Лінійна залежність і лінійна незалежність векторів.
Базис векторів. Аффинная система координат

В аудиторії знаходиться візок з шоколадками, і кожному відвідувачу сьогодні дістанеться солодка парочка - аналітична геометрія з лінійною алгеброю. У даній статті будуть порушені відразу два розділи вищої математики, і ми подивимося, як вони уживаються в одній обгортці. Зроби паузу, з'їж «Твікс»! ... блін, ну і нісенітниця споров. Хоча добре, забивати не буду, в кінці кінців, на навчання повинен бути позитивний настрій.

Лінійна залежність векторів, лінійна незалежність векторів, базис векторів та ін. терміни мають не тільки геометричну інтерпретацію, але, перш за все, алгебраїчний сенс. Саме поняття «вектор» з точки зору лінійної алгебри - це далеко не завжди той «звичайний» вектор, який ми можемо зобразити на площині або в просторі. За доказом далеко ходити не потрібно, спробуйте намалювати вектор пятимерного простору . Або вектор погоди, за яким я тільки що сходив на Гісметео: - температура і атмосферний тиск відповідно. Приклад, звичайно, не є коректним з точки зору властивостей векторного простору, але, тим не менше, ніхто не забороняє формалізувати ці параметри вектором. Дихання осені ....

Ні, я не збираюся вантажити вас теорією, лінійними векторними просторами, завдання полягає в тому, щоб зрозуміти визначення та теореми. Нові терміни (лінійна залежність, незалежність, лінійна комбінація, базис і т.д.) застосовні до всіх векторах з алгебри точки зору, але приклади будуть дані геометричні. Таким чином, все просто, доступно і наочно. Крім завдань аналітичної геометрії ми розглянемо і деякі типові завдання алгебри. Для освоєння матеріалу бажано ознайомитися з уроками Вектори для чайників і Як обчислити визначник?

Лінійна залежність і незалежність векторів площини.
Базис площині і аффинная система координат

Розглянемо площину вашого комп'ютерного столу (просто столу, тумбочки, підлоги, стелі, кому що подобається). Завдання полягатиме в наступних діях:

1) Вибрати базис площини. Грубо кажучи, у стільниці є довжина і ширина, тому інтуїтивно зрозуміло, що для побудови базису потрібно два вектора. Одного вектора явно мало, три вектори - лишку.

2) На основі обраного базису задати систему координат (Координатну сітку), щоб привласнити координати усім, хто знаходиться на столі предметів.

Не дивуйтеся, спочатку пояснення будуть на пальцях. Причому, на ваших. Будь ласка, помістіть вказівний палець лівої руки на край стільниці так, щоб він дивився в монітор. Це буде вектор. тепер помістіть мізинець правої руки на край столу точно так же - щоб він був спрямований на екран монітора. Це буде вектор. Посміхніться, ви чудово виглядаєте! Що можна сказати про вектори? дані вектори колінеарні, а значить, лінійно виражаються один через одного:
, Ну, або навпаки:, де - деяке число, відмінне від нуля.

Картинку цього дійства можна подивитися на уроці Вектори для чайників, Де я пояснював правило множення вектора на число.

Чи будуть ваші пальчики задавати базис на площині комп'ютерного столу? Очевидно, що ні. Колінеарні вектори подорожують туди-сюди по одному напрямку, а у площині є довжина і ширина.

Такі вектори називають лінійно залежними.

Довідка: Слова «лінійний», «лінійно» позначають той факт, що в математичних рівняннях, Виражених немає квадратів, кубів, інших ступенів, логарифмів, синусів і т.д. Є тільки лінійні (1-го ступеня) вираження і залежності.

Два вектора площини лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Схрестіть пальці на столі, щоб між ними був будь-який кут, крім 0 або 180 градусів. Два вектора площинилінійно нЕзалежні в тому і тільки тому випадку, якщо вони не колінеарні. Отже, базис отримано. Не потрібно бентежитися, що базис вийшов «косим» з Неперпендикулярність векторами різної довжини. Дуже скоро ми побачимо, що для його побудови придатний не тільки кут в 90 градусів, і не тільки поодинокі, рівні за довжиною вектори

Будь-який вектор площини єдиним чином розкладається по базису:
, Де - дійсні числа. числа називають координатами вектора в даному базисі.

Також кажуть, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінації базисних векторів. Тобто, вираз називають розкладанням векторапо базису або лінійною комбінацією базисних векторів.

Наприклад, можна сказати, що вектор розкладений по ортонормированном базису площині, а можна сказати, що він представлений у вигляді лінійної комбінації векторів.

сформулюємо визначення базису формально: базисом площині називається пара лінійно незалежних (неколінеарних) векторів, , при цьому будь-який вектор площини є лінійною комбінацією базисних векторів.

Суттєвим моментом визначення є той факт, що вектори взяті в певному порядку. базиси - це два абсолютно різних базису! Як то кажуть, мізинець лівої руки не переставити на місце мізинця правої руки.

З базисом розібралися, але його недостатньо, щоб задати координатну сітку і привласнити координати кожного предмета вашого комп'ютерного столу. Чому недостатньо? Вектори є вільними і блукають по всій площині. Так як же привласнити координати тим маленьким брудним точкам столу, які залишилися після бурхливих вихідних? Необхідний відправною орієнтир. І таким орієнтиром є знайома всім точка - початок координат. Розбираємося з системою координат:

Почну з «шкільної» системи. Вже на вступному уроці Вектори для чайників я виділяв деякі відмінності між прямокутною системою координат і ортонормованим базисом. Ось стандартна картина:

Коли говорять про прямокутній системі координат, То найчастіше мають на увазі початок координат, координатні осі і масштаб по осях. Спробуйте набрати в пошуковику «прямокутна система координат», і ви побачите, що багато джерел вам будуть розповідати про знайомі з 5-6-го класу координатні осі і про те, як відкладати точки на площині.

З іншого боку, створюється враження, що прямокутну систему координат цілком можна визначити через ортонормованій базис. І це майже так. Формулювання звучить наступним чином:

початком координат, і ортонормованійбазис задають декартову прямокутну систему координат площині . Тобто, прямокутна система координат однозначно визначається єдиною точкою і двома одиничними ортогональними векторами. Саме тому, ви бачите креслення, який я навів вище - в геометричних задачах часто (але далеко не завжди) малюють і вектори, і координатні осі.

Думаю, всім зрозуміло, що за допомогою точки (початку координат) і ортонормированного базису БУДЬ ТОЧЦІ площині і БУДЬ-ЯКОМУ вектор площиниможна привласнити координати. Образно кажучи, «на площині все можна пронумерувати».

Чи зобов'язані координатні вектори бути одиничними? Ні, вони можуть мати довільну ненульову довжину. Розглянемо точку і два ортогональних вектора довільної ненульовий довжини:

Такий базис називається ортогональним. Початок координат з векторами задають координатну сітку, і будь-яка точка площині, будь-який вектор мають свої координати в даному базисі. Наприклад, чи. Очевидне незручність полягає в тому, що координатні вектори у загальному випадку мають різні довжини, відмінні від одиниці. Якщо довжини дорівнюють одиниці, то виходить звичний ортонормованій базис.

! Примітка : В ортогональному базисі, а також нижче в афінних базисах площині і простору одиниці по осях вважаються умовно. Наприклад, в одній одиниці по осі абсцис міститься 4 см, в одній одиниці по осі ординат 2 см. Даною інформації достатньо, щоб у разі потреби привести «нестандартні» координати в «наші звичайні сантиметри».

І друге питання, на який вже насправді дана відповідь - чи обов'язково кут між базисними векторами повинен дорівнювати 90 градусам? Ні! Як свідчить визначення, базисні вектори повинні бути лише неколінеарна. Відповідно кут може бути будь-яким, крім 0 і 180 градусів.

Точка площині, яка називається початком координат, і неколінеарна вектори, , задають аффинную систему координат площині :

Іноді таку систему координат називають косокутній системою. Як приклади на кресленні зображені точки і вектори:

Як розумієте, аффинная система координат ще менш зручна, в ній не працюють формули довжин векторів і відрізків, які ми розглядали у другій частині уроку Вектори для чайників, Багато смачні формули, пов'язані з скалярним твором векторів. Зате справедливі правила додавання векторів і множення вектора на число, формули розподілу відрізка в даному відношенні, а також ще деякі типи завдань, які ми скоро розглянемо.

А висновок такий, що найбільш зручним окремим випадком афінного системи координат є декартова прямокутна система. Тому її, рідну, найчастіше і доводиться споглядати. ... Втім, все в цьому житті відносно - існує чимало ситуацій, в яких доречна саме Косокутна (або якась Набуда інша, наприклад, полярна) система координат. Та й гуманоидам такі системи можуть припасти до смаку \u003d)

Переходимо до практичної частини. Всі завдання даного уроку справедливі як для прямокутної системи координат, так і для загального афінного випадку. Складного тут нічого немає, весь матеріал доступний навіть школяреві.

Як визначити коллинеарность векторів площини?

Типова річ. Для того щоб два вектора площини були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційні.По суті, це покоординатно деталізація очевидного співвідношення.

приклад 1

а) Перевірити, колінеарні вектори .
б) Чи утворюють базис вектори ?

Рішення:
а) З'ясуємо, чи існує для векторів коефіцієнт пропорційності, такий, щоб виконувалися рівності:

Обов'язково розповім про «піжонської» різновиди застосування даного правила, яка цілком прокатує на практиці. Ідея полягає в тому, щоб відразу скласти пропорцію і подивитися, чи буде вона вірною:

Складемо пропорцію з відносин відповідних координат векторів:

скорочуємо:
, Таким чином, відповідні координати пропорційні, отже,

Ставлення можна було скласти і навпаки, це рівноцінний варіант:

Для самоперевірки можна використовувати ту обставину, що Колінеарні вектори лінійно виражаються один через одного. В даному випадку мають місце рівності . Їх справедливість легко перевіряється через елементарні дії з векторами:

б) Два вектора площини утворюють базис, якщо вони не колінеарні (лінійно незалежні). Досліджуємо на коллинеарность вектори . Складемо систему:

З першого рівняння слід, що, з другого рівняння випливає, що, значить, система несумісна (Рішень немає). Таким чином, відповідні координати векторів не пропорційні.

висновок: Вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Спрощена версія рішення виглядає так:

Складемо пропорцію з відповідних координат векторів :
, Значить, дані вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Зазвичай такий варіант не бракують рецензенти, але виникає проблема в тих випадках, коли деякі координати дорівнюють нулю. Ось так: . Або так: . Або так: . Як тут діяти через пропорцію? (Дійсно, на нуль ж ділити не можна). Саме з цієї причини я і назвав спрощене рішення «піжонським».

відповідь:а), б) утворюють.

Невеликий творчий приклад для самостійного рішення:

приклад 2

При якому значенні параметра вектори будуть колінеарні?

У зразку рішення параметр знайдений через пропорцію.

Існує витончений алгебраїчний спосіб перевірки векторів на коллинеарность., Систематизуємо наші знання і п'ятим пунктом якраз додамо його:

Для двох векторів площини еквівалентні наступні твердження:

2) вектори утворюють базис;
3) вектори НЕ колінеарні;

+ 5) визначник, складений з координат даних векторів, відмінний від нуля.

відповідно, еквівалентні наступні протилежні твердження:
1) вектори лінійно залежні;
2) вектори не утворюють базису;
3) вектори колінеарні;
4) вектори можна лінійно висловити один через одного;
+ 5) визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю.

Я дуже і дуже сподіваюся, що на даний момент вам вже зрозумілі всі зустрілися терміни і затвердження.

Розглянемо більш докладно новий, п'ятий пункт: два вектора площини колінеарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю:. Для застосування даної ознаки, природно, потрібно вміти знаходити визначники.

вирішимо Приклад 1 другим способом:

а) Обчислимо визначник, складений з координат векторів :
, Значить, дані вектори колінеарні.

б) Два вектора площини утворюють базис, якщо вони не колінеарні (лінійно незалежні). Обчислимо визначник, складений з координат векторів :
, Значить, вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

відповідь:а), б) утворюють.

Виглядає значно компактніше і симпатичніше, ніж рішення з пропорціями.

За допомогою розглянутого матеріалу можна встановлювати не тільки коллинеарность векторів, а й доводити паралельність відрізків, прямих. Розглянемо пару завдань з конкретними геометричними фігурами.

приклад 3

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є паралелограма.

Доведення: Креслення в завданні будувати не потрібно, оскільки рішення буде чисто аналітичним. Згадуємо визначення паралелограма:
параллелограммом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Таким чином, потрібно довести:
1) паралельність протилежних сторін і;
2) паралельність протилежних сторін і.

доводимо:

1) Знайдемо вектори:

2) Знайдемо вектори:

Вийшов один і той же вектор ( «по шкільному» - рівні вектори). Колінеарність зовсім очевидна, але рішення таки краще оформити з толком, з розстановкою. Обчислимо визначник, складений з координат векторів:
, Значить, дані вектори колінеарні, і.

висновок: Протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, значить, він є паралелограма за визначенням. Що і потрібно було довести.

Більше фігур хороших і різних:

приклад 4

Дано вершини чотирикутника. Довести, що чотирикутник є трапецією.

Для більш суворої формулювання докази краще, звичайно, роздобути визначення трапеції, але досить і просто згадати, як вона виглядає.

Це завдання для самостійного рішення. Повне рішення в кінці уроку.

А тепер пора потихеньку перебиратися з площини в простір:

Як визначити коллинеарность векторів простору?

Правило дуже схоже. Для того щоб два вектора простору були колінеарні, необхідно і достатньо, щоб їх відповідні координати були пропорційні.

приклад 5

З'ясувати, чи будуть колінеарні наступні вектори простору:

а);
б)
в)

Рішення:
а) Перевіримо, чи існує коефіцієнт пропорційності для відповідних координат векторів:

Система не має рішення, значить, вектори НЕ колінеарні.

«Спрощенка» оформляється перевіркою пропорції. В даному випадку:
- відповідні координати не пропорційні, значить, вектори НЕ колінеарні.

відповідь: вектори НЕ колінеарні.

б-в) Це пункти для самостійного рішення. Спробуйте його оформити двома способами.

Існує метод перевірки просторових векторів на коллинеарность і через визначник третього порядку, даний спосіб висвітлений у статті Векторний добуток векторів.

Аналогічно плоскому нагоди, розглянутий інструментарій може застосовуватися з метою дослідження паралельності просторових відрізків і прямих.

Ласкаво просимо до другого розділу:

Лінійна залежність і незалежність векторів тривимірного простору.
Просторовий базис і аффинная система координат

Багато закономірностей, які ми розглянули на площині, будуть справедливими і для простору. Я постарався мінімізувати конспект по теорії, оскільки левова частка інформації вже розжовані. Проте, рекомендую уважно прочитати вступну частину, так як з'являться нові терміни і поняття.

Тепер замість площині комп'ютерного столу досліджуємо тривимірний простір. Спочатку створимо його базис. Хтось зараз знаходиться в приміщенні, хтось на вулиці, але в будь-якому випадку нам нікуди не дітися від трьох вимірів: ширини, довжини і висоти. Тому для побудови базису потрібно три просторових вектора. Одного-двох векторів мало, четвертий - зайвий.

І знову розминаємося на пальцях. Будь ласка, підніміть руку вгору і розчепірте в різні боки великий, вказівний і середній палець . Це будуть вектори, вони дивляться в різні боки, мають різну довжину і мають різні кути між собою. Вітаю, базис тривимірного простору готовий! До речі, не потрібно демонструвати таку викладачам, як не крути пальцями, а від визначень нікуди не дітися \u003d)

Далі задамося важливим питанням, будь-які чи три вектора утворюють базис тривимірного простору? Будь ласка, щільно притисніть три пальці до стільниці комп'ютерного столу. Що сталося? Три вектора розташувалися в одній площині, і, грубо кажучи, у нас пропало один з вимірів - висота. Такі вектори є компланарними і, цілком очевидно, що базису тривимірного простору не створюють.

Слід зазначити, що компланарні вектори не зобов'язані лежати в одній площині, вони можуть перебувати в паралельних площинах (тільки не робіть цього з пальцями, так відривався тільки Сальвадор Далі \u003d)).

визначення: Вектори називаються компланарними, Якщо існує площину, якій вони паралельні. Тут логічно додати, що якщо такій площині не існує, то і вектори будуть не компланарність.

Три компланарних вектора завжди лінійно залежні, Тобто лінійно виражаються один через одного. Для простоти знову уявімо, що вони лежать в одній площині. По-перше, вектори мало того, що компланарність, можуть бути на додачу ще й колінеарні, тоді будь-який вектор можна виразити через будь-який вектор. У другому випадку, якщо, наприклад, вектори НЕ колінеарні, то третій вектор виражається через них єдиним чином: (А чому - легко здогадатися за матеріалами попереднього розділу).

Справедливо і протилежне твердження: три некомпланарних вектора завжди лінійно незалежні, Тобто жодним чином не виражаються один через одного. І, очевидно, тільки такі вектори можуть утворити базис тривимірного простору.

визначення: Базисом тривимірного простору називається трійка лінійно незалежних (некомпланарних) векторів, взятих в певному порядку, При цьому будь-який вектор простору єдиним чином розкладається з даного базису, де - координати вектора в даному базисі

Нагадую, також можна сказати, що вектор представлений у вигляді лінійної комбінації базисних векторів.

Поняття системи координат вводиться точно так же, як і для плоского випадку, достатньо однієї точки і будь-яких трьох лінійно незалежних векторів:

початком координат, і некомпланарних вектори, взяті в певному порядку, задають аффинную систему координат тривимірного простору :

Звичайно, координатна сітка «коса» і не вельми зручному але, тим не менш, побудована система координат дозволяє нам однозначно визначити координати будь-якого вектора і координати будь-якої точки простору. Аналогічно площині, в аффинной системі координат простору не працюватимуть деякі формули, про які я вже згадував.

Найбільш звичним і зручним окремим випадком афінного системи координат, як всі здогадуються, є прямокутна система координат простору:

Точка простору, яка називається початком координат, і ортонормованійбазис задають декартову прямокутну систему координат простору . Знайома картинка:

Перед тим, як перейти до практичних завдань, знову систематизуємо інформацію:

Для трьох векторів простору еквівалентні наступні твердження:
1) вектори лінійно незалежні;
2) вектори утворюють базис;
3) вектори НЕ компланарність;
4) вектори можна лінійно висловити один через одного;
5) визначник, складений з координат даних векторів, відмінний від нуля.

Протилежні висловлювання, думаю, зрозумілі.

Лінійна залежність / незалежність векторів простору традиційно перевіряється за допомогою визначника (пункт 5). Решта практичні завдання будуть носити яскраво виражений алгебраїчний характер. Пора повісити на цвях геометричну ключку і орудувати бейсбольною битою лінійної алгебри:

Три вектора простору компланарність тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат даних векторів, дорівнює нулю: .

Звертаю увагу на невеликий технічний нюанс: координати векторів можна записувати не тільки в стовпці, а й в рядки (значення визначника від цього не зміниться - см. Властивості визначників). Але набагато краще в стовпці, оскільки це вигідніше для вирішення деяких практичних завдань.

Тим читачам, які трошки забули методи розрахунку визначників, а може і взагалі слабо в них орієнтуються, рекомендую один з моїх найстаріших уроків: Як обчислити визначник?

приклад 6

Перевірити, чи утворюють базис тривимірного простору такі вектори:

Рішення: Фактично все рішення зводиться до обчислення визначника.

а) Обчислимо визначник, складений з координат векторів (визначник розкритий по першому рядку):

, Значить, вектори лінійно незалежні (НЕ компланарність) і утворюють базис тривимірного простору.

відповідь: Дані вектори утворюють базис

б) Це пункт для самостійного рішення. Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Зустрічаються і творчі завдання:

приклад 7

При якому значенні параметра вектори будуть компланарність?

Рішення: Вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з координат даних векторів дорівнює нулю:

По суті, потрібно вирішити рівняння з визначником. Налітаємо на нулі як шуліки на тушканчиків - визначник найвигідніше розкрити по другому рядку і відразу ж позбутися від мінусів:

Проводимо подальші спрощення і зводимо справу до найпростішого лінійному рівнянню:

відповідь: при

Тут легко виконати перевірку, для цього потрібно підставити отримане значення в вихідний визначник і переконатися, що , Розкривши його заново.

На закінчення розглянемо ще одну типову задачу, яка носить більше алгебраїчний характер і традиційно включається в курс лінійної алгебри. Вона настільки поширена, що заслуговує окремого топіка:

Довести, що 3 вектора утворюють базис тривимірного простору
і знайти координати 4-го вектора в даному базисі

приклад 8

Дано вектори. Показати, що вектори утворюють базис тривимірного простору і знайти координати вектора в цьому базисі.

Рішення: Спочатку розбираємося з умовою. За умовою дано чотири вектора, і, як бачите, у них вже є координати в деякому базисі. Який це базис - нас не цікавить. А цікавить наступна річ: три вектора цілком можуть утворювати новий базис. І перший етап повністю збігається з рішенням Прімера 6, необхідно перевірити, чи дійсно вектори лінійно незалежні:

Обчислимо визначник, складений з координат векторів:

, Значить, вектори лінійно незалежні і утворюють базис тривимірного простору.

Необхідна умова лінійної залежності n функцій.

Нехай функції, мають похідні межі (n-1).

Розглянемо визначник: (1)

W (x) прийнято називати визначником їм Вронського для функцій.

Теорема 1. У разі якщо функції лин ейно залежні в інтервалі (a, b), то їх вронскиан W (x) тотожно дорівнює нулю в даному інтервалі.

Доведення. За умовою теореми виконується співвідношення

, (2) де не вс е дорівнюють нулю. Нехай. тоді

(3). Диференціюючи це тотожність n-1 раз і,

підставляючи замість їх отримані значення в визначник Вронського,

отримуємо:

У визначник е Вронського останній рядок є лин єйної комбінацією попередніх n-1 стовпців і в зв'язку з цим дорівнює нулю у НД ех точках інтервалу (a, b).

Теорема 2.У разі якщо функції y 1, ..., yn є лин ейно незалежними рішеннями рівняння L [y] \u003d 0, нд е коефіцієнти якого неперервні в інтервалі (a, b), то вронскиан цих рішень відмінний від нуля в кожній точці інтервалу (a, b).

Доведення. Припустимо противне. Існує Х 0, де W (Х 0) \u003d 0. Складемо систему n рівнянь

Очевидно, що система (5) має нульове рішення. Нехай (6).

Складемо лин ейную комбінацію рішень y 1, ..., y n.

У (х) є рішенням рівняння L [y] \u003d 0. Крім цього. В силу теореми єдиності рішення рівняння L [y] \u003d 0 з нульовими початковими умовами має бути тільки нульовим, ᴛ.ᴇ. .

Ми отримуємо тотожність, де не вс е дорівнюють нулю, а це означає, що y 1, ..., y n лин ейно залежні, що суперечить умові теореми. Отже, немає такої точки де W (Х 0) \u003d 0.

На базі теореми 1 і теореми 2 можна сформулювати наступне твердження. Для того, щоб n рішень рівняння L [y] \u003d 0 були лин ейно незалежні в інтервалі (a, b), вкрай важливо і досить, щоб їх вронскиан не звертався в нуль ні в одній точці цього інтервалу.

З доведених теорем також слідують такі очевидні властивості вронскіан.

1. У разі якщо вронскиан n рішень рівняння L [y] \u003d 0 дорівнює нулю в одній точці х \u003d х 0 з інтервалу (a, b), в якому вс е коефіцієнти р i (x) неперервні, то він дорівнює нулю у НД ех точках цього інтервалу.
2. У разі якщо вронскиан n рішень рівняння L [y] \u003d 0 відмінний від нуля в одній точці х \u003d х 0 з інтервалу (a, b), то він відмінний від нуля у НД ех точках цього інтервалу.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, для лин ейності n незалежних рішень рівняння L [y] \u003d 0 в інтервалі (a, b), в якому коефіцієнти рівняння р i (x) неперервні, вкрай важливо і досить, щоб їх вронскиан був відмінний від нуля хоч в одній точці цього інтервалу.

Необхідна умова лінійної залежності n функцій. - поняття і види. Класифікація та особливості категорії "Необхідна умова лінійної залежності n функцій." 2017, 2018.

-

Суднові перевантажувальні засоби (On board cargo handling gear) Лекція №6 Тема: Вантажний пристрій (Cargo gear) 6.1. Суднові перевантажувальні засоби (On board cargo handling gear). 6.2. Вантажні крани. 6.3. Аппарели. Перевантаження - це переміщення вантажу на або з транспортного засобу. Багато ....

- Вантажні крани (Cargo cranes)

Сертифікати (Certificates) Поділ функцій (Division of tasks) Інспекції, сертифікація і відповідальність розділені таким чином: & ....

- Ти знаєш його? Lo conoces?

Там - allá Тут - aqui В кафе - en el cafe На роботі - en el trabajo На море - en el mar 1. Ти не знаєш, де кафе? 2. Ти не знаєш, де Саша? 3. Ти не знаєш, де бібліотека? 4. Ти не знаєш, де зараз Оля? 5. Ти не знаєш, де зараз Наташа? Добридень! Мене ....

- Визначення Zmin і Xmin з умови відсутності підрізання

Рис.5.9. Про підрізання зубів коліс. Розглянемо, як пов'язаний коефіцієнт зсуву x рейки з числом зубів, яке може бути нарізано рейкою на колесі. Нехай рейка встановлена \u200b\u200bв положенні 1 (рис.5.9.). В цьому випадку пряма головок рейки перетне лінію зачеплення N-N в т. І ...

Опр.Система елементів x 1, ..., x m лин. пр-ва V наз-ся лінійно залежною, якщо ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0) такі, що λ 1 x 1 + ... + λ mxm \u003d θ .

Опр.Система елементів x 1, ..., x m ∈ V наз-ся лінійно незалежної, якщо з рівності λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d θ ⟹λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

Опр.Елемент x ∈ V наз-ся лінійною комбінацією елементів x 1, ..., x m ∈ V, якщо ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ такі, що x \u003d λ 1 x 1 + ... + λ m x m.

Теорема (критерій лінійної залежності): Система векторів x 1, ..., x m ∈ V лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один вектор системи лінійно виражається через інші.

Док-во. необхідність: Нехай x 1, ..., xm - лінійно залежні ⟹ ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0) такі, що λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 + λ mxm \u003d θ. Припустимо, λ m ≠ 0, тоді

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

достатність: Нехай хоча б один з векторів лінійно виражається через інші вектори: xm \u003d λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 (λ 1, ..., λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 + (- 1) xm \u003d 0 λ m \u003d (- 1) ≠ 0 ⟹ x 1, ..., xm - лінійно незалежні.

Дост. умова лінійної залежності:

Якщо система містить нульовий елемент або лінійно залежну підсистему, то вона лінійно залежна.

λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 - лінійно залежна система

1) Нехай x 1 \u003d θ, тоді це рівність справедливо при λ 1 \u003d 1 і λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

2) Нехай λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 - лінійно залежна підсистема ⟹ | λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0. Тоді при λ 1 \u003d 0 також отримуємо, | λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 - лінійно залежна система.

Базис лінійного простору. Координати вектора в даному базисі. Координати сум векторів і твори вектора на число. Необхідна і достатня умова лінійної залежності системи векторів.

визначення: Упорядкована система елементів e 1, ..., e n лінійного простору V називається базисом цього простору якщо:

А) e 1 ... е n лінійно незалежні

Б) ∀ x ∈ α 1 ... α n такі, що x \u003d α 1 e 1 + ... + α n е n

x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n - розкладання елемента x в базисі e 1, ..., e n

α 1 ... α n ∈ ℝ - координати елемента x в базисі e 1, ..., e n

теорема: Якщо в лінійному просторі V заданий базис e 1, ..., e n то ∀ x ∈ V стовпець координат x в базисі e 1, ..., e n визначається однозначно (координати визначаються однозначно)

Доведення: Нехай x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n і x \u003d β 1 e 1 + ... + β n e n

x \u003d ⇔ \u003d Θ, т. е. e 1, ..., e n - лінійно незалежні, то - \u003d 0 ∀ i \u003d 1, ..., n ⇔ \u003d ∀ i \u003d 1, ..., n ч. т. д.

теорема: нехай e 1, ..., e n - базис лінійного простору V; x, y - довільні елементи простору V, λ ∈ ℝ - довільне число. При додаванні x і y їх координати складаються, при множенні x на λ координати x так само множаться на λ.

Доведення: x \u003d (e 1, ..., e n) і y \u003d (e 1, ..., e n)

x + y \u003d + \u003d (e 1, ..., e n)

λx \u003d λ) \u003d (e 1, ..., e n)

Лемма1: (Необхідна і достатня умова лінійної залежності системи векторів)

Нехай e 1 ... е n - базис простору V. Система елементів f 1, ..., f k ∈ V є лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли лінійно залежні стовпці координат цих елементів в базисі e 1, ..., e n

Доведення: розкладемо f 1, ..., f k по базису e 1, ..., e n

f m \u003d (e 1, ..., e n) m \u003d 1, ..., k

λ 1 f 1 + ... + λ k f k \u003d (e 1, ..., e n) [λ 1 + ... + λ n] тобто λ 1 f 1 + ... + λ k f k \u003d Θ ⇔

⇔ λ 1 + ... + λ n \u003d що й потрібно було довести.

13. Розмірність лінійного простору. Теорема про зв'язок розмірності і базису.
визначення: Лінійне простір V називають n-мірним простором, якщо в V існують n лінійно незалежних елементів, а система з будь-яких n + 1 елементів простору V лінійно залежна. В цьому випадку n називається розмірністю лінійного простору V і позначається dimV \u003d n.

Лінійне простір називають безкінечномірні, якщо ∀N ∈ ℕ в просторі V існує лінійно незалежна система містить N елементів.

теорема: 1) Якщо V - n-мірне лінійне простір, то будь-яка впорядкована система з n лінійно незалежних елементів цього простору утворює базис. 2) Якщо в лінійному просторі V існує базис складається з n елементів, то розмірність V дорівнює n (dimV \u003d n).

Доведення: 1) Нехай dimV \u003d n ⇒ в V ∃ n лінійно незалежних елементів e 1, ..., e n. Доведемо, що ці елементи утворюють базис, тобто доведемо що ∀ x ∈ V може бути розкладений по e 1, ..., e n. Приєднаємо до них x: e 1, ..., e n, x - ця система містить n + 1 вектор а значить вона лінійно залежна. Оскільки e 1, ..., e n - лінійно незалежна, то по теоремі 2 x лінійно виражається через e 1, ..., e n тобто ∃, ..., такі, що x \u003d α 1 e 1 + ... + α n е n. Отже e 1, ..., e n - базис простору V. 2) Нехай e 1, ..., e n - базис V, тож в V ∃ n лінійно незалежних елементів. Візьмемо довільні f 1, ..., f n, f n +1 ∈ V - n + 1 елементів. Покажемо їх лінійну залежність. Розкладемо їх по базису:

f m \u003d (e 1, ..., e n) \u003d де m \u003d 1, ..., n Складемо матрицю з стовпців координат: A \u003d Матриця містить n рядків ⇒ RgA≤n. Число стовпців n + 1\u003e n ≥ RgA ⇒ Стовпці матриці A (тобто стобци координат f 1, ..., f n, f n +1) - лінійно залежні. З леми 1 ⇒, ..., f n, f n +1 - лінійно залежні ⇒ dimV \u003d n.

слідство:Якщо який-небудь базис містить n елементів, то і будь-який інший базис цього простору містить n елементів.

Теорема 2: Якщо система векторів x 1, ..., x m -1, x m - лінійно залежна, а її підсистема x 1, ..., x m -1 - лінійно незалежна, то x m - лінійно виражається через x 1, ..., x m -1

Доведення: Оскільки x 1, ..., x m -1, x m - лінійно залежна, то ∃, ...,,,

, ..., | , | такі, що. Якщо,, ..., | \u003d\u003e X 1, ..., x m -1 - лінійно незалежні, чого бути не може. Значить m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Зауважимо, що в подальшому, не порушуючи спільності, будемо розглядати випадок векторів в тривимірному просторі. На площині розгляд векторів проводиться аналогічно. Як вже зазначалося вище, всі результати, відомі з курсу лінійної алгебри для алгебраїчних векторів можна перенести на окремий випадок геометричних векторів. Так і зробимо.

Нехай зафіксовані вектори.

Визначення.Сума, де - деякі числа, називається лінійною комбінацією векторів. При цьому зазначені числа будемо називати коефіцієнтами лінійної комбінації.

Нас буде цікавити питання про можливість рівності лінійної комбінації нульового вектору. У відповідності з властивостями і аксіомами векторних просторів, стає очевидним, що для будь-якої системи векторів існує тривіальний (нульовий) набір коефіцієнтів, для якого це рівність виконується:

Виникає питання про існування для даної системи векторів нетривіального набору коефіцієнтів (серед яких є хоча б один ненульовий коефіцієнт), для якого виконується згадане рівність. Відповідно до цього будемо розрізняти лінійно залежні і незалежні системи.

Визначення.Система векторів називається лінійно незалежної, якщо існує такий набір чисел, серед яких є хоча б одне нульове, таке що відповідна лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору:

Система векторів називається лінійно незалежної, якщо рівність

можливо лише в разі тривіального набору коефіцієнтів:

Перерахуємо доказувані в курсі лінійної алгебри основні властивості лінійно залежних і незалежних систем.

1. Будь-яка система векторів, що містить нульовий вектор, є лінійно залежною.

2. Нехай в системі векторів є лінійно залежна підсистема. Тоді і вся система також є лінійно залежною.

3. Якщо система векторів є лінійно незалежної, то будь-яка її підсистема також є лінійно незалежною.

4. Якщо в системі векторів є два вектори, один з яких виходить з іншого множенням на деяке число, то вся система є лінійно залежною.

Теорема (критерій лінійної залежності).Система векторів є лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли один з векторів цієї системи представимо у вигляді лінійної комбінації інших векторів системи.

З урахуванням критерію коллинеарности двох векторів можна стверджувати, що критерієм їх лінійної залежності є їх коллинеарность. Для трьох векторів в просторі справедливо наступне твердження.

Теорема (критерій лінійної залежності трьох геометричних векторів).Три вектора, і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Доведення.

Необхідність.Нехай вектори, і лінійно залежні. Доведемо їх компланарність. Тоді за загальним критерієм лінійної залежності алгебраїчних векторів стверджуємо, що один із зазначених векторів представимо у вигляді лінійної комбінації інших векторів. Нехай, наприклад,

Якщо всі три вектора, і прикласти до загального початку, то вектор співпаде з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і. Але це означає, що вектори, і лежать в одній площині, тобто компланарність.

Достатність.Нехай вектори, і компланарність. Покажемо, що вони лінійно залежні. В першу чергу розглянемо випадок, коли якась пара із зазначених векторів колінеарну. У цьому випадку відповідно до попередньої теоремі система векторів,, містить лінійно залежну підсистему і, отже, сама є лінійно залежною відповідно до властивості 2 лінійно залежних і незалежних систем векторів. Нехай тепер жодна пара розглянутих векторів НЕ колінеарні. Перенесемо все три вектора на одну площину і наведемо їх до загального початку. Проведемо через кінець вектора прямі паралельні векторам і. Позначимо буквою точку перетину прямої, паралельної вектору, з прямою, на якій лежить вектор, а буквою точку перетину прямої, паралельної вектору, з прямою, на якій лежить вектор. За визначенням суми векторів отримуємо:

.

Так як вектор коллінеарен ненульових векторів, то існує дійсне число таке, що

З аналогічних міркувань випливає існування дійсного числа такого, що

В результаті матимемо:

Тоді із загального критерію лінійної залежності алгебраїчних векторів отримуємо, що вектори,, лінійно залежні. ■

Теорема (лінійна залежність чотирьох векторів).Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

Доведення. В першу чергу, розглянемо випадок, коли якась трійка із зазначених чотирьох векторів компланарності. У цьому випадку ця трійка лінійно залежна відповідно до попередньої теоремою. Отже, відповідно до властивістю 2 лінійно залежних і незалежних систем векторів, і вся четвірка лінійно залежна.

Нехай тепер серед розглянутих векторів ніяка трійка векторів НЕ компланарності. Наведемо всі чотири вектора,,, до загального початку і проведемо через кінець вектора площини, паралельні площинам, які визначаються парами векторів,; ,; ,. Точки перетину зазначених площин з прямими, на яких лежать вектори, і, позначимо відповідно буквами, і. З визначення суми векторів випливає, що

яке з урахуванням загального критерію лінійної залежності алгебраїчних векторів говорить про те, що всі чотири вектори лінійно залежні. ■

визначення 18.2 система функційф, ..., ф пназиваєтьсяли- нейп про з а в і з і м. о й на проміжку (А, (3), якщо деяка нетривіальна 5 лінійна комбінація цих функцій равни нулю на цьому проміжку тотожне:

визначення 18.3 система векторів ж 1, ..., х п називає, ся лінійно в а в і з і м о й, якщо деяка нетривіальна, лінійна комбінація цих векторів дорівнює кульової вектору:

Л Щоб уникнути плутанини ми в подальшому будемо номер компоненти вектора (вектор-функції) позначати нижнім індексом, а номер самого вектора (якщо таких векторів кілька) верхнім.

"Нагадуємо, що лінійна комбінації називається нетривіальною, якщо не всі коефіцієнти в ній нульові.

визначення 18.4 Система вектор-функцій х 1 ^), ..., x n (t) називається лінійно про з а в і з і м о й на проміжку, (А, / 3), якщо деяка нетривіальна лінійна комбінація цих вектор-функцій тотожно дорівнює на цьому проміжку нульового вектору:

Важливо розібратися в зв'язку цих трьох понять (лінійної залежності функцій, векторів і вектор-функцій) один з одним.

Перш за все, якщо уявити формулу (18.6) в розгорнутому вигляді (згадавши, що кожна з х г (1) є вектором)

то вона виявиться еквівалентній системі рівності

означають лінійну залежність г-х компонент в сенсі першого визначення (як функцій). Кажуть, що лінійна залежність вектор функцій тягне їх покомпонентно лінійну залежність.

Зворотне, взагалі кажучи, невірно: досить розглянути приклад пари вектор-функцій

Перші компоненти цих вектор-функцій просто збігаються значить, вони лінійно залежні. Другі компоненти пропорційні, значить. теж лінійно залежні. Однак якщо ми спробуємо побудувати їх лінійну комбінацію, рівну нулю тотожно, то зі співвідношення

негайно отримуємо систему

яка має єдине рішення З - З-2 - 0. Таким чином, наші вектор-функції лінійно незалежні.

У чому причина такого дивного властивості? У чому фокус, що дозволяє з свідомо залежних функцій будувати лінійно незалежні вектор-функції?

Виявляється, вся справа не стільки в лінійної залежності компонент, скільки в тій пропорції коефіцієнтів, яка необхідна для отримання нуля. У разі лінійної залежності вектор-функцій один і той же набір коефіцієнтів обслуговує всі компоненти незалежно від номера. А ось в наведеному нами прикладі для однієї компоненти була потрібна одна пропорція коефіцієнтів, а для іншої інша. Так що фокус насправді простий: для того, щоб з "покомпонентної" лінійної залежності отримати лінійну залежність вектор-функцій цілком, необхідно, щоб всі компоненти були лінійно залежні "в одній і тій же пропорції".

Перейдемо тепер до вивчення зв'язку лінійної залежності вектор функцій і векторів. Тут майже очевидним є той факт, що з лінійної залежності вектор-функцій випливає, що для кожною фіксованого t * вектора

будуть лінійно залежні.

Зворотне, взагалі кажучи, місця не має: з лінійної залежності векторів при кожному t не слід лінійна залежність вектор-функцій. Це легко побачити на прикладі двох вектор-функцій

при t \u003d 1, t \u003d 2 і t \u003d 3 ми отримуємо пари векторів

відповідно. Кожна пара векторів пропорційна (з коефіцієнтами 1,2 і 3 відповідно). Неважко зрозуміти, що для будь-якого фіксованого t * наша пара векторів буде пропорційна з коефіцієнтом t *.

Якщо ж ми спробуємо побудувати лінійну комбінацію вектор функцій, рівну нулю тотожно, то вже перші компоненти дають нам співвідношення

що можливо лише якщо З = З2 = 0. Таким чином, наші вектор функції виявилися лінійно незалежними. Знову ж пояснення такого ефекту полягає в тому, що в разі лінійної залежності вектор функцій один і той же набір констант Cj обслуговує всі значення t, а в нашому прикладі для кожного значення t була потрібна своя пропорція між коефіцієнтами.