Fourierova transformacija. Linearna filtracija u frekvencijskoj domeni
Linearni filtriranje slike može se izvesti i u prostornom i frekvencijskom domenu. Istovremeno se veruje da "niske" prostorne frekvencije odgovaraju glavnom sadržaju slike - pozadine i velikih objekata, a "visoke" prostorne frekvencije su malih objekata, malih dijelova velikih oblika i buke Komponenta.
Tradicionalno, za prelazak na prostor prostornog frekvencije koriste se metode na osnovu $ \\ tekstura (Fourier Transform). U prošle godine Metode zasnovane na $ \\ tekstumit (talas-transformator) $) postaju sve više koristeći.
Fourierova transformacija.
Fourierova transformacija omogućuje vam predstaviti gotovo svaku funkciju ili podatke postavljene u obliku kombinacije takvih trigonometrijske funkcijeKao sinus i kosine, koji vam omogućava identifikaciju povremenih komponenti u podacima i procijeniti njihov doprinos strukturi izvornog podataka ili obrascama. Tradicionalno se razlikuju tri glavna oblika Fourierove transformacije: Fourierovu integralnu transformaciju, Fourierov redove i diskretna Fourierova transformacija.
Fourierovu integralnu transformaciju prevodi stvarnu funkciju u par materijalnih funkcija ili jednu sveobuhvatnu funkciju na drugu.
Prava funkcija $ f (x) $ može se razgraditi u skladu s ortogonalnim sistemom trigonometrijskih funkcija, odnosno za predstavljanje kao
$$ F \\ Levo (x \\ desno) \u003d \\ int \\ limits_0 ^ \\ infty (\\ lijevo (\\ \\ desno)) \\ cos \\ lijevo ((2 \\ pi \\ omega x) \\ desno) D \\ omega - \\ Int \\ limits_0 ^ \\ infty (b \\ lijevo (\\ omega \\ desno)) \\ Sin \\ lijevo ((2 \\ pi \\ omega x) \\ desno) d \\ omega, $$
gdje se (\\ omega) $ i $ b (\\ omega) $ naziva integralni kosine i sinus transformiše:
$$ a \\ lijevo (\\ omega \\ desno) \u003d 2 \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (F \\ lijevo (x \\ desno)) \\ cos \\ lijevo ((2 \\ pi \\ omega) x) \\ desno) DX; \\ Quad b \\ lijevo (\\ \\ \\ \\ desno) \u003d 2 \\ int \\ limit _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (F \\ lijevo (x \\ desno)) \\ sin \\ lijevo ((2 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ omega x) \\ desno) dx. $$.
Fourier serija predstavlja periodičnu funkciju $ F (x) $ specificiranu na intervalu $$, kao beskonačan red sinova i kosinus. To jest, periodična funkcija $ f (x) $ stavlja se u red s krajnjim nizom četveroefektora
$$ F \\ Levo (x \\ desno) \u003d \\ frac (A_0) (2) + \\ suma \\ limits_ (n \u003d 1) ^ \\ \\ infty (A_N) \\ cos \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi xn) ( BA)) \\ desno) + \\ suma \\ limits_ (n \u003d 1) ^ \\ infty (b_n \\ sin \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi xn) (ba)) \\ desno)), $$)
$$ a_n \u003d \\ frac (2) (BA) \\ int \\ limits_a ^ b (f \\ lijevo (x \\ desno)) \\ cos \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi nx) (ba)) \\ desno) ; \\ Quad B_N \u003d \\ frac (2) (BA) \\ int \\ limits_a ^ b (f \\ lijevo (x \\ desno)) \\ sin \\ lijevo (ba)) \\ desno) (ba)) \\ desno) dx . $$.
Fourierova diskretna transformacija prevodi konačni niz stvarnih brojeva u konačni niz Fourierova koeficijenata.
Neka $ \\ lijevo \\ ((x_i) \\ desno \\), i \u003d 0, \\ LDOTS, N-1 $ - niz stvarnih brojeva - na primjer, odbrojavanje svjetline piksela na nizu slike. Ovaj niz može biti zastupljen kao kombinacija konačnih izmora vrste.
$$ X_I \u003d A_0 + \\ suma \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (n / 2) (A_N) \\ cos \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi ni) (n)) \\ desno) + \\ suma \\ Limits_ (n \u003d 1) ^ (n / 2) (B_N \\ sin \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi ni) (n)) \\ desno)), $$
$$ A_0 \u003d \\ frac (1) (n) \\ suma \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (n - 1) (x_i), \\ quad a_ (n / 2) \u003d \\ frac (1) (n) \\ suma \\ Limits_ (i \u003d 0) ^ (n - 1) \\ lijevo ((- 1) \\ desno) ^ i, \\ quad a_k \u003d \\ frac (2) (n) \\ suma \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (N - 1) (x_i \\ cos \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi ik) (n)) \\ desno)), $$
$$ b_k \u003d \\ frac (2) (n) \\ suma \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (n - 1) (x_i \\ sin \\ lijevo ((\\ frac (2 \\ pi ik) (n)) \\ desno) ), \\ quad i \\ le k Glavna razlika između tri oblika Fourierova transformacija je da ako se u cijeloj funkciji funkcionira u cijeloj funkciji funkcije $ f (x) $, zatim broj i diskretna Fourier transformacija definiraju se samo na diskretnim višestrukim točkama, beskonačnim za niz Fouriera i konačnih za diskretnu konverziju. Kao što se može vidjeti iz Fourierovih definicija transformacije, diskretna transformacija Fouriera predstavlja najveći interes za digitalne sisteme za obradu signala. Podaci dobiveni iz digitalnih medija ili izvora informacija naređeni su brojevi zabilježeni u obliku vektora ili matrica. Obično se pretpostavlja da su ulazne podatke za diskretnu pretvorbu jedinstven uzorak sa korak $ \\ delta $, a vrijednost $ t \u003d n \\ delta $ naziva se dužinom snimanja ili glavni period. Glavna frekvencija iznosi 1 USD / t $. Dakle, u diskretnoj Fourierovoj transformaciji, ulazne podatke se razgrađuju na frekvencijama koje su višestruke glavne frekvencije. Maksimalna frekvencija određena dimenzijom ulaznih podataka iznosi 1/2 \\ delta $ i naziva se $ \\ IT (Nyvististova frekvencija) $. Računovodstvo za frekvenciju Nyquista važno je kada koristite diskretnu transformaciju. Ako ulazne podatke ima periodične komponente s frekvencijama koje su prelazile frekvenciju Nyquistista, a zatim će izračunati diskretnu transformaciju Fourier-a bit će zamjena visokih frekvencijskih podataka niže frekvencije, što može dovesti do grešaka u tumačenju rezultata diskretne konverzije. Važna alat za analizu podataka također je $ \\ IT (Energy spektar) $. Snaga signala na frekvenciji $ \\ omega $ definirana je na sljedeći način: $$ P \\ lijevo (\\ omega \\ desno) \u003d \\ frac (1) (2) \\ lijevo ((\\ \\ \\ desno) ^ 2 + b \\ lijevo (\\ \\ \\ \\ desno) ^ 2) \\ desno ). $$. Ova se vrijednost često naziva $ \\ IT (signalna energija) $ na frekvenciji od $ \\ omega $. Prema djelomičnoj teoremi, ukupna energija ulaznog signala jednaka je količini energija na svim frekvencijama. $$ E \u003d \\ suma \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (n - 1) (x_i ^ 2) \u003d \\ suma \\ limits_ (i \u003d 0) ^ (n / 2) (P \\ lijevo ((\\ omega _i) \\ Desno)). $$. Grafikon ovisnosti o moći na frekvenciji naziva se energetski spektar ili napajanje spektra. Energetski spektar omogućava vam identifikaciju skrivene frekvencije ulaznih podataka i procijenite doprinos određene frekvencijske komponente u strukturu izvorne podatke. Pored trigonometrijskog obrasca, Fourierie diskretna evidencija transformacije široko se koristi $ \\ IT (integrirani prikaz) $. Sveobuhvatni oblik Fourierovog evidentiranja transformacije široko se koristi u višedimenzionalnoj analizi i posebno prilikom obrade slika. Prelaz iz trigonometrijskog u složeni obrazac vrši se na osnovu Formule Eulera $$ e ^ (\\ omega t) \u003d \\ cos \\ omega t + \\ \\ sin \\ omega t, \\ quad j \u003d \\ sqrt (-1). $$. Ako je ulazni slijed $ n $ integrirani brojevi, tada će se smatrati diskretnom Fourierovom transformacijom $$ G_M \u003d \\ frac (1) (n) \\ suma \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (n - 1) (x_n) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jmn) (n)), $$ i obrnuta transformacija $$ x_m \u003d \\ suma \\ limiti_ (n \u003d 1) ^ (n - 1) (g_n) e ^ (\\ frac (2 \\ pi jmn) (n)). $$. Ako je ulazni slijed niz stvarnih brojeva, a zatim za njega postoji i složena i sinusna diskretna konverzija. Odnos ovih ideja izražava se na sljedeći način: $$ A_0 \u003d G_0, \\ Quad G_K \u003d \\ lijevo ((((A_K -JB_K) \\ desno) / 2, \\ quad 1 \\ le k \\ le n / 2; $$. preostalih $ n / 2 $ transformacijskih vrijednosti sveobuhvatno su konjugirani i ne nose dodatne informacije. Stoga je vremenski spektar diskretne transformacije Fouriera simetričan u odnosu na $ N / 2 $. Najjednostavniji način izračunavanja diskretne Fourierove transformacije (DFT) je direktan sažetak, on vodi do $ N $ operacija za svaki koeficijent. Ukupni koeficijenti $ n $, tako da ukupna složenost $ o \\ lijevo ((n ^ 2) \\ desno) $. Takav pristup nije praktičan interes, jer postoje mnogo efikasniji načini za izračunavanje DPF-a, nazvao je brza transformacija Fouriera (BPF), ima složenost $ o (n \\ log n) $. BPF se primjenjuje samo na nizove dužine (broj elemenata), višestruki stupanj 2. Najglagiji princip ugrađen u algoritam BPF-a je razbiti ulazne redoslijed u dva sekvence pola duljine. Prvi niz ispunjen je podacima s čak brojevima, a drugi s neparnim. To omogućava izračunavanje koeficijenata DPF-a kroz dvije transformacije dimenzija od $ N / 2 $. Označavaju $ \\ omega _m \u003d e ^ (\\ frac (2 \\ pi j) (m)) $, zatim $ g_m \u003d \\ suma \\ limits_ (n \u003d 1) ^ ((n / 2) -1) (X_ ( 2N)) \\ omega _ (n / 2) ^ (mn) + \\ suma \\ limits_ (n \u003d 1) ^ ((n / 2) -1) (x_ (2n + 1)) \\ omega _ (n / 2) ) ^ (Mn) \\ omega _n ^ m $. Za M.< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Diskretna Fourierova transformacija za dvodimenzionalni niz veličine veličine veličine $ m \\ puta n $ definira se na sljedeći način: $$ G_ (UW) \u003d \\ frac (1) (nm) \\ suma \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (n - 1) (\\ suma \\ limiti_ (m \u003d 1) ^ (x_ (mn) (x_) ))) E ^ ((- 2 \\ pi \\ lijevo [(\\ frac (mu) (m) + \\ frac (nw) (n)) \\ desno])), $$ i obrnuta transformacija $$ x_ (mn) \u003d \\ suma \\ limits_ (u \u003d 1) ^ (n-1) (\\ suma \\ limits_ (w \u003d 1) ^ (m - 1) (g_ (uw))) e ^ (2 \\ pi j \\ lijevo [(\\ frac (mu) (m) + \\ frac (nw) (n)) \\ desno])). $$. U slučaju obrade slike, komponente dvodimenzionalne Fourier transformacije nazivaju se $ \\ tekstus (prostorne frekvencije) $. Važna karakteristika dvodimenzionalne Fourierove transformacije je mogućnost izračunanja upotrebe jednodimenzionalnog BPF postupka: $$ G_ (UW) \u003d \\ frac (1) (n) \\ suma \\ limits_ (n \u003d 1) ^ (n - 1) (\\ lijevo [(\\ frac (1) (m) \\ suma \\ limits_ (m \u003d 0) ^ (m-1) (x_ (mn) e ^ (\\ frac (-2 \\ pi jmw) (m)))) \\ desno]) e ^ (\\ frac (-2 \\ pij) (n) ), $$. Ovdje je izraz u kvadratnim zagradama jednodimenzionalna pretvorba niza matrice podataka koji se može izvesti s jednodimenzionalnim BPF-om. Dakle, da biste dobili dvodimenzionalnu Fourierovu transformaciju, prvo morate izračunati jednodimenzionalnu pretvorbu reda, napišite rezultate u originalnu matricu i izračunajte jednodimenzionalnu pretvorbu za stupce rezultirajuće matrice. Pri izračunavanju dvodimenzionalne Fourierove transformacije, niske frekvencije će se fokusirati u uglovima matrice, što nije baš pogodno za daljnju obradu primljenih informacija. Za prenos pripreme dvodimenzionalne Fourierove transformacije u kojem su niske frekvencije koncentrirane u sredinu matrice, moguće je izvesti jednostavan postupak koji se sastoji od pomnožavanja početnih podataka na $ -1 ^ (m + N) $. Na slici. 16 prikazuje originalnu sliku i njenu Fourierovu sliku. Halfton i njegova Fourierova slika (slike se dobivaju u sistemu LabView) Funkcije rezanja $ s (t) $ i $ R (t) $ definira se kao $$ S \\ ast r \\ cong r \\ ast s \\ cong \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (+ \\ infty) (s (\\ tau)) r (t- \\ tau) d \\ tau. $$. U praksi se morate suočiti sa diskretnom konvolucijom, u kojoj se kontinuirane funkcije zamjenjuju skupovima vrijednosti u uniformnim mrežama mreža (cijelo je uzeta): $$ (R \\ ast s) _j \\ cong \\ suma \\ limits_ (k \u003d -n) ^ p (s_ (j-k) r_k). $$. Ovdje $ i $ p $ definiraju raspon izvan kojeg $ r (t) \u003d 0 $. Pri izračunavanju konvolucija koristeći Fourierovu transformaciju, koristi se Fourierov nekretnina transformacije, u skladu s kojima slika funkcija u frekvencijskoj domeni ekvivalentna je konviluciji ovih funkcija u vremenskom području. Da biste izračunali pomirenje, morate pretvoriti izvorne podatke u frekvencijsku domenu, odnosno izračunati njihovu Fourierovu transformaciju, pomnožite rezultate konverzije i izvedite Fourierovu unazad transformaciju vraćanjem izvornog prikaza. Jedina suptilnost u radu algoritma povezana je sa činjenicom da se u slučaju diskretne Fourierove transformacije (za razliku od kontinuiranog) pojavljuje gomilu dva periodična funkcija, odnosno naši setovi vrijednosti određuju periode ovih Funkcije, a ne samo vrijednosti na nekom odvojenom odjeljku osi. To je, algoritam smatra da tačka X_ (N) $ nije nula, već tačka $ x_ (0) $, i tako dalje u krugu. Stoga se tačno razmatra konvukciju, potrebno je pripisati dugi niz nula na signal. Linearne metode filtriranja su broj dobro strukturiranih metoda za koje su izrađene efikasne računske sheme na temelju brzog savijena i spektralne analize. Općenito, linearni algoritmi filtracije obavljaju konverziju tipa $$ F "(x, y) \u003d \\ int \\ int f (\\ zeta -x, \\ eta) k (\\ zeta, \\ eta) d \\ zeta d \\ eta, $$ gdje je $ k (\\ zeta, \\ eta) $ jezgra linearne transformacije. S diskretnim pogledom na signal, integral u ovoj formuli se degerira u ponderiranu količinu izvornih uzoraka unutar određenog otvora. Istovremeno, izbor jezgra K $ K (\\ Zeta, \\ eta) $ u skladu s jednim ili drugim kriterijom optimalnosti može dovesti do određenog korisnih svojstava (Gaussove izglađivanje kada je problem numeričke diferencijacije slike, itd.). Najefikasniju linearne metode obrade provode se u frekvencijskoj domeni. Upotreba Fourierovog image slike za izvedbu filtera prvenstveno je zbog veće performanse takvih operacija. U pravilu, obavljajući direktnu i obrnutu dvodimenzionalnu pretvorbu i umnožavanje Foureerovog koeficijenata traje manje vremena od obavljanja dvodimenzionalne konvolucije izvorne slike. Algoritmi filtracije u frekvencijskoj domeni zasnovani su na konvolutu teoremu. U dvodimenzionalnom slučaju konverzija konverzije izgleda ovako: $$ g \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \u003d h \\ lijevo ((u, v) \\ desno) f \\ lijevo ((u, v) \\ desno), $$ gdje $ g $ - Fourier-slika rezultata konvolucije, H $ - Fourier slika filtera i $ F $ - Fourier-slika izvorne slike. To je, u frekvencijskoj domeni, dvodimenzionalna konvolucija zamjenjuje se elementarnim množenjem slika izvorne slike i odgovarajućeg filtra. Da biste izvršili konvoluciju, morate izvesti sljedeće korake. Odnos između funkcije filtra u frekvencijskom i prostornom području može se odrediti pomoću konvolucije teorema $$ \\ Phi \\ LEVO [(F \\ LEVO ((x, y) \\ desno) \\ ast h (x, y)) \\ desno] \u003d F \\ lijevo ((u, v) \\ desno) h \\ lijevo ( U, v) \\ desno), $$ $$ \\ Phi \\ Lijevo [(F \\ LEVO ((X, Y) \\ Desno) H (x, y)) \\ desno] \u003d F \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \\ ast h \\ lijevo (( U, v) \\ desno). $$. Funkcije rezanja s funkcijom impulsa mogu se zapisati na sljedeći način: $$ \\ suma \\ limits_ (x \u003d 0) ^ m (\\ suma \\ limits_ (y \u003d 0) ^ n (s \\ lijevo ((x, y) \\ desno))) \\ delta \\ lijevo ((x-x_0, y-y_0) \\ desno) \u003d s (x_0, y_0). $$. Fourier-transformacija funkcije pulsa $$ F \\ Left ((U, V) \\ desno) \u003d \\ frac (1) (mn) \\ suma \\ limits_ (x \u003d 0) ^ m (\\ suma \\ limits_ (y \u003d 0) ^ n (\\ delta \\ lijevo ((x, y) \\ desno))) e ^ ((-2 \\ pi \\ lijevo ((\\ frac (ux) (m) + \\ frac (vy) (n)) \\ desno)) \u003d \\ Frak (1) (mn). $$. Neka $ f (x, y) \u003d \\ delta (x, y) $, tada konvolucija $$ F \\ Levo ((x, y) \\ desno) \\ ast h (x, y) \u003d \\ frac (1) (mn) h \\ lijevo ((x, y) \\ desno), $$ $$ \\ Phi \\ Lijeva [(\\ delta \\ lijevo ((x, y) \\ desno) \\ ast h (x, y)) \\ desno] \u003d \\ phi \\ lijevo [(\\ delta \\ lijevo ((x, y) \\ Desno)) \\ desno] h \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \u003d \\ frac (1) (mn) h \\ lijevo ((u, v) \\ desno). $$. Iz ovih izraza se može vidjeti da su funkcije filtra u frekvencijskoj i prostornom području međusobno povezane preko Fourierove transformacije. Za ovu funkciju filtra u frekvencijskoj domeni uvijek možete pronaći odgovarajući filter u prostornom području primjenom Fourierove obrnute transformacije. Isto vrijedi i za cijene. Pomoću ove veze možete odrediti postupak za sintezu filtera za prostorne linije. ($ \\ Textit (idealan niski frekvencijski filter) $) $ h (u, v) $ ima obrazac $$ h (u, v) \u003d 1, \\ quad \\ mbox (ako) d (u, v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($ \\ Textit (savršen visokofrekventni filter) $) dobiven je inverzijom idealnog filtra niskog frekvencije: $$ H "(u, v) \u003d 1-h (u, v). $$ Ovdje postoji potpuna suzbijanje komponenti niske frekvencije uz održavanje visoke frekvencije. Međutim, kao u slučaju idealnog niskofrekventnog filtra, njegova upotreba je prepuna pojave značajnog izobličenja. Za sintezu filtera sa minimalnim distorcijama koriste se različiti pristupi. Jedna od njih je sinteza filtera na osnovu izlagača. Takvi filtri donose minimalne izobličenja na rezultirajuću sliku i prikladni su za sintezu u frekvencijskoj domeni. Široko se koristi prilikom obrade slika je porodica filtera na osnovu stvarne funkcije Gaussa. $ \\ Textit (niskofrekventni Gaussov filter) $ ima $$ H \\ lijevo (x \\ desno) \u003d \\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma ae ^ (- 2 \\ lijevo ((\\ pi \\ sigma x) \\ desno) ^ 2) \\ mbox (s) h \\ lijevo ( u \\ desno) \u003d AE ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma ^ 2) $$ Što je već profil filtra u frekvencijskoj domeni (više $ \\ sigma $), što je širi u prostornom. ($ \\ Textit (visokofrekventni gauski filter) $) $$ H \\ Lijeva (x \\ desno) \u003d \\ sqrt (2 \\ pi) \\ sigma _a ae ^ (- 2 \\ lijevo ((\\ pi \\ sigma _a x) \\ desno) ^ 2) - \\ sqrt (2 \\ pi ) \\ sigma _b be ^ (- 2 \\ lijevo ((\\ pi \\ sigma _b x) \\ desno) ^ 2), $$ $$ h \\ lijevo (u \\ desno) \u003d AE ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma _a ^ 2)) - Budite ^ (- \\ frac (u ^ 2) (2 \\ sigma _b ^ 2 ))). $$. U dvodimenzionalnom slučaju ($ \\ IT (niskofrekvencija) $), Gaussov filter izgleda ovako: $$ H \\ Left ((U, V) \\ desno) \u003d e ^ (- \\ frac (D ^ 2 \\ lijevo ((u, v) \\ desno)) (2d_0 ^ 2)). $$. ($ \\ IT (visoka frekvencija) $) Gaussov filter ima obrazac $$ H \\ lijevo ((u, v) \\ desno) \u003d 1-e ^ (- \\ frac (D ^ 2 \\ lijevo ((u, v) \\ desno)) (2d_0 ^ 2)). $$. Razmotrite primjer filtriranja slika (Sl. 1) u frekvencijskoj domeni (Sl. 17 - 22). Imajte na umu da frekvencijsko filtriranje slike može imati smisla kao izglađivanje ($ \\ tekstura (niskofrekventno filtriranje) $) i odvajanje kontura i sitnih objekata ($ \\ tekstus) $). Kao što se može vidjeti sa Sl. 17, 19, kao "moć" filtracije u niskofrekvencijskoj komponenti slike, učinak "naizgled defokumentiranog" ili $ \\ \\ IT (Blur) postaje sve istekao. Istovremeno, u visokofrekvencijskoj komponenti, gdje se na početku uočava samo kontura objekata, većina sadržaja informativnog sadržaja postepeno prolazi (Sl. 18, 20 - 22). Sada razmatramo ponašanje visokofrekventnih i niskofrekventnih filtera (Sl. 23-28) u prisustvu aditiva Gaussove buke na slici (Sl. 7). Kao što se može vidjeti sa Sl. 23, 25, imanja filtera niske frekvencije za suzbijanje nasumičnih smetnji slične su svojstvima prethodno smatranih linearnim filtrima - s dovoljnom snagom filtra, smetnje su potisnute, ali troškovi ovo je jak zamućenje konture i "defokus" cijele slike. Visokofrekventna komponenta uranjanja slike prestaje biti informativna, jer pored kontura i informacija o objektu postoji i potpuno komponenta buke (Sl. 27, 28). Upotreba frekvencijskih metoda je najpovoljnija u slučaju kada je poznat statistički model procesa buke ili / i optički omjer optičkog prijenosa kanala prijenosa slike. Pogodno je uzeti u obzir takve priori podatke odabirom generaliziranog kontroliranog (parametri od $ \\ sigma $ i $ \\ mu $) kao restauracijski filter: Sljedeći filter je: $$ F (W_1, W_2) \u003d \\ LEVANJE [(\\ frac (1) (P (w_1, w_2))) \\ desno] \\ CDOT \\ lijevo [(\\ frac (w_1, w_2) \\ vert ) ^ 2) (\\ vert p (w_1, w_2) \\ vert ^ 2 + \\ alpha \\ vert q (w_1, w_2) \\ vert ^ 2)) \\ desno]. $$. gde 0 dolara.< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Prednosti linearnih metoda filtriranja uključuju svoje jasno fizičko značenje i jednostavnost analize rezultata. Međutim, s oštrim pogoršanjem omjera signala do buke, s mogućim verzijama buke područja i prisutnosti visokogradnjske impulsne buke, linearne metode pretraga mogu biti nedovoljne. U ovoj situaciji nelinearne metode su značajno moćnije. Ulaznica1. Dilatacijski rad 2. Prostorni spektralni znakovi Dilatacijske operacije. Neka A i B bude skup prostora z 2. Dilatacija set a duž postavljenog u (ili u odnosu na b) označena je A⊕V i definirana je kao Možete prepisati u sljedećem obrascu: Postat će se nazvati mnoštvom ili primitivnom dilatacijom formiranja strukture. Na osnovu (11) pribavljen je za dobivanje središnjeg razmišljanja o setu u relativno svojim početnim koordinatama (Centar B), a zatim pomak ovog postavljanja na točku z, dilatacija postavljenog b by b je skup Svi takvi pomaci z, u kojem se poklapaju barem u jednom elementu. Ova definicija nije jedina. Međutim, postupak dilatacije u određenom smislu sličan je operaciji savijenom koji se izvodi iznad skupova. Prostorni spektralni znakovi U skladu s (1.8), dvodimenzionalna Fourierova transformacija je definirana kao gde w X., w y. - Prostorne frekvencije. Specter modul modul M ( w X., w y.) \u003d | F ( w X., w y.) | 2 Može se koristiti za izračunavanje broja funkcija. Integriranje funkcije M.(w X., w y.) Kutak na prostornom frekvencijskom ravnini daje prostor za prostorno-frekvenciju, invarijant u odnosu na pomak i rotaciju slike. Predstavljajući funkciju M.(w X., w y.) U polarnim koordinatama napišite ovu značajku u obliku gde tUŽILAC WHITING - PITANJE:\u003d Arctg ( w y./w X.); r. 2 = w X. 2 +w y. 2 . 20 ulaznica1. Rad erozije Diskretna dvodimenzionalna Fourier Transformacija matrice odbrojavanja slike određuje se kao red: gdje, a diskretna obrnuta transformacija ima obrazac: Po analogiji s terminologijom Fourierove kontinuirane transformacije, varijable se nazivaju prostornim frekvencijama. Treba napomenuti da svi istraživači ne koriste definiciju (4,97), (4,98). Neki radije postavljaju sve konstante velikih razmjera u izrazu za obrnutu transformaciju, dok drugi mijenjaju znakove u jezgrama u suprotno. Budući da su transformaciona jezgra simetrična i odvojena, dvodimenzionalna pretvorba može se izvesti kao uzastopne jednodimenzionalne pretvorbe putem žica i stupaca matrice slike. Osnovne funkcije pretvorbe su izlagači sa složenim pokazateljima koji se mogu razgraditi na komponentu sinusa i kosina. Na ovaj način, Spektar image ima mnogo zanimljivih strukturnih karakteristika. Spektralna komponenta na početku koordinata frekvencijske ravnine jednak povećanim B. N. Jednom prosjek (na izvornom ravninu) vrijednost svjetline slike. Zamjena u jednakost (4,97) gde i - trajno, dobijamo: Za sve cijele vrijednosti i drugi eksponencijalni faktor jednakosti (4.101) pretvara se u jedinicu. Dakle, kada Što ukazuje na frekvenciju frekvencijske ravnine. Ovaj rezultat ilustrira sliku 4.14, a. Dvodimenzionalni Fourierov spektar slike u osnovi je dvodimenzionalni prikaz polja u obliku Fourierove serije. Da bi se takav zastupanje bio fer, originalna slika treba imati i periodičnu strukturu, i.e. Imaju crtež koji se ponavlja okomito i vodoravno (Sl. 4.14, b). Dakle, desni ivici slike je uz lijevu lijevu, a gornja ivica je do dna. Zbog nedostataka vrijednosti svjetline na ovim mjestima u spektru slike postoje dodatne komponente koje leže na koordinatnim osi frekvencijske ravnine. Ove komponente nisu povezane sa vrijednosti svjetline unutarnjih točaka slike, ali su potrebne za reprodukciju njegovih oštrih granica. Ako slika brojača opisuje polje svjetline, brojevi će biti validni i pozitivni. Međutim, Fourierov spektar ove slike u općem slučaju ima integrirane vrijednosti. Budući da spektar sadrži komponentu koja predstavlja stvarne i imaginarne dijelove ili faze i modul spektralnih komponenti za svaku frekvenciju, možda se čini da Fourierova transformacija povećava dimenziju slike. To, međutim, nije slučaj, jer ima simetriju u odnosu na složenu konjugaciju. Ako u jednakosti (4.101) stavite i jednak cijelim brojevima, tada će jednakost biti dobivena nakon sveobuhvatnog uparivanja: Korištenje supstitucije i src \u003d http: //electrono.ru/wp-content/image_post/sncifr/pic126_15.gif\u003e Možete to pokazati Zbog prisustva složene konjugirane simetrije, gotovo polovina spektralnih komponenti ispada da je suvišna, i.e. Mogu se formirati od preostalih komponenti (Sl. 4.15). Sa viškom sastojcima, naravno, mogući je razmotriti harmonike, ne padati u dno, već u desnoj polovici. Fourierova analiza u obradi slike koristi se u iste svrhe kao i za jednodimenzionalne signale. Međutim, u frekvencijskoj domeni, slika ne predstavlja nikakve značajne informacije, što čini Fourierovu transformaciju, a ne toliko korisne analize slike. Na primjer, kada se Fourierova transformacija primjenjuje na jednodimenzionalni audio signal, a zatim u vremenskom domenu teško je formalizirati i složen oblik Signal se pretvara u jednostavan za razumjeti spektar u frekvencijskoj domeni. Za usporedbu, uzimajući Fourier Transform (Fourier Transforntant) slike, pretvorimo naručene informacije u prostornom području (prostornu domenu) u kodirani oblik u frekvencijskoj domeni (frekvencijskoj domeni). Ukratko, nemojte očekivati \u200b\u200bda Fourierova transformacija pomaže vam da shvatite informacije kodirane na slikama. Slično tome, ne biste trebali pristupiti frekvencijskoj domeni prilikom dizajniranja filtra. Glavna karakteristična značajka na slikama je granica - linija koja razdvaja jedan objektili regijaiz drugog objektili regija. Budući da konture na slici sadrže širok spektar frekvencijskih komponenti, a zatim pokušajte promijeniti sliku manipuliranjem frekvencijskog spektra - problem je neefikasan. Filteri za obradu slika obično su dizajnirani u prostornom području, gdje su informacije prikazane u svom najjednostavnijem i dostupnom obliku. Prilikom rješavanja zadataka za obradu slika potrebno je raditi u pogledu operacija izglađivanjei podsjećanjekonture (prostorna domena) nego u smislu gornji frekvencijski filteri niži frekvencijski filter(frekventna domena). Uprkos tome, Analiza Fourierova slika ima nekoliko korisnih svojstava. Na primjer, salonostu prostornom području odgovara množenjeu frekvencijskoj domeni. Ovo je važno jer je umnožavanje jednostavnije matematičke operacije od konvolucije. Kao i u slučaju jednodimenzionalnih signala, ova nekretnina omogućava konvoluciju koristeći BPF i koristi različite metode dekonvolucije. Drugi korisna nekretnina U frekvencijskoj domeni je fourier teoremski sektorUspostavljanje sukladnosti između slike i njegovih projekcija (vrste iste slike sa različitih strana). Ova teorema je teorijska baza podataka takvih smjerova kao računarska tomografija, radioskopija.široko se koristi u medicini i industriji. Frekvencijski spektar slike može se izračunati na nekoliko načina, ali najpraktičniji način izračunavanja spektra je algoritam BPF-a. Kada koristite algoritam BPF, početna slika mora sadržavati N. Redovi I. N. Stupci i broj N. Mora postojati višestruka stepena 2, I.E. 256, 512, 1024 i itd. Ako originalna slika u pogledu njegove dimenzije nije višestruka stepena 2, onda morate dodati piksele sa nultom vrijednosti da biste dodali sliku u željenu veličinu. Zbog činjenice da Fourierova transformacija zadržava redoslijed informacija, amplituda sa niskim frekvencijskim komponentama bit će smještena na uglovima dvodimenzionalnog spektra, dok će visokofrekventne komponente biti u svom centru. Kao primjer, razmotrite rezultat Fourierove transformacije elektronsko mikroskopske slike kaskade ulaznog pojačala operativnog pojačala (Sl. 4.16). Budući da se u frekvencijskoj domeni mogu sadržati pikseli s negativnim vrijednostima, skala "sive" nivoa ovih slika prebačena je na takav način da se negativne vrijednosti percipiraju kao tamne tačke na slici, nula - kao Siva i pozitivna - poput svjetla. Obično su komponente s niskim frekvencijama slike pomoću amplitude mnogo veće od visoke frekvencije, što objašnjava prisustvo vrlo svijetlih i vrlo tamnih tačaka u četiri ugla na slici spektra (Sl. 4.16, b). Kao što se može vidjeti sa crteža, tipičnog stručnjakaSveobuhvatna prezentacija Fourierove transformacije.
Brza Fourierova transformacija.
Dvodimenzionalna Fourierova transformacija.
Rezati pomoću Fourierief Transform.
Filtriranje slika u frekvencijskoj domeni.
Invarijantnost u odnosu na skala posjedovala
