Fourierova transformacija sa ograničenim ograničenjima integracije. Dovoljni uslovi za zastupljivost Fourierove integralne funkcije

Koji se već zasutio. I osjećam da je trenutak došao kada je vrijeme za izdvajanje nove teorije konzervirane hrane iz strateških rezervi. Da li je moguće razgraditi funkciju zaredom bilo koji drugi način? Na primjer, izrazite rez ravne linije kroz sinuse i kosines? Čini se nevjerovatnim, ali takvim bi se činilo udaljenim jedna od druge.
"Reunion". Pored obojenih stupnjeva u teoriji i praksi, postoje drugi pristupi raspadanju funkcije u nizu.

Na ovoj lekciji ćemo se upoznati sa trigonometrijom u blizini Fourieru, dovodeći pitanje njegove konvergencije i iznose i, naravno, analizirat ćemo brojne primjere na raspadanju funkcija u Fourierovoj seriji. Iskreno sam htio nazvati članak "Fourieries Redovi za doodles", ali to bi bio lucavizam, jer će se riješiti problemi, znanje drugih dionica matematičke analize i neko praktično iskustvo bit će potrebno. Stoga će preambula podsećati na obuku astronauta \u003d)

Prvo, proučavanje materijala stranice treba pristupiti u izvrsnom obliku. Preživio sam, odmaran i trijezan. Bez snažnih emocija o slomljenim šarkama i opsesivnim mislima o životu akvarijske ribe. Fourier serija nije komplicirana sa stajališta razumijevanja, međutim, praktični zadaci zahtijevaju jednostavno povećanu koncentraciju pažnje - u idealnom slučaju treba u potpunosti odustati od vanjskih podražaja. Situacija se pogoršava činjenicom da ne postoji najlakši način za provjeru rješenja i odgovora. Dakle, ako je vaše stanje zdravlja ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto lakše. Istina.

Drugo, prije letanja u svemir, potrebno je proučiti nadzornu ploču svemirske letjelice. Započnimo s vrijednostima funkcija koje bi trebale biti zatvorene na mašini:

Sa bilo kojim prirodnim značenjem:

jedan). I u stvari, sinusoidni "uboda" apscisa osi preko svakog "pi":
. U slučaju negativnih vrijednosti argumenta, rezultat će se, naravno, biti isti :.

2). Ali nisu svi znali. Cosine "PI EN" je ekvivalent "bljeskalicama":

Negativni poslovni argument ne mijenja se: .

Možda dovoljno.

I, treće, dragi odred kosmonaut, morate biti u mogućnosti ... integrirati.
Posebno, samouvjereno napravite funkciju pod znakom diferencijala, integrirajte se u dijelove i biti u nakazu sa formula Newton Labeau. Pokrenimo važne pretpostavljene vježbe. Kategorički ne preporučujem prolazak, tako da ne laska u bestežinu:

Primjer 1.

Izračunati određene integrale

gdje prima prirodne vrijednosti.

Odluka: Integracija se vrši prema varijabilnoj "X" i u ovoj fazi diskretna varijabla "EN" smatra se konstantnom. U svim integracijama pomesti funkciju pod znakom diferencijala:

Kratka verzija rješenja za koju bi bilo lijepo pucati, izgleda ovako:

Navići se:

Četiri preostala stavka sama. Pokušajte savjesno liječiti zadatak i urediti integrale na neki kratak način. Primjer rješenja na kraju lekcije.

Nakon visokokvalitetnih vježbi vježbanja, stavljamo na svemirku
i pripremite se za početak!

Dekompozicija funkcije u nizu Fourieru u intervalu

Razmotrite neku funkciju koja definitivan Barem u intervalu (A, možda u većem intervalu). Ako je ova funkcija integrirana na segment, može se razgraditi u trigonometrijsku fourier Red:
gde - takozvani fourierovi koeficijenti.

Sa brojem zvani razdoblje razgradnje, a broj - dekompozicija poluvremena.

Očito, u općem predmetu, Fourierov serija sastoji se od sinusa i kosinusa:

Zaista, to detaljno pišemo:

Zero član serije je uobičajeni u obliku.

Fourierovi koeficijenti izračunavaju se prema sljedećim formulama:

Razumijem savršeno dobro da su novi pojmovi spušteni početnici za proučavanje tema: period raspada, poluprikolica, fourierovi koeficijenti i dr. Bez panike, to nije uporedivo sa uzbuđenjem prije ulaska u vanjski prostor. Sve ćemo razumjeti u skoroj primjeri, prije nego što izvršim logično za postavljanje hitnih praktičnih pitanja:

Šta treba učiniti u sljedećim zadacima?

Otpremaju funkciju u nizu Fourieru. Uz to, često je potrebno prikazati grafikon funkcije, grafikon zbroja reda, djelomični iznos i u slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija - raditi nešto drugo.

Kako se razgraditi funkciju u nizu Fourieru?

U suštini treba pronaći fourierovi koeficijenti , to jest make up i izračunati tri određeni integralni.

Molimo vas da prepisujete opći pogled na Fourierovu seriju i tri radne formule za sebe u bilježnici. Jako mi je drago što neki posjetitelji lokaliteta pravo na mojim očima dječji san se izvodi da postane astronaut \u003d)

Primer 2.

Otpremajte funkciju u Fourierovoj seriji u intervalu. Izgradite raspored, iznos grafikona broja i djelomičnog iznosa.

Odluka: Prvi dio zadatka je da se razgradi na funkciju u Fourierovoj seriji.

Početak početka, obavezno zapišite to:

U ovom su problemu period raspadanja, pola razdoblja.

Raširite funkciju u Fourierovoj seriji u intervalu:

Koristeći odgovarajuće formule, naći ćemo fourierovi koeficijenti. Sada morate nadoknaditi i izračunati tri određeni integralni. Za praktičnost ću numerirati predmete:

1) Prvi integral je najlakši, međutim, i zahtijeva oko da oči:

2) Koristimo drugu formulu:

Ovaj integral je dobro znak i uzima se u dijelovima:

Kada se koristi, koristi se metoda suzbijanja funkcije pod znakom diferencijala.

U tom je zadatku, prikladnije je da odmah koristite formula integracije integracije u određenom integralnom :

Par tehničkih komentara. Prvo, nakon primjene formule svi izraz treba ući u velike zagradeBudući da se konstanta nalazi ispred prvobitnog integralnog. Ne gubite! Nosači se mogu otkriti na bilo kojem daljnjem koraku, učinio sam to u najmanju ruku. U prvom "komadu" Pokazujemo ekstremnu preciznost u zamjeni, kao što vidite, konstanta nije u slučajevima, a granice integracije su zamijenjene u radu. Ova radnja je istaknuta kvadratnim zagradama. Pa, integral drugog "komada" formule dobro je upoznat sa zadatkom obuke ;-)

I najvažnija stvar je maksimalna koncentracija pažnje!

3) Tražimo treći koeficijent Foufiera:

Primio rođak prethodnog integralnog, koji takođe integrira se u dijelove:

Ova instanca je malo komplicirana, komentar na daljnje akcije korak po korak:

(1) Izraz u potpunosti zaključuju u velikim zagradama. Nisam hteo da izgleda dosadno, prečesto izgubim konstantu.

(2) U ovom slučaju sam odmah otkrio ove velike zagrade. Posebna pažnja Prvo plaćamo "komad": konstantno pušenje na marginama i ne sudjeluje u zamjeni granica integracije (i) u rad. Zbog klasterine snimanja, ova akcija je ponovo preporučljiva za isticanje sa kvadratnim zagradama. Sa drugim "komadom" Sve je lakše: Ovdje se pojavila frakcija nakon otkrivanja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integracije poznatog integrala ;-)

(3) U kvadratnim zagradama vršimo pretvorbu i u pravom integralu - zamjenu granica integracije.

(4) Izvodimo "Flasher" iz kvadratnih zagrada:, nakon čega otkrijemo unutrašnje zagrade:.

(5) međusobno pogodan 1 i -1 u zagradama i provoditi konačne pojednostavljenja.

Konačno, pronađeni su sva tri Fourierova koeficijenta:

Zamjenite ih u formuli :

Istovremeno, ne zaboravite da se podijelite na pola. Na posljednjem koraku konstante ("minus dva"), neovisno o "en", vrši se izvan iznosa.

Tako smo dobili raspadanje funkcije u nizu Fourieru u intervalu:

Proučajmo pitanje konvergencije Fourierove serije. Objasnit ću teoriju, posebno theorem Dirichlet., bukvalno "na vašim prstima", tako da ako vam treba stroga formulacija, molimo pogledajte udžbenik o matematičkoj analizi (Na primjer, 2. Tom Buchana; ili 3. jačinu Fihtendulza, ali teže je u njemu).

U drugom dijelu zadatka koji vam je potreban za prikaz rasporeda, broj zbroja raspona i djelomičnog grafikona.

Graf funkcije je uobičajeno ravno u avionukoja je izvedena crnom isprekidanom linijom:

Bavimo se zbrojem reda. Kao što znate, funkcionalna serija se konvergira na funkcije. U našem slučaju, sagrađena Fourier serija sa bilo kojim značenjem "x" Organi će se za funkciju koja je prikazana u crvenoj boji. Ova značajka tolerira rASP 1 Na bodovima, ali definirane u njima (crvene tačke na crtežu)

Na ovaj način: . Lako je vidjeti šta se primjetno razlikuje od izvorne funkcije, zbog čega u zapisu Ikona "Tilda" je postavljena, a ne znak jednakosti.

Proučavamo algoritam, prema kojem je prikladno izgraditi zbroj reda.

U središnjem intervalu, Fourierovi serija konvergira se na samu funkciju (središnji crveni rez poklapa se sa crnom isprekidanom linijskom funkcijom).

Sada sazrijevamo o prirodi trigonometrijskog razgradnje koja se razmatra. Zaredom FourErieru samo periodične funkcije (konstantne, sinuse i kosine), tako da su zbroj reda takođe predstavlja periodičnu funkciju.

Šta to znači u našem posebnom primeru? I to ukazuje na to da zbroj reda – Svakako periodično A rez crveni interval dužan je više puta ponoviti s lijeve i desne strane.

Mislim da sam sada konačno očistio značenje fraze "Period raspadanja". Simplistički govor, kroz svaku situaciju ponovo i ponovo se ponavlja.

U praksi je obično dovoljno za prikaz tri razdoblja raspadanja, kao što se radi na crtežu. Pa, više "hardver" susjednih razdoblja - razumjeti da se raspored nastavlja.

Posebno su zanimanje tačka jaza 1. vrste. Na takvim točkama, Fourierov red se konvergira na izolirane vrijednosti koje se nalaze Rasnohonko u sredini "skoka" pauze (crvene tačke na crtežu). Kako naučiti redoslijed ovih bodova? Prvo pronađite ordinat "gornji kat": Za to izračunavamo vrijednost funkcije na ekstremnoj desnoj tački centralnog razdoblja razgradnje:. Za izračunavanje ordinacije "donjeg kata", najlakši način za snimanje ljevine vrijednosti istog razdoblja je najlakše: . Ordinat prosječne vrijednosti je aritmetička količina "Verkh i Nize" :. Ugodno je činjenica da ćete pri izgradnji crteža odmah vidjeti, pravilno ili pogrešno izračunati sredinu.

Izgrađujemo djelomičnu zbroj reda i istovremeno ponavljamo značenje pojam "konvergencije". Motiv je poznat iz lekcije o zbroj numeričkog reda. Bolesno naše detalje bogatstva:

Da bi sačinio djelomični iznos, potrebno je snimiti nulu + još dva člana retka. I.e,

Na crtežu, grafikon funkcije prikazan je zelenim bojama, a kao što vidite, čvrsto se gura "obnalja" puni iznos. Ako razmotrite djelomični iznos od pet članova serije, tada će grafikon ove značajke biti još precizniji da donese crvene linije, ako sto članova - tada "zeleni snajperan" u potpunosti popunjava crvenim segmentima, itd. Tako se serija Fourierove konvergira na njegov iznos.

Zanimljivo je napomenuti da je bilo kakav djelomični iznos kontinuirana funkcijaMeđutim, ukupan iznos reda se još uvijek lomi.

U praksi nije tako rijetko potrebno za izgradnju parcijalnog iznosa. Kako uraditi? U našem slučaju potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njegove vrijednosti na krajevima segmenta i na intermedijarnim točkama (to više bodova razmatra - tačniji raspored). Zatim, trebali biste označiti ove tačke na crtežu i nježno prikazati raspored u periodu, nakon čega je "trljanje" u susjedne intervale. Kako drugačije? Uostalom, pristup je i periodična funkcija ... ... nešto njene grafike podsjeća me na čak i srčani ritam na displejima medicinskog uređaja.

Nije baš prikladno izvesti izgradnju, jer je potrebno izvršiti super nakupljanje, izdržljiva točnost nije manje od pola milimetara. Međutim, ne nalaze se u nakazu sa crtanjem, učinit ću - u "stvarnom" zadatku da napravim crtež, nije uvijek moguće, negdje u 50% slučajeva potrebno je razgraditi funkciju u Fourierovoj seriji i to je to.

Nakon dovršetka crteža, dovršimo zadatak:

Odgovoriti:

U mnogim zadacima funkcija tolerira jaz Pravo na razdoblje raspadanja:

Primjer 3.

Pomaknite se u Fourierovu seriju Funkciju navedenu na segmentu. Nacrtajte grafikon funkcije i ukupnu količinu retka.

Predložena funkcija je postavljena komadno (i primijetiti samo na segmentu) I tolerirati jaz U točki. Da li je moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. A lijevi i desni dijelovi funkcije su integrirani u njihove intervale, tako da integrali u svakoj od tri formule trebaju biti predstavljeni kao zbroj dva integrala. Da vidimo, na primjer, kako se to radi na nultom koeficijentu:

Drugi integral pokazao se da je jednak nuli, koji je izgubio operaciju, ali to se ne događa uvijek.

Slično tome, opisane su još dva i druga koeficijenti Fouerierica.

Kako prikazati zbroj reda? Na lijevom intervalu, segmentu ravne linije, a u intervalu - ravna linija (hrabro vaganje odjeljka osovine). To je, u intervalu raspadanja, zbroj reda se poklapa s funkcijom svuda, osim tri "loša" boda. Na mjestu prekida funkcije, Fourierov red odvijat će se na izoliranu vrijednost koja se nalazi tačno u sredini "skok" pauze. Lako je vidjeti i usmeno: Lijevo ograničenje :, desnostrana granica: I, očito je da je ordinat sredine 0,5.

Zbog učestalosti iznosa, slika mora biti "propagirana" u susjedna razdoblja, posebno, kako bi prikazala iste u intervalima i. Istovremeno, na bodovima, Fourierov red će se spustiti u srednje vrijednosti.

U stvari, ovde nema ništa novo.

Pokušajte se nositi sa ovim zadatkom. Uzorni dizajn i crtanje uzorka na kraju lekcije.

Raspadanje funkcije u nizu Fourieru na proizvoljnom periodu

Za proizvoljno razdoblje raspada, gdje se "EL" - bilo koji pozitivni broj, formule serije Fourierova i Fourierovih koeficijenata odlikuju se blago složenim argumentom sinusa i kosinusa:

Ako se dobivaju formule za GAP iz koje smo započeli.

Algoritam i principi rješavanja problema su u potpunosti sačuvani, ali tehnička složenost izračuna se povećava:

Primjer 4.

Eliminirajte funkciju u Fourierovoj seriji i izgradite sažetak.

Odluka: Zapravo analogna primjera br. 3 sa jaz U točki. U ovom su problemu period raspadanja, pola razdoblja. Funkcija je definirana samo na polu-intervalu, ali to ne mijenja slučaj - važno je da su oba funkcija integriraju.

Raširite funkciju u Fourierovoj seriji:

Budući da se funkcija razbija na početku koordinata, svaki je svaki koeficijent za Fouefieries očigledno napisan u obliku zbroja dva integrala:

1) Prvi integral će napisati što je više moguće:

2) pažljivo vrši u površinu Mjeseca:

Drugi integralni uzimati dijelove:

Ono što treba obratiti pažnju, nakon što zamolimo zvijezde da otvore nastavak rješenja?

Prvo, ne gubite prvi integralni gde odmah izvedite sumiranje diferencijalnog znaka. Drugo, ne zaboravite zlouporabljenu konstantu na velike zagrade i ne zbunite u znakovima Kada koristite formulu . Velike zagrade, na kraju krajeva, prikladnije je odmah otkriti na sljedećem koraku.

Ostatak tehnologije, poteškoće mogu uzrokovati samo nedostatak iskustva sa rješenjima.

Da, ne ni čudo što su poznati kolege francuske matematike Fourieriine bili ogorčeni - kako se ovo usudio raširilo funkcije u trigonometrijske retke?! \u003d) Za riječ, vjerovatno su svi zanimljivi praktično značenje Zadatak koji se razmatra. Sam je radio na matematičkom modelu toplotne provodljivosti, a nakon toga, broj koji se zove njegovo ime počelo je koristiti za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji u okolini navodno nevidljivo. Usput, usput, uhvatio sam se da misleći da slučajno ne uspoređuje grafikon drugog primjera s periodičnim ritmom srca. Oni koji žele mogu se upoznati sa njima praktična primjena fourier transformacija U izvorima treće strane. ... iako je bolje ne treba - sjećat ću se kako je prva ljubav \u003d)

3) S obzirom na više puta spomenute slabe veze, bavimo se trećem koeficijentom:

Integriramo se u dijelove:

Zamijenite pronađene Fourierove koeficijente u formuli , ne zaboravljajući podijeliti nultu koeficijent na pola:

Izgraditi raspored zbroja broja. Ukratko ponovite postupak: U intervalu gradimo ravnu liniju, a u intervalu je ravno. Na nultu vrednost "X", stavljamo tačku usred "skoka" GAP-a i "prigovarajući" raspored za susjednim periodima:


Na "zglobovima" razdoblja iznos će biti jednak sredini "skoka" jaza.

Spremni. Podsjećam da je sama funkcija određena uslovom samo na poluvremenu i, očito se podudara s zbrojem raspona u intervalima

Odgovoriti:

Ponekad je određena određena funkcija kontinuirana u razdoblju raspadanja. Najjednostavniji uzorak: . Odluka (vidi 2. Tom Buchanu) Isto kao i dva prethodna primjera: uprkos funkcija kontinuiteta U točki, svaki je koeficijent za Foufiericu izražen zbrojem dva integrala.

U intervalu za proširenje rastuća točka 1. vrste i / ili "zajedničke" bodove rasporeda mogu biti više (dva, tri i uopšte konačan količina). Ako je funkcija integrirana na svaki dio, također se raspada u Fourierovu seriju. Ali iz praktičnog iskustva, takva priča ne sjećam se nečega. Ipak, postoje teški zadaci nego samo uzeti u obzir, a na kraju članka za sve postoje reference na Fourierovu seriju povišene složenosti.

U međuvremenu ćemo se opustiti, nasloniti se u stolice i razmišljajući o beskrajnim zvjezdanim prostorima:

Primjer 5.

Otpremite funkciju u Fourierovu seriju u intervalu i izgradite raspored zbroja reda.

U ovom zadatku funkcija neprekidan Na polu intervalu raspada, koji pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično, na primjer, br. 2. Iz svemirske letjelice nije nigdje - morat će odlučiti \u003d) uzorni uzorak dizajna na kraju lekcije, raspored je priložen.

Dekompozicija u nizu Fouriera za čitanje i neparne funkcije

Uz čak i neparne funkcije, proces rješavanja problema je uočljivo pojednostavljeno. I zato. Vratimo se raspadanju funkcije u nizu Fouriera u periodu "Dva pi" i proizvoljno razdoblje "dva el" .

Pretpostavimo da su naše funkcije crne. Generalni član serije, kao što vidite, sadrži koshinuse i neparne sine. A ako stavimo ravnomjerno funkciju, zašto trebamo neparna sinus?! Resetirajmo nepotreban koeficijent :.

Na ovaj način, jednostavna funkcija odvija se u nizu Fourieru samo kozinom:

Ukoliko integrali iz kojih funkcijaprema simetričnoj relativnoj nuli, segment integracije može se udvostručiti, drugi Fourierovi koeficijenti su pojednostavljeni.

Za jaz:

Za proizvoljni jaz:

Do shitomatskih primjera koji praktično u bilo kojem udžbeniku na Matanalizu uključuju raspadanje funkcija čitanja. . Pored toga, više puta su se sreli u mojoj ličnoj praksi:

Primjer 6.

Dana znamenci. Zahtijeva:

1) razgraditi funkciju u Fourierovoj seriji sa periodom u kojem - proizvoljni pozitivan broj;

2) Zabilježite raspadanje u intervalu, izgradite funkciju i grafikon ukupne količine reda.

Odluka: U prvom stavku predlaže se rješavanje problema uopšte, a vrlo je zgodan! Pojavit će se implementacija - samo zamijenite vrijednost.

1) U ovom su problemu razdoblje raspada, pola razdoblja. U toku daljnjih akcija, posebno, kada se integrira, EL "se smatra konstantom

Funkcija je čak, pa je, zato, postavljena je u Fourierovu seriju samo kozinom: .

Fourierovi koeficijenti traže formule . Obratite pažnju na njihove bezuvjetne prednosti. Prvo, integracija se vrši na pozitivnom segmentu raspadanja, a samim tim se sigurno uklanjamo modula , ispitivanje sa dva komada samo "X". I drugo, integracija je primjetno pojednostavljena.

Dva:

Integriramo se u dijelove:

Na ovaj način:
Istovremeno, konstanta, koja ne ovisi o "en", izvadimo iznos.

Odgovoriti:

2) Za to pišemo razgradnju u intervalu, u opštu formulu zamjenjuju željenu vrijednost pola razdoblja:

I. Fourierove transformacije.

Definicija 1. Funkcija

Pozvan fourierova transformacija Funkcije.

Integral je ovdje shvaćen u smislu glavnog značaja

I vjeruje se da postoji.

Ako je funkcija apsolutno integrirana, od tada Kada, za bilo koju takvu funkciju, Fourierova transformacija (1) ima smisla, a integralni (1) apsolutno i ravnomjerno se konverziju na cijelu liniju.

Definicija 2.. Ako a - Fourierova funkcija transformacije
, a zatim sastavljeni integralni

Shvaćeno u smislu glavnog značaja naziva se fourierona integralna funkcija .

Primjer 1. Pronađite Funkcije pretvorbe Fourier

Navedena funkcija je uistinu apsolutno integrirana na, zaista,

Definicija 3. Shvaćeno u smislu glavnog značaja integral

Pozvan cosine- i fourierove transformacije sinusa .

Vjerovao , , , dijelom nam se poznaju po redovima Fourieru

Kao što se može vidjeti iz odnosa (3), (4),

Formule (5), (6) pokazuju da su Fourierine transformacije u potpunosti određene u cijelom direktu, ako se znaju samo za negativne vrijednosti argumenta.

Primer 2. Pronađite Cosine - i Sinus - Fourier Funkcija transformacije

Kao što je prikazano u primjeru 1, navedena funkcija je apsolutno integrirana.

Pronaći ćemo njegovu kosinus - Fourierovu transformaciju formulom (3):

Slično tome, nije teško pronaći sinus - Fourierova funkcija transformacije f.(x.) Formulom (4):

Koristeći primjere 1 i 2, nije teško biti sigurno f.(x.) Odnos (5) se izvodi.

Ako je funkcija zaista prepoznata, zatim iz formula (5), (6) u ovom slučaju treba

Otkad u ovom slučaju, stvarne funkcije na R, koje se mogu vidjeti iz njihovih definicija (3), (4). Međutim, jednakost (7) pod uvjetom Ispada i izravno iz definicije (1) Fourierove transformacije, ako uzmemo u obzir da se znak konjugacije može napraviti pod znakom integralnog. Nedavno zapažanje omogućava vam zaključak da je jednakost fer za bilo koju značajku.

Takođe je korisno napomenuti da ako je to stvarna, pa čak i funkcija, I.E. T.

ako je to stvarna i neobična funkcija, tj. T.

A ako je to čisto zamišljena funkcija, i.e. . T.

Imajte na umu da ako se radi o stvarnoj vrijednosti, tada se može napisati i Fourierovni sastavni integral kao

Gde

Primjer 3.
(brojanje )

Budući da znamo vrijednost Dirichlet integral

Funkcija koja se razmatra u primjeru nije apsolutno integrirana i njegova Fourierova transformacija ima pauze. Da je Fourierova transformacija apsolutno integrirajuće funkcije nema pauze, kaže sljedeće

Lemma 1. Ako funkcija lokalno integrirani i apsolutno integrirani na T.

a) njena Fourierova transformacija definisano sa bilo kojim značenjem

b)

Podsjetimo da ako - stvarna ili složena vrijednost koja je cijenjena definirana u otvorenom setu ta funkcija pozvan lokalno integrirani od Ako neko tačka Ima susjedstvo u kojem je funkcija integrirana. Posebno, ako je stanje lokalne integrabilnosti funkcije očigledno jednako ekvivalent činjenici da Za bilo koji segment.

Primjer 4.Pronađite funkciju Fourierove transformacije :

Razlikovanje posljednjeg integralnog parametra i integrirajući se zatim u dijelovima, nalazimo to

ili

To znači , gdje je stalna, koja, koristeći euler-poisson integral, nalazimo iz omjera

Dakle, otkrili smo da, a istovremeno i to i .

Definicija 4. Kaže se da funkcija Definirano u proznačenom kvartu poantu zadovoljava Dini u tački ako

a) U točki postoje i jednostrana granica

b) Igrani

apsolutno konvergirati.

Apsolutna konvergencija integral znači apsolutnu konvergenciju integralnog barem s nekom vrijednošću.

Dovoljni uslovi Zapisnik Fourierove integralne funkcije.

Theorem 1.Ako je apsolutno integriran na i lokalno komadno kontinuirana funkcija zadovoljava u točki uvjeti Dini, tada je njegova četverovatna integralna konverzija u ovom trenutku i na značenje

jednak lijevoj i desnoj granica vrijednosti funkcija u ovom trenutku.

Cololiary 1.Ako funkcija neprekidno, ima u svakom trenutku konačni jednostrani derivati \u200b\u200bi apsolutno integrirani na Tada se čini sa svojim integralnim Fourierom

gde funkcija Fourierove transformacije .

Funkcija Fourierove integralne funkcije može se prepisati u obliku:

Komentar. Formulirano u teoremu 1 i provođenje 1 Uvjeti za funkciju su dovoljni, ali nisu potrebni za mogućnost takvog podnošenja.

Primjer 5. Predstavite Fu Fourierovu integralnu funkciju ako

Ova je funkcija neparna i kontinuirana na ℝ, osim bodova,.

Zbog čudnosti i materijalnosti funkcije, imamo:

i iz ravnoteže (5) i (10) to slijedi

Na tačkice kontinuiteta imamo:

Ali funkcija je, dakle, čudna

budući da se integral izračunava u smislu glavnog značaja.

Funkcija je čak i tako

ako a ,. Kada se treba izvesti jednakosti

Vjerujući odavde nalazimo

Ako u zadnjem izrazu za stavljanje, onda

Vjerujući ovdje ćemo pronaći

Ako je funkcija pravi komad kontinuirana na bilo kojem segmentu stvarnog izravnog apsolutno integriranog na i ima konačne jednosjedne derivate na svakom trenutku na tačkice kontinuiteta funkcije pojavljuju se kao četveroierov integral

i na mjestu razbijanja, lijevi dio jednakosti (1) treba zamijeniti

Ako je kontinuirano, apsolutno integrirano na funkciju, u svakom trenutku ima ograničene jednostrane derivate, a zatim u slučaju kada je ta funkcija čak i jednakost je fer

i u slučaju kada - neparna funkcija, jednakost se vrši

Primjer 5 '. Predstavite četveroieronu integralnu funkciju ako:

Budući da je kontinuirano na ravnomjernom funkciji, a zatim pomoću formula (13.2), (13.2 '), imamo

Označavaju simbolom shvaćenim u smislu glavnog značaja integral

COORLIARY 2.Za bilo koju funkciju Zadovoljavajući uslovi korova 1, postoje sve transformacije , , , i imati jednakost

Imajući u vidu ove omjere, transformacija (14) često se nazivaju obrnuta Fourierova transformacijai umjesto toga pišu, a jedna ravnopravnost (15) se nazivaju fourierova konverzija formula.

Primjer 6.Neka I.

Imajte na umu da ako , zatim sa bilo kojom funkcijom

Uzmi sada funkciju. Onda

Ako preuzmete funkciju koja je neobičan nastavak funkcije , na cijeloj numeričkoj osi, tada

Koristeći teoremu 1, to shvatamo

Ovdje se shvataju svi integrali u smislu glavnog značaja,

Odvajanje u posljednja dva integrala važećih i imaginarnih dijelova, pronađite laplace integrale

Definicija . Funkcija

nazovimo normaliziranu Fourierovu transformaciju.

Definicija . Ako je normalizirana fourijska funkcija transformacije, tada je sastavljen integral

Nazvat ćemo normalizirani četveroieronu integralnu funkciju.

Razmotrit ćemo normaliziranu Fourierovu transformaciju (16).

Uvodimo sljedeću notu za pogodnost:

(To. ).

U odnosu na prethodne oznake, ovo je samo renmalizacija: to znači, posebno, odnosi (15) omogućuju to zaključiti

ili u kraćem zapisu

Definicija 5. Operator Nazvat ćemo se normaliziranom Fourierovom transformacijom, a operater će se nazvati obrnutom racionalnom transformacijom.

U Lemmi 1 primijećeno je da Fourierova transformacija bilo kojeg apsolutno integriranog na funkciju teži beskonačnosti na nulu. U narednim dvije izjave navedeno je da je poput Fourierova koeficijenata, Fourierova transformacija jača na nulu, mirisa funkcije iz koje se uzima (u prvom odobrenju); Uzajamno s tom činjenicom bit će da brže funkciju nastoji nula, iz koje se uzima Fourierovu transformaciju, stvrdnjava njegova Fourierova transformacija (drugo odobrenje).

Odobrenje 1.(Na vezi glatkoće funkcije i brzinu smanjenja u svojoj Foficier transformaciji). Ako a i sve funkcije apsolutno integrisan od , to:

ali) sa bilo kojim

b)

Odobrenje 2.(O priključenju brzine silazne funkcije i glatkoće njegove Fourierove transformacije). Ako je lokalno integrirana funkcija : takva je funkcija apsolutno integrisan N.ali, to:

ali) funkcija Fourierove transformacije pripadaju klasi

b) postoji nejednakost

Dajemo glavnom hardverskom svojstvima Fourierove transformacije.

Lemma 2. Pretpostavimo da se funkcije i postoji foficirna transformacija (respektivno, obrnuto Fovier transformacija), šta bi bilo bilo koji brojevi i, postoji Fourierova transformacija (respektivno, Fourierovu preobrazbu) i za funkciju , i

(respektivno).

Ova se nekretnina naziva Fourierovom linearnošću transformacije (respektivno, Fourierova obrnuta transformacija).

Korolija. .

Lemma 3.Fourierova transformacija, kao i obrnuta transformacija, međusobno je nedvosmislena pretvorba na skupu kontinuirano integriranih funkcija na cijeloj osi funkcija koje imaju jednostrane derivate u svakom trenutku.

To znači da ako su oba dvije funkcije navedenog tipa i ako (respektivno, ako ), zatim na cijeloj osovini.

Od odobrenja Lemme 1 možete dobiti sljedeću lemu.

Lemma 4.Ako slijed apsolutno integriranih funkcija a apsolutno integrirana funkcija je takva

slijed ravnomjerno na cijeloj osovini konvergira se na funkciju.

Sada ćemo sada proučiti četveroierovu pretvorbu gomile dvije funkcije. Radi praktičnosti vidimo definiciju konvolucije, dodajući dodatni multiplikator

Theorem 2. Neka se funkcije i ograničene, kontinuirane su i apsolutno integrirane na pravu osovinu, a zatim

oni. Fourierovu pretvorbu dvije funkcije jednaka je proizvodu Fourier transformacija ovih funkcija.

Napravit ćemo konsolidovanu tablicu br. 1 od svojstava normalizirane Fourierove transformacije, korisnog prilikom rješavanja zadataka u nastavku.

Tabela №1

Funkcija	Norbana Fourierova transformacija

Koristeći svojstva 1-4 i 6, dobivamo

Primjer 7.Pronađite normaliziranu funkciju Fourier transformacije

U primjeru 4, to je pokazano da

kao da

Prema ovome, imamo:

Slično tome, možete napraviti tablicu 2 za normaliziranu pretvorbu Fourier:

Tabela br. 2.

Funkcija	Nordizirane Fourierovu obrnutu transformaciju

Kao i prije, koristeći svojstva 1-4 i 6 mi shvatamo

Primjer 8.Pronađite normalizirani pretvorbu Fourier funkcije

Kako slijedi od primjera 6

Kad imamo:

Predstavljanje funkcije u obliku

koristimo svojstvo 6 kada

Opcije za postavljanje i grafički rad

1. Pronađite Sinus - Fourier Funkcije pretvaranja

2. Pronađite Sinus - Fourierovu funkciju transformacije

3. Pronađite Cosine - Fourierovu funkciju transformacije

4. Pronađite Cosine - Fourierova funkcija transformacije

5. Pronađite Sinus - Fourier Funkcija transformacije

6.Night Kosinus - Funkcija Fourierove transformacije

7. noćni sinus - Funkcija Fourierove transformacije

8. Pronađite Cosine - Fourierovu transformaciju

9. Pronađite Cosine - Fourierovu funkciju transformacije

10. Pronađite Sinus - Fourierove pretvaranje funkcija

11. Pronađite sinus - Fourier Funkcije transformacije

12. Pronađite sinus - konverziju funkcije

13. Pronađite sinus - pretvorba funkcije

14. Pronađite Cosine - Konverzija funkcije

15. Pronađite Cosine - Konverzija funkcije

16. Pronađite Fourier Funkcije pretvaranja ako:

17. Pronađite Fourier Funkcije pretvaranja ako:

18. Pronađite Fourier Funkcije pretvaranja ako:

19. Pronađite Fourier Funkcije pretvaranja ako:

20. Pronađite Fourierove funkcije pretvaranja ako:

21. Pronađite Fourier Funkcije pretvaranja ako:

22. Pronađite normalizirani pretvorbu Fourier funkcije

Koristeći formulu

24. Pronađite normalizirani pretvorbu Fourier funkcije

Koristeći formulu

26. Pronađite normalizovanu pretvorbu Fu Fourier Funkcija

Koristeći formulu

28. Pronađite normaliziranu pretvorbu Fourier funkcije

Koristeći formulu

30. Pronađite normalizovanu obrnutu formulaciju Fourier transformacije

Koristeći formulu

23. Pronađite normalizirani pretvorbu Fu Fourier Funkcija

Koristeći formulu

25. Pronađite normalizovanu obrnutu pretvorbu Fu Fourier Funkcija

Koristeći formulu

27. Pronađite normalizovanu Fourierovu pretvorbu Fourier

Koristeći formulu

29. Pronađite normalizirani pretvorbu Fourier funkcije

Koristeći formulu

31. Pronađite normaliziranu funkciju pretvorbe u Fourierovu

Koristeći formulu

32. Pošaljite Fu Fourierovu integralnu funkciju

33. Predstavite funkciju Fourier Integral

34. Predstavite funkciju Fourierove integralne funkcije

35. Predstavite funkciju Fourierove integralne funkcije

36. Predstavite Fourierovu integralnu funkciju

37. Predstavite Fu Fourierovu integralnu funkciju

38. Sadašnjost Fourier Integral funkcija

39. Predstavite Fu Fourierovu integralnu funkciju

40. Predstavite funkciju Fourier Integral

41. Predstavite Fu Fourierovu integralnu funkciju

42. Predstavite funkciju Fourier Integral

43. Predstavite četveroieronu integralnu funkciju nastavljajući ga čudnim putem do intervala ako:

44. Predstavite četveroieronu integralnu funkciju tako što ćete ga nastaviti čudan put do intervala ako.

Jedno od moćnog načina proučavanja problema matematičke fizike je metoda integralnih transformacija. Neka funkcija f (x) postavi u intervalu (a, 6), konačnu ili beskonačnu. Integralna pretvorba funkcije F (x) je funkcija na kojoj je K (x, W) fiksna za ovu funkciju pretvorbe koja se zove jezgra konverzije (pretpostavlja se da integral (*) postoji vlastiti ili nerazumljiv). §One. Fourierona integralna bilo koja funkcija f (x), koja u segmentu [-F, ja] zadovoljava uvjete raspadanje u nizu FourIerove, može se predstaviti trigonometrijskim brojem koeficijenata A * i 6 "(1) su određeni Autor: Euler Fouriero Formulas: Fourierova transformacija integrirana su četiri kompleksna oblika integralne transformacije i amplituda konverzije i sinus konverziju i fazni spektar svojstava aplikacije Broj u desnom dijelu jednakosti (1) može se snimiti u različitom obliku. U tu svrhu napravit ćemo ga iz formula (2) vrijednosti koeficijenata A "i OP, poslat ćemo pod znakovima COS ^ x i integrala SIN (što je moguće, jer je neznatna varijabla ) O) i koristiti formulu za uzroku razlike. Imat ćemo ako je funkcija / (g) u početku određena u intervalu numeričke osi, veće od segmenta [-1,1] (na primjer, na cijeloj osovini), tada će raspadanje (3) reproducirati Vrijednosti ove funkcije samo na segmentu [-1, 1] i nastavit će se na cijeloj numeričkoj osi kao periodičnu funkciju s periodom 21 (Sl. 1). Stoga, ako funkcija F (x) (općenito govore, ne-periodična) definira na cijeloj numeričkoj osi, u formuli (3) možete pokušati ići na granicu na I + OO. Prirodno je zatražiti sljedeće uvjete: 1. F (x) zadovoljava uvjete raspadanje u nizu Fourieru na bilo kojem konačnom segmentu OH \\ 2. Funkcija F (x) apsolutno je integrirana na cijelu numeričku osovinu, prilikom izvođenja Stanje 2, prvi mandat desnog dijela jednakosti (3) s I - * + OO ima tendenciju nuli. U stvari, pokušat ćemo uspostaviti šta će ići na granicu u I + OO sumu u delu, dijelu (3). Tada će se zbroj na desnoj strani (3) uzeti obrazac zbog apsolutne konvergencije integralnog ovog iznosa u velikoj mjeri razlikuje se od izraza koji podseća na integrirani iznos za promjenjivu funkciju £ -pospodjela za Interval (0, + + OO) tako prirodno očekuju, kao i za sumu (5), pretvara se u sastav izvorne strane, sa fiksnom) iz formule (3) slijedi da dobijamo jednakost dovoljnih uvjeta za kapital Formula (7) izražava se sljedećom teorem. Teorem 1. Ako je funkcija f (x) apsolutno integrirana na cijelu numeričku osovinu, zajedno sa svojim derivatom, konačan broj pregrade prvog reda na bilo kojem segmentu [A, 6], tada je jednakost u toku Isto vrijeme u bilo kojoj tački XQ-a, što je prekidačka tačka 1 "Funkcija roda / (g), vrijednost integralnog na desnoj strani (7) jednaka je formuli (7) naziva se u formulici (7) Formula, a integral Fourierovog integrala naziva se u svom desnom dijelu. Ako iskoristite formulu raznolikosti razlike, tada se formula (7) može napisati u obliku funkcije A (£), b (£) su analozi odgovarajućih koeficijenata koji imaju 2tg-periodičnu funkciju, Ali potonji su definirani za diskretne vrijednosti P, WTO A (0\u003e, ali određene konačne vrijednosti od £ G (-OO, + OO). Kompleksni oblik Fourierovog integralnog se pretpostavlja / (x) apsolutno integriran Kroz cijelu osobu, razmislite da se integral ovaj integral ravnomjerno konvergira, jer je stoga kontinuirano i očito, neobična funkcija, ali tada je integralna varijabla, tako da stoga integralna četiri Formula se može napisati kao: Pomnožiti ću jednakost na imaginarnu jedinicu I i dodati u jednakost (10). Doći ćemo odakle će se euler formula imati sveobuhvatan oblik Fourierovog integrala. od £ shvaćeno je u smislu glavne vrijednosti Cauchyja: §2. Fourierova transformacija. Kosinus i sinus-transformacija Fourieru puštaju zabavu F (x) je komadno glatko od bilo kakvog konačnog segmenta osi i apsolutno integrirajući kroz cijelu osovinu. Definicija. Funkcija odakle će se, prema formuli EULER-a, nazvati Fourierovom transformacijom funkcije / (D) (spektralna funkcija). Ovo je integralna transformacija funkcije / (d) u \u200b\u200bintervalu (-o, + oo) pomoću kernela pomoću Fourierove integralne formule, dobivamo ovu takozvanu Fourierovu pretvorbu, što prelazak iz F (£) daje / ( x). Ponekad je određena snimka Fourierova transformacija: tada se utvrđuje obrnuta Fouriera transformacija / (g), također je određena na sljedeći način: Fourierova transformacija integrisana četverovatni oblik i amplitude i faze konverzije sinusa Spectra aplikacije tada se zauzvrat, istovremeno, položaj multiplikatora ^ prilično je proizvoljan: može ući u formulu (1 ") ili u formuli (2"). Primjer 1. Pronađite funkciju Fourierove transformacije -4 Imamo tu ravnopravnost da biste napravili diferencijaciju od £ u okviru integralnog znaka (integralni rezultat nakon diferencijacije je ravnomjerno konvergiranje kada (pripada bilo kojem konačnom segmentu): integrirat ćemo u dijelove -Nisani termin prihvaćen na nulu i mi dođemo odakle (C je stalna integracija). Vjerujući u (4) £ \u003d 0, nalazimo C \u003d F (0). Na osnovu (3) znamo da posebno za) za) dobijamo taj primjer 2 (demokrati KokDemseTor putem SPO-a). Razmotrite funkciju 4 za spektra funkcije F (£) Odavde dolazimo (Sl. 2). Stanje apsolutnog integriteta funkcije F (x) na cijeloj numeričkoj osi vrlo je teška. Eliminira, na primjer, takve elementarne funkcije, as) \u003d \u200b\u200bcos, f (x) \u003d e1, za koji se ne postoji Fourierov transformacije (u klasičnom obliku u razmatranju). Fourier-image ima samo one funkcije koje brzo teže nuli na | x | - + + OO (kao u primjerima 1 i 2). 2.1. Četveroier Cosine i Sinus konverzija pomoću kosinske formule, razlika koja prepisuje Fourierovu integralnu formulu u sljedećem obrascu: Neka f (x) bude ravnomjerna funkcija. Zatim, tako da agem (5) imaju u slučaju neparnog f (x), u slučaju neobičnog f (x), slično je i kada je f (x) dat samo (0, -FOO) , zatim formula (6) nastavlja f (x) na cijelu osovinu, a ravnomjerno, a formula (7) je neparna. (7) Definicija. Funkcija se naziva Fourierova funkcija kosinusa transformacije F (x). Od (6) slijedi da je za čak funkciju f (x), to znači da je f (x), zauzvrat konverzija kosinusa za FC (£). Drugim riječima, funkcije / i FC su uzajamne kosineske transformacije. Definicija. Funkcija se naziva The Fourierovom funkcijom konverzije sinusa F (x). Od (7) dobivamo to za neobičnu funkciju f (x) i.e. F i FS su uzajamne transformacije sinusa. Primjer 3 (retropularni puls). Neka f (t) bude ravnomjerna funkcija definirana na sljedeći način: (Sl. 3). Koristimo rezultirajuće rezultate za izračunavanje integralnog silom formule (9) Imamo Sl.3 0 0 na tački t \u003d 0 Funkcija F (T) je kontinuirana i jednaka je jednakim. Stoga, od (12 "dobivamo 2.2. Amplituda i faza spektra Fourierove integralne puštaju periodičnu funkciju / (x) u funkciji / (x) u The Fourierovu seriju, ova jednakost može biti napisana u obliku gdje - amplituda oscilacije s frekvencijom P, - faza. Na ovom putu dolazimo do koncepata amplitude i faze spektra periodične funkcije. Za ne-periodičnu funkciju F (x) naveden na (-oo, + oo), Pod određenim uvjetima pokaže se da je moguće predstaviti u četvrtinom integralu po proširenju ove funkcije na svim frekvencijama (raspadanje na kontinuiranom frekvencijskom spektru). Definicija. Pozva se spektralna funkcija ili spektralna gustoća četveroierove integralne Izraz (direktna transformacija Fourierove funkcije F naziva se amplitudno spektar, a funkcija F ") \u003d -AGGSFC) je fazni spektar funkcije / ("). Spektar amplitude. I (£) služi kao mjera frekvencijskog doprinosa u funkciji / (G). Primjer 4. Pronađite spektra amplitude i fazu funkcije 4 Pronašli smo spektralnu funkciju odavde grafikoni ovih funkcija prikazani su na slici. 4. §3. Svojstva Fourierove transformacije 1. Pojedinačnost. Ako je G (0 Fourierova transformacija funkcija / (x) i d (x), zatim sa bilo kojim trajnim A i P Foverierom transformacijom funkcije AF (x) + RD (x), bit će funkcija a Koristeći nekretninu integralne linearnosti, imamo takvu transformaciju na linearnoj operateru. koji označava da ćemo pisati. Ako je F (£) Fourierova transformacija apsolutno integrirana na cijelu numeričku osovinu funkcije / (g) , a zatim F (() je uopće ograničen. Neka funkcija f (x) apsolutno integrira na cijeloj osovini - Fourierovu funkciju transformacije F (x). Zatim 3 "Fltsj. Neka F (x) bude funkcija, prijem Transformacija Kneea Fouriera, L - Fusion brojevi. Fondacija FH (x) \u003d f (zh) naziva se Puejdi Shift F (x). Koristeći se pomoću The Fourierove transformacije, kako bi se pokazao zadatak. Dopustite da F (Z) Funkcija Fourierova F (0\u003e H je važeći broj. Pokažite da 3. Fourierova transformacija i obrada diferencijacije. Neka apsolutno integrirana funkcija f (x) ima derivat F "(x), takođe apsolutno integriran kroz cijelu osovinu Oh, tako / (i) traži nulu na | f | - "+ oo. S obzirom na F "(x) glatku funkciju, napisati integraciju u dijelove, imat ćemo van-inhibitno upućeni na nulu (od tada i na taj način dobijamo razlikovanje funkcije / (x) odgovara množenju svoje Fovier slike ^ N /] na množinj ako funkcija f (x) ima zadovoljni * "e apsolutno namijenjenim derivatima po narudžbi koje uključuju uključive i sve, kao i funkcija f (x), na težite se u tome, integrirajući u dijelove Željeni broj puta, dobivamo Fourierovu transformaciju vrlo je korisna jer zamjenjuje razlikovanje radnog odnosa i na taj način pojednostavljuje zadatak određenih vrsta diferencijalnih jednadžbi. Budući da je Fourierova transformacija apsolutno integrirana funkcija F ^ k \\ x) tamo je ograničena funkcija (nekretnina 2), zatim iz omjera (2) dobivamo za sljedeću ocjenu: Fourierov transformacija integrirana četverovatna kompleksna oblika integralna četveronosna transformacija i amplituda sinus konverzije i faza spektra za svojstva aplikacije iz ove ocjene ICE: Što veća funkcija F (x) ima apsolutno integrirane derivate, što je brže nosilo četiri transformaciju tendenciju na nulu. Komentar. Stanje je sasvim prirodno, jer se uobičajena u iznosu od 4etrijene začegraigrade bavi se procesima koje na ovaj ili onaj način imaju početak i konje, ali ne nastaju nastavljaju u nedogled s istim intenzitetom. 4. Komunikacija između brzine smanjenja funkcije f (x) na | z | - "-F oo i glatkost njenog pretvorbe Furm. Pretpostavimo da nije samo / (x), već i njegov proizvod XF (X) apsolutno integrirana funkcija na cijeloj osovini OH. Tada će se Fourierona transformacija) razlikovati funkcijama. Zaista, formalna diferencijacija po parametru £ Integrisana funkcija dovodi do integralnog koji je apsolutno i ravnomjerno konvergiranje u odnosu na parametar, a na taj način je moguće razlikovanje, a tima, tj. Operaciju množenja f (x) na argument x ide nakon Fourierove transformacije. Ako, zajedno sa funkcijom F (x), funkcije su apsolutno integrirane kroz cijelu osovinu, postupak diferencijacije može se nastaviti. Dobijamo da je funkcija izvedena da bi naručila uključivu m inclsive, a time, brže funkcija F (x) smanjuje se na glatkiju funkciju teorema 2 (o bušenju). Lako transformaciju Fourierovih funkcija /, (g) i F2 (x), respektivno. Zatim, dvostruki integral u desnom dijelu apsolutno se konvergira. Stavite - x. Tada ćemo imati ni promjenu redoslijeda integracije, funkcija se naziva sazivanje funkcija i označava se simbolom formule (1) može se napisati sada: Može se vidjeti da je četverovatna pretvorba funkcija F \\ ( x) i F2 (x) se ne pomnože sa Y / 2 proizvod Fourierovih transformacija koaguliranih funkcija, napomenu. Nije teško instalirati sljedeće svojstva savijena: 1) Linearnost: 2) Komutativnost: §4. Fourierove transformacije 1. Neka je p (^) linearni diferencijalni operator reda s konstantnim koeficijentima pomoću formule za pretvaranje Fourier derivata funkcija u (x), smatramo da je razlikuje diferencijalnu jednadžbu u kojoj je Plodiv koji je gore naveden . Pretpostavimo da je tražena odluka (x) transformacija (O. i funkcija f (x) ima transformaciju / (£) pomoću Fourierove transformacije na jednadžbu (1), umjesto diferencijalne algebarske jednadžbe na Axis u odnosu na mjesto gdje formalno gdje simbol označava foficirenu obrnutu transformaciju. Osnovno ograničenje primjenjivosti ove metode povezano je sa sljedećom činjenicom. Uobičajena odluka diferencijalna jednadžba Uz stalne koeficijente sadrže funkcije forme jete *, eaz cos fix, eah grijeh. Px. Nisu apsolutno integrirani na osi< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и