Les effets de l'ajout d'ondes. ondes élastiques debout

Un cas très important d'interférence est observé lors de la pose des ondes plates avec la même amplitude. Le processus oscillatoire résultant est appelé onde stationnaire.

Les vagues pratiquement permanentes se produisent lorsque les vagues reflètent les obstacles. La vague tombant à la barrière et la vague réfléchie reflétée par elle les unes envers les autres, donnez une vague debout.

Considérons le résultat de l'interférence de deux vagues plates sinusoïdales de la même amplitude se propageant dans des directions opposées.

Pour la simplicité du raisonnement, nous supposons que les deux vagues causent des oscillations au début des coordonnées dans la même phase.

Les équations de ces oscillations sont:

Plier à la fois des équations et convertir le résultat, par la formule pour la somme des sinus, nous obtiendrez:

- l'équation de la vague debout.

Comparez cette équation avec l'équation d'oscillations harmoniques, nous constatons que l'amplitude des oscillations résultantes est la suivante:

Depuis, mais alors.

Aux points ambiants, où, il n'y a pas d'oscillations, c'est-à-dire . Ces points sont appelés ouvrages debout Nœuds.

Aux points, où, l'amplitude des oscillations est de la plus grande valeur égale à. Ces points sont appelés puzzles ondes debout. Les coordonnées de faisceau sont de la condition, car ensuite.

D'ici:

De même, les coordonnées des nœuds sont de la condition:

De:

À partir des formules des coordonnées des nœuds et des balayes, il s'ensuit que la distance entre les faisceaux adjacents, ainsi que les distances entre les nœuds adjacents, est égale. Puffy et les nœuds se sont déplacés par rapport à l'autre par un quart de la longueur d'onde.

Comparez le caractère des oscillations dans une vague debout et courante. Dans la vague de course, chaque point effectue des oscillations dont l'amplitude n'est pas différente de l'amplitude d'autres points. Mais les oscillations de différents points se produisent avec différentes phases.

Dans une onde permanente, toutes les particules du milieu entre deux nœuds adjacents fluctuent dans la même phase, mais avec des amplitudes différentes. Lors de la mise sous tension du nœud, les vibrations de phase d'oscillation varient, car Change le signe.

Une onde debout graphiquement peut être décrite comme suit:

À l'époque où, tous les points du support ont des déplacements maximaux, de ce qui est déterminé par le signe. Ces compensations sont montrées dans le dessin avec des flèches solides.

Après un quart de la période, lorsque, le décalage de tous les points est nul. Les particules passent à travers une ligne avec différentes vitesses.

Après un autre quart de la période, lorsque, les particules auront à nouveau des compensations maximales, mais la direction opposée (flèches en pointillés).

Lorsque vous décrivez les processus oscillatoires dans les systèmes élastiques, non seulement le déplacement, mais également la vitesse des particules, ainsi que la valeur de la déformation relative du milieu, peuvent être prises.

Pour trouver la loi de changer la vitesse de la vague debout, en ce qui concerne l'équation d'une stagnation de la vague debout et de trouver la loi de modifier la déformation de manière informe par l'équation d'une vague debout.

Analyser ces équations, nous voyons que les nœuds et les faisceaux de vitesse coïncident avec les nœuds et le biais du déplacement; Les nœuds et balises de déformation coïncident selon les faisceaux et les nœuds de vitesse et de décalage.

Cordes de dipters

Dans la chaîne tendu attachée aux deux extrémités, des ondes debout sont installées lors de l'excitation des oscillations transversales et les nœuds doivent être placés dans les bouchons. Par conséquent, seules ces oscillations sont excitées dans la chaîne, dont la moitié de la longueur est placée sur la longueur de la chaîne un nombre d'entiers.

D'où la condition:

où est la longueur de la chaîne.

Ou autrement. Ces longueurs d'onde correspondent à la fréquence où la vitesse de velevène de phase. Il est déterminé par la force de la tension à cordes et de sa masse.

Quand - la fréquence principale.

Quand - des fréquences propres d'oscillations à cordes ou ochtons.

effet Doppler

Considérez les cas les plus simples lorsque la source des vagues et de l'observateur se déplacent par rapport au support le long d'une ligne droite:

1. La source sonore se déplace par rapport au support à la vitesse, le récepteur sonore repose.

Dans ce cas, pour la période d'oscillations, l'onde sonore quittera le film aigre-nick à la distance et la source elle-même passera à la distance égale.

Si la source est retirée du récepteur, c'est-à-dire Déplacez-vous dans la direction opposée de la propagation des ondes, puis la longueur d'onde.

Si la source sonore est plus proche du récepteur, c'est-à-dire Déplacez-vous dans la direction de la distribution de la vague, puis.

La fréquence sonore est perçue par le récepteur est:

Substitut au lieu de leur signification pour les deux cas:

En tenant compte du fait que, où - la fréquence des oscillations de la source, l'égalité prendra la forme:

Nous divisons le numérateur et le dénominateur de cette fraction, puis:

2. La source de son est fixe et le récepteur se déplace par rapport au support à la vitesse.

Dans ce cas, la longueur d'onde du milieu ne change pas et reste égale. Dans le même temps, deux amplitudes consécutives, différentes d'une période d'une période d'oscillations, atteignant le récepteur en mouvement différeront dans les moments de la vague de la vague avec le récepteur pendant une période de temps, dont la magnitude est plus grand ou moins selon que le récepteur soit supprimé ou s'approche de la source. Son. Pendant le temps, le son s'applique à la distance et que le récepteur se déplace sur la distance. La somme de ces valeurs et nous donne la longueur d'onde:

La période d'oscillations perçues par le récepteur est associée à la fréquence de ces oscillations par le ratio:

Substituer au lieu de son expression de l'égalité (1), nous obtenons:

Parce que , où - la fréquence des oscillations source, et ensuite:

3. Les sons source et récepteur se déplacent par rapport au support. Connexion des résultats obtenus dans les deux cas précédents, nous obtenons:

Les ondes sonores

Si les ondes élastiques s'étendant dans l'air ont une fréquence allant de 20 à 20 000 Hz, puis atteignant l'oreille humaine, ils causent une sensation de sens. Par conséquent, les vagues situées dans cette gamme de fréquences sont appelées son. Les ondes élastiques avec une fréquence de moins de 20 Hz sont appelées infrason . Les vagues avec fréquence sur 20 000 Hz sont appelées ultrason. L'oreille humaine ultrasonore et infrastine n'entend pas.

Les sensations de son sont caractérisées par une hauteur acoustique, une timbre et une volume. La hauteur sonore est déterminée par la fréquence des oscillations. Cependant, la source sonore n'émet pas un, mais tout un spectre de fréquences. Un ensemble de fréquences d'oscillations présentes dans ce son est appelée. spectre acoustique. L'énergie des oscillations est distribuée entre toutes les fréquences du spectre acoustique. La hauteur du son est déterminée par une fréquence principale si cette fréquence représente une quantité d'énergie beaucoup plus importante que la part des autres fréquences.

Si le spectre consiste en une pluralité de fréquences dans la plage de fréquences d'avant, un tel spectre est appelé solide (exemple - bruit).

Si le spectre consiste en un ensemble d'oscillations de fréquences discrètes, alors un tel spectre est appelé linéaire (Exemple - Sons musicaux).

Le spectre acoustique du son en fonction de sa nature et de la répartition de l'énergie entre les fréquences détermine l'originalité de la sensation de son, appelée température vocale. Divers instruments de musique ont un spectre acoustique différent, c'est-à-dire Différent avec un grand son.

L'intensité du son est caractérisée par des valeurs individuelles: oscillations des particules de support, leurs vitesses, des forces de pression, des tensions en eux, etc.

Il caractérise l'amplitude d'oscillations de chacune de ces quantités. Cependant, étant donné que ces valeurs sont interdépendantes, il est conseillé d'introduire une caractéristique d'énergie unique. Cette caractéristique des vagues de tout type a été proposée en 1877. SUR LE. Amoval

Je vous arrache mentalement de l'avant de la vague de course la plate-forme. Au cours de cette plate-forme, il se déplace à la distance, où - la vitesse de la vague.

Dénoter par l'énergie du montant de la quantité du milieu oscillant. Ensuite, l'énergie de tout volume sera égale.

Cette énergie a été transférée pendant la vague se propageant à travers la plate-forme.

Partage de cette expression et, nous obtenons l'énergie portée par la vague à travers la zone de la place par unité de temps. Cette valeur est indiquée par la lettre et est appelée vecteur melova.

Pour le champ sonore umova de vecteur. Porte le nom du son.

La puissance du son est la caractéristique physique de l'intensité du son. Nous l'évaluons subjectivement comme le volume Sonner. L'oreille humaine perçoit les sons dont la force dépasse une valeur minimale différente pour différentes fréquences. Cette valeur est appelée autriche de seuil Sonner. Pour les fréquences moyennes de l'ordre de HZ Seuil de l'ordonnance auditive.

Avec une très grande force du son de l'ordre, le son est perçu, à l'exception de l'oreille des organes tangibles, et dans les oreilles, cela provoque un sentiment douloureux.

La valeur de l'intensité dans laquelle cela se produit est appelé seuil de douleur. Le seuil de la douleur, ainsi que le seuil de l'audition dépend de la fréquence.

Une personne a un appareil assez complexe pour la perception des sons. Les oscillations sonores sont collectées par coquille d'oreille et à travers le canal auditif affectent le tympan. Ses oscillations sont transmises à une petite cavité appelée escargot. À l'intérieur de l'escargot sont situés un grand nombre de Les fibres ayant différentes longueurs et tensions et, par conséquent, diverses fréquences d'oscillation. Lorsque l'action sonore, chacune des fibres résonne sur ce ton, dont la fréquence coïncide avec sa propre fréquence de fibres. Un ensemble de fréquences de résonance dans un appareil de rumeur et détermine la zone des oscillations sonores perçues par nous.

Subjectivement estimé par notre volume d'oreille augmente beaucoup plus lentement que l'intensité des ondes sonores. Bien que l'intensité augmente de progression géométrique - le volume augmente de la progression arithmétique. Sur cette base, le niveau de volume est défini comme un logarithme du rapport d'intensité de ce son à l'intensité adoptée pour l'original

Le volume du volume est appelé george. Utilisation et petites unités - décyvier(10 fois moins que la Biélorussie).

où est le coefficient d'absorption acoustique.

La magnitude du coefficient d'absorption du son augmente proportionnellement au carré de la fréquence sonore, de sorte que les sons peu bas s'appliquent davantage à l'élevée.

En acoustique architectural pour les grands locaux rôle important En jouant réverbération ou humidité des locaux. On dirait que des réflexions répétées de surfaces entorcières sont perçues par l'auditeur pour une certaine période assez large. Cela augmente la puissance d'un son qui nous atteint, cependant, avec une réverbération trop longue, les sons individuels sont superposés les uns sur les autres et le discours cesse d'être perçu par l'auto-cohérent. Par conséquent, les murs des halls sont recouverts de matériaux insonorisants spéciaux pour réduire la réverbération.

Une source d'oscillations sonores peut servir n'importe quel corps oscillant: une langue cloche, Akton, une chaîne de violon, une colonne d'air dans les instruments à vent, etc. Les mêmes organes peuvent servir de récepteurs sonores lorsqu'ils entrent en mouvement sous l'action des oscillations environnementales.

Ultrason

Pour être dirigé, c'est-à-dire Proche de plat, onde Les dimensions de l'émetteur doivent être multiples de plusieurs fois la longueur d'onde. Les ondes sonores dans l'air ont une longueur maximale de 15 m, sous liquide et corps solides La longueur d'onde est encore plus. Par conséquent, pour construire un radiateur, qui créerait une onde directionnelle de longueur similaire, n'est pratiquement pas possible.

Les oscillations à ultrasons ont une fréquence de plus de 20 000 Hz. La longueur d'onde est donc très petite. Avec une diminution de la longueur d'onde, le rôle de diffraction pendant la propagation des ondes est également réduit. Par conséquent, des ondes à ultrasons peuvent être obtenues sous la forme de faisceaux directionnels tels que des faisceaux lumineux.

Deux phénomènes utilisent deux phénomènes pour exciter les ondes ultrasonores: effet piézoélectrique inverséet magnétostriction.

L'effet piézoélectrique inverse est que la plaque de certains cristaux (sel ferrodé, quartz, baryum titanate, etc.) sous l'action champ électrique Légèrement déformé. En plaçant entre les plaques métalliques, qui sont fournies à une tension alternée, vous pouvez causer des oscillations forcées de la plaque. Ces oscillations sont transmises environnement Et ils donnent lieu à une vague ultrasonique.

La magnétostriction est que les substances ferromagnétiques (fer, nickel, leurs alliages, etc.) sous l'action champ magnétique déformer. Par conséquent, en plaçant une tige ferromagnétique dans un champ magnétique alternatif, des oscillations mécaniques peuvent être excitées.

Des valeurs élevées de vitesses et d'accélérations acoustiques, ainsi que des méthodes bien développées d'étude et de réception de fluctuations ultrasons, laissées à les utiliser pour résoudre de nombreuses tâches techniques. Liste certaines d'entre elles.

En 1928, scientifique soviétique S.ya. Sokolov a proposé d'utiliser des ultrasons à des fins défectueuses, c'est-à-dire Pour détecter les défauts internes cachés tels que la coquille, les fissures, le ryliche, les inclusions de laitier, etc. dans les produits métalliques. Si les dimensions du défaut dépassent la longueur de l'onde à ultrasons, l'impulsion ultrasonique est réfléchie par le défaut et retourne en arrière. Envoi d'impulsions ultrasoniques dans le produit et enregistrement des signaux d'écho réfléchis, vous pouvez non seulement détecter la présence de défauts dans les produits, mais également juger de la taille et de l'emplacement de ces défauts. Actuellement, cette méthode est largement utilisée dans l'industrie.

Les faisceaux d'échographie directionnels ont été largement utilisés à des fins de localisation, c'est-à-dire. Détecter des éléments dans l'eau et déterminer la distance à leur distance. Pour la première fois, l'idée d'un emplacement ultrasonique était punissable par un physicien français exceptionnel P. Lanzhen et développé par lui pendant la Première Guerre mondiale pour détecter des sous-marins. Actuellement, les principes d'hydrolections sont utilisés pour détecter des icebergs, des chocs de poisson, etc. Ces méthodes peuvent également définir la profondeur de la mer sous le bas du navire (Echo Sonnerie).

Les ondes ultrasoniques de grandes amplitudes sont largement utilisées dans la technique de traitement mécanique des matériaux solides, de nettoyer les petits articles (parties de mécanismes horaires, des pipelines, etc.) placés dans des liquides, une adhérence, etc.

Lors de la création de fortes pulsations de pression dans le milieu, les ondes ultrasonores déterminent un certain nombre de phénomènes spécifiques: meulage (dispersion) des particules en suspension dans le fluide, la formation d'émulsions, l'accélération des processus de diffusion, l'activation des réactions chimiques, l'impact sur les objets biologiques, etc.

S'il y a plusieurs vagues au moyen simultanément, les fluctuations du milieu sont la quantité géométrique d'oscillations, qui effectueraient des particules lorsque la propagation de chacune des ondes est séparée. Par conséquent, les vagues superplusent simplement l'une à l'autre, ce qui ne pars pas. Cette déclaration s'appelle le principe de superposition (imposition) des vagues.

Dans le cas où les oscillations causées par des ondes individuelles dans chacun des points du support ont une différence de phase constante, les ondes sont appelées cohérentes. (La détermination plus stricte de la cohérence sera donnée au § 120.) Lorsque les ondes cohérentes sont additionnées, une interférence apparaît, qui consiste en ce qui consiste à améliorer que les fluctuations à un point sont améliorées et que d'autres points s'affaiblissent mutuellement.

On observe un cas d'interférence très important lorsque deux ondes de planes en sens inverse avec la même amplitude sont observées. Le processus oscillatoire résultant est appelé une onde debout. Les vagues pratiquement permanentes se produisent lorsque les vagues reflètent les obstacles. La vague tombant à la barrière et la vague réfléchie reflétée par elle les unes envers les autres, donnez une vague debout.

Nous écrivons des équations de deux vagues plates se propager le long de l'axe X dans des directions opposées:

Plier ensemble ces équations et convertir le résultat par la formule pour la quantité de cosinus, nous obtenons

L'équation (99.1) est l'équation d'une onde debout. Pour le simplifier, choisissez le début de la référence de sorte que la différence devienne égale à zéro et le début de la référence - de sorte qu'il s'avère être nul le montant en outre, nous remplacerons le numéro de l'onde K sa valeur

Ensuite, l'équation (99.1) prendra une vue

De (99,2) on peut voir qu'à chaque point de la vague debout, il y a des oscillations de la même fréquence que dans les ondes de comptoir et l'amplitude dépend de x:

l'amplitude des oscillations atteint la valeur maximale. Ces points sont appelés les plages d'une vague debout. De (99.3), les valeurs de coordonnées sont obtenues:

Il convient de garder à l'esprit qu'un piggy n'est pas un point unique et l'avion dont les points ont les valeurs de la formule de coordonnées x (99.4).

Aux points dont les coordonnées satisfont à la condition

l'amplitude des oscillations appelle zéro. Ces points sont appelés les nœuds de la vague debout. Les points du support dans les nœuds ne sont pas effectués. Les nœuds coordonnent la matière

Le nœud, comme un piggyback, n'est pas un point et l'avion dont les points ont les valeurs de la coordonnée X, définie par la formule (99.5).

Des formules (99.4) et (99.5), il s'ensuit que la distance entre les faisceaux adjacents, ainsi que la distance entre les nœuds adjacents, est égale. Puffy et les nœuds se sont déplacés par rapport à l'autre par un quart de la longueur d'onde.

Retourner à nouveau à l'équation (99.2). Le multiplicateur lors du déplacement de la valeur zéro change le signe. Conformément à cela, la phase d'oscillation de différents côtés du nœud diffère sur cela signifie que les points allongés sur différents côtés du noeud fluctuent dans une antiphase. Tous les points conclus entre deux nœuds adjacents fluctuent le Simphang (c'est-à-dire dans la même phase). En figue. 99.1 DAN Un certain nombre de "photos instantanées" des déviations de points de la position de l'équilibre.

La première "photo" correspond au moment où les déviations atteignent la plus grande valeur absolue. Des "photos" ultérieures ont été effectuées à des intervalles dans un quart de période. Les flèches présentent des vitesses de particules.

Différencie l'équation (99.2) une fois par t, et une autre fois dans X, nous trouvons des expressions pour la vitesse de particules et une déformation du support:

L'équation (99,6) décrit une vague de vitesse debout et (99,7) - une vague de déformation debout.

En figue. 99.2 Les "photos instantanées" du décalage, de la vitesse et de la déformation des moments de temps 0 et des graphiques On peut voir que les nœuds et les faisceaux de vitesse coïncident avec les nœuds et le biais; Les nœuds et la vagabilité de la déformation coïncident selon les faisceaux et les nœuds de biais. Tout en atteignant les valeurs maximales, se tourne vers zéro et vice versa.

En conséquence, deux fois pour la période, il y a une transformation de l'énergie d'une vague debout qui dans le potentiel, axée principalement près des nœuds de vagues (où se trouvent les perles de déformation), puis complètement dans la cinétique, axée sur les vagues, qui sont situés près des perles). En conséquence, la transition énergétique se produit de chaque nœud pour voisiller les poutres et le dos. Le courant d'énergie moyen dans n'importe quelle section de la vague est nul.

6.1 vagues debout dans un environnement élastique

Selon le principe de la superposition, avec une propagation dans un milieu élastique à la fois, plusieurs vagues des eaux de leur imposition et les ondes ne setrant pas l'autre: les fluctuations des particules du support sont la somme de vecteur de Les oscillations que les particules effectuent les particules dans chacune des vagues chacune.

Les vagues qui créent des oscillations du support, les différences de phase entre lesquelles sont constantes à chaque point d'espace, sont sur cohérent.

En plus des vagues cohérentes, un phénomène se produit ingérenceLe fait que, dans certains points de l'espace des vagues s'améliorant, et à d'autres points - affaiblir. Un cas important de brouillage est associé à l'imposition de deux ondes planes en sens inverse avec la même fréquence et l'amplitude. Découlant de cette oscillation appel onde stationnaire. Plus souvent toutes les vagues debout se produisent lorsqu'elles sont reflétées par la course à pied de la barrière. Dans ce cas, la vague qui tombe et la vague se reflètent vers elle, lors de l'addition, donne une vague debout.

Nous obtenons l'équation d'une vague debout. Prenez deux vagues harmoniques plates qui s'appliquent l'un à l'autre sur l'axe X. et avoir la même fréquence et amplitude:

où - phase d'oscillations des points du support dans la promenade de la première vague;

- phase d'oscillations des points du support lors du pro-marche de la deuxième vague.

Différence de phase à chaque point de l'axe X. ne dépendra pas du réseau de temps, c'est-à-dire Ce sera permanent:

Par conséquent, les deux vagues seront cohérentes.

La fluctuation des particules du milieu est apparue à la suite de l'addition des ondes à l'étude, sera la suivante:

Nous transformons la quantité d'angles de cosinus selon la règle (4.4) et obtenez:

Redrering multiplicateurs, nous obtenons:

Pour simplifier l'expression, choisissez le début de la référence afin que la différence de phase et le début du compte à rebours de sorte que la quantité de phase soit nulle: .

Ensuite, l'équation de la quantité d'onde prendra la forme:

L'équation (6.6) est appelée équation de bœuf debout. On peut voir que la fréquence de la vague debout est égale à la fréquence de la vague de courant, et l'amplitude, contrairement à la vague de course, dépend de la distance du début de la référence:

. (6.7)

Prise en compte (6.7), l'équation d'une vague debout prend la forme:

. (6.8)

Ainsi, les points du milieu fluctuent la fréquence qui coïncide avec la fréquence de la vague de course et de l'amplitude uNE.En fonction de la position du point sur l'axe X.. En conséquence, l'amplitude varie en fonction de la loi de cosinus et a ses propres maxima et minima (Fig. 6.1).

Afin de présenter visuellement l'emplacement des minima et maxima d'amplitude à remplacer, selon (5.29), le nombre d'onde est sa valeur:

Ensuite, l'expression (6.7) pour amplitude prendra la forme

(6.10)

D'ici, il devient clair que l'amplitude du déplacement de Mac-Symalne à . Aux points, dont la coordonnée satisfait à la condition:

, (6.11)

où

De là, nous obtenons les coordonnées des points où l'amplitude du mélange est maximale:

; (6.12)

Points où l'amplitude des fluctuations du support est appelle maximale poams des vagues.

L'amplitude des vagues est zéro à des points où . La coordonnée de ces points appelés nœuds de vagues, satisfait à la condition:

, (6.13)

où

De (6.13) on peut voir que les coordonnées des nœuds ont une signification:

, (6.14)

En figue. 6.2 montre une vue exemplaire d'une vague debout, l'emplacement des nœuds et des brats. On peut constater que les nœuds et les bouquies co-gris du déplacement vous déchargeront à la même distance.

Nous trouverons la distance entre les faisceaux adjacents et Uz-la. De (6.12), nous avons la distance entre les bouffées:

(6.15)

Distance entre les nœuds que nous obtenons de (6.14):

(6.16)

Parmi les relations obtenues (6.15) et (6.16), on peut constater que la distance entre les nœuds adjacents, ainsi que entre les quartiers, est constamment égale; Les nœuds et les poutres sont déplacés par rapport à l'autre sur (Fig. 6.3).

À partir de la détermination de la longueur d'onde, il est possible d'écrire l'expression pour la longueur de la vague debout: il est égal à la moitié de la longueur d'onde longue:

Nous écrivons, en tenant compte (6.17), expressions pour les coordonnées d'ultrasons et de béatitude:

, (6.18)

, (6.19)

Le multiplicateur déterminant l'amplitude de l'amplitude de l'onde change son signe lors de la déplacement d'une valeur nulle, à la suite de laquelle la phase d'oscillation sur différents cent roubles diffère sur le nœud. Par conséquent, tous les points allongés le long des différents côtés du noeud fluctuent dans Pro-TivoFase. Tous les points entre Uz-Lami adjacents fluctuent la simplicité.

Les nœuds divisent conventionnellement l'environnement sur régions autonomesdans lequel les oscillations harmoniques sont engagées indépendantes. Il n'y a pas de transmission du mouvement entre les zones et donc l'écoulement d'énergie entre les régions n'est pas. C'est-à-dire qu'il n'y a pas de libération de perturbation le long de l'axe. Par conséquent, la vague est appelée debout.

Ainsi, la vague debout est formée à partir de deux vagues de déplacement directionnelles de fréquences égales et d'amp-litud. Les unités de chacune de ces vagues sont égales au Mo-Duoul et sont opposées à la direction et avec un symbole, ils donnent zéro. Par conséquent, la vague d'énergie debout ne tolère pas.

6.2 Exemples d'ondes debout

6.2.1 Vague debout dans la chaîne

Considérons une longueur de chaîne L.consacré avec les deux conversations (Fig. 6.4).

Placez le long de la chaîne d'axe X. De sorte que l'extrémité gauche de la chaîne a une coordonnée x \u003d 0.et droite - x \u003d L.. Dans la chaîne, il y a des oscillations décrites par l'équation:

Nous écrivons les conditions limitrophes du flux à l'étude. Depuis ses extrémités sont fixes, alors à des points avec COOR-DINATAM x \u003d 0. et x \u003d L. oscillations no:

(6.22)

Nous trouvons l'équation d'oscillation à chaîne basée sur les enregistrements des conditions limites. Nous écrivons l'équation (6.20) pour l'extrémité gauche de la chaîne en ce qui concerne (6.21):

Le rapport (6.23) est effectué pendant tout moment t. Dans deux cas:

1. . Cela est possible dans le cas où il n'y a pas de kolas dans la chaîne (). Ce cas d'intérêt ne représente pas, et nous ne le considérerons pas.

2 .. Voici la phase. Cette affaire nous permettra d'obtenir l'équation d'oscillation à chaîne.

Nous substituons la valeur de phase obtenue dans la condition limite (6.22) pour la fin de la chaîne droite:

. (6.25)

Étant donné que

, (6.26)

de (6.25), nous obtenons:

Deux cas apparaissent à nouveau dans lesquels la relation (6,27) est satisfaite. Le cas lorsque les oscillations de la chaîne sont suffisantes (), nous ne considérerons pas.

Dans le second cas, l'égalité doit être effectuée:

et cela n'est possible que lorsque l'argument du sinus est le numéro de Kathen:

Nous jetons la valeur, car Dans le même temps, cela signifierait une longueur de cordes zéro ( L \u003d 0.) ou un nouveau numéro k \u003d 0.. Considérant le lien (6.9) entre le numéro de vague et la longueur d'onde, on peut constater que pour que le nouveau numéro de volonté soit zéro, la longueur d'onde devrait être infinie et cela signifierait l'absence d'oscillations.

De (6.28) On peut voir que le numéro de vague lorsque les chaînes inscrites aux deux extrémités ne peuvent prendre que certaines valeurs discrètes:

Considérant (6.9), nous écrivons (6.30) sous la forme:

où nous gagnons l'expression pour les éventuelles longueurs d'onde dans la chaîne:

En d'autres termes, sur la longueur de la chaîne L. devrait correspondre au nombre entier n. Semi-tombé:

Les fréquences d'oscillations correspondantes peuvent être déterminées à partir de (5.7):

Ici - la vitesse d'onde de phase, selon la consonne (5.102), de la densité linéaire de la chaîne et de la résistance de la chaîne:

Substitution (6.34) dans (6.33), nous obtenons l'expression, décrivant les fréquences possibles des oscillations de la chaîne:

, (6.36)

Les fréquences sont appelées ses propres fréquences flux. Fréquence (comme n. = 1):

(6.37)

appel fréquence principale (ou alors tonalité principale) Cordes. Fréquences définies par n\u003e 1. appelé obrafton ou alors harmonies. Le nombre harmonique est égal n-1. Par exemple, fréquence:

correspond à la première harmonique et la fréquence:

communique le deuxième harmonique, etc. Puisque la chaîne peut être représentée sous la forme d'un système discret avec le nombre de degrés de liberté sans visage, chaque harmonique est modoyeur Cordes de refuge. Dans le cas général, les cordes des chaînes sont une superposition mod.

Chaque harmonique correspond à sa longueur d'onde. Pour tonalité principale (avec n \u003d1) Longueur d'onde:

respectivement pour les première et seconde harmoniques (quand n \u003d2 I. n \u003d3) Les longueurs d'onde seront:

FIGUE. 6.5 montre le type de plusieurs modes d'oscillations effectuées par la chaîne.

Ainsi, la chaîne avec des extrémités fixes est dans les lisques dans le cadre de la physique classique, un cas exceptionnel est un spectre discret de fréquence d'oscillations (ou de longueurs d'onde). De la même manière, les efforts élastiques avec une ou les deux extrémités serrées et les oscillations de l'air post dans les tuyaux, qui seront prises en compte dans les sections suivantes.

6.2.2 Effet des conditions de circulation initiales

chaîne continue. Analyse de Fourier

Les fluctuations de la chaîne avec des extrémités cultivées, en plus du spectre à disque, les fréquences d'oscillation ont une autre propriété importante: une forme spécifique de l'oscillation de chaîne dépend de la méthode d'excitation des oscillations, c'est-à-dire des conditions évidentes. Considérons plus de détails.

Équation (6.20), décrivant une mode de la transmission dans la chaîne, est une solution privée de différentiel Équation de vagues (5.61). Puisque la fluctuation des flux est consistant en tout mod possible (pour une chaîne - une quantité dévontale), puis décision commune L'équation des ondes (5.61) comprend un nombre infini de solutions privées:

, (6.43)

où jE. - Nombre de mode d'oscillations. L'expression (6.43) n'est pas autorisée, mais en tenant compte du fait que les extrémités des chaînes sont fixées:

en plus de prendre en compte la connexion de la fréquence jE.Mode et son numéro de vague:

(6.46)

Ici - Numéro de vague jE.mode;

- Nombre de vagues de la 1ère mode;

Nous trouvons l'ampleur de la phase initiale pour chaque mode d'oscillation. Pour cela à l'heure du temps t \u003d 0. Donnez le formulaire de chaîne décrit par la fonction f. 0 (X), l'expression pour laquelle nous obtenons de (6.43):

. (6.47)

En figue. 6.6 montre un exemple de formulaire de chaîne, décrivant ma fonction f. 0 (X).

À l'heure t \u003d 0. La chaîne repose toujours, c'est-à-dire La vitesse de tous ses points est nulle. De (6.43), nous trouverons une expression pour la vitesse des cordes:

et, substituant à elle t \u003d 0.Je reçois une expression pour le point de vitesse de la chaîne au moment initial du temps:

. (6.49)

Depuis à l'heure initiale, la vitesse est nulle, l'expression (6.49) sera nulle pour tous les points de la chaîne, si. Il en résulte que la phase d'éclaircissement de tous les modes est également zéro (). Compte tenu de cette expression (6.43), qui décrit le mouvement de la chaîne, prend le formulaire:

, (6.50)

et l'expression (6.47), décrivant la forme initiale du flux, ressemble à:

. (6.51)

Les vagues debout dans la chaîne sont décrites par la fonction, pério-sauvage sur l'intervalle, où sont égales à deux longueurs de chaîne (Fig. 6.7):

Ceci est vu du fait que la fréquence à l'intervalle signifie:

D'où,

ce qui nous conduit à l'expression (6.52).

Il est connu de l'analyse mathématique que toute fonction ne-rhodique peut être décomposée avec une grande précision dans la série Fourier:

, (6.57)

où, - coefficients de Fourier.

Considérez le résultat de l'interférence de deux vagues plates sinusoïdales de la même amplitude et de la même fréquence se propageant dans des directions opposées. Pour la simplicité du raisonnement, nous supposons que les équations de ces ondes ont la forme:

Cela signifie qu'au début des coordonnées, les deux ondes provoquent des oscillations dans la même phase. Au point A avec la coordonnée x la valeur totale de la valeur oscillante, selon le principe de superposition (voir § 19), égale à

Cette équation montre que, à la suite de l'interférence des ondes directes et inverses à chaque point du support (avec une coordonnée fixe, une oscillation harmonique se produit avec la même fréquence, mais avec une amplitude

en fonction de la valeur de la coordonnée x. Aux points du support dans lequel les oscillations sont manquantes du tout: ces points sont appelés nœuds d'oscillation.

Aux points où l'amplitude des oscillations est de la plus grande valeur égale à ces points sont appelées oscillations. Il est facile de montrer que la distance entre les nœuds adjacents ou les faisceaux adjacents est égale à la distance entre la bête et le nœud le plus proche est égal à la variation de x sur le cosinus de formule (5.16) change le signe à l'opposé (son argument Varie donc si dans une demi-onde - d'un nœud à un autre - les particules du milieu rejetées dans une direction, puis dans la prochaine particule de demi-onde du milieu seront rejetées dans la direction opposée.

Le processus d'onde dans le milieu décrit par la formule (5.16) est appelé une onde debout. Une onde debout graphiquement peut être décrite comme indiquée à la Fig. 1.61. Supposons qu'il existe un déplacement des points du support de l'état d'équilibre; Ensuite, la formule (5.16) décrit la "vague de compensation de compensation". À un moment donné, lorsque tous les points du support ont des déplacements maximaux, la direction de laquelle, en fonction de la valeur de la coordination X, est déterminée par le signe de ces compensations figure à la Fig. 1.61 flèches solides. Après un quart de la période, lorsque le décalage de tous les points du support est égal à zéro; Les particules moyennes passent à travers une ligne avec différentes vitesses. Après un autre quart de la période, lorsque les particules moyennes auront à nouveau des déplacements maximaux, mais la direction opposée; Ces compensations sont montrées sur

figure. 1,61 flèches en pointillé. Point de l'essence de la balise de permanence de décalage; Points des nœuds de cette vague.

Les caractéristiques caractéristiques de la vague debout, contrairement à la propagation habituelle, ou en cours d'exécution, les vagues sont les suivantes (sens des vagues plates en l'absence d'atténuation):

1) Dans la vague debout, l'amplitude des oscillations est différente dans divers endroits du système; Le système a des nœuds et des balises d'oscillations. Dans la vague "courante", ces amplitudes sont les mêmes partout;

2) dans le site du système d'un nœud à l'autre des points voisins du support fluctué dans la même phase; Lors du déplacement vers la zone adjacente, les phases d'oscillation changent à l'inverse. Dans la vague de fonctionnement de la phase d'oscillation, selon la formule (5.2) dépendent des coordonnées des points;

3) Il n'y a pas de transfert d'énergie unilatéral dans une vague debout, car il se passe dans la vague de course.

Lorsque vous décrivez les processus vibratoires dans les systèmes élastiques, il est possible de prendre non seulement le déplacement ou la vitesse des particules système, mais également la valeur de la déformation relative ou de la magnitude de la compression, d'étirement ou de décalage, etc. dans ce cas, Dans des endroits où les vitesses gonflées de particules sont formées, les nœuds de déformations sont situés et, au contraire, les nœuds de vitesse coïncident avec les faisceaux de déformations. La conversion d'énergie de la forme cinétique au potentiel et au dos se produit dans le système du système de la Beafness au nœud adjacent. On peut supposer que chaque domaine de ce type n'échange pas d'énergie avec des sites voisins. Notez que la conversion de l'énergie cinétique des particules en mouvement dans l'énergie potentielle des zones déformées du milieu est sur une période deux fois.

Au-dessus, compte tenu des interférences d'ondes directes et inverses (voir expressions (5.16)), nous n'avons pas été intéressés par l'origine de ces vagues. Supposons que le milieu dans lequel la propagation des fluctuations ait des tailles limitées, telles que des oscillations, sont causées dans une tige ou une corde, dans un pôle d'un liquide ou d'un gaz, etc. La vague se propage dans un tel environnement (Tele) Il est donc reflété par les frontières, par conséquent, dans la quantité de ce corps, l'interférence des ondes provoquées par une source externe et réfléchie par les frontières se produit en permanence.

Considérer l'exemple le plus simple; Supposons qu'un mouvement oscillatoire avec une fréquence est excité par une source sinusoïdale externe au point (Fig. 1,62). Le début du compte à rebours du temps choisira de sorte que, à ce stade, le déplacement a été exprimé par la formule

où l'amplitude d'oscillations au point causé dans l'onde de tige reflétera de la deuxième extrémité de la tige 0% et ira dans le contraire

direction. Trouvez le résultat de l'interférence des ondes droites et réfléchies à un moment donné de la tige ayant une coordonnée x. Pour la simplicité du raisonnement, supposons qu'il n'y a aucune absorption d'oscillations dans la tige et donc les amplitudes des ondes droites et réfléchies sont égales.

À un moment donné, lorsque le déplacement des particules oscillantes au point est égal à, à un autre point de la tige, le déplacement causé par une onde droite sera, selon la formule d'onde, égale à

À travers le même point et la vague réfléchie est également passée. Pour trouver le décalage causé au point une onde réfléchie (en même temps qu'il est nécessaire de calculer le temps pendant lequel la vague passera de et retour au point car le déplacement causé par le point d'onde réfléchie sera égal à

On suppose que dans l'extrémité réfléchissante de la tige dans le processus de réflexion, il n'y a pas de phase de change de changement de saut de l'oscillation; Dans certains cas, une telle modification de la phase (appelée perte de phase) a lieu et doit être prise en compte.

La complexité des oscillations causées à différents points de la tige droite et réfléchie par les vagues donne une vague debout; vraiment,

où une phase permanente, indépendante de la coordonnée x et la valeur

il s'agit d'une amplitude d'oscillations au point que cela dépend de la coordonnée x, c'est-à-dire différente dans divers endroits de la tige.

Nous trouverons les coordonnées de ces points de tige dans lesquels les nœuds et les balises de la vague debout sont formés. La circulation de la cosinine en zéro ou l'unité se produit aux valeurs de l'argument, multiple

où un entier. Avec la valeur impaire de ce nombre, le cosinus fait appel à zéro et à la formule (5.19) donne les coordonnées des nœuds de la vague permanente; Avec même nous obtenons les coordonnées des brats.

Au-dessus, seules deux vagues ont été ajoutées: une directive, de et réfléchie, de se propager de cependant, doit être prise en compte que l'onde réfléchie sur la bordure de la tige reflétera et va dans la direction d'une onde droite. De telles réflexions

depuis les extrémités de la tige, il y aura beaucoup, et il est donc nécessaire de trouver le résultat de l'interférence pas deux, et tout en même temps existant dans les ondes de tige.

Supposons que la source externe des oscillations a provoqué la tige d'onde pendant un certain temps après quoi l'écoulement d'énergie d'oscillation de l'extérieur a cessé. Pendant ce temps, les réflexions se sont produites dans la tige, où le temps passé au cours de laquelle la vague est passée d'une extrémité de la tige à une autre. Par conséquent, la tige existera simultanément des vagues allant en direct et les vagues vont dans les directions opposées.

Supposons que l'interférence d'une paire d'ondes (directe et réfléchie), le déplacement exactement et s'est avéré être égal à. Trouvez une condition dans laquelle tous les changements Y, causés par chaque paire d'ondes, présentez les mêmes directions à un point et à la tige et développez donc. Pour cette phase d'oscillations causées par chaque paire d'ondes au point doit différer sur les phases d'oscillation causées par la prochaine paire d'ondes. Mais chaque vague revient à nouveau au point A avec le même sens de la distribution qu'après temps, c'est-à-dire à la traîne de la phase d'assimilation avec ce décalage où l'entier, nous obtenons

i.E. Le long de la longueur de la tige doit correspondre au nombre d'entiers de demi-pieds. Notez que cette condition de la phase de toutes les vagues provenant de la direction avant diffère des uns des autres sur l'endroit où un entier; De la même manière, les phases de toutes les vagues provenant de la direction opposée diffèrent donc de l'autre, si une paire d'ondes (directes et inverse) donne le long de la distribution de tige de déplacement, déterminée par formule (5.17), puis Lors de l'interférence des paires de telles vagues, la répartition des déplacements n'est pas modifiée; Seules les amplitudes d'oscillation augmenteront. Si l'amplitude maximale des oscillations lors des interférences de deux ondes, selon la formule (5.18) est égale à l'interférence de nombreuses vagues, ce sera davantage. Note-la ensuite la distribution de l'amplitude des oscillations le long de la tige au lieu de l'expression (5.18) est déterminée par la formule

Des expressions (5.19) et (5.20), les points dans lesquels le cosinus est déterminé ou 1:

lorsque le nombre d'entiers de coordonnées des nœuds de la vague permanente est obtenu à partir de cette formule avec des valeurs impaires, en fonction de la longueur de la tige, c'est-à-dire les valeurs

les coordonnées en poofing résulteront de valeurs pair

En figue. 1,63 montre schématiquement une onde debout dans la tige, dont la longueur; Points de Beafness, points des nœuds de cette vague debout.

Pouce. Il a été montré que, en l'absence d'influences extérieures périodiques, la nature des mouvements de codebage dans le système et la première valeur principale est la fréquence des oscillations - sont déterminées par la taille et les propriétés physiques du système. Chaque système oscillatoire a son propre mouvement vibratoire inhérent; Cette oscillation peut être observée si vous dérivez un système d'un état d'équilibre, puis éliminez les influences externes.

Pouce. 4 heures J'ai examiné principalement des systèmes oscillatoires avec des paramètres concentrés, dans lesquels la masse inerte avait des corps (points) et des propriétés élastiques - autres corps (ressorts). En revanche, les systèmes oscillatoires dans lesquels la masse et l'élasticité sont inhérentes à chaque volume élémentaire sont appelées systèmes avec des paramètres distribués. Celles-ci incluent les tiges ci-dessus, les cordes, ainsi que les piliers de fluide ou de gaz (dans des instruments de musique en vent), etc. pour de tels systèmes, il y a des vagues debout; La principale caractéristique de ces ondes est la longueur d'onde ou la distribution de nœuds et de beatts, ainsi que la fréquence d'oscillation - est déterminée uniquement par la taille et les propriétés du système. Les ondes debout peuvent exister en l'absence d'un impact externe (périodique) sur le système; Cet impact est nécessaire uniquement pour causer ou maintenir des vagues debout dans le système ou modifier les amplitudes d'oscillations. En particulier, si l'impact externe sur le système avec des paramètres distribués se produit avec la fréquence, égale fréquence Ses propres oscillations, c'est-à-dire la fréquence de la vague debout, puis il y a un phénomène de résonance, considéré dans le ch. 5. Pour différentes fréquences identiques.

Ainsi, dans les systèmes avec des paramètres distribués, ses propres oscillations sont des ondes debout - caractérisées par tout un spectre de fréquences, de plusieurs entre eux. La plus petite de ces fréquences correspondant à la plus grande longueur d'onde est appelée fréquence principale; Le reste) - les hélérates ou les harmoniques.

Chaque système est caractérisé non seulement par la présence d'un tel spectre d'oscillations, mais également une certaine répartition de l'énergie entre les oscillations de différentes fréquences. Pour les instruments de musique, cette distribution donne au son une fonctionnalité particulière, la timbre dite sonore, diverses pour divers outils.

Les calculs ci-dessus font référence à la longueur de la tige oscillante libre ". Cependant, nous avons généralement des tiges attachées à une ou les deux extrémités (par exemple, les cordes oscillantes), ou le long de la tige, il y a un ou plusieurs points de consolidation. L'emplacement de la fixation, où Les particules du système ne peuvent pas effectuer des mouvements oscillatoires sont des nœuds de déplacement interne. Par exemple,

s'il est nécessaire d'obtenir des ondes debout dans la tige à un, deux, trois points de consolidation, etc., ces points ne peuvent pas être sélectionnés de manière arbitraire, mais doivent être situés le long de la tige afin qu'ils soient dans les nœuds de la vague debout formée . Ceci est montré, par exemple, à la Fig. 1.64. Dans la même figure, la ligne pointillée montre le déplacement des points de tige pendant les oscillations; Aux extrémités libres, la Beafe du déplacement est toujours formée sur les nœuds de biais fixes. Pour les colonnes d'air oscillantes dans les tuyaux, les nœuds de déplacement (et la vitesse) sont obtenus dans des parois pleines réfléchissantes; Aux extrémités ouvertes des tubes, les faisceaux de déplacements et de vitesses sont formés.

S'il existe plusieurs vagues dans le milieu simultanément plusieurs vagues, les fluctuations du milieu sont la quantité géométrique d'oscillations qui effectueraient des particules dans la propagation de chacune des vagues séparément. Par conséquent, les vagues superplusent simplement l'une à l'autre, ce qui ne pars pas. Cette déclaration s'appelle le principe de la superposition des vagues. Le principe de la superposition affirme que le mouvement causé par la propagation de plusieurs vagues est à la fois un processus de vague. Un tel processus, par exemple, est le son de l'orchestre. Il découle de l'excitation simultanée des fluctuations de l'air par des instruments de musique distincts. C'est merveilleux que lorsque les vagues sont appliquées, des phénomènes spéciaux peuvent survenir. Ils sont appelés les effets de l'ajout ou, comme on dit, la superposition des vagues. Parmi ces effets, les interférences et la diffraction sont les plus importants.

L'ingérence est le phénomène de la responestation de l'énergie des oscillations dans l'espace, à la suite de laquelle les oscillations sont améliorées à certains endroits et d'autres sont affaiblies. Ce phénomène se produit avec l'ajout d'ondes avec la différence dans les phases de différence de temps, appelées vagues cohérentes. L'interférence d'un grand nombre d'ondes est appelée diffraction. Il n'y a pas de différence fondamentale entre les interférences et la diffraction. La nature de ces phénomènes est la même. Nous nous limitons à la discussion d'un seul effet d'interférence très important, qui consiste à former des ondes debout.

Prérequis La formation de vagues debout est la présence de frontières reflétant les vagues qui les tombent. Les ondes debout sont formées à la suite de l'ajout de vagues chutes et réfléchies. Les phénomènes de ce type sont assez courants. Donc, chaque ton du son de tout instrument de musique est excité par une vague debout. Cette vague est formée soit dans la chaîne (outils de cordes), soit dans la colonne AIR (outils en laiton). Les limites réfléchissantes dans ces cas sont des points de fixation de la chaîne et de la surface des cavités internes des instruments à vent.

Chaque vague debout a les propriétés suivantes. Toute la zone d'espace dans laquelle la vague est excitée peut être cassée dans les cellules de manière à ce que les cellules d'oscillation soient complètement absentes aux limites. Les points situés sur ces limites sont appelés les nœuds de la vague debout. Les phases d'oscillations dans les points internes de chaque cellule sont les mêmes. Les oscillations dans les cellules voisines sont fabriquées les unes envers les autres, c'est-à-dire en antiphases. Dans une cellule, l'amplitude d'oscillation varie dans l'espace et, dans certains endroits, atteint la valeur maximale. Les points dans lesquels il est observé s'appelle les plages d'une vague debout. Enfin, la propriété caractéristique des ondes debout est la discrétion du spectre de leurs fréquences. Dans une onde permanente, les oscillations ne peuvent être effectuées que avec des fréquences strictement certaines et la transition de l'une d'elles à l'autre se produit avec un saut.

Considérons un exemple simple d'une vague debout. Supposons que les cordes de longueur limitée soient étirées le long de l'axe; Ses extrémités sont rigidement fixées et l'extrémité gauche est au début des coordonnées. Ensuite, la coordonnée de la fin droit sera. Exciter la vague dans la chaîne

,

se propager de gauche à droite. À partir de l'extrémité droite de la chaîne de vagues affectera. Supposons que cela se produise sans perte d'énergie. Dans ce cas, la vague réfléchie aura la même amplitude et la même fréquence que l'incident. Par conséquent, l'onde réfléchie devrait être:

Sa phase contient une constante, déterminant la modification de la phase lorsqu'elle est réfléchie. Étant donné que la réflexion survient aux deux extrémités de la chaîne et sans perte d'énergie, les ondes des mêmes fréquences se propageront simultanément dans la chaîne. Par conséquent, lors de l'addition et devrait être des interférences. Trouver une vague résultante.

C'est l'équation d'une vague debout. Il en résulte que, à chaque point de la chaîne, il y a des oscillations avec une fréquence. Dans le même temps, l'amplitude d'oscillations au point est égale

.

Étant donné que les extrémités des cordes sont fixes, il n'y a pas d'oscillations. De la condition qu'il suit cela. Par conséquent, nous obtenons enfin:

.

Maintenant, il est clair qu'à des points dans lesquels il n'y a pas de oscillation du tout. Ces points sont les nœuds d'une vague debout. Là, où, l'amplitude des oscillations est maximale, elle est égale à la double valeur de l'amplitude des oscillations pliées. Ces points sont les plages d'une vague debout. Dans l'apparence des gastresses et des nœuds, les interférences sont les suivantes: à certains endroits, les oscillations sont améliorées et d'autres disparaissent. La distance entre les nœuds adjacents et la babe est de la condition évidente :. Depuis. Par conséquent, la distance entre les nœuds adjacents.

De l'équation de la vague debout, il est clair que le multiplicateur Lors de la mise sous tension de la valeur zéro change le signe. Conformément à cela, les phases d'oscillation sur différents côtés du noeud diffèrent. Cela signifie que des points allongés le long de différents côtés du noeud fluctuent dans une antiphase. Tous les points conclus entre deux nœuds adjacents fluctuent dans la même phase.

Ainsi, lors de l'ajout d'incidents et de vagues reflétées, il est vraiment possible d'obtenir une image d'un mouvement d'onde caractérisé plus tôt. Dans le même temps, les cellules qui ont été discutées dans le cas unidimensionnel sont des segments conclus entre des nœuds adjacents et ayant une longueur.

Soit enfin convaincu que la vague considérée par nous ne peut exister que avec des fréquences strictement certaines des oscillations. Nous utilisons le fait que les oscillations à l'extrémité droite de la chaîne sont absentes, c'est-à-dire. D'ici, il s'avère que. Cette égalité est possible si, où - un nombre positif arbitraire complet.