Elastični valovi. Stojeći valovi

Ako postoji nekoliko valova u mediju istovremeno, fluktuacije medija su geometrijska količina oscilacija, koja bi izvršila čestice kada je razmnožavanje svakog od valova odvojena. Slijedom toga, valovi jednostavno superprimiraju jedan drugome, ne paču jedni druge. Ova se izjava naziva načelo superpozicije (nametanje) valova.

U slučaju kada su oscilacije uzrokovane pojedinačnim valovima u svakoj od točaka medija, imaju konstantnu faznu razliku, valovi se nazivaju koherentni. (Strodnije određivanje koherentnosti će se dati u § 120.) Kada su koherentan valovi dodani, pojavljuje se smetnja, koja se sastoji u činjenici da se pojačavaju fluktuacije na jednoj točki, a na drugim točkama oslabite jedni druge.

Vrlo važan slučaj smetnji se promatra kada se promatraju dva nadolazeća ravnina s istom amplitudom. Dobiveni oscilacijski proces naziva se stojeći val. Praktično stojeći valovi javljaju kada valovi odražavaju prepreke. Val koji pada na barijeru i reflektirani val ogleda jedni prema drugima, dajući stojeći val.

Pisat ćemo jednadžbe dvaju ravnih valova šireći duž x osi u suprotnim smjerovima:

Sklopite ove jednadžbe i pretvaranje rezultata prema formuli za količinu kosine, dobivamo

Jednadžba (99.1) je jednadžba stojećeg vala. Da biste je pojednostavili, odaberite početak referentne tako da razlika postane jednaka nuli, a početak reference - tako da se ispostavi da je nula iznos dodatak, mi ćemo zamijeniti val broj K svoju vrijednost

Tada će jednadžba (99.1) pogledati

Od (99,2) može se vidjeti da u svakoj točki stojećeg vala postoje oscilacije iste frekvencije kao u valovima brojača, a amplituda ovisi o X:

amplituda oscilacija doseže maksimalnu vrijednost. Te se točke nazivaju plaže stojećeg vala. Od (99,3) se dobivaju koordinatne vrijednosti:

Treba imati na umu da piggy nije jedna točka, a zrakoplov čije točke imaju vrijednosti koordinatne X formule (99,4).

Na točkama čije koordinate zadovoljavaju stanje

amplituda oscilacija privlači nulu. Te se točke nazivaju čvorovima stalnih valova. Mjesto medija u čvorovima se ne izvode. Čvorovi koordinira stvar

Čvor, kao što je piggyback, nije jedna točka, a avion, čije točke imaju vrijednosti koordinate X, definirane formulom (99,5).

Iz formula (99,4) i (99.5) slijedi da je udaljenost između susjednih greda, kao i udaljenost između susjednih čvorova, jednaka. Puffy i čvorovi pomaknuli su se u odnosu na jedno drugoj jednoj četvrtini valne duljine.

Ponovno skrenite na jednadžbu (99,2). Multiplikator kada se kreće kroz nultu vrijednost mijenja znak. U skladu s tim, faza oscilacije na različitim stranama čvora razlikuje se na to znači da su točke koje leže duž različitih strana čvora mijenjaju u antifazi. Sve točke zaključene između dva susjedna čvorova fluktuira Simphang (tj. U istoj fazi). Na sl. 99.1 Dan brojne "trenutne fotografije" odstupanja točaka s položaja ravnoteže.

Prva "fotografija" odgovara trenutak kada odstupanja postižu najveću apsolutnu vrijednost. Naknadne "fotografije" izrađene su u intervalima u četvrt razdoblja. Strelice pokazuju brzinu čestica.

Diferenciranje jednadžbe (99,2) jednom po t, a još jedan put u X, nalazimo izraze za brzinu čestica i za deformaciju medija:

Jednadžba (99,6) opisuje stojni val brzine i (99,7) - stojeći val deformacije.

Na sl. 99.2 "Instant fotografije" offset, brzine i deformacije za trenutke vremena 0 i iz grafikona može se vidjeti da se čvorovi i brzine grede podudaraju s čvorovima i pristranosti; Čvorovi i vagidnost deformacije podudaraju se prema gredama i pristrasnim čvorovima. Dok dopire do maksimalnih vrijednosti, okreće se na nulu, i obrnuto.

Prema tome, dva puta za razdoblje postoji transformacija energije stojećeg vala koja je u potpunosti u potencijalu, uglavnom se fokusirana u blizini valnih čvorova (gdje se nalaze deformacijska perli), zatim u potpunosti u kinetiku, fokusirane na valove, koji nalaze se). Kao rezultat toga, energetski prijelaz dolazi iz svakog čvora kako bi susjedne grede i leđa. Prosječni tok energije u bilo kojem dijelu vala je nula.

6.1 Stojeći valovi u elastičnom okruženju

Prema načelu superpozicije, s širenjem u elastičnom mediju u isto vrijeme, nekoliko valova voda njihovog nametanja, a valovi se ne pretjeruju: fluktuacije čestica medija su vektorski zbroj Oscilacije koje bi čestice izvodile čestice u svakom od valova.

Valovi koji stvaraju oscilacije medija, fazne razlike između koje su konstantne na svakoj točki prostora, nalaze se koherentan.

Osim koherentnih valova, pojavljuje se fenomen smetnjeČinjenica da se u nekim točkama valnog prostora poboljšavaju jedni druge, i na drugim točkama - oslabiti. Važan slučaj smetnji povezano je s nametanjem dvaju nadolazećih ravninskih valova s \u200b\u200bistom frekvencijom i amplitudom. Koji proizlaze iz ovog poziva oscilacije stojeći val, Češće se pojavljuju sve-njihovi valovi kada se odražavaju od trčanja od barijere. U ovom slučaju, padajući val i val koji se odražavaju prema njoj, kada dodaju, daje stojeći val.

Dobivamo jednadžbu stojećeg vala. Uzmite dva ravna harmonijska vala koja se primjenjuju na drugu duž osi X. i imaju istu frekvenciju i amplitudu:

gdje - fazu oscilacija točaka medija u pro-hodu prvog vala;

- fazu oscilacija točaka medija tijekom pro-hoda drugog vala.

Fazna razlika u svakoj točki na osi X. neće ovisiti o mreži vremena, tj. Bit će trajno:

Prema tome, obje valovi će biti koherentan.

Fluktuacija čestica medija izgledala je kao rezultat dodavanja valova koji se razmatraju bit će kako slijedi:

Mi transformiramo količinu kosinu kutova prema pravilu (4.4) i dobiti:

Multiplikatori poviševanja, dobivamo:

Da biste pojednostavili izraz, odaberite početak referentne tako da je fazna razlika i početak odbrojavanja vremena tako da je fazni iznos nula: .

Tada će jednadžba za količinu valova biti u obliku:

Jednadžba (6.6) se zove jednadžba stojeća, Može se vidjeti da je frekvencija stojećeg vala jednaka učestalosti tekućeg vala, a amplituda, za razliku od tekućeg vala, ovisi o udaljenosti od početka reference:

. (6.7)

Uzimajući u obzir (6.7), jednadžba stojećeg vala uzima oblik:

. (6.8)

Dakle, točke medija mijenjaju frekvenciju koja se podudara s učestalošću tekućeg vala i amplitude a.ovisno o položaju točke na osi X., Prema tome, amplituda varira ovisno o zakonu o kosinu i ima vlastitu maksimumu i minimalnu (sl. 6.1).

Kako bi se vizualno prisustvovao mjesto minimuma i maksima amplitude za zamjenu, prema (5.29), valni broj je njegova vrijednost:

Tada će se izraz (6.7) za amplitudu preuzeti oblik

(6.10)

Odavde postaje jasno da amplituda premještanja Mac-Symacne na , Na točki, koordinata koja zadovoljava stanje:

, (6.11)

gdje

Odavde dobivamo koordinate točaka gdje je amplituda mješavine maksimalno:

; (6.12)

Mjesta gdje je amplituda fluktuacija medija maksimalno nazvan poams valova.

Amplituda valova je nula na točkama gdje , Koordinata takvih točaka valni čvorovi, zadovoljava stanje:

, (6.13)

gdje

Od (6.13) može se vidjeti da koordinate čvorova imaju značenje:

, (6.14)

Na sl. 6.2 Prikazuje primjeran pogled na stojeći val, mjesto čvorova i udaraca. Može se vidjeti da će koe-sivi čvorovi i omote raseljavanja se međusobno odmoriti za istu udaljenost.

Naći ćemo udaljenost između susjednih greda i Uz-la. Od (6.12) dobivamo udaljenost između dimova:

(6.15)

Udaljenost između čvorova dobivamo od (6.14):

(6.16)

Od dobivenih odnosa (6.15) i (6.16), može se vidjeti da je udaljenost između susjednih čvorova, kao i između susjedstava, stalno jednaka; Čvorovi i grede pomaknuli su se u odnosu na druge na (sl. 6.3).

Od određivanja valne duljine moguće je napisati izraz za duljinu stojećeg vala: jednak je pola duge valne duljine:

Pišemo, uzimamo u obzir (6.17), izraze za koordinate ultrazvuka i premlaćivanja:

, (6.18)

, (6.19)

Multiplikator koji određuje amplitudu amplitude vala mijenja svoj znak kada se kreće kroz nultu vrijednost, kao rezultat kojih se oscilacija faza na različitim stotina rublja razlikuje na čvoru. Prema tome, sve točke koje leže uz različite strane čvora mijenjaju u pro-tivofazi. Sve točke između susjednog UZ-lami fluktuira jednostavnost.

Čvorovi konvencionalno podijelite okolinu autonomne regijeu kojoj su harmonijske oscilacije predane neovisne. Nema prijenosa kretanja između područja, a time i protok energije između regija nije. To jest, nema oslobađanja poremećaja duž osi. Dakle, val se naziva stojeći.

Dakle, stojeći val formira se od dva suprotna putovanja valovi jednakih frekvencija i AMP-lituda. Jedinice svakog od tih valova su jednake mo-duoulu i suprotne od smjera, a sa simbolom, oni daju nulu. Slijedom toga, stoji val energije ne tolerira.

6.2 Primjeri stojećih valova

6.2.1 Stalni val u nizu

Razmotrite duljinu niza L.sadržana s obje con-krave (sl. 6.4).

Mjesto duž žice osi X. Tako da lijevi kraj niza ima koordinatu x \u003d 0.i desno - x \u003d l., U nizu se nalaze oscilacije opisane jednadžbom:

Pišemo granične uvjete za razmatranje potoka. Budući da su njegovi ciljevi fiksirani, onda na točkama s Coor-Dinatamom x \u003d 0. i x \u003d l. oscilacije br:

(6.22)

Pronašli smo jednadžbu oscilacije niza na temelju zapisa o graničnim uvjetima. Pišemo jednadžbu (6.20) za lijevi kraj niza s obzirom na (6.21):

Odnos (6.23) se izvodi u bilo koje vrijeme t. U dva slučaja:

1. , To je moguće u slučaju da u nizu nema kola (). Ovaj slučaj interesa ne predstavlja, a mi nećemo uzeti u obzir.

2 .. Ovdje je faza. Ovaj slučaj će nam omogućiti da dobijemo jednadžbu oscilacije niza.

Zamijenimo dobivenu faznu vrijednost u graničnom stanju (6.22) za desni kraj niza:

. (6.25)

S obzirom na to

, (6.26)

od (6.25) dobivamo:

Ponovno se pojavljuju dva slučaja u kojoj je uvjet (6.27) zadovoljan. Kada su oscilacije u nizu dovoljno (), nećemo uzeti u obzir.

U drugom slučaju treba izvršiti jednakost:

i to je moguće samo kada je argument sinusa Kathen broj:

Odbacimo vrijednost, jer U isto vrijeme, to bi značilo ili nula niz dužine ( L \u003d 0.) ili novi broj k \u003d 0., S obzirom na vezu (6.9) između valnog broja i valne duljine, može se vidjeti da će se poward novi broj biti nula, valna duljina treba biti beskonačna, a to bi značilo odsustvo oscilacija.

Od (6.28) može se vidjeti da je val broj kada su žice sadržani na oba kraja mogu uzeti samo određene diskretne vrijednosti:

S obzirom na (6.9), pišemo (6.30) u obliku:

gdje dobivamo izraz za moguće valne duljine u nizu:

Drugim riječima, na duljini niza L. treba odgovarati cijelom broju n. Polu-pad:

Odgovarajuće frekvencije oscilacija mogu se odrediti iz (5.7):

Ovdje - fazni val brzina, ovisno, suglasnost (5.102), od linearne gustoće niza i čvrstoće niza:

Zamjena (6.34) u (6.33), dobivamo izraz, opisujući moguće frekvencije oscilacija niza:

, (6.36)

Frekvencije se nazivaju vlastite frekvencije potok. Frekvencija (kao n. = 1):

(6.37)

poziv glavna frekvencija (ili glavni ton) Nizovi. Frekvencije definirane n\u003e 1. nazvan obrafton ili harmonije, Harmonički broj je jednak n-1, Na primjer, frekvencija:

odgovara prvom harmoniku i frekvenciji:

komunicira drugi harmonik itd. Budući da se niz može zastupati u obliku diskretnog sustava s bezličnim brojem stupnjeva slobode, svaki harmonik je modovni Watters string. U općem slučaju, nizovi žica su mod superpozicija.

Svaki harmonik odgovara njegovoj valnoj duljini. Za glavni ton (s n \u003d1) Valna duljina:

odnosno za prvu i drugu harmoniku (kada n \u003d2 I. n \u003d3) valne duljine će biti:

Slika 6.5 prikazuje vrstu nekoliko načina oscilacija koje provodi niz.

Dakle, niz s fiksnim krajevima je u liscima u okviru klasične fizike, iznimni slučaj je diskretni spektar frekvencije oscilacija (ili valnih duljina). Na isti način, elastična briše s jednim ili oba stezača i oscilacije zračnog stupa u cijevima, koji će se razmatrati u sljedećim odjeljcima.

6.2.2 Učinak početnih uvjeta kretanja

kontinuirani niz. Fourier analiza

Fluktuacije niza s završnim krajevima, uz disk spektar, frekvencije oscilacije imaju još jednu važnu imovinu: specifičan oblik žici osciliranja ovisi o metodi ekscitacije oscilacija, tj. iz očitih uvjeta. Razmotrite više detalja.

Jednadžba (6.20), koja opisuje jedno-moderno plakanje u nizu, posebno je rješenje jednadžbe diferencijalne valne (5,61). Budući da se fluktuirati od potoka se sastoji od sveg mogućeg moda (za konop zajednička odluka Jednadžba vala (5.61) sastoji se od beskonačnog broja privatnih rješenja:

, (6.43)

gdje i. - modni broj oscilacija. Izraz (6.43) nije dopušten, već uzimajući u obzir činjenicu da su krajevi žica fiksirani:

kao i uzimajući u obzir povezanost frekvencije i.Moda i njegov valni broj:

(6.46)

Ovdje - Broj vala i.moda;

- val broj prve mode;

Smatramo da je veličina početne faze za svaki oscilacija. Za to u vrijeme vremena t \u003d 0. dati oblik opisuje funkciju f. 0 (x), izraz za koji dobivamo (6.43):

. (6.47)

Na sl. 6.6 prikazuje primjer niza, opisujući moju funkciju f. 0 (x).

U vrijeme vremena t \u003d 0. Niz se još uvijek odmara, tj. Brzina svih njegovih točaka je nula. Od (6.43) naći ćemo izraz za brzinu žica:

i, zamjenjujući u nju t \u003d 0., Dobivam izraz za speedpoint niza u početnom trenutku:

. (6.49)

Budući da je u početnom vremenu, brzina je nula, izraz (6.49) će biti nula za sve točke niza, ako. Iz toga slijedi da je faza on-razjašnjenja za sve načine također nula (). Uzimajući u obzir ovaj izraz (6.43), koji opisuje kretanje niza, uzima oblik:

, (6.50)

i izraz (6.47), opisujući početni oblik potoka, izgleda:

. (6.51)

Stojeći val u nizu opisan je funkcijom, periodikom u intervalu, gdje je jednaka dvije dužine dužine (sl. 6.7):

To se vidi iz činjenice da frekvencija u intervalu znači:

Stoga,

Što nas vodi do izražavanja (6.52).

Poznato je iz matematičke analize da se sva ne-rodijska funkcija može razgraditi s visokom točnosti u Fourier seriji:

, (6.57)

gdje, - Fourier koeficijenti.

Razmotrite rezultat smetnji dvajukoidnih ravnih valova iste amplitude i širenja frekvencije u suprotnim smjerovima. Za jednostavnost obrazloženja pretpostavljamo da jednadžbe tih valova imaju oblik:

To znači da na početku koordinata oba valova uzrokuju oscilacije u istoj fazi. U točki a s koordinatom X ukupna vrijednost oscilirajuće vrijednosti, prema načelu superpozicije (vidi § 19), jednak

Ova jednadžba pokazuje da kao rezultat miješanja izravnog i obrnutog valova na svakoj točki medija (s fiksnom koordinatom, harmonijska oscilacija se javlja s istom frekvencijom, ali s amplitudom

ovisno o vrijednosti koordinata X. Na točkama medija u kojima su oscilacije uopće nedostaju: ove se točke nazivaju oscilacija čvorovi.

Na točkama gdje je amplituda oscilacija od najveće vrijednosti jednake tim točkama nazivaju se oscilacija. Lako je pokazati da je udaljenost između susjednih čvorova ili susjednih greda jednaka udaljenosti između udaljenosti i najbližeg čvora jednaka promjeni X na kosinumu u formuli (5.16) mijenja znak na suprotno (njegov argument Stoga se razlikuje, ako unutar jednog polu-vala - od jednog čvora na drugu - čestice medija odbačenih u jednom smjeru, zatim unutar sljedećeg polu-val čestica medija bit će odbačena u suprotnom smjeru.

Postupak vala u mediju opisanom formulom (5.16) naziva se stalni val. Grafički stojeći val može se prikazati kao što je prikazano na Sl. 1.61. Pretpostavimo da postoji premještanje točaka medija iz stanja ravnoteže; Zatim formula (5.16) opisuje "stoji val offset". U nekom trenutku, kada sve točke medija imaju maksimalne pomaka, čiji je smjer, ovisno o vrijednosti koordinata X, određen znakom tih odstupanja prikazani su na Sl. 1.61 čvrste strelice. Nakon četvrtine razdoblja, kada je pomak svih točaka medija nula; Srednje čestice prolaze kroz liniju s različitim brzinama. Nakon još jedne četvrtine razdoblja, kada će srednje čestice ponovno imati maksimalne pomake, ali suprotan smjer; Ove se odstupaju

sl. 1.61 točkasta strelica. Točku suštine Beacon Stalni val offset; Točke čvorova ovog vala.

Karakteristične značajke stojećeg vala, za razliku od uobičajenog širenja, ili trčanje, valovi su sljedeći (što znači ravni valovi u nedostatku prigušenja):

1) U stalnom valu amplituda oscilacija se razlikuju u različitim mjestima sustava; Sustav ima čvorove i svjetiljke oscilacija. U "trčanje" val, ove amplitude su iste svugdje;

2) unutar mjesta sustava iz jednog čvora u susjedne sve točke srednjeg mijenja u istoj fazi; Kada se krećete na susjedno područje, faze oscilacije mijenjaju se u obrnuto. U tekućem valu faze oscilacije, prema formuli (5.2), ovisi o koordinatama točaka;

3) Nema jednostranog prijenosa energije u stojeću valu, jer se odvija u vožnji.

Kada opisuje vibracijske procese u elastičnim sustavima, moguće je uzeti ne samo pomak ili brzinu čestica sustava, već i vrijednost relativne deformacije ili veličine naprezanja na kompresiju, istezanje ili pomak, itd. U ovom Slučaj, u stojećem valu, gdje se formiraju natečene brzine čestica, čvorovi deformacije nalaze se i naprotiv, broj brzina se podudaraju s gredama deformacija. Pretvorba energije iz kinetičkog oblika na potencijal i leđa nastaje unutar sustava sustava iz BEFINESS-a do susjednog čvora. Može se pretpostaviti da svako takvo područje ne razmjenjuje energiju sa susjednim mjestima. Imajte na umu da se konverzija kinetičke energije kreće čestica u potencijalnu energiju deformiranih područja medija u jednom razdoblju javlja se dva puta.

Gore, s obzirom na smetnje izravnih i obrnutih valova (vidi izraze (5.16)), nismo bili zainteresirani za podrijetlo tih valova. Pretpostavimo da je medij u kojem se širenje fluktuacija ima ograničene veličine, kao što su oscilacije uzrokovane u nekom čvrstom tijelu - u šipki ili nizu, u stupu tekućine ili plina, itd. Val razmnožava u takvom okruženju (Tele) To se odražava od granica, dakle, u količini ovog tijela, mijenjaju se smetnje valova uzrokovanih vanjskim izvorom i kontinuirano se odražavaju od granica.

Razmotriti najjednostavniji primjer; Pretpostavimo, oscilatorni pokret s frekvencijom je pobuđen vanjskim sinusoidnim izvorom na točki (sl. 1.62). Početak odbrojavanja vremena će odabrati tako da je u ovom trenutku premještanje izražena formulom

gdje će amplituda oscilacija na točki uzrokovane u štap val će se odraziti s drugog kraja štapa 0% i otići će u suprotno

smjer. Pronađite rezultat smetnji ravnih i reflektiranih valova u nekom trenutku šipke koji imaju koordinaciju X. Za jednostavnost rasuđivanja, pretpostaviti da ne postoji apsorpcija oscilacija na štap i stoga su amplitude ravnih i reflektiranih valova jednaki.

U nekom trenutku, kada je premještanje oscilirajućih čestica na mjestu jednaka, na drugoj točki štapa, pomak uzrokovana ravnim valom će biti, prema valnoj formuli, jednaka

Kroz istu točku i reflektirani val također prolazi. Da biste pronašli offset uzrokovane u točki reflektirani val (u isto vrijeme potrebno je izračunati vrijeme tijekom kojeg će val proći i vratiti se do točke dok je pomak uzrokovan točkom reflektiranog vala jednaka

Pretpostavlja se da u reflektirajućem kraju šipke u procesu refleksije ne postoji faza za promjenu oscilacija nalik na skok; U nekim slučajevima, takva promjena u fazi (nazvana gubitak faza) odvija i mora se uzeti u obzir.

Složenost oscilacija uzrokovanih različitim točkama šipke ravno i odražava valova daje stojeći val; stvarno,

gdje je neka stalna faza, neovisna o koordinatu X i vrijednosti

to je amplituda oscilacija na točki ovisi o koordinatu X, tj. Se razlikuje u različitim mjestima šipke.

Naći ćemo koordinate tih štapića u kojima se formiraju čvorovi i svjetionici stojećeg vala. Cirkulacija kosine u nulu ili jedinici javlja se na vrijednostima argumenta, višestruko

gdje je cijeli broj. S neparnoj vrijednosti tog broja, kosine žalbe na nulu i formulu (5.19) daje koordinate čvorova stajaćih valova; Čak i dobivamo koordinate o udarnosti.

Gore, dodano je samo dva vala: izravna, od i odražava, razmnožavajući se međutim, treba uzeti u obzir da će reflektirani val na granici šipke ponovno odraziti i ići u smjeru ravnog vala. Takva razmišljanja

od krajeva štapa bit će puno, i stoga je potrebno pronaći rezultat smetnja ne dva, a svi u isto vrijeme postoje u valovima šipke.

Pretpostavimo da je vanjski izvor oscilacija izazvao valni štap već neko vrijeme nakon čega je protok oscilirajuće energije izvana prestala. Tijekom tog vremena refleksije su se dogodile na štap, gdje je vrijeme tijekom kojeg je val prošao s jednog kraja štapa na drugi. Slijedom toga, štap će istovremeno postojati valovi koji se događaju u izravnim i valovima u suprotnim smjerovima.

Pretpostavimo da je kao posljedica smetnji jednog para valova (izravno i reflektiranih), premještanje u točno i pokazala se jednako. Pronađite stanje u kojem su svi mijenjaju y, uzrokovane svakim valovima, imaju iste smjere na mjestu i šipku i stoga se razvijaju. Za ovu fazu oscilacija uzrokovanih svaki par valova na točki treba se razlikovati na oscilacija faza uzrokovanih sljedećim parom valova. Ali svaki val se ponovno vraća u točku A s istim smjerom distribucije tek nakon vremena, tj. Zaostaje iza faze na izjednačavanju ovog kašnjenja gdje cijeli broj, dobivamo

tj duž duljine šipke mora odgovarati cijeli broj od pola stopa. Imajte na umu da se ovaj uvjet faze svih valova koji dolaze iz smjera prema naprijed razlikuje se od drugih na kojem je cijeli broj; Na isti način, faze svih valova koji dolaze iz suprotnog smjera razlikuju se od drugih na njemu, ako jedan par valova (izravan i obrnuti) daje duž distribucije šipke, određena formulom (5.17), tada Tijekom uplitanja parova takvih valova, distribucija pomaka se ne mijenja; Povećat će se samo amplitude oscilacije. Ako maksimalna amplituda oscilacija tijekom smetnje dvaju valova, u skladu s formulom (5.18), jednaka je smetnji mnogih valova, to će biti više. Označavaju ga kroz tada raspodjelu amplitude oscilacija duž štap umjesto izraza (5.18) određena je formulom

Od izraza (5.19) i (5.20), točke u kojima se određuje ili 1:

gdje je cijeli broj koordinata čvorova stalnih valova dobiven iz ove formule s neparnim vrijednostima, zatim ovisno o duljini štapa, tj. Vrijednosti

koordinate poofiranja rezultirat će čak i vrijednosti

Na sl. 1.63 shematski pokazuje stojeći val na štapu, čiji je duljina; Points of Beafness, točke čvorova ovog stojećeg vala.

U ch. Pokazalo se da je u nedostatku periodičnih vanjskih utjecaja, priroda kretanja kodeba u sustavu i iznad svega glavne vrijednosti - učestalost oscilacija - određuje se veličinama i fizička svojstva Sustavi. Svaki oscilacijski sustav ima svoje, svoj inherentni vibracijski pokret; Ova oscilacija se može promatrati ako dobijete sustav iz ravnoteža stanja i zatim eliminirati vanjske utjecaje.

U ch. 4 sata razmišljam o pretežno oscilacijskim sustavima s koncentriranim parametrima, u kojima je inertna masa imala neka tijela (točka) i elastična svojstva - druga tijela (izvori). Nasuprot tome, oscilacijski sustavi u kojima su masa i elastičnost svojstveni u svakom osnovnom volumenu, nazivaju se sustavi s distribuiranim parametrima. To uključuje gore navedene šipke, nizove, kao i tekućine ili plinske stupove (u glazbenim instrumentima), itd. Za takve sustave, postoje stojeći valovi; Glavna karakteristika ovih valova je valna duljina ili distribucija čvorova i udaraca, kao i frekvencija oscilacije - određuje se samo veličinom i svojstvima sustava. Stojeći valovi mogu postojati u nedostatku vanjskog (periodnog) utjecaja na sustav; Taj je utjecaj potreban samo izazvati ili održavati stajanje valova u sustavu ili promijeniti amplitude oscilacija. Posebno, ako se vanjski utjecaj na sustav s distribuiranim parametrima pojavljuje s frekvencijom, jednaka frekvencija Njezine oscilacije, tj. Učestalost stojećeg vala, onda postoji fenomen rezonancije, razmatra se u ch. 5. Za različite frekvencije iste.

Dakle, u sustavima s distribuiranim parametrima, vlastiti oscilacije su stojeći valovi - karakterizirani cijelim spektrom frekvencija, više međusobno. Najmanja od tih frekvencija koje odgovaraju najvećoj valnoj duljini naziva se glavna frekvencija; Ostalo) - Otvori ili harmonici.

Svaki sustav karakterizira ne samo prisutnošću takvog spektra oscilacija, već i određene distribucije energije između oscilacija različitih frekvencija. Za glazbene instrumente, ova distribucija daje zvuku neobičnu značajku, takozvani zvučni tim, razni za razne alate.

Navedeni izračuni se odnose na slobodnu oscilirajuću duljinu šipke. Međutim, obično imamo šipke pričvršćene na jednom ili oba kraja (na primjer, oscilirajuće žice), ili duž šipke nalaze se jedna ili više mjesta za učvršćivanje. čestice sustava ne mogu obavljati oscilacijske pokrete su interno čvorovi za pomicanje. Na primjer,

ako je potrebno dobiti stajanje valova na štap na jednom, dva, tri točke konsolidacije, itd., Te se točke ne mogu proizvoljno odabrati, ali bi se trebali nalaziti duž šipke tako da su u čvorovima formiranog stojećeg vala , To je prikazano, na primjer, na Sl. 1.64. Na istoj figuri, isprekidana linija pokazuje premještanje bodova šipke tijekom oscilacija; Na slobodnim krajevima uvijek se formira Beafness ofsellacement, na fiksnim pristrasnim čvorovima. Za oscilirajuće zračne stupce u cijevima, čvorovi za pomicanje (i brzina) dobivaju se u reflektirajućim krutim zidovima; Na otvorenim krajevima epruveta formiraju se grede od pomaka i brzina.

Primijećeno je vrlo važan slučaj smetnji prilikom postavljanja ravnih valova s \u200b\u200bistom amplitudom. Dobiveni oscilacijski proces se zove stojeći val.

Praktično stojeći valovi javljaju kada valovi odražavaju prepreke. Val koji pada na barijeru i reflektirani val ogleda jedni prema drugima, dajući stojeći val.

Razmotrite rezultat uplitanja dvaju osjetljivih ravnih valova iste amplitude u širenju u suprotnim smjerovima.

Za jednostavnost obrazloženja pretpostavljamo da oba valova uzrokuju oscilacije na početku koordinata u istoj fazi.

Jednadžbe ovih oscilacija su:

Sklopite obje jednadžbe i pretvaranje rezultata, formulom za zbroj sinusa, dobit ćemo:

- jednadžba stojećeg vala.

Usporedite ovu jednadžbu s jednadžbom harmonijskih oscilacija, vidimo da je amplituda dobivenih oscilacija:

Od tada, ali.

Na ambijentalnim točkama, gdje nema oscilacija, tj. , Te se točke nazivaju Čvorovi stojećih valova.

Na točkama, gdje je amplituda oscilacija od najveće vrijednosti jednake. Te se točke nazivaju zagonetke Stajanje val, Koordinate snopa su iz stanja, jer zatim.

Odavde:

Slično tome, koordinate čvorova su iz stanja:

Iz:

Iz formula koordinata čvorova i blagovaonice slijedi da je udaljenost između susjednih greda, kao i udaljenosti između susjednih čvorova, jednaka. Puffy i čvorovi pomaknuli su se u odnosu na jedno drugoj jednoj četvrtini valne duljine.

Usporedite karakter oscilacija u stalnom i trčanje val. U tekućem valu svaka točka obavlja oscilacije čija amplituda se ne razlikuje od amplitude drugih točaka. Ali se pojavljuju oscilacije različitih točaka razne faze.

U stojeću valu, sve čestice medija između dva susjedna čvora mijenjaju u istoj fazi, ali s različitim amplitudama. Kada se prebacite kroz čvor, vibracije oscilacije faze ovise o tome, jer Mijenja znak.

Grafički stojeći val može se prikazati na sljedeći način:

U vrijeme kada sve točke medija imaju maksimalne pomake, čiji se na brodu određuje znakom. Ove se odstupaju prikazuju na crtežu s čvrstim strelicama.

Nakon četvrtine razdoblja, kada je, offset svih točaka je nula. Čestice prolaze kroz liniju s različitim brzinama.

Nakon još jedne četvrtine razdoblja, kada će čestice ponovno imati maksimalne pomake, ali suprotni smjer (točkasta strelice).

Kada opisuju oscilacijske procese u elastičnim sustavima, ne može se uzeti samo pomak, već i brzina čestica, kao i vrijednost relativne deformacije medija.

Pronaći zakon mijenjanja brzine stojećeg vala, u odnosu na jednadžbu stagnacije stojećeg vala i pronaći zakon mijenjanja deformacije infezencijalno po jednadžbi stojećeg vala.

Analizirajući te jednadžbe, vidimo da se čvorovi i grede brzine podudaraju s čvorovima i pristranosti premještanja; Čvorovi i svjetionici deformacije podudaraju se prema gredama i čvorovima brzine i offset.

Watters string

U zategnutom nizu pričvršćen s oba kraja, stojeći valovi su instalirani tijekom ekscitacije poprečnih oscilacija, a čvorovi moraju biti postavljeni u čepove. Stoga su samo takve oscilacije uzbuđene u nizu, polovica duljine stavlja na duljinu niza cijeli broj.

Stoga stanje:

gdje je duljina niza.

Ili drugačije. Ove valne duljine odgovaraju frekvenciji, gdje se fazni barvene brzina. Određuje se snagom napetosti niti i njegove mase.

Kada - glavna frekvencija.

Kada - vlastite frekvencije žica oscilacija ili ochtoni.

Dopler

Razmotrite najjednostavnije slučajeve kada se izvor valova i promatrač premješta u odnosu na medij duž jedne ravne linije:

1. Izvor zvuka pomiče se u odnosu na medij brzine, zvučni prijemnik počiva.

U tom slučaju, za razdoblje oscilacija, zvučni val će odstupiti od kiselog nicka na daljinu, a izvor će se pomaknuti na daljinu jednaku.

Ako se izvor ukloni iz prijemnika, tj. Pomaknite se u suprotnom smjeru razmnožavanja valova, zatim valnu duljinu.

Ako je izvor zvuka bliže prijemniku, tj. Tada se pomaknite u smjeru distribucije vala.

Učestalost zvuka percipira prijemnik je:

Zamjena umjesto njihovog značenja za oba slučaja:

Uzimajući u obzir činjenicu da će, gdje - učestalost oscilacija izvora, jednakost će se oblikovati:

Podijelimo brojnik i nazivnik ove frakcije, onda:

2. Izvor zvuka je fiksiran i prijemnik se kreće u odnosu na medij pri brzinama.

U tom slučaju, valna duljina u mediju ne mijenja i još je jednaka. U isto vrijeme, dva uzastopna amplitude, različita u vremenu za jedno razdoblje oscilacija, dosegnuvši pokretni prijemnik, u vremenu će se razlikovati u trenucima vala vala s prijemnikom u vremenskom razdoblju, čija je veličina Više ili manje ovisno o tome je li prijemnik izbrisan ili se približava izvoru. Zvuk. Tijekom vremena zvuk se primjenjuje na udaljenost, a prijemnik će se pomaknuti preko udaljenosti. Zbroj tih vrijednosti i daje nam valnu duljinu:

Razdoblje oscilacija koje doživljava prijemnik povezan je s učestalošću ovih oscilacija omjerom:

Zamjenjujući umjesto njezina izraza iz jednakosti (1), dobivamo:

Jer , gdje - učestalost izvornih oscilacija, a zatim:

3. Zvukovi izvora i prijemnika kreću se u odnosu na medij. Povezivanje rezultata dobivenih u dva prethodna slučaja dobivamo:

Zvučni valovi

Ako a elastični valoviŠirenje u zraku ima frekvenciju u rasponu od 20 do 20.000 Hz, a zatim doseže ljudsko uho, oni uzrokuju osjećaj zvuka. Dakle, valovi koji leže u ovom rasponu frekvencija nazivaju se zvukom. Elastični valovi s učestalošću manje od 20 Hz nazivaju se infrazound , Valovi s učestalošću se zovu preko 20.000 Hz ultrazvuk, Ultrazvuk i infrazound ljudsko uho ne čuje.

Zvučni osjećaji karakteriziraju visina zvuka, breme i glasnoće. Visina zvuka određena je frekvencijom oscilacija. Međutim, izvor zvuka ne emitira jedan, već cijeli spektar frekvencija. Skup frekvencija oscilacija prisutnih u ovom zvuku naziva ga. akustični spektar, Energija oscilacija se distribuira između svih frekvencija akustičnog spektra. Visina zvuka određuje se jedna - glavna frekvencija ako frekvencija čini mnogo veću količinu energije od udjela drugih frekvencija.

Ako se spektar sastoji od mnoštva frekvencija u frekvencijskom rasponu od prije, tada se naziva takav spektar čvrst (primjer - šum).

Ako se spektar sastoji od skupa oscilacija diskretnih frekvencija, takav se spektar naziva lažno (Primjer - glazbeni zvukovi).

Akustični spektar zvuka ovisno o njegovoj prirodi i distribuciji energije između frekvencija određuje originalnost zvučnog senzacije, nazvanu glasovna temperatura. Različiti glazbeni instrumenti imaju drugačiji akustični spektar, tj. Različito s tempom zvuka.

Intenzitet zvuka karakteriziraju jednosobne vrijednosti: oscilacije srednjih čestica, njihove brzine, sile tlaka, napona u njima, itd.

Ona karakterizira amplitudu oscilacija svake od tih količina. Međutim, budući da su te vrijednosti međusobno povezane, preporučljivo je uvesti jedinstvenu energetsku karakteristiku. Ova karakteristika valova bilo kojeg tipa predložena je 1877. godine. Na. Ubovy

Ugradim mentalno s prednje strane trčanja vala platforme. Tijekom ove platforme pomiče se na udaljenost, gdje - brzina vala.

Označiti energijom iznosa količine oscilirajućeg medija. Tada će energija svih volumena biti jednaka.

Ova energija je prenesena tijekom vala šire kroz platformu.

Dijeljenje ovog izraza na i, dobivamo energiju koju nosi val kroz područje kvadrata po jedinici vremena. Ova vrijednost je označena slovom i zove se vector Melova.

Za zvučno polje vektor Umova. Nosi ime zvuka.

Moć zvuka je fizička karakteristika intenziteta zvuka. Ocjenjujemo je subjektivno kao volumen Zvuk. Ljudsko uho percipira zvukove čija se snaga premašuje neku minimalnu vrijednost različit za različite frekvencije. Ova se vrijednost zove vještast Zvuk. Za prosječne frekvencije redoslijeda praga HŽ-a.

S vrlo velika snaga Zvuk reda zvuka je percipiran osim uha opipljivih organa, a u ušima uzrokuje bolan osjećaj.

Vrijednost intenziteta u kojem se to događa prag boli, Prag boli, kao i prag sluha ovisi o frekvenciji.

Osoba ima prilično složeni aparat za percepciju zvukova. Zvučne oscilacije se skupljaju školjkom za uši i putem slušnog kanala utječu na bubnju. Njegove oscilacije se prenose na malu šupljinu, nazvanu puž. Unutar puž se nalazi veliki broj Vlakna imaju različite duljine i napetost te, dakle, razne frekvencije oscilacije. Kada se radi o zvuku, svaka od vlakana rezonira tom tonu, učestalost koja se podudara s vlastitom frekvencijom vlakana. Skup rezonantnih frekvencija u aparatu za glasine i određuje područje zvučnih oscilacija koje nas doživljavaju.

Subjektivno procijenjena našim volumenom uha povećava se mnogo sporije od intenziteta zvučnih valova. Dok se intenzitet povećava geometrijsko napredovanje - volumen se povećava u aritmetičkoj progresiji. Na temelju toga, razina glasnoće definirana je kao logaritam omjera intenziteta ovog zvuka na intenzitet usvojen za izvorniku

Volumen volumena se zove george, Koristite i manje jedinice - dečko(10 puta manje od Bjelorusije).

gdje je koeficijent apsorpcije zvuka.

Veličina apsorpcijskog koeficijenta zvuka povećava se u odnosu na kvadrat frekvencije zvuka, tako da se niski zvukovi nanose na visoko.

U arhitektonskoj akustici za velike prostore značajna uloga Igranje reverberacija ili vlažnost prostora. Zvuči, doživljavajući ponovljene refleksije od ograde površine, smatraju se slušatelj za određeno prilično veliko vrijeme. To povećava snagu zvuka koji nas doseže, međutim, s predugo Reverbom, pojedinačni zvukovi su postavljeni jedni na druge i govor prestaje da se percipira samo-dosljedno. Stoga su zidovi dvorana pokriveni posebnim materijalima za apsorpciju zvuka kako bi se smanjio Reverb.

Izvor zvučnih oscilacija može poslužiti bilo kojem oscilirajućem tijelu: zvonik, Akton, niz violine, zračni stupac u vjetrom instrumenata itd. Ista tijela mogu poslužiti kao zvučni prijemnici kada dođu u pokret pod djelovanjem oscilacija okoliša.

Ultrazvuk

Da biste bili usmjereni, tj. U blizini ravnog, vara dimenzije emitera moraju biti mnogo puta valne duljine. Zvučni valovi u zraku imaju duljinu do 15 m, u tekućini i čvrsta tijela Valna duljina je još više. Stoga, izgraditi radijator, koji bi stvorio usmjerenog vala slične duljine, praktički nije moguće.

Ultrazvučne oscilacije imaju frekvenciju od preko 20.000 Hz, tako da je valna duljina vrlo mala. S smanjenjem valne duljine, uloga difrakcije tijekom širenja valova također je smanjena. Stoga se ultrazvučni valovi mogu dobiti u obliku usmjerenih greda kao što su svjetlosne grede.

Dva fenomena koriste dva pojava za uzbuđenje ultrazvučnih valova: obrnuti piezoelektrični učinaki magnetostrakcija.

Obrnuti piezoelektrični učinak je da tanjur nekih kristala (feroed sol, kvarc, titanat barij, itd.) Pod djelovanjem električno polje Lagano deformiran. Postavljanjem između metalnih ploča, koje se dovodi do naizmjeničnog napona, možete uzrokovati prisilne oscilacije ploče. Ove oscilacije se prenose okoliš I dovode do ultrazvučnog vala.

Magnetostrukcija je da feromagnetske tvari (željezo, nikal, njihove legure, itd.) Pod djelovanjem magnetsko polje deformirati. Stoga, stavljanjem feromagnetske šipke u naizmjenično magnetsko polje, mehaničke oscilacije mogu biti uzbuđeni.

Visoke vrijednosti akustičnih brzina i ubrzanja, kao i dobro razvijene metode proučavanja i primanja ultrazvučnih fluktuacija, dopušteno ih koristiti za rješavanje mnogih tehničkih zadataka. Navedite neke od njih.

Godine 1928. sovjetski znanstvenik s.ya. Sokolov je ponudio da koristi ultrazvuk za defektoskopiju, tj. Da biste otkrili skrivene unutarnje defeke kao što su ljuska, pukotine, rylot, upage inkluzije, itd. U metalnim proizvodima. Ako dimenzije defekta prelaze duljinu ultrazvučnog vala, tada se ultrazvučni puls odražava od kvara i vraća se natrag. Slanje ultrazvučnih impulsa u proizvodu i registriranje reflektiranih signala echo ne samo ne samo otkriti prisutnost nedostataka u proizvodima, već i suditi veličinu i mjesto ovih nedostataka. Trenutno se ova metoda široko koristi u industriji.

Usmjerne ultrazvučne grede naširoko su korištene za potrebe lokacije, tj. Za otkrivanje stavki u vodi i odrediti udaljenost od njih. Po prvi put ideja o ultrazvučnom položaju bila je kažnjiva izvanredan francuski fizičar P. Lanzhen i razvio ga tijekom Prvog svjetskog rata za otkrivanje podmornica. Trenutno se načela hidroleksija koriste za otkrivanje ledenih brijega, ribljih šokova itd. Ove metode također mogu definirati dubinu mora ispod dna broda (echo sounowder).

Ultrazvučni valovi velikih amplituda naširoko se koriste u tehnici mehaničke obrade krutih materijala, čišćenje malih predmeta (dijelovi satnih mehanizama, cjevovoda, itd.) Stavljeno u tekućinu, aduggaciju itd.

Prilikom stvaranja jakih pulsacija tlaka u mediju, ultrazvučni valovi određuju brojne specifične pojave: mljevenje (disperzija) čestica suspendiranih u tekućini, formiranje emulzija, ubrzanje procesa difuzije, aktiviranje kemijskih reakcija, utjecaj na biološke objekte, itd.

Ako u mediju postoji nekoliko valova nekoliko valova, fluktuacije medija su geometrijska količina oscilacija koja bi izvršila čestice u širenju svakog od valova odvojeno. Slijedom toga, valovi jednostavno superprimiraju jedan drugome, ne paču jedni druge. Ova se izjava naziva načelo superpozicije valova. Načelo superpozicije tvrdi da je pokret uzrokovan širenjem nekoliko valova odjednom opet neki proces vala. Takav proces, na primjer, je zvuk orkestra. Ona proizlazi iz istovremenog uzbuđenja zraka fluktuacije odvojenim glazbenim instrumentima. Divno je da kada se primjenjuju valovi, mogu se pojaviti posebni fenomeni. Oni se nazivaju učincima dodavanja ili, kako kažu, superpozicija valova. Među tim učincima, smetnje i difrakcija su najvažniji.

Smetnje je fenomen odgođenosti energije u oscilacijama u prostoru, kao rezultat kojih su oscilacije poboljšane na nekim mjestima, a drugi su oslabljeni. Ovaj fenomen se javlja s dodatkom valova s \u200b\u200brazlikom u fazama vremenskih razlika, tzv. Koherentnih valova. Interferencija velikog broja valova naziva se difrakcija. Nema temeljne razlike između smetnji i difrakcije. Priroda ovih fenomena je ista. Mi se ograničavamo na raspravu o samo jedan vrlo važan učinak smetnji, koji je formiranje stalnih valova.

Preduvjet Formiranje stalnih valova je prisutnost granica koje odražavaju valove koji padaju na njih. Stojeći valovi formiraju se kao posljedica dodavanja pada i reflektiranih valova. Fenomene ove vrste su vrlo česte. Dakle, svaki ton zvuka bilo kojeg glazbenog instrumenta je uzbuđen stalnim valom. Ovaj val se formira ili u nizu (string alati) ili u zračnom stupcu (mjedeni alati). Reflektirajuće granice u tim slučajevima su točke pričvršćivanja žica i površine unutarnjih šupljina instrumenata vjetra.

Svaki stojeći val ima sljedeća svojstva. Cijelo područje prostora u kojem je val uzbuđen može se razbiti u stanice na takav način da su stanice oscilacije potpuno odsutne na granicama. Točke smještene na ovim granicama nazivaju se čvorovima stalnih valova. Faze oscilacija u unutarnjim točkama svake stanice su iste. Oscilacije u susjednim stanicama su napravljene jedni prema drugima, odnosno u antifazi. Unutar jedne ćelije, amplituda oscilacije varira u prostoru i na nekom mjestu doseže maksimalnu vrijednost. Točke u kojima se promatra zove se plaže stojećeg vala. Konačno, karakteristično svojstvo stojećih valova je diskretnost spektra njihovih frekvencija. U stojećem valu, oscilacije se mogu izvoditi samo s strogo određenim frekvencijama, a prijelaz s jednog od njih na drugi se događa s skokom.

Razmotrite jednostavan primjer stojećeg vala. Pretpostavimo da su žice ograničene duljine rastegnute duž osi; Njezini su krajevi strogi fiksirani, a lijevi kraj je na početku koordinata. Tada će biti koordinata desnog kraja. Uzbudite val u nizu

,

širenje uz lijevo na desno. Od desnog kraja valnog niza će utjecati. Pretpostavimo da će se to dogoditi bez gubitka energije. U tom slučaju, reflektirani val ima istu amplitudu i istu frekvenciju kao incident. Stoga bi reflektirani val trebao biti:

Njegova faza sadrži konstantu, određivanje promjene u fazi kada se odražava. Budući da se odraz nastaje na oba kraja niza i bez gubitka energije, valovi istih frekvencija će se istovremeno proširiti u nizu. Stoga, prilikom dodavanja i miješanja. Pronađite nastati val.

Ovo je jednadžba stojećeg vala. Iz toga slijedi da na svakoj točki žica postoje oscilacije s frekvencijom. U isto vrijeme, amplituda oscilacija na točki je jednaka

.

Budući da su krajevi žica fiksirani, nema oscilacija. Iz stanja slijedi to. Stoga konačno dobivamo:

.

Sada je jasno da na točkama u kojima uopće nema oscilacija. Ove točke su čvorovi stojećeg vala. Tamo, gdje je amplituda oscilacija maksimalna, jednaka je dvostrukoj vrijednosti amplitude presavijenih oscilacija. Ove točke su plaže stojećeg vala. U pojavljivanju premlaćivanja i čvorova, smetnje je: na nekim mjestima, oscilacije su poboljšane, a drugi nestaju. Udaljenost između susjednih čvorova i BEAFNESS je iz očiglednog stanja :. Od tada. Posljedično, udaljenost između susjednih čvorova.

Iz jednadžbe stojećeg vala jasno je da multiplikator Kada prebacivanje kroz nultu vrijednost promijeni znak. U skladu s tim, oscilacija faze na različitim stranama čvora se razlikuje. To znači da točke koje leže uz različite strane čvora mijenjaju u antifazi. Sve točke zaključene između dva susjedna čvora fluktuira u istoj fazi.

Dakle, prilikom dodavanja incidenta i reflektiranih valova, stvarno je moguće dobiti sliku valnog pokreta koji je ranije karakteriziran. U isto vrijeme, stanice koje su se raspravljale u jednodimenzionalnom slučaju su segmenti zaključeni između susjednih čvorova i duljine.

Dapo smo se uvjereni da val koji on smatra nas može postojati samo s strogo određenim frekvencijama oscilacija. Koristimo činjenicu da su oscilacije na desnom kraju niza odsutni, to jest. Odavde se to ispada. Ova jednakost je moguća ako, gdje - cijeli proizvoljan pozitivan broj.