Funktsiyalar va ularning xususiyatlari jadvali. Funktsiya grafikasini o'rganish

Xususiyatlarga xos bo'lgan asosiy elementar funktsiyalar va tegishli grafiklar Azovlardan biridir. matematik bilimlarko'payish jadvaliga ahamiyat berish darajasiga o'xshash. Boshlang'ich funktsiyalar barcha nazariy masalalarni o'rganish uchun asosdir.

Quyidagi maqola asosiy elementar funktsiyalar mavzusi bo'yicha muhim materialni taqdim etadi. Biz shartlarni tanishtiramiz, ularni ta'riflarini bering; Keling, boshlang'ich funktsiyalarning har bir turini batafsil ko'rib chiqaylik, biz ularning xususiyatlarini tahlil qilamiz.

Asosiy elementar funktsiyalarning quyidagi turlari ajratilgan:

1-ta'rif.

• doimiy funktsiya (doimiy);
• ildiz N 1 darajasini;
• quvvat funktsiyasi;
• eksponent funktsiyasi;
• logarifmik funktsiya;
• trigonometrik funktsiyalar;
• trigonometrik funktsiyalar.

Doimiy funktsiya formula bilan belgilanadi: y \u003d c (c ma'lum bir son) va shuningdek ismga ega: doimiy. Ushbu funktsiya bir xil o'zgaruvchan yning mustaqil o'zgaruvchisining har qanday haqiqiy qiymatiga muvofiqligini aniqlaydi.

Doimiylarning jadvali to'g'ridan-to'g'ri, bu abkissa o'qiga parallel ravishda, koordinata (0, C) ga ega bo'lgan nuqtadan o'tadi. Aniqlik uchun biz doimiy funktsiyalarni y \u003d 5, y \u003d - y \u003d 3, y \u003d 3 grafikasini beramiz (mos ravishda qora va ko'k ranglar bilan belgilangan).

2-ta'rif.

Ushbu boshlang'ich funktsiya formula y \u003d x n (n - ko'proq qismlarning tabiiy soni) bilan belgilanadi.

Funktsiyaning ikkita xilma-xilligini ko'rib chiqing.

1. Ildiz n-son darajasi, n - hatto soni

Aniqlik uchun, bunday funktsiyalarning grafikasini ko'rsatadigan rasmni ko'rsating: y \u003d x, y \u003d x 4 va y \u003d x 8. Ushbu funktsiyalar rang bilan belgilanadi: qora, qizil va ko'k, mos ravishda.

Indikatorning turli qiymatlarida teng daraja funktsiyalarining shunga o'xshash ko'rinishi.

3-ta'rif.

Xususiyatlar funktsiyasi Ildiz N-Esh, n - hatto soni

• ta'rif maydoni barcha salbiy haqiqiy bo'lmagan raqamlar to'plamidir [0, + ∞);
• x \u003d 0, funktsiyasi y \u003d x n nolga teng qiymatga ega;
• bu funktsiya funktsiyasi umumiy shakli (yo'q yoki hatto g'alati);
• qiymat maydoni: [0, + ∞);
• ushbu funktsiya y \u003d x n ildiz ko'rsatkichlarida aniqlik doirasidagi ham oshadi;
• funktsiya butun ta'rif maydonida yuqoriga qarab konveksda;
• hech qanday indeks ochilmagan;
• asemptolar yo'q;
• hatto n funktsiyaning grafikasi nuqtalar (0; 0) va (1; 1) orqali o'tadi.

1. Ildiz N -I darajasi, n t tijral son

Ushbu funktsiya to'liq raqamlar to'plamida aniqlanadi. Aniqlik uchun funktsiyalarning grafikasini hisobga oling y \u003d x 3, y \u003d x 5 va x 9. Sportda ular gullar bilan ko'rsatilgan: Quyi, qizil, qizil va ko'k ranglar mos ravishda.

Y \u003d X N funktsiyasining ildiz tezligining boshqa toq qiymatlari shunga o'xshash turlarning grafikasini beradi.

4-ta'rif.

Xususiyatlar funktsiyasi N-ES darajali ildizi, n - toq son

• ta'rif maydoni barcha yaroqli raqamlarning to'plami;
• ushbu xususiyat g'alati;
• qadriyatlar oralig'i barcha yaroqli raqamlarning to'plami;
• y \u003d X n funktsiyasi aniq ildiz ko'rsatkichlari bo'yicha sezilarli darajada oshadi;
• funktsiya oraliqda (- ∞; 0] va bir vaqt oralig'ida anketada konkavga ega [0, + ∞);
• infektsiya nuqtasi koordinatalariga ega (0; 0);
• asemptolar yo'q;
• to'liq n bilan funktsiyaning grafikasi (- 1; - 1), (0; 0) va (1; 1) orqali o'tadi.

Quvvat funktsiyasi

1-ta'rif.

Quvvat funktsiyasi y \u003d x a formulasi bilan belgilanadi.

Grafiklarning ko'rinishi va funktsiyaning xususiyatlari indikatorning qiymatiga bog'liq.

• quvvat funktsiyasi butun indikatorga ega bo'lganda, quvvat funktsiyasining grafigi va uning xususiyatlari hatto toq ko'rsatkichlariga ham, shuningdek daraja belgisiga bog'liq. Ushbu barcha maxsus holatlarni quyida batafsil ko'rib chiqing;
• bir darajadagi ko'rsatkich kas-harakat yoki irratsional bo'lishi mumkin - bunga qarab, grafikaning ko'rinishi va funktsiyaning xususiyatlari o'zgaradi. Biz bir nechta shartlarni belgilash orqali maxsus ishlarni tahlil qilamiz: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• quvvat funktsiyasi nol ko'rsatkichga ega bo'lishi mumkin, bu holat quyida keltirilgan.

Biz quvvat funktsiyasini tahlil qilamiz y \u003d x a - bu g'alati ijobiy raqam bo'lsa, masalan, a \u003d 1, 3, 5 ...

Aniqlik uchun biz bunday quvvat funktsiyalarining grafikasini ko'rsatamiz: y \u003d x (qora grafika), y \u003d x 3 (ko'k rang grafikasi), y \u003d x 5 (qizil grafika), y \u003d x 7 (yashil grafika). A \u003d 1 bo'lsa, biz y \u003d x chiziqli funktsiyani olamiz.

6-ta'rif.

Quvvat funktsiyasining xususiyatlari, darajaning ko'rsatkichi g'alati ijobiy bo'lsa

• funktsiya x ∈ (- ∞; + ∞) bilan ko'payadi;
• funktsiya x ∈ (- ∞; 0) dagi va x ∈ [0; + ∞) (0; + ↑) (chiziqli funktsiyadan tashqari);
• infektsiya nuqtasi koordinatalarga ega (0; 0) (chiziqli funktsiyadan tashqari);
• asemptolar yo'q;
• funktsiya funktsiyalari: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Biz quvvat funktsiyasini tahlil qilamiz y \u003d x a a bo'lsa, a-ijobiy raqam bo'lsa, masalan, a \u003d 2, 4, 6 ...

Aniqlik uchun biz bunday quvvat funktsiyalarining grafikasini ko'rsatamiz: y \u003d x 2 (qora rang chizig'i) y \u003d x 4 (ko'k grafik rangi) y \u003d x 8 (qizil grafika). Agar a \u003d 2 bo'lsa, biz kvadratik funktsiyani olamiz, uning grafikasi kvadratik parabola hisoblanadi.

Ta'rif 7.

Ilmiy darajadagi ijobiy bo'lsa, quvvat funktsiyasining xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: x ∈ (- ↓;);
• X ∈ (- ∞; 0] da pasayish;
• funktsiya X ∈ (- ↓; + ∞) konkavga ega;
• kirish joylari yo'q;
• asemptolar yo'q;
• funktsiya funktsiyalari: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Quyidagi rasmda quvvat funktsiyasining grafiklariga misollar ko'rsatilgan. y \u003d x a - bu g'alati salbiy raqam: y \u003d x - 9 (qora grafika); y \u003d x - 5 (ko'k rang grafikasi); y \u003d x - 3 (qizil grafika); Y \u003d x - 1 (yashil grafika). A \u003d - - 1, biz gerpob hujayraga ega bo'lgan teskari mutanosiblikni olamiz.

8-ta'rif.

Kuch funktsiyasining xususiyatlari, bu ko'rsatkich g'alati salbiy degani:

X \u003d 0 bo'lsa, biz ikkinchi turning yorilishini olamiz, chunki men → 0 x a \u003d - → 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + - 1 ... Shunday qilib, X \u003d 0 vertikal assimotna;

• qadrlar oralig'i: Y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ↑);
• funktsiya g'alati, y (- x) \u003d - y (x);
• funktsiya X ∈ - ∞ da pasaymoqda; 0 ↑ (0; + ↑);
• funktsiya x ∈ (- ∞; 0) va x ∈ (0; + ∞) da konkavga ega;
• idence punktlari yo'q;

k \u003d lime x → ∞ x a x \u003d 0, b \u003d k X + b + B \u003d 0, a \u003d 1, - 3, - 5,. . . .

• funktsiya funktsiyalari: (- 1; - 1), (1; 1).

Quyidagi rasmda Y \u003d x a, agar A bo'lsa, salbiy raqam bo'lsa, quvvat funktsiyasining grafiklariga misollar keltirilgan: y \u003d x - 8 (qora rang chizig'i); y \u003d x - 4 (ko'k rang chizig'i); Y \u003d x - 2 (qizil grafika).

Iding 9.

Quvvat funktsiyasining xususiyatlari, darajaning ko'rsatkichi ham salbiy bo'lsa:

• ta'rif maydoni: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ↑);

X \u003d 0 bo'lsa, biz ikkinchi turning yorilishini olamiz, chunki men → 0 x a \u003d lim x → 0 x 0 xa \u003d + - 2 da \u003d + - 2, - 2-da. ... Shunday qilib, X \u003d 0 vertikal assimotna;

• funktsiya hatto y (- x) \u003d y (x);
• funktsiya x ∈ (- ∞; 0) bilan ko'payib, x ∈ 0 da pasayadi; + ∞;
• funktsiya x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ↑) da konkavga ega;
• idence punktlari yo'q;
• gorizontal asempotta - to'g'ri y \u003d 0, chunki:

k \u003d Olim x → ∞ x A a x \u003d 0, b \u003d k X + b \u003d b \u003d 0, agar a \u003d 200, - 4, - 1 bo'lsa. . . .

• funktsiya funktsiyalari: (- 1; 1), (1; 1).

Boshidanoq quyidagi tomondan e'tibor bering: agar g'alati denominator bilan ijobiy kasr bo'lsa, ba'zi mualliflar ushbu quvvat funktsiyasini aniqlashning yo'nalishi sifatida qabul qilinadi - ∞; + ∞, bir vaqtning o'zida, indikator A beqaror kasrdir. Ayni paytda Algebradagi ko'plab o'quv nashrlari mualliflari va tahlil printsipi elektr funktsiyalarini aniqlamaydi, bu erda dalilning salbiy ko'rsatkichlari bilan g'alati denominator bilan bir fraktsiyadir. Keyingi, biz ushbu lavozimga ruxsat beramiz: elektr funktsiyalarini (0) olish darajasining fraksion ijobiy ko'rsatkichlari bilan belgilash maydonini oling [0; + ♪). Talabalar uchun tavsiya: Agar kelishmovchiliklarni oldini olish uchun o'qituvchining fikrini bilib oling.

Shunday qilib, biz quvvat funktsiyasini tahlil qilamiz y \u003d x a Ilmiy darajasi ratsional yoki irratsional son bo'lsa, 0< a < 1 .

Biz grafikaning quvvat funktsiyalarini tasvirlaymiz y \u003d x a \u003d 11 12 (qora grafika); a \u003d 5 7 (qizil grafika); a \u003d 1 3 (ko'k grafik rang); A \u003d 2 5 (yashil grafika).

A darajasi ko'rsatkichi (0) darajadagi boshqa qiymatlari< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

10-ta'rif.

Elektr funktsiyasining xususiyatlari 0 da< a < 1:

• qadrlar oralig'i: Y ∈ [0; + ∞);
• funktsiya x ∈ [0; + ∞);
• funktsiya x ∈ (0; + ∞) dagi kattalashma mavjud;
• idence punktlari yo'q;
• asemptolar yo'q;

Biz quvvat funktsiyasini tahlil qilamiz y \u003d x a, daraja darajasi maqsadli oqilona yoki irratsional raqam bo'lsa, a\u003e 1 ni taqdim etganda.

Biz grafikaning quvvat funktsiyasini tasvirlaymiz y \u003d x x a kabi shartlarda bunday funktsiyalar misolida: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 pna (quyida qora, qizil, ko'k grafikalar).

Ilmiy ko'rsatkichning boshqa qiymatlari va A\u003e 1 holatida shunga o'xshash grafikani beradi.

Izoh 11.

Quvvat funktsiyasining xususiyatlari\u003e 1 da:

• ta'rif maydoni: x ∈ [0; + ∞);
• qadrlar oralig'i: Y ∈ [0; + ∞);
• ushbu funktsiya umumiy shakl funktsiyasidir (toq, na toq bor);
• funktsiya x ∈ [0; + ∞);
• funktsiya x ∈ (0; + ∞) da konkavga ega (1)< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• idence punktlari yo'q;
• asemptolar yo'q;
• funktsiya funktsiyalari: (0; 0), (1; 1).

Biz sizning e'tiboringizni to'laymiz! Bir nechta mualliflarning asarlari bilan salbiy masih bo'lsa, bu holatda aniqlanish maydoni bu ishning aylanish maydoni - bu bora oraliq - ∞; 0 ↑ (0; + ↑), bu indeksning ko'rsatkichi - bu beqaror kasr. Ayni paytda Algebradagi o'quv materiallari mualliflari va tahlil printsipi bu dalil bilan tortishish shaklida, tortishuvning salbiy qiymatlari bilan toq denominator bilan kadrlar shaklida belgilanmaydi. Keyinchalik biz bunday ko'rinishga rioya qildik: quvvat funktsiyalarini (0; + ↑) bilan quvvat funktsiyalarini aniqlash sohasini oling. Talabalar uchun tavsiya: Sizning kelishmovchiliklardan qochish uchun o'qituvchingiz ko'rishni ko'rsating.

Biz mavzuni davom ettiramiz va quvvat funktsiyasini qismlarga ajratamiz y \u003d x To'riladigan: - 1< a < 0 .

Biz keyingi funktsiyalarni chizamiz: y \u003d x - 5 6, y \u003d x - 1, y \u003d x - 1 7 (qizil, qizil, ko'k, yashil chiziqlar).

12-ta'rif.

Quvvat funktsiyasining xususiyatlari - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x A \u003d + ∞, qachon - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• qiymat maydoni: Y ∈ 0; + ∞;
• ushbu funktsiya umumiy shakl funktsiyasidir (toq, na toq bor);
• idence punktlari yo'q;

Quyidagi rasmda y \u003d x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - 24 7, y \u003d x - 24 7, y \u003d x - x - x - x - x - x - x - 24 7, y \u003d x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - 24, y \u003d x, y \u003d x, y \u003d x, y \u003d x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - x - e. .

13-ta'rif.

Quvvat funktsiyasining xususiyatlari a< - 1:

• ta'rif maydoni: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• qadrlar oralig'i: Y ∈ (0; + ↑);
• ushbu funktsiya umumiy shakl funktsiyasidir (toq, na toq bor);
• funktsiya x ∈ 0 da kamayadi; + ∞;
• funktsiya x ∈ 0 da konkavga ega; + ∞;
• idence punktlari yo'q;
• gorizontal asempotta - to'g'ri y \u003d 0;
• vazifaning vazifasi: (1; 1).

Agar A \u003d 0 va x ≠ 0 bo'lsa, biz to'g'ridan-to'g'ri (0; 1) ni aniqlaydigan Y \u003d X 0 \u003d 1 funktsiyasini olamiz (0; 1) chiqarib tashlanadi qiymat).

Ushbu funktsiya shakli mavjud y \u003d a x, u erda a\u003e 0 va a 1 ≠ 1 va ushbu funktsiya grafigi a qiymatiga qarab farq qiladi. Xususiy holatlarni ko'rib chiqing.

Avval biz indikativ funktsiyaning asosi noldan biriga (0) bir martagacha bog'liq bo'lgan holatni tahlil qilamiz< a < 1) . Vizual misol A \u003d 1 2 (ko'k rangli egri) va a \u003d 5 6 (qizil egri) dagi funktsiyalarning grafikasiga xizmat qiladi.

Xuddi shu turlar 0,4 ta bazaviy qiymatlar bo'yicha indikativ funktsiyalarning grafikasiga ega bo'ladi< a < 1 .

1-ta'rif.

Bazadan kamroq bo'lganida, indikativ funktsiyaning xususiyatlari:

• qadrlar oralig'i: Y ∈ (0; + ↑);
• ushbu funktsiya umumiy shakl funktsiyasidir (toq, na toq bor);
• baza qurilmaning aniqlangan hududda kamayib borayotgan indikatsion funktsiya;
• idence punktlari yo'q;
• gorizontal asempotta - To'g'ri y \u003d 0 o'zgaruvchan x bilan va unga intilish;

Endi ishoratning asosidagi ishni ko'rib chiqing (a 1) dan katta.

Biz ushbu aniq ishni y \u003d 3 2 x (ko'k rangli egri) va y \u003d E x (qizil grafika) grafikasi bilan tasvirlaymiz.

Boshqa asosiy qiymatlar, katta qismlar, indikativ funktsiyaning o'xshash turini beradi.

Izilish 15.

Baza jihozdan kattaroq bo'lganida, indikativ funktsiyaning xususiyatlari:

• ta'rif maydoni juda ko'p yaroqli raqamlar;
• qadrlar oralig'i: Y ∈ (0; + ↑);
• ushbu funktsiya umumiy shakl funktsiyasidir (toq, na toq bor);
• baza jihozdan katta bo'lgan indikatsion funktsiya x ∈ - ∞; + ∞;
• funktsiya x ∈ - ∞ da konkavga ega; + ∞;
• idence punktlari yo'q;
• gorizontal asempotta - to'g'ridan-to'g'ri X bilan to'g'ri y \u003d 0 intilagan - ∞;
• funktsiya nuqtasi: (0; 1).

Logarifmik funksiyada y \u003d log a (x) formasi mavjud, u erda a\u003e 0, a 1.

Ushbu funktsiya faqat argumentning ijobiy qadriyatlari bilan belgilanadi: X ∈ 0 da; + ∞.

Logarifmik funktsiyasining grafigi bor turli xil ko'rinishiBaza qiymatiga qarab a.

Birinchi vaziyatni birinchi marta ko'rib chiqaylik< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Katta birlik emas, boshqa asosiy tayanch qiymatlari shunga o'xshash grafikani beradi.

Idish 16.

Baza bir nechta bo'lganida logarifmik funktsiyaning xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: x ∈ 0; + ∞. X qachon o'ng tomonga nolga moyil bo'lsa, funktsiyaning qiymatlari + ∞;
• qadrlar oralig'i: Y ∈ - ∞; + ∞;
• ushbu funktsiya umumiy shakl funktsiyasidir (toq, na toq bor);
• logarifmik
• funktsiya x ∈ 0 da konkavga ega; + ∞;
• idence punktlari yo'q;
• asemptolar yo'q;

Endi biz logarifmik funktsiyaning asosi kattaroq bo'lsa, maxsus ishni tahlil qilamiz: a 1 . Quyidagi rasmda logarifmik funktsiyalar y \u003d ln x va y \u003d ln x (mos ravishda ko'k va qizil grafikalar).

Jihozdan kattaroq boshqa asosiy qiymatlar shunga o'xshash grafikani beradi.

Izilish 17.

Bazadan kattaroq bo'lganida logarifmik funktsiyaning xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: x ∈ 0; + ∞. X qachon o'ng tomonga nolga moyil bo'lsa, funktsiyaning qiymatlari - ∞;
• qadrlar oralig'i: Y ∈ - ∞; + ∞ (barcha yaroqli raqamlar);
• ushbu funktsiya umumiy shakl funktsiyasidir (toq, na toq bor);
• logarifmik funktsiya x ∈ 0 da o'sib bormoqda; + ∞;
• funktsiya x ∈ 0 dagi maydoni; + ∞;
• idence punktlari yo'q;
• asemptolar yo'q;
• funktsiya nuqtasi: (1; 0).

Trigonometrik funktsiyalar - Bu Sinus, kosin, tangens va katangenlar. Biz ularning har birining xususiyatlarini va mos keladigan grafiklar xususiyatlarini tahlil qilamiz.

Umuman olganda, barcha trigonometrik funktsiyalar uchun chastotaning mulki xarakterli, i.e. Funktsiyalarning qiymatlari bir-biridan F (x + t) \u003d f (x) (T (x) (T) davrida turlicha takrorlanganda takrorlanadi. Shunday qilib, trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari ro'yxatida, "eng kichik ijobiy davr" mahsuloti qo'shildi. Bundan tashqari, biz tegishli funktsiya nolga qo'shadigan dalillarning bunday qiymatlarini belgilaymiz.

1. Sinus funktsiyasi: Y \u003d Gal (x)

Ushbu xususiyat grafi sinusoid deb nomlanadi.

Idish 18.

Sinus funktsiyasi xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: X ∈ - ∞ haqiqiy raqamlarning barcha to'plamlari; + ∞;
• funktsiya x \u003d p yon qachon k ∈ z (son butun sonli sonlar to'plamidan iborat);
• funktsiya x ∈ - p 2 + 2 pasan da o'smoqda; p 2 + 2 p lap kasan, k ∈ Z bilan pasayish va kamayish 1 + 2 pān k; 3 p 2 2 + 2 p lagan, k ∈ Z;
• sinus funktsiyasi mahalliy Maksimada p 2 + 2 pānasi; 1 va mahalliy minima nuqtalarda - p 2 + 2 pasan; - 1, k ∈ z;
• x ∈ - p + 2 pasan qachon singan konkavning vazifasi; 2 p lagan, k ∈ z va konveks X ∈ 2 p taxonada; p + 2 p lagan, k ∈ Z;
• asemptolar yo'q.

1. Kosin funktsiyasi: Y \u003d cos (x)

Ushbu xususiyat grafigi kosinoida deb ataladi.

19-ta'rif.

Kosin funktsiyasi xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: X ∈ - ∞; + ∞;
• eng kichik ijobiy davr: t \u003d 2 p;
• qadrlar oralig'i: Y ∈ - 1; biri;
• ushbu funktsiya hatto y (- x) \u003d y (x);
• funktsiya x ∈ - p + 2 pasanasida ko'payadi; 2 p lagan, k ∈ z va x ∈ 2 pasan bilan kamayish; p + 2 p lagan, k ∈ Z;
• kosin funktsiyasi mahalliy Maksimada 2 pasan edi; 1, k ∈ Z va mahalliy minima p + 2 p lagan punktlarida; - 1, k ∈ z;
• x ∈ p 2 + 2 pasan qachon kosinik konkavning vazifasi; 3 p 2 2 + 2 p kla, k ∈ z va konveks X ∈ - p 2 + 2 pasan; p 2 + 2 p lagan, k ∈ Z;
• ipring nuqtalari koordinatorlarga ega, p 2 + pasan; 0, k ∈ Z
• asemptolar yo'q.

1. Tangens funktsiyasi: Y \u003d t g (x)

Ushbu xususiyat grafigida deyiladi tangsoid.

Ta'rif 20.

Tangens funktsiyasining xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: x ∈ - p 2 + pasan; p 2 + pasa kasi, qayerda k ∈ z (z - butun sonlar to'plami);
• Limning ta'rifi chegarasida tegenning funktsiyasining xatti-harakati (X) \u003d lim x → p 2 → p 2 → p 2) ( x) \u003d + ∞. Shunday qilib, tekis x \u003d p 2 + p lagan k ∈ z vertikal anympotes;
• funktsiya k ∈ z (z uchun ko'p narsa) uchun x \u003d pasan (z) bo'lganida nolga to'g'ri keladi;
• qadrlar oralig'i: Y ∈ - ∞; + ∞;
• ushbu funktsiya g'alati, y (- x) \u003d - y (x);
• funktsiya o'sib bormoqda - p 2 + pasan; p 2 p 2 + p lagan, k ∈ Z;
• tangen funktsiyasi x ∈ [pasan da; p 2 + p kasa), k ∈ z va konveksda x ∈ (- p 2 + pān kē kali), k ∈ Z;
• idence punktlari koordinatalarni koordinata qiladi; 0, k ∈ z;

1. Cotangent funktsiyasi: Y \u003d c t g (x)

Ushbu xususiyat jadvali, kozangensoid deyiladi .

Ko'rish 21.

Cotangent funktsiyasining xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: x ∈ (p + p kasa k), u erda k ∈ z (z butun sonlar);

Kotangent funktsiyasining XI → p íta · 0 t + 0 t g (x) \u003d + → py → p g (x) \u003d li (x) \u003d - ∞ (x) \u003d x (x) \u003d - ∞ (x) \u003d - ∞. Shunday qilib, to'g'ri x \u003d p lagan k ∈ z vertikal anymprotalar;

• eng kichik ijobiy davr: t \u003d p;
• funktsiya x \u003d p 2 + p laganida nolga tegishli, k ∈ z (son butun sonlar to'plami);
• qadrlar oralig'i: Y ∈ - ∞; + ∞;
• ushbu funktsiya g'alati, y (- x) \u003d - y (x);
• funktsiya x ∈ 2 da kamaydi; p + pasan, k ∈ Z;
• cotangent funktsiyasi x ∈ (p 2 p 2 p 2 k), k ∈ z va konveksda x ∈ Z va konveksda x ∈ Z), k ∈ Z;
• ipring nuqtalari koordinatorlarga ega, p 2 + pasan; 0, k ∈ z;
• moyil va gorizontal assimotlar yo'q.

Teskari trigonometrik funktsiyalar Arksin, Arkkosinus, Arktanangen va Arkotangent. Ko'pincha "Ark" prefiksining sarlavhasi, teskari trigonometrik funktsiyalar mavjudligi sababli, teskari traigingik funktsiyalar arekulllar deyiladi .

1. Arxinus funktsiyasi: y \u003d a r s gont (x)

22-ta'rif.

Arksinus funktsiyasi xususiyatlari:

• ushbu funktsiya g'alati, y (- x) \u003d - y (x);
• arksinus funktsiyasi x ∈ 0 da konkavga ega; 1 va x ∈ - 1; 0;
• idence punktlari koordinatalarga ega (0; 0), shuningdek nol funktsiyalar;
• asemptolar yo'q.

1. Arkkosinus funktsiyasi: y \u003d a r c cos (x)

23-ta'rif.

Arkkosinus funktsiyasining xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: x ∈ - 1; biri;
• qiymat maydoni: Y ∈ 0; p;
• ushbu funktsiya umumiy shakl (na g'alati);
• funktsiya ta'riflar sohasida pasaymoqda;
• arcsinusning vazifasi X ∈ 1 da konkavga ega; 0 va x ∈ 0 dagi konveks; biri;
• idence Statents 0; p 2;
• asemptolar yo'q.

1. Arctanangent funktsiyasi: y \u003d a r c t g (x)

3-ta'rif.

Arktlarens funktsiyasining xususiyatlari:

• ta'rif maydoni: X ∈ - ∞; + ∞;
• qadrlar oralig'i: Y ∈ - p 2; p 2;
• ushbu funktsiya g'alati, y (- x) \u003d - y (x);
• tekshirish sohasi davomida funktsiya ko'paymoqda;
• arctanangent funktsiyasi x ∈ (- ∞; 0) va x ∈ [0; + ∞ dagi konveksda konkavga ega;
• iprissiya nuqtasi koordinata (0; 0), shuningdek nol funktsiyalar;
• gorizontal asemptoRotlar - To'g'ri y \u003d - p 2-da → → va y \u003d p 2 at a-da (Arampotlar tasvirida yashil chiziqlar).

1. Arkkohangent funktsiyasi: y \u003d a r c c t g (x)

25-ta'rif.

ARKKHHANJIYAT FOYDALANISHI:

• ta'rif maydoni: X ∈ - ∞; + ∞;
• qiymatlar maydoni: Y ∈ (0; va p);
• ushbu funktsiya umumiy turdir;
• funktsiya ta'riflar sohasida pasaymoqda;
• aRCXHHHHHHHHXHT funktsiyasi x ∈ darajasida konkavga ega [0; + ∞) va x ∈ (- ∞; 0) dagi konvekslik;
• iprissiya nuqtasi 0 ga muvofiqdir; p 2;
• gorizontal asemptolar - To'g'ri y \u003d p i → ③ bor (chizmada - yashil chizig'i bilan) va y \u003d 0 da x → + 0 da.

Agar siz matnda xatoga duch kelsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter ni bosing

Funktsiya qurish

Sizning e'tiboringizga onlayn funktsiyalar jadvali, qaysi kompaniyalarga tegishli bo'lgan barcha huquqlarni qoldirish uchun xizmatni olib kelamiz Desmos.. Vazifalarni kiritish uchun chap ustundan foydalaning. Siz qo'lda deraza ostidagi virtual klaviatura yordamida qo'lda kiritishingiz mumkin. Jadval bilan derazani oshirish uchun chap ustunni va virtual klaviaturani yashirishingiz mumkin.

Onlayn qurilish jadvalining afzalliklari

• Kiritilgan funktsiyalarning vizual ko'rinishi
• Juda murakkab grafikalar qurish
• Noma'lum grafiklarning qurilishi (masalan, ellips x ^ 2/9 y ^ 2/16 \u003d 1)
• Grafiklarni tejash va Internetda hamma uchun mavjud bo'lgan havolalarni olish imkoniyati.
• O'lchovni boshqarish, chiziq rangi
• Grafikani nuqtalarda, konstantsiyalardan foydalanish qobiliyati
• Bir vaqtning o'zida bino bir vaqtning o'zida funktsiyalarning bir nechta grafikasi
• Polar koordinatalari tizimidagi grafikalar qurilishi (R va Th (\\ etadan foydalanish))

Turli xil murakkablikdagi grafikani qurish biz bilan oson. Bino darhol amalga oshiriladi. Xizmat vazifalarni hal qilishda vazifalarni hal qilishda funktsiyalarning funktsiyalarining xatti-harakatlarining xatti-harakatlarining xatti-harakatlarining xatti-harakatlarini tahlil qilish uchun funktsiyalar kesish joylarini topish uchun talabga ega. Ushbu sahifada jadvallar bilan ishlash uchun optimal brauzer Gugl xrom.. Boshqa brauzerlardan foydalanganda, ishning to'g'riligi kafolatlanmaydi.

Funktsiya grafik - bu koordinata tekisligida ba'zi funktsiyaning xatti-harakati. Grafiklar funktsiya bilan belgilab bo'lmaydigan funktsiyaning turli jihatlarini tushunishga yordam beradi. Siz ko'plab funktsiyalarning grafikasini qurishingiz mumkin va ularning har biri ma'lum formulalar tomonidan belgilanadi. Har qanday funktsiya jadvali ma'lum bir algoritmga asoslangan (agar siz ma'lum bir funktsiyani qurishning aniq jarayonini unutgan bo'lsangiz).

Qadamlar

Chiziqli funktsiyalarni qurish

Funktsiya chiziqli ekanligini aniqlang. Chiziqli funktsiya shakli formulasi tomonidan berilgan F (x) \u003d k x + b (\\ displeystle f (x) \u003d kx + b) yoki y \u003d k x + b (\\ displeystle y \u003d kx + b) (Masalan,) va uning jadvali to'g'ri chiziq. Shunday qilib, formulada bir o'zgaruvchan va bitta doimiy (doimiy), hech qanday daraja, ildiz belgilari va shunga o'xshash narsalarsiz kiradi. Agar funktsiya shunga o'xshash turlarga berilsa, bunday funktsiyaning grafikasini qurish juda oddiy. Bu erda chiziqli funktsiyalarning boshqa namunalari:

Y o'qi nuqtasini belgilash uchun doimiy foydalaning. Dukkakli (b) grafikning kesishatib, y. Ya'ni, ya'ni, bu 0, shu nuqta, shuning uchun agar formulada x \u003d 0, keyin y \u003d b (doimiy). Bizning misolda y \u003d 2 x + 5 (\\ displeystle y \u003d 2x + 5) Doimiy 5, ya'ni y o'qi bilan kesish nuqtasi koordinatalarga ega (0,5). Ushbu nuqtani koordinata tekisligiga qo'llang.

Burchak koeffitsientini yo'naltiring. Bu o'zgaruvchan va ko'p sonli multiplikatorga teng. Bizning misolda y \u003d 2 x + 5 (\\ displeystle y \u003d 2x + 5) "X" o'zgaruvchisi bilan 2 ta mulki; Shunday qilib, burchak koeffitsienti - burchak koeffitsienti x o'qiga yo'naltirilgan burilish burchagini aniqlaydi, ya'ni burchak koeffitsienti shunchalik katta bo'lsa, funktsiya ortadi yoki kamayadi.

Burchak koeffitsientini kasr shaklida yozib oling. Burchak koeffitsienti moyillik burchagiga teng, ya'ni vertikal masofa (ikki nuqtada, to'g'ri chiziqning o'rtasida) gorizontal masofaga (bir xil nuqtalar o'rtasida) nisbati teng. Bizning misolda burchak koeffitsienti 2 ni e'lon qilishingiz mumkin, shunda siz vertikal masofa 2, gorizontal masofa 1. uni fraktsiya shaklida qayd etish: 2 1 (\\ displeystle (\\ frac (2) (1))).

• Agar burchak koeffitsienti salbiy bo'lsa, funktsiya pasayadi.

1. Y o'qi bilan to'g'ridan-to'g'ri kesishish nuqtai nazaridan vertikal va gorizontal masofada foydalanishning ikkinchi nuqtasini qo'llang. Chiziqli funktsiyaning grafigi ikki ochkoga o'rnatilishi mumkin. Bizning misolda, Y o'qi bilan kesish nuqtasi koordinatalarga ega (0,5); Shu paytdan boshlab 2 ta bo'linmaga o'ting, so'ngra 1 o'ng tomonga diviz. Nuqtani belgilang; Bu koordinatalarga ega bo'ladi (1.7). Endi siz to'g'ridan-to'g'ri sarflashingiz mumkin.

   Chiziq yordamida to'g'ridan-to'g'ri ikki nuqtaga suring. Xatolarning oldini olish uchun uchinchi fikrni toping, ammo ko'p hollarda jadval ikki ochkoga qurilishi mumkin. Shunday qilib, siz chiziqli funktsiyaning grafikasini qurdingiz.

   Koordinata tekisligida qo'llanmalar

   1. Funktsiyani aniqlang. Funktsiya F (x) sifatida ko'rsatilgan. "Y" o'zgaruvchisining barcha qiymatlari funktsiya qiymatlari funktsiyasi deb nomlanadi va "X" o'zgaruvchisining barcha qiymatlari dala ta'rifi hududi deb nomlanadi. Masalan, biz Y \u003d x + 2 funktsiyasini ko'rib chiqamiz, ya'ni f (x) \u003d x + 2.

      Perpendikulyar tekis chiziqlarni kesib oling. Gorizontal tekis - bu x vertikal tekis chiziq - bu o'q.

      Koordinatlarning o'qini belgilang. Teng segmentlarda har bir o'qda ziravorlar va ularni xiralashgan. Eksning kesish nuqtasi 0. X o'qi uchun: o'ngga (0 dan) ijobiy raqamlar qo'llaniladi va chap tomon salbiy. Y o'qi uchun: yuqori (0 dan) ijobiy raqamlar va salbiy pastki.

      "X" qiymatlarining qiymatlarini toping. F (x) \u003d x + 2 misolida. Ushbu formulada "Y" ning tegishli qiymatlarini hisoblash uchun "X" qiymatlari aniqlandi. Agar murakkab funktsiya berilsa, tenglamaning bir tomonida "y" ni aylantirib, soddalashtiring.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Bosqichlarni koordinata tekisligiga qo'llang. Har bir koordinatalar uchun quyidagilarni bajaring: X o'qiga tegishli qiymatni toping va vertikal chiziqni (nuqtalar) suring; Y o'qi va gorizontal chiziqni (nuqta chizig'ini) surish uchun tegishli qiymatni toping. Ikki nuqtaning kesishish nuqtasini ko'rsating; Shunday qilib, siz jadvalni ko'rsatdingiz.

      Nuqta chiziqlarini o'chirish. Grafikning barcha punktlarining koordinata tekisligiga murojaat qilgandan so'ng bajaring. Izoh: F (x) funktsiyasining grafikasi - to'g'ridan-to'g'ri, koordinatalar (0,0)) orqali (0,0)]; Draf (x) \u003d x + 2 - to'g'ridan-to'g'ri f (x) \u003d x, ammo ikki birlik bilan siljitilgan va shuning uchun koordinatalar (0,2) bilan harakatlanadi (dukulti 2).

   Murakkab funktsiyaning jadvalini yaratish

   Funktsiyaning nollarini toping. Vazifalardagi nollar - bu "x" o'zgaruvchisining qiymatlari, ya'ni, bu grafikning, ya'ni x grafikning kesish nuqtasi. Shuni yodda tutingki, nollar barcha funktsiyalar mavjud emas. Ammo bu har qanday funktsiyaning grafikasini qurish jarayonining birinchi bosqichi. Vazifalardagi nollarni topish, uni nolga tenglashtiring. Masalan:

   Gorizontal assimotlarni toping va baholang. Asmpottta to'g'ridan-to'g'ri, funktsiya grafigi yaqinlashmoqda, ammo hech qachon uni kesib o'tmaydi (ya'ni bu sohada, funktsiya, masalan, 0 ga teng). Asmpotomiya nuqta chizig'ini belgilaydi. Agar "X" o'zgaruvchisi denoterda bo'lsa (masalan, y \u003d 1 4 - x 2 (\\ displeystle y \u003d (\\ frac (1) (4-X ^ (2)))))), denominatorni nolga tenglashtiring va "x" ni toping. Olingan "x" o'zgaruvchisining olingan qiymatlarida funktsiya aniqlanmaydi (bizning misolda, nuqta x \u003d 2 va x \u003d 2 orqali nuqta chiziqlarini suring), chunki 0-ni ajratib bo'lmaydi. Ammo assimottlar nafaqat funktsiyada kasr ifodasi bo'lgan hollarda mavjud. Shuning uchun, aql-idrokdan foydalanish tavsiya etiladi:

Bilim asosiy elementar funktsiyalar, ularning xususiyatlari va grafikasi Ko'payish jadvalini bilishdan ko'ra muhim emas. Ular poydevor sifatida, hamma narsalarga asoslanadi, ulardan hamma narsa quriladi va hamma narsa ularga tushadi.

Ushbu maqolada biz barcha asosiy elementar funktsiyalarni sanab o'tamiz, biz o'z jadvallarini beramiz va biz bermaymiz. asosiy elementar funktsiyalarning xususiyatlari Sxemaga muvofiq:

• ta'rif maydoni chegaralari, vertikal asemptolar (agar kerak bo'lsa, funktsiyalarni buzish punktlarining maqola tasnifiga qarang);
• tangri va g'alati;
• aniqlanishning intervallari (yuqoriga) va ya'ni (pastga) (agar kerak bo'lsa, funktsiyaning konveksuliga, gullitsiyaning yo'nalishi, gullitsiyaning holati, gullitsiyaning holati va infektsiyaning holati. );
• moyil va gorizontal assimotlar;
• funktsiyalarning maxsus xususiyatlari;
• ba'zi funktsiyalarning maxsus xususiyatlari (masalan, trigonometrik funktsiyalardagi eng kichik ijobiy davr).

Agar sizni qiziqtirsangiz yoki, siz nazariyaning ushbu bo'limlariga borishingiz mumkin.

Asosiy elementar xususiyatlar Bular: doimiy funktsiya (doimiy), ildiz, elektr funktsiyasi, indikativ, logarifmik funktsiya, trigonetik va teskari trigonometrik funktsiyalar.

Navigatsiya sahifasi.

Doimiy funktsiya.

Doimiy funktsiya barcha haqiqiy raqam bo'lgan formulalar to'plamiga o'rnatiladi. Doimiy funktsiya mustaqil o'zgaruvchining har bir haqiqiy qiymatiga mos keladigan x dolzarb y - qiymat bilan bir xil qiymatga ega. Doimiy funktsiya ham doimiy deb ataladi.

Doimiy funktsiyaning grafikasi begona, parallel o'qi, u koordinatalar (0, C) bilan o'tishdir. Masalan, biz y \u003d 5, y \u003d -2 va Quyidagi rasmda, qora, qizil va ko'k rangli chiziqlar mos ravishda mos ravishda mos keladi.

Doimiy funktsiyaning xususiyatlari.

• Ta'rif maydoni: barcha haqiqiy raqamlar.
• Doimiy funktsiya ham.
• Qadrlar oralig'i: bitta raqamdan iborat to'plam.
• Doimiy funktsiya yutqazish va bo'lmaslik (doimiy).
• Kattalashtirish va farqlash haqida gapirish mantiqiy.
• Asemptot emas.
• Funktsiya koordinata tekisligidan (0, C) o'tadi.

Ni darajali ildiz.

Bu erda N formulasi tomonidan belgilanadigan asosiy elementar funktsiyani ko'rib chiqing, unda n tabiiy raqam, ko'proq bo'linmalar.

Ni-darajali ildiz, n juftlik.

Keling, ildizning ildiz indikatorining hatto qadriyatlari bilan boshlaylik.

Masalan, biz rasm grafiklariga rasm chizamiz Va ular qora, qizil va ko'k chiziqlarga mos keladi.

Shunga o'xshash turlar indikatorning boshqa qadriyatlari bo'yicha teng darajada ilmiy darajaning funktsiyalari mavjud.

Xususiyatlar funktsiyasi Hatto N bo'yicha N.

Ni-darajali ildiz, n toq son.

Teng ildiz indikatori bilan N 1 darajasining funktsiyasi n haqiqiy raqamlar to'plamida aniqlanadi. Masalan, funktsiyalar grafikasini bering Va ular qora, qizil va ko'k chiziqlarga to'g'ri keladi.

Grafika ildiz tezligining boshqa toq qiymatlari bilan, funktsiyalar shunga o'xshash ko'rinishga ega bo'ladi.

Xususiyatlar funktsiyasi toq n bilan N-darajali ildiz.

Quvvat funktsiyasi.

Quvvat funktsiyasi shakli formulasi bilan belgilanadi.

Ilmiy qiymatiga qarab quvvat funktsiyasining va quvvat funktsiyasining xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Keling, butun indikator bilan quvvat funktsiyasidan boshlaylik. Bunday holda, quvvat funktsiyalari va funktsiyalarning xususiyatlarining turi va funktsiyalarning xususiyatlari indikatorning tengligiga yoki uning belgisidan bog'liq. Shuning uchun, biz avvalo a indikatsiyaning murakkab ijobiy qiymatlari bo'yicha, bundan keyin ham ijobiy, toq salbiy ko'rsatkichlar bilan bajaramiz va nihoyat, hatto salbiy a.

Quvvat funktsiyalarining fraktsion va irratsional ko'rsatkichlar bilan (shuningdek, bunday quvvat funktsiyalarining grafikasi shakli) indikatorning qiymatiga bog'liq. Avval biz noldan birgacha, ikkinchidan, ikkinchidan, uchinchidan, minus birliklari bilan, to'rtinchidan, to'rtinchi, kichik bir ozroq minus bilan hisobga olinamiz.

Ushbu mahsulotni rasmning to'liqligi uchun xulosa qilishda biz quvvat funktsiyasini nol bilan tavsiflaymiz.

Quvvat funktsiyasi toq ijobiy ko'rsatkich bilan ishlaydi.

Quvvat funktsiyasini toq ijobiy ko'rsatkich bilan, ya'ni a \u003d 1,3,5, ....

Quyidagi rasmda quvurlar quvurlari - qora chiziq, ko'k liniya, - qizil chiziq yashil chiziq. A \u003d 1 bizda bor chiziqli funktsiya y \u003d x.

Toq ijobiy ko'rsatkich bilan quvvat funktsiyasining xususiyatlari.

Quvvat funktsiyasi, hatto ijobiy ko'rsatkich bilan.

Quvvat funktsiyasini hatto ijobiy ko'rsatkich bilan, ya'ni a \u003d 2,4,6, ....

Bunga misol sifatida biz quvvat funktsiyalari - qora chiziq, - ko'k chiziq, - qizil chiziqni beramiz. A \u003d 2 da bizda kvadratik funktsiya bor, uning grafigi kvadrat parabala.

Quvvat funktsiyalarining xususiyatlari hatto ijobiy ko'rsatkich bilan.

Toq salbiy ko'rsatkich bilan quvvat funktsiyasi.

Kuchli funktsiyaning mosligi, ya'ni va \u003d -1, -5, -5, qachon bo'lganida kuchli funktsiyaning grafiklariga qarang ...

Rasmda elektr funktsiyalarining grafikasi misollar sifatida ko'rsatilgan - qora chiziq - ko'k chiziq - ko'k chiziq, - qizil chiziq, - yashil chiziq. Qachon va \u003d -1 bor teskari mutanosiblikkimning grafigi giperabya.

Toq salbiy ko'rsatkich bilan quvvat funktsiyasining xususiyatlari.

Quvvat funktsiyasi hatto salbiy ko'rsatkich bilan.

Keling, A \u003d -2, -4, -6-da quvvat funktsiyasiga murojaat qilaylik ...

Rasmda quvvat funktsiyalarining grafikasi - qora chiziq - ko'k liniya, - qizil chiziq ko'rsatilgan.

Hatto salbiy ko'rsatkich bilan quvvat funktsiyalarining xususiyatlari.

Quvvat funktsiyasi oqilona yoki irratsional ko'rsatkich bilan, uning qiymati noldan katta va undan kamroq bo'lgan.

Eslatma! Agar g'alati denominator bilan ijobiy kasr bo'lsa, unda ba'zi mualliflar intervalning kuchini aniqlash sohasini hisobga olishadi. Shu bilan birga, ular a belgisining ko'rsatkichi bo'lganligi haqida muzokara olib borishadi. Endi algebradagi ko'plab darsliklar mualliflari va tahlil printsipi bu dalil bilan quvvat funktsiyalarini indikator bilan tortishishning salbiy ko'rsatkichlari bilan fraktsiya shaklida aniqlamaydi. Biz shunga o'xshash ko'rinishga ega bo'lamiz, ya'ni biz kuch funktsiyalarini aniqlash darajasini aniqlash bo'yicha sohalarni hisobga olish uchun sohalarni aniqlash sohasidagi faoliyatni ko'rib chiqamiz. Biz talabalarga kelishmovchiliklardan qochish uchun o'qituvchingizning ko'rinishini bilib olishni maslahat beramiz.

A kuch funktsiyasini A va A ning aqlli ko'rsatkichi bilan va.

Biz A \u003d 11/12 (qora chiziq) va \u003d 5/7 (qizil liniya), va \u003d 2/5 (yashil chiziq) dagi quvvat funktsiyalarini taklif qilamiz.

Quvvat funktsiyasi, oqilona yoki irratsional ko'rsatkich, katta bo'linmalar bilan ishlaydi.

A va irqiy bo'lmagan indikator bilan quvvat funktsiyasini a va.

Biz formulalar tomonidan belgilangan quvvat funktsiyalarini taklif qilamiz (Quyida qora, qizil, ko'k va yashil chiziqlar).

>

Ilmiy darajasi bo'yicha boshqa qiymatlar bilan funktsiyaning grafikasi shunga o'xshash ko'rinishga ega bo'ladi.

Quvvat funktsiyalarining xususiyatlari.

Quvvat funktsiyasi to'g'ri ko'rsatkichi, bu esa minusroq va noldan kam bo'lgan.

Eslatma! Agar g'alati denominator bilan salbiy ulush bo'lsa, unda ba'zi mualliflar intervalning kuchini aniqlash sohasini hisobga olishadi . Shu bilan birga, ular a belgisining ko'rsatkichi bo'lganligi haqida muzokara olib borishadi. Endi algebradagi ko'plab darsliklar mualliflari va tahlil printsipi bu dalil bilan quvvat funktsiyalarini indikator bilan tortishishning salbiy ko'rsatkichlari bilan fraktsiya shaklida aniqlamaydi. Biz shunchaki shunday ko'rinishga ega bo'lamiz, ya'ni biz mos ravishda darajadagi darajadagi fraktsiya salbiy ko'rsatkichlar bilan quvvat funktsiyalarini aniqlash uchun sohalarni ko'rib chiqamiz. Biz talabalarga kelishmovchiliklardan qochish uchun o'qituvchingizning ko'rinishini bilib olishni maslahat beramiz.

KGodnikiga boring.

Elektr funktsiyalarining yaxshi shakllarini oldini olish uchun biz funktsiyalarning grafiklariga (quyida qora, ko'k va yashil chiziqlar) misol keltiramiz.

Quvvat funktsiyasining AIV indikatori bilan

Kuchsiz ko'rsatkichi bilan kuchli funktsiya, bu minusdan kam.

Biz qachon quvvat funktsiyalarining grafiklariga misollar keltiramiz Ular tegishli ravishda qora, qizil, ko'k va yashil chiziqlar tasvirlangan.

Quvvat funktsiyasining xususiyatlari maqsadsiz salbiy ko'rsatkich bilan, kamroq minus.

A \u003d 0 va bizda funktsiya mavjud bo'lsa, bu to'g'ridan-to'g'ri chiqariladi (0; 1) (0 0 iborasi), hech qanday ahamiyatga ega emas edi.

Eksponent funktsiyasi.

Asosiy elementar funktsiyalardan biri bu ko'rsatkich.

Ushbu funktsiyaning grafikasi, u bazaning narxiga qarab boshqa shaklga ega bo'lgan joyda. Biz buni unda baholaymiz.

Birinchidan, ushbu funktsiyaning asosi qiymati noldan birgacha qiymatni amalga oshirganda, ishni ko'rib chiqing, ya'ni

Masalan, biz A \u003d 1/2 da indikatsion funktsiyaning grafikasini beramiz - ko'k liniya, A \u003d 5/6 - qizil chiziq. Shunga o'xshash turlar boshqa asosiy qiymatlar bilan boshqa asosiy qiymatlar bilan grafikalar mavjud.

Kichikroq birlikka asoslangan indikativ funktsiyaning xususiyatlari.

Ushbu funktsiyaning asosi birlikdan kattaroq bo'lganda, ish joyiga boring, ya'ni

Ushbu rasm sifatida biz indikatsion funktsiyalar - ko'k chiziq va qizil chiziqni beramiz. Bazaning boshqa qiymatlari bilan, katta qismlar, indikatsion funktsiyaning grafikasi shunga o'xshash ko'rinishga ega bo'ladi.

Katta birlik asosida indikativ funktsiyaning xususiyatlari.

Logarifmik funktsiya.

Keyingi asosiy elementar funktsiya - bu logarifmik funksiya, u erda,. Logarifmik funksiya faqat dalilning ijobiy qadriyatlari uchun belgilanadi, ya'ni qachon.

Logarifmik funktsiyalar bazaning narxiga qarab har xil shaklni oladi.

Keling, ish boshlaylik.

Masalan, A \u003d 1/2 - ko'k liniya, A \u003d 5/6 - qizil liniyadagi grafikani bering. Bir qismlardan oshmaydigan boshqa asosiy qiymatlar bilan logarifmik funktsiyalarning grafikasi shunga o'xshash ko'rinishga ega bo'ladi.

Kichik birlik bazasi bilan logarifmik funktsiyaning xususiyatlari.

Kogaritmik funktsiyaning asosi bir nechta () dan katta bo'lgan taqdirda ishlashga qaytamiz.

Keling, logarifmik funktsiyalar - ko'k chiziq, - qizil chiziqni ko'rsatamiz. Bazaning boshqa qiymatlari bilan katta qismlar, logarifmik funktsiyalarning grafikasi shunga o'xshash ko'rinishga ega bo'ladi.

Katta blok asosida logarifmik funktsiyaning xususiyatlari.

Trigonometrik funktsiyalar, ularning xususiyatlari va grafikasi.

Barcha trigonometrik funktsiyalar (sinus, kosin, tangens va katangenlar) asosiy elementar funktsiyalarga murojaat qiladi. Endi biz ularning grafikasi va xususiyatlarini ro'yxatga olamiz.

Tragonometrik funktsiyalar tug'ilish kontseptsiyasi davriylik (Vazifalar funktsiyalarining funktsiyalarini har xil qiymatlar bilan takrorlash, bir-biridan bir-biridan ma'lum bir muddatga farq qiladi bu davr - bu davr - bu trigonometrik funktsiyalarning xususiyatlari ro'yxatiga qo'shilgan mahsulot "Eng kichik ijobiy davr". Shuningdek, har bir trigonometrik funktsiya uchun biz tegishli funktsiya nolga tenglashtirilganligining qadriyatlarini ko'rsatamiz.

Endi biz barcha trigonometrik funktsiyalar bilan shug'ullanamiz.

Sinus Y \u003d Gal (x) funktsiyasi.

Men Sinus funktsiyasini tasvirlayman, u "Sinusoid" deb nomlanadi.

Xususiyatlar funktsiyasi Sinus Y \u003d Sinx.

Y \u003d cos (x) kosinik funktsiyasi.

Kosin funktsiyasining grafikasi (u "Kosinida" deb nomlanadi) Shaklga ega:

Xususiyatlar funktsiyasi kosine y \u003d cosx.

Tangent funktsiyasi y \u003d tg (x).

Tangens funktsiyasining jadvali (u "tangsoid" deb nomlanadi) Shaklga ega:

Tangent funktsiyasining xususiyatlari y \u003d tgx.

Kotangent funktsiyasi y \u003d ctg (x).

Men Kotangent funktsiyasining jadvalini tasvirlayman (u "KXHANGGHANDOLOD" deb nomlanadi):

Cotangent Y \u003d CTGX funktsiyasining xususiyatlari.

Teskari trigonometrik funktsiyalar, ularning xususiyatlari va grafikasi.

Teskari trigonometrik funktsiyalar (Arksinus, Arkskosinus, Arktrangent va Arkotanent) asosiy elementar funktsiyalardir. Ko'pincha "Ark" prefiksi tufayli tebranadigan trigonometrik funktsiyalar arekundlar deb ataladi. Endi biz ularning grafikasi va xususiyatlarini ro'yxatga olamiz.

Arxinus funktsiyasi y \u003d arcsin (x).

Men Arksinus funktsiyasining jadvalini tasvirlayman:

Arkhothangence Y \u003d ARCCTG (X) funktsiyasining xususiyatlari.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., dudnitsyn Yu.P. va boshqalar. Algebra va tahlilning boshlanishi: tadqiqotlar. 10-11 Cl uchun. Umumiy muassasalar.
• Foydali m.Ya. Boshlang'ich matematika qo'llanmasi.
• Novoselov S.I. Algebra va boshlang'ich funktsiyalar.
• Tulanov S.I. Boshlang'ich algebra. O'z-o'zini tarbiyalash uchun qo'llanma.