Matematika profil darajasida eGuring

Asar 19 vazifadan iborat.
1-qism:
Murakkablikning asosiy darajasining qisqacha munosabati bilan 8 vazifa.
2 qism:
4 ta vazifa qisqacha javob
Batafsil javob bilan 7 vazifa yuqori daraja Qiyinchiliklar.

Ishlash vaqti - 3 soat 55 daqiqa.

Ejish vazifalariga misollar

Imtihon vazifalarini matematikaga hal qilish.

O'z-o'zini hal qilish uchun:

1 kilovatt soat elektr energiyasi 1 rubl 80 tiyin.
1-noyabr kuni elektr energiyasi mamlakati 12625 kilovatt-soatni ko'rsatdi va 1 dekabrda 12802 kilovatt soatligi ko'rsatildi.
Noyabr oyi uchun elektr energiyasini to'lashingiz kerakmi?
Javobni rublda bering.

Xrvniening 1-bandida 3 rubl 70 tiyin turadi.
Dam olish qaydlari Grivniga rubl va 3 kg pomidor sotib olishdi 1 kg uchun 4 grivna narxida.
Ushbu xarid uchun qancha rubl kerak bo'ldi? Javob butun songacha.

Masha Yangi yil arafasida SMSlarni 16 ta do'stiga yubordi.
Bitta SMS xabarning narxi 1 rubl 30 tiyin. Hisobga xabar yuborishdan oldin, Masha 30 rubl bor edi.
Barcha xabarlarni yuborgandan so'ng Mashadan qancha rubl qoladi?

Maktabda uch marta sayyohlik chodirlari bor.
Nima eng kichik raqam Chodirlar sayohat qilishlari kerak, unda 20 kishi qaysi 20 kishi qatnashadi?

Novosibirsk-Krasnoyaroys poezd 15:20 da jo'nab, ertasi kuni soat 4:20 ga (Moskva vaqti) keladi.
Poyezd necha soat davom etadi?

Tenglamani hal qiling:

1 / cos 2 x + 3tgx - 5 \u003d 0

Ildizlarni ko'rsating
Segment (-P; P / 2).

Qaror:

1) Biz tenglamani shunday yozamiz:

(TG 2 x +1) + 3tgx - 5 \u003d 0

TG 2 X + 3tgx - 4 \u003d 0

tgx \u003d 1 yoki tgx \u003d -4.

Demak:

X \u003d n / 4 + PK yoki X \u003d -CARCTH4 + PK.

Segment (-p; p / 2)

Egalik qiladigan ildizlar -3p / 4, -ctg4, p / 4.

Javob: -3P / 4, -CARCG4, p / 4.

Bilasizmi nima?

Agar siz yoshingizni 7 ga ko'paytirsangiz, unda 1443 ga ko'paytirsangiz, natijangiz bir qatorda uch marta yozganingiz bo'ladi.

Biz salbiy raqamlarni tabiiy narsa bilan hisoblaymiz, ammo bu har doim ham emas edi. Birinchi marta salbiy raqamlar XII asrda ham qonuniylashtirildi, ammo ular odatdagidek, ular hisoblab chiqilganidek, faqat alohida holatlar uchun ishlatilgan. Biroz vaqt o'tgach, Hindistonda qarzlarni belgilash uchun salbiy raqamlardan foydalanila boshlandi, ammo biz G'arbga mos kelmadik - taniqli Deofant Aleksandriya tenglama 4x + 20 \u003d 0 - bema'nilik.

Amerika matematikasi Jorj Djig, universitetda aspirant bo'lib, dars uchun kech bo'ldi va taxtaga yozilgan tenglamani qabul qildi uy vazifasi. Unga odatdagidek qiyin tuyuldi, ammo bir necha kundan keyin u buni amalga oshirishga muvaffaq bo'ldi. Ma'lum bo'lishicha, u ko'plab olimlar kurashayotgan statistikadagi ikkita muammoli muammolarni hal qildi.

Rus matematik adabiyotida nol tabiiy son, g'arbda, aksincha, turli xil tabiiy raqamlarga tegishli.

Biz tomonidan ishlatilgan o'nlik tizim Raqam 10 barmog'ingiz qo'lidagi odam tufayli paydo bo'ldi. Mavhum hisobvaraqning qobiliyati darhol emas, balki ball uchun foydalanish eng qulay bo'lgan. Mayada tsivilizatsiya va ulardan qat'i nazar Chukchi tarixiy ravishda yigirma raqamli tizimdan foydalangan, bu faqat qo'llarni, balki oyoqlarini ham qo'llaydi. Qadimgi Saerera va Bobilda uchraydigan o'n ikki va oltmish raqamli tizimlarning markazida qo'llardan foydalanish ham: bosh barmoqlarining bosh barmoqlarining boshini ko'targan, ularning soni 12 yoshda edi.

Bir tanish xonim Einshteynni unga qo'ng'iroq qilishni talab qildi, ammo uning telefon raqamini eslab qolish juda qiyin deb ogohlantirgan: - 24-361. Yodingizda bo'lyapsizmi? Takrorlang! Hayron qolgan Eynshteyn: - Albatta, men esladim! Ikki va 19 kvadrat.

Stefan Xoking eng katta nazariyotchilar va fanni ommalashtirish fiziklaridan biridir. O'zi haqida hikoya qilishda, u o'rta maktabdan beri matematika professori bo'lganligini aytib o'tdi. Hawking Oksfordda matematika o'qitishni boshlaganida, u ikki hafta davomida o'z talabalari oldida qo'llanmani o'qidi.

Rim raqamlari tomonidan yozilmasligi mumkin bo'lgan maksimal raqam (Rim raqamlari) - 3999 (MMMCMXCXIXX) - ketma-ket uchta raqam yozolmaydi.

Bir kishi o'zi bilan birga boshqa xizmatni quyidagicha taklif qilish haqida ko'plab masallar mavjud: shaxmat taxtasida bitta giyohvand moddani, ikkinchisida bittadan-ikki va undan ham yoqadi: har bir keyingi hujayra uchun avvalgidan ikki baravar ko'p. Natijada, shu tarzda to'laydigan kishi albatta buziladi. Bu ajablanarli emas: taxmin qilingan umumiy og'irlik Guruch 460 milliard tonnadan ko'proq narsani tashkil etadi.

Ko'pgina manbalarda talabalarni kam sarflashga undash uchun, tasdiqlash maktab matematikasida yoki undan tashqari, Eynshteyn maktab matematikasida yoki barcha mavzularda yomon o'qiganligi aniqlandi. Aslida, hamma narsa haqiqat emas edi: Albert erta yoshida matematikadan chiqa boshladi va maktab dasturidan tashqarida ekanligini bilardi.

2020 matematika bo'yicha 19-matematika bo'yicha

Namoyish variantlar Matematika bo'yicha 2020

Matematikada 2020 pdf formatida Asosiy daraja | Profil darajasi

Matematikada imtihonga tayyorgarlik ko'rish bo'yicha vazifalar: javob va echimlar bilan asosiy va profil darajasi.

Matematika: Asosiy | Profil 1-12 | | | | | | | | Asosiy

Matematika bo'yicha 2020 yil

2020 matematika profilini matematika profiliga qarab 19-qaror

Matematikadan yasalgan

P soni 11 xil tabiiy raqamlarning mahsulotiga teng, katta 1.
Tabiiy bo'luvchilarning eng kichigi soni (birligi va raqami, shu jumladan) p-raqamga ega bo'lishi mumkin

Har qanday tabiiy son n ishni anglatadi:

N \u003d (p1 x k1) (p2 x ku2) ... va hk

Bu erda p1, p2 va boshqalar. - oddiy raqamlar,

K1, K2 va boshqalar. - salbiy bo'lmagan raqamlar.

Masalan:

15 = (3 1) (5 1)

72 \u003d 8 x 9 \u003d (2 x 3) (3 2)

Shunday qilib, tabiiy bo'luvchilarning umumiy soni n teng

(K1 + 1) (K2 + 1) ...

Shunday qilib, holat bo'yicha p \u003d n1 n2 ... n11, qaerda
N1 \u003d (p1 x k) (p2 x k) ...
N2 \u003d (p1 x k) (p2 x k) ...
...,
Va bu shuni anglatadiki
P \u003d (p1 x (k + k + ... + k)) (p2 x (k + k + ... + k)) ...

Va p raqamining tabiiy diverlarining umumiy soni tengdir

(K + k + ... + k + 1) (K + K + 1) ...

Ushbu ibora N1 raqamlari ... N11 raqamlari 1: n1 \u003d p, n2 \u003d p 2, ... n1 \u003d p 1 1.

Ya'ni, masalan,
N1 \u003d 2 1 \u003d 2,
N2 \u003d 2 2 \u003d 4,
N3 \u003d 2 3 \u003d 8,
...
N11 \u003d 2 1 1 \u003d 2048.

Keyin p raqamning tabiiy bo'luvchilari tengdir
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

Matematikadan yasalgan

Barcha tabiiy raqamlarni toping,
1 dan boshqa ikki o'zaro oddiy raqamlarning shaklida berilmaydi.

Qaror:

Har bir tabiiy sonda ham (2 k) yoki toq (2 k + 1) bo'lishi mumkin.

1. Agar raqam g'alati bo'lsa:
n \u003d 2 k + 1 \u003d (k) + (k + 1). S va K + 1 raqamlari har doim o'zaro sodda

(Agar d ning x va y bo'luvchi dumber bo'lsa, u | (k) \u003d 1, ya'ni 1 ga bo'linishi kerak , ya'ni D \u003d 1, va bu o'zaro soddalikning isboti)

Ya'ni, biz barcha toq sonli raqamlar ikki almashinuv summasi sifatida tasvirlanganligini isbotladik.
Shartdan tashqari istisnolar 1 va 3 raqami, 1-raqam, 3 \u003d 2 + 1 va Jihoz shart ostida jamg'arma mos emas deb topilmasin.

2. Agar raqam bo'lsa:
n \u003d 2 k
Bu erda ikkita holatni ko'rib chiqishingiz kerak:

2.1. K - hatto, i.e. K \u003d 2 m shakli vakili.
Keyin n \u003d 4 m \u003d (2 m + 1) + (2 m-1).
Raqamlar (2 m + 1) va (2 m-1) faqat raqam (2 m + 1) bo'linadi (2 m + 1) bo'linadi - 2. 2. 2 bo'linadi \u003d 2. 2 bo'linadi 1 va 2 ga.
Ammo agar bo'linma 2 bo'lsa, toq sonli 2 m + 1 bo'linishi kerak. Bu bo'lishi mumkin emas, shuning uchun u faqat 1 ga ega bo'lmaydi.

Shunday qilib, biz ikki yoki bir nechta 4) shaklning barcha qismlari sifatida ifodalanishi mumkinligini isbotladik.
Istisno mavjud - 4 raqami (m \u003d 1), garchi u 1 + 3 shaklida ifodalanishi mumkin, ammo jihoz biz uchun mos kelmaydi.

2.1. K g'alati, i.e. K \u003d 2 m-1 shakli bo'yicha vakil.
Keyin n \u003d 2 (2 m - 1) \u003d 4 m-2 \u003d (2 m-3) + (2 m + 1)
Raqamlar (2 m-3) va (2 m + 1) 4 raqami, yo 1 yoki 2 yoki 2-sonli, lekin 2-dan, lekin 2-sonli, lekin 2-raqam mos (2 m). + 1) - raqam g'alati va 2-songa bo'linmaydi.

Shunday qilib, biz 4 m-2 (ya'ni, barchasi 2 juft, ammo bir nechta emas), shuningdek, ikkita o'zaro sodda deb topilishi mumkinligini isbotladik.
Istisnolar mavjud - 2 (m \u003d 1) va 6 (m \u003d 2), bu bir-biridan bir-ikki kishiga teng bo'lgan atamalarga tegishli.

Uch xonim sonini misol keltiring, ularning soni 20 va raqamlarning kvadratlarining yig'indisi 3 ga bo'linadi, ammo 9 ga bo'linmaydi.

Qaror.

20 raqamini taniqli usullarga ajratish:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

1-4, 7 va 8 usullarning parchalanishi bilan raqamlarning soni uchdan oshmaydi. Beshinchi yo'lda parchalanishda, to'qqiztadan bir nechta kvadratlar yig'indisi. Oltinchi yo'lning dekompozitsiyasi vazifaning shartlarini qondiradi. Shunday qilib, muammoning holati 5, 7 va 8-raqam, masalan, 578 raqami bilan yozilgan har qanday raqamni qondiradi.

Javob: 578 | 587 | 758 | 785 | 857 | 875

Manba: Imtihonning demo-versiyasi - 2015 yil.

Taxminan to'rt xonali tabiiy sonni toping, ular 6 va 5 ga bo'linganda teng bo'lmagan qoldiqlar va ularning soni birinchi a aritmetik ikkita raqamni beradi. Bunga javoban, bunday raqamni ko'rsating.

Qaror.

Bo'lim davomida 5 va 6 ga teng bo'lsa, raqam 30 ga teng va beshtadan kam bo'lmagan. Shunday qilib, kerakli raqam forma bo'lishi mumkin:.

Da. Raqamlarning hech biri 400 dan oshmaydi

Bilan: 421, 422, 423, 424. birinchi chap raqam o'rtacha arifmetik ikkita raqam emas.

Athave: 451, 452, 453, 454. 453 raqami vazifaning barcha shartlarini qondiradi.

573 va 693 raqamli raqamlarga ham mos keladi.

Javob: 453,573, 693.

Javob: 453 | 573 | 693

To'rt raqamli raqamni toping, bir nechta 22, raqamlarning mahsuloti 24 ga teng. Bunga javoban har qanday raqamni ko'rsating.

Qaror.

ABCD soni 22 ga bo'linishi uchun uni 2 va 11 ga bo'linishi kerak. 24 raqamlar mahsuloti 24-sonli mahsulotni ko'p jihatdan ifodalashi mumkin, ularning asosi asarlar mavjud. 11 ga bo'linmaslik belgisi: Raqam 11 ga bo'linadi, agar hatto joylarda turadigan raqamlar summadagi raqamlar miqdoriga teng bo'lsa yoki undan 11 ga teng ». A + C \u003d B A + C \u003d B + D + 11 yoki A + C + 11 \u003d B + D. Bundan tashqari, raqam 2 ga bo'linadi, shunda u hatto bo'lishi kerak. Ko'rsatilgan xususiyatlarga ko'ra, siz quyidagi raqamlarni tanlashingiz mumkin: 4312, 2134, 1342, 3124

Awn: 2134 | 4312 | 1342 | 3124

Uch raqamli raqamni toping, ularning barcha raqamlari har xil va raqamlarning kvadratlari 3 ga bo'linadi, ammo u 9 ga bo'linmaydi, bunga javoban har qanday raqamni ko'rsating.

Qaror.

Shunday qilib, raqam 25 ga bo'linadi, u 00, 25, 50 yoki 75 ni tugatishi kerak. Bizning raqamimiz tugallanmaydi, chunki ularning barcha raqamlari boshqacha bo'lishi kerak. Biz 25, 50 yoki 75 bilan tugaydigan barcha uch xonamli raqamlarni ichamiz, ularning barcha raqamlari boshqacha bo'lgan barcha raqamlar, ularning raqamlarining kvadratlari yig'indisini topadi, agar u 3 va 9 ga bo'linadimi? "

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linadi, lekin bo'linmaydi 9. Bu kerakli raqam.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linadi, lekin bo'linmaydi 9. Bu kerakli raqam.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 va 9 ga bo'linadi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linadi, lekin bo'linmaydi 9. Bu kerakli raqam.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linadi, lekin bo'linmaydi 9. Bu kerakli raqam.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linadi, lekin bo'linmaydi 9. Bu kerakli raqam.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi.

O'rtacha umumiy ta'lim

Merzlyak chizig'i. Algebra va boshlashni tahlil qilish (10-11) (y)

Umk A. G. Merzlyak. Algebra va tahlil boshlanishi (10-11) (b)

Ukk g. K. Moravina liniyasi. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi (10-11) (ko'mir.)

AMK G.K chizig'i. Muravina, K. Maravina, O.V. Kuchli. Algebra va matematik tahlilni boshladi (10-11) (Asoslar)

Mee-2018 matematikaga, asosiy darajadagi: 19-vazifa

Biz sizning e'tiboringizni 19 eje-ning vazifalari 2018 matematikadan. Maqolada batafsil tahlil Vazifalar, eegga tayyorgarlik ko'rish uchun dolzarb qo'llanmalar va avvalroq nashr etilgan matematikadagi materiallarni tanlab olish uchun vazifalar, algoritm.

Matematika: Algebra va matematik tahlilni boshladi. Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 11-sinf. Asosiy darajasi

Darslik mavzu bo'yicha fanni o'rganadigan 10-11 sinflar uchun matematikadagi CMD-ga kiritilgan asosiy daraja. Nazariy moddalar majburiy va qo'shimchalarga bo'linadi, vazifalar tizimi murakkablik darajasi, har bir bob, har bir vazifa va har bir bob. Darslik loyihaviy mavzularni o'z ichiga oladi va Internet manbalariga havola qildi.

19-vazifa.

Kengashda 40 dan oshiq, ammo 48 dan kam sonli butun sonlar yozilgan. Ushbu raqamlarning arifmetik o'rtacha darajasi - barcha pozitsiyaning arifmetik o'rtacha darajasi 4, va barchasi salbiyning arifmetik o'rtacha ko'rsatkichidir.

a) Kengashda nechta raqamlar yozilganmi?

b) Qaysi raqamlar ko'proq yozilgan: ijobiy yoki salbiymi?

qaysi eng katta raqam Ijobiy raqamlar ular orasida bo'lishi mumkinmi?

Qaror

A) Ularni yozma raqamlar qatoriga kiritsin

x. - Ijobiy

y. Salbiy

z. - Zerul

Keyin bizda bor

• ijobiy sonlarning miqdori 4 ga teng x.
• salbiy raqamlarning yig'indisi -8 y.
• 4 soniya sonining yig'indisi 4 x. + (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.)

4(x. – 2y. + 0z.) = –3(x. + y. + z.)

Chunki Bo'yoq 4 ta tenglikning chap qismi, tenglikning o'ng qismi 4 dan oshishi kerak

x. + y. + z.(Raqamlar soni) bir nechta.

40 < X. + y. + z.< 48,

x. + y. + z.= 44

Shunday qilib, boshqaruvda 44 raqami yozilgan.

B) tenglikni ko'rib chiqing x. + (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.)

4x.– 8y.= – 3x.– 3y.– 3z.

4x. + 3x. + 3z. = 8y. – 3y.

7x. + 3z. = 5y.

Bu yerdan biz olamiz, chunki z ≥ 0 (ketma-ket nollar soni)

7x. < 5y.

x. < y.

Shuning uchun ijobiy raqamlar salbiy emas.

C) Chunki x. + y. + z. \u003d 44, biz ushbu qiymatni tenglik bilan almashtiramiz x.+ (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.),

4x.– 8y. \u003d (-3 · 44) / 4

x -2y. = –33

x. = 2y. – 33

Buni hisobga olgan holda x. + y. + z. \u003d 44, bizda bor x. + y. ≤ 44, zaxira x. = 2y. - 33 Ushbu tengsizlikda

2y. – 33 +y.≤ 44

3y. ≤ 77

y.≤ 25	2
	3

y.Shuni ko'rsatgan ≤ 25 x. = 2y. - 33 oling x. ≤ 17.

MatematikaMathVIDVIDVIDVIDVIDOKOKOKOKOKOKOQADI.MOY.SU

2 va 4-ga ajratish belgilari:

Agar u hatto tugash bo'lsa, raqam 2 ga bo'linadi
Rasm yoki nol.
2346 va 3650 raqamlari 2. 4521 raqamiga bo'linadi
U 2 ga bo'lingan.
Agar ikkalasi oxirgi bo'lsa, raqam 4 ga bo'linadi
nol raqamlari yoki raqamni 4 ga bo'linadi

31700 va 16608 raqamlari - 215634 yil
U 4 ga bo'lingan.

3 va 9-dan ajratish belgilari:

Faqat miqdoridagi raqamlar
Raqamlar 3 ga bo'linadi.
Raqamlari 17835 va 5472 - 3. 105499 raqamiga bo'linadi - yo'q
U 3 ga bo'lingan.
Faqatgina bu raqamlar
Raqamlar 9 ga bo'linadi.
Raqamlari 2376 va 342000 raqami - 106499 raqamiga bo'linadi - yo'q
U 9 \u200b\u200bga bo'lingan.

8 va 6-yillarda bo'linma belgilari:

Agar oxirgi uchta raqam bo'lsa, raqam 8 ga bo'linadi
nol yoki shaklda 8. ga bo'lingan raqam
Boshqa holatlar - bo'linmaydi.
Raqamlari 125000 va 111120 raqami 170004 raqamiga bo'linadi
124300 - 8 ga bo'linmaydi.
Agar bir vaqtning o'zida bo'lingan bo'lsa, raqam 6 ga bo'linadi
2 va ikkinchisiga 3. aks holda u bo'linmaydi.
Raqamlar 126 va 254610 raqamli - 3585 va 6574 raqamlari 6 ga bo'linmaydi.

5 va 25 ga ajratish belgilari:

5 raqamlarga bo'linadi, ularning oxirgi raqami 0
yoki 5. boshqalar - baham ko'rmang.
245 va 56780 raqamlari - 451 va 678 raqamiga bo'linadi - emas
5 ga bo'linadi.
25 raqamlarga bo'lingan, oxirgi ikki raqam
nollar yoki 25 ga bo'lingan raqam (i.e.)
00, 25, 50 yoki 75 da tugaydigan raqamlar). Boshqalar
Umumiy baham ko'rmang.
7150 va 345600 raqamlari 25 ga bo'linadi. 56755 raqami - emas
Bu 25 ga bo'linadi.

10, 100 va 1000 gacha bo'linma belgilari:

Faqat bu raqamlar, oxirgi raqam 10 da bo'linadi
har 100 - faqat bu raqamlar
1000 - faqat bular nolning oxirgi ikki raqami
bu Narosning uchta oxirgi raqami.
34680 raqami 10. 5600 raqamiga bo'linadi
100 va 10. 87549000 raqami 10, 100 va 1000 ga bo'linadi.
Raqamlari 75864, 7776539 va 9864032 - 10, 100 ni ajratmang
1000.

11-ga ajratish belgisi:

Faqat raqamlar miqdorini faqat raqamlar bor,
g'alati joylarni egallash yoki raqamlar miqdoriga teng
ishg'olni o'z ichiga olgan yoki undan raqamga qarab farq qiladi,
11 ga bo'linadi.
103785 raqami 11 ga bo'linadi, chunki ishchilar soni
g'alati joylar, 1 + 3 + 8 \u003d 12 hatto ishg'ol qiladigan raqamlar miqdoriga teng
Joylar 0 + 7 + 5 \u003d 12.
9163627 raqami 11 ga bo'linadi, chunki ular ishg'ol qiladigan raqamlar soni
g'alati joylar, 9 + 6 + 6 + 78 va 28 va raqamlarni egallagan raqamlar soni mavjud
Hatto joylar ham, 1 + 3 +2 \u003d 6; 28 va 6 raqamlar o'rtasidagi farq
22 va bu raqam 11 ga bo'linadi.
461025 raqami 11+ + 1 + 2 \u003d 7 va b +0 + raqamiga bo'linmaydi
5 \u003d 11 bir-biriga teng emas va ularning farqi 11 -7 \u003d 4 11 ga bo'linmaydi.

Boshlash uchun, misolni ko'rib chiqing - muammoni hal qilish 19. (Ushbu mavzu bo'yicha) butun son ) - Kim Real 2015 yil. Yillar, erta davr, asosiy daraja. (Uning nazariyasi - ajralish belgilari - quyida.)

19-vazifa.

Rasm 181615121 uchta raqamni 12 ga bo'linadi, bunda natijada bunday raqamni ko'rsating.

Qaror.

Biz bo'luvchilarni - oddiy omillar bo'yicha 12 raqamini e'lon qilamiz. 12 \u003d 3 × 4 \u003d 3 × 2 × 2.
Shuning uchun, raqamlarni kesib o'tgan raqamni 3 va 4 yoki 2 ga bo'linishi kerak, yana 2 ga va nihoyat 3 ga bo'linadi.
2-daqiqada hatto birdaniga oxirida 1 raqamlar mavjud. Bu 18161512 bo'lib qoladi.
Ammo biz buni ikki marta baham ko'rishimiz kerak, i.e. 4-da almashildi.
Buning uchun 4-chi qismga ajratish belgisi, bu 4-raqamli ikki raqamli raqamga bo'linishi kerak. 12 : 4 \u003d 3, shuning uchun 18161512 raqamining oxirgi soni o'chirilmaydi. Ular 4 ta bo'lim bo'linishiga kafolat berishadi (ikkala buramada ham).
Shunday qilib, raqam 3 ga teng ekanligi, uning raqamlari summasi 3 da taqsimlanishi kerak.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 \u003d 3 × 8 + 1 - Siz birliklardan birini o'chirib tashlashingiz mumkin, ammo vazifa holatida siz yana ikkita raqamni urishingiz kerak;
25 \u003d 3 × 7 + 4 - yo'q qilish uchun ikkita raqam yo'q, ularning yig'indisi 4, chunki 1 va 2 oxirgi raqamlarga tegib bo'lmaydi;
25 \u003d 3 × 6 + 7 - Agar siz 6 ku va boshqa birortani chizsangiz, agar siz oxirgilardan boshqa birortasini chizsangiz, 7 bo'ladi.
Shunday qilib, mumkin javoblar: 811512 yoki 181512. Biz ulardan birini, masalan, tanlaymiz

Javob: 181512.

Sharh: Haqiqiy imtihonda, ustunda bo'linishingizga javobingizni tekshiring.

Kimdir bunday oddiy omillar va oddiy omillarga qanday qo'yish kerakligini shubha ostiga qo'yishi mumkinmi?
Oddiy omillar boshqa bo'linmasin. Oddiy raqamlar faqat o'z-o'zidan bo'linadi, masalan, 13: 1 \u003d 13 yoki 13:13 \u003d 1 va bu. Va uni asta-sekin yotqizish.
Masalan, 60 \u003d 6 × 10, 6 \u003d 2 × 3 va 10 \u003d 2 × 5, bu 60 \u003d 2 × 2 × 5 ni anglatadi.

Bunday vazifalarni hal qilish uchun siz teoremalar - tabiiy sonlarning ajralmasligini bilish belgilari kerak. Belgilarni qanchalik ko'p bilsangiz, tezroq siz vazifani hal qilasiz. Asosiylarini takrorlang.

Tabiiy sonlarning ajralish belgilari

Insoniyat oddiy va o'nlik kasrlarni ixtiro qilganligi sababli, biz bo'linish operatsiyasini har qanday qiymatga qo'llashimiz mumkin. Biroq, tushuncha raqamlarning divi Odatda tabiiy sonlar to'plamida ko'rib chiqiladi. "Raqam bo'linadi" deb aytganda, biz bo'linish qoldiq va bo'linish natijasi ham tabiiy sonni anglatadi.

Bo'linish belgisi 2 ga.

2-da boshqa barcha raqamlar bilan bo'linadi. Biz ularni yoshroq deb ataydigan narsamiz.

Agar uning oxirgi raqami 2-ga bo'lingan bo'lsa, raqam ikkiga bo'linadi va men.e. 2, 4, 6, 8, 0.

Bo'linma belgisi 3 ga.

Tabiiy son uchtaga bo'linadi va agar uning soni 3 ga bo'linsa, va faqat 3 ga bo'linadi.

Masalan, 4539861 3 ga bo'lingan, chunki 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 1 \u003d 36. 36 raqami 3 ga bo'linadi.
Masalan, 394762 3 ga bo'linmaydi, chunki 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. 31 raqami 3 ga bo'linmaydi.
Sevimli kalkulyatoringiz bilan tekshirishingiz mumkin
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Agar raqamlar miqdori ko'p miqdorda bo'lgan bo'lsa, uning bo'linishi bir xil xususiyat bilan tekshirilishi mumkin.
Masalan, 1653947861717784079 3 ga bo'lingan, chunki 1 + 6 6 5 + 9 + 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 7 + 91. 111 3 ga bo'lingan, chunki 1 + 1 + 1 \u003d 3. 3 raqami 3 ga bo'linadi.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

Ajratish belgisi 4 ga.

Kamida uchta raqamni o'z ichiga olgan tabiiy miqdor 4 raqamli raqam tomonidan shakllangan 4 raqamli raqamga bo'lingan bo'lsa, 4 ta raqamga bo'linadi va faqat 4 raqamli raqamga bo'linadi.

Bo'linishni 4 ta raqamga qarab tekshirish uchun, biz 4 \u003d 2 × 2, i.e. 4-da bo'lingan holda, birinchidan, birinchidan, ikki xonali sonni ikki marta ajratib turadigan bir xil narsa, ikkinchidan, 2-chi sonni ajratish juda oson va natijada ham bo'lishi kerakmi yoki yo'qligini ko'ring raqam. Masalan,

5773211789020783 4 ga bo'linmaydi, chunki 83 2 ga bo'linmaydi.
4920904953478666 4 ga bo'linmaydi, chunki 66. : 2 \u003d 33 - toq son.
589759234894096 4 ga bo'linadi, chunki 96. : 2 \u003d 48 - puxta raqam.

Ushbu xususiyatning bajarilishini tasdiqlovchi hujjat 100 va ko'rsatilgan teorema miqdorida ko'rsatilgan qismga asoslangan. Bu erda biz foydalanishning ushbu vazifasidan misol haqida tushuntirishni ko'rib chiqamiz.
18161512 \u003d 18161500 + 100 + 181615 × 251615 × 251615 × 25 × 2 × 25 + 3) × 4.
Qavs ichida tabiiy sonni olishni anglatadi, bu dastlabki raqamni qoldiqsiz 4 ga bo'lish mumkinligini anglatadi.

5 ga ajratishning belgisi.

Agar oxirgi raqam 5 yoki 0 bo'lsa, raqam 5 ga bo'linadi.

6-ga ajratish belgisi Odatda teorema sifatida shakllanmagan. 6 \u003d 2 × 3, keyin ketma-ket ishlatilgan namunalar 2 va 3-ga ishlatiladi. Shunday qilib, u 6 qismga, ularning soni 3 ga bo'linadi.
629 - 6 ga bo'linmaydi.
692 - 6 ga bo'linmaydi, bu esa 6 + 9 + 2 \u003d 17 3 ga bo'linmaydi.
792 - bu 6 ga bo'linadi, bu shuningdek, 7 + 9 + 2 \u003d 3 ga bo'linadi.

8-daqiqada ajratish belgisi Shuningdek, u teorema sifatida shakllanmagan.
8 \u003d 2 × 4 va 250 × 4, shuning uchun 1000 dan ortiq raqamlar uchun 1 ta raqamdan iborat bo'lgan, 8 ta raqamni ajratish, 1000 dan kam raqamlar uchun ajratilgan. (uch xonali), ketma-ket 2 ga bo'linadi va bo'linma asosida olingan natijani tasdiqlang. Masalan,
58989081099472 - 872 yilda 8 ga bo'linadi : 2 \u003d 236 va 36 ga bo'lingan.

9 ga ajratish belgisi.

Tabiiy son 9 ga bo'linadi va faqat uning soni 9 ga bo'lingan bo'lsa.

Masalan, 4539861 9 ga bo'lingan, chunki 4 + 5 + 3 + 9 + 6 + 1 \u003d 36. 36 raqami 9 ga bo'linadi.
Masalan, 394762 9 ga bo'linmaydi, chunki 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. 31 raqami 9 ga bo'linmaydi.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

10 ga ajratish belgisi.

Tabiiy son 10 ga bo'linadi va faqat 0 raqami bo'lsa.

Ushbu xususiyat har qanday o'nlab darajaga qadar tarqalishi oson. So'nggi raqamlarning ikkitasi - 1000 ga, oxirida uchta nol va hokazo bo'lsa, raqam 100 ga bo'linadi.

Oson esda qolarli 7, 11, 13, 17-turdagi oddiy raqamlarga ajratish belgilari ..., Afsuski yo'q. EGE tashkilotchilari faqat bunday echimlarni ishlatishga qaratilgan vazifalarni bilishadi. Og'iz orqali, matematika, albatta, aniqlangan ba'zi bir raqamlarning ajralmas xususiyatlarini aniqlash va shakllantirishning uzoq tarixi uchun uzoq tarix uchun. Xushxabarni qiziqtirishi mumkin.

Men faqat boshqa 11 ga e'tibor berishni maslahat beraman. Agar u bir xil raqamlardan iborat bo'lsa, ikki raqamli raqam 11 ga bo'linganligi aniq. Agar uning o'rtacha raqami ikkita ekstrema summasiga teng bo'lsa, yoki birinchi va oxirgi raqamlarning yig'indisi o'rtacha narxga teng bo'lsa, 11 ga bo'linadi. Masalan, 495 yilga bo'linadi. 4 + 5 \u003d 9 va 957 yillar 11 ga bo'linadi, 9 + 7 \u003d 5 + 11.

Va yodlashda sakkqilar uchun ajratish belgilari Hojati yo'q. Kompozit raqamlari oddiy ko'payuvchilarga ajratish mumkin.

Ishning ajralishiga va tabiiy raqamlar yig'indisidagi teoremalar.

Agar ishda kamida bir omillardan biri ba'zi raqamlarga bo'linsa, unda kompozitsiya Bu bu raqamga bo'lingan.

Masalan, 475 × 1230 × 800 dan 3 gacha ikkiga bo'lingan, chunki ikkinchi omil 3-sonli, 1 + 2 + 3 + 0 \u003d 6 raqami 3 ga teng.

Agar har bir atama raqamga bo'linsa, unda so'm Bu bu raqamga bo'lingan.

Masalan, 475 + 1230 + 800 miqdori 5 ga bo'linadi, chunki har bir yara 5 tadan bo'linma belgisini qondiradi.

Miqdor bo'linishining teskari bayoni to'g'ri emas. Agar har bir xulosa bo'lsa, biron bir raqamga bo'linmasa, unda ikkiga bo'lingan va u bo'linmasligida ham variantlar uchun mumkin bo'lgan narsalar uchun mumkin.
43 5, 17 ga bo'linmaydi 5, 43 + 17 \u003d 60 5 ga bo'linadi.

Ishning ajralmasligining teskari bayonoti faqat bo'linma parchalanishidan keyingina oddiy yaxshiliklarga ajratilgandan keyin shakllantirilishi mumkin. Aslida, ushbu harakat bo'lim boshida joylashtirilgan vazifaga bag'ishlangan edi.

Agar siz algebra bilan do'st bo'lsangiz va qavslar uchun umumiy omilni qanday amalga oshirishni bilsangiz, unda ajratish summasining teoremasi umumiy ko'rsatkichning mavjudligi va ishning ajralmasligini nazarda tutilishi mumkin , oddiy kasrni kamaytirish imkoniyati sifatida.

Ko'p miqdorda bo'linma belgilarini yoki 9 ga qadar ajratish belgilarini tekshirish paytida siz hisob-kitoblar belgilarini "saqlash" mumkin bo'lgan miqdordan foydalanishingiz mumkin, siz juda ko'p bo'linganlarning barcha raqamlarini tashlay olasiz mos ravishda 3 yoki 9 ga.
Keling, "3 ta bo'limda bo'linma belgisi" nuqtai nazaridan oxirgi misolga qaytaylik.
16539478617127784079 o'rniga 1 + 6 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 7 + 7 + 9) 1 + 1 + 5 + 4 + 7 + 1 + 1 + 1 + 7 + 7 + 7 + 0 + 0 + 7 \u003d 69. Natijada 3 ga bo'linadi.

Va oxirgi:
Matematika juda ko'p yozishni yoqtirmaydi. O'sha so'zlarning uzoq takliflari va takrorlanishi echimni tushuntirishda yaxshi, ammo u maqsadga muvofiq bo'lgan belgilardan foydalanish tavsiya etiladi. "Bo'lingan" atamasi uchun siz ramzdan foydalanishingiz mumkin ⋮ Vertikal nuqta.
48⋮ 6 shuni anglatadiki, 48 6 ga bo'lingan yoki 48 raqami 6-sonning bir nechta bo'lishini anglatadi.

O'z-o'zini tekshirish uchun vazifalar.

Siz vaqtincha yashirin bo'lgan echimlar bilan bog'liq vazifalar, siz avval ular haqida o'ylashingiz uchun, so'ngra o'z va echimlaringizni taqqoslash uchun tugmani bosing. Javobingizni tekshirish bilan shunga o'xshash vazifalar Federal pedagogik o'lchovlar instituti vazifalari Ochiq bankida topish mumkin.

1-vazifa.

Bir nechta 12 raqamli raqamni misol keltiring, ularning soni 40. Bunga javoban 40 ni tashkil qiladi, aniq bir sonni belgilang.

Qarorni ko'rsating

Oddiy ko'paytirgichlarga 40 raqamini tarqating. 40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5.
Bunday to'rtta bunday ko'paytirgich mavjud, raqamlar besh xonali raqam uchun etarli emas, ammo siz har doim ish joyiga birlikni qo'shishingiz mumkin, natijasi o'zgarmaydi.
40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5 × 1.
Shunday qilib, javobning raqami faqat shu raqamlardan amalga oshirilishi mumkin: 1,2,2,2,5.
Shunday qilib, soni 12 yoshga tushishi uchun (qoldiqsiz 12 ga bo'lingan narsa), u bo'linma belgilarini 3 va 4 ga, 12 \u003d 3 × 4 ga qondirishi kerak.
1 + 2 + 2 + 2 + 5 \u003d 12 raqamlarini tekshiring. U 3 ga bo'linadi, shuning uchun raqamlarning har qanday pistirmalari uchun bizning raqamimiz 3 ga bo'linadi.
Va shunda u 4 ga bo'linishi kerak, oxirida ular tomonidan hosil bo'lgan raqam 4 ga bo'linadi.
Ko'rinib turibdiki, oxirgi raqam 2 bo'lishi kerak, boshqalari g'alati. 12, 22, 52-sonli variantlarni tekshiring.
12: 4 \u003d 3; 22: 4 \u003d 11: 2 - bu juda ko'p tarqalmaydi; 52: 4 \u003d 13.
Xulosa: Raqamni oxirida tuzilishi kerak, shunda u 12 yoki 52 edi va boshida qolgan uchta raqamdan har qanday turma.
Mumkin javoblar: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. Bunga javoban biz ulardan birini yozamiz. Masalan,

Javob: 21252

Sharh: Sizning qaroringiz biroz qisqaroq bo'lishi kerak, chunki bu mumkin bo'lgan javoblardan kamida bittasini topish kifoya.

2-vazifa.

Uch raqamli raqamni misol keltiring, ularning soni esa 30. Bunga javoban, bu raqamni aniq ko'rsatib turing.

Qarorni ko'rsating

Oddiy ko'paytirgichlarga 30 raqamini tarqating. 30 \u003d 2 × 3 × 5.
Bunday uchta ko'paytirgich mavjud, biz 15, I.E. uch xonali raqamni qilishimiz kerak. 15 yoshdan 5 yoshgacha bo'lgan bo'linma belgilarini qondiradi 15 \u003d 3 × 5.
Shunday qilib, raqam 5 ga bo'linishi 5 raqamini tugatish kerak.
2 + 3 + 5 \u003d 10 raqamlarning miqdorini tekshiring. Raqamlar miqdori 3 ga bo'linmaydi, shuning uchun raqamlarning har qanday pistirmalari uchun bizning raqamimiz 3 ga bo'linmaydi.
Boshi berk? Emas. Qayta takrorlash, siz har qanday birlikni zavod sifatida qo'shishingiz mumkin va natijada o'zgarmaydi.
30 yoshdan 2 × 3 × 5 × 1 ni tasavvur qiling.
Endi kerak bo'lgandan ko'proq raqamli raqamni tayyorlash uchun mumkin bo'lgan raqamlar. Shuning uchun biz ba'zi oddiy omillarni aralashmani birlashtirdik: 2 × 5 \u003d 10 va 3 × 5 \u003d 15 Bu raqam emas, lekin ikki xonali raqamlar. 2 × 3 \u003d 6 raqam 6 raqami bilan ko'rsatilgan.
6 × 5 × 1 ni tasavvur qiling.
6 + 5 + 1 \u003d 12 raqamlari miqdorini tekshiring. Bunga javoban raqam raqamlardan iborat bo'lishi mumkin: 6,51. So'nggi raqam 5 bo'lishi kerak.

Mumkin javoblar: 615, 165

3-vazifa.

To'rt xonali raqamning soni, teskari tartibda qayd etilgan va ikkinchi to'rt xonali raqamni qabul qildi. Keyin, birinchi raqamdan, ikkinchidan aniqlandi va 2277 ni oldi. Bunday raqamning aniq bir misolini keltiring.

Qarorni ko'rsating

Raqam, bir nechta 5, raqamlar bilan tugaydi. Keyin teskari tartibda qayd etilgan raqam 0 yoki C-dan boshlanadi, agar raqam 0 dan boshlanadi, u to'rt xonali bo'lmaydi -garig, 0 dan boshlab odatda yozmaydi. Masalan, 0348 atigi 348. Shunday qilib, kerakli raqam 5. raqami bilan tugaydi. Qolgan raqamlari harflarni belgilaydi a, b, c. Bu holatdagi raqam ko'rsatiladi shodlik5____ .
Jahannam ushbu belgini o'zgaruvchilarning algebraik mahsuloti bilan aralashtirmaslik uchun kerak ( a. Ko'paymoq b., ko'paytiring dan ...). Teskari tartibda qayd etilgan raqam 5 ga ko'rsatilgan kbo____ .
Shart bo'yicha

shodlik5____ − 5kbo____ = 2277.
Tasavvur qiling, biz ustunni ustunga olib boramiz.
1) 5 dan kam 7, keyin bo'linishi o'nlab o'nlab narsani egallab olish kerak edi.
10 + 5 − a. = 7. a. = 15 − 7 = 8.
2) o'nlab odamlar unchalik aniq bo'lmaganda, ular bosib olishdi yoki yuzlab oqlarni tushirish uchun jihozni egallab olishdi. Birinchidan, aytaylik, ular ishg'ol qilmadilar. Keyin birlik uchun koziklangan raqamdan c. o'qidingizmi? b. va 7 taga ega.
(c. − 1) − b. = 7. c. = 8 + b..
Ushbu parametr mos keladi b. \u003d 0 I. b. \u003d 1. Katta qiymatlar b. Kattalashtirmoq c. ikki raqamgacha. Misoldan saqlaning b. \u003d 1, keyin c. \u003d 9 va biz 8195 raqami muammoning holatidan mamnun ekanligiga aminmiz.

Javob: 8195

Sharh: Agar siz tanlagan bo'lsangiz, boshqa to'g'ri javob 8085 b. 2-bosqichda 0). Taddit ish olib boradimi, o'nlab odamlar yuzlab ishlarni olib tashlaganida, o'zingizni tekshirib ko'ring.