Для початку розглянемо приклад - рішення задачі 19 (по темі натуральні числа ) - КІМ реального ЄДІ 2015 року, достроковий період, базовий рівень. (Теорія до неї - ознаки подільності - нижче.)

завдання 19

Викресліть в числі 181615121 три цифри так, щоб вийшло число ділилося на 12. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Рішення.

Розкладаємо дільник - число 12 на прості множники. 12 \u003d 3 × 4 \u003d 3 × 2 × 2.
Отже, задане число після викреслювання чисел має ділитися на 3 і 4 або на 2, ще раз на 2 і, нарешті, на 3.
На 2 діляться парні числа, тому 1 в кінці викреслюємо відразу. Залишиться 18161512.
Але нам потрібно, щоб воно ділилося на 2 двічі, тобто поділялося на 4.
Ознака подільності на 4 стверджує, що для цього на 4 має ділитися двозначне число, утворене останніми двома цифрами. 12 : 4 \u003d 3, тому дві останні цифри числа 18161512 викреслювати не можна. Вони гарантують подільність числа на 4 (на обидві двійки).
Щоб число ділилося на 3, треба щоб на 3 ділилася сума його цифр.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 \u003d 3 × 8 + 1 - можна викреслити одну з одиниць, але за умовою задачі потрібно викреслити ще дві цифри;
25 \u003d 3 × 7 + 4 - немає двох цифр для викреслювання, сума яких дорівнювала б 4, тому що останні цифри 1 і 2 чіпати не можна;
25 \u003d 3 × 6 + 7 - сума двох викреслених чисел буде дорівнює 7, якщо викреслити 6-ку і будь-яку з одиниць, крім останньої.
Отже, можливі відповіді: 811512 або 181512. Вибираємо один з них, наприклад

Відповідь: 181512

зауваження: на реальному ЄДІ зробіть перевірку своєї відповіді розподілом в стовпчик.

У кого-то можуть виникнути питання, що таке прості множники і як розкладати на прості множники?
Прості множники не можна далі поділити. Прості числа діляться тільки на себе і на 1, наприклад, 13: 1 \u003d 13 або 13:13 \u003d 1 і все. А розкладати краще поступово.
Наприклад 60 \u003d 6 × 10, 6 \u003d 2 × 3 і 10 \u003d 2 × 5, значить 60 \u003d 2 × 3 × 2 × 5.

Для вирішення подібних завдань потрібно знати теореми - ознаки подільності натуральних чисел. Чим більше ви знаєте ознак, тим швидше вирішите задачу. Повторіть основні з них.

Ознаки подільності натуральних чисел

З тих пір, як людство винайшло звичайні і десяткові дроби, ми можемо застосовувати операцію ділення до будь-яких величинам. Однак, поняття подільність чисел зазвичай розглядають на безлічі натуральних чисел. Коли ми говоримо "число ділиться", то маємо на увазі, що розподіл відбувається без залишку і результатом ділення також є натуральне число.

Ознака подільності на 2.

На 2 діляться всі парні числа. Ми тому і називаємо їх парними.

Число ділиться на два тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто 2, 4, 6, 8, 0.

Ознака подільності на 3.

Натуральне число ділиться на три тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

Наприклад, 4539861 ділиться на 3, тому що 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Число 36 ділиться на 3.
Наприклад, 394762 не ділиться на 3, тому що 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Число 31 не ділиться на 3.
Можете перевірити за допомогою улюбленого калькулятора
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Якщо сума цифр вийшла багатозначним числом, її подільність можна перевірити цим же ознакою.
Наприклад, +165394786171277984079 ділиться на 3, тому що 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 \u003d 111. 111 ділиться на 3, тому що 1 + 1 + 1 \u003d 3. Число 3 ділиться на 3.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

Ознака подільності на 4.

Натуральне число, що містить не менше трьох цифр, ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли ділиться на 4 двозначне число, утворене останніми двома цифрами заданого числа.

Що стосується перевірки подільності на 4 двозначного числа, то використовуємо той факт, що 4 \u003d 2 × 2, тобто розділити на 4 - те ж саме, що два рази поспіль розділити на 2. Тому, по-перше, двозначне число повинне бути парним, а, по-друге, його легко розділити на 2 і подивитися чи є результат також парним числом. наприклад,

5773211789020783 не ділиться на 4, тому що 83 не ділиться на 2.
4920904953478666 не ділиться на 4, тому що 66 : 2 \u003d 33 - непарне число.
5897592348940996 ділиться на 4, тому що 96 : 2 \u003d 48 - парне число.

Доказ працездатності цієї ознаки засноване на подільність 100 на 4 і теоремі про подільність суми, яка приведена нижче. Тут розглянемо пояснення на прикладі з наведеної задачі ЄДІ.
18161512 \u003d 18161500 + 12 \u003d 181 615 × 100 + 12 \u003d 181 615 × 25 × 4 + 3 × 4 \u003d (181615 × 25 + 3) × 4.
У дужках вийде натуральне число, значить вихідне число можна розділити на 4 без залишку.

Ознака подільності на 5.

Число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра або 5, або 0.

Ознака подільності на 6 зазвичай не формулюється як теорема. Так як 6 \u003d 2 × 3, то використовуються послідовно ознаки подільності на 2 і на 3. Таким чином, на 6 діляться парні числа, сума цифр яких ділиться на 3.
629 - не ділиться на 6, непарне.
692 - не ділиться на 6, парне, але 6 + 9 + 2 \u003d 17 не ділиться на 3.
792 - ділиться на 6, парне і 7 + 9 + 2 \u003d 18 ділиться на 3.

Ознака подільності на 8 також формулюється як теорема.
Так як 8 \u003d 2 × 4 і 1000 \u003d 250 × 4, тому для чисел більше 1000 по аналогії з ознакою подільності на 4 перевіряється подільність на 8 числа, утвореного трьома останніми цифрами, а для чисел менше 1000 (тризначних) використовуються послідовно безпосереднє розподіл на 2 і перевірка отриманого результату за ознакою поділу на 4. Наприклад,
58989081099472 - ділиться на 8, так як 472 : 2 \u003d 236, а 36 ділиться на 4.

Ознака подільності на 9.

Натуральне число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

Наприклад, 4539861 ділиться на 9, тому що 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Число 36 ділиться на 9.
Наприклад, 394762 не ділиться на 9, тому що 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Число 31 не ділиться на 9.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

Ознака подільності на 10.

Натуральне число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 0.

Ця ознака легко поширити на будь-які ступені десятки. Число ділиться на 100, коли дві його останні цифри є нулями, на 1000, коли в кінці три нуля і т.д.

легко запам'ятовуються ознак подільності на прості числа типу 7, 11, 13, 17 ..., на жаль немає. Організатори ЄДІ це знають і завдань, орієнтованих на застосування виключно таких методів вирішення не включать. Хоча за довгу історію розвитку техніки усного рахунку математики, звичайно, виявили та сформулювали деякі загальні особливості подільності таких чисел. Зацікавлені можуть звернутися до вікіпедії.

Я б порекомендувала тільки звернути увагу ще на число 11. Ясно, що двозначне число ділиться на 11, якщо воно складається з однакових цифр. Тризначне число ділиться на 11, якщо його середня цифра дорівнює сумі двох крайніх, або якщо сума першої і останньої цифр дорівнює середній цифрі плюс 11. Наприклад, 495 ділиться на 11, так як 4 + 5 \u003d 9, а 957 ділиться на 11, так як 9 + 7 \u003d 5 + 11.

А в заучуванні ознак подільності на складові числа немає необхідності. Складові числа можна розкласти на прості множники.

Теореми про подільність твори і суми натуральних чисел.

Якщо в творі хоча б один із співмножників ділиться на деяке число, то і твір, добуток ділиться на це число.

Наприклад, твір 475 × 1230 × 800 ділиться на 3, так як другий співмножник задовольняє ознакою поділу на 3 - сума його цифр 1 + 2 + 3 + 0 \u003d 6 ділиться на 3.

Якщо кожний доданок ділиться на деяке число, то і сума ділиться на це число.

Наприклад, сума 475 + 1230 + 800 ділиться на 5, так як кожне сгагаемое задовольняє ознакою поділу на 5.

Протилежне твердження про подільність суми не вірно. Якщо кожний доданок суми не ділиться на якесь число, то для суми можливі обидва варіанти, як ділиться, так і не ділиться.
43 не ділиться на 5, 17 не ділиться на 5, 43 + 17 \u003d 60 ділиться на 5.

Протилежне твердження про подільність твори можна сформулювати тільки після розкладання дільника на прості множники. Власне цього дійства і була присвячена завдання, яка поміщена на початку розділу.

Якщо ви дружите з алгеброю і вмієте виносити загальний множник за дужки і скорочувати звичайні дроби, то теорему про подільність суми можна запам'ятати як наявність загального сомножителя, а теорему про подільність твори, як можливість скоротити звичайну дріб.

Користуючись теоремою про подільність суми, можна "зекономити" на обчисленнях, наприклад, при перевірці ознак подільності на 3 і на 9. При додаванні цифр великих чисел можна з суми викинути все цифри явно діляться, відповідно, на 3 або 9.
повернемося до останньому наприклад з пункту "ознака поділу на 3".
Для числа +165394786171277984079 замість 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 обчислюємо 1 + 5 + 4 + 7 + 8 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 \u003d 69. Результат той же - ділиться на 3.

І останнє:
Математики не люблять багато писати. Довгі пропозиції і повтори одних і тих же слів хороші при поясненні рішення, але при його записи бажано користуватися умовними позначеннями. Для терміна "ділиться" можна використовувати символ ⋮ вертикальне крапки.
48⋮ 6 означає, що 48 ділиться на 6, або що число 48 кратно числу 6.

Завдання для самоперевірки.

Тут наведені завдання з рішеннями, які тимчасово приховані, щоб ви могли спочатку самостійно подумати над ними, а потім натиснути кнопку для порівняння свого і мого рішень. Аналогічні завдання з перевіркою вашої відповіді можна знайти в Відкритому банку завдань федерального інституту педагогічних вимірювань.

завдання 1

Наведіть приклад п'ятизначного числа кратного 12, твір цифр якого дорівнює 40. У відповіді вкажіть рівно одне таке число.

Показати рішення

Розкладемо число 40 на прості множники. 40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5.
Таких множників всього чотири, цифр недостатньо для п'ятизначного числа, але в твір завжди можна додати одиницю, результат від цього не зміниться.
40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5 × 1.
Таким чином, число у відповіді можна скласти тільки з цих цифр: 1,2,2,2,5.
Щоб число було кратним 12 (те ж саме, що поділялося на 12 без залишку) воно повинно задовольняти ознаками подільності на 3 і на 4, так як 12 \u003d 3 × 4.
Перевіримо суму чисел 1 + 2 + 2 + 2 + 5 \u003d 12. Вона ділиться на 3, тому наше число ділитиметься на 3 при будь-яких перестановках цифр.
А щоб воно ділилося на 4, в кінці потрібно поставити дві цифри так, щоб утворене ними число ділилося на 4.
Очевидно, що останньою цифрою повинна бути 2-ка, інші - непарні. Перевіримо варіанти 12, 22, 52.
12: 4 \u003d 3; 22: 4 \u003d 11: 2 - не ділиться без остачі; 52: 4 \u003d 13.
Висновок: число повинно бути складено так, щоб в кінці було 12 або 52, а на початку будь-які перестановки з решти трьох цифр.
Можливі відповіді: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. У відповідь пишемо один з них. наприклад,

відповідь: 21252

зауваження: ваше рішення має бути дещо коротший, адже досить знайти хоча б один з можливих відповідей.

завдання 2

Наведіть приклад тризначного числа кратного 15, твір цифр якого дорівнює 30. У відповіді вкажіть рівно одне таке число.

Показати рішення

Розкладемо число 30 на прості множники. 30 \u003d 2 × 3 × 5.
Таких множників три, нам потрібно скласти тризначне число, яке ділиться на 15, тобто задовольняє ознаками подільності на 3 і на 5, так як 15 \u003d 3 × 5.
Щоб число ділилося на 5, воно повинно закінчуватися цифрою 5.
Перевіримо суму чисел 2 + 3 + 5 \u003d 10. Сума цифр не ділиться на 3, тому наше число не буде ділитися на 3 при будь-яких перестановках цифр.
Глухий кут? Ні. Знову згадуємо, що в якості співмножників можна додати будь-яку кількість одиниць і результат не зміниться.
Уявімо 30 як 2 × 3 × 5 × 1.
Тепер можливих цифр для складання тризначного числа більше, ніж потрібно. Тому згрупуємо деякі прості множники в складові: 2 × 5 \u003d 10 і 3 × 5 \u003d 15 це не цифри, а двозначні числа. 2 × 3 \u003d 6 Число 6 позначається цифрою 6.
Уявімо 30 як 6 × 5 × 1.
Перевіримо суму чисел 6 + 5 + 1 \u003d 12. Ділиться на 3. Таким чином, число у відповіді можна скласти з цифр: 6,5,1. Останньою цифрою повинна бути 5-ка.

Можливі відповіді: 615, 165

завдання 3

Цифри чотиризначного числа, кратного 5, записали в зворотному порядку і здобули другу чотиризначне число. Потім з першого числа відняли друге і отримали 2277. Наведіть рівно один приклад такого числа.

Показати рішення

Число, кратне 5, закінчується цифрами 0 або 5. Тоді число, записане в зворотному порядку, має починатися з 0 або з 5. Якщо число починається з 0, то воно вже не буде чотиризначним, а стане тризначним, так як 0 на початку зазвичай не пишуть. Наприклад, 0348 це просто 348. Значить шукане число закінчується цифрою 5. Решта його цифри позначимо буквами a, b, c. Саме число в такому випадку позначається abc5____ .
Риса вгорі тут потрібна для того, щоб не плутати це позначення з алгебри твором змінних ( a помножити на b, помножити на з ...). Число записане в зворотному порядку позначається 5 сba____ .
За умовою

abc5____ − 5сba____ = 2277.
Уявімо собі, що ми виконуємо це віднімання в стовпчик.
1) 5 менше 7, значить при відніманні доводилося займати десяток.
10 + 5 − a = 7. a = 15 − 7 = 8.
2) При відніманні десятків не так очевидно, займали або не посідали одиницю в розряді сотень. Спочатку припустимо, що не посідали. Тоді з зменшеного на одиницю числа c ви читали b і отримали 7
(c − 1) − b = 7. c = 8 + b.
Такому варіанту підходять b \u003d 0 і b \u003d 1. Великі значення b збільшать c до двозначного числа. Воозьмём наприклад b \u003d 1, тоді c \u003d 9, і перевіркою переконуємося в тому, що число 8195 задовольняє умові завдання.

відповідь: 8195

зауваження: Може бути ще вірну відповідь 8085, якщо вибрати b \u003d 0 на кроці 2). Чи спрацює допущення, що при відніманні десятків займали одиницю в розряді сотень, перевірте самостійно.

середнє загальна освіта

Лінія УМК Мерзляков. Алгебра і початки аналізу (10-11) (У)

Лінія УМК А. Г. Мерзляк. Алгебра і початки аналізу (10-11) (Б)

Лінія УМК Г. К. Муравіна. Алгебра і початки математичного аналізу (10-11) (углиб.)

Лінія УМК Г.К. Муравіна, К.С. Муравіна, О.В. Муравин. Алгебра і початки математичного аналізу (10-11) (баз.)

ЄДІ-2018 з математики, базовий рівень: завдання 19

Вашій увазі ми пропонуємо розбір 19 завдання ЄДІ 2018 року по математиці. Стаття містить докладний аналіз завдання, алгоритм рішення і рекомендації актуальних посібників для підготовки до ЗНО, а також добірку матеріалів з математики, опублікованих раніше.

Математика: алгебра і початки математичного аналізу, геометрія. Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. Базовий рівень

Підручник входить в УМК з математики для 10-11 класів, які вивчають предмет на базовому рівні. Теоретичний матеріал розділений на обов'язковий і додатковий, система завдань диференційована за рівнем складності, кожен пункт глави завершується контрольними питаннями і завданнями, а кожна глава - домашньої контрольної роботою. У підручник включені теми проектів і зроблені посилання на інтернет-ресурси.

завдання 19

На дошці написано більше 40, але менше 48 цілих чисел. Середнє арифметичне цих чисел дорівнює -3, середнє арифметичне всіх позитивних з них дорівнює 4, а середнє арифметичне всіх негативних з них одно -8.

а) Скільки чисел написано на дошці?

б) Яких чисел написано більше: позитивних чи негативних?

в яке найбільша кількість позитивних чисел може бути серед них?

Рішення

А) Нехай серед написаних чисел

x - позитивних

y - негативних

z - нулів

Тоді маємо, що

• сума позитивних чисел дорівнює 4 x
• сума негативних чисел дорівнює -8 y
• сума всіх чисел ряду 4 x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4(x – 2y + 0z) = –3(x + y + z)

Оскільки ліва частина рівності кратна 4, то і права частина рівності повинна бути кратна 4, значить

x + y + z(Кількість чисел) кратно 4.

40 < x + y + z< 48,

x + y + z= 44

Значить на дошці написано 44 числа.

Б) Розглянемо рівність 4 x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4x– 8y= – 3x– 3y– 3z

4x + 3x + 3z = 8y – 3y

7x + 3z = 5y

Звідси отримуємо, тому що z ≥ 0 (кількість нулів в ряду)

7x < 5y

x < y

Значить позитивних чисел менше, ніж негативних.

В) Оскільки x + y + z \u003d 44, підставимо це значення в рівність 4 x+ (–8y) + 0z = –3(x + y + z),

4x– 8y \u003d (-3 · 44) / 4

x -2y = –33

x = 2y – 33

Враховуючи що x + y + z \u003d 44, маємо x + y ≤ 44, підставимо x = 2y - 33 в таку нерівність

2y – 33 +y≤ 44

3y ≤ 77

y≤ 25	2
	3

y≤ 25, враховуючи, що x = 2y - 33 отримуємо x ≤ 17.

Управління освіти адміністрації муніципального району

"Бабаюртівський район"

Семінар методичного об'єднання математики.

Тема:Рішення завдань №19 з базової частини ЄДІ -2017

(Цифровий запис числа).

Виступив: Теріков Рамазан Пашаевіч,

учитель математики та інформатики

МКОУ "Бабаюртівському СОШ№2 ім.Б.Т. C атибалова "

24.01.2017 рік.

Рішення завдань №19 з базової частини ЄДІ -2017 (Цифровий запис числа)

Починаючи з 2017 року в базовій частині ЄДІ з математики ввели завдання на ознаки подільності.

Чому то діти добре запам'ятовують ознаки подільності на 2 і на 5, а інші ознаки забувають.

1.Натуральное число ділиться на 2 тоді і тільки тоді, коли остання цифра числа закінчується парної цифрою тобто 0, 2, 4, 6 або 8.

2.Натуральний число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли остання цифра числа закінчується на 0 або на 5.

3. Натуральне число ділиться на 3 або на 9 тоді і тільки тоді коли сума його цифр ділиться відповідно на 3 або на 9.

4. Натуральне число ділиться на 4 або 25 тоді і тільки тоді коли число, утворене останніми його двома цифрами нулі або ділиться відповідно

на 4 або 25.

Тепер розглянемо ознаки подільності деякі прості числа:

5. Натуральне число ділиться на 7 тоді і тільки тоді коли різниця між числом десятків і подвоєною цифрою одиниць поділяється на 7.

6. Натуральне число ділиться на 11 тоді і тільки тоді коли різниця між сумою цифр, що стоять на парних місцях і сумою цифр, що стоять на непарних місцях ділиться на 11

7.НатуральноеЧисло ділиться на 13 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене з учетверённим числом одиниць, кратно 13

8.Натуральное число ділиться на 17 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене зі збільшеним в 12 раз числом одиниць, кратно 17

9.Натуральное число ділиться на 19 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, кратно 19.

10. Число ділиться на 23 тоді і тільки тоді, коли число його сотень, складене з потроєною числом десятків, кратно 23.

11.Натуральное число ділиться на тоді і тільки тоді, коли число десятків,

складене з потроєною числом одиниць, ділиться на 29.

Трохи про загальні властивості.

якщоm, k не мають спільних дільників, крім 1, і числоn ділиться наm і ділиться наk , тоn ділиться наmk .. Якщо ж найбільший спільний дільникm іk вище 1, така ознака використовувати не можна. Наприклад, якщо число одночасно ділиться на 4 і 6, то не факт, що воно ділиться на 24 (приклад - 36).

Тільки що названий ознака можна узагальнити так: якщо число n ділиться наm і ділиться наk , тоn ділиться на найменше спільне кратнеm іk . Наприклад, якщо число ділиться на 4 і на 6, то воно ділиться на 12.

нехай p \u003d kq , деk \u003e 1 - натуральне число. якщоn ділиться наp , тоn ділиться наq , а якщоn не ділиться наq , тоn не ділиться і наp . Яскравий приклад: непарне число не ділиться на 4, оскільки воно не ділиться на 2, в підсумку тут можна навіть не використовувати правило останньої пари цифр, назване вище (у разі парного числа для перевірки подільності на 4 доведеться застосовувати то правило).

Тепер, розглянемо ознаки подільності на деякі складові числа:

на 6, 8. 12,18,20,24.

1. Натуральне число ділиться на 8 тоді і тільки тоді коли число, утворене останніми його трьома цифрами нулі або ділиться на 8.

2. натуральне число ділиться на 12 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 3 і на 4.

3. натуральне число ділиться на 18 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 і на 9.

4. натуральне число ділиться на 20 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 4 і на 5.

5. натуральне число ділиться на 24 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 3 і на 8.

А тепер розглянемо конкретні приклади з ЄДІ. Почнемо з самих простеньких.

1 . Викресліть в числі 141565041 три цифри так, щоб вийшло число ділилося

на 30. У відповіді вкажіть рівно одне число, що вийшло.

Рішення:натуральне число ділиться на 30 тоді і тільки тоді, коли воно

ділиться на 3 і на 10 т.к 3 і 8 - взаємно прості числа. Тому останньою цифрою повинен бути обов'язково 0, тоді останні дві цифри йдуть відразу.

Подільність на 10 виконалося, залишилося виконати подільність на 3 та викреслити одне число.

Сума останніх цифр дорівнює 1 + 4 + 1 + 5 + 6 + 5 + 0 \u003d 22.Значіт, можна викреслити лібо1 (в будь-якій позиції) або 4. Тоді виходять три числа: 415650, 145650 і 115650.В відповіді вкажемо одне з них .

2. Наведіть приклад тризначного числа, сума цифр якого дорівнює 20, а сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9.

Рішення:

Тризначне число, сума цифр яких дорівнює 20 можна можна записати наступним чином (позиція цифр не має значення тому що мова йде про суму цифр):

Для зручності почнемо з чисел, що починаються з 9, таких у нас чотири, числа, що починаються з цифри 8 дві і одне число починається з цифри 7.

9 92, 9 83, 9 74, 9 65 8 84, 8 75, 8 66, 7 76.

І так таких чисел всього 8. З них 1,2,4,6 явно видно, що сума квадратів цифр не діляться на 3 (так кА по 2 цифри кратно 3, а одна не кратно 3.

3. Знайдіть тризначне натуральне число, більше 400, яке при діленні на 6 і на 5 дає рівні ненульові залишки і перша зліва цифра якого є середнім арифметичним двох інших цифр. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Рішення:

Число ділиться на 5 і 6 якщо воно ділиться на 30.

Ненульові однакові залишки при діленні на 5 і 6 можуть бути тільки 1,2,3 або 4.

Тому шукані числа можуть мати вигляд: 30k +1, 30 k +2, 30 k +3, ілі30k +4.

Так як 400: 3 \u003d 13, (3), то перше шукане тризначне число виду30 k +1 одно421.Дальше складемо список:

421,451,481,511,541,571,601,631,661,691,721,751,781,811,841,871,901,931,961,991.

422,452,482,512,542,572,602,632,662,692,722,752,782, 812,842,872,902,932,962,992

423,453,483,513,543,573,603,633,663,693,723,753,783, 813,843,873,903,933,963,993

424,454,484,514,544,574,604,634,664,694,724,754,784, 814,844,874,904,934,964,994

Я розумію, що занадто багато чисел вийшло, але вони легко складаються.

Тепер залишилося виконати останню умову: першазліва цифра є середнім арифметичним двох інших цифр. Це легко підібрати усно з цього списку, це числа: 453, 573 і 693. У відповіді потрібно вказати одне з них.

4. Знайдіть тризначне число, кратне 25, всі цифри якого різні, а сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Пояснення.

Щоб число ділилося на 25, воно повинно закінчуватися на 00, 25, 50 або 75.Випішем все такі тризначні числа:

100,125,150,175,200,225, 250,275,300,325,350.475,500,525,550,575,600,625,650,

675,700,725,750,775,800,825,850,875,900,925,950,975.

З огляду на, що всі цифри різні, з цього списку залишаються:125,150,175, 250,275, 325,350,475, 525, 575, 625,650,675, 725,750, 825,850,875, 925,950,975.

Легко перевірити, що серед цих чисел тільки у наступних чисел сума квадратів ділиться на 3: 125,175, 275, 425,475,725,825 і 875.

Залишилося відсіяти з них числа, сума квадратів яких кратно 9. У результаті залишаються числа 125, 175, 275, 725, 825, 875 . У відповіді вкажемо одне з них.

5. Знайдіть чотиризначне число, кратне 88, всі цифри якого різні і парні. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Пояснення.

Число ділиться на 88, якщо воно ділиться на 8 і на 11. Ознака подільності на 8: число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли три його останні цифри - нулі або утворюють число, яке ділиться на 8. Ознака подільності на 11: число ділиться на 11, якщо сума цифр, які стоять на парних місцях дорівнює сумі цифр, що стоять на непарних місцях, або різниця цих сум ділиться на 11. Використовуючи ознака подільності на 8, і з огляду на, що всі цифри шуканого числа повинні бути парні і різні отримуємо , що останніми цифрами числа можуть бути: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Використовуючи ознака подільності на 11 отримаємо, що умові завдання задовольняють числа: 6248, 8624, 2640.

відповідь:2640, 6248 або 8624.

Завдання №19 ЄДІ з математики вельми незвично. Для його вирішення необхідно застосувати знання в області теорії чисел. Проте, завдання є досить важливість справ, однак для школярів з оцінкою добре і нижче я рекомендував би залишити це завдання на останню чергу. Перейдемо до розгляду типового варіанту.

Розбір типових варіантів завдань №19 ЄДІ з математики базового рівня

варіант 19МБ1

Знайдіть тризначне число, сума цифр якого дорівнює 20, а сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. У відповіді вкажіть яке-небудь воно таке число.

Алгоритм виконання:

1. Ввести умовні позначення.
2. Записати умови за допомогою умовних позначень.
3. Перетворити отримані вирази.
4. Логічно міркуючи перебрати всі можливі варіанти, Перевірити їх відповідність умовам.

Рішення:

Позначимо першу цифру числа x, а другу - y. Тоді третє число з урахуванням суми цифр дорівнює 20 дорівнюватиме 20 - (x + y). (X + y) обов'язково менше 10, інакше сума рівна 20 не вийде.

За умовою сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. Запишемо суму квадратів цифр:

x 2 + y 2 + (20 - (x + y)) 2

Перетворимо отримане вираження. Перетворимо квадрат різниці з урахуванням формули приведення.

Квадрат різниці двох виразів дорівнює сумі квадратів цих виразів мінус подвоєний добуток першого і другого виразів.

(20 - (x + y)) 2 \u003d 400 -40 (x + y) + (x + y) 2

Підставами вийшло вираз в початкове, отримаємо:

x 2 + y 2 + (20 - (x + y)) 2 \u003d x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + (x + y) 2

Квадрат суми двох виразів дорівнює сумі квадратів цих виразів плюс подвоєний добуток першого і другого виразів.

(X + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2

підставами:

x 2 + y 2 + (20 - (x + y)) 2 \u003d x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + (x + y) 2 \u003d x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + x 2 + 2xy + y 2

Наведемо подібні доданки (складемо x 2 з x 2 і y 2 з y 2), отримаємо:

x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2 + 2 · 200 - 2 · 20 (x + y) + 2xy

Винесемо множник 2 за дужку:

2x 2 + 2y 2 + 2 · 200 - 2 · 20 (x + y) + 2xy \u003d 2 (x 2 + y 2 + 200 - 20 (x + y) + xy)

Для зручності об'єднаємо 200 і 20 (x + y) і винесемо 20 за дужку, отримаємо:

2 (x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy)

Множник 2 - парний, тому він ніяк не впливає на подільність на 3 або 9. Чи можемо його не брати в розрахунок і розглядати вираз:

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy

Припустимо, що і x, і y діляться на 3. Тоді x 2 + y 2 + xy ділиться на 3, а 20 (10 - (x + y)) - не ділиться. Отже, і вся сума x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy на 3 не ділиться.

Припустимо, що на 3 ділиться тільки одна цифра. Тоді, враховуючи, що (x + y) обов'язково менше 10, інакше сума рівна 20 не вийде, підберемо можливі пари.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом підстановки перевіримо, чи відповідають ці пари умові.

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy \u003d 3 2 + 8 2 + 20 (10 - (3 + 8)) + 3 · 8 \u003d 9 + 64 - 20 + 24 \u003d 77

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy \u003d 6 2 + 5 2 + 20 (10 - (6 + 5)) + 6 · 5 \u003d 36 + 25 - 20 + 30 \u003d 71

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy \u003d 6 2 + 7 2 + 20 (10 - (6 + 7)) + 6 · 7 \u003d 36 + 49 - 60 + 42 \u003d 67

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy \u003d 6 2 + 8 2 + 20 (10 - (6 + 8)) + 6 · 8 \u003d 36 + 64 - 80 + 48 \u003d 68

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy \u003d 9 2 + 2 2 + 20 (10 - (9 + 2)) + 9 · 2 \u003d 81 + 4 - 20 + 18 \u003d 83

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy \u003d 9 2 + 4 2 + 20 (10 - (9 + 4)) + 9 · 4 \u003d 81 + 16 - 60 + 36 \u003d 73

Жодна з отриманих сум не задовольняє умові «сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9».

Наступні пари можна не перевіряти, тому що вони дають вже наявні трійки цифр.

Припустимо, що жодна з цифр числа не ділиться на 3.

Можливі пари:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

перевіримо:

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy \u003d 4 2 + 7 2 + 20 (10 - (4 + 7)) + 4 · 7 \u003d 16 + 49 - 20 + 28 \u003d 73

x 2 + y 2 + 20 (10 - (x + y)) + xy \u003d 5 2 + 7 2 + 20 (10 - (5 + 7)) + 5 · 7 \u003d 25 + 49 - 40 + 35 \u003d 69

Сума 69 задовольняє умові «сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9». Отже, підходять цифри 5,7,8 в будь-якому порядку.

варіант 19МБ2

На 6 картках написані цифри 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одній цифрі на кожній картці). У вираженні □ + □□ + □□□ замість кожного квадратика поклали картку з набору. Виявилося, що отримана сума ділиться на 10. Знайдіть цю суму. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Алгоритм виконання:

1. Згадати ознака подільності на 10.

Рішення:

1. Якщо сума ділиться на 10 без остачі, то остання цифра повинна бути 0, інші цифри значення не мають.

2. У перший квадрат помістимо цифру 1, в наступному числі на останньому місці - цифру 3 (або 6), а в третьому - цифру 6 (або 3), отримаємо (сума 1 + 3 + 6 \u003d 10):

3. Інші цифри заповнимо довільно, наприклад, так:

і вийде сума

1+23+996 = 1020.

Відповідь 1020

варіант 19МБ3

На 6 картках написані цифри 1; 2; 2; 3; 5; 7 (по одній цифрі на кожній картці). У вираженні □ + □□ + □□□ замість кожного квадратика поклали картку з набору. Виявилося, що отримана сума ділиться на 20. Знайдіть цю суму. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Алгоритм виконання:

1. Згадати ознака подільності на 10 і сформулювати ознаку подільності на 20.
2. Розмістити останні цифри кожного доданка таким чином, щоб в сумі вийшло 10.
3. Розмістити передостанні цифри кожного доданка таким чином, щоб в сумі вийшло парне число в результаті з урахуванням суми перших цифр.
4. Розташувати залишилися картки в довільному порядку.

Рішення:

1. Щоб сума ділилася на 20, вона повинна закінчуватися на 0 і друга цифра з кінця повинна бути парному (ділитися на 2). Щоб в кінці суми отримати 0, перші три картки слід вибрати так:

2. Щоб другу цифру отримати парної, можна взяти картки 2 і 7 (до неї буде додаватися ще 1 від першої суми 10):

3. В останнє місце поміщаємо залишилася цифру 1, в результаті маємо:

і сума дорівнює:

варіант 19МБ4

Знайдіть чотиризначний число, кратне 15, твір цифр якого більше 0, але менше 25. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

алгоритм виконання

1. Якщо твір\u003e 0, то, значить, вона не дорівнює нулю. Отже, жоден з множників не може бути рівним 0.
2. Якщо твір кратно 15, отже, воно кратно 5 і кратно 3.
3. Якщо твір кратно 5, то результат його повинен закінчуватися 0 або 5. В даному випадку беремо 5, тому що 0 не може бути одним з множників (см.п.1).
4. Отже, остання цифра числа дорівнює 5. Тоді твір перших трьох дорівнює 25: 5 \u003d 5. Це означає, що потрібно личити 3 цифри так, щоб їх твір був менше 5.
5. З усіх отриманих наборів цифр вибираємо такий, щоб сума цих цифр плюс 5 (остання, 4-я цифра) була кратною 3.

Рішення:

Оскільки за умовою твір всіх цифр кратно 15, то воно кратно 5 і 3.

Кратність 5 означає, що останньою цифрою числа може бути тільки 0 або 5. Але 0 у вигляді останньої цифри означав би, що твір всіх 4-х цифр стало б рівним 0; а це суперечить умові. Тоді остання цифра шуканого числа дорівнює 5.

Тоді отримаємо: x · y · z · 5<25 → x·y·z<5, где x, y, z – соответственно, 1-я, 2-я и 3-я цифры искомого числа.

Менше 5 твір таких цифр: 1 1 1, 1 + 1 3, 1 + 1 2, 1 2 + 2.

Згідно ознакою подільності на 3, вибираємо з цих наборів такий, щоб сума його цифр плюс 5 ділилася на 3:

1 + 1 + 1 + 5 \u003d 8 - не підходить;

1 + 1 + 3 + 5 \u003d 10 - не підходить;

1 + 2 + 2 + 5 \u003d 10 - не підходить

1 + 1 + 2 + 5 \u003d 9 - підходить.

Тоді умові завдання відповідають числа: 1125 , 1215 , 2115 .

Відповідь: 1 125 1215, 2115

варіант 19МБ5

Викресліть в числі 85417627 три цифри так, щоб вийшло число ділилося на 18. У відповіді вкажіть якусь одну вийшло число.

алгоритм виконання

1. Число ділиться на 18, якщо воно кратно 2 і 9.
2. Кратність 2 означає, що число повинне бути парним. Тому відразу відкидають останню - непарну - цифру 7.
3. Кратність 9 означає, що сума його цифр ділиться на 9. Значить, знаходимо суму останніх цифр. Далі визначаємо відповідне для отриманої суми число, кратне 9. Число повинно бути таким, щоб: а) воно було меншим суми цифр; б) різниця між цією сумою та знайденим числом дозволяла виділити в числі 2 цифри, сума яких дорівнювала б цієї різниці. Викреслюємо ці цифри.

Рішення:

Оскільки за умовою число кратно 18, то воно кратно 2 і кратно 9.

Оскільки число кратно 2, то воно повинно закінчуватися парному цифрою. 7 - непарна цифра, тому викреслюємо її. Залишилося: 8541762.

Оскільки отримане число кратно 9, то сума його цифр повинна ділитися на 9. Знаходимо загальну суму його цифр: 8 + 5 + 4 + 1 + 7 + 6 + 2 \u003d 33. Найближче число, яке ділиться на 9, - це 27.

33-27 \u003d 6 - це сума двох цифр, які потрібно викреслити. Пари цифр, які при цьому в сумі дають 6, - це 5 і 1 або 4 і 2. Викресливши їх, отримуємо відповідно: 84762 або 85176 .

Крім цього, на 9 ділиться 18. Тоді 33-18 \u003d 15. В цьому випадку викреслити доведеться 8 і 7. Отримуємо: 54162 .

На 9 ділиться ще і 9, проте 33-9 \u003d 24, а пари чисел, які дали б в сумі 24, природно, не існує.

Відповідь: 84762, 85176, 54162

варіант 19МБ6

На шести картках написані цифри 3; 6; 7; 7; 8; 9 (по одній цифрі на кожній картці). У вираженні

Замість кожного квадратика поклали картку з даного набору. Виявилося, що отримана сума ділиться на 10, але не ділиться на 20.

У відповіді вкажіть якусь одну таку суму.

алгоритм виконання

1. У 2-му реченні тексту завдання фактично представлено умова, при якому сума ділиться на 10, однак не ділиться на 2.
2. З п.1 слід, що результуюче число повинно закінчуватися 0, а передостання його цифра повинна бути непарною.

Рішення:

Для зручності сприйняття розмістимо картки в стовпчик:

Якщо число ділиться на 10, але не ділиться на 20, значить, воно точно не ділиться на 2 без останнього нуля.

Оскільки число кратно 10, то воно повинно закінчуватися нулем. Тому в останньому розряді (одиниць) потрібно розташувати 3 картки з такими цифрами, щоб їх сума закінчувалася на 0. Підходять тут картки: 1) 6, 7, 7; 2) 3, 8, 9. Їх суми дорівнюють 20. Відповідно, 0 ми пишемо під рискою, а 2 переносимо на попередній розряд (десятків):

Щоб число не ділилося на 20, необхідно, щоб перед нулем стояла непарна цифра. Непарна сума тут вийде тоді, коли одна з складових буде непарних, а два інших парними. Одне з цих (інших) доданків - це перенесена 2. Тому з останніх цифр слід взяти: 1) 3 і 8; 2) 6 і 7. Отримуємо:

На місце сотень ставимо останню (що залишилася) картку з цифрою: 1) 9; 2) 7. Отримуємо, відповідно, числа 1030 і 850 :

Відповідь: 1030,850

варіант 19МБ7

Знайдіть парне тризначне нанатуральній число, сума цифр якого на 1 менше їх твори. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

алгоритм виконання

1. Вводимо буквені позначення для цифр шуканого числа. Виходячи з умови задачі, складаємо рівняння.
2. Висловлюємо одну з цифр через 2 інші.
3. Підбираємо для цих 2-х (інших) цифр значення так, щоб 3-тя (виражена) представляло б собою натуральне число. Обчислюємо 3-ю цифру.
4. Формуємо шукане число так, щоб воно було парним.

Рішення:

Нехай цифри шуканого числа - x, y, z. Тоді отримуємо:

xyz-x-y-z \u003d 1

z \u003d (x + y + 1) / (xy-1)

Знаменник в цьому виразі повинен бути цілим і позитивним. Для простоти (а також для гарантії правильних розрахунків) приймемо, що він повинен бути дорівнює 1. Тоді маємо: ху-1 \u003d 1 → ху \u003d 2. Оскільки х і у це цифри, то їх значення можуть бути рівними тільки 1 і 2 (тому що тільки твір цих однозначних натур.чісел дає в результаті 2).

Звідси z складає: z \u003d (1 + 2 + 1) / (1 · 2-1) \u003d 4/1 \u003d 4.

Отже, маємо цифри: 1, 2, 4.

Оскільки за умовою підсумкове число повинне бути парним, то закінчуватися воно може тільки 2 або 4. Тоді правильними варіантами чисел будуть такі:

124 , 142 , 214 , 412 .

Відповідь: 124, 142, 214, 412

варіант 19МБ8

Знайдіть шестизначне число, яке записується тільки цифрами 2 і 0 і ділиться на 24. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

алгоритм виконання

1. Якщо число ділиться на 24, значить, воно ділиться на 8 і на 3.
2. Згідно ознакою подільності на 8, 3 останніх цифри його повинні утворювати число, яке кратне 8.
3. Щоб число ділилося на 3, необхідно, щоб сума його цифр ділилася на 3. З огляду на вже сформовану 2-у частину числа (см.п.2), доповнюємо його першими трьома цифрами відповідно.

Рішення:

Щоб шукане число було кратно 24, потрібно, щоб воно ділилося на 8 і в той же час на 3.

Число ділиться на 8, якщо останні його 3 цифри утворюють число, кратне 8. З використанням тільки двійок і нулів таке тризначне число можна утворити так: 000, 002, 020, 022, 200, 202, 220, 222. З цих чисел на 8 ділиться тільки 000 і 200.

Тепер потрібно доповнити шукане число першими 3-ма цифрами так, щоб воно ділилося ще й на 3.

У 1-му випадку це буде єдиний варіант: 222000 .

У 2-му випадку варіантів два: 220200 , 202200 .

Відповідь: 222000, 220200, 202200

варіант 19МБ9

Знайдіть чотиризначний число, кратне 15, твір цифр якого більше 35, але менше 45. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

алгоритм виконання

1. Якщо число кратно 15, значить, воно кратно 3 і 5.
2. Застосовуємо ознака подільності на 5 і умову задачі, згідно з яким твір цифр числа ≠ 0. Так отримуємо, що остання цифра шуканого числа - тільки 5.
3. Ділимо 35 на 5 і 45 на 5. Дізнаємося діапазон значень, які може приймати твір перших 3-х цифр числа. Дізнаємося, що воно може бути одно тільки 8.
4. Визначаємо послідовності цифр, які дають при перемножуванні 8.
5. Перевіряємо отримані зі знайдених цифр числа на кратність трьом.

Рішення:

Кратність шуканого числа 15 дає 2 умови: воно повинно ділитися на 5 і на 3.

Якщо число кратно 5, то воно повинно закінчуватися цифрою 5 або 0. Однак 0 в даному випадку використовувати не можна, оскільки при цьому твір цифр числа виявляється рівним 0. За умовою же це не так. Отже, остання - 4-я - цифра числа дорівнює 5.

За умовою 35< x·5 < 45, где х – произведение первых 3-х цифр числа. Тогда имеем: 7 < x < 9. Это неравенство верно только при х=8. Следовательно, для первых 3-х цифр должны выполняться равенства:

1 · 1 · 8 \u003d 8, 1 · 2 · 4 \u003d 8.

Звідси отримуємо числа:

1185 ; 1245 .

Перевіряємо їх на кратність 3:

Висновок: обидва знайдені числа кратні 3. Плюс кратні їх комбінації:

1815 ; 8115 ; 1425 ; 2145 ; 2415 ; 4125 ; 4215 .

Відповідь: 1815; 8115; 1425; 2145; 2415; 4125; 4215

варіант 19МБ10

Знайдіть п'ятизначні число, кратне 25, будь-які дві сусідні цифри якого відрізняються на 2. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

алгоритм виконання

1. Беремо до уваги, що на 25 діляться числа, які доведеться послідовно ділити на 5 двічі. Визначаємо, який парою цифр вони повинні закінчуватися.
2. З огляду на, що 2-й частиною умови є відмінність кожної сусідньої пари цифр виключно на 2 одиниці, вибираємо підходящий варіант (або варіанти) цифр.
3. Способом підбору знаходимо інші цифри і, відповідно, числа. Одне з них запишемо у відповіді.

Рішення:

Якщо число ділиться на 25, то воно повинно закінчуватися на: 00, 25, 50, 75. Оскільки сусідні цифри повинні відрізнятися строго на 2, то використовувати для 4-й і 5-й цифр можемо тільки 75. Отримуємо: *** 75.

1. ** 975 або
2. **575.

1) *7975 → 97975 або 57975 ;

2) *3575 → 13575 або 53575 , *7575 → 57575 або 97575 .

Відповідь: 97975, 57975, 13575, 53575, 57575, 97575

варіант 19МБ11

Знайдіть тризначне натуральне число, більше 600, яке при діленні на 3, на 4 і на 5 дає в залишку 1 і цифри якого розташовані в порядку убування зліва направо. У відповіді вкажіть яке-небудь таке число.

алгоритм виконання

1. Визначаємо діапазон значень для 1-ї цифри числа (сотень).
2. Визначаємо, який може бути остання цифра (одиниці), взявши до уваги: \u200b\u200b1) при розподілі на 5 дає в залишку 1; 2) на цьому місці не може бути парна цифра, оскільки це одна з умов подільності на 4.
3. Способом підбору визначаємо набір чисел, які при діленні на 3 дають в залишку 1.
4. З цього набору (см.п.3) відкидаємо числа, які при діленні на 4 дають залишок, відмінний від 1.

Рішення:

Оскільки шукане число\u003e 600 і при цьому є тризначним, то 1-й цифрою може бути тільки 6, 7, 8 або 9. Тоді отримуємо для шуканого числа:

Якщо число при діленні на 5 повинно давати в залишку 1, значить, воно може закінчуватися тільки на 0 + 1 \u003d 1 або на 5 + 1 \u003d 6. Шістку тут відкидаємо, оскільки в цьому випадку число парне і потенційно може ділитися на 4. Тому маємо:

Якщо число при діленні на 3 дає в залишку 1, значить, сума його цифр повинна бути кратною 3 плюс 1. Крім того, враховуємо, що цифри повинні розташовуватися в числі в порядку убування. Підбираємо такі числа:

З цієї послідовності відкидаємо числа, для яких не виконується умова про те, що число при діленні на 4 має давати в залишку 1.

Оскільки ознака подільності на 4 полягає в тому, що 2 останні цифри повинні ділитися на 4, то отримуємо:

для 631: 31 \u003d 28 + 3, тобто в залишку маємо 3; число не підходить

для 721 : 21 \u003d 20 + 1, тобто в залишку - 1; число підходить

для 751: 51 \u003d 48 + 3, тобто в залишку - 3; число не підходить

для 841 : 41 \u003d 40 + 1, тобто в залишку - 1; число підходить

для 871: 71 \u003d 68 + 3, тобто в залишку - 3; число не підходить

для 931: 31 \u003d 28 + 3, тобто в залишку - 3; число не підходить

для 961 : 61 \u003d 60 + 1, тобто в залишку - 1; число підходить

Відповідь: 721, 841, 961

варіант 19МБ12

Знайдіть тризначне натуральне число, більше 400, але менше 650, яке ділиться на кожну свою цифру і все цифри якого різні і не рівні 0. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

алгоритм виконання

1. З умови випливає, що числа можуть починатися тільки на 4,5 або 6.
2. При аналізі чисел 4-й сотні відкидаємо числа: 1) 1-го десятка, тому що в них міститься 0; 2) 4-го десятка, тому що в цьому випадку перші дві цифри співпадуть; 3) числа 5-го десятка, тому що вони повинні закінчуватися тільки на 5 або 0, що є неприпустимим. Крім того, для всіх парних десятків можна розглядати тільки парні числа.
3. Числа 5-й сотні відкидаємо повністю, тому що щоб ділитися на кожну свою цифру, вони повинні закінчуватися 5 або 0.
4. Для чисел 6-й сотні розглядати можна тільки: 1) парні; 2) кратні 3; 3) не закінчуються 0.

Рішення:

Числа 40 * і 4 * 0 відкидаємо, тому що вони містять 0.

Числа 41 * годяться тільки парні, тому що це обов'язкова умова для кратності 4. Аналізуємо:

412 - підходить

414 - не підходить, тому що в ньому збігаються цифри

416 - не підходить, тому що не ділиться на 6

418 - не підходить, тому що не ділиться ні на 4, ні на 8

З чисел 42 * годяться тільки парні, оскільки повинні ділитися на 2:

422 і 424 - не підходять, тому що в них збігаються цифри

426 - не підходить, тому що не ділиться на 4

428 - не підходить, тому що не ділиться на 8

Числа 43 * годяться тільки парні і кратні 3. Тому тут підходить тільки 432 .

Числа 44 * не підходять повністю.

Числа 45 * не підходять повністю, тому що вони повинні закінчуватися тільки 5 (тобто бути непарними) або 0.

Числа 46 *, 47 *, 48 *, 49 * не підходять повністю, тому що для кожного з них не виконується 1 або кілька умов.

Числа 5-й сотні не годяться повністю. Вони повинні ділитися на 5, а для цього закінчуватися або 5, або 0, що не допускається.

Числа 60 * не годяться повністю.

Серед інших можна розглядати тільки парні, кратні 3, не закінчуються 0. Опускаючи подробиці перебору чисел, обговоримо тільки, що з них годяться: 612 , 624 , 648 . Для інших не виконується одна або кілька умов.

Відповідь: 412, 432, 612, 624, 648

варіант 19МБ13

Знайдіть чотиризначний число, кратне 45, всі цифри якого різні і парні. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

алгоритм виконання

1. Якщо число кратно 45, значить, воно ділиться на 5 і на 9.
2. Розглядати слід тільки числа парних сотень.
3. Закінчуватися числа можуть тільки 0, тому що 5 - непарна цифра.
4. Сума цифр числа повинна бути дорівнює 18. Тільки в цьому випадку можна скласти його з усіх парних чисел.

Рішення:

Оскільки за умовою цифри повинні бути парними, то розглядати можна тільки числа 2-й, 4-й, 6-й і 8-й тисяч. Це означає, що починатися воно може з 2, 4, 6 або 8.

Якщо число кратно 45, то воно кратно 5 і кратно 9.

Якщо число кратно 5, то воно повинно закінчуватися 5 або 0. Але оскільки всі цифри повинні бути парними, то підходить тут тільки 0.

Т.ч., отримуємо шаблони чисел: 2 ** 0, 4 ** 0, 6 ** 0, 8 ** 0. Звідси випливає, що для перевірки кратності 9 потрібно, щоб сума перших 3-х цифр була рівною 9, або 18, або 27 і т.д. Але підходить тут тільки 18. Підстави: 1) для отримання в сумі 9 потрібно, щоб одна з складових було непарним, а це суперечить умові; 2) 27 не підходить тому, що навіть якщо взяти найбільшу 1-ю цифру 8, то сума 2-й і 3-й цифр дорівнюватиме 27-8 \u003d 19, що перевищує допустиму межу. Ще більші суми цифр, кратні 9, не підходять тим більше.

Розглядаємо числа по тисячам.

Числа 2 ** 0. Сума середніх цифр дорівнює: 18-2 \u003d 16. Отримати 16 з парних чисел можна тільки так: 8 + 8. Однак цифри не повинні повторюватися. Тому відповідних умові чисел тут немає.

Числа 4 ** 0. Сума середніх цифр: 18-4 \u003d 14. 14 \u003d 8 + 6. Тому отримуємо: 4680 або 4860 .

Числа 6 ** 0. Сума середніх цифр: 18-6 \u003d 12. 12 \u003d 6 + 6, що не підходить, тому що цифри повторюються. 12 \u003d 4 + 8. отримуємо: 6480 або 6840 .

Числа 8 ** 0. Сума середніх цифр: 18-8 \u003d 10. 10 \u003d 2 + 8, що не підходить, тому що при цьому буде повторюватися 8. 10 \u003d 4 + 6. отримуємо: 8460 або 8640 .

Відповідь: 4680, 4860, 6480, 6840, 8460, 8640

Опис презентації по окремим слайдів:

1 слайд

Опис слайда:

2 слайд

Опис слайда:

Наведіть приклад тризначного числа, сума цифр якого дорівнює 20, а сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. Розкладемо число 20 на складові різними способами: 1) 20 \u003d 9 + 9 + 2 + 2) 20 \u003d 9 + 8 + 3 3) 20 \u003d 9 + 7 + 4 4) 20 \u003d 9 + 6 + 5 5) 20 \u003d 8 + 8 + 4 6) 20 \u003d 8 + 7 + 5. Знаходимо суму квадратів в кожному розкладанні і перевіряємо, чи ділиться вона на 3 і не ділиться на 9. При розкладанні способами (1) - (4) суми квадратів чисел не діляться на 3. При розкладанні способом (5) сума квадратів ділиться на 3 і на 9. Розпад способом (6) задовольняє умовам завдання. Відповідь: наприклад, числа 578 або 587 або 785 і т.д.

3 слайд

Опис слайда:

№ 2. Наведіть приклад тризначного натурального числа, більшого 600, яке при діленні на 3, на 4 і на 5 дає в залишку 1 і цифри якого розташовані в порядку убування зліва направо. У відповіді вкажіть рівно одне таке число. 600 ділиться на 3, 4 і 5. Число 601 дає в залишку 1 при діленні на ці числа, але цифри в 601 не зменшуються. НОК \u003d 3 * 4 * 5 \u003d 60 - ділиться на 3, 4 і 5. Перевіряємо число 600 + 60 \u003d 660. Воно ділиться на 3, 4 і 5, число з залишком 1 це 661, але цифри не зменшуються. Перевіряємо наступне 660 + 60 \u003d 720, воно ділиться на 3, 4 і 5. Число 721 дає в залишку 1 і цифри зменшуються. Відповідь: 721.

4 слайд

Опис слайда:

№ 3. Наведіть приклад п'ятизначного числа, кратного 12, твір цифр якого дорівнює 40. У відповіді вкажіть рівно одне таке число. Розкладемо 40 на 5 множників: 40 \u003d 5 * 2 * 2 * 2 * 1. Наприклад, 51222. Оскільки число повинне бути кратне 12, то воно повинно ділитися на 3 і 4. Сума цифр дорівнює 12, значить, воно ділиться на 3. Щоб число ділилося на 4, треба щоб дві останні цифри склали число, яке ділиться на 4. 22 не ділиться на 4, а 12 ділиться. Значить, в кінці стоять цифри 1, 2. Варіанти відповіді: 52212, 25212, 22512.

5 слайд

Опис слайда:

№ 4. Викресліть в числі 53164018 три цифри так, щоб вийшло число ділилося на 15. У відповіді вкажіть рівно одне число, що вийшло 5 3 1 6 4 0 1 8 - цифри числа. Щоб число ділилося на 15, треба, щоб воно ділилося на 3 та на 5. Щоб число ділилося на 5, треба, щоб воно закінчувалося на 0 або на 5. Викреслимо 2 останні цифри. 5 + 3 + 1 + 6 + 4 + 0 \u003d 19, значить треба викреслити цифру 1 (сума цифр буде 18), або 4 (сума цифр буде 15). Варіанти відповіді: 53640 або 53160.

6 слайд

Опис слайда:

№ 5. Знайдіть тризначне число більше 500 яке при діленні на 4 на 5 і на 6 дає в залишку 2 і в записі якого є тільки дві різні цифри. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число. Число яке ділиться на 4, 5 і 6 одно 60. Число більше 500 і кратне 60 це 540, 600, 660, 720, 780, 840, 900, 960. Щоб при розподілі на 60 в залишку отримати 2, треба до будь-якого з цих чисел додати 2. Це може бути 662 або 722.

7 слайд

№ 7. Знайдіть тризначне натуральне число, більше 400, але менше 650, яке ділиться на кожну свою цифру і все цифри якого різні і не дорівнюють нулю. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число. Число починається з цифри 4 (більше 400), значить воно має ділитися на 4. Друге число - 416. Воно ділиться і на 4. але не ділитися на 6. Перше число - 412. Воно ділиться і на 4 і на 2 (парне число ) число ділиться на 4, якщо закінчується на 00, або число, складене з двох останніх цифр даного числа, ділиться на 4. Ще число - 432. Воно ділиться і на 4, і на 3, і на 2. Варіанти відповіді: 412 або 432.