Dépendance linéaire et indépendance linéaire des vecteurs.
Vecteurs de base. Système de coordonnées affine

Le public a un chariot avec des chocolats et chaque visiteur d'aujourd'hui obtiendra un couple sucré - géométrie analytique avec une algèbre linéaire. Dans cet article, deux sections de mathématiques supérieures seront immédiatement soulevées et nous verrons comment ils s'entendent dans une enveloppe. Faites une pause, soyez ennuyeux "twix"! ... putain, bien, spore non-sens. Bien que d'accord, je ne marquerai pas, à la fin, il devrait y avoir une attitude positive à étudier.

Dépendance linéaire des vecteurs, vecteurs indépendants linéaires, vecteurs de base et d'autres. Les termes n'ont pas seulement une interprétation géométrique, mais surtout algébrique. Le concept même de "vecteur" en termes d'algèbre linéaire n'est pas toujours le vecteur "ordinaire", que nous pouvons représenter sur l'avion ou dans l'espace. Il n'est pas nécessaire d'aller loin pour des preuves, essayez de dessiner un vecteur d'espace en cinq dimensions. . Ou le vecteur météo pour lequel je viens de partir Gismeteo: - Température et pression atmosphérique, respectivement. Un exemple, bien sûr, incorrect du point de vue des propriétés de l'espace vectoriel, mais, néanmoins, personne ne prévient de formaliser ces paramètres par vecteur. Respiratoire de l'automne ...

Non, je ne vais pas vous expédier la théorie, les espaces vectoriels linéaires, la tâche est de comprendre Définitions et théorèmes. De nouveaux termes (dépendance linéaire, indépendance, combinaison linéaire, base, etc.) sont applicables à tous les vecteurs d'un point de vue algébrique, mais des exemples seront géométriques. Ainsi, tout est simple, accessible et visuel. Outre les tâches de la géométrie analytique, nous examinerons et certaines tâches typiques de l'algèbre. Maîtriser le matériel, il est conseillé de se familiariser avec les leçons Vecteurs pour les théières et Comment calculer le déterminant?

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs d'avion.
Système de base d'avion et de coordonnées d'affinité

Considérez le plan de votre table d'ordinateur (une table, des tables de chevet, un sol, un plafond, qui aime quoi). La tâche consistera aux actions suivantes:

1) Sélectionnez le plan de base. À peu près parlant, les comptoirs ont une longueur et une largeur. Il est donc intuitif que deux vecteurs devront construire une base. Un vecteur n'est clairement pas assez, trois vecteurs - Lishka.

2) Basé sur la base sélectionnée définir le système de coordonnées (grille de coordonnée) pour attribuer des coordonnées à tous les sujets sur la table.

Ne soyez pas surpris, d'abord les explications seront sur vos doigts. Et, sur le tien. Veuillez placer doigt de la main gauche Sur le bord du plateau de la table afin qu'il examine le moniteur. Ce sera vecteur. Placer mysilinéaire droite main Sur le bord de la table est exactement la même - qu'elle est dirigée vers l'écran du moniteur. Ce sera vecteur. Souriez, vous regardez merveilleusement! Que peut-on dire sur les vecteurs? Ces vecteurs collinearnyet donc linelo exprimé les uns dans les autres:
Eh bien, ou vice versa:, où - un nombre autre que zéro.

L'image de cette action peut être visualisée à la leçon Vecteurs pour les théièresoù j'ai expliqué la règle de multiplication de vecteur pour un numéro.

Vos doigts vont-ils définir la base sur le plan de la table d'ordinateur? Évidemment, non. Les vecteurs colinéaires voyagent là-bas et ici une Direction et l'avion a une longueur et une largeur.

Ces vecteurs sont appelés linéairement dépendant.

Référence: Les mots "linéaires", "linéaires" indiquent le fait que Équations mathématiques, expressions Il n'y a pas de carrés, de cubes, d'autres degrés, de logarithmes, de sinus, etc. Il n'y a que linéaire (1re degré) d'expressions et de dépendances.

Deux avions vectoriels linéairement dépendant Alors et seulement quand ils sont colinéar.

Croisez vos doigts sur la table pour être entre eux n'importe quel angle, sauf 0 ou 180 degrés. Deux avions vectorielslinelo ne pasdépend en cela et seulement s'ils ne sont pas colinéar. Donc, la base est obtenue. Il n'est pas nécessaire d'embarrasser que la base s'est avérée "oblique" avec des vecteurs impérents de différentes longueurs. Très vite, nous verrons que pour sa construction n'est pas seulement un angle de 90 degrés, et non seulement des vecteurs de longueur égale à égalité.

Quelconque Avion de vecteur la seule manière Divulgué par base:
Où - nombres valides. Les chiffres sont appelés coordonnées du vecteur Dans cette base.

Aussi dire que vecteur Publié sous la forme combinaison linéaire Vecteurs de base. C'est-à-dire que l'expression est appelée décomposition du vecteurfondement ou alors combinaison linéaire Vecteurs de base.

Par exemple, nous pouvons dire que le vecteur est décomposé sur la base orthonormale de l'avion, et on peut dire qu'il est représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs.

Formuler définition de basea officiellement: Avion de base appelé une paire de vecteurs indépendants linéaires (nonollylineear), , dans lequel quelconque Le vecteur de l'avion est une combinaison linéaire de vecteurs de base.

Le point de définition essentiel est le fait que les vecteurs sont pris dans un certain ordre. Bases - Ce sont deux bases complètement différentes! Comme dit le proverbe, le petit doigt de la main gauche ne fera pas réorganiser la main droite de Mizinza.

Le fondement figurait, mais il ne suffit pas de définir la grille de coordonnées et d'attribuer les coordonnées à chaque objet de votre table d'ordinateur. Pourquoi pas assez? Les vecteurs sont libres et errés dans tout l'avion. Alors, comment attribuer les coordonnées de ces petits points sales de la table, qui sont restés après un week-end rapide? Nous avons besoin d'une référence de départ. Et une telle directive est un point familier - le début des coordonnées. Nous comprenons le système de coordonnées:

Je vais commencer par le système "école". Déjà à la leçon d'introduction Vecteurs pour les théières J'ai souligné certaines différences entre le système de coordonnées rectangulaires et la base orthonormulaire. Voici la photo standard:

Quand ils disent O. système de coordonnées rectangulaire, le plus souvent, ils signifient l'origine des coordonnées, coordonner les axes et l'échelle le long des axes. Essayez de composer dans le moteur de recherche "Système de coordonnées rectangulaire" et vous verrez que de nombreuses sources vous indiqueront de connaître les axes de coordonnées de 5-6th de classe et de repousser des points sur l'avion.

D'autre part, il semble que le système de coordonnées rectangulaires puisse être déterminé par une base orthonormale. Et c'est presque comme ça. Le libellé sonne comme suit:

Le début des coordonnées, JE. Ortonormalensemble de base système de coordonnées de plan rectangulaire cartésiennes . C'est-à-dire un système de coordonnées rectangulaires précis Déterminé par le seul point et deux vecteurs orthogonaux simples. C'est pourquoi vous voyez le dessin que j'ai été mené au-dessus - dans des tâches géométriques, souvent (mais pas toujours) de vecteurs et coordonne les axes.

Je pense que tout le monde est clair qu'avec l'aide d'un point (début des coordonnées) et de base orthonormale N'importe quel point de l'avion et tout vecteur d'avionvous pouvez affecter des coordonnées. Parlant figuré ", dans l'avion, tout peut être numéroté."

Les vecteurs de coordonnées sont-ils obligés d'être isolés? Non, ils peuvent avoir une longueur arbitraire non nulle. Considérons le point et deux vecteurs orthogonaux de longueur non nul arbitraire:

Une telle base est appelée orthogonal. L'origine des coordonnées avec des vecteurs définit la grille de coordonnées et tout point de l'avion, tout vecteur possède ses propres coordonnées dans cette base. Par exemple, ou. L'inconvénient évident est que les vecteurs de coordonnées en général Avoir des longueurs différentes d'une. Si les longueurs sont égales à une, la base orthonormale habituelle est obtenue.

! Noter : Dans la base orthogonale, ainsi que ci-dessous dans des bases affines de l'avion et de l'espace, les unités sur les axes sont considérées Conditionnel. Par exemple, dans une seule unité le long de l'axe Abscisse, il contient 4 cm, dans une seule unité le long de l'axe d'ordonnée 2, voir que cette information est suffisante pour traduire les coordonnées "non standard" en "nos centimètres ordinaires" si nécessaire.

Et la deuxième question pour laquelle la réponse est déjà donnée - est-il nécessaire de égaliser 9 degrés entre les vecteurs de base? Pas! Comme la définition indique, les vecteurs de base doivent être seulement nonollylinear. En conséquence, l'angle peut être n'importe qui sauf 0 et 180 degrés.

Plan ponctuel appelé Le début des coordonnées, JE. nonollyline vecteurs , demandez système d'avion de coordonnées affine :

Parfois, un tel système de coordonnées est appelé kosholnaya système. Comme des exemples dans le dessin, les points et les vecteurs sont représentés:

Comme vous le comprenez, le système de coordonnées affine est encore moins pratique, cela ne fonctionne pas des formules pour les vecteurs et les segments que nous avons considérés dans la deuxième partie de la leçon. Vecteurs pour les théièresDe nombreuses formules savoureuses liées à vecteurs de produits scalaires. Mais il existe des règles valides pour l'ajout de vecteurs et la multiplication du vecteur par le nombre, la formule de division du segment à cet égard, ainsi que quelques tâches supplémentaires que nous allons examiner bientôt.

Et la conclusion selon laquelle l'affaire privée la plus pratique du système de coordonnées d'affinité est le système rectangulaire décartian. Par conséquent, il est indigène, le plus souvent et doit envisager de contempler. ... Cependant, tout dans cette vie est relatif - il y a beaucoup de situations dans lesquelles la Kosholnaya est appropriée (ou quoi d'autre, par exemple, par exemple, polaire) système de coordonnées. Oui, et les humanoïdes de tels systèmes peuvent venir au goût \u003d)

Aller à la partie pratique. Toutes les tâches de cette leçon sont valables à la fois pour un système de coordonnées rectangulaires et pour un cas d'articulation commun. Il n'y a rien de difficile ici, tout le matériel est même disponible pour un écolier.

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs d'avion?

Chose typique. Pour que deux vecteur avion étaient colinéaires, il est nécessaire et suffisant pour que leurs coordonnées pertinentes soient proportionnelles à. Selon la créature, il s'agit des détails de la relation évidente.

Exemple 1.

a) Vérifiez si des vecteurs de collinearny .
b) si la base forme les vecteurs ?

Décision:
a) Découvrez s'il y a des vecteurs Le coefficient de proportionnalité, tel à réaliser par l'égalité:

Je parlerai certainement de l'espèce "Pzhonskaya" de l'application de cette règle, qui est assez roulant dans la pratique. L'idée est de faire une proportion immédiatement et de voir si elle sera vraie:

Faire une proportion de la relation des coordonnées correspondantes des vecteurs:

Poisson rouge:
Ainsi, les coordonnées correspondantes sont donc proportionnelles.

L'attitude pourrait être convertie au contraire, c'est une version égale:

Pour l'autotest, il est possible d'utiliser le fait que les vecteurs colinéaires sont exprimés linéairement les uns dans les autres. Dans ce cas, il y a égalité . Leur justice est facilement vérifiée à travers des actions élémentaires avec des vecteurs:

b) Deux vecteurs d'avion constituent une base, s'ils ne sont pas collinés (linéairement indépendants). Explorez les vecteurs de colinéarité . Faire un système:

De la première équation, il suit que, de la deuxième équation, il suit que cela signifie que cela signifie que le système est incomplet (Pas de solutions). Ainsi, les coordonnées correspondantes des vecteurs ne sont pas proportionnelles.

Production: Les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

La version simplifiée de la solution ressemble à ceci:

Faire une proportion des coordonnées des vecteurs correspondants :
Cela signifie que ces vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Habituellement, cette option n'est pas marquée par les examinateurs, mais le problème se pose dans les cas où certaines coordonnées sont nulles. Comme ça: . Ou plus: . Ou plus: . Comment agir à travers la proportion? (En effet, il est impossible de partager zéro). C'était pour cette raison que j'ai appelé la décision simplifiée "Pzhonsky".

Répondre:a), b) forme.

Un petit exemple créatif pour une solution indépendante:

Exemple 2.

Avec quelle valeur du vecteur de paramètre Va colinéarines?

Dans la solution d'échantillonnage, le paramètre se trouve par proportion.

Il existe une élégante méthode algébrique de vérification de vecteurs pour la colinéaire., Nous systématiser notre connaissance et notre cinquième élément, il suffit de l'ajouter:

Les affirmations suivantes sont équivalentes pour deux vecteurs d'avion.:

2) base des vecteurs;
3) Les vecteurs ne sont pas colinéaires;

+ 5) Le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est différent de zéro.

Respectivement, les déclarations opposées suivantes sont équivalentes.:
1) Les vecteurs sont dépendants linéairement;
2) Les vecteurs ne constituent pas la base;
3) vecteurs colinéaires;
4) Les vecteurs peuvent être exprimés linéairement les uns dans les autres;
+ 5) Le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est zéro.

Je suis très et j'espère beaucoup que pour le moment où vous êtes déjà compréhensible pour tous les termes et allégations.

Envisagez d'un nouveau, le cinquième point: deux avions vectoriels Collinearny puis et seulement si le déterminant composé des coordonnées de données des vecteurs est zéro. Pour appliquer cette fonctionnalité, naturellement, vous devez être capable de trouver identifie.

Décisif Exemple 1 Deuxième moyen:

a) Calculer le déterminant composé des coordonnées des vecteurs :
Donc, ces vecteurs colinéaires.

b) Deux vecteurs d'avion constituent une base, s'ils ne sont pas collinés (linéairement indépendants). Calculer le déterminant composé des coordonnées des vecteurs :
Ainsi, les vecteurs sont linéairement indépendants et forment une base.

Répondre:a), b) forme.

Il semble beaucoup plus compact et plus joli que la solution avec des proportions.

Avec l'aide du matériel considéré, non seulement la colinéarité des vecteurs peut être installée, mais également pour prouver le parallélisme des segments, directement. Considérez une paire de tâches avec des formes géométriques spécifiques.

Exemple 3.

Dana sommets d'un quadricule. Prouver que le quadril est un parallélogramme.

Preuve: Le dessin n'est pas nécessaire dans la tâche, car la solution sera purement analytique. Rappelez-vous la définition du parallélogramme:
Parallélogramme Appelé un quadricle, qui a des côtés opposés parsément parallèlement.

Ainsi, vous devez prouver:
1) le parallélisme des côtés opposés et;
2) parallélisme des côtés opposés et.

Nous prouvons:

1) Trouvez des vecteurs:

2) Trouvez des vecteurs:

Il s'est avéré le même vecteur ("sur l'école" - vecteurs égaux). La colinéaire est complètement évidente, mais il vaut mieux prendre une décision avec un alignement. Calculez le déterminant composé des coordonnées des vecteurs:
Cela signifie que ce sont des vecteurs colinéaires et.

Production: Les côtés opposés du quadril sont parallèles parallèles, cela signifie qu'il s'agit d'un parallélogramme par définition. Q.e.d.

Plus bons et différents chiffres:

Exemple 4.

Dana sommets d'un quadricule. Prouver que le quadril est un trapèze.

Pour un libellé plus strict de la preuve, il vaut mieux, bien sûr, d'obtenir la définition d'un trapèze, mais elle suffit et rappelez-vous de la façon dont cela ressemble.

Ceci est une tâche pour une solution indépendante. Solution complète à la fin de la leçon.

Et maintenant il est temps de sortir tranquillement de l'avion dans l'espace:

Comment déterminer la colinéarité des vecteurs spatiaux?

La règle est très similaire. Pour que deux vecteurs de navire soient colinéaires, il est nécessaire et suffisant pour que leurs coordonnées respectives soient proportionnelles à.

Exemple 5.

Découvrez si le collinear sera les vecteurs suivants de l'espace:

mais) ;
b)
dans)

Décision:
a) Vérifiez s'il existe un rapport de proportionnalité pour les coordonnées correspondantes des vecteurs:

Le système n'a pas de solution, cela signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

"Simplifié" est émis en vérifiant la proportion. Dans ce cas:
- Les coordonnées correspondantes ne sont pas proportionnelles, cela signifie que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Répondre: Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

b-C) Ce sont des articles pour une décision indépendante. Essayez-le d'organiser de deux manières.

Il existe une méthode de vérification des vecteurs spatiaux sur la colinéarité et via un déterminant troisième ordre, cette méthode est couverte dans l'article. Vecteurs d'art vectoriel.

Semblable au cas plat, la boîte à outils considérée peut être utilisée pour étudier le parallélisme des segments spatiaux et directement.

Bienvenue dans la deuxième section:

Dépendance linéaire et indépendance des vecteurs d'espace tridimensionnel.
Système de base spatiale et de coordonnées affine

Beaucoup de lois que nous avons examinées dans l'avion seront justes pour l'espace. J'ai essayé de minimiser le résumé de la théorie, car la part de l'information du lion est déjà dégradée. Cependant, je recommande de lire attentivement la partie introductive, car de nouveaux termes et concepts apparaîtront.

Maintenant, au lieu du plan de la table de l'ordinateur, nous examinons l'espace en trois dimensions. D'abord créer sa base. Quelqu'un est maintenant situé dans la chambre, quelqu'un dans la rue, mais dans tous les cas, nous ne pouvons aller nulle part de trois dimensions: largeurs, longueurs et hauteurs. Par conséquent, trois vecteurs spatiaux seront nécessaires pour construire une base. Un ou deux vecteurs sont petits, le quatrième est superflu.

Et encore respirer sur les doigts. Veuillez élever votre main et propagez dans différentes directions. grand, index et majoritaire. Ce seront des vecteurs, ils examinent différentes directions, ont une longueur différente et ont des angles différents les uns avec les autres. Félicitations, la base de l'espace en trois dimensions est prête! En passant, il n'est pas nécessaire de démontrer ces enseignants, peu importe la façon dont vous coolez vos doigts, et les définitions ne vont nulle part \u003d)

Ensuite, nous définirons une question importante, tous trois vecteurs constituent la base de l'espace en trois dimensions? S'il vous plaît appuyez fermement sur les trois doigts sur la table de la table d'ordinateur. Que s'est-il passé? Trois vecteurs sont situés dans le même plan et, à peu près parlant, nous avons perdu l'une des mesures - la hauteur. De tels vecteurs sont complérique Et, il est évident que la base de l'espace en trois dimensions ne crée pas.

Il convient de noter que les vecteurs du compartiment ne sont pas nécessaires pour se situer dans le même plan, ils peuvent être dans des plans parallèles (ne le faites tout simplement pas avec vos doigts, alors seul Salvador a donné \u003d)).

Définition: Les vecteurs sont appelés complériqueS'il y a un avion avec lequel ils sont parallèles. Il est logique que si un tel avion n'existe pas, les vecteurs ne seront pas compartiments.

Trois vecteurs de compartiment sont toujours dépendants de manière linéaire., c'est-à-dire exprimé linéairement l'un dans l'autre. Pour la simplicité, nous allons à nouveau imaginer qu'ils se trouvent dans le même plan. Premièrement, les vecteurs ne suffisent pas que les sociétés puissent également être colinéaires, puis tout vecteur peut être exprimé à travers n'importe quel vecteur. Dans le second cas, si, par exemple, les vecteurs ne sont pas colinéar, le troisième vecteur est exprimé par eux le seul moyen: (Et pourquoi - facile à deviner en fonction des matériaux de la section précédente).

Foire et la déclaration opposée: Trois vecteurs non compensants sont toujours indépendants de manière linéaire, c'est-à-dire en aucun cas exprimé dans un seul ami. Et, évidemment, seuls de tels vecteurs peuvent former une base tridimensionnelle.

Définition: La base de l'espace tridimensionnel appelé des vecteurs triéauliques indépendants (non compensants), enseigné, avec n'importe quel espace vectoriel la seule manière Divulgué sur cette base, où - les coordonnées du vecteur dans cette base

Je rappelle que vous pouvez aussi dire que le vecteur est présenté sous la forme de combinaison linéaire Vecteurs de base.

Le concept du système de coordonnées est introduit de la même manière que pour un étui plat, juste un point et trois vecteurs indépendants linéairement:

Le début des coordonnées, JE. non-pied vecteurs pris dans un certain, demandez système de coordonnées affine de l'espace tridimensionnel :

Bien sûr, le maillage coordonné "oblique" et mal tourné, mais néanmoins, le système de coordonnées construit nous permet précis Déterminez les coordonnées de tout vecteur et coordonnées de tout point d'espace. De même, l'avion dans le système de coordonnées affine ne fonctionnera pas pour certaines formules que j'ai déjà mentionnées.

Le cas privé le plus familier et le plus pratique d'un système de coordonnées affine, comment tout le monde devine est système de coordonnées de l'espace rectangulaire:

Espace point appelé Le début des coordonnées, JE. Ortonormalensemble de base système de coordonnées d'espace rectangulaire de bande dessinée . Photo familière:

Avant de passer à des tâches pratiques, nous sommes à nouveau systématiser les informations:

Pour trois vecteurs d'espace équivalent aux affirmations suivantes:
1) Les vecteurs sont linéairement indépendants;
2) base des vecteurs;
3) Les vecteurs ne sont pas compartiments;
4) Les vecteurs ne peuvent pas s'exprimer linéairement mutuellement;
5) Le déterminant composé des coordonnées de ces vecteurs est différent de zéro.

Des déclarations opposées, je pense, sont compréhensibles.

La dépendance linéaire / l'indépendance des vecteurs spatiaux est traditionnellement vérifiée à l'aide du déterminant (paragraphe 5). Les tâches pratiques restantes seront très exprimées algébriques. Il est temps de pendre sur un club géométrique des ongles et d'envelopper une algèbre linéaire de batte de baseball:

Trois vecteurs de vecteur Compliannas alors et seulement si le déterminant établi des coordonnées de ces vecteurs est nulle: .

J'attire l'attention sur une petite nuance technique: les coordonnées des vecteurs peuvent être enregistrées non seulement dans les colonnes, mais également dans la chaîne (la valeur du déterminant ne changera pas de ceci - voir les propriétés des déterminants). Mais beaucoup mieux dans les colonnes, car il est plus rentable de résoudre certaines tâches pratiques.

Ainsi, les lecteurs qui sont un peu de méthodes contestées pour calculer les déterminants et peuvent généralement être concentrés sur eux, je vous recommande une de mes plus anciennes leçons: Comment calculer le déterminant?

Exemple 6.

Vérifiez si la base tridimensionnelle formule les vecteurs suivants:

Décision: En fait, toute la décision est réduite au calcul du déterminant.

a) Calculer le déterminant composé des coordonnées des vecteurs (le déterminant est décrit sur la première ligne):

Cela signifie que les vecteurs sont indépendants linéairement (non compartiments) et constituent la base de l'espace en trois dimensions.

Répondre: Ces vecteurs forment une base

b) cet article pour une décision indépendante. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Des tâches créatives se trouvent:

Exemple 7.

Avec quelle valeur du paramètre vecteur sera un compartiment?

Décision: Les vecteurs sont compartiments si et uniquement si le déterminant établi à partir des coordonnées de données des vecteurs est zéro:

Essentiellement, il est nécessaire de résoudre l'équation avec le déterminant. Nous nous tournons vers Zeros comme les Kerchings sur les tubes - le déterminant est plus avantageux de divulguer la deuxième ligne et de se débarrasser immédiatement des minus:

Nous effectuons des simplifications supplémentaires et nous réduisons le plus simple équation linéaire:

Répondre: pour

Il est facile d'effectuer un chèque, car vous devez substituer la valeur reçue au déterminant d'origine et vous assurer que , Négligez-le à nouveau.

En conclusion, considérons un autre type de tâche, qui porte plus algébrique et s'allume traditionnellement à une algèbre linéaire. Il est si commun qui mérite un sujet séparé:

Prouver que 3 vecteurs forment une base tridimensionnelle
et trouver les coordonnées du 4ème vecteur dans cette base

Exemple 8.

Vastes vecteurs. Montrez que les vecteurs constituent la base de l'espace tridimensionnel et trouvez les coordonnées du vecteur dans cette base.

Décision: Nous désassemblons d'abord avec la condition. Pour la condition, quatre vecteurs sont donnés et, comme vous pouvez le constater, ils ont déjà des coordonnées dans certaines fois. Quelle base ne nous intéresse pas. Et vous êtes intéressé par la chose suivante: Trois vecteurs peuvent bien former une nouvelle base. Et la première étape coïncide complètement avec la solution de l'exemple 6, il est nécessaire de vérifier si les vecteurs sont vraiment indépendants de manière linéaire:

Calculez le déterminant composé des coordonnées des vecteurs:

Ainsi, les vecteurs sont indépendants de manière linéaire et constituent la base de l'espace en trois dimensions.

Prérequis Dépendance linéaire de n fonctions.

Les fonctions ont des fonctions dérivées (N-1).

Considérons le déterminant: (1)

W (x) est habituel d'être appelé définitivement à Vronsky pour les fonctions.

Théorème 1. Si les fonctions dépendent de manière linale de l'intervalle (A, B), leur Vrosanisan W (X) est identique égal à zéro dans cet intervalle.

Preuve. Par l'état du théorème, le ratio est effectué

, (2) où ils ne sont pas égaux à zéro. Laisser être . Puis

(3). Différencier cette identité N-1 fois et,

substituer au lieu de leurs valeurs obtenues dans le déterminant du Vronsky,

on a:

Dans le déterminant de la BRASKY, la dernière colonne est une combinaison Lingy de colonnes N-1 précédentes et en relation avec celles-ci est zéro dans l'ensemble des points d'intervalle (A, B).

Théorème 2.Dans le cas où les fonctions Y 1, ..., YN sont des solutions indépendantes Lin-oeil de l'équation L [Y] \u003d 0, tous les coefficients dont sont continus dans l'intervalle (A, B), puis le Rogsman de ces solutions sont différentes de zéro à chaque intervalle de points (A, B).

Preuve. Supposons le contraire. Il y a x 0, où w (x 0) \u003d 0. Faire un système N d'équations

De toute évidence, le système (5) a une solution non nulle. Laisser (6).

Faisons une combinaison de linase de solutions y 1, ..., y n.

(X) est une solution de l'équation L [Y] \u003d 0. En outre. En vertu du théorème du caractère unique de la solution de l'équation l [y] \u003d 0 avec des conditions initiales zéro ne devrait être que zéro ..ᴇ. .

Nous recevons l'identité, où tout n'est pas égal à zéro, et cela signifie que Y 1, ..., y n Linéliquement dépendante, qui contredit la condition du théorème. Par conséquent, il n'y a pas de tel point où w (x 0) \u003d 0.

Sur la base du théorème 1 et du théorème 2, vous pouvez formuler l'assertion suivante. Pour que N solutions de l'équation l [y] \u003d 0 soit indépendante de manière linale dans l'intervalle (A, B), il est extrêmement important et suffisant pour que leur Vronoskan ne soit pas adressé à zéro à aucun point de cet intervalle.

Parmi les théorèmes prouvés, de telles propriétés évidentes de Vronoskan sont également suivies.

1. Si les n Solutions L [Y] \u003d 0 sont zéro à un point unique x \u003d x 0 à partir de l'intervalle (A, B), dans lequel les produits CEE P i (x) sont continus, il est donc de zéro dans des points SO ex de cet intervalle.
2. Si les N Solutions de l'équation L [Y] \u003d 0 diffèrent de zéro à un point x \u003d x 0 à partir de l'intervalle (A, B), il est différent de zéro dans les points entiers de cet intervalle.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, pour lin-essentiel N de solutions indépendantes de l'équation l [y] \u003d 0 dans l'intervalle (A, B), dans laquelle les coefficients de l'équation R i (x) sont continus, il est extrêmement important et suffisant car leur vrosanique est différent de zéro au moins un point de cet intervalle.

La condition requise de la dépendance linéaire de n fonctions. - Concept et espèce. Classification et caractéristiques de la catégorie "Condition requise de la dépendance linéaire de n fonctions." 2017, 2018.

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Navires à bord de la carte de manipulation de la cargaison) Lecture # 6 Sujet: Geargo Gear (Geargo Gear) 6.1. Expédier à bord de la carte de manipulation de la cargaison). 6.2. Grues de cargaison. 6.3. Tabliers. La surcharge est le mouvement de la cargaison sur ou depuis un véhicule. Beaucoup ...

- grues de cargaison (grues de cargaison)

Certificats (certificats) Séparation des fonctions (Division des tâches) L'inspection, la certification et la responsabilité sont divisées de cette manière: & ....

- Est-ce-que tu le connais? Lo conoces?

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- Définition de Zmin et Xmin de l'absence de coupe

Fig.5.9. Sur la coupe de roues de dents. Considérez comment le coefficient de décalage de rail X est associé au nombre de dents, pouvant être hachées par le rail sur la roue. Laissez le rail être installé en position 1 (fig.5.9.). Dans ce cas, les têtes de chemin de fer directe traverseront la ligne de bus N-N dans T. et ...

Ord.Système d'éléments x 1, ..., x m lin. Perspect V est une personne à charge linéairement, si ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ m | 0) de telle que λ 1 x 1 + ... + λ mxm \u003d θ.

Ord.Le système d'éléments x 1, ..., x m ∈ V est un indépendant linéairement indépendant, if d'égalité λ 1 x 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d θ λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

Ord.Un élément x ∈ V est une combinaison linéaire d'éléments x 1, ..., xm ∈ V, si ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ tel que x \u003d λ 1 x 1 + ... + λ mx m.

Théorème (critères de dépendance linéaire): Le système de vecteurs x 1, ..., X m ∈ V est dépendant linéairement si et uniquement si au moins un système du système est exprimé linéairement dans le reste.

Dock. Nécessité: Soit x 1, ..., xm être linéairement dépendante ⟹ ∃ ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ m | 0) telle que λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 + λ mxm \u003d θ. Supposons λ m ≠ 0, puis

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Adéquation: Laissez au moins un des vecteurs linéairement exprimé dans le reste des vecteurs: xm \u003d λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 (λ 1, ..., λ m -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 + ... + λ m -1 xm -1 + (- 1) xm \u003d 0 λ m \u003d (- 1) ≠ 0 ⟹ x 1, ..., XM - Linéairement indépendante.

Coût. Condition de dépendance linéaire:

Si le système contient un élément zéro ou un sous-système dépendant linéairement, il dépend de manière linéaire.

λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 - Système dépendant linéairement

1) Soit x 1 \u003d θ, alors cette égalité est valide à λ 1 \u003d 1 et λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

2) Soit λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 être un sous-système linéairement dépendant | λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0. Ensuite, à λ 1 \u003d 0 est également obtenu, | λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0 λ 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d 0 est un système dépendant de manière linéaire.

Espace linéaire de base. Coordonnées de vecteur dans cette base. Coordonnées des sommes des vecteurs et des œuvres de vecteur par numéro. Condition requise et suffisante pour la dépendance linéaire du système de vecteurs.

Définition: Un système commandé d'éléments E 1, ..., E N de l'espace linéaire V est appelé la base de cet espace si:

A) e 1 ... e n linéairement indépendante

B) x ∈ ∈ α 1 ... α n telle que x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n n

x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n - décomposition d'un élément x dans la base e 1, ..., e n

α 1 ... α n ∈ ∈ - Les coordonnées de l'élément x sur la base de E 1, ..., E N

Théorème: Si la base E 1, ..., E N est donnée dans l'espace linéaire V, alors ∀ x ∈ V Colonne de coordonnées x dans la base E 1, ..., E N est définie uniquement (les coordonnées sont définies de manière unique)

Preuve: Soit x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n et x \u003d β 1 E 1 + ... + β n e n

x \u003d ⇔ \u003d θ, i.e. e 1, ..., e n - linéairement indépendante, alors - \u003d 0 ∀ i \u003d 1, ..., n ⇔ \u003d ∀ i \u003d 1, ..., n h. D. D.

Théorème: soit E 1, ..., e n soit la base de l'espace linéaire V; X, Y - Éléments arbitraires de l'espace V, λ ∈ - un nombre arbitraire. À l'ajout de x et y, leurs coordonnées sont pliées, avec la multiplication de x sur λ, les coordonnées x sont également multipliées par λ.

Preuve: x \u003d (e 1, ..., e n) et y \u003d (e 1, ..., e n)

x + y \u003d + \u003d (e 1, ..., e n)

λx \u003d λ) \u003d (E 1, ..., e n)

Lemma1: (condition nécessaire et suffisante de dépendance linéaire du système système)

Soit E 1 ... FR Soyez la base de l'espace V. Le système d'éléments F 1, ..., f k ∈ V est linéairement dépendant de manière linéaire si et uniquement si les colonnes de ces éléments dans la base de E 1 ,. .., fr sont dépendants linéairement

Preuve: Spatrate f 1, ..., f k sur la base e 1, ..., e n

f m \u003d (e 1, ..., e n) m \u003d 1, ..., k

λ 1 F 1 + ... + λ k f k \u003d (E 1, ..., E N) [λ 1 + ... + λ n] I.e. λ 1 F 1 + ... + λ k f k \u003d θ

⇔ 1 + ... + λ n \u003d ce qui était nécessaire pour prouver.

13. La dimension de l'espace linéaire. Théorème sur la connexion de la dimension et de la base.
Définition: L'espace linéaire V est appelé espace n-dimensionnel, s'il ya N éléments linéairement indépendants en V et le système de tous les éléments N + 1 de l'espace V est linéairement dépendant. Dans ce cas, n s'appelle la dimension de l'espace linéaire V et désigne dimv \u003d n.

L'espace linéaire s'appelle infini-dimensionnel si ∀n ∈ ∈ dans l'espace V existe un système indépendant linéaire contenant n éléments.

Théorème: 1) Si V est un espace linéaire N-dimensionnel, tout système ordonné de N éléments indépendants linéairement de cet espace est formé par la base. 2) Si dans l'espace linéaire V, il existe une base composée de n éléments, la dimension V est N (dimv \u003d n).

Preuve: 1) Laisser dimv \u003d n ⇒ dans V ∃ N éléments indépendants linéairement e 1, ..., e n. Nous prouvons que ces éléments forment une base, c'est-à-dire que nous prouvons que ∀ x ∈ V peut être décomposé selon E 1, ..., e n. Joindre X: E 1, ..., E N, X à eux - Ce système contient N + 1 vecteur et cela signifie qu'il est linéairement dépendant. Depuis E 1, ..., E N est indépendant linéairement, puis par le théorème 2 x. Linéairement exprimé par E 1, ..., e n i. ∃, ..., telle que x \u003d α 1 e 1 + ... + α n e n. Donc, e 1, ..., E N est la base de l'espace V. 2) Soit E 1, ..., e n Soyez la base V, donc dans les éléments indépendants linéairement. Prenez un arbitraire F 1, ..., F N, F N +1 ∈ V - N + 1 Éléments. Nous montrons leur dépendance linéaire. Répandez-les sur la base:

f m \u003d (E 1, ..., e n) \u003d où m \u003d 1, ..., n Fabriquez une matrice des colonnes de coordonnées: A \u003d matrice contient n Cordes ⇒ Rga≤n. Nombre de colonnes N + 1\u003e N ≥ RGA ⇒ colonnes de la matrice A (I.e., les coordonnées de la coordonnée F 1, ..., F n, F n +1) sont liées linéairement. De Lemma 1 ⇒, ..., F n, F n +1 - Linéairement dépendant ⇒ dimv \u003d n.

Conséquence:Si une base contient n éléments, aucune autre base de cet espace contient n éléments.

Théorème 2: Si le système de vecteurs x 1, ..., XM -1, XM dépend linéairement et son sous-système X 1, ..., XM -1 est indépendant linéairement, puis x m - linéairement exprimé en x 1, .. ., x m -1

Preuve: Parce que x 1, ..., x m -1, x m - dépendant linéairement, alors ∃, ... ,,,,

, ..., | , | tel que. Si ,, ..., | \u003d\u003e x 1, ..., x m -1 - linéairement indépendant, qui ne peut pas être. Donc m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Notez que, à l'avenir, sans déranger la généralité, nous examinerons le cas des vecteurs dans un espace en trois dimensions. Dans l'avion, la prise en compte des vecteurs est faite de la même manière. Comme indiqué ci-dessus, tous les résultats connus du cours d'algèbre linéaire pour les vecteurs algébriques peuvent être transférés dans un cas particulier de vecteurs géométriques. Alors faites-le.

Laissez les vecteurs fixés.

Définition.Montant, où - certains chiffres sont appelés combinaison linéaire de vecteurs. Dans ce cas, ces chiffres seront appelés les coefficients d'une combinaison linéaire.

Nous serons intéressés par la question de la possibilité d'égalité de la combinaison linéaire à zéro vecteur. Conformément aux propriétés et aux axiomes des espaces vectoriels, il devient évident que pour tout système de vecteurs, il existe un ensemble de coefficients trivial (zéro) pour lequel cette égalité est effectuée:

Il y a une question sur l'existence de ce système de vecteurs d'un ensemble non trivial de coefficients (parmi lesquels il existe au moins un coefficient non-pair) pour lequel l'égalité mentionnée est effectuée. Conformément à cela, nous distinguerons des systèmes linéairement dépendants et indépendants.

Définition.Le système de vecteurs est appelé indépendant linéairement s'il existe un tel ensemble de nombres, parmi lesquels il existe au moins un non-zéro, de sorte que la combinaison linéaire correspondante soit égale au vecteur zéro:

Le système de vecteurs est appelé linéairement indépendant si l'égalité

peut-être que dans le cas d'un ensemble de coefficients trivial:

Nous énumérons les propriétés de base des systèmes linéaires dépendants et indépendants prouvés comme une algèbre linéaire.

1. Tout système de vecteurs contenant un vecteur zéro est linéairement dépendant.

2. Devons y avoir un sous-système dépendant de manière linéaire dans le système de vecteurs. Ensuite, tout le système est également linéairement dépendant.

3. Si le système de vecteurs est indépendant linéairement, n'importe lequel de son sous-système est également indépendant linéairement.

4. S'il y a deux vecteurs dans les vecteurs, l'un d'entre eux est obtenu à partir d'une autre multiplication par un nombre, puis l'ensemble du système est linéairement dépendant.

Théorème (critère de dépendance linéaire).Le système de vecteurs dépend linéairement si et uniquement si l'un des vecteurs de ce système sera présenté comme une combinaison linéaire des vecteurs restants du système.

Compte tenu du critère de la colinéaire de deux vecteurs, on peut soutenir que leur colinéarité est le critère de leur dépendance linéaire. Pour trois vecteurs dans l'espace, la déclaration suivante est juste.

Théorème (critère de la dépendance linéaire de trois vecteurs géométriques).Trois vecteurs et dépendent linéairement si et seulement s'ils sont compartiments.

Preuve.

Nécessité.Laisser les vecteurs et linéairement dépendent. Nous prouvons leur compartiment. Ensuite, selon le critère général de la dépendance linéaire des vecteurs algébriques, nous soutenons que l'un de ces vecteurs présentera sous la forme d'une combinaison linéaire d'autres vecteurs. Laisser, par exemple,

Si les trois vecteurs et attachent au début général, le vecteur coïncide avec la diagonale du parallélogramme construit dans les vecteurs et. Mais cela signifie que les vecteurs et se trouvent dans le même avion, c'est-à-dire Conformicias.

Adéquation.Laissez les vecteurs et comparer. Nous montrons qu'ils sont linéairement dépendants. Tout d'abord, considérez le cas lorsque vous faites de la vapeur des vecteurs collinaires spécifiés. Dans ce cas, selon le théorème précédent, le système de vecteurs contient un sous-système dépendant de manière linéaire et, par conséquent, est en fonction linéairement en fonction de la propriété de 2 vecteurs indépendants linéairement et indépendants. Maintenant, non, aucune paire de vecteurs à l'étude n'est pas collineear. Nous transférons les trois vecteurs dans un plan et donnons-les au début général. Passons à travers la fin des vecteurs parallèles de vecteur et. Notez le point de l'intersection de la lettre d'un vecteur droit et parallèle, avec une ligne droite, sur laquelle le vecteur est couché et le point de lettrage de l'intersection, parallèle au vecteur, avec une ligne droite, sur quel vecteur couché. Par définition des vecteurs que nous obtenons:

.

Depuis que le vecteur colinear est un vecteur non-zéro, il y a un nombre valide qui

De considérations similaires, l'existence d'un nombre valide de tel que

En conséquence, nous aurons:

Ensuite, du critère général de la dépendance linéaire des vecteurs algébriques, nous obtenons que les vecteurs, dépendants de manière linéaire. ■.

Théorème (dépendance linéaire de quatre vecteurs).Quatre quatre vecteurs sont linéairement dépendants.

Preuve. Tout d'abord, considérons le cas lorsque certains triple des quatre vecteurs spécifiés du compartiment. Dans ce cas, ce triple dépend linéairement conformément au théorème précédent. Par conséquent, conformément à la propriété de 2 systèmes de vecteurs dépendants linéairement et indépendants, et la totalité des quatre est linéairement dépendante.

Maintenant, laissez les vecteurs n'ont pas trois vecteurs des vecteurs dans les vecteurs à l'étude. Nous donnons tous les quatre vecteurs,, au début général et passons après la fin du vecteur d'avion parallèlement aux avions, détectés par de vastes couples,; ; . Les points d'intersection des avions spécifiés avec droit, sur lesquels les vecteurs mentent et, respectivement, les lettres et. De la détermination de la somme des vecteurs, il suit que

ce qui, en tenant compte du critère général de la dépendance linéaire des vecteurs algébriques, suggère que les quatre vecteurs dépendent linéairement. ■.

Définition 18.2. Système de fonctionsf., ..., f P.appelél.i-Nip O. Z. et et à et s et m. à propos de l'intervalle (mais, (3) Si certains non-triviaux 5 la combinaison linéaire de ces fonctions est nulle à cet intervalle de manière identique:

Définition 18.3. Vecteurs du système g 1, ..., x P appelle, il est linéaire dans et en et s et m environ, si une combinaison linéaire non provisoire de ces vecteurs est égale à un vecteur de balle:

L. Afin d'éviter toute confusion, nous poursuivons le nombre de composants du vecteur (fonction de vecteur) à noter par l'index inférieur et le numéro du vecteur lui-même (s'il y a plusieurs vecteurs) la tige.

«Nous rappelons que la combinaison linéaire est appelée non-triviale, sinon tous les coefficients de celui-ci sont nuls.

Définition 18.4. Système de fonctions de vecteur x 1 ^), ..., x N (t) appelé linéaire sur Z. et et en et s et m à propos de TI dans l'intervalle, (mais, / 3) Si une combinaison linéaire non triviale de ces fonctions de vecteur est identique égale à cet intervalle à zéro vecteur:

Il est important de traiter ces trois concepts (dépendance linéaire de fonctions, de vecteurs et de fonctions de vecteur) les uns avec les autres.

Tout d'abord, si vous soumettez la formule (18.6) sur la forme déployée (en vous rappelant que chacun des x g (1) est un vecteur)

ensuite, ce sera équivalent au système égal

ce qui signifie linéaire dépendance de MS Composant dans le sens de la première définition (en fonctions). On dit que la dépendance linéaire des fonctions de vecteur implique pompon Dépendance linéaire.

Inverse, d'une manière générale, incorrecte: suffisamment pour envisager un exemple de paire de fonctions vectorielles

Les premiers composants de ces fonctions de vecteur coïncident simplement signifie qu'ils sont linéairement dépendants. Les deuxièmes composantes sont proportionnelles, cela signifie. Aussi linéairement dépendant. Cependant, si nous essayons de construire leur combinaison linéaire, égale à zéro identique, puis du rapport

obtenir immédiatement le système

qui a la seule solution C - S.-2 - 0. Ainsi, nos fonctions de vecteur sont indépendantes linéairement.

Quelle est la raison d'une propriété aussi étrange? Quel est le focus qui vous permet de construire des fonctions de vecteurs indépendantes linéaires des fonctions évidemment dépendantes?

Il s'avère que le tout n'est pas tant dans la dépendance linéaire du composant, comme dans la proportion des coefficients, nécessaire pour obtenir zéro. Dans le cas d'une dépendance linéaire des fonctions de vecteur, le même ensemble de coefficients sert tous les composants indépendamment du nombre. Mais dans l'exemple que nous avons donné pour un composant, une proportion de coefficients était requise et pour une autre autre. Donc, la mise au point est en fait simple: afin d'obtenir une dépendance linéaire des fonctions vectorielles de la fonction vectorielle, il est nécessaire que tous les composants soient dépendants linéairement "dans la même proportion".

Nous nous tournons maintenant vers l'étude de la dépendance linéaire des fonctions et des vecteurs de vecteur. Ici est presque évident pour le fait que de la dépendance linéaire des fonctions vectorielles suit que pour chaque fixe t * Vecteur

ils seront linéairement dépendants.

Inverse, d'une manière générale, n'a pas la place: de la dépendance linéaire des vecteurs à chaque t. Pas une dépendance linéaire de fonctions vectorielles. Il est facile de voir sur l'exemple de deux fonctions vectorielles.

Pour t \u003d 1, t \u003d 2 et t \u003d 3 Nous obtenons une paire de vecteurs

respectivement. Chaque paire de vecteurs est proportionnelle à (avec des coefficients de 1,2 et 3, respectivement). Il n'est pas difficile de comprendre quoi pour tout t * Notre paire de vecteurs sera proportionnelle au coefficient t *.

Si nous essayons de construire une combinaison linéaire de fonctions vectorielles égales à zéro identiquement, les premiers composants nous donnent le rapport

ce qui est possible seulement si DE = DE2 = 0. Ainsi, nos fonctions de vecteur se sont avérées de manière linéaire indépendante. Encore une fois, l'explication de cet effet est que dans le cas de la dépendance linéaire des fonctions vectorielles, le même ensemble de constantes CJ sert toutes les valeurs. t, et dans notre exemple pour chaque valeur t. Requis sa proportion entre les coefficients.