Властивості середньої арифметичної. Розрахунок середньої арифметичної способом «моментів»

Для зниження трудомісткості розрахунків використовуються основні властивості ср.аріфм-кою:

• 1. Якщо всі варіанти усредняемого ознаки збільшити / зменшити на постійну величину А, то середня арифметична відповідно збільшиться / зменшиться.
• 2. Якщо всі варіанти, визначається ознаки збільшити / зменшити в н-раз, то ср.аріфм збільшиться / зменшиться в н-раз.
• 3. Якщо всі частоти усредняемого ознаки збільшити / зменшити в постійне число раз, то ср.аріфм.останется незмінною.
• 18. Середня гармонійна проста і зважена

Середня гармонійна - використовується, коли статистична інформація не містить даних про ваги за окремими варіантами сукупності, але відомі твори значень варьирующего ознаки на відповідні їм ваги.

Загальна формула середньої гармонійної зваженої має такий вигляд:

х - величина варьирующего ознаки,

w - твір значення варьирующего ознаки на його ваги (xf)

Наприклад, три партії товару А куплені за різними цінами (20, 25 і 40 руб.) Загальна вартість першої партії склала 2000 руб., Другої партії - 5000 руб., І третій партії - 6000 руб. Потрібно визначити середню ціну одиниці товару А.

Середня ціна визначається як частка від ділення загальної вартості на загальну кількість закупленого товару. Використовуючи середню гармонійну, ми отримаємо шуканий результат:

У тому випадку, якщо загальні обсяги явищ, тобто твори значень ознак на їх ваги рівні, то застосовується середня гармонійна проста:

х - окремі значення ознаки (варіанти),

n - загальне число варіант.

Приклад. Дві машини пройшли один і той же шлях: одна зі швидкістю 60 км / год, а друга - 80 км / год. Приймаємо протяжність шляху, який пройшла кожна машина, за одиницю. Тоді середня швидкість складе:

Середня гармонійна має більш складну конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли в якості ваг використовуються не одиниці сукупності - носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m \u003d Xf). До середньої гармонійної простої слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь за двома (трьома, чотирма і т.д.) підприємствам, робочим, зайнятим виготовленням одного і того ж виду продукції , однією і тією ж деталі, вироби.

Розрахунки середньої арифметичної можуть бути громіздкими, якщо варіанти (значення ознаки) і ваги мають дуже великі або дуже малі значення і не може сам процес підрахунку. Тоді для простоти рахунку використовується ряд властивостей середньої арифметичної:

1) якщо зменшити (збільшити) всі варіанти на будь-яке довільне число А, То нова середня зменшиться (збільшиться) на те ж число А, Т. Е. Зміниться на ± А;

2) якщо зменшити всі варіанти (значення ознаки) в однакове число раз ( До), То середня зменшиться в стільки ж разів, а при збільшенні в ( До) Раз - збільшиться в ( До) Раз;

3) якщо зменшити або збільшити ваги (частоти) всіх варіант на будь-яке постійне число А, То середня арифметична не зміниться;

4) сума відхилень всіх варіант від загальної середньої дорівнює нулю.

Перераховані властивості середньої арифметичної дозволяють в разі потреби спрощувати розрахунки шляхом заміни абсолютних частот відносними, зменшувати варіанти (значення ознаки) на будь-яке число А, Скорочувати їх в До раз і розраховувати середню арифметичну з зменшених варіант, а потім переходити до середньої початкового ряду.

Спосіб обчислення середньої арифметичної з використанням її властивостей відомий в статистиці як «Спосіб умовного нуля», або «умовної середньої», або як «Спосіб моментів».

Коротко цей спосіб можна записати у вигляді формули

Якщо зменшену версію (значення ознаки), позначити через, то наведену вище формулу можна переписати у вигляді.

При використанні формули для спрощення обчислення середньої арифметичної зваженої інтервального ряду при визначенні величини будь-якого числа А використовують такі прийоми його визначення.

величина А дорівнює величині:

1) першого значення середньої величини інтервалу (продовжимо на прикладі завдання, де млн дол., А.

Розрахунок середньої з зменшених варіант

інтервали	Середнє значення інтервалу		Число заводів, f	твір, добуток
до 2	1,5	0 (1,5–1,5)
2–3	2,5	1 (2,5–1,5)
3–4	3,5	2 (3,5–1,5)
4–5	4,5	3 (4,5–1,5)
5–6	5,5	4 (5,5–1,5)
понад 6	6,5	5 (6,5–1,5)
Разом:	3,7	–

,

2) величину А беремо дорівнює величині середнього значення інтервалу з найбільшою частотою повторень, в даному випадку А \u003d 3,5 при ( f \u003d 30), або значення серединної варіанти, або найбільшою варіанти (в даному випадку найбільше значення ознаки Х \u003d 6,5) і поділений на розмір інтервалу (в даному прикладі 1).

Розрахунок середньої при А = 3,5, f = 30, До \u003d 1 на тому ж прикладі.

Розрахунок середньої способом моментів

інтервали	Середнє значення інтервалу		Число заводів, f	твір, добуток
до 2	1,5	(1,5 – 3,5) : 1 = –2		–20
2–3	2,5	(2,5 – 3,5) : 1 = –1		–20
3–4	3,5	(3,5 – 3,5) : 1 = 0
4–5	4,5	(4,5 – 3,5) : 1 = 1
5–6	5,5	(5,5 – 3,5) : 1 = 2
понад 6	6,5	(6,5 – 3,5) : 1 = 3
Разом:	3,7	–

; ; ;

Спосіб моментів, умовного нуля або умовної середньої полягає в тому, що при скороченому способі розрахунку середньої арифметичної ми вибираємо такий момент, щоб в новому ряду однієї з значень ознаки, т. Е. Прирівнюємо і звідси вибираємо величину А і До.

Треба мати на увазі, що якщо ( Х – А) : До, де До - рівна величина інтервалу, то отримані нові варіанти утворюють в равноінтервальном ряду ряди натуральних чисел (1, 2, 3 і т. Д.) Позитивних вниз і негативних вгору від нуля. Середню арифметичну з цих нових варіант називають моментом першого порядку і виражають формулою

.

Щоб визначити величину середньої арифметичної, потрібно величину моменту першого порядку помножити на величину того інтервалу ( До), На який ділимо всі варіанти, і додати до отриманого добутку величину варіанти ( А), Яку вичитали.

;

Таким чином, способом моментів або умовного нуля розрахувати середню арифметичну з варіаційного ряду, якщо ряд равноінтервальний, значно легше.

Мода

Мода - є величина ознаки (варіанти), найбільш часто повторюється в досліджуваній сукупності.

Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанти з найбільшою частотою.

Приклад. При визначенні плану по виробництву чоловічих туфель фабрикою було вироблено вивчення купівельного попиту за результатами продажу. Розподіл проданої взуття характеризувалося такими показниками:

Найбільшим попитом користувалася взуття 41 розміру і склала 30% від проданого кількості. У цьому ряду розподілу М 0 = 41.

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за формулою

.

Перш за все, необхідно знайти інтервал, в якому знаходиться мода, т. Е. Модальний інтервал.

У варіаційному ряду з рівними інтервалами модальний інтервал визначається за найбільшою частоті, в рядах з нерівними інтервалами - по найбільшої щільності розподілу, де: - величина нижньої межі інтервалу, що містить моду; - частота модального інтервалу; - частота інтервалу, що передує модальному, т. Е. Предмодального; - частота інтервалу, наступного за модальним, т. Е. Послемодального.

Приклад розрахунку моди в інтервальному ряду

Дана угруповання підприємств за чисельністю промислово-виробничого персоналу. Знайти моду. У нашій задачі найбільше число підприємств (30) має угруповання з чисельністю працюючих від 400 до 500 осіб. Отже, цей інтервал є модальним інтервалом ряду поширення з рівними інтервалами. Введемо наступні позначення:

Підставами ці значення в формулу обчислення моди і зробимо розрахунок:

Таким чином, ми визначили значення модальної величини ознаки, укладеного в цьому інтервалі (400-500), т. Е. М 0 \u003d 467 чол.

У багатьох випадках при характеристиці сукупності в якості узагальнюючого показника віддається перевага моді, А не середньої арифметичної. Так, при вивченні цін на ринку фіксується і вивчається в динаміці не середня ціна на певну продукцію, а модальна. При вивченні попиту населення на певний розмір взуття чи одягу становить інтерес визначення модального номера, а не середній розмір, Який взагалі не має значення. Якщо середня арифметична близька за значенням до моди, значить вона типова.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ВИРІШЕННЯ

завдання 1

На сортосеменной станції при визначенні якості насіння пшениці було отримано наступне визначення насіння по відсотку схожості:

Визначити моду.

завдання 2

При реєстрації цін в години найбільш жвавої торгівлі в окремих продавців були зареєстровані наступні ціни фактичного продажу (дол. За кг):

Картопля: 0,2; 0,12; 0,12; 0,15; 0,2; 0,2; 0,2; 0,15; 0,15; 0,15; 0,15; 0,12; 0,12; 0,12; 0,15.

Яловичина: 2; 2,5; 2; 2; 1,8; 1,8; 2; 2,2; 2,5; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 2,2; 2; 2; 2; 2.

Які ціни на картоплю і яловичину є модальними?

завдання 3

Є дані про заробітної плати 16 слюсарів цеху. Знайти модальну величину заробітної плати.

У доларах: 118; 120; 124; 126; 130; 130; 130; 130; 132; 135; 138; 140; 140; 140; 142; 142.

розрахунок медіани

Медианой в статистиці називається варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо дискретний ряд розподілу має непарне число членів ряду, то медіаною буде варіанти, що знаходиться в середині рангового ряду, т. Е. До суми частот додати 1 і все розділити на 2 - результат і дасть порядковий номер медіани.

Якщо в варіаційному ряду парне число варіант, тоді медіаною буде половина суми двох серединних варіант.

Для знаходження медіани в інтервальному варіаційному ряду визначаємо спочатку медіанний інтервал по нагромадженим частотах. Таким інтервалом буде такою, кумулятивна (накопичена) частота якого дорівнює або перевищує половину суми частот. Накопичені частоти утворюються шляхом поступового підсумовування частот, починаючи від інтервалу з найменшим значенням ознаки.

Розрахунок медіани в інтервальному варіаційному ряду

інтервали	частоти ( f)	Кумулятивні (накопичені) частоти
60–70		10 (10)
70–80		40 (10+30)
80–90		90 (40+50)
90–100		15 (90+60)
100–110		295 (150+145)
110–120		405 (295+110)
120–130		485 (405+80)
130–140		500 (485+15)
сума:	∑f = 500

Половина суми накопичених частот в прикладі дорівнює 250 (500: 2). Отже, медіанного інтервалом буде інтервал зі значенням ознаки 100-110.

До цього інтервалу сума накопичених частот склала 150. Отже, щоб отримати значення медіани, необхідно додати ще 100 одиниць (250 - 150). При визначенні значення медіани передбачається, що значення ознаки в межах інтервалу розподіляється рівномірно. Отже, якщо 145 одиниць, що знаходяться в цьому інтервалі, розподілити рівномірно в інтервалі, дорівнює 10, то 100 одиниць буде відповідати величина:

10: 145 '100 \u003d 6,9.

Додавши отриману величину до мінімальної межі медіанного інтервалу, отримаємо шукане значення медіани:

Або медіану в вариационном интервальном ряду можна обчислити за формулою:

,

де - величина нижньої межі медіанного інтервалу (); - величина медіанного інтервалу (\u003d 10); - сума частот ряду (чисельність ряду 500); - сума накопичених частот в інтервалі, що передує медіанного (\u003d 150); - частота медіанного інтервалу (\u003d 145).

М ср - розрахована за допомогою методу моментів \u003d 61,6 кг

Середня арифметична величина має трьома властивостями.

1. Середня займає серединне положення у варіаційному ряду . У строго симетричному ряду: М \u003d М 0 \u003d М е.

2. Середня є узагальнюючою величиною і за середньої невидимі випадкові коливання, відмінності в індивідуальних даних, вона розкриває те типове, що характерне для всієї сукупності . До середньої звертаються всякий раз, коли треба виключити випадковий вплив окремих факторів, виявити загальні риси, що існують закономірності, отримати повне і глибоке уявлення про найбільш загальні і характерні особливості всієї групи.

3. Сума відхилень всіх варіант від середньої дорівнює нулю : S (V-M) \u003d 0 . Це відбувається тому, що середня величина перевищує розміри одних варіант і менше розмірів інших варіант.

Інакше кажучи, справжнє відхилення варіант від істинної середньої (d=v-М)може бути позитивною і негативною величиною, тому сума S всіх "+" d і "-" d дорівнює нулю.

Дана властивість середньої використовується при перевірці правильності розрахунків М.Якщо сума відхилень варіант від середньої дорівнює нулю, то можна зробити висновок, що середня обчислена правильно. На цій властивості заснований спосіб моментів для визначення М.Адже якщо умовна середня Адорівнюватиме істинної М,то сума відхилень варіант від умовної середньої буде дорівнює нулю.

Роль середніх величин в біології надзвичайно велика. З одного боку їх використовують для характеристики явищ в цілому, з іншого - вони необхідні для оцінки окремих величин. При порівнянні окремих величин із середніми отримують цінні характеристики для кожної з них. Використання середніх величин вимагає суворого дотримання принципу однорідності сукупності. Порушення цього принципу спотворює уявлення про реальні процеси.

Обчислення середніх з неоднорідною в соціально-економічному відношенні сукупності робить їх фіктивними, спотвореними. Отже, для того щоб правильно використовувати середні величини, треба бути впевненим в тому, що вони характеризують однорідні статистичні сукупності.

ХАРАКТЕРИСТИКА РІЗНОМАНІТНОСТІ ОЗНАКИ В

СТАТИСТИЧНОЇ СУКУПНОСТІ

Величина тієї чи іншої ознаки неоднакова у всіх членів сукупності, незважаючи на її відносну однорідність. Наприклад, в групі дітей, однорідної за віком, статтю та місцем проживання, зростання кожної дитини відрізняється від зростання однолітків. Те ж можна сказати про число відвідувань, зроблених окремими особами в поліклініку, про рівень білка крові у кожного хворого ревматизмом, про рівень артеріального тиску у окремих осіб, хворих на гіпертонічну хворобу і т. П. У цьому проявляється різноманітність, коливання ознаки в досліджуваній сукупності. Варіабельність демонстративно можна уявити на прикладі зростання в групах підлітків.

Статистика дозволяє охарактеризувати це спеціальними критеріями, що визначають рівень різноманітності кожної ознаки в тій чи іншій групі. До таких критеріїв належать ліміт (lim), амплітуда ряду (Am),середньоквадратичне відхилення (s) і коффіціент варіації (C v). Так як кожен з цих критеріїв має своє самостійне значення, то слід зупинитися на них окремо.

ліміт - визначається крайніми значеннями варіант у варіаційному ряду

амплітуда (Am) - різницю крайніх варіант

Ліміт і амплітуда - дають певну інформацію про ступінь різноманітності зростання в кожній групі. Однак як ліміт, так і амплітуда ряду має один суттєвий недолік. Вони враховують тільки різноманітність крайніх варіант і не дозволяють отримати інформацію про різноманітність ознаки в сукупності з урахуванням її внутрішньої структури. Справа в тому, що різноманітність проявляється не стільки в крайніх варіантах, скільки при аналізі всієї внутрішньої структури групи. Тому цими критеріями можна користуватися для наближеної характеристики різноманітності, особливо при малому числі спостережень (n<30).

Найбільш повну характеристику різноманітності ознаки в сукупності дає так зване середньоквадратичне відхилення, Що позначається грецькою буквою "сигма" -s.

Існує два способи розрахунку середнього квадратичного відхилення: середньоарифметичний і спосіб моментів.

При среднеарифметическом способі розрахунку застосовують формулу, де d - справжнє відхилення варіант від істинної середньої (V-M).

Формула використовується при невеликому числі спостережень (n<30), когда в вариационном ряду все частоты р \u003d1.

при р\u003e 1 використовують формулу такого виду:

При наявності обчислювальної техніки цю формулу застосовують і при великій кількості спостережень.

Ця формула призначена для визначення "сигми" за способом моментів:

де:a - умовне відхилення від умовної середньої ( V-A); p -частота народження для варіанти; n - число варіант; i -величина інтервалу між групами.

Цей спосіб застосовується в тих випадках, коли немає обчислювальної техніки, а варіаційний ряд громіздкий як за рахунок великого числа спостережень, так і за рахунок варіант, виражених багатозначними числами. При числі спостережень, рівному 30 і менше, в моменті другого ступеня пзамінюють за (п-1).

Як видно з формули середнього квадратичного відхилення (4), в знаменнику стоїть ( п-1), тобто при числі спостережень, що дорівнює або меншому 30 (n £ 30), необхідно в знаменник формули брати ( п-1). Якщо при визначенні середньої арифметичної Мвраховують всі елементи ряду, то, розраховуючи а,треба брати не всі випадки, а на одиницю менше (П-1).

При великій кількості спостережень (n\u003e 30) в знаменник формули беруть п,так як одиниця не змінює результати розрахунку і тому автоматично опускається.

Слід звернути увагу на те, що середнє відхилення - іменована величина, Тому воно повинно мати позначення, загальне для варіант і середньої арифметичної величини (розмірність - кг, см. Км і ін).

Розрахунок середнього квадратичного відхилення за способом моментів виробляється після розрахунку середньої величини.

Існує ще один критерій, що характеризує рівень різноманітності величин ознаки в сукупності, - коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації (Сv) - є відносною мірою різноманітності, так як обчислюється як процентне відношення середнього квадратичного відхилення (А) досередньої арифметичної величини (М).Формула коефіцієнта варіації така:

Для орієнтовної оцінки ступеня різноманітності ознаки користуються такими градаціями коефіцієнта варіації. Якщо коефіцієнт становить більше 20%, то відзначають сильне різноманітність; при 20-10% - середню, і якщо коефіцієнт менше 10%, то вважають, що різноманітність слабке.

Коефіцієнт варіації застосовують при порівнянні ступеня різноманітності ознак, що мають відмінності у величині ознак або неоднакову їх розмірність. Припустимо, необхідно порівняти рівень розмаїття маси тіла у новонароджених і 5-річних дітей. Зрозуміло, що у новонароджених "сигма" завжди буде менше, ніж у семирічних дітей, так як менше їх індивідуальна маса. Середнє квадратичне відхилення буде менше там, де менше величина самого ознаки. У цьому випадку для визначення відмінності в ступені різноманітності необхідно орієнтуватися не на середньоквадратичне відхилення, а на відносну міру різноманітності - коефіцієнт варіації Сv.

Велике значення коефіцієнт варіації також має для оцінки і зіставлення ступеня різноманітності декількох ознак з різною розмірністю. За середньому квадратичному відхиленню можна ще судити про відмінності в ступені розмаїття згаданих ознак. Для цього необхідно використовувати коефіцієнт варіації - Сv.

Середнє квадратичне відхилення пов'язано зі структурою ряду розподілу ознаки. Схематично це можна зобразити таким чином.

Теорією статистики доведено, що при нормальному розподілі в межах М ± s знаходиться 68% всіх випадків, в межах М ± 2s - 95,5% всіх випадків, а в межах М ± 3s - 99,7% всіх випадків, що становлять сукупність. Таким чином, М ± 3s охоплює майже весь варіаційний ряд.

Це теоретичне положення статистики про закономірності структури ряду має величезне значення для практичного застосування середнього квадратичного відхилення. Можна скористатися цим правилом для з'ясування - питання про типовість середньої величини. Якщо 95% всіх варіант знаходяться в межах М ± 2s, то середня - є характерною для даного ряду і не потрібно збільшувати число спостережень в сукупності. Для визначення типовості середньої порівнюється фактичний розподіл з теоретичним, шляхом розрахунку сигмальних відхилень.

Практичне значення середнього квадратичного відхилення полягає також в тому, що знаючи Мі s, Можна побудувати необхідні варіаційні ряди для практичного використання. сигму ( s) Також використовують для порівняння ступеня різноманітності однорідних ознак, наприклад при порівнянні коливань (варіабельності) зростання дітей в місті і селі місцевості. Знаючи сигму ( s), Можна розрахувати коефіцієнт варіації (Сv), необхідної для порівняння ступеня різноманітності ознак, виражених в різних одиницях вимірювання (сантиметрах, кілограмах і ін.). Це дозволяє виявити більш стійкі (постійні) і менш стійкі ознаки в сукупності.

Порівнюючи коефіцієнти варіації (C v),можна зробити висновки про те, що є найбільш стійким ознакою в сукупності ознак. Середнє квадратичне відхилення (S)використовується також для оцінки окремих ознак у одного об'єкта. Стандартне відхилення вказує, на скільки сигм ( s) Від середньої (М)відхиляються індивідуальні вимірювання.

Середнє квадратичне відхилення ( s)може бути використано в біології та екології при розробці проблем норми і патології.

Нарешті, середньоквадратичне відхилення є важливим компонентом формули т м- середньої помилки середньої арифметичної (помилки репрезентативності):

де т м- середня помилка середньої арифметичної величини (Помилка репрезентативності), п- число спостережень.

Репрезентативність. Найважливіші теоретичні основи репрезентативності були висвітлені вище в розділі, присвяченому вибіркової і генеральної сукупності. Репрезентативність означає представництво в вибіркової сукупності всіх врахованих ознак (стать, вік, професія, стаж і ін.) Одиниць спостереження, складових генеральну сукупність. Досягається ця репрезентативність вибіркової сукупності по відношенню до генеральної за допомогою спеціальних методів відбору, які викладаються нижче.

Оцінка достовірності результатів дослідження базується на теоретичних засадах репрезентативності.

ОЦІНКА ДОСТОВІРНОСТІ РЕЗУЛЬТАТІВ ДОСЛІДЖЕННЯ

Під достовірністю статистичних показників слід розуміти ступінь їх відповідності відображається ними дійсності. Достовірними результатами вважаються ті, які не спотворюють і правильно відображають об'єктивну реальність.

Оцінити достовірність результатів дослідження означає визначити, з якою ймовірністю можливо перенести результати, отримані на вибіркової сукупності, на всю генеральну сукупність.

У більшості досліджень досліднику доводиться, як правило, мати справу з частиною досліджуваного явища, а висновки за результатами такого дослідження переносити на все явище в цілому - на генеральну сукупність.

Таким чином, оцінка достовірності необхідна для того, щоб по частині явища мало б судити про явище в цілому, про його закономірності.

Оцінка достовірності результатів дослідження передбачає визначення:

1) помилок репрезентативності (середніх помилок середніх арифметичних і відносних величин) - т;

2) довірчих меж середніх (або відносних) величин;

3) достовірності різниці середніх (або відносних) величин
(За критеріємt );

4) достовірності відмінності порівнюваних груп за критеріємc 2 .

1. Визначення середньої помилки середньої (або відносної) величини (помилки репрезентативності) - т.

Помилка репрезентативності ( m) Є найважливішою статистичною величиною, необхідної для оцінки достовірності результатів дослідження. Ця помилка виникає в тих випадках, коли потрібно по частині охарактеризувати явище в цілому. Ці помилки неминучі. Вони є наслідком сутності вибіркового дослідження; генеральна сукупність може бути охарактеризована за вибіркової сукупності тільки з деякою погрішністю, вимірюваної помилкою репрезентативності.

Помилки репрезентативності не можна змішувати зі звичайним поданням про помилки: методичних, точності вимірювання, арифметичних і ін.

За величиною помилки репрезентативності визначають, наскільки результати, отримані при вибірковому спостереженні, відрізняються від результатів, які могли б бути отримані при проведенні суцільного дослідження всіх без винятку елементів генеральної сукупності.

Цей єдиний вид помилок, що враховуються статистичними методами, які не можуть бути усунені, якщо не здійснено перехід на суцільне вивчення. Помилки репрезентативності можна звести до досить малої величини, т. Е. До величини допустимої похибки. Робиться це шляхом залучення до вибірки достатньої кількості спостережень (П).

Кожна середня величина - М(Середня тривалість лікування, середній зріст, середня маса тіла, середній рівень білка крові і ін.), А також кожна відносна величина - Р(Рівень летальності, захворюваності та ін.) Повинні бути представлені зі своєю середньою помилкою - т.Так, середня арифметична величина вибіркової сукупності (М)має помилку репрезентативності, яка називається середньою помилкою середньої арифметичної (m м) і визначається за формулою:

Як видно з цієї формули, величина середньої помилки середньої арифметичної прямо пропорційна ступеню різноманітності ознаки і обернено пропорційна кореню квадратному з числа спостережень. Отже, зменшення величини цієї помилки при визначенні ступеня різноманітності ( s) Можливо шляхом збільшення числа спостережень.

На цьому принципі заснований метод визначення достатнього числа спостережень для вибіркового дослідження.

відносні величини (Р),отримані при вибірковому дослідженні, також мають свою помилку репрезентативності, яка називається середньою помилкою відносної величини і позначається m р

Для визначення середньої помилки відносної величини (Р)використовується наступна формула:

де Р- відносна величина. Якщо показник виражений у відсотках, то q \u003d 100-P,якщо Р-в промиллях, то q \u003d 1000-P,якщо Р-в продеціміллях, то q \u003d10000-Рі т.д.; п- число спостережень. При числі спостережень менше 30 в знаменник слід взяти ( п -1 ).

Кожна середня арифметична або відносна величина, отримана на вибіркової сукупності, повинна бути представлена \u200b\u200bзі своєю середньою помилкою. Це дає можливість "розрахувати довірчі кордону середніх і відносних величин, а також визначити достовірність різниці порівнюваних показників (результатів дослідження).

А - умовна середня (частіше за інших повторюється в варіаційному ряду)

а - умовне відхилення від умовної середньої (ранг)

i - інтервал

1-ий етап - визначення середини груп;

2-ий етап - ранжування груп: 0 присвоюється групі, частота народження вріанти в якій - найбільша. Тобто в даному випадку 7-11 (частота -32). Вгору від даної групи ранжування проводиться додаючи (-1). Вниз - надбавка (+1).

3-ий етап - визначення умовної моди (умовна середня). А це середина модального інтервалу. У нашому випадку модальним інтервалом є 7 -11, таким чином А \u003d 9.

4-ий етап -визначення інтервалу. Інтервал у всіх групах ряду однаковий і рівний 5. i \u003d 5 /

5-й етап -визначення загального числа спостережень. n \u003d Σp \u003d 103.

Підставляємо, отримані дані в формулу:

Завдання для самостійної роботи

Використовуючи дані сгруппированного варіаційного ряду розрахуйте середню арифметичну за способом моментів.

варіант №1

варіант №2

варіант №3

варіант №4

варіант №5

варіант №6

варіант №7

варіант №8

варіант №9

варіант №10

варіант №11

варіант №12

Завдання №4 Визначення моди і медіани в не згруповані варіаційному ряду з непарною кількістю варіант

Терміни стаціонарного лікування хворих дітей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20.

Для визначення моди в варіаційному ряду ранжування ряду необов'язково. Однак, перш ніж визначати медіану, необхідно вибудувати варіаційний ряд в порядку зростання або зменшення.

12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20.

Мода \u003d 16. Оскільки варіант 16 зустрічається найбільша кількість разів (3 рази).

У разі якщо варіант, що мають найбільшу частоту зустрічальності кілька, то в варіаційному ряду може бути зазначено дві і більше Моди.

Медіана в ряду з непарною кількістю визначається за формулою:

8 це порядковий номер медіани в ранжируваному варіаційному ряду,

таким чином Ме \u003d 17.

Завдання №5 Визначення моди і медіани в не згруповані варіаційному ряду з парною кількістю варіант.

На основі даних, наведених в завданні, потрібно знайти моду і медіану

Терміни стаціонарного лікування хворих дітей в днях: 15, 14, 18, 17, 16, 20, 19, 16, 14, 16, 17, 12, 18, 19, 20, 11

Будуємо ранжируваних варіаційний ряд:

11, 12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 20

У нас є два серединних числа 16 і 17. У такому випадку медіана знаходиться як середнє арифметичне між ними. Me \u003d 16,5.

метод моментів прирівнює моменти теоретичного розподілу до моментів емпіричного розподілу (розподілу, побудованого за спостереженнями). З отриманих рівнянь знаходяться оцінки параметрів розподілу. Наприклад, для розподілу з двома параметрами перші два моменти (середнє і дисперсія розподілу, відповідно, m і s) будуть прирівняні першим двом емпіричним (вибірковим) моментам (середнього і дисперсії вибірки, відповідно), і потім буде вироблено оцінювання.

Де А - умовний нуль, рівний варіанті з максимальною частотою (середина інтервалу з максимальною частотою), h - крок інтервалу,

призначення сервісу. За допомогою онлайн-калькулятора обчислюється середнє значення за способом моментів. Результат рішення оформляється у форматі Word.

Інструкція. Для отримання рішення необхідно заповнити вихідні дані і вибрати параметри звіту для оформлення в Word.

Алгоритм знаходження середньої за способом моментів

Приклад. Витрати робочого часу на однорідну технологічну операцію розподілялися між робочими наступним чином:

Потрібно визначити середню величину витрат робочого часу і середньоквадратичне відхилення за способом моментів; коефіцієнт варіації; моду і медіану.
Таблиця для розрахунку показників.

Групи	Середина інтервалу, x i	Кількість, f i	x i · f i	Накопичена частота, S	(X-x) 2 · f
5 - 10	7.5	20	150	20	4600.56
15 - 20	17.5	25	437.5	45	667.36
20 - 25	22.5	50	1125	95	1.39
25 - 30	27.5	30	825	125	700.83
30 - 35	32.5	15	487.5	140	1450.42
35 - 40	37.5	10	375	150	2200.28
		150	3400		9620.83

Мода

де x 0 - початок модального інтервалу; h - величина інтервалу; f 2-частота, відповідна модальному інтервалу; f 1 - предмодальная частота; f 3 - послемодальная частота.
Вибираємо в якості початку інтервалу 20, так як саме на цей інтервал припадає найбільша кількість.

Найбільш часто зустрічається значення ряду - 22.78 хв.
медіана
Медіанного є інтервал 20 - 25, тому що в цьому інтервалі накопичена частота S, більше медіанного номера (медіанного називається перший інтервал, накопичена частота S якого перевищує половину загальної суми частот).

Таким чином, 50% одиниць сукупності будуть менше за величиною 23 хв.
.



Знаходимо А \u003d 22.5, крок інтервалу h \u003d 5.
Середній квадрат відхилень за способом моментів.

x ц	x * i	x * i f i	2 f i
7.5	-3	-60	180
17.5	-1	-25	25
22.5	0	0	0
27.5	1	30	30
32.5	2	30	60
37.5	3	30	90
		5	385

хв.

Середнє квадратичне відхилення.
хв.
Коефіцієнт варіації - міра відносного розкиду значень сукупності: показує, яку частку середнього значення цієї величини складає її середній розкид.

Оскільки v\u003e 30%, але v<70%, то вариация умеренная.

приклад

Для оцінки ряду розподілу знайдемо такі показники:

Середня зважена

Середнє значення досліджуваного ознаки за способом моментів.

де А - умовний нуль, рівний варіанті з максимальною частотою (середина інтервалу з максимальною частотою), h - крок інтервалу.