1) функція Y має бути кінцевою, безперервнийі однозначною;

2) похідні повинні бути безперервні;

3) функція має бути інтегрована, тобто. інтеграл повинен бути кінцевим.

Рівняння (8) є загальним рівнянням Шредінгера. Його також називають тимчасовим рівнянням Шредінгераоскільки воно містить похідну від функції Y за часом. Однак для більшості фізичних явищ, що відбуваються в мікросвіті, рівняння (8) можна спростити, виключивши залежність Y від часу, тобто знайти рівняння Шредінгера для стаціонарних станів – станів із фіксованими значеннями енергії. Це, якщо силове полі, у якому рухається частка, стаціонарно, тобто. функція явно не залежить від часу та має сенс потенційної енергії. В даному випадку рішення рівняння Шредінгера може бути представлене у вигляді добутку двох функцій, одна з яких є функція лише координат, інша - тільки часу, причому залежність від часу виражається множником, так що

де Е- Повна енергія частки, постійна у разі стаціонарного поля. Підставляючи це в (8), отримаємо

звідки прийдемо до рівняння, що визначає функцію y:

. (9)

Рівняння (9) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. До цього рівняння як параметр входить повна енергія Ечастки. Теоретично диференціальних рівнянь доводиться, що такі рівняння мають безліч рішень, у тому числі у вигляді накладання граничних умов відбирають рішення, мають фізичний сенс. Для рівняння Шредінгера такими умовами є вищезазначені умови регулярності хвильових функцій. Таким чином, реальний фізичний сенс мають лише такі рішення, що виражаються регулярними функціями y. Але регулярні рішення мають місце не за будь-яких значень параметра Е, лише при певному їх наборі, притаманному даної задачи. Ці значення енергії називаються власними. Рішення ж, які відповідають власнимзначенням енергії, називаються власними функціями. Власні значення Еможуть утворити як безперервний, і дискретний ряд. У першому випадку говорять про безперервному, або суцільному, спектрі, у другому – про дискретний спектр.

4. Ядерна модель атома.

Загальноприйняту сьогодні ядерну (планетарну) модель атома запропонував Е. Резерфорд. Згідно з цією моделлю, навколо позитивного ядра, що має заряд Ze (Z- Порядковий номер елемента в системі Менделєєва, е- Елементарний заряд), розмір 10 -15 -10 -14 мта масу, практично рівну масі атома, в області з лінійними розмірами порядку 10 -10 мпо замкнутих орбіт рухаються електрони, утворюючи електронну оболонку атома. Оскільки атоми нейтральні, заряд ядра дорівнює сумарному заряду електронів, тобто. навколо ядра обертається Zелектронів.

Спроби побудувати модель атома у межах класичної фізики не сприяли успіху. Подолання труднощів зажадало створення якісно нової – квантової- Теорії атома. Перша спроба побудови такої теорії була зроблена Нільсом Бором. В основу своєї теорії Бор поклав два постулати.

Перший постулат Бора (постулат стаціонарних станів): в атомі існують стаціонарні (не змінюються згодом) стани, у яких не випромінює енергії. Стаціонарним станом атома відповідають стаціонарні орбіти, якими рухаються електрони. Рух електронів за стаціонарними орбітами не супроводжується випромінюванням електромагнітних хвиль. У стаціонарному стані атома електрон, рухаючись круговою орбітою, повинен мати дискретні квантовані значення моменту імпульсу, що задовольняє умові

де m e- Маса електрона, v- Його швидкість по n-ой орбіті радіусу r n.

Другий постулат Бору (правило частот): при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу випромінюється (поглинається) один фотон з енергією

рівної різниці енергій відповідних стаціонарних станів ( E nі E m– відповідно енергії стаціонарних станів атома до та після випромінювання (поглинання)). При E n<E mвідбувається випромінювання фотона (перехід атома зі стану з більшою енергією в стан з меншою енергією, тобто перехід електрона з більш віддаленої від ядра орбіти на найближчу), при E n>E m– його поглинання (перехід атома у стан із більшою енергією, тобто. перехід електрона більш віддалену від ядра орбіту). Набір можливих дискретних частот квантових переходів визначає лінійний спектр атома.

Постулати, висунуті Бором, дозволили розрахувати спектр атома водню та водородоподібних систем– систем, що складаються з ядра із зарядом Zeта одного електрона (наприклад, іони He + , Li 2+). Наслідуючи Бору, розглянемо рух електрона в такій системі, обмежуючись круговими стаціонарними орбітами. Вирішуючи спільно рівняння , запропоноване Резерфордом, і рівняння (10), отримаємо вираз для радіусу n-ї стаціонарної орбіти:

.

Звідки випливає, що радіуси орбіт зростають пропорційно до квадратів цілих чисел. Для атома водню ( Z=1) радіус першої орбіти електрона при n=1, званий першим борівським радіусом (а), дорівнює

,

що відповідає розрахункам виходячи з кінетичної теорії газів.

Крім цього, враховуючи квантовані для радіусу n-й стаціонарної орбіти значення, можна показати, що енергія електрона може приймати лише такі дозволені дискретні значення:

,

де знак мінус означає, що електрон перебуває у зв'язаному стані.

5. Атом водню у квантовій механіці.

Розв'язання задачі про енергетичні рівні електрона для атома водню (а також водневих систем: іона гелію He + , дворазово іонізованого літію Li ++ та ін.) зводиться до задачі про рух електрона в кулонівському полі ядра.

Потенційна енергія взаємодії електрона з ядром, що має заряд Ze(для атома водню Z=1),

,

де r– відстань між електроном та ядром.

Стан електрона в атомі водню описується хвильовою функцією y, що відповідає стаціонарному рівнянню Шредінгера (9), що враховує попереднє значення потенційної енергії:

, (12)

де m- Маса електрона, Е- Повна енергія електрона в атомі. Оскільки поле, в якому рухається електрон, є центрально-симетричним, то для вирішення рівняння (12) зазвичай використовують сферичну систему координат: r, q, j. Не вдаючись у математичне рішення цього завдання, обмежимося розглядом найважливіших результатів, що з нього випливають.

1. Енергія. У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння типу (27) мають рішення, що задовольняють вимогам однозначності, кінцівки та безперервності хвильової функції y, тільки при власних значеннях енергії

, (13)

тобто. дискретного набору негативних значень енергії. Найнижчий рівень Е 1, що відповідає мінімальній можливій енергії, - Основний, всі інші ( E n >E 1, n=1, 2, 3, …) – збуджені. При E<0 движение электрона является пов'язаним, а при E>0 – вільним; область безперервного спектру Е>0 відповідає іонізований атом. Вираз (13) збігається з формулою, отриманою Бором енергії атома водню. Проте якщо Бору довелося вводити додаткові гіпотези (постулати), то квантової механіці дискретні значення енергії, будучи наслідком самої теорії, випливають безпосередньо з вирішення рівняння Шредінгера.

2. Квантові числа. У квантовій механіці доводиться, що рівняння Шредінгера (12) задовольняють власні функції , що визначаються трьома квантовими числами: головним n, орбітальним lта магнітним m l.

Головне квантове число n, згідно (13), визначає енергетичні рівні електронав атомі і може набувати будь-яких цілісних значень починаючи з одиниці:

n=1, 2, 3, …

З рішення рівняння Шредінгера випливає, що момент імпульсу(механічний орбітальний момент) електрона квантується, тобто. не може бути довільним, а приймає дискретні значення, що визначаються формулою

де l – орбітальне квантове число, яке при заданому nприймає значення l=0, 1, …, (n-1), тобто. всього nзначень і визначає момент імпульсу електронав атомі.

З рішення рівняння Шредінгера слід також, що вектор L lмоменту імпульсу електрона може лише такі орієнтації у просторі, у яких його проекція L lzна напрямок zзовнішнього магнітного поля набуває квантованих значень, кратних:

Рис. 1

де m l – магнітне квантове число, яке при заданому lможе приймати значення m l=0, ±1, ±2, …, ± l, тобто. всього 2 l+1 значень. Таким чином, магнітне квантове число m lвизначає проекцію моменту імпульсу електрона на заданий напрямок, Причому вектор моменту імпульсу електрона в атомі може мати в просторі 2 l+1 орієнтацій.

Імовірність виявлення електрона у різних частинах атома різна. Електрон при своєму русі як би «розмазаний» по всьому об'єму, утворюючи електронну хмару, густина якої характеризує ймовірність знаходження електрона в різних точках об'єму атома. Квантові числа n і l характеризують розмір і форму електронної хмари, а квантове число m l характеризує орієнтацію електронної хмари у просторі.

3. Спектр. Гази, що світяться, дають лінійчасті спектри випромінювання. Відповідно до закону Кірхгофа спектри поглинання газів також мають лінійну структуру. Усі серіальні формули спектру водню можуть бути виражені єдиною формулою, яка називається узагальненою формулою Бальмера:

, (16)

де R=3,293×10 15 з -1 – постійна Рідберга, mі n– цілі числа, причому для цієї серії n=m+1, m+2, m+3 і т.д. Усього розрізняють шість серій спектральних ліній: серія Лаймана ( m=1), серія Бальмера ( m=2), серія Пашена ( m=3), серія Брекета ( m=4), серія Пфунда ( m=5), серія Хемфрі ( m=6) (рис. 1).

6. Спин електрона. Принцип Паулі. Принцип невиразності

тотожні частки.

У 1922 р. було виявлено, що вузький пучок атомів водню, які явно перебувають у s-стані, у неоднорідному магнітному полі розщеплюється на два пучки. У цьому вся стан момент імпульсу електрона дорівнює нулю (14). Магнітний момент атома, що з орбітальним рухом електрона, пропорційний механічному моменту, тому він дорівнює нулю і магнітне полі має впливати на рух атомів водню переважно стані, тобто. розщеплення не повинно бути.

Для пояснення цього явища, а також ряду інших труднощів в атомній фізиці було запропоновано, що електрон має власним незнищенним механічним моментом імпульсу, не пов'язаним з рухом електрона у просторі, – спином. Спин електрона (і всіх інших частинок) – квантова величина, вона не має класичного аналога; це внутрішня невід'ємна властивість електрона, подібна до його заряду і масі.

Якщо електрону приписується свій механічний момент імпульсу (спин) L s то йому відповідає власний магнітний момент. Відповідно до загальних висновків квантової механіки, спин квантується за законом

,

де s – спинове квантове число.

За аналогією з орбітальним моментом імпульсу, проекція L szспина квантується так, що вектор L s може приймати 2 s+1 орієнтацій. Оскільки в дослідах спостерігалися лише дві орієнтації, то 2 s+1=2, звідки s=1/2. Проекція спина на напрям зовнішнього магнітного поля, є квантованою величиною, аналогічним (15):

де m s – магнітне спинове квантове число; воно може мати лише два значення: .

Розподіл електронів в атомі підпорядковується квантово-механічному закону, принципом Пауліабо принципом виключення. У своєму найпростішому формулюванні він говорить: «У будь-якому атомі не може бути двох електронів, що перебувають у двох однакових стаціонарних станах, що визначаються набором чотирьох квантових чисел: головного n, орбітального l, магнітного m lта спинового m s», тобто. Z(n, l, ml, ms)=0 або 1, де Z(n, l, ml, ms)- Число електронів, що знаходяться в квантовому стані, що описується набором чотирьох квантових чисел: n, l, ml, ms. Таким чином, принцип Паулі стверджує, що два електрони, пов'язані в тому самому атомі, відрізняються значеннями принаймні одного квантового числа.

Сукупність електронів у багатоелектронному атомі, що мають одне й те саме головне квантове число n, називають електронною оболонкою. У кожній з оболонок електрони розподіляються за підболочкам, що відповідає даному l. Оскільки орбітальне квантове число набуває значення від 0 до n-1, число підболочок дорівнює порядковому номеру nоболонки. Кількість електронів у підболочці визначається магнітним та магнітним спіновим квантовими числами: максимальна кількість електронів у підболочці з даними lодно 2(2 l+1).

Якщо перейти від розгляду руху однієї мікрочастинки (одного електрона) до багатоелементних систем, то виявляються особливі властивості, які не мають аналога у класичній фізиці. Нехай квантово-механічна система складається з однакових частинок, наприклад електронів. Усі електрони мають однакові фізичні властивості – масу, електричний заряд, спін та інші внутрішні характеристики. Такі частки називаються тотожними.

Незвичайні властивості системи однакових тотожних частинок виявляються в фундаментальномупринцип квантової механіки - принцип нерозрізненості тотожних частинок, згідно з яким неможливо експериментально розрізнити тотожні частки. У класичній механіці навіть однакові частинки можна розрізнити за становищем у просторі та імпульсам, тобто. класичні частинки мають індивідуальність.

У квантовій механіці становище інше. Зі співвідношення невизначеностей випливає, що для мікрочастинок взагалі не застосовується поняття траєкторії; стан мікрочастинки описується хвильовою функцією, що дозволяє обчислювати лише ймовірність () знаходження мікрочастинки на околицях тієї чи іншої точки простору. Якщо ж хвильові функції двох тотожних частинок у просторі перекриваються, то розмова у тому, яка частка перебуває у цій галузі, взагалі позбавлений сенсу: можна говорити лише про можливість перебування у цій галузі однієї з тотожних часток. Таким чином, у квантовій механіці тотожні частки повністю втрачають свою індивідуальність і стають невиразними.

7. Квантові статистики. Вироджений газ.

Основне завдання статистичної фізики в квантових статистиках полягає у знаходженні функції розподілу частинок системи за тими чи іншими параметрами – координатами, імпульсами, енергіями тощо, а також у відшуканні середніх значень цих параметрів, що характеризують макроскопічний стан усієї системи частинок. Для систем ферміонів і бозонів ці завдання вирішуються однаково, але дещо по-різному у зв'язку з тим, що бозони не підкоряються принципу Паулі. Відповідно до цього розрізняються дві квантові статистики: Фермі-Дірака та Бозе-Ейнштейна, у межах яких визначено вид функції розподілу частинок системи за енергіями.

Нагадаємо, що функція розподілу за енергіямиє частка від загальної кількості частинок, які мають енергію в інтервалі значень від Wдо W+dW:

,

де N- загальна кількість частинок, f(W)- Функція розподілу по енергіях.

Для системи з nневзаємодіючих ферміонів з енергією W(ідеальний Фермі-газ) або системи з nневзаємодіючих бозонів з енергією W(Ідеальний Бозе-газ) були визначені схожі функції розподілу:

, (17)

де k- Постійна Больцмана, Т- Термодинамічна температура, m- хімічний потенціал, що є зміною енергії системи при зміні на одиницю числа частинок системи при ізохорному або ізоентропійному процесі. У рамках статистики Фермі-Дірака (32) беруть знак «+», тобто. в цьому випадку . Відповідно для Бозе-газу - знак "-" і .

Газназивається виродженимякщо його властивості відрізняються від властивостей класичного ідеального газу. У виродженому газі відбувається взаємний квантово-механічний вплив частинок газу, зумовлений нерозрізністю тотожних частинок. Поведінка ферміонів і бозонів по-різному при виродженні.

Для характеристики ступеня виродження газу вводиться параметр виродження А:

Функція розподілу за допомогою параметра виродження обох квантових статистик запишеться у вигляді:

.

Якщо параметр виродження малий A<<1, то и функция распределения превращается в функцію розподілу Максвелла-Больцмана, що лежить в основі класичної статистики невиродженого газу:

Температурою виродженняназивається температура, нижче за яку чітко виявляються квантові властивості ідеального газу, зумовлені тотожністю частинок. Порівняно легко можна грубо оцінити температурний критерій виродження газу. Виродження нормальних газів позначається при низьких температурах. Для фотонного та електронного газу у металах це не справедливо. Електронний газ у металах практично завжди вироджений. Тільки за температур вище кількох десятків тисяч градусів електрони металу підкорялися б класичній статистиці Максвелла-Больцмана. Але існування металів у конденсованому стані за таких температур неможливе. Тому класичний опис поведінки електронів у металах призводить до електродинаміки часом до законів, різко суперечать досвіду. У напівпровідниках концентрація електронного газу значно менша, ніж у металах. У умовах температура виродження становить близько 10 -4 До й електронний газ у напівпровідниках є невиродженим і підпорядковується класичної статистики. Прикладом виродженого газу є фотонний газ. Оскільки маса фотона дорівнює нулю, то температура виродження прагне нескінченності. Фотонний газ за будь-якої температури є виродженим. Атомні та молекулярні гази мають дуже малі температури виродження. Наприклад, для водню за нормальних умов температура виродження становить близько 1 К. Для інших газів, важчих, ніж водень, вона ще менше. Гази за нормальних умов не бувають вироджені. Виродження, пов'язане з квантовими властивостями газів, проявляється значно менше, ніж відхилення газів від ідеальності, спричинене міжмолекулярними взаємодіями.

Максимальна енергія, яку можуть мати електрони провідності у кристалі при 0 К називається енергією Ферміі позначається E F. Найвищий енергетичний рівень, зайнятий електронами, називається рівнем Фермі. p align="justify"> Рівню Фермі відповідає енергія Фермі, яку мають електрони на цьому рівні. Рівень Фермі, очевидно, буде тим вищим, чим більша щільність електронного газу. Роботу виходу електрона з металу необхідно відраховувати від рівня Фермі, тобто. від верхнього із зайнятих електронами енергетичних рівнів.

8. Поняття про зонну теорію твердих тіл.

Використовуючи рівняння Шредінгера, у принципі можна розглянути завдання про кристал, наприклад знайти можливі значення його енергії, а також відповідні енергетичні стани. Однак як у класичній, так і в квантовій механіці відсутні методи точного вирішення такого завдання для багатьох часток. Тому це завдання вирішується приблизно зведенням задачі багатьох частинок до одноелектронної задачі про один електрон, що рухається в заданому зовнішньому полі. Подібний шлях призводить до зонної теорії твердого тіла.

Рис. 2

Поки що атоми ізольовані, тобто. знаходяться один від одного на макроскопічних відстанях, вони мають схеми енергетичних рівнів, що збігаються. При освіті кристалічних ґрат, тобто. при зближенні атомів до міжатомних відстаней грати взаємодія між атомами призводить до того, що енергетичні рівні атомів зміщуються, розщеплюються і розширюються в зони, утворюючи зонний енергетичний спектр. На рис. 2 показано розщеплення енергетичних рівнів залежно від відстані між атомами. Видно, що помітно розщеплюються і розширюються лише рівні зовнішніх, валентних електронів, що найслабше пов'язані з ядром і мають найбільшу енергію, а також вищі рівні, які в основному стані атома взагалі електронами не зайняті. А рівні внутрішніх електронів або зовсім не розщеплюються, або розщеплюються слабо. Таким чином, у твердих тілах внутрішні електрони поводяться так само, як у ізольованих атомах, валентні ж електрони «колективізовані» - належать всьому твердому тілу.

Енергія зовнішніх електронів може набувати значень у межах зафарбованих на рис. 2 областей, званих дозволеними енергетичними рівнями. Кожна дозволена зона «вміщує» у собі стільки прилеглих дискретних рівнів, скільки атомів містить кристал: що більше у кристалі атомів, то вже розташовані рівні у зоні. Відстань між сусідніми енергетичними рівнями настільки мізерна (порядку 10 -22 еВ), що зони можна вважати практично безперервними, проте факт кінцевого числа рівнів у зоні відіграє важливу роль для розподілу електронів за станами. Дозволені енергетичні зони розділені зонами заборонених значень енергій, які називаються забороненими енергетичними зонами. Вони електрони перебувати що неспроможні. Ширина зон (дозволених та заборонених) не залежить від розміру кристала. Дозволені зони тим ширші, ніж слабкіший зв'язок валентних електронів з атомами.

Зонна теорія твердих тіл дозволила з одного погляду витлумачити існування металів, діелектриків і напівпровідників, пояснюючи відмінність у тому електричних властивостях, по-перше, неоднаковим заповненням електронами дозволених зон і, по-друге, шириною заборонених зон. Ступінь заповнення електронами енергетичних рівнів у зоні визначається заповненням відповідних атомних рівнів. У загальному випадку можна говорити про валентної зони, яка повністю заповнена електронами та утворена з енергетичних рівнів внутрішніх електронів вільних атомів; зоні провідності (вільній зоні), Що або частково заповнена електронами, або вільна і утворена з енергетичних рівнів зовнішніх «колективізованих» електронів ізольованих атомів. Залежно від ступеня заповнення зон електронами та ширини забороненої зони можливі чотири випадки (рис. 3).

На рис. 3, анайвища зона, що містить електрони, заповнена лише частково, тобто. у ній є вакантні рівні. В даному випадку електрон, отримавши скільки завгодно малу енергетичну «добавку» (наприклад, за рахунок теплового руху або електричного поля), зможе перейти на більш високий енергетичний рівень тієї ж зони,

Довжина хвилі квантової частки обернено пропорційна її імпульсу.

Один із фактів субатомного світу полягає в тому, що його об'єкти – такі як електрони чи фотони – зовсім не схожі на звичні об'єкти макросвіту. Вони ведуть себе і не як частинки, і не як хвилі, а як зовсім особливі утворення, що виявляють і хвильові, і корпускулярні властивості залежно від обставин. див.Принцип додатковості. Одна справа - це заявити, і зовсім інша - пов'язати воєдино хвильові та корпускулярні аспекти поведінки квантових частинок, описавши їх точним рівнянням. Саме це було зроблено у співвідношенні де Бройля.

Луї де Бройль опублікував виведене ним співвідношення як складник своєї докторської дисертації в 1924 році. Співвідношення де Бройля, що здавалося спочатку божевільною ідеєю, докорінно перевернуло уявлення фізиків-теоретиків про мікросвіт і зіграло найважливішу роль у становленні квантової механіки. Надалі кар'єра де Бройля склалася дуже прозаїчно: до виходу на пенсію він працював професором фізики в Парижі і ніколи більше не піднімався до запаморочливих висот революційних прозрінь.

Тепер коротко опишемо фізичний сенс співвідношення де Бройля: одна з фізичних характеристик будь-якої частки - її швидкість.При цьому фізики з ряду теоретичних і практичних міркувань вважають за краще говорити не про швидкість частинки як такої, а про її імпульсі(або кількості руху), який дорівнює добутку швидкості частки на її масу. Хвиля описується зовсім іншими фундаментальними характеристиками - довжиною (відстанню між двома сусідніми піками амплітуди одного знака) або частотою (величина, обернено пропорційна довжині хвилі, тобто кількість піків, що проходять через фіксовану точку за одиницю часу). Де Бройлю вдалося сформулювати співвідношення, що зв'язує імпульс квантової частки різ довжиною хвилі λ, яка її описує:

p = h/λ або λ = h/p

Це співвідношення говорить буквально таке: за бажання можна розглядати квантовий об'єкт як частинку, що має кількість руху р; з іншого боку, її можна розглядати як хвилю, довжина якої дорівнює λ і визначається запропонованим рівнянням. Іншими словами, хвильові та корпускулярні властивості квантової частки фундаментально взаємопов'язані.

Співвідношення де Бройля дозволило пояснити одну з найбільших загадок квантової механіки, що зароджується. Коли Нільс Бор запропонував свою модель атома ( див.Атом Бора), вона включала концепцію дозволених орбітелектронів навколо ядра, якими вони могли скільки завгодно довго обертатися без втрати енергії. З допомогою співвідношення де Бройля ми можемо проілюструвати це поняття. Якщо вважати електрон часткою, то, щоб електрон залишався на своїй орбіті, у нього повинна бути та сама швидкість (або, вірніше, імпульс) на будь-якій відстані від ядра.

Якщо ж вважати електрон хвилею, те, щоб він вписався в орбіту заданого радіусу, треба, щоб довжина кола цієї орбіти дорівнювала цілому числу довжини його хвилі. Іншими словами, коло орбіти електрона може дорівнювати лише одній, двом, трьом (і так далі) довжинам його хвиль. У разі нецілого числа довжин хвилі електрон просто не потрапить на потрібну орбіту.

Головний фізичний сенс співвідношення де Бройля у цьому, що ми можемо визначити дозволені імпульси (в корпускулярному уявленні) чи довжини хвиль (у хвильовому уявленні) електронів на орбітах. Для більшості орбіт, однак, співвідношення де Бройля показує, що електрон (розглядається як частка) з конкретним імпульсом не може мати відповідну довжину хвилі (у хвильовому уявленні) таку, що він впишеться в цю орбіту. І навпаки, електрон, який розглядається як хвиля певної довжини, далеко не завжди матиме відповідний імпульс, який дозволить електрону залишатися на орбіті (в корпускулярному поданні). Іншими словами, для більшості орбіт з конкретним радіусом або хвильовий або корпускулярний опис покаже, що електрон не може перебувати на цій відстані від ядра.

Однак існує невелика кількість орбіт, на яких хвильове та корпускулярне уявлення про електрон збігаються. Для цих орбіт імпульс, необхідний для того, щоб електрон продовжував рух по орбіті (корпускулярний опис), точно відповідає довжині хвилі, необхідної, щоб електрон вписався в окружність (хвильовий опис). Саме ці орбіти і виявляються дозволенимиу моделі атома Бора, оскільки тільки на них корпускулярні та хвильові властивості електронів не вступають у суперечність.

Мені подобається ще одна інтерпретація цього принципу — філософська: модель атома Бора припускає лише такі стани та орбіти електронів, за яких не важливо, яку з двох ментальних категорій людина застосовує для їхнього опису. Тобто, іншими словами, реальний мікросвіт влаштований так, що йому немає справи до того, у яких категоріях ми намагаємось його осмислити!

Див. також:

Сторінка 1

Хімічні процеси зводяться до перетворення молекул, тобто. до виникнення та руйнування зв'язків між атомами. Тому найважливішою проблемою хімії завжди була і залишається проблема хімічної взаємодії, тісно пов'язана із будовою та властивостями речовини. Сучасне наукове трактування питань хімічної будови та природи хімічного зв'язку дається квантової

механікою

– теорією руху та взаємодії мікрочастинок (електронів, ядер тощо).

Однією із загальних властивостей матерії є її двоїстість. Частинки матерії мають одночасно і корпускулярні і хвильові властивості. Співвідношення "хвиля - частка" таке, що зі зменшенням маси частки її хвильові властивості дедалі більше посилюються, а корпускулярні - слабшають. Коли ж частка стає порівнянною з атомом, спостерігаються типові хвильові явища. Одночасно виявляється неможливим опис руху та взаємодії мікрочастинок-хвиль законами руху тіл з великою масою. Перший крок у напрямку створення хвильової або квантової механіки, закони якої поєднують і хвильові, і корпускулярні властивості частинок, зробив де Бройлем (1924). Де Бройль висловив гіпотезу, що з кожною матеріальною часткою пов'язаний деякий періодичний процес. Якщо частка рухається, то цей процес представляється у вигляді хвилі, що поширюється, яку називають хвилею де Дройля

Або фазовою хвилею

Швидкість частинки V пов'язана із довжиною хвилі λ співвідношенням де Бройля

де m - Маса частки (наприклад, електрона);

h – постійна Планка.

Рівняння (1) відноситься до вільного руху частинок. Якщо ж частка рухається в силовому полі, то пов'язані з нею хвилі описуються так званою хвильовою функцією

Загальний вигляд цієї функції визначив Шредінгер (1926). Знайдемо функцію хвилі наступним шляхом. Рівняння, що характеризує напруженість поля Еа плоскої монохроматичної хвилі світла, можна записати у вигляді:

, (2)

де Еа0 - амплітуда хвилі;

ν – частота коливань;

t – час;

λ – довжина хвилі;

х – координата у напрямі поширення хвилі.

Оскільки другі похідні від рівняння плоскої хвилі (2), взяті за часом t і координатою х, рівні відповідно:

, (3)

, (4)

то

Підставляючи λ=с/ V (з – швидкість світла), отримуємо хвильове рівняння для плоскої світлової хвилі:

, (5)

Наступні перетворення ґрунтуються на припущеннях, що поширення хвиль де Бройля описується аналогічним рівнянням, і що ці хвилі стають стаціонарними та сферичними. Спочатку уявімо, що за рівнянням (5) змінюється значення нової функції від координат (χ, y, z), що має сенс амплітуди деякого коливального процесу. Тоді, замінюючи Еа на ψ, отримаємо хвильове рівняння у формі.

Недоліки моделі бору. Висунута Бором модель атома досі використовується у ряді випадків. Нею можна користуватися, інтерпретуючи розташування елементів у періодичній таблиці та закономірності зміни енергії іонізації елементів. Проте модель Бора має недоліки. 1. Ця модель не дозволяє пояснити деякі особливості у спектрах важчих елементів, ніж водень. 2. Експериментально не підтверджується, що електрони в атомах обертаються навколо ядра по кругових орбітах з певним кутовим моментом.

Подвійна природа електрона. Відомо, що електромагнітне випромінювання здатне виявляти як хвильові, так і корпускулярні властивості (подібні до властивостей частинок). У разі воно веде себе як потік частинок – фотонів. Енергія фотона пов'язана з його довжиною хвилі λ або частотою υ співвідношенням E = h ·υ = h · c/ λ ( з = λ · υ),

де h- Постійна Планка дорівнює 6,62517∙10 -34 Дж∙с, c- швидкість світла.
Луї де Бройль висловив сміливе припущення, що аналогічні хвильові властивості можна приписати і електрону. Він об'єднав рівняння Ейнштейна ( E = m ·з 2) та Планка ( E = h ·υ) в одне:

h ·υ = m · c 2 h · с/ λ = m · c 2 λ = h/m · c.

λ = h/m · ѵ,

де – ѵ швидкість електрона. Це рівняння ( рівняння де Бройля), що зв'язує довжину хвилі з його імпульсом ( mѵ), і лягло основою хвильової теорії електронної будови атома. Де Бройль запропонував розглядати електрон як стоячу хвилю, яка повинна вміщатися на атомній орбіті ціле число разів, що відповідає номеру електронного рівня. Так, електрону, що знаходиться на першому електронному рівні (n = 1), відповідає в атомі одна довжина хвилі, на другому (n = 2) – дві тощо.

Подвійна природа електрона призводить до того, що його рух не може бути описаний певною траєкторією, траєкторія розмивається, з'являється "смуга невизначеності", в якій знаходиться ē. Чим точніше ми намагатимемося визначити місцезнаходження електрона, тим менш точно знатимемо про його швидкість. Другий закон квантової механіки звучить так: «Неможливо одночасно з будь-якою заданою точністю визначити координати та імпульс (швидкість) електрона, що рухається» - це принцип невизначеності Гейзенберга. Ця можливість оцінюється рівнянням Шредінгера (основне рівняння квантової механіки):

H · ψ = E · ψ,

де H - оператор Гамільтона, що вказує на певну послідовність операцій з - функцією. Звідси Е = H · ψ/ψ. Рівняння має кілька розв'язків. Хвильова функція, що є рішенням рівняння Шредінгера, є атомною. орбіталь.Як модель стану електрона в атомі прийнято уявлення про електронну хмару, щільність відповідних ділянок якої пропорційна ймовірності знаходження там електрона.

Незважаючи на неможливість точного визначення положення електрона, можна вказати ймовірність знаходження електрона у певному положенні у будь-який момент часу. З принципу невизначеності Гейзенберга випливають два важливі наслідки.

1. Рух електрона у атомі – рух без траєкторії. Замість траєкторії у квантовій механіці запроваджено інше поняття –ймовірність перебування електрона у певній частині обсягу атома, яка корелює з електронною щільністю при розгляді електрона як електронну хмару.

2. Електрон не може впасти на ядро. Теорія Бора не пояснила цього явища. Квантова механіка пояснила і цього явища. Збільшення ступеня визначеності координат електрона при його падінні на ядро ​​викликало б різке зростання енергії електрона до 1011 кДж/моль і більше. Електрон з такою енергією замість падіння на ядро ​​повинен залишити атом. Звідси випливає, що зусилля необхідно не для того, щоб утримати електрон від падіння на ядро, а для того, щоб змусити електрон перебувати в межах атома.

Список літератури:

Синкевич О.А., Стаханов І.Р.; фізика плазми; видавництво МЕІ, 1991 р

Синкевич О.А.; Хвилі та нестійкості в суцільних середовищ; видавництво МЕІ, 2016 р

Синкевич О.А.; Акустичні хвилі плазми твердого тіла; видавництво МЕІ, 2007 р

Аретемов В.І., Левітан Ю.С., Синкевич О.А.; Нестійкість та турбулентність у низькотемпературній плазмі; видавництво МЕІ, 1994/2008

Райдер Ю.П.; Фізика газового розряду 1992/2010

Іванов А.А. Фізика сильнонерівноважної плазми 1977

Плазма- Середовище що складаються з нейтральних частинок (молекули, атоми, іони та електрони) в якому зовнішня взаємодія електромагнітного поля є головним.

Приклади плазми: Сонце, електрика (блискавки), Північне сіяння, зварювання, лазери.

Плазма буває

Газовий(9 семестр). Щільність може варіюватися від 10 4 до 10 27 кг/м 3 температури від 10 5 до 10 7 К

Твердий(10 семестр).

Плазма за агрегатним станом буває

Частковою. Це коли є суміш частинок, яка частина з них іонізована.

ПовнийЦе коли всі частки іонізовані.

Спосіб одержання плазми на прикладі кисню. Починаємо з температури 0 К, починаючи нагрівати, в початковому стані буде твердою, після досягнення деякого значення рідкої, а далі і газоподібної. Починаючи з певної температури, відбувається диссипація і молекула кисню поділяється на атоми кисню. Якщо продовжувати нагрівати кінетичної енергії у електронів буде достатньою щоб залишити атом і таким чином атом перетворитися на іон (часткова плазма). Якщо продовжувати нагрівати, то атомів просто не залишиться (повна плазма)

Фізика плазми ґрунтується на наступних науках:

Термодинаміка

Електродинаміка

Механіка рух заряджених тіл

1. Класичну (ур. Ньютона)

   1. Неревітельійську (U<

      Ревітельійську

Квантову

Кінетична теорія (ур. Больцмана)

Класична механіка у зовнішніх електромагнітних полях

Розглянемо нагоду, коли B=0.

Розглянемо випадок, коли E = 0, U = (Ux, 0,0); B=(0,0,Bz)

Розглянемо випадок, коли Е=(0,Еу,0) та В=(0,0,Вz). Нехай розв'язання неоднорідного рівняння має вигляд

Класична механіка у зовнішніх електромагнітних полях із силою розштовхуванням

Ефект Холла- Струм тече не вектору електричного поля за наявності магнітного поля і зіткнення частинок.

Електродинаміка

Завдання: є деяка частка із зарядом (q), визначитиE(r). Приймемо такі припущення: це завдання стаціонарна, немає струмів так як частка 1 і не рухається. Оскільки rot(B) і div(B) дорівнюють 0, то вектор B=0. Можна припустити, що це завдання буде мати сферичну симетрію, а це означає, що можна використовувати теорему Остроградського-Гаусса.

Електромагнітне поле у ​​плазмі

Завдання: є частка зарядом (q), оточена нейтральною плазмою. Припущення з попередньою задачею не змінилися, що означає B=0. Оскільки плазма нейтральна концентрація негативних і позитивних зарядів буде однаковою.

Плазмові коливання

Розглянемо таку задачу. Є 2 заряди протон та електрон. Так як маса протона набагато більша за масу електрона, протон буде не рухливий. Невідомим способом відсунемо електрон на малу відстань від стану рівноваги і відпустимо його, отримаємо наступне рівняння.

Рівняння електромагнітної хвилі

Розглянемо наступне, струмів нема, щільність заряду нема, тоді

Якщо поставити це рішення на рівняння електромагнітної хвилі, вийде таке

Рівняння електромагнітної хвилі зі струмом (у плазмі)

По суті не чим не відрізняється від минулого завдання

Нехай рішення даного рівняння має такий вигляд, тоді

Якщо електромагнітна хвиля проникає крізь плазму, якщо ні то відбивається і поглинається.

Термодинаміка плазми

Термодинамічна система- це така система у якої немає обміну із зовнішнім середовищем таких як енергії, імпульсу та інформації.

Зазвичай визначення термодинамічних потенціалів визначають таким чином

Якщо використати наближення ідеального газу для плазми

Припустимо, що всі заряди це електрони, і відстань між ними дуже мала, тоді

В області слабкої необробленості можна побудувати на зразок віріального рівняння

У зоні квантової внутрішні енергія це внутрішні енергія Фарадея

У зоні сильно неідеальної плазми провідність речовин може різко змінюватися, що речовина стає діелектриком і провідником.

Розрахунок складу плазми

Основний принцип цього розрахунку взято для знаходження концентрацій хімічних елементів. Якщо дана система знаходиться в рівновазі за певної температури і тиску, то похідна енергії Гіббса за кількістю речовини дорівнює 0.

Бувають різні іонізації: поглинання кванта, зіткнення зі збудженим атомом, термічна та ін. (розглядається саме термічна далі). Для неї виходить така система рівнянь.

Основна проблема полягає в тому, що незрозуміло, як залежить хімічний потенціал від концентрації, для цього необхідно звернутися до квантової фізики.

З невідомих причин це рівняння еквівалентне цьому, в якому концентрація у вільній енергії перевернута. Оскільки теплова довга Де Бройля для атома і для іона є практично однаковою, вони скорочуються. 2 виникає оскільки в електрона є 1 рівень енергії, але це його вага.

Якщо розв'язати систему рівнянь, то концентрація іонів визначається такою формулою

Методика вище розписана для ідеальної іонізації, подивимося, що змінитись у випадку не ідеальності.

Так як для атома дана не ідеальність дорівнює 0, для іона і електрона вони рівні, більше ніяких змін не відбувається, тоді рівняння Саха виглядає наступним чином.

Умови виникнення двох температурної плазми

Йдеться, що у самій плазмі середнє теплова енергія дуже розходиться для електронів проти атомами і іонами. А саме виходить що температура для електронів досягається 10000 К, коли для атомів та іонів лише 300 К.

Розглянемо простий випадок електрон у постійному електричному полі, що викликає термоемісію електронів, тоді його швидкість можна визначити наступним чином

Розглянемо схоже завдання, електрон співпадає з атомами, тоді отримувана потужність можна сказати

Кінетична теорія плазми у процесі перенесення

Ця теорія побудована для того щоб у випадку несуцільного середовища вирішити задачу правильно, при цьому в цій теорії можливий перехід.

Основа цієї теорії закладена у визначенні функції розподілу частинок у певному обсязі з деякою швидкістю в певний момент часу. (Ця функція розглядалася в ТТСВ, так що тут буде якийсь повтор + дані письмена настільки зашифровані що навіть я не можу їх відновити).

Далі буде розглянуто завдання взаємодії 2 частинок, що якось рухаються в просторі. Ця задача перетворюється на простішу замінюючи, що одна частка має відносну масу з відносною швидкістю, що рухається в деяке поле у ​​взаємодії, якої не рухомий. Мета даної задачі – наскільки відхилитися частка від свого первісного руху. Найменшу відстань частинки до центру взаємодії називають прицільним параметром.

Розглянемо функцію в термодинамічній рівновазі, тоді

А отримувана функція розподілу є Максвелла

Проблема полягає в тому, що в такій функції не можна визначити теплопровідність та в'язкість.

Перейдемо безпосередньо до плазми. Нехай процес, що вивчається, є стаціонарним, а сила F=qE, і атоми та іони відповідають розподілу Максвелла.

При перевірці порядків було виразно, що , що дозволяє нам викинути малий член. Нехай потрібна функція визначається таким чином