Рівномірний розподіл.Випадкова величина Xмає сенс координати точки, обраної навмання на відрізку

[А, Ь. Рівномірну щільність розподілу випадкової величини X(Рис. 10.5, а) можна визначити як:

Мал. 10.5. Рівномірний розподіл випадкової величини: а - щільність розподілу; б - функція розподілу

Функція розподілу випадкової величини X має вид:

Графік функції рівномірного розподілу показаний на рис. 10.5, б.

Перетворення Лапласа рівномірного розподілу обчислимо по (10.3):

Математичне сподівання і дисперсія легко обчислюються безпосередньо з відповідних визначень:

Аналогічні формули для математичного очікування і дисперсії можна також отримати з використанням перетворення Лапласа за формулами (10.8), (10.9).

Розглянемо приклад системи сервісу, яку можна описати рівномірним розподілом.

Рух транспорту на перехресті регулюється автоматичним світлофором, в якому 1 хв горить зелене світло і 0,5 хв - червоний. Водії під'їжджають до перехрестя в випадкові моменти часу з рівномірним розподілом, не пов'язаним з роботою світлофора. Знайдемо ймовірність того, що автомобіль проїде перехрестя, не зупиняючись.

Момент проїзду автомобіля через перехрестя розподілений рівномірно в інтервалі 1 + 0,5 \u003d 1,5 хв. Автомобіль проїде через перехрестя, не зупиняючись, якщо момент проїзду перехрестя потрапляє в інтервал часу. Для рівномірно розподіленої випадкової величини в інтервалі ймовірність попадання в інтервал дорівнює 1 / 1,5 \u003d 2/3. Час очікування Г ож є змішана випадкова величина. З ймовірністю 2/3 вона дорівнює нулю, а з ймовірністю 0,5 / 1,5 приймає будь-яке значення між 0 і 0,5 хв. Отже, середній час і дисперсія очікування біля перехрестя

Експоненціальне (показовий) розподіл.Для експоненціального розподілу щільність розподілу випадкової величини можна записати як:

де А називають параметром розподілу.

Графік щільності ймовірності експоненціального розподілу дан на мал. 10.6, а.

Функція розподілу випадкової величини з експоненціальним розподілом має вигляд

Мал. 10.6. Експоненціальне розподіл випадкової величини: а - щільність розподілу; б - функція розподілу

Графік функції експоненціального розподілу показаний на рис. 10.6, 6.

Перетворення Лапласа експоненціального розподілу обчислимо по (10.3):

Покажемо, що для випадкової величини X, має експоненціальне розподіл, математичне сподівання дорівнює середньоквадратичного відхилення а й назад параметру А ,:

Таким чином, для експоненціального розподілу маємо: Можна також показати, що

тобто експоненціальне розподіл повністю характеризується середнім значенням або параметром X .

Експоненціальне розподіл має низку корисних властивостей, Які використовуються при моделюванні систем сервісу. Наприклад, воно не має пам'яті. коли , то

Іншими словами, якщо випадкова величина відповідає часу, то розподіл залишилася тривалості не залежить від часу, який вже пройшло. Дана властивість ілюструє рис. 10.7.

Мал. 10.7.

Розглянемо приклад системи, параметри функціонування якої можна описати експоненціальним розподілом.

При роботі деякого приладу в випадкові моменти часу виникають несправності. Час роботи приладу Т від його включення до виникнення несправності розподілено по експонентному закону з параметром X. При виявленні несправності прилад відразу надходить в ремонт, який триває час / 0. Знайдемо щільність і функцію розподілу проміжку часу Г, між двома сусідніми несправностями, математичне сподівання і дисперсію, а також ймовірність того, що час Т х буде більше 2t 0.

Так як, то

Нормальний розподіл.Нормальним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, яке описується щільністю

З (10.48) випливає, що нормальний розподіл визначається двома параметрами - математичним очікуванням т і дисперсією а 2. Графік щільності ймовірності випадкової величини з нормальним розподілом при т \u003d0, а 2 \u003d 1 показаний на рис. 10.8, а.

Мал. 10.8. Нормальний закон розподілу випадкової величини при т \u003d 0, ст 2 \u003d 1: а - щільність ймовірності; 6 - функція розподілу

Функція розподілу описується формулою

Графік функції розподілу ймовірності нормально розподіленої випадкової величини при т \u003d 0, а 2 \u003d 1 показаний на рис. 10.8, б.

Визначимо ймовірність того, що Xприйме значення, що належить інтервалу (а, р):

де - функція Лапласа, і ймовірність того,

що абсолютне значення відхилення менше позитивного числа 6:

Зокрема, при т \u003d 0 справедливо рівність:

Як видно, випадкова величина з нормальним розподілом може приймати як позитивні значення, так і негативні. Тому для обчислення моментів необхідно використовувати двостороннє перетворення Лапласа

Однак цей інтеграл не обов'язково існує. Якщо він існує, замість (10.50) зазвичай використовують вираз

яке називають характеристичної функцією або виробляє функцією моментів.

Обчислимо за формулою (10.51) виробляє функцію моментів нормального розподілу:

Після перетворення чисельника подекспоненціального вираження до виду отримаємо

інтеграл

так як є інтегралом нормальної щільності ймовірності з параметрами т + so 2 і а 2. отже,

Диференціюючи (10.52), отримаємо

З даних виразів можна знайти моменти:

Нормальний розподіл широко поширене на практиці, так як, згідно з центральною граничною теоремою, якщо випадкова величина є сумою дуже великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму мізерно мало, то має розподіл, близьке до нормального.

Розглянемо приклад системи, параметри якої можна описати нормальним розподілом.

Підприємство виготовляє деталь заданого розміру. Якість деталі оцінюється шляхом вимірювання її розміру. Випадкові помилки виміру підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням а - Юмкм. Знайдемо ймовірність того, що помилка вимірювання не буде перевищувати 15 мкм.

По (10.49) знаходимо

Для зручності використання розглянутих розподілів зведемо отримані формули в табл. 10.1 і 10.2.

Таблиця 10.1. Основні характеристики безперервних розподілів

Таблиця 10.2. Виробляють функції безперервних розподілів

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

• 1. Які розподілу ймовірностей відносять до безперервним?
• 2. Що таке перетворення Лапласа-Стілтьєса? Для чого воно використовується?
• 3. Як обчислити моменти випадкових величин з використанням перетворення Лапласа-Стілтьєса?
• 4. Чому дорівнює перетворення Лапласа суми незалежних випадкових величин?
• 5. Як обчислити середній час і дисперсію часу переходу системи з одного стану в інший з використанням сигнальних графів?
• 6. Дайте основні характеристики рівномірного розподілу. Наведіть приклади його використання в задачах сервісу.
• 7. Дайте основні характеристики експоненціального розподілу. Наведіть приклади його використання в задачах сервісу.
• 8. Дайте основні характеристики нормального розподілу. Наведіть приклади його використання в задачах сервісу.

Як було сказано раніше, прикладами розподілів ймовірностей неперервної випадкової величини Х є:

• рівномірний розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини;
• показовий розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини;
• нормальний розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини.

Дамо поняття рівномірного і показового законів розподілу, формули ймовірності і числові характеристики розглянутих функцій.

показник	Раномерний закон розподілу	Показовий закон розподілу
визначення	рівномірним називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини X, щільність якого зберігає постійне значення на відрізку і має вигляд	Показовим (експоненціальним) називається розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини X, яке описується щільністю, що має вигляд
		де λ - постійна позитивна величина
функція розподілу
імовірність попадання в інтервал
Математичне очікування
дисперсія
Середнє квадратичне відхилення

Приклади розв'язання задач за темою «Рівномірний і показовий закони розподілу»

Завдання 1.

Автобуси йдуть строго за розкладом. Інтервал руху 7 хв. Знайти: а) ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки, чекатиме черговий автобус менше двох хвилин; б) ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки, чекатиме черговий автобус не менше трьох хвилин; в) математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення випадкової величини X - часу очікування пасажира.

Рішення. 1. За умовою завдання безперервна випадкова величина X \u003d (час очікування пасажира) рівномірно розподілена між парафіями двох автобусів. Довжина інтервалу розподілу випадкової величини Х дорівнює b-a \u003d 7, де a \u003d 0, b \u003d 7.

2. Час очікування буде менше двох хвилин, якщо випадкова величина X потрапляє в інтервал (5, 7). Ймовірність влучення в заданий інтервал знайдемо за формулою: Р (х 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р (5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Час очікування буде не менше трьох хвилин (тобто від трьох до семи хв.), Якщо випадкова величина Х потрапляє в інтервал (0; 4). Ймовірність влучення в заданий інтервал знайдемо за формулою: Р (х 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р (0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математичне сподівання неперервної, рівномірно розподіленої випадкової величини X - часу очікування пасажира, знайдемо за формулою: М (Х) \u003d (a + b) / 2. М (Х) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.

5. Середнє квадратичне відхилення безперервної, рівномірно розподіленої випадкової величини X - часу очікування пасажира, знайдемо за формулою: σ (X) \u003d √D \u003d (b-a) / 2√3. σ (X) \u003d (7-0) / 2√3 \u003d 7 / 2√3≈2,02.

Завдання 2.

Показовий розподіл задано при x ≥ 0 щільністю f (x) \u003d 5e - 5x. Потрібно: а) записати вираз для функції розподілу; б) знайти ймовірність того, що в результаті випробування X потрапляє в інтервал (1; 4); в) знайти ймовірність того, що в результаті випробування X ≥ 2; г) обчислити M (X), D (X), σ (X).

Рішення. 1. Оскільки за умовою задано показовий розподіл , То з формули щільності розподілу ймовірностей випадкової величини X отримуємо λ \u003d 5. Тоді функція розподілу буде мати вигляд:

2. Імовірність того, що в результаті випробування X потрапляє в інтервал (1; 4) будемо знаходити по формулі:
P (a< X < b) = e −λa − e −λb .
P (1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Імовірність того, що в результаті випробування X ≥ 2 будемо знаходити по формулі: P (a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р (Х≥2) \u003d P (1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Знаходимо для показового розподілу:

• математичне очікування за формулою M (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 0,2;
• дисперсію за формулою D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
• середньоквадратичне відхилення за формулою σ (Х) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 1,2.

За допомогою якого моделюються багато реальні процеси. І самий такий поширений приклад - це графік руху громадського транспорту. Припустимо, що якийсь автобус (Тролейбус / трамвай) ходить з інтервалом в 10 хвилин, і ви в випадковий момент часу підійшли до зупинки. Яка ймовірність того, що автобус підійде протягом 1 хвилини? Очевидно, 1/10-я. А ймовірність того, що доведеться чекати 4-5 хвилин? Теж. А ймовірність того, що автобус доведеться чекати більше 9 хвилин? Одна десята!

Розглянемо деякий кінцевий проміжок, нехай для визначеності це буде відрізок. якщо випадкова величина володіє постійної щільністю розподілу ймовірностей на даному відрізку і нульовий щільністю поза ним, то кажуть, що вона розподілена рівномірно. При цьому функція щільності буде строго певної:

І справді, якщо довжина відрізка (Див. Креслення) становить, то значення неминуче одно - щоб вийшла одинична площа прямокутника, і було дотримано відоме властивість:


Перевіримо його формально:
, Ч.т.п. З ймовірнісної точки зору це означає, що випадкова величина достовірно прийме одне зі значень відрізка ..., ех, стаю потихеньку занудним дідуганом \u003d)

Суть рівномірності полягає в тому, що якою б внутрішній проміжок фіксованої довжини ми ні розглянули (Згадуємо «автобусні» хвилини) - ймовірність того, що випадкова величина прийме значення з цього проміжку буде однією і тією ж. На кресленні я заштрихував трієчку таких ймовірностей - ще раз загострюю увагу, що вони визначаються площами, А не значеннями функції!

Розглянемо типове завдання:

приклад 1

Безперервна випадкова величина задана своєю щільністю розподілу:

Знайти константу, обчислити і скласти функцію розподілу. Побудувати графіки. знайти

Іншими словами, все, про що тільки можна було мріяти :)

Рішення: Так як на інтервалі (Кінцевому проміжку) , То випадкова величина має рівномірний розподіл, і значення «це» можна відшукати по прямій формулою . Але краще загальним способом - за допомогою властивості:

... чому краще? Щоб не було зайвих питань;)

Таким чином, функція щільності:

Виконаємо креслення. значення неможливі , І тому жирні точки ставляться внизу:


Як експрес-перевірки обчислимо площу прямокутника:
, Ч.т.п.

знайдемо математичне очікування, І, напевно, ви вже здогадуєтеся, чому воно дорівнює. Згадуємо «10-хвилинний» автобус: якщо випадковим чином підходити до зупинки багато-багато днів упаси, то в середньому його доведеться чекати 5 хвилин.

Так, саме так - матожіданіє має перебувати рівно посередині «подієвого» проміжку:
, Як і передбачалося.

Дисперсію обчислимо по формулою . І ось тут потрібне око та око при обчисленні інтеграла:

Таким чином, дисперсія:

складемо функцію розподілу . Тут нічого нового:

1) якщо, то і ;

2) якщо, то і:

3) і, нарешті, при , Тому:

В результаті:

Виконаємо креслення:


На «живому» проміжку функція розподілу росте лінійно, І це ще одна ознака, що перед нами рівномірно розподілена випадкова величина. Ну, ще б пак, адже похідна лінійної функції - є константа.

Необхідну ймовірність можна обчислити двома способами, за допомогою знайденої функції розподілу:

або за допомогою певного інтеграла від щільності:

Кому як подобається.

І тут ще можна записати відповідь: ,
, Графіки побудовані по ходу рішення.

... «можна», тому що за його відсутність зазвичай не карають. Зазвичай;)

Для обчислення та рівномірної випадкової величини існують спеціальні формули, які я пропоную вам вивести самостійно:

приклад 2

Безперервна випадкова величина задана щільністю .

Обчислити математичне сподівання і дисперсію. Результати максимально спростити (формули скороченого множення в допомогу).

Отримані формули зручно використовувати для перевірки, зокрема, перевірте тільки що прорешать завдання, підставивши в них конкретні значення «а» і «б». Короткий рішення внизу сторінки.

І на закінчення уроку ми розберемо парочку «текстових» завдань:

приклад 3

Ціна поділки шкали вимірювального приладу дорівнює 0,2. Показання приладу округлюються до найближчого цілого ділення. Вважаючи, що похибки заокруглень розподілені рівномірно, знайти ймовірність того, що при черговому вимірі вона не перевершить 0,04.

Для кращого розуміння рішення уявімо, що це який-небудь механічний прилад зі стрілкою, наприклад, ваги з ціною поділки 0,2 кг, і нам належить зважити кота в мішку. Але не з метою з'ясувати його вгодованість - зараз буде важливо, ДЕ між двома сусідніми поділками зупиниться стрілка.

Розглянемо випадкову величину - відстань стрілки від найближчого лівого ділення. Або від найближчого правого, це не принципово.

Складемо функцію щільності розподілу ймовірностей:

1) Так як відстань не може бути негативним, то на інтервалі. Логічно.

2) З умови випливає, що стрілка вагів з однаковою ймовірністюможе зупинитися в будь-якому місці між поділами * , Включаючи самі поділу, і тому на проміжку:

* Це істотна умова. Так, наприклад, при зважуванні шматків вати або кілограмових пачок солі рівномірність буде дотримуватися на куди більш вузьких проміжках.

3) І оскільки відстань від НАЙБЛИЖЧОГО лівого ділення не може бути більше, ніж 0,2, то при теж дорівнює нулю.

Таким чином:

Слід зазначити, що про функції щільності нас ніхто не питав, і її повне побудови я привів виключно в пізнавальних ланцюгах. При чистовому оформленні завдання досить записати лише 2-й пункт.

Тепер відповімо на запитання задачі. Коли похибка округлення до найближчого розподілу не перевершить 0,04? Це станеться тоді, коли стрілка зупиниться не далі ніж на 0,04 від лівого ділення справа або не далі ніж на 0,04 від правого поділу зліва. На кресленні я заштрихував відповідні площі:

Залишилося знайти ці площі за допомогою інтегралів. В принципі, їх можна обчислити і «по-шкільному» (як площі прямокутників), але простота не завжди знаходить розуміння;)

за теоремі додавання ймовірностей несумісних подій:

- ймовірність того, що помилка округлення НЕ перевершить 0,04 (40 грам для нашого прикладу)

Легко зрозуміти, що максимально можлива похибка округлення становить 0,1 (100 грам) і тому ймовірність того, що помилка округлення НЕ перевершить 0,1 дорівнює одиниці. І з цього, до речі, постає інше, більш легкий спосіб вирішення, в якому потрібно розглянути випадкову величину - похибка округлення до найближчого ділення. Але перший спосіб мені прийшов в голову першим :)

відповідь: 0,4

І ще один момент по завданню. В умови може йтися про погрішності нЕ заокруглень, А про випадкових погрішності самих вимірювань, Які, як правило (але не завжди), Розподілені за нормальним законом. Таким чином, всього лише одне слово може в корені змінити рішення! Будьте напоготові і вникати в сенс завдань!

І якщо все йде по колу, то ноги нас приносять на ту ж зупинку:

приклад 4

Автобуси деякого маршруту йдуть строго за розкладом і інтервалом 7 хвилин. Скласти функцію щільності випадкової величини - часу очікуванні чергового автобуса пасажиром, який навмання підійшов до зупинки. Знайти ймовірність того, що він буде чекати автобус не більше трьох хвилин. Знайти функцію розподілу і пояснити її змістовний сенс.

Приклади законів розподілу неперервних випадкових величин.

Безперервна випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу на відрізку, якщо її щільність ймовірності постійна на цьому відрізку і дорівнює нулю поза ним.

Щільність розподілу ймовірності рівномірно розподіленої випадкової величини має вигляд:

Мал. 1. Графік щільності рівномірного розподілу

Функція розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини має вигляд:

З рівномірним законом розподілу мають справу, коли за умовами випробування або досвіду вивчають випадкову величину Х, яка приймає значення в кінцевому проміжку і все значення з цього проміжку рівноможливими, тобто жодне зі значень не має переваг перед іншими.

наприклад:

Час очікування на зупинці автобуса - випадкова величина Х - рівномірно розподілена на відрізку, де т - інтервал руху між автобусами;

Округлення чисел, при округленні до цілих чисел помилка округлення це різниця між початковим і округленим значенням, і це величина рівномірно розподілена на полуінтервале.

Числові характеристики рівномірно-розподіленої випадкової величини:

2) Дисперсія

Приклад 1:Інтервал руху автобуса 20 хвилин. Яка ймовірність того, що пасажир на зупинці чекатиме автобус не більше 6 хвилин?

Рішення:Нехай випадкова величина Х - час очікування автобуса, вона рівномірно розподілена на відрізку.

За умовою завдання параметри рівномірного розподілу величини Х:

За визначенням рівномірного розподілу відповідно до формули (2) функція розподілу величини Х матиме вигляд:

Шукану ймовірність обчислимо за формулою

відповідь:Імовірність того, що пасажир буде автобус не більше 6 хвилин дорівнює 0,3.

Приклад 2:Випадкова величина Х має рівномірний розподіл на відрізку. Записати щільність розподілу величини Х.

Рішення:

За визначенням рівномірного розподілу відповідно до формули (1) щільність розподілу величини Х матиме вигляд:

відповідь:.

Приклад 3:Випадкова величина Х має рівномірний розподіл на відрізку. Записати функцію розподілу величини Х.

Рішення:Оскільки випадкова величина Х - рівномірно розподілена на відрізку, то за умовою задачі параметри розподілу величини Х:

За визначенням рівномірного розподілу відповідно до формули (2) щільність розподілу величини Х матиме вигляд:

Приклад 4:Випадкова величина Х має рівномірний розподіл на відрізку. Знайти числові характеристики величини Х.

Рішення:Оскільки випадкова величина Х - рівномірно розподілена на відрізку, то за умовою задачі параметри розподілу величини Х:

За визначенням рівномірного розподілу відповідно до формулами (3), (4) і (5) числові характеристики величини Х будуть наступні:

1) Математичне сподівання

2) Дисперсія

3) Середнє квадратичне відхилення

відповідь:, ,

Безперервна випадкова величина X має рівномірний розподіл на відрізку [а, Ь], якщо на цьому відрізку щільність розподілу постійна, а поза ним - дорівнює 0.

Крива рівномірного розподілу показана на рис. 3.13.

Мал. 3.13.

значення / (Х) в крайніх точках а і Ь ділянки (а, Ь) не вказуються, тому що ймовірність попадання в будь-яку з цих точок для неперервної випадкової величини X дорівнює 0.

Математичне сподівання випадкової величини X, що має рівномірний розподіл на ділянці [а, й], / «\u003d (а + Ь) / 2. Дисперсія обчислюється за формулою D \u003d (Т- а) 2/12, звідси ст \u003d (Ь - а) / 3,464.

Моделювання випадкових величин. Для моделювання випадкової величини необхідно знати її закон розподілу. Найбільш загальним способом отримання послідовності випадкових чисел, розподілених за довільним законом, є спосіб, в основі якого лежить їх формування з вихідної послідовності випадкових чисел, розподілених в інтервалі (0; 1) по рівномірному закону.

рівномірно розподілені в інтервалі (0; 1) послідовності випадкових чисел можна отримати трьома способами:

• по спеціально підготовленим таблицями випадкових чисел;
• із застосуванням фізичних генераторів випадкових чисел (наприклад, киданням монети);
• алгоритмическим методом.

Для таких чисел величина математичного очікування повинна бути дорівнює 0,5, а дисперсія - 1/12. Якщо необхідно, щоб випадкове число X знаходилося в інтервалі ( а; Ь), відмінному від (0; 1), потрібно скористатися формулою Х \u003d а + (Т- а) г, де г - випадкове число з інтервалу (0; 1).

У зв'язку з тим, що практично всі моделі реалізуються на комп'ютері, майже завжди для отримання випадкових чисел використовують вбудований в ЕОМ алгоритмічний генератор (ГВЧ), хоча не складає проблем використовувати і таблиці, попередньо перекладені в електронний вигляд. Слід враховувати, що алгоритмическим методом ми завжди отримуємо псевдовипадкові числа, так як кожне наступне сгенерированное число залежить від попереднього.

На практиці завжди необхідно отримати випадкові числа, розподілені по заданому закону розподілу. Для цього використовуються найрізноманітніші методи. Якщо відомо аналітичний вираз для закону розподілу F, то можна використовувати метод обернених функцій.

Досить розіграти випадкове число, рівномірно розподілене в інтервалі від 0 до 1. Оскільки функція F теж змінюється в даному інтервалі, то випадкове число Xможна визначити взяттям зворотного функції за графіком або аналітично: х \u003d F "(Г). Тут г - число, що генерується ГСЧ в інтервалі від 0 до 1; x t - згенерувала в результаті випадкова величина. Графічно суть методу зображена на рис. 3.14.

Мал. 3.14. Ілюстрація методу зворотного функції для генерації випадкових подій X, Значення яких розподілені безперервно. На малюнку показані графіки щільності ймовірності та інтегральної щільності ймовірності від х

Розглянемо як приклад експонентний закон розподілу. Функція розподілу цього закону має вигляд F (x) \u003d 1 -ехр (-'г). Так як г і F в даному методі передбачаються аналогічними і розташовані в одному інтервалі, то, замінюючи F на випадкове число г, маємо г \u003d 1 - ехр (-'г). Висловлюючи шукану величину х з цього виразу (т. е. звертаючи функцію ехр ()), отримуємо х \u003d - / Х? 1п (1 -г). Так як в статистичному сенсі (1 - г) і г - це одне і те ж, то х \u003d -Ух 1п (г).

Алгоритми моделювання деяких поширених законів розподілу неперервних випадкових величин наведені в табл. 3.10.

Наприклад, необхідно змоделювати час навантаження, яке розподілено по нормальному закону. Відомо, що середня тривалість навантаження складає 35 хв, а середньоквадратичне відхилення реального часу від середньої величини становить 10 хв. Тобто за умовами завдання т х = 35, з х \u003d 10. Тоді значення випадкової величини буде розраховуватися за формулою R \u003d? Г, де м - випадкові числа з ГСЧ в діапазоні, п \u003d 12. Число 12 вибрано як чимала на підставі центральної граничної теореми теорії ймовірностей (теореми Ляпунова): «Для великого числа N випадкових величин Xз будь-яким законом розподілу їх сума є випадкове число з нормальним законом розподілу ». Тоді випадкове значення X \u003d Про (7? - л / 2) + т х = 10(7? -3) + 35.

Таблиця 3.10

Алгоритми моделювання випадкових величин

Моделювання випадкової події. Випадкова подія має на увазі, що у деякої події є декілька випадків і який з результатів відбудеться в черговий раз, визначається тільки його ймовірністю. Тобто результат вибирається випадково з урахуванням його ймовірності. Наприклад, припустимо, що нам відома ймовірність випуску бракованих виробів Р \u003d 0,1. Змоделювати випадання цієї події можна, розігравши рівномірно розподілене випадкове число з діапазону від 0 до 1 і встановивши, в якій з двох інтервалів (від 0 до 0,1 або від 0,1 до 1) воно потрапило (рис. 3.15). Якщо число потрапляє в діапазон (0; 0,1), то випущений шлюб, т. Е. Подія відбулася, інакше - подія не відбулося (випущено кондиційне виріб). При значному числі експериментів частота потрапляння чисел в інтервал від 0 до 0,1 наближатиметься до ймовірності Р \u003d 0,1, а частота потрапляння чисел в інтервал від 0,1 до 1 наближатиметься до Р. \u003d 0,9.

Мал. 3.15.

події називаються несумісними, Якщо ймовірність появи цих подій одночасно дорівнює 0. Звідси випливає, що сумарна ймовірність групи несумісних подій дорівнює 1. Позначимо через a r я, a n події, а через Р] 9 Р 2, ..., Р п - ймовірності появи окремих подій. Так як події несумісні, то сума ймовірностей їх випадання дорівнює 1: Р х + Р 2 + ... + P n \u003d 1. Знову використовуємо для імітації випадання одного з подій генератор випадкових чисел, значення яких також завжди знаходиться в діапазоні від 0 до 1. Відкладемо на одиничному інтервалі відрізки P r P v ..., Р п. Зрозуміло, що в сумі відрізки складуть точно одиничний інтервал. Точка, відповідна числу, що випало з генератора випадкових чисел на цьому інтервалі, вкаже на один з відрізків. Відповідно в великі відрізки випадкові числа будуть потрапляти частіше (ймовірність появи цих подій більше!), В менші відрізки - рідше (рис. 3.16).

При необхідності моделювання спільних подій їх необхідно привести до несумісною. Наприклад, щоб змоделювати поява подій, для яких задані ймовірності Р (а () = 0,7; Р (а 2) \u003d 0,5 і Р (а] 9 а 2) \u003d 0,4, визначимо всі можливі несумісні наслідки появи подій а г а 2 і їх одночасної появи:

• 1. Одночасна поява двох подій Р (Ь () \u003d Р (а Л , а 2) \u003d 0,4.
• 2. Поява події а] Р (Ь 2) \u003d Р (а у) - Р (а ( , а 2) \u003d 0,7 - 0,4 = 0,3.
• 3. Поява події а 2 Р (Ь 3) = Р (а 2) - Р (а г а 2) \u003d 0,5 - 0,4 = 0,1.
• 4. непоявленія жодної події P (b 4) \u003d 1 - (Р (Ь) + Р (Ь 2) + + Р (Ь 3)) =0,2.

Тепер ймовірності появи несумісних подій b необхідно представити на числової осі у вигляді відрізків. Отримуючи за допомогою ГВЧ числа, визначаємо їх приналежність того чи іншого інтервалу і отримуємо реалізацію спільних подій а.

Мал. 3.16.

Часто на практиці зустрічаються системи випадкових величин, Т. Е. Такі дві (і більше) різні випадкові величини X, У (Та інші), які залежать один від одного. Наприклад, якщо відбулася подія Xі прийняло якесь випадкове значення, то подія У відбувається хоча і випадково, але з урахуванням того, що X вже прийняло якесь значення.

Наприклад, якщо в якості X випало велике число, то в якості У має випасти теж досить велика кількість (якщо кореляція позитивна, і навпаки, якщо негативна). На транспорті такі залежності зустрічаються досить часто. Велика тривалість затримок вірогідніша на маршрутах суттєвої протяжності і т. Д.

Якщо випадкові величини залежні, то

f (x) \u003d f (x l) f (x 2 x l) f (x 3 x 2, x l) - ... - / (xjx, r X ", ..., x 2, x t),де x. | x._ v x ( - випадкові залежні величини: випадання х. за умови, що випали х._ (9 х._ (, ..., *,) - щільність умовної

ймовірності появи х.\u003e якщо випали х._ (9 ..., х (; f (Х) - ймовірність випадання вектора х випадкових залежних величин.

коефіцієнт кореляції q показує, наскільки тісно пов'язані події Хі У. Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює одиниці, то залежність подій Хі У взаємно однозначна: одного значення Xвідповідає одне значення У (Рис. 3.17, а). при q, Близьких до одиниці, виникає картина, показана на рис. 3.17, б, т. Е. Одному значенню Xможуть відповідати вже кілька значень У (точніше, одне з декількох значень У, яке визначається випадковим чином); т. е. в цю подію X і Y менш корельовані, менш залежні один від одного.

Мал. 3.17. Вид залежності двох випадкових величин при позитивному коефіцієнті кореляції: a - при q \u003d 1; б - при 0 q при q, близькому до Про

І, нарешті, коли коефіцієнт кореляції наближається до нуля, виникає ситуація, при якій будь-якому значенню X може відповідати будь-яке значення У, т. е. події X і Y не залежить або майже не залежать один від одного, не корелюють один з одним (рис. 3.17, в).

Для прикладу візьмемо нормальний розподіл, як найпоширеніше. Математичне сподівання вказує на найімовірніші події, тут число подій більше і графік подій гущі. Позитивна кореляція вказує, що великі випадкові величини X викликають до генерації великі Y. Нульова і близька до нуля кореляція показує, що величина випадкової величини X ніяк не пов'язана з певним значенням випадкової величини Y. Легко зрозуміти сказане, якщо уявити собі спочатку розподілу f (X)і / (У) окремо, а потім зв'язати їх в систему, як це представлено на рис. 3.18.

У розглянутому прикладі Хі У розподілені по нормальному закону з відповідними значеннями т х, а й т у, а ,. Заданий коефіцієнт кореляції двох випадкових подій q, Т. Е. Випадкові величини X і У залежні один від одного, У не зовсім випадково.

Тоді можливий алгоритм реалізації моделі буде наступним:

1. Розігрується шість випадкових рівномірно розподілених на інтервалі чисел: б р b: , Б я, б 4, Ь 5 , Б 6; знаходиться їх сума S:

S \u003d'Ь. Знаходиться нормально розподілене випадкове число л: за такою формулою: х \u003d а (5 - 6) + т х.

• 2. За формулою т! х = т у + qoJo x (x-т х) знаходиться математичне очікування т у1х (знак у / х означає, що у братиме випадкові значення з урахуванням умови, що * вже прийняв якісь певні значення).
• 3. За формулою \u003d А д / l Ц 2 знаходиться середньоквадратичне відхилення а ..

4. Розігрується 12 випадкових рівномірно розподілених на інтервалі чисел г; знаходиться їх сума до: до \u003d Zr. Знаходиться нормально розподілене випадкове число у за такою формулою: y \u003d ° Jk-6) + m r / x.

Мал. 3.18.

Моделювання потоку подію. Коли подій багато і вони слідують один за одним, то вони утворюють потік. Зауважимо, що події при цьому повинні бути однорідними, тобто. Е. Схожими чимось один на одного. Наприклад, поява водіїв на АЗС, які бажають заправити свій автомобіль. Тобто однорідні події утворюють певний ряд. При цьому вважається, що статистична характеристика цього 146

явища (інтенсивність потоку подій) задана. Інтенсивність потоку подій вказує, скільки в середньому відбувається таких подій за одиницю часу. Але коли саме відбудеться кожне конкретне подія, треба визначити методами моделювання. Важливо, що, коли ми сгенерируем, наприклад, за 200 ч 1000 подій, їх кількість буде дорівнює приблизно величині середньої інтенсивності появи подій 1000/200 \u003d 5 подій в годину. Це є статистичною величиною, що характеризує цей потік в цілому.

Інтенсивність потоку в певному сенсі є математичним очікуванням кількості подій в одиницю часу. Але реально може так виявитися, що в одну годину з'явиться 4 події, в іншій - 6, хоча в середньому виходить 5 подій в годину, тому однієї величини для характеристики потоку недостатньо. Другий величиною, що характеризує, наскільки великий розкид подій щодо математичного очікування, є, як і раніше, дисперсія. Саме ця величина визначає випадковість появи події, слабку передбачуваність моменту його появи.

Випадкові потоки бувають:

• ординарні - ймовірність одночасної появи двох і більше подій дорівнює нулю;
• стаціонарні - частота появи подій X постійна;
• без післядії - ймовірність появи випадкової події не залежить від моменту скоєння попередніх подій.

При моделюванні СМО в переважній кількості випадків розглядається пуассоновский (найпростіший) потік - ординарний потік без післядії, в якому ймовірність надходження в проміжок часу t рівно т вимог задається формулою Пуассона:

Пуассонівський потік може бути стаціонарним, якщо А. (/) \u003d Const (/), або нестаціонарним в іншому випадку.

У пуассоновском потоці ймовірність того, що жодна подія не настане,

На рис. 3.19 приведена залежність Р від часу. Очевидно, що чим більше час спостереження, тим ймовірність, що жодна подія не відбудеться, менше. Крім того, чим більше значення X, тим крутіше йде графік, т. е. швидше убуває ймовірність. Це відповідає тому, що якщо інтенсивність появи подій велика, то ймовірність того, що подія не відбудеться, швидко зменшується з часом спостереження.

Мал. 3.19.

Імовірність появи хоча б однієї події Р \u003d 1 - Схр (-Ад), так як Р + Р \u003d. Очевидно, що ймовірність появи хоча б однієї події прагне з часом до одиниці, т. Е. При відповідному спостереженні подія обов'язково рано чи пізно станеться. За змістом Р одно г, тому, висловлюючи / з формули визначення Р, остаточно для визначення інтервалів між двома випадковими подіями маємо

де г- рівномірно розподілене від 0 до 1 випадкове число, яке отримують з допомогою ГВЧ; t - інтервал між випадковими подіями (випадкова величина).

Як приклад розглянемо потік автомобілів, які прибувають на термінал. Автомобілі приходять випадковим чином - в середньому 8 за добу (інтенсивність потоку X \u003d 8/24 авт. / Год). Необхідно смо- 148

деліровать цей процес протягом Т \u003d 100 ч. Середній інтервал часу між автомобілями / \u003d 1 / Л. \u003d 24/8 \u003d 3 ч.

На рис. 3.20 показаний результат моделювання - моменти часу, коли автомобілі приходили на термінал. Як видно, всього за період Т \u003d 100 термінал обробив N \u003d 33 автомобіля. Якщо запустити моделювання знову, то N може виявитися рівним, наприклад, 34, 35 або 32. Але в середньому за До прогонів алгоритму N дорівнюватиме 33,333.

Мал. 3.20.

Якщо відомо, що потік не є ординарним, то необхідно моделювати крім моменту виникнення події ще й число подій, яке могло з'явитися в цей момент. Наприклад, автомобілі на термінал прибувають в випадкові моменти часу (ординарний потік автомобілів). Але при цьому в автомобілях може бути різний (випадкове) кількість вантажу. У цьому випадку про потік вантажу говорять як про потоці неординарних подій.

Розглянемо задачу. Необхідно визначити час простою по- 1рузочного обладнання на терміналі, якщо автомобілями на термінал доставляються контейнери АУК-1,25. Потік автомобілів підкоряється закону Пуассона, середній інтервал між автомобілями дорівнює 0,5 ЧД \u003d 1 / 0,5 \u003d 2 авт. / Год. Кількість контейнерів в автомобілі варіюється по нормальному закону із середнім значенням т \u003d 6 і а \u003d 2.При цьому мінімально може бути 2, а максимально - 10 контейнерів. Час розвантаження одного контейнера становить 4 хв і 6 хв необхідно на технологічні операції. Алгоритм рішення цієї задачі, побудований за принципом послідовної проводки кожної заявки, наведено на рис. 3.21.

Після введення вихідних даних запускається цикл моделювання до досягнення заданого модельного часу. За допомогою ГВЧ отримуємо випадкове число, потім визначаємо інтервал часу до приходу автомобіля. Відзначаємо отриманий інтервал на осі часу і моделюємо кількість контейнерів в кузові прибулого автомобіля.

Перевіряємо отримане число на допустимий інтервал. Далі обчислюється час розвантаження і підсумовується в лічильнику загального часу роботи навантажувального обладнання. Перевіряється умова: якщо інтервал приходу автомобіля більше часу розвантаження, то різниця між ними підсумовуємо в лічильнику часу простою обладнання.

Мал. 3.21.

Типовим прикладом для СМО може бути робота пункту навантаження з декількома постами, як це показано на рис. 3.22.

Мал. 3.22.

Для наочності процесу моделювання побудуємо тимчасову діаграму роботи СМО, відображаючи на кожній лінійці (вісь часу /) стан окремого елемента системи (рис. 3.23). Тимчасових лінійок проводиться стільки, скільки є різних об'єктів в СМО (потоків). У нашому прикладі їх 7: потік заявок, потік очікування на першому місці в черзі, потік очікування на другому місці в черзі, потік обслуговування в першому каналі, потік обслуговування в другому каналі, потік обслужених системою заявок, потік відмовлених заявок. Для демонстрації процесу відмови в обслуговуванні домовимося, що в черзі на завантаження можуть перебувати тільки два автомобіля. Якщо їх більше, то вони направляються на інший пункт навантаження.

Змодельовані випадкові моменти надходження заявок на обслуговування автомобілів відображені на першій лінійці. Береться перша заявка і, так як в цей момент канали вільні, встановлюється на обслуговування в перший канал. заявка 1 переноситься на лінійку першого каналу. Час обслуговування в каналі теж випадкове. Знаходимо на діаграмі момент закінчення обслуговування, відкладаючи сгенерированное час обслуговування від моменту початку обслугову-

ня, і опускаємо заявку на лінійку «обслужених». Заявка пройшла в СМО весь шлях. Тепер можна відповідно до принципу послідовної проводки заявок так само змоделювати шлях другий заявки.

Мал. 3.23.

Якщо в деякий момент виявиться, що обидва канали зайняті, то слід встановити заявку в чергу. На рис. 3.23 це заявка 3. Зауважимо, що за умовами завдання в черзі, на відміну від каналів, заявки знаходяться не випадкове час, а очікують, коли звільниться якийсь із каналів. Після звільнення каналу заявка піднімається на лінійку відповідного каналу і там організовується її обслуговування.

Якщо вага місця в черзі в момент, коли прийде чергова заявка, будуть зайняті, то заявку слід відправити на лінійку «Відмовлені». На рис. 3.23 це заявка 6.

Процедуру імітації обслуговування заявок продовжують деякий час Т. Чим більше цей час, тим точніше в подальшому будуть результати моделювання. Реально для простих систем вибирають Т, Рівне 50-100 год і більше, хоча іноді краще міряти цю величину кількістю розглянутих заявок.

Аналіз СМО проведемо на вже розглянутому прикладі.

Спочатку потрібно дочекатися усталеного режиму. Відкидаємо перші чотири заявки як нехарактерні, що протікають під час процесу встановлення роботи системи ( «час розігріву моделі»). Вимірюємо час спостереження, припустимо, що в нашому прикладі Г \u003d 5 ч. Підраховуємо з діаграми кількість обслужених заявок N o6c, час простою і інші величини. В результаті можемо обчислити показники, що характеризують якість роботи СМО:

• 1. Імовірність обслуговування Р \u003d N, / N \u003d 5/7 \u003d 0,714. Для розрахунку ймовірності обслуговування заявки в системі досить розділити число заявок, яке вдалося обслужити за час Т (Див. Лінійку «обслужених»), Л / о6с на число заявок N, які надійшли за его же час.
• 2. Пропускна здатність системи А \u003d NJT h \u003d 7/5 \u003d 1,4 авт. / Год. Для розрахунку пропускної здатності системи досить розділити число обслужених заявок N o6c тимчасово Т, за яке сталося це обслуговування.
• 3. Імовірність відмови Р \u003d N / N \u003d 3/7 \u003d 0,43. Для розрахунку всро- ятность відмови заявці в обслуговуванні досить розділити число заявок N , Яким відмовили за час Т (Див. Лінійку «Відмовлені»), па число заявок N, які хотіли обслужити за цей же час, т. е. надійшли в систему. Зверніть увагу, що сума Р оп + Р п (до в теорії повинна бути дорівнює 1. Насправді експериментально вийшло, що Р + Р. \u003d 0,714 + 0,43 \u003d 1.144. Ця неточність пояснюється тим, що за час спостереження Т накопичена недостатня статистика для отримання точної відповіді. Похибка цього показника зараз становить 14%.
• 4. Імовірність зайнятості одного каналу Р \u003d T r JT H \u003d 0,05 / 5 \u003d 0,01, де Т - час зайнятості тільки одного каналу (першого або другого). Вимірюванням підлягають тимчасові відрізки, на яких відбуваються певні події. Наприклад, на діаграмі шукаються такі відрізки, коли зайнятий або перший, або другий канал. В даному прикладі є один такий відрізок в кінці діаграми довжиною 0,05 ч.
• 5. Імовірність зайнятості двох каналів Р \u003d Т / Т \u003d 4,95 / 5 \u003d 0,99. На діаграмі шукаються такі відрізки, під час яких одночасно зайняті і перший, і другий канал. В даному прикладі таких відрізків чотири, їх сума дорівнює 4,95 год.
• 6. Середня кількість зайнятих каналів: / V к - 0 Р 0 + Р Х + 2Р, \u003d \u003d 0,01 +2? 0,99 \u003d 1,99. Щоб підрахувати, скільки каналів зайнято в системі в середньому, досить знати частку (ймовірність зайнятості одного каналу) і помножити на вагу цієї частки (один канал), знати частку (ймовірність зайнятості двох каналів) і помножити на вагу цієї частки (два канали) і т. д. Отримана цифра 1,99 говорить про те, що з двох можливих каналів в середньому завантажено 1,99 каналу. Це високий показник завантаження, 99,5%, система добре використовує ресурси.
• 7. Імовірність простою хоча б одного каналу Р *, \u003d Г простий, / Г \u003d \u003d 0,05 / 5 \u003d 0,01.
• 8. Імовірність простою двох каналів одночасно: Р \u003d \u003d Т JT \u003d 0.

• 9. Імовірність простою всієї системи Р * \u003d Т / Т \u003d 0.
• 10. Середня кількість заявок в черзі / V з \u003d 0 P (h + 1 Р і + 2Р ь \u003d \u003d 0,34 + 2 0,64 \u003d 1,62 авт. Щоб визначити середню кількість заявок в черзі, треба визначити окремо ймовірність того, що в черзі буде одна заявка Р, ймовірність того, в черзі стоятимуть дві заявки Р 2з, і т. Д., І знову з відповідними вагами їх скласти.
• 11. Імовірність того, що в черзі буде одна заявка, Р і \u003d = TJT n \u003d 1,7 / 5 \u003d 0,34 (всього на діаграмі чотири таких відрізка, в сумі дають 1,7 ч).
• 12. Імовірність того, в черзі стоятимуть одночасно дві заявки, Р ь \u003d Г 2з / Г \u003d 3,2 / 5 \u003d 0,64 (всього на діаграмі три таких відрізка, в сумі дають 3,25 ч).
• 13. Середній час очікування заявки в черзі Г пик \u003d 1,7 / 4 \u003d \u003d 0,425 ч. Потрібно скласти всі тимчасові інтервали, протягом яких будь-яка заявка перебувала в черзі, і розділити на кількість заявок. На тимчасовій діаграмі таких заявок 4.
• 14. Середній час обслуговування заявки 7 'сробсл \u003d 8/5 \u003d 1,6 ч. Скласти все тимчасові інтервали, протягом яких будь-яка заявка перебувала на обслуговуванні в якому-небудь каналі, і розділити на кількість заявок.
• 15. Середній час перебування заявки в системі: Т = Т +

г г пор. заспівати пор. ож

Якщо точність не є задовільною, то слід збільшити час експерименту і тим самим поліпшити статистику. Можна зробити і по-іншому, якщо кілька разів запустити експеримент 154

тимчасово Т і згодом усереднити значення цих експериментів, а після цього знову перевірити результати на критерій точності. Цю процедуру слід повторювати до тих пір, поки нс буде досягнута необхідна точність.

Аналіз результатів моделювання

Таблиця 3.11

показник	значення показника	Інтереси власника СМО	інтереси клієнта
імовірність обслуговування		Імовірність обслуговування мала, багато клієнтів йде з системи без обслуговування Рекомендація: збільшити ймовірність обслуговування	Імовірність обслуговування мала, кожен третій клієнт хоче, але не може обслужити Рекомендація: збільшити ймовірність обслуговування
Середня кількість заявок в черзі			Практично завжди перед обслуговуванням автомобіль стоїть у черзі Рекомендація: збільшити число місць в черзі, збільшити пропускну здатність
		Збільшити пропускну здатність збільшити кількість місць у черзі, щоб не втрачати потенційних клієнтів	Клієнти зацікавлені в значному збільшенні пропускної спроможності для зменшення часу очікування та зменшення відмов

Для прийняття рішення про виконання конкретних заходів необхідно провести аналіз чутливості моделі. мета аналізу чутливості моделі полягає у визначенні можливих відхилень вихідних характеристик внаслідок змін вхідних параметрів.

Методи оцінки чутливості імітаційної моделі аналогічні методам визначення чутливості будь-якої системи. Якщо вихідна характеристика моделі Р залежить від параметрів, пов'язаних з змінними величинами Р =/(Р г р 2, р), то зміни цих

параметрів Д р. (/ \u003d 1, ..г) викликають зміну АР.

У цьому випадку аналіз чутливості моделі зводиться до дослідження функції чутливості ін /ін.

Як приклад аналізу чутливості імітаційної моделі розглянемо вплив зміни варійованих параметрів надійності транспортного засобу на ефективність експлуатації. В якості цільової функції використовуємо показник приведених витрат З ір. Для аналізу чутливості використовуємо дані по експлуатації автопоїзда КамАЗ-5410 в міських умовах. Межі зміни параметрів р. для визначення чутливості моделі досить визначити експертним шляхом (табл. 3.12).

Для проведення розрахунків за моделлю обрана базова точка, в якій варійовані параметри мають значення, відповідні нормативам. Параметр тривалості простою при виконанні технічного обслуговування і ремонту в днях замінений на питомий показник - простий в днях на тисячу кілометрів Н.

Результати розрахунку наведені на рис. 3.24. Базова точка знаходиться в місці перетину всіх кривих. Наведені на рис. 3.24 Залежно дозволяють встановити ступінь впливу кожного з розглянутих параметрів на величину зміни З пр. У той же час використання натуральних значень аналізованих величин не дозволяє встановити порівняльну ступінь впливу кожного параметра на 3, гак як ці параметри мають різні одиниці виміру. Для подолання цього виберемо форму інтерпретації результатів розрахунків в відносних одиницях. Для цього базову точку необхідно перенести в початок координат, а значення змінних параметрів і відносного зміни вихідних характеристик моделі висловити у відсотках. Результати проведених перетворень представлені на рис. 3.25.

Таблиця 3.12

значення варійованих параметрів

Мал. 3.24.

Мал. 3.25. Вплив відносного зміни варійованих параметрів на ступінь зміни З пр

Зміна варійованих параметрів щодо базового значення представлено на одній осі. Як видно з рис. 3.25, збільшення значення кожного параметра поблизу базової точки на 50% веде до збільшення З пр на 9% від зростання Ц а, більш ніж на 1,5% від С р, менш ніж на 0,5% від Н і до зменшення 3 майже на 4% від збільшення L . Умень- шення на 25 % Ь кр і Д рг веде до збільшення З пр відповідно більш ніж на 6%. Зменшення на таку ж величину параметрів Н т0, З тр і Ц а веде до зменшення З пр відповідно на 0,2, 0,8 і 4,5%.

Наведені залежності дають уявлення про вплив окремо взятого параметра і можуть бути використані при плануванні роботи транспортної системи. За інтенсивністю впливу на Зпр розглянуті параметри можна розставити в такому порядку: Д, II, L, С 9 Н .

'А 7 к.р 7 т.р 7 т.о

В процесі експлуатації зміна значення одного показника тягне за собою зміну значень інших показників, причому відносна зміна кожного з варійованих параметрів на одну і ту ж величину в загальному випадку має під собою нерівнозначних фізичну основу. Необхідно відносна зміна значень варійованих параметрів у відсотках по осі абсцис замінити параметром, який може служити єдиною мірою для оцінки ступеня зміни кожного параметра. Можна припустити, що в кожен момент часу експлуатації транспортного засобу значення кожного параметра має однаковий економічну вагу по відношенню до значень інших змінних параметрів, т. Е. З економічної точки зору надійність транспортного засобу в кожен момент часу надає рівноважний вплив на всі пов'язані з нею параметри . Тоді необхідним економічним еквівалентом буде час або, що більш зручно, рік експлуатації.

На рис. 3.26 представлені залежності, побудовані відповідно до вищенаведених вимог. За базове значення З пр прийнято значення на першому році експлуатації транспортного засобу. Величини змінних параметрів для кожного року експлуатації визначалися за результатами спостережень.

Мал. 3.26.

В процесі експлуатації збільшення З пр протягом перших трьох років в першу чергу обумовлено зростанням значень H jo, а потім, в розглянутих умовах експлуатації, основну роль в зниженні ефективності використання ТЗ грає збільшення значень С тр. Для виявлення впливу величини L Kp, в розрахунках його значення прирівнювалося до загального пробігу ТЗ з початку експлуатації. Вид функції 3 \u003d F (L) Показує, що інтенсивність зниження 3 зі збільшенням

пр J v к.р " 7 np J

1 до р істотно зменшується.

В результаті аналізу чутливості моделі можна зрозуміти, на які фактори необхідно впливати для зміни цільової функції. Для зміни факторів потрібно докласти керуючі зусилля, що пов'язано з відповідними витратами. Сума витрат не може бути нескінченна, як і будь-які ресурси, ці витрати в реальності обмежені. Отже, необхідно зрозуміти, в якому обсязі виділення коштів буде ефективно. Якщо в більшості випадків витрати зі збільшенням керуючого впливу ростуть лінійно, то ефективність системи швидко росте тільки до якоїсь межі, коли навіть суттєві витрати вже не дають такої ж віддачі. Наприклад, неможливо безмежно збільшувати потужність обслуговуючих пристроїв через обмеження але площі або по потенційному кількістю обслуговуваних автомобілів і т. Д.

Якщо зіставити збільшення витрат і показник ефективності системи в одних одиницях, то, як правило, графічно це буде виглядати так, як представлено на рис. 3.27.

Мал. 3.27.

З рис. 3.27 видно, що при призначенні ціни С, за одиницю витрат Z і ціни С, за одиницю показника Р ці криві можна скласти. Криві складають, якщо їх потрібно одночасно мінімізувати або максимізувати. Якщо одна крива підлягає максимізації, а інша - мінімізації, то слід знайти їх різницю, наприклад, по точкам. Тоді результуюча крива (рис. 3.28), що враховує і ефект від управління, і витрати на це, буде мати екстремум. Значення параметра / ?, що доставляє екстремум функції, і є рішення задачі синтезу.

Мал. 3.28.

щоб по.

Крім управління R і показника Р в системах діє обурення. обурення D \u003d (d v d r ...) - це вхідний вплив, яке на відміну від керуючого параметра не залежить від волі власника системи (рис. 3.29). Наприклад, низькі температури на вулиці, конкуренція, на жаль, знижують потік клієнтів; поломки обладнання знижують продуктивність системи. Управляти цими величинами безпосередньо власник системи не може. Зазвичай обурення діє «на зло» власнику, знижуючи ефект Р від керуючих зусиль R. Це відбувається тому, що, в загальному випадку, система створюється для досягнення цілей, недосяжних самих по собі в природі. Людина, організовуючи систему, завжди сподівається за допомогою її досягти певної мети Р. На це він витрачає зусилля R. У цьому контексті можна сказати, що система - це організація доступних людині, вивчених їм природних компонентів для досягнення певної нової мети, недосяжною раніше іншими способами.

Мал. 3.29.

Якщо ми знімемо залежність показника Р від управління R ще раз, але в умовах з'явився обурення Д то, можливо, характер кривої зміниться. Швидше за все, показник буде при однакових значеннях управлінь перебувати нижче, так як обурення носить негативний характер, знижуючи показники системи. Система, надана сама собі, без зусиль керуючого характеру, перестає забезпечувати мета, для досягнення якої вона була створена. Якщо, як і раніше, побудувати залежність витрат, співвіднести її із залежністю показника від параметра управління, то знайдена точка екстремуму зміститься (рис. 3.30) у порівнянні з випадком «обурення \u003d 0» (див. Рис. 3.28). Якщо знову збільшити обурення, то криві зміняться і, як наслідок, знову зміниться становище точки екстремуму.

Графік на рис. 3.30 пов'язує показник Р, управління (ресурс) R і обурення D в складних системах, вказуючи, як найкращим чином діяти керівникові (організації), що приймає рішення в системі. Якщо керуючий вплив буде менше оптимального, то сумарний ефект знизиться, виникне ситуація недоотриманого прибутку. Якщо керуючий вплив буде більше оптимального, то ефект також знизиться, так як заплатити за очеред- 162

ве збільшення керуючих зусиль треба буде за величиною більшою, ніж та, яку ви отримаєте в результаті використання системи.

Мал. 3.30.

Імітаційну модель системи для реального використання необхідно реалізувати на комп'ютері. Це можна створити за допомогою таких засобів:

• універсальної користувальницької програми типу математичного (MATLAB) або табличного процесора (Excel) або СУБД (Access, FoxPro), яка дозволяє створити тільки відносно просту модель і вимагає хоча б початкових навичок програмування;
• універсальної мови програмування (C ++, Java, Basic і т. Д.), Який дозволяє створити модель будь-якої складності; але це дуже трудомісткий процес, що вимагає написання великого обсягу програмного коду і тривалої налагодження;
• спеціалізованої мови імітаційного моделювання, Який має готові шаблони і візуальні засоби програмування, призначені для швидкого створення основи моделі. Один з найбільш відомих - UML (Unified Modeling Language);
• програм імітаційного моделювання, які є найбільш популярним засобом створення імітаційних моделей. Вони дозволяють створювати модель візуально, лише в найбільш складних випадках вдаючись до написання вручну програмного коду для процедур і функцій.

Програми імітаційного моделювання діляться на два типи:

• Універсальні пакети імітаційного моделювання призначені для створення різних моделей і містять набір функцій, за допомогою яких можна змоделювати типові процеси в системах самого різного призначення. Популярними пакетами цього типу є Arena (розробник Rockwell Automation 1 ", США), Extendsim (розробник Imagine That Ink., США), AnyLogic (розробник XJ Technologies, Росія) і багато інших. Практично всі універсальні пакети мають спеціалізовані версії для моделювання конкретних класів об'єктів.
• Предметно-орієнтовані пакети імітаційного моделювання служать для моделювання конкретних типів об'єктів і мають для цього спеціалізований інструментарій у вигляді шаблонів, майстрів для візуального проектування моделі з готових модулів і т. д.

• Звичайно, два випадкових числа не можуть однозначно залежати один від одного, рис. 3.17, апріведен для ясності поняття кореляції. 144
• Техніко-економічний аналіз в дослідженні надійності автомобілів КамАЗ-5410 / Ю. Г. Котиков, І. М. Блянкінштейн, А. Е. Горев, А. Н. Борисенко; Лісі. Л.:, 1983. 12 с.-Деп. в ЦБНТІ Мінавтотрансу РРФСР, № 135ат-Д83.
• http://www.rockwellautomation.com.
• http://www.cxtcndsiin.com.
• http://www.xjtek.com.