Transformation de Fourier. Filtration linéaire dans le domaine de fréquence
Le filtrage de l'image linéaire peut être effectué à la fois dans le domaine spatial et fréquence. Dans le même temps, on croit que les fréquences spatiales "basses" correspondent au contenu principal de l'image - des objets de fond et de grande taille, ainsi que des fréquences spatiales "hautes" sont des objets de petite taille, de petites parties de grandes formes et de bruit. composant.
Traditionnellement, pour la transition vers la zone de fréquence spatiale, des méthodes basées sur $ \\ texticules (transformée de Fourier) sont utilisées. DANS dernières années Les méthodes basées sur $ \\ texticules (transformation en ondelettes) $) sont de plus en plus utilisées.
Transformation de Fourier.
La transformation de Fourier vous permet de présenter presque toutes les fonctions ou données définies sous la forme d'une combinaison de tels fonctions trigonométriquesEn tant que sinus et cosinus, qui vous permet d'identifier des composants périodiques dans des données et d'évaluer leur contribution à la structure de données source ou au formulaire de formulaire. Traditionnellement, trois formes principales de transformation de Fourier sont distinguées: la transformation intégrale de Fourier, Fourier Rows et la transformation de Fourier discrète.
La transformation intégrale Fourier traduit la fonction réelle en une paire de fonctions de matériau ou une fonction complète à une autre.
La fonction réelle $ F (x) $ peut être décomposée en fonction du système orthogonal de fonctions trigonométriques, c'est-à-dire que
$$ F \\ Gauche (x \\ droite) \u003d \\ int \\ limites_0 ^ \\ft (a \\ gauche (\\ \\ \\ droite)) \\ cos \\ Gauche ((2 \\ pi \\ oméga x) \\ droite) d \\ oméga - \\ Int \\ limites_0 ^ \\fty (b \\ gauche (\\ oméga \\ droite)) \\ sin \\ gauche (((2 \\ pi \\ oméga x) \\ droite) d \\ oméga, $$
où $ A (\\ OMEGA) $ et $ B (\\ Omega) $ est appelé Integral Cosine et Sinus Transforms:
$$ A \\ Gauche (\\ oméga \\ droite) \u003d 2 \\ int \\ limites _ (- \\ \\fty) ^ (+ \\ \\fty) (f \\ gauche (x \\ droite)) \\ cos \\ Gauche ((2 \\ pi \\ omega x) \\ droite) dx; \\ quadb b \\ gauche (\\ \\ \\ \\ droite) \u003d 2 \\ int \\ limites _ (- \\ \\fty) ^ (+ \\ \\ft) (f \\ gauche (x \\ droite)) \\ sin \\ gauche ((2 \\ pi \\ oméga x) \\ à droite) dx. $$.
Série Fourier représente une fonction périodique $ F (x) $ spécifié sur l'intervalle $$ comme une rangée infinie de sinus et de cosinus. C'est-à-dire la fonction périodique $ f (x) $ est mise en ligne avec la séquence sans fin de coefficients de Fourier
$$ f \\ gauche (x \\ droite) \u003d \\ frac (a_0) (2) + \\ SUM \\ LIMITS_ (N \u003d 1) ^ \\ \\ \\ \\fty (A_n) \\ COS \\ GAUCHE ((2 \\ PI XN) ( Ba)) \\ droite) + \\ somme \\ limites_ (n \u003d 1) ^ \\ ^ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ sin \\ gauche ((\\ frac (2 \\ pi xn) (BA)) \\ Right)), $$
$$ a_n \u003d \\ frac (2) (ba) \\ int \\ limites_a ^ b (f \\ gauche (x \\ droite)) \\ cos \\ restants ((\\ frac (2 \\ pi nx) (BA)) DX ; \\ quad b_n \u003d \\ frac (2) (BA) \\ int \\ limites_a ^ b (f \\ gauche (x \\ droite)) \\ sin \\ gauche ((\\ frac (2 \\ pi nx) (BA)) DX . $$.
La transformation discrète de Fourier traduit la séquence finale de nombres réels dans la séquence finale des coefficients de Fourier.
Soit $ \\ gaucher \\ ((x_i) \\ droite \\), i \u003d 0, \\ ldots, n-1 $ - une séquence de nombres réels - par exemple, les comptes de luminosité de pixel sur la chaîne d'image. Cette séquence peut être représentée comme une combinaison de sommes finies de l'espèce.
$$ x_i \u003d A_0 + \\ SUM \\ LIMITS_ (N \u003d 1) ^ (n / 2) (a_n) \\ COS \\ COS \\ GAUCHE (((\\ frac (2 \\ pi NI) (N)) + \\ SUM \\ Limites_ (n \u003d 1) ^ (n / 2) (B_N \\ SIN \\ GAUCHE ((\\ FRAC (2 \\ pi NI) (N)) \\ Right)), $$
$$ a_0 \u003d \\ frac (1) (n) \\ somme \\ limites_ (i \u003d 0) ^ (n - 1) (x_i), \\ quad a_ (n / 2) \u003d \\ frac (1) (n) \\ somme \\ Limites_ (i \u003d 0) ^ (n-1) (x_i) \\ gauche ((((1) \\ droite) ^ i, \\ quad a_k \u003d \\ frac (2) (n) \\ somme \\ limites_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i \\ cos \\ Gauche ((\\ frac (2 \\ pi IK) (n)) \\ Right)), $$
$$ b_k \u003d \\ frac (2) (n) \\ sum \\ limites_ (i \u003d 0) ^ (n-1) (x_i \\ sin \\ gauche ((\\ frac (2 \\ pi IK) (N)) ), \\ quad je \\ le k La principale différence entre les trois formes de transformation de Fourier est que si la transformation intégrale de Fourier est déterminée tout au long de la fonction de la fonction $ F (x) $, puis un nombre et une transformation de Fourier discrète ne sont définis que sur un multiple discret, infini. pour une série de Fourier et fini pour une conversion discrète. Comme on peut le voir sur les définitions de transformation de Fourier, la transformation discrète de Fourier représente le plus grand intérêt pour les systèmes de traitement du signal numérique. Les données obtenues à partir de supports numériques ou de sources d'information sont des numéros commandés enregistrés sous forme de vecteurs ou de matrices. On suppose généralement que les données d'entrée de la conversion discrète constituent un échantillon uniforme avec une étape $ \\ delta $ et la valeur de $ t \u003d n \\ delta $ est appelée une longueur d'enregistrement, ou la période principale. La fréquence principale est de 1 $ / T $. Ainsi, dans la transformation discrète de Fourier, les données d'entrée sont décomposées dans des fréquences qui constituent un multiple de la fréquence principale. La fréquence maximale déterminée par la dimension des données d'entrée est de 1/2 \\ delta $ et est appelée $ \\ IT (fréquence de Nyvististie) $. La comptabilisation de la fréquence de Nyquist est importante lors de l'utilisation de la transformation discrète. Si les données d'entrée ont des composants périodiques avec des fréquences supérieures à la fréquence nyquist, alors lors du calcul de la transformation de Fourier discrète, une substitution des données à haute fréquence d'une fréquence inférieure, ce qui peut entraîner des erreurs pour interpréter les résultats de la conversion discrète. Un outil d'analyse de données importante est également $ \\ IT (Spectrum Energy) $. La puissance du signal à la fréquence $ \\ oméga $ est définie comme suit: $$ p \\ gauche (\\ oméga \\ droite) \u003d \\ frac (1) (2) \\ gauche ((a \\ gauche (\\ \\ \\ droite) ^ 2 + b \\ gauche (\\ \\ \\ droite) ^ 2) \\ droite ). $$. Cette valeur est souvent appelée $ \\ IT (Signal Energy) $ à la fréquence de $ \\ omega $. Selon le théorème partiel, l'énergie totale du signal d'entrée est égale à la quantité d'énergies dans toutes les fréquences. $$ e \u003d \\ somme \\ limites_ (i \u003d 0) ^ (n-1) (x_i ^ 2) \u003d \\ somme \\ limites_ (i \u003d 0) ^ (n / 2) (p \\ gauche (((\\ oméga _i) \\ Droite)). $$. Un graphique de la dépendance de puissance à la fréquence est appelé spectre d'énergie ou spectre de puissance. Le spectre énergétique vous permet d'identifier la fréquence cachée des données d'entrée et d'évaluer la contribution de certains composants de fréquence dans la structure de données source. En plus de la forme trigonométrique, l'enregistrement de transformation discret de Fourier est largement utilisé $ \\ IT (représentation intégrée) $. Une forme complète d'enregistrement de transformation de Fourier est largement utilisée dans l'analyse multidimensionnelle et en particulier lors du traitement des images. La transition de la forme trigonométrique à complexe est effectuée sur la base de la formule Euler $$ E ^ (J \\ OMEGA T) \u003d \\ COS \\ OMEGA T + J \\ SIN \\ OMEGA T, \\ Quad J \u003d \\ SQRT (-1). $$. Si la séquence d'entrée est N chiffres intégrés $ N $ N $, alors sa transformée de Fourier discrète sera vue. $$ g_m \u003d \\ frac (1) (n) \\ somme \\ limites_ (n \u003d 1) ^ (n-1) (x_n) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jmn) (N)), $$ et transformation inverse $$ x_m \u003d \\ sum \\ limites_ (n \u003d 1) ^ (n - 1) (g_n) e ^ (\\ frac (2 \\ pi JMN) (n)). $$. Si la séquence d'entrée est une gamme de nombres réels, alors, il existe une conversion discrète complexe et sine-cosinoise. La relation de ces idées est exprimée comme suit: $$ a_0 \u003d g_0, \\ quad g_k \u003d \\ gauche ((((((A_K -JB_K) \\ droite) / 2, \\ quad 1 \\ le k \\ le n / 2; $$. les valeurs de transformation restantes N / 2 $ sont conjuguées de manière completière et ne comportent pas d'informations supplémentaires. Par conséquent, le spectre de synchronisation de la transformation discrète du Fourier est symétrique par rapport à N / 2 $ $. Le moyen le plus simple de calculer la transformation de Fourier discrète (DFT) est la sommation directe, elle conduit à des opérations $ N $ pour chaque coefficient. Total des coefficients $ N $, de sorte que la complexité totale de $ o \\ restante ((n ^ 2) \\ droite) $. Une telle approche n'est pas une intérêt pratique, car il existe des moyens beaucoup plus efficaces de calculer le DPF, appelé la transformation rapide de Fourier (BPF), ayant la complexité de $ O (n \\ journal n) $. Le BPF est appliqué uniquement aux séquences ayant une longueur (nombre d'éléments), degré multiple 2. Le principe le plus général intégré dans l'algorithme BPF est de casser la séquence d'entrée en deux séquences de demi-longueur. La première séquence est remplie de données avec des nombres pair et le second avec impair. Cela permet de calculer les coefficients DPF à travers deux transformations avec une dimension de N / 2 $ $. Note par $ \\ omega _m \u003d e ^ (\\ frac (2 \\ pi j) (m)) $, puis $ g_m \u003d \\ sum \\ limites_ (n \u003d 1) ^ ((n / 2) -1) (x_ ( 2n)) \\ OMEGA _ (n / 2) ^ (mn) + \\ somme \\ limites_ (n \u003d 1) ^ ((n / 2) -1) (x_ (2n + 1)) \\ oméga _ (n / 2 ) ^ (Mn) \\ oméga _n ^ m $. Pour $ m.< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. La transformation de Fourier discrète pour une matrice bidimensionnelle de la taille de la taille de $ M \\ fois N $ est définie comme suit: $$ g_ (uw) \u003d \\ frac (1) (nm) \\ somme \\ limites_ (n \u003d 1) ^ (n-1) (\\ sum \\ limites_ (m \u003d 1) ^ (M-1) (x_ (Mn ))) E ^ ((- 2 \\ pi J \\ gauche [(\\ frac (MU) (M) + \\ frac (NW) (n)) \\ Right])), $$ et transformation inverse $$ x_ (mn) \u003d \\ somme \\ limites_ (u \u003d 1) ^ (n-1) (\\ sum \\ limites_ (w \u003d 1) ^ (m - 1) (g_ (uw))) e ^ ((2 \\ pi J \\ gauche [(\\ frac (MU) (M) + \\ frac (NW) (n)) \\ Right])). $$. Dans le cas du traitement de l'image, les composants de la transformation de Fourier à deux dimensions sont appelés $ \\ textit (fréquences spatiales) $. Une caractéristique importante de la transformation de Fourier bidimensionnelle est la capacité de le calculer à l'aide de la procédure BPF unidimensionnelle: $$ g_ (uw) \u003d \\ frac (1) (n) \\ somme \\ limites_ (n \u003d 1) ^ (n-1) (\\ (\\ (\\ frac (1) (m) \\ sum \\ limites_ (m \u003d 0) ^ (m-1) (x_ (mn) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jmw) (m)))) \\ droite]) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jnu) (n) ), $$. Ici, l'expression entre crochets est une conversion unidimensionnelle de la chaîne de données de données, qui peut être effectuée avec un BPF unidimensionnel. Ainsi, pour obtenir une transformation de Fourier bidimensionnelle, vous devez d'abord calculer la conversion d'une ligne unidimensionnelle, écrire les résultats à la matrice d'origine et calculer une conversion unidimensionnelle pour les colonnes de la matrice résultante. Lors du calcul de la transformation de Fourier à deux dimensions, les basses fréquences se concentreront dans les coins de la matrice, ce qui n'est pas très pratique pour traiter davantage les informations reçues. Pour transférer la préparation de la présence de transformée de Fourier à deux dimensions, dans laquelle les basses fréquences sont concentrées au centre de la matrice, il est possible d'effectuer une procédure simple qui consiste à multiplier les données initiales à $ -1 ^ (m + N) $. En figue. 16 montre l'image originale et son image de Fourier. Demi-teintes et son image de Fourier (les images sont obtenues dans le système LabVIEW) Fonctions de coupe $ S (t) $ et $ r (t) $ est défini comme $$ s \\ ast r \\ cong r \\ ast s \\ cong \\ int \\ limites _ (- \\ \\ \\fty) (S (\\ tau)) r (t- \\ tau) d \\ tau. $$. En pratique, vous devez faire face à une convolution discrète, dans laquelle les fonctions continues sont remplacées par des ensembles de valeurs dans les nœuds de maillage uniforme (la grille entier est généralement prise): $$ (r \\ ast s) _j \\ cong \\ sum \\ limites_ (k \u003d--n) ^ p (s_ (j-k) r_k). $$. Ici $ et $ P $ Définir la gamme au-delà de laquelle R (T) \u003d 0 $. Lors du calcul d'une convolution à l'aide de la transformation de Fourier, la propriété de transformation de Fourier est utilisée, selon laquelle l'image des fonctions du domaine de fréquence équivaut à une convolution de ces fonctions dans la zone temporelle. Pour calculer la réconciliation, vous devez convertir les données source au domaine de fréquence, c'est-à-dire pour calculer leur transformation de Fourier, multiplier les résultats de la conversion et effectuer la transformation inverse de Fourier en restaurant la vue d'origine. La seule subtilité dans le fonctionnement de l'algorithme est associée au fait que, dans le cas d'une transformation de Fourier discrète (contrairement à la continuité), un tas de deux fonctions périodiques se produit, c'est-à-dire nos séries de valeurs spécifiant les périodes de ces fonctions, et pas seulement des valeurs sur une section d'axe séparée. C'est-à-dire que l'algorithme croit que le point $ x_ (n) $ n'est pas zéro, mais un point $ x_ (0) $, et ainsi de suite dans un cercle. Par conséquent, que la convolution est correctement considérée, il est nécessaire d'attribuer une longue séquence de zéros au signal. Les méthodes de filtrage linéaire sont le nombre de méthodes bien structurées pour lesquelles des systèmes de calcul efficaces basés sur une convolution rapide et une analyse spectrale sont développés. En général, des algorithmes de filtration linéaires effectuent la conversion du type $$ f "(x, y) \u003d \\ int \\ int f (\\ zeta -x, \\ eta -y) k (\\ zeta, \\ eta) d \\ zeta d \\ eta, $$ où $ k (\\ zeta, \\ eta) $ est le noyau de transformation linéaire. Avec une vue discrète du signal, l'intégration de cette formule est dégénérée dans une quantité pondérée des échantillons de source dans une certaine ouverture. Dans le même temps, la sélection du noyau $ K (\\ zeta, \\ eta) $ conformément à l'un ou l'autre critère d'optimalité peut conduire à un certain nombre de propriétés utiles (lissage gaussien lorsque le problème de la différenciation numérique de l'image, etc.). Les méthodes de traitement linéaire les plus efficaces sont implémentées dans le domaine de fréquence. L'utilisation de l'image d'image Fourier pour effectuer les opérations de filtrage est principalement due à des performances plus élevées de ces opérations. En règle générale, effectuant une conversion de Fourier à deux dimensions directe et inverse et la multiplication des coefficients Fourier Ferter prend moins de temps que de remplir une convolution bidimensionnelle de l'image source. Les algorithmes de filtration dans le domaine de fréquence sont basés sur un théorème de convolution. Dans une affaire bidimensionnelle, la conversion de conversion ressemble à ceci: $$ g \\ gauche ((u, v) \\ droite) \u003d h \\ gauche ((u, v) \\ droite) f \\ gauche ((u, v) \\ droite), $$ là où $ G $ - image de Fourier du résultat d'une convolution, $ H $ - image de Fourier du filtre, et $ F Fourier-image de l'image d'origine. C'est-à-dire dans le domaine de fréquence, la convolution bidimensionnelle est remplacée par plusieurs multiplication des images de l'image source et du filtre correspondant. Pour effectuer une convolution, vous devez effectuer les étapes suivantes. La relation entre la fonction de filtre dans la fréquence et la zone spatiale peut être déterminée à l'aide d'un théorémique de convolution $$ \\ phi \\ gauche [(f \\ gauche ((x, y) \\ droite) \\ ast h (x, y)) \\ droite] \u003d f \\ gauche ((u, v) \\ droite) h \\ gauche ((( U, v) \\ droite), $$ $$ \\ Phi \\ Gauche [(f \\ gauche ((x, y) \\ droite) h (x, y)) \\ droite] \u003d f \\ gauche ((u, v) \\ droite) \\ ast h \\ gauche (((( U, v) \\ à droite). $$. Les fonctions de coupe avec une fonction d'impulsion peuvent être représentées comme suit: $$ \\ somme \\ limites_ (x \u003d 0) ^ m (\\ sum \\ limites_ (y \u003d 0) ^ n (s \\ gauche ((x, y) \\ droite))) \\ delta \\ gauche ((x-x_0, y-y_0) \\ à droite) \u003d s (x_0, y_0). $$. Fourier-transformation de la fonction d'impulsion $$ f \\ gauche ((u, v) \\ droite) \u003d \\ frac (1) (mn) \\ somme \\ limites_ (x \u003d 0) ^ m (\\ sum \\ limites_ (y \u003d 0) ^ n (\\ delta \\ gauche ((x, y) \\ droite))) e ^ (--2 \\ pi j \\ gauche ((\\ frac (ux) (m) + \\ frac (vy) (n)) \\ Right))) \u003d \\ \\ Frac (1) (mn). $$. Soit $ f (x, y) \u003d \\ delta (x, y) $, puis une convolution $$ f \\ gauche ((x, y) \\ droite) \\ ast h (x, y) \u003d \\ frac (1) (mn) h \\ gauche ((x, y) \\ droite), $$ $$ \\ Phi \\ Gauche [(\\ delta \\ gauche ((x, y) \\ droite) \\ ast h (x, y)) \\ droite] \u003d \\ phi \\ gauche [(\\ delta \\ gauche ((x, y) \\ À droite)) \\ droite] h \\ gauche ((u, v) \\ droite) \u003d \\ frac (1) (mn) H \\ gauche ((u, v) \\ droite). $$. À partir de ces expressions, on peut voir que le filtre fonctionne dans les zones de fréquence et de spatiale est interconnectée par la transformation de Fourier. Pour cette fonction du filtre dans le domaine de fréquence, vous pouvez toujours trouver le filtre correspondant dans la zone spatiale en appliquant la transformation inverse de Fourier. Il en va de même pour les tarifs. En utilisant cette relation, vous pouvez déterminer la procédure de synthèse des filtres de la ligne spatiale. ($ \\ textit (filtre à basse fréquence idéal) $ h (u, v) $ a le formulaire $$ H (u, v) \u003d 1, \\ quad \\ mbox (si) d (u, v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($ \\ textit (filtre à haute fréquence parfaite) $) est obtenu par inversion du filtre idéal basse fréquence: $$ H "(U, V) \u003d 1-H (U, V). $$ Ici, il existe une suppression complète des composants basse fréquence tout en maintenant une haute fréquence. Cependant, comme dans le cas d'un filtre idéal à basse fréquence, son utilisation est semée de l'émergence d'une distorsion significative. Pour la synthèse des filtres avec des distorsions minimales, diverses approches sont utilisées. L'un d'entre eux est la synthèse des filtres basés sur des exposants. De tels filtres apportent des distorsions minimales à l'image résultante et sont pratiques pour la synthèse dans le domaine de fréquence. Largement utilisé lorsque le traitement des images est une famille de filtres basée sur la fonction réelle de Gauss. $ \\ texticules (filtre gaussien à basse fréquence) $ a $$ H \\ Gauche (x \\ droite) \u003d \\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma ae ^ (- 2 \\ gauche ((\\ pi \\ sigma x) \\ droite) ^ 2) \\ mbox (s) h \\ gauche ( u \\ droite) \u003d ae ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma ^ 2)) $$ Quel est déjà un profil de filtre dans le domaine de fréquence (plus $ \\ sigma $), plus il est plus large dans le spatial. ($ \\ textit (filtre gaussien haute fréquence) $) $$ H \\ Gauche (x \\ droite) \u003d \\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma _a ae ^ (- 2 \\ gauche (((pi \\ sigma _a x) \\ droite) ^ 2) - \\ sqrt (2 \\ pi ) \\ sigma _b soit ^ (- 2 \\ gauche (((\\ pi \\ sigma _b x) \\ droite) ^ 2), $$ $$ h \\ gauche (u \\ droite) \u003d AE ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma _a ^ 2)) - Soyez ^ (- \\ frac (U ^ 2) (2 \\ sigma _b ^ 2 ))). $$. Dans un boîtier bidimensionnel ($ \\ elle (basse fréquence) $), le filtre Gauss ressemble à ceci: $$ H \\ Gauche ((U, V) \\ Droite) \u003d E ^ (- \\ frac (d ^ 2 \\ gauche ((u, v) \\ droite)) (2D_0 ^ 2)). $$. ($ \\ IT (haute fréquence) $) filtre gaussien a la forme $$ H \\ gauche ((u, v) \\ droite) \u003d 1-e ^ (- \\ frac (d ^ 2 \\ gauche ((u, v) \\ droite)) (2D_0 ^ 2)). $$. Considérons un exemple de filtrage d'image (Fig. 1) dans le domaine de fréquence (Fig. 17 - 22). Notez que le filtrage de fréquence de l'image peut avoir un sens comme le lissage ($ \\ textit (filtration de la basse fréquence) $) et la séparation des contours et des objets de taille fines ($ \\ textit (filtration à haute fréquence) $). Comme on peut le voir de la Fig. 17, 19, en tant que "puissance" de filtration dans la composante basse fréquence de l'image, l'effet de "semblant défocalisé" ou $ \\ IT (flou) devient de plus en plus expiré. Dans le même temps, dans le composant haute fréquence, où seul le contour des objets est observé au début, la majeure partie du contenu de l'information de l'image passe progressivement (Fig. 18, 20 à 22). Nous considérons maintenant le comportement des filtres à haute fréquence et à faible fréquence (Fig. 23-28) en présence de bruit gaussien additif dans l'image (Fig. 7). Comme on peut le voir de la Fig. 23, 25, les propriétés des filtres à basse fréquence pour suppression d'une interférence aléatoire additive sont similaires aux propriétés des filtres linéaires préalablement considérés - avec une puissance suffisante du filtre, l'interférence est supprimée, mais le coût de ceci est un fort flou de les contours et le "défocus" de l'image entière. Le composant haute fréquence de l'image rugissante cesse d'être informatif, car en plus des informations de contour et d'objet, il existe maintenant également un composant de bruit complètement (Fig. 27, 28). L'utilisation de méthodes de fréquence est la plus recommandée dans le cas où le modèle statistique du processus de bruit ou / et le rapport d'engrenage optique du canal de transmission d'image est connu. Il est pratique de prendre en compte une telle donnée priori en sélectionnant un paramètre contrôlé généralisé (paramètres de $ \\ sigma $ et $ \\ mu $) en tant que filtre de restauration: le filtre de type suivant est: $$ f (w_1, w_2) \u003d \\ Gauche [(\\ frac (1) (p (w_1, w_2))) \\ droite] \\ CDOT \\ gauche [(\\ Vert P (W_1, W_2) \\ Vert ) ^ 2) (\\ Vert P (W_1, W_2) \\ Vert ^ 2 + \\ alpha \\ Vert Q (w_1, w_2) \\ vert ^ 2)) \\ Right]. $$. où 0 $.< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Les avantages des méthodes de filtrage linéaire comprennent leur signification physique claire et sa facilité d'analyse des résultats. Cependant, avec une forte détérioration du rapport signal à bruit, avec des versions possibles du bruit de la zone et la présence de bruit d'impulsion à grande amplitude, les méthodes de prétraitement linéaire peuvent être insuffisantes. Dans cette situation, les méthodes non linéaires sont significativement plus puissantes. 19 billet1. Opération de dilatation 2. Signes spectrales spatiales Opérations de dilatation. Soit A et B un ensemble d'espace Z 2. La dilatation de l'ensemble A le long de l'ensemble (ou par rapport à B) est désignée par A⊕V et est définie comme Vous pouvez réécrire dans le formulaire suivant: L'ensemble sera appelé une multitude de formage de structure ou une dilatation primitive. Basé sur (11), il est obtenu pour obtenir une réflexion centrale de l'ensemble dans relativement ses coordonnées initiales (Centre B), puis le décalage de cet ensemble sur le point Z, la dilatation de l'ensemble A par B est l'ensemble de Tous ces déplacements Z, dans lesquels et coïncident au moins dans un élément. Cette définition n'est pas la seule. Cependant, la procédure de dilatation dans un sens est similaire à celle de la convolution, qui est effectuée au-dessus des ensembles. Signes spatiaux spatiaux Conformément à (1.8), la transformation de Fourier à deux dimensions est définie comme où w x., w y. - Fréquences spatiales. Module de module Spectre M ( w x., w y.) \u003d | F ( w x., w y.) | 2 peut être utilisé pour calculer un certain nombre de fonctionnalités. Intégrer une fonction M.(w x., w y.) Le coin sur le plan de fréquence spatiale donne un signe de fréquence spatiale, invariant par rapport au décalage et à la rotation de l'image. Représentant la fonction M.(w x., w y.) Dans les coordonnées polaires, écrivez cette fonctionnalité dans le formulaire où q.\u003d arctg ( w y./w x.); r 2 = w x. 2 +w y. 2 . 20 billet1. Fonctionnement de l'érosion La transformation de Fourier à deux dimensions discrète de la matrice de compte à rebours d'image est déterminée comme une ligne: où, et la transformation inverse discrète a la forme: Par analogie avec la terminologie de la transformation continue de Fourier, les variables sont appelées fréquences spatiales. Il convient de noter que tous les chercheurs n'utilisent pas la définition (4.97), (4.98). Certains préfèrent placer toutes les constantes de grande envergure dans l'expression de la transformation inverse, tandis que d'autres changent de signes dans les noyaux au contraire. Étant donné que les cœurs de transformation sont symétriques et séparés, la conversion bidimensionnelle peut être effectuée sous forme de conversions mondiomérales consécutives via des chaînes et des colonnes de la matrice d'image. Les fonctions de base de la conversion sont des exposants avec des indicateurs complexes pouvant être décomposés sur les composants du sinus et de cosinus. De cette façon, Le spectre d'image a de nombreuses caractéristiques structurelles intéressantes. Composant spectral au début des coordonnées du plan de fréquence égal à l'agrandissement B. N. Une fois la moyenne (sur le plan source) la valeur de luminosité de l'image. Substituant à l'égalité (4.97) où et - permanent, nous obtenons: Pour toute valeur entière et le deuxième facteur exponentiel d'égalité (4.101) se transforme en une unité. Ainsi, quand ce qui indique la fréquence du plan de fréquence. Ce résultat illustre la figure 4.14, a. Un spectre de Fourier bidimensionnel de l'image est essentiellement une représentation de champ bidimensionnelle sous la forme d'une série de Fourier. Pour qu'une telle représentation soit juste, l'image d'origine devrait également avoir une structure périodique, c'est-à-dire Avoir un dessin répété verticalement et horizontal (Fig. 4.14, B). Ainsi, le bord droit de l'image est adjacent à gauche et le bord supérieur est au fond. En raison des lacunes de valeurs de luminosité dans ces endroits dans le spectre d'image, il existe des composants supplémentaires sur les axes de coordonnées du plan de fréquence. Ces composants ne sont pas liés aux valeurs de luminosité des points internes de l'image, mais elles sont nécessaires pour reproduire ses limites acérées. Si la matrice de comptage d'image décrit le champ de luminosité, les numéros seront valides et positifs. Cependant, le spectre de Fourier de cette image dans le cas général a intégré des valeurs. Étant donné que le spectre contient un composant représentant les parties ou la phase réelles et imaginaires et le module de composants spectraux pour chaque fréquence, il peut sembler que la transformation de Fourier augmente la dimension de l'image. Ce n'est cependant pas le cas, puisqu'il a une symétrie en ce qui concerne la conjugaison complexe. Si dans l'égalité (4.101), mettez et égal à des nombres entier, l'égalité sera obtenue après le couplage complet: Utilisation de la substitution et du SRC \u003d http: //electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif\u003e Vous pouvez montrer que En raison de la présence de symétrie de conjugué complexe, près de la moitié des composants spectraux se révèlent être redondants, c'est-à-dire Ils peuvent être formés à partir des composants restants (Fig. 4.15). Avec des constituants en excès, il est possible, bien sûr, de considérer les harmoniques, de ne pas tomber dans le fond, mais dans le demi-plan droit. L'analyse de Fourier dans le traitement d'image est utilisée aux mêmes fins que pour les signaux unidimensionnels. Toutefois, dans le domaine de fréquence, l'image ne représente aucune information significative, ce qui rend la transformation de Fourier, pas tant d'analyse d'image utile. Par exemple, lorsque la transformation de Fourier s'applique à un signal audio unidimensionnel, alors dans le domaine temporel, il est difficile à formaliser et forme complexe Le signal est converti en un spectre facile à comprendre dans le domaine de fréquence. Pour la comparaison, prenant des images de transformation de Fourier (Fourier Transformant), nous convertissons des informations commandées dans la zone spatiale (domaine spatial) dans le formulaire codé dans le domaine de fréquence (domaine de fréquence). En bref, n'attendez pas que la transformation de Fourier vous aide à comprendre les informations codées dans les images. De même, vous ne devez pas accéder au domaine de fréquence lors de la conception d'un filtre. La caractéristique principale des images est la bordure - la ligne séparant un un objetou alors régiond'un autre objetou alors région. Étant donné que les contours de l'image contiennent une large gamme de composants de fréquence, essayez de modifier l'image en manipulant le spectre de fréquence - le problème est inefficace. Les filtres de traitement d'image sont généralement conçus dans la zone spatiale, où des informations sont présentées sous sa forme la plus simple et accessible. Lors de la résolution des tâches de traitement d'images, il est nécessaire de fonctionner en termes d'opérations lissageet insignifiantcontours (domaine spatial) que dans les termes filtre de fréquence supérieureet filtre de fréquence inférieur(domaine de fréquence). Malgré cela, l'analyse de l'image de Fourier a plusieurs propriétés utiles. Par example, convolutiondans la zone spatiale correspond multiplicationdans le domaine de fréquence. Ceci est important car la multiplication est une opération mathématique plus simple qu'une convolution. Comme dans le cas des signaux unidimensionnels, cette propriété permet une convolution en utilisant BPF et utilisez diverses méthodes de déconvolution. Autre propriété utile dans le domaine de fréquence est secteurs de théorème de Fourierétablir la conformité entre l'image et ses projections (types de la même image provenant de différents côtés). Ce théorème est une base de données théorique de telles directions que tomographie, radioscopie.largement utilisé en médecine et à l'industrie. Le spectre de fréquence de l'image peut être calculé de plusieurs manières, mais la méthode la plus pratique de calcul du spectre est l'algorithme BPF. Lorsque vous utilisez l'algorithme BPF, l'image initiale doit contenir N. Ranges I. N. colonnes et le nombre N. Il doit y avoir un degré multiple 2, c'est-à-dire 256, 512, 1024 et etc. Si l'image d'origine en termes de dimension n'est pas multiple de degré 2, vous devez ajouter des pixels avec une valeur zéro pour compléter l'image à la taille souhaitée. En raison du fait que la transformation de Fourier conserve l'ordre des informations, l'amplitude des composants basse fréquence sera située dans les coins du spectre à deux dimensions, tandis que les composants haute fréquence seront à son centre. Par exemple, envisagez le résultat de la transformation de Fourier de l'image microscopique électronique de la cascade d'entrée d'amplificateur de fonctionnement (Fig. 4.16). Comme dans le domaine de fréquence, les pixels avec des valeurs négatives peuvent être contenus, l'échelle des niveaux "gris" de ces images est décalé de telle sorte que les valeurs négatives sont perçues comme des points sombres de l'image, zéro - comme gris et positif - comme la lumière. Les composants généralement basse fréquence du spectre d'image par amplitude sont beaucoup plus gros que la haute fréquence, ce qui explique la présence de points très lumineux et très sombres dans quatre angles sur l'image du spectre (Fig. 4.16, B). Comme on peut le voir sur le dessin, un spécialiste typiquePrésentation complète de la transformation de Fourier.
Transformation rapide de Fourier.
Transformation de Fourier bidimensionnelle.
Couper à l'aide de Fourier Transform.
Filtrage des images dans le domaine de fréquence.
Invariance relative à l'échelle possédée
