Linearna ovisnost i linearna neovisnost vektora.
Osnovni vektori. Affine koordinatni sistem

Publika ima kolibu sa čokolade, a svaki posjetitelj će danas dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebre. U ovom članku će se dva dijela viša matematika biti postavljena odmah, a vidjet ćemo kako se slažu u jednom omotu. Napravite pauzu, budite dosadni "Twix"! ... Prokletstvo, pa, glupost spore. Iako je u redu, na kraju neću postići gol, treba postojati pozitivan stav za studiranje.

Linearna ovisnost vektora, vektori linearne neovisnosti, osnovni vektori i drugi. Uvjeti nemaju samo geometrijsku interpretaciju, već, prije svega algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" u pogledu linearne algebre nije uvijek "običan" vektor, koji možemo prikazati u avionu ili u prostoru. Nije potrebno daleko za dokaze, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora. . Ili vremenski vektor za koji sam upravo otišao na GimEteo: - temperaturu i atmosferski pritisak, respektivno. Primjer, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne sprječava formaliziranje ovih parametara po vektoru. Respiratorni jeseni ...

Ne, neću vam poslati teoriju, linearne vektore, zadatak je razumjeti Definicije i teoremi. Novi pojmovi (linearna ovisnost, neovisnost, linearna kombinacija, osnova itd.) Primjenjivi su na sve vektore sa algebarskog stanovišta, ali primjeri će se dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Pored zadataka analitičke geometrije, pogledat ćemo i neke tipične zadatke algebre. Da biste savladali materijal, preporučljivo je upoznati sa predavanjima Vektori za čajnike i Kako izračunati odrednicu?

Linearna ovisnost i neovisnost vektora ravnine.
Koordinatni sustav aviona i afiniteta

Razmislite o ravnini tablice računara (samo stol, noćni ormarići, pod, plafon, koji se sviđa šta). Zadatak će se sastojati u sljedećim akcijama:

1) Odaberite baznu ravninu. Otprilike govoreći, sufrofone imaju duljinu i širinu, pa je intuitivno da će biti potrebna dva vektora za izgradnju baze. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora - Lishka.

2) Na osnovu odabrane osnove podesite koordinatni sistem (Koordinirati rešetku) za dodjeljivanje koordinata svim predmetima na stolu.

Nemojte se iznenaditi, prvo će objašnjenja biti na prstima. I, na tvom. Molim vas stavite prst lijeve ruke Na rubu stola vrha tako da je pogledao u monitor. Biće vektor. Sada mesto mysilineal desna ruka Na ivici tablice je potpuno isto - da je usmjeren na ekran monitora. Biće vektor. Smile, divno izgledaš! Šta se može reći o vektorima? Ovi vektori collinearnyi zbog toga linelo izraženo jedno u drugo:
Pa ili obrnuto:, gdje - neki broj koji nije nula.

Slika ove akcije može se pogledati na lekciji Vektori za čajnikeGde sam objasnio vektorsko množenje pravilo za broj.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravnini računarski stol? Očito, ne. Colinear vektori tamo putuju i ovdje jedan Smjer, a avion ima dužinu i širinu.

Takvi se vektori nazivaju linearno ovisan.

Reference: Riječi "linearne", "linear" označavaju činjenicu da matematičke jednadžbe, izrazi ne postoje trgovi, kockice, drugi stepeni, logaritam, sinuse itd. Postoje samo linearni (1. stepeni) izraza i zavisnosti.

Dva vektorska aviona linearno ovisan Zatim i samo kad su kolinore.

Prekrižite prste na stol da biste bili između njih bilo koji ugao, osim 0 ili 180 stepeni. Dva vektorska avionalinelo nezavisi od toga i samo ako se ne kolikiraju. Dakle, osnova se dobiva. Nije potrebno osramotiti da se osnova pokazala kao "kosi" sa imperpendikularnim vektorima različitih duljina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da za njegovu konstrukciju nije samo ugao od 90 stepeni, a ne samo pojedinačni vektori jednake dužine

Bilo koji Vektorski avion jedini način Označena bazom:
gde - važeći brojevi. Brojevi se nazivaju koordinate vektora U ovoj bazi.

Takođe reci da vektor Objavljeno u obliku linearna kombinacija Osnovni vektori. To jest, izraz se zove dekompozicija vektoraosnova ili linearna kombinacija Osnovni vektori.

Na primjer, možemo reći da se vektor razgrađuje na ortonormalnoj osnovi aviona, a može se reći da je zastupljeno kao linearna kombinacija vektora.

Formulisati definicija basea Formalno: Osnovni avion naziva par linearnih neovisnih (novihline) vektora, , gde bilo koji Vektor aviona je linearna kombinacija osnovnih vektora.

Bitna tačka definicije je činjenica da se vektori uzimaju u određenom redoslijedu. Baze - To su dvije potpuno različite baze! Kao što kaže izreka, mali prst lijeve ruke neće preurediti desnu ruku mizinze.

Osnova je shvatila, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate na svaki predmet vašeg računala. Zašto ne dovoljno? Vektori su besplatni i lutaju u cijelom avionu. Pa kako dodijeliti koordinate tih malih prljavih točaka tablice, što je ostalo nakon brzog vikenda? Treba nam početna referenca. A takva je smjernica poznata tačka - početak koordinata. Razumijemo koordinatni sustav:

Počeću sa sistemom "Školskog". Već u uvodnoj lekciji Vektori za čajnike Istakao sam neke razlike između pravokutnog koordinatnog sustava i ortonormalne osnove. Evo standardne slike:

Kad kažu O. pravokutni koordinatni sistem, najčešće znače porijeklo koordinata, koordiniraju osi i razmjera duž osi. Pokušajte birati u rezangularnom koordinatnom sustavu "Rektakularni koordinatni sustav", a vidjet ćete da će vam mnogi izvori reći o upoznavanju sa sjekiranim sjekirom od 5-6 klase i kako odgoditi tačke u avionu.

S druge strane, čini se da se pravokutni koordinatni sustav može odrediti ortonormalnom osnovi. I gotovo je tako. Zvukovi formulacije na sljedeći način:

Početak koordinata, I. Ortorormalosnova postavljena kartografski pravokutni koordinatni sustav . Odnosno pravokutni koordinatni sistem definitivan Određeno jedinom tačkom i dva pojedinačna ortogonalna vektora. Zbog toga vidite crtež koji sam vodio iznad - u geometrijskim zadacima, često (ali ne uvijek) crtaju vektore i koordiniraju osi.

Mislim da su svi jasni da je uz pomoć tačke (početak koordinata) i ortonormalne osnove Bilo koja točka aviona i bilo koji vektor avionamožete dodijeliti koordinate. Figurativno govoreći: "U ravnini se sve može numerirati."

Da li su koordinatni vektori dužni biti izolirani? Ne, oni mogu imati proizvoljnu dužinu bez nule. Razmotrite tačku i dva ortogonalna vektora proizvoljne nužne dužine:

Takva se temelji naziva ortogonal. Podrijetlo koordinata s vektorima postavilo je koordinatnu mrežu i bilo koju točku aviona, bilo koji vektor ima vlastite koordinate u ovoj bazi. Na primjer, ili. Očigledne neugodnosti je da koordinatni vektori uglavnom Imaju različite dužine osim jedne. Ako su duljine jednake jednom, tada se dobiva uobičajena ortonormalna osnova.

! Bilješka : U ortogonalnoj osnovi, kao i u nastavku u asortimanu aviona ravnine i prostora, u obzir se jedinice na osi Uslovan. Na primjer, u jednoj jedinici duž osi apscisa sadrži 4 cm, u jednoj jedinici duž Ordinate Axa 2, pogledajte da su ove informacije dovoljne za prevođenje "nestandardne" koordinate na "Naše obične centimetre".

I drugo pitanje za koje je odgovor već dat - je li potrebno izjednačiti 9 stupnjeva između osnovnih vektora? Ne! Kako kaže definicija, moraju biti osnovni vektori samo nonollylinear. U skladu s tim, ugao može biti bilo tko osim 0 i 180 stepeni.

Pogled na točka Početak koordinata, I. nonollylinear vektori , pitaj aFFINE koordinatni sistem ravnine :

Ponekad se naziva takav koordinatni sistem kosholnaya sistem. Kao primjeri u crtežu, tačkice i vektori su prikazani:

Dok razumijete, Afine koordinatni sustav je još manje zgodan, ne radi formule za vektore i segmente koje smo razmatrali u drugom dijelu lekcije Vektori za čajnikeMnoge ukusne formule povezane sa vektori skalarnog proizvoda. Ali postoje valjana pravila za dodavanje vektora i umnožavanje vektora po broju, formula divizije segmenta u tom pogledu, kao i još nekoliko zadataka koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak da je najprikladniji privatni slučaj koordinatnog sustava afiniteta decertijanskog pravokutnog sistema. Stoga, rodom, najčešće i mora razmišljati. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - ima puno situacija u kojima je Kolnaya prikladna (ili što drugo, na primjer, na primjer, polar) Koordinirani sistem. Da, i humanoidi takvi sustavi mogu doći do ukusa \u003d)

Idite na praktični dio. Svi zadaci ove lekcije vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za zajednički afionalni slučaj. Ovdje nema ništa teško, sav je materijal čak i na raspolaganju školskom.

Kako odrediti kolibranost vektora ravnine?

Tipična stvar. Da bi se za dva vektora ravnine bili su Collinear, to je potrebno i dovoljno tako da su njihove relevantne koordinate proporcionalne. Prema stvorenju, ovo je redieble detaljno očinjenoj vezi.

Primjer 1.

a) Proverite da li suvilearni vektori .
b) da li osnova formira vektore ?

Odluka:
a) Saznajte ako postoji vektori Koeficijent proporcionalnosti, takav da se izvrši jednakost:

Definitivno ću reći o vrstama Pzhonskaya "o primjeni ovog pravila, što se u praksi prilično kotrljaju. Ideja je odmah napraviti udio i vidjeti je li istina:

Učinite udio iz odnosa odgovarajućih koordinata vektora:

Crvena riba:
Dakle, odgovarajuće koordinate su proporcionalne, dakle,

Stav se može pretvoriti na suprotno, to je jednaka verzija:

Za samotestiranje moguće je koristiti činjenicu da su kolorinerski vektori linearno izraženi jedno u drugom. U ovom slučaju postoje jednakost . Njihova se pravda lako provjerava kroz osnovne akcije sa vektorima:

b) dva vektor ravnine formiraju osnovu, ako nisu kolinore (linearno neovisni). Istražite vektore sa kolibenošću . Napravite sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da iz druge jednake to slijedi, to znači da to znači sistem je nepotpun (Bez rešenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Izlaz: Vektori su linearno neovisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Napraviti udio odgovarajućih koordinata vektora :
To znači da su ti vektori linearno neovisni i čine osnovu.

Obično ovu opciju ne obilježavaju recenzenti, ali problem se pojavljuje u slučajevima kada su neke koordinate nula. Volim ovo: . Ili tako: . Ili tako: . Kako djelovati kroz proporciju? (Zaista, nemoguće je dijeliti za nulu). Iz tog razloga sam nazvao pojednostavljene odluke "Pzhonsky".

Odgovor:a), b) obrazac.

Mali kreativni primjer za neovisno rešenje:

Primjer 2.

Sa kojom vrijednošću vektora parametara Hoće li Collinearins?

U uzorku rješenja parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantna algebarska metoda provjere vektora za Collinearity., Mi sistematiziramo svoje znanje i peta stavka samo dodajte:

Sljedeće izjave su ekvivalent za dva vektora ravnine.:

2) osnova vektora;
3) vektori nisu kolinore;

+ 5) Odrednica sastavljena od koordinata ovih vektora različita je od nule.

Respektivno, sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne.:
1) vektori su linearno ovisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) kolinov vektori;
4) vektori mogu biti linearno izraženi jedno u drugom;
+ 5) Odrednica sastavljena od koordinata ovih vektora je nula.

Jako sam i jako se nadam da ste trenutno već razumljivi za sve uslove i navode.

Razmotrite novu, petu tačku: dva vektorska aviona Collinearny zatim i samo ako je odrednica sastavljena od koordinata podataka vektora nula:. Da biste primijenili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađi identificira.

Odlučan Primjer 1 drugi način:

a) Izračunajte odrednicu sastavljenu od koordinata vektora :
Dakle, ovi kolorini vektori.

b) dva vektor ravnine formiraju osnovu, ako nisu kolinore (linearno neovisni). Izračunajte odrednicu sastavljenu od koordinata vektora :
Dakle, vektori su linearno neovisni i čine osnovu.

Odgovor:a), b) obrazac.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepši od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala, ne može se instalirati samo kolibranost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata, direktno. Razmotrite par zadataka sa specifičnim geometrijskim oblicima.

Primjer 3.

Dana vrhovi klica. Dokažite da je Quadril paralelogram.

Dokaz: Crtež nije potreban u zadatku, jer će rješenje biti čisto analitičko. Sjetite se definicije paralelograma:
Paralelogram Naziva se kvačicom, koji ima suprotne strane paralelno.

Dakle, morate dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i.

Dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Pokazalo se isti vektor ("u školi" - jednaki vektori). Collinearnost je potpuno očita, ali bolje je donijeti odluku s poravnanjem. Izračunajte odrednicu sastavljenu od koordinata vektora:
To znači da su to kolinovski vektori i.

Izlaz: Suprotne strane četvorke su paralelne paralelne, to znači da je to paralelogram po definiciji. Q.e.d.

Više dobrih i različitih podataka:

Primjer 4.

Dana vrhovi klica. Dokažite da je Quadril trapez.

Za strože formulacija dokaza, naravno, bolje je dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je i samo zapamti kako to izgleda.

Ovo je zadatak za neovisno rješenje. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se mirno pomakne iz aviona u svemir:

Kako odrediti kolibranost svemirskih vektora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi se dvojica vektora plovila kolinorjeti, potrebno je i dovoljno da njihove koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5.

Saznajte da li će Collinear biti sljedeći vektori prostora:

ali);
b)
u)

Odluka:
a) Provjerite postoji li omjer proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rešenja, to znači da vektori nisu kolinore.

"Pojednostavljeno" izdaje se provjerom udjela. U ovom slučaju:
- relevantne koordinate nisu proporcionalne, to znači da vektori nisu kolinore.

Odgovor: Vektori nisu kolinirani.

b-C) Ovo su stavke za neovisnu odluku. Isprobajte da se dogovorite na dva načina.

Postoji metoda za provjeru prostornih vektora na kolibranošću i kroz determinaciju trećeg reda, ova metoda je obuhvaćena u članku Vektorski umetnički vektori.

Slično u ravnom slučaju, smatra se da se alat za alat može koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i direktno.

Dobrodošli u drugi odjeljak:

Linearna ovisnost i neovisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna baza i afine koordinatni sistem

Mnogi su zakoni koji smo gledali u avion bit će fer za prostor. Pokušao sam minimizirati sažetak na teoriji, jer je lavovski udio informacija već degradiran. Međutim, preporučujem da pažljivo pročitajte uvodni dio, jer će se pojaviti novi uvjeti i koncepti.

Sada umjesto ravnine tablice računara ispitujemo trodimenzionalni prostor. Prvo stvoriti svoju osnovu. Netko se sada nalazi u sobi, neko na ulici, ali u svakom slučaju ne možemo ići nigdje iz tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga će biti potrebna tri prostorna velekatora za izgradnju baze. Jedan ili dva vektora su mala, četvrta je suvišna.

I opet diše prste. Podignite ruku i širite se u različitim smjerovima. veliki, indeks i srednji prst. To će biti vektori, gledaju na različite smjerove, imaju drugačiju dužinu i imaju različite uglove međusobno. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Usput, nije potrebno demonstrirati takve nastavnike, bez obzira koliko ohladili prste, a definicije ne idu nikamo \u003d)

Dalje ćemo definirati važno pitanje, svaki tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Molimo pritisnite tri prste čvrsto na tablicu tablice računara. Šta se desilo? Tri vektora nalaze se u istoj ravnini, a grubo gledano, izgubili smo jednu od mjerenja - visinu. Takvi vektori su opšti I, sasvim je očigledno da osnova trodimenzionalnog prostora ne stvara.

Treba napomenuti da vektori pretinca nisu potrebni da leže u istoj ravnini, oni mogu biti u paralelnim avionima (jednostavno to ne učinite svojim prstima, tako da je samo Salvador davao \u003d).

Definicija: Pozvani su vektori opštiAko postoji avion sa kojim su paralelni. Ovdje je logično da ako takav avion ne postoji, vektori se neće prestati.

Tri vektora odjeljka uvijek su linearno ovisni., to jeste, linearno izraženo jedno u drugo. Za jednostavnost ćemo ponovo zamisliti da leže u istoj ravnini. Prvo, vektori nisu dovoljni da se kompanije mogu biti kolinore, tada se bilo koji vektor može izraziti bilo kojim vektorom. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinirani, tada se treći vektor izražava kroz njih jedini način: (I zašto - lako pogoditi na osnovu materijala prethodnog odjeljka).

Sajam i suprotna izjava: Tri nekompletna vektora uvijek su linearno neovisni, to je, ni na koji način izraženi u jednom prijatelju. I očito, samo takvi vektori mogu formirati trodimenzionalnu osnovu.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se tripler linearnim neovisnim (nekompletnijim) vektorima, naučen, sa bilo kojim vektorskim prostorom jedini način Otkriveno na osnovu toga, gde - koordinate vektora u ovoj bazi

Podsjećam da možete reći i da je vektor predstavljen u obliku linearna kombinacija Osnovni vektori.

Koncept koordinatnog sustava uveden je na isti način kao i za ravan slučaj, samo jedan bod i bilo koji tri linearno neovisna vektora:

Početak koordinata, I. nekomplenar vektori uzeta u određeno, pitaj affine koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatni mrežica "kosi" i slabo okretanje, ali, ipak, izgrađeni koordinatni sistem omogućava nam definitivan Odredite koordinate bilo kojeg vektora i koordinata bilo koje točke prostora. Slično tome, avion u koordinatnom sustavu Affine neće raditi za neke formule koje sam već spomenuo.

Najpoznatiji i prikladniji privatni slučaj Afine koordinatnog sustava, kako svi nagađaju pravokutni sistem za koordinate prostora:

Point prostor pod nazivom Početak koordinata, I. Ortorormalosnova postavljena cartePow pravokutni svemirski koordinatni sistem . Poznata slika:

Prije preseljenja na praktične zadatke, ponovo sistematiziramo informacije:

Za tri vektora prostora su ekvivalentnim sljedećim izjavama:
1) vektori su linearno neovisni;
2) osnova vektora;
3) vektori nisu odjeljak;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti;
5) Odrednica sastavljena od koordinata ovih vektora različita je od nule.

Mislim da su suprotne izjave, razumljivi.

Linearna ovisnost / neovisnost svemirskih vektora tradicionalno se provjerava korištenjem odrednica (stav 5). Preostali praktični zadaci bit će jarko izraženi algebarskom algeikom. Vrijeme je za objesiti geometrijski klub za nokte i omotavanje bejzbol palice linearne algebre:

Tri vektore vektora Komplijanna tada i samo ako je odrednica sastavljena iz koordinata ovih vektora je nula: .

Skrećem pažnju na malu tehničku nizu: koordinate vektora mogu se zabilježiti ne samo u stupcima, već i u nizu (vrijednost odrednice se neće mijenjati iz ovoga - vidjeti svojstva odrednica). Ali mnogo bolje u stupcima, jer je profitabilnije za rješavanje nekih praktičnih zadataka.

Dakle, čitatelji koji su malo osporene metode za izračunavanje odrednica, a uglavnom mogu biti fokusirani na njih, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati odrednicu?

Primjer 6.

Provjerite da li trodimenzionalna osnova formira sljedeće vektore:

Odluka: Zapravo se cjelokupna odluka svodi na obračun odrednica.

a) izračunati odrednicu sastavljenu od koordinata vektora (odrednica se objavljuje na prvom retku):

To znači da su vektori linearno neovisni (ne odjeljak) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovoriti: Ovi vektori čine osnovu

b) Ovaj predmet za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Pronađeni su kreativni zadaci:

Primjer 7.

Sa kojim vrijednosti vektorskog parametra će biti odjeljak?

Odluka: Vektori su odjeljak ako i samo ako je odrednica sastavljena iz koordinata podataka vektora nula:

U osnovi, potrebno je riješiti jednadžbu sa odrednicama. Okrećemo se na NELO-ove kao kamenke na cijevima - odrednica je najpovoljnija za otkrivanje druge linije i odmah se riješite minuse:

Izvodimo daljnje pojednostavljenja i smanjimo najjednostavnije linearna jednadžba:

Odgovoriti: za

Jednostavno je izvršiti ček, za to morate zamijeniti primljenu vrijednost u originalnu determinaciju i provjerite je li , Ponovo previdi ponovo.

Zaključno, razmotrite drugu vrstu zadatka koji nosi više algebraike i tradicionalno se pretvara u linearnu algebru. To je tako uobičajeno da zaslužuje zasebnu temu:

Dokažite da 3 vektora formiraju trodimenzionalnu osnovu
i pronađite koordinate četvrtog vektora u ovoj osnovi

Primjer 8.

Ogromni vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronalaze koordinate vektora u ovoj bazi.

Odluka: Prvo se rastavljamo sa stanjem. Za uvjet se daju četiri vektora, a kao što vidite, oni već imaju koordinate u nekom osnovi. Kakva nas nije zainteresirana. I zanima vas sljedeća stvar: tri vektora mogu dobro formirati novu osnovu. I prva faza u potpunosti se podudara sa rješenjem primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori zaista linearno neovisni:

Izračunajte odrednicu sastavljenu od koordinata vektora:

Dakle, vektori su linearno neovisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Preduvjet Linearna ovisnost N funkcije.

Neka funkcije, imaju derivatni limit (N-1).

Razmislite o odrednicama: (1)

W (x) je uobičajeno da se definitivno naziva u Vronssky za funkcije.

Theorem 1. Ako su funkcije line, ovisne u intervalu (A, B), njihov Vrosanisan W (x) identičan je jednak nuli u ovom intervalu.

Dokaz. Stanje teoreme se omjer izvodi

, (2) gdje nisu jednaki nuli. Neka bude. Onda

(3). Razlikovati ovaj identitet N-1 i,

zamjena umjesto svojih dobivenih vrijednosti u odrednicu Vronskog,

dobijamo:

U odrednicama Bronskyja, potonji stupac je lingy kombinacija prethodnih N-1 stupaca i u vezi s tim je nula u cijelim intervalnim mjestima (A, B).

Theorem 2.U slučaju da funkcije y 1, ..., yn su lin-očima neovisna za jednadžbe l [y] \u003d 0, svi koeficijenti koji su kontinuirani u intervalu (a, b), zatim rogsmanu Od ovih rješenja razlikuju se od nule u svakom intervalu točke (A, B).

Dokaz. Pretpostavimo suprotno. Postoji x 0, gdje w (x 0) \u003d 0. Napravite sistem N od jednadžbi

Očito, sustav (5) ima nulto rješenje. Neka (6).

Napravimo li lanesku kombinaciju rješenja y 1, ..., y n.

(X) je rješenje jednadžbe L [y] \u003d 0. Pored toga. Na osnovu teoreme jedinstvenosti rješenja jednadžbe L [y] \u003d 0 sa nula početnih uvjeta treba biti samo nula, ᴛ.ᴇ. .

Dobijamo identitet, gdje nisu svi jednaki nuli, a to znači da y 1, ..., y n lično ovisi, što je u suprotnosti sa stanjem teoreme. Slijedom toga, nema takve točke gdje w (x 0) \u003d 0.

Na osnovu teorema 1 i teorema 2, možete formulisati sljedeću tvrdnju. Da biste n rješenja jednadžbe L [y] \u003d 0 Linezno neovisno u intervalu (A, B), izuzetno je važan i dovoljno je tako da njihov Vronoskan nije upućen na nulu u bilo kojem trenutku ovog intervala.

Nakon dokazanih teorema, slijede se i takva očita svojstva Vroskana.

1. Ako N Solutions l [y] \u003d 0 su nula na jednom trenutku x \u003d x 0 iz intervala (A, B) u kojoj su CEE proizvodi p i (x) kontinuirani, onda je nula u tako bivšim bodovima ovog intervala.
2. Ako n rješenja jednadžbe l [y] \u003d 0 razlikuju se od nule u jednom trenutku x \u003d x 0 iz intervala (A, B), tada se razlikuje od nule u cijelim mjestima ovog intervala.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, za LIN-esencija N od neovisnih rješenja jednadžbe L [y] \u003d 0 u intervalu (A, B) u kojem su koeficijenti jednadžbe R I (x), izuzetno je važan i dovoljno je važan Da bi njihov Vrosanić razlikovao od nule barem jednu tačku ovog intervala.

Potrebno stanje linearne ovisnosti n funkcija. - Koncept i vrsta. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Potrebno je stanje linearne ovisnosti n funkcija." 2017, 2018.

-

Brodovi preko broda za rukovanje teretom Predavanje # 6 Tema: Teretna oprema (teretna oprema) 6.1. Brod preko opreme za rukovanje teretom za rukovanje teretom). 6.2. Cargo dizalice. 6.3. Pregače. Preopterećenje je kretanje tereta na vozilo ili iz vozila. Mnogi ...

- Teretni kranovi (Cargo kranovi)

Sertifikati (certifikate) Odvajanje funkcija (podjela zadataka) Inspekcija, certificiranje i odgovornost podijeljeni su na ovaj način: & ....

- Znate li ga? Lo conoces?

Tu - Alla ovdje - Aqui u kafiću - en el cafe na poslu - en el trabajo na moru - en el mar 1. Ne znate gdje je kafić? 2. Ne znate gde Sasha? 3. Ne znate gdje biblioteka? 4. Ne znate gdje je Olya sada? 5. Ne znate gdje je Natasha sada? Dobar dan! Ja ...

- Definicija Zmina i Xmin iz odsustva rezanja

Sl.5.9. O rezanju kotača za zube. Razmislite o tome kako je koeficijent pomicanja šine X povezan s brojem zuba, koji se može sjeći šinom na kolu. Neka se šina instalira u položaju 1 (Sl.5.9.). U ovom slučaju, glave direktne šine preći će N-N autobusnu liniju u T. i ...

Ord.Sistem elemenata x 1, ..., x m Lin. Prospect V je linearno ovisan, ako ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ M | ≠ 0) Takvo λ 1 x 1 + ... + λ mxm \u003d θ.

Ord.Sistem elemenata x 1, ..., x m ∈ V je linearno neovisan, ako je izjednakosti λ 1 x 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d θ λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

Ord.Element X ∈ V je linearna kombinacija elemenata x 1, ..., XM ∈ V, ako ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ takav da je x \u003d λ 1 x 1 + ... + λ mx m.

Teorem (kriteriji linearne ovisnosti): Sistem vektora X 1, ..., X M ∈ V linearno ovisi ako je i samo ako je barem jedan sistem sustava linearno izražen u ostatku.

Dock. Nužnost: Let X 1, ..., XM je linearno ovisan ⟹ ∃ ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ M | ≠ 0) Takvo λ 1 x 1 + ... + λ M -1 XM -1 + λ mxm \u003d θ. Pretpostavimo da je λ m ≠ 0, onda

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Adekvatnost: Neka barem jedan od vektora linearno izraže u ostatku vektora: XM \u003d λ 1 x 1 + ... + λ M -1 XM -1 (λ 1, ..., λ M -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 + ... + λ M -1 XM -1 + (- 1) XM \u003d 0 λ m \u003d (- 1) ≠ 0 ⟹ x 1, ..., XM - linearno neovisno.

Trošak. Linearna ovisnost:

Ako sustav sadrži nultu element ili linearno ovisan podsistem, linearno ovisi.

λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 - linearno ovisan sistem

1) Neka je x 1 \u003d θ, tada je ta jednakost važi na λ 1 \u003d 1 i λ 1 \u003d ... \u003d λ M \u003d 0.

2) pustiti λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 biti linearno ovisan podsistem ⟹ | λ 1 | + ... + | λ M | ≠ 0. Zatim na λ 1 \u003d 0 također nabavite, | λ 1 | + ... + | λ M | ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 je linearno ovisan sistem.

Osnovni linearni prostor. Vektorske koordinate u ovoj bazi. Koordinate suma vektora i radova vektora po broju. Potrebno i dovoljan uvjet za linearnu ovisnost sistema vektora.

Definicija: Naređeni sistem elemenata E 1, ..., e N linearnog prostora V naziva se osnova ovog prostora ako:

A) E 1 ... E n linearno neovisan

B) ∀ x ∈ α 1 ... α n takav da je x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n

x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n - raspadaju element x u osnovi E 1, ..., n n

α 1 ... α n ∈ ℝ - koordinate elementa X na osnovu E 1, ..., n n

Teorem: Ako je osnova E 1, ..., E N dat linearnim prostorom V, a zatim ∀ X ∈ V stupac X koordinata u osnovi E 1, ..., E N je jedinstveno definirani (koordinate su jedinstveno definirane)

Dokaz: Neka je x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n i x \u003d β 1 e 1 + ... + β n e n

x \u003d ⇔ \u003d θ, i.e. e 1, ..., E n - linearno neovisno, onda - \u003d 0 ∀ i \u003d 1, ..., n ⇔ \u003d ∀ i \u003d 1, ..., n h. t. d.

Teorem: neka je e 1, ..., e n budite linearni prostor na bazi v; X, y - proizvoljni elementi prostora V, λ ∈ ℝ - proizvoljni broj. Uz dodavanje X i Y, njihove koordinate su presavijene, uz umnožavanje X na λ, X koordinate se takođe pomnožeju sa λ.

Dokaz: x \u003d (E 1, ..., e n) i y \u003d (E 1, ..., E n)

x + y \u003d + \u003d (E 1, ..., E n)

λx \u003d λ) \u003d (E 1, ..., E n)

Lemma1: (potrebno i dovoljan uvjet linearne ovisnosti sistema sistema)

Neka je E 1 ... EN osnova prostora V. Sistem elemenata F 1, ..., f k ∈ V linearno ovisi ako i samo ako su stupovi tih elemenata na osnovu E 1,. .., en su linearno ovisni

Dokaz: Spatrate F 1, ..., F K na osnovu E 1, ..., n n

f m \u003d (e 1, ..., e n) m \u003d 1, ..., k

λ 1 f 1 + ... + λ k f k \u003d (E 1, ..., n) [λ 1 + ... + λ n] i.e. λ 1 f 1 + ... + λ k f k \u003d θ

⇔ λ 1 + ... + λ n \u003d Šta je bilo potrebno za dokazivanje.

13. Dimenzija linearnog prostora. Teorema o priključenju dimenzije i baze.
Definicija: Linearni prostor V naziva se N-dimenzionalnim prostorom, ako postoje n linearno neovisni elementi u V, a sustav iz bilo kojeg N + 1 elemenata prostora V linearno ovisan. U ovom slučaju n naziva se dimenzija linearnog prostora V i označava Dimv \u003d n.

Linearni prostor se naziva beskonačno-dimenzionalno ako ∀n ∈ ℕ u prostoru V postoji linearno neovisan sistem koji sadrži n elemente.

Teorem: 1) Ako je V N-dimenzionalni linearni prostor, tada se bilo koji naručeni sustav od n linearijski neovisni elementi ovog prostora formira u osnovi. 2) Ako u linearnom prostoru V postoji osnova koja se sastoji od n elemenata, a zatim dimenzija V je n (dimv \u003d n).

Dokaz: 1) Let Dimv \u003d n ⇒ u v ∃ n linearno neovisnim elementima E 1, ..., n. Dokazujemo da ovi elementi čine osnovu, odnosno dokazujemo da se ∀ X ∈ V može razgraditi prema E 1, ..., e n. Priložite X: E 1, ..., E n, X za njih - Ovaj sistem sadrži N + 1 vektor i to znači da je linearno ovisan. Od E 1, ..., E n je linearno neovisan, a zatim teoremom 2 x. Linearno izraženo kroz E 1, ..., e n i. ∃, ..., kao što je X \u003d α 1 E 1 + ... + α n e n. Dakle, e 1, ..., E n je osnova svemira V. 2) Neka je E 1, ..., E n BEOS-a V, tako u v ∃ n linearno neovisnim elementima. Uzmi proizvoljnu f 1, ..., f n, f n +1 ∈ V - N + 1 elemente. Pokazujemo njihovu linearnu ovisnost. Raširite ih na osnovu:

f m \u003d (E 1, ..., E n) \u003d gdje m \u003d 1, ..., n pravite matricu iz koordinatnih stubova: A \u003d matrica sadrži n žice ⇒ rgaûn. Broj stupaca N + 1\u003e N ≥ RGA ⇒ Stupci matrice A (I.E., koordinate koordinate F 1, ..., F N, F N +1) linearno su ovisne. Od Lemme 1 ⇒, ..., f n, f n +1 - linearno ovisan ⇒ dimv \u003d n.

Posljedica:Ako bilo koji osnov sadrži n elemente, tada bilo koja druga osnova ovog prostora sadrži n elemente.

Theorem 2: Ako je sistem vektora X 1, ..., XM -1, XM linearno ovisan, a njegov podsistem X 1, ..., XM -1 je linearno neovisan, a zatim x m - linearno izraženo u X 1, .. ., X M -1

Dokaz: Jer x 1, ..., x m -1, x m - linearno ovisno, onda ∃, ... ,,,

, ..., | , | takav da. Ako ,, ..., | \u003d\u003e x 1, ..., x m -1 - linearno neovisno, što ne može biti. Pa m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Imajte na umu da ćemo ubuduće, bez narušavanja općenitosti razmotriti slučaj vektora u trodimenzionalnom prostoru. U avionu se razmatranje vektora vrši slično. Kao što je gore navedeno, svi rezultati poznati sa tokom linearne algebre za algebarske vektore mogu se prenijeti na poseban slučaj geometrijskih vektora. Dakle, učinite to.

Pustite vektore popravljenim.

Definicija.Iznos, gdje - neki brojevi nazivaju se linearnom kombinacijom vektora. U ovom se slučaju ovi brojevi naziva koeficijenti linearne kombinacije.

Zanimaćemo pitanje mogućnosti jednakosti linearne kombinacije na nulu vektora. U skladu s nekretninama i aksiomima vektorskih prostora postaje očigledno da za bilo koji vektori postoji trivijalni (nula) skup koeficijenata za koje se radi ta jednakost:

Postoji pitanje o postojanju za ovaj sistem vektora nerivijalnog skupa koeficijenata (među kojima postoji barem jedan ne-koeficijent) za koji se izvede spomenuta jednakost. U skladu s tim, razlikovat ćemo linearno ovisne i neovisne sustave.

Definicija.Sistem vektora naziva se linearno neovisnim ako postoji takav skup brojeva, među kojima postoji najmanje jedna nula, takva je odgovarajuća linearna kombinacija jednaka nulti vektora:

Sistem vektora naziva se linearno neovisnim ako jednakost

možda samo u slučaju trivijalnog skupa koeficijenata:

Navodimo osnovna svojstva linearnih ovisnih i neovisnih sustava dokazana kao linearna algebra.

1. Bilo koji sistem vektora koji sadrži nulti vektor je linearno ovisan.

2. Neka postoji linearno ovisan podsustav u vektore. Tada je cijeli sustav također linearno ovisan.

3. Ako je sustav vektora linearno neovisan, bilo koji od njenog podsustava također je linearno neovisan.

4. Ako u vektorima postoje dva vektora, od kojih je jedna dobivena iz drugog množenja po broju, a zatim cijeli sustav je linearno ovisan.

Teorem (kriterij linearne ovisnosti).Sistem vektora je linearno ovisan ako i samo ako se jedan od vektora ovog sustava bude predstavljen kao linearna kombinacija preostalih vektora sistema.

Uzimajući u obzir kriterij kolibranosti dva vektora, može se tvrditi da je njihova kolibranost kriterij njihove linearne ovisnosti. Za tri vektora u svemiru, sljedeća izjava je fer.

Teorem (kriterij linearne ovisnosti od tri geometrijska vektora).Tri vektora i linearno ovisni ako i samo ako su odjeljak.

Dokazi.

Nužnost.Pustite vektore i linearno zavisnim. Dokazujemo njihov odjeljak. Zatim, prema općem kriteriju linearne ovisnosti algebarskog vektora, tvrdimo da će jedan od ovih vektora predstavljati u obliku linearne kombinacije drugih vektora. Neka, na primjer,

Ako sva tri vektora i pričvršćuju se na opći početak, vektor se poklapa s dijagonalom paralelograma ugrađenog u vektore i. Ali to znači da vektori i leže u istoj ravnini, i.e. Komplijanna.

Adekvatnost.Pustite vektore i uporednu. Pokazujemo da su linearno ovisni. Prije svega, razmislite o slučaju kada neki pare iz navedenih suvišnih vektora. U ovom slučaju, prema prethodnoj teoremi, sustav vektora sadrži linearno ovisan podsustav i, prema tome, sam linearno ovisan prema vlasništvu od 2 linearnog ovisnog i neovisnog vektora. Sada, ne, nijedan par vektora koji se razmatraju nije kolinorenje. Sva tri vektora prenosimo na jednu ravninu i dajemo ih generalnom početku. Provedimo kroz kraj vektora direktnih paralelnih vektora i. Označite tačku sloma raskrižja ravnopravnog, paralelnog vektora, s ravnom linijom, na kojoj vektor laže, a tačka slova raskrižja, paralelno s vektorom, na kojoj se vektor laže. Po definiciji vektora dobijamo:

.

Budući da je vektor Collinear ne-nulti vektor, tada postoji valjan broj koji

Iz sličnih razmatranja, postojanje važećeg broja takvih

Kao rezultat toga, imaćemo:

Zatim, iz općeg kriterija linearne ovisnosti algebarskog vektora dobijamo taj vektore, linearno ovisni. ■.

Teorem (linearna ovisnost četiri vektora).Sva četiri vektora linearno ovise.

Dokazi. Prije svega, razmislite o slučaju kada neki trostruki iz navedenih četiri vektora odjeljka. U ovom se slučaju ovaj trostruko ovisi u skladu s prethodnom teorem. Slijedom toga, u skladu s imovinom 2 linearno ovisnih i neovisnih sustava vektora, a cijela četiri je linearno ovisna.

Sada pustite vektore da nemaju tri vektora vektora u vektorima koji se razmatraju. Sva četiri vektore dajemo ,, generalnom početku i potrošimo nakon završetka vektora ravnine paralelno s avionima, otkrivenim ogromnim parovima; ; . Točke raskrižja navedenih aviona s ravnim, na kojima vektori lažu, i, respektivno, slova i. Od određivanja zbroja vektora slijedi to

koji, uzimajući u obzir opći kriterij linearne ovisnosti algebarskog vektora, sugerira da su sva četiri vektora linearno ovisna. ■.

Definicija 18.2. Sistem funkcijaf., ..., f P.pozvanl.i- Nip O. Z. i i i s i m. o th u intervalu (ali, (3) ako je netrivijalno 5 linearna kombinacija ovih funkcija je nula u ovom intervalu identično:

Definicija 18.3. Sistemski vektori G 1, ..., x P poziva, linearna je i unutra, a s i s tim, ako je neka netrivijalna, linearna kombinacija ovih vektora jednaka vektoru metka:

L. Da bismo izbjegli zabune, nastavit ćemo broj komponenti vektora (vektorske funkcije) da se označi donji indeks, a broj samog vektora (ako postoji nekoliko takvih vektora) gornji.

"Podsjećamo da se linearna kombinacija naziva netrivial, ako nisu svi koeficijenti u njenoj nuli.

Definicija 18.4. Sistem vektorskih funkcija x 1 ^), ..., x n (t) naziva linear Z. i u i s i m o th u intervalu, (ali, / 3) Ako je neka ne-trivijalna linearna kombinacija ovih vektorskih funkcija identična jednaka ovom japu na nulti vektor:

Važno je baviti se ova tri koncepta (linearna ovisnost funkcija, vektora i vektorskih funkcija) jedni s drugima.

Prije svega, ako pošaljete formulu (18.6) u raspoređenom obliku (sjetite se da je svaki od njih x g (1) je vektor)

tada će biti ekvivalentna ravnopravnom sistemu

značenje linearno ovisnost MS-a Komponenta u smislu prve definicije (kao funkcije). Kaže se da ih linearna ovisnost vektorskih funkcija podrazumijeva pomponta Linearna ovisnost.

Obrnuto, generalno gledano, netačno: dovoljno da razmotri primjer par vektorskih funkcija

Prve komponente ovih vektorskih funkcija jednostavno se podudaraju znači da su linearno ovisna. Druge komponente su proporcionalne, to znači. Takođe linearno zavisni. Međutim, ako pokušamo izgraditi njihovu linearnu kombinaciju, jednaku nuli identično, a zatim iz omjera

odmah dobiti sistem

koje ima jedino rešenje C - S.-2 - 0. Dakle, naše vektorske funkcije su linearno neovisne.

Koji je razlog tako čudne imovine? Koji je fokus koji vam omogućuje izgradnju linearno neovisnih vektorskih funkcija iz očito ovisnih funkcija?

Ispada da cijela stvar nije toliko u linearnoj ovisnosti komponente, kao u udjelu koeficijenata, što je potrebno za postizanje nule. U slučaju linearne ovisnosti vektorskih funkcija, isti set koeficijenata služi svim komponentama bez obzira na broj. Ali u primjeru koji smo dali za jednu komponentu potreban je jedan udio koeficijenata, a za još jedan drugi. Dakle, fokus je zapravo jednostavan: Da bi se dobila linearna ovisnost vektorskih funkcija vektorske funkcije, potrebno je da se sve komponente linearno ovise "u istom omjeru".

Sada se okrećemo studiji linearne ovisnosti vektorskih funkcija i vektora. Ovdje je gotovo očigledno činjenici da iz linearne ovisnosti vektorskih funkcija slijedi da za svaki fiksni t * Vektor

oni će biti linearno ovisni.

Inverzno, uglavnom gledano, nema mjesta: od linearne ovisnosti vektora na svakoj t. Nije linearna ovisnost vektorskih funkcija. Lako je vidjeti na primjeru dvije vektorske funkcije.

Za t \u003d 1, T \u003d 2 i T \u003d 3 Dobijamo par vektora

respektivno. Svaki par vektora proporcionalan je (sa koeficijentima 1,2 i 3). Nije teško shvatiti šta za bilo koji fiksni t * Naš par vektora bit će proporcionalan koeficijentu t *.

Ako pokušamo izgraditi linearnu kombinaciju vektorskih funkcija jednako nula identično, tada nam prve komponente daju omjer

šta je moguće samo ako Od = Od2 = 0. Dakle, naše vektorske funkcije pokazale su se linearno neovisnim. Opet, objašnjenje ovog efekta je da u slučaju linearne ovisnosti vektorskih funkcija, isti set CJ konstanti služi svim vrijednostima t, i u našem primjeru za svaku vrijednost t. Zahtijevao je njegov udio između koeficijenata.