ЄДІ з математики профільний рівень

Робота складається з 19 завдань.
Частина 1:
8 завдань з короткою відповіддю базового рівня складності.
Частина 2:
4 завдання з короткою відповіддю
7 завдань з розгорнутою відповіддю високого рівня складності.

Час виконання - 3 години 55 хвилин.

Приклади завдань ЄДІ

Рішення завдань ЄДІ з математики.

Для самостійного рішення:

1 кіловат-годину електроенергії коштує 1 рубль 80 копійок.
Лічильник електроенергiї 1 листопада показував 12625 кіловат-годин, а 1 грудня показував 12802 кіловат-години.
Яку суму потрібно заплатити за електроенергію за листопад?
Відповідь дайте у рублях.

В обмінному пункті 1 гривня коштує 3 рубля 70 копійок.
Відпочиваючі обміняли рублі на гривні і купили 3 кг помідорів за ціною 4 гривні за 1 кг.
У скільки рублів обійшлася їм ця покупка? Відповідь округлите до цілого числа.

Маша відправила SMS-повідомлення з новорічними привітаннями своїм 16 друзям.
Вартість одного SMS-повідомлення 1 рубль 30 копійок. Перед відправкою повідомлення на рахунку у Маші було 30 рублів.
Скільки рублів залишиться у Маші після відправлення всіх повідомлень?

У школі є тримісні туристичні намети.
яке найменше число наметів потрібно взяти в похід, в якому бере участь 20 осіб?

Поїзд Новосибірськ-Красноярськ відправляється о 15:20, а прибуває о 4:20 наступного дня (час московський).
Скільки годин потяг знаходиться в дорозі?

Розв'яжіть рівняння:

1 / cos 2 x + 3tgx - 5 \u003d 0

Вкажіть коріння,
належать відрізку (-п; п / 2).

Рішення:

1) Запишемо рівняння так:

(Tg 2 x +1) + 3tgx - 5 \u003d 0

Tg 2 x + 3tgx - 4 \u003d 0

tgx \u003d 1 або tgx \u003d -4.

отже:

X \u003d п / 4 + ПK або x \u003d -arctg4 + ПK.

Відрізку (-п; п / 2)

Належать коріння -3п / 4, -arctg4, п / 4.

Відповідь: -3п / 4, -arctg4, п / 4.

А чи знаєте ви, що?

Якщо помножити ваш вік на 7, потім помножити на 1443, то результатом буде ваш вік написаний три рази поспіль.

Ми вважаємо негативні числа чимось природним, але так було далеко не завжди. Вперше негативні числа були узаконені в Китаї в III столітті, але використовувалися лише для виняткових випадків, так як вважалися, в загальному, бесмиссленнимі. Трохи пізніше негативні числа стали використовуватися в Індії для позначення боргів, але на захід від вони не прижилися - знаменитий Діофант Олександрійський стверджував, що рівняння 4x + 20 \u003d 0 - абсурдно.

американський математик Джордж Данциг, будучи аспірантом університету, одного разу спізнився на урок і прийняв написані на дошці рівняння за домашнє завдання. Воно здалося йому складніше звичайного, але через кілька днів він зміг його виконати. Виявилося, що він вирішив дві «нерозв'язані» проблеми в статистиці, над якими билися багато вчених.

У російській математичній літературі нуль не є натуральним числом, а в західній, навпаки, належить до безлічі натуральних чисел.

використовувана нами десяткова система числення виникла через те, що у людини на руках 10 пальців. Здатність до абстрактного рахунком з'явилася у людей не відразу, а використовувати для рахунку саме пальці виявилося найзручніше. Цивілізація майя і незалежно від них чукчі історично використовували двадцатічную систему числення, застосовуючи пальці не тільки рук, а й ніг. В основі поширених в древніх Шумері та Вавілоні Дванадцяткова і шестидесяткова систем теж було використання рук: великим пальцем відлічувалися фаланги інших пальців долоні, число яких дорівнює 12.

Одна знайома дама просила Ейнштейна подзвонити їй, але попередила, що номер її телефону дуже складно запам'ятати: - 24-361. Запам'ятали? Повторіть! Здивований Ейнштейн відповів: - Звичайно, запам'ятав! Дві дюжини і 19 в квадраті.

Стівен Хокінг - один з найбільших фізиків-теоретиків і популяризатор науки. В оповіданні про себе Хокінг згадав, що став професором математики, не отримуючи ніякого математичної освіти з часів середньої школи. Коли Хокінг почав викладати математику в Оксфорді, він читав підручник, випереджаючи власних студентів на два тижні.

Максимальне число, яке можна записати римськими цифрами, не порушуючи правил Шварцмана (правил запису римських цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - більше трьох цифр підряд писати не можна.

Відомо багато притч про те, як одна людина пропонує іншому розплатитися з ним за деяку послугу наступним чином: на першу клітку шахівниці той покладе одне рисове зернятко, на другу - два і так далі: на кожну наступну клітину вдвічі більше, ніж на попередню. В результаті той, хто розплачується таким чином, неодмінно розоряється. Це не дивно: підраховано, що загальна вага рису складе понад 460 мільярдів тонн.

У багатьох джерелах, найчастіше з метою підбадьорення погано успішних учнів, зустрічається твердження, що Ейнштейн завалив в школі математику або, більш того, взагалі вчився з рук геть погано з усіх предметів. Насправді все було не так: Альберт ще в ранньому віці почав проявляти талант в математиці і знав її далеко за межами шкільної програми.

ЄДІ 2020 по математиці завдання 19 з рішенням

демонстраційний варіант ЄДІ 2020 по математиці

ЄДІ з математики 2020 на форматі pdf Базовий рівень | профільний рівень

Завдання для підготовки до ЄДІ з математики: базовий і профільний рівень з відповідями і рішенням.

Математика: базовий | профільний 1-12 | | | | | | | | Головна

ЄДІ 2020 по математиці завдання 19

ЄДІ 2020 по математиці профільний рівень завдання 19 з рішенням

ЄДІ з математики

Число P дорівнює добутку 11 різних натуральних чисел, більших 1.
Яке найменше число натуральних дільників (включаючи одиницю і саме число) може мати число P.

Будь-яке натуральне число N представимо у вигляді добутку:

N \u003d (p1 x k1) (p2 x k2) ... і т.д.,

Де p1, p2 і т.д. - прості числа,

А k1, k2 і т.д. - цілі невід'ємні числа.

наприклад:

15 = (3 1) (5 1)

72 \u003d 8 х 9 \u003d (2 x 3) (3 2)

Так ось, загальна кількість натуральних дільників числа N одно

(K1 + 1) (k2 + 1) ...

Отже, за умовою, P \u003d N1 N2 ... N11, де
N1 \u003d (p1 x k) (p2 x k) ...
N2 \u003d (p1 x k) (p2 x k) ...
...,
а це значить, що
P \u003d (p1 x (k + k + ... + k)) (p2 x (k + k + ... + k)) ...,

І загальна кількість натуральних дільників числа P одно

(K + k + ... + k + 1) (k + k + ... + k + 1) ...

Цей вислів приймає мінімальне значення, якщо все числа N1 ... N11 є послідовними натуральними ступенями одного і того ж простого числа, починаючи з 1: N1 \u003d p, N2 \u003d p 2, ... N11 \u003d p 1 1.

Тобто, наприклад,
N1 \u003d 2 +1 \u003d 2,
N2 \u003d 2 + 2 \u003d 4,
N3 \u003d 2 3 \u003d 8,
...
N11 \u003d 2 1 + 1 \u003d 2048.

Тоді кількість натуральних дільників числа P одно
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

ЄДІ з математики

Знайдіть всі натуральні числа,
НЕ представимо у вигляді суми двох взаємно простих чисел, відмінних від 1.

Рішення:

Кожне натуральне число може бути або парних (2 k), або непарних (2 k + 1).

1. Якщо число непарне:
n \u003d 2 k + 1 \u003d (k) + (k + 1). Числа k і k + 1 завжди взаємно прості

(Якщо є певна кількість d, що є дільником x і y, то число | xy | теж має ділитися на d. (K + 1) - (k) \u003d 1, тобто 1 повинно ділитися на d, тобто d \u003d 1, а це і є доказ взаємної простоти)

Тобто ми довели, що всі непарні числа можуть бути представлені у вигляді суми двох взаємно простих.
Винятком за умовою будуть числа 1 і 3, оскільки 1 взагалі не можна представити у вигляді суми натуральних, а 3 \u003d 2 + 1 і ніяк інакше, а одиниця як доданка не підходить за умовою.

2. Якщо число парне:
n \u003d 2 k
Тут доведеться розглянути два випадки:

2.1. k - парне, тобто представимое у вигляді k \u003d 2 m.
Тоді n \u003d 4 m \u003d (2 m + 1) + (2 m-1).
Числа (2 m + 1) і (2 m-1) можуть мати загальний дільник тільки такий (див. Вище), на який ділиться число (2 m + 1) - (2 m-1) \u003d 2. 2 ділиться на 1 і 2.
Але якщо дільник дорівнює 2, то виходить, що непарне число 2 m + 1 повинно ділитися на 2. Цього не може бути, тому залишається тільки 1.

Так ми довели, що всі числа виду 4 m (тобто кратні 4) теж можуть бути представлені у вигляді суми двох взаємно простих.
Тут виняток - число 4 (m \u003d 1), яке хоча і може бути представлено у вигляді 1 + 3, але одиниця як доданка нам як і раніше не підходить.

2.1. k - непарне, тобто представимое у вигляді k \u003d 2 m-1.
Тоді n \u003d 2 (2 m-1) \u003d 4 m-2 \u003d (2 m-3) + (2 m + 1)
Числа (2 m-3) і (2 m + 1) можуть мати загальний дільник, на який ділиться число 4. Тобто або 1, або 2, або 4. Але ні 2, ні 4 не годяться, оскільки (2 m + 1) - число непарне, і ні на 2, ні на 4 ділитися не може.

Так ми довели, що всі числа виду 4 m-2 (тобто всі кратні 2, але не кратні 4) теж можуть бути представлені у вигляді суми двох взаємно простих.
Тут виключення - числа 2 (m \u003d 1) і 6 (m \u003d 2), у яких одна з складових в розкладанні на пару взаємно простих дорівнює одиниці.

Наведіть приклад тризначного числа, сума цифр якого дорівнює 20, а сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9.

Рішення.

Розкладемо число 20 на складові різними способами:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

При розкладанні способами 1-4, 7 і 8 суми квадратів чисел не кратні трьом. При розкладанні п'ятим способом сума квадратів кратна дев'яти. Розкладання шостим способом задовольняє умовам завдання. Таким чином, умовою задачі задовольняє будь-яке число, записане цифрами 5, 7 і 8, наприклад, число 578.

Відповідь: 578 | 587 | 758 | 785 | 857 | 875

Джерело: Демонстраційна версія ЄДІ - 2015.

Знайдіть тризначне натуральне число, більше 400, яке при діленні на 6 і на 5 дає рівні ненульові залишки і перша зліва цифра якого є середнім арифметичним двох інших цифр. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Рішення.

Число має однакові залишки при діленні на 5 і на 6, отже, число має той же залишок при діленні на 30, причому цей залишок не дорівнює нулю і менше п'яти. Таким чином, шукане число може мати вигляд:.

При. Жодне з чисел не більше 400

При: 421, 422, 423, 424. Перша зліва цифра не є середнім арифметичним двох інших цифр

При: 451, 452, 453, 454. Число 453 задовольняє всім умовам завдання.

Також підходять числа 573 і 693.

Відповідь: 453,573, 693.

Відповідь: 453 | 573 | 693

Знайдіть чотиризначне число, кратне 22, твір цифр якого дорівнює 24. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Рішення.

Щоб число abcd поділялося на 22, воно повинно ділитися і на 2, і на 11. Твір цифр 24 можна уявити багатьма способами, основою яких є твори -. Ознака подільності на 11: Число ділиться на 11, якщо сума цифр, які стоять на парних місцях дорівнює сумі цифр, що стоять на непарних місцях, або відрізняється від неї на 11. Таким чином, a + c \u003d b + d або a + c \u003d b + d + 11 або a + c + 11 \u003d b + d. Крім того, раз число ділиться на 2, то воно повинно бути парним. Згідно перерахованих ознак можна підібрати такі числа: 4312, 2134, 1342, 3124

Відповідь: 2134 | 4312 | тисячу триста сорок дві | 3124

Знайдіть тризначне число, кратне 25, всі цифри якого різні, а сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Рішення.

Щоб число ділилося на 25, воно повинно закінчуватися на 00, 25, 50 або 75. Наше число на 00 закінчуватися не може, оскільки всі його цифри повинні бути різні. Випишемо всі тризначні числа, що закінчуються на 25, 50 або 75, всі цифри яких різні, знайдемо суму квадратів їх цифр, перевіримо, чи ділиться вона на 3 та на 9.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. Це шукане число.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. Це шукане число.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр ділиться на 3 і на 9.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. Це шукане число.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. Це шукане число.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. Це шукане число.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр не ділиться на 3.

Сума цифр не ділиться на 3.

середнє загальна освіта

Лінія УМК Мерзляков. Алгебра і початки аналізу (10-11) (У)

Лінія УМК А. Г. Мерзляк. Алгебра і початки аналізу (10-11) (Б)

Лінія УМК Г. К. Муравіна. Алгебра і початки математичного аналізу (10-11) (углиб.)

Лінія УМК Г.К. Муравіна, К.С. Муравіна, О.В. Муравин. Алгебра і початки математичного аналізу (10-11) (баз.)

ЄДІ-2018 з математики, базовий рівень: завдання 19

Вашій увазі ми пропонуємо розбір 19 завдання ЄДІ 2018 року по математиці. Стаття містить докладний аналіз завдання, алгоритм рішення і рекомендації актуальних посібників для підготовки до ЗНО, а також добірку матеріалів з математики, опублікованих раніше.

Математика: алгебра і початки математичного аналізу, геометрія. Алгебра і початки математичного аналізу. 11 клас. Базовий рівень

Підручник входить в УМК з математики для 10-11 класів, які вивчають предмет на базовому рівні. Теоретичний матеріал розділений на обов'язковий і додатковий, система завдань диференційована за рівнем складності, кожен пункт глави завершується контрольними питаннями і завданнями, а кожна глава - домашньої контрольної роботою. У підручник включені теми проектів і зроблені посилання на інтернет-ресурси.

завдання 19

На дошці написано більше 40, але менше 48 цілих чисел. Середнє арифметичне цих чисел дорівнює -3, середнє арифметичне всіх позитивних з них дорівнює 4, а середнє арифметичне всіх негативних з них одно -8.

а) Скільки чисел написано на дошці?

б) Яких чисел написано більше: позитивних чи негативних?

в яке найбільша кількість позитивних чисел може бути серед них?

Рішення

А) Нехай серед написаних чисел

x - позитивних

y - негативних

z - нулів

Тоді маємо, що

• сума позитивних чисел дорівнює 4 x
• сума негативних чисел дорівнює -8 y
• сума всіх чисел ряду 4 x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4(x – 2y + 0z) = –3(x + y + z)

Оскільки ліва частина рівності кратна 4, то і права частина рівності повинна бути кратна 4, значить

x + y + z(Кількість чисел) кратно 4.

40 < x + y + z< 48,

x + y + z= 44

Значить на дошці написано 44 числа.

Б) Розглянемо рівність 4 x + (–8y) + 0z = –3(x + y + z)

4x– 8y= – 3x– 3y– 3z

4x + 3x + 3z = 8y – 3y

7x + 3z = 5y

Звідси отримуємо, тому що z ≥ 0 (кількість нулів в ряду)

7x < 5y

x < y

Значить позитивних чисел менше, ніж негативних.

В) Оскільки x + y + z \u003d 44, підставимо це значення в рівність 4 x+ (–8y) + 0z = –3(x + y + z),

4x– 8y \u003d (-3 · 44) / 4

x -2y = –33

x = 2y – 33

Враховуючи що x + y + z \u003d 44, маємо x + y ≤ 44, підставимо x = 2y - 33 в таку нерівність

2y – 33 +y≤ 44

3y ≤ 77

y≤ 25	2
	3

y≤ 25, враховуючи, що x = 2y - 33 отримуємо x ≤ 17.

Завдання №19 з базового ЄДІ з математікеmathvideourok.moy.su

Ознаки подільності на 2 і 4:

Число ділиться на 2, якщо воно закінчується парної
цифрою або нулем.
Числа 2346 і 3650 - діляться на 2. Число 4521 - НЕ
ділиться на 2.
Число ділиться на 4, якщо дві останні його
цифри нулі чи утворюють число, що ділиться на 4. В

Числа 31700 і 16608 -Делі на 4. 215634 - НЕ
ділиться на 4.

Ознаки подільності на 3 і 9:

На 3 діляться тільки ті числа, у яких сума
цифр ділиться на 3.
Числа 17835 і 5472 - діляться на 3. Число 105499 - НЕ
ділиться на 3.
На 9 діляться тільки ті числа, у яких сума
цифр ділиться на 9.
Числа 2376 і 342000 - діляться на 9. Число 106499 - НЕ
ділиться на 9.

Ознаки подільності на 8 і 6:

Число ділиться на 8, якщо три останні цифри його
нулі або утворюють число, що ділиться на 8. У
решті випадків - не ділиться.
Числа 125000 і 111120 - діляться на 8. числа 170004 і
124300 - не діляться на 8.
Число ділиться на 6, якщо воно ділиться одночасно
на 2 і на 3. В іншому випадку - не ділиться.
Числа 126 і 254 610 - діляться на 6. Числа 3585 і 6574 не діляться на 6.

Ознаки подільності на 5 і 25:

На 5 діляться числа, остання цифра яких 0
або 5. Інші - не діляться.
Числа 245 і 56780 - діляться на 5. Числа 451 і 678 - НЕ
діляться на 5.
На 25 діляться числа, дві останні цифри яких
нулі або утворюють число, що ділиться на 25 (т. е.
числа, що закінчуються на 00, 25, 50 або 75). інші
не діляться.
Числа 7150 і 345600 - діляться на 25. Число 56755 - НЕ
ділиться на 25.

Ознаки подільності на 10, 100 і 1000:

На 10 діляться тільки ті числа, остання цифра
яких нуль, на 100 - тільки ті числа, у яких
дві останні цифри нулі, на 1000 - тільки ті, у
яких три останні цифри нулі.
Число 34680 - ділиться на 10. Число 56700 - ділиться на
100 і на 10. Число 87549000 - ділиться на 10, 100 і 1000.
Числа 75864, 7776539 та 9864032 - не діляться на 10, 100 і
1000.

Ознака подільності на 11:

На 11 діляться тільки ті числа, у яких сума цифр,
займають непарні місця, або дорівнює сумі цифр,
займають парні місця, або відрізняється від неї на число,
ділиться на 11.
Число 103785 ділиться на 11, так як сума цифр, що займають
непарні місця, 1 + 3 + 8 \u003d 12 дорівнює сумі цифр, що займають парні
місця 0 + 7 + 5 \u003d 12.
Число 9163627 ділиться на 11, так як сума цифр, що займають
непарні місця, є 9 + 6 + 6 + 7 \u003d 28, а сума цифр, що займають
парні місця, є 1 + 3 + 2 \u003d 6; різницю між числами 28 і 6 є
22, а це число ділиться на 11.
Число 461025 не ділиться на 11, так як числа 4+ 1 + 2 \u003d 7 і б +0 +
5 \u003d 11 не рівні один одному, а їх різниця 11 -7 \u003d 4 на 11 не ділиться.

Для початку розглянемо приклад - рішення задачі 19 (по темі натуральні числа ) - КІМ реального ЄДІ 2015 року, достроковий період, базовий рівень. (Теорія до неї - ознаки подільності - нижче.)

завдання 19

Викресліть в числі 181615121 три цифри так, щоб вийшло число ділилося на 12. У відповіді вкажіть яке-небудь одне таке число.

Рішення.

Розкладаємо дільник - число 12 на прості множники. 12 \u003d 3 × 4 \u003d 3 × 2 × 2.
Отже, задане число після викреслювання чисел має ділитися на 3 і 4 або на 2, ще раз на 2 і, нарешті, на 3.
На 2 діляться парні числа, тому 1 в кінці викреслюємо відразу. Залишиться 18161512.
Але нам потрібно, щоб воно ділилося на 2 двічі, тобто поділялося на 4.
Ознака подільності на 4 стверджує, що для цього на 4 має ділитися двозначне число, утворене останніми двома цифрами. 12 : 4 \u003d 3, тому дві останні цифри числа 18161512 викреслювати не можна. Вони гарантують подільність числа на 4 (на обидві двійки).
Щоб число ділилося на 3, треба щоб на 3 ділилася сума його цифр.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 \u003d 3 × 8 + 1 - можна викреслити одну з одиниць, але за умовою задачі потрібно викреслити ще дві цифри;
25 \u003d 3 × 7 + 4 - немає двох цифр для викреслювання, сума яких дорівнювала б 4, тому що останні цифри 1 і 2 чіпати не можна;
25 \u003d 3 × 6 + 7 - сума двох викреслених чисел буде дорівнює 7, якщо викреслити 6-ку і будь-яку з одиниць, крім останньої.
Отже, можливі відповіді: 811512 або 181512. Вибираємо один з них, наприклад

Відповідь: 181512

зауваження: на реальному ЄДІ зробіть перевірку своєї відповіді розподілом в стовпчик.

У кого-то можуть виникнути питання, що таке прості множники і як розкладати на прості множники?
Прості множники не можна далі поділити. Прості числа діляться тільки на себе і на 1, наприклад, 13: 1 \u003d 13 або 13:13 \u003d 1 і все. А розкладати краще поступово.
Наприклад 60 \u003d 6 × 10, 6 \u003d 2 × 3 і 10 \u003d 2 × 5, значить 60 \u003d 2 × 3 × 2 × 5.

Для вирішення подібних завдань потрібно знати теореми - ознаки подільності натуральних чисел. Чим більше ви знаєте ознак, тим швидше вирішите задачу. Повторіть основні з них.

Ознаки подільності натуральних чисел

З тих пір, як людство винайшло звичайні і десяткові дроби, ми можемо застосовувати операцію ділення до будь-яких величинам. Однак, поняття подільність чисел зазвичай розглядають на безлічі натуральних чисел. Коли ми говоримо "число ділиться", то маємо на увазі, що розподіл відбувається без залишку і результатом ділення також є натуральне число.

Ознака подільності на 2.

На 2 діляться всі парні числа. Ми тому і називаємо їх парними.

Число ділиться на два тоді і тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2, тобто 2, 4, 6, 8, 0.

Ознака подільності на 3.

Натуральне число ділиться на три тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3.

Наприклад, 4539861 ділиться на 3, тому що 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Число 36 ділиться на 3.
Наприклад, 394762 не ділиться на 3, тому що 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Число 31 не ділиться на 3.
Можете перевірити за допомогою улюбленого калькулятора
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Якщо сума цифр вийшла багатозначним числом, її подільність можна перевірити цим же ознакою.
Наприклад, +165394786171277984079 ділиться на 3, тому що 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 \u003d 111. 111 ділиться на 3, тому що 1 + 1 + 1 \u003d 3. Число 3 ділиться на 3.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

Ознака подільності на 4.

Натуральне число, що містить не менше трьох цифр, ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли ділиться на 4 двозначне число, утворене останніми двома цифрами заданого числа.

Що стосується перевірки подільності на 4 двозначного числа, то використовуємо той факт, що 4 \u003d 2 × 2, тобто розділити на 4 - те ж саме, що два рази поспіль розділити на 2. Тому, по-перше, двозначне число повинне бути парним, а, по-друге, його легко розділити на 2 і подивитися чи є результат також парним числом. наприклад,

5773211789020783 не ділиться на 4, тому що 83 не ділиться на 2.
4920904953478666 не ділиться на 4, тому що 66 : 2 \u003d 33 - непарне число.
5897592348940996 ділиться на 4, тому що 96 : 2 \u003d 48 - парне число.

Доказ працездатності цієї ознаки засноване на подільність 100 на 4 і теоремі про подільність суми, яка приведена нижче. Тут розглянемо пояснення на прикладі з наведеної задачі ЄДІ.
18161512 \u003d 18161500 + 12 \u003d 181 615 × 100 + 12 \u003d 181 615 × 25 × 4 + 3 × 4 \u003d (181615 × 25 + 3) × 4.
У дужках вийде натуральне число, значить вихідне число можна розділити на 4 без залишку.

Ознака подільності на 5.

Число ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра або 5, або 0.

Ознака подільності на 6 зазвичай не формулюється як теорема. Так як 6 \u003d 2 × 3, то використовуються послідовно ознаки подільності на 2 і на 3. Таким чином, на 6 діляться парні числа, сума цифр яких ділиться на 3.
629 - не ділиться на 6, непарне.
692 - не ділиться на 6, парне, але 6 + 9 + 2 \u003d 17 не ділиться на 3.
792 - ділиться на 6, парне і 7 + 9 + 2 \u003d 18 ділиться на 3.

Ознака подільності на 8 також формулюється як теорема.
Так як 8 \u003d 2 × 4 і 1000 \u003d 250 × 4, тому для чисел більше 1000 по аналогії з ознакою подільності на 4 перевіряється подільність на 8 числа, утвореного трьома останніми цифрами, а для чисел менше 1000 (тризначних) використовуються послідовно безпосереднє розподіл на 2 і перевірка отриманого результату за ознакою поділу на 4. Наприклад,
58989081099472 - ділиться на 8, так як 472 : 2 \u003d 236, а 36 ділиться на 4.

Ознака подільності на 9.

Натуральне число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

Наприклад, 4539861 ділиться на 9, тому що 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Число 36 ділиться на 9.
Наприклад, 394762 не ділиться на 9, тому що 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Число 31 не ділиться на 9.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

Ознака подільності на 10.

Натуральне число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли його остання цифра 0.

Ця ознака легко поширити на будь-які ступені десятки. Число ділиться на 100, коли дві його останні цифри є нулями, на 1000, коли в кінці три нуля і т.д.

легко запам'ятовуються ознак подільності на прості числа типу 7, 11, 13, 17 ..., на жаль немає. Організатори ЄДІ це знають і завдань, орієнтованих на застосування виключно таких методів вирішення не включать. Хоча за довгу історію розвитку техніки усного рахунку математики, звичайно, виявили та сформулювали деякі загальні особливості подільності таких чисел. Зацікавлені можуть звернутися до вікіпедії.

Я б порекомендувала тільки звернути увагу ще на число 11. Ясно, що двозначне число ділиться на 11, якщо воно складається з однакових цифр. Тризначне число ділиться на 11, якщо його середня цифра дорівнює сумі двох крайніх, або якщо сума першої і останньої цифр дорівнює середній цифрі плюс 11. Наприклад, 495 ділиться на 11, так як 4 + 5 \u003d 9, а 957 ділиться на 11, так як 9 + 7 \u003d 5 + 11.

А в заучуванні ознак подільності на складові числа немає необхідності. Складові числа можна розкласти на прості множники.

Теореми про подільність твори і суми натуральних чисел.

Якщо в творі хоча б один із співмножників ділиться на деяке число, то і твір, добуток ділиться на це число.

Наприклад, твір 475 × 1230 × 800 ділиться на 3, так як другий співмножник задовольняє ознакою поділу на 3 - сума його цифр 1 + 2 + 3 + 0 \u003d 6 ділиться на 3.

Якщо кожний доданок ділиться на деяке число, то і сума ділиться на це число.

Наприклад, сума 475 + 1230 + 800 ділиться на 5, так як кожне сгагаемое задовольняє ознакою поділу на 5.

Протилежне твердження про подільність суми не вірно. Якщо кожний доданок суми не ділиться на якесь число, то для суми можливі обидва варіанти, як ділиться, так і не ділиться.
43 не ділиться на 5, 17 не ділиться на 5, 43 + 17 \u003d 60 ділиться на 5.

Протилежне твердження про подільність твори можна сформулювати тільки після розкладання дільника на прості множники. Власне цього дійства і була присвячена завдання, яка поміщена на початку розділу.

Якщо ви дружите з алгеброю і вмієте виносити загальний множник за дужки і скорочувати звичайні дроби, то теорему про подільність суми можна запам'ятати як наявність загального сомножителя, а теорему про подільність твори, як можливість скоротити звичайну дріб.

Користуючись теоремою про подільність суми, можна "зекономити" на обчисленнях, наприклад, при перевірці ознак подільності на 3 і на 9. При додаванні цифр великих чисел можна з суми викинути все цифри явно діляться, відповідно, на 3 або 9.
Повернемося до останнього прикладу з пункту "ознака поділу на 3".
Для числа +165394786171277984079 замість 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 обчислюємо 1 + 5 + 4 + 7 + 8 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 \u003d 69. Результат той же - ділиться на 3.

І останнє:
Математики не люблять багато писати. Довгі пропозиції і повтори одних і тих же слів хороші при поясненні рішення, але при його записи бажано користуватися умовними позначеннями. Для терміна "ділиться" можна використовувати символ ⋮ вертикальне крапки.
48⋮ 6 означає, що 48 ділиться на 6, або що число 48 кратно числу 6.

Завдання для самоперевірки.

Тут наведені завдання з рішеннями, які тимчасово приховані, щоб ви могли спочатку самостійно подумати над ними, а потім натиснути кнопку для порівняння свого і мого рішень. Аналогічні завдання з перевіркою вашої відповіді можна знайти в Відкритому банку завдань федерального інституту педагогічних вимірювань.

завдання 1

Наведіть приклад п'ятизначного числа кратного 12, твір цифр якого дорівнює 40. У відповіді вкажіть рівно одне таке число.

Показати рішення

Розкладемо число 40 на прості множники. 40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5.
Таких множників всього чотири, цифр недостатньо для п'ятизначного числа, але в твір завжди можна додати одиницю, результат від цього не зміниться.
40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5 × 1.
Таким чином, число у відповіді можна скласти тільки з цих цифр: 1,2,2,2,5.
Щоб число було кратним 12 (те ж саме, що поділялося на 12 без залишку) воно повинно задовольняти ознаками подільності на 3 і на 4, так як 12 \u003d 3 × 4.
Перевіримо суму чисел 1 + 2 + 2 + 2 + 5 \u003d 12. Вона ділиться на 3, тому наше число ділитиметься на 3 при будь-яких перестановках цифр.
А щоб воно ділилося на 4, в кінці потрібно поставити дві цифри так, щоб утворене ними число ділилося на 4.
Очевидно, що останньою цифрою повинна бути 2-ка, інші - непарні. Перевіримо варіанти 12, 22, 52.
12: 4 \u003d 3; 22: 4 \u003d 11: 2 - не ділиться без остачі; 52: 4 \u003d 13.
Висновок: число повинно бути складено так, щоб в кінці було 12 або 52, а на початку будь-які перестановки з решти трьох цифр.
Можливі відповіді: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. У відповідь пишемо один з них. наприклад,

відповідь: 21252

зауваження: ваше рішення має бути дещо коротший, адже досить знайти хоча б один з можливих відповідей.

завдання 2

Наведіть приклад тризначного числа кратного 15, твір цифр якого дорівнює 30. У відповіді вкажіть рівно одне таке число.

Показати рішення

Розкладемо число 30 на прості множники. 30 \u003d 2 × 3 × 5.
Таких множників три, нам потрібно скласти тризначне число, яке ділиться на 15, тобто задовольняє ознаками подільності на 3 і на 5, так як 15 \u003d 3 × 5.
Щоб число ділилося на 5, воно повинно закінчуватися цифрою 5.
Перевіримо суму чисел 2 + 3 + 5 \u003d 10. Сума цифр не ділиться на 3, тому наше число не буде ділитися на 3 при будь-яких перестановках цифр.
Глухий кут? Ні. Знову згадуємо, що в якості співмножників можна додати будь-яку кількість одиниць і результат не зміниться.
Уявімо 30 як 2 × 3 × 5 × 1.
Тепер можливих цифр для складання тризначного числа більше, ніж потрібно. Тому згрупуємо деякі прості множники в складові: 2 × 5 \u003d 10 і 3 × 5 \u003d 15 це не цифри, а двозначні числа. 2 × 3 \u003d 6 Число 6 позначається цифрою 6.
Уявімо 30 як 6 × 5 × 1.
Перевіримо суму чисел 6 + 5 + 1 \u003d 12. Ділиться на 3. Таким чином, число у відповіді можна скласти з цифр: 6,5,1. Останньою цифрою повинна бути 5-ка.

Можливі відповіді: 615, 165

завдання 3

Цифри чотиризначного числа, кратного 5, записали в зворотному порядку і здобули другу чотиризначне число. Потім з першого числа відняли друге і отримали 2277. Наведіть рівно один приклад такого числа.

Показати рішення

Число, кратне 5, закінчується цифрами 0 або 5. Тоді число, записане в зворотному порядку, має починатися з 0 або з 5. Якщо число починається з 0, то воно вже не буде чотиризначним, а стане тризначним, так як 0 на початку зазвичай не пишуть. Наприклад, 0348 це просто 348. Значить шукане число закінчується цифрою 5. Решта його цифри позначимо буквами a, b, c. Саме число в такому випадку позначається abc5____ .
Риса вгорі тут потрібна для того, щоб не плутати це позначення з алгебри твором змінних ( a помножити на b, помножити на з ...). Число записане в зворотному порядку позначається 5 сba____ .
За умовою

abc5____ − 5сba____ = 2277.
Уявімо собі, що ми виконуємо це віднімання в стовпчик.
1) 5 менше 7, значить при відніманні доводилося займати десяток.
10 + 5 − a = 7. a = 15 − 7 = 8.
2) При відніманні десятків не так очевидно, займали або не посідали одиницю в розряді сотень. Спочатку припустимо, що не посідали. Тоді з зменшеного на одиницю числа c ви читали b і отримали 7
(c − 1) − b = 7. c = 8 + b.
Такому варіанту підходять b \u003d 0 і b \u003d 1. Великі значення b збільшать c до двозначного числа. Воозьмём наприклад b \u003d 1, тоді c \u003d 9, і перевіркою переконуємося в тому, що число 8195 задовольняє умові завдання.

відповідь: 8195

зауваження: Може бути ще вірну відповідь 8085, якщо вибрати b \u003d 0 на кроці 2). Чи спрацює допущення, що при відніманні десятків займали одиницю в розряді сотень, перевірте самостійно.