Aduceți-l în discuție folosind metoda inducției matematice pentru oricine. Începutul științei

Saveleva Katerina

Activitatea se consideră a fi bazată pe metoda inducției matematice la cel mai înalt nivel de divizibilitate, înainte de a adăuga serii. Se examinează aplicarea metodei inducției matematice la demonstrarea neregulilor și a celor mai înalte sarcini geometrice. Lucrarea este ilustrată cu o prezentare.

Avantaj:

Vizualizare înainte:

Ministerul Științei și Dezvoltării al Federației Ruse

Angajament suveran

gimnaziu nr.618

Curs: algebră și analiză de bază

Tema lucrării de proiect

„Metoda de inducție și stagnare matematică la cea mai înaltă specificație”

Robot Viconal: Savelyeva E, clasa 11B.

Kerivnyk : Makarova T.P., profesor de matematică, GOU ZOSH Nr. 618

1. Introducere.

2. Metoda inducției matematice în sarcina cea mai înaltă pentru completitudine.

3. Utilizarea metodei inducţiei matematice înainte de a însuma seria.

4.Aplicați metoda inducției matematice până la confirmarea neregulilor.

5. Utilizarea metodei inducţiei matematice până la rezolvarea sarcinilor geometrice.

6. Lista literaturii Wikipedia.

introduce

Baza oricărei investigații matematice sunt metodele deductive și inductive. Prin urmare, metoda deductivă de comercializare este merkuvannya de la ascuns la privat. estomparea, al cărui moment final este un rezultat ascuns, iar momentul final este un rezultat privat. Inductia stagneaza in timpul trecerii de la rezultate private la cele secrete, atunci. є printr-o metodă variind de la deductiv. Metoda inducției matematice poate fi egalată cu progresul. Începem de jos, ca urmare idee logica Ajungem la subiect. Oamenii au renunțat deja la progres, pentru a-și dezvolta gândurile în mod logic, deoarece natura însăși a conceput-o să crească inductiv. Deși sfera de aplicare a metodei de inducție matematică a crescut, programa școlară îi dedică puțin timp. Dar este atât de important - luați în considerare dimensiunile în mod inductiv. Principiul stabilit este acum la mare căutare și demonstrarea teoremelor este în conformitate cu studiul practicii școlare și a altor principii matematice: includerea celui de-al treilea, includerea-excluderea, Dirichlet și altele. Acest eseu conține cunoștințe din diverse ramuri ale matematicii, al căror instrument principal este utilizarea metodei inducției matematice.Vorbind despre importanța acesteia, A.N. Kolmogorov a menționat că „rațiunea și înțelegerea stabilesc principiul inducției matematice ca un bun criteriu de maturitate, care este necesar pentru matematică”. Metoda de inducție în întregime constă în trecerea de la securitatea privată la una universală, regularități juridice și formulări juridice. Această metodă de cercetare este, desigur, principala metodă de realizare a cercetării în orice știință experimentală a naturii.

activitate umana. Metoda (principiul) inducției matematice în forma sa cea mai simplă se blochează atunci când este necesar să se finalizeze derivarea tuturor numerelor naturale.

Zavdannya 1. În articolul „Cum am devenit matematician” de A.N. Kolmogorov scrie: „Am recunoscut devreme bucuria „descoperirii” matematice, observând un model în cele cinci sau șase roci

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 = 3 2

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 și așa mai departe.

La școală am văzut revista „Vesnyany Lastivki”. Nimeni nu mi-a publicat opinia...”

Nu știm ce fel de dovezi există cu privire la directivele acestei reviste, până când totul a început sub securitate privată. Ipoteza însăși, care, în mod melodios, a dispărut după descoperirea acestor gelozii private, sugerează că formula

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

adevărat pentru orice număr dat n = 1, 2, 3, ...

Pentru a confirma această ipoteză, este suficient să stabilim două fapte. În primul rând, pentru n = 1 (i pentru n = 2, 3, 4) este necesar să se afirme corect. În alt fel, este acceptabil ca afirmația să fie mai corectă când p = înainte, și este reconvertit, ceea ce este valabil și pentru n = la + 1:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = până la 2 + ( 2k + 1) = (K + I) 2.

Ei bine, firmamentul, ceea ce se realizează, este corect pentru toată lumea n: pentru n = 1 este adevărat (neverificat), iar dintr-un alt fapt - pentru n = 2, stele pentru n = 3 (prin același, fapt diferit) atunci.

Lecția 2. Să aruncăm o privire la toate fracțiile primare posibile cu numărul 1 și orice altceva (în scopul de a pune-

el) znamennik: Adu asta pentru orice p> 3 puteți vedea unul dintr-o privire P diferite tipuri de lovituri.

Rishennya, Să reverificăm duritatea când n = 3; masomo:

Otzhe, firmamentul de bază viconano

Să acceptăm acum că firmamentul pe care vom fi onorați este adevărat pentru orice număr inainte de, și vom demonstra că este adevărat pentru data următoare inainte de + 1. Cu alte cuvinte, este acceptabil ca manifestarea

în yakoma k Dodanki și toate bannerele masacrului. Vom arăta că puteți elimina și unitatea dată din vizualizarea sumei inainte de + 1 fracție din aspectul necesar. Este important de reținut că atunci când fracțiile se schimbă, atunci bannerele (la cel dat cu o sumă inainte de Dodankov) cresc răul la dreapta astfel încât T - Cel mai mare dintre oamenii celebri. Negăm nevoia noastră de tribut din punctul de vedere al sumei(inainte de + 1)-a fracție, când o fracție este împărțită în două, de exemplu cea rămasă. Puteți câștiga niște resturi

Și asta

În plus, s-au pierdut toate fracțiile, fragmente T era cel mai mare stindard și t + 1 > t, i

t(t+1) > t.

Astfel, am stabilit:

1. cu n = 3 tse fermitatea este corectă;

1. Ceea ce este potrivit pentru noi este adevărat pentru noi inainte de,
   atunci este mai corect pt până la +1.

Pe această bază putem confirma că afirmația pe care o vedem este corectă pentru toate numerele naturale, începând cu trei. Pe baza dovezilor generate, se generează un algoritm pentru a găsi distribuția necesară a unității. (Ce fel de algoritm este acesta? Trimiteți numărul 1 pentru suma de 4, 5, 7 dodanki independent.)

Cu vârful celor două din față, comanda a fost împărțită în două bucăți. Primul croc se numește bază inducție, altele -tranziție inductivăcu o scurtă perioadă de inducție. Celălalt termen este cel mai important și include supunerea (afirmația este adevărată când n = k) presupun (confirmarea este adevărată când n = până la + 1). Parametrul în sine este numit parametru de inducțieAceasta este o schemă logică (tehnică), care permite structura, astfel încât, dacă vă uitați la enunțurile numerelor naturale corecte (și toate, pornind de la aceasta), părțile de valabilitate atât a bazei, cât și a tranziției sunt numiteprincipiul inducției matematice, in orice fel A fost fondată metoda inducției matematice.Termenul „inducție” în sine este similar cu cuvântul latin inducţie (îndrumare), ceea ce înseamnă trecerea de la cunoștințele unice despre diverse obiecte din această clasă la cunoștințe generale despre toate obiectele acestei clase, care este una dintre principalele metode de cunoaștere.

Principiul inducției matematice, el însuși sub forma de bază a doi termeni, a apărut pentru prima dată în 1654 în lucrarea lui Blaise Pascal „Tratat despre Tricetul aritmetic”, în care inducția a introdus o modalitate simplă de calculare a coeficienților nominali ai numărului). D. Polya de jos citează B. Pascal cu mici modificări care sunt date brațelor pătrate:

„Indiferent de cei care consideră propunerea [evident o formulă pentru coeficienți binomi] de a răzbuna orbirea atacurilor private, voi da o dovadă foarte scurtă pentru aceasta, bazată pe două puncte.

Prima lemă confirmă că fiertura este corectă pentru a adormi - acest lucru este evident. [Pri P = 1 formula este explicită...]

O altă lemă confirmă abordarea: dacă ipoteza noastră este adevărată pentru o bază suficientă [pentru un rezultat suficient], atunci va fi adevărată pentru baza care o urmează [pentru n+1].

Între acestea două, dreptatea zicalului pentru toate semnificațiile strălucește inevitabil. P. Adevărat, din primul lemi este adevărat pentru P = 1; Cu toate acestea, datorită unui alt principiu, este corect pentru P = 2; Ei bine, știu, în virtutea unui alt principiu, este corect pentru n = 3 și așa mai departe la infinit.”

Provocarea 3. Puzzle-ul „Veighes of Hanoi” este format din trei puzzle-uri. Pe una dintre fire se află o piramidă (Fig. 1), care constă din multe inele de diferite diametre, care se schimbă de jos în sus

Fig 1

Această piramidă trebuie mutată într-una dintre celelalte fire, transferând câte un inel și nu plasând mai multe inele pe cel mai mic. Cum poți câștiga bani?

Decizie. Ei bine, trebuie să răspundem la sursa de alimentare: cum putem muta piramida care este formată de P un inel de diametru diferit, de la o tăietură la alta, urmând regulile tăieturii? Acum datele pe care le avem, după cum se pare, sunt parametrizate (a fost introdus un număr natural d), Acest lucru poate fi determinat prin metoda inducției matematice.

1. Baza inducției. Când n = 1 totul este clar, deoarece piramida dintr-un inel poate fi mutată în mod evident la orice fel de tunsoare.
2. Timp de inducție. Este acceptabil că putem muta orice fel de piramide în jurul unui număr de inele p = până la.
   Sa vedem ca putem muta si mancarea din n = până la +1.

Pyramidka de la la inel, pe ce să te întinzi cel mai mare(inainte de + 1) inele, putem, cu alocații, să le mutam în orice altă tăietură. Zrobimo tse. Neruhome(inainte de + 1) al-lea inel nu ni se va cere să efectuăm algoritmul de relocare, pe cât posibil. După mutare inainte de inel, mobil în cea mai mare măsură(inainte de + 1) al-lea inel pentru o tunsoare care a fost pierdută. Și apoi algoritmul de deplasare cunoscut de noi în spatele ipotezelor inductive stagnează din nou inainte de inel și mutați-le la tăietura dintre cele care se află în partea de jos(inainte de + 1) al-lea inel. În așa fel încât să mutăm piramidele din inainte de inele, apoi în loc să mute piramidele din inainte de + 1 inele. Apoi, pe baza principiului inducției matematice, puteți muta acum piramida care însumează p kilets, de p > 1.

Metoda de inducție matematică în cea mai înaltă sarcină pentru completitudine.

Folosind metoda suplimentară de inducție matematică, se pot dovedi diverse afirmații despre divizibilitatea numerelor naturale.

Zavdannya 4 . Dacă n este un număr natural, atunci numărul este par.

Când n=1 afirmația noastră este adevărată: tipul este numărul. Să presupunem că este numărul unui bărbat. Oskolki, un 2k este numărul unui bărbat, acesta este numărul unui bărbat. De asemenea, paritatea este prezentată la n=1, iar din paritate se deduce paritatea. Ei bine, în perechi pentru toate valorile naturale ale n.

Zavdannya 3. Aduceți numărul Z 3 + 3 - 26n - 27 cu suficient natural n împărțit la 26 2 fără exces.

Decizie. Vom avansa prin inducție o solidificare suplimentară, care este 3 3n+3 - 1 se împarte la 26 fără exces când n>0.

1. Baza inducției. Pentru p = 0 masєmo: 3 3 - 1 = 26 -împărțit la 26.

Timp de inducție. Sa zicem 3 3n+3 - 1 se împarte la 26 când p = înainte, ta Să știm că în acest caz afirmația va fi adevărată p = până la + 1. Fragmente 3

apoi din ipoteza inductivă putem concluziona că numărul este 3 3k + 6 – 1 se împarte la 26.

Acum firmamentul a fost scos la lumină, formulat în mintea oamenilor. Voi reveni cu inducție.

1. Baza inducției. Evident, când n = 1 cetate: fragmente 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. Timp de inducție. Este acceptabil ca atunci când n = sus
   viraz 3 3k + 3 - 26k - 27 este împărțit la 26 2 fără alte prelungiri şi să demonstrăm că afirmaţia este corectă când n = la + 1,
   care este numarul

împărțiți la 26 2 fără taxă suplimentară. În cantitatea rămasă, resentimentele dodankilor vor fi împărțite fără exces la 26 2 . Pershe - celui care a adus aspectul perfect pentru a sta la brate, pe 26; alta - pentru administrarea inducției. Pe baza principiului inducției matematice, afirmația necesară a fost pe deplin demonstrată.

Utilizarea metodei inducției matematice înainte de însumarea seriei.

Zavdannya 5. Termină formula

N este un număr natural.

Decizie.

Când n = 1, părțile ofensatoare ale geloziei sunt convertite în una și, prin urmare, în primul rând principiul inducției matematice.

Să presupunem că formula este corectă pentru n=k, atunci.

Este posibil să adăugați la ambele părți această egalitate și să reconciliați partea dreaptă. Todi este detașabil

Astfel, deoarece formula este adevărată pentru n=k, rezultă că este adevărată pentru n=k+1. Această afirmație este corectă pentru orice valoare naturală k. De asemenea, un prieten al principiului inducției matematice este și vikonian. Formula a fost completată.

Zavdannya 6. Pe doshtsa sunt scrise două numere: 1,1. După ce am introdus suma dintre numere, scădem numerele 1, 2, 1. Repetând această operație încă o dată, scădem numerele 1, 3, 2, 3, 1. După trei operații vor fi numerele 1, 4. , 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. Care va fi suma tuturor numerelor pentru ziua următoare? 100 de operatii?

Decizie. Vikonuvati usi 100 Operațiunile ar fi chiar laborioase și chinuitoare. Ei bine, trebuie să încerci să știi formula secretă pentru sumi S numerele după p operațiuni. Să ne uităm la tabel:

Ai observat vreun model aici? Cu toate acestea, puteți câștiga încă o monedă: după mai multe operațiuni vor fi numere

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

a căror sumă S 4 este egală cu 82.

De fapt, nu puteți nota numerele, ci imediat spuneți cum se va schimba suma după adăugarea unor numere noi. Lasă suma să crească 5. Cum vei fi dacă sosesc numere noi? Există un număr nou de skin-uri pentru suma a două vechi. De exemplu, de la 1, 3, 2, 3, 1 trecem la 1,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

Dacă același număr (pe lângă cele două extreme) este acum inclus în sumă de trei ori, atunci noua sumă este egală cu 3S - 2 (se adaugă 2 pentru a adăuga cele care sunt zilnice). Tom S 5 = 3S 4 - 2 = 244, i vzagali

Ce fel de formulă secretă este aia? Dacă nu ar fi doar doi, atunci suma ar crește imediat dimineața, ca la pașii celor trei (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...). Și cifrele noastre, aparent, sunt încă unul. În acest fel, poți să renunți

Să încercăm acum să completăm acest lucru prin inducție.

Baza inducției. Minunați-vă la masă (pentru n = 0, 1, 2, 3).

Timp de inducție. Sa spunem

Să o aducem în discuție atunci S la + 1 = 3 la + 1 + 1.

Adevărat,

Ei bine, formula noastră a fost finalizată. Se poate observa că după o sută de operații suma tuturor numerelor din ziua de azi 100 + 1.

Să ne uităm la un exemplu minunat al principiului inducției matematice, în care trebuie mai întâi să setați doi parametri naturali și apoi să efectuați inducția folosindu-le.

Zavdannya 7. Adu ce vrei= 2, x 2 = 3 și pentru orice natural p> 3 mai este locul căsătoriei

x p = 3x p - 1 - 2x p - 2

Acea

2 p - 1 + 1, p = 1, 2, 3, ...

Decizie. Dragă, a cărui ieșire dată este succesiunea de numere(x p) este indicat prin inducție, membrii rămași ai secvenței noastre, cu excepția primilor doi, sunt specificati inductiv, apoi prin cei din față. Așa se numește secvența de sarcini recurent, Și, în opinia noastră, această secvență este desemnată (pentru îndatoririle primilor doi membri) de un singur rang.

Baza inducției. Rezultatul constă în inversarea a doi piloni: p = 1 i p = 2. În ambele cazuri, fermitatea este corectă în spatele minții.

Timp de inducție. Să spunem pentru ce p = până la - 1 i p = până la cetate viconano, tobto

Să facem atunci dreptate confirmării pentru n = la + 1. Mai:

x 1 = 3 (2 + 1) - 2 (2 + 1) = 2 +1, care este ceea ce trebuie completat.

Zavdannya 8. Arătați că, chiar dacă este un număr natural, acesta poate fi reprezentat prin suma multor termeni diferiți ai șirului recurent de numere Fibonacci:

până la > 2.

Decizie. Să mergem - numar natural. Vom efectua inducția cât mai curând posibil P.

Baza inducției. Când n = 1 afirmație este corectă, deoarece 1 însuși este un număr Fibonacci.

Timp de inducție. Este acceptabil ca toate numerele naturale să fie mai mici ca număr P, Puteți aplica suma mai multor membri diferiți ai secvenței Fibonacci. Îl cunoaștem cel mai bine pe Fibonacci Ft, nu exagerez P; în această ordine, F t p i F t +1 > p.

Oskolki

După ce este permisă inducția, numărul p-F t poate fi prezentat sub forma a 5 membri diferiți ai șirului Fibonacci, iar cu inegalitatea rămasă, toți membrii șirului Fibonacci iau parte la sumă și 8, mai puțin Ft. Deci numerele sunt așezate n = 8 + F t satisface mintea cu entuziasm.

Aplicați metoda inducției matematice până la confirmarea neregulilor.

Zavdannya 9. (Anxietatea lui Bernoulli.)Spune-mi ce x > -1, x 0, і zhalom n > 2 nedreptatea este corectă

(1+x) p>1+xn.

Decizie. Demonstrarea este din nou realizată prin inducție.

1. Baza inducției. Transformăm dreptatea în inegalitate când n = 2. Adevărat,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2> 1 + 2x.

2. Perioada de inducție. Acceptabil, ce pentru numărul n = sus atunci firmamentul este drept

(1 + x) la > 1 + xk,

De la > 2. Aducem yogo pentru n = la + 1. Maєmo: (1 + x) la + 1 = (1 + x) la (1 + x)> (1 + x) (1 + x) =

1+(k+1)x+kx 2 > 1+(k+1)x.

Cu toate acestea, pe baza principiului inducției matematice, se poate confirma că inegalitatea lui Bernoulli este valabilă pentru orice n>2.

Nu întotdeauna în mintea sarcinii care se află în spatele acestei metode de inducție matematică, există o lege ascunsă clar formulată care urmează. Uneori, trebuie să aveți grijă să identificați (ghiciți) căderile severe ale rinichilor, să stabiliți orice lege fundamentală a mirosului și apoi să ajungeți la ipoteza stabilită folosind metoda inducției matematice. În plus, o inducție semnificativă poate fi mascată și, în primul rând, este necesar să se determine pe ce parametru se bazează inducția. Să ne uităm oricum la această nenorocire.

Zavdannya 10. Scoate-l afară

oricare ar fi firesc n>1.

Rishennya, Să încercăm să aducem în discuție această inegalitate folosind metoda inducției matematice.

Baza de inducție poate fi ușor verificată:1+

După inducție

și nu trebuie să transmitem asta

Cum să accelerăm ipotezele inductive, confirmăm asta

Deși gelozia este cu adevărat adevărată, ea nu ne oferă cea mai mare fericire.

Să încercăm să o facem mai puternică decât este necesar pentru sarcina de ieșire. Și hai să vă spunem asta

S-ar putea să credeți că a aduce la dreapta obiectivul inducției este fără speranță.

Cu toate acestea, pentru n = 1 maєmo: firma este corectă. Pentru amorsarea stratului inductiv, este acceptabil ca

Și hai să vă spunem asta

Adevărat,

În acest fel, am transmis o afirmație mai puternică, din care iese imediat afirmația, care are loc în mintea credincioșilor.

Principalele aici sunt cele pe care le-am dorit și a trebuit să facem afirmații mai puternice, fără a le solicita pe cele date, altfel am putea ajunge rapid cu toleranțe puternice în procesul inductiv. Acest lucru explică faptul că principiul simplu al inducției matematice duce la concluzie.

Situația care a apărut la ceasul marii tragedii a primit un numefenomenul vinificatorului.Fenomenul în sine constă în faptul că planurile mai complexe pot fi implementate cu mare succes, deoarece se bazează pe o mai mare profunzime a inteligenței.

Comanda 11. Aduceți acel 2 t + p – 2 tp pentru orice oameni naturali tip.

Decizie. Aici sunt doi parametri. Deci, puteți încerca să rețineți un astfel de apelinducție secundară(Inducția în mijlocul inducției).

Vom efectua fuzionarea inductivă în detaliu P.

1. Baza de inducție per p. Când n = 1 trebuie să verifici ce 2t~1>t. Pentru a demonstra această inegalitate, inducerea rapidă a apei T.

A) Baza inducției pentru altele asemenea. Când t = 1 semn
gelozie, ceea ce este permis.

b) Perioada de inducție pentru etc.Este acceptabil ca atunci când t = to atunci firmamentul este adevărat 2 la ~ 1 > la. Todi până când
Se pare că afirmația va fi adevărată chiar și atunci când t = până la +1.
Maemo:

cu firesc până la.

În acest fel, nervozitate 2 rămâi la orice este natural T.

2. Timp de inducție pe p.Selectabil și fix ca număr natural T. Este acceptabil ca atunci când n = I fermitatea este corectă (cu un fix t), apoi 2 t +1 ~ 2 > t1, şi vom demonstra că această afirmaţie va fi justă şi n = l+1.
Maemo:

pentru orice oameni naturali t ta p.

De asemenea, pe baza principiului inducției matematice (pentru d) solidificarea poruncii este corectă pentru orice P si pentru orice fix T. În acest fel, această inechitate se reduce la orice firesc tip.

Zavdannya 12. Să mergem - numere naturale și t > p. Mai sunt două numere:

Infecții ale pielii inainte de semne de rădăcină pătrată, mi-e frică.

Decizie. Să aducem asta la următorul punct.

Lema. Pentru orice oameni naturali t i p (t > p) și invizibilului (nu neapărat întregului) X nedreptatea este corectă

Terminat. Să aruncăm o privire la nervozitate

Această inegalitate este corectă, deoarece resentimentele colegilor din partea stângă este pozitivă. Deschizând arcadele și recreându-le, le eliminăm:

Rădăcina pătrată elastică din ambele părți ale denivelărilor rămase se îndepărtează prin călire cu lema. Ei bine, problema a fost atinsă.

Să trecem acum la soluția problemei. Semnificativ mai mare decât numerele date prin A, iar celuilalt – prin b la. Să vedem ce oricare ar fi firesc inainte de. Dovada se face folosind metoda inducției matematice, strict pentru băieți și non-perechi inainte de.

Baza inducției. Când sus = 1 poate fi neliniştit

y[t > y/n , corect prin cei care t > p. Când până la = 2 este necesar să plecăm cu înlocuirea dată de Lema x = 0.

Timp de inducție. Acceptabil, în caz de real la nervozitate a >b la corect. Să vedem ce

Cu ipoteza inducției și monotonitatea rădăcinii pătrate, putem:

Pe cealaltă parte, pe cealaltă parte, lema se toarnă,

Combinând două inegalități rămase, putem elimina:

Această concluzie a fost adusă la principiul inducției matematice.

Zavdannya 13. (Nervozitatea lui Koshy.)Anunțați-ne că pentru orice numere pozitive..., a p nedreptatea este corectă

Decizie. Când n = 2 nervozitate

Suntem foarte conștienți de media aritmetică și media geometrică (pentru două numere). Să mergem n = 2, până la = 1, 2, 3, ... și acum vom efectua inducția pe inainte de. Baza valorii de inducție este în vigoare După ce am presupus acum că inegalitatea necesară este deja instalată pentru n = 2, hai să vi-l aducem pentru P = 2. Maemo (inegalitate stagnantă pentru două numere):

Ei bine, pentru indulgențele de inducție

În acest fel, prin inducție cu noi, am creat inegalitate pentru toată lumea p 9 - pasul doi.

Pentru a demonstra inegalitatea pentru alte valori P Accelerând „inducerea descendentă”, putem vedea că denivelările Viconanului sunt destul de necunoscute. P numere, atunci același lucru este valabil și pentru(P - prima zi. Să trecem peste asta, cu respect, de dragul indemnizațiilor zroblenim pt P numere Wiconano denivelări

atunci a g + a 2 + ... + a n_x> (n - 1) A. După ce au împărțit părțile jignitoare în P - 1, nervozitatea necesară este eliminată.

Acum, am stabilit de la început că inegalitatea are loc pentru un număr infinit de valori posibile. P, iar apoi au arătat că denivelările din Wiconan sunt pentru P numere, atunci acest lucru este valabil pentru(P - 1) numere. Situația este acum soluționată, astfel încât neliniștea pisicii poate fi locul pentru un set de P fi-orice numere necunoscute pentru fi-ceva n = 2, 3, 4, ...

Zavdannya 14. (D. Uspensky.) Pentru orice trikutnik ABC, pentru orice kuti = CAB, = CBA amurg, un loc al incertitudinii se profilează

Decizie. Kuti și crepuscul, ale tse (în spatele semnificațiilor) înseamnă că tse kuti sunt în lumea întunecată, ca = p, = (p, q sunt numere naturale prime reciproce).

O metodă rapidă de inducție matematică este efectuată folosind punga p = p + q numere naturale prime reciproc.

Baza inducției. Când p + q = 2 putem: p = 1 și q = 1. Atunci tricutus ABC este egal, iar inegalitățile necesare sunt evidente: mirosurile emană din dezechilibrul tricutusului

Timp de inducție. Acum este acceptabil ca inegalitățile să fie stabilite pentru p + q = 2, 3, ..., la - 1, de la > 2. Să demonstrăm că inegalitățile sunt corecte p + q = k.

Să mergem la ABC - trikutnik danez, în care> 2. Ambele părți AC și PS nu pot fi gelos: nu mă lăsa AC > ND. Acum să vorbim despre bebelușul 2, tricubitul echilateral ABC; masomo:

AC = DC i AD = AB + ВD, atunci,

2AC > AB + BD (1)

Să aruncăm o privire acum la trikutnik VAB, Orice poate fi, de asemenea, egalizat:

DСВ = (q - р), ВDC = p.

Mic 2

Pentru care pulover tricotat este suspansul inductiv dat, și la asta

(2)

Adăugând (1) și (2), putem:

2AC+BD>

și asta

Din același trikutnik VBS după începerea inducției, este necesar să

Denivelarea anterioară a doctorului, o întindem

Astfel, tranziția inductivă este eliminată, iar întărirea problemei decurge din principiul inducției matematice.

Respect. Fermitatea promisiunii se pierde în putere atunci când situația este plictisitoare. În centrul acestei abordări, acum trebuie să stabilim un alt principiu matematic important - principiul neîntreruperii.

Comanda 15. Piesele drepte impart suprafata in bucati. Spuneți-ne că aceste părți pot fi preparate din albușuri

și culoare neagră, astfel încât părțile vasului care formează cordonul de cordon să fie într-o culoare diferită (ca pentru bebelușul 3 n = 4).

poza 3

Decizie. Inductie rapidă pe un număr de linii drepte. O, dragă, dă-mi drumul P - numărul de linii drepte care împart zona noastră în părți, n>1.

Baza inducției. sunt doar singur(P = 1), apoi puteți împărți suprafața în două suprafețe, dintre care una poate fi pregătită culoare alba, iar celălalt este negru, iar confirmarea este adevărată.

Timp de inducție. Pentru a demonstra mai clar tranziția inductivă, să ne uităm la procesul de adăugare a unei noi linii directe. Să spunem direct unui prieten(P= 2), atunci putem elimina patru părți care pot fi pregătite într-un mod corespunzător, având pregătite paturile de aceeași culoare. Mă voi întreba ce se va întâmpla dacă realizăm a treia linie dreaptă. Puteți împărți secțiunile părților „vechi” pentru a crea noi secțiuni ale cordonului, cu aceleași culori pe ambele părți (Fig. 4).

Mic 4

Să o punem astfel:dintr-o parteîn noua directă schimbăm culorile - alb și negru; În acest caz, acele părți care se află pe cealaltă parte în linie dreaptă nu sunt suprapregătite (Fig. 5). Atunci această nouă pictură va satisface cerințele cerute: pe o parte era deja trasată linia dreaptă (împreună cu alte culori), iar pe cealaltă parte era necesară. Pentru ca părțile care formează cordonul să fie ținute în linie dreaptă, acestea sunt pregătite în culori diferite, iar piesele se reumple doar pe o parte în fața liniei drepte.

Fig.5

Vom finaliza acum tranziția inductivă. Acceptabil, ce pentru acțiunen = susconfirmarea moștenirii este echitabilă, astfel încât toate părțile zonei pe care se vor împărtășiinainte deDirect, îl puteți pregăti în culori alb și negru, astfel încât părțile de jos să fie de o culoare diferită. Să vedem că un asemenea baraj este și pentruP= inainte de+ 1 drept Este similar cu trecerea de la două linii drepte la trei. O vom ține pe piațăinainte deDrept Apoi, după ce a început inducția, cardul scos poate fi procesat corespunzător. Hai sa o facem acum(inainte de+ 1)-a linie dreaptă și pe o parte din fața ei schimbăm culorile pe pat. În acest fel, acum(inainte de+ 1) chiar aici parcelele sunt împărțite în culori sculptate, cu care părțile „vechi”, pe care le-am pregătit deja, nu mai sunt pregătite corespunzător. Similar cu principiul inducției matematice.

Zavdannya16. La marginea deșertului există o mare rezervă de benzină și o mașină care poate parcurge 50 de kilometri cu reumpleri repetate. Există, de asemenea, o serie de canistre în care puteți turna benzină din rezervorul de benzină al mașinii și o puteți depozita pentru economisire în orice punct gol. Anunțați-ne că mașina poate parcurge mai mult de 50 de kilometri, indiferent dacă este completă. Nu aveți voie să cărați bidoane de benzină; le puteți transporta goale în orice locație.

Decizie.Să încercăm să ducem inducția la vitezăP,pe ce se poate conduce mașinaPkilometri de marginea deșertului. LaP= 50 vidomo. A fost imposibil să efectuezi procedura de inducție și să explici cum să ajungi acolon = sus+ 1 kilometru, după cum știțin = susPuteți călători kilometri.

Totuși, aici ne este greu de înțeles: după ce am trecutinainte dekilometri, benzina poate să nu reziste la întoarcere (ca să nu mai vorbim de economisirea banilor). Și în această situație, calea de ieșire constă în întărirea fermității care se obține (paradoxul vinificatorului). Vă vom arăta că vă puteți descurcaPkilometri și, de asemenea, să construiască o aprovizionare mare de benzină în același timp la stațiePkilometri de marginea deșertului, oprindu-se în acest punct după finalizarea transportului.

Baza inducției.Să nu mai vorbim de benzină - cantitatea de benzină este necesară pentru a face un kilometru de drum. Dacă un zbor merge 1 kilometru și înapoi, este nevoie de două unități de benzină, atunci putem economisi 48 de unități de benzină la aceeași distanță de un kilometru de la margine și să ne întoarcem pentru o nouă porțiune. În acest fel, pentru câteva călătorii înainte de întâlnire, puteți construi o rezervă de dimensiune suficientă care va fi necesară. Dacă trebuie să adăugați 48 de unități la rezerva dvs., veți cheltui 50 de unități pe benzină.

Timp de inducție.Este acceptabil ca pe drumP= inainte deLa marginea deșertului vă puteți aproviziona cu niște benzină. Să demonstrăm că este posibil să se creeze o contuzie în creșteren = sus+ 1 kilometru cu o rezervă predeterminată de benzină și verificați cu un astfel de vehicul pentru transport. Cioburile exactP= inainte deDacă nu există alimentare cu benzină, atunci (pe baza bazei de inducție) putem face mai multe călătorii până la punctuln = sus+ 1 câștig în punctP= inainte de4- 1 stoc de dimensiuni suficiente după cum este necesar.

Adevărul afirmației interzise, ​​care nu era cunoscută anterior, reiese acum din principiul inducției matematice.

Visnovok

De atunci, după ce am învățat metoda inducției matematice, mi-am avansat cunoștințele despre acest domeniu al matematicii și, de asemenea, am început să depășesc cunoștințele care înainte depășeau puterea mea.

Deci, aceasta are sarcini logice și cu scop. tocmai cei care promovează interesul pentru matematică însăși ca știință. Majoritatea acestor sarcini devin activități utile și pot duce la noi adăugări la labirinturi matematice. După părerea mea, aceasta este baza oricărei științe.

Continuând să învăț metoda inducției matematice, voi învăța să înțeleg acest lucru nu numai în matematică, ci și în cele mai importante probleme de fizică, chimie și viața însăși.

Literatură

1.Vulenkin INDUCȚIE. Combinatorică. Manual pentru cititori. M., Prosvitnitstvo,

1976.-48 p.

2. Golovina L.I., Yaglom I.M. Inducția în geometrie. - M: Curtea de Stat. vidavnitstvo. litru. – 1956 – С.I00. Ajutor suplimentar la matematică pentru studenții preuniversitari / Ed. Yakovleva G.M. Știința. -1981. – P.47-51.

3. Golovina L.I., Yaglom IM. Inducția în geometrie. -
M.: Nauka, 1961. - (Prelegeri populare despre matematică.)

4. I.T.Demidov, A.N.Kolmogorov, S.I.Schwarzburg, O.S.Ivashev-Musatov, B.E.Weitz. Compendiu Navchalny / „Osvita” 1975.

5.R. Courant, R. Robbins "Ce este matematica?" Secțiunea 1, § 2

6.Popa D. Matematica și plauzibilitatea realității. - M: Știință, 1975.

7. Popa D. Dezvoltare matematică. - M.: Nauka, 1976.

8. Rubanov I.S. Cum să începeți metoda de inducție matematică/Școala de matematică. - Nl. – 1996. – P.14-20.

9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom IM. Despre metoda inducției matematice. - M.: Nauka, 1977. - (Prelegeri populare despre matematică.)

10.Solominsky I.S. Metoda inducției matematice. - M: Știință.

63s.

11.Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Despre inducția matematică. - M: Știință. – 1967. – P.7-59.

12.http://w.wikimedia.org/wiki

13.htt12://www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

p align="justify"> Metoda demonstrației, bazată pe axioma Peano 4, este folosită pentru a demonstra multe puteri matematice și diverse principii. Baza pentru aceasta este următoarea teoremă.

Teorema. Care este fermitatea A(n) cu carne naturala n adevărat pentru n= 1 din ceea ce este adevărat pentru n = k urmă că este adevărat și pentru data n=k, acele cetăți A(n) n.

Terminat. Semnificativ prin M fără acestea și fără aceste numere naturale, pentru unele solide A(n) Adevărat. Iată teorema: 1) 1 M; 2) k MkM. Stele, pe standul axiomei 4, punem ce M =N, apoi. întărire A(n) adevărat pentru orice natură n.

Metoda de demonstrare care se bazează pe această teoremă se numește folosind metoda inducției matematice, iar axioma este axioma inducției. O astfel de dovadă constă din două părți:

1) aduceți-l la întărire A(n) adevărat pentru n= A(1);

2) lăsați-l să rămână ferm A(n) adevărat pentru n = k, și, ieșind din această suspendare, să aducă ceea ce este ferm stabilit Un) adevărat pentru n = k + 1, atunci. Ce este dragostea adevărată A(k) A(k + 1).

Yakshcho A( 1) A (k) A(k + 1) - corectați vislovlyuvannya, apoi pentru a rupe visnovok de la cel care este ferm Un) adevărat pentru orice număr natural n.

Dovada prin metoda inducției matematice poate începe nu numai prin confirmarea adevărului afirmației pentru n= 1, dacă există un număr natural m. Cine l-a întărit A(n) va fi afișat pentru toate numerele naturale nm.

Zavdannya. Să demonstrăm că pentru orice număr natural adevăratul egal este 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n.

Decizie. Gelozie 1 + 3 + 5 … + (2 n- 1) = n- o formulă care poate fi folosită pentru a găsi suma primelor numere naturale nepereche consecutive. De exemplu, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 = 16 (cantitate de 4 daks suplimentare), 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 = 36 (suma a 6 danks suplimentare); Dacă această sumă este suficientă pentru a plasa 20 de completări la tipul desemnat, atunci este egală cu 20 = 400 etc. După ce s-a stabilit adevărul acestei ecuații, este posibil să se găsească din formulă suma oricărui număr de adunări de tipul desemnat.

1) Convertit la adevărul acestei egalităţi pentru n= 1. Când n= 1 partea stângă a egalității este compusă dintr-un termen egal cu 1, partea dreaptă este egală cu 1 = 1. Deci, deoarece 1 = 1, atunci pentru n= 1 ceremonial este adevărat.

2) Este acceptabil că această gelozie este adevărată pentru n = k, apoi. ce 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) = k. Ieșind din această presupunere, este clar că acest lucru este valabil pentru n = k + 1, atunci. 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1).

Să ne uităm la partea stângă a zelului rămas.

Pentru indulgențele, scrip de la primul k Dodankov este străvechi kși volumul 1 + 3 + 5 + … + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)=

= k+(2k + 1) = k+ 2k + 1. Viraz k+ 2k + 1 virus la fel de vechi ( k + 1).

Ei bine, adevărul acestei egalități pentru n = k + 1 finalizat.

În acest fel, i se dă zel adevărat n= 1 si din adevarul ei pt n = k urmă adevărul pentru n = k + 1.

Tim însuși și-a dat seama că această gelozie este adevărată pentru orice număr natural.

Folosind o metodă similară de inducție matematică, este posibil să se stabilească adevărul atât a echităților, cât și a inegalităților.

Zavdannya. Aduceți-l nN.

Decizie. Să verificăm adevărul inegalității când n= 1. Maemo – adevărată anxietate.

Este acceptabil că inegalitatea este adevărată când n = k, tobto. - Anxietate utilă. Să demonstrăm, fără prejudecăți, că este mai corect și când n = k + 1, atunci. (*).

Să rezolvăm partea stângă a nervozității (*), cu ajutor medical: .

Ale, asta înseamnă că eu .

Ei bine, această inegalitate este adevărată pentru n= 1, și din faptul că inegalitatea este adevărată pentru activ n= k, am respins ceea ce era mai corect pentru n= k + 1.

Tim însuși, vikorista și axioma 4, ne-a adus la concluzia că această inegalitate este adevărată pentru orice număr natural.

Folosind metoda inducției matematice, pot fi dezvoltate și alte propoziții.

Zavdannya. Aduceți că orice număr natural este un solid adevărat.

Decizie. Să verificăm adevărul confirmării când n= 1: -Înregistrare.

Este acceptabil care este mai corect când n = k: . Să arătăm, vikorista, adevărul confirmării în n = k + 1: .

Convertible Viraz: . Să cunoaștem sacristia kі k+ 1 membri. Se pare că diferența este un multiplu de 7, iar după omisiuni pare a fi divizibil cu 7, atunci multiplu este, de asemenea, schimbat la 7:

Adunările sunt divizibile cu 7, apoi i.

În acest fel, principiul este valabil pentru n= 1 si din adevarul ei pt n = k urmă adevărul pentru n = k + 1.

Tim însuși a realizat că această afirmație este adevărată pentru orice număr natural.

Zavdannya. Aduceți ce pentru orice număr natural n 2 afirmații adevărate (7-1)24.

Decizie. 1) Putem verifica adevărul confirmării când n= 2: - Declarație utilă.

Inducția matematică este baza uneia dintre cele mai extinse metode de demonstrare matematică. Cu acest ajutor puteți completa majoritatea formulelor cu numere naturale n, de exemplu, formula pentru găsirea sumei primilor termeni ai progresului S n = 2 a 1 + n - 1 d 2 · n Formula binomială a lui Newton a + b n = C n 0 · a n · C n 1 · a n - 1 · b +. . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n .

În primul punct, ne vom uita la conceptele de bază, apoi ne vom uita la fundamentele metodei în sine și apoi vom înțelege cum se poate obține gelozia și inegalitatea.

Concepte de inducție și deducție

Să ne uităm acum la ce înseamnă inducția și deducția.

Viznachennya 1

Inducţie- aceasta este o tranziție de la privat la privat și deducere navpaki – de la zagalnogo la chastkovy.

De exemplu, avem o zicală: 254 poate fi împărțit în două părți. Din aceasta putem dezvolta o gamă largă de arme, dintre care unele vor fi utile, iar altele vor fi dăunătoare. De exemplu, afirmația că toate numerele întregi, cum ar fi numărul 4, pot fi divizibile cu două fără exces - adevărate, iar cele care sunt un număr de trei semne pot fi divizibile cu 2 - hibna.

În general, putem spune că, cu ajutorul anihilării inductive, este posibilă eliminarea absenței substanțelor dintr-o oxidare vizibilă și evidentă. Inducția matematică ne permite să stabilim cât de corecte sunt rezultatele.

Să presupunem că avem o succesiune de numere precum 1 1 · 2 , 1 2 · 3 , 1 3 · 4 , 1 4 · 5 , . . . , 1 n (n + 1), unde n înseamnă un număr natural. În acest caz, când primele elemente sunt pliate, succesiunea pe care o luăm este:

S 1 = 1 1 2 = 1 2, S 2 = 1 1 2 + 1 2 3 = 2 3, S 3 = 1 1 2 + 1 2 3 + 1 3 4 = 3 4, S 4 = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + 1 3 · 4 + 1 4 · 5 = 4 5 , . . .

Prin inducție vicoristică se poate proceda fără pretenții, astfel încât S n = n n + 1 . În a treia parte vom completa această formulă.

Care este metoda de inducție matematică?

Se bazează pe același principiu. Este formulat astfel:

Vicennia 2

Dacă această afirmație este valabilă pentru o valoare naturală n dacă 1) este adevărată pentru n = 1 și 2) deoarece este valabilă pentru o valoare naturală n = k, atunci este adevărată pentru n = k + 1 .

Metoda inducției matematice se bazează pe 3 etape:

1. Mai întâi verificăm acuratețea întăririi ieșirii la diferite valori naturale ale lui n (faceți verificarea să funcționeze pentru unul).
2. După care verificăm validitatea pentru n = k.
3. Și validitatea afirmației a fost demonstrată deoarece n = k + 1.

Cum se implementează metoda inducției matematice atunci când se confruntă cu inegalități și egalități

Să luăm fundul despre care vorbeam mai devreme.

fundul 1

Completați formula S n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 +. . . + 1 n (n + 1) = n n + 1 .

Decizie

După cum știm deja, pentru ca metoda inducției matematice să funcționeze, este necesar să parcurgeți trei pași consecutivi.

1. Pentru început, verificăm că egalitatea dată va fi corectă pentru n egal cu unu. Derivabilă S 1 = 1 1 · 2 = 1 1 + 1 = 1 2 . Totul este corect aici.
2. În plus, presupunem că formula S k = k k + 1 este corectă.
3. A treia persoană trebuie să demonstreze că S k + 1 = k + 1 k + 1 + 1 = k + 1 k + 2, pe baza echității primei.

Putem reprezenta k + 1 ca suma primilor termeni ai secvenței de ieșire i k + 1:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2)

Fragmentele au fost îndepărtate într-un alt pas, astfel încât S k = k k + 1 poate fi scris direct:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2).

Acum modificările necesare au fost finalizate. Trebuie să visconezăm fracția redusă la stindard de dormit, aducând adunări similare, formulează formula de înmulțire scurtată și scurtează-le pe cele care au ieșit:

S k + 1 = S k + 1 k + 1 (k + 2) = k k + 1 + 1 k + 1 (k + 2) = = k (k + 2) + 1 k + 1 (k + 2) = k 2 + 2 k + 1 k + 1 (k + 2) = (k + 1) 2 k + 1 (k + 2) = k + 1 k + 2

În acest fel, am adus zel la al treilea punct, încheind toți cei trei pași ai metodei inducției matematice.

Subiect: Să vorbim despre formula S n = n n + 1 є vernim.

Problemele cu funcțiile trigonometrice sunt mult mai complicate.

fundul 2

Demonstrați identitatea cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 n α = sin 2 n + 1 α 2 n sin 2 α.

Decizie

După cum ne amintim, primul pas este să verificăm acuratețea ecuației la n, care este aceeași unitate. Pentru a fi clar, trebuie să cunoașteți formulele trigonometrice de bază.

cos 2 1 = cos 2 α sin 2 1 + 1 α 2 1 sin 2 α = sin 4 α 2 sin 2 α = 2 sin 2 α cos 2 α 2 sin 2 α = cos 2 α

Prin urmare, dacă n este egal cu unu, identitatea va fi adevărată.

Acum este acceptabil că dreptatea poate fi păstrată pentru n = k, atunci. Va fi adevărat că cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α.

Este adusă în prim-plan egalitatea cos 2 α · cos 4 α ·. . . · cos 2 k + 1 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α pentru vipadku, dacă n = k + 1, luând ca bază subsumiunea frontală.

Folosind formula trigonometrică,

sin 2 k + 1 α cos 2 k + 1 α = = 1 2 (sin (2 k + 1 α + 2 k + 1 α) + sin (2 k + 1 α - 2 k + 1 α)) = = 1 2 sin (2 2 k + 1 α) + sin 0 = 1 2 sin 2 k + 2 α

Otje,

cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k + 1 α = = cos 2 α · cos 4 α · . . . · cos 2 k α · cos 2 k + 1 α = = sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α · cos 2 k + 1 α = 1 2 · sin 2 k + 1 α 2 k sin 2 α = sin 2 k + 2 α 2 k + 1 sin 2 α

Un exemplu de cel mai mare efort de a demonstra inechitatea acestei metode a fost găsit în articolul despre metodă cele mai mici pătrate. Citiți paragraful în care sunt derivate formule pentru găsirea coeficienților de aproximare.

Dacă ați marcat o favoare în text, vă rugăm să o vedeți și să apăsați Ctrl+Enter

În multe ramuri ale matematicii este posibil să se dovedească adevărul afirmației, care se află în acest fel. veridicitatea iubirii p(n) Pentru " n ON (pentru orice n PE p(n) Adevărat).

De multe ori este necesar să aduceți folosind metoda inducției matematice.

Se bazează pe principiul inducției matematice. Prin urmare, este aleasă ca una dintre axiomele aritmeticii și, prin urmare, este acceptată fără dovezi. Similar cu principiul inducției matematice, propoziție p(n) Semnificația schimbării este considerată adevărată pentru toate substanțele naturale, deoarece sunt atrase două minți:

1. Propunerea p(n) adevărat pentru n= 1.

2. Din propoziţia că p(n) adevărat pentru n =k (k- un număr destul de natural) urmă, ceea ce este adevărat pentru n =k+ 1.

Prin metoda inducției matematice înțelegem această metodă de demonstrare

1. Verificați adevărul confirmării pentru n= 1 – baza inducției.

2. Să presupunem că fermitatea este corectă pentru n = k - alocația inductivă.

3. Argumentați că acest lucru este corect și pentru n =k+ 1 joncțiune inductivă.

O altă propunere p(n) poate să nu fie adevărat pentru toate cele naturale n, și începe să faci ceva pentru n = n 0. Și aici se verifică adevărul bazei inducției p(n) la n = n 0.

fundul 1. Lăsați-l să plece. Aduceți-l

1. Baza de inducție: la n= 1 pentru cele anterioare S 1 = 1 și formula are un singur rezultat. Ferme verne.

n = k ta .

n = k+ 1. Să vedem ce .

Efectiv, prin presupunerea inductivă

Acest virus este solubil

Tranziția inductivă a fost finalizată.

Respect. Este bine să scrieți ce este dat (adjectiv inductiv) și ce trebuie scos la lumină!

fundul 2. Aduce

1. Baza inducției. La n= 1, ferm, clar, corect.

2. Nu este permis inductiv. Să mergem n = kі

3. Tranziție inductivă. Să mergem n = k+ 1. Este clar:

De fapt, știm partea dreaptă a pătratului ca fiind suma a două numere:

Formula inductivă Vikorist este presupusă pentru suma progresiei aritmetice: , este respinsă

fundul 3. Aduceți nervozitatea

1. Baza inducției este verificarea adevărului confirmării pentru, atunci. este necesar să se verifice nervozitatea. Pentru cine este suficient să cunoască inegalitatea pătratului: sau 63< 64 – неравенство верно.

2. Lasă neliniștea să fie potrivită pentru tine.

3. Să fie clar:

Ipoteza de inductie a lui Vikorist

Știind cum poate arăta partea dreaptă, această parte a dezechilibrului este vizibilă

Este greu de stabilit că multiplicatorul exact nu îl depășește pe unul. Adevărat,

fundul 4. Arătați că pentru orice număr natural, numărul se va termina într-o cifră.

1. Cel mai puțin firesc, pentru care o afirmație justă, este mai veche. .

2. Fie ca numărul să se termine în . Aceasta înseamnă că acest număr poate fi scris ca și cum ar fi un număr natural. Todi.

3. Dă-i drumul. Să vedem că se termină cu . Vikoristuyuchi otrimana vistavu, otrimaemo

Numărul rămas este egal cu unu.

supliment

1.4. Metoda inducției matematice

După cum puteți vedea, aserțiunile matematice (teoremele) pot fi fundamentate și completate. Suntem familiarizați cu una dintre metodele de demonstrare - metoda inducției matematice.

În general, inducția este o metodă de fuziune, care vă permite să treceți de la cele private la cele extraterestre. Poarta de trecere de la sacru la privat se numește deducție.

Deducerea va duce întotdeauna la concluziile corecte. De exemplu, cunoaștem rezultatul secret: toate numerele care se termină cu zero sunt divizibile cu 5. Desigur, puteți ajunge la o concluzie simplă, cum ar fi un anumit număr care se termină cu 0, de exemplu 18 0, divizibil cu 5 .

Chiar în acea oră, inducerea poate duce la concluzii incorecte. De exemplu, observând că numărul 60 este divizibil cu numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, nu avem dreptul să scriem despre cele că 60 este divizibil cu orice număr.

Metoda inducției matematice face posibilă, în multe cazuri, demonstrarea cu ușurință a validității enunțului formal P(n), a cărui formulare include numărul natural n.

Metoda include 3 etape.

1) Baza de inducție: verificăm validitatea aserției P(n) pentru n = 1 (sau altă valoare privată n, de la care se transferă valabilitatea lui P(n)).

2) Presupunerea inducției: se presupune că P(n) este valabil pentru n = k.

3) Termenul de inducție: ipoteza vikoristă, este clar că P(n) este valabil pentru n = k + 1.

Ca rezultat, se poate ajunge la o concluzie clară despre validitatea lui P(n) pentru orice n ∈ N. Într-adevăr, pentru n = 1 afirmația este corectă (baza de inducție). De asemenea, este adevărat că n = 2, fragmentele de tranziție de la n = 1 la n = 2 primeri (perioada de inducție). Datorită stagnării perioadei de inducție a semnelor și semnalelor, valabilitatea lui P(n) pentru n = 3, 4, 5, . . ., atunci P(n) este corect pentru toți n.

Exemplul 14. Suma primelor n numere naturale nepereche este egală cu n2: 1 + 3 + 5 + …

+ (2n - 1) = n2.

Confirmarea se realizează folosind metoda inducției matematice.

1) Baza: cu n=1 există mai puțin de o adunare, scăzând: 1 = 1.

Ferme verne.

2) Ipoteza: se presupune că pentru orice persoană k este adevărată următoarea: 1 + 3 + 5 + … + (2k - 1) = k2.

Dezlegarea sarcinilor despre fiabilitatea căderii sub ora de fotografiere

Setarea zagalnaya a plantei este după cum urmează:

Probabilitatea de expunere la o țintă per lovitură este $p$. Se efectuează $n$ împușcături. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită de exact $k$ ori (dacă $k$ atinge).

Formula Bernoulli poate fi presupusă și eliminată:

$$ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k).

Aici $C_n^k$ — numărul trece de la $n$ la $k$.

Problema implică un număr de săgeți cu în diferite limbi Lovirea țintei, teoria, aplicarea soluției și calculatorul găsiți aici.

Tutorial video și șablon Excel

Urmăriți videoclipul nostru despre o nouă sarcină despre construirea în schema Bernoulli, aflați cum să utilizați Excel pentru a finaliza sarcinile tipice.

Puteți descărca gratuit fișierul Excel din videoclip și îl puteți utiliza pentru a vă îmbunătăți sarcinile.

Aplicați ordinul de a lovi ținta într-o serie de lovituri

Să aruncăm o privire la o serie de stocuri tipice.

fundul 1. Au fost 7 împușcături. Rata de expunere per fotografie este egală cu 0,705. Află certitudinea faptului cu care vor fi exact 5 zile.

Este clar că problema implică teste independente repetate (tragerea la o țintă), se efectuează un total de $n=7$ lovituri, probabilitatea unei lovituri cu un test cutanat este $p=0,705$, probabilitatea unui rata este $q=1-p=1-0,70 5=$0,295 .

Trebuie să calculați că va fi exact $k=5$ lovit. Punem totul în formula (1) și îl eliminăm: $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318. $$

fundul 2. Probabilitatea de expunere la țintă per lovitură este de 0,4.

Pe țintă au fost efectuate mai multe lovituri independente. Aflați certitudinea a ceea ce doriți să realizați pentru un singur scop.

Cei mai importanți parametri sunt: ​​$n=4$ (după fotografiere), $p=0.4$ (eveniment de expunere), $k \ge 1$ (dacă cineva dorește să primească unul).

Formula Vikorist pentru eficacitatea progesteronului (fără apă adăugată):

$$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$ $$ =1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 .6 ^4 = 1-0,6^4 = 1-0,13 = 0,87. $$

Aș dori să petrec un timp din aproape 0,87 sau 87%.

fundul 3. Nivelul de intensitate al țintei arcasului rămâne la 0,3.

Cunoașteți probabilitatea ca, cu șase lovituri, ținta să fie lovită de trei până la șase ori.

Înainte de sarcină, este necesar să se cunoască probabilitatea ce număr de evenimente va avea loc în orice interval dat (și nu exact ce număr). Ale formula vikoristovuetsya excesiv.

Este sigur că meta va fi lovit de trei până la șase ori, deci vor fi fie 3, fie 4, fie 5, fie 6.

Aceste date sunt calculate folosind formula (1):

$$P_6(3) = C_(6)^3\cdot 0,3^3\cdot 0,7^3 = 0,185. $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cdot 0,3^4\cdot 0,7^2 = 0,06. $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cdot 0,3^5\cdot 0,7^1 = 0,01. $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cdot 0,3^6\cdot 0,7^0 = 0,001.

Fragmentele acestui nonsens, incomprehensibilitatea pot fi găsite folosind formula de adunare a neînțelesului: $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6( 6)=$$ $$ = 0,185+0,06+0,01+0,001=0,256.$$

fundul 4. Fiabilitatea unei lovituri pe țintă cu patru lovituri ajunge la 0,9984. Aflați probabilitatea de a lovi ținta dintr-o singură lovitură.

Probabilitatea de a lovi ținta dintr-o singură lovitură este semnificativă. Să introducem următoarele:
$A = $ (aș dori să fac o lovitură de la țintă),
și, de asemenea, ultimul cuvânt, care poate fi scris astfel:
$\overline(A) = $ (Toate cele 4 fotografii vor fi pentru orice scop, pe cât posibil).

Să notăm formula pentru homoviralitatea lui $A$.

Valorile date sunt: ​​$ n = 4 $, $ P (A) = 0,9984 $. Înlocuiți și eliminați din formula (1):

$$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1- (1-p)^4 = 0,9984.

Credem că este adevărat că s-a întâmplat:

$$1-(1-p)^4 = 0,9984, \(1-p)^4 = 0,0016, 1-p = 0,2, \p = 0,8. $$

De asemenea, probabilitatea de expunere la țintă într-o singură lovitură este egală cu 0,8.

Orice ai citi și ai împărtăși cu ceilalți

Korisni poslannya

Găsiți probleme gata făcute în soluție:

Cercetare online asupra formulei lui Bernoulli

Inegalitatea virală cu ajutorul unui calculator

Neliniștea în matematică se extinde la toate nivelurile, unde „=” este înlocuit cu oricare dintre următoarele simboluri: \ [> \] \ [\ geq \] \ [

* liniar;

* pătrat;

* pușcă;

* indicativ;

* trigonometric;

* logaritmice.

Prin urmare, din cauza acestei denivelări, ele se numesc liniare, parțiale etc.

Este responsabilitatea ta să fii conștient de aceste semne:

* denivelări cu un simbol mai mare (>) sau mai mic (

* Neregulile cu pictograme precum mai mare sau egal \[\geq\] mai mic sau egal [\leq\] sunt numite neprofesionale;

* pictograma nu este aceeași [[ne]], dar este necesar să corectați în mod constant problemele cu această pictogramă.

O astfel de instabilitate există în apariția unei inversări de identități.

Citiți și articolul nostru „Dincolo de soluția pentru întâlniri online”

Este acceptabil ca incertitudinea ofensivei să fie determinată:

Credem că este la fel ca alinierea liniară Aveți grijă să urmați semnul denivelării.

De la început transferăm membrii din necunoscut în stânga, din vizibil în dreapta, schimbând simbolurile pe față:

Apoi împărțim părțile infracționale la -4 și schimbăm semnul inegalității în timp:

Aceasta este mărturia de pe tron.

Unde pot fi neliniștit pe internet?

Puteți debloca meciul pe site-ul nostru pocketteacher.ru.

Calculatorul de denivelări Bernoulli

Într-o secundă, o soluție online gratuită pentru a comanda întâlniri online, indiferent cât de dificilă ar fi. Tot ce trebuie să câștigi este să introduci detaliile tale în cont. De asemenea, puteți urmări instrucțiunile video și puteți afla cum să reușiți pe site-ul nostru.

Și dacă aveți mâncare, le puteți furniza din grupul nostru Vkontakte: profesor de buzunar. Alăturați-vă grupului nostru, vom fi bucuroși să vă ajutăm.

Metoda inducției matematice repetate

Ranguri decuplate/Ranguri diferențiate

© Kontrona robota RU - calculatoare online

Dezlegarea nivelurilor diferențiale

Introduceți diferența.

Rivnyanya:

Pentru ajutor suplimentar al calculatorului, puteți verifica comparatie diferentiala pliabilitate diferită.

Aplicați niveluri diferențiale nelegate

Metoda inducției matematice

introduce

Parte principală

1. Inductie completă și neuniformă
2. Principiul inducției matematice
3. Metoda inducției matematice
4. Soluții la fund
5. Zelozitate
6. Lista de numere
7. Anxietate

Visnovok

Lista Wikilistelor

introduce

Baza oricărei investigații matematice sunt metodele deductive și inductive. Prin urmare, metoda deductivă de comercializare este merkuvannya de la ascuns la privat. estomparea, al cărui moment final este un rezultat ascuns, iar momentul final este un rezultat privat. Inductia stagneaza in timpul trecerii de la rezultate private la cele secrete, atunci. є printr-o metodă variind de la deductiv.

Metoda de inducție matematică poate fi îmbunătățită odată cu progresul. Pornim de la cel mai de jos, iar ca rezultat al gândirii logice ajungem la cel mai înalt. Oamenii au renunțat deja la progres, pentru a-și dezvolta gândurile în mod logic, deoarece natura însăși a conceput-o să crească inductiv.

Deși sfera de aplicare a metodei de inducție matematică a crescut, programa școlară îi dedică puțin timp. Ei bine, să spunem că oamenii bruni ar trebui să aducă acele două sau trei lecții, pentru care vor simți cinci cuvinte din teorie, vor învăța cinci sarcini interesante și, ca urmare, vor lua cinci pentru cei pe care nu știu nimic.

De asemenea, este atât de important - luați în considerare dimensiunile în mod inductiv.

Parte principală

În spatele locului său principal, cuvântul „inducție” stagnează până când dispare, după care poate fi îndepărtat. zagalini vysnovki, spiralând pe firmamentul privat jos. Cea mai simplă metodă de acest tip de marting este inducția repetată. Capul punții este atât de pătat.

Vă rugăm să vă asigurați că pentru un bărbat natural, numărul n este mai mare de 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Aceste nouă zeluri arată că pielea numerelor pe care trebuie să le dezgrovăm este reprezentată efectiv de suma a două adunări simple.

De asemenea, există o inducție constantă în faptul că fermitatea secretă se aplică direct pe piele de la numărul final de episoade posibile.

Uneori rezultatul ascuns poate fi transmis după ce ne uităm la toată lumea, ci printr-un număr mare de sensuri giratorii (aceasta este ceea ce se numește inducție inconsistentă).

Rezultatul, respins de inducție, se pierde, însă, doar prin ipoteză, până la efectuarea calculelor matematice precise, care înconjoară totul în jurul căderii. Cu alte cuvinte, inducția imperfectă în matematică nu este respectată de metoda legitimă a demonstrației puternice, ci mai degrabă de metoda puternică de descoperire a adevărurilor noi.

De exemplu, trebuie să cunoașteți suma primelor n numere consecutive nepereche. Să aruncăm o privire în jurul consecințelor:

1+3+5+7+9=25=5 2

După ce se uită la aceste multe izbucniri una lângă alta, cineva își amintește de atacul de următoarele:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

tobto. suma primelor n primele numere nepereche este egală cu n 2

Desigur, mai multă prudență poate fi o dovadă a validității formulei.

Inducția repetată duce la mai puțină stagnare în matematică. Există o mulțime de afirmații matematice care să susțină un număr nenumărat de precipitații și nu este posibil pentru noi să efectuăm verificarea pentru un număr nenumărat de precipitații. Inducerea necorespunzătoare duce adesea la rezultate ușoare.

În multe cazuri, calea de ieșire din astfel de dificultăți se bazează pe o metodă specială de inducție, numită metoda de inducție matematică. Vіn se află la pasul următor.

Este necesar să se dovedească validitatea acestei aserțiuni pentru orice număr natural n (de exemplu, este necesar să se demonstreze că suma primelor n numere nepereche este egală cu n 2). O re-verificare completă a acestei fermități a valorii n piele este imposibilă, deoarece numărul de numere naturale este nesfârșit. Pentru a finaliza concluzia, verificați mai întâi validitatea acesteia pentru n=1. Apoi argumentăm că orice valoare naturală k din justiția afirmației luate în considerare pentru n=k își primește dreptatea pentru n=k+1.

Această afirmație este respectată și comunicată tuturor. Adevărat, afirmația este corectă pentru n=1. Ale todi vono faire y odnogo number n=1+1=2. Această corectitudine a afirmației pentru n=2 are ca rezultat aceeași corectitudine pentru n=2+

1=3. Aceasta arată validitatea confirmării pentru n=4 etc. Ne-am dat seama că, în sfârșit, vom ajunge la orice număr natural n. Ei bine, afirmația este mai corectă pentru orice n.

După ce am spus deja acest lucru, să formulăm principiul ofensiv din spatele pământului.

Principiul inducției matematice.

Deoarece propoziția A(n), care se află cu numărul natural n, este adevărată pentru n=1 și pentru că este adevărată pentru n=k (dacă k este un număr natural), atunci este adevărată pentru numărul natural n= k +1, ipoteza A(n) este adevărată pentru orice număr natural n.

Într-o serie de cazuri, este necesar să se dovedească validitatea acestei aserțiuni nu pentru toate numerele naturale, ci mai ales pentru n>p, unde p este un număr natural fix. Și aici principiul inducției matematice este formulat după cum urmează.

Dacă propoziția A(n) este adevărată pentru n=p și dacă A(k)ÞA(k+1) pentru orice k>p, atunci propoziția A(n) este adevărată pentru orice n>p.

Dovada prin metoda inducției matematice se realizează în acest fel. De acum înainte trebuie verificată fermitatea pentru n=1, atunci. se stabileşte adevărul condiţiei A(1). Această parte a confirmării se numește baza inducției. Apoi vine partea din demonstrație numită încercare de inducție. A cărui parte este să dovedească validitatea aserției pentru n=k+1 și validitatea asumată a aserției pentru n=k (inducție presupusă), atunci. demonstrați că A(k) ÞA(k+1).

Aduceți că 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

Rezolvare: 1) Mai n=1=1 2 . Otje,

aserțiunea este corectă pentru n=1, atunci. A(1) este adevărată.

2) Să demonstrăm că A(k) ÞA(k+1).

Fie k un număr natural și să fie adevărată afirmația pentru n = k, atunci.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Să demonstrăm că afirmația este valabilă și pentru numărul natural care avansează n=k+1, atunci. ce

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Adevărat,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Otzhe, A(k) ÞA(k+1). Conform principiului inducției matematice, ipoteza A(n) este cu adevărat nÎN.

Aduceți-l

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), de x1

Rezolvare: 1) Când n=1 se elimină

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

De asemenea, pentru n=1 formula este adevărată; A(1) este adevărată.

2) Fie k un număr natural și formula corectă pentru n = k, atunci.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1).

Să vedem că aici se termină gelozia.

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Adevărat

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Otzhe, A(k) ÞA(k+1). Pe baza principiului inducției matematice, rezultă că formula este corectă pentru orice număr natural n.

Aduceți că numărul de diagonale ale unui n-kutnik convex este egal cu n(n-3)/2.

Rezolvare: 1) La n=3 dreapta

Și 3 cu înțelepciune, mai mult în trikutnik

A 3 =3(3-3)/2=0 diagonale;

A 2 A(3) este adevărat.

2) Este acceptabil ca toată lumea

urșii k-kutnik bombați

A 1 x A k = k (k-3) / 2 diagonale.

Și k Să vedem ce este în neregulă cu bombarea

(k+1)-număr kutnik

diagonalele A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Nehai A 1 A 2 A 3 …A k A k +1 - opukly (k + 1)-kutnik. Să desenăm noua diagonală A1Ak. Pentru a ajusta numărul de diagonale ale acestui (k+1)-gon, trebuie să ajustați numărul de diagonale din caseta k A 1 A 2 ...A k , apoi adăugați la numărul calculat k-2. numărul de diagonale ale (k+1)-kutnik-ului care se extind de la vârfurile A k+1 i urmează, în plus, diagonala A 1 A k .

Într-o asemenea manieră

 k+1 =  k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Otzhe, A(k) ÞA(k+1). Urmând principiul inducției matematice, afirmația este corectă pentru orice n-coloană convexă.

Pentru a transmite că pentru oricine există o afirmație corectă:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Rezoluție: 1) Fie n = 1, atunci

X 1 = 1 2 = 1 (1 +1) (2 +1) / 6 = 1.

Ei bine, cu n=1 firmamentul este mai corect.

2) Este acceptabil ca n=k

X k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.

3) Să ne uităm la solidificarea dată pentru n=k+1

X k+1 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Am stabilit valabilitatea egalității i pentru n = k + 1 și, datorită metodei de inducție matematică, afirmația este mai corectă pentru orice număr natural n.

Pentru a transmite că pentru orice gelozie naturală este corect:

1 3 +2 3 +3 3 + ... + n 3 = n 2 (n + 1) 2 /4.

Rezoluție: 1) Fie n = 1.

Todi X 1 = 13 = 12 (1 +1) 2 / 4 = 1.

Mi, ceea ce este n=1 este mai corect.

2) Este acceptabil că gelozia este corectă pentru n = k

X k = k 2 (k +1) 2/4.

3) Să demonstrăm adevărul acestei afirmații pentru n=k+1, atunci.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Din demonstrația de mai sus este clar că afirmația este adevărată pentru n = k + 1, prin urmare, gelozia este adevărată pentru orice număr natural n.

Aduceți-l

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n2 +n+1), unde n>2.

Rezolvare: 1) Pentru n=2 identitatea arată astfel: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

tobto. Asta e corect.

2) Este acceptabil ca expresia să fie corectă pentru n = k

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) Să demonstrăm corectitudinea virusului la n=k+1.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))))(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

Am stabilit validitatea egalității pentru n=k+1, apoi, prin metoda inducției matematice, afirmația este corectă pentru orice n>2

Aduceți-l

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

pentru orice n natural.

Rezoluție: 1) Fie n = 1, atunci

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) Este acceptabil ca atunci n=k

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) Să demonstrăm adevărul acestei afirmații la n=k+1

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

S-a dovedit că ecuația este adevărată pentru n=k+1, deci afirmația este mai corectă pentru orice n natural.

Asigurați-vă că același lucru este adevărat

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

pentru orice n natural.

1) Pentru n = 1, identitatea este adevărată: 1 2 /1 '3 = 1 (1 +1) / 2 (2 +1).

2) Este acceptabil ca n=k

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) Să demonstrăm că identitatea este corectă pentru n=k+1.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

Din dovezile de mai sus reiese clar că fermitatea este adevărată pentru orice n natural.

Aduceți că (11n+2+122n+1) este divizibil cu 133 fără exces.

Rezoluție: 1) Fie n = 1, atunci

11 3 +12 3 = (11 +12) (11 2 -132 +12 2) = 23 '133.

Ale (23´133) se împarte la 133 fără exces, deci cu n=1 fermitatea este adevărată; A(1) este adevărată.

2) Este acceptabil ca (11 k+2 +12 2k+1) să fie împărțit la 133 fără exces.

3) Să explicăm ce are acest timp

(11 k+3 +12 2k+3) se împarte la 133 fără exces. Adevarat 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

Suma este respinsă pentru a fi împărțită la 133 fără exces, deoarece prima adunare este împărțită la 133 fără exces pentru alocații, iar în celălalt dintre multiplicatori este 133. Deci, A(k) ÞA(k+1). Puterea metodei de inducție matematică a fost atinsă.

Aduceți că pentru orice n 7 n -1 este divizibil cu 6 fără exces.

Rezolvare: 1) Fie n = 1, apoi X 1 = 7 1 -1 = 6 se împarte la 6 fără exces. Aceasta înseamnă că pentru n = 1 afirmația este adevărată.

2) Este acceptabil ca n=k

7 k-1 se împarte la 6 fără exces.

3) Să demonstrăm că afirmația este valabilă pentru n=k+1.

X k +1 = 7 k +1 -1 = 7 '7 k -7 +6 = 7 (7 k -1) +6.

Prima adăugare este împărțită la 6, fragmentele 7 k -1 sunt împărțite la 6 pentru supă, iar cealaltă adăugare este 6. Deci 7 n -1 este un multiplu al lui 6 pentru orice număr natural n. Puterea metodei de inducție matematică a fost atinsă.

Aduceți că 3 3n-1 +2 4n-3 cu suficient n natural este divizibil cu 11.
Rezoluție: 1) Fie n = 1, atunci

X 1 = 3 3-1 +2 4-3 = 3 2 +2 1 = 11 împărțit la 11 fără exces. Ei bine, cu n=1 firmamentul este mai corect.

2) Este acceptabil ca n=k

X k =3 3k-1+24k-3 se împarte la 11 fără exces.

3) Să demonstrăm că afirmația este corectă pentru n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

În primul rând, suma suplimentară este împărțită la 11 fără exces, fragmentele 3 3k-1 +2 4k-3 sunt împărțite la 11 după cote, cealaltă este împărțită la 11, deoarece unul dintre multiplicatorii săi este numărul 11. Aceasta înseamnă că suma se împarte la 11 fără exces pentru be- orice n natural. Puterea metodei de inducție matematică a fost atinsă.

Aduceți că 11 2n -1 cu suficient n natural este divizibil cu 6 fără exces.

Rezoluție: 1) Fie n=1, apoi 112-1=120 se împarte la 6 fără exces. Aceasta înseamnă că pentru n = 1 afirmația este adevărată.

2) Este acceptabil ca n=k

11 2k -1 se împarte la 6 fără exces.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

Infracțiunea adăugărilor se împarte la 6 fără exces: în primul rând, numărul este divizibil cu 6, numărul este 120, iar celălalt se împarte la 6 fără exces pentru supe. Aceasta înseamnă că suma este divizibilă cu 6 fără exces. Metoda inducției matematice a fost dovedită.

Aduceți că 3 3n+3 -26n-27 cu suficient n natural este împărțit la 26 2 (676) fără exces.

Rezolvare: Să demonstrăm în avans că 33n+3-1 este divizibil cu 26 fără exces.

1. Când n=0

3 3 -1=26 se împarte la 26

2. Este acceptabil ca n=k

3 3k+3 -1 se împarte la 26

3. Spune-ne ce este ferm stabilit

Corectați pentru n=k+1.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3l+3 +(3 3k+3 -1) – extinde cu 26

Acum vom demonstra afirmația formulată în mintea maestrului.

1) Evident, pentru n = 1 afirmația este adevărată

3 3+3 -26-27=676

2) Este acceptabil ca n=k

Viraz 3 3k+3 -26k-27 se împarte la 26 2 fără exces.

3) Să demonstrăm că afirmația este corectă pentru n=k+1

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

Resentimentul dodancilor este împărțit la 26 2; Mai întâi, împărțiți la 26 2, astfel încât am adus completitatea la 26 de grade, care stă la brațe, iar celălalt este împărțit prin inducție. Pe baza metodei inducției matematice s-a ajuns la concluzia.

Demonstrați că dacă n>2 și x>0, atunci inegalitatea este adevărată

(1+x) n >1+n´x.

Soluție: 1) Când n=2 inegalitatea este corectă, numai

(1+x) 2 = 1+2x+x 2 >1+2x.

Ei bine, A(2) este adevărat.

2) Să demonstrăm că A(k) ÞA(k+1), întrucât k> 2. Este admisibil că A(k) este adevărată, atunci inegalitatea este adevărată

(1+x) k >1+k´x. (3)

Să demonstrăm că chiar și A(k+1) este adevărată, astfel încât inegalitatea este adevărată

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

De fapt, înmulțirea părților ofensatoare ale inegalității (3) cu numărul pozitiv 1+x este eliminată

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

Să ne uităm la partea dreaptă a nervos rămas...

stva; maєmo

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

Rezultatul este clar că

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Otzhe, A(k) ÞA(k+1). Pe baza principiului inducției matematice, se poate confirma că inegalitatea lui Bernoulli este valabilă pentru orice

Transmiteți că neliniștea este corectă

(1+a+a 2) m > 1+m'a+(m(m+1)/2)'a 2 pentru a> 0.

Rezolvare: 1) Când m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 părți ofensatoare ale egalului.

2) Este acceptabil ca m=k

(1+a+a 2) k >1+k'a+(k(k+1)/2)'a 2

3) Să demonstrăm că cu m=k+1 inegalitatea este corectă

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k+a+)

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)'a 2 .

Am stabilit validitatea inegalității pentru m=k+1, iar apoi, în virtutea metodei de inducție matematică, inegalitatea este valabilă pentru orice m natural.

Arătați că pentru n>6 inegalitatea este adevărată

3 n >n´2 n+1 .

Rezoluție: Rescrie nervozitatea din aspectul tău

1. La n=7 este posibil

3 7 /2 7 = 2187/128> 14 = 2 '7

Anxietatea este adevărată.

2. Este acceptabil ca n=k

3) Să arătăm acuratețea inegalității la n = k +1.

3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k)'(3/2)>2k'(3/2)=3k>2(k+1).

Fragmente de k>7, nervozitatea rămasă este evidentă.

În virtutea metodei inducției matematice, inegalitatea este adevărată pentru orice număr natural n.

Arătați că pentru n>2 inegalitatea este adevărată

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

Rezolvare: 1) Când n=3 inegalitatea este adevărată

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. Este acceptabil ca n=k

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1,7-(1/k).

3) Să facem dreptate pentru non-

egal pentru n=k+1

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

Să vedem că 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

K(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

Rămâne evident, dar

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

Privind metoda de inducție matematică, a fost atinsă inegalitatea.

Visnovok

După ce am învățat metoda inducției matematice, mi-am avansat cunoștințele în acest domeniu al matematicii și, de asemenea, am învățat să depășesc probleme care înainte erau peste puterile mele.

Deci, aceasta are sarcini logice și cu scop. tocmai cele care promovează interesul pentru matematică în sine, precum și pentru știință. Creșterea unor astfel de sarcini este o treabă grozavă și puteți obține altele din ce în ce mai interesante în laboratoarele de matematică. După părerea mea, aceasta este baza oricărei științe.

Continuând să învăț metoda inducției matematice, voi învăța să înțeleg acest lucru nu numai în matematică, ci și în cele mai importante probleme de fizică, chimie și viața însăși.

MATEMATICĂ:

PRELEȚII, PREDARE, DECIZIE

Publicație de bază / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin. TOV „Popuri” 1996.

ALGEBRĂ ȘI UN ÎNAPOI LA ANALIZĂ

Manual de bază / I. T. Demidov, A. N. Kolmogorov, S. I. Schwarzburg, O. S. Ivashev-Musatov, B. E. Weitz. „Osvita” 1975.