Fonctions de graphiques et de leur table de propriétés. Étude de la fonction graphique

13.08.2020

Les principales fonctions élémentaires inhérentes aux propriétés et les graphiques correspondants sont l'un des AZOV. connaissance mathématiquesemblable au degré d'importance avec la table de multiplication. Les fonctions élémentaires sont une base basée sur l'étude de tous les problèmes théoriques.

L'article ci-dessous fournit un matériau clé sur le sujet des fonctions élémentaires de base. Nous allons introduire des conditions, laissez-les définir des définitions; Étudions en détail chaque type de fonctions élémentaires, nous analyserons leurs propriétés.

Les types suivants de fonctions élémentaires de base sont distingués:

Définition 1.

fonction constante (constante);
n ° racine;
fonction de puissance;
fonction exponentielle;
fonction logarithmique;
fonctions trigonométriques;
frère fonctions trigonométriques.

Une fonction constante est déterminée par la formule: Y \u003d C (C est un certain nombre) et a également un nom: constante. Cette fonction détermine la correspondance à toute valeur valide d'une variable indépendante x de la même valeur de la même variable c.

Le calendrier de la constante est droit, qui est parallèle à l'axe Abscisse et passe à travers un point ayant des coordonnées (0, C). Pour plus de clarté, nous donnons des graphiques de fonctions permanentes Y \u003d 5, Y \u003d - 2, Y \u003d 3, Y \u003d 3 (dans le dessin désigné avec des couleurs noires, rouges et bleues, respectivement).

Définition 2.

Cette fonction élémentaire est déterminée par la formule Y \u003d X N (N - Le nombre naturel d'autres unités).

Considérons deux variantes de la fonction.

Racine n -y degré, n-même nombre

Pour plus de clarté, indiquez le dessin, qui montre des graphiques de telles fonctions: y \u003d x, y \u003d x 4 et y \u003d x 8. Ces fonctions sont marquées de couleur: noir, rouge et bleu, respectivement.

Vue similaire des fonctions d'une fonction de degré pair à différentes valeurs de l'indicateur.

Définition 3

Propriétés Fonction Root N-ESH, N - Numéro même

la zone de définition est l'ensemble de tous les nombres valides non négatifs [0, + ∞);
quand x \u003d 0, fonction y \u003d x n a une valeur égale à zéro;
cette fonction de fonction forme générale (nul ou même impair);
zone de valeur: [0, + ∞);
cette fonction y \u003d x N à même des indicateurs de la racine augmente dans la zone de définition;
la fonction a une convexité vers la hausse sur toute la zone de définition;
il n'y a pas de points d'inflexion;
les asymptotes sont absentes;
le graphique de la fonction à même N passe à travers les points (0; 0) et (1; 1).

Racine n -i degré, n est un nombre impair

Cette fonction est définie sur l'ensemble de numéros valides. Pour plus de clarté, considérons des graphiques de fonctions y \u003d x 3, y \u003d x 5 et x 9. Dans le dessin, ils sont indiqués par des fleurs: couleurs noires, rouges et bleues des courbes, respectivement.

D'autres valeurs étranges de la fréquence racine de la fonction Y \u003d X N donneront un graphique d'une espèce similaire.

Définition 4.

Propriétés Fonction N-ES Diplôme racine, N - Nombre impair

la zone de définition est l'ensemble de tous les nombres valides;
cette fonctionnalité est impair;
la gamme de valeurs est l'ensemble de tous les nombres valides;
la fonction Y \u003d X N avec des indicateurs racines impairs augmente dans la zone de définition;
la fonction a une concave sur l'intervalle (- ∞; 0] et la convexité à l'intervalle [0, + ∞);
le point d'inflexion a des coordonnées (0; 0);
les asymptotes sont absentes;
le graphique de la fonction avec impair n passe à travers les points (- 1; - 1), (0; 0) et (1; 1).

Fonction de puissance

Définition 5

La fonction de puissance est déterminée par la formule Y \u003d X a.

La vue des graphiques et des propriétés de la fonction dépendent de la valeur de l'indicateur.

lorsqu'une fonction d'alimentation a un indicateur entier A, le type de graphique de la fonction d'alimentation et ses propriétés dépendent de l'indicateur pair ou impair, ainsi que du signe du degré. Considérez tous ces cas particuliers plus en détail ci-dessous;
un indicateur d'un degré peut être fractionnel ou irrationnel - en fonction de la vue des graphiques et des propriétés de la fonction varie. Nous analyserons des cas spéciaux en définissant plusieurs conditions: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
la fonction de puissance peut avoir un indicateur zéro, ce cas est également lu ci-dessous.

Nous analyserons la fonction de puissance y \u003d x a quand A est un nombre positif impair, par exemple, A \u003d 1, 3, 5 ...

Pour plus de clarté, nous indiquons des graphiques de ces fonctions d'alimentation: y \u003d x (graphiques noirs), y \u003d x 3 (graphique de couleur bleue), y \u003d x 5 (graphiques rouges), y \u003d x 7 (graphiques verts). Lorsque A \u003d 1, nous obtenons une fonction linéaire y \u003d x.

Définition 6.

Les propriétés de la fonction de puissance, lorsque l'indicateur du degré est un impair positif

la fonction augmente avec x ∈ (- ∞; + ∞);
la fonction a un renflement à x ∈ (- ∞; 0] et une concave à x ∈ [0; + ∞) (hors fonction linéaire);
le point d'inflexion a des coordonnées (0; 0) (à l'exclusion de la fonction linéaire);
les asymptotes sont absentes;
points de passage de la fonction: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Nous analyserons la fonction de puissance Y \u003d x A Quand A est un nombre pair, par exemple, A \u003d 2, 4, 6 ...

Pour plus de clarté, nous indiquons des graphiques de ces fonctions d'alimentation: y \u003d x 2 (graphique de couleur noire) y \u003d x 4 (couleur graphique bleue) y \u003d x 8 (graphiques rouges). Lorsque A \u003d 2, nous obtenons une fonction quadratique, dont le graphique est une parabole quadratique.

Définition 7.

Les propriétés de la fonction de puissance, lorsque l'indicateur de diplôme est même positif:

la zone de définition: x ∈ (- ∞; + ∞);
décroissant à x ∈ (- 0];
la fonction a une concave sur x ∈ (- ∞; + ∞);
les points de journalisation sont manquants;
les asymptotes sont absentes;
points de passage de la fonction: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de fonction d'alimentation. y \u003d x a quand A est un nombre négatif étrange: y \u003d x - 9 (graphiques noirs); y \u003d x - 5 (graphique de couleur bleue); y \u003d x - 3 (graphiques rouges); Y \u003d x - 1 (graphiques verts). Lorsque A \u003d - 1, nous obtenons une proportionnalité inverse, dont le graphique est une hyperbole.

Définition 8

Les propriétés de la fonction de puissance, lorsque l'indicateur de degré est un négatif étrange:

Lorsque x \u003d 0, nous obtenons la rupture du deuxième type, puisque lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ à A \u003d - 1, - 3, - 5 ,. ... Ainsi, la ligne droite x \u003d 0 est l'asymptota verticale;

la gamme de valeurs: y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
la fonction est impair, car y (- x) \u003d - y (x);
la fonction diminue à x - ∞; 0 ∪ (0; + ∞);
la fonction a un renflement à x ∈ (- ∞; 0) et une concave à x ∈ (0; + ∞);
les points d'inflexion sont absents;

k \u003d lim x → x A x \u003d 0, b \u003d lim x → ∞ (x A - k x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, quand A \u003d - 1, - 3, - 5 ,. . . .

points de passage de la fonction: (- 1; - 1), (1; 1).

La figure ci-dessous montre des exemples de graphiques de la fonction d'alimentation Y \u003d X A, lorsque A est un nombre voire négatif: y \u003d x - 8 (graphe de couleur noire); y \u003d x - 4 (graphique de couleur bleue); Y \u003d x - 2 (graphiques rouges).

Définition 9.

Les propriétés de la fonction de puissance, lorsque l'indicateur du degré est même négatif:

zone de définition: x ∈ (- 0) ∪ (0; + ∞);

Lorsque x \u003d 0, nous obtenons la rupture du deuxième type, puisque lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 x 0 xa \u003d + ∞ à A \u003d - 2, - 4, - 6 ,. ... Ainsi, la ligne droite x \u003d 0 est l'asymptota verticale;

la fonction est même, car y (- x) \u003d y (x);
la fonction augmente avec x ∈ (- ∞; 0) et diminue avec x 0; + ∞;
la fonction a une concave à x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
les points d'inflexion sont absents;
asympotta horizontal - droit y \u003d 0, car:

k \u003d lim x → x A x \u003d 0, b \u003d lim x → ∞ (x A - k x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, quand A \u003d - 2, - 4, - 6,. . . .

points de passage de la fonction: (- 1; 1), (1; 1).

Dès le début, faites attention à l'aspect suivant: Dans le cas où une fraction positive est une fraction positive avec un dénominateur étrange, certains auteurs sont considérés comme la zone de détermination de cet intervalle de fonction de puissance - ∞; + ∞, picotement en même temps que l'indicateur A est une fraction instable. À l'heure actuelle, les auteurs de nombreuses publications éducatives sur l'algèbre et le principe d'analyse ne définissent pas les fonctions de puissance, où l'indicateur est une fraction avec un dénominateur étrange avec des valeurs négatives de l'argument. Ensuite, nous allons permettre à ce poste: Prenez la zone de détermination des fonctions de puissance avec des indicateurs de degré positif fractionnaires de la définition de degré [0; + ∞). Recommandation pour les étudiants: Découvrez l'opinion de l'enseignant à ce stade pour éviter les désaccords.

Donc, nous analyserons la fonction de puissance y \u003d x a lorsque le taux de degré est rationnel ou irrationnel, à condition que 0< a < 1 .

Nous illustrons les fonctions d'alimentation graphiques y \u003d x a quand a \u003d 11 12 (graphiques noirs); A \u003d 5 7 (graphiques rouges); A \u003d 1 3 (couleur graphique bleue); A \u003d 2 5 (graphiques verts).

Autres valeurs de l'indicateur de degré A (fourni 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Définition 10.

Les propriétés de la fonction de puissance à 0< a < 1:

la gamme de valeurs: y ∈ [0; + ∞);
la fonction augmente avec x ∈ [0; + ∞);
la fonction a un renflement à x ∈ (0; + ∞);
les points d'inflexion sont absents;
les asymptotes sont absentes;

Nous analyserons la fonction de puissance Y \u003d X A, lorsque le taux de degré est un nombre rationnel ou irrationnel non cible, à condition qu'un\u003e 1.

Nous illustrons la fonction d'alimentation graphiques y \u003d x A Dans les conditions spécifiées de l'exemple de ces fonctions: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (noir, graphique vert, bleu, vert).

D'autres valeurs de l'indicateur du degré et sous la condition A\u003e 1 donneront un type de graphisme similaire.

Définition 11.

Les propriétés de la fonction de puissance à un\u003e 1:

zone de définition: x ∈ [0; + ∞);
la gamme de valeurs: y ∈ [0; + ∞);
cette fonction est une fonction de forme commune (il n'y a ni impair, ni même);
la fonction augmente avec x ∈ [0; + ∞);
la fonction a une concave à x ∈ (0; + ∞) (quand 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
les points d'inflexion sont absents;
les asymptotes sont absentes;
points de passage de la fonction: (0; 0), (1; 1).

Nous payons votre attention! Lorsque A est une fraction négative avec un dénominateur étrange, dans les travaux de certains auteurs, il est apparu que la zone de définition dans ce cas est l'intervalle - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) avec la réservation, qui est un indicateur de degré A est une fraction instable. Pour le moment, les auteurs du matériel pédagogique sur l'algèbre et le principe d'analyse ne définissent pas les fonctions de puissance avec un indicateur sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair avec des valeurs négatives de l'argument. Ensuite, nous adhérons à un tel regard: prenez la zone de la détermination des fonctions de puissance avec des indicateurs négatifs fractionnés (0; + ∞). Recommandation pour les étudiants: spécifiez la vision de votre enseignant à ce stade pour éviter les désaccords.

Nous continuons le sujet et désassemblons la fonction de puissance y \u003d x a fourni: - 1< a < 0 .

Nous donnons le dessin des graphiques les fonctions suivantes: y \u003d x - 5 6, y \u003d x - 2 3, y \u003d x - 1 2 2, y \u003d x - 1 7 (noir, rouge, bleu, lignes vertes, respectivement).

Définition 12

Les propriétés de la fonction de puissance à - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞, quand - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

zone de valeur: y 0; + ∞;
cette fonction est une fonction de forme commune (il n'y a ni impair, ni même);
les points d'inflexion sont absents;

Le dessin ci-dessous montre les graphiques des fonctions d'alimentation y \u003d x - 5 4, y \u003d x - 5 3, y \u003d x - 6, y \u003d x - 24 7 (noir, rouge, bleu, couleurs vertes des courbes, respectivement) .

Définition 13.

Les propriétés de la fonction de puissance à un< - 1:

zone de définition: x ∈ 0; + ∞;

lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ quand un< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

la gamme de valeurs: y ∈ (0; + ∞);
cette fonction est une fonction de forme commune (il n'y a ni impair, ni même);
la fonction diminue à x 0; + ∞;
la fonction a une concave à x 0; + ∞;
les points d'inflexion sont absents;
asymptotta horizontal - droit y \u003d 0;
la fonction de la fonction: (1; 1).

Lorsque A \u003d 0 et X ≠ 0, nous obtenons la fonction y \u003d x 0 \u003d 1, qui définit le point direct, à partir duquel le point (0; 1) est exclu (il est convenu que l'expression 0 0 ne sera donnée aucun valeur).

La fonction indicative a la forme y \u003d A x, où A\u003e 0 et A ≠ 1, et le graphique de cette fonction ressemble différent, en fonction de la valeur de base a. Considérer les cas privés.

Nous analyserons d'abord la situation lorsque la base de la fonction indicative importe de zéro à un (0< a < 1) . Exemple visuel Servira des graphiques de fonctions à A \u003d 1 2 (courbe de couleur bleue) et a \u003d 5 6 (courbe rouge).

La même espèce aura des graphiques d'une fonction indicative à d'autres valeurs de base fournies 0< a < 1 .

Définition 14.

Propriétés de la fonction indicative lorsque la base est inférieure à une:

la gamme de valeurs: y ∈ (0; + ∞);
cette fonction est une fonction de forme commune (il n'y a ni impair, ni même);
la fonction indicative dans laquelle la base est inférieure à l'unité est décroissante dans toute la zone de définition;
les points d'inflexion sont absents;
asympttata horizontal - droit y \u003d 0 avec une variable x, efforçant de + ∞;

Considérons maintenant le cas lorsque la base de la fonction indicative est supérieure à celle de l'unité (a 1).

Nous illustrons ce cas particulier par graphique des fonctions indicatives Y \u003d 3 2 x (courbe de couleur bleue) et y \u003d E x (graphiques rouges).

Autres valeurs de base, grandes unités, donnent un type de graphe similaire de la fonction indicative.

Définition 15.

Propriétés de la fonction indicative lorsque la base est supérieure à l'unité:

la zone de définition est tous de nombreux nombres valides;
la gamme de valeurs: y ∈ (0; + ∞);
cette fonction est une fonction de forme commune (il n'y a ni impair, ni même);
la fonction indicative dans laquelle la base est supérieure à celle de l'unité augmente à x ∈ - ∞; + ∞;
la fonction a une concave à x ∈ - ∞; + ∞;
les points d'inflexion sont absents;
asymptotta horizontal - droit y \u003d 0 avec une variable x, efforcée de - ∞;
point de fonction: (0; 1).

La fonction logarithmique a la forme Y \u003d log A (x), où a\u003e 0, a ≠ 1.

Cette fonction est définie uniquement avec des valeurs positives de l'argument: à x 0; + ∞.

Le graphique de la fonction logarithmique a regarder différentBasé sur la valeur de la base a.

Considérer d'abord la situation quand 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

D'autres valeurs de base, pas de grandes unités, donneront un type de graphisme similaire.

Définition 16.

Propriétés de la fonction logarithmique, lorsque la base est inférieure à une:

zone de définition: x ∈ 0; + ∞. Lorsque x tend à zéro à droite, les valeurs de la fonction ont tendance à + ∞;
la gamme de valeurs: y - ∞; + ∞;
cette fonction est une fonction de forme commune (il n'y a ni impair, ni même);
logarithmique
la fonction a une concave à x 0; + ∞;
les points d'inflexion sont absents;
les asymptotes sont absentes;

Maintenant, nous analyserons un cas particulier lorsque la base de la fonction logarithmique est supérieure à: a 1 . Dans le dessin ci-dessous, les fonctions logarithmiques y \u003d journal 3 2 x et y \u003d ln x (graphiques bleu et rouge, respectivement).

Autres valeurs de base supérieures à l'unité donneront un type de graphique similaire.

Définition 17.

Propriétés de la fonction logarithmique, lorsque la base est supérieure à:

zone de définition: x ∈ 0; + ∞. Lorsque X a tendance à zéro à droite, les valeurs de la fonction ont tendance à - ∞;
la gamme de valeurs: y - ∞; + ∞ (tous les nombreux nombres valides);
cette fonction est une fonction de forme commune (il n'y a ni impair, ni même);
la fonction logarithmique augmente avec x 0; + ∞;
la fonction a un renflement à x 0; + ∞;
les points d'inflexion sont absents;
les asymptotes sont absentes;
point de fonction: (1; 0).

Fonctions trigonométriques - C'est sinus, cosinus, tangente et de catagnes. Nous analyserons les propriétés de chacun d'eux et des graphiques correspondants.

En général, pour toutes les fonctions trigonométriques, la propriété de la fréquence est caractéristique, c'est-à-dire Lorsque les valeurs des fonctions sont répétées à différentes valeurs de l'argument, différent de l'autre par la période F (x + t) \u003d F (x) (T-Période). Ainsi, dans la liste des propriétés des fonctions trigonométriques, l'élément "la plus petite période positive" est ajouté. De plus, nous spécifierons de telles valeurs de l'argument dans lequel la fonction correspondante s'ajoute à zéro.

Fonction sinus: y \u003d péché (x)

Le graphique de cette fonctionnalité s'appelle sinusoïde.

Définition 18.

Propriétés de la fonction Sinus:

zone de définition: Tous les ensembles de nombres valides x ∈ - ∞; + ∞;
la fonction fait référence à zéro lorsque x \u003d π · k, où k ∈ z (Z est un ensemble d'entiers);
la fonction augmente à x ∈ - π 2 + 2 π π π π π π; π 2 + 2 π · k, k ∈ z et diminuer à x π 2 + 2 π π π π; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ z;
la fonction sinusale a une maxima locale sur les points 2 + 2 π · k; 1 minima local aux points - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
la fonction du sinus concave lorsque x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ z et convexe lorsque x ∈ 2 π π π π; π + 2 π · k, k ∈ z;
les asymptotes sont absentes.

Fonction cosinus: Y \u003d cos (x)

Le graphique de cette fonctionnalité s'appelle une cosinineida.

Définition 19.

Propriétés de la fonction cosinus:

la zone de définition: x - ∞; + ∞;
la plus petite période positive: t \u003d 2 π;
la gamme de valeurs: y - 1; une ;
cette fonction est même, car y (- x) \u003d y (x);
la fonction augmente à x ∈ - π + 2 π π · k; 2 π · · k, k ∈ z et diminuer à x 2 π π π π π; π + 2 π · k, k ∈ z;
la fonction de cosinus a une maxima locale aux points 2 π · k; 1, k ∈ z et minima local à π + 2 π · k points; - 1, k ∈ z;
la fonction du cosinus concave quand x ∈ π 2 + 2 π π π π π; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ z et convexe lorsque x ∈ - π 2 + 2 π π π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ z;
les points d'inflexion ont des coordonnées π 2 + π · k; 0, k ∈ z
les asymptotes sont absentes.

Fonction tangente: Y \u003d t g (x)

Le graphique de cette fonctionnalité est appelé tangentsoïde.

Définition 20.

Propriétés de la fonction tangente:

la zone de définition: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k, où k ∈ z (z est un ensemble d'entiers);
Comportement de la fonction de la tangente à la limite de la zone de définition de LIM x → π 2 + π · k + 0 Tg (x) \u003d - ∞, lim x → π 2 + π · k - 0 Tg ( x) \u003d + ∞. Ainsi, x \u003d π 2 + π · k k ∈ z sont des asymptotes verticales;
la fonction se réfère à zéro lorsque X \u003d π · k pour K ∈ Z (Z est une pluralité d'entiers);
la gamme de valeurs: y - ∞; + ∞;
cette fonction est un étrange, depuis y (- x) \u003d - y (x);
la fonction augmente à - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ z;
la fonction tangente est concave à x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ z et convexe à x ∈ (- π 2 + π · k; π · k], k ∈ z;
les points d'inflexion ont coordonnées π · K; 0, k ∈ z;

Fonction cotangente: Y \u003d c t g (x)

Le calendrier de cette fonctionnalité s'appelle kotangensoïde .

Définition 21.

Propriétés de la fonction COTANGENT:

la zone de définition: x ∈ (π · k; π + π · k), où K ∈ Z (Z est une pluralité d'entiers);

Le comportement de la fonction cotangente à la limite de la zone limite de Lim x → π · k + 0 t g (x) \u003d + ∞, lim x → π · k - 0 t g (x) \u003d - ∞. Ainsi, la droite x \u003d π π · k k ∈ z sont des asymptotes verticales;

la plus petite période positive: t \u003d π;
la fonction fait référence à zéro lorsque x \u003d π 2 + π · k à k ∈ z (z est l'ensemble d'entiers);
la gamme de valeurs: y - ∞; + ∞;
cette fonction est un étrange, depuis y (- x) \u003d - y (x);
la fonction diminue à x π π π π π π π; π + π · k, k ∈ z;
la fonction cotangente est concave à x ∈ (π · k; π 2 + π · k], k ∈ z et convexe à x ∈ [- π 2 + π π · k; π · k), K ∈ Z;
les points d'inflexion ont des coordonnées π 2 + π · k; 0, k ∈ z;
les asymptotes inclinées et horizontales sont absentes.

Les fonctions trigonométriques inverse sont Arksinus, Arkkosinus, Arctangen et Arkotangent. Souvent, en raison de la présence du préfixe "ark" dans le titre, les fonctions trigonométriques inverse sont appelées arcfonctions .

Fonction arxinus: y \u003d a r c sin (x)

Définition 22

Propriétés de la fonction Arksinus:

cette fonction est un étrange, depuis y (- x) \u003d - y (x);
la fonction Arksinus a une concave à x 0; 1 et la convexité à x - 1; 0;
les points d'inflexion ont des coordonnées (0; 0), c'est aussi des fonctions zéro;
les asymptotes sont absentes.

Fonction Arkkosinus: y \u003d a r c cos (x)

Définition 23.

Propriétés de la fonction Arkkosinus:

zone de définition: x ∈ - 1; une ;
zone de valeur: y 0; π;
cette fonction est une forme commune (ni même ni impair);
la fonction diminue dans le domaine de la définition;
la fonction de l'arcsinus a une concave à x ∈ - 1; 0 et convexité à x 0; une ;
les points d'inflexion ont des coordonnées 0; π 2;
les asymptotes sont absentes.

Fonction arctangent: y \u003d a r c t g (x)

Définition 24.

Propriétés de la fonction Arctangens:

la zone de définition: x - ∞; + ∞;
la gamme de valeurs: y - π 2; π 2;
cette fonction est un étrange, depuis y (- x) \u003d - y (x);
la fonction augmente dans le domaine de la définition;
la fonction arctangent a une concave sur x ∈ (- ∞; 0] et la convexité à x ∈ [0; + ∞);
le point d'inflexion a des coordonnées (0; 0), il est également zéro fonctions;
asymptotes horizontales - droite Y \u003d - π 2 à x → - ∞ et y \u003d π 2 à x → + ∞ (dans l'image des asymptotes sont des lignes vertes).

Fonction Arkkothangent: y \u003d a r c c t g (x)

Définition 25.

Propriétés de la fonction Arkkothangence:

la zone de définition: x - ∞; + ∞;
zone de valeurs: y ∈ (0; π);
cette fonction est une forme commune;
la fonction diminue dans le domaine de la définition;
la fonction arccotothange a une concave sur x ∈ [0; + ∞) et la convexité à x ∈ (- ∞; 0];
le point d'inflexion a coordonnée 0; π 2;
asymptotes horizontales - droite Y \u003d π avec x → - ∞ (sur le dessin - la ligne de vert) et y \u003d 0 sur x → + ∞.

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Construire une fonction

Nous apportons à votre attention un service pour laisser les horaires des fonctions en ligne, tous droits à quelles entreprises appartiennent Desmos.. Pour entrer des fonctions, utilisez la colonne de gauche. Vous pouvez entrer manuellement soit à l'aide d'un clavier virtuel au bas de la fenêtre. Pour augmenter la fenêtre avec un calendrier, vous pouvez masquer la colonne de gauche et le clavier virtuel.

Avantages des calendriers de construction en ligne

Affichage visuel des fonctions entrées
Construire des graphiques très complexes
Construction de graphiques spécifiés implicitement (par exemple, ellipse x ^ 2/9 + y ^ 2/16 \u003d 1)
Possibilité de sauvegarder des graphiques et d'obtenir un lien sur eux qui devient disponible pour tous sur Internet.
Gestion de l'échelle, couleur de la ligne
Capacité à créer des graphiques par points, utilisation des constantes
Bâtiment simultanément plusieurs graphiques de fonctions
Construction de graphiques dans le système de coordonnées polaires (utilisation R et θ (\\ ETA))

Avec nous, sommes faciles à créer des graphiques de complexité variable. Le bâtiment est fait instantanément. Le service est à la demande de trouver des points d'intersection des fonctions, pour l'image des graphiques pour les déplacer davantage à Word, comme illustrations lors de la résolution des tâches, d'analyser les fonctions comportementales des fonctions des fonctions. Le navigateur optimal pour travailler avec des horaires sur ce site de page est Google Chrome.. Lorsque vous utilisez d'autres navigateurs, l'exactitude du travail n'est pas garantie.

Le graphique de fonction est une représentation visuelle du comportement de certaines fonctions sur le plan de coordonnées. Les graphiques aident à comprendre les différents aspects de la fonction qui ne peuvent pas être déterminés par la fonction elle-même. Vous pouvez créer des graphiques de nombreuses fonctions et chacun d'entre eux sera spécifié par une certaine formule. Le calendrier de toute fonction est basé sur un algorithme spécifique (si vous avez oublié le processus précis de construire un graphique de fonction spécifique).

Pas

Construire une fonction linéaire graphique

Déterminez si la fonction est linéaire. La fonction linéaire est donnée par la formule du formulaire F (x) \u003d k x + b (\\ displaystyle f (x) \u003d kx + b) ou alors y \u003d k x + b (\\ displaystyle y \u003d kx + b) (Par exemple), et son horaire est une ligne droite. Ainsi, la formule comprend une variable et une constante (constante) sans aucun indicateur de degrés, de signes racines et similaires. Si la fonction reçoit une espèce similaire, la construction d'une telle fonction est assez simple. Voici d'autres exemples de fonctions linéaires:

Utilisez la constante pour marquer le point sur l'axe Y. La constante (B) est la coordonnée "Y" point d'intersection du graphique avec l'axe de Y. C'est-à-dire que c'est le point, la coordonnée "x" dont 0. Ainsi, si dans la formule de substitution x \u003d 0, alors y \u003d b (constante). Dans notre exemple y \u003d 2 x + 5 (\\ displaystyle y \u003d 2x + 5) La constante est 5, c'est-à-dire que le point d'intersection avec l'axe Y a des coordonnées (0,5). Appliquez ce point sur le plan de coordonnées.

Trouvez le coefficient de coin direct. Il est égal au multiplicateur avec une variable. Dans notre exemple y \u003d 2 x + 5 (\\ displaystyle y \u003d 2x + 5) Avec la variable "x", il y a un multiplicateur 2; Ainsi, le coefficient angulaire est 2. Le coefficient angulaire détermine l'angle d'inclinaison directement à l'axe X, c'est-à-dire plus le coefficient angulaire, plus la fonction augmente ou diminue.

Enregistrez le coefficient angulaire sous la forme d'une fraction. Le coefficient angulaire est égal à l'angle d'inclinaison tangent, c'est-à-dire le rapport de la distance verticale (entre deux points sur une ligne droite) à la distance horizontale (entre les mêmes points). Dans notre exemple, le coefficient angulaire est 2, vous pouvez donc déclarer que la distance verticale est 2 et la distance horizontale est égale à 1. Enregistrez-le sous la forme d'une fraction: 2 1 (\\ displaystyle (\\ frac (2) (1))).

Si le coefficient angulaire est négatif, la fonction diminue.

Du point d'intersection de direct avec l'axe Y, appliquez le deuxième point en utilisant la distance verticale et horizontale. Le graphique de la fonction linéaire peut être construit sur deux points. Dans notre exemple, le point d'intersection avec l'axe Y a des coordonnées (0,5); De ce point, passez à 2 divisions vers le haut, puis 1 division à droite. Marquer le point; Il aura des coordonnées (1.7). Maintenant, vous pouvez dépenser directement.

Avec l'aide de la ligne, faites glisser directement en deux points. Pour éviter les erreurs, trouvez le troisième point, mais dans la plupart des cas, la planification peut être construite sur deux points. Ainsi, vous avez construit un graphique d'une fonction linéaire.

Points d'application sur le plan de coordonnées
1. Déterminer la fonction. La fonction est indiquée comme f (x). Toutes les valeurs possibles de la variable "Y" sont appelées fonction des valeurs de la fonction et toutes les valeurs possibles de la variable "X" sont appelées zone de définition de champ. Par exemple, nous considérons la fonction y \u003d x + 2, nommément f (x) \u003d x + 2.
  
  Dessinez deux lignes droites perpendiculaires intersectives. Horizontale droite - c'est la ligne droite x. La ligne droite verticale est l'axe Y.
  
  Marquer l'axe des coordonnées. Épices chaque axe sur des segments égaux et les engourdir. Le point d'intersection des axes est de 0. Pour l'axe X: la droite (de 0) est appliquée des nombres positifs et la gauche est négative. Pour l'axe Y: le sommet (de 0) est effectué des nombres positifs et le fond négatif.
  
  Trouvez les valeurs des valeurs "x". Dans notre exemple f (x) \u003d x + 2. SUMOLUD dans cette formule définissait des valeurs "x" pour calculer les valeurs correspondantes de "Y". Si une fonction complexe est donnée, simplifiez-la en tournant "Y" d'un côté de l'équation.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Appliquez des points sur le plan de coordonnées. Pour chaque paire de coordonnées, procédez comme suit: Trouvez la valeur correspondante sur l'axe X et balayez la ligne verticale (pointillée); Trouvez la valeur correspondante sur l'axe Y et faites glisser la ligne horizontale (ligne pointillée). Indiquer le point d'intersection de deux lignes en pointillés; Ainsi, vous avez montré un point de programmation.
  
  Effacer les lignes pointillées. Faites-le après avoir postulé au plan de coordonnées de tous les points du graphique. Remarque: le graphique de la fonction f (x) \u003d x est direct, passant par le centre des coordonnées [point avec les coordonnées (0,0)]; Le graphique f (x) \u003d x + 2 est une ligne droite, parallèle direct F (x) \u003d x, mais décalé par deux unités vers le haut et passe donc à travers un point avec des coordonnées (0,2) (car constante est 2).
Construire un graphique d'une fonction complexe

Connaissances fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et leurs graphiques Pas moins important que de connaître la table de multiplication. Ils sont comme une fondation, tout est basé sur eux, dont tout est construit et tout se fait pour eux.

Dans cet article, nous énumérons toutes les principales fonctions élémentaires, nous donnerons leurs annexes et nous ne donnerons pas de preuve. propriétés des fonctions élémentaires de base Selon le schéma:

le comportement de la fonction sur les limites de la zone de définition, des asymptotes verticales (si nécessaire, voir la classification de l'article des points de rupture de fonction);
parité et bizarrerie;
les intervalles de la convexité (vers le haut) et la concavité (convexité du baissier), les points d'inflexion (si nécessaire, voir le cas de la convexité de la fonction, la direction de la convexité, le point d'inflexion, les conditions de convexité et d'inflexion );
asymptotes inclinées et horizontales;
caractéristiques spéciales des fonctions;
propriétés spéciales de certaines fonctions (par exemple, la plus petite période positive des fonctions trigonométriques).

Si vous êtes intéressé ou, vous pouvez aller à ces sections de la théorie.

Caractéristiques élémentaires de base Celles-ci sont les suivantes: une fonction constante (constante), une norme N-degré root, une fonction de puissance, des fonctions indicatives, logarithmiques, des fonctions trigonométriques et trigonométriques inverse.

Navigation de la page.

Fonction permanente.

La fonction constante est définie sur l'ensemble de tous les nombres valides par la formule où c est un numéro valide. La fonction constante met conformément à chaque valeur valide d'une variable indépendante x la même valeur de la valeur de la variable dépendante avec. La fonction constante est également appelée la constante.

Le graphique de la fonction constante est l'axe direct et parallèle de l'abscisse et passe à travers le point avec des coordonnées (0, c). Par exemple, nous montrons des graphiques de fonctions constantes Y \u003d 5, Y \u003d -2 et, dans la figure ci-dessous, les lignes droites noires, rouges et bleues correspondent à la correspondance.

Propriétés d'une fonction constante.

Zone de définition: tous les nombreux nombres valides.
La fonction constante est même.
La gamme de valeurs: un ensemble constitué d'un numéro unique avec.
La fonction constante est non gagnante et il est légère (c'est constant).
Il est logique de parler de constante de bombage et de concavité.
Asymptot pas.
La fonction passe à travers le point (0, c) du plan de coordonnées.

Ni-degré racine.

Considérez la fonction élémentaire de base, qui est définie par la formule, où N est un nombre naturel, plus d'unités.

Ni-Diplôme racine, n est un nombre pair.

Commençons par la fonction du N-degré racine à des valeurs même de l'indicateur racine N.

Par exemple, nous donnons un dessin avec des images de graphiques d'image Et, ils correspondent aux lignes noires, rouges et bleues.

Une espèce similaire a des fonctions des fonctions d'un degré pair à d'autres valeurs de l'indicateur.

Propriétés Fonction Root N-degré à N. N.

Ni-degré racine, n est un nombre impair.

La fonction de N-degré racine avec un indicateur de racine impair n est définie sur l'ensemble des numéros valides. Par exemple, donnez des graphiques de fonctions Et, ils correspondent aux courbes noires, rouges et bleues.

Avec d'autres valeurs étranges de la vitesse racine des graphiques, les fonctions auront une vue similaire.

Propriétés Fonction racine N-degré avec impair n.

Fonction de puissance.

La fonction de puissance est spécifiée par la formule du formulaire.

Considérez le type de graphique de la fonction d'alimentation et des propriétés de la fonction d'alimentation en fonction de la valeur du degré.

Commençons par une fonction de puissance avec un indicateur entier a. Dans ce cas, le type de graphiques de fonctions d'alimentation et les propriétés des fonctions dépendent de la parité ou de l'étrangeté de l'indicateur, ainsi que de son signe. Par conséquent, nous considérons d'abord les fonctions de puissance aux valeurs positives impaires de l'indicateur A, ci-après - avec des indicateurs négatifs impairs, voire positifs, et, enfin, avec même négatif a.

Les propriétés des fonctions de puissance avec des indicateurs fractionnaires et irrationnels (ainsi que la forme de graphiques de telles fonctions d'alimentation) dépendent de la valeur de l'indicateur A. Nous serons pris en compte, d'abord, avec un de zéro à un, deuxièmement, avec une grande unité, troisièmement, avec un des unités moins à zéro, quatrième, avec un moins moins un.

En conclusion de cet article pour l'exhaustivité de l'image, nous décrivons la fonction de puissance avec le zéro.

Fonction de puissance avec un indicateur positif impair.

Considérons une fonction de puissance avec un indicateur positif impair, c'est-à-dire quand un \u003d 1,3,5, ....

La figure ci-dessous montre les graphiques des funcles de puissance - la ligne noire, la ligne bleue, - la ligne rouge, est une ligne verte. À un \u003d 1 nous avons fonction linéaire y \u003d x.

Les propriétés d'une fonction de puissance avec un indicateur positif impair.

Fonction de puissance avec un indicateur même positif.

Considérons une fonction de puissance avec un indicateur même positif, c'est-à-dire à A \u003d 2,4,6, ....

Par exemple, nous donnons des graphiques de fonctions d'alimentation - ligne noire, - ligne bleue, - ligne rouge. À A \u003d 2, nous avons une fonction quadratique, dont le graphique est quadratique parabala.

Propriétés des fonctions de puissance avec un indicateur même positif.

Fonction de puissance avec un indicateur négatif étrange.

Regardez les graphiques de la fonction puissante avec les valeurs négatives étranges de l'indicateur du degré, c'est-à-dire quand et \u003d -1, -3, -5, ....

Sur la photo, les graphiques des fonctions d'alimentation sont présentés comme des exemples - une ligne noire - une ligne bleue, - une ligne rouge, - une ligne verte. Quand et \u003d -1 ont proportionnalité inversedont le graphique est hyperbole.

Les propriétés d'une fonction de puissance avec un indicateur négatif étrange.

Fonction de puissance avec un indicateur voire négatif.

Passons à la fonction de puissance à A \u003d -2, -4, -6, ....

La figure montre des graphiques de fonctions d'alimentation - ligne noire - ligne bleue, - ligne rouge.

Propriétés des fonctions de puissance avec un indicateur voire négatif.

La fonction de puissance avec un indicateur rationnel ou irrationnel, dont la valeur est supérieure à zéro et inférieure à une.

Noter! Si A est une fraction positive avec un dénominateur étrange, certains auteurs considèrent que la zone de détermination de la puissance de l'intervalle. Dans le même temps, ils négocient que l'indicateur de la degré A est une fraction incompatible. Maintenant, les auteurs de nombreux manuels sur l'algèbre et le principe d'analyse ne déterminent pas les fonctions d'alimentation avec un indicateur sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair avec des valeurs négatives de l'argument. Nous allons adhérer à un tel regard, c'est-à-dire que nous examinerons les domaines de détermination des fonctions de pouvoir avec des indicateurs positifs fractionnels du degré. Nous recommandons aux étudiants de connaître le look de votre professeur pour ce moment subtil pour éviter les désaccords.

Considérons une fonction de puissance avec un indicateur rationnel ou irrationnel A, et.

Nous donnons des graphiques de fonctions d'alimentation à A \u003d 11/12 (ligne noire) et \u003d 5/7 (ligne rouge), (ligne bleue) et \u003d 2/5 (ligne verte).

Fonction de puissance avec un indicateur non rationnel ou irrationnel, grandes unités.

Considérez une fonction de puissance avec un indicateur non rationnel ou irrationnel A, et.

Nous donnons des graphiques de fonctions d'alimentation spécifiées par les formules (Lignes noires, rouges, bleues et vertes, respectivement).

Avec d'autres valeurs du degré de degré, les graphiques de la fonction auront une vue similaire.

Propriétés des fonctions de puissance à.

La fonction de puissance avec un indicateur valide, qui est plus moins une et moins de zéro.

Noter! Si A est une fraction négative avec un dénominateur étrange, certains auteurs considèrent que la zone de détermination de la puissance de l'intervalle . Dans le même temps, ils négocient que l'indicateur de la degré A est une fraction incompatible. Maintenant, les auteurs de nombreux manuels sur l'algèbre et le principe d'analyse ne déterminent pas les fonctions d'alimentation avec un indicateur sous la forme d'une fraction avec un dénominateur impair avec des valeurs négatives de l'argument. Nous allons adhérer à un tel regard, c'est-à-dire que nous examinerons les domaines de détermination des fonctions de pouvoir avec des indicateurs négatifs fractionnaires fractionnaires du degré, respectivement. Nous recommandons aux étudiants de connaître le look de votre professeur pour ce moment subtil pour éviter les désaccords.

Allez à une fonction puissante, kgode.

Pour éviter une bonne forme de graphiques de fonctions d'alimentation, nous donnons des exemples de graphiques de fonctions (courbes noires, rouges, bleues et vertes, respectivement).

Les propriétés de la fonction de puissance avec l'indicateur A.

La fonction puissante avec un indicateur non efficace, inférieure à celle de moins.

Nous donnons des exemples de graphiques de fonctions de puissance lorsque Ils sont représentatifs des lignes noires, rouges, bleues et vertes, respectivement.

Les propriétés de la fonction de puissance avec un indicateur négatif non cible, moins moins une.

Lorsque A \u003d 0 et nous avons une fonction - il s'agit d'un point direct qui est exclu (0; 1) (expression 0 0, il n'a pas été possible de donner une valeur).

Fonction exponentielle.

L'une des principales fonctions élémentaires est la fonction indicative.

Le graphique de la fonction indicative, où il prend une forme différente en fonction de la valeur de la base a. Nous allons le comprendre.

Premièrement, considérez le cas lorsque la base de la fonction indicative prend la valeur de zéro à un, c'est-à-dire.

Par exemple, nous donnons des graphiques de la fonction indicative à A \u003d 1/2 - la ligne bleue, A \u003d 5/6 - la ligne rouge. Une espèce similaire présente des graphiques d'une fonction indicative avec d'autres valeurs de base de l'intervalle.

Propriétés d'une fonction indicative basée sur une unité plus petite.

Allez dans le cas lorsque la base de la fonction indicative est supérieure à l'unité, c'est-à-dire.

À titre d'illustration, nous donnons des graphismes des fonctions indicatives - la ligne bleue et la ligne rouge. Avec d'autres valeurs de la base, de grandes unités, des graphiques de la fonction indicative auront un look similaire.

Propriétés de la fonction indicative à la base d'une grande unité.

Fonction logarithmique.

La prochaine fonction élémentaire principale est la fonction logarithmique, où. La fonction logarithmique n'est définie que pour les valeurs positives de l'argument, c'est-à-dire lorsque.

Le graphique de fonction logarithmique prend une forme différente en fonction de la valeur de la base A.

Commençons par le cas quand.

Par exemple, donnez des graphiques de la fonction logarithmique à une ligne bleue \u003d 1/2 - une ligne rouge \u003d 5/6 - rouge. Avec d'autres valeurs de base qui ne dépassent pas les unités, les graphiques de la fonction logarithmique auront une vue similaire.

Les propriétés de la fonction logarithmique avec la base d'une unité plus petite.

Nous nous tournons vers le cas lorsque la base de la fonction logarithmique est supérieure à une ().

Affichons des graphiques de fonctions logarithmiques - Ligne bleue, - Ligne rouge. Avec d'autres valeurs de la base, de grandes unités, des graphiques de fonctions logarithmiques auront un look similaire.

Propriétés de la fonction logarithmique avec la base d'une grande unité.

Fonctions trigonométriques, leurs propriétés et leurs graphiques.

Toutes les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangents et catagnes) se réfèrent aux fonctions élémentaires principales. Nous examinerons maintenant leurs propriétés graphiques et liste.

Fonctions trigonométriques Concept inhérent périodicité (La répétabilité des fonctions des fonctions avec différentes valeurs d'argumentation, différentes les unes des autres par le montant de la période où T est une période), donc l'élément ajouté à la liste des propriétés des fonctions trigonométriques "La plus petite période positive". Aussi pour chaque fonction trigonométrique, nous indiquons les valeurs de l'argument dans lequel la fonction correspondante est dessinée à zéro.

Maintenant, nous traiterons toutes les fonctions trigonométriques dans l'ordre.

Fonction sinus y \u003d péché (x).

Je vais décrire un graphique de la fonction sinusale, elle s'appelle "sinusoïde".

Propriétés Fonction Sinus Y \u003d sinx.

La fonction cosinus y \u003d cos (x).

Le graphique de la fonction cosinus (c'est-à-dire «cosinéida») a la forme:

Propriétés Fonction COSINE Y \u003d COSX.

Fonction tangente y \u003d tg (x).

Le calendrier de la fonction tangente (on appelle «tangentsoïde») a la forme:

Propriétés de la fonction tangente Y \u003d TGX.

Fonction COTANGENT Y \u003d CTG (X).

Je vais décrire le calendrier de la fonction kotangente (on appelle "kothangensoïd"):

Propriétés de la fonction du cotangent Y \u003d CTGX.

Fonctions trigonométriques inverse, leurs propriétés et leurs graphiques.

Les fonctions trigonométriques inverse (Arksinus, Arkskosinus, Arctangent et Arkotanent) sont les principales fonctions élémentaires. Souvent due au préfixe "Ark" Les fonctions trigonométriques inverse sont appelées arcfonctions. Nous examinerons maintenant leurs propriétés graphiques et liste.

Fonction d'arxinus y \u003d arcsin (x).

Je vais décrire le calendrier de la fonction Arksinus:

Propriétés de la fonction d'arkkothangence y \u003d arcctg (x).

Bibliographie.

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