Pronađite raspodjelu zbroja dvije slučajne varijable. Zakon distribucije zbroja dvije slučajne varijable

1) c + d ≤ z ≤ a + d, Zatim

2) a + D ≤ Z ≤ B + C, Zatim

3) b + C ≤ Z ≤ A + B, Zatim

Takva se distribucija naziva Simpsonov zakon. Na Sl.8, 9 prikazuje grafikone distribucijske gustoće SV iz=0, d.=0.

Koristimo gore navedenu metodu kako bismo riješili jedan problem, naime, da pronađemo zakon distribucije zbroja dvije slučajne varijable. Postoji sustav dvije slučajne varijable (X, y) s distribucijskom gustoćom F (X, Y).

Razmotrite zbroj slučajnih varijabli X i Y: i nalazimo vrijednost distribucije z .. da to učinimo, izgradit ćemo na razini Xou Line, čiji je jednadžba (Sl. 6.3.1). Ovo je ravna crta koja siječe na osi segmenata jednaka z. Ravno dijeli xow ravninu u dva dijela; Pravo i iznad njega ; Lijevo i niže

Regija D u ovom slučaju je lijevi donji dio Xou ravnine, zasjenjene na Sl. 6.3.1. Prema formuli (6.3.2), imamo:

To je opća formula za distribucijsku gustoću zbroja dvije slučajne varijable.

Za razmatranja simetrije, zadatak je u odnosu na X i Y, možete napisati još jednu varijantu iste formule:

Potrebno je napraviti sastav ovih zakona, tj. Pronaći zakon distribucije vrijednosti :.

Primijenite opću formulu za sastav zakona o distribuciji:

Zamjena tih izraza u formuli koja se već pojavljuju

i to je ništa drugo nego normalan zakon s raspršivanjem

Osim toga, zaključak može biti značajno lakši sa sljedećim kvalitativnim obrazloženjem.

Bez otkrivanja nosača i ne-transformacija u integrajnoj funkciji (6.3.3), odmah dolazimo do zaključka da je pokazatelj četvrtasti tri odluke u odnosu na X tip

gdje u koeficijentu i vrijednost z uopće nije uključena u koeficijent u prvom stupnju, te u koeficijentu C - na trgu. S tim u vidu i primjenom formule (6.3.4) dolazimo do zaključka da G (z) postoji indikativna funkcija, čiji je indikator kvadrat tri pad u odnosu na Z, i distribucijska gustoća; Ova vrsta odgovara normalnom zakonu. Dakle, mi; Dolazimo do čisto kvalitetnog zaključka: dozvole Z moraju biti normalne. Pronaći parametre ovog zakona - i - Koristimo formiranje dodavanja matematičkih očekivanja i dodavanje disperzija. Formiranjem formiranja matematičkih očekivanja , Dodavanjem teorema disperzije ili Odakle slijedi formula (6.3.7).

Pretvaranje od standardnih odstupanja na proporcionalnu vjerojatnu odstupanja, dobivamo:
.

Dakle, došli smo do sljedećeg pravila: sa sastavom normalnih zakona ponovno se dobiva normalan zakon, a matematička očekivanja i disperzija (ili kvadrati vjerojatnih odstupanja) su sažeti.

Pravilo sastav normalnih zakona može se generalizirati u slučaju proizvoljnog broja neovisnih slučajnih varijabli.

Ako postoje N neovisne slučajne varijable: podređeni normalnim zakonima s disperzijskim centrima i RMS odstupanja, a zatim je vrijednost također podređena normalnom zakonu s parametrima

Ako je sustav slučajnih varijabli (X, Y) raspodijeljen u skladu s normalnim zakonom, ali vrijednosti X, Y ovise, nije teško dokazati, baš kao i prije, na temelju opće formule (6.3. 1), da je zakon distribucije vrijednosti je i normalan zakon. Disperzijski centri su još uvijek algebrijski, ali za standardne devijacije, pravilo postaje složenije: , gdje je, R je koeficijent korelacije x i y.

Prilikom dodavanja nekoliko ovisnih slučajnih varijabli podređenim normalnim zakonom, zakon distribucije iznosa također se ispostavlja da je normalno s parametrima

gdje je koeficijent korelacije od X I, X J, i sabiranje se odnosi na sve različite parove kombinacija veličine.

Uvjereni smo u vrlo važnu imovinu normalnog prava: sa sastavom normalnih zakona, normalni zakon je ponovno dobiven. To je tzv. "Imovina održivosti". Zakon o distribuciji naziva se održiv, ako se sastav istog tipa ponovno dobije sa sastavom dvaju zakona ovog tipa. Iznad, pokazali smo da je normalan zakon stabilan. Imovina održivosti je vrlo malo zakona distribucije. Zakon jedinstvene gustoće je nestabilan: sa sastavom dvaju zakona jedinstvene gustoće na parcelama od 0 do 1, primili smo Simpsonski zakon.

Održivost normalnog prava je jedan od bitnih uvjeta za raširenu u praksi. Međutim, neki drugi zakoni o distribuciji imaju imovinu stabilnosti, osim normalne. Osobitost normalnog zakona je da s sastavom dovoljno velikog broja praktički proizvoljnih zakona o distribuciji, ispostavlja se da je ukupni zakon koji se može proizvoljno blizu normalno, bez obzira na to jesu li zakoni raspodjele komponenti bili. To se može ilustrirati, na primjer, čineći sastav od tri zakona jedinstvene gustoće u područjima od 0 do 1. rezultirajuća transakcija G (z) prikazana je na Sl. 6.3.1. Kao što se može vidjeti s crteže, grafikon funkcije g (z) vrlo se podsjeća grafikon normalnog zakona.

Donositelj odluka može koristiti osiguranje kako bi se smanjio nepovoljan financijski učinak nekih vrsta slučajnih događaja.

Međutim, ovo je razmatranje vrlo općeniti, budući da se prema donositeljima odluka može podrazumijevati kao zasebna osoba koja traži zaštitu od štete prouzročene nekretninama, štednji ili prihodima i organizacijom koja traži zaštitu od iste štete.

Zapravo, takva organizacija može biti osiguravajuća tvrtka koja traži načine kako bi se zaštitili od financijskih gubitaka zbog prevelikog broja zahtjeva za osiguranje koje se dogodilo s njegovim zasebnim klijentom ili svojim portfeljem osiguranja. Takva se zaštita zove reosiguranje.

Razmotrite jedan od dva modela (naime model pojedinačnih rizika) Naširoko se koristi u definiciji stope osiguranja i rezervi, kao i u reosiguranju.

Označiti S.veličinu slučajnih gubitaka osiguravajućeg društva za određeni dio svojih rizika. U ovom slučaju S.to je slučajna vrijednost za koju moramo odrediti raspodjelu vjerojatnosti. Povijesno gledano, distribucije s.V. S.bilo je dva seta postulata. Određuje model pojedinih rizika S.na sljedeći način:

gdje s.V. Prepoznaje gubitke uzrokovane objektom osiguranja s brojem Ja, ali n.označava ukupan broj objekata osiguranja.

Obično se pretpostavlja da su neovisne slučajne vrijednosti, jer u ovom slučaju matematički izračuni su jednostavniji i nisu potrebni o prirodi odnosa između njih. Drugi model je model kolektivnog rizika.

Razmatrani model pojedinih rizika ne odražava promjene vrijednosti novca tijekom vremena. To je učinjeno kako bi se pojednostavio model i zato se naslov članka odnosi na kratki vremenski interval.

Razmotrit ćemo samo zatvorene modele, tj. One u kojima je broj objekata osiguranja N. U formuli (1.1), ona je poznata i zabilježena na samom početku vremenskog intervala koja se razmatra. Ako uvedemo pretpostavke o prisutnosti migracije iz ili u sustav osiguranja, dobivamo otvoreni model.

Slučajne varijable koje opisuju pojedinačna plaćanja

Prvo se sjećamo osnovnih odredbi o životnom osiguranju.

Kada osigurate u slučaju smrti za godinu dana, osiguravatelj se obvezuje platiti iznos b.Ako osiguranik umanjuje tijekom cijele godine od datuma sklapanja ugovora o osiguranju, i ne plaća ništa ako osiguranik će živjeti ove godine.

Vjerojatnost pojave osiguranog događaja tijekom navedene godine označena je putem.

Random vrijednost koja opisuje plaćanja osiguranja ima distribuciju koja se može postaviti ili pomoću funkcije vjerojatnosti

(2.1)

ili odgovarajuću funkciju distribucije

(2.2)

Iz formule (2.1) i od određivanja trenutaka dobivamo

(2.4)

Ove formule mogu se primiti i pisanjem X.kao

gdje je konstantna vrijednost plaćena u slučaju smrti, a slučajna je vrijednost koja zahtijeva vrijednost 1 na pojavu smrti i 0 inače.

Tako, i i prosječna vrijednost i disperzija S.V. jednaka i, prema tome, prosječna vrijednost i disperzija S.V. jednaka i, koja se podudara s gore navedenim formulama.

Slučajna vrijednost s površinom vrijednosti (0.1) naširoko se koristi u aktuarskim modelima.

U udžbenicima o teoriji vjerojatnosti, to se zove indikator, bernoullikeievskaya slučajno Vrijednost ili binomna slučajna varijabla U jedinoj shemi testiranja.

Nazvat ćemo je indikatorza sažetosti, a također zato što ukazuje na ofenzivu, ili ne uvredljiv, događaj koji se razmatra.

Okrenimo se potrazi za općenitijim modelima u kojima je količina plaćanja osiguranja i slučajna vrijednost i nekoliko osiguranih događaja može se pojaviti u vremenskom intervalu koji se razmatra.

Osiguranje u slučaju bolesti, osiguranja automobila i drugih vrsta imovine, kao i osiguranje od građanske odgovornosti odmah osigurati mnoge primjere. Sumiranje formule (2.5), stavite

gdje je slučajna vrijednost koja opisuje plaćanja osiguranja u vremenskom intervalu koji se razmatra, s.V. Ukazuje na ukupan iznos plaćanja u ovom intervalu i s.V. To je pokazatelj za događaj koji se sastoji od onoga što se dogodilo barem jedan osigurani slučaj.

Biti pokazatelj takvog događaja, S.V. Popravke dostupnosti () ili odsutnost () U ovom vremenskom intervalu, ali ne i broj osiguranih slučajeva u njemu.

Vjerojatnost će se i dalje označavati.

Razgovarajmo o nekoliko primjera i odrediti raspodjelu slučajnih varijabli iu nekom modelu.

Prvo razmatramo osiguranje u slučaju smrti u razdoblju od jedne godine uz nadoplatu, ako je smrt došla kao rezultat nesreće.

Za određenost, pretpostavimo da će se smrt dogoditi kao rezultat nesreće, tada će iznos uplate biti 50000. S smrću, prema drugim razlozima, iznos plaćanja bit će 25.000.

Pretpostavimo da je stanje zdravlja i struke, vjerojatnost smrti kao rezultat nesreće tijekom godine je 0,0005, a vjerojatnost smrti iz drugih razloga je 0,0020. Formula izgleda ovako:

Sumnju u sve moguće vrijednosti, dobivamo

,

Uvjetna distribucija s. u. pod uvjetom da se čini

Sada razmatramo osiguranje automobila od sudara (naknada se isplaćuje vlasniku automobila za štetu uzrokovanu automobilom) s veličinom bezuvjetne franšize 250 i uz maksimalni iznos plaćanja 2000.

Za jasnoću, pretpostavimo da je vjerojatnost pojave jednog osiguranog događaja u promatranom razdoblju za određenu osobu 0,15, a vjerojatnost pojave više od jednog sudara je nula:

, .

Nerealna pretpostavka da se ne može dogoditi više od jednog slučaja osiguranja za jedno razdoblje, to je učinjeno kako bi se pojednostavila raspodjela S.V. ,

Mi ćemo odbiti ovu pretpostavku u sljedećem odjeljku nakon što razmotrimo raspodjelu iznosa nekoliko osiguranih događaja.

Budući da je to iznos isplate osiguravatelja, a ne štete uzrokovane automobilom, možemo razmotriti dvije karakteristike i.

Prvo, događaj uključuje one sudare u kojima je šteta manja od bezuvjetne franšize, koja je jednaka 250.

Drugo, raspodjela S.V. Bit će "hrpa" iz probabilističke mase na maksimalnom iznosu plaćanja osiguranja, što je 2000.

Pretpostavimo da je probabilistička masa usmjerena na ovu točku 0,1. Sljedeći, pretpostavimo da se količina plaćanja osiguranja u rasponu od 0 do 2000. može simulirati kontinuiranom raspodjelom s funkcijom gustoće proporcionalno (U praksi, kontinuirana krivulja, koja je odabrana za predstavljanje raspodjele plaćanja osiguranja, rezultat je proučavanja iznosa plaćanja u prethodnom razdoblju.)

Zbrajanje tih pretpostavki o uvjetnoj raspodjeli S.V. Dolazimo do raspodjele mješovitog tipa koji ima pozitivnu gustoću u rasponu od 0 do 2000 i neke "gomile" probabilističke mase na točki 2000. To je ilustrirano rasporedom na Sl. 2.2.1.

Raspodjela funkcija ove uvjetne distribucije izgleda ovako:

Slika.1.1. Raspodjela funkcija s.V. B pod uvjetom i \u003d 1

Mi izračunavamo matematičko očekivanje i disperziju u primjeru primjera s automobilskim osiguranjem na dva načina.

Prvo ćemo preusmjeriti distribuciju S.V. I koristimo ga za izračunavanje i. Označavajući kroz funkciju distribucije s.V. , imati

Za x.<0

To je raspodjela mješovitog tipa. Kao što je prikazano na Sl. 2.2, ima i diskretnu ("kvačilo" vjerojatne mase u točki 2000.) i kontinuirani dio. Ova funkcija distribucije odgovara kombinaciji funkcija vjerojatnosti.

Sl. 2.2. Raspodjela funkcija s.V. X \u003d Ib.

i funkcije gustoće

Posebno i , stoga .

Postoji niz formula koji vežu trenutke slučajnih varijabli s uvjetnim matematičkim očekivanjima. Za matematičko očekivanje i disperziju, te formule su

(2.10)

(2.11)

Podrazumijeva se da se izrazi u lijevom dijelu tih jednakosti izračunavaju izravno raspodjelom S.V. , Prilikom izračunavanja izraza u pravim dijelovima, naime, uvjetna distribucija S.V. S fiksnom vrijednošću s.V. ,

Ovi izrazi stoga funkcioniraju s.V. i možemo izračunati njihove trenutke koristeći distribuciju S.V. ,

Uvjetne distribucije koriste se u mnogim aktuarskim modelima, a to vam omogućuje da izravno primijenite formule koji se ispuštaju gore. U našem modelu. S obzirom na S.V. Kao i s.V. U kvaliteti, dobiti

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

i razmotriti uvjetne matematičke očekivanja

(2.16)

(2.17)

Formule (2.16) i (2.17) definiraju se kao funkcija od S.V. Što se može zabilježiti u obliku sljedeće formule:

Od kada, onda (2.21)

Jer imamo (2.22)

Formule (2.21) i (2.22) mogu se kombinirati: (2.23)

Dakle, (2.24)

Zamjena (2.21), (2.20) i (2.24) u (2.12) i (2.13), dobivamo

Primijenite dobivene formule za izračunavanje i primjeru automobilskog osiguranja (Sl. 2.2). Od funkcije gustoće S.V. Pod uvjetom se izražava formulom

povrh toga P (b \u003d 2000 | i \u003d 1)\u003d 0,1, imamo

Konačno, vjeruje se P: \u003d 0,15, iz formula (2.25) i (2.26) primit ćemo sljedeće jednakosti:

Da biste opisali drugu situaciju osiguranja, drugi modeli mogu se ponuditi za S.V. ,

Primjer: Model za broj smrtnih slučajeva kao rezultat zrakoplovnih katastrofa

Kao primjer, razmotrite model za broj smrtnih slučajeva koji su se dogodili kao rezultat zrakoplovne katastrofe u jednogodišnjem razdoblju djelovanja zrakoplovne tvrtke.

Možemo početi s slučajnom varijablom koja opisuje broj smrtnih slučajeva za jedan let, a zatim sakupljaju takve slučajne varijable na svim letovima godišnje.

Za jedan događaj leta obilježit će početak pada zrakoplova. Broj smrtnih slučajeva koji su uzrokovali ovu katastrofu bit će predstavljeni proizvodom dvije slučajne varijable i, gdje je - koeficijent opterećenja zrakoplova, tj. Broj osoba na brodu u vrijeme pada zrakoplova i udio smrti među oni koji su bili na brodu.

Čini se da je broj smrtnih slučajeva upravo na taj način, od odvojene statistike za vrijednosti i je pristupačnija od statistike za S.V. , Dakle, iako je udio fatalnih ishoda među onima koji su bili na brodu, a broj osoba na brodu vjerojatno su međusobno povezani, kao prva aproksimacija, može se pretpostaviti da je S.V. I neovisno.

Iznos neovisnih slučajnih varijabli

U modelu pojedinih rizika, plaćanja osiguranja od strane osiguravajućeg društva prikazana je kao iznos plaćanja mnogim pojedincima.

Podsjetite dvije metode za određivanje raspodjele količine neovisnih slučajnih varijabli. Razmislite o prvom zbroju dvije slučajne varijable, čiji je selektivni prostor prikazan na Sl. 3.1.

Sl. 2.3.1. Događaj

Izravno i područje ispod ovog izravnog događaja. Stoga, funkcija distribucije s.V. S. Ima obrazac (3.1)

Za dvije diskretne ne-negativne slučajne varijable možemo koristiti punu formulu vjerojatnosti i zapisati (3.1) kao

Ako a X. i Yor Neovisan, posljednji iznos može biti prepisan kao

(3.3)

Značajka vjerojatnosti koja odgovara ovoj funkciji distribucije može se pronaći u formuli

(3.4)

Za kontinuirane ne-negativne slučajne varijable formula, koje odgovaraju formulama (3.2), (3.3) i (3.4), su

Ikada sami ili obje slučajne varijable X. i Yor Imajte mješovitu distribuciju tipa (koja je tipična za modele pojedinih rizika), formule su slične, ali više glomaz. Za slučajne varijable koje također mogu uzeti negativne vrijednosti, količine i integrali u gornjim formulama preuzete su sve vrijednosti.

U teoriji vjerojatnosti, operacija u formulama (3.3) i (3.6) naziva se konvolucija dviju distribucijskih funkcija i naznačena je putem. Konvolucija se također može definirati za par funkcija vjerojatnosti ili funkcija gustoće s formulama (3.4) i (3.7).

Da bismo odredili količinu količine više od dvije slučajne varijable, možemo koristiti iteracije uzimanja konvolucije. Za , gdje su neovisne slučajne vrijednosti, označava distribucijsku funkciju S.V. i funkcija distribucije S.V. , dobit ćemo

Primjer 3.1 ilustrira ovaj postupak za tri diskretne slučajne varijable.

Primjer 3.1. Slučajne varijable i neovisne i imaju distribuciju koje se određuju stupcima (1), (2) i (3) tablice u nastavku.

Odbijamo funkciju vjerojatnosti i funkciju distribucije s.V.

Odluka. Tablica koristi oznake unesene ispred primjera:

U stupcima (1) - (3) sadrži dostupne informacije.

Stupac (4) se dobiva iz stupaca (1) i (2) upotrebom (3.4).

Stupac (5) se dobiva iz stupaca (3) i (4) upotrebom (3.4).

Definicija stupca (5) dovršava pronalaženje funkcija vjerojatnosti za s.V. , Njegova funkcija distribucije u stupcu (8) je skup djelomičnih zbroja stupca (5), počevši od gore.

Za jasnoću uključili smo stupac (6), funkciju distribucije za stupac (1), stupac (7), koji se može dobiti izravno iz stupaca (1) i (6), nanošenjem (2.3.3) i stupcu (8 ), definirano slično, u stupcima (3) i (7). Stupac (5) može se odrediti iz stupca (8) sekvencijskim oduzimanjem.

Okrenimo se razmatranju dva primjera s kontinuiranim slučajnim vrijednostima.

Primjer 3.2. Neka s.v. Ima jedinstvenu raspodjelu u intervalu (0,2), i neka S.V. ne ovisi o S.V. i ima jedinstvenu raspodjelu na intervalu (0,3). Odrediti funkciju distribucije s.V.

Odluka. Od distribucija s.V. I kontinuirano, koristimo formulu (3.6):

Zatim

Selektivni prostor s.V. i ilustrirana sl. 3.2. Pravokutno područje sadrži sve moguće parove i. Događaj koji ste zainteresirani, prikazani na slici za pet vrijednosti s..

Za svaku vrijednost, ravna crta prelazi osovinu Yor U točki S. I ravno u točki. Vrijednosti funkcije za ovih pet slučajeva opisane su sljedećom formulom:

Sl. 3.2. Rezanje dvije ujednačene raspodjele

Primjer 3.3. Razmotrite tri neovisna S.V. , Za S.V. Ima indikativnu distribuciju i. Pronađite funkciju gustoće s.V. , primjenjujući rad konvolucije.

Odluka. Imati

Uzimanje prednost formule (3.7) tri puta, dobivamo

Druga metoda za određivanje raspodjele količine neovisnih slučajnih varijabli temelji se na jedinstvenosti generirajuće funkcije trenutaka, koji za S.V. određen omjerom .

Ako je to matematičko očekivanje za svatko T. Iz nekog otvorenog intervala koji sadrži podrijetlo koordinata, to je jedina metoda distribucije distribucije S.V. U smislu da ne postoji druga funkcija osim one bi se proizvodilo funkciju distribucije S.V. ,

Ta se jedinstvenost može koristiti na sljedeći način: za iznos

Ako je neovisna, matematička očekivanja radova u formuli (3.8) je jednaka ..., tako da

Pronalaženje eksplicitnog izraza za jedinu distribuciju koja odgovara generiranjem funkcija trenutaka (3.9), dovršio bi temelj raspodjele S.V. , Ako to nije moguće izričito odrediti, moguće je pretraživati \u200b\u200bnumeričkim metodama.

Primjer 3.4., Razmotrite slučajne varijable iz primjera 3.3. Odrediti funkciju gustoće S.V. pomoću funkcije proizvodnje trenutaka s.V. ,

Odluka. Prema jednakosti (3.9), Što se može napisati u obliku S metodom razgradnje o najjednostavnijoj frakciji. Odluka je , Ali to je funkcionalna funkcija indikativne raspodjele s parametrom, tako da funkcija gustoće S.V. Izgled

Primjer 3.5, U proučavanju slučajnih procesa uveden je inverzna Gaussova distribucija. Koristi se kao distribucija s.V. U, Isplate osiguranja. Funkcija gustoće i funkcioniranje trenutaka obrnute Gaussove distribucije postavljene su formulama

Pronađite distribuciju S.V. gdje s.V. Neovisni i imaju iste inverzne gausske distribucije.

Odluka. Uzimanje prednost formule (3.9), dobivamo sljedeći izraz za proizvodnu funkciju S.V. :

Generirajuće funkcije trenutaka odgovara jedinoj distribuciji, a možete se pobrinuti da ima inverznu Gaussovu distribuciju s parametrima i.

Aproksimacija za raspodjelu iznosa

Teorem središnjeg ograničenja pruža metodu pronalaženja numeričkih vrijednosti za distribuciju količine neovisnih slučajnih varijabli. Obično je ovaj teorem formuliran za količinu neovisnih i jednako raspoređenih slučajnih varijabli, gdje .

Za bilo koju n distribuciju S.V. gdje \u003d. ima matematičko čekanje 0 i disperzija 1. Kao što znate, slijed takvih distribucija (kada n.\u003d 1, 2, ...) teži standardnoj normalnoj distribuciji. Kada N. Veliko Ova teorem se koristi za dodjelu distribucije S.V. Normalna distribucija s prosjekom μ i disperzija. Slično tome, raspodjela iznosa n. Slučajne varijable približavaju normalnoj distribuciji sa srednjom i disperzijom.

Učinkovitost takve aproksimacije ne ovisi samo o broju komponenti, nego i iz blizine raspodjele komponenti u normalu. U mnogim elementarnim tečajevima statistike, naznačeno je da n treba biti najmanje 30 kako bi se približavanje približavalo.

Međutim, jedan od programa za generiranje normalno distribuiranih slučajnih varijabli koje se koriste u modeliranju imitacije implementira normalnu slučajnu vrijednost u obliku srednjeg 12 neovisno raspoređenog u intervalu (0,1) slučajnih varijabli.

U mnogim modelima pojedinih rizika, slučajne varijable uključene u količinu nisu jednako raspoređene. To će biti ilustrirano primjerima u sljedećem odjeljku.

Teorem središnjeg ograničenja također se proteže na slijed nejednakih distribuiranih slučajnih varijabli.

Da bismo ilustrirali neke primjene pojedinih rizika, koristit ćemo normalnu aproksimaciju raspodjele količine neovisnih slučajnih varijabli za dobivanje numeričkih rješenja. Ako a T.

i dalje, ako je S.V. Nezavisni, T.

Za primjenu koja se razmatra, mi samo trebamo:

• pronađite srednje i disperziju slučajnih varijabli koje simuliraju pojedinačne gubitke,
• sažeti ih kako bi dobili srednje i disperziju gubitka osiguravajućeg društva u cjelini
• iskoristiti normalnu aproksimaciju.

Ispod ilustriramo ovaj slijed akcija.

Prilozi za osiguranje

U ovom odjeljku četiri primjera ilustriraju uporabu normalne aproksimacije.

Primjer 5.1. Životno osiguranje tvrtka nudi ugovor o osiguranju za smrt za razdoblje od jedne godine s plaćanjima veličine 1 i 2 osobama čija je vjerojatnost smrti 0,02 ili 0,01. Tablica u nastavku prikazuje broj osoba. Nk. U svakoj od četiri nastave formirane u skladu s plaćanjem b K. i vjerojatnost osiguranog događaja q K:

Osiguravajuće društvo želi prikupiti iz ove skupine od 1.800 osoba iznos jednak 95. postotku raspodjele ukupnog iznosa plaćanja osiguranja za ovu skupinu. Osim toga, želi da udio svake osobe u ovom iznosu je proporcionalan očekivanoj veličini plaćanja osiguranja za tu osobu.

Udio osobe s brojem, čiji je prosječno plaćanje jednak, trebao bi biti. Od zahtjeva 95. percentila slijedi to. Veličina premašuje, je doplatak rizika i naziva se relativna doplata za rizik. Računati.

Odluka. Vrijednost se određuje omjerom \u003d 0,95, gdje S \u003d x 1 + x 2 + ... + x 1800.Ova izjava o vjerojatnosti je jednaka sljedećim:

U skladu s onim što je spomenuto o središnjem graničnom teoremu u odjeljku. 4, približimi smo raspodjelu s.V. Standardna normalna distribucija i iskoristiti svoj 95. percentil, odakle dobivamo:

Za četiri razreda na koje su osiguravatelji prekinuti, dobivamo sljedeće rezultate:

Na ovaj način,

Stoga je relativna doplata za rizik jednaka

Primjer 5.2. Kupci tvrtke koje se bave auto osiguranje raspodjeljuju se u dvije klase:

Skraćena indikativna raspodjela određena je funkcijom distribucije

To je raspodjela mješovitog tipa s funkcijom gustoće i "hrpa" probabilističke mase u točki L., Grafikon ove funkcije distribucije prikazan je na Sl.5.1.

Sl. 5.1. Skraćena indikativna distribucija

Kao i prije, vjerojatnost da ukupna količina plaćanja osiguranja premašuje iznos prikupljenog od osiguranika trebao bi biti jednak 0,05. Pretpostavljamo da je relativna doplata za rizik mora biti ista u svakoj od dvije klase u pitanju. Izračunati.

Odluka. Ovaj primjer je vrlo sličan prethodnom. Jedina razlika je u tome što su količine plaćanja osiguranja sada slučajan vrijednosti.

Prvo dobivamo izraze za trenutke skraćene indikativne distribucije. To će biti pripremni korak za korištenje formula (2.25) i (2.26):

Iskorištavanje vrijednosti podataka parametara u stanju i korištenjem formula (2.25) i (2.26), dobivamo sljedeće rezultate:

Tako, S., ukupni iznos plaćanja osiguranja ima trenutke

Uvjet za određivanje ostaje isto kao u Primjeru 5.1, naime,

Iskorištavajući aproksimaciju s normalnom distribucijom, dobivamo

Primjer 5.3. Portfelj osiguravajućeg društva uključuje 16.000 ugovora o osiguranju smrti za godinu dana prema sljedećoj tablici:

Vjerojatnost pojave osiguranika Qu za svaki od 16.000 klijenata (ovi događaji su namijenjeni međusobno neovisni) jednaki 0,02. Tvrtka želi postaviti razinu vlastitog zadržavanja. Za svaki osiguranik, razina vlastitog zadržavanja je iznos uplate u nastavku koji ova tvrtka (Cedenti tvrtka) obavlja samostalno, a plaćanja superiorna od ove vrijednosti pokrivaju se ugovorom o reosiguranju od strane drugog poduzeća (reosiguratelj).

Na primjer, ako je razina vlastitog gospodarstva 200.000, tada tvrtka zadržava pokrivenost iznosa do 20.000 za svaki osiguranik i kupi reosiguranje za pokrivanje razlike između plaćanja osiguranja i iznosa od 20.000 za svaki od 4500 neprovjebljika, osiguranje Plaćanja za koje su superiornije od iznosa od 20.000.

Kao kriterij za donošenje odluke, Društvo bira minimiziranje vjerojatnosti da plaćanja osiguranja koja su preostala na vlastiti odbitak, plus iznos koji se plaća za reosiguranje će premašiti iznos od 8.250.000. Troškovi reosiguranja 0,025 po jedinici premaz (tj. 125% od očekivana veličina plaćanja osiguranja po jedinici 0,02).

Vjerujemo da je portfelj u pitanju zatvoren: novi ugovori o osiguranju zaključeni tijekom tekuće godine neće se uzeti u obzir u opisanom procesu donošenja odluka.

Djelomično rješenje. Prvo provodim sve izračune odabirom plaćanja 10.000 po jedinici. Kao ilustracija, pretpostavljamo da. u. S. To je iznos uplate ostalo na vlastitu zadržavanje, ima sljedeći obrazac:

Ovim plaćanjima osiguranja ostala na vlastitom odbitku, S.Dodana je količina premija za reosiguranje. Ukupno, ukupna količina premaza prema takvoj shemi je

Iznos koji je ostao na vlastitom odbitku je jednak

Dakle, ukupna reosigurana vrijednost je 35.000-24.000 \u003d 11.000, a troškovi reosiguranja je

To znači da je u razini vlastitog odbitka, jednaka 2, isplate osiguranja ostala na vlastitom odbitku plus troškovi reosiguranja. Kriterij donošenja odluka temelji se na vjerojatnosti da će ovaj ukupni iznos veći od 825,

Koristeći normalnu distribuciju, dobivamo da je ta vrijednost približno jednaka 0,0062.

Prosječne vrijednosti plaćanja osiguranja za osiguranje prekomjerne nepravilnosti, kao jedan od vrsta reosiguranja, mogu se približiti normalnom raspodjelom kao distribucijom općih plaćanja osiguranja.

Neka opće isplate osiguranja x imaju normalnu raspodjelu s srednjom i disperzijom

Primjer 5.4. Razmotrite portfelj osiguranja, kao u primjeru 5.3. Mi ćemo naći matematičko očekivanje količine plaćanja osiguranja u ugovoru o osiguranju za prekomjerno nemogućnost, ako

(a) individualno reosiguranje je odsutan i bezuvjetna franšiza je postavljena na 7.500.000

(b) posjedovanje je utvrđeno u iznosu od 20.000 prema pojedinim ugovorima o osiguranju i veličina bezuvjetne franšize na portfelju iznosi 5.300.000.

Odluka.

(a) U nedostatku individualne reosiguranja iu prijelaz na 10.000 kao monetarnu jedinicu

upotreba formule (5.2) daje

to je iznos od 43.770 u izvornim jedinicama.

(b) u primjeru 5.3, dobili smo prosječnu i disperziju ukupnog iznosa plaćanja osiguranja prema individualnoj razini vlastite zadržavanja od 20.000, jednako 480 i 784, ako uzmemo u obzir 10.000 kao jedinicu. Tako, \u003d 28.

upotreba formule (5.2) daje

koja je količina od 4140 u izvornim jedinicama.

U praksi je često potrebno pronaći zakon distribucije slučajnih varijabli.

Neka bude sustav (X B x 2) Dva kontinuirana s. u. I njihov iznos

Pronađite distribuciju gustoću s. u. W. U skladu s općim rješenjem prethodnog stavka, nalazimo područje aviona gdje x + X 2 (sl. 9.4.1):

Razlikovanje ovog izraza na y, dobivamo str. R. Nasumična varijabla Y \u003d x + x 2:

Budući da je funkcija F (x B x 2) \u003d XJ + X2 je simetrična o svojim argumentima,

Ako s. u. H. i H. 2 Pregledani, tada će formule (9.4.2) i (9.4.3) pogledati:

U slučaju kada je neovisan. u. X. i X 2 Govore o sastavu zakona distribucije. Proizvoditi sastav Dva zakona o distribuciji - to znači pronaći zakon distribucije suma od dva neovisna. c., distribuiran u skladu s ovim zakonima. Simboličko snimanje se primjenjuje za označavanje zakona o distribuciji

koji u biti odnose na formule (9.4.4) ili (9.4.5).

PRIMJER 1. Razmatra se rad dvaju tehničkih uređaja (TU). Prvo, Tuve radi nakon neuspjeha (neuspjeh) uključen u rad TU 2. Vrijeme bez problema s radom BU 2 - X. i H. 2 - neovisni i distribuirani u pogledu indikativnih zakona s parametrima a, 1 i X 2. Stoga, vrijeme Yor Promišljeni rad koji se sastoji od toga! i da će 2 biti određena formulom

Zahtijeva da pronađe str. R. Nasumična varijabla Y, tj. Sastav dva demonstracijska zakona s parametrima i X 2.

Odluka. Prema formuli (9.4.4) dobivamo (u\u003e 0)

Ako postoji sastav dvaju demonstracijskih zakona s istim parametrima (? C \u003d H. 2 \u003d Y), zatim u izrazu (9.4.8) ispada nesigurnost tipa 0/0, otkrivajući koje, dobivamo:

Uspoređujući ovaj izraz s izrazom (6.4.8), uvjereni smo da sastav dvaju identičnih indikativnih zakona (? C \u003d H. 2 = X)to je zakon Erlang drugog reda (9.4.9). S sastavom dvaju demonstracijskih zakona s različitim parametrima X. i a-2 dobiti generalizirano pravo Erland Drugi nalog (9.4.8). ?

Zadatak 1. Zakon distribucije razlike između dva s. u. S. u. (X i x 2) Ima zajednički str.: / (X B x 2). Nađi str. R. Njihova razlika Y \u003d x. - X 2.

Odluka. Za sustav s. u. (X b - x 2) itd će biti / (x b - x 2) tj. Zamijenili smo razliku. Prema tome, str. Slučajna varijabla bit će izgubljena (vidi (vidi (9.4.2), (9.4.3)):

Ako a iz. u. X xi 2 Nezavisni, T.

Primjer 2. Nađi str. R. Razlika s dva neovisno distribuirana. u. S parametrima X. i X 2.

Odluka. Po formuli (9.4.11) dobivamo

Sl. 9.4.2 Sl. 9.4.3

Slika 9.4.2 prikazuje p. R. g. (y). Ako je razlika između dva neovisno raspoređena s. u. s istim parametrima (A-I= H. 2 = ALI,),da g. (y) \u003d / 2 - već poznato

laplace zakon (sl. 9.4.3). ?

Primjer 3. Pronađite zakon distribucije zbroja dva neovisna. u. H. i X 2 distribuiran zakonom Poissona s parametrima h. i a 2.

Odluka. Pronađite vjerojatnost događaja (X. + H. 2 = t) (t \u003d 0, 1,

Slijedom toga, s. u. Y \u003d x x + H. 2 Distribuiran zakonom Poissona s parametrom i X2) - i X + A 2. ?

Primjer 4. Pronađite količinu raspodjele zbroja dva neovisna. u. X. i X 2 distribuirani binomnim zakonima s parametrima p x r2, r odnosno.

Odluka. Zamislite. u. X. kao:

gdje X 1) - Indikator događaja ALI Wu "-m iskustvo:

Redak distribucije s. u. X, - ima vrstu

Napravit ćemo sličnu zastupljenost za str. u. X 2:gdje x] 2) - pokazatelj događaja ALI U "iskustvu:

Stoga,

gdje x? 1) + (2) ako je pokazatelj događaja ALI:

Dakle, to smo pokazali s. u. Uzmi sumu (sh + p 2) Pokazatelji događaja ALIOdakle slijedi. u. ^ distribuira binomnim zakonom s parametrima ( p. + p 2), r.

Imajte na umu da ako vjerojatnosti r U raznim nizu eksperimenata su različiti, onda kao rezultat dodavanja dva neovisna. c., distribuirani binomnim zakonima, će raditi s. c., ne distribuiran ne binomnim zakonom. ?

Primjeri 3 i 4 su lako sažeti na proizvoljnom broju pojmova. Sa sastavom zakona Poissona s parametrima kommersant 2, ..., t. opet zakon Poissona s parametrom a (t) \u003d X + i 2 + ... + t.

Sa sastavom binomnih zakona s parametrima (n b); (I 2, r) , (nt, r) opet ispada o binomni zakon s parametrima ("("), R), Gdje p (t) \u003d sh + n 2 + ... + pt

Pokazali smo važna svojstva zakona Poisona i binomnog prava: "Imovina održivosti". Zakon o distribuciji se zove održiv Ako se sastav dvaju zakona istog tipa dobije zakon istog tipa (samo se razlikuju samo parametri ovog zakona). U pododjeljku 9.7 pokazat ćemo da normalan zakon ima istu imovinu stabilnosti.

Koristimo gore navedenu metodu kako bismo riješili jedan problem, naime, da pronađemo zakon distribucije zbroja dvije slučajne varijable. Postoji sustav dvije slučajne varijable (X, y) s distribucijskom gustoćom F (X, Y). Razmotrite zbroj slučajnih varijabli X i Y: i naći ćemo vrijednost raspodjele vrijednosti Z. Za to, konstruiramo na Xou linijskoj ravnini, čiji je jednadžba (sl. 7). Ovo je ravna crta koja siječe na osi segmenata jednaka z. Izravno dijeli ravninu kako u dva dijela; pravo i iznad njega; Lijevo i niže.

Regija D u ovom slučaju je lijevi donji dio Xou ravnine, zasjenjene na Sl. 7. Prema formuli (16) imamo:

Razlikovanje ovog izraza na promjenjivoj z, koji je uključen u gornju granicu unutarnjeg integrala, dobivamo:

To je opća formula za distribucijsku gustoću zbroja dvije slučajne varijable.

Za razmatranja simetrije, zadatak je u odnosu na X i Y, možete napisati još jednu varijantu iste formule:

koji je ekvivalentni prvom i može se primijeniti umjesto toga.

Primjer pripravka normalnih zakona. Razmotrite dvije neovisne slučajne varijable X i Y, podređeni normalnim zakonima:

Potrebno je napraviti sastav ovih zakona, tj. Pronaći zakon distribucije vrijednosti :.

Primijenite opću formulu za sastav zakona o distribuciji:

Ako otkrijete zagrade u pokazatelju stupnja integrirane funkcije i donesite slične članove, dobivamo:

Zamjena tih izraza u formuli koja se već pojavljuju

nakon transformacije dobivamo:

i to je ništa drugo nego normalan zakon s raspršivanjem

i rms devijacija

Osim toga, zaključak može biti značajno lakši sa sljedećim kvalitativnim obrazloženjem.

Bez otvaranja nosača i ne proizvodi transformacije u integrajnoj funkciji (17), odmah dolazimo do zaključka da je pokazatelj stupnja kvadrat tri odluke u odnosu na X tip

gdje u koeficijentu i vrijednost z uopće nije uključena u koeficijent u prvom stupnju, te u koeficijentu C - na trgu. Imajući to na umu i nanošenje formule (18), dolazimo do zaključka da je G (z) indikativna funkcija, a pokazatelj stupnja je kvadrat tri pad u odnosu na Z, i distribucijska gustoća; Ova vrsta odgovara normalnom zakonu. Dakle, mi; Dolazimo do čisto kvalitetnog zaključka: dozvole Z moraju biti normalne. Da biste pronašli parametre ovog zakona - i - koristimo teoremu za dodavanje matematičkih očekivanja i dodavanje disperzija. Formiranjem formiranja matematičkih očekivanja. Dodavanjem teorema disperzije ili odakle slijedi formulu (20).

Okreće se od standardnih odstupanja do vjerojatnih odstupanja koje im proporcionalno, dobivamo :.

Dakle, došli smo do sljedećeg pravila: sa sastavom normalnih zakona ponovno se dobiva normalan zakon, a matematička očekivanja i disperzija (ili kvadrati vjerojatnih odstupanja) su sažeti.

Pravilo sastav normalnih zakona može se generalizirati u slučaju proizvoljnog broja neovisnih slučajnih varijabli.

Ako postoje N neovisne slučajne varijable: podređeni normalnim zakonima s disperzijskim centrima i RMS odstupanja, a zatim je vrijednost također podređena normalnom zakonu s parametrima

Umjesto formule (22), moguće je primijeniti formulu ekvivalentnu na njega:

Ako je sustav slučajnih varijabli (X, Y) raspodijeljen u skladu s normalnim zakonom, ali vrijednosti X, Y ovise, nije teško dokazati, baš kao i prije, na temelju opće formule (6.3. 1), da je zakon distribucije vrijednosti je i normalan zakon. Disperzijski centri su još uvijek algebrijski, ali za standardne devijacije, pravilo postaje složenije:, gdje je, R je koeficijent korelacije X i Y.

Prilikom dodavanja nekoliko ovisnih slučajnih varijabli podređenim normalnim zakonom, zakon distribucije iznosa također se ispostavlja da je normalno s parametrima

ili u vjerojatnim odstupanjima

gdje je koeficijent korelacije od X I, X J, i sabiranje se odnosi na sve različite parove kombinacija veličine.

Uvjereni smo u vrlo važnu imovinu normalnog prava: sa sastavom normalnih zakona, normalni zakon je ponovno dobiven. To je tzv. "Imovina održivosti". Zakon o distribuciji naziva se održiv, ako se sastav istog tipa ponovno dobije sa sastavom dvaju zakona ovog tipa. Iznad, pokazali smo da je normalan zakon stabilan. Imovina održivosti je vrlo malo zakona distribucije. Zakon jedinstvene gustoće je nestabilan: sa sastavom dvaju zakona jedinstvene gustoće na parcelama od 0 do 1, primili smo Simpsonski zakon.

Održivost normalnog prava je jedan od bitnih uvjeta za raširenu u praksi. Međutim, neki drugi zakoni o distribuciji imaju imovinu stabilnosti, osim normalne. Osobitost normalnog zakona je da s sastavom dovoljno velikog broja praktički proizvoljnih zakona o distribuciji, ispostavlja se da je ukupni zakon koji se može proizvoljno blizu normalno, bez obzira na to jesu li zakoni raspodjele komponenti bili. To se može ilustrirati, na primjer, čineći sastav od tri zakona jedinstvene gustoće u područjima od 0 do 1. rezultirajuća transakcija G (z) prikazana je na Sl. 8. Kao što se može vidjeti s crteže, grafikon funkcije g (z) vrlo podsjeća raspored normalnog zakona.