Перетворення Фур'є. Лінійна фільтрація в частотної області
Лінійна фільтрація зображень може здійснюватися як в просторової, так і в частотній області. При цьому вважається, що "низьким" просторовим частотах відповідає основний зміст зображення - тло і великорозмірні об'єкти, а "високим" просторовим частотах - дрібнорозмірні об'єкти, дрібні деталі великих форм і шумова компонента.
Традиційно для переходу в область просторових частот використовуються методи, засновані на $ \\ textit (перетворенні Фур'є) $. В останні роки все більше застосування знаходять також методи, засновані на $ \\ textit (вейвлет-перетворенні (wavelet-transform)) $.
Перетворення Фур'є.
Перетворення Фур'є дозволяє уявити практично будь-яку функцію або набір даних у вигляді комбінації таких тригонометричних функцій, Як синус і косинус, що дозволяє виявити періодичні компоненти в даних і оцінити їх внесок у структуру вихідних даних або форму функції. Традиційно розрізняються три основні форми перетворення Фур'є: інтегральне перетворення Фур'є, ряди Фур'є і дискретне перетворення Фур'є.
Інтегральне перетворення Фур'є переводить речову функцію в пару дійсних функцій або одну комплексну функцію в іншу.
Речову функцію $ f (x) $ можна розкласти по ортогональній системі тригонометричних функцій, тобто представити у вигляді
$$ f \\ left (x \\ right) \u003d \\ int \\ limits_0 ^ \\ infty (A \\ left (\\ omega \\ right)) \\ cos \\ left ((2 \\ pi \\ omega x) \\ right) d \\ omega - \\ де $ A (\\ omega) $ і $ B (\\ omega) $ називаються інтегральними косинус і синус-перетвореннями:
$$ A \\ left (\\ omega \\ right) \u003d 2 \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (f \\ left (x \\ right)) \\ cos \\ left ((2 \\ pi \\ omega x ) \\ right) dx; \\ Quad B \\ left (\\ omega \\ right) \u003d 2 \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (f \\ left (x \\ right)) \\ sin \\ left ((2 \\ pi \\ omega x ) \\ right) dx. $$
Ряд Фур'є представляє періодичну функцію $ f (x) $, задану на інтервалі $$, у вигляді нескінченного ряду по синусах і косинусам. Тобто періодичної функції $ f (x) $ ставиться у відповідність нескінченна послідовність коефіцієнтів Фур'є
$$ f \\ left (x \\ right) \u003d \\ frac (A_0) (2) + \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ \\ infty (A_n) \\ cos \\ left ((\\ frac (2 \\ pi xn) ( ba)) \\ right) + \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ \\ infty (B_n \\ sin \\ left ((\\ frac (2 \\ pi xn) (ba)) \\ right)), $$
$$ A_n \u003d \\ frac (2) (ba) \\ int \\ limits_a ^ b (f \\ left (x \\ right)) \\ cos \\ left ((\\ frac (2 \\ pi nx) (ba)) \\ right) dx ; \\ Quad B_n \u003d \\ frac (2) (ba) \\ int \\ limits_a ^ b (f \\ left (x \\ right)) \\ sin \\ left ((\\ frac (2 \\ pi nx) (ba)) \\ right) dx . $$
Дискретне перетворення Фур'є переводить кінцеву послідовність дійсних чисел в кінцеву послідовність коефіцієнтів Фур'є.
Нехай $ \\ left \\ ((x_i) \\ right \\), i \u003d 0, \\ ldots, N-1 $ - послідовність дійсних чисел - наприклад, відліки яскравості пікселів по рядку зображення. Цю послідовність можна представити у вигляді комбінації кінцевих сум виду
$$ x_i \u003d a_0 + \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (N / 2) (a_n) \\ cos \\ left ((\\ frac (2 \\ pi ni) (N)) \\ right) + \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (N / 2) (b_n \\ sin \\ left ((\\ frac (2 \\ pi ni) (N)) \\ right)), $$
$$ a_0 \u003d \\ frac (1) (N) \\ sum \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i), \\ quad a_ (N / 2) \u003d \\ frac (1) (N) \\ sum \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i) \\ left ((- 1) \\ right) ^ i, \\ quad a_k \u003d \\ frac (2) (N) \\ sum \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i \\ cos \\ left ((\\ frac (2 \\ pi ik) (N)) \\ right)), $$
$$ b_k \u003d \\ frac (2) (N) \\ sum \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i \\ sin \\ left ((\\ frac (2 \\ pi ik) (N)) \\ right) ), \\ quad i \\ le k Основна відмінність між трьома формами перетворення Фур'є полягає в тому, що якщо інтегральне перетворення Фур'є визначено по всій області визначення функції $ f (x) $, то ряд і дискретне перетворення Фур'є визначені тільки на дискретній множині точок, нескінченному для ряду Фур'є і кінцевому для дискретного перетворення. Як видно з визначень перетворення Фур'є, найбільший інтерес для систем цифрової обробки сигналів являє дискретне перетворення Фур'є. Дані, одержувані з цифрових носіїв або джерел інформації, являють собою впорядковані набори чисел, записані у вигляді векторів або матриць. Зазвичай приймається, що вхідні дані для дискретного перетворення являють собою рівномірну вибірку з кроком $ \\ Delta $, при цьому величина $ T \u003d N \\ Delta $ називається довжиною записи, або основним періодом. Основна частота дорівнює $ 1 / T $. Таким чином, в дискретному перетворенні Фур'є проводиться розкладання вхідних даних по частотах, які є цілим кратним основної частоти. Максимальна частота, яка визначається розмірністю вхідних даних, дорівнює $ 1/2 \\ Delta $ і називається $ \\ it (частотою Найквіста) $. Облік частоти Найквіста має важливе значення при використанні дискретного перетворення. Якщо вхідні дані мають періодичні складові з частотами, що перевищують частоту Найквіста, то при обчисленні дискретного перетворення Фур'є відбудеться підміна високочастотних даних більш низькою частотою, що може привести до помилок при інтерпретації результатів дискретного перетворення. Важливим інструментом аналізу даних є також $ \\ it (енергетичний спектр) $. Потужність сигналу на частоті $ \\ omega $ визначається наступним чином: $$ P \\ left (\\ omega \\ right) \u003d \\ frac (1) (2) \\ left ((A \\ left (\\ omega \\ right) ^ 2 + B \\ left (\\ omega \\ right) ^ 2) \\ right ). $$ Цю величину часто називають $ \\ it (енергією сигналу) $ на частоті $ \\ omega $. Згідно з теоремою Парсеваля загальна енергія вхідного сигналу дорівнює сумі енергій по всіх частотах. $$ E \u003d \\ sum \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (N-1) (x_i ^ 2) \u003d \\ sum \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (N / 2) (P \\ left ((\\ omega _i) \\ right)). $$ Графік залежності потужності від частоти називається енергетичним спектром або спектром потужності. Енергетичний спектр дозволяє виявляти приховані періодичності вхідних даних і оцінювати внесок певних частотних компонент в структуру вихідних даних. Крім тригонометричної форми запису дискретного перетворення Фур'є широко використовується $ \\ it (комплексне уявлення) $. Комплексна форма запису перетворення Фур'є широко використовується в багатовимірному аналізі і зокрема при обробці зображень. Перехід з тригонометричної в комплексну форму здійснюється на підставі формули Ейлера $$ e ^ (j \\ omega t) \u003d \\ cos \\ omega t + j \\ sin \\ omega t, \\ quad j \u003d \\ sqrt (-1). $$ Якщо вхідна послідовність являє собою $ N $ комплексних чисел, то її дискретне перетворення Фур'є буде мати вигляд $$ G_m \u003d \\ frac (1) (N) \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (N-1) (x_n) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jmn) (N)), $$ а зворотне перетворення $$ x_m \u003d \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (N-1) (G_n) e ^ (\\ frac (2 \\ pi jmn) (N)). $$ Якщо вхідна послідовність являє собою масив дійсних чисел, то для неї існує як комплексне, так і синусно-косинусное дискретне перетворення. Взаємозв'язок цих уявлень виражається наступним чином: $$ a_0 \u003d G_0, \\ quad G_k \u003d \\ left ((a_k -jb_k) \\ right) / 2, \\ quad 1 \\ le k \\ le N / 2; $$ інші $ N / 2 $ значень перетворення є комплексно сполученими і не несуть додаткової інформації. Тому графік спектра потужності дискретного перетворення Фур'є симетричний щодо $ N / 2 $. Найпростіший спосіб обчислення дискретного перетворення Фур'є (ДПФ) - пряме підсумовування, воно призводить до $ N $ операціями на кожен коефіцієнт. Всього коефіцієнтів $ N $, так що загальна складність $ O \\ left ((N ^ 2) \\ right) $. Такий підхід не представляє практичного інтересу, так як існують набагато більш ефективні способи обчислення ДПФ, звані швидким перетворенням Фур'є (БПФ), що має складність $ O (N \\ log N) $. БПФ застосовується тільки до послідовностей, які мають довжину (число елементів), кратну ступеня 2. Найбільш загальний принцип, закладений в алгоритм БПФ, полягає в розбитті вхідної послідовності на дві послідовності половиннійдовжини. Перша послідовність заповнюється даними з парними номерами, а друга - з непарними. Це дає можливість обчислення коефіцієнтів ДПФ через два перетворення розмірністю $ N / 2 $. Позначимо $ \\ omega _m \u003d e ^ (\\ frac (2 \\ pi j) (m)) $, тоді $ G_m \u003d \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ ((N / 2) -1) (x_ (2n )) \\ omega _ (N / 2) ^ (mn) + \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ ((N / 2) -1) (x_ (2n + 1)) \\ omega _ (N / 2) ^ (mn) \\ omega _N ^ m $. Для $ m< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Дискретне перетворення Фур'є для двовимірного масиву чисел розміру $ M \\ times N $ визначається наступним чином: $$ G_ (uw) \u003d \\ frac (1) (NM) \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (N-1) (\\ sum \\ limits_ (m \u003d 1) ^ (M-1) (x_ (mn ))) e ^ ((- 2 \\ pi j \\ left [(\\ frac (mu) (M) + \\ frac (nw) (N)) \\ right])), $$ а зворотне перетворення $$ x_ (mn) \u003d \\ sum \\ limits_ (u \u003d 1) ^ (N-1) (\\ sum \\ limits_ (w \u003d 1) ^ (M-1) (G_ (uw))) e ^ ((2 \\ pi j \\ left [(\\ frac (mu) (M) + \\ frac (nw) (N)) \\ right])). $$ У разі обробки зображень компоненти двовимірного перетворення Фур'є називають $ \\ textit (просторовими частотами) $. Важливою властивістю двовимірного перетворення Фур'є є можливість його обчислення з використанням процедури одновимірного БПФ: $$ G_ (uw) \u003d \\ frac (1) (N) \\ sum \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (N-1) (\\ left [(\\ frac (1) (M) \\ sum \\ limits_ (m \u003d 0) ^ (M-1) (x_ (mn) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jmw) (M)))) \\ right]) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jnu) (N) ), $$ Тут вираз в квадратних дужках є одномірне перетворення рядка матриці даних, яке може бути виконане з одновимірним БПФ. Таким чином, для отримання двовимірного перетворення Фур'є потрібно спочатку вирахувати одномірні перетворення рядків, записати результати в початкову матрицю та обчислити одномірні перетворення для стовпців отриманої матриці. При обчисленні двовимірного перетворення Фур'є низькі частоти будуть зосереджені в кутах матриці, що не дуже зручно для подальшої обробки отриманої інформації. Для перекладу отримання уявлення двовимірного перетворення Фур'є, в якому низькі частоти зосереджені в центрі матриці, можна виконати просту процедуру, яка полягає в множенні вихідних даних на $ -1 ^ (m + n) $. На рис. 16 показані вихідне зображення і його Фур'є-образ. Півтонування та його Фур'є-образ (зображення отримані в системі LabVIEW) Згортка функцій $ s (t) $ і $ r (t) $ визначається як $$ s \\ ast r \\ cong r \\ ast s \\ cong \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (s (\\ tau)) r (t- \\ tau) d \\ tau. $$ На практиці доводиться мати справу з дискретною сверткой, в якій безперервні функції замінюються наборами значень у вузлах рівномірної сітки (зазвичай береться целочисленная сітка): $$ (r \\ ast s) _j \\ cong \\ sum \\ limits_ (k \u003d -N) ^ P (s_ (j-k) r_k). $$ Тут $ -N $ і $ P $ визначають діапазон, за межами якого $ r (t) \u003d 0 $. При обчисленні згортки за допомогою перетворення Фур'є використовується властивість перетворення Фур'є, згідно з яким твір образів функцій в частотної області еквівалентно згортку цих функцій у временн ой області. Для обчислення звірки необхідно перетворити вихідні дані в частотну область, тобто обчислити їх перетворення Фур'є, перемножити результати перетворення і виконати зворотне перетворення Фур'є, відновивши вихідне уявлення. Єдина тонкість в роботі алгоритму пов'язана з тим, що в разі дискретного перетворення Фур'є (на відміну від безперервного) відбувається згортка двох періодичних функцій, тобто наші набори значень задають саме періоди цих функцій, а не просто значення на якомусь окремому ділянці осі. Тобто алгоритм вважає, що за точкою $ x_ (N) $ йде не нуль, а точка $ x_ (0) $, і так далі по колу. Тому, щоб згортка коректно вважалася, необхідно приписати до сигналу досить довгу послідовність нулів. Лінійні методи фільтрації належать до числа добре структурованих методів, для яких розроблені ефективні обчислювальні схеми, засновані на швидких алгоритмах згортки і спектральному аналізі. У загальному вигляді лінійні алгоритми фільтрації виконують перетворення виду $$ f "(x, y) \u003d \\ int \\ int f (\\ zeta -x, \\ eta -y) K (\\ zeta, \\ eta) d \\ zeta d \\ eta, $$ де $ K (\\ zeta, \\ eta) $ - ядро \u200b\u200bлінійного перетворення. При дискретному поданні сигналу інтеграл в цій формулі вироджується у зважену суму відліків вихідного зображення в межах деякої апертури. При цьому вибір ядра $ K (\\ zeta, \\ eta) $ відповідно до того чи іншим критерієм оптимальності може привести до ряду корисних властивостей (гауссовское згладжування при регуляризації задачі чисельного диференціювання зображення та ін.). Найбільш ефективно лінійні методи обробки реалізуються в частотної області. Використання Фур'є-образу зображення для виконання операцій фільтрації обумовлено перш за все більш високою продуктивністю таких операцій. Як правило, виконання прямого і зворотного двовимірного перетворення Фур'є і множення на коефіцієнти Фур'є-образу фільтра займає менше часу, ніж виконання двовимірної згортки вихідного зображення. Алгоритми фільтрації в частотній області грунтуються на теоремі про пакунку. У двовимірному випадку перетворення згортки виглядає наступним чином: $$ G \\ left ((u, v) \\ right) \u003d H \\ left ((u, v) \\ right) F \\ left ((u, v) \\ right), $$ де $ G $ - Фур'є-образ результату згортки, $ H $ - Фур'є-образ фільтра, а $ F $ - Фур'є-образ вихідного зображення. Тобто в частотної області двовимірна згортка замінюється поелементний перемножением образів вихідного зображення і відповідного фільтра. Для виконання згортки необхідно виконати наступні дії. Зв'язок між функцією фільтра в частотній і просторової області можна визначити, використовуючи теорему про згортку $$ \\ Phi \\ left [(f \\ left ((x, y) \\ right) \\ ast h (x, y)) \\ right] \u003d F \\ left ((u, v) \\ right) H \\ left (( u, v) \\ right), $$ $$ \\ Phi \\ left [(f \\ left ((x, y) \\ right) h (x, y)) \\ right] \u003d F \\ left ((u, v) \\ right) \\ ast H \\ left (( u, v) \\ right). $$ Згортка функції з імпульсною функцією може бути представлена \u200b\u200bнаступним чином: $$ \\ sum \\ limits_ (x \u003d 0) ^ M (\\ sum \\ limits_ (y \u003d 0) ^ N (s \\ left ((x, y) \\ right))) \\ delta \\ left ((x-x_0, y-y_0) \\ right) \u003d s (x_0, y_0). $$ Фур'є-перетворення імпульсної функції $$ F \\ left ((u, v) \\ right) \u003d \\ frac (1) (MN) \\ sum \\ limits_ (x \u003d 0) ^ M (\\ sum \\ limits_ (y \u003d 0) ^ N (\\ delta \\ frac (1) (MN). $$ Нехай $ f (x, y) \u003d \\ delta (x, y) $, тоді згортка $$ f \\ left ((x, y) \\ right) \\ ast h (x, y) \u003d \\ frac (1) (MN) h \\ left ((x, y) \\ right), $$ $$ \\ Phi \\ left [(\\ delta \\ left ((x, y) \\ right) \\ ast h (x, y)) \\ right] \u003d \\ Phi \\ left [(\\ delta \\ left ((x, y) \\ right)) \\ right] H \\ left ((u, v) \\ right) \u003d \\ frac (1) (MN) H \\ left ((u, v) \\ right). $$ З цих виразів видно, що функції фільтра в частотній і просторової областях взаємопов'язані через перетворення Фур'є. Для даної функції фільтра в частотній області завжди можна знайти відповідний фільтр в просторової області, застосувавши зворотне перетворення Фур'є. Те ж вірно і для зворотного випадку. Використовуючи дану взаємозв'язок, можна визначити процедуру синтезу просторових лінійних фільтрів. ($ \\ Textit (Ідеальний фільтр низьких частот) $) $ H (u, v) $ має вигляд $$ H (u, v) \u003d 1, \\ quad \\ mbox (якщо) D (u, v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($ \\ Textit (Ідеальний високочастотний фільтр) $) виходить шляхом інверсії ідеального фільтра низьких частот: $$ H "(u, v) \u003d 1-H (u, v). $$ Тут відбувається повне придушення низькочастотних компонент при збереженні високочастотних. Однак як і в разі ідеального фільтра низьких частот, його застосування загрожує появою істотних спотворень. Для синтезу фільтрів з мінімальними спотвореннями використовуються різні підходи. Одним з них є синтез фільтрів на основі експоненти. Такі фільтри привносять мінімальні спотворення в результуюче зображення і зручні для синтезу в частотної області. Широко використовуються при обробці зображень є сімейство фільтрів на підставі дійсної функції Гаусса. $ \\ Textit (Низькочастотний гауссовский фільтр) $ має вигляд $$ h \\ left (x \\ right) \u003d \\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma Ae ^ (- 2 \\ left ((\\ pi \\ sigma x) \\ right) ^ 2) \\ mbox (і) H \\ left ( u \\ right) \u003d Ae ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma ^ 2)) $$ Чим вже профіль фільтра в частотній області (чим більше $ \\ sigma $), тим він ширший в просторової. ($ \\ Textit (Високочастотний гауссовский фільтр) $) має вигляд $$ h \\ left (x \\ right) \u003d \\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma _A Ae ^ (- 2 \\ left ((\\ pi \\ sigma _A x) \\ right) ^ 2) - \\ sqrt (2 \\ pi ) \\ sigma _B Be ^ (- 2 \\ left ((\\ pi \\ sigma _B x) \\ right) ^ 2), $$ $$ H \\ left (u \\ right) \u003d Ae ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma _A ^ 2)) - Be ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma _B ^ 2 )). $$ У двовимірному випадку ($ \\ it (низькочастотний) $) фільтр Гаусса виглядає наступним чином: $$ H \\ left ((u, v) \\ right) \u003d e ^ (- \\ frac (D ^ 2 \\ left ((u, v) \\ right)) (2D_0 ^ 2)). $$ ($ \\ It (Високочастотний) $) гауссовский фільтр має вигляд $$ H \\ left ((u, v) \\ right) \u003d 1-e ^ (- \\ frac (D ^ 2 \\ left ((u, v) \\ right)) (2D_0 ^ 2)). $$ Розглянемо приклад фільтрації зображення (рис. 1) в частотній області (рис. 17 - 22). Зауважимо, що частотна фільтрація зображення може мати сенс як згладжування ($ \\ textit (низькочастотна фільтрація) $), так і виділення контурів і малорозмірних об'єктів ($ \\ textit (високочастотна фільтрація) $). Як видно з рис. 17, 19, у міру наростання "потужності" фільтрації в низькочастотної складової зображення все сильніше виявляється ефект "уявній расфокусировки" або $ \\ it (розмиття) $ зображення. У той же час в високочастотну складову, де на початку спостерігаються лише контуру об'єктів, поступово переходить велика частина інформаційного змісту зображення (рис. 18, 20 - 22). Розглянемо тепер поведінку високочастотних і низькочастотних фільтрів (рис. 23 - 28) в присутності адитивного гауссовского шуму на зображенні (рис. 7). Як видно з рис. 23, 25, властивості низькочастотних фільтрів з придушення адитивної випадкової перешкоди аналогічні властивостям раніше розглянутих лінійних фільтрів - при достатній потужності фільтра перешкоди придушуються, однак платою за це є сильне розмиття контурів і "расфокусировка" всього зображення. Високочастотна складова зашумленного зображення перестає бути інформативною, так як крім контурної і об'єктової інформації там тепер також повністю присутній і шумова компонента (рис. 27, 28). Застосування частотних методів найдоцільніше в разі, коли відомі статистична модель шумового процесу або / і оптична передавальна функція каналу передачі зображення. Врахувати такі апріорні дані зручно, вибравши в якості відновлюючого фільтра узагальнений керований (параметрами $ \\ sigma $ і $ \\ mu $) фільтр такого вигляду: $$ F (w_1, w_2) \u003d \\ left [(\\ frac (1) (P (w_1, w_2))) \\ right] \\ cdot \\ left [(\\ frac ((\\ vert P (w_1, w_2) \\ vert ) ^ 2) (\\ vert P (w_1, w_2) \\ vert ^ 2 + \\ alpha \\ vert Q (w_1, w_2) \\ vert ^ 2)) \\ right]. $$ де $ 0< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. До переваг методів лінійної фільтрації слід віднести їх ясний фізичний зміст і простоту аналізу результатів. Однак при різкому погіршенні співвідношення сигнал / шум, при можливих варіантах майданного зашумлення і наявності Високоамплітудний імпульсного шуму лінійні методи попередньої обробки можуть виявитися недостатніми. У цій ситуації значно потужнішими виявляються нелінійні методи. 19 Квиток1. Операція дилатації 2. Просторово-спектральні ознаки Операції дилатації. Нехай А і В - безлічі з простору Z 2. Дилатація безлічі А по безлічі В (або щодо В) позначається А⊕В і визначається як Можна переписати в наступному вигляді: Безліч В будемо називати структуроутворюючих безліччю або примітивом дилатації. В основі (11) лежить отримання центрального відображення безлічі У відносно його початкових координат (центр В), потім зрушення цієї множини в точку z, дилатація безлічі А по В - безліч всіх таких зсувів z, при яких і А збігаються щонайменше в одному елементі. Дане визначення не є єдиним. Однак процедура дилатації в деякому сенсі схожа на операцію згортки, яка виконується над множинами. Просторово-спектральні ознаки Відповідно до (1.8) двовимірне перетворення Фур'є визначається як де w x, w y - просторові частоти. Квадрат модуля спектра M ( w x, w y) \u003d | Ф ( w x, w y) | 2 може бути використаний для обчислення ряду ознак. інтегрування функції M(w x, w y) За кутом на площині просторових частот дає просторово-частотний ознака, інваріантний щодо зсуву і обертання зображення. представивши функцію M(w x, w y) В полярних координатах, запишемо цю ознаку у вигляді де q\u003d Arctg ( w y/w x); r 2 = w x 2 +w y 2 . 20 Квиток1. Операція ерозії Дискретне двовимірне перетворення Фур'є матриці відліків зображення визначається у вигляді ряду: де, а дискретне зворотне перетворення має вигляд: За аналогією з термінологією безперервного перетворення Фур'є змінні називають просторовими частотами. Слід зазначити, що не всі дослідники послуговуються терміном (4.97), (4.98). Одні вважають за краще розміщувати всі масштабні постійні в вираз для зворотного перетворення, а інші змінюють знаки в ядрах на протилежні. Оскільки ядра перетворення симетричні і разделіми, двовимірне перетворення можна виконати у вигляді послідовних одновимірних перетворень по рядках і стовпцях матриці зображення. Засадничими функціями перетворення є експоненти з комплексними показниками, які можна розкласти на синусно і косинусному складові. Таким чином, Спектр зображення має багато цікавих структурних особливостей. Спектральна складова на початку координат частотної площини дорівнює збільшеному в N раз середньому (по вихідній площині) значенням яскравості зображення. Підставивши в рівність (4.97) де і - постійні, отримаємо: При будь-яких цілочисельних значеннях і другий експонентний множник рівності (4.101) перетворюється в одиницю. Таким чином, при, що свідчить про періодичність частотної площині. Цей результат ілюструє малюнок 4.14, а. Двовимірний спектр Фур'є зображення є по суті поданням двовимірного поля у вигляді ряду Фур'є. Для того щоб таке уявлення було справедливим, вихідне зображення також має володіти періодичною структурою, тобто мати малюнок, що повторюється по вертикалі і горизонталі (рис. 4.14, б). Таким чином, правий край зображення примикає до лівого, а верхній край - до нижнього. Через розривів значень яскравості в цих місцях в спектрі зображення виникають додаткові складові, які лежать на координатних осях частотної площині. Ці складові не пов'язані зі значеннями яскравості внутрішніх точок зображення, але вони необхідні для відтворення його різких кордонів. Якщо масив відліків зображення описує поле яскравості, то числа будуть дійсними і позитивними. Однак спектр Фур'є цього зображення в загальному випадку має комплексні значення. Оскільки спектр містить компонент, що представляють дійсну і уявну частини або фазу і модуль спектральних складових для кожної частоти, може здатися, що перетворення Фур'є збільшує розмірність зображення. Це, однак, не так, оскільки володіє симетрією щодо комплексного сполучення. Якщо в рівності (4.101) покласти і рівними цілим числам, то після комплексного сполучення вийде рівність: За допомогою підстановки і src \u003d http: //electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif\u003e можна показати, що Через наявність комплексно-сполученої симетрії майже половина спектральних складових виявляється надлишкової, тобто їх можна сформувати з інших складових (рис. 4.15). Надлишковими складовими можна, звичайно, вважати гармоніки, що потрапляють не в нижню, а в праву полуплоскость. Фур'є-аналіз в обробці зображень використовується в тих же цілях, що і для одновимірних сигналів. Однак в частотної області зображення не представляють будь-якої осмисленої інформації, що робить перетворення Фур'є не таким корисним засобом аналізу зображень. Наприклад, коли перетворення Фур'є застосовується до одновимірного аудіосигналу, то в тимчасовій області трудноформалізуемая і складна форма сигналу перетворюється в простий для розуміння спектр в частотної області. Для порівняння, беручи перетворення Фур'є (трансформанта Фур'є) зображення, ми перетворимо впорядковану інформацію в просторової області (просторовому домені) в закодовану форму в частотної області (частотному домені). Коротше кажучи, не чекайте, що перетворення Фур'є допоможе Вам зрозуміти інформацію, закодовану в зображеннях. Аналогічно, не варто звертатися до частотної області при проектуванні фільтра. Основною характерною особливістю в зображеннях є межа - лінія, що відокремлює один об'єктабо областьвід іншого об'єктаабо області. Так як контури на зображенні містять в собі широкий діапазон частотних складових, то намагатися змінити зображення, маніпулюючи спектром частот - завдання малоефективна. Фільтри для обробки зображень зазвичай проектуються в просторової області, де інформація представлена \u200b\u200bв своїй найпростішій та доступній формі. При вирішенні задач обробки зображень необхідно, скоріше, оперувати термінами операцій згладжуванняі підкресленняконтурів (просторовий домен), ніж в термінах фільтр верхніх частоті фільтр нижніх частот(Частотний домен). Незважаючи на це, Фур'є аналіз зображення має кілька корисних властивостей. наприклад, згорткав просторової області відповідає множеннюв частотної області. Це важливо, тому що множення - більш проста математична операція, ніж згортка. Як і у випадку з одновимірними сигналами, це властивість дозволяє виконувати згортку з використанням ШПФ і використовувати різні методи деконволюции. інше корисна властивість в частотної області - це теорема Фур'є сектора, Що встановлює відповідності між зображенням і його проекціями (види одного і того ж зображення з різних сторін). Ця теорема становить теоретичну базу таких напрямків як копьютерного томографія, рентгеноскопія, Широко використовуваних в медицині і промисловості. Частотний спектр зображення може бути обчислений декількома способами, але найбільш практичним методом для обчислення спектру є алгоритм БПФ. При використанні алгоритму БПФ початкове зображення повинне містити N рядків і N стовпців, причому число N повинна бути кратна ступеня 2, тобто 256, 512, 1024 і т.д. Якщо вихідне зображення за своєю розмірності не кратне ступеня 2, то необхідно додати пікселі з нульовим значенням, щоб доповнити зображення до потрібного розміру. Внаслідок того, що перетворення Фур'є зберігає порядок проходження інформації, амплітуди низькочастотних складових будуть розташовуватися по кутах двовимірного спектра, в той час як високочастотні складові будуть перебувати в його центрі. Як приклад розглянемо результат перетворення Фур'є електронно-мікроскопічного зображення вхідного каскаду операційного підсилювача (рис.4.16). Так як в частотній області можуть міститися пікселі з негативними значеннями, то шкала рівнів «сірого» цих зображень зміщена таким чином, що негативні значення сприймаються як темні точки на зображенні, нульові - як сірі, а позитивні - як світлі. Зазвичай низькочастотні складові спектра зображення по амплітуді набагато більше, ніж високочастотні, що пояснює наявність дуже яскравих і дуже темних точок в чотирьох кутах на зображенні спектра (рис. 4.16, б). Як видно з малюнка, типовий спеКомплексне уявлення перетворення Фур'є.
Швидке перетворення Фур'є.
Двовимірне перетворення Фур'є.
Згортка з використанням перетворення Фур'є.
Фільтрація зображень в частотної області.
Инвариантностью щодо масштабу має ознака
