Suprasti Pokhіdno

Nagi funkcija f(x) yra priskirtas esamam tarpiniam x. Nadamo argumento vertė taškais x 0 X pakankamai prieaugio Δ x taigi, verkimas x0 + Δ x taip gulėk x. Tą pačią dieną funkcijos padidėjimas f(x) atsargos Δ adresu = f(x0 + Δ x) - f(x0).

Paskyrimas 1. Šoninės funkcijos f(x) taške x0 vadinama funkcijos tobulinimo riba tsij taške iki argumento tobulinimo ties Δ x 0 (pavyzdžiui, tarp eilučių).

Panašiai funkcijai atpažinti piešiami simboliai prie" (x0) arba f"(x0):

Yakshcho į deyakіy tašką x0 riba (4.1) neribojama:

tada atrodo, kad taške x0 funkcija f(x) Gegužė Aš dingsiu amžiams.

Kokia funkcija f(x) gali pereiti į odos taško daugiklį x, tada blogai f"(x) taip pat veikia kaip argumentas X, priskirtas x.

Geometrinis jutimas

Kad suprastume geometrinę prasmę, mums reikia pavadinimo, kad fiksuotume funkcijos grafiką tam tikrame taške.

2 susitikimas. Stosuetsya prie funkcijos grafiko y = f(x) taške M vadinama ribine situacija MN, jei taškas N pragne taškai M išilgai kreivių f(x).

Nagi M ant kreivės f(x) atitinka argumento reikšmę x0, ir taškelis N- argumento vertė x0 + Δ x(4.1 pav.). Z vznachennya dotichny slydo, scho x0 būtina nustatyti ribą, kaip dorіvnyuє kutu nahil dotichї iki ašies Jautis. 3 trikutnik MNA rėkia ką

Kokia šauni funkcija f(x) taške x0іsnuє, tada, zgіdno (4.1), otrimuєmo

Zvіdsi švilpia į akį tam, kuris f"(x0) arčiau pjūvio koeficiento (pjūvio liestinė prie teigiamos tiesios ašies Ox) = f(x) adresu taškas M(x0, f(x0)). Kai komu kut nahil dotically, rodomos formulės (4.2):

Fizinis oro pojūtis

Tarkime, kad funkcija l = f(t) apibūdinkite materialaus taško judėjimo tiesia linija dėsnį, pavyzdžiui, nedirbant l valandą t. Ta pati kaina Δ l = f(t +Δ t) – f(t) – visas kelias, ištraukos per valandą intervalas Δ t, ir vidnoshennia Δ l/Δ t- vidutinis greitis per valandą Δ t. Ta pati riba reiškia mittevu shvidkist taškasšiuo metu t tarsi valandai paliksiu kelią.

Dainavimo pojūtis prastai veikia adresu = f(x) taip pat gali būti interpretuojamas kaip funkcijų keitimo lankstumas: kuo didesnė reikšmė f"(x), komanda turi daugiau pjūvių nuo liguisto taško iki kreivo, komanda turi šaunų tvarkaraštį f(x) ir didesnę funkciją.

Teisių ir liūto nebėra

Analogiškai su vienpusių interfunkcijų sąvokomis, įvedamos dešinės ir kairės panašių funkcijų taške sąvokos.

3 susitikimas. Dešinė Kairė) susijusias funkcijas adresu = f(x) taške x0 vadinama dešiniąja (levi) riba (4.1) ties Δ x 0, kuri yra riba tarp

Vienpusių nugalėtojų pripažinimui naudojama tokia simbolika:

Kokia funkcija f(x) gali punktais x0 Aš išeisiu, išeisiu ir teisingai eisiu į šį tašką, bijau.

Nurodysime funkcijos užpakalį, nes jis gali būti vienpusis, panašus į tašką, o ne lygus vienam. Tse f(x) = |x|. Teisingai, taške x = 0 gal būt f'+(0) = 1, f"-(0) \u003d -1 (4.2 pav.) ir f'+(0) ≠f'-(0), tada. funkcija negali būti panaši, kai X = 0.

Pažįstamos funkcijos veikimas vadinamas її diferenciacijos; vadinama funkcija, kurią galima prarasti taške diferencijuota.

Ryšys tarp diferenciacijos ir funkcijos nepatvarumo taške nustato įžeidžiančią teoremą.

1 TEOREMA . Jei funkcija diferencijuota taške x 0, tai taške x ji yra nenutrūkstama.

Neteisingas atsakas: funkcija f(x), be pertraukos taškais, gal mama nueis į mano tašką. Toks užpakalis yra funkcija adresu = |x|; taške nėra pertraukų x= 0, bet panašių taškų nėra.

Šiame range didžioji dalis funkcijų diferenciacijos yra stipriausia, žemiausia – nenutrūkstamiausia, pirmųjų skeveldros automatiškai šaukiasi viena kitos.

Suderinimas su šio punkto funkcijos tvarkaraščiu

Kaip jis buvo priskirtas 3.9 skyriuje, tiesės, einančios per tašką, lygiavimas M(x0, 0 val) su pjūvio koeficientu k gali peržiūrėti

Tegul funkcija nustatoma adresu = f(x). Todi oskіlki її pokhіdna deakіy taške M(x0, 0 val) є ribinis koeficientas M, tada akivaizdu, kad funkcijos grafikas yra lygus f(x) ties tsіy taškaisі gali atrodyti

Data: 2014-11-20

Kas taip šaunu?

Sekančioji lentelė.

Pokhіdna yra vienas iš svarbiausių dalykų, norint suprasti Vishchoy matematiką. Šioje pamokoje mes tai žinome iš savo supratimo. Pati žinoma, be griežtų matematinių formulių ir įrodymų.

Šios žinios leidžia:

Atpažinti gremėzdiškų užduočių esmę iš pokhidnoy;

Sėkmingai atlikti sandėlio užduotis;

Ruoškitės rimtoms pamokoms ateityje.

Nugaroje - laukiamas siurprizas.)

Suvore vyznachennya pokhіdnoї polagaє in teorії inter іst dalykas, kurį reikia padaryti, yra sulankstomas. Tse sutrikusi. Tačiau praktiškesnė zastosuvannya pokhіdnoi, kaip taisyklė, nereikalauja tokių didelių ir gilių žinių!

Pakanka žinoti sėkmingam vikonnannya visų terminų- suprasti užduotį, tai visas taisykles- Shchob yogo virishiti. aš visi. Tse džiaugiuosi.

Ar mes susipažinsime?)

Terminai ir apibrėžimai.

Elementariojoje matematikoje gausu įvairiausių matematinių operacijų. Sudėjimas, vіdnimannya daugiklis, zvedennya žingsniais, logaritmas ir kt. Jei prie šių operacijų pridėsite dar vieną, elementarioji matematika taps didžiausia. Ši nauja operacija vadinama diferenciacija. Tos zmіst tsієї operacijos paskirtis bus svarstoma kitose pamokose.

Čia svarbu suprasti, kad diferenciacija yra tiesiog matematinė funkcijos operacija. Paimkime funkciją i, pagal dainavimo taisykles, paverskime ją її. Dėl to turime naują funkciją. Ašis yra nauja funkcija ir vadinama: Gerai.

Diferencijavimas- Įpurškimas virš funkcijos.

Pokhidna- Rezultatas yra ts_єї dії.

Taigi, kaip pvz. soma- Lankstymo rezultatas. Abo privačiai- Rezultatas raspodіlu.

Žinodami terminus, galite bent jau suprasti užduotį.) Formulė yra tokia: paskirti panašias funkcijas; pavalgyti; diferencijuoti funkciją; apskaičiuoti išlaidas ir tt Tse viskas vienas ir tas pats Zrozumіlo, buvayut ir sulankstytos užduotys, de perebuvannya pokhіdnoї (diferencijavimas) bus tik vienas iš užduoties trūkumų.

Tai rodo brūkšnys dešinėje rankoje virš funkcijos. ašis tokia: y" arba f"(x) arba S"(t) ir iki šiol.

skaityti žaidimai insultas, ef insultas vіd іks, es insultas vіd te, Na, tu supratai...)

Insultas taip pat gali reikšti tam tikrą funkciją, pavyzdžiui: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" ir kt. Jis dažnai naudojamas diferencialų pagalbai, tačiau tokio ženklo šioje pamokoje nematyti.

Tarkime, kad išmokome mąstyti. Aš praradau viską – išmok juos virišuvuoti.) Dar kartą spėju: prasmė funkcijų transformacija pagal dainavimo taisykles. Tsikhas valdė, stebėtinai, ne itin turtingai.

Norint žinoti sudėtingas funkcijas, reikia žinoti tik tris žodžius. Trys banginiai, ant kurių stovi visa diferenciacija. Dvokiančio qi ašis trys banginiai:

1. Panašių (diferencijavimo formulių) lentelė.

3. Pokhіdna sulankstoma funkcija.

Pradėkime eilės tvarka. Į kurį visa pamoka žiūrima į mirusiųjų stalą.

Sekančioji lentelė.

Pasaulis atlieka beasmenes funkcijas. Viduryje yra daug funkcijų, kurios yra svarbiausios praktiniam pritaikymui. Qi funkcijos atitinka visus gamtos dėsnius. Iš šių funkcijų, kaip ir iš ceglinkų, galite suformuluoti visa kita. Ši funkcijų klasė vadinama elementarios funkcijos. Mokykloje vystomos tos pačios funkcijos – tiesinė, kvadratinė, per plona hiperbolė.

Funkcijų diferencijavimas „nuo nulio“, tobto. vyhodyachi z vyznachennya pokhіdnoї kad teorija tarp - dalykas, susijęs su darbuotoju. O matematikai taip pat yra žmonės, taip ir taip!) Iš i jie klausė savo (aš mūsų) gyvenimo. Smirdantis virahuvali prastai veikia prieš mus. Pokhіdnyh lentelė pasirodė, ji jau paruošta.)

Axis laimėjo, tai plokštelė, skirta populiariausioms funkcijoms. Blogis yra elementari funkcija, dešinėje - її pokhіdna.

	Funkcija y	Kitos funkcijos y y"
1	C (pastovi reikšmė)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n yra skaičius)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	nuodėmė x	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	žurnalas a x
	ln x ( a = e)

Rekomenduoju atkreipti dėmesį į trečią funkcijų grupę ir susijusių lentelių. Pokhіdna statechnі ї ї - viena iš svarbiausių formulių, tarsi tik ne nayuzhivanіsha! Natyak zrozumіly?) Taigi, pokhіdnyh bazhano bajorų lentelė prisiminti. Prieš kalbą tai nėra taip svarbu, nes galite išsisukti. Išbandykite virishuvati daugiau pavyzdžių, pati lentelė bus prisiminta!)

Žinoti juokingųjų lentelių reikšmes, kaip žinote, užduotis nėra svarbi. Todėl tokie vadovai dažnai turi papildomų žetonų. Arba formulinei užduočiai, arba vaizdinei funkcijai, kaip lentelėse, ji yra nachebto ir nutildyta.

Pažvelkime į programų šprotus:

1. Raskite atsitiktinę funkciją y = x 3

Lentelėse tokių funkcijų nėra. Ale є pokhіdna statії ї ї ї і ї zagalny vyglyadі (trečioji grupė). Laikais n=3. Ašis i pavaizduota pakeitimų n trejetu, o rezultatas tiksliai užrašomas:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Ašies ir daryk viską.

Pasiūlymas: y" = 3x 2

2. Raskite panašios funkcijos y = sinx reikšmę taške x = 0.

Ši užduotis reiškia, kad turite iš pirmo žvilgsnio sužinoti, kaip atrodo sinusas, ir tada nurodyti vertę x = 0 Aš pats eisiu į Qiu. Ta pati tvarka! Ir tada, buvaє, iš karto pridėkite nulį prie išvesties funkcijos ... Mūsų prašoma žinoti ne išvesties funkcijos reikšmę, o reikšmę її pokhіdnoy. Pokhіdna, spėsiu – tai jau nauja funkcija.

Pagal lentelę žinome sinusą ir vіdpovіdnu pokhіdnu:

y" = (sinx)" = cosx

Likusius pakeiskite nuliu:

y"(0) = cos 0 = 1

Tse bude povіd.

3. Atskirkite funkciją:

Ką, įteigti?) Tokių funkcijų panašių lentelėse beveik nėra.

Spėsiu, kuo atskirti funkciją – tiesiog reikia žinoti tikslią funkciją. Pamirškite elementarią trigonometriją, juokaukite apie mūsų funkciją ją įsiurbti. Lentelė nepadeda...

Ale, prašau pasakyti, kad mūsų funkcija yra kosinusas, Tada viskas bus nalagodzhuetsya!

Na gerai! Atminkite, kad išorinių funkcijų transformacija prieš diferenciaciją visiškai leidžiama! Aš, trapleyaetsya, puikus gyvenimas lengviau. Pagal apatinio laido kuta kosinuso formulę:

Tobto. mūsų gudri funkcija yra ne kas kita, kaip y = cox. Tūzas yra lentelės funkcija. Iš karto priimame:

Pasiūlymas: y" = - sin x.

Pavyzdys tiems absolventams ir studentams:

4. Žinokite atitinkamas funkcijas:

Akivaizdu, kad panašiose lentelėse tokių funkcijų nėra. Ir dar, atspėk elementarią matematiką, žingsnis po žingsnio... Tada tu gali visiškai atleisti šią funkciją. ašis tokia:

O žingsnis x yra viena dešimtoji – tai jau lentelės funkcija! Trečioji grupė, n = 1/10. Tiesiog už užrašytos formulės:

Nuo aš visų. Tse bude povіd.

Esu įsitikinęs, kad su pirmuoju diferenciacijos banginiu – paskutiniųjų lentele – viskas aišku. Pasiklydau su dviem banginiais, kuriuos pamečiau. Ateinančiame amžiuje įsisavinsime diferenciacijos taisykles.

Raskite panašios eksponentinės funkcijos virazę (y = (e^x)), įvertindami tą pačią eksponentinę funkciją.

Sprendimas.

Galime parašyti funkciją \(\Delta y\), kad padidintume argumentą \(\Delta x\): \[ (\Delta y = y\left((x + \Delta x) \right) - y\ left(x \right) ) = ((e^(x + \Delta x)) - (e^x) ) = ((e^x)(e^(\Delta x)) - (e^ x ) ) = ((e^x)\left(((e^(\Delta x)) - 1) \right).) \] dešinė) ) = \lim\limits_(\Delta x \iki 0) \frac(( \Delta y))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac( (((( e^x)\left(((e^(\Delta x)) ) - 1) \right)))((\Delta x)).) \] Funkcija \(y = (e^x) \) skaičių knygelė negali būti mažesnė už vіd Δ x o dėl ribos ženklo galima kaltinti jogą. Tada jis atrodo taip: \[(y"\left(x \right) = (\left(((e^x)) \right)^\prime ) ) = ((e^x)\lim\limits_( \Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)).) \] , kuris \((e^0) = 1\) ir kad galima parašyti \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x))) - 1 ))((\Delta x)) ) = (\lim \limits_(\Delta x \to 0) \frac(((e^(\Delta x)) - (e^0)))((\ Delta x )) = e"\left(0 \right),) \], tada riba suteikiama panašios rodymo funkcijos reikšmėms ties nuliu. Vėliau \ Mes atėmėme sp_v_dnosheniya, kurioje per pačią funkciją galima išreikšti \(y = (e^x)\) ir її panašiai kaip taškas \(x = 0\). Leiskite mums žinoti, kad \ Kam galima atspėti, kad skaičius \ (e \) bus rodomas ties akivaizdžiai neišsemiama riba jakas \ ir skaičius \ (e \) žingsnyje \ (\ Delta x \) bus ) Delta x)) = \lim\limits_(n \to \infty ) (\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n).\] Niutono dvinaris ir rozlademo viraz po ribos ženklu in dvinario serija: \[(\left((1 + \frac((\Delta x))(n)) \right)^n) = \sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left( (\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) .\] ) ). Europos ir Amerikos vadovuose skaičius nurodomas kaip \ Pasukime į savo ribą \ (L \), dabar galime parašyti taip: \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \ frac ((( e^(\Delta x)) - 1))((\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \) į \infty ) \) į kairę[ (\sum\limits_(k = 0)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k) ) ) \right ] - 1))((\Delta x)).) \] Galime lengvai pamatyti pirmuosius du dvejetainės eilutės papildymus: \(k = 0\) ir \(k = 1\). Dėl to \[ (L = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (\sum\limits_(k = 0))^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) \right] - 1))((\Delta x))) = ( \ lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (C_n^0((\left((\frac((\Delta x))) ) )) \right))^0) + C_n^1((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right)))^1) + \sum\limits_(k = 2) ^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) \right] - 1))((\Delta x))) = ( \lim\limits_(\Delta x \to 0) \frac((\lim\limits_(n \to \infty ) \left[ (1 + n \cdot \frac((\Delta x))(n) + \ sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ) \right] - 1)) ( (\Delta x)) ) = (\lim\limits_(\Delta x \iki 0) \frac((\Delta x + \lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2) ^ n (C_n^k((\left((\frac((\Delta x))(n)) \right))^k)) ))((\Delta x))) = (\lim\limits_( \ Delta x \iki 0) \left[ (1 + \frac(1)((\Delta x))\lim\limits_(n \to \infty ) \sum\limits_(k = 2)^n (C_n^ k ((\left((\frac((\Del) ta x))(n)) \right))^k)) ) \right] ) = (1 + \lim\limits_(n \to \infty ) \ left[ (\lim\limits_(\Delta x \to 0) \left((\sum\limits_(k = 2)^n (C_n^k\frac((((\left((\Delta x) \right) ))^(k - 1)))))(( (n^k)))) \right)) \right].) \] 0\). Tomas, (L = 1). Tse reiškia, kad eksponentinė funkcija \(y = (e^x)\) yra panaši į eksponentinę funkciją: \

Tegul šalia taško yra funkcija

Pasauliniu mastu priimtas panašios funkcijos ženklas taške

Lentelė

Panašios funkcijos geometrinis pojūtis taške.

Pažiūrėkime į sichnu AB funkcinė grafika y=f(x) taku sho dėmės BETі IN rasti tinkamas koordinates , de - zbіlshennya argumentas. Žymiai dėl padidėjusios funkcijos. Ant fotelio viskas svarbu:

3 stačiakampiai trikotažai ABC gal būt. Skiedros dėl susitikimų yra dotichnaya - ribinė stovykla yra dabar, tada .

Spėkime kitos funkcijos paskirtį taške: kitą funkciją y=f(x) taškas vadinamas riba tarp funkcijos padidėjimo iki argumento padidėjimo ties , yra nurodyta .

Otzhe, , de - Kutovy dotichny koeficientas.

Šiame range panašios funkcijos pagrindas y=f(x) taške yra lygiavertis funkcijos grafiko taškui y=f(x) kančios taške, be to kutovyi, tada.

Montavimas: panašios funkcijos geometrinė prasmė taške polagaє ties іsnuvannі dotіchї pagal funkcijų grafiką іy taške.

20 Funkcijos skirtumas taške. Būtina pakankama psichinė diferenciacija.

Diferencijuotos funkcijos padidėjimas šiuo metu gali būti kaip tiesinė argumento padidėjimo funkcija iki aukščiausios mažumo laipsnio. Tse reiškia, kad tiesinę funkciją galite pakeisti mažais skaičiais šalia taškų (funkcijos keitimo greitis laikomas nuolatiniu). Linijinė padidintos funkcijos dalis vadinama diferencialu (šioje vietoje).

Būtinas, nors ir stokojantis psichinės diferenciacijos – nenuolatinė funkcija. Įvairiose funkcijose, vienos kalbos kintamumo forma, diferenciacija yra vienodai stipri pagal panašią kalbą. Atliekant skirtingas funkcijas, kai kurie kalbos pokyčiai yra būtini (nors ir nepakankami) su psichine diferenciacija, o privačių pagrindas yra panašus į visus pokyčius. Skirtingajai taške besikeičiančių lipdukų funkcijai pakanka, kad privatūs įvykiai būtų vykdomi šalia nurodyto taško ir būtų be pertrūkių nurodytame taške.

21 Funkcijos skirtumas taške. Teorema apie funkcijos, kuri diferencijuoja, tęstinumą.

Teorema.

Jei funkcija šiuo metu yra diferencijuota, tada funkcija šiuo metu yra nepertraukiama.

Įrodymas.

Tegul funkcija y=f(x)y=f(x) diferencijuota taške x0x0, tada funkcijos padidėjimas yra geresnis Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) )⋅x.

Kai funkcijos argumentas ∆x∆x padidėja iki nulio, funkcija ∆y∆y taip pat padidėja iki nulio, o tai reiškia, kad funkcija yra nepertraukiama.

Štai kodėl atsižvelgėme į tai, kad funkcija y=f(x)y=f(x) taške x0x0 yra diferencijuota, o taške x0x0 ji yra nepertraukiama funkcija. Ko reikėjo atnešti.

Tokiu būdu funkcijos nekaltumas šiame taške yra būtinas, bet nepakankamas psichikos funkcijai diferencijuoti.

užpakalis.

Funkcija y=|x|y=|x| taškas x0x0 turi nepertraukiamą funkciją, tačiau šio taško funkcija nėra diferencijuota.

Tiesą sakant, funkcijos padidinimas yra brangesnis:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

Kai paimame:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Riba limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx neegzistuoja, tai reiškia, kad funkcija y=|x|y=|x|

22 Diferencialinė funkcija. Geometrinis jutimo diferencialas.

Giedojimo taško diferencinė funkcija x vadinama pagrindine, tiesine padidintos funkcijos dalimi.

Funkcinis diferencialas y=f(x) į gerą її darbą panašus į padidėjimą x(argumentas).

Tai turėtų būti parašyta taip:

Geometrinis jutimo diferencialas. Funkcinis diferencialas y=f(x) prie dotinės S ordinatės padidėjimo, atliekamo prieš funkcijos grafiką taške M( x; y), keičiant x(argumentas) pagal vertę (div. kūdikiai).

23 Sumos diferenciacijos taisyklė, kad dobutku.

Norėdami įrodyti kitą diferenciacijos taisyklę, paspartiname panašių ir galių paskyrimą tarp nepertraukiamų funkcijų.

Turėdami panašų rangą, galite atsinešti gerą sumą (mažmeninė prekyba) n papildomos sumos funkcijos (mažmeninė prekyba) n pokhіdnyh

Pridedant dvi funkcijas, pateikiame diferenciacijos taisyklę.

Užrašykime tarp funkcijų kūrimo tobulinimo iki argumento tobulinimo. Galima drąsiai teigti, kad i (funkcijos padidėjimas padidėja iki nulio, kai argumentas padidinamas, o tai padidėja iki nulio).

Ko reikėjo atnešti.

24 1 formos skirtumo nekintamumas.

Pirmojo diferencialo formos nekintamumas

Jakšo x- tai nepriklausomas pokytis dx = x - x 0 (fiksuotas padidėjimas). Kieno protas tai įmanoma

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Jakšo x = φ (t) yra diferencijuota funkcija dx = φ" (t 0)dt. Otzhe,

kad pirmasis diferencialas galėtų turėti galios nekintamumą, jei pakeisite argumentą.

25 Vaidmens teorema.

Rolio teorema (nulinė teorema) stverzhuє, scho

įrodymas

Kai tik funkcija sustiprėja, tada ji tampa akivaizdesnė, skeveldros yra panašios į funkciją iki nulio bet kuriame intervalo taške.

Yakschko zh, osskіlki funkії reikšmė Rivni segmento ribiniuose taškuose, tada vіdpovid to theoremi Weiєrshtrass, Vona Nabuiva, Holy Nibільшое ABO NIMENSHOVA INTERNATIONAL INTERNATIONAL INTERNATIONAL OF THE OPTERSIY POTCIІЕМАТЕМАХАТЕМАТИЦОМАТИЦОМАХАТИКАНОКОКОООООКООООВОВОЕООЕ ВОВИльшое, Vona Nabuiva. POTCIІ PUPIDNA DORIVNUє 0 .

geometrine prasme

Teorema stverdzhuє, scho yakscho abiejų kintsіv lygių kreivių linijų ordinatės, tada kreivėje yra taškas, yakіy dotichna į kreivę, lygiagrečią abscisių ašiai.

26 Lagranžo teorema ir jos pasekmės.

Galinių žingsnių formulė arba Lagranžo vidutinės reikšmės teorema teigia, kad funkcija yra nepertraukiama intervalo atžvilgiu ir diferencijuota intervale, tada yra toks taškas,

.

Geometriškai Ją galima performuluoti taip: ant pleišto yra taškas, kuriame jis taškiškai lygiagretus stygai, kuri eina per grafiko taškus, kurie nukreipia į vainiko taškus.

Mechaninis drumstumas: Perkelkime taškus išpjovos padėties atidarymo momentu. Todі є būdas, ištraukos iš akimirkos į akimirką, vіdnoshennia - vidutinis greitis per visą intervalą. Tai reiškia, kad jei kūno greitis bet kuriuo momentu priskiriamas valandai, tai dainavimo momentas bus lygus jo vidutinei vertei šiame matmenyje.

įrodymas

Vieno pakeitimo funkcijai:

Pristatykime funkciją. Dėl neї vykonanі pagalvokite apie vaidmens teoremą: ant kіntsyah vіdrіzka її znachenya iki nulio. Greitai atspėję teoremą, atsižvelgiame į tai, kad tai yra taškas, kurio funkcija yra panaši į nulį:

ką reikėjo atnešti.

Rezultatai ir supratimas

Lagranžo teorema apie baigtinius žingsnius yra viena iš svarbiausių, Wuzlovo teorema visoms diferencialinio skaičiavimo sistemoms. Skaičiavimo matematikoje yra daug papildymų, taip pat paveldimos svarbiausios matematinės analizės teoremos.

Paskutinis 1. Funkcija, kuri diferencijuojasi į kintamąjį, panašią, artimesnę nuliui, yra konstanta.

Įrodymas. Dėl be-yakikh i іsnuє taškas, toks scho.

Taigi, visiems i lygybė yra teisinga.

2 atvejis (Taylor formulė su nereikalingu terminu Lagrange formoje). Jei taško pakraštyje funkcija diferencijuota vieną kartą, tai mažiems (tyla, kai kurie kiti taškai guli šalia pakraščio) galioja Teiloro formulė:

de - deyake numeris z іnvalu.

Paskutiniai 3. Taip pat kintamų dviejų funkcija yra diferencijuojama taško Pro pakraštyje, o visi kiti pokyčiai yra panašūs be pertrūkių taške O, tada lygybė yra teisinga antrame taške:

Įrodymas už. Mes nustatome vertę ir žiūrime į mažmeninės prekybos operatorius

Pagal Lagrange'o teoremą raskite skaičius , taip

adresu per kitų panašių funkcijų tęstinumą.

Panašiai galima teigti, kad .

Ale oskіlki, (kurie persvarstomi be vidurio), qi tarp zbіgayutsya.

Naslidok 4 (Newton-Leibnitz formulė). Jei funkcija yra diferencijuota į šaką ir panašiai integruota po Riemann kiekvienoje šakoje, tada ši formulė yra teisinga: .

Įrodymas. Nagi – nemaža vėjo pertrauka. Zastosovuyuchi Lagrange'o teorema, odos z vіdrіzkіv žinoti tašką toks, kad .

Priklausomai nuo pusiausvyros vertės, atimame:

Livoruch kainavo Riemano integralo sumą už pateikto priskirto skirstinio integralą. Eidami į tarpo skersmenį, atimame Niutono-Leibnico formulę.

Naslіdok 5 (Teorema apie galinių prieaugių įvertinimą). Tegul gyvybingumas nepertraukiamai išsiskiria prabangioje kompaktiškoje erdvėje. Todi.

27 Kašio teorema.

Koši vidutinės reikšmės teorema.

Suteikite šias dvi funkcijas ir tokias, kad: 1. priskirtos ir nepertraukiamos avarinės situacijos; 2. švenčių ir savaitgalių intervalais; 3. mažėja ir tuo pačiu metu nenustatoma į nulį intervale 4. ; todі іsnuє, yakoї virno: . (Kaip išvalyti protą 4, reikia, pavyzdžiui, padėti protui 3: g "(x) nėra kaltas, kad bet kur intervale nuėjo į nulį.)

Geometriškai jį galima performuluoti taip: jei ir nustatyti sukimosi dėsnį plokštumoje (priskirti abscisę ir ordinatę per parametrą ), tai bet kuriame tokios kreivės poschemoje, pateiktoje parametrais i , yra antrinis vektorius, tiesinis poslinkio vektoriumi į .