Funkcijski grafikoni i njihove svojstva Tabela. Funkcionalna grafička studija

13.08.2020

Glavne elementarne funkcije svojstvene u svojstva i odgovarajući grafikoni su jedan od AZOV-a. matematičko znanjeslično stupnju važnosti s tablicom množenja. Elementarne funkcije su osnova zasnovana za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Donji članak daje ključni materijal na temu osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, neka definicije; Dopustite da studiramo detaljno svaku vrstu elementarnih funkcija, analizirat ćemo njihova svojstva.

Sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija se razlikuju:

Definicija 1.

konstantna funkcija (konstanta);
korijenski n-stepen;
funkcija napajanja;
eksponencijalna funkcija;
logaritamska funkcija;
trigonometrijske funkcije;
brat trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija određuje formulu: y \u003d c (C je određeni broj), a također ima ime: konstantno. Ova funkcija određuje prepisku bilo kojoj validnoj vrijednosti neovisne varijable x iste varijable y vrijednost c.

Raspored konstante je ravno, koji je paralelno sa osi apscisom i prolazi kroz točku koja ima koordinate (0, C). Za jasnoću dajemo grafike trajnih funkcija y \u003d 5, y \u003d - 2, y \u003d 3, y \u003d 3 (u crtežu označenom crnim, crvenim i plavim bojama).

Definicija 2.

Ova osnovna funkcija određuje se formulom y \u003d x n (n - prirodni broj više jedinica).

Razmotrite dvije varijacije funkcije.

Root n -y stupanj, n - čak i broj

Za jasnoću, istaknite crtež koji prikazuje grafikone takvih funkcija: y \u003d x, y \u003d x 4 i y \u003d x 8. Ove su funkcije označene bojom: crna, crvena i plava, respektivno.

Slični pogled na funkcije ravnomjerne funkcije u različitim vrijednostima pokazatelja.

Definicija 3.

Svojstva Function Root n-esh, n - čak i broj

područje definicije je skup svih negativnih važećih brojeva [0, + ∞);
kada je x \u003d 0, funkcija y \u003d x n ima vrijednost jednaku nuli;
ovo funkcija funkcije opći oblik (ne ili čak čudan);
površina vrijednosti: [0, + ∞);
ova funkcija y \u003d x n u čak i indikatorima korijena povećava se kroz područje definicije;
funkcija ima konveksičnost prema gore na području cjelokupne definicije;
nema bodova za inflekciju;
asimptoti su odsutni;
grafikon funkcije u čak n prolazi kroz točke (0; 0) i (1; 1).

Root n -i stepen, n je neparan broj

Ova je funkcija definirana na cijelom skupu važećih brojeva. Za jasnoću, razmislite o grafovima funkcija y \u003d x 3, y \u003d x 5 i x 9. Na crtežu su označene cvijećem: crne, crvene i plave boje krivulja, respektivno.

Ostale neobične vrijednosti korijenske brzine funkcije Y \u003d x N daje grafiku slične vrste.

Definicija 4.

Svojstva funkcija N-ES STEPET korijen, N - neparni broj

područje definicije je skup svih važećih brojeva;
ova značajka je čudna;
raspon vrijednosti je skup svih važećih brojeva;
funkcija y \u003d x n s neparnim korijenskim pokazateljima se povećava u cijeloj definiciji;
funkcija ima konkavnu u intervalu (- ∞; 0] i konveksnost u intervalu [0, + ∞);
point za ingrepciju ima koordinate (0; 0);
asimptoti su odsutni;
grafikon funkcije s neparnim n prolazi kroz točke (- 1; - 1), (0; 0) i (1; 1).

Funkcija napajanja

Definicija 5.

Funkcija napajanja određuje se formulom y \u003d x a.

Pogled na grafikone i svojstva funkcije ovise o vrijednosti pokazatelja.

kada funkcija napajanja ima cjelokupni pokazatelj A, vrsta grafikona funkcije napajanja i njegova svojstva ovise o ravnomjernoj ili neparnom pokazatelju, kao i znaku stupnjeva. Uzmite u obzir sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
pokazatelj diplome može biti frakcionalan ili iracionalan - ovisno o tome, prikaz grafova i svojstva funkcije varira. Analizirat ćemo posebne slučajeve postavljanjem nekoliko uvjeta: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funkcija napajanja može imati nultu indikator, ovaj se slučaj pročita i dolje.

Mi ćemo analizirati funkciju napajanja y \u003d x a kada je neparni pozitivan broj, na primjer, A \u003d 1, 3, 5 ...

Za jasnoću, označavamo grafiku takvih funkcija snage: y \u003d x (crna grafika), y \u003d x 3 (plava grafika boja), y \u003d x 5 (crvena grafika), y \u003d x 7 (zelena grafika). Kada je A \u003d 1, dobivamo linearnu funkciju y \u003d x.

Definicija 6.

Svojstva funkcije napajanja, kada je pokazatelj stupnja čudan pozitivan

funkcija se povećava sa X ∈ (- ∞; + ∞);
funkcija ima ispupčenje na x ∈ (- ∞; 0] i konkavnu na x ∈ [0; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
točka nametaka ima koordinate (0; 0) (bez linearne funkcije);
asimptoti su odsutni;
točke prolaska funkcije: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Mi ćemo analizirati funkciju napajanja y \u003d x a kada je i jedan pozitivan broj, na primjer, A \u003d 2, 4, 6 ...

Za jasnoću ukazujemo na grafiku takvih funkcija snage: y \u003d x 2 (crna graf boja) y \u003d x 4 (plava grafika boja) y \u003d x 8 (crvena grafika). Kada je A \u003d 2, dobivamo kvadratnu funkciju, od kojih je graf četverotske parabole.

Definicija 7.

Svojstva funkcije napajanja, kada je indikator stupnja čak i pozitivan:

područje definicije: X ∈ (- ∞; + ∞);
smanjuje se na x ∈ (- ∞; 0];
funkcija ima konkavnu na x ∈ (- ∞; + ∞);
nedostaju tačke zapisivanja;
asimptoti su odsutni;
točke prolaza funkcije: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Slika ispod prikazuje primjere grafikona funkcije napajanja. y \u003d x a kada je neparni negativni broj: y \u003d x - 9 (crna grafika); y \u003d x - 5 (plava grafička boja); y \u003d x - 3 (crvena grafika); Y \u003d x - 1 (zelena grafika). Kada je A \u003d - 1, dobivamo obrnuto proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Definicija 8.

Svojstva funkcije napajanja, kada je indikator stupnja neobičan negativan:

Kada je X \u003d 0, pribavljamo rupturu druge vrste, jer lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ na a \u003d - 1, - 3, - 5 ,. ... Dakle, ravna linija x \u003d 0 je vertikalna asimptota;

raspon vrijednosti: y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
funkcija je neparna, jer (- x) \u003d - y (x);
funkcija se smanjuje na X ∈ - ∞; 0 ∪ (0; + ∞);
funkcija ima ispupčenje na x ∈ (- ∞; 0) i konkavno na x ∈ (0; + ∞);
točke of zaplete su odsutne;

k \u003d lim x → ∞ x a x \u003d 0, b \u003d lim x → ∞ (x a - k x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, kada a \u003d - 1, - 3, - 5 ,. . . .

točke prolaza funkcije: (- 1; - 1), (1; 1).

Na slici ispod prikazana je primjere grafova funkcije napajanja y \u003d x a, kada je A jednak negativan broj: y \u003d x - 8 (graf crna boja); y \u003d x - 4 (plavi graf boja); Y \u003d x - 2 (crvena grafika).

Definicija 9.

Svojstva funkcije napajanja, kada je indikator diplome čak negativan:

definicija Područje: X ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);

Kada je X \u003d 0, pribavljamo rupturu druge vrste, jer lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 x 0 xa \u003d + ∞ na a \u003d - 2, - 4, - 6 ,. ... Dakle, ravna linija x \u003d 0 je vertikalna asimptota;

funkcija je čak, jer (- x) \u003d y (x);
funkcija se povećava s X ∈ (- ∞; 0) i smanjuje se na x ∈ 0; + ∞;
funkcija ima konkavnu na x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
točke of zaplete su odsutne;
horizontalna asimptota - ravno y \u003d 0, jer:

k \u003d lim x → ∞ x a x \u003d 0, b \u003d lim x → ∞ (x a - k x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, kada je A \u003d - 2, - 4, - 6 ,. . . .

točke prolaza funkcije: (- 1; 1), (1; 1).

Od samog početka obratite pažnju na sljedeći aspekt: \u200b\u200bU slučaju kada je pozitivna djela s neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju se kao područje određivanja ove interval funkcije snage - ∞; + ∞, ukidanje u isto vrijeme kada je pokazatelj A je nestabilna frakcija. Trenutno su autori mnogih obrazovnih publikacija o algebri i načelo analize ne definiraju funkcije snage, gdje je indikator frakcija s neobičnim nazivnikom s negativnim vrijednostima argumenta. Dalje, dozvolit ćemo ovom položaju: preuzeti područje određivanja funkcija moći s frakcijskim pozitivnim pokazateljima set diplome [0; + ∞). Preporuka za studente: Saznajte učiteljevo mišljenje u ovom trenutku kako biste izbjegli neslaganja.

Dakle, analiziraćemo funkciju napajanja y \u003d x a kada je stopa stupnjeva racionalni ili iracionalni broj pod uvjetom da 0< a < 1 .

Ilustriramo funkcije grafikona snage y \u003d x a kada je A \u003d 11 12 (crna grafika); A \u003d 5 7 (crvena grafika); a \u003d 1 3 (plava grafika boja); A \u003d 2 5 (zelena grafika).

Ostale vrijednosti pokazatelja stepena A (pod uvjetom 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10.

Svojstva funkcije napajanja na 0< a < 1:

raspon vrijednosti: y ∈ [0; + ∞);
funkcija se povećava sa X ∈ [0; + ∞);
funkcija ima ispupčenje na x ∈ (0; + ∞);
točke of zaplete su odsutne;
asimptoti su odsutni;

Mi ćemo analizirati funkciju napajanja y \u003d x a, kada je stopa stupnjeva neciljan racionalni ili iracionalni broj, pod uvjetom da je\u003e 1.

Ilustriramo funkciju napajanja grafikona y \u003d x A U navedenim uvjetima na primjeru takvih funkcija: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (crna, crvena, plava, zelena grafika, respektivno).

Ostale vrijednosti pokazatelja stepena i pod uvjetom A\u003e 1 dat će sličnu vrstu grafike.

Definicija 11.

Svojstva funkcije napajanja na A\u003e 1:

definicija Područje: X ∈ [0; + ∞);
raspon vrijednosti: y ∈ [0; + ∞);
ova funkcija je zajednička funkcija obrasca (ne postoji ni neparna, niti čak);
funkcija se povećava sa X ∈ [0; + ∞);
funkcija ima konkavnu na x ∈ (0; + ∞) (kada 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
točke of zaplete su odsutne;
asimptoti su odsutni;
točke prolaza funkcije: (0; 0), (1; 1).

Obraćamo vašu pažnju! Kada je negativan frakcija sa neobičnim nazivnikom, u djelima nekih autora, izgleda da je područje definicije u ovom slučaju interval - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) Uz rezervaciju, što je pokazatelj stepena A je nestabilni frakcija. Trenutno su autori obrazovnih materijala na algebru i načelo analize ne definiraju funkcije snage s pokazateljem u obliku frakcije s neparnim nazivom s negativnim vrijednostima argumenta. Zatim se pridržavamo takav izgled: preuzmite područje određivanja funkcija snage s frakcijskim postavljenim negativnim indikatorima (0; + ∞). Preporuka za studente: Navedite viziju svog učitelja u ovom trenutku kako biste izbjegli neslaganja.

Nastavljamo temu i rastavljamo funkciju napajanja y \u003d x Navedeno: - 1< a < 0 .

Izvlačimo grafikone sljedeće funkcije: y \u003d x - 5 6, y \u003d x - 2 3, y \u003d x - 1 2 2, y \u003d x - 1 7 (crna, crvena, plava, zelena linija, respektivno).

Definicija 12.

Svojstva funkcije napajanja na - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞, kada - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

vrijednost: y ∈ 0; + ∞;
ova funkcija je zajednička funkcija obrasca (ne postoji ni neparna, niti čak);
točke of zaplete su odsutne;

Crteo u nastavku prikazuje grafikone funkcija napajanja y \u003d x - 5 4, y \u003d x - 5 3, y \u003d x - 6, y \u003d x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelena boja krivulja, respektivno) .

Definicija 13.

Svojstva funkcije napajanja na a< - 1:

definicija Područje: X ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ kada a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon vrijednosti: y ∈ (0; + ∞);
ova funkcija je zajednička funkcija obrasca (ne postoji ni neparna, niti čak);
funkcija se smanjuje na x ∈ 0; + ∞;
funkcija ima konkavnu na x ∈ 0; + ∞;
točke of zaplete su odsutne;
horizontalna asimptota - ravno y \u003d 0;
funkcija funkcije: (1; 1).

Kada je A \u003d 0 i x ≠ 0, dobivamo funkciju y \u003d x 0 \u003d 1, što definira izravnu, iz koje je tačka (0; 1) isključena (dogovoreno je da se izraz 0 0 ne bude dat vrijednost).

Indikativna funkcija ima obrazac y \u003d a x, gdje je\u003e 0 i a ≠ 1, a grafikon ove funkcije izgledaju različite, na temelju osnovne vrijednosti a. Razmotrite privatne slučajeve.

Prvo ćemo analizirati situaciju kada je osnova indikativne funkcije važna od nule na jedan (0< a < 1) . Vizualni primjer poslužit će grafikone funkcija na a \u003d 1 2 (plavi krivulja boja) i A \u003d 5 6 (crvena krivulja).

Iste vrste će imati grafikone indikativne funkcije na drugim osnovnim vrijednostima koje su pružene 0< a < 1 .

Definicija 14.

Svojstva indikativne funkcije kada je baza manja od jedne:

raspon vrijednosti: y ∈ (0; + ∞);
ova funkcija je zajednička funkcija obrasca (ne postoji ni neparna, niti čak);
indikativna funkcija u kojoj je baza manja od jedinice spušta se tokom područja definicije;
točke of zaplete su odsutne;
horizontalna asimptota - ravno y \u003d 0 s varijablom x, težeći + ∞;

Sada razmotrite slučaj kada je osnova indikativne funkcije veća od jedinice (A 1).

Ovaj konkretni slučaj ilustriramo grafikom indikativnih funkcija y \u003d 3 2 x (plave boje u boji) i y \u003d e x (crvena grafika).

Ostale osnovne vrijednosti, velike jedinice, daju sličnu vrstu grafikona indikativne funkcije.

Definicija 15.

Svojstva indikativne funkcije kada je baza veća od jedinice:

područje definicije je sve važeće brojeve;
raspon vrijednosti: y ∈ (0; + ∞);
ova funkcija je zajednička funkcija obrasca (ne postoji ni neparna, niti čak);
indikativna funkcija u kojoj je baza veća od jedinice se povećava na X ∈ - ∞; + ∞;
funkcija ima konkavnu na x ∈ - ∞; + ∞;
točke of zaplete su odsutne;
horizontalna asimptota - ravno y \u003d 0 s varijablom x, težeći - ∞;
funkcijska tačka: (0; 1).

Logaritamska funkcija ima oblik y \u003d log a (x), gdje je\u003e 0, a ≠ 1.

Ova je funkcija definirana samo pozitivnim vrijednostima argumenta: na x ∈ 0; + ∞.

Grafikon logaritamske funkcije ima različiti izgledNa osnovu vrijednosti baze a.

Razmotrite prvo situaciju kada 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Ostale osnovne vrijednosti, a ne velike jedinice, dat će sličnu vrstu grafike.

Definicija 16.

Svojstva logaritamske funkcije, kada je baza manja od jedne:

definicija Područje: X ∈ 0; + ∞. Kada se X ima na nuli udesno, vrijednosti funkcije teže + ∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞; + ∞;
ova funkcija je zajednička funkcija obrasca (ne postoji ni neparna, niti čak);
logaritamski
funkcija ima konkavnu na x ∈ 0; + ∞;
točke of zaplete su odsutne;
asimptoti su odsutni;

Sada ćemo analizirati poseban slučaj kada je osnova logaritamske funkcije veća od: a 1 . Na crtežu ispod, logaritamske funkcije Y \u003d log 3 2 x i y \u003d ln x (plavi i crveni grafikoni, respektivno).

Ostale osnovne vrijednosti veće od jedinice dat će sličan tip grafikona.

Definicija 17.

Svojstva logaritamske funkcije, kada je baza veća od:

definicija Područje: X ∈ 0; + ∞. Kada se X ima na nuli udesno, vrijednosti funkcije teže - ∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞; + ∞ (sve brojne važeće brojeve);
ova funkcija je zajednička funkcija obrasca (ne postoji ni neparna, niti čak);
logaritamska funkcija raste na x ∈ 0; + ∞;
funkcija ima izbočinu na x ∈ 0; + ∞;
točke of zaplete su odsutne;
asimptoti su odsutni;
funkcijska tačka: (1; 0).

Trigonometrijske funkcije - To je sinus, kosine, tangent i katangene. Mi ćemo analizirati svojstva svakog od njih i odgovarajući grafikoni.

Općenito, za sve trigonometrijske funkcije, imovina frekvencije je karakteristična, i.e. Kada se vrijednosti funkcija ponavljaju po različitim vrijednostima argumenta, razlikuju se međusobno u periodu f (x + t) \u003d f (x) (t - period). Dakle, na listi svojstava trigonometrijskih funkcija, dodaje se predmet "najmanji pozitivan period". Pored toga, odredit ćemo takve vrijednosti argumenta u kojem odgovarajuća funkcija dodaje nulu.

Funkcija sinusa: y \u003d grijeh (x)

Grafikon ove funkcije naziva se sinusoid.

Definicija 18.

Svojstva funkcije sinusa:

područje definicije: Svi skupovi važećih brojeva X ∈ - ∞; + ∞;
funkcija se odnosi na nulu kada je x \u003d π · k, gdje je k ∈ z (z je skup cijelih brojeva);
funkcija se povećava na x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · K, k ∈ z i smanjuje se sa X ∈ π 2 + 2 π · K; 3 π 2 + 2 π · K, k ∈ z;
funkcija sinusa ima lokalnu maksimumu na tačkima π 2 + 2 π · k; 1 i lokalna minimala na bodovima - π 2 + 2 π · K; - 1, k ∈ z;
funkcija sinus konkavne kada je x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · K, k ∈ z i konveks kada je x ∈ 2 π · k; π + 2 π · K, k ∈ z;
asimptoti su odsutni.

Cosine funkcija: Y \u003d co (x)

Grafikon ove funkcije naziva se Cosineida.

Definicija 19.

Svojstva funkcije Cosine:

područje definicije: X ∈ - ∞; + ∞;
najmanji pozitivan period: T \u003d 2 π;
raspon vrijednosti: y ∈ - 1; jedan;
ova je funkcija čak i od Y (- x) \u003d y (x);
funkcija se povećava na x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · K, k ∈ z i smanjuje se sa X 2 Π · K; π + 2 π · K, k ∈ z;
funkcija Cosine ima lokalni maksima na bodovima 2 π · K; 1, k ∈ z i lokalni minimal na π + 2 π · k bodovi; - 1, k ∈ z;
funkcija kosinus konkavne kada je x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ z i konveks kada x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · K, k ∈ z;
točke oflice imaju koordinate π 2 + π · k; 0, k ∈ z
asimptoti su odsutni.

Tangentna funkcija: Y \u003d t g (x)

Grafikon ove funkcije se zove tangenthoid.

Definicija 20.

Svojstva funkcije tangente:

područje definicije: X ∈ - π 2 + Π π · K; π 2 + π · K, gdje je k ∈ z (z je skup cijelih brojeva);
Ponašanje funkcije tangenta na granici definicije područja lima X → π 2 + π Π · k + 0 tg (x) \u003d - ∞, lim x → π 2 + π · k - 0 tg ( x) \u003d + ∞. Dakle, ravno x \u003d π 2 + π · k k ∈ z su vertikalne asimptote;
funkcija se odnosi na nulu kada je x \u003d π · k za k ∈ z (z je pluralnost cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞; + ∞;
ova funkcija je neparna, jer (- x) \u003d - y (x);
funkcija se povećava na - π 2 + π π · K; π 2 + π · K, k ∈ z;
funkcija tangente je konkavna na x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ z i konveks na x ∈ (- π 2 + π π · k; π · k], k ∈ z;
točke of zaplete imaju koordinate π π · K; 0, k ∈ z;

Cotangent Funkcija: Y \u003d c t g (x)

Raspored ove funkcije naziva se kotangensoid .

Definicija 21.

Svojstva funkcije Cotangent:

površina definicije: x ∈ (π · k; π + π · k), gdje je k ∈ z (z je pluralnost cijelih brojeva);

Ponašanje kotangentne funkcije na granici granične površine lim x → π · k + 0 t g (x) \u003d + ∞, lim x → π · k - 0 t g (x) \u003d - ∞. Tako su ravni x \u003d π π · k k ∈ z su vertikalne asimptote;

najmanji pozitivan period: t \u003d π;
funkcija se odnosi na nulu kada je x \u003d π 2 + π · k na k ∈ z (z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞; + ∞;
ova funkcija je neparna, jer (- x) \u003d - y (x);
funkcija se smanjuje na X ∈ π · K; π + π · K, k ∈ z;
kotangentna funkcija je konkavna na x ∈ (π · k; π 2 + π · k], k ∈ z i konveks na x ∈ [- π 2 + π π · k; π · k), k ∈ z;
točke oflice imaju koordinate π 2 + π · K; 0, k ∈ z;
nagnute i horizontalne asimptote su odsutni.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkkosinus, arctangen i arkotangens. Često, zbog prisustva prefiksa "Ark" u naslovu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju se arcFuctions .

Arxinus funkcija: y \u003d a r c grijeh (x)

Definicija 22.

ARKSINUS Funkcija svojstva:

ova funkcija je neparna, jer (- x) \u003d - y (x);
arksinus funkcija ima konkavnu na x ∈ 0; 1 i konveksnost na X ∈ - 1; 0;
točke of zaplete imaju koordinate (0; 0), također je nula funkcije;
asimptoti su odsutni.

Arkkosinus funkcija: y \u003d a r c cos (x)

Definicija 23.

Svojstva funkcije Arkkosinus:

površina definicije: x ∈ - 1; jedan;
vrijednost: y ∈ 0; Π;
ova je funkcija uobičajen oblik (ni nejednako ili neparno);
funkcija se smanjuje tokom polja definicije;
funkcija Arcsinusa ima konkavnu na x ∈ - 1; 0 i konveksnost na x ∈ 0; jedan;
tOČKE INFLEKCIJE imaju koordinate 0; π 2;
asimptoti su odsutni.

Arctangent funkcija: y \u003d a r c t g (x)

Definicija 24.

Svojstva funkcije Arctangens:

područje definicije: X ∈ - ∞; + ∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - π 2; π 2;
ova funkcija je neparna, jer (- x) \u003d - y (x);
funkcija se povećava tokom polja definicije;
arctangent funkcija ima konkavnu na x ∈ (- ∞; 0] i konveksnost na x ∈ [0; + ∞);
point za ingrepciju ima koordinate (0; 0), također je nula funkcija;
horizontalne asimptote - Ravno y \u003d - π 2 na x → - ∞ i y \u003d π 2 na x → + ∞ (u slici asimptota su zelene linije).

Arkkothangent funkcija: y \u003d a r c c t g (x)

Definicija 25.

Svojstva funkcije Arkkothangence:

područje definicije: X ∈ - ∞; + ∞;
područje vrijednosti: y ∈ (0; π);
ova funkcija je zajednički tip;
funkcija se smanjuje tokom polja definicije;
funkcija ARCCOTHANGE ima konkavnu na x ∈ [0; + ∞) i konveksnost na x ∈ (- ∞; 0];
point za inflekciju ima koordinate 0; π 2;
horizontalne asimptote - Ravno y \u003d π sa X → - ∞ (na crtežu - linija zelene boje) i y \u003d 0 na x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter

Izgradite funkciju

VAŠAO VAŠU PAŽNJU SLUŽBU ZA OTVORENIH RASPOREDA FUNKCIJA ONLINE, SVIH PRAVA NA KOJE Tvrtke pripadaju Desmos.. Da biste unijeli funkcije, koristite lijevi stupac. Možete ručno unijeti ili pomoću virtualne tipkovnice na dnu prozora. Da biste povećali prozor s rasporedom, možete sakriti i lijevi stupac i virtualnu tastaturu.

Prednosti rasporeda građevinskih rasporeda na mreži

Vizuelni prikaz unesenih funkcija
Izgradnja vrlo složenih grafova
Izgradnja grafova navedenih implicitno (na primjer, elipsa x ^ 2/9 + y ^ 2/16 \u003d 1)
Mogućnost spremanja grafova i dobivanje veze na njima koji postaju dostupni svima na internetu.
Upravljanje skalom, linija linija
Sposobnost izgradnje grafova po tačkama, upotreba konstanti
Izgradnja istovremeno nekoliko grafikona funkcija
Izgradnja grafova u polarnom koordinatnom sustavu (koristite R i θ (\\ eta))

Sa nama su jednostavni za izgradnju grafova različitih složenosti. Zgrada se vrši odmah. Usluga je u potražnji za pronalaženjem tačaka sjecišta funkcija, za sliku grafova kako bi ih dalje premjestila na Word, kao ilustracije prilikom rješavanja zadataka, analizirati značajke ponašanja funkcija funkcija. Optimalni pretraživač za rad sa rasporedom na ovoj stranici je Google chrome.. Kada koristite druge preglednike, ne zagarantovana je ispravnost rada.

Grafikon funkcije je vizualni prikaz ponašanja neke funkcije na koordinatnom ravninu. Grafikoni pomažu u razumijevanju različitih aspekata funkcije koje se ne može odrediti sama funkcije. Možete izgraditi grafikone mnogih funkcija, a svaki od njih bit će određen određenom formulom. Raspored bilo koje funkcije temelji se na određenom algoritmu (ako ste zaboravili tačan proces izgradnje određene funkcije grafikona).

Korake

Izgradnja linearne funkcije grafike

Utvrdite da li je funkcija linearna. Linearna funkcija daje formula obrasca F (x) \u003d k x + b (\\ displaystyle f (x) \u003d kx + b) ili y \u003d k x + b (\\ displaystyle y \u003d kx + b) (Na primjer,), a njegov raspored je ravna linija. Dakle, formula uključuje jednu varijablu i jednu stalnu (konstantnu (konstantnu) bez ikakvih pokazatelja stupnjeva, korijenskih znakova i slično. Ako je funkcija s obzirom na slične vrste, izgradite grafikon takve funkcije sasvim jednostavan. Evo drugih primjera linearnih funkcija:

Upotrijebite konstantnu da biste označili točku na osi y. Konstantna (b) je tačka sjecišta grafikona sa osip s osi Y. To jest, u tome je poenta, koordinata "X" od kojih je 0. Ako je u formuli za zamjenu x \u003d 0, onda y \u003d b (konstantno). U našem primjeru y \u003d 2 x + 5 (\\ DisplayStyle y \u003d 2x + 5) Konstantna je 5, odnosno točka raskrižja sa Y osi Y ima koordinate (0,5). Primijenite ovu točku na koordinatniju.

Pronađite direktni koeficijent u uglu. To je jednak multiplektoru s varijatnom. U našem primjeru y \u003d 2 x + 5 (\\ DisplayStyle y \u003d 2x + 5) Uz varijablu "x" postoji multiplikator 2; Dakle, kutni koeficijent 2. Kutni koeficijent određuje ugao nagiba usmjeravanja na osi X, odnosno, veće je kutni koeficijent, brže raste ili se smanjuje.

Zabilježite kutni koeficijent u obliku frakcije. Kutni koeficijent jednak je tangentnom uglu nagiba, odnosno omjer vertikalne udaljenosti (između dvije tačke na ravnom liniju) na vodoravno razmak (između iste tačke). U našem primjeru, kutni koeficijent je 2, tako da možete izjaviti da je vertikalna udaljenost 2, a horizontalna udaljenost jednaka 1. zapisuju u obliku frakcije: 2 1 (\\ displac (\\ frac (2) (1))).

Ako je kutni koeficijent negativan, funkcija se smanjuje.

Sa točke raskrižje izravne s osi y, nanesite drugu točku pomoću vertikalne i horizontalne udaljenosti. Grafikon linearne funkcije može se izgraditi na dvije točke. U našem primjeru, točka raskrižja s osi y ima koordinate (0,5); Od ove točke pređite na 2 podjele prema gore, a zatim 1 podjela na desno. Označiti poenta; Imaće koordinate (1.7). Sada možete potrošiti direktno.

Uz pomoć linije, prevucite prstom direktno u dvije točke. Da biste izbjegli pogreške, pronađite treću bod, ali u većini slučajeva raspored se može izgraditi na dvije točke. Dakle, izgradili ste grafikon linearne funkcije.

Primjena na koordinatnom ravninu
1. Odredite funkciju. Funkcija je označena kao f (x). Sve moguće vrijednosti varijable "Y" nazivaju se funkcija vrijednosti funkcije, a sve moguće vrijednosti varijable "X" nazivaju se područjem definicije polja. Na primjer, smatramo funkciju y \u003d x + 2, naime f (x) \u003d x + 2.
  
  Nacrtajte dva presijecavanja okomitske ravne linije. Horizontalno ravno - ovo je X. Vertikalna ravna linija je osi y.
  
  Označite osovinu koordinata. Začinite svaku osovinu na jednake segmente i omamljajte ih. Tačka raskrižja osi je 0. Za osovinu X: Desno (od 0) se primjenjuje pozitivni brojevi, a lijeva je negativna. Za osi y: vrh (od 0) izrađuje se pozitivni brojevi i negativno dno.
  
  Pronađite vrijednosti vrijednosti "X". U našem primjeru f (x) \u003d x + 2. Podmanjujte u ovoj formuli definirane vrijednosti "X" za izračunavanje odgovarajućih vrijednosti "y". Ako je data složena funkcija, pojednostavite ga okretanjem "y" na jednoj strani jednadžbe.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Primijenite bodove u koordinatni avion. Za svaki par koordinata uradite sljedeće: Pronađite odgovarajuću vrijednost na osi x i prevucite vertikalnu liniju (isprekidanu); Pronađite odgovarajuću vrijednost na osi y i prevucite ploču vodoravne linije (isprekidana linija). Navedite točku raskrižje dvije isprekidane linije; Dakle, pokazali ste tačku rasporeda.
  
  Izbrisati isprekidane linije. Učinite to nakon prijave na koordinatnu ravninu svih točaka grafikona. Napomena: graf funkcije F (x) \u003d x je direktan, prolazi kroz sredinu koordinata [poenta s koordinatama (0,0)]; Grafikon F (x) \u003d x + 2 je ravna linija, paralelna direktna f (x) \u003d x, ali pomaknuta su dvije jedinice prema gore i stoga prolaze kroz točku s koordinatama (0,2) (jer je konstanta 2).
Izgradnja grafikona složene funkcije

Znanje osnovne osnovne funkcije, njihova svojstva i grafikoni Ništa manje od znanja tablice množenja. Oni su temelj, sve se temelji na njima, od kojih je sve izgrađeno i sve se svodi na njih.

U ovom smo članku naveli sve glavne osnovne funkcije, dat ćemo njihove rasporede i nećemo dati i dokaz. svojstva osnovnih elementarnih funkcija Prema shemi:

ponašanje funkcije na granicama područja definicije, vertikalnih asimptota (ako je potrebno, pogledajte članak Klasifikacija funkcije Break bodova);
paritet i čudnost;
intervali konveksnosti (prema gore) i konvencije (konveksičnost dolje), točke nametanja (ako je potrebno, pogledajte slučaj konveksnosti funkcije, smjer konveksiranja, uvjeti konvencije i nametanja );
nagnute i horizontalne asimptote;
posebne karakteristike funkcija;
posebna svojstva nekih funkcija (na primjer, najmanji pozitivni period u trigonometrijskim funkcijama).

Ako vas zanima ili, možete otići na ove dionice teorije.

Osnovne osnovne karakteristike Ovo su: stalna funkcija (konstantna), korijenska N-diploma, funkcija napajanja, indikativna, logaritamska funkcija, trigonometrijske i obrnute trigonometrijske funkcije.

Navigacijsku stranicu.

Trajna funkcija.

Konstantna funkcija postavljena je na skupu svih važećih brojeva po formuli gdje je c neki važeći broj. Konstantna funkcija stavlja u skladu sa svakom važećom vrijednošću neovisne varijable x iste vrijednosti ovisne varijable y - vrijednost sa. Konstantna funkcija se naziva i konstanta.

Grafikon konstantne funkcije je direktna, paralelna osovina apscisa i prolazi kroz točku koordinatama (0, c). Na primjer, mi prikazujemo grafike konstantnih funkcija y \u003d 5, y \u003d -2 i, na slici ispod, crne, crvene i plave ravne linije odgovaraju odgovarajuće.

Svojstva stalne funkcije.

Područje definicije: Sve mnoge važeće brojeve.
Konstantna funkcija je čak.
Raspon vrijednosti: set koji se sastoji od jednog broja sa.
Konstantna funkcija je ne-dobitna i neriješena (konstantna je).
Ima smisla razgovarati o ispupčenju i konjsku konstantu.
Asimptot ne.
Funkcija prolazi kroz tačku (0, c) koordinatnog aviona.

Ni-stepeni korijen.

Razmotrite osnovnu elementarnu funkciju koja je definirana formulom, gdje je n prirodni broj, više jedinica.

NI-STEX korijen, n je još jedan broj.

Započnimo s funkcijom korijenskog N-stepena ujednačenim u vrijednostima korijenskog indikatora N.

Na primjer, dajemo crtež sa slikama slika slika I, oni odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Slične vrste imaju funkcije funkcija ravnomjerne diplome na drugim vrijednostima pokazatelja.

Svojstva funkcioniraju korijen N-diploma u čak i N.

NI-STEX korijen, n je neparan broj.

Funkcija korijenskog N-stupnja s neparnim korijenskim indikatorom n definirana je na cijelom skupu važećih brojeva. Na primjer, dajte grafike funkcija I, oni odgovaraju crnim, crvenim i plavim oblinama.

Uz ostale neobične vrijednosti korijenske stope grafike, funkcije će imati sličan prikaz.

Svojstva funkcioniraju korijen n-stepen sa neparnim n.

Funkcija napajanja.

Funkcija napajanja određuje formula obrasca.

Razmislite o vrsti grafikona funkcije napajanja i svojstva funkcije napajanja ovisno o vrijednosti diplome.

Započnimo s funkcijom napajanja sa cijelim pokazateljem a. U ovom slučaju vrstu grafova funkcija snage i svojstva funkcija ovise o paritetu ili neobičnost indikatora, kao i iz njegovog znaka. Stoga prvo razmotrimo funkcije napajanja u neparnim pozitivnim vrijednostima pokazatelja A, u daljnjem tekstu - sa čak i pozitivnim, dodatnim - s neparnim negativnim pokazateljima, a na kraju, sa čak i negativnim a.

Svojstva funkcija snage s frakcijskim i iracionalnim pokazateljima (kao i oblik grafikona takvih funkcija snage) ovise o vrijednosti indikatora a. Bićemo razmatranje, prvo, s nulom do jedne, drugo, s velikim jedinicama, s velikim jedinicama, s a iz minus jedinica do nule, četvrtog, s manjim minusom.

Zaključivanje ove stavke za potpunost slike opisamo funkciju napajanja nulom.

Funkcija napajanja sa neparnim pozitivnim indikatorom.

Razmislite o funkciji napajanja sa neparnim pozitivnim indikatorom, odnosno kada je A \u003d 1,3,5, ....

Na donjoj slici prikazuje grafove snage snage - Crna linija, plavu liniju, - crvena linija, zelena linija. Na a \u003d 1 imamo linearna funkcija y \u003d x.

Svojstva funkcije napajanja s neparnim pozitivnim indikatorom.

Funkcija napajanja s ravnomjernim pozitivnim indikatorom.

Razmotrite funkciju napajanja s ravnomjernim pozitivnim indikatorom, odnosno na a \u003d 2,4,6, ....

Kao primjer, dajemo grafike funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija. Na a \u003d 2 imamo kvadratnu funkciju, od kojih je graf kvadratni parabala.

Svojstva funkcija napajanja s ravnomjernim pozitivnim indikatorom.

Funkcija napajanja sa neparnim negativnim indikatorom.

Pogledajte grafikone moćne funkcije sa neparnim negativnim vrijednostima indikatora stepena, odnosno kada i \u003d -1, -3, -5, ....

Na slici se grafikoni funkcija napajanja prikazuju kao primjeri - crna linija - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Kada i \u003d -1 imaju obrnuto proporcionalnostČiji je graf hiperbola.

Svojstva funkcije napajanja s neparnim negativnim indikatorom.

Funkcija napajanja s ravnomjernim negativnim pokazateljem.

Okrenite se na funkciju napajanja na A \u003d -2, -4, -6, ....

Na slici se prikazuje grafikoni funkcija snage - crna linija - plava linija, - crvena linija.

Svojstva funkcija napajanja s ravnomjernim negativnim indikatorom.

Funkcija napajanja racionalnim ili iracionalnim indikatorom, čija je vrijednost veća od nule i manje od jedne.

Bilješka! Ako je A je pozitivna djela s neparnim nazivnikom, tada neki autori smatraju da je područje određivanja snage intervala. Istovremeno, oni pregovaraju da je pokazatelj stepena A nedosljedan frakcija. Sada su autori mnogih udžbenika na algebru i princip analize ne određuju funkcije napajanja s pokazateljem u obliku frakcije sa neparnim nazivom s negativnim vrijednostima argumenta. Pridržavat ćemo se samo takav izgled, odnos ćemo razmotriti područja za utvrđivanje funkcija snage s frakcijskim pozitivnim pokazateljima stepena. Preporučujemo studente da saznaju izgled svog učitelja u ovom suptilnom trenutku da izbjegne neslaganja.

Razmislite o funkciji napajanja sa racionalnim ili iracionalnim indikatorom a i.

Dajemo grafike funkcija snage na A \u003d 11/12 (crna linija), a \u003d 5/7 (crvena linija), (plava linija), i \u003d 2/5 (zelena linija).

Funkcija napajanja s neracionalnim ili iracionalnim indikatorom, velike jedinice.

Razmotrite funkciju napajanja sa neracionalnim ili iracionalnim indikatorom a i.

Dajemo grafike funkcija napajanja navedenim formulama (Crna, crvena, plava i zelena linija, respektivno).

Uz ostale vrijednosti stupnja stupnja, grafikoni funkcije imat će sličan prikaz.

Svojstva funkcija napajanja na.

Funkcija napajanja s važećim indikatorom, koji je više minus jedan i manji od nule.

Bilješka! Ako je a negativan frakcija s neparnim nazivnikom, tada neki autori razmatraju područje određivanja snage intervala . Istovremeno, oni pregovaraju da je pokazatelj stepena A nedosljedan frakcija. Sada su autori mnogih udžbenika na algebru i princip analize ne određuju funkcije napajanja s pokazateljem u obliku frakcije sa neparnim nazivom s negativnim vrijednostima argumenta. Pridržavat ćemo se samo takav izgled, odnos ćemo razmotriti područja za utvrđivanje funkcija snage s frakcijskim frakcijskim negativnim pokazateljima stupnja. Preporučujemo studente da saznaju izgled svog učitelja u ovom suptilnom trenutku da izbjegne neslaganja.

Idite na moćnu funkciju, kgode.

Da biste spriječili dobar oblik grafova funkcija napajanja, dajemo primjere grafa funkcija (crne, crvene, plave i zelene krivulje, respektivno).

Svojstva funkcije napajanja sa pokazateljem A.

Snažna funkcija s nefikasnim pokazateljem, koja je manja od minus.

Dajemo primjere grafikona funkcija snage kada Oni su prikazani crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama, respektivno.

Svojstva funkcije napajanja s ne-ciljnim negativnim indikatorom, manje minus.

Kada je a \u003d 0 i imamo funkciju - ovo je direktna tačka od kojih je isključena (0; 1) (izraz 0 0, nije bilo moguće dati bilo koju vrijednost).

Eksponencijalna funkcija.

Jedna od glavnih elementarnih funkcija je indikativna funkcija.

Grafikon indikativne funkcije, gdje je potrebno drugačiji oblik, ovisno o vrijednosti baze a. Mi ćemo to shvatiti u njemu.

Prvo, razmislite o slučaju kada osnova indikativne funkcije poduzima vrijednost od nule na jedan, odnosno ,.

Na primjer, dajemo grafikone indikativne funkcije na A \u003d 1/2 - plavu liniju, A \u003d 5/6 - crvenu liniju. Slične vrste imaju grafikone indikativne funkcije s drugim osnovnim vrijednostima iz intervala.

Svojstva indikativne funkcije na bazi manje jedinice.

Idite na slučaj kada je osnova indikativne funkcije veća od jedinice, odnosno ,.

Kao ilustracija dajemo grafiku indikativnih funkcija - plavu liniju i crvenu liniju. Uz ostale vrijednosti baze, velike jedinice, grafika indikativne funkcije imat će sličan izgled.

Svojstva indikativne funkcije sa osnovom velike jedinice.

Logaritamska funkcija.

Sljedeća glavna osnovna funkcija je logaritamska funkcija, gdje ,. Logaritamska funkcija definirana je samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno kada.

Logaritamska funkcija grafikon uzima drugačiji oblik ovisno o vrijednosti baze a.

Krenimo sa slučajem kada.

Na primjer, dajte grafike logaritamske funkcije na a \u003d 1/2 - plavoj liniji, A \u003d 5/6 - crvena linija. Uz ostale osnovne vrijednosti koje ne prelaze jedinice, grafikoni logaritamske funkcije imat će sličan prikaz.

Svojstva logaritamske funkcije sa bazom manje jedinice.

Okrećemo se u slučaju kada je osnova logaritamske funkcije veća od jedne ().

Pogledajmo grafike logaritamskih funkcija - plava linija, - crvena linija. Uz ostale vrijednosti baze, velike jedinice, grafikoni logaritamskih funkcija imat će sličan izgled.

Svojstva logaritamske funkcije sa osnovama velike jedinice.

Trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafika.

Sve trigonometrijske funkcije (sinus, kosine, tangenti i katangeni) odnose se na glavne osnovne funkcije. Sada ćemo pogledati njihovu svojstva grafike i liste.

Trigonometrijske funkcije svojstveni koncept periodičnost (Ponovljivost funkcija funkcija s različitim vrijednostima argumentacije, različite jedni od drugih u iznosu razdoblja gdje je t period), stoga je stavka dodana na listu svojstava trigonometrijskih funkcija "Najmanji pozitivan period". Također za svaku trigonometrijsku funkciju, navodimo vrijednosti argumentacije u kojem se odgovarajuća funkcija crta na nulu.

Sada ćemo se baviti svim trigonometrijskim funkcijama u redu.

Funkcija Sinus Y \u003d greh (x).

Prikazujet ću grafikon sinusne funkcije, to se naziva "sinusoid".

Svojstva Funkcija Sinus Y \u003d Sinx.

Cosine funkcija y \u003d cos (x).

Grafikon funkcije Cosine (naziva se "Cosineida") ima obrazac:

Svojstva Function Cosine y \u003d cosx.

Tangentna funkcija y \u003d tg (x).

Raspored funkcije tangente (naziva se "tangentoidni") ima obrazac:

Svojstva tangentne funkcije y \u003d tgx.

Cotangent funkcija y \u003d ctg (x).

Prikazujem raspored funkcije Kotangengent (naziva se "Kothangensoid"):

Svojstva funkcije Cotangent Y \u003d CTGX.

Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafika.

Inverzne trigonometrijske funkcije (Arksinus, arkskosinus, arctangent i arkotanentni) su glavne osnovne funkcije. Često zbog prefiksa "ARK" inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju se ark funkcije. Sada ćemo pogledati njihovu svojstva grafike i liste.

Arxinus funkcija y \u003d arcsin (x).

Prikazujem raspored funkcije Arksinusa:

Svojstva funkcije Arkkothangence Y \u003d ARCCTG (x).

Bibliografija.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn yu.p. i drugi. Algebra i početak analize: studije. Za 10-11 Cl. Opće institucije.
Profitabilan M.YA. Priručnik osnovne matematike.
Novoselov S.i. Algebra i elementarne funkcije.
Tumanov S.i. Osnovna algebra. Priručnik za samoobrazovanje.

Pregledi

Spremi u razrednike Save Vkontakte