w = ez yra analogiška funkcija C. (ez) "= ∂ (ex ( cos ( y) + i ∙ sin (y))) / ∂x = ex (cos (y) + i ∙ sin (y)) = ez.

sz 1, z 2 ЄC e z 1 ∙ e z 2 = e z 1+ z 2, nes ez 1 ∙ ez 2 = ex 1 (cos (y 1) + i ∙ sin (y 1)), ex 2 = (cos (y 2) + i ∙ sin (y 2)) = ex 1 + x 2 (cos (y 1 + y 2) + i ∙ sin (y 1 + y 2)) = ez 1+ z 2. Esant z = x, tarpusavyje susijusi funkcija w = e z eina į kalbos liniją – funkciją e x.

Funkcija w = ez yra periodinė, kurios periodas T = 2πi, ez + 2π i = ez ∙ e 2π i, e 2π i = e 0 (cos (2π) + i ∙ sin (2π)) = 1 _ ez + 2π i = ez , szЄC.

Padauginkime ez 1 = ez 2 iš e - z 2: e z1-z2 = 1. Skaičius z 1 -z 2 = T 1 + i ∙ T 2 _ e T 1+ i ∙ T 2 = 1 _ e T 1 ( KAINA 2 + i ∙ sinT 2) = 1; e T 1 = 1, kaštai 2 = 1, sinT 2 = 0 _ T 1 = 0, T 2 = 2πk _z 1 -z 2 = 2πki _ T = 2πi - laikotarpis. Jei sritis D neapima taškų z 1 і z 2 taip, kad z 1 -z 2 = 2πki, kЄZ, tai sritis D yra vienos užduoties funkcijų sritis w = e z. Jakas D gali priimti divus. ryžių.

Plačiau apie temą 6. Parodykite funkciją w = ez ir pagrindinę galią.

1. 1 Teisės mokslo supratimas, pagrindinė galia ir klasifikacija. TGP metodika.
2. Pagrindinė viščiukų galia. Mitozės ir apoptozės patologija.
3. 39. Apibūdinkite draudimo įmonių tikslus ir funkcijas. Suformuluokite pagrindines draudimo veiklos kryptis.
4. Teiginiai su prisijungusiais nariais (supratimas apie priėmimą; paauglių rechennya narių funkcija). Pagrindinė ryšio priežastis. Peržiūrėkite naujausius narius ir apyvartas.