Efekti dodavanja talasa. Stojeći elastični talasi

Vrlo važan slučaj smetnji se primijeće prilikom postavljanja ravnih talasa istom amplitudom. Naziva se rezultirajući oscilacijski proces stojeći val.

Praktično stojeći talasi javljaju se kada talasi odražavaju prepreke. Val koji pada na barijeru i reflektirani val odražavao je jedni prema drugima, dajte stalni val.

Razmotrite rezultat uplitanja dva sinusoidna ravna talasa iste amplitude širenja u suprotnim smjerovima.

Za jednostavnost obrazloženja pretpostavljamo da oba talasa uzrokuju oscilacije na početku koordinata u istoj fazi.

Jednadžbe ovih oscilacija su:

Sklapanje obje jednadžbe i pretvaranje rezultata, formulom za zbroj sinusa, dobit ćemo:

- jednadžba stalnog vala.

Uporedite ovu jednadžbu s jednadžbom harmoničnih oscilacija, vidimo da je amplituda rezultirajuće oscilacije:

Od, ali, onda.

Na ambijentalnim bodovima, gdje nema oscilacije, tj. . Ove tačke se zovu stalni talasni čvorovi.

Na bodovima, gdje je amplituda oscilacija najveće vrijednosti jednaka. Ove tačke se zovu zagonetni val. Koordinate snopa su iz stanja, jer onda.

Odavde:

Slično tome, koordinate čvorova su iz stanja:

Od:

Iz formula koordinata čvorova i turističkih tućica, slijedi da je udaljenost između susjednih greda, kao i udaljenosti između susjednih čvorova, jednaka. Puffy i čvorovi su se međusobno prebacivali u odnosu na četvrtinu talasne dužine.

Uporedite karakter oscilacija u stalnom i trkom talasu. U trkom trkom, svaka tačka izvodi oscilacije čija amplituda ne razlikuje od amplitude drugih bodova. Ali nastaju oscilacije različitih točaka sa razne faze.

U stojećem valu, sve čestice srednje između dva susjedna čvora fluktuiraju u istoj fazi, ali s različitim amplitudi. Prilikom prebacivanja kroz čvor, vibracije faze oscilacije varira, jer Mijenja znak.

Grafički stalni val može se prikazati na sljedeći način:

U vrijeme kada su sve točke srednjeg sredstva imaju maksimalne pomake, od kojih se određuje znak. Ovi nadoknade prikazani su na crtežu sa čvrstim strelicama.

Nakon četvrtine razdoblja, kada je pomak svih točaka nula. Čestice prolaze kroz liniju različitim brzinama.

Nakon još jednog kvartala razdoblja, kada će čestice ponovo imati maksimalne nadoknade, već suprotni smjer (isprekidane strelice).

Kada opisuje oscilatorni procese u elastičnim sistemima, ne samo zapreminu, već i brzina čestica, kao i vrijednost relativne deformacije srednjeg medija.

Da biste pronašli zakon o promjeni brzine stalnog vala, u odnosu na jednadžbu stagnacije stalnog vala i za utvrđivanje zakona promjene deformacije za bračno jednadžbom stojećeg vala.

Analizirajući ove jednadžbe, vidimo da čvorovi i grede brzine podudaraju se s čvorovima i pristranosti raseljaka; Čvorovi i svjetionici deformacija podudaraju se prema snopovima i čvorovima brzine i pomaknuta.

Wasters string

U napetom nizu pričvršćenim s oba kraja, stojeći valovi su instalirani tokom pobuda poprečnih oscilacija, a čvorovi se moraju smjestiti u utikačima. Stoga su samo takve oscilacije uzbuđene u nizu, od kojih je polovina dužine stavljena na dužinu niza cijeli broj.

Otuda je stanje:

gdje je duljina niza.

Ili na neki drugi način. Ove talasne dužine odgovaraju frekvenciji, gdje fazna baršunska brzina. Određuje se snagom napetosti za napetost i njegovu masu.

Kada - glavna frekvencija.

Kada - vlastite frekvencije string oscilacija ili ochtons.

Doppler efekat

Razmislite o najjednostavnijim slučajevima kada se izvor valova i posmatrač premještaju u odnosu na medij uz jednu ravnu liniju:

1. Izvor zvuka kreće se u odnosu na srednje brzine, zvučni prijemnik počiva.

U ovom slučaju, za razdoblje oscilacija, zvučni val će se odstupiti od kiselog nicka do udaljenosti, a sam izvor prebacit će na daljinu jednaku.

Ako se izvor ukloni iz prijemnika, I.E. Pomaknite se u suprotnom smjeru širenja valova, a zatim talasna dužina.

Ako je izvor zvuka bliži prijemniku, I.E. Tada se kreće u smjeru distribucije vala.

Učestalost zvuka percipira prijemnik je:

Zamjena umjesto njihovog značenja za oba slučaja:

Uzimajući u obzir činjenicu da, gdje - učestalost oscilacija izvora, jednakost će uzeti obrazac:

Podijelimo brojevnice i nazivnik ove frakcije, tada:

2. Izvor zvuka je fiksan, a prijemnik se pomiče u odnosu na srednje brzine.

U ovom slučaju, talasna dužina u mediju ne mijenja i još uvijek je jednaka. Istovremeno, dvije uzastopne amplitude, razlikuju se na vrijeme za jedan period oscilacija, dostižući se pomični prijemnik, na vrijeme će se razlikovati na trenucima vala vala sa prijemnikom u kojem je mjesto Veći ili manji ovisno o tome da li se prijemnik izbriše ili prilazi izvoru. Zvuk. Tokom vremena zvuk se odnosi na daljinu, a prijemnik će se prebaciti preko udaljenosti. Zbroj ovih vrijednosti i daje nam talasnu dužinu:

Period oscilacija koje je doživljava prijemnik povezan je s frekvencijom ovih oscilacija omjerom:

Zamjena umjesto njenog izražavanja iz ravnoteže (1), dobivamo:

Jer , gde - učestalost izvornih oscilacija, a zatim:

3. Zvukovi izvora i prijemnika se kreću u odnosu na medij. Spajanje rezultata dobivenih u dva prethodna slučaja, dobivamo:

Zvučni talasi

Ako se elastični valovi koji se protežu u zraku imaju frekvenciju u rasponu od 20 do 20.000 Hz, a zatim dostižu ljudsko uho, uzrokuju zvučni osjećaj. Stoga se valovi lagaju u ovom rasponu frekvencija nazivaju zvukom. Pozvani su elastični talasi sa frekvencijom manjim od 20 Hz infrazvaditi . Nazivaju se talasima sa frekvencijom preko 20 000 Hz ultrazvuk. Ultrazvuk i infrazijska ljudska uha ne čuje.

Zvučni senzacija karakteriziraju visina zvuka, timbre i glasnoća. Visina zvuka određena je frekvencijom oscilacija. Međutim, izvor zvuka ne emitira nijedan, već čitav spektar frekvencija. Naziva ga se skup frekvencija oscilacija prisutnih u ovom zvuku. akustični spektar. Energija oscilacija se distribuira između svih frekvencija akustičnog spektra. Visina zvuka određuje se jednom - glavnom frekvencijom ako se ova frekvencija čini mnogo veće količine energije od udjela drugih frekvencija.

Ako se spektar sastoji od pluralnosti frekvencija u frekvencijskom rasponu od prije, tada se naziva takav spektar čvrst (Primjer - buka).

Ako se spektar sastoji od skupa oscilacija diskretnih frekvencija, tada se naziva takav spektar linely (Primjer - muzički zvukovi).

Akustički spektar zvuka ovisno o svojoj prirodi i distribuciji energije između frekvencija određuje originalnost zvučnog senzacije, koja se naziva glasovnom temperaturom. Različiti muzički instrumenti imaju drugačiji akustički spektar, I.E. Različit sa temom zvuka.

Intenzitet zvuka karakteriše jedno-lične vrijednosti: oscilacije srednjih čestica, njihove brzine, snage pod pritiskom, napona u njima itd.

Karakterizira amplitudu oscilacija svake od ovih količina. Međutim, budući da su ove vrijednosti međusobno povezane, preporučljivo je uvesti jedinstvenu karakteristiku energije. Ova karakteristika za talase bilo koje vrste predložena je 1877. godine. NA. Umovy

Snižem mentalno s prednjeg dijela trkaćeg talasa platforme. Tokom ove platforme kreće se na udaljenost, gdje - brzina vala.

Označavaju energijom iznosa iznosa oscilirajućeg medija. Tada će energija svih obima biti jednaka.

Ova energija je prenesena tokom valova širenja kroz platformu.

Dijeljenje ovog izražavanja na i, dobivamo energiju koju nosi val kroz područje trga po jedinici vremena. Ova vrijednost označena je slovom i naziva se vektor Melova.

Za zvučno polje vektor Umova. Nosi naziv zvuka.

Moć zvuka je fizička karakteristika intenziteta zvuka. Mi to procijenimo subjektivno kao zapremina Zvuk. Ljudsko uho opaža zvukove čija snaga prelazi neku minimalnu vrijednost različitu za različite frekvencije. Ova vrijednost se zove sluh praga Zvuk. Za prosječne frekvencije redoslijeda HZ praga saslušanja.

Uz vrlo veliku snagu zvuka reda, zvuk se opaža osim uha opipljivih organa, a u ušima uzrokuje bolan osjećaj.

Vrijednost intenziteta u kojoj se to događa prag bola. Prag bola, kao i prag služljivosti ovisi o frekvenciji.

Osoba ima prilično složene aparat za percepciju zvukova. Zvučne oscilacije prikupljaju se uhom školjki i putem slušnog kanala utiču na bubnju. Njegove oscilacije prenose se malom šupljini, zvanom pužom. Unutar puževa se nalazi veliki broj Vlakna imaju različite dužine i napetost i, samim tim, različite frekvencije oscilacije. Kada se zvučna akcija, svaka od vlakana odliče na taj ton, čija se učestalost podudara sa vlastitim frekvencijom vlakana. Skup rezonantnih frekvencija u aparatima za glasine i određuje područje zvučnih oscilacija koje su nam percipiraju.

Subjektivno procijenjeno našim volumenom uha povećava mnogo sporije od intenziteta zvučnih talasa. Iako intenzitet povećava geometrijsko napredovanje - obim se povećava aritmetički napredak. Na osnovu toga, nivo jačine zvuka definiran je kao logaritam omjera intenziteta ovog zvuka na intenzitet usvojen za original

Količina jačine zvuka se zove george. Upotreba i manji jedinice - decybel(10 puta manje od Bjelorusije).

gdje je koeficijent apsorpcije zvuka.

Veličina apsorpcijskog koeficijenta zvuka povećava se srazmjerno kvadratu frekvencije zvuka, tako da se niski zvukovi primjenjuju dalje na visoke.

U arhitektonskoj akustiji za velike prostorije značajna uloga Igranje odjek ili vlažnost prostorija. Zvuci, koji imaju opetovane refleksije od ograde sa ograđenim površinama, slušatelju doživljavaju za određeni prilično veliki vremenski period. To povećava snagu zvuka koji dosegne nas, međutim, s predugim reverbom, pojedinačni zvukovi su jedna na drugom, a govor prestaje da se dosljedno dosljedno. Stoga su zidovi hodnika prekriveni posebnim materijalima koji apsorbiraju zvuk za smanjenje reverma.

Izvor zvučnih oscilacija može poslužiti bilo koji oscilirajuće tijelo: zvonički jezik, Akton, niz violine, zračnog stupca u vjetrovima itd. Ista tijela mogu poslužiti kao zvučni prijemnici kada dođu u pokret pod djelovanjem okolišnih oscilacija.

Ultrazvuk

Da biste se uputili, I.E. Blizina ravnog, val dimenzije emitera moraju biti mnogo puta veću talasnu dužinu. Zvučni talasi u zraku imaju dužinu do 15 m, u tečnosti i Čvrsta tijela Talasna dužina je još više. Stoga, za izgradnju radijatora, koji bi stvorio usmjereni val slične dužine, praktički nije moguće.

Ultrazvučne oscilacije imaju frekvenciju preko 20 000 Hz, tako da je talasna dužina vrlo mala. Sa smanjenjem talasne dužine, uloga difrakcije tijekom širenja valova također se smanjuje. Stoga se ultrazvučni valovi mogu dobiti u obliku usmjerivnih greda poput svjetlosnih greda.

Dvije fenomene koriste dvije pojave za uzbudljiv ultrazvučni valovi: reverse Piezoelektrični efekati magnetostracija.

Obrnuti piezoelektrični efekt je ta tablica nekih kristala (ferovalna sol, kvarc, titanat barijum itd.) Pod akcijom električno polje Lagano deformiran. Postavljanjem između metalnih ploča, koji se isporučuje na naizmenični napon, možete prouzrokovati prisilne oscilacije tanjura. Ove oscilacije se prenose okruženje I oni rađaju ultrazvučni val.

Magnetostracija je da feromagnetske tvari (željezo, nikl, legure itd.) Pod akcijom magnetsko polje Defrom. Stoga, postavljanjem feromagnetske šipke u naizmjenično magnetsko polje, mehaničke oscilacije mogu biti uzbuđene.

Visoke vrijednosti zvučnih brzina i ubrzanja, kao i dobro razvijene metode proučavanja i primanjem ultrazvučnih fluktuacija, omogućeno je korištenjem za rješavanje mnogih tehničkih zadataka. Navedite neke od njih.

1928. Sovjetski naučnik S.ya. Sokolov je ponudio da koristi ultrazvuk za defektoskopske svrhe, i.e. Za otkrivanje skrivenih unutrašnjih oštećenja kao što su ljuska, pukotine, rylot, šljake, itd. U metalnim proizvodima. Ako dimenzije kvara premašuju dužinu ultrazvučnog vala, tada se ultrazvučni puls odražava iz kvar i vraća se natrag. Slanje ultrazvučnih impulsa u proizvodu i registraciju reflektiranih EPHO signala, ne možete samo otkriti prisustvo nedostataka u proizvodima, već i suditi o veličini i lokaciji ovih nedostataka. Trenutno se ova metoda široko koristi u industriji.

Smjerni ultrazvučni grede bili su široko korišteni za potrebe lokacije, I.E. Da biste otkrili predmete u vodi i odredite udaljenost od njih. Prvi put je ideja ultrazvučnog lokacije bila kažnjiva izvanredan francuski fizičar P. Lanzhen i razvio ga u prvom svjetskom ratu za otkrivanje podmornica. Trenutno se principi hidrolacija koriste za otkrivanje ledenih brijega, loših udaraca itd. Ove metode mogu također definirati dubinu mora ispod dna broda (Echo Sounder).

Ultrazvučni valovi velikih amplituda široko se koriste u tehnici mehaničke obrade čvrstih materijala, čišćenje malih predmeta (dijelovi mehanizama po satu, cjevovoda itd.) Stavite u tečnost, prikladnu itd.

Prilikom stvaranja snažnih pulsacija pritiska u srednjem, ultrazvučnim talasima određuju brojne posebne pojave: brušenje (disperzija) čestica suspendirane u tekućinu, formiranje emulzija, ubrzanje hemijskih reakcija, utjecaj na biološke objekte itd.

Ako postoji nekoliko talasa u mediju istovremeno, fluktuacije medija su geometrijska količina oscilacija, koja bi izvršila čestice kada je razdvajanje svakog od valova odvojena. Shodno tome, talasi jednostavno superimiraju jednu drugom, ne papriku jedni drugima. Ova se izjava naziva princip superpozicije (nametanja) talasa.

U slučaju kada su oscilacije uzrokovane pojedinim valovima u svakom od bodova srednjeg, imaju stalnu fazu razliku, valovi se nazivaju koherentnim. (Strože određivanje koherencije bit će dato u § 120.) kada su koherentni valovi dodaju, pojavljuje se smetnje, što se sastoji od činjenice da su fluktuacije na jednim bodovima poboljšane, a na drugim bodovima oslanjaju jedni druge.

Veoma važan slučaj smetnji se primijeće kada se primijećuju dva kompenzirajuća ravnina valova s \u200b\u200bistom amplitudom. Rezultirajući oscilacijski proces naziva se stojeći val. Praktično stojeći talasi javljaju se kada talasi odražavaju prepreke. Val koji pada na barijeru i reflektirani val odražavao je jedni prema drugima, dajte stalni val.

Napisat ćemo jednadžbe dva ravna vala širenje duž osi X u suprotnim smjerovima:

Sklapanje ovih jednadžbi i pretvaranje rezultata formulom za količinu kosinusa, dobivamo

Jednadžba (99.1) je jednadžba stojećeg vala. Da biste ga pojednostavili, odaberite početak reference tako da razlika postane jednaka nuli, a početak reference - tako da se ispostavi da je nula iznos pored toga, zamijenit ćemo valni broj k njezine vrijednosti

Zatim će jednadžba (99.1) zauzeti pogled

Od (99.2) može se vidjeti da na svakom trenutku stojećeg vala postoje oscilacije iste frekvencije kao u suprotnim talasima, a amplituda ovisi o X:

amplituda oscilacija dostižu maksimalnu vrijednost. Te se tačke nazivaju plaže stalnog vala. Od (99.3), dobijaju se koordinatne vrijednosti:

Trebalo bi imati na umu da svinja nije jedna niti jedna tačka, a avion čije bodove imaju vrijednosti koordinatne x formule (99.4).

Na bodovima čije koordinate zadovoljavaju stanje

amplituda oscilacija privlači nulu. Te se tačke nazivaju stalnim talasnim čvorovima. Točke medija u čvorovima se ne vrše. Čvorovi koordiniraju materiju

Čvor, poput svinja, nije jedan poenta, a avion, čiji su točke koje imaju vrijednosti koordinate X, definirane formulom (99.5).

Od formula (99.4) i (99.5) slijedi da je udaljenost između susjednih greda, kao i udaljenost između susjednih čvorova, jednaka. Puffy i čvorovi su se međusobno prebacivali u odnosu na četvrtinu talasne dužine.

Ponovo skrenite na jednadžbu (99.2). Multiplikator prilikom kretanja kroz nultu vrijednost mijenja znak. U skladu s tim, faza oscilacije na različitim stranama čvora razlikuje se na to znači da bodovi leže duž različitih strana čvora fluktuiraju u antifazni. Sve su točke zaključene između dva susjedna čvorova fluktuiraju Simphang (I.E. u istoj fazi). Na slici. 99.1 Dan Broj "Instant fotografije" odstupanja bodova sa položaja ravnoteže.

Prva "fotografija" odgovara trenutku kada odstupanja postignu najveću apsolutnu vrijednost. Naredne "fotografije" izrađene su u intervalima u četvrtini perioda. Strelice prikazuju brzinu čestica.

Različite jednadžbu (99.2) Jednom po t, a drugo vrijeme u X, nalazimo izraze za brzinu čestica i za deformaciju medija:

Jednadžba (99.6) opisuje stojeći val brzine i (99,7) - stojeći val deformacije.

Na slici. 99.2 "Instant fotografije" offset, brzine i deformacije za trenutke vremena 0 i iz grafova može se videti da čvorovi i grede brzine poklapaju s čvorovima i pristranosti; Čvorovi i vagidnost deformacije poklapaju se prema gredama i čvorovama pristranosti. Dok postiže maksimalne vrijednosti, pretvara se na nulu i obrnuto.

U skladu s tim, dva puta za razdoblje postoji transformacija energije stalnog vala koja u potpunosti u potencijalu, fokusirala se uglavnom u blizini talasnih čvorova (gdje se nalaze deformacijske perle), zatim u potpunosti u kinetičkom, fokusiranom na valove, koji su se u potpunosti u kinetizu, fokusirali na valove, koji nalaze se). Kao rezultat toga, tranzicija energije događa se iz svakog čvora do susjednih greda i nazad. Prosječni tok energije u bilo kojem dijelu vala je nula.

6.1 Stojeći talasi u elastičnom okruženju

Prema principu superpozicije, s širenjem u elastičnom mediju u isto vrijeme, nekoliko valova vode njihovog nametanja, a valovi ne pretvorimo jedni druge: fluktuacije čestica srednjeg suma su vektorski sum oscilacije koje čestice izvršile bi čestice u svakom od valova.

Valovi koji stvaraju oscilacije srednje, fazne razlike između kojih su stalne na svakoj tački prostora, nalaze se na koherentan.

Pored koherentnih talasa, pojavljuje se fenomen smetnjeČinjenica da u nekim mjestima talasnog prostora pojačavaju jedni druge, a na drugim točkama - slabi. Važan slučaj smetnji povezan je s nametanjem dva prisutna ravnina valova s \u200b\u200biste frekvencije i amplitude. Nastaje iz ovog oscilacije stojeći val. Češće se pojavljuju sve stojeći valovi kada se odražava na trčanje volje od barijere. U ovom slučaju, padajući val i val odrazili su se prema njoj, prilikom dodavanja, daje stojeći val.

Dobijamo jednadžbu stalnog vala. Uzmite dva ravna harmonična vala koja se odnose jedni na drugima uz osovinu X. i imati istu frekvenciju i amplitudu:

gde - faza oscilacija tačaka srednjeg u pro-hodanju prvog talasa;

- Faza oscilacija točaka srednjeg tokom pro-hodanja drugog vala.

Fazna razlika na svakom trenutku na osovini X. neće ovisiti o mreži, I.E. Bit će trajno:

Shodno tome, oba talasa bit će koherentna.

Fluktuacija čestica medija pojavila se kao rezultat dodavanja valova koji se razmatraju bit će sljedeći:

Pretvorimo količinu kosinusnih uglova prema pravilu (4.4) i dobijemo:

Ponuda višestrukog pomnožitelja, dobivamo:

Da biste pojednostavili izraz, odaberite početak reference tako da fazna razlika i početak odbrojavanja vremena tako da je iznos faze nula: .

Tada će jednadžba za iznos talasa uzeti oblik:

Jednadžba (6.6) se zove jednadžba stalnog vola. Može se vidjeti iz nje da je frekvencija stalnog vala jednaka frekvenciji trkaćeg vala, a amplituda, za razliku od trčanja, ovisi o udaljenosti od početka reference:

. (6.7)

Uzimajući u obzir (6.7), jednadžba stojećeg vala uzima obrazac:

. (6.8)

Dakle, točke srednje fluktuiraju frekvenciju koja se poklapaju s frekvencijom trkaćeg vala i amplitude sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:Ovisno o položaju tačke na osovini X.. U skladu s tim, amplituda varira prema zakonu kozina i ima vlastiti maksima i minima (Sl. 6.1).

Da bi vizualno prezentirali lokaciju minima i maksima amplitude za zamjenu, prema (5.29), valni broj je njegova vrijednost:

Tada će izraz (6.7) za amplitudu uzeti obrazac

(6.10)

Odavde postaje jasno da amplituda raseljavanja Mac-Symalne na . Na točkama, čija koordinata zadovoljava stanje:

, (6.11)

gde

Odavde dobijamo koordinate točaka u kojima je amplituda smjese maksimalna:

; (6.12)

Bodova u kojima je amplituda fluktuacija srednjeg nazvana pomota valova.

Valna amplituda je nula na bodovima gdje . Koordinata takvih bodova zvana talasni čvorovi, zadovoljava stanje:

, (6.13)

gde

Od (6.13) može se vidjeti da koordinate čvorova imaju značenje:

, (6.14)

Na slici. 6.2 prikazuje uzorni prikaz stalnog vala, lokaciju čvorova i beatships. Može se vidjeti da će se ko-sivi čvorovi i bukencija raseljaka razviti jedan od drugog za istu udaljenost.

Pronaći ćemo udaljenost između susjednih greda i uz-la. Od (6.12) dobivamo udaljenost između puhača:

(6.15)

Udaljenost između čvorova dobivamo od (6.14):

(6.16)

Od dobivenih odnosa (6.15) i (6.16), može se vidjeti da je udaljenost između susjednih čvorova, kao i između susjedstva, stalno jednak; Čvorovi i grede pomaknuli su se međusobno u odnosu na (Sl. 6.3).

Od određivanja talasne dužine moguće je napisati izraz za dužinu stalnog vala: jednak je polovini duge talasne dužine:

Pišemo, uzimajući u obzir (6.17), izraze za koordinate ultrazvuka i turističkih litara:

, (6.18)

, (6.19)

Multiplikator koji određuje amplitudu amplitude vala mijenja znak prilikom prelaska kroz nultu vrijednost, kao rezultat čija se na čvoru razlikuje faza oscilacije na različitim stotina rubalja. Slijedom toga, sve točke koje leže na različitim stranama čvora fluktuiraju u pro-tivofasu. Sve točke između susjednih Uz-Lama fluktuiraju jednostavnost.

Čvorovi koji konvencionalno dijele okolinu na autonomne regijeu kojima su harmonične oscilacije počinjene neovisne. Ne postoji prenos pokreta između područja, a samim tim i tok energije između regija nije. To jest, nema izdanju uznemirenosti duž osi. Stoga se val naziva stajanje.

Dakle, stojeći val formiran je od dva suprotna smjera koji putuju valovi jednakih frekvencija i amp-litud. Jedinice svakog od ovih talasa jednake su mo-duulom i suprotne su smjeru i sa simbolom, oni daju nulu. Shodno tome, stojeći val energije ne podnosi.

6.2 Primjeri stalnih talasa

6.2.1 Stalni val u nizu

Razmislite o dužini niza L.enshrine s obje konkone (Sl. 6.4).

Mjesto uz osi X. Tako da lijevi kraj niza ima koordinatu x \u003d 0.i desno - x \u003d L.. U nizu postoje oscilacije opisane jednadžbom:

Napisujemo granične uvjete za tok koji se razmatra. Budući da su njegovi krajevi popravljeni, a zatim na bodovima sa Coor-Dinatamom x \u003d 0. i x \u003d L. Oscilacije br:

(6.22)

Pronalazimo jednadžbu String oscilacija na temelju evidencije graničnih uvjeta. Pišemo jednadžbu (6.20) za lijevi kraj niza u pogledu (6.21):

Odnos (6.23) vrši se za bilo koje vrijeme t. U dva slučaja:

1. . To je moguće u slučaju da u nizu nema Kolasa (). Ovaj slučaj interesa ne predstavlja i nećemo ga smatrati.

2 .. Evo faze. Ovaj slučaj će nam omogućiti da dobijemo jednadžbu za nizu oscilacije.

Zamjenjujemo dobivenu vrijednost faze u graničnom stanju (6.22) za pravi kraj niza:

. (6.25)

S obzirom na to

, (6.26)

od (6.25) Dobijamo:

Ponovo se pojavljuju dva slučaja u kojoj je odnos (6.27) zadovoljan. Slučaj kada su oscilacije u nizu - dovoljne (), mi nećemo uzeti u obzir.

U drugom slučaju treba izvesti jednakost:

a to je moguće samo kada je argument sinusa Kathen's broj:

Odbacimo vrijednost, jer Istovremeno, to bi značilo ili nultu dužinu niza ( L \u003d 0.) ili novi broj k \u003d 0.. S obzirom na vezu (6.9) između talasnog broja i talasne dužine, može se vidjeti da će za Will-Novi broj biti nula, talasna dužina treba biti beskonačna, a to bi značilo odsustvo oscilacija.

Od (6.28) može se vidjeti da valni broj kada su žice sadržani na oba kraja mogu preuzeti samo određene diskretne vrijednosti:

S obzirom na (6.9), pišemo (6.30) u obliku:

tamo gdje steknemo izraz za moguće talasne dužine u nizu:

Drugim riječima, na dužini niza L. treba uklopiti cijeli broj n. Polu-pao:

Odgovarajuće frekvencije oscilacija mogu se odrediti od (5,7):

Ovdje - brzina faznog vala, ovisno, suglasnika (5.102), iz linearne gustoće niza i čvrstoće niza:

Zamjena (6,34) u (6.33), dobivamo izraz, opisujući moguće frekvencije oscilacija niza:

, (6.36)

Nazivaju se frekvencije vlastite frekvencije potok. Frekvencija (kao n. = 1):

(6.37)

nazvati glavna frekvencija (ili glavni ton) Žice. Frekvencije definirane od strane n\u003e 1. pozvan obrafton ili harmonies. Harmonični broj je jednak n-1.. Na primjer, frekvencija:

odgovara prvom harmoniku i frekvenciji:

komunicira drugi harmonični, itd. Budući da se niz može zastupati u obliku diskretnog sustava sa likovnim brojem stupnjeva slobode, svaki harmonik je mototski String Westers. U općem predmetu, žice žica su mod superpozicija.

Svaki harmonik odgovara svojoj talasnoj dužini. Za glavni ton (sa n \u003d1) talasna dužina:

respektivno za prvu i drugu harmoniku (kada n \u003d2 I. n \u003d3) talasne dužine bit će:

Sl. 6.5 prikazuje vrstu nekoliko načina oscilacije koje vrše niz.

Dakle, niz sa fiksnim krajevima je u obliku liska u okviru klasične fizike, izuzetan je slučaj diskretan spektar učestalosti oscilacija (ili talasne dužine). Na isti način, elastična brisanja s jednim ili oba stegnuta krajeva i oscilacija zračnog pošta u cijevima, koja će se smatrati u narednim odjeljcima.

6.2.2 Učinak početnih uvjeta kretanja

kontinuirani niz. Fourierona analiza

Fluktuacije niza sa gromenim krajevima, pored diskova, frekvencije oscilacije imaju još jednu važnu nekretninu: određeni oblik string oscilacije ovisi o načinu povišenja oscilacija, I.E. iz očiglednih uslova. Razmotrite više detalja.

Jednadžba (6.20), koja opisuje jedan modu stajaćeg hoće u nizu, privatno je rješenje diferencijale val jednadžba (5.61). Budući da se fluktuira u tokovima sastoji od svih mogućih mod (za nizu - devontalnu količinu), zatim zajednička odluka Valna jednadžba (5.61) sastoji se od beskonačnog broja privatnih rješenja:

, (6.43)

gde i. - Modni broj oscilacija. Izraz (6,43) nije dozvoljen, ali uzima u obzir činjenicu da su krajevi žica fiksni:

kao i uzimajući u obzir vezu frekvencije i.Moda i njegov valni broj:

(6.46)

Ovdje - valni broj i.moda;

- valni broj 1. mode;

Mi nalazimo veličinu početne faze za svaku modu oscilacije. Za to u trenutku vremena t \u003d 0. Dajte obrazac za nizu opisanu funkcijom f. 0 (x), izraz za koji dobijamo od (6.43):

. (6.47)

Na slici. 6.6 prikazuje primjer niza, opisujući moju funkciju f. 0 (x).

U trenutku vremena t \u003d 0. Niz se i dalje odmara, i.e. Brzina svih njegovih točaka je nula. Od (6.43) pronaći ćemo izraz za brzinu žica:

i, zamjenjujući se u nju t \u003d 0., Dobivam izraz za brzinu niza u početnom trenutku vremena:

. (6.49)

Od početnog vremena brzina je nula, izraz (6.49) bit će nula za sve točke niza, ako. Iz toga slijedi da je faza pojašnjenja za sve modove nula (). Uzimajući u obzir ovaj izraz (6,43), koji opisuje kretanje niza, uzima oblik:

, (6.50)

i izraz (6.47), opisujući početni oblik potoka, izgleda:

. (6.51)

Stojeći val u nizu opisan je funkcijama, perio-divlji u intervalu, gdje je jednaka dvije dužine niza (Sl. 6.7):

To se vidi iz činjenice da frekvencija u intervalu znači:

Otuda,

Šta nas vodi na izraz (6.52).

Poznato je iz matematičke analize da svaka ne-rodična funkcija može razgraditi visoku preciznost u Fourierovoj seriji:

, (6.57)

gde, - Fourierovi koeficijenti.

Razmotrite rezultat smetnji dva sinusoidna ravna talasa iste amplitude i frekvencije širenja u suprotnim smjerovima. Za jednostavnost obrazloženja pretpostavljamo da jednadžbe ovih talasa imaju oblik:

To znači da na početku koordinata oba talasa uzrokuju oscilacije u istoj fazi. U točki A s koordinatom x ukupna vrijednost oscilirajuće vrijednosti, prema principu superpozicije (vidi § 19), jednak

Ova jednadžba pokazuje da kao rezultat miješanja direktnih i obrnutih talasa na svakoj tački srednje (sa fiksnom koordinatom, harmonična oscilacija nastaje s istom frekvencijom, ali sa amplitudom

ovisno o vrijednosti koordinate x. Na tačkama medija u kojem uopšte nedostaju oscilacije: ove se bodove nazivaju oscilacijski čvorovi.

Na bodovima u kojima je amplituda oscilacija najveće vrijednosti jednaka tim bodovima nazivaju se oscilacije. Lako je pokazati da je udaljenost između susjednih čvorova ili susjednih greda jednaka udaljenosti između pukotine i najbliži čvor jednaka promjeni x na kosinus u formuli (5.16) mijenja znak na suprotno (njegova argumentacija) Vari se zato varira ako je u roku od jednog čvora do drugog - čestice sredstva odbačene u jednom smjeru, a zatim u sljedećoj polu-talasnom čestici medija bit će odbijena u suprotnom smjeru.

Proces talasa u mediju opisanom formulom (5.16) naziva se stojeći val. Grafički stalni val može se prikazati jer je prikazan na Sl. 1.61. Pretpostavimo da postoji premještanje tačaka medija iz stanja ravnoteže; Zatim Formula (5.16) opisuje "stalni val offset". U nekom trenutku, kada sva tačaka sredstva imaju maksimalne pomake, u kojem se, smjer, ovisno o vrijednosti koordinate x, određuje znakom ovih nadoknade prikazani su na slici. 1,61 čvrste strelice. Nakon četvrtine razdoblja, kada je pomak svih točaka srednje nula; Srednje čestice prolaze kroz liniju različitim brzinama. Nakon još jednog kvartala razdoblja, kada će srednje čestice ponovo imati maksimalne pomake, već suprotni smjer; Ovi nadoknade su prikazani na

sl. 1,61 isprekidane strelice. Tačka suštine stojećeg vala od poremećaja Beacon; Bodovi čvorova ovog vala.

Karakteristične karakteristike stojećeg vala, za razliku od uobičajenog širenja ili trčanja, valovi su sljedeći (što znači ravne valove u nedostatku prigušenja):

1) u stalnom talasu amplituda oscilacija su različite na raznim mjestima sustava; Sistem ima čvorove i svjetiljke oscilacija. U valu "trčanje" ove su amplitude iste svuda;

2) u okviru mjesta sustava od jednog čvora do susjednih svih točaka srednje fluktuiranje u istoj fazi; Prilikom prelaska na susjedno područje, faze oscilacije mijenjaju se na obrnuto. U trkačkom valu faze oscilacije, prema formuli (5.2), ovise o koordinatama tačaka;

3) Ne postoji niti jednostrani prijenos energije u stojećem valu, jer se odvija u trčanju.

Kada opisuje vibracijske procese u elastičnim sistemima, moguće je ne samo zapremiti ili brzinu sustava čestica, već i vrijednost relativne deformacije ili veličine kompresije, istezanje ili promjene itd. U ovom slučaju, itd. Na mjestima gdje se formiraju nativne brzine čestica, čvorovi deformacija nalaze se i naprotiv, naprotiv, čvorovi brzine poklapaju se s gredama deformacija. Konverzija energije iz kinetičkog oblika do potencijala i leđa događa se u sistemu sustava od sigurnosnog čvora do susednog čvora. Može se pretpostaviti da svako takvo područje ne razmjenjuje energiju sa susjednim web lokacijama. Imajte na umu da se pretvorba kinetičke energije pokretnih čestica u potencijalnu energiju deformiranih područja srednjeg srednjeg u jednom periodu javljaju dva puta.

Gore, s obzirom na uplitanje izravnih i obrnutih talasa (vidi izraze (5.16)), nismo bili zainteresirani za porijeklo ovih talasa. Pretpostavimo da medij u kojem raspoređene fluktuacije ima ograničene veličine, poput oscilacija uzrokovane su u neko čvrstom tijelu - u štapom ili nizu, na polu tečnosti ili plina, itd. Ogleda se od granica, stoga, u iznosu ovog tijela, uplitanje valova uzrokovanih vanjskim izvorom i odbija se od granica kontinuirano.

Razmotrite najjednostavniji primjer; Pretpostavimo, oscilatorno kretanje sa frekvencijom uzbuđuje se vanjski sinusoidni izvor (Sl. 1.62). Početak odbrojavanja vremena birat će tako da je u ovom trenutku raseljavanje izrazilo formula

ako će amplituda oscilacija u točki uzrokovanoj u šipkom razmišljati od drugog kraja štapa 0% i ići će u suprotno

smjer. Pronađite rezultat smetnji ravnih i reflektiranih valova u nekom trenutku štapa koji ima koordinatnu x. Za jednostavnost obrazloženja, pretpostavite da u štapovi ne postoji apsorpcija oscilacija i stoga su amplitude ravnih i reflektiranih talasa jednake.

U nekom trenutku, kada je raseljenje oscilirajuće čestice u tački jednako, na drugoj tački štapa, pomak izazvan ravnim valom bit će, prema valskoj formuli, jednakim

Kroz istu točku i reflektirani val takođe prolazi. Da biste pronašli pomak izazvan na točki odraženi val (istovremeno je potrebno izračunati vrijeme tijekom kojeg će val preći od i natrag u točku dok će pomak uzrokovan tačkom reflektiranog vala biti jednak

Pretpostavlja se da se u odražavanju kraja štapa u procesu refleksije ne postoji faza promjene skakača; U nekim se slučajevima takva promjena faze (nazvana fazni gubitak) odvija i mora se uzeti u obzir.

Složenost oscilacija uzrokovanih na različitim tačkima štapa ravno i odražava se valovima daje stalni val; stvarno,

gde je neka stalna faza, neovisna o koordinatom x i vrednost

to je amplituda oscilacija u trenutku, ovisi o koordinatnoj x, I.E. razlikuje se na raznim mjestima štapa.

Pronaći ćemo koordinate tih bodova u kojima se formiraju čvorovi i svjetionici stalnog vala. Cirkulacija kosinua u nulu ili jedinicu javlja se u vrijednostima argumenta, višestrukih

gde je cijeli broj. Sa neobičnom vrijednošću ovog broja, žalbe kosinus na nulu i formulu (5.19) daje koordinate stalnih talasnih čvorova; Sa čak i mi dobijamo koordinate beathips-a.

Gore, dodana su samo dva talasa: izravna, iz i odražavala se, širenjem, razmažujući se, međutim, treba uzeti u obzir da će se reflektirani val na granici šipke ponovo odražavati i ići u smjeru ravnog vala. Takva razmišljanja

sa krajeva štap bit će puno, pa je zato potrebno pronaći rezultat smetnji ne dva, a sve u isto vrijeme postoje u valovima štapa.

Pretpostavimo da je vanjski izvor oscilacija uzrokovao valni štap neko vrijeme nakon kojeg je prestao protok oscilacijske energije iz spolja. Za to vreme, razmišljanja su se dogodila u štapovi, gde je vreme tokom koje je val prešao s jednog kraja štapa u drugu. Slijedom toga, štap će istovremeno postojati valovi koji ulaze u direktnim i valovi koji idu u suprotnim smjerovima.

Pretpostavimo da kao rezultat miješanja jednog para talasa (direktno i reflektira), raseljavanje tačno i pokazalo se da je jednak. Pronađite stanje u kojem su svi smjeni y, uzrokovani svaki par valova, imaju iste smjerove u točki i šipku i zato se razvijaju. Za ovu fazu oscilacija uzrokovanih svakim par valova u tački trebaju se razlikovati od faza oscilacije uzrokovane sljedećim para talasa. Ali svaki val se ponovo vraća na točku A s istim smjerom distribucije tek nakon vremena, I.E. zaostaje iza faze s kojim se ovaj zaostajaju, gdje je cijeli zaostajanje gdje je cijeli broj,

i.E. Duž duljine štapa mora postaviti cijeli broj od pola stopa. Imajte na umu da se ovo stanje faze svih talasa koji dolaze u smjeru naprijed razlikuje se od njih gdje je cijeli broj; Na isti način, faze svih talasa koji dolaze u suprotnom smjeru, stoga se međusobno razlikuju, ako jedan par valova (direktan i obrnuto) daje duž raspodjele šipki, određene formulom (5.17), zatim Tijekom miješanja parova takvih talasa, distribucija pomaka neće se promijeniti; Samo će se povećati oscilacijske amplitude. Ako je maksimalna amplituda oscilacija tokom miješanja dva talasa, prema formuli (5.18), jednaka uplitanju mnogih talasa. Označite ga kroz raspodjelu amplitude oscilacija duž šipke umjesto izražavanja (5.18) određuje formulu

Iz izraza (5.19) i (5.20), točke u kojima se kosin određuje ili 1:

ako se cijeli broj koordinata stalnih talasnih čvorova dobiva iz ove formule s neparnim vrijednostima, a zatim ovisno o dužini štapa, I.E. vrijednosti

koordinate za poofing će rezultirati ravnomjernim vrijednostima

Na slici. 1.63 šematski pokazuje stalni val u štapovi, od kojih se dužina; Bodovi beafness, točke čvorova ovog stalnog vala.

U Ch. Pokazano je da u nedostatku periodičnih vanjskih utjecaja, priroda kretanja širenja u sistemu i prije svega glavne vrijednosti je frekvencija oscilacija - određena je veličinom i fizičkim svojstvima sistema. Svaki oscilatorni sistem ima svoje, svojstveno vibracijsko kretanje; Ova oscilacija se može primijetiti ako izvedete sustav iz ravnoteže i zatim eliminirajte vanjske utjecaje.

U Ch. 4 sata Razmatrao sam pretežno oscilatorni sustavi sa koncentriranim parametrima, u kojima je inertna masa imala neke tijela (poenta), te elastična svojstva - druga tijela (opruge). Suprotno tome, oscilatorni sustavi u kojima su masa i elastičnost svojstveni u svakom osnovnom obimu, nazivaju se sustavima s distribuiranim parametrima. Oni uključuju gore navedene šipke, žice, kao i tekućine ili plinske stubove (u muzičkim instrumentima vjetra) itd. Za takve sustave postoje stalni valovi; Glavna karakteristika ovih talasa je talasna dužina ili distribucija čvorova i beatships, kao i frekvencije oscilacije - određuje se samo po veličini i svojstvima sistema. Stojeći talasi mogu postojati u nedostatku vanjskog (periodičnog) utjecaja na sistem; Taj je utjecaj potreban samo da bi izazvao ili održao stajanje valova u sustavu ili mijenjati amplitude oscilacija. Posebno ako se vanjski utjecaj na sustav s distribuiranim parametrima pojavi s frekvencijom, jednaka frekvencija Njene vlastite oscilacije, tj. Frekvencija stalnog vala, tada postoji fenomen rezonancije, koji se razmatra u Ch. 5. Za različite frekvencije iste.

Stoga su u sistemima s distribuiranim parametrima, vlastite oscilacije stoje valovi - karakterizirani cijelim spektrom frekvencija, višestrukih među sobom. Najmanja od ovih frekvencija koja odgovara najvećoj talasnoj dužini naziva se glavnom frekvencijom; Ostalo) - pretenzije ili harmonike.

Svaki sustav karakterizira ne samo prisustvom takvog spektra oscilacija, već i određene distribucije energije između oscilacija različitih frekvencija. Za muzičke instrumente ova distribucija daje zvuku osebujnom značajku, takozvani zvučni timbre, razne za razne alate.

Gore navedeni izračuni odnose se na besplatnu oscilirajuću dužinu šipke. Međutim, obično imamo šipke pričvršćene na jednom ili oba kraja (na primjer, oscilirajuće žice), ili duž šipke postoje jedna ili više točaka konsolidacije. Čestice sustava ne mogu obavljati oscilatorni pokrete su interno raseliti čvorove. Na primjer,

ako je potrebno dobiti stajanje valova u štapovi, dva, tri tačke konsolidacije itd., Ove bodove ne mogu biti odabrane proizvoljno, ali trebaju biti smještene duž šipke tako da su u čvorovima oblikovanog stalnog vala . Ovo je prikazano, na primjer, na slici. 1.64. Na istoj ličnosti isprekidana linija pokazuje pomak štapa za vrijeme oscilacija; Na slobodnim krajevima se uvijek formira zvijer raseljaka, na fiksnim - pristranim čvorovima. Za oscilirajuće zračne stupce u cijevima, čvorovi za pomak (i \u200b\u200bbrzina) dobivaju se u reflektirajućim čvrstim zidovima; Na otvorenim krajevima cijevi formiraju se grede pomaka i brzina.

Ako postoji nekoliko talasa u mediju istovremeno nekoliko valova, fluktuacije medija su geometrijska količina oscilacija koja bi nastupala čestice u razmnožavanju svakog od valova odvojeno. Shodno tome, talasi jednostavno superimiraju jednu drugom, ne papriku jedni drugima. Ova se izjava naziva princip superpozicije talasa. Načelo superpozicije tvrdi da pokret uzrokovan širenjem nekoliko talasa odjednom je opet neki talasni proces. Takav proces, na primjer, zvuk orkestra. Izlazi iz istodobnog uzbuđenja zračnih fluktuacija odvojenim muzičkim instrumentima. Divno je da se kada se valovi primjenjuju, mogu se pojaviti posebne pojave. Nazivaju se efektima dodavanja ili, kako kažu, superpozicija valova. Među tim efektima, smetnje i difrakcija su najvažnija.

Smetnje je fenomen responcije energije oscilacija u prostoru, kao rezultat toga što su oscilacije poboljšane na nekim mjestima, a drugi su oslabljeni. Ovaj fenomen dolazi do dodavanja talasa s razlikom u fazama razlikovanja vremena, takozvanim koherentnim valovima. Smjetanje velikog broja talasa naziva se difrakcija. Ne postoji temeljna razlika između smetnji i difrakcije. Priroda ovih pojava je ista. Ograničavamo se na raspravu o samo jednom vrlo važnom efektu smetnji, što je formiranje stalnih talasa.

Preduvjet Formiranje stalnih talasa prisustvo je granica koje odražavaju valove koji padaju na njih. Stojeći talasi formiraju se kao rezultat dodavanja pada i reflektiranih valova. Takve pojave su prilično česte. Dakle, svaki ton zvuka bilo kojeg muzičkog instrumenta uzbuđen je stojećim valom. Ovaj val se formira ili u nizu (guzički alati) ili u zračnom stupcu (mesingani alati). Reflektirajuće granice u tim slučajevima su točke pričvršćivanja niza i površine unutarnjih šupljina vjetra.

Svaki stoji val ima sljedeća svojstva. Čitav prostor prostora u kojem se val uzbuđuje može se podijeliti u ćelije na takav način da ćelije oscilacije potpuno odsutne u granicama. Točke koje se nalaze na tim granicama nazivaju se stalnim talasnim čvorovima. Faze oscilacija u unutrašnjim tačkama svake ćelije su iste. Oscilacije u susjednim ćelijama izrađene su jedni prema drugima, odnosno u antifazi. Unutar jedne ćelije, amplituda oscilacije varira u prostoru i na nekom mjestu dostiže maksimalnu vrijednost. Točke u kojima se opaže naziva se plaže stalnog vala. Konačno, karakteristična imovina stalnih talasa diskretnost je spektra njihovih frekvencija. U stojećem valu, oscilacije se mogu izvoditi samo s strogo određenim frekvencijama, a prijelaz iz jednog od njih na drugi događaj se pojavljuju sa skokom.

Razmotrite jednostavan primjer stojećeg vala. Pretpostavimo da se žice ograničene dužine ispruže duž osi; Njeni su krajevi čvrsto fiksirani, a lijevi kraj je na početku koordinata. Tada će koordinata desnog kraja biti. Uzbuditi val u nizu

,

širenje lijevo na desno. S desnog kraja valnog niza utječe. Pretpostavimo da će se to dogoditi bez gubitka energije. U ovom slučaju, reflektirani val imat će istu amplitudu i istu frekvenciju kao i incident. Stoga bi reflektirani val trebao biti:

Njegova faza sadrži stalnu, određujući promjenu faze kada se odražava. Budući da se refleksija nastaje na oba kraja niza i bez gubitka energije, valovi istih frekvencija će se istovremeno širiti u nizu. Stoga, prilikom dodavanja i treba biti smetnja. Pronađite nastali val.

Ovo je jednadžba stojećeg vala. Iz njega slijedi da na svakoj tački žica postoje oscilacije s frekvencijom. Istovremeno, amplituda oscilacija u tački je jednaka

.

Budući da su krajevi žica fiksni, nema oscilacije. Iz stanja to slijedi. Stoga konačno dobivamo:

.

Sada je jasno da na bodovima u kojima uopće nema oscilacije. Ove su točke čvorovi stojećeg vala. Tamo je, gdje je amplituda oscilacija maksimalna, jednaka je dvostruku vrijednost amplitude preklopljenih oscilacija. Ove su točke plaže stojećeg vala. U izgledu pogađanja i čvorova, smetnje je: na nekim mjestima, oscilacije su poboljšane, a drugi nestaju. Udaljenost između susjednih čvorova i zvijeri je iz očitog stanja :. Od tada. Shodno tome, udaljenost između susjednih čvorova.

Iz jednadžbe stojećeg vala jasno je da multiplikator Prilikom prelaska kroz nultu vrijednost mijenja znak. U skladu s tim razlikuju se faze oscilacije na različitim stranama čvora. To znači da tačke leže duž različitih strana čvora fluktuiraju u antifazi. Sve su točke zaključene između dva susjedna čvorova u istoj fazi.

Dakle, prilikom dodavanja incidenata i reflektirane valove, zaista je moguće dobiti sliku valnog pokreta koji su okarakterizirani ranije. Istovremeno, ćelije o kojima se razgovaralo u jednodimenzionalnom slučaju su segmenti zaključene između susjednih čvorova i dužine.

Da se konačno uvjeremo da val koji nas razmatra može postojati samo sa strogo određenim frekvencijama oscilacija. Koristimo činjenicu da su oscilacije na desnom kraju niza odsutne, odnosno. Odavde se ispostavilo da. Ova je jednakost moguća ako, gdje - cjelokupni proizvoljni pozitivan broj.