Găsiți distribuția sumei a două variabile aleatorii. Legea distribuției sumei a două variabile aleatorii

1) c + d ≤ z ≤ a + d. Atunci

2) a + D ≤ z ≤ B + C. Atunci

3) b + c ≤ z ≤ a + b. Atunci

O astfel de distribuție se numește Legea lui Simpson. În Fig.8, 9 prezintă graficele densității de distribuție a SV din=0, d.=0.

Folosim metoda generală de mai sus pentru a rezolva o problemă, și anume, pentru a găsi legea distribuției sumei a două variabile aleatorii. Există un sistem de două variabile aleatorii (x, y) cu densitatea de distribuție F (x, y).

Luați în considerare suma variabilelor aleatorii X și Y: și găsim valoarea distribuției z .. Pentru a face acest lucru, vom construi pe planul liniei Xou, ecuația căreia (Figura 6.3.1). Aceasta este o linie dreaptă care se taie pe axele segmentelor egale cu Z. Drept împarte planul XOW în două părți; Dreptul și deasupra ei ; Stânga și inferioară

Regiunea D în acest caz este partea inferioară stângă a planului Xou, umbrită în fig. 6.3.1. Conform formulei (6.3.2), avem:

Aceasta este o formulă generală pentru densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatorii.

Pentru considerații de simetrie, sarcina este relativă la x și y, puteți scrie o altă variantă de aceeași formulă:

Este necesar să se facă o compoziție a acestor legi, adică, găsiți legea distribuției valorii :.

Aplicați formula generală pentru compoziția legilor de distribuție:

Înlocuind aceste expresii în formula deja care apare

Și acest lucru nu este altceva decât o lege normală cu un centru de împrăștiere

În plus, concluzia poate fi semnificativ mai ușoară cu următorul raționament calitativ.

Fără a dezvălui paranteze și non-transformări în funcția Integrand (6.3.3), am ajuns imediat la concluzia că indicatorul este pătrat trei decizii față de tipul X

În cazul în care în coeficient și valoarea Z nu este inclusă la toate, în coeficientul din primul grad și în coeficientul C - în piață. Cu acest lucru în minte și aplicând formula (6.3.4), ajungem la concluzia că G (Z) Există o funcție indicativă, a cărei indicator este un pătrat trei scădere față de Z și densitatea de distribuție; Această specie corespunde legii normale. Astfel, noi; Am ajuns la o concluzie pur de calitate: Permisiunile Z este normal. Pentru a găsi parametrii acestei legi - și - Folosim formarea adăugării așteptărilor matematice și adăugarea de dispersii. Prin formarea formării așteptărilor matematice . Prin adăugarea de teoreme de dispersie sau De unde urmează formula (6.3.7).

Devenind de la abaterile standard la proporțional cu deviațiile probabile, obținem:
.

Astfel, am ajuns la următoarea regulă: cu compoziția legilor normale, se obține din nou o lege normală, iar așteptările matematice și dispersia (sau pătratele deviațiilor probabile) sunt rezumate.

Regulamentul compoziției legilor normale poate fi generalizată în cazul unui număr arbitrar de variabile aleatorii independente.

Dacă există n variabile aleatorii independente: subordonați la legile normale cu centre de dispersie și abaterile RMS, atunci valoarea este, de asemenea, subordonată legii normale cu parametrii parametrii

Dacă sistemul variabilelor aleatorii (x, y) este distribuit în conformitate cu o lege normală, dar valorile lui X, Y sunt dependente, nu este dificil să se dovedească, la fel ca înainte, pe baza formulei generale (6.3. 1), că legea distribuției valorii este, de asemenea, o lege normală. Centrele de dispersie sunt încă algebrice, dar pentru abaterile standard, regula devine mai complexă: , unde, R este coeficientul de corelație al lui X și Y.

La adăugarea mai multor variabile aleatoare dependente subordonate legii normale, legea distribuției sumei se dovedește a fi normală cu parametrii

unde este coeficientul de corelație al lui X I, X J și sumarea se aplică tuturor perechilor diferite de combinații de mărime.

Am fost convinși de o proprietate foarte importantă a unei legi normale: cu compoziția legilor normale, o lege normală este obținută din nou. Aceasta este așa-numita "proprietate a durabilității". Legea distribuției se numește durabilă, dacă compoziția de același tip este din nou obținută cu compoziția a două legi de acest tip. Mai sus, am arătat că legea normală este stabilă. Proprietatea durabilității este foarte puține legi de distribuție. Legea densității uniforme este instabilă: cu compoziția a două legi de densitate uniformă asupra parcelelor de la 0 la 1, am primit legea Simpson.

Sustenabilitatea legii normale este una dintre condițiile esențiale pentru răspândirea sa în practică. Cu toate acestea, unele alte legi de distribuție au proprietatea stabilității, cu excepția normală. Particularitatea legii normale este că, printr-o componentă a unui număr suficient de mare de legi de distribuție arbitrare practic, legea totală se dovedește a fi arbitrar apropiată de normal, indiferent dacă au fost legile distribuției componentelor. Acest lucru poate fi ilustrat, de exemplu, făcând compoziția a trei legi de densitate uniformă în zonele de la 0 la 1. Tranzacția rezultată G (Z) este descrisă în fig. 6.3.1. După cum se poate observa din desen, graficul funcției G (Z) este foarte reamintit de o diagramă de lege normală.

Un factor de decizie poate utiliza asigurarea pentru a reduce impactul financiar nefavorabil al unor tipuri de evenimente aleatorii.

Dar această considerație este foarte generală, deoarece sub factorii de decizie, ar putea fi implicată ca o persoană separată care caută protecție împotriva daunelor cauzate de proprietăți, economii sau venituri și organizarea care caută protecție împotriva aceleiași daune.

De fapt, o astfel de organizație poate fi o societate de asigurări care caută modalități de a se proteja de pierderile financiare datorită unui număr prea mare de afirmații de asigurare care au avut loc cu clientul său separat sau cu portofoliul său de asigurare. O astfel de protecție este numită reasigurare.

Luați în considerare unul dintre cele două modele (și anume modelul riscurilor individuale) Utilizate pe scară largă în definirea ratelor de asigurare și a rezervelor, precum și în reasigurare.

Denotă de S.mărimea pierderilor aleatorii ale societății de asigurări pentru o parte din riscurile sale. În acest caz S.este o valoare aleatorie pentru care trebuie să determinăm distribuția probabilităților. Din punct de vedere istoric pentru distribuțiile S.V. S.au fost două seturi de postulate. Modelul riscurilor individuale determină S.În felul următor:

unde s.v. Recunoaște pierderile cauzate de un obiect de asigurare cu numărul I, dar n.indică numărul total de obiecte de asigurare.

De obicei, se presupune că sunt valori aleatorii independente, deoarece în acest caz, calculele matematice sunt mai simple și nu sunt necesare în ceea ce privește natura relației dintre ele. Al doilea model este un model de risc colectiv.

Modelul considerat de riscuri individuale nu reflectă modificările valorii banilor în timp. Acest lucru se face pentru a simplifica modelul și de aceea titlul articolului se referă la un interval de timp scurt.

Vom lua în considerare doar modelele închise, adică. Cei în care numărul de obiecte de asigurare N. În formula (1.1), este cunoscut și înregistrat la începutul intervalului de timp în cauză. Dacă introducem ipoteze despre prezența migrației de la sau în sistemul de asigurări, obținem un model deschis.

Variabile aleatoare care descriu plățile individuale

În primul rând, amintim prevederile de bază privind asigurarea de viață.

Atunci când se asigură în caz de deces timp de un an, asigurătorul se angajează să plătească suma b.În cazul în care titularul poliței de asigurare moare pe tot parcursul anului de la data încheierii contractului de asigurare și nu plătește nimic dacă asiguratul va trăi în acest an.

Probabilitatea apariției evenimentului asigurat în cursul anului specificat este indicată prin.

Valoarea aleatorie care descrie plățile de asigurare are o distribuție care poate fi setată fie prin funcție de probabilitate

(2.1)

fie funcția de distribuție corespunzătoare

(2.2)

De la formula (2.1) și de la determinarea momentelor pe care le obținem

(2.4)

Aceste formule pot fi, de asemenea, primite prin scriere X.la fel de

unde este valoarea constantă plătită în caz de deces și este o valoare aleatorie care necesită valoare 1 la apariția morții și 0 altfel.

Deci si , și valoarea medie și dispersia S.V. egală și, în consecință, valoarea medie și dispersia S.V. Egal și care coincide cu formulele scrise mai sus.

Valoarea aleatorie cu zona de valori (0,1) este utilizată pe scară largă în modelele actuariale.

În manualele din teoria probabilității, se numește indicator, bernoulllieșkaya Random. Valoare sau variabila binomială aleatorie În schema de testare unică.

O vom numi indicatorpentru considerente de compensare și, de asemenea, pentru că indică o ofensivă sau nu o ofensivă, evenimentul în cauză.

Să ne întoarcem la căutarea unor modele mai generale în care valoarea plăților de asigurare este, de asemenea, o valoare aleatorie, iar mai multe evenimente asigurate pot apărea în intervalul de timp în cauză.

Asigurarea în caz de boală, asigurarea de mașini și alte tipuri de proprietăți, precum și asigurarea de răspundere civilă oferă imediat multe exemple. Rezumarea formulei (2.5), puse

unde este o valoare aleatorie care descrie plățile de asigurare în intervalul de timp în cauză, S.V. Indică cantitatea totală de plăți în acest interval și S.V. Este un indicator al unui eveniment format din ceea ce a avut loc cel puțin un caz asigurat.

Fiind un indicator al unui astfel de eveniment, S.V. Fixează disponibilitatea () sau absența () Cazuri de asigurare în acest interval de timp, dar nu numărul de cazuri asigurate în ea.

Probabilitatea va continua să fie indicată prin.

Să discutăm câteva exemple și să determinăm distribuția variabilelor aleatorii și într-un anumit model.

În primul rând, luăm în considerare asigurarea în caz de deces pentru o perioadă de un an cu o plată suplimentară, dacă moartea a venit ca urmare a unui accident.

Pentru claritate, să presupunem că dacă moartea a avut loc ca urmare a unui accident, atunci valoarea plății va fi de 50000. Cu moartea, în conformitate cu alte motive, valoarea plății va fi de 25.000.

Să presupunem că pentru fața acestei vârste, starea de sănătate și profesie, probabilitatea de deces ca urmare a unui accident în cursul anului este de 0,0005, iar probabilitatea de deces din alte motive este de 0,0020. Formula arată astfel:

Însumând în toate valorile posibile, ajungem

,

Distribuția condiționată cu. în. cu condiția să fie

Acum considerăm că asigurarea autoturismelor de la coliziuni (compensația este plătită proprietarului mașinii pentru daunele cauzate de mașina sa) cu magnitudinea francizei necondiționate 250 și cu suma maximă de plată 2000.

Pentru claritate, să presupunem că probabilitatea apariției unui eveniment asigurat în perioada analizată pentru o anumită persoană este de 0,15, iar probabilitatea apariției a mai mult de o coliziune este zero:

, .

Ipoteză nerealistă că nu se poate produce mai mult de un caz de asigurare pentru o perioadă, se face pentru a simplifica distribuția S.V. .

Vom refuza această ipoteză în următoarea secțiune după ce considerăm distribuția sumei mai multor evenimente asigurate.

Deoarece este cantitatea de plată a asigurătorului și nu deteriorarea cauzată de mașină, putem lua în considerare două caracteristici și.

În primul rând, evenimentul include acele coliziuni în care daunele sunt mai mici decât franciza necondiționată, care este egală cu 250.

În al doilea rând, distribuția S.V. Va exista o "Bunch" a masei probabiliste la valoarea maximă a plăților de asigurare, care este anul 2000.

Să presupunem că masa probabilistică axată în acest moment este de 0,1. În continuare, presupuneți că cantitatea de plăți de asigurare în intervalul de la 0 la 2000 poate fi simulată printr-o distribuție continuă cu funcția de densitate proporțională cu (În practică, o curbă continuă, care este selectată pentru a reprezenta distribuția plăților de asigurare, este rezultatul studiului cu privire la valoarea plăților în perioada anterioară.)

Rezumarea acestor ipoteze despre distribuția condiționată a S.V. Cu condiția să ajungem la distribuția unui tip mixt având o densitate pozitivă în intervalul de la 0 la 2000 și o anumită "buchetă" a masei probabiliste la punctul 2000. Aceasta este ilustrată de calendarul din fig. 2.2.1.

Funcția de distribuție a acestei distribuții condiționate arată astfel:

Fig.2.1. Funcția de distribuție S.V. B sub starea i \u003d 1

Calculăm așteptările și dispersia matematică în exemplul exemplului cu asigurarea de automobile în două moduri.

În primul rând, vom redirecționa distribuția S.V. Și îl folosim pentru a calcula și. Indicând prin funcția de distribuție S.V. , avea

Pentru x.<0

Aceasta este distribuția tipului mixt. Așa cum se arată în fig. 2.2, are atât discret ("ambreiaj" al masei probabiliste la punctul 2000) și partea continuă. Această funcție de distribuție corespunde combinației funcțiilor de probabilitate.

Smochin. 2.2. Funcția de distribuție S.V. X \u003d ib.

și funcții de densitate

În special și . prin urmare .

Există o serie de formule care leagă momentele variabilelor aleatorii cu așteptări matematice condiționate. Pentru așteptările matematice și pentru dispersie, aceste formule sunt

(2.10)

(2.11)

Se înțelege că expresiile din partea stângă a acestor egalități sunt calculate direct de distribuția S.V. . La calcularea expresiilor în părțile drepte, și anume, distribuția condiționată a S.V. Cu o valoare fixă \u200b\u200bde S.V. .

Aceste expresii sunt astfel funcții S.V. și putem calcula momentele folosind distribuția S.V. .

Distribuțiile condiționate sunt utilizate în multe modele actuariale, iar acest lucru vă permite să aplicați în mod direct formulele descărcate de mai sus. În modelul nostru. Având în vedere S.V. Ca și s.v. În calitate, obțineți

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

și ia în considerare așteptările matematice condiționate

(2.16)

(2.17)

Formulele (2.16) și (2.17) sunt definite ca o funcție de la S.V. Ce poate fi înregistrat sub formă de următoarea formulă:

De când, atunci (2.21)

Pentru că avem (2.22)

Formulele (2.21) și (2.22) pot fi combinate: (2.23)

Astfel, (2.24)

Substituirea (2.21), (2.20) și (2.24) în (2.12) și (2.13), ajungem

Aplicați formulele obținute pentru calcularea și exemplul de asigurare a automobilelor (figura 2.2). De la funcția de densitate S.V. Sub condiția este exprimată prin formula

în plus P (B \u003d 2000 | I \u003d 1)\u003d 0,1, avem

În cele din urmă, a crezut Q. \u003d 0,15, din formule (2.25) și (2.26), vom primi următoarele egalități:

Pentru a descrie o altă situație de asigurare, alte modele pot fi oferite pentru S.V. .

Exemplu: model pentru numărul de decese ca urmare a catastrofelor aviatice

De exemplu, luați în considerare modelul pentru numărul de decese care au avut loc ca urmare a catastrofei aviatice într-o perioadă de o perioadă de activitate a companiei aeriene.

Putem începe cu o variabilă aleatorie care descrie numărul de decese pentru un zbor și apoi sumiți astfel de variabile aleatorii pe toate zborurile pe an.

Pentru un eveniment de zbor va marca debutul accidentului de aeronave. Numărul de decese care au cauzat această catastrofă va fi reprezentat de produsul a două variabile aleatorii și, în cazul în care - coeficientul încărcării aeronavelor, adică numărul de persoane la bord la momentul accidentului de aeronave și ponderea morții în rândul lor cei care erau la bord.

Numărul de decese pare să fie tocmai în acest fel, deoarece statisticile separate pentru valori și este mai accesibil decât statisticile pentru S.V. . Deci, deși ponderea rezultatelor fatale printre cei care au fost la bord și numărul de persoane aflate la bord sunt probabil legate între ele, ca prima aproximare, se poate presupune că S.V. Și independent.

Cantitatea de variabile aleatorii independente

În modelul riscurilor individuale, plățile de asigurare efectuate de societatea de asigurări sunt prezentate ca valoare plăților pentru mulți indivizi.

Amintiți cele două metode pentru determinarea distribuției cantității de variabile aleatorii independente. Luați în considerare mai întâi suma a două variabile aleatorii, al cărui spațiu selectiv este prezentat în fig. 3.1.

Smochin. 2.3.1. Eveniment

Direct și zona sub acest director este un eveniment. Prin urmare, funcția de distribuție s.v. S. Are forma (3.1)

Pentru două variabile discrete aleatorii non-negative, putem folosi formula completă de probabilitate și scrieți (3.1) ca

În cazul în care un X. și Y. Independent, ultima sumă poate fi rescrisă ca

(3.3)

Caracteristica de probabilitate corespunzătoare acestei funcții de distribuție poate fi găsită prin formula

(3.4)

Pentru variabilele aleatorii continue non-negative ale formulelor, sunt corespunzătoare formulelor (3.2), (3.3) și (3.4)

Oricum sau ambele variabile aleatorii X. și Y. Aveți o distribuție mixtă (care este tipică pentru modelele riscurilor individuale), formulele sunt similare, dar mai greoaie. Pentru variabile aleatoare care pot lua, de asemenea, valori negative, sumele și integrale în formulele de mai sus sunt preluate peste toate valorile de la.

În teoria probabilității, operațiunea în formulele (3.3) și (3.6) se numește o convoluție a două funcții de distribuție și este indicată prin. Operația convoluționară poate fi definită și pentru o pereche de funcții de probabilitate sau funcții de densitate cu formule (3.4) și (3.7).

Pentru a determina cantitatea de cantitate de mai mult de două variabile aleatorii, putem folosi iterațiile luării unei convoluții. Pentru , în cazul în care acestea sunt valori aleatorii independente, denotă funcția de distribuție S.V. și este funcția de distribuție S.V. , vom lua

Exemplul 3.1 ilustrează această procedură pentru trei variabile aleatorii discrete.

Exemplul 3.1. Variabile aleatoare și independente și au distribuții care sunt determinate prin coloane (1), (2) și (3) din tabelul de mai jos.

Repetă funcția de probabilități și funcția de distribuție S.V.

Decizie. Tabelul utilizează denumirile introduse în fața exemplului:

În coloane (1) - (3) conține informații disponibile.

Coloana (4) este obținută din coloane (1) și (2) utilizând (3.4).

Coloana (5) este obținută din coloanele (3) și (4) utilizând (3.4).

Definirea coloanei (5) completează găsirea funcțiilor de probabilitate pentru S.V. . Funcția sa de distribuție din coloana (8) este un set de sume de coloane parțiale (5), începând de sus.

Pentru claritate, am inclus coloana (6), funcția de distribuție pentru coloana (1), coloana (7), care poate fi obținută direct din coloanele (1) și (6), aplicând (2.3.3) și coloana (8 ), definită în mod similar, în coloanele (3) și (7). Coloana (5) poate fi determinată din coloana (8) prin scăderea secvențială.

Să ne întoarcem la luarea în considerare a două exemple cu valori aleatorii continue.

Exemplul 3.2. Lasati s.v. Are o distribuție uniformă pe interval (0,2) și lasă s.v. nu depinde de S.V. și are o distribuție uniformă pe interval (0,3). Determinați funcția de distribuție S.V.

Decizie. Deoarece distribuțiile S.V. Și continuu, folosim formula (3.6):

Atunci

Spațiu selectiv S.V. și ilustrate fig. 3.2. Zona dreptunghiulară conține toate perechile posibile și. Eveniment vă interesează, reprezentat în figură pentru cinci valori s..

Pentru fiecare valoare, linia dreaptă traversează axa Y. La punctul S. Și drept la punct. Valorile funcției pentru aceste cinci cazuri sunt descrise prin următoarea formulă:

Smochin. 3.2. Tăierea a două distribuții uniforme

Exemplul 3.3. Luați în considerare trei S.v. . Pentru s.v. Are o distribuție indicativă și. Găsiți funcția de densitate S.V. , aplicând o operațiune de convoluție.

Decizie. Avea

Profitând de formula (3.7) de trei ori, ajungem

O altă metodă pentru determinarea distribuției cantității de variabile aleatorii independente se bazează pe unicitatea funcției generatoare a momentelor, care pentru S.V. determinată de raport .

Dacă aceasta este o așteptare matematică, desigur, pentru toată lumea T. De la un interval deschis care conține originea coordonatelor, este singura metodă de distribuire a distribuției S.V. În sensul că nu există altă funcție decât cea care ar produce funcția distribuției S.V. .

Această unicitate poate fi utilizată după cum urmează: pentru suma

Dacă este independent, așteptarea matematică a lucrării în formula (3.8) este egală ..., astfel încât

Găsirea unei expresii explicite pentru singura distribuție care corespunde funcțiilor generatoare ale momentelor (3.9), ar fi finalizat fundamentul distribuției S.V. . Dacă nu este posibil să îl specificați în mod explicit, este posibil să îl căutați cu metode numerice.

Exemplul 3.4.. Luați în considerare variabilele aleatoare din Exemplul 3.3. Determinați funcția de densitate S.V. Folosind funcția de producție a momentelor S.V. .

Decizie. Conform egalității (3.9), Ce poate fi scris în formă Cu metoda de descompunere pe cea mai simplă fracție. Decizia este . Dar este o funcție de funcționare a distribuției indicative cu parametrul, astfel încât funcția de densitate S.V. Are apariția

Exemplul 3.5.. În studiul proceselor aleatorii, a fost introdusă distribuția inversă Gaussian. Se utilizează ca distribuție S.V. ÎN, Plăți de asigurare. Funcția de densitate și funcționarea momentelor distribuției inverse Gaussian sunt stabilite prin formule

Găsiți distribuția S.V. unde s.v. Independent și au aceleași distribuții inverse Gaussian.

Decizie. Profitând de formula (3.9), obținem următoarea expresie pentru funcția de producție a S.V. :

Funcțiile generatoare ale momentelor corespunde singurii distribuții și vă puteți asigura că are o distribuție inversă Gaussian cu parametri și.

Apropierea pentru distribuirea sumei

Teorema limită centrală oferă o metodă de găsire a valorilor numerice pentru a distribui cantitatea de variabile aleatorii independente. În mod tipic, această teoremă este formulată pentru cantitatea de variabile aleatorie independente și distribuite în mod egal, unde .

Pentru orice distribuție n s.v. unde \u003d. are o așteptare matematică 0 și dispersie 1. După cum știți, secvența unor astfel de distribuții (când n.\u003d 1, 2, ...) tinde la distribuția normală standard. Cand N. Veliko Această teoremă este utilizată pentru a aduce distribuția S.V. Distribuția normală cu media μ și dispersie. În mod similar, distribuția sumei n. Variabile aleatoare care se apropie de distribuția normală cu mediu și dispersie.

Eficacitatea unei astfel de aproximări depinde nu numai de numărul de componente, ci și de proximitatea distribuției componentelor la normal. În multe cursuri elementare de statistici, se indică faptul că n ar trebui să fie de cel puțin 30 pentru ca aproximarea să fie rezonabilă.

Cu toate acestea, unul dintre programele de generare a variabilelor aleatorii distribuite normal utilizate în modelul imitației implementează o valoare aleatorie normală sub formă de mediu 12 distribuită independent la intervalul (0,1) a variabilelor aleatorii.

În multe modele de riscuri individuale, variabilele aleatorii incluse în cantitate nu sunt distribuite în mod egal. Aceasta va fi ilustrată de exemplele din secțiunea următoare.

Teorema limită centrală se extinde și la secvența variabilelor aleatorii distribuite inegale.

Pentru a ilustra unele aplicații ale riscurilor individuale, vom folosi aproximarea normală a distribuției cantității de variabile aleatorii independente pentru a obține soluții numerice. În cazul în care un T.

Și mai departe, dacă S.V. Independent, T.

Pentru cererea avută în vedere, avem nevoie doar de:

• găsiți mediul și dispersia variabilelor aleatorii care simulează pierderile individuale,
• să le rezumă pentru a obține un mediu și o dispersie a pierderii societății de asigurări ca întreg
• profitați de aproximarea normală.

Mai jos ilustrează această secvență de acțiuni.

Anexe la asigurare

În această secțiune, patru exemple ilustrează utilizarea unei aproximări normale.

Exemplul 5.1. O companie de asigurări de viață oferă un contract de asigurare pentru moarte pentru o perioadă de un an cu plăți de dimensiune 1 și 2 persoanelor a căror probabilitate de deces este de 0,02 sau 0,01. Tabelul de mai jos prezintă numărul de persoane. Nk. În fiecare dintre cele patru clase formate în conformitate cu plata b K. și probabilitatea unui eveniment asigurat q k:

Compania de asigurări dorește să colecteze de la acest grup de 1.800 de persoane o sumă egală cu cel de-al 95-lea procent din distribuția valorii totale a plăților de asigurare pentru acest grup. În plus, ea dorește ca proporția fiecărei persoane în această sumă să fie proporțională cu dimensiunea așteptată a plății de asigurare pentru această persoană.

Ponderea persoanei cu numărul, plata medie este egală cu, ar trebui să fie. De la cerința celui de-al 95-lea percentil rezultă că. Amploarea depășirii este o alocație de risc și se numește o suprataxă relativă a riscului. Numara.

Decizie. Valoarea este determinată de raport \u003d 0,95, unde S \u003d x 1 + x 2 + ... + x 1800.Această afirmație despre probabilitate este echivalentă cu următoarele:

În conformitate cu ceea ce a fost menționat despre teorema limită centrală în secțiune. 4, aproximăm distribuția S.V. Distribuția normală standard și profită de cea de-a 95-a percentilă, de unde ajungem:

Pentru patru clase la care asigurătorii sunt rupți, obținem următoarele rezultate:

În acest fel,

Prin urmare, suprataxa relativă a riscului este egală

Exemplul 5.2. Clienții companiei angajați în asigurarea auto sunt distribuite în două clase:

Distribuția indicativă trunchiată este determinată de funcția de distribuție

Aceasta este distribuția tipului mixt cu funcție de densitate , și "Bunch" a masei probabiliste la punct L.. Graficul acestei funcții de distribuție este prezentat în Fig.5.1.

Smochin. 5.1. Distribuția indicativă trunchiată

Ca și înainte, probabilitatea ca valoarea totală a plăților de asigurare să depășească suma colectată de la deținători ar trebui să fie egală cu 0,05. Presupunem că suprataxa relativă a riscului trebuie să fie aceeași în fiecare dintre cele două clase în cauză. Calculati.

Decizie. Acest exemplu este foarte asemănător cu cel precedent. Singura diferență este că sumele plăților de asigurare sunt acum valori aleatorii.

Mai întâi obținem expresii pentru momentele unei distribuții indicative trunchiate. Aceasta va fi o etapă pregătitoare pentru utilizarea formulelor (2.25) și (2.26):

Profitând de valorile datelor parametrilor în stare și utilizarea formulelor (2.25) și (2.26), obținem următoarele rezultate:

Asa de, S., suma totală a plăților de asigurare are momente

Condiția pentru determinarea rămâne aceeași ca în exemplul 5.1, și anume,

Profitând de aproximare cu o distribuție normală, ajungem

Exemplul 5.3. Portofoliul companiei de asigurări cuprinde 16.000 de contracte de asigurare de deces timp de un an conform tabelului următor:

Probabilitatea apariției unui eveniment asigurat Q pentru fiecare dintre cei 16.000 de clienți (aceste evenimente sunt destinate să fie independente reciproc) egale cu 0,02. Compania dorește să stabilească nivelul propriei sale retenție. Pentru fiecare deținător de polițe, nivelul de păstrare proprie este suma plății inferioare pe care această societate (Compania de cedentti) exercită independent, iar plățile superioare acestei valori sunt acoperite în temeiul acordului de reasigurare de către o altă societate (reasigurător).

De exemplu, dacă nivelul propriei deținere este de 200.000, atunci compania își rezervă acoperirea sumei de până la 20.000 pentru fiecare deținător de polițe de asigurare și să cumpere reasigurare pentru a acoperi diferența dintre plata de asigurare și suma de 20.000 pentru fiecare dintre cei 4500 de insurani, asigurarea Plăți pentru care sunt superioare sumei de 20.000.

Ca un criteriu de luare a unei decizii, compania alege minimizarea probabilității ca plățile de asigurare să rămână pe deducerea lor, plus suma plătită pentru reasigurare va depăși valoarea de 8.250.000. Costuri de reasigurare 0,025 pe unitate de acoperire (adică 125% din Așteptat amploarea plăților de asigurare pe unitatea 0.02).

Credem că portofoliul în cauză este închis: noile contracte de asigurare încheiate în cursul anului curent nu vor fi luate în considerare în procesul de luare a deciziilor descrise.

Soluție parțială. Mai întâi cheltuiesc toate calculele, alegând o plată de 10.000 pe unitate. Ca o ilustrare, presupunem asta. în. S. Este valoarea plăților rămase în propria lor reținere, are următoarea formă:

La aceste plăți de asigurare rămase pe deducerea lor, S.Se adaugă cantitatea de primele de reasigurare. Total, cantitatea totală de acoperire în conformitate cu o astfel de schemă este

Suma rămasă pe propria sa deducere este egală cu

Astfel, valoarea reasigurată totală este de 35.000-24.000 \u003d 11.000, iar costul de reasigurare este

Aceasta înseamnă că, la nivelul deducerii proprii, egal cu 2, plățile de asigurare rămase pe propria lor deducere plus costurile de reasigurare sunt. Criteriul decizional se bazează pe probabilitatea ca acest total să depășească 825,

Folosind o distribuție normală, obținem că această valoare este aproximativ egală cu 0,0062.

Valorile medii ale plăților de asigurare pentru asigurarea excesului de neprodibilitate, ca unul dintre tipurile de reasigurare, pot fi aproximate utilizând distribuția normală ca distribuție a plăților generale de asigurări.

Lăsați plățile generale de asigurare X au o distribuție normală cu mediu și dispersie

Exemplul 5.4. Luați în considerare portofoliul de asigurare, ca în exemplul 5.3. Vom găsi așteptările matematice a valorii plăților de asigurare în contractul de asigurare pentru o neprodități excesivă, dacă

(a) Reasigurarea individuală este absentă și franciza necondiționată este setată la 7.500.000

(b) Reținerea proprie a fost stabilită în valoare de 20.000 în conformitate cu contractele individuale de asigurare, iar amploarea francizei necondiționate pe portofoliu este de 5.300.000.

Decizie.

(a) în absența reasigurării individuale și în tranziție la 10.000 ca unitate monetară

utilizarea formulei (5.2) dă

aceasta este suma de 43.770 în unitățile sursă.

(b) În exemplul 5.3, am obținut o medie și o dispersie a valorii totale a plăților de asigurare sub nivelul individual al propriei rețineri de 20.000, respectiv 480 și respectiv 784, dacă luăm în considerare 10.000 ca unitate. Astfel, \u003d 28.

utilizarea formulei (5.2) dă

care este suma de 4140 în unitățile sursă.

În practică, este adesea necesar să se găsească legea distribuției variabilelor aleatorii.

Să fie un sistem (X B x 2) Două continuu. în. Și suma lor

Găsiți densitatea de distribuție cu. în. W. În conformitate cu soluția generală a paragrafului anterior, găsim zona avionului unde x + X2 (figura 9.4.1):

Diferențierea acestei expresii pe Y, obținem p. R. Variabilă aleatorie Y \u003d x + x 2:

Deoarece funcția f (x B x 2) \u003d XJ + X2 este simetrică despre argumentele sale,

Dacă cu. în. H. și H. 2 Inspectat, apoi formulele (9.4.2) și (9.4.3) vor arunca o privire:

În cazul în care este independent. în. X. și X 2. Ei vorbesc despre compoziția legilor de distribuție. Legume și fructe compoziţie Două legi de distribuție - înseamnă a găsi legea distribuției sumei a două independente cu. c., distribuit în conformitate cu aceste legi. Se aplică o înregistrare simbolică pentru a desemna legile de distribuție

care se referă, în esență, la formulele (9.4.4) sau (9.4.5).

Exemplul 1. Este luată în considerare lucrările a două dispozitive tehnice (tu). În primul rând, lucrările Tuve după eșecul său (eșec) este inclus în operațiunea TU 2. Ori de muncă fără probleme care b tu 2 - X. și H. 2 - independent și distribuit în ceea ce privește legile orientative cu parametrii A, 1 și X 2. Prin urmare, timpul Y. Munca atentă care constă din asta! și că 2 vor fi determinate de formula

Necesită găsirea p. R. Variabilă aleatorie Y, adică compoziția a două legi demonstrative cu parametrii și X 2.

Decizie. Conform formulei (9.4.4), obținem (la\u003e 0)

Dacă există o compoziție a două legi demonstrative cu aceiași parametri (? C \u003d H. 2 \u003d Y), apoi în expresie (9.4.8) Se pare că se dovedește incertitudinea de tip 0/0, dezvăluind care, obținem:

Comparând această expresie cu expresia (6.4.8), suntem convinși că compoziția celor două legi indicative identice (? C \u003d H. 2 = X)este Legea Ordinului Second (9.4.9). Cu o compoziție de două legi demonstrative cu diverși parametri X. și A-2 obține legea generalizată Erlanda a doua ordine (9.4.8). ?

Sarcina 1. Legea distribuției diferenței dintre două s. în. Sistem cu. în. (X și x 2) Are o articulație p.: / (X B x 2). Găsiți p. R. Diferența lor Y \u003d x. - X 2.

Decizie. Pentru sistem cu. în. (X B - x 2) etc. va fi / (x b - x 2) I.E., am înlocuit diferența. În consecință, p. R. O variabilă aleatorie va fi pierdută (a se vedea (vezi (9.4.2), (9.4.3)):

În cazul în care un din. în. X xi. 2 Independent, T.

Exemplul 2. Găsiți p. R. Diferența dintre două distribuite independent. în. Cu parametri X. și X 2.

Decizie. Prin formula (9.4.11) ajungem

Smochin. 9.4.2. Smochin. 9.4.3.

Figura 9.4.2 prezintă p. R. g. (y). Dacă diferența dintre cele două distribuite independent. în. cu aceiași parametri (A-i= H. 2 = DAR,),acea g. (Y) \u003d / 2 - deja familiar

legea Laplace (figura 9.4.3). ?

Exemplul 3. Găsiți legea distribuției sumei a două independente cu. în. H. și X 2. distribuite de legea Poisson cu parametri un H. și a 2.

Decizie. Găsiți probabilitatea unui eveniment (X. + H. 2 = t) (t \u003d 0, 1,

În consecință, cu. în. Y \u003d x x + H. 2 Distribuit de legea Poisson cu parametrul și x2) - și x + A 2. ?

Exemplul 4. Găsiți cantitatea de distribuție a sumei a două independente cu. în. X. și X 2. distribuite de legi binomiale cu parametri p x r 2, r respectiv.

Decizie. Imaginați-vă cu. în. X. la fel de:

unde X 1) - Indicatorul evenimentului DAR Wu "-m experiență:

Rândul de distribuție cu. în. X, - Are tipul

Vom face o reprezentare similară pentru p. în. X 2:unde x] 2) - Indicator eveniment DAR În "Experiența:

Prin urmare,

unde x? 1) + (2) Dacă un indicator de eveniment DAR:

Astfel, am arătat asta. în. Luați suma (SH + P 2) Indicatori de eveniment DARDe unde rezultă cu asta. în. ^ este distribuit printr-o lege binomială cu parametri ( p. + п 2), r.

Rețineți că dacă probabilitățile r. În diferite serii de experimente sunt diferite, atunci ca urmare a adăugării a două persoane independente cu. c., distribuită prin legile binomiale, va lucra cu. c., distribuit nu prin legea binomială. ?

Exemplele 3 și 4 sunt ușor rezumate cu un număr arbitrar de termeni. Odată cu compoziția legilor Poisson cu parametri un kommersant 2, ..., t. din nou legea Poisson cu un parametru a (T) \u003d A x + și 2 + ... + un t.

Cu compoziția legilor binomiale cu parametrii (n B.); (I 2, r) , (nt, r) Din nou, se pare o lege binomială cu parametri ("("), R), Unde p (t) \u003d sh + n 2 + ... + pt.

Am demonstrat proprietățile importante ale Legii Legii Poisson și Binomial: "Proprietatea durabilității". Legea distribuției este numită durabil Dacă, cu compoziția a două legi de același tip, se obține legea de același tip (numai parametrii acestei legi diferă). În subsecțiunea 9.7 vom arăta că legea normală are aceeași proprietate a stabilității.

Folosim metoda generală de mai sus pentru a rezolva o problemă, și anume, pentru a găsi legea distribuției sumei a două variabile aleatorii. Există un sistem de două variabile aleatorii (x, y) cu densitatea de distribuție F (x, y). Luați în considerare suma variabilelor aleatorie X și Y: și vom găsi valoarea distribuției valorii Z. Pentru aceasta, construim pe planul liniei Xou, ecuația căreia (figura 7). Aceasta este o linie dreaptă care se taie pe axele segmentelor egale cu Z. Dividează direct planul Cum în două părți; dreptul și deasupra ei; Stânga și mai mică.

Regiunea D în acest caz este partea inferioară stângă a planului Xou, umbrită în fig. 7. Conform formulei (16), avem:

Diferențierea acestei expresii pe variabila Z, care este inclusă în limita superioară a integralului intern, obținem:

Aceasta este o formulă generală pentru densitatea de distribuție a sumei a două variabile aleatorii.

Pentru considerații de simetrie, sarcina este relativă la x și y, puteți scrie o altă variantă de aceeași formulă:

care este echivalentă cu prima și poate fi aplicată în schimb.

Un exemplu de compoziție a legilor normale. Luați în considerare două variabile aleatorii independente X și Y, subordonate legilor normale:

Este necesar să se facă o compoziție a acestor legi, adică, găsiți legea distribuției valorii :.

Aplicați formula generală pentru compoziția legilor de distribuție:

Dacă dezvăluiți paranteze într-un indicator al gradului de funcții integrat și aduceți membri similari, obținem:

Înlocuind aceste expresii în formula deja care apare

după transformare, obținem:

Și acest lucru nu este altceva decât o lege normală cu un centru de împrăștiere

și deviația RMS

În plus, concluzia poate fi semnificativ mai ușoară cu următorul raționament calitativ.

Fără deschiderea parantezelor și nu produce transformări în funcția Integrand (17), am ajuns imediat la concluzia că indicatorul gradului este pătrat trei decizii față de tipul X

În cazul în care în coeficient și valoarea Z nu este inclusă la toate, în coeficientul din primul grad și în coeficientul C - în piață. Având în vedere acest lucru și aplicarea formulei (18), ajungem la concluzia că G (Z) este o funcție indicativă, indicatorul gradului de care este un pătrat trei scădere față de Z și densitatea de distribuție; Această specie corespunde legii normale. Astfel, noi; Am ajuns la o concluzie pur de calitate: Permisiunile Z este normal. Pentru a găsi parametrii acestei legi - și - folosim teorema pentru adăugarea așteptărilor matematice și adăugarea de dispersii. Prin formarea formării așteptărilor matematice. Prin adăugarea teoremei de dispersie sau de unde urmează formula (20).

Întorcându-se din abaterile standard la abaterile probabile proporționale cu acestea, obținem :.

Astfel, am ajuns la următoarea regulă: cu compoziția legilor normale, se obține din nou o lege normală, iar așteptările matematice și dispersia (sau pătratele deviațiilor probabile) sunt rezumate.

Regulamentul compoziției legilor normale poate fi generalizată în cazul unui număr arbitrar de variabile aleatorii independente.

Dacă există n variabile aleatorii independente: subordonați la legile normale cu centre de dispersie și abaterile RMS, atunci valoarea este, de asemenea, subordonată legii normale cu parametrii parametrii

În loc de formula (22), este posibil să se aplice formula echivalentă cu aceasta:

Dacă sistemul variabilelor aleatorii (x, y) este distribuit în conformitate cu o lege normală, dar valorile lui X, Y sunt dependente, nu este dificil să se dovedească, la fel ca înainte, pe baza formulei generale (6.3. 1), că legea distribuției valorii este, de asemenea, o lege normală. Centrele de dispersie sunt încă algebric, dar pentru abaterile standard, regula devine mai complexă:, unde, R este coeficientul de corelație X și Y.

La adăugarea mai multor variabile aleatoare dependente subordonate legii normale, legea distribuției sumei se dovedește a fi normală cu parametrii

sau în abateri probabile

unde este coeficientul de corelație al lui X I, X J și sumarea se aplică tuturor perechilor diferite de combinații de mărime.

Am fost convinși de o proprietate foarte importantă a unei legi normale: cu compoziția legilor normale, o lege normală este obținută din nou. Aceasta este așa-numita "proprietate a durabilității". Legea distribuției se numește durabilă, dacă compoziția de același tip este din nou obținută cu compoziția a două legi de acest tip. Mai sus, am arătat că legea normală este stabilă. Proprietatea durabilității este foarte puține legi de distribuție. Legea densității uniforme este instabilă: cu compoziția a două legi de densitate uniformă asupra parcelelor de la 0 la 1, am primit legea Simpson.

Sustenabilitatea legii normale este una dintre condițiile esențiale pentru răspândirea sa în practică. Cu toate acestea, unele alte legi de distribuție au proprietatea stabilității, cu excepția normală. Particularitatea legii normale este că, printr-o componentă a unui număr suficient de mare de legi de distribuție arbitrare practic, legea totală se dovedește a fi arbitrar apropiată de normal, indiferent dacă au fost legile distribuției componentelor. Acest lucru poate fi ilustrat, de exemplu, făcând compoziția a trei legi de densitate uniformă în zonele de la 0 la 1. Tranzacția rezultată G (Z) este descrisă în fig. 8. După cum se poate observa din desen, graficul funcției G (Z) este foarte reamintit programul unei legi normale.