Furjė transformacija. Linijinis filtravimas dažnio srityje
Linijinis vaizdo filtravimas gali būti atliekamas tiek erdviniu ir dažnio domene. Tuo pačiu metu, manoma, kad "žemos" erdviniai dažniai atitinka pagrindinį turinį paveikslėlyje - fono ir didelio dydžio objektų, ir "dideli" erdviniai dažniai yra mažų objektų, mažų dalių didelių formų ir triukšmo komponentas.
Tradiciškai, už perėjimą prie erdvinio dažnio ploto, naudojami metodai pagal $ extrit (Fourier transformacija) yra naudojami. Į pastaraisiais metais Metodai, pagrįsti $ "textit (wavelet-transform) $), tampa vis dažniau naudojamas.
Furjė transformacija.
"Fourier Transformation" leidžia jums pateikti beveik bet kokią funkciją ar duomenis, nustatytus tokio derinio forma trigonometrinės funkcijosKaip sinusas ir kosinumas, kuris leidžia nustatyti periodinius duomenis duomenis ir įvertinti jų indėlį į šaltinio duomenų struktūrą arba formos formą. Tradiciškai išskiriamos trys pagrindinės fourier transformacijos formos: "Fourier" integruotas transformavimas, "Fourier" eilutės ir diskretiškos "Fourier Transformation".
"Fourier Integral Transformation" verčia tikrąją funkciją į materialinės funkcijų porą arba vieną išsamią funkciją į kitą.
Tikroji funkcija $ f (x) $ gali būti suskaidoma pagal trigonometrinių funkcijų stačiakampę sistemą, kuri yra atstovaujama kaip
$$ f (x į dešinę) \u003d \\ t "LIMITS_0 ^ ^ INFY" (į kairę (į kairę (į dešinę)) \\ t liko (((2 \\ t omega x) teisinga) D \\ t Omega - \\ t Int \\ t limits_0 ^fty (b lifto (omega (omega)) \\ nuodai \\ valtas ((2 pi omega x) teisinga) d \\ _ omega, $$
kur $ a (omega) $ ir $ B (omega) $ yra vadinama integruota kosine ir sinusu transformuoja:
$$ a lifto (omega į dešinę) \u003d 2 rits _ (- ° _ (+ \\ ĖŽUS) ^ (+ 100 į kairę (x į dešinę)) \\ t liko ((2 pi omega \\ t x) teisinga) dx; \\ quad b \\ t \\ t \\ t \\ t INT \\ t "rits _ (- ° CHTY) ^ (+ \\ ĖŽI) (F (į kairę (x į dešinę))« Nuodėmė ((2 \\ t omega x) teisinga) dx. $$.
"Fourier" serija reiškia periodinę funkciją $ f (x) $ nurodyta $ $ intervale, kaip begalinės eilės ir kosino eilės. Tai yra, periodinė funkcija $ f (x) $ yra suderinta su begaliniu keturkampio koeficientų seka
$$ f (x į dešinę) \u003d \\ frac (a_0) (2) + \\ t limits_ (n \u003d 1) ^ ^fty (a_n) į kairę (((frac ((2 \\ t) (2 \\ t Ba)) \\ t limts_ (n \u003d 1) ^ ^fty (b_n \\ švirkšti į kairę (((2) (2) (ba))), $$
$$ a_n \u003d frac (2) (ba) \\ int \\ t lift (x į kairę (x į dešinę)) \\ t lifto (((FRAC (2 \\ t (2 \\ t) (BA)) DX ; quad b_n \u003d frac (2) (ba) \\ int \\ t lift (x į kairę (x (x į dešinę)) \\ nuodėmės ((FRAC (FRAC ((2 \\ t) (ba)) \\ t . $$.
"Fourier" diskretiškas transformavimas reiškia galutinę realių skaičių seką į galutinę Furjė koeficientų seką.
Leiskite $ ((x_i) į dešinę), i \u003d 0, ldots, n-1 $ - realių skaičių seka - pavyzdžiui, pikselių ryškumo skaičiavimai ant vaizdo eilutės. Ši seka gali būti atstovaujama kaip ribinių rūšių sumas derinys.
$$ x_i \u003d a_0 + \\ t limits_ (n \u003d 1) ^ (n / 2) (a_n) į kairę ((((2 \\ t) ((2 \\ t)) \\ t LIMITS_ (N \u003d 1) ^ (n / 2) (b_n \\ val kairė (((2) ((2) (n))), $$
$$ a_0 \u003d FRAC (1) (n) sumos_ (I \u003d 0) ^ (n - 1) (x_i), \\ quad a_ (n / 2) \u003d \\ t frac (1) (n) \\ t Ribos_ (I \u003d 0) ^ (n - 1) (x_i) ((- 1)) ^ i, \\ quad a_k \u003d frac (2) (n) \\ t limits_ (i \u003d 0) \\ t ^ (N - 1) (kairėn x_i (((2) (2) (n))), $$
$$ b_k \u003d frac (2) (n) \\ t limits_ (I \u003d 0) ^ (n - 1) (x_i \\ nuodėmės (((frac) (((2 \\ t) (n)) \\ t ), \\ quad i \\ t Pagrindinis skirtumas tarp trijų furjė transformacijos formų yra ta, kad jei Furjė integruota transformacija nustatoma visoje funkcijos funkcijos F (x) $, tada skaičius ir diskretiškas "Fourier Transform" yra apibrėžiami tik dėl atskirų kelių taškų, begalinio Dėl "Fourier" ir baigtinių atskirų konversijos serijos. Kaip matyti iš "Fourier Transform" apibrėžimų, diskretiškas "Furjė" transformavimas yra didžiausias skaitmeninių signalų apdorojimo sistemų susidomėjimas. Duomenys, gauti iš skaitmeninių laikmenų ar informacijos šaltinių, užsakomi skaičiai, įrašyti į vektorių ar matricų pavidalą. Paprastai daroma prielaida, kad diskretiški konvertavimo duomenys yra vienodas pavyzdys su žingsniu $ delta $, o $ t \u003d N. delta $ vertė vadinama įrašymo ilgiu arba pagrindiniu laikotarpiu. Pagrindinis dažnis yra $ 1 / t $. Taigi, diskrečiame "Fourier" transformacijoje įvesties duomenys yra suskaidomi dažniais, kurie yra pagrindinio dažnio keliais. Maksimalus dažnis, nustatytas pagal įvesties duomenų dimensiją, yra $ 1/2 delta $ ir yra vadinamas $ jog (nyvisto dažnis) $. Nyquist dažnio apskaita yra svarbi naudojant atskirą transformaciją. Jei įvesties duomenys turi periodinius komponentus, kurių dažnis viršija Nyquist dažnį, tada apskaičiuojant atskirą "Fourier Transformation", bus pakeistas žemesnio dažnio dažnio duomenų pakeitimas, kuris gali sukelti klaidų aiškinant diskretiško konversijos rezultatus. Svarbi duomenų analizės priemonė taip pat yra $ (energijos spektro) $. Signalo galia dažnio $ omega $ yra apibrėžiama taip: $$ p (omega į dešinę) \u003d \\ t frac (1) (2) liko (((į kairę (į kairę (į dešinę) ^ 2 + b (įjungtas) ^ 2) \\ t ). $$. Ši vertė dažnai vadinama $ (signalinė energija) $ už $ omega $ dažnį. Pasak dalinės teorijos, bendra energijos įvesties signalo energija yra lygi energijos kiekiui visuose dažniuose. $$ e \u003d ribos_ (I \u003d 0) ^ (n - 1) (x_i ^ 2) \u003d \\ t sumos_ (I \u003d 0) ^ (n / 2) (kairėn ((((omega _i) Teisingai). $$. Elektros priklausomybės nuo dažnio grafikas vadinamas energijos spektru arba maitinimo spektru. Energijos spektras leidžia nustatyti paslėptą įvesties duomenų dažnį ir įvertinti tam tikrų dažnių komponentų indėlį į šaltinio duomenų struktūrą. Be trigonometrinės formos, "Furjier" diskretiškas transformacijos įrašymas yra plačiai naudojamas $ (integruotas atstovavimas) $. Išsami Furjė transformavimo forma yra plačiai naudojama daugialypės analizės ir ypač apdorojant vaizdus. Perėjimas nuo trigonometrinės iki sudėtingos formos atliekamas pagal EULER formulę $$ e ^ (j omega t) \u003d omega t + j omega t, quad j \u003d sqrt (-1). $$. Jei įvesties seka yra $ n $ integruota numeriai, tada bus peržiūrėtas jo diskretiškas "Fourier" transformacija $$ g_m \u003d frac (1) (n) \\ t limitu_ (n \u003d 1) ^ (n - 1) (x_n) e ^ (frac (-2 (-2 pi jmn) (n)), $$ ir atvirkštinio transformacijos $$ x_m \u003d (n \u003d 1) ^ (n - 1) (g_n) e ^ (frac (2 \\ t) (n)). $$. Jei įvesties seka yra realių skaičių masyvas, tada už tai yra tiek sudėtinga, tiek sine-cosine diskretiška konversija. Šių idėjų santykiai išreiškiami šie: $$ a_0 \u003d g_0, quad g_k \u003d liko ((((a_k -jb_k)) / 2, \\ quad 1 le n / 2; $$. likusios $ N / 2 $ transformacijos vertės yra išsamiai konjuguoti ir neturi papildomos informacijos. Todėl laiko spektras iš "Furjė" diskretiško transformacijos yra simetriška su $ N / 2 $ atžvilgiu. Paprasčiausias būdas apskaičiuoti atskirą "Fourier Transformation" (DFT) yra tiesioginis apibendrinimas, jis veda iki $ N $ operacijas kiekvienam koeficientui. Iš viso koeficientų $ N $, kad bendras sudėtingumas $ o ((N ^ 2) teisingas) $. Toks požiūris nėra praktinis susidomėjimas, nes yra daug efektyvesnių būdų apskaičiuoti DPF, vadinamas greito transformacijos Furjė (BPF), turintys $ O (N ir log n) $ sudėtingumą $. BPF yra taikomas tik sekoms, kurių ilgis (elementų skaičius), daugelio laipsnio 2. Bendrasis "BPF algoritmas" įtvirtintas principas yra nutraukti įvesties seką į dvi pusės ilgio sekas. Pirmoji seka užpildoma duomenimis su lygiais skaičiais, o antrasis su nelyginiu. Tai leidžia apskaičiuoti DPF koeficientus per dvi transformacijas su $ N / 2 $ dimensija. Žymi $ omega _m \u003d e ^ (frac (2 pi j) (m)) $, tada $ g_m \u003d \\ suma ribos_ (n \u003d 1) ^ ((n / 2) -1) (x_ (x_) 2n)) omega _ (n / 2) ^ (mn) + (n \u003d 1) ^ ((n / 2) -1) (x_ (2n + 1)) (N / 2) ) ^ (Mn) omega _n ^ m $. Už $ M.< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Diskretiškas "Fourier" transformacija dėl dviejų dimensijų dydžio dydžio dydžio dydžio dydžio dydis yra apibrėžiamas taip: $$ g_ (UW) \u003d frac (1) (nm) (N - 1) ^ (n - 1) (\\ t sumos_ (m \u003d 1) ^ (m-1) (x_ (mn ))) E ^ ((- 2 (- 2) [(frac (MU) (m) + \\ t frac (NW) (n))))), $$ ir atvirkštinio transformacijos $$ x_ (mn) \u003d \\ t sumos_ (u \u003d 1) ^ (n-1) (\\ t sumos rits_ (w \u003d 1) ^ (m - 1) (g_ (UW))) E ^ ((2 \\ t PI J / FRAC (MU) (M) + FRAC (NW) (N))))). $$. Vaizdo apdorojimo atveju dviejų dimensijų "Furjier" transformavimo komponentai vadinami $ textit (erdviniais dažniais) $. Svarbus dviejų dimensijų "Furjė" transformavimas yra gebėjimas apskaičiuoti jį naudojant vienos dimensijos BPF procedūrą: $$ g_ (UW) \u003d frac (1) (n) \\ t limits_ (n \u003d 1) ^ (N - 1) (kairėje [((1 frac (1) (m)) \\ t 0) ^ (m-1) (x_ (mn) E ^ (frac (-2 pi jmw) (m))))))) e ^ (-^ (-2 (-2 (-2) (N) ), $ $. Čia kvadratinių skliausteliuose išraiška yra vienintelio duomenų matricos eilutės konversija, kurią galima atlikti su vienatais BPF. Taigi, norint gauti dvimatį Furjė transformaciją, pirmiausia turite apskaičiuoti vienos dimensijų eilutės konversiją, parašykite rezultatus į originalią matricą ir apskaičiuoti vienatvė konversiją į gautos matricos stulpelius. Apskaičiuojant dvimatę Furjė transformaciją, matricos kampuose daugiausia dėmesio bus skiriama mažoms dažniui, o tai nėra labai patogu toliau apdoroti gautą informaciją. Norėdami perkelti dviejų dimensijų Furjė transformavimo, kuriame mažos dažniai yra sutelktos į matricos centre, galima atlikti paprastą procedūrą, kuri susideda iš dauginant pradinius duomenis iki $ -1 ^ (M + N) $. Fig. 16 rodo pradinį vaizdą ir savo "Fourier" vaizdą. Pusiau ir jo "Fourier" vaizdas (vaizdai gaunami LabView sistemoje) Pjovimo funkcijos $ S (t) $ ir $ r (t) $ yra apibrėžiamas kaip $$ s \\ l CONG R \\ t INS ribos _ (- 100 inftyt) ^ (+ 100) (s (ai)) r (t- ir) d \\ t. $$. Praktiškai turite susidoroti su atskira konvoliucija, kurioje nuolatinės funkcijos pakeičiamos vieningų tinklelių mazgų vertybių rinkiniais (dažniausiai paimti sveikasis skaičius): $$ (r ir s) _J \\ t limits_ (k \u003d -n) ^ p (s_ (j-k) r_k). $$. Čia $ -N $ ir $ P $ Apibrėžkite diapazoną, kuris yra už $ r (t) \u003d 0 $. Apskaičiuojant konvoliuciją naudojant "Fourier" transformaciją, naudojamas "Fourier Transform" turtas, pagal kurį dažnių domeno funkcijų vaizdas yra lygiavertis šių funkcijų konvoliucijai laiko srityje. Norint apskaičiuoti susitaikymą, turite konvertuoti šaltinio duomenis į dažnio domeną, tai yra, apskaičiuoti savo "Fourier" transformaciją, padauginkite konversijos rezultatus ir atlikite "Fourier Greater Transformation", atkuriant pradinį vaizdą. Vienintelis algoritmo veikimo subtilumas yra susijęs su tuo, kad diskretiško Fourier transformacijos atveju (skirtingai nuo nuolatinio) atsiranda dviejų periodinių funkcijų krūva, ty mūsų vertybių rinkiniai nurodo jų laikotarpius funkcijos, o ne tik vertes kai kuriose atskirose ašies skyriuje. Tai reiškia, kad algoritmas mano, kad $ x_ (n) $ yra ne nulis, bet taškas $ x_ (0) $, ir taip į apskritimą. Todėl, kad konvoliucija yra teisingai apsvarstyta, būtina priskirti ilgą nulio seką į signalą. Linijiniai filtravimo metodai yra gerai struktūrizuotų metodų, kurių veiksmingos skaičiavimo sistemos, pagrįstos greito konvoliucijos ir spektrine analize, skaičius. Apskritai, linijiniai filtravimo algoritmai atlieka tipo konversiją $$ f "(x, y) \u003d \\ in int f (zeta -x, eta -y) k (zeta, eta) d \\ t kur $ K (Zeta, ETA) $ yra linijinis transformacijos šerdis. Atskiriant diskretišką signalą, šioje formulėje esanti neatskiriama į svertinį šaltinio mėginių svertinį kiekį tam tikroje diafragme. Tuo pačiu metu, branduolio $ K (Zeta, ETA) parinkimas pagal vieną ar kitą optimalumo kriterijų gali sukelti daug naudingų savybių (Gauso lyginimas, kai vaizdo diferenciacijos diferenciacija, ir kt.). Efektyviausi linijiniai apdorojimo metodai įgyvendinami dažnio srityje. Naudojant "Fourier" vaizdo vaizdą, kad atliktumėte filtrų operacijas pirmiausia dėl didesnių tokių operacijų atlikimo. Paprastai, atlikite tiesioginį ir atvirkštinį dviejų dimensijų keturliatorių konversiją ir "Furjier Fuiter" koeficientų dauginimąsi mažiau laiko, nei atlikti dviejų dimensijų konvoliuciją šaltinio įvaizdžio. Filtravimo algoritmai dažnio domeno yra grindžiami konvoliucija teorema. Dviejų dimensijų atveju konversijos konversija atrodo taip: $$ g ((u, v) į dešinę) \u003d h ((u, v) į dešinę) f ((u, v) teisinga), $$ kur $ G $ - "Fourier" įvaizdis apie konvoliucijos rezultatus, $ H $ - Furlier filtro įvaizdį ir $ F $ - "Fourier" vaizdą originalaus vaizdo. Tai yra, dažnio domene, dviejų dimensijų konvoliucija pakeičiama elemently dauginant šaltinio vaizdą ir atitinkamą filtrą. Norėdami atlikti konvoliuciją, turite atlikti šiuos veiksmus. Santykis tarp filtro funkcijos dažnio ir erdvinės zonoje galima nustatyti naudojant konvencijos teoriją $$ phi liko [(f (f (f (x, y)) \\ t h (x, y)) \\ reikšiau] \u003d f (u, v) dešinėn) H kairė (( U, v) teisė), $ $ $$ phi FI kairė [(f (f ((x, y)) h (x, y)) \\ t lifto ((u, v) į dešinę) \\ t U, v) teisingai). $$. Pjovimo funkcijos su impulso funkcija gali būti pateikta taip: $$ \\ t limits_ (x \u003d 0) ^ m (\\ t limits_ (y \u003d 0) ^ n (s) kairėn ((x, y) į dešinę))) \\ delta ((x-x_0, y-y_0) teisinga) \u003d s (x_0, y_0). $$. Fourier-transformacija impulso funkcija $ F F ((u, v) į dešinę) \u003d \\ t frac (1) (mn) \\ t limits_ (x \u003d 0) ^ m (yra ribos_ (y \u003d 0) ^ n (delta \\ t Kairė ((x, y))))) E ^ ((-2) ((-2) (((-2) ((ux) (m) + \\ t frac (vy) (n)))) \u003d \\ t Frac (1) (MN). $$. Leiskite $ f (x, y) \u003d delta (x, y) $, tada konvoliucija $ F f (x, y) dešinėn) \\ t h (x, y) \u003d frac (1) (mn) h ((x, y) teisinga), $$ $$ phi lift [((delta) ((x, y)) \\ t h (x, y)) \\ right] \u003d \\ PHI FI (((delta) (((x, y)) Teisė)) h (((u, v) į dešinę) \u003d frac (1) (mn) h ((u, v) į dešinę). $$. Iš šių išraiškų matyti, kad dažnio ir erdvinių vietovių filtro funkcijos yra sujungtos per "Fourier Transform". Dėl šios filtro funkcijos dažnio srityje, visada galite rasti atitinkamą filtrą erdviniame rajone, taikant "Fourier Grįžtamuosius transformaciją. Tas pats pasakytina ir apie tarifus. Naudojant šiuos santykius, galite nustatyti erdvinių linijų filtrų sintezės procedūrą. ($ exctit (idealus žemo dažnio filtras) $) $ h (u, v) $ yra $ $ h (u, v) \u003d 1, quad \\ m. mbox (jei) d (u, v)< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($ exctit (puikus aukšto dažnio filtras) $) gaunamas inversija idealiu mažo dažnio filtro: $$ h "(u, v) \u003d 1-h (u, v). $$ Čia yra visiškai mažo dažnio komponentų slopinimas išlaikant aukštą dažnį. Tačiau, kaip ir idealaus mažo dažnio filtro atveju, jo naudojimas yra kupinas atsiradus dideliu iškraipymu. Filtrų su minimaliais iškraipymais sintezei naudojami įvairūs metodai. Vienas iš jų yra filtrų sintezė, pagrįsta dalyviais. Tokie filtrai sukelia minimalius iškraipymus į gautą vaizdą ir yra patogūs dažnio domeno sintezei. Plačiai naudojamas apdorojant vaizdus yra filtrų šeima, pagrįsta tikra Gauss funkcija. $ text (žemo dažnio Gauso filtras) $ $$ h kairė (x į dešinę) \u003d \\ t \\ t (2 \\ t) \\ Sigma ae ^ (- 2 (((pi sigma x) į dešinę) ^ 2) hbel (s) h u į dešinę) \u003d ae ^ (- frac (u ^ 2) (2 sigma ^ 2)) $$ Kas jau yra filtro profilis dažnio srityje (daugiau $ sigma $), tuo labiau platesnis erdvėje. ($ Textit (aukšto dažnio Gauso filtras) $) $$ h kairė (x teisinga) \u003d \\ t \\ t (2 pi) \\ s sigma _a ae ^ (- 2 (((PI)) (((pi sigma _a x)) ^ 2) - \\ t \\ t ) \\ Sigma _B BE ^ (- 2 (((PI)) (((pi sigma _b x)) ^ 2), $$ $$ h kairėn (u į dešinę) \u003d ae ^ (- frac (u ^ 2) (2 \\ s)) - būti ^ (- frac (u ^ 2) (2 sigma _b ^ 2 )). $$. Dviejų dimensijų atveju ($ (žemas dažnis) $), "Gauss" filtras atrodo taip: $$ h kairė ((u, v) į dešinę) \u003d E ^ (- frac (D ^ 2) (((u, v))) (2d_0 ^ 2)). $$. ($ (Aukšto dažnio) $) Gauso filtras turi formą $$ h kairėn ((u, v) į dešinę) \u003d 1-E ^ (- frac (D ^ 2) (((u, v))) (2d_0 ^ 2)). $$. Apsvarstykite vaizdo filtravimo pavyzdį (1 pav.) Į dažnių domeną (17 pav. - 22 pav.). Atkreipkite dėmesį, kad dažnio filtravimas vaizdas gali būti prasmingas kaip lyginimas ($ text (mažo dažnio filtravimas) $) ir kontūrų ir smulkiais objektų atskyrimą ($ Textit (aukšto dažnio filtravimas) $). Kaip matyti iš Fig. 17, 19, kaip filtravimo "galia", esant mažos dažnio komponentui, "atrodantis defocused" arba $ jog (blur) poveikis tampa vis labiau pasibaigęs. Tuo pačiu metu, aukšto dažnio komponente, kai pradžioje pastebimi tik objektų kontūras, dauguma vaizdo įrašymo turinio palaipsniui praeina (18, 20 - 22 pav.). Dabar atsižvelgiame į aukšto dažnio ir žemo dažnio filtrų elgesį (23-28 pav.) Esant priedui Gauso triukšmo vaizde (7 pav.). Kaip matyti iš Fig. 23, 25, žemos dažnio filtrų savybės slopinant priedą atsitiktiniu trukdžiais yra panašūs į anksčiau laikomų linijinių filtrų savybes - su pakankama filtro galia, trukdymas slopinamas, tačiau tai yra stiprus blur viso vaizdo kontūrai ir "defokas". Aukšto dažnio komponentas riaumojančio vaizdo nustoja būti informatyvus, nes be kontūro ir objekto informacijos, dabar yra taip pat visiškai triukšmo komponentas (27 pav., 28). Dažnio metodų naudojimas yra labiausiai patartinas tuo atveju, kai yra žinomas vaizdo perdavimo kanalo triukšmo proceso arba / ir optinio pavaros santykis. Patogu atsižvelgti į tokius priori duomenis pasirinkdami apibendrintą kontroliuojamą ($ Sigma $ ir $ ir $ MU $) kaip atkūrimo filtras: šis tipo filtras yra: $$ f (w_1, w_2) \u003d kairėje [(1 frac (1) (p (w_1, w_2)) \\ t fabot/ \\ t (frac ((\\ frac ((((\\ t P (V_1, W_2) ) ^ 2) ("P (W_1, W_2") "^ 2" + "Alpha" q (w_1, w_2) vert ^ 2)) \\ t $$. kur $ 0.< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Linijinių filtravimo metodų privalumai apima savo aiškią fizinę reikšmę ir paprastą rezultatų analizę. Tačiau, ryškiai pablogėjusios signalo ir triukšmo santykį, su galimomis ploto triukšmo versijomis ir didelio amplitudės impulsų triukšmo buvimas, linijiniai pretendavimo metodai gali būti nepakankami. Esant tokiai situacijai, netiesiniai metodai yra žymiai galingesni. 19 bilietas1. Veikimas. \\ T 2. Erdviniai spektriniai ženklai Skiedimo operacijos. Leiskite a ir b būti erdvės z 2 rinkiniu. Nustatyto nustatyto nustatyto (arba giminės iki B) dilatacija yra pažymėta A⊕V ir yra apibrėžiama kaip Galite perrašyti tokia forma: Nustatymas bus vadinamas struktūros formuojančia daugybe arba primityvių dilatacija. Remiantis (11), jis gaunamas siekiant gauti centrinį atspindį, nustatytą santykinai savo pradinėse koordinatėse (centrinis b), tada šio nustatyto taško perėjimas prie taško Z, nustatyto A by b išstumimas yra Visi tokie poslinkiai Z, kurioje ir sutampa bent viename elemente. Šis apibrėžimas nėra vienintelis. Tačiau išsiliejimo procedūra yra panaši į konvoliucijos operaciją, kuri atliekama virš rinkinių. Erdviniai spektriniai ženklai Pagal (1.8), dviejų dimensijų Furjė transformacija yra apibrėžiama kaip kur w X., w y. - erdviniai dažniai. "Specter" modulio modulis ( w X., w y.) \u003d | F ( w X., w y.) | 2 gali būti naudojamas apskaičiuoti keletą funkcijų. Integruoti funkciją M.(w X., w y.) Erdvinio dažnio plokštumos kampe suteikia erdvinio dažnio ženklą, invariantinį palyginti su vaizdų perjungimu ir sukimu. Atstovaujanti funkciją M.(w X., w y.) Poliarinių koordinatėse parašykite šią funkciją į formą kur q.\u003d Arctg ( w y./w X.); r. 2 = w X. 2 +w y. 2 . 20 bilieto1. Erozijos veikimas Diskrečios dviem dimensijų Furjė transformacija vaizdų skaičiavimo matricos yra nustatoma kaip eilutė: kur ir diskretiškas atvirkštinis transformavimas turi formą: Analogiškai su "Fourier" nuolatinio transformacijos terminologija, kintamieji vadinami erdviniu dažniais. Pažymėtina, kad ne visi mokslininkai naudoja apibrėžimą (4.97), (4.98). Kai kurie nori įdėti visus didelio masto konstantais atvirkštinio transformacijos išraiška, o kiti keičia požymius branduoliuose į priešingą. Kadangi transformacijos šerdys yra simetriškos ir atskirtos, dviejų dimensijų konversija gali būti atliekama kaip nuoseklios vienos dimensijos konversijos per vaizdų matricos stulpelius. Konvertavimo pagrindas funkcijos yra eksponentai, turintys sudėtingų rodiklių, kurie gali būti skaidomi ant sinuso ir kosino komponentų. Šiuo būdu, Vaizdo spektras turi daug įdomių struktūrinių savybių. Spektrinis komponentas dažnio plokštumos koordinatės pradžioje lygus išsiplėtusiems B. N. Kai vidurkis (šaltinio plokštumoje) vaizdo ryškumo vertė. Pakeičiant į lygybę (4.97) kur ir - nuolatiniai, mes gauname: Dėl bet kokių sveikų skaičių vertės ir antrojo eksponentinio veiksnio lygybės (4.101) virsta vienetu. Taigi, kada kas rodo dažnio plokštumos dažnį. Šis rezultatas iliustruoja 4.14 paveikslą, a. Dviejų dimensijų furjė spektras vaizdas yra iš esmės dviejų dimensijų lauko atstovavimas fourier serijos pavidalu. Kad toks atstovavimas būtų teisingas, originalus vaizdas taip pat turėtų turėti periodinę struktūrą, t.y. Turėti piešinį, kuris kartojamas vertikaliai ir horizontaliai (4.14, b pav.). Taigi, dešinysis vaizdo kraštas yra šalia kairiojo, o viršutinis kraštas yra į apačią. Dėl ryškumo verčių spragų šiose vietose vaizdo spektro yra papildomų komponentų, esančių ant dažnio plokštumos koordinatės. Šie komponentai nėra susiję su ryškumo reikšmėmis vidinių vaizdų, tačiau jie yra būtini atkurti savo aštrius ribas. Jei vaizdo skaičiuoja masyvas, apibūdina ryškumo lauką, numeriai bus galiojantys ir teigiami. Tačiau šio vaizdo furjė spektras bendrame atvejis turi integruotas vertes. Kadangi spektro yra komponentas, atitinkantis faktines ir įsivaizduojamas dalis arba fazę bei kiekvieno dažnio spektrinių komponentų modulį, gali atrodyti, kad Furjė transformacija padidina vaizdo dimensiją. Tačiau tai nėra, nes ji turi simetriją, atsižvelgiant į sudėtingą konjugaciją. Jei lygyboje (4.101) būtų lygūs sveikieji skaičiai, lygybė bus gauta po išsamaus sujungimo: Naudojant pakeitimą ir SRC \u003d http: //electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif\u003e Galite tai parodyti Dėl sudėtingos konjuguotos simetrijos buvimo beveik pusė spektrinių komponentų pasirodo nereikalingas, t. Y. Jie gali būti suformuoti iš likusių komponentų (4.15 pav.). Su perteklinių sudedamųjų dalių, tai yra įmanoma, žinoma, apsvarstyti harmonikų, nepatenka į apačią, bet dešinėje pusėje plokštumoje. Fourier analizė vaizdo apdorojimo naudojama tais pačiais tikslais, kaip ir vienatais signalams. Tačiau dažnių domene, vaizdas neatskiria jokios prasmingos informacijos, kuri daro Fourier transformaciją, o ne tiek daug naudingos vaizdo analizės priemonės. Pavyzdžiui, kai "Fourier Transformation" taikoma vienam dimensiniam garso signalui, tada laiko srityje sunku įforminti ir sudėtinga forma Signalas paverčiamas lengva suprasti dažnio domeno spektrą. Palyginimui, fourier transformant (Fourier transformant) vaizdai, mes konvertuojame užsakytą informaciją erdviniame rajone (erdviniame domene) į koduotą formą dažnio srityje (dažnio domeno). Trumpai tariant, nesitikėkite, kad "Fourier Transformation" padeda suprasti vaizdų koduotą informaciją. Panašiai jūs neturėtumėte pasiekti dažnio domeno, kai projektuojate filtrą. Pagrindinė vaizdų ypatybė yra siena - linija atskiria vieną objektasarba. \\ T regionasiš kito objektasarba. \\ T regionas. Kadangi vaizdo kontūrai yra platų dažnių komponentų, tada pabandykite pakeisti vaizdą manipuliuojant dažnio spektrą - problema yra neveiksminga. Vaizdo apdorojimo filtrai paprastai suprojektuoti erdviniame rajone, kur informacija pateikiama paprasčiausia ir prieinama forma. Sprendžiant vaizdo apdorojimo užduotis, būtina veikti pagal operacijas lyginimasir. \\ T supildžiuskontūrai (erdvinis domenas) nei požiūriu viršutinio dažnio filtrasir. \\ T mažesnis dažnio filtras(dažnio domenas). Nepaisant to, "Fourier" vaizdo analizė turi keletą naudingų savybių. Pavyzdžiui, konvoliucija. \\ tatitinka erdviniame rajone dauginimas. \\ Tdažnio srityje. Tai svarbu, nes dauginimas yra paprastesnis matematinis veikimas nei konvekcija. Kaip ir vieno dimensijų signalų atveju, ši nuosavybė leidžia konvonuoti naudojant BPF ir naudoti įvairius dekonvoliucijos metodus. Kita naudingas turtas Dažnio domene yra fourier teorem sektoriaiNustatant atitiktį tarp įvaizdžio ir jo prognozių (to paties įvaizdžio tipai iš skirtingų pusių). Ši teorija yra teorinė tokių krypčių duomenų bazė kompiuterių tomografija, radiošopija.plačiai naudojamas medicinoje ir pramonėje. Vaizdo dažnio spektrą galima apskaičiuoti keliais būdais, tačiau praktiškiausias spektro skaičiavimo metodas yra BPF algoritmas. Naudojant BPF algoritmą, pradinis vaizdas turi būti N. I. N. stulpeliai ir numeris N. Turi būti kelis laipsnis 2, i.e. 256, 512, 1024 ir ir tt Jei originalus vaizdas pagal jo matmenį nėra daug karto 2 laipsnio, tada jums reikia pridėti taškų su nulinės vertės papildyti vaizdą į norimą dydį. Dėl to, kad "Fourier Transformation" išlaiko informacijos tvarką, žemo dažnio komponentų amplitudė bus dviejų dimensijų spektro kampuose, o aukšto dažnio komponentai bus jos centre. Pavyzdžiui, apsvarstyti iš keturračio transformacijos elektronų mikroskopinio vaizdo veikimo stiprintuvo įvesties kaskados (4.16 pav.). Kadangi dažnio domene gali būti pateikti pikseliai, turintys neigiamų verčių, šių vaizdų "pilkos" lygių skalė yra perkelta taip, kad neigiamos vertės būtų suvokiamos kaip tamsios atvaizdo taškai, nulis - kaip Pilka ir teigiama - kaip šviesa. Paprastai mažo dažnio spektro komponentai amplitude yra daug didesni nei aukšto dažnio, kuris paaiškina labai ryškių ir labai tamsų taškų buvimą keturių kampų ant spektro įvaizdžio (4.16, b). Kaip matyti iš brėžinio, tipiškas specialistasIšsami Furjė transformacijos pristatymas.
Greitas Furjė transformacija.
Dviejų dimensijų Furjė transformacija.
Iškirpkite naudojant "Fourier Transform".
Filtravimo vaizdai dažnio srityje.
Nekreipė dėmesio į turtą
