Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektorov.
Základné vektory. Affinal Coordination System

Publikum má vozík s čokoládami a každý návštevník dnes dostane sladký pár - analytická geometria s lineárnou algebrou. V tomto článku budú okamžite zvýšené dve časti vyššej matematiky a uvidíme, ako sa dostanú do jedného obalu. Urobte si pauzu, buďte nudné "Twix"! ... Sakra, No, nezmyslový spór. Hoci v poriadku, nakoniec nebudem skoro, mal by existovať pozitívny postoj k štúdiu.

Lineárna závislosť vektorov, lineárne vektory nezávislosti, základné vektory a iné. Podmienky majú nielen geometrický výklad, ale predovšetkým algebraický význam. Samotná koncepcia "vektora" z hľadiska lineárnej algebry nie je vždy "obyčajný" vektor, ktorý môžeme zobrazovať na lietadle alebo vo vesmíre. Nie je potrebné ísť ďaleko za dôkaz, pokúste sa nakresliť vektor päťrozmerného priestoru. . Alebo vektor počasia, pre ktorý som práve išiel na gozmeteo: - teplota a atmosférický tlak. Príklad, samozrejme, nesprávne z hľadiska vlastností vektora priestoru, ale napriek tomu nikto nezabraňuje formalizovať tieto parametre vektorom. Respiračná jeseň ...

Nie, nebudem lodiť teóriu, lineárne vektorové priestory, úlohou je rozumieť Definície a vety. Nové výrazy (lineárna závislosť, nezávislosť, lineárna kombinácia, základ atď.) Sú aplikovateľné na všetky vektory z algebraického hľadiska, ale príklady budú uvedené geometrické. Všetko je teda jednoduché, prístupné a vizuálne. Okrem úloh analytickej geometrie sa pozrieme na niektoré typické úlohy algebry. Ak chcete zvládnuť materiál, odporúča sa zoznámiť s lekciami Vektory pre žnávky a Ako vypočítať determinant?

Lineárna závislosť a nezávislosť rovinných vektorov.
Systém rovno

Zvážte rovinu vášho počítačového stola (len tabuľka, nočné stolíky, podlahy, strop, ktorý má rád čo). Úloha bude pozostávať v nasledujúcich činnostiach:

1) Vyberte základnú rovinu. Hrubo povedané, dosky majú dĺžku a šírku, takže je intuitívne, že budú potrebné dva vektory na vytvorenie základne. Jeden vektor zjavne nestačí, tri vektory - Lishka.

2) Na základe zvoleného základu nastavte systém súradnice (Súradnica mriežky) priradiť súradnice všetkým subjektom na stole.

Nepoužívajte prekvapení, najprv vysvetlenia budú na prstoch. A na vás. Prosím prst ľavej ruky Na okraji tabuľky, aby sa pozrel na monitor. Bude to vektor. Miesto mySilineal pravá ruka Na okraji tabuľky je presne rovnaký - že je nasmerovaný na obrazovku monitora. Bude to vektor. Úsmev, nádherne vyzerajte! Čo možno povedať o vektoroch? Tieto vektory kolinearnya preto linelo vyjadrené v sebe:
No, alebo naopak:, kde - niektoré iné ako nula.

Obrázok tejto akcie je možné zobraziť na lekcii Vektory pre žnávkyKde som vysvetlil pravidlo multiplikácie vektora pre číslo.

Nastavte si prsty základ na rovine stola? Samozrejme, č. Colinear Vectors tam cestujú a tu jeden A rovina má dĺžku a šírku.

Takéto vektory sa nazývajú lineárne závislé.

Odkaz: Slová "lineárne", "lineárne" označujú skutočnosť, že matematické rovnice, výrazy neexistujú žiadne štvorce, kocky, iné tituly, logaritmy, dutín atď. Existuje len lineárny (prvý stupeň) výrazov a závislostí.

Dva vektorové lietadlá lineárne závislé Potom a len vtedy, keď sú kolineárne.

Prekročte prsty na stole, aby ste boli medzi nimi akýkoľvek uhol, okrem 0 alebo 180 stupňov. Dva vektorové lietadlálinelo niev závislosti od toho a len ak nie sú kolineárne. Takže, základ. Nie je potrebné trápne, že základ sa ukázal ako "šikmé" s nedostatočnými vektormi rôznych dĺžok. Veľmi skoro uvidíme, že pre jeho konštrukciu nie je len uhlom 90 stupňov, a nielen jediné, rovnaké dĺžky vektorov

akýkoľvek Vektorové lietadlo jediná cesta Opísané podľa báz:
kde - platné čísla. Čísla sa nazývajú súradnice vektora V tejto základni.

Tiež to hovorím vektor Vo formulári lineárna kombinácia Základné vektory. To znamená, že výraz sa nazýva rozklad vektorabázlivosť alebo lineárna kombinácia Základné vektory.

Môžeme napríklad povedať, že vektor sa rozloží na orthonormal základom roviny a možno povedať, že je reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov.

Formulovať definícia základu formálne: Základná rovina nazývaný pár lineárnych nezávislých (nonlyllinear) vektorov, , kde akýkoľvek Vektor roviny je lineárnou kombináciou základných vektorov.

Základným bodom definície je skutočnosť, že vektory v určitom poradí. Báz - Toto sú dve úplne iné základy! Ako hovorí príslovie, malý prst ľavej ruky nebude usporiadať pravú ruku Mizinzu.

Základom prišiel, ale nestačí na nastavenie súradnice mriežky a priradiť súradnice každému objektu vašej tabuľky počítačov. Prečo nie dosť? Vektory sú zadarmo a putovali sa v priebehu roviny. Tak ako priradiť súradnice tých malých špinavých bodov tabuľky, ktorý zostal po rýchlom víkende? Potrebujeme štartovaciu referenciu. A takýto usmernenie je známym bodom - začiatok súradníc. Chápeme systém súradnice:

Začnem s "školským" systémom. Už na úvodnej lekcii Vektory pre žnávky Zdôraznil som niektoré rozdiely medzi obdĺžnikovým súradnicovým systémom a ortonomalom. Tu je štandardný obrázok:

Keď hovoria o. obdĺžnikový súradnicový systém, najčastejšie znamenajú pôvod súradníc, koordinačných osí a meradle pozdĺž osí. Pokúste sa vytočiť vyhľadávač "obdĺžnikový súradnicový systém", a uvidíte, že mnohé zdroje vám povie o oboznámení s 5-6. triednymi súradnicovými osami a ako odložiť body v lietadle.

Na druhej strane sa zdá, že obdĺžnikový súradnicový systém môže byť určený prostredníctvom ortonormálneho základu. A je to tak skoro. Znie znie takto:

Začiatok súradníc, I. Ortonormalzákladný súbor cartesian obdĺžnikový koordinový systém . To znamená, že pravouhlý súradnicový systém jednoznačný Určené jediným bodom a dvoma jednotlivými ortogonálnymi vektormi. To je dôvod, prečo vidíte výkres, ktorý som bol vedený nad - v geometrických úloh, často (ale nie vždy) kresliť vektory a súradnicové osi.

Myslím, že každý je zrejmé, že s pomocou bodu (začiatok súradníc) a orthonormálneho základu Akýkoľvek bod roviny a akékoľvek lietadlo vektormôžete priradiť súradnice. Obrazne hovoriť, "v rovine, všetko môže byť očíslované."

Sú koordinačné vektory povinní byť izolované? Nie, môžu mať ľubovoľnú nenulovú dĺžku. Zvážte bod a dva ortogonálne vektory ľubovoľnej nonzerovej dĺžky:

Takýto základ sa nazýva ortogonálne. Pôvod koordinátov s vektormi Nastavte koordinný mriežku a akýkoľvek bod roviny, akýkoľvek vektor má svoje vlastné súradnice v tejto základni. Napríklad alebo. Zjavnou nepríjemnosťou je, že koordinačné vektory všeobecne Majú iné dĺžky iné ako jedno. Ak sú dĺžky rovné jednému, potom sa získa obvyklý orthonormal základ.

! Poznámka : V ortogonálnom základe, ako aj nižšie v afinné základne lietadla a priestoru, sú uvažované jednotky na osi Podmienený. Napríklad v jednej jednotke pozdĺž osi osi osí, obsahuje 4 cm, v jednej jednotke pozdĺž osi Ordinácie 2, pozri tieto informácie stačí prekladať "neštandardné" súradnice na "naše bežné centimetre" v prípade potreby.

A druhá otázka, pre ktorú je odpoveď už daná - je potrebné rovnaké 9 stupňov medzi základnými vektormi? Nie! Ako hovorí definícia, musia byť základné vektory iba nonlylyr. V súlade s tým môže byť uhol niekto okrem 0 a 180 stupňov.

Point lietadlo Začiatok súradníc, I. nelineárny vektory , opýtať sa systém lietadla afinitu súradnice :

Niekedy sa nazýva takýto súradnicový systém kosholnaya systém. Ako príklady vo výkrese, bodky a vektory sú znázornené:

Ako rozumiete, systém afinktívnej súradnice je ešte menej pohodlný, nefunguje vzorce pre vektory a segmenty, ktoré sme uvažovali v druhej časti hodiny Vektory pre žnávkyMnoho chutných vzorcov súvisiacich s skarové vektory. Existujú však platné pravidlá pre pridanie vektorov a množenie vektora podľa čísla, vzor vzorca v tomto ohľade, ako aj niektoré ďalšie úlohy, ktoré budeme zvážiť čoskoro.

A záver, že najvhodnejší súkromný prípad afinitnej súradnice je decriantský obdĺžnikový systém. Preto, natívne, najčastejšie a musí uvažovať. ... Avšak, všetko v tomto živote je relatívne - existuje veľa situácií, v ktorých je Kosholnaya vhodná (alebo čo napríklad iné, polárny) Súradnicový systém. Áno, a humaidy takéto systémy môžu prísť k chuti \u003d)

Choďte do praktickej časti. Všetky úlohy tejto lekcie sú platné pre obdĺžnikový súradnicový systém a pre spoločný afilný prípad. Nie je tu nič ťažké, všetok materiál je dokonca k dispozícii na školské.

Ako určiť kolinilnosť lietadiel vektorov?

Typická vec. Aby bolo možné dve lietadlá vektor boli kolineárne, je potrebné a dosť, takže ich príslušné súradnice sú úmerné, Podľa stvorenia je to redEdule detailovanie zjavného vzťahu.

Príklad 1.

a) Skontrolujte, či colinearny vektor .
b) či základ tvorí vektory ?

Rozhodnutie:
a) Zistite, či existujú vektory Koeficient proporcionality, ktorý sa má vykonávať rovnosťou: \\ t

Určite povedzujem o "pzhonskaya" druhov uplatňovania tohto pravidla, ktorý sa v praxi celkom valí. Myšlienka je okamžite podieľať a zistiť, či bude to pravda:

Podieľať sa z vzťahu zodpovedajúcich súradníc vektorov:

Červená ryba:
Zodpovedajúce súradnice sú teda proporcionálne

Postoj by mohol byť konvertovaný naopak, je to rovnaká verzia:

Pre seba-test je možné použiť skutočnosť, že kolineárne vektory sú lineárne exprimované v sebe. V tomto prípade existuje rovnosť . Ich spravodlivosť sa ľahko kontroluje prostredníctvom základných akcií s vektormi:

b) Two lietadlom vektor tvorí základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Preskúmajte vektory kolinearity . Urobte systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že z druhej rovnice vyplýva, že to znamená systém je neúplný (Žiadne riešenia). Zodpovedajúce súradnice vektorov teda nie sú proporcionálne.

Výkon: Vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zjednodušená verzia riešenia vyzerá takto:

Zodpovedajúcich súradníc vektorov :
Znamená to, že tieto vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Táto možnosť zvyčajne nie je označená recenzentmi, ale problém vzniká v prípadoch, keď niektoré súradnice sú nula. Páči sa ti to: . Alebo tak: . Alebo tak: . Ako konať cez podiel? (Vskutku nie je možné zdieľať nule). Z tohto dôvodu som nazval zjednodušené rozhodnutie "pzhonsky".

Odpoveď:a), b) forma.

Malý kreatívny príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 2.

S ktorou hodnotou vektora parametrov Budú kolinearínov?

V roztoku vzorky sa parameter nachádza podiel.

Existuje elegantná algebraická metóda kontroly vektorov na kolinile., Systematikujeme naše znalosti a piate položku, len pridajte:

Nasledujúce vyhlásenia sú ekvivalentné pre dve rovinné vektory.:

2) vektorové formy;
3) vektory nie sú kolineárne;

+ 5) Determinant zložený z súradníc týchto vektorov sa líši od nuly.

Respektíve, nasledujúce opačné vyhlásenia sú ekvivalentné.:
1) vektory sú lineárne závislé;
2) vektory netvoria základ;
3) kolineárne vektory;
4) vektory môžu byť lineárne exprimované v sebe;
+ 5) Determinant zložený z súradníc týchto vektorov je nula.

Som veľmi a veľmi nádej, že v súčasnosti ste už pochopiteľní všetkým podmienkam a obvineniam.

Zvážte nový, piaty bod: dva vektorové lietadlá Colinearny potom a len vtedy, ak je determinant zložený z súradníc údajov vektorov nula:. Ak chcete použiť túto funkciu, prirodzene, musíte byť schopní nájsť identifikuje.

Rozhodujúci Príklad 1 Druhý spôsob:

a) Vypočítajte determinant zložený z súradníc vektorov :
Takže títo kolineární vektory.

b) Two lietadlom vektor tvorí základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Vypočítať determinant zložený z súradníc vektorov :
Vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ.

Odpoveď:a), b) forma.

Vyzerá oveľa kompaktnejšie a krajšie ako riešenie s pomermi.

Pomocou uvažovaného materiálu je možné inštalovať nielen kolinilearity vektorov, ale aj na preukázanie paralelizmu segmentov, priamo. Zvážte pár úloh so špecifickými geometrickými tvarmi.

Príklad 3.

DANA vrcholy kvadríky. Dokážte, že Quadril je rovnobežník.

Dôkaz: Kresba nie je potrebná v úlohe, pretože riešenie bude čisto analytické. Zapamätajte si definíciu paralelu:
Paralelný Nazýva sa štvornásobok, ktorá má protiľahlé strany;

Takže musíte dokázať:
1) paralelizmus opačných strán a;
2) paralelizmus opačných strán a.

Dokážeme:

1) Nájsť vektory:

2) Nájsť vektory:

Ukázalo sa, že rovnaký vektor ("na škole" - rovnaké vektory). Kolinearity je úplne zrejmé, ale je lepšie rozhodnúť so zarovnaním. Vypočítajte determinant zložený z súradníc vektorov:
Znamená to, že ide o kolineárne vektory a.

Výkon: Opačné strany kvadrilu sú rovnobežné rovnobežne, to znamená, že je to paralelník podľa definície. Q.E.E.E.

Viac dobrých a rôznych obrázkov:

Príklad 4.

DANA vrcholy kvadríky. Dokážte, že Quadril je lichobežník.

Pre prísnejšie znenie dôkazu je to lepšie, samozrejme, získať definíciu lichobežníka, ale stačí a len si pamätajte, ako to vyzerá.

Toto je úloha nezávislého riešenia. Kompletné riešenie na konci hodiny.

A teraz je čas ticho pohybovať z lietadla do vesmíru:

Ako určiť kolinearity vesmírnych vektorov?

Pravidlo je veľmi podobné. Aby bolo možné dve vektory plavidiel, ktoré majú byť kolineárne, je potrebné a dostatočne na to, aby ich príslušné súradnice boli úmerné.

Príklad 5.

Zistite, či kolinear bude nasledujúce vektory priestoru:

ale) ;
b)
v)

Rozhodnutie:
a) Skontrolujte, či existuje pomer proporcionality pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá žiadne riešenie, znamená to, že vektory nie sú kolineárne.

"Zjednodušený" je vydaný kontrolou podielu. V tomto prípade:
- Príslušné súradnice nie sú primerané, znamená to, že vektory nie sú kolineárne.

Odpoveď: Vektory nie sú kolineárne.

b-C) Toto sú položky pre nezávislé rozhodnutie. Skúste to zariadiť dvoma spôsobmi.

Existuje spôsob kontroly priestorových vektorov na kolinile a cez determinant tretieho rádu, táto metóda je pokrytá v článku Vektorové umelecké diela vektorov.

Podobne ako ploché puzdro môže byť uvažovaný nástroj Toolkit použiť na štúdium paralelizmu priestorových segmentov a priamych.

Vitajte v druhej časti:

Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov trojrozmerného priestoru.
Systém priestorovej základne a afinitu

Mnohé z zákonov, ktoré sme sa pozreli na lietadlo, budú spravodlivé pre priestor. Snažil som sa minimalizovať abstrakt na teórii, pretože leví podiel informácií je už degradovaný. Odporúčam však pozorne prečítať úvodnú časť, pretože sa objavia nové výrazy a koncepty.

Teraz namiesto roviny počítačovej tabuľky skúmame trojrozmerný priestor. Najprv vytvoriť svoj základ. Niekto sa nachádza v miestnosti, niekto na ulici, ale v každom prípade nemôžeme ísť nikam od troch rozmerov: šírky, dĺžky a výšky. Preto budú potrebné tri priestorové vektory na vytvorenie základne. Jeden alebo dva vektory sú malé, štvrtá je nadbytočná.

A znova dýchajte na prstoch. Zdvihnite svoju ruku a šíri v rôznych smeroch. veľký, index a stredný prst. Tieto budú vektory, pozerajú sa na rôzne smery, majú inú dĺžku a majú rôzne uhly medzi sebou. Gratulujeme, základ trojrozmerného priestoru je pripravený! Mimochodom, nie je potrebné demonštrovať takýchto učiteľov, bez ohľadu na to, aké ochladzujú prsty a definície nie sú nikam \u003d)

Ďalej definujeme dôležitú otázku, všetky tri vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru? Prosím, stlačte tri prsty pevne na stolovú tabuľku. Čo sa stalo? Tri vektory sa nachádzajú v rovnakej rovine, a zhruba sme stratili jednu z meraní - výšku. Takéto vektory sú koncový A je celkom zrejmé, že základ trojrozmerného priestoru nevytvára.

Treba poznamenať, že vektory priehradky nie sú povinné ležať v tej istej rovine, môžu byť v paralelných rovinách (jednoducho to nerobia s prstami, takže len Salvádor dal \u003d)).

Definícia: Vectors sa nazývajú koncovýAk je rovina, s ktorou sú paralelné. Je to logické, že ak takéto lietadlo neexistuje, potom vektory nebudú oddeliť.

Tri vektory oddelenia sú vždy lineárne závislé., To je lineárne vyjadrené v sebe. Pre jednoduchosť, opäť si predstavujeme, že ležia v tej istej rovine. Po prvé, vektory nestačia, aby boli collinear tiež kolineárne, potom môže byť akýkoľvek vektor exprimovaný prostredníctvom akéhokoľvek vektora. V druhom prípade, ak napríklad vektory nie sú kolineárne, potom je tretí vektor vyjadrený jediným spôsobom: (A prečo - ľahké uhádnuť na základe materiálov z predchádzajúcej časti).

Spravodlivého a opačného vyhlásenia: Tri nekompletné vektory sú vždy lineárne nezávislé, to nie je v žiadnom prípade vyjadrené v jednom priateľovi. A samozrejme, len takéto vektory môžu tvoriť trojrozmerný základ.

Definícia: Základom trojrozmerného priestoru nazývaný tripler lineárne nezávislý (nekompletný) vektory, vyučovaný, s akýmkoľvek vektorovým priestorom jediná cesta Zverejnené na tomto základe, kde - súradnice vektora v tejto základni

Pripomínam vám tiež môže povedať, že vektor je prezentovaný vo forme lineárna kombinácia Základné vektory.

Koncepcia súradnicového systému sa zavádza rovnakým spôsobom ako pre rovný prípad, len jeden bod a všetky tri lineárne nezávislé vektory:

Začiatok súradníc, I. noncomplenar vektory v určitom čase, opýtať sa affinal Coordination System trojrozmerného priestoru :

Samozrejme, súradnicové mesh "šikmé" a zle otáčanie, ale však skonštruovaný súradnicový systém nám umožňuje jednoznačný Určite súradnice akéhokoľvek vektora a súradnice akéhokoľvek miesta priestoru. Podobne, lietadlo v systéme afinitnej súradnice nebude fungovať pre niektoré vzorce, ktoré som už spomenul.

Najznámejší a pohodlný súkromný prípad affónneho súradnicového systému, ako sa všetci hádajú systém súradníc obdĺžnikového priestoru:

Point Space s názvom Začiatok súradníc, I. Ortonormalzákladný súbor kartážny systém obdĺžnikového priestoru . Známy obrázok:

Pred presťahovaním sa na praktické úlohy opäť systematizujeme informácie:

Pre tri vektory priestoru sú ekvivalentné nasledujúcim vyhláseniam:
1) vektory sú lineárne nezávislé;
2) vektorové formy;
3) vektory nie sú oddelené;
4) vektory nemôžu lineárne vyjadriť;
5) Determinant zložený z súradníc týchto vektorov sa líši od nuly.

Opačné vyhlásenia, myslím, že sú zrozumiteľné.

Lineárna závislosť / nezávislosť vesmírnych vektorov sa tradične skontroluje pomocou determiny (odsek 5). Zostávajúce praktické úlohy budú jasne vyjadrené algebraické. Je čas zavesiť na nechtový geometrický klub a balenie baseballovej netlahovej algebry:

Tri vektorové vektory Komplians potom a len vtedy, ak je determinant vypracovaný zo súradníc týchto vektorov nula: .

Upozorňujeme na malú technickú nuanciu: Súradnice vektorov môžu byť zaznamenané nielen v stĺpcoch, ale aj v reťazci (hodnota determiny sa z toho nezmení - pozri vlastnosti determinantov). Ale oveľa lepšie v stĺpci, pretože je to výhodnejšie pre riešenie niektorých praktických úloh.

Čitatelia, ktorí sú teda malými napadnutými metódami na výpočet determinantov, a môžu byť vo všeobecnosti zamerané na ne, odporúčam jeden z mojich najstarších lekcií: Ako vypočítať determinant?

Príklad 6.

Skontrolujte, či trojrozmerný základ tvoria nasledujúce vektory:

Rozhodnutie: V skutočnosti sa celé rozhodnutie zníži na výpočet determiny.

a) Vypočítajte determinant zložený z súradníc vektorov (determinant je opísaný na prvom riadku):

To znamená, že vektory sú lineárne nezávislé (nie oddelené) a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Odpoveď: Tieto vektory tvoria základ

b) Táto položka pre nezávislé riešenie. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Kreatívne úlohy sa nachádzajú:

Príklad 7.

S akou hodnotu vektorového parametra bude priehradka?

Rozhodnutie: Vektory sú priestory, ak a len vtedy, ak je determinant vypracovaný z súradníc údajov vektorov nula:

V podstate je potrebné vyriešiť rovnicu s determinantom. Obrátime sa na nuly ako Kerchings na rúrkach - determinant je najvýhodnejší na zverejnenie druhého potrubia a okamžite sa zbaviť mínusov:

Vykonávame ďalšie zjednodušenie a znížiť najjednoduchšie lineárna rovnica:

Odpoveď: pre

Je ľahké vykonať kontrolu, pre to musíte nahradiť prijatú hodnotu pôvodnému determinantu a uistite sa, že , Znova ho prehliadajte.

Na záver, zvážiť ďalší typ úlohy, ktorý nosí viac algebraických a tradične sa zmení na lineárnu algebru. Je to bežné, že si zaslúži samostatnú tému:

Dokážte, že 3 vektory tvoria trojrozmerný základ
a nájsť súradnice 4. vektora na tomto základe

Príklad 8.

Rozsiahle vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájsť súradnice vektora v tejto základni.

RozhodnutieNajprv sa s tým rozsúvame. Pre podmienku sú uvedené štyri vektory, a ako vidíte, už majú koordinovať na určitom základe. Aký základ sa o nás nezaujíma. A máte záujem o nasledujúcu vec: Tri vektory môžu vytvoriť nový základ. A prvá etapa úplne sa zhoduje s riešením príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajte determinant zložený z súradníc vektorov:

Takže vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Predpoklad Lineárna závislosť n funkcií.

Nechajte funkcie, majú derivátový limit (n-1).

Zvážte determinant: (1)

W (x) je obvyklé, ktoré sa majú nazývať určite vo Vronsky pre funkcie.

Teorem 1. Ak sú funkcie v závislosti od hmotnosti (A, B), ich Vrosanisan W (x) je v tomto intervale identický rovný nule.

Dôkazov. Podmienkou teoremity sa vykonáva pomer

, (2), kde nie sú rovné nule. Byť. Potom

(3). Rozlišovať túto identitu n-1 čas a

namiesto ich získaných hodnôt do determinantovaného Vronsky,

dostaneme:

V determinantom bronsky je druhý stĺpec lingy kombinácia predchádzajúcich stĺpcov N-1 a v súvislosti s týmto je nula v celom intervale bodoch (A, B).

Veta 2.V prípade, že funkcie y 1, ..., YN sú riešenia rovnice L LIN-Eye-nezávislé riešenia rovnice L [Y] \u003d 0, ktorých všetky koeficienty, ktoré sú kontinuálne v intervale (A, B), potom Rogsman Z týchto riešení sa líšia od nuly v každom intervale bodu (A, B).

Dôkazov. Predpokladajme, že napr. Tam je x 0, kde w (x 0) \u003d 0. Urobte systém n rovníc

Samozrejme, že systém (5) má nenulové riešenie. (6).

Urobme kombináciu línaní riešení y 1, ..., y n.

(X) je roztok rovnice L [Y] \u003d 0. Navyše. Vďaka vevere jedinečnosti roztoku rovnice L [Y] \u003d 0 s nulovou počiatočnou podmienok by mali byť len nula, ᴛ.ᴇ. .

Dostávame identitu, kde nie všetci sa rovná nule, čo znamená, že y1, ..., y n linelicky závislý, ktorý je v rozpore so stavom teorem. V dôsledku toho nie je taký bod, kde w (x 0) \u003d 0.

Na základe teorem 1 a teorem 2 môžete formulovať nasledujúce tvrdenie. Aby bolo N roztoky rovnice L [Y] \u003d 0, aby boli v intervale (A, B), je mimoriadne dôležité a dostatočne dôležité, aby ich Vronoskan nie je adresovaný na nulu v ktoromkoľvek bode tohto intervalu.

Uvedených teorems sa dodržiavajú aj také zjavné vlastnosti Vronoskan.

1. Ak sú N roztoky l [y] \u003d 0 sú nula v jednom bode x \u003d x 0 z intervalu (A, B), v ktorom sú výrobky CEE p I (X) kontinuálne, potom je nula v SO EX body tohto intervalu.
2. Ak sa N roztoky rovnice L [Y] \u003d 0 líšia od nuly v jednom bode x \u003d x 0 z intervalu (A, B), potom sa líši od nuly v celom bode tohto intervalu.

ᴀᴋᴎᴍᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, pre Lin-Essentials N nezávislých roztokov rovnice L [Y] \u003d 0 v intervale (A, B), v ktorom sú koeficienty rovnice R I (X) kontinuálne, je mimoriadne dôležité a dostatočne pre ich vrozán sa líši od nuly aspoň jeden bod tohto intervalu.

Požadovaný stav lineárnej závislosti n funkcií. - koncepcia a druhy. Klasifikácia a znaky kategórie "Požadovaný stav lineárnej závislosti n funkcií." 2017, 2018.

-

Lode nad palubnou nákladnou manipulačnou technikou) Prednáška # 6 Téma: Cargo Gear (Cargo Gear) 6.1. Loď na palube nákladu na manipuláciu s nákladom). 6.2. Nákladné žeriavy. 6.3. Zástery. Preťaženie je pohyb nákladu na vozidle alebo z vozidla. Veľa ...

- Cargo žeriavy (CARGO CRANES)

Certifikáty (certifikáty) Oddelenie funkcií (rozdelenie úloh) Kontrola, certifikácia a zodpovednosť sú rozdelené týmto spôsobom: & ....

- Poznáš ho? Lo koncas?

Tam - Allla tu - Aqui v kaviarni - El Kaviareň v práci - El Trabajo na mori - El Mar 1. Neviete, kde kaviareň? 2. Neviete, kde sasha? 3. Neviete, kde knižnica? 4. Neviete, kde je Olhya teraz? 5. Neviete, kde je Natasha teraz? Dobrý deň! Ja ...

- Definícia Zmin a XMIN z absencie rezania

Obr.5.9. O rezaní kolies zubov. Zvážte, ako je koeficient zmeny ralepa železničnej dopravy spojený s počtom zubov, ktoré môžu byť nasekané koľajnicou na kolese. Nech je koľajnica nainštalovaná v polohe 1 (obr. 5.9). V tomto prípade priame hlavy koľajnice prekročia n-n autobusovú linku v T. a ...

Obj.Systém prvkov X 1, ..., x m lin. Prospect V je lineárne závislý, ak ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0) tak, že λ 1 x 1 + ... + λ mxm \u003d θ.

Obj.Systém prvkov X 1, ..., x m ∈ V je lineárne nezávislý, ak od rovnosti λ 1 x 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d θ λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

Obj.Prvok X ∈ V je lineárna kombinácia prvkov X 1, ..., XM ∈ V, ak ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ taká, že x \u003d λ 1 x 1 + ... + λ mx m.

Teorem (kritérium lineárneho závislosti): Systém vektorov X 1, ..., x m ∈ V je lineárne závislý, ak a len ak je aspoň jeden systém systému lineárne vyjadrený v zvyšku.

DOCK. Nevyhnutnosť: Nech X 1, ..., XM byť lineárne závislé ⟹ ∃ ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0) tak, že λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 + λ mxm \u003d θ. Predpokladajme, že λ m ≠ 0, potom

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Primeranosť: Nechajte aspoň jeden z vektorov lineárne vyjadrený v zvyšku vektorov: XM \u003d λ 1 x 1 + ... + λ M-1 xm -1 (λ 1, ..., λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 + ... + λ M-1 xm -1 + (- 1) XM \u003d 0 λ M \u003d (- 1) ≠ 0 ⟹ x 1, ..., XM - lineárne nezávislé.

Náklady. Stav lineárnej závislosti:

Ak systém obsahuje nulový prvok alebo lineárne závislý subsystém, je lineárne závislý.

λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 - lineárny závislý systém

1) Nech X 1 \u003d θ, potom táto rovnosť platí na λ 1 \u003d 1 a λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

2) Nech λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 je lineárne závislý podsystém ⟹ | λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0. Potom na λ 1 \u003d 0 tiež získať, | λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 je lineárne závislý systém.

Báze lineárneho priestoru. Vektorové súradnice v tejto základni. Súradnice súčtov vektorov a diel vektora podľa čísla. Požadovaná a dostatočná podmienka pre lineárnu závislosť systému vektorov.

Definícia: Objednaný systém prvkov E 1, ..., E N z lineárneho priestoru V sa nazýva základ tohto priestoru, ak:

A) e 1 ... e n lineárne nezávislé

B) ∀ x ∈ α 1 ... α n tak, že x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n

x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n - rozklad prvku X na báze E 1, ..., E N

α 1 ... α n ∈ ℝ - súradnice prvku X na základe E 1, ..., E N

Veta: Ak je základ e 1, ..., E N je uvedený v lineárnom priestore V, potom ∀ x ∈ v stĺpec X súradníc na báze E 1, ..., E N je definovaný jedinečne (súradnice sú definované jedinečne)

Dôkaz: Nech X \u003d α 1 e1 + ... + α n e n a x \u003d β 1 e 1 + ... + p n e n

x \u003d ⇔ \u003d θ, t.j. e 1, ..., e n - lineárne nezávislé, potom - \u003d 0 ∀ i \u003d 1, ..., n ⇔ \u003d ∀ i \u003d 1, ..., n h. t. d.

Veta: nech je E 1, ..., EN je lineárny priestor v; x, y - ľubovoľné prvky priestoru v, λ ∈ ℝ - ľubovoľné číslo. Pri pridaní X a Y sú ich súradnice zložené, s množením X na λ, sú súradnice X tiež vynásobené λ.

Dôkaz: x \u003d (E 1, ..., E N) a Y \u003d (E 1, ..., E N)

x + Y \u003d + \u003d (E 1, ..., E N)

λx \u003d λ) \u003d (E 1, ..., E N)

Lemma1: (Potrebný a dostatočný stav lineárnej závislosti systému systému)

Nech je E 1 ... SK základom priestoru V. Systém prvkov F 1, ..., F K ∈ V je lineárne závislý, ak a len vtedy, ak stĺpce týchto prvkov na základe E 1 ,. \\ T .., sk sú lineárne závislé

Dôkaz: Spaktráte F 1, ..., F k na báze e 1, ..., e n

f m \u003d (e 1, ..., e n) m \u003d 1, ..., k

λ 1 f 1 + ... + λ k f k \u003d (e 1, ..., e n) [λ 1 + ... + λ n] t.j. λ 1 f 1 + ... + λ k f k \u003d θ

⇔ λ 1 + ... + λ n \u003d to, čo bolo potrebné na preukázanie.

13. Rozmer lineárneho priestoru. Veta na pripojení rozmeru a základne.
Definícia: Lineárny priestor V sa nazýva N-dimenzionálny priestor, ak existujú n lineárne nezávislé prvky vo V a systém z ľubovoľných n + 1 prvkov priestoru V je lineárne závislý. V tomto prípade n sa nazýva rozmer lineárneho priestoru v a označuje dimv \u003d n.

Lineárny priestor sa nazýva nekonečný-dimenzionálny, ak ∀n ∈ ℕ v priestore V existuje lineárne nezávislý systém obsahujúci N prvky.

Veta: 1) Ak je v n-dimenzionálnom lineárnom priestore, potom sa základom tohto priestoru vytvára akýkoľvek objednaný systém z n lineárne nezávislých prvkov tohto priestoru. 2) Ak je v lineárnom priestore v báze pozostávajúce z n prvkov, potom rozmer V je N (DIMV \u003d N).

Dôkaz: 1) Nechajte DIMV \u003d N ⇒ V v ∃ n lineárne nezávislé prvky E 1, ..., e n. Dokážeme, že tieto prvky tvoria základ, to znamená, že ∀ x ∈ V možno rozložiť podľa E 1, ..., e n. Pripojiť X: E 1, ..., E N, X na nich - tento systém obsahuje n + 1 vektor a to znamená, že je lineárne závislý. Od E 1, ..., E N je lineárne nezávislý, potom teorem 2 x. lineárne vyjadrené prostredníctvom E 1, ..., E N I. ∃, ..., ako je X \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n. Takže E 1, ..., E N je základom vesmíru V. 2) Nech E 1, ..., E N BE TAKE BASE V, AKO V LINEARLY INNÁLNYCH INVESTNÝCH prvkov. Vezmite ľubovoľné FBIT F1, ..., F N, F N +1 ∈ V - N + 1 prvky. Ukážeme svoju lineárnu závislosť. Šíriť ich na základe:

f M \u003d (E 1, ..., E N) \u003d Kde m \u003d 1, ..., N Urobte matricu z súradnicových stĺpcov: A \u003d matica obsahuje n reťazce ⇒ RGA≤n. Počet stĺpcov n + 1\u003e n ≥ RGA ⇒ stĺpce matice A (t.j. súradnice súradnice F 1, ..., F N, F N +1) sú lineárne závislé. Z LEMMA 1 ⇒, ..., F N, F N +1 - Lineárne závislé ⇒ DIMV \u003d N.

Dôsledok:Ak akýkoľvek základ obsahuje n prvkov, potom akýkoľvek iný základ tohto priestoru obsahuje n prvkov.

Veta 2: Ak je systém vektorov X 1, ..., XM-1, XM je lineárne závislý, a jeho subsystém x 1, ..., XM -1 je lineárne nezávislý, potom x m - lineárne vyjadrené v X 1, .. , x m -1

Dôkaz: Pretože x 1, ..., x m -1, x m - lineárne závislé, potom ∃, ... ,,,

, ..., | , | také, že. Ak ,, ..., \u003d\u003e x 1, ..., x m -1 - lineárne nezávislé, ktoré nemôžu byť. Tak m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Všimnite si, že v budúcnosti, bez rušenia všeobecnosti, budeme zvážiť prípad vektorov v trojrozmernom priestore. V lietadle je zváženie vektorov podobne. Ako je uvedené vyššie, všetky výsledky známe z priebehu lineárnej algebry pre algebraické vektory môžu byť prenesené do špeciálneho prípadu geometrických vektorov. Tak to urob.

Nechajte vektory pevné.

Definícia.Suma, kde - niektoré čísla sa nazývajú lineárnou kombináciou vektorov. V tomto prípade sa tieto čísla nazývajú koeficienty lineárnej kombinácie.

Budeme mať záujem o otázku možnosti rovnosti lineárnej kombinácie na nulový vektor. V súlade s vlastnosťami a axiómami vektorových priestorov sa zrejmé, že pre všetky systémy vektorov existuje triviálna (nulová) súbor koeficientov, pre ktoré sa táto rovnosť vykonáva:

Existuje otázka o existencii tohto systému vektorov ne-triviálneho súboru koeficientov (medzi ktorými existuje aspoň jeden non-peer koeficient), pre ktorý sa vykoná uvedená rovnosť. V súlade s tým rozlišujeme medzi lineárnymi závislými a nezávislými systémami.

Definícia.Systém vektorov sa nazýva lineárne nezávislý, ak existuje taká sada čísel, medzi ktorými existuje aspoň jedna non-nula, takže zodpovedajúca lineárna kombinácia sa rovná nulovaniu vektora:

Systém vektorov sa nazýva lineárne nezávislý, ak je rovnosť

možno len v prípade triviálneho súboru koeficientov:

Uvádzame základné vlastnosti lineárnych závislých a nezávislých systémov, ktoré sú ukázané ako lineárna algebra.

1. Akýkoľvek systém vektorov obsahujúcich nulový vektor je lineárne závislý.

2. Nech je v systéme vektorov lineárne závislý subsystém. Potom je celý systém lineárne závislý.

3. Ak je systém vektorov lineárne nezávislý, ktorýkoľvek z jeho subsystému je tiež lineárne nezávislý.

4. Ak sú vo vektoroch dva vektory, z ktorých jeden sa získa z iného multiplikácie podľa čísla, potom je celý systém lineárne závislý.

Teorem (kritérium lineárnej závislosti).Systém vektorov je lineárne závislý, ak a len ak jeden z vektorov tohto systému bude prezentovaný ako lineárna kombinácia zostávajúcich vektorov systému.

Vzhľadom na kritérium kolinilearity dvoch vektorov možno tvrdiť, že ich kolinearity je kritériom ich lineárnej závislosti. Pre tri vektory v priestore, je toto vyhlásenie spravodlivé.

Veta (kritérium lineárnej závislosti troch geometrických vektorov).Tri vektory a lineárne závislé, ak sú len vtedy, ak sú oddelenie.

Dôkazov.

Nevyhnutnosť.Nechajte vektory a lineárne závislé. Dokážeme ich oddelenie. Potom podľa všeobecného kritéria lineárnej závislosti algebraických vektorov tvrdíme, že jeden z týchto vektorov bude prezentovať vo forme lineárnej kombinácie iných vektorov. Napríklad

Ak všetky tri vektory a pripojte k všeobecnému začiatku, vektor sa zhoduje s uhlopriečkou rovnobežníka postaveného v vektoroch a. To však znamená, že vektory a ležia v tej istej rovine, t.j. Komplians.

Primeranosť.Nechajte vektory a porovnateľné. Ukazujeme, že sú lineárne závislé. Po prvé, zvážte prípad, keď nejaká para od zadaných kolineárnych vektorov. V tomto prípade, podľa predchádzajúcej vety, systém vektorov, obsahuje lineárne závislý subsystém, a preto je samotný lineárne závislý podľa vlastnosti 2 lineárne závislých a nezávislých vektorov. Teraz, nie, žiadna dvojica vektorov nepoškodzuje nie sú kolineárne. Prenesieme všetky tri vektory na jednu rovinu a dajte im všeobecnému začiatku. Strávme cez koniec vektorových priamych paralelných vektorov a. Označte bodový bod priesečníka priameho, paralelného vektora, s priamou čiarou, na ktorej vektor leží, a bodový bod priesečníka, paralelne s vektorom, s priamkou, na ktorom vektor leží. Podľa definície vektorov dostaneme:

.

Pretože vektorový kolineár je nenulový vektor, potom existuje platné číslo

Z podobných úvah, existencia platného počtu takýchto

V dôsledku toho budeme mať:

Potom z všeobecného kritéria lineárnej závislosti algebraických vektorov získame tieto vektory, lineárne závislé. ■.

Veta (lineárna závislosť štyroch vektorov).Všetky štyri vektory sú lineárne závislé.

Dôkazov. Po prvé, zvážte prípad, keď nejaký trojlôžkový zo špecifikovaných štyroch vektorov priehradky. V tomto prípade je tento trojlôžkový lineárny závislý v súlade s predchádzajúcou teoremou. V súlade s vlastnosťou 2 lineárne závislých a nezávislých systémov vektorov a celé štyri sú lineárne závislé.

Teraz nechať vektory nemajú tri vektory vektorov v posudzovaní vektorov. Dávame všetky štyri vektory, na všeobecné začiatok a stráviť po skončení rovinného vektora rovnobežne s lietadlami, zistenými obrovskými pármi; ; \\ T . Priesečníky určených rovín s rovným, na ktorých ležia vektory, a, resp. Z stanovenia súčtu vektorov to vyplýva

ktoré, s prihliadnutím na všeobecné kritérium lineárnej závislosti algebraických vektorov, naznačuje, že všetky štyri vektory sú lineárne závislé. ■.

Definícia 18.2. Systém funkciíf., ..., f P.zavolanýl.i- NIP O. Z. a a s a m. O th v intervale (ale, (3) Ak niektoré netriviace 5 lineárna kombinácia týchto funkcií je nulová v tomto intervale identicky:

Definícia 18.3. Systémové vektory g 1, ..., x P Hovory, je lineárne a v A a s a m okolo, ak sa niektoré netriviálne, lineárne kombinácia týchto vektorov je rovná vektora guľky:

L. Aby sme sa vyhli nejasnostiam, budeme pokračovať v počte komponentov vektora (vektorové funkcie), aby sme boli označené nižšie indexom, a číslo samotného vektora (ak existuje niekoľko takýchto vektorov) horný.

"Pripomíname, že lineárna kombinácia sa nazýva netriviálna, ak nie všetky koeficienty v ňom sú nula.

Definícia 18.4. Systém vektorových funkcií X 1 ^), ..., x n (t) nazývaný lineárny Z. a v intervale, (ale, / 3) Ak je niektorí ne-triviálna lineárna kombinácia týchto vektorových funkcií rovnaká ako táto medzera na nulový vektor:

Je dôležité sa zaoberať týmito tromi konceptmi (lineárna závislosť funkcií, vektorov a vektorových funkcií).

Po prvé, ak predložíte vzorec (18,6) v nasadenom formulári (zapamätaním, že každý z nich x g (1) je vektor)

potom to bude rovnocenné s rovnakým systémom

zmysel lineárny závislosť členských štátov Komponent v zmysle prvej definície (ako funkcie). Hovorí sa, že lineárna závislosť vektorových funkcií ich so sebou prináša pomponent Lineárna závislosť.

Reverzné, všeobecne hovoriť, nesprávne: dosť na to, aby sme zvážili príklad dvojice vektorových funkcií

Prvé zložky týchto vektorových funkcií jednoducho sa zhodujú, že sú lineárne závislé. Druhá zložka sú proporcionálne, to znamená. Tiež lineárne závislé. Avšak, ak sa pokúsime vytvoriť svoju lineárnu kombináciu, rovnú nulu identicky, potom z pomeru

okamžite dostať systém

ktorý má jediné riešenie C - S.-2 - 0. Naše vektorové funkcie sú teda lineárne nezávislé.

Aký je dôvod pre takýto podivný majetok? Čo je to zameranie, ktoré vám umožní vybudovať lineárne nezávislé vektorové funkcie z očividne závislých funkcií?

Ukazuje sa, že celá vec nie je taká v lineárnej závislosti komponentu, ako v podiele koeficientov, čo je potrebné na získanie nuly. V prípade lineárnej závislosti vektorových funkcií slúži rovnaký súbor koeficientov, slúži všetkým komponentom bez ohľadu na číslo. Ale v príklade sme uviedli pre jednu zložku, bol potrebný jeden podiel koeficientov a ďalšie iné. Takže zameranie je vlastne jednoduché: Aby ste získali lineárnu závislosť vektorových funkcií vektora funkcie, je potrebné, aby všetky komponenty boli lineárne závislé "v rovnakom pomere".

Teraz sa obrátime na štúdium lineárnej závislosti vektorových funkcií a vektorov. Tu je takmer zrejmý tomu, že z lineárnej závislosti vektorových funkcií vyplýva, že pre každú pevnú t * Vektor

budú lineárne závislé.

Inverzné, vo všeobecnosti, nemá miesto: od lineárnej závislosti vektorov na každom t. Nie lineárna závislosť vektorových funkcií. Je ľahké vidieť v príklade dvoch vektorových funkcií.

Pre t \u003d 1, t \u003d 2 a t \u003d 3 Dostaneme pár vektorov

resp. Každý pár vektorov je úmerný (s koeficientmi 1,2 a 3). Nie je ťažké pochopiť, čo pre akékoľvek pevné t * Náš pár vektorov bude úmerný koeficientu t *.

Ak sa pokúsime vytvoriť lineárnu kombináciu funkcií vektora, ktorá sa rovná nule, potom prvé komponenty nám dávajú pomer

Čo je možné len vtedy, ak Z = Z2 = 0. Naše vektorové funkcie sa teda ukázali ako lineárne nezávislé. Vysvetlenie tohto efektu je opäť, že v prípade lineárnej závislosti vektorových funkcií, rovnaký súbor CJ konštánt slúži všetkým hodnotám t, A v našom príklade pre každú hodnotu t. Vyžaduje jeho podiel medzi koeficientmi.