Ikki tasodifiy o'zgaruvchi summasining taqsimotini toping. Ikki tasodifiy o'zgaruvchi summasini taqsimlash to'g'risidagi qonun

1) c + D ≤ z ≤ a + d. Keyin

2) a + D ≤ z ≤ c + c. Keyin

3) b + c z ≤ a + b. Keyin

Bunday tarqatish Simpson qonuni deb nomlanadi. 9-rasmda SV tarqatish zichligining grafikasi tasvirlangan dan=0, d.=0.

Biz bitta muammoni hal qilish uchun yuqoridagi umumiy usuldan foydalanamiz, ya'ni ikkita tasodifiy o'zgaruvchi summasini taqsimlash qonunini topish. F (x, y) distensiv zichligi bilan ikkita tasodifiy o'zgaruvchi (x, y) tizimi mavjud.

X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar summasini ko'rib chiqaylik: Buni amalga oshirish uchun biz Xou line tekisligining qiymatini topamiz. (6.3.1-rasm). Bu to'g'ri segmentlar o'qlarini Z ga teng ravishda kesib tashlaydigan to'g'ri chiziq. To'g'riga xow samolyotini ikki qismga ajratadi; O'ng va undan yuqori ; Chap va pastki

Ushbu holatda D mintaqasi Xou samolyotining chap pastki qismi, soyada soyali. 6.3.1. Formulaga ko'ra (6.3.2), bizda:

Bu ikkita tasodifiy o'zgaruvchi summasining taqsimlash zichligi uchun umumiy formula.

Simmetriya masalalari uchun vazifa X va Y ga nisbatan, siz bir xil formulaning boshqa variantini yozishingiz mumkin:

Ushbu qonunlarning tarkibini, I.E., qiymatni taqsimlash qonunini topishi shart:.

Tarqatish to'g'risidagi qonunlarning tarkibi uchun umumiy formuni qo'llaning:

Bu iboralarni allaqachon sodir bo'lgan formulaga almashtirish

va bu normal qonundan boshqa narsa emas

Bundan tashqari, quyidagi sifatli mulohazalarda xulosa ancha oson bo'lishi mumkin.

Jahon funktsiyasida (6.3.3) qavslarni oshkor qilmasdan (6.3.3), biz darhol X bir turdagi uchta qaror bo'lib, uchta uchta qarorni qabul qilyapmiz degan xulosaga keldik.

koeffitsientda va Zleksiyada birinchi darajali koeffitsiyaning va maydondagi koeffitsientga kirmaydi. Bu bilan formula (6.3.4) ni olishda (6.3.4) ariza berish, biz indikatsion funktsiya mavjudligi, uning ko'rsatkichlari Z va tarqatish zichligining belgisi; Ushbu tur normal qonunlarga to'g'ri keladi. Shunday qilib, biz; Biz sof sifatli xulosaga kelamiz: Z-ning ruxsatlari normaldir. Ushbu qonun parametrlarini topish - va - Biz matematik umidlar qo'shilishi va tarqalish qo'shilishidan foydalanamiz. Matematik umidlarni shakllantirish orqali . Disersiyaning qo'shilishi bilan yoki Formula (6.3.7) dan keyingi joy.

Standart og'ishlardan kelib chiqadigan og'ishlarga mutanosib ravishda orqaga o'girilib:
.

Shunday qilib, keyingi qoidaga keldik: normal qonunlarning tarkibi bilan normal qonun yana olinadi va matematik taxminlar va dispersiya (yoki ehtimoliy og'ishlar) yig'iladi.

Oddiy qonunlarning tarkibi qoidasi mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lgan taqdirda umuman umumlashtirilgan bo'lishi mumkin.

Agar N mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsa: dispersiyali markazlar va rms og'ishlari bilan normal qonunlarga bo'ysunadi, so'ngra Oddiy qonun parametrlari bilan normal qonunga bo'ysunadi

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar (x, y) normal qonunga muvofiq taqsimlansa, ammo X, Y ga bog'liq bo'lgan qiymatlar umumiy formulaga asoslanib, avvalgidek, avvalgidek isbotlash qiyin emas (6.3. 1) Qiymatni taqsimlash qonuni normal qonundir. Dismaviy markazlar hali ham algebraik, ammo standart og'ishlar uchun qoida yanada murakkablashadi: , r, X va Y ning korrelyatsion koeffitsioni qayerda

Oddiy qonunga tegishli bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilarni qo'shishda, shuningdek, taqsimot to'g'risidagi qonun parametrlar bilan normal bo'lishga aylanadi

x i, x j va Sumbufning korrelyatsion koeffitsienti qayerda kattalikdagi bir xil birikmalarga tegishli.

Oddiy qonunning juda muhim xususiyatiga amin bo'ldik: normal qonunlarning tarkibi bilan normal qonun yana olinadi. Bu "barqarorlikning mulki" deb ataladi. Tarqatish qonuni barqaror deb nomlanadi, agar ushbu turdagi ikkita qonunning tarkibi bilan yana olingan bo'lsa. Yuqorida, normal qonun barqarorligini ko'rsatdik. Barqarorlikning mol-mulki taqsimlashning juda kam. Yagona zichlik qonuni beqaror: 0 dan 1 gacha bo'lgan uchastkalarda ikkita bir xil zichlikning ikkita qonunchisining tarkibi, Simpson qonunini oldik.

Oddiy qonunning barqarorligi amalda keng tarqalgan sharoitlardan biridir. Biroq, ba'zi boshqa tarqatish qonunlari normaldan tashqari, barqarorlik mulki bor. Oddiy qonunning o'ziga xos xususiyati shundaki, tarkibiy qismlarning deyarli ko'p sonli miqdordagi ko'p miqdorda tarqatish to'g'risidagi qonunlar, komponentlarning taqsimot to'g'risidagi qonunlar mavjudligidan qat'iy nazar, qonuniy ravishda qonuniy ravishda o'zboshimchalik bilan hal qilinishi mumkin. Buning uchun, masalan, 0 dan 1 gacha bo'lgan joylarda uchta asosiy zichlikdagi uchta qonunchisining tarkibini tashkil etish orqali tasvirlash mumkin. 6.3.1. Chizmadan ko'rinib turibdiki, g (z funktsiyaning grafigi normal qonunning jadvalida juda eslatadi.

Qaror qabul qiluvchi ba'zi tasodifiy tadbirlarning noqulay moliyaviy ta'sirini kamaytirish uchun sug'urtadan foydalanishi mumkin.

Ammo bu qarash juda general, qaror qabul qiluvchilar asosida mulk, omonat yoki daromad va bir xil zararni himoya qilishni talab qiladigan shaxsning zarardan himoya qilishni istagan alohida shaxs sifatida nazarda tutilishi mumkin.

Aslida, bunday tashkilotning alohida mijozlari yoki uning sug'urta portfeli bilan sodir bo'lgan sug'urta da'volari tufayli o'zini moliyaviy yo'qotishlardan himoya qilish usullarini izlayotgan sug'urta kompaniyasi bo'lishi mumkin. Bunday himoya deyiladi qayta sug'urtalash.

Ikkita modellardan birini (ya'ni shaxsiy xatarlar modeliSug'urta kurslari va zaxiralarining ta'rifida, shuningdek qayta sug'urtalashda keng qo'llaniladi.

Tomonidan belgilangan S.sug'urta kompaniyasining tasodifiy yo'qotishlarining uning xatarlarining ma'lum bir qismi uchun. Ushbu holatda S.bu ehtimolki ehtimolliklarning tarqalishini aniqlashimiz kerak bo'lgan tasodifiy qiymat. Tarixan, tarqatish S.V. S.ikki postlatsiyalar to'plami bor edi. Shaxsiy xatarlarning modeli aniqlaydi S.quyida bayon qilinganidek:

qayerda S.V. Sug'urta ob'ekti tufayli etkazilgan zararni o'z raqami bilan tan oladi I, lekin n.sug'urta ob'ektlarining umumiy sonini bildiradi.

Odatda, ular mustaqil tasodifiy qiymatga ega deb taxmin qilinadi, chunki bu holda matematik hisoblashlar sodda va ular o'rtasidagi munosabatlarning mohiyati haqida talab qilinmaydi. Ikkinchi model - bu jamoaviy xavf modeli.

Ko'rsatilgan individual xatarlar modeli vaqt o'tishi bilan pulning o'zgarishi qiymatini aks ettirmaydi. Bu modelni soddalashtirish uchun amalga oshiriladi va shuning uchun maqolaning sarlavhasi qisqa vaqt oralig'ini anglatadi.

Biz faqat yopiq modellarni ko'rib chiqamiz, i.e. Sug'urta ob'ektlari soni N. Formulada (1.1), ko'rib chiqilayotgan vaqt oralig'ining boshida ma'lum va qayd etilgan. Agar biz sug'urta tizimidan migratsiya mavjudligi to'g'risida taxminlarni tanishtirsak, biz ochiq modelni olamiz.

Shaxsiy to'lovlarni tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchilar

Avval hayotni sug'urtalash bo'yicha asosiy qoidalarni eslaymiz.

Bir yil davomida o'lim holatida sug'urtani sug'urtalashda sug'urtalovchi summani to'laydi b.Agar sug'urta shartnomasi tuzilgan kundan boshlab yil davomida Sohilbo'yi yil davomida vafot etsa va sug'urtalanganlar bu yil yashasa.

Sug'urtalangan tadbirning belgilangan yil davomida paydo bo'lishi ehtimoli ko'rsatilgan.

Sug'urta to'lovlarini tavsiflovchi tasodifiy qiymat, ehtimol, ehtimollik funktsiyasi bilan o'rnatilishi mumkin bo'lgan taqsimot mavjud

(2.1)

tegishli tarqatish funktsiyasi

(2.2)

Formuladan (2.1) va biz olgan lahzaliklarni aniqlashdan

(2.4)

Ushbu formulalarni yozish orqali ham olish mumkin X.sifatida

o'lim holatida doimiy qiymat qayerda to'lanadi va o'limning paydo bo'lishi paytida 1 qiymatni 1 qiymatga ega bo'lgan tasodifiy qiymat va aks holda amalga oshiradigan tasodifiy qiymat.

Shunday qilib, va O'rtacha qiymat va dispersiyaning o'rtacha qiymati va S.V. teng va shunga ko'ra, o'rtacha qiymat va dispersiyani s.v. teng va yuqorida yozilgan formulalar bilan to'g'ri keladi.

Qiymatlar maydoni (0.1) bilan tasodifiy qiymat aktuar modellarda keng qo'llaniladi.

Ehtimollik nazariyasida darsliklarda u chaqiriladi ko'rsatkich, bernuelevskaya tasodifiy Qiymat yoki chiroyli tasodifiy o'zgaruvchi Yagona sinov sxemasida.

Biz uni chaqiramiz ko'rsatkichqisqartirilgan fikrlar uchun, shuningdek, tajovuzkor emas, balki tajovuzkor emas, balki tajovuzkor emasligini anglatadi.

Sug'urta to'lovlari miqdori, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan paytda tasodifiy qiymat va bir nechta sug'urta hodisalari ro'yobga chiqadigan qidiruv tizimiga murojaat qilaylik.

Kasallik, avtomobilni sug'urtalash va boshqa mulk turlari, shuningdek fuqarolik javobgarligini sug'urtalashda sug'urta har bir misollarni keltiradi. Formula (2.5) SAQLANG

ko'rib chiqilayotgan davrda, S.V. hisobvarag'idagi vaqt oralig'ida sug'urta to'lovlarini tavsiflovchi tasodifiy qiymat Ushbu interval va S.V-da to'lovlarning umumiy miqdorini ko'rsatadi. Bu kamida bitta sug'urta ishi sodir bo'lganidan iborat voqea uchun indikator.

Bunday tadbir ko'rsatkichi bo'lgan S.V. Mavjudlik mavjud () yoki yo'qligi () Bu vaqtda sug'urta holatlari interval, ammo sug'urtalangan holatlar soniga emas.

Ehtimollar deganda davom etadi.

Keling, bir nechta misollarni muhokama qilaylik va tasodifiy o'zgaruvchilarni va ba'zi modelda tarqatilishini aniqlaymiz.

Biz birinchi marta baxtsiz hodisa natijasida o'lim kelganda vafot etgan bo'lsa, biz birinchi yil davomida qo'shimcha to'lov bilan sug'urta ko'rib chiqamiz.

Agar baxtsiz hodisa natijasida o'lim bo'lsa, shubhasiz, to'lov miqdori 50000 ni tashkil qiladi. Boshqa sabablarga ko'ra, to'lov summasi 25000 ni tashkil qiladi.

Aytaylik, bu yoshning yuzi, sog'liq va kasbning holati uchun o'lim natijasida yil davomida baxtsiz hodisalar soni 0.0005 va boshqa sabablarga ko'ra o'lim ehtimoli 0,0020 ni tashkil qiladi. Formula quyidagicha ko'rinadi:

Barcha mumkin bo'lgan qadriyatlarda biz olamiz

,

Shartli taqsimlash. Ichida. Agar shunday bo'lsa

Endi biz to'qnashuvlardan avtomobillarni sug'urtalashni ko'rib chiqamiz (avtoulov egasi avtoulov egasi tomonidan etkazilgan zarar uchun to'langan) so'zsiz franchayzing 250 va 2000 yilning maksimal miqdoriga ega.

Aniqlik uchun aniqlik uchun, ma'lum bir sug'urta hodisasi ma'lum bir shaxs uchun ko'rib chiqilsa, 0,15, va bir nechta to'qnashuvlarning paydo bo'lishining ehtimoli nolga teng:

, .

Bir davrda bittagina sug'urta holatidan oshmasligi kerak bo'lgan haqiqiy bo'lmagan taxminlar S.V tarqatishni soddalashtirish uchun amalga oshiriladi. .

Ushbu taxminni biz bir nechta sug'urta hodisalari miqdorini taqsimlashni ko'rib chiqqandan keyin keyingi bo'limda biz boshlaymiz.

Bu sug'urtalovchining to'lovlari, chunki mashina tufayli etkazilgan zararni emas, balki ikkita xususiyatni ko'rib chiqishimiz mumkin.

Birinchidan, voqea natijasida zarar etkazilmagan franchayzdan kamroq, bu 250 ga teng bo'lmagan franchayzdan kamroq bo'lgan to'qnashuvlarni o'z ichiga oladi.

Ikkinchidan, S.V ni taqsimlash. 2000 yildagi sug'urta to'lovlarining maksimal miqdorida problandiyalik massasining "bir nechta" bo'ladi.

Aytaylik, bu taxminiy ommaviy massa 0,1. Keyinchalik, 0 dan 2000 gacha bo'lgan sug'urta to'lovlari miqdori mutanosib ravishda zichlikning zichligi bilan doimiy taqsimlanishi bilan taqsimlanishi mumkin (Amaliyotda sug'urta to'lovlarini tarqatish uchun tanlangan doimiy egri, avvalgi davrda to'lovlar miqdorini o'rganish natijasidir.)

S.V shartli ravishda taqsimlanishi to'g'risida ushbu taxminlarni sarhisob qilish. Agar taqdim etilgan bo'lsa, biz 0 dan 2000 gacha bo'lgan va 2000-bandda problandiyalik massasining ijobiy zichligiga ega bo'lgan aralash turni tarqatishiga keldik. Bu jadvalda jadvalda keltirilgan. 2.2.1.

Ushbu shartli taqsimotning taqsimlanishi quyidagicha ko'rinadi:

2.1-rasm. Tarqatish funktsiyasi S.V. B shart ostida i \u003d 1

Biz avtomobilni sug'urtalash bilan bir misolda, matematik kutish va tarqab olishni hisoblaymiz.

Birinchidan, biz S.V tarqatishni boshqa tomonga yo'naltiramiz. Va biz uni hisoblash va hisoblash uchun foydalanamiz. Tarqatish funktsiyasi yordamida S.V. , bor

Uchun x.<0

Bu aralash turni taqsimlash. Shaklda ko'rsatilganidek. 2.2, Ikkala diskret ("2000" nuqtai nazaridan probistik massaning ikkalasi ham, uzluksiz qismida. Ushbu tarqatish funktsiyasi ehtimollik funktsiyalarining kombinatsiyasiga mos keladi.

Anjir. 2.2. Tarqatish funktsiyasi S.V. X \u003d IB.

va zichlik funktsiyalari

Xususan va . shu sababli .

Kontental matematik taxminlar bilan tasodifiy o'zgaruvchilarni bog'laydigan bir qator formulalar mavjud. Matematik kutish va tarqatish uchun ushbu formulalar

(2.10)

(2.11)

Ushbu tengdoshlarning chap qismlarida ifodalar to'g'ridan-to'g'ri S.V tarmog'i bilan hisoblangani tushuniladi. . To'g'ri qismlarda ifodalarni hisoblashda, ya'ni S.V ning shartli taqsimlanishi. S.V ning belgilangan qiymatlari bilan. .

Shunday qilib, bu iboralar S.V funktsiyalari mavjud. va biz ularning lahzalarini S.V tarqatish orqali hisoblashimiz mumkin. .

Shartli taqsimot ko'plab aktuar modellarda qo'llaniladi va bu sizga yuqoridagi formulalarni to'g'ridan-to'g'ri ishlatishga imkon beradi. Bizning modelimizda. S.V-ni ko'rib chiqish. AS va S.V. Sifat jihatidan, oling

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

va shartli matematik taxminlarni ko'rib chiqing

(2.16)

(2.17)

Formulalar (2.16) va (2.17) S.V funktsiyasi sifatida belgilanadi. Quyidagi formula shaklida nima yozilishi mumkin:

O'shandan beri (2.21)

Bizda (2.22)

Formulalar (2.21) va (2.22) birlashtirilishi mumkin: (2.23)

Shunday qilib, (2.24)

(2.201), (2.20) va (2.12) va (2.13) da (2.13) almashtirish

Olingan formulalarni hisoblash uchun va avtomobildan sug'urtalash misolida (2.2-rasm) qo'llang. Zichlikning zichligi funktsiyasidan beri. Shart ostida formulasi bilan ifodalanadi

bundan tashqari P (b \u003d 2000 | i \u003d 1)\u003d 0,1, bizda bor

Va nihoyat, ishondi Savol: \u003d 0.15, formulasdan (2.25) va (2.26) biz quyidagi tengdoshlarni olamiz:

Boshqa sug'urta holatini tavsiflash uchun boshqa modellarni S.V uchun taklif qilish mumkin. .

Masalan: aviatsiya falokat natijasida o'lim soni uchun model

Bunga misol sifatida aviakompaniyaning bir yillik faoliyati davomida aviatsiya falokati natijasida yuz bergan o'limlar soni bo'yicha modelni ko'rib chiqing.

Biz bitta parvoz uchun o'lim sonini tasvirlaydigan tasodifiy o'zgaruvchi bilan boshlashimiz mumkin, so'ngra yiliga barcha parvozlar uchun tasodifiy o'zgaruvchini yig'ib olishimiz mumkin.

Bitta parvoz tadbirlari uchun samolyot halokatining boshlanishini belgilaydi. Ushbu falokatni keltirib chiqargan o'lim soni ikki tasodifiy o'zgaruvchining mahsuloti va u samolyot halokati davrida va o'limning ulushi bo'lgan shaxslar soni va o'lim ulushi Kengashda bo'lganlar.

O'lim soni aynan shu tarzda, qadriyatlar uchun alohida statistikaga ega bo'lib, S.V uchun statistik statistikasidan ko'proq arzonroq bo'ladi. . Shunday qilib, Kengashda bo'lganlar orasida halokatli natijalarning ulushi, ehtimol, birinchi taxmin sifatida bir-birlari bilan bog'liq bo'lishi mumkin, bu birinchi yaqinlashish, bu S.V. deb taxmin qilish mumkin. Va mustaqil.

Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar miqdori

Shaxsiy xatarlar modelida sug'urta kompaniyasining sug'urta to'lovlari ko'plab jismoniy shaxslarga to'lovlar miqdori sifatida taqdim etiladi.

Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar miqdorini taqsimlashni aniqlashning ikki usulini eslang. Avval tasodifiy o'zgaruvchilarning yig'indisini, uning podshohi anjirda ko'rsatilgan tanlangan makonni ko'rib chiqaylik. 3.1.

Anjir. 2.3.1. Voqea

To'g'ridan-to'g'ri va bu to'g'ridan-to'g'ri voqea. Shuning uchun S.V tarqatish funktsiyasi. S. Uning shaklida (3.1)

Ikki diskret bo'lmagan haqiqiy bo'lmagan o'zgaruvchilar uchun biz to'liq ehtimollik formulasini ishlatishimiz mumkin (3.1)

Agar a X. va Y. Mustaqil, oxirgi miqdorni qayta yozish mumkin

(3.3)

Ushbu tarqatish funktsiyasiga mos keladigan xususiyatni formulalar bilan topish mumkin

(3.4)

Formulalar (3.2), (3.3), (3.4) ga mos keladigan doimiy bo'lmagan tasodifiy bo'lmagan tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchilar uchun

Har doim yolg'iz yoki ikkalasi ham tasodifiy o'zgaruvchilar X. va Y. Aralashtirilgan turdagi taqsimot (individual xavflarning modellari uchun xos bo'lgan), formulalar o'xshash, ammo noqulay. Tasodifiy o'zgaruvchilar uchun barcha qiymatlar bo'yicha barcha qiymatlar bo'yicha eng salbiy qiymatlar, summalar va integrallar qabul qilinishi mumkin.

Ehtimollar nazariyasi, formulalar (3.3) va (3.6) operatsiya ikki tarqatish funktsiyasining qurilishi deb ataladi. Konqilob operatsiyasi, shuningdek, formulas (3.4) va (3.7) bilan bir juft ehtimollik funktsiyalari yoki zichlik funktsiyalari uchun belgilanishi mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchilar miqdorini aniqlash uchun, biz hamdardlikni qabul qilishda qo'llanmalardan foydalanishimiz mumkin. Uchun , ular mustaqil tasodifiy qiymatlar bo'lgan joyda, S.V tarqatish funktsiyasini bildiradi va S.V. ning funktsiyasi. , biz olamiz

3.1 Masalan, uchta idrok tasodifiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun ushbu protsedura ko'rsatilgan.

3.1-misol. Tasodifiy o'zgaruvchilar va mustaqil va ustunlar bo'yicha (1), (2) va (3) tomonidan belgilanadigan tarqatish.

Biz ehtimollik funktsiyasini va tarqatish funktsiyasini s.v.

Qaror. Jadvaldan iborat bo'lgan belgilar quyidagilardan foydalanadi:

Ustunlarda (1) - (3) mavjud ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.

Ustun (4) ustunlardan (1) va (2) dan foydalangan holda olinadi (3.4).

Ustun (5) ustunlar (3) va (4) dan foydalanish (3.4) dan olinadi.

Ustun ta'rifi (5) S.V uchun ehtimollik funktsiyalarini topishni tugatadi. . U ustunda tarqatish funktsiyasi (8) yuqoridan boshlab qisman ustun sarm (5) to'plamidir.

Aniqlik uchun biz ustun (1) ustun (1), ustun (1) va (6) va (2,3.3) va ustunni o'z ichiga oldik. ) shunga o'xshash tarzda, ustunlarda (3) va (7). Ustun (5) ustundan (8) ketma-ket sarskrinda aniqlanishi mumkin.

Keling, ikkita misolni doimiy tasodifiy qiymatlar bilan ko'rib chiqamiz.

Masalan 3.2. S.V. Bu bir tekis taqsimotga ega (0,2) va s.v. S.V ga bog'liq emas. va intervalda yagona tarqalishiga ega (0,3). Tarqatish funktsiyasi S.V. ni aniqlang.

Qaror. S.V tarqatish uchun. Va doimiy ravishda biz formulani ishlatamiz (3.6):

Keyin

Tanlangan kosmik s.v. va tasvirlangan rasm. 3.2. To'rtburchaklar zonada barcha mumkin bo'lgan juftliklar va. Siz qiziqadigan voqea ,, besh qiymat uchun tasvirlangan s..

Har bir qiymat uchun to'g'ri chiziq o'qni kesib o'tadi Y. Nuqtada S. Va to'g'ri nuqtada. Ushbu beshta ish uchun funktsiyalarning qiymatlari quyidagi formulasi bilan tavsiflanadi:

Anjir. 3.2. Ikkita yagona nuqta tarqalishini kesish

Masalan 3.3. Uchta mustaqil S.Vni ko'rib chiqing. . S.V uchun. Bu ko'rsatkichli taqsimotga ega va. Zichlik funktsiyasini S.V. , imzolash operatsiyasini qo'llash.

Qaror. Bor

Uch marta formuladan foydalanish (3.7), biz olamiz

Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar miqdorini taqsimlashni aniqlashning yana bir usuli, S.V uchun bu lahzalarning paydo bo'lish funktsiyasining o'ziga xosligiga asoslanadi. nisbati tomonidan belgilanadi .

Agar bu hamma uchun albatta matematik kutayotgan bo'lsa T. Koordinatlarning kelib chiqishi bo'lgan ba'zi ochiq intervaldan, bu S.V. tarqatishning yagona usuli Ma'noda boshqa funktsiyalar mavjud emas, chunki bu S.V tarqatish funktsiyasini ishlab chiqarishi mumkin. .

Ushbu noyoblik quyidagicha ishlatilishi mumkin: miqdor uchun

Agar mustaqil bo'lsa, formulada (3.8) ishning matematik kutilishi teng ..., shunday qilib

Faqatgina lahzalarning yaratilgan funktsiyalariga mos keladigan yagona tarqatish uchun aniq ifodani topish, u S.V tarqatish asosini to'ldirdi. . Agar uni aniq belgilashning iloji bo'lmasa, uni raqamli usullar bilan qidirish mumkin.

3.4-misol.. 3.3-misoldan tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rib chiqing. Zichlik funktsiyasini aniqlash. lahzalardagi ishlab chiqarish funktsiyasidan foydalanish. .

Qaror. Tenglik bo'yicha (3.9), Shaklda nima yozilishi mumkin Eng oddiy fraktsiyada parchalanish usuli bilan. Qaror bu . Ammo bu parametr bilan taqsimlashning amaldagi funktsiyasi, shuning uchun zichlik funktsiyasi. Tashqi ko'rinishi

Masalan 3.5.. Tasodifiy jarayonlar o'rganishda, Gaussiyaning tebranishi kiritildi. U S.V tarqatish kabi ishlatiladi. Ichida, Sug'urta to'lovlari. Zichlikning zichligi va teskari taqsimot lahzalarining ishlashi formulalar tomonidan o'rnatiladi

S.V ning taqsimotini toping. qayerda S.V. Mustaqil va Gaussian dumbriumlariga ega.

Qaror. Formula (3.9) dan foydalanish, biz S.V ning ishlab chiqarish funktsiyasi uchun quyidagi iborani olamiz. :

Lomentlarning ishlab chiqaruvchi funktsiyalari yagona tarqatish holatiga mos keladi va siz Gaussiya parametrlari va parametrlar bilan taqsimotiga ega ekanligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin.

Miqdorni taqsimlash uchun yaqinlashish

Markaziy chegaraning nazariyoti mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar miqdorini taqsimlash uchun raqamli qiymatlarni topish usulini beradi. Odatda, ushbu teorema mustaqil va teng taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun shakllanadi, bu erda .

Har qanday n tarqatish uchun S.V. qayerda \u003d. matematik kutish 0 va dispanser 1. Ma'lumki, bunday taqsimotning ketma-ketligi (qachon) n.\u003d 1, 2, ...) normal taqsimotga moyil. Qachon N. Veliko Ushbu teoreem S.V tarqatishni olib kelish uchun ishlatiladi. Oddiy taqsimlash μ va tarqalish. Shunga o'xshab, miqdori taqsimlash n. O'rta va tarqalish bilan normal taqsimotga yaqinlashgan tasodifiy o'zgaruvchilar.

Bunday yaqinlashishning samaradorligi nafaqat tarkibiy qismlar soniga, balki tarkibiy qismlarni normal holatga solishtirishning yaqinligidan ham bog'liq. Statistikadagi ko'plab boshlang'ich kurslarda, ma'noga muvofiq bo'lishi uchun n kamida 30 bo'lishi kerak.

Biroq, taqlid qilish uchun ishlatiladigan odatda tarqatilgan tasodifiy o'zgaruvchilarni ishlab chiqaradigan dasturlardan biri tasodifiy o'zgaruvchilarning (0,1) birlashtirilgan 12 ta o'rta shaklda normal tasodifiy qiymatni keltirib chiqaradi.

Shaxsiy xavflarning ko'plab modellarida, summaga kiritilgan tasodifiy o'zgaruvchilar teng darajada taqsimlanmagan. Bu keyingi bo'limdagi misollar bilan tasvirlanadi.

Markaziy chegaraning teoremasi, shuningdek, tengsiz taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligiga yo'naltirilgan.

Shaxsiy xatarlarning ba'zi qo'llanmalarini misol qilish uchun biz raqamli echimlarni olish uchun mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar miqdorini normallashtirishdan foydalanamiz. Agar a T.

va bundan tashqari, agar S.V bo'lsa. Mustaqil, T.

Talab etilayotgan ariza uchun bizda kerak:

• individual yo'qotishlarni taqlid qiladigan tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha va dispersiyasini toping,
• sug'urta kompaniyasining yo'qolishini umuman yo'q qilish uchun ularni umumlashtirish
• normal yaqinlashuvdan foydalaning.

Quyida biz bunday harakatlar ketma-ketligini ko'rsatamiz.

Sug'urtalash bo'yicha qo'shimchalar

Ushbu bo'limda to'rtta misol normal yaqinlashuvdan foydalanishni ko'rsatadi.

5.1-misol. Hayotni sug'urtalash kompaniyasi o'limning sug'urta shartnomasini bir yil muddatga, o'limning ehtimolligi 0,02 yoki 0,01 o'lchamdagi to'lovlar bilan amalga oshiradi. Quyidagi jadvalda odamlar soni ko'rsatilgan. Nk. To'lovga muvofiq tashkil etilgan to'rtta sinfning har birida b K. va sug'urta hodisasi ehtimoli q:

Sug'urta kompaniyasi ushbu guruhdan 1800 kishidan 95-chi shaxsdan yig'ishni xohlaydi, bu guruh uchun sug'urta to'lovlarining umumiy miqdorini 95 foiz miqdorida taqsimlash. Bundan tashqari, u ushbu miqdordagi har bir kishining ulushini istaydi, bu shaxs uchun sug'urta to'lovining kutilayotgan miqdoriga mutanosibdir.

Raqamga ega bo'lgan shaxsning ulushi o'rtacha to'lovi teng bo'lishi kerak. 95-foiz talabidan kelib chiqadi. O'lchashning kattaligi xavflardan nafaqa, va nisbiy xavfga qo'shimcha to'lov deb ataladi. Hisoblash.

Qaror. Qiymati nisbati bilan belgilanadi \u003d 0.95, qayerda S \u003d x 1 + x 2 + ... + x 1800.Ehtimollar haqidagi ushbu bayonot quyidagilarga tengdir:

Bo'limda markaziy cheklangan nazariyani aytib o'tilgan narsalarga muvofiq. 4, biz S.V ning tarqalishini taxmin qilamiz. Oddiy tarqatish standartlari va uning 95-foizidan foydalanib, quyidagi manzildan foydalanamiz:

Sug'urtalovchilar buzilgan to'rtta sinf uchun biz quyidagi natijalarni olamiz:

Shunday qilib,

Shuning uchun nisbiy xavfga qo'shimcha to'lov teng

5.2 misol. Avtomobillarni sug'urtalash bilan shug'ullanadigan kompaniya mijozlari ikki sinfda taqsimlanadi:

Kesilgan indikatsion taqsimot tarqatish funktsiyasi bilan belgilanadi

Bu zichlik funktsiyasi bilan aralash turni taqsimlash va "shtamp" ning "peshtaxt" L.. Ushbu tarqatish funktsiyasining grafigi 15.1-rasmda ko'rsatilgan.

Anjir. 5.1. Ko'rsatilgan indikativ taqsimot

Avvalgidek, sug'urta to'lovlarining umumiy miqdori siyosat xodimi tomonidan yig'ilgan miqdordan oshib ketadigan narsa 0,05 ga teng bo'lishi kerak. Qarindoshlik xavfi ortiqcha to'lovi savdoda har bir sinfda bir xil bo'lishi kerak deb taxmin qilamiz. Hisoblash.

Qaror. Bu misol avvalgisiga juda o'xshash. Faqatgina farq shundaki, sug'urta to'lovlari miqdori endi tasodifiy qiymatlardir.

Birinchidan, biz kesilgan indikatsion taqsimot lahzalarida ifoda olamiz. Bu formulalar (2.25) va (2.26) dan foydalanish uchun tayyorgarlik qadamidir.

Formulas (2.25) va (2.26) va (2.26) bo'lgan parametrlar ma'lumotlarining qiymatlaridan foydalanib, biz quyidagi natijalarni olamiz:

Shunday qilib, S.Sug'urta to'lovlarining umumiy hajmi, lahzalar mavjud

5.1-misolda, ya'ni, ya'ni

Normal taqsimot bilan yaqinlashishdan foydalanib, biz olamiz

5.3 misol. Sug'urta kompaniyasining portfeli quyidagi jadvalga binoan bir yilning 16000 kishining o'lim shartnomasiga kiradi:

16000 mijozning har biri uchun Sug'urta hodisasi q hodisaasining paydo bo'lishi ehtimoli 0,02 ga teng. Kompaniya o'zining saqlanib qolish darajasini belgilamoqchi. Har bir siyosatchi uchun o'z-o'zidan ushlab turish darajasi ushbu kompaniya (Cedentti kompaniyasi) mustaqil ravishda amalga oshiriladigan to'lov miqdori va to'lovlar boshqa kompaniya (qayta sug'urtalovchi) tomonidan qayta sug'urta shartnomasi bo'yicha qoplanadi.

Masalan, agar o'z qo'liq darajasi 200 000 bo'lsa, unda har bir polov egasi uchun 20 000 tagacha, sug'urta to'lovi va har birining har birining har biri uchun o'zgarishni sotib oladi to'lovlar 20000 yildan ustundir.

Qaror qabul qilish mezoni sifatida, sug'urta to'lovlari o'z chegirmalarida to'lanadigan to'lovlar 8250,000 miqdoridan oshadi. Qayta sug'urtalash hajmi uchun 0,025 ga teng (ya'ni 125%) Har birlik uchun sug'urta to'lovlari kattaligi 0,02).

Savol berayotgan portfel yopiq deb hisoblaymiz: joriy yilda tuzilgan yangi sug'urta shartnomalari ko'rsatilgan qarorlarni qabul qilish jarayonida hisobga olinmaydi.

Qisman echim. Men birinchi marta to'lovni tanlab, avval barcha hisob-kitoblarni sarflayman. Ushbu rasm sifatida biz buni taxmin qilamiz. Ichida. S. Bu o'z-o'zidan saqlanib qolgan to'lovlar miqdori quyidagi shaklga ega:

Ushbu sug'urta to'lovlari uchun o'z chegirmalariga S.Qayta sug'urta mukofotlari miqdori qo'shildi. Jami, bunday sxema bo'yicha qoplashning umumiy miqdori

O'zining chegirmasidan qolgan miqdor tengdir

Shunday qilib, qayta sug'urtalangan qiymati 35,000-24,000 \u003d 11 000 \u003d qayta sug'urta narxi

Bu shuni anglatadiki, 2 taga teng bo'lgan mablag'lar darajasida, o'z chegirmalarida qolgan sug'urta to'lovlari va qayta sug'urta xarajatlari. Qaror qabul qilish mezoni bu jami 825 dan oshib ketadigan bo'lishi ehtimolga asoslanadi,

Oddiy tarqatish vositasi yordamida biz ushbu qiymat taxminan 0,0062 ga teng ekanligini bilib olamiz.

Umumbarranish turlaridan biri sifatida qayta sug'urtalash turlaridan biri sifatida sug'urta to'lovini sug'urtalashning o'rtacha ko'rsatkichlari umumiy sug'urta to'lovlarining normal taqsimotidan foydalanishga yaqinlashishi mumkin.

Umumiy sug'urta to'lovlari x O'rta va tarqalishi bilan normal taqsimlanishiga ega bo'lsin

5.4 misol. 5.3-misolda bo'lgani kabi sug'urta portfelini ko'rib chiqing. Agar ortiqcha zarar etkazish uchun sug'urta shartnomasida sug'urta to'lovlari miqdorini matematik kutamiz, agar

(a) individual qayta sug'urtalash yo'q va shartsiz franchise 7500,000 ga belgilangan

(b) individual sug'urta shartnomalari bo'yicha 2000 yildagi o'z-o'zidan ushlab turish aniqlangan va portfelda so'zsiz franchayzning kattaligi 5,300 000.

Qaror.

(a) individual qayta sug'urtalash va 10 000 ga o'tish joyi bo'lmaganda

formuladan foydalanish (5.2) beradi

bu manba bo'linmalarida 43 770 miqdorida.

(b) 5.3--misolda biz 20000 yilga individual ravishda o'z saqlanib qolganligi bo'yicha sug'urta to'lovlarining umumiy miqdorini o'rtacha 480 va 784 ga tenglashtirdik. Shunday qilib, \u003d 28.

formuladan foydalanish (5.2) beradi

manba bo'linmasida 4140 miqdori qancha.

Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchilarni tarqatish qonunini topish kerak.

Tizim bo'lsin (X b x 2) Ikki doimiy s. Ichida. Va ularning summasi

Tarqatish zichligini toping. Ichida. W. Oldingi paragrafning umumiy echimi bo'yicha biz samolyotning maydonini topamiz x + x 2 (9.4.1-rasm):

Ushbu iborani y-da farqlash, biz p. R. Tasodifiy o'zgaruvchi Y \u003d x + x 2:

F funktsiyasidan beri (x x x 2) \u003d XJ + x 2 - bu uning dalillari haqida nosimmetrikdir,

Agar bilan bo'lsa. Ichida. H. va H. 2 Tekshirildi, keyin formulalar (9.4.2) va (9.4.3) ko'rib chiqiladi:

Mustaqil bo'lsa, holatda. Ichida. X. va X 2 Ular tarqatish qonunlarining tarkibi haqida gapirishadi. Mahsulot kompozitsiya Ikki tarqatish to'g'risidagi ikkita qonun - bu ikki mustaqil summani taqsimlash qonunini topishni anglatadi. v., ushbu qonunlarga muvofiq taqsimlangan. Taqsimlash to'g'risidagi qonunlarni belgilash uchun ramziy yozuv qo'llaniladi

bu formulalarni (9.4.4) yoki (9.4.5) ga tegishli.

1. Misol 1. Ikki texnik qurilmaning ishi (Tu) hisoblanadi. Birinchidan, Tuvas ishdan chiqqanidan keyin ishlaydi (muvaffaqiyatsiz) Tu 2 faoliyatiga kiritilgan. Balu 2 - X. va H. 2 - a, 1 parametrlari bo'lgan ko'rsatkichlar nuqtai nazaridan mustaqil va taqsimlangan X 2. Shuning uchun vaqt Y. Bu haqda aqlli ish! va bu 2 formula bilan belgilanadi

P. R.-ni topishni talab qiladi Tasodifiy o'zgaruvchi Y, I.E. Parametrlar bilan ikkita namoyish qonunchiligining tarkibi va X 2.

Qaror. Formulaga ko'ra (9.4.4) Biz olamiz (0 da)

Agar bir xil parametrlar bilan ikkita namoyish qonunlari tarkibi bo'lsa (? C \u003d H. 2 \u003d Y), keyin ifodada (9.4.8), u 0/0 tipidagi noaniqlik deb aylanadi, shunda biz quyidagilarni bilib olamiz:

Ushbu ifodani ifoda (6.4.8) bilan taqqoslaganda, ikkita aniqlikdagi indeksning tarkibi (? C \u003d) H. 2 = X)bu Erlangning ikkinchi buyrug'i (9.4.9) qonunidir. Turli xil parametrlar bilan ikkita namoyish qonunlari tarkibi bilan X. va A-2 olish umumiy qonun Erlandning ikkinchi tartibi (9.4.8). ?

Vazifa 1. Ikki s o'rtasidagi farqni taqsimlash to'g'risidagi qonun. Ichida. Tizim bilan. Ichida. (X va x 2) Uning qo'shma p. / (X x 2). P. R. Ularning farqi Y \u003d x. - X 2.

Qaror. Bilan tizim uchun. Ichida. (X b - x 2) va boshqalar. bo'ladi / (x b - x 2) i.e., Biz farqni almashtirdik. Binobarin, p. R. Tasodifiy o'zgaruvchi yo'qoladi ((9.4.2) (9.4.3)):

Agar a dan. Ichida. X Xi 2 Mustaqil, T.

Masalan 2. P. R. Mustaqil ravishda tarqatilgan ikkita farq. Ichida. Parametrlar bilan X. va X 2.

Qaror. Formula bo'yicha (9.4.11) biz olamiz

Anjir. 9.4.2 Anjir. 9.4.3

9.4.2-rasmda p. R. g. (y). Agar mustaqil tarqatilgan ikki tomon o'rtasidagi farq bo'lsa. Ichida. bir xil parametrlar bilan (A-i i= H. 2 = Ammo,),bu g. (y) \u003d / 2 - allaqachon tanish

laplace qonuni (9.4.3-rasm). ?

Masalan 3. Ikki mustaqil summani taqsimlash qonunini toping. Ichida. H. va X 2 parametrlar bilan Poisson qonuni bilan taqsimlanadi a h. va a 2.

Qaror. Tadbir ehtimolini toping (X. + H. 2 = t) (t \u003d t \u003d 0, 1,

Binobarin, bilan. Ichida. Y \u003d x x + H. 2 Poisson qonuni bilan parametr bilan taqsimlanadi va x2) - va x + a 2. ?

4-misol. Ikki mustaqil summani taqsimlash miqdorini toping. Ichida. X. va X 2 parametrlar bilan ifodalangan ichki qonunlar bilan taqsimlanadi p X r 2, r mos ravishda.

Qaror. Tasavvur qiling. Ichida. X. sifatida:

qayerda X 1) - Tadbir ko'rsatkichlari Lekin Wu "-M tajribasi:

Taqsimlash satriga. Ichida. X, - turi bor

Biz xuddi shunday vakillik qilamiz. Ichida. X 2:bu erda x] 2) - voqea ko'rsatkichi Lekin "Tajriba:

Shunday qilib,

u erda x? 1) + (2) Agar voqea indikator bo'lsa Ammo:

Shunday qilib, biz buni ko'rsatdik. Ichida. Summani oling (Sh + p 2) Tadbir ko'rsatkichlari LekinU bilan bu erda. Ichida. ^ parametrlar bilan ifodalangan qonun bilan taqsimlanadi ( p. + p 2), r.

Agar ehtimoliy ehtimolliklar bo'lsa r Turli eksperimentlar turlicha, keyin ikkita mustaqil qo'shilishi natijasida farq qiladi. v. Binom qonunlariga taqsimlangan, ular bilan ishlaydi. v., shuningdek, ichki qonun bilan taqsimlanmagan. ?

3 va 4 misollari o'zboshimchalik bilan osongina umumlashtiriladi. Parametrlar bilan Poisson qonunlarining tarkibi bilan kommerty 2, ..., t. yana poisson qonuni parametr bilan a (t) \u003d a x + va 2 + ... + da.

Parametrlar bilan ichki qonunlarning tarkibi bilan (n b)); (I 2, r) , (nt, r) Bu yana parametrlar bilan ifodalangan qonun chiqaradi ("("), R), Qayerda p (t) \u003d sh + n 2 + ... + prt

Biz Poisson va binom qonunchiligi qonunining muhim xususiyatlarini isbotladik: "Barqarorlikning mulki". Tarqatish to'g'risidagi qonunga beriladi barqaror Agar bir xil turdagi ikkita qonunning tarkibi bo'lsa, bir xil turdagi qonun olinadi (faqat ushbu qonun parametrlari farq qiladi). 9,7 kichik bo'limda normal qonun barqarorlik xususiyatiga ega ekanligini ko'rsatamiz.

Biz bitta muammoni hal qilish uchun yuqoridagi umumiy usuldan foydalanamiz, ya'ni ikkita tasodifiy o'zgaruvchi summasini taqsimlash qonunini topish. F (x, y) distensiv zichligi bilan ikkita tasodifiy o'zgaruvchi (x, y) tizimi mavjud. X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar summasini ko'rib chiqing: Buning uchun Z. qiymatini taqsimlashning qiymatini topamiz, biz Xou liniyasi darajasida (7-rasm) qurilmay turibdi. Bu to'g'ri segmentlar o'qlarini Z ga teng ravishda kesib tashlaydigan to'g'ri chiziq. To'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri ikki qismga ajratadi; o'ng va undan yuqori; Chap va pastki.

Ushbu holatda D mintaqasi Xou samolyotining chap pastki qismi, soyada soyali. 7. Formulaga ko'ra (16) bizda:

Ichki integralning yuqori chegarasiga kiritilgan o'zgaruvchisidagi ushbu iborani farqlash, biz quyidagilarni olamiz:

Bu ikkita tasodifiy o'zgaruvchi summasining taqsimlash zichligi uchun umumiy formula.

Simmetriya masalalari uchun vazifa X va Y ga nisbatan, siz bir xil formulaning boshqa variantini yozishingiz mumkin:

birinchisiga teng va buning o'rniga qo'llanilishi mumkin.

Oddiy qonunlarning tarkibiga misol. Oddiy qonunlarga bo'ysunadigan ikkita mustaqil tasodifiy tasodifiy tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rib chiqing:

Ushbu qonunlarning tarkibini, I.E., qiymatni taqsimlash qonunini topishi shart:.

Tarqatish to'g'risidagi qonunlarning tarkibi uchun umumiy formuni qo'llaning:

Agar siz integratsiyalashgan funktsiya darajasining ko'rsatkichida qavslarni oshkor qilsangiz va shunga o'xshash a'zolarni olib kelsak, biz quyidagilarni olamiz:

Bu iboralarni allaqachon sodir bo'lgan formulaga almashtirish

transformatsiyadan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

va bu normal qonundan boshqa narsa emas

va rms og'ish

Bundan tashqari, quyidagi sifatli mulohazalarda xulosa ancha oson bo'lishi mumkin.

Qavs ochmasdan va Intentvanddlik funktsiyasida o'zgarishlar chiqarmaydi (17), biz darhol x ts ga nisbatan uchta qaror ekanligi haqida darhol xulosa qilamiz

koeffitsientda va Zleksiyada birinchi darajali koeffitsiyaning va maydondagi koeffitsientga kirmaydi. Formula (18) ni yodda tutish va ariza berish, biz g (z) indikatsion funktsiya, uning darajasi, zbekistonga nisbatan pasayish va tarqatish zichligidir. Ushbu tur normal qonunlarga to'g'ri keladi. Shunday qilib, biz; Biz sof sifatli xulosaga kelamiz: Z-ning ruxsatlari normaldir. Ushbu Qonun parametrlarini topish - va - biz teoremdan matematik umidlar qo'shilishi va tarqalish qo'shilishi uchun foydalanamiz. Matematik umidlarning shakllanishini shakllantirish orqali. Teorema yoki u formulasiga (20) kuzatib borishi qo'shilishi bilan.

Standart og'ishlardan ularga mutanosib ravishda og'ishlarga qarshi chiqish, biz olamiz:.

Shunday qilib, keyingi qoidaga keldik: normal qonunlarning tarkibi bilan normal qonun yana olinadi va matematik taxminlar va dispersiya (yoki ehtimoliy og'ishlar) yig'iladi.

Oddiy qonunlarning tarkibi qoidasi mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lgan taqdirda umuman umumlashtirilgan bo'lishi mumkin.

Agar N mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsa: dispersiyali markazlar va rms og'ishlari bilan normal qonunlarga bo'ysunadi, so'ngra Oddiy qonun parametrlari bilan normal qonunga bo'ysunadi

Formula (22) o'rniga u formulani unga qo'llash mumkin:

Agar tasodifiy o'zgaruvchilar (x, y) normal qonunga muvofiq taqsimlansa, ammo X, Y ga bog'liq bo'lgan qiymatlar umumiy formulaga asoslanib, avvalgidek, avvalgidek isbotlash qiyin emas (6.3. 1) Qiymatni taqsimlash qonuni normal qonundir. Dismaviy markazlar hali ham algebraik jihatdan, ammo standart og'ishlar uchun qoida yanada murakkablashadi: - R bu x va y korrelyatsiya koeffitsienti hisoblanadi.

Oddiy qonunga tegishli bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilarni qo'shishda, shuningdek, taqsimot to'g'risidagi qonun parametrlar bilan normal bo'lishga aylanadi

yoki ehtimoliy og'ishlarda

x i, x j va Sumbufning korrelyatsion koeffitsienti qayerda kattalikdagi bir xil birikmalarga tegishli.

Oddiy qonunning juda muhim xususiyatiga amin bo'ldik: normal qonunlarning tarkibi bilan normal qonun yana olinadi. Bu "barqarorlikning mulki" deb ataladi. Tarqatish qonuni barqaror deb nomlanadi, agar ushbu turdagi ikkita qonunning tarkibi bilan yana olingan bo'lsa. Yuqorida, normal qonun barqarorligini ko'rsatdik. Barqarorlikning mol-mulki taqsimlashning juda kam. Yagona zichlik qonuni beqaror: 0 dan 1 gacha bo'lgan uchastkalarda ikkita bir xil zichlikning ikkita qonunchisining tarkibi, Simpson qonunini oldik.

Oddiy qonunning barqarorligi amalda keng tarqalgan sharoitlardan biridir. Biroq, ba'zi boshqa tarqatish qonunlari normaldan tashqari, barqarorlik mulki bor. Oddiy qonunning o'ziga xos xususiyati shundaki, tarkibiy qismlarning deyarli ko'p sonli miqdordagi ko'p miqdorda tarqatish to'g'risidagi qonunlar, komponentlarning taqsimot to'g'risidagi qonunlar mavjudligidan qat'iy nazar, qonuniy ravishda qonuniy ravishda o'zboshimchalik bilan hal qilinishi mumkin. Buning uchun, masalan, 0 dan 1 gacha bo'lgan joylarda uchta asosiy zichlikdagi uchta qonunchisining tarkibini tashkil etish orqali tasvirlash mumkin. 8. Chiziqdan ko'rinib turibdiki, g (z) funktsiyasining grafigi normal qonunning jadvalini juda eslaydi.