Ekstremal funktsiya. Ekstremal funktsiyalar: mavjudlik belgilari, ekstremi funktsiyasini topish uchun echimlarning misollari

07.09.2020

Ushbu xizmat yordamida siz qila olasiz eng katta va eng kichik funktsiyani toping Bitta o'zgaruvchan f (x) so'zni so'zma-so'z bezash bilan. Agar f (x, y) funktsiyasi ko'rsatiladi, shuning uchun ikkita o'zgaruvchining ekstreum funktsiyasini topish kerak. Shuningdek, siz ko'payish va kamayishning intervallarini ham topishingiz mumkin.

Vazifalarni kiritish qoidalari:

Bitta o'zgaruvchining funktsiyasining shart-ekri shartnomasi

F "0 (x *) \u003d 0 tenglama - bu bitta o'zgaruvchining ekstreum funktsiyasining zaruriy holatidir, ya'ni x * birinchi nuqtada funktsiya nolga teng bo'lishi kerak. Bu funktsiyalar ko'paymaydi va pasaymaydi.

Bitta o'zgaruvchining ekstremi funktsiyalarining etarli shartlari

F 0 (x) ni x ga aylantirishi kerak, detrga tegishli bo'lishi mumkin. Agar shart x *-nuqtadan qoniq bo'lsa:

F "0 (x *) \u003d 0
F "0 (x *)\u003e 0

Bu x * mahalliy (global) minimal funktsiya.

Agar shart x *-nuqtadan qoniq bo'lsa:

F "0 (x *) \u003d 0
F "" 0 (x *)< 0

Keyin x * - mahalliy (global) maksimal.

1-misol 1. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping: segmentda.
Qaror.

Tanqidiy nuqta - bu bitta x 1 \u003d 2 (F '(x) \u003d 0). Bu nuqta segmentga tegishli. (X \u003d 0 nuqtai nazarda, 0∉).
Segmentning uchlari va tanqidiy jihatdan funktsiyaning qiymatlarini hisoblang.
f (1) \u003d 9, f (2) \u003d F (3) \u003d 3 8/81
Javob: F min \u003d 5/2 X \u003d 2 da; f Max \u003d 9 X \u003d 1

2-misol. Y \u003d X-2SIN (x) ekstremi funktsiyasini topish bo'yicha yuqori buyruqlardan foydalanish.
Qaror.
Differa funktsiyasini toping: y '\u003d 1-2cos (x). Biz muhim ballarni topamiz: 1 kos (x) \u003d 2, Cos (x) \u003d ½, x \u003d ± 3p, kigz. Biz y '' \u003d x) ni topamiz, hisoblang, bu X \u003d p / 3 + 2pk, Kis - funktsiyaning minimal nuqtalarini anglatadi; SO X \u003d - p / 3 + 2pk, kigz - maksimal funktsiya nuqtalari.

3-misol. X \u003d 0 nuqtai nazaridan FCCATATATSIYASIDA EXTRADR.
Qaror. Bu erda ekstraktlarning funktsiyalarini topish kerak. Agar ekstreum x \u003d 0 bo'lsa, uning turini (minimal yoki maksimal darajada) bilib oling. Agar topilgan ballar orasida x \u003d 0 bo'lmasa, F funktsiyasining qiymatini hisoblang (x \u003d 0).
Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu nuqtaning har bir tomonida lotinni o'zgartirganda, ehtimol turli xil funktsiyalar uchun mumkin bo'lgan vaziyatlar tugamaydi: bu x 0 yoki nuqtaning bir tomoniga ko'ra, o'zboshimchalik bilan kichik qo'shni bo'lishi mumkin Ikkala tomon ham, lotivli o'zgarishlar belgisi. Ushbu fikrlarda siz ekstreum uchun funktsiyalarni o'rganish uchun boshqa usullardan foydalanishingiz kerak.

4-misol. 49 raqamini ikki muddatga yoyib, uning mahsuloti eng katta hisoblanadi.
Qaror. X - birinchi atama. Keyin (49-x) - ikkinchi atama.
Ish maksimal: x · (49-x) → max
yoki
49x - x 2

Tsilindrning eng katta hajmi

Billetdan R ning radiusi shaklida qilingan eng katta hajmdagi tsilindr hajmini toping.
Qaror:

Silindr hajmi: v \u003d mil 2 soat
qaerda h \u003d 2h,
Ushbu qadriyatlarni maqsadli funktsiyaga almashtiring.

V → max
Ekstreum funktsiyasini toping. V harfi V (H) funktsiyasi faqat bitta o'zgaruvchiga bog'liq, biz xizmatdan foydalangan holda siz hosilalarni topamiz

2) birinchi hosilasini toping;

3) tanqidiy ballarni topish;

2) hosila toping

5) funktsiya qiymatini hisoblang

2) hosila toping

5) Ekstreum funktsiyasini hisoblang

2) lotinni hisoblang

Ko'rish materiallari:

Ekstreum funktsiyasining ta'rifi beriladi, misol ekstreum funktsiyasini topish uchun onlayn kalkulyatordan foydalanish sifatida ham beriladi.

Misol

Funktsiya mavjud (x ^ 3 -exp (x) + x) / (1 + x ^ 2).

Biz uni kalkulyator bilan tanishtiramiz internetda tadqiqotlar:

Quyidagi natijani olamiz:

Ekstralni topish uchun siz $$ \\ FRAC (D) (dx) f (\\ chap (x \\ o'ng (x)) (xol) va ushbu tenglamaning ildizlari (derivativ nol) ni hal qilishingiz kerak Ushbu funktsiyadan ustun bo'ling: $ \\ FRAC (D) f (\\ chap (x \\ chap (x \\ o'ng) \u003d \\ FRAC (2 x) (x \\ chap) + 1 \\ o'ng) ^ (2)) \\ Chapcha (x + x ^ (x + x ^ (x + x ^ (2) - e ^ (x) + 1) (x) ^ (2) + 1) \u003d 0 $$ bu tenglamani hal qiling
Ushbu urnaning ildizlari $$ x_ (1) \u003d 0 $$$30305288 $$$$30548373548376565 $$ Zn. Ballarda ekstremal:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Tishish va kamayishning intervallari:
Funktsiya ortadi va kamayadigan vaqt oralig'ini toping, chunki bu funktsiya funktsiyasi va maksimal funktsiyaning vazifasi ekstreumdan engil og'ishda qanday o'zini qanday tutishini ko'rib chiqamiz:
Minima nuqtalari: $$ X_ (3) \u003d 0 $$ Makslar: $$ X_ (3) \u003d 3.28103090528 $$$.37354837656565656556565 $$ kamayadi
(-O, -0.3548376565] u

Mahalliy maxima va minima tafovutsiz qilmaydi va funktsiyani o'rganishda va uning jadvalini qurishda zarurdir.

Nuqta mahalliy maksimal (yoki minimal) funktsiyasi, agar bunday mahallasi bo'lsa, funktsiyani belgilash funktsiyasiga tegishli bo'lsa, uning atrofidagi barcha narsalar tengsiz (yoki).

Maksimal va minimal ball ekstreum funktsiyasining nuqtalari va haddan tashqari ballardagi funktsiyalarning qiymatlari - bu ekstremal qiymatlar deb nomlanadi.

Mahalliy ekstreumning zaruriy holati:

Agar funktsiya mahalliy ekstreum bo'lsa, unda hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.

Yuqorida chiqarilgan talablarni qondiruvchi ballar muhim ballar deb ataladi.

Biroq, har bir tanqidiy jihatdan funktsiya ekstreumga ega.

Ekstreum funktsiyasi tushunchasi

Savolga javob: Ekstreum nuqtasining tanqidiy nuqtasi quyidagi nazariyani beradi.

Ekstreum funktsiyasining mavjudligi uchun etarli shart

Teoremasi yo'q Aytaylik, funktsiya tanqidiy jihatdan tanqidiy nuqtada va ushbu intervalning barcha nuqtalarida farqlanadi (faqat nuqta o'zidan tashqari).

Keyin, bir nuqta uchun funktsiya hosila noldan kattaroq bo'lgan dalillar uchun va holat uchun qondiriladi, agar ahvo evaziga - noldan kam.

Agar hosilasi noldan kam bo'lsa va undan ko'proq nolga teng bo'lsa, unda funktsiya minimal darajada bo'ladi.

Teorema II. Vazifa ikkilanuvchini bir-biridan farqli ravishda farq qilsin va hosila nolga teng. Keyin nuqtai nazardan, agar ikkinchi lervativativ noldan kam bo'lsa, agar aksincha, minimal minimal bo'lsa, minimal darajadan kam bo'lsa.

Agar ikkinchi leyviativ nol bo'lsa, maqsad ekstreumning bir nuqtasi bo'lmasligi mumkin.

Ekstremal funktsiyalarni o'rganishda ikkala teorema ham qo'llaniladi. Birinchi bo'lib osonroq, chunki bu ikkinchi lotivinni talab qilmaydi.

Birinchi hativatatsiyaning yordami bilan ekstremal (Maxima va Minima) topish qoidalari

1) ta'rif maydonini toping;

2) birinchi hosilasini toping;

3) tanqidiy ballarni topish;

4) bo'linish maydonini ajratish maydonlaridan kelib chiqqan holda, lotin belgisini o'rganing.

Shu bilan birga, tanqidiy nuqtai nazar minimal nuqtasi, agar u chapdan o'tish paytida lotinning o'ng tomonida, salbiy qiymatni ijobiy, aks holda maksimal darajada o'zgartiradi.

Ushbu qoidaning o'rniga siz ikkinchi lotinni aniqlashingiz mumkin va ikkinchi teoremaga ko'ra o'rganishingiz mumkin.

5) Funktsiyaning qiymatlarini ekstreum ballida hisoblang.

Biz aniq misollar bo'yicha haddan tashqari funktsiyani o'rganishni ko'rib chiqamiz.

V.Yu to'plam. KlePko, V.L. "Misollar va vazifalarni yuqori matematikani to'xtatadi"

1) Ta'rif maydoni ko'plab haqiqiy raqamlar bo'ladi

2) hosila toping

3) tanqidiy ballarni hisoblash

Ular quyidagi intervallar uchun ta'rif maydonini ajratishdi

4) qadriyatlarni almashtirishning topilmasligida lotin belgisini o'rganing

Shunday qilib, birinchi nuqta minimal nuqtadir va ikkinchisi maksimal nuqta.

5) funktsiya qiymatini hisoblang

1) Ta'rif sohasi juda ko'p yaroqli raqamlar bo'ladi, shuning uchun ildiz har doim ko'proq birlashadi

va Archanjent funktsiyasi butun haqiqiy o'qda aniqlanadi.

2) hosila toping

3) tenglik shartlari bilan nolning dumiativi tanqidiy jihatdan tan olinadi

Bu ikki interval uchun ta'rif maydonini buzadi.

4) har bir hududda lotinning belgisini aniqlang

Shunday qilib, biz tanqidiy jihatdan, funktsiya minimal qiymatni oladi.

5) Ekstreum funktsiyasini hisoblang

1) funktsiya nolga aylanmasa, funktsiya aniqlanadi

Bu shundan keyin ta'rif maydoni uchta intervaldan iborat

2) lotinni hisoblang

3) lotinni nolga tenglashtiring va tanqidiy ballar toping.

4) Har bir sohada lotin belgisini mos keladigan qiymatlarni almashtirgan holda o'rnating.

Shunday qilib, nuqta mahalliy maksimal darajada va mahalliy minimal. Funktsiya infektsiyasida, ammo quyidagi maqolalarda ko'proq materiallar bo'ladi.

5) Kritik nuqtalarda qiymatni toping.

Funktsiyaning qiymati, birinchi nuqta mahalliy maksimal darajadagi va yoy minimal darajada. Agar shunga o'xshash natijalarga erishsangiz, qo'rqmang, bunday vaziyatlar joizdir.

Ko'rish materiallari:

Adabiyot

1. Bogomolov N.V. Matematikada amaliy mashg'ulotlar. - m. Shk., 2009 yil

2. P.T.Taypanaov, M.I. ENOROV. Matematikadagi vazifalar to'plami. - m. Shk., 2009 yil

Uslubiy ko'rsatmalar

Different yordamida funktsiyalarni o'rganish. Monotonallik oralig'ini topish

Teorema1. Agar F (x) funktsiyasi (A; B) va F '(x)\u003e 0) har bir joyda (x)\u003e 0) bo'lsa, unda funktsiya oraliq (a; b) .

Teorema2. Agar FORT FOC (x) vaqt oralig'ida (a; b) va f '(x) uchun doimiy ravishda (x) salbiy (F' (x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

Misol1. Y \u003d Monotony-ni o'rganing.

Qaror: U \u003d 2x-1

Raqamli o'q ikki marta bo'linadi

Bu shuni anglatadiki, funktsiya intervalda (-; 5) kamayadi va funktsiya oraliqda (5;) ortadi.

Ekstremal funktsiyalarni topish

F (x) funktsiyasi x0 nuqtasida maksimal (minimal), agar bu nuqta bo'lsa, f (x) f (x0)) XX0 uchun.

Maksimal va minimal darajadagi va ekstreum nomi bilan birlashtirilgan.

Teorema 1. (prererema talab qilinadi). Agar X0 raqami ekstreum funktsiyasining y \u003d F (x) va shu nuqtada drivativ f '(x0) bo'lsa, u nolga teng: f' (x) \u003d 0.

F '(x) \u003d 0 yoki tanqidiy bo'lmagan nuqtalar.

2. (etarli holat) teorema. F funktsiyasi F (x) funktsiyasi X0 nuqtasida va uning mahallasida dervatioratga ega, ehtimol x0 nuqtadan tashqari hosilasi bor. Keyin

a) Agar x0 nuqta orqali o'tish paytida (x) Agar x0 nuqta orqali o'tish paytida (x) goldan minusdan minusgacha o'zgartirilsa, x0 - bu maksimal daraja f (x);

b) Agar x0 nuqta orqali o'tish paytida (x) drivativ f '(x). Belgini minusdan o'zgartiradi, so'ngra x0 f (x) ning minimal funktsiyasining nuqtai nazaridir;

c) Agar x0 nuqtaning mahallasi (x0-; x0 +) bo'lsa, u o'z belgisini saqlab qoladi, keyin X0 nuqtada, ushbu funktsiyani ekstreum bo'lmaydi.

2-misol.Y \u003d 3 -5x funktsiyasining funktsiyasini o'rganing.

Qaror: U '\u003d -5-2x

X \u003d - 2.5, hosilasida "+" "+" dan "+" dan "+" ga "+" dan "+ '/ -2. x \u003d -2,5 ballni o'zgartirganda.

Ekstreum funktsiyasining etarli shartlari.

xMax \u003d - 2.5; Umx \u003d 9.25.

Siz izlayotganingizni topmadingizmi? Qidiruvdan foydalaning:

Shuningdek qarang:

Mahalliy maxima va minima tafovutsiz qilmaydi va funktsiyani o'rganishda va uning jadvalini qurishda zarurdir.

Nuqta mahalliy maksimal (yoki minimal) funktsiyasi, agar bunday mahallasi bo'lsa, funktsiyani belgilash funktsiyasiga tegishli bo'lsa, uning atrofidagi barcha narsalar tengsiz (yoki).

Maksimal va minimal ball ekstreum funktsiyasining nuqtalari va haddan tashqari ballardagi funktsiyalarning qiymatlari - bu ekstremal qiymatlar deb nomlanadi.

Mahalliy ekstreumning zaruriy holati:

Agar funktsiya mahalliy ekstreum bo'lsa, unda hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.

Yuqorida chiqarilgan talablarni qondiruvchi ballar muhim ballar deb ataladi.

Biroq, har bir tanqidiy jihatdan funktsiya ekstreumga ega. Savolga javob: Ekstreum nuqtasining tanqidiy nuqtasi quyidagi nazariyani beradi.

Ekstreum funktsiyasining mavjudligi uchun etarli shart

Teoremasi yo'q Aytaylik, funktsiya tanqidiy jihatdan tanqidiy nuqtada va ushbu intervalning barcha nuqtalarida farqlanadi (faqat nuqta o'zidan tashqari).

Keyin, bir nuqta uchun funktsiya hosila noldan kattaroq bo'lgan dalillar uchun va holat uchun qondiriladi, agar ahvo evaziga - noldan kam.

Agar hosilasi noldan kam bo'lsa va undan ko'proq nolga teng bo'lsa, unda funktsiya minimal darajada bo'ladi.

Teorema II. Vazifa ikkilanuvchini bir-biridan farqli ravishda farq qilsin va hosila nolga teng.

Ekstremal funktsiya: mavjudlik belgilari, echimlarning misollari

Keyin nuqtai nazardan, agar ikkinchi lervativativ noldan kam bo'lsa, agar aksincha, minimal minimal bo'lsa, minimal darajadan kam bo'lsa.

Agar ikkinchi leyviativ nol bo'lsa, maqsad ekstreumning bir nuqtasi bo'lmasligi mumkin.

Ekstremal funktsiyalarni o'rganishda ikkala teorema ham qo'llaniladi. Birinchi bo'lib osonroq, chunki bu ikkinchi lotivinni talab qilmaydi.

Birinchi hativatatsiyaning yordami bilan ekstremal (Maxima va Minima) topish qoidalari

1) ta'rif maydonini toping;

2) birinchi hosilasini toping;

3) tanqidiy ballarni topish;

4) bo'linish maydonini ajratish maydonlaridan kelib chiqqan holda, lotin belgisini o'rganing.

Shu bilan birga, tanqidiy nuqtai nazar minimal nuqtasi, agar u chapdan o'tish paytida lotinning o'ng tomonida, salbiy qiymatni ijobiy, aks holda maksimal darajada o'zgartiradi.

Ushbu qoidaning o'rniga siz ikkinchi lotinni aniqlashingiz mumkin va ikkinchi teoremaga ko'ra o'rganishingiz mumkin.

5) Funktsiyaning qiymatlarini ekstreum ballida hisoblang.

Biz aniq misollar bo'yicha haddan tashqari funktsiyani o'rganishni ko'rib chiqamiz.

V.Yu to'plam. KlePko, V.L. "Misollar va vazifalarni yuqori matematikani to'xtatadi"

1) Ta'rif maydoni ko'plab haqiqiy raqamlar bo'ladi

2) hosila toping

3) tanqidiy ballarni hisoblash

Ular quyidagi intervallar uchun ta'rif maydonini ajratishdi

4) qadriyatlarni almashtirishning topilmasligida lotin belgisini o'rganing

Shunday qilib, birinchi nuqta minimal nuqtadir va ikkinchisi maksimal nuqta.

5) funktsiya qiymatini hisoblang

1) Ta'rif sohasi juda ko'p yaroqli raqamlar bo'ladi, shuning uchun ildiz har doim ko'proq birlashadi

va Archanjent funktsiyasi butun haqiqiy o'qda aniqlanadi.

2) hosila toping

3) tenglik shartlari bilan nolning dumiativi tanqidiy jihatdan tan olinadi

Bu ikki interval uchun ta'rif maydonini buzadi.

4) har bir hududda lotinning belgisini aniqlang

Shunday qilib, biz tanqidiy jihatdan, funktsiya minimal qiymatni oladi.

5) Ekstreum funktsiyasini hisoblang

1) funktsiya nolga aylanmasa, funktsiya aniqlanadi

Bu shundan keyin ta'rif maydoni uchta intervaldan iborat

2) lotinni hisoblang

3) lotinni nolga tenglashtiring va tanqidiy ballar toping.

4) Har bir sohada lotin belgisini mos keladigan qiymatlarni almashtirgan holda o'rnating.

Shunday qilib, nuqta mahalliy maksimal darajada va mahalliy minimal. Funktsiya infektsiyasida, ammo quyidagi maqolalarda ko'proq materiallar bo'ladi.

5) Kritik nuqtalarda qiymatni toping.

Funktsiyaning qiymati, birinchi nuqta mahalliy maksimal darajadagi va yoy minimal darajada. Agar shunga o'xshash natijalarga erishsangiz, qo'rqmang, bunday vaziyatlar joizdir.

Ko'rish materiallari:

Oliy matematika »Bir nechta o'zgaruvchining funktsiyalari» Ikki o'zgaruvchining ekstremal funktsiyasi

Ikki o'zgaruvchining ekstremal funktsiyasi. Ekstreum funktsiyalarini o'rganish misollari.

$ Z \u003d f (x, y) funksiyasini $ (x_0, y_0) belgilab beriladi. $ (X_0, y_0) $ (x, y) $ (x_0, y_0) $ (x_0, y_0) $ (x_0) $ (x, ni) amalga oshiriladi y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)> F (x_0, y_0) $, keyin $ (x_0, y_0) $ nuqtasi (mahalliy) minimal nuqta deb nomlanadi.

Ko'pincha maksimal va minimal ball umumiy muddat deb ataladi - ekstreum ballar.

Agar $ (x_0, y_0) - bu maksimal nuqta, keyin $ F (x_0, y_0) $ bu vaqtda $ z \u003d f (x, y) funksiyasi deb nomlanadi. Shunga ko'ra, funktsiyaning minimal nuqtasida mablag '$ z \u003d f (x, y) deb ataladi. Minima va Maxima funktsiyasi umumiy atama bilan birlashtirilgan - funktsiyaning haddan tashqari qismi.

Algoritm Tadqiqot funktsiyasi $ z \u003d f (x, y) ekstreum uchun $

$ \\ FRAC (\\ qisman Z) va $ \\ FRAC (\\ qisman Z) xususiy hosilalarini toping (\\ qisman Z). $ \\ FRAC (\\ qisman x) \u003d 0; \\\\ \\\\ \\ FRAC (\\ qisman y) (\\ qisman y) (\\ qisman z) tizimini yarating va hal qiling (\\ qisman y) \u003d 0. \\ Tugaydi (tekislangan) \\t. $. Belgilangan tizimning statsionar deb ataladigan ballar.
$ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2z) $, $ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2Z) (\\ qisman x \\ qism) (\\ Fracial ^ 2Z) (\\ qisman y ^ 2) $ va $ \\ delta \u003d \\ 2z (\\ qisman x ^ 2z) \\ cdot \\ 2z (\\ 2z) (\\ qisman ^ 2z) - \\ chap (chapda) \\ FRAC (\\ qisman ^ 2z) (\\ qisman x \\ qisman y) \\ o'ng) har bir statsionar nuqtada. Shundan so'ng, quyidagi sxemadan foydalaning:

Agar $ \\ delta\u003e 0 $ va $ \\ 2z) (\\ qisman x ^ 2z)\u003e 0 $ (\\ 2Z) (\\ qisman ^ 2z)\u003e 0 $)\u003e Sinov punktida minimal nuqta.
Agar $ \\ delta\u003e 0 $ va $ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2z) (\\ qisman x ^ 2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
Agar $ \\ delta bo'lsa< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
Agar $ \\ delta \u003d 0 $ bo'lsa, unda ekstremi mavjudligi haqida hech narsa aniq bo'lmaydi; Qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi.

Eslatma (to'liq matnni tushunish uchun orzu qilingan): ko'rsatish / ko'rsatish

Agar $ \\ delta\u003e 0 $ bo'lsa, $ \\ 2z (\\ qisman x ^ 2z) \\ cdot \\ 2z) (\\ qisman ^ 2z) - \\ chap (\\ FRAC) Qisman ^ 2z) (\\ qisman x \\ qisman y) ^ o'ng) ^ 2\u003e 0 $. Va shuning uchun u $ \\ FRAC (\\ qisman x ^ 2z) (\\ qisman ^ 2z) (\\ qisman ^ 2z)\u003e \\ chap (\\ 2z) (\\ Qisman x \\ qisman y) ^ 2 ≥ 0 $. Ular. $ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2z) (\\ qisman x ^ 2) \\ CDOT \\ 2Z) (\\ qisman ^ 2z) (\\ qisman y ^ 2)\u003e 0 $)\u003e 0 $. Agar ma'lum bir qiymatlar noldan ko'proq bo'lsa, unda bitta belgi qiymatlari. Bular. Masalan, agar $ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2z)\u003e 0 $ bo'lsa (\\ Fram ^ 2z) (\\ qisman ^ 2z)\u003e 0 $. Qisqasi, agar $ \\ delta\u003e 0 $ bu $ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2z) belgilari (\\ qisman x ^ 2) (\\ Fracial ^ 2Z) (\\ qisman ^ 2) $ bir-biriga to'g'ri keladi .

№1 misol

Ekstremal funksiyasini $ z \u003d 4x ^ 2-6xy-34x + 5y ^ 2 + 42y + $ 7 ni o'rganing.

$$ \\ FRAC (\\ qisman Z) (\\ qisman x) \u003d 8x-6y-34; \\ FRAC (\\ qisman z) (\\ qisman y) \u003d - 6x + 10y + 42. $$.

\\\\ &6x + 10y + 42. \\ tugaydigan \\ o'ngga. $$

Biz ushbu tizimning har bir tengligini 2 dollargacha kamaytiramiz va raqamlarni tenglamalarning o'ng qismlariga uzatamiz:

\\\\ \\ &3x + 5y \u003d -21. \\ tugaydigan \\ tugaydi. $$

Biz chiziqli algebraik tenglamalar tizimini oldik. Bunday vaziyatda, men olgan tizimni hal qilish uchun imonli usulidan eng qulay qo'llanilishi ko'rinadi.

$$ \\ boshlang'ich (iffath) & \\ delta \u003d \\ chap | \\ Boshlang'ich (CC) 4 & -3 \\ -3 \\ \\ \\ end (Arcay) \\ o'ng | \u003d 4 \\ cdot 5 - (- 3) \\ CDOT (-3) \u003d 20-9 \u003d 11; \\ \\ & \\ Delta_x \u003d \\ chap | | \\ Boshlang'ich (CC) 17 & -3 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ End # To'g'ri | \u003d 17 \\ cdot 5 - (- 3) \\ CDOT (-21) \u003d 85-63 \u003d 22; \\ \\ & \\ Delta_y \u003d \\ chap | | \\ Boshlang'ich (CC) 4 & 17 \\ &21 \\ tugaydi (massiv) \\ o'ng | \u003d 4 \\ CDOT (-31) \u003d - 84 + 51 \u003d -31 . \\ Tugaydi (iffat) \\ X \u003d \\ frac (\\ delta_ (x)) (\\ delta) \u003d \\ frac (11) \u003d 2; \\; Y \u003d \\ frac (\\ delta_ (y)) (\\ delta) \u003d \\ frac (-23) (11) \u003d - 3. $$.

X \u003d $ 2, $ 2, $ Y \u003d -3 $ statsionar ballning koordinatalari (2; -3).

$$ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2) \u003d 8; \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (qisman y ^ 2) \u003d 10; \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (qisman x \\ qisman y) \u003d - 6. $$.

$ \\ Delta $ qiymatini hisoblang:

$$ \\ delta \u003d \\ frac (\\ qisman ^ 2z) \\ CDOT \\ 2Z) (\\ qisman ^ 2z) - \\ chap (\\ 2z (\\ 2z) ( \\ Qisman x \\ qisman y) ^ 2 \u003d 8 \\ cdot 10 - (- 6) ^ 2 \u003d 80-36 \u003d 44. $$.

$ \\ Delta\u003e 0 $ va $ \\ FRAC (\\ qisman x ^ 2 z)\u003e 0 $, algoritmga, ball $ (2; -3). $ z $ Minimal funktsiya - $ Z $ S $ (2; -3) $ (2; -3) raqamini o'zgartiradi.

$$ z_ (min) \u003d z (2; -3) \u003d 4 \\ CDOT 2 ^ 2-6 \\ cdot (-3) -34 \\ cdot 2 + 5 \\ 42 \\ ^ 2 + 42 \\ CDOT (-3) + 7 \u003d -90. $$.

Javob: $ (2; -3) $ - minimal nuqta; $ z_ (min) \u003d - 90 $.

2-misol.

Ekstreum funktsiyasida $ z \u003d x ^ 3 + 3xy ^ 2-15x-12y + $ 1.

Yuqoridagi algoritmga amal qilamiz. Birinchi buyurtmaning shaxsiy hosilalarini topishni boshlash:

$$ \\ FRAC (\\ qisman Z) (\\ qisman x) \u003d 3x ^ 2 + 3y ^ 2-15; \\ FRAC (\\ qisman z) (\\ qisman y) \u003d 6xy-12. $$.

Biz $ \\ FRAC (\\ qisman Z) (\\ qisman x) \u003d 0; \\\\ \\\\ \\ \\ \\ Frac (\\ qisman y) (\\ qisman y) tenglamalar tizimini yaratamiz. \\ Tugaydi (iffatsion) \\ o'ng. $:

\\\\ ^ 2 + 3x ^ 2-15 \u003d 0; \\\\ \\ enty-12 \u003d 0. \\ tugaydigan \\ tugaydi

Birinchi tenglamani 3 ga, ikkinchisiga esa 6 tagacha joylashtiring.

\\\\ ^ 2-5 \u003d 0; 0. \\ tugaydigan \\ o'ng. $$

Agar $ x \u003d 0 $ bo'lsa, ikkinchi tenglama bizni qarama-qarshilikka olib keladi: $ 0 \\ cdot Y-2 \u003d 0 $, $ -2 \u003d 0 $. Shunday qilib, natija: $ x \\ niq 0 $. Keyin, ikkinchi tenglamadan, bizda: $ XY \u003d $ 2 $, $ Y \u003d \\ FRAC (x) $. $ Y \u003d \\ frak (2) (x) ni birinchi tenglamada almashtirib, bizda quyidagilar bo'ladi:

$$ x ^ 2 + \\ chap (\\ frac (2) \\ 2-5 \u003d 0; \\\\ x ^ 2 + \\ FRAC (x ^ 2) -5 \u003d 0; \\\\ x ^ 4-5x ^ 2 + 4 \u003d 0. $$.

Big'et tenglamasini oldi. Biz almashtirish $ t \u003d x ^ 2 $ ($ t\u003e 0 $) degani:

$$ t ^ 2-5t + 4 \u003d \\\\ \\ ^ \\\\ ^ (- 5) ^ 2-4 \\ cdot 1 \\ cdot 4 \u003d frac (- (- (- (- (- 5) - \\ sqrt (9) \u003d \\ FRAC (2) \u003d 1; \\\\ & T_2 \u003d \\ Frac (- (- 5) + \\ sqrt (2) \u003d \\ FRAC (5 + 3) (2) \u003d \\ tugaydi (hizalang) $$

Agar $ t \u003d 1 $ bo'lsa, u $ x ^ 2 \u003d 1 $. Bu erdan bizda ikkita qiymat mavjud x $: $ x_1 \u003d 1 $, $ X_2 \u003d -1 $. Agar $ T \u003d $ 4 bo'lsa, $ x ^ 2 \u003d $ 4, i.e. $ x_3 \u003d $ 2, $ x_4 \u003d $. $ Y \u003d \\ FRAC (2) (x) $ (X) $, biz olamiz:

\\ boshlang'ich (ilakit) & y_1 \u003d \\ FRAC (2) (1) \u003d 2) \u003d \\\\ \\ _2 \u003d \\ FRAC (2) (- 1) ) \u003d - - 2; \\\\ _3 \u003d \\ FRAC (2) \u003d \\ FRAC (2) \u003d 1; \\\\ \\ _4 \u003d \\ FRAC (2) (2) (2) (2) (2) (2) -2) \u003d - 1. \\ Tugaydi (iffle)

Shunday qilib, bizda statsionar nuqta bor: $ m_1 (1; 2) $, $ m_2 (-1; 1) $ (2; 1) $, $ m_4 (-2; -1). Bu algoritmning birinchi bosqichi.

Endi algoritmning ikkinchi pog'onasiga o'ting. Ikkinchi buyurtma uchun xususiy derivativlarni toping:

$$ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2) \u003d 6x; \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (qisman y ^ 2) \u003d 6x; \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman x \\ qisman y) \u003d 6y. $$.

$ \\ Delta $:

$$ \\ delta \u003d \\ frac (\\ qisman ^ 2z) \\ CDOT \\ 2Z) (\\ qisman ^ 2z) - \\ chap (\\ 2z (\\ 2z) ( \\ Qisman x \\ qisman y) ^ 2 \u003d 6x \\ cdot 6x- (6 366 ^ 2-36y ^ 2- y ^ 2). $$.

Endi biz ilgari topilgan statsionarlarning har birida $ \\ delta $ qiymatini hisoblaymiz. Keling, $ m_1 (1; 2) $ ni boshlaylik. Shu payt bizda: $ \\ delta (m_1) \u003d 36 (1 ^ 2-2 ^ 2) \u003d - $ 108. $ \\ Delta (m_1)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

Biz ball $ m_2 (-1; -2) ni o'rganamiz. Shu payt bizda: $ \\ delta (m_2) \u003d 36 ((- 1) ^ 2 - (- 2) ^ 2) \u003d - $ 108. $ \\ Delta (m_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

Biz m_3 ballini (2; 1) o'rganamiz. Shu nuqtada biz:

$$ \\ delta (m_3) \u003d 36 (2 ^ 2-1 ^ 2) \u003d 108; \\; \\; \\; \\; \\ chap. \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2) \\ o'ng | _ (m_3) \u003d 6 \\ cdot 2 \u003d 12. $$.

$ \\ Delta (m_3)\u003e 0 $ va $ ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2 z) \\ o'ng | $ m_3 algoritmiga ko'ra ( 2; 1) $ Z $ bo'lgan minimal funktsiyaning belgisi mavjud. Hech bo'lmaganda, $ z $ funktsiyasi belgilangan funktsiyada MOLDORDINA STUNIRNI o'rnini bosadi:

$$ z_ (min) \u003d z (2; 1) \u003d 2 ^ 3 + 3 \\ cdot 1 ^ 2-15 \\ cdot 2-12 \\ cdot 1 + 1 \u003d -27. $$.

$ M_4 (-2; -1) $ pentni o'rganish uchun qoladi. Shu nuqtada biz:

$$ \\ delta (m_4) \u003d 36 ((- 2) ^ 2 - (- 1) ^ 2) \u003d 108; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\; \\ chap. \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2) \\ o'ng | (m_4) \u003d 6 \\ CDOT (-2) \u003d - 12. $$.

$ \\ Delta (m_4)\u003e 0 $ va $ \\ chap. \\ Frac (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2) \\ o'ng | (m_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_ (max) \u003d z (-2; -1) ^ 3 + 3 \\ cdot (-2) ^ 2-15 \\ cdot (-2) -12 \\ cdot (-1) + 1 \u003d 29. $$.

Ekstreum bo'yicha tadqiqotlar yakunlandi. Bu faqat javobni yozib olish kerak.

$ (2; 1) $ - minimal nuqta, $ z_ (min) \u003d 27 $;
$ (- 2; -1) $ - Maksimal nuqta, $ z_ (max) \u003d $ 29.

Eslatma

Umumiy ishda $ \\ delta $ qiymatini hisoblash kerak emas, chunki biz faqat ushbu parametrning o'ziga xos qiymati emas, balki imzo chekamiz. Masalan, yuqorida muhokama qilingan misol uchun, №2 $ m_3 (2; 1) $ Bizda $ \\ delta \u003d 36 \\ 2-1 ^ 2) bor. Bu erda bu $ \\ delta\u003e 0 $ (ikkala omil sifatida $ 36) (2 ^ 2-1 ^ 2). Siz $ \\ delta $ qiymatini topa olmaysiz. To'g'ri, odatdagi hisob-kitoblar uchun bu izoh foydasiz - ular raqamni hisoblashni talab qiladi

3-misol.

Ekstreum funktsiyasini $ z \u003d x ^ 4 + y ^ 4-2x ^ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 $ ^ 2 + 3 $ ni tekshiring.

Biz algoritmga amal qilamiz. Birinchi buyurtmaning shaxsiy hosilalarini topishni boshlash:

$$ \\ FRAC (\\ qisman Z) (\\ qisman x) \u003d 4x ^ 3-4x + 4y; \\ FRAC (\\ qisman z) (\\ qisman y) \u003d 4y ^ 3 + 4x-4y. $$.

Biz $ \\ FRAC (\\ qisman Z) (\\ qisman x) \u003d 0; \\\\ \\\\ \\ \\ \\ Frac (\\ qisman y) (\\ qisman y) tenglamalar tizimini yaratamiz. \\ Tugaydi (iffatsion) \\ o'ng. $:

\\\\ ^ 3-4x + 4y \u003d 0; \\ \\ 4y \u003d 0. To'g'ri. $$.

Biz ikkala tenglamani 4 dollarga kamaytiramiz:

\\\\ ^ 3-y + y \u003d 0. \\ tugaydigan \\ o'ng. $$. $$

Avval ikkinchi tenglamaga qo'shing va $ x $ dan Express $:

$$ y ^ 3 + x-y (x ^ 3-x + y) \u003d 0; \\\\ y ^ 3 + x ^ 3 \u003d 0; y ^ 3 \u003d -x ^ 3; y \u003d -x. $$.

$ Y \u003d -x $ tizimning birinchi tenglamasida biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

$$ x ^ 3-x-x \u003d 0; \\\\ x ^ 3-2x \u003d 0; \\\\ x (x ^ 2-2) \u003d 0. $$.

Olingan tenglamadan, bizda: x \u003d 0 $ yoki $ x ^ 2-2 \u003d 0 $. $ X ^ 2-2 \u003d 0 $ bu $ x \u003d - \\ sqrt (2) $ yoki $ x \u003d \\ sqrt (2). Shunday qilib, $ x $, ya'ni: $ x_1 \u003d 0 $, $ X_2 \u003d \\ SQRT (2) $ (2) $. $ Y \u003d -x $, keyin $ Y_1 \u003d -x_1 \u003d $ Y_2 \u003d -x_3 (2) $, $ Y_3 \u003d SQRT (2) $.

Eritmaning birinchi bosqichi tugadi.

Ekstreumni qanday topish mumkin (minimal va maksimal nuqta) funktsiyalari

Biz uchta statsionar ballar bor: $ m_1 (0; 0) (- \\ SQRT (2) (\\ sqrt (2) (2) (2)) $ .

Endi algoritmning ikkinchi pog'onasiga o'ting. Ikkinchi buyurtma uchun xususiy derivativlarni toping:

$$ \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2) \u003d 12x ^ 2-4; \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman y ^ 2) \u003d 12y ^ 2-4; \\ FRAC (\\ qisman ^ 2 z) (\\ qisman x \\ qisman y) \u003d 4. $$.

$ \\ Delta $:

$$ \\ delta \u003d \\ frac (\\ qisman ^ 2z) \\ CDOT \\ 2Z) (\\ qisman ^ 2z) - \\ chap (\\ 2z (\\ 2z) ( \\ Qisman x \\ qisman y) ^ 2 \u003d (12x ^ 2-4) -4 ^ 2-1 2-1) \\ cdot 4 (3xot 4 (3xot 4) -1) -16 \u003d 16 (3x ^ 2-1) -16 \u003d 16 \\ 2-11ot ((3x ^ 2-1) (3x ^ 2-1) (3x ^ 2-1) (3x ^ 2-1) -1). $$.

Endi biz ilgari topilgan statsionarlarning har birida $ \\ delta $ qiymatini hisoblaymiz. Keling, $ m_1 (0; 0) $ ni ishga tushiramiz. Shu nuqtada bizda: $ \\ delta (m_1) \u003d 16 \\ CDOT 0 ^ 2-1) (3 \\ cdot 0 ^ 2-1) \u003d 16 \\ cdot 0 \u003d 0 $. $ \\ Delta (m_1) \u003d 0 $, algoritmning so'zlariga ko'ra, qo'shimcha ma'lumot talab qilinmaydi, chunki ko'rib chiqilayotgan punktda ekstreum mavjudligi haqida hech narsa aytish mumkin emas. Keling, bu fikrni yolg'iz tashlab, boshqa nuqtalarda harakat qilaylik.

Biz balmni $ m_2 (- \\ SQRT (2), \\ SQRT (2)) tekshiramiz. Shu nuqtada biz:

\\ Boshlang'ich (ilakit) \\ delta (m_2) \u003d 16 \\ CDOT (- \\ CDOT (- \\ sqrt (2)) ^ 2-1) (3 \\ sQRT (2)) ^ 2-1) - 1 ) \u003d 16 \\ cdot 24 \u003d 384; \\\\ ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2 z) (m_2) \u003d 12 \\ sqrt (2)) ^ 2-4 \u003d 24-4 \u003d 20. \\ Tugaydi (iffle)

$ \\ Delta (m_2)\u003e 0 $ va $ ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2 z) \\ o'ng | $ m_2 algoritmiga (- \\ Sqrt (2), \\ sqrt (2)) $ Z $ bo'lgan minimal funktsiyaning nuqtasi mavjud. Hech bo'lmaganda $ z $ funktsiyasi koordinata nuqtasining belgilangan funktsiyasini belgilab, $ m_2 $:

$$ z_ (min) \u003d z (- \\ sqrt (2) (2)) \u003d (- \\ sqrt (2)) ^ 4 + (\\ sqrt (2)) ^ 4-2 (- \\ sqrt) 2)))) ^ 2 + 4 CDOT (- \\ SQRT (2)) ^ SQRT (\\ sqrt (2) (2) (2) (2)) ^ 2 + 3 \u003d -5. $$.

Oldingi paragrafga o'xshash, biz $ M_3 (\\ SQRT (2), - \\ SQRT (2)) ni tekshiramiz. Shu nuqtada biz:

\\ boshlang'ich (iffat) \\ delta (m_3) \u003d 16 \\ cdot (\\ sqrt (2)) ^ 2-1) (3 \\ cdot (- \\ sqrt (2)) ^ 2-1) - 1 ) \u003d 16 \\ cdot 24 \u003d 384; \\\\ ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2 z) \\ o'ng | (m_3) \u003d 12 \\ cdot (\\ sqrt (2)) ^ 2 -4 \u003d 24-4 \u003d 20. \\ Tugaydi (iffle)

$ \\ Delta (m_3)\u003e 0 $ va $ ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2 z) (\\ qisman x ^ 2 z) \\ o'ng | $ m_3 algoritmga ko'ra 0 $ 0. Sqrt (2), - \\ sqrt (2)) $ Z $ Z $. Hech bo'lmaganda, $ z $ funktsiyasi belgilangan funktsiyada MOLDORDINA STUNIRNI o'rnini bosadi:

$$ z_ (metr) \u003d z (\\ sqrt (2) (2)) \u003d (\\ sqrt (2)) ^ 4 + (- \\ sqrt) ^ 4-6 (\\ sqrt (2) ))))) (2) (2) (2) (2)) - 2 (- \\ sqrt (2)) ^ 2 + 3 \u003d -5. $$.

Bu $ m_1 (0; 0) $ 0 ga qaytib keldi, unda $ \\ delta (m_1) \u003d 0 $. Algoritmga ko'ra, qo'shimcha o'rganish talab qilinadi. Ushbu evaziv ibora ostida "kerakli narsani qilish" degan ma'noni anglatadi :). Bunday vaziyatlarni hal qilishning umumiy usuli yo'q - va bu tushunarli. Agar shunday bo'lgan bo'lsa, u barcha darsliklarga uzoq vaqt keladi. Va pesima har bir nuqtada $ \\ delta \u003d 0 $ga maxsus yondoshishni qidirishi kerak. Xo'sh, keling, funktsiyaning xatti-harakatlarining xatti-harakati $ m_1 (0; 0) $. Zudlik bilan $ z (m_1) \u003d z (0; 0) \u003d $ 3. $ Minimal darajadagi $ minimal nuqta. Keyin $ m $ bo'sh vaqt uchun $ m $ (0; 0) $ Biz $ z (m)\u003e Z (M_1) $, i.e. $ z (m)\u003e $ 3. Va agar biron bir mahallada $ z (m) bo'lgan nuqtalarda< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

$ Y \u003d 0 $, i.e. $ (X, 0) turlari. Ushbu fikrlarda $ z $ funktsiyasi bunday qiymatlarni oladi:

$$ z (x, 0) \u003d x ^ 4 + 0 ^ 4X \\ CDOT 0- 2 + 3 \u003d x ^ 2 + 3 \u003d x ^ 2 (x ^ 2-2) +3. $$.

Barcha etarli darajada kichik o'rdalarda $ m_1 (0; 0) $ Bizda $ x ^ 2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Ammo, ehtimol, ball $ m_1 (0; 0) $ maksimal nuqtadir? Agar shunday bo'lsa, m_1 (0; 0) $ s (0; m) olamiz< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) > $ 3? Keyin $ m_1 $ plitkada, albatta maksimal darajada emas.

$ Y \u003d x $, i.e. Forma nuqtalari $ (x, x) $. Ushbu fikrlarda $ z $ funktsiyasi bunday qiymatlarni oladi:

$$ z (x, x) \u003d x ^ 4 + x ^ 2 + 4X \\ 2 \\ cdot x ^ 2 + 3 \u003d 2x ^ 3. $$.

Nomutning har qanday mahallasida $ m_1 (0; 0) $ Bizda $ 2X ^ 4\u003e 0 $, u $ 2X ^ 4 + 3\u003e $ 3. Xulosa: m_1 (0; 0) ning har qanday mahallasi $ z\u003e shuning uchun ball $ m_1 (0; 0) $ maksimal darajaga ega bo'lishi mumkin emas.

$ M_1 (0; 0) $ maksimal darajadagi, minimal darajadagi nuqta emas. Xulosa: $ m_1 $ odatda ekstremi nuqtasidir.

Javob: $ (- \\ sqrt (2), \\ sqrt (2)) $ (2), - \\ sqrt (2)) $ z $ s $ Ikkala pog'onada $ Z_ (min) \u003d - $ 5.

Oliy matematikadagi onlayn sinflar

Funktsiya \u003d f (x) deb nomlanadi o'sib borayotgan (kamayib borayotgan) ba'zi bir vaqtlarda, agar x 1 bo'lsa< x 2 выполняется неравенство(f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

Agar segmentda turli xil funktsiya bo'lsa (X), keyin uning ushbu segmentida doktativ (x)\u003e 0, (X)< 0).

Gap x. haqida chaqqon mahalliy maksimal darajada (eng kam) Agar qo'shni bo'lsa, f (x) funktsiyalari X O., f (x) ≤ f (x o), (F (x) ≥) bo'lgan barcha nuqtalari uchun.

Maksimal va minimal ballar deyiladi ekstreum ballariva ushbu nuqtalarda funktsiyalarning qiymatlari - u haddan tashqari.

Ekstreum ballari

Kerakli shartlar Sharmandali. Agar nuqta bo'lsa x. haqida Bu ekstremi (x), undan ham f '(x o) \u003d 0 yoki f (x o) mavjud emas. Bunday fikrlar deyiladi tanqidiy Bundan tashqari, funktsiya o'zini muhim nuqtada belgilanadi. Uning og'ir funktsiyasi o'z tanqidiy nuqtalari orasida talab qilinishi kerak.

Birinchi etarli shart. Bo'linmoq x. haqida - tanqidiy jihat. Agar f "(x) bo'lsa x. haqida Belgilangan Plus-ni minusda o'zgartiradi, keyin nuqtada x O. Funktsiya maksimal darajada aks holda - Eng kam. Agar tanqidiy jihatdan o'tish paytida lotin belgisini o'zgartira olmasa, belgilangan vaqtda x. haqida Ekstreum emas.

Ikkinchi etarli shart. Funion Funktsiyani f '(X) ni nuqtaga aylantiring X. haqida va ikkinchi hosilativ f "(x 0) nuqtada x O.. Agar f "(x o) \u003d 0, f" "(x 0)\u003e (F '» (x 0)<0), то точка X O. Bu mahalliy minimal minimal (maksimal) funktsiyasi f (x). Agar f "" (x 0) \u003d 0, keyin siz birinchi etarlicha etarli holatdan foydalanishingiz yoki eng yuqori darajaga jalb qilishingiz kerak.

Segmentda y \u003d F (x) funktsiyasi eng kichik yoki eng katta qiymatga yoki tanqidiy jihatdan yoki segmentning uchida bo'lishi mumkin.

Masalan 3.22.Ekstraksiya funktsiyasini toping F (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36X - 14.

Qaror.F "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x -2), keyin x 1 \u003d 2 va x 2 \u003d 3. Ortiqcha funktsiyaning muhim nuqtalari bo'lishi mumkin . X 1 \u003d 2 o'tish joyida, shuning uchun bu nuqtada maksimal funktsiyani maksimal darajada o'zgartiradi. plyus, shuning uchun kamida x 2 \u003d 3 nuqtada. Funktsiya qiymatini x 1 \u003d 2 va x 2 \u003d 3 hisoblang, biz funktsiyaning ekstreumlarini hisoblaymiz: maksimal f (2) \u003d 14 va minimal f (3) \u003d 13.

Ekstreum funktsiyalarini topish uchun vazifalar

Masalan 3.23.a.

Qaror. x. va y.. Maydon maydoni s \u003d xi ga teng. Bo'linmoq y. - Bu devorga tutun tomonning uzunligi. Keyin, holat bilan, tenglik 2x + y \u003d a o'qilishi kerak. Shuning uchun y \u003d a - 2x va s \u003d x (a - 2x), u erda 0 ≤ 2x / 2 (saytning uzunligi va kengligi salbiy bo'lolmaydi). S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 bilan, x \u003d a / 4 / 2. ni x \u003d a / 4 dan x \u003d a / a / 4. Ushbu nuqtani yoqishda tizimni o'zgartirishni imzolash. X da< a/4, S " > 0 va x\u003e a / 4, s bilan< 0, значит, в точке x = a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Masalan 3.24.

Qaror.
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Masalan 3.22.Ekstraksiya funktsiyasi (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 36X - 14.

Qaror.F "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x -2), keyin x 1 \u003d 2 va x 2 \u003d 3. Ortiqcha funktsiyaning muhim nuqtalari bo'lishi mumkin . X 1 \u003d 2 o'tish joyida, shuning uchun bu nuqtada maksimal funktsiyani maksimal darajada o'zgartiradi. Bundan tashqari, hech bo'lmaganda x 2 \u003d 3 nuqtada. funktsiyaning qiymatlarini x 1 \u003d 2 va x 2 \u003d 3 hisoblang, biz funktsiyaning ekstreumlarini topamiz: maksimal (2) \u003d 14 va MinimaF (3) \u003d 13.

Masalan 3.23.Tosh devorining yonidagi to'rtburchaklar platformasini qurish uchun uch tomonga burilib, devorga devorga yopishib olish kerak. Buning uchun mavjud a. Mesh naqshlari. Eng yuqori maydonda qaysi jihatdan eng yuqori kvadrat bo'ladi?

Qaror.Saytning yon tomonini anglatadi x. va y.. Maydon maydoni s \u003d xi ga teng. Bo'linmoq Y. - Bu devorga tutun tomonning uzunligi. Keyin, holat bilan, tenglik 2x + y \u003d a o'qilishi kerak. Shuning uchun y \u003d a - 2x va s \u003d x (a - 2x), qaerda
0 ≤x ≤ / 2 (saytning uzunligi va kengligi salbiy bo'lishi mumkin emas). S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 X \u003d O / 4, qaerdan
Y \u003d a - 2a / 4 \u003d a / 2. X \u003d O / 4 - bu yagona tanqidiy nuqta, bu nuqta orqali o'tish paytida belgini tekshirib turishini tekshiring. Atx< a/4, S " > 0 va X\u003e A / 4 S bilan< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Masalan 3.24.Idish bilan yopiq silindrsimon idishni v \u003d 16p, 50 m 3 bo'lishi kerak. Tank (R radiusi va Balandligi) qancha bo'lishi kerak, shunda u eng kam material uni ishlab chiqarishda amalga oshiriladimi?

Qaror.Silindrning to'liq yuzasi maydoni s \u003d 2p (r + h). Biz silindr hajmini bilamiz v \u003d p pr 2 h þ w \u003d v / p 2 \u003d 16p / p 2 \u003d 16 / R 2. Shunday qilib, s (r) \u003d 2p (R 2 + 16 / R). Ushbu xususiyatning hosilasini toping:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4P (R- 8 / R 2). S" (R) \u003d 0 at 3 \u003d 8 da,
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Barcha mashhur ko'rilgan profil profilini yaxshilab o'ylab ko'ring. Biz arraning silliq tomonida o'qni yuboramiz va o'q u uchun perpendikulyar. Biz rasmda ko'rsatilgan ba'zi funktsiyani grafikka olamiz. biri.

Ko'rinib turibdiki, shundaki, nuqtada, funktsiyaning qiymatlari o'ng va chap tomondagi qo'shni ballar bilan taqqoslagan qiymatlarga nisbatan eng yuqori bo'ladi qo'shni nuqtalarga nisbatan. Ballar funktsiyaning ekstremi nuqtai nazariga (lotin ekstreumidan - "ekstremal"), punktlar va maksimal ball va minimal va eng katta "va" eng kichik "va" eng kichik ". ).

Biz ekstreum ta'rifini aniqlaymiz.

Aytilishicha, funktsiya funktsiyasini belgilash funktsiyasi mavjud bo'lsa, bu funktsiya mavjud bo'lsa, bu funktsiyani belgilash funktsiyasi bo'lsa, u shuni aytiladi. Shunga ko'ra, biron bir vaqt oralig'ining barcha nuqtalari uchun shart bajarilsa, nuqta funktsiyasi minimal mavjud.

Shaklda. 2 va 3 - bu maqsadga ega bo'lgan funktsiyalarning grafikasi.

Biz indeksni aniqlash nuqtai nazaridan e'tibor qaratamiz, va uning oxirida emas, balki funktsiyalar to'plamida yotishi kerak. Shuning uchun, rasmda ko'rsatilgan funktsiya uchun. 1, minimal darajada uning ko'rinishi mumkin deb taxmin qilish mumkin emas.

Agar funktsiyalarning maksimal (minimal) ushbu ta'rifida qat'iy tengsizlikni buzmaslik uchun qat'iy tengsizlikni almashtirilsa Men zararli bo'lmagan maksimal (aql bovar qilmaydigan minimal) ta'rifini olaman. Masalan, tog 'cho'qqisining yuqori darajasini ko'rib chiqing (4-rasm). Yassi platformaning har bir nuqtasi - segment - bu qat'iy maksimal darajada.

Differentsial hisoblashda ekstremal funktsiyani o'rganish juda samarali va bu lotin yordamida shunchaki amalga oshiriladi. Differentsial hisob-kitoblarning asosiy nazariyotlaridan biri, bu turli xil funktsiyaning zarur ekstremi sifatini belgilaydi, ferma teoremasi (fermer xo'jaligiga qarang). Nuqtada funktsiya ekstreumga ega bo'lsin. Agar shu nuqtada hosilada bo'lsa, u nolga teng.

Geometrik tilda ferma teoremasi gorizontal funktsiyaning grafikasiga ekstrementada tenantsiyani (5-rasm) anglatadi. Albatta, teskari bayon, albatta, masalan, rasmda, masalan, grafik ko'rinadi. 6.

Teorema frantsuz matematikasi P. Fermer fermasi, birinchi navbatda ekstreum uchun bir qator vazifalarni hal qilgan. U hiyla-nayrang tushunchasini hali ham qo'zg'atmagan, ammo o'rganishda usulni qo'llash, uning mohiyati teoremaning roziligi bilan ifodalangan.

Difilning ekstremi uchun etarli shart, lotin belgisini o'zgartirishdir. Agar nuqtada hosilaforatni plyus uchun minusdan o'zgartirsa, i.e. Uning pasayishi ko'payish bilan almashtiriladi, bu minimal darajadagi nuqta bo'ladi. Aksincha, agar hosilalar plyusdan minusgacha bo'lsa, i.e., I.00 ga o'zgartirilsa, arzimas narsa maksimal daraja bo'ladi. Kamayib borayotganidan ko'ra ketadi.

Olingan funktsiya nolga teng bo'lgan joy statsionar deb ataladi. Agar differentsial funktsiya ekstreum uchun tekshirilsa, unda ularning barcha statsionar ballari topilishi va lotin belgilarini ulardan va ulardan ko'rib chiqish kerak.

Ekstreum funktsiyasini o'rganing.

Biz uning hosilasini topamiz: .

Ekstremallarni topish uchun oddiy algoritm ..

Drivatoriy funktsiyani toping
Bu lotivni nolga tenglashtiring
Olingan iboraning o'zgaruvchisining qiymatlarini topamiz (hosilasi nolga aylantirilgan o'zgaruvchining qiymatlari)
Ushbu qadriyatlarni to'g'ri ravishda ajratamiz (siz to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishga ham qo'llanilishi kerak bo'lgan bo'shliqlarni unutishingiz shart emas), bularning barchasi ekstreum uchun "shubhali" ballar deb nomlanadi
Hisoblash, bu lotinning qaysi biri ijobiy bo'lishini va salbiyda nimaga ega bo'lishiga yordam beradi. Buning uchun qiymatni lotordan almashtiring.

Nuqtalardan ekstremi uchun shubhali, siz aniq topishingiz kerak. Buning uchun biz muvofiqlashtiruvchi idoramizga to'g'ridan-to'g'ri ko'rib chiqamiz. Agar biron bir nuqtadan o'tganda, lumlativ imzo plyus uchun o'zgaradi, keyin bu nuqta bo'ladi maksimalva agar plyusda minus bo'lsa, keyin eng kam.

Eng katta va eng kichik funktsional qiymatni topish uchun siz segment segment va ekstreum ballida funktsiyaning qiymatini hisoblashingiz kerak. Keyin eng katta va eng kichik qiymatni tanlang.

Ko'rsatib o'ting
Biz uni nolga tenglashtiramiz va uni tenglashtiramiz:

Belgilangan o'zgaruvchi qiymatlari muvofiqlashtiruvchiga to'g'ridan-to'g'ri qo'llaniladi va har bir bo'shliqda lotin belgisini hisoblaydi. Masalan, biz birinchi bo'lib qabul qilamiz-2 , keyin hosila teng bo'ladi-0,24 ikkinchisi uchun biz olamiz0 , keyin hosilasi bo'ladi2 va uchinchisini olish uchun2 , keyin hosilasi bo'ladi-0.24. Men tegishli belgilarni qo'ydim.