Chiziqli giyohvandlik Vektorlarning chiziqlari.
Asosdor vektorlar. Koordinata tizimiga ta'sir qiladi

Tomoshabinlar shokoladlar bilan trolleyada bor va bugungi kunda har bir tashrif mashinasi shirin juftlik - chiziqli algebra bilan analitik geometriya oladi. Ushbu moddada darhol oliy matematikadan ikki qism ko'tariladi va biz ular qanday o'rashda qanday qilib olishlarini bilib olamiz. To'xtatib qo'ying, "twix" ni zeriktiring! ... la'nati, yaxshi, bema'nilik. Garchi yaxshi bo'lsa ham, men oxirida gol urmayman, o'qish uchun ijobiy nuqtai nazar bo'lishi kerak.

Vektorlarning chiziqli qaramligi, chinary Mustaqillik vektorlari, asos vektorlar va boshqalar. Muayyanlar nafaqat geometrik talqin, ammo, avvalambor, algebraik ma'noda. Liniy algebra nuqtai nazaridan "vektor" tushunchasi har doim ham samolyotda yoki kosmosda tasvirlashimiz mumkin bo'lgan "oddiy" vektor emas. Dalillar uchun uzoqqa borish shart emas, besh o'lchovli makon vektorini jalb qilishga harakat qiling. . Yoki men o'zim gismeteo-ga borgan ob-havo vektori: - harorat va atmosfera bosimi mos ravishda. , Albatta, vektor bo'shlig'ining xususiyatlari nuqtai nazaridan noto'g'ri, ammo shunga qaramay, hech kim ushbu parametrlarni vektor bilan oldindan aytib bermaydi. Kuzgacha nafas olish ...

Yo'q, men sizga nazariyani, chiziqli vektorning bo'sh joylarini etkazib bermoqchi emasman, vazifa tushunmoq Ta'riflar va teoremalar. Yangi atamalar (chiziqli qaramlik, mustaqillik, chiziqli kombinatsiya, asoslar, algebraik nuqtai nazaridan barcha vektorlarga tegishli, ammo misollar keltirilgan. Shunday qilib, hamma narsa oddiy, ochiq va ingl. Tahliliy geometriya vazifalariga qo'shimcha ravishda, biz algebra-ning odatiy vazifalari va odatiy vazifalarini ko'rib chiqamiz. Materialni o'zlashtirish uchun darslar bilan tanishish tavsiya etiladi Choynaklar uchun vektorlar va Detchinantni qanday hisoblash kerak?

Samolyot vektorlarining chiziqli qaramligi va mustaqilligi.
Samolyot bazasi va yaqinlik koordinatasi tizimi

Kompyuteringizdagi samolyotingizni (shunchaki stol, yotoq stollari, qavat, shiplar, kimni yaxshi ko'radigan) deb hisoblang. Vazifa quyidagi harakatlardan iborat bo'ladi:

1) Baza tekisligini tanlang. Taxminan aytganda, raqqushlar uzunligi va kengligi bor, shuning uchun baza qurish uchun ikki vektor talab qilinadi. Bitta vektor aniq emas, uchta vektor - Lishka.

2) Tanlangan asos asosida koordinata tizimini o'rnating (Kelishuv koordinata) stolda barcha mavzularga koordinatalarni tayinlash.

Hayron bo'lmang, birinchi tushuntirishlar barmoqlaringizda bo'ladi. Va, va siznikida. Iltimos joylashtiring chap qo'l barmog'i Stolning chetida, shunda u monitorga qaradi. Bu vektor bo'ladi. Endi joy mysilineal o'ng qo'l Stol chetida aniq bir xil - u monitor ekraniga yo'naltirilganligi. Bu vektor bo'ladi. Tabassum, siz ajoyib ko'rinasiz! Vektorlar haqida nima deyish mumkin? Bu vektorlar to'qnashuvva shuning uchun linelo bir-birida ifodalangan:
Xo'sh, yoki aksincha :, noldan boshqa raqamlar.

Ushbu harakatning rasmini darsda ko'rish mumkin Choynaklar uchun vektorlarQayerda men bir qator uchun vektor ko'p ko'paytirish qoidasini tushuntirdim.

Barmoqlaringiz kompyuter stolining tekisligiga asoslanadimi? Shubhasiz, yo'q. Kollinear vektorlari u erda va bu erda sayohat qilishadi biri Yo'nalish va samolyot uzunligi va kengligi bor.

Bunday vektorlar deyiladi chiziqli qaram.

Ma'lumot: "Chiziqli", "chiziqli" so'zlari shundaki, haqiqatni ko'rsatadi matematik tenglamalar, iboralarda kvadratlar, kublar, boshqa daraja, logarifmlar, sinxitlar va boshqalar mavjud. Faqat ifoda va bog'liqliklarning faqat chiziqli (1-daraja) mavjud.

Ikkita vektorli samolyotlar chiziqli qaram Keyin va faqat ular bilan shug'ullanishganda.

0 yoki 180 darajadan tashqari, barmoqlaringizni stolga kesib oling. Ikkita vektorli samolyotlarlinelo emasbunga bog'liq va faqat ular kollej bo'lmagan taqdirda. Shunday qilib, asos olinadi. Uy haydash kerak emas, asosi turli xil uzunlikdagi irsiy vektorlar bilan "qiyshiq" bo'lishini xijolat qilish shart emas. Yaqinda biz uning qurilishi nafaqat 90 daraja burchakli, balki teng uzunlikdagi vektorlar emasligini ko'ramiz.

Har qanday Vektor samolyoti yagona yo'li Bazadan foydalaniladi:
qayerda - yaroqli raqamlar. Raqamlar deyiladi vektorning koordinatalari Ushbu bazada.

Ham shunday deyish vektor Shaklda joylashtirilgan chiziqli kombinatsiya Asosiy vektorlar. Ya'ni ibora deyiladi vektorning parchalanishihashamatli yoki chiziqli kombinatsiya Asosiy vektorlar.

Masalan, biz vektor samolyotning ortonormal asosida bezatilganligini aytishingiz mumkin, shunda u vektorlar kombinatsiyasi sifatida tasvirlangan.

Shakllantirmoq bASTAni aniqlash Rasmiy ravishda: Asosiy samolyot bir juft chiziqli mustaqil (nohalma bo'lmagan) vektorlar deb ataladilar, , bunda har qanday Samolyot vektori asosiy vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidir.

Ta'rifning muhim nuqtasi - bu vektorlar olinganligi ma'lum bir tartibda. Asoslar - Bular mutlaqo boshqa xil asoslar! Gap shundaki, chap qo'lning kichkina barmog'i Mizinza o'ng qo'lini o'zgartirmaydi.

Asosni aniqladi, lekin koordinatani sozlash va kompyuter jadvalining har bir ob'ektiga koordinatalarni tayinlashning o'zi etarli emas. Nega etarli emas? Vektorlar bo'sh va samolyotda kezib yurganlar. Xo'sh, tez dam olish kunidan keyin qolgan stolning koordinatalari koordinatalari koordinatalarini tayinlash kerak? Bizga boshlang'ich ma'lumot kerak. Va bunday qo'llanma tanish nuqtadir - koordinatlarning boshlanishi. Biz koordinata tizimini tushunamiz:

Men "maktab" tizimidan boshlayman. Allaqachon kirish darsida Choynaklar uchun vektorlar To'rtburchaklar koordinatalari tizimi va ortonormal asoslari o'rtasidagi ba'zi tafovutlarni ta'kidladim. Bu erda standart rasm:

Ular deganda to'rtburchaklar koordinata tizimiKo'pincha ular koordinatlarning kelib chiqishi, koordinata o'qlari va o'qlar bo'ylab shkalani anglatadi. "To'rttakulyar koordinali tizim" qidirishga harakat qiling va siz ko'p manba sizga 5-6-sinf koordinatasi o'qlari va samolyotda ochkolarni qanday qoldirishni buyuradi.

Boshqa tomondan, to'rtburchaklar koordinata tizimi ortonorsional asosda aniqlanishi mumkin. Va deyarli shunga o'xshash. So'zlar quyidagicha:

Koordinatlarning boshlanishi, I. Ortonormatasos kartezian to'rtburchaklar uchun tekislik tizimi tizimi . Ya'ni to'rtburchaklar koordinata tizimi aniq Yagona nuqta va ikkita yagona orfogonal vektorlar tomonidan belgilanadi. Shuning uchun siz yuqoridagi rasmlarni ko'rasiz - geometrik vazifalarda, ko'pincha vektorlarni va koordinatorni chizadi.

O'ylaymanki, hamma aniq (koordinatalar boshlanishi) yordamida va ortonorstal asosda Samolyotning har qanday nuqtasi va har qanday samolyot vektorsiz koordinatalarni tayinlashingiz mumkin. Majoziy ma'noda "samolyotda hamma narsa raqamlanishi mumkin".

Yakka tartibdagi vektorlar izolyatsiya qilinganmi? Yo'q, ular o'zboshimchalik bilan nolga teng bo'lmagan uzunlikka ega bo'lishi mumkin. O'zboshimchalik bilan noldan iborat uzunlikdagi uzunlikdagi vaqtni va ikkita orkogonal vektorni ko'rib chiqing:

Bunday asoslar deyiladi ortogon. Vektorlar bilan koordinatlarning kelib chiqishi koordinata panjara va samolyotning istalgan nuqtasini belgilaydi, har qanday vektor ushbu bazada o'z koordinatalariga ega. Masalan yoki. Aniq noqulaylik shundaki, koordinata vektorlari umuman Bir nechta uzunliklarga ega. Agar uzunliklar bittaga teng bo'lsa, unda odatdagi ortonorstal asoslar olinadi.

! Eslatma : Ortogonal asosda, shuningdek, tekislik va makonning ta'siri ostida, o'qlardagi birliklar hisobga olinadi Shartli. Masalan, Abskissa o'qi bo'ylab bitta birlikda, uning tarkibida 4 sm, bitta birlikda, agar kerak bo'lsa, "oddiy santimetrlarimiz" ga "oddiy santimetr" koordinatalarini tarjima qilish kifoya qiladi.

Javob berilgan ikkinchi savol - asosiy vektorlar o'rtasida 9 darajaga to'g'ri keladimi? Yo'q! Ta'rif aytilganidek, asosiy vektorlar bo'lishi kerak faqat g'allalanmaganar. Shunga ko'ra, burchakka 0 va 180 darajadan boshqa hech kim bo'lishi mumkin.

Nuqta samolyoti chaqirilgan Koordinatlarning boshlanishi, I. nobalmaydigan vektorlar , so'rang coorcatsion Coorcatsion tekislik tizimi :

Ba'zan bunday koordinata tizimi deyiladi kosholnaya Tizim. Sport, nuqta va vektorlarda misollar tasvirlangan:

Siz tushunganingizdek, koordinata tizimi yanada kamroq qulay, u darsning ikkinchi qismida ko'rib chiqilgan vektorlar va segmentlar uchun formulalar ishlamaydi Choynaklar uchun vektorlarBilan bog'liq ko'plab mazali formulalar skarar mahsulot vektorlari. Ammo bu borada vektorlarni qo'shish va vektorni ko'paytirish uchun haqiqiy qoidalar mavjud, bu borada segment bo'linish formulasi, shuningdek, yaqin orada ko'rib chiqadigan yana bir muhim vazifalar mavjud.

Va Afg'oniston koordinatasi tizimining eng qulay xususiyati - bu dekoratsiyaning to'rtburchaklar tizimi. Shuning uchun, bu, ko'pincha va tez-tez tasavvur qilish kerak. ... Ammo bu hayotdagi hamma narsa nisbiydir - Kosholnaya mos (yoki boshqa narsa, masalan, boshqa narsa, qutb) muvofiqlashtirish tizimi. Ha, va gumanoidlar bunday tizimlar tatib ko'rishi mumkin \u003d)

Amaliy qismga o'ting. Ushbu darsning barcha vazifalari to'rtburchaklar kamariya tizimi va umumiy adabiyot uchun amal qiladi. Bu erda hech qanday qiyin narsa yo'q, barcha materiallar ham maktab o'quvchisi uchun mavjud.

Samolyot vektorlarining o'zaro to'qnashuvini qanday aniqlash mumkin?

Odatiy narsa. Ikki tekis vektor uchun kolnitar, ularning tegishli koordinatalari mutanosib ravishda va etarlicha. Jonzotga ko'ra, bu aniq munosabatlarning sezilarli tafovutidir.

1-misol.

a) Kollineary vektorlarini tekshiring .
b) asosi vektorlarni shakllantiradimi yoki yo'qmi ?

Qaror:
a) vektorlar bo'lsa, toping Tenglik bilan amalga oshiriladigan mutanosiblik koeffitsienti:

Men ushbu qoidani qo'llashning "Pjhonkaya" turlari haqida albatta aytib beraman, bu esa amalda juda mos keladi. G'oya zudlik bilan mutanosib ravishda amalga oshiriladi va bu haqiqat bo'ladimi yoki yo'qligini ko'ring:

Vektorlarning tegishli koordinatalari munosabatlaridan mutanosib ravishda:

RedFish:
Shunday qilib, tegishli koordinatalar mutanosib, shuning uchun

Bu munosabatni aksincha o'zgartirilishi mumkin, bu teng versiya:

O'z-o'zini tekshirish uchun, kollevear vektorlari bir-birlarida chiziqli ifodalanganligini ishlatish mumkin. Bunday holda, tenglik mavjud . Ularning adolati vektorlar bilan boshlang'ich harakatlar orqali osonlikcha tekshiriladi:

b) Ikki tekislik vektoriga asos solinmasa (chiziqli mustaqil) bo'lsa. Kolline-ning vektorlarini o'rganing . Tizimni tuzing:

Bu birinchi tenglamadan, bu ikkinchi tenglamadan quyidagilarni anglatadi, bu buni anglatadi tizim to'liq emas (Echimlar yo'q). Shunday qilib, vektorlarning tegishli koordinatalari mutanosib emas.

Chiqindi: Vektorlar chiziqli mustaqil va asos yaratadilar.

Yechimning soddalashtirilgan versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Tegishli vektorlarning koordinatalaridan nisbati :
Bu shuni anglatadiki, bu vektorlar mustaqil ravishda mustaqil va asos yaratadi.

Odatda, ushbu parametr sharhlovchilar tomonidan belgilanmagan, ammo muammo ba'zi bir koordinatalar nolga teng. Mana bunday: . Yoki shunday: . Yoki shunday: . Qanday nisbatda qanday harakat qilish kerak? (Darhaqiqat, nolni baham ko'rish mumkin emas). Shuning uchun men soddalashtirilgan qarorni "Pjhonskiy" deb atagan edim.

Javob:a), b) shakli.

Mustaqil echim uchun kichik bunyodkorlik misoli:

2-misol.

Parametr vektorining qanday qiymati bilan Kollinlar bormi?

Namuna yechimida parametr nisbati orqali topiladi.

Uchrashuv uchun vektorlarni tekshirishning oqlangan algebraik usuli mavjud. Biz bizning bilimlarimizni va beshinchi mahsulotni tizimlashtiramiz:

Quyidagi gaplar ikki tekislik vektorlari uchun tengdir.:

2) vektorlar hosil bo'lishi;
3) vektorlar salmoqli emas;

+ 5) Ushbu vektorlarning koordinatalari koordinatalari koordinatalaridan farq qiladi.

Mos ravishda, qarama-qarshi gaplar tengdir.:
1) vektorlar chiziqli bog'liq;
2) vektorlar asosni shakllantirmaydi;
3) Kollinear vektorlar;
4) vektorlar bir-birlariga chiziqli ifoda etishlari mumkin;
+ 5) Ushbu vektorlarning koordinatalari koordinatalaridan tashkil topgan hal qiluvchi omil nolga teng.

Men juda ko'p va umid qilamanki, siz allaqachon barcha shartlar va ayblovlar bilan tushunasiz.

Yangisini ko'rib chiqing, beshinchi nuqta: ikkita vektorli samolyotlar Kallineary, keyin va faqat vektorlarning ma'lumotlar koordinatalari koordinatalaridan tashkil topgan bo'lsa, nolga teng bo'lsa:. Ushbu xususiyatni, tabiiy ravishda qo'llashingiz kerak aniqlanganligini toping.

Hal qiluvchi 1-misol:

a) vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determonni hisoblang :
Shunday qilib, bu kollinerar vektorlar.

b) Ikki tekislik vektoriga asos solinmasa (chiziqli mustaqil) bo'lsa. Vektorlarning koordinatalaridan iborat determinantni hisoblang :
Shunday qilib, vektorlar mustaqil ravishda mustaqil va asos yaratadilar.

Javob:a), b) shakli.

Bu nisbatlarga qaraganda ko'proq ixcham va yoqimli ko'rinadi.

Ko'rib chiqilgan material yordamida nafaqat vektorlarning hammasi o'rnatilishi mumkin, balki segmentlarning parallelizmiga qarab, to'g'ridan-to'g'ri. Ma'lum geometrik shakllar bilan bir juft vazifalarni ko'rib chiqing.

3-misol.

Dana sotivrionning xo'rligi. Kvadrat parallelogramm ekanligini isbotlang.

Dalil: Vazifada chizish shart emas, chunki echim faqat analitik hisoblanadi. Parallelogramma ta'rifini eslang:
Parallelogramma Qarama-qarshi tomonlarning qarama-qarshi parallel bo'lgan susarion deb ataladi.

Shunday qilib, siz isbotlashingiz kerak:
1) qarama-qarshi tomonlarning parallelizmi va;
2) qarama-qarshi tomonlarning parallelizmi va.

Biz isbotlaymiz:

1) vektorlarni toping:

2) vektorlarni toping:

Bu bir xil vektorni ("Maktabda" - teng vektorlar chiqardi. Hamma-yakka-yakdillik mutlaqo aniq, ammo hizalanish bilan qaror qabul qilish yaxshiroqdir. Vektorlarning koordinatalari koordinatalaridan iborat bo'lgan determinantni hisoblang:
Bu shuni anglatadiki, bu kollinariy vektorlar va.

Chiqindi: Kassadagi qarama-qarshi tomonlarning qarama-qarshi tomonlari parallel parallel, bu aniqlik bilan parallelogramm. Q.E.D.

Yaxshi va har xil raqamlar:

4 misol.

Dana sotivrionning xo'rligi. Kvadrat trapzium ekanligini isbotlang.

Isbotni yanada qat'iy ma'noda, shubhasiz, trapezoidning ta'rifini olish yaxshiroqdir, ammo bu etarli va shunchaki uning qanday ko'rinishini eslab qolishi kerak.

Bu mustaqil echim uchun vazifa. Dars oxirida to'liq echim.

Va endi samolyotdan kosmosga siljish vaqti keldi:

Kosmik vektorlarning o'zaro bog'liqligini qanday aniqlash mumkin?

Qoida juda o'xshash. Ikki tomir vektorlari uchun ikki tomir vektorlari bo'lish uchun, bu ularning tegishli koordinatalari uchun mutanosib bo'lishlari kerak.

5-misol.

Kolline-ning keyingi fokuslari bo'ladimi yoki yo'qligini bilib oling:

ammo);
b)
ichida)

Qaror:
a) vektorlarning tegishli koordinatalari uchun mutanosiblik nisbati mavjudligini tekshiring:

Tizim hech qanday echim yo'q, demak, vektorlar salqin emas.

"Soddalashtirilgan" mutanosiblikni tekshirish orqali beriladi. Ushbu holatda:
- tegishli koordinatalar mutanosib emas, demak, vektorlar yo'qolmaydi.

Javob: Vektorlar salqin emas.

b-c) Bu mustaqil qaror uchun narsalar. Ikki yo'lni tashkil qilish uchun sinab ko'ring.

Smpatsion vektorlarni hal qilish va uchinchi tartibni aniqlash bo'yicha fazoviy vektorlarni tekshirish usuli mavjud, bu usul maqolada yoritilgan Vektorli adarish vektorlari.

Kvartira ishiga o'xshash, ko'rib chiqilgan asboblar fazoviy segmentlarning parallelizmini o'rganish va to'g'ridan-to'g'ri foydalanish uchun foydalanish mumkin.

Ikkinchi bo'limga xush kelibsiz:

Uch o'lchovli makon vektorlarining qarori va mustaqilligi.
Mekanal bazani va muvofiqlashtirish tizimi

Samolyotga qaragan ko'plab qonunlar kosmosda adolatli bo'ladi. Men nazariya bo'yicha mavhumlikni minimallashtirishga harakat qildim, chunki sherning ma'lumot ulushi allaqachon buzilgan. Biroq, men kirish qismini sinchkovlik bilan o'qib chiqishni maslahat beraman, chunki yangi atamalar va tushunchalar paydo bo'ladi.

Endi kompyuter stolining o'rniga uch o'lchovli makonni ko'rib chiqamiz. Avval uning asosini yarating. Kimdir xonada, ko'chada kimdir joylashgan, ammo har qanday holatda ham, uch o'lchovning hech bir joyiga kira olmaymiz: kenglik, uzunlik va balandliklar. Shuning uchun baza qurish uchun uchta fazoviy vektor talab qilinadi. Bir yoki ikkita vektor kichik, to'rtinchisi ortiqcha.

Va barmoqlarda yana nafas oling. Iltimos, qo'lingizni yuqoriga ko'taring va turli yo'nalishlarga tarqaldi. katta, indeks va o'rta barmoq. Bu vektorlar bo'ladi, ular turli yo'nalishlarga qarashadi, har xil uzunlikka ega va bir-biri bilan turli xil burchakka ega. Tabriklaymiz, uch o'lchovli bo'shliqning asosi tayyor! Aytgancha, barmoqlaringiz qanchalik yaxshi bo'lishidan qat'i nazar, bunday ustozlarni namoyish etish shart emas va ta'riflar hech qaynab bo'lmaydigan \u003d)

Keyinchalik biz muhim muammoni aniqlaymiz, har qanday uchta vektor uch o'lchovli makonning asosini tashkil qiladi? Iltimos, uchta barmoqni kompyuter stolida mahkam bosing. Nima sodir bo `LDI? Uch vektor bir xil tekislikda joylashgan va taxminan gapiradigan, biz o'lchovlardan birini - balandlikni yo'qotdik. Bunday vektorlar magnit Va uch o'lchovli makonning asosi yaratishi aniq.

Shuni ta'kidlash kerakki, omborxonalar bir xil tekislikda yotish shart emas, ular parallel samolyotlarda bo'lishi mumkin (shunchaki barmoqlaringiz bilan qilmang, shunda Salvadordan faqat Salvador bering).

Ta'rif: Vektorlar chaqiriladi magnitAgar ular parallel bo'lgan samolyot bo'lsa. Bu erda bu erda mantiqan, agar bunday samolyot mavjud bo'lmasa, vektorlar bo'lmasligi kerak.

Uchta bir qismi vektorlar har doim qaramlik bilan bog'liq., ya'ni bir-birlariga chiziq bilan ifodalangan. Oddiylik uchun biz ular xuddi shu samolyotda yolg'on gapirishlarini tasavvur qilamiz. Birinchidan, vektorlar kabinetlar etarli emas, chunki sheriklar ham kolnitar ekan, keyin har qanday vektor orqali har qanday vektorni ifodalash mumkin. Ikkinchi holda, agar, masalan, vektorlar yo'qolmasa, uchinchi vektor ular orqali yagona yo'l bilan ifodalanadi: (Va nima uchun - oldingi qism materiallari asosida taxmin qilish oson).

Yarmarka va qarama-qarshi bayonot: Uchta vektorlar har doim eng chiziqli mustaqil, ya'ni bitta do'stda ifodalanmagan. Va, shubhasiz, faqat bunday vektorlar uch o'lchovli asosni tashkil qilishi mumkin.

Ta'rif: Uch o'lchovli makonning asosi uchlikli mustaqil (normal bo'lmagan) vektor deb ataladi, o'rgatilgan, har qanday vektor maydonida yagona yo'li Bu erda ochilgan, bu erda - ushbu bazada vektorning koordinatalari

Eslatib o'tamiz, shuningdek, vektor shaklda taqdim etilganligini aytishingiz mumkin chiziqli kombinatsiya Asosiy vektorlar.

Koordinata tizimining kontseptsiyasi tekis sumka, atigi bitta nuqta va uchta chiziqli mustaqil vektorlar bilan bir xil tarzda joriy etiladi:

Koordinatlarning boshlanishi, I. nomunosib vektorlar ma'lum bir aniq, so'rang uch o'lchovli makonning koordinata tizimi :

Albatta, "ob-havo" koordinatasi va yomon burilish, ammo baribir qurilgan koordinata tizimi bizga imkon beradi aniq Har qanday bo'shliqning har qanday vektorining koordinatalari va koordinatalarini aniqlang. Xuddi shunday, Samolyotni ta'sirli koordinatalar tizimi men aytib o'tgan ba'zi formulalar uchun ishlamaydi.

Muvofiq koordinata tizimining eng tanish va qulay shaxsiy holati, hamma taxmin qilish to'rtburchaklar kosmik koordinatalar tizimi:

Nuqtai nazar Koordinatlarning boshlanishi, I. Ortonormatasos cartepOw to'rtburchaklar koordinata tizimi . Tanish rasm:

Amaliy vazifalarga o'tishdan oldin biz yana ma'lumotlarni tizimlashtiramiz:

Kosmosning uchta vektorlari quyidagi gaplarga mos keladi:
1) vektorlar chiziqli mustaqil;
2) vektorlar hosil bo'lishi;
3) vektorlar bo'lmasligi;
4) vektorlar bir-birlarini chiziq bilan ifoda etolmaydilar;
5) Ushbu vektorlarning koordinatalari koordinatalari koordinatalaridan tashkil topgan determenti noldan farq qiladi.

Qarama-qarshi ibora, menimcha, tushunarli.

An'anaviy vektorlarning chiziqli qaramligi / mustaqilligi an'anaviy ravishda belgilangan deb belgilanadi (5-band). Qolgan amaliy vazifalar yorqin ifodalangan algebraik bo'ladi. Tirnoq geometrik klubiga osib qo'yish va beysbol yarasi chiziqli algebrani o'rash vaqti keldi:

Uch vektor vektorlari Keyinchalik shahrilganlar va faqat ushbu vektorlarning koordinatalari koordinatalaridan tuzilgan bo'lsa, nolga teng: .

Kichik texnik nuance-ga e'tibor qarataman: vektorlarning koordinatalari nafaqat ustunlarda, balki satrda ham qayd etilishi mumkin (hal qiluvchi omilning qiymati bundan ham o'zgarmaydi - hal qiluvchi omillarning xususiyatlariga qarang). Ammo ustunlarda juda yaxshi, chunki ba'zi amaliy vazifalarni hal qilish juda foydali.

Shunday qilib, aniqlovchilarni hisoblash uchun ozgina qiyin usullar bo'lgan o'quvchilar, odatda, men ularga e'tibor bermasliklari mumkin, men eng qadimgi darslarimdan birini tavsiya qilaman: Detchinantni qanday hisoblash kerak?

6-misol.

Uch o'lchovli asosda quyidagi vektorlarni shakllantiradimi yoki yo'qligini tekshiring:

Qaror: Aslida, butun qaror hal qiluvchi shaxsni hisoblash bilan qisqartirildi.

a) vektorlarning koordinatalari koordinatalaridan tashkil topganingizni hisoblang (birinchi qatorda aniqlangan):

Bu shuni anglatadiki, vektorlar chiziqli mustaqil (bo'lmasligi) va uch o'lchovli makonning asosini shakllantiradilar.

Javob: Bu vektorlar asosni tashkil qiladi

b) ushbu mahsulot mustaqil echim uchun. Dars oxirida to'liq echim va javob bering.

Ijodiy vazifalar:

7 misol.

Vektorli parametrning qaysi qiymati bilan bo'linadimi?

Qaror: Vektorlar vektorlarning koordinatalari koordinatalaridan tuzilgan bo'lsa, deputat nolga teng:

Aslida, tenglamani hal qiluvchi bilan hal qilish talab qilinadi. Biz zerosga naychalar sifatida aylanib chiqamiz - bu ikkinchi qatorni ochish va zudlik bilan minuslardan xalos bo'lish uchun eng foydali hisoblanadi:

Biz yanada soddalashtiramiz va eng oddiy narsani kamaytiramiz chiziqli tenglama:

Javob: uchun

Tekshiruv o'tkazish oson, chunki siz olingan qiymatni asl detnitantga almashtirishingiz va bunga ishonch hosil qilishingiz kerak , Uni yana birlashtiring.

Xulosa qilib aytganda, yanada algebraik va an'anaviy ravishda chiziqli algebraga aylanadigan boshqa vazifaning boshqa turini ko'rib chiqing. Bu juda keng tarqalgan bo'lib, alohida mavzuga loyiqdir:

3 vektor uch o'lchovli asosni tashkil etishini isbotlang
va shu asosda 4-chi vektorning koordinatalarini toping

8 misol.

Ulkan vektorlar. Vektorlar uch o'lchovli makonning asosini shakllantiradi va ushbu bazada vektorning koordinatalarini toping.

Qaror: Avval biz shart bilan ajralib turamiz. Vaziyat uchun to'rt vektor beriladi va siz ko'rib turganingizdek, ularda ba'zi bir asosda koordinatalar mavjud. Bizga qanday asos kerak emas. Va siz quyidagi narsaga qiziqasiz: uchta vektor yangi asosda bo'lishi mumkin. Birinchi bosqich 6-misolni hal qilish bilan to'liq mos keladi, vektorlar haqiqatan ham chiziqli mustaqil emasligini tekshirish kerak:

Vektorlarning koordinatalari koordinatalaridan iborat bo'lgan determinantni hisoblang:

Shunday qilib, vektorlar mustaqil ravishda mustaqil va uch o'lchovli makonning asosini shakllantiradilar.

Shart N funktsiyalarning chiziqli qaramligi.

Funktsiyalarni amalga oshiring, lozimit limit (n-1).

Belgilanganini ko'rib chiqing: (1)

Vronskiyda bu funktsiyalar uchun aniq deb nomlanish odat tusiga kiradi.

1 teorema 1. Agar funktsiyalar intervalga (A, B) qaram bo'lsa, ularning vrosonisan w (x) ushbu intervalda tengdir.

Dalillar. Teorema sharti bilan nisbati amalga oshiriladi

, (2) ular nolga teng emas. Borman. Keyin

(3). Ushbu identifikatorning identifikatori n-1 vaqt va,

olingan qiymatlar o'rniga vronskiyni aniqlash uchun,

biz olamiz:

Ikkinchisining aniqchiligida, bu ustun - oldingi N-1 ustunlarining lingy kombinatsiyasi va bu bilan bog'liq ravishda butun interval (A, B) nolga teng.

Teorema 2.Tadbirda y 1, ..., yn mustaqil echimlar l asta-ni nazarining eng yaxshi echimlari, ularning barcha koeffitsientlari (A, B), keyin Rogsman Ushbu echimlarning har bir vaqt oralig'ida noldan farq qiladi (A, B).

Dalillar. Aytaylik, aksincha. X 0, bu erda w (x 0) \u003d 0. Tenglamalar tizimini yarating

Shubhasiz, tizim (5) nolga teng. (6) ni bosing.

Keling, echimlarning zivalini 1, ..., y n.

(X) - bu L [y] \u003d 0. qo'shimcha. L [y] \u003d 0 echimining o'ziga xosligining o'ziga xosligi tufayli l nol dastlabki sharoitlar faqat nol bo'lishi kerak, ᴛ.ᴇ. .

Biz kimligini olamiz, unda hamma nolga teng emas va bu y 1, ..., y n ldinional bog'liqlik degani, bu teorema holatiga ziddir. Shunday qilib, W (x 0) \u003d 0 bunday nuqta emas.

1 va teorema 2-teorem asosida siz quyidagi tasdiqni shakllantirishingiz mumkin. L [y] \u003d 0 tenglamaning n echimlari uchun (A, B) bir vaqtlar (A, B) sifatida eng muhim va etarlicha muhimdir, chunki ularning vronskanning ushbu vaqt oralig'ining istalgan nuqtasida nolga murojaat qilinmaydi.

Final teoremalarning, vronskanning aniq xususiyatlari ham kuzatildi.

1. Agar n echimlar l [y] \u003d 0 bitta nuqta bo'lsa, x \u003d x 0-da nolga teng bo'lsa, unda Cee (x). bu vaqt oralig'i.
2. Agar l [y] \u003d 0 tenglamaning echimlari noldan farq qilsa n noldan farq qiladi (A, b) bu \u200b\u200bvaqt oralig'idagi barcha nuqtalarda noldan farq qiladi.

L z dīl (A, b) layn echimlari uchun (A, b) tenglamaning mustaqil echimlari uchun (x) tenglama (x) tenglama koeffitsientlari doimiy bo'lsa, u juda muhim va etarli ularning vrosaniklari bu vaqt oralig'ining kamida bir nuqtasida noldan farq qiladi.

N funktsiyalarning chiziqli qaramligining zaruriy holati. - tushuncha va turlar. Toifaning tasnifi va xususiyatlari "N funktsiyasining chiziqli qaramligining zaruriy holati." 2017, 2018 yil.

-

Kengash yuklarni qayta ishlash vitegi orqali kemalar # 6 Mavzu: Yuk tashish (yuk asbobi) 6.1. Kengash yuklarni qayta ishlash vitelarini etkazib berish). 6.2. Yuk kranlari. 6.3. Apron. Ortiqcha yuk mashinaning yoki transport vositasidan yoki undan foydalanish. Ko'pchilik ...

- yuk kranlari (yuk kranlari)

Sertifikatlar (sertifikatlar) funktsiyalarni ajratish (vazifalar bo'limi) Tekshirish, sertifikatlash va javobgarlik shu tarzda bo'linadi: & ...

- Uni bilasizmi? Looks?

U erda - Alam bu erda - Aqui - Asarda - Ac El Cafe, dengizda - EL Trabojo dengizda - en el marati qaerga kirasiz? 2. Sasha qayerdaligini bilmaysizmi? 3. Kutubxonaning qayerdaligini bilmayapsizmi? 4. Siz hozir qaerda ekanligingizni bilmaysizmi? 5. Natashaning qayerdaligini bilmayapsizmi? Hayrli kun! Men ...

- kesish yo'qligidan zmin va xminani aniqlash

5,9-modda. Tishlar g'ildiraklarini kesish haqida. X temirchning smenati koeffitsientini qanday qilib g'ildirakka tashish mumkin bo'lgan tishlar soni bilan bog'liqligini ko'rib chiqing. Partetka 1-o'rinda o'rnatilsin (5,9-rasm). Bunday holda, to'g'ridan-to'g'ri temir yo'llar N-N avtobus chizig'ini t-da kesib o'tadi. Va ...

Buyurtma.X 1, ..., x Bin elementlar tizimi. Prospeksiya v chiziqli qaram, agar li @ ∈ ∈ ℝ (| + ... + @ | + @ | + li) \u003d th.

Buyurtma.X 1, ..., ER 1 x 1 x 1 + ... + l a l 1 \u003d \u003d li \u003d 0 ni o'chirish tizimi.

Buyurtma.X ∈ V elementlarining l 1, xm ∈ v, agar @ ∈ ∈ ∈ B - bu x m ∈ ℝ, bunday x \u003d l 1 + ... + l m m m.

Teorema (chiziqli qaramlik mezonlari): X 1, ..., x 1, ..., x 1, x 1, agar hech bo'lmaganda bitta tizim tizimida chiziqli ifodalangan bo'lsa, chiziqli ravishda bog'liqdir.

Dok. Zarurat: Xm, ..., xm lju li 1, ..., l 1 | ... + № + № ∈ ... + № 0) bunday li 0) ... + l m -1 xm -1 + l mmm \u003d th. Aytaylik li 0 0, keyin

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Adekvat: Hech bo'lmaganda bir vektorlardan kamida bittasi boshqa vektorlar bilan chiziqcha ifodalang: XM \u003d l 1 x 1 + ... + l m m -1 xm -1 (l 1, ..., l m ∈ ∈ ∈) l 1 x 1 + ... + li m -1 xm -1 + (- 1) Xm \u003d 0 lim \u003d (- 1) ≠ 0 ⟹ x 1, ..., XM - linearly mustaqil.

Xarajat. Chiziqli qaramlik shartlari:

Agar tizim nol element bo'lsa yoki chiziqli qaram quyma quyimas bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.

l 1 x 1 + ... + l m x m \u003d 0 - chiziqli ravishda qaramlik tizimi

1) x 1 \u003d th, keyin bu tenglik esa l 1 \u003d 1 va li \u003d \u003d \u003d li \u003d 0.

2) № 1 x 1 + ... + l m x m \u003d 0 chiziqli qaram igna bo'luvchi liḷu | li | + ... + | li ≠ 0. Keyin l 1 \u003d 0 shuningdek, oladi, | | + № + ... + | li ≠ 0 ⟹ li № l 1 x 1 + ... + l m x m \u003d 0 bu chiziqli tizimdir.

Chiziqli makon. Ushbu bazada vektor koordinatalari. Vektor va vektorning ishlarining koordinatalari. Vektorlar tizimining chiziqli qaramligi uchun zarur va etarli shart.

Ta'rif: E 1, ..., masalan, E n chiziqli kosmik v ning bu bo'shliqning asosi deb ataladi:

A) e 1 ... E n chiziqli mustaqil

B) ∀ x m ∈ a ... a n bunday x \u003d a 1 e 1 + a n e n

x \u003d a e 1 + ... + a n e n - element e 1, ..., E N

a 1 ... a n ∈ ℝ - E 1, ..., E N n ga tegishli element koordinatalari

Teorema: Agar E 1, ..., E n chiziqli kosmosda bo'lsa, E 1, ..., EI aniqlanadi (koordinatalar aniqlanadi)

Dalillar: X \u003d a e 1 + ... + a n e n va x \u003d b 1 e 1 + ... + b n e n

x \u003d ⇔ \u003d th, i.e. e 1, ..., e n - chiziqli mustaqil, keyin - \u003d 0 ∀ i \u003d 1, n ∀ \u003d t. T. D.

Teorema: e 1, ..., E n chiziqli makonda v; x, y - kosmosning o'zboshimchalik elementlari V, ∈ ℝ - o'zboshimchalik bilan. X va Y qo'shilganida, ularning koordinatalari katlanmoqda, x ustida ko'payishi bilan X koordinatalari ham ko'payadi

Dalillar: x \u003d (e 1, ..., e n) va y \u003d (E 1, ..., E N)

x + y \u003d + \u003d (E 1, ..., E N)

mm \u003d l) \u003d (E 1, ..., E N)

Lemma1: (Tizim tizimining lozegi va lozimistik jihatdan)

E 1 ... bo'shliqning asosi bo'ling V. Elementlar tizimi, ..., f 1 elementlari tizimi. .., EN chiziqli bog'liq

Dalillar: Sporatly f 1, ..., f 1 bazasida ..., E N

f m \u003d (e 1, ..., e n) m \u003d 1, ... k

l 1 f 1 + ... + 1, ... + l n) [l 1 + ... + l 1 + ... + 1 + ... + @ 1 + ... + @ @

① l 1 + ... + li \u003d isbotlash uchun nima kerak edi.

13. Chaplangan makon o'lchami. O'lchov va bazani ulash bo'yicha teorema.
Ta'rif: Agar V va Spa + 1 elementidan N-o'lchovli bo'shliq bo'lsa, chiziqli bo'shliq, agar kosmik v ning har qanday N + 1 elementidan bo'lsa, chiziqli bog'liq. Bunday holda, n chiziqli kosmik v va denotes dimv \u003d n deb ataladi.

Chapiqli makonda ∀n ∈ ℕ ∀N-da ∀n ∈ ℕ deb ataladi.

Teorema: 1) Agar v N-o'lchovli chiziqli makon bo'lsa, unda bu bo'shliqning n chiziqli mustaqil elementlaridan buyurtma qilingan har qanday buyurtma asosida shakllantiriladi. 2) Agar chiziqli kosmik bo'lsa, n elementlardan iborat asorat mavjud, keyin o'lchov va o'lchov

Dalillar: 1) Di -V \u003d N ⇒-ni E 1, ..., E n. Ushbu elementlar asosni shakllantirganini isbotlaymiz, ya'ni E 1-ga, ..., E n. Axtaj X: E 1, ..., e n, x ularga - Ushbu tizimda N + 1 vektor mavjud va bu bu chiziqli bog'liq. E 1, ..., E n chiziqli mustaqil, keyinchalik teorema 2 x. E 1, ..., e n i orqali chiziqli ifodalangan. ↓, ..., masalan x \u003d a e 1 + ... + a n e n. Shunday qilib e 1, ..., E n kosmosning asosi - 2, ..., E N, v ∃ n chiziqli mustaqil elementlar. O'zboshimchalik bilan f 1, ..., f n, f N n n-n + 1 elementini oling. Biz ularning chiziqli qaramligini ko'rsatamiz. Ularni asoslang:

f m \u003d (e 1, ..., e n) \u003d bu erda m \u003d 1, ..., koordinatalar ustunidan matritsani o'z ichiga oladi, lik raga v) kerak. N + 1\u003e N ≥ r ught juftlik ustunlari (i.e., koordinata koordinatalari, ..., f n, f N n +1) chiziqli ravishda bog'liqdir. Lemama 1 ⇒ ..., f N, f n n +1 - chiziqli ravishda bog'liq bo'lgan ⇒m \u003d n.

Natijada:Agar biron bir asosda N elementlari bo'lsa, unda ushbu bo'shliqning boshqa asoslari n elementlari mavjud.

Teorema 2: Agar vektorlar tizimi x 1, ..., XM -1, XM chiziqli va ..., XM -1 chiziqli mustaqil, keyin X 1da ifodalangan .. ., x m -1

Dalillar: Chunki x 1, ..., x m -1, x m - linikaga bog'liq, keyin ∃ ,,,,,,,,,,,,,

, ... ,, | , shu kabi. Agar ,, ...,, ..., \u003d\u003e x 1, ..., x m -1 - chiziqli ravishda mustaqil, bu mumkin emas. Shunday qilib, m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

E'tibor bering, kelajakda, umumiylikni bezovta qilmasdan, vektorlarning ishini uch o'lchovli makonda ko'rib chiqamiz. Samolyotda vektorlarni ko'rib chiqish shunga o'xshash tarzda amalga oshiriladi. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, barcha natijalarning barcha natijalari algebraik vektorlarga mo'ljallangan barcha natijalarga ko'ra, algebraik vektorlar uchun ma'lum bo'lgan geometrik vektorlarning alohida holatiga o'tkazilishi mumkin. Shunday qilib, buni qiling.

Vektorlar tuzatsin.

Ta'rif.Miqdor, qayerda - ba'zi raqamlar partetatorlarning kombinati deb ataladi. Bunday holda, bu raqamlar chiziqli kombinatsiya koeffitsienti deb ataladi.

Biz Lol vektoriga nisbatan chiziqli kombinatsiyaning tenglik bo'lishi mumkinligi haqida savolga qiziqamiz. Vektorli bo'sh joylarning xususiyatlari va acivaslarining xususiyatlariga ko'ra, har qanday vektorlar tizimi uchun arzimas koeffitsientlar to'plamini (nol) koeffitsientlar to'plami mavjudligi aniq bo'ladi:

Ushbu tenglik amalga oshirilgan tenglik amalga oshirilgan tenglik amalga oshirilgan tenglik amalga oshirilayotgani uchun ushbu tijorat to'plamining ushbu tizimi uchun mavjud bo'lgan savol mavjud. Shunga ko'ra, biz chiziqli va mustaqil tizimlarni ajratamiz.

Ta'rif.Vektorlar tizimi bunday raqamlar mavjud bo'lsa, ularda kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud bo'lsa, shunga o'xshash chiziqli kombinatsiya nol vektorga teng:

Ikki vektorlar tizimi tenglik bo'lsa, chiziqli mustaqil deb ataladi

ehtimol, koeffitsientlar mavjud bo'lsa:

Biz chiziqli algebra ekanligini isbotlovchi chiziqli qaram va mustaqil tizimlarning asosiy xususiyatlarini sanab o'tamiz.

1. Nol vektorli har qanday vektorlarning tizimi chiziqli bog'liqdir.

2. Vektorlar tizimida chiziqli quyi quyi tizim bo'lishi kerak. Keyin butun tizim ham chiziqli bog'liqdir.

3. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning tarkibidagi har bir quyi tizim ham oddiygina mustaqil.

4. Vektorlarda ikkita vektor bo'lsa, ulardan biri bir raqam tomonidan boshqa ko'paytirishdan olinadi, shundan so'ng butun tizim chiziqli bog'liqdir.

Teorema (chiziqli qaramlikni mezon).Vektorlar tizimi, agar ushbu tizimning bir vektorlaridan biri tizimning qolgan vektorlarining chiziqli kombinati sifatida taqdim etilsa, chiziqli bog'liqdir.

Ikki vektorning o'zaro to'qnashuvi mezonini hisobga olish, ularning o'zaro bog'liqligi mezoni ekanligi haqida bahslashish mumkin. Kosmosda uchta vektor uchun quyidagi bayonot adolatli.

Teorema (uchta geometrik vektorning chiziqli qaramligi mezoni).Uchta vektor, agar ular bo'linma bo'lsa, va agar ular bo'linma bo'lsa, qaramlik bilan bog'liq.

Dalillar.

Zarurat.Vektorlar va chiziqli qaram bo'lsin. Biz ularning bo'linmalarini isbotlaymiz. Keyin, algebraik vektorlarning chiziqli qaramligining umumiy mezoniga ko'ra, biz ushbu vektorlardan biri boshqa vektorlarning chiziqli kombinatsiyasida taqdim etilishini ta'kidlaymiz. , Masalan,

Agar uchta uch vektor bo'lsa va umumiy boshlanishga ilova qilsa, vektor vektorlarda qurilgan parallelogrammaning diagonaliga to'g'ri keladi va. Ammo bu vektorlarni anglatadi va xuddi shu samolyotda yotadi, i.e. Shaharlar.

Eslatoriya.Vektor va Komnar bo'lsin. Biz ular chiziqli bog'liqligini ko'rsatamiz. Birinchidan, belgilangan Colleinear vektorlardan ba'zi bug 'paytida ishni ko'rib chiqing. Bunday holda, oldingi qism, vektorlar tizimiga ko'ra, qaram bo'lgan quyi tizimni o'z ichiga oladi, shuning uchun 2 ta qaramlik va mustaqil vektorlarga muvofiq chiziqli ravishda bog'liq. Endi, yo'q, ko'rib chiqilayotgan bir juft vektorlar yo'qolmaydi. Biz barcha uchta vektorni bitta samolyotga o'tkazamiz va ularni bosh boshlanishiga beramiz. Vektorning to'g'ridan-to'g'ri parallel vektorlarining oxiri orqali sarflaymiz va. To'g'ri, parallel vektorning harfi, vektorning yolg'on gapi, vektorning xatosi bilan, vektor bilan parallel ravishda, vektorli ravishda tekis chiziq bilan. Vektorlarni aniqlash orqali biz olamiz:

.

Vektorli colleinar, nolga teng bo'lmagan vektor bo'lsa, unda haqiqiy raqam mavjud

Shunga o'xshash mulohazalardan, shu kabi haqiqiy sonning mavjudligi

Natijada, bizda:

Keyin, algebraik vektorlarning chiziqli qaramligining umumiy mezonidan biz ushbu vektorlarni, chiziqli ravishda bog'liq. ■.

Teorema (to'rt vektorning chiziqli qaramligi).Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liq.

Dalillar. Birinchidan, belgilangan to'rt vektordan bir nechta uch karra bir nechta uch marta bo'lganida ko'rib chiqing. Bunday holda, ushbu uchlik oldingi teoremaga muvofiq chiziq bilan bog'liq. Binobarin, 2 ta chiziqli va mustaqil vektor tizimlarining mol-mulkiga muvofiq, to'rtta esa chiziqli bog'liq.

Endi vektorlar uch vektorning uch vektoriga ega bo'lsin. Biz barcha to'rt vektorni boshdan kechiramiz va samolyot vektorining tugashidan keyin ulkan juftliklar tomonidan aniqlangan, aniqlangan samolyotlarga parallel ravishda beramiz; ; . Belgilangan samolyotlarning kesishadigan punktlari, vektorlar yotadi va mos ravishda, harflar va harflar va. Bu vektorlar summasini aniqlashdan kelib chiqadi

algebraik vektorlarning chiziqli qaramligining umumiy mezonini hisobga olgan holda, barcha to'rt vektorning barchasi chiziqli bog'liqligini anglatadi. ■.

Izilish 18.2. Vazifalar tizimif., ..., f p ichaqqonl.i- nip O. Z. va s va m. Th oraliqda (lekin (3) Agar ba'zi nogiron bo'lsa 5 ushbu funktsiyalarning chiziqli kombinatsiyasi ushbu intervalda tengdir:

Aslida 18.3. Tizim vektorlari G 1, ..., x P qo'ng'iroqlari, bu chiziqli va s va m chiziqli, agar ba'zi vektorlarning ajralmas qismi bo'lsa, o'q vektorga teng:

L. Bu chalkashliklardan qochish uchun biz vektor (vektor funktsiyasi) ning pastki indekslari va vektorning raqami (agar bunday vektorlar bo'lsa) ning sonini davom ettiramiz.

"Eslatib o'tamiz, chiziqli kombinatsiya taqsimlanmagan, agar unda barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, nolga teng.

Izoh 18.4. Vektor funktsiyalari tizimi x 1 ^), ..., X (t) chiziqli deb ataladi Z. va va metrda, oraliqda (lekin / 3) Agar ushbu vektor funktsiyalarining ba'zi funktsiyalarining boshqa funktsiyalari ushbu bo'shliqqa teng bo'lsa:

Ushbu uchta tushuncha bilan kurashish juda muhim (funktsiyalar, vektorlar va vektor funktsiyalari) bir-biri bilan.

Avvalo, agar siz formulani (18,6) joylashtirgan bo'lsangiz (har biri buni eslab qolsangiz) x g (1) vektordir)

keyin teng tizimga teng bo'ladi

ma'nosi ma'nosi ms qaramligi Birinchi ta'rif ma'nosida (funktsiyalar sifatida). Vektorli funktsiyalarning chiziqli qaramligi ularga ularga olib keladi deb aytiladi shomponon Chiziqli qaramlik.

Teskari, umuman gapiradigan, noto'g'ri: Vektor funktsiyalari misolini ko'rib chiqish uchun etarli

Ushbu vektor funktsiyalarining birinchi tarkibiy qismlari shunchaki bir-biriga bog'liq degan ma'noni anglatadi. Ikkinchi tarkibiy qismlar mutanosib, demak. Shuningdek, chiziqli ravishda bog'liq. Biroq, agar biz ularning chiziqli kombinatsiyasini o'rnatishga harakat qilsak, nolga teng, keyin nisbatdan

darhol tizimni oling

bu yagona echimga ega C - S.-2 - 0. Shunday qilib, bizning vektorli funktsiyalarimiz chiziqli mustaqil.

Bunday g'alati mulkka sabab nimada? Shubhasiz tegishli funktsiyalardan chiziqli mustaqil vektor funktsiyalarini yaratishga imkon beradigan asosiy e'tibor nima?

Ma'lum bo'lishicha, butun narsa tarkibiy qismning nolni olish uchun zarur bo'lgan koeffitsientlar ulushiga nisbatan chiziqli emas. Vektorli funktsiyalarning chiziqli bog'liqligi bo'lsa, bir xil koeffitsientlar sonidan qat'i nazar barcha tarkibiy qismlarga xizmat qiladi. Ammo biz bir komponentga topshirgan misolda koeffitsientlarning bir qismi talab qilinadi va boshqasi uchun. Shunday qilib, fokus oddiy: vektor funktsiyasining vektor funktsiyalarining chiziqli qaramligini olish uchun barcha tarkibiy qismlar "bir xil nisbati" ga bog'liq bo'lishi kerak.

Endi biz vektor funktsiyalari va vektorlarning chiziqli qaramligini o'rganishga murojaat qilamiz. Bu erda vektor funktsiyalarining chiziqli qaramligidan har bir sobit uchun buni amalga oshirishi aniq t * Vektor

ular chiziqli bog'liq bo'ladi.

Teskari, umuman aytganda, har birida vektorlarning chiziqli qaramligidan t. Vektor funktsiyalarining chiziqli bog'liqligiga emas. Ikki vektor funktsiyalarining misolini ko'rish juda oson.

Uchun t \u003d 1, t \u003d 2 va t \u003d 3 Biz bir juft vektor olamiz

mos ravishda. Har bir vektorlar (mos ravishda 1,2 va 3 koeffitsientlar bilan). Har qanday sobit bo'lganini tushunish qiyin emas t * Bizning juft vektorlar koeffitsientga mutanosib bo'ladi t *.

Agar biz bir xil bo'lgan nolga teng bo'lgan vektor funktsiyalarining chiziqli kombinatsiyasini qurishga harakat qilsak, unda birinchi komponentlar bizga nisbatni beradi

faqat nima mumkin bo'lsa Dan = Dan2 = 0. Shunday qilib, bizning vektorli funktsiyalarimiz chiziqli mustaqil bo'lib chiqdi. Shunga qaramay, ushbu ta'sirning izohi vektor funktsiyalarining chiziqli qaramligi bo'lsa, xuddi shunday CJ-ning doimiy to'plami barcha qiymatlarga xizmat qiladi t, va har bir qiymatga bizning misolda t. Koeffitsientlar o'rtasidagi mutanosibligini talab qildi.