EGE na nivou profila matematike

Rad se sastoji od 19 zadataka.
1. dio:
8 zadataka sa kratkim odgovorom osnovnog nivoa složenosti.
Dio 2:
4 zadataka sa kratkim odgovorom
7 zadataka s detaljnim odgovorom visoki nivo poteškoće.

Vrijeme performansi - 3 sata 55 minuta.

Primjeri zadataka EGE

Rješavanje zadataka ispita u matematici.

Za samo rješenja:

1 kilovat sat električne energije košta 1 rublja 80 kopecks.
Merač električne energije 1. novembra pokazalo je 12625 kilovat-sati, a 1. decembra pokazalo je 12802 kilovat-sat.
Koji iznos trebate platiti za struju za novembar?
Dajte odgovor u rubalju.

U razmjeni stavak 1. grivna košta 3 rubalja 70 kopecks.
Odmorine su razmjenjivali rublje do grivna i kupili 3 kg paradajza po cijeni od 4 grivna po 1 kg.
Koliko je rubalja koštala ova kupovina? Odgovorite na cijeli broj.

Maša je poslao SMS sa novogodišnjim pozvanjima svojim 16 prijatelja.
Trošak jedne SMS poruke 1 rublja 30 kopecks. Prije slanja poruke na račun, Masha je imala 30 rubalja.
Koliko rubalja ostat će od Maše nakon slanja svih poruka?

Škola ima trostruke turističke šatore.
Šta najmanji broj Šatori trebaju pohađati pohod, u kojem 20 ljudi sudjeluje?

Vlak Novosibirsk-Krasnoyarsk odlazi u 15:20, a stiže u 4:20 sljedećeg dana (moskovsko vrijeme).
Koliko sati je voz na putu?

Riješite jednadžbu:

1 / cos 2 x + 3tgx - 5 \u003d 0

Navedite korijene
Segment koji pripada (-p; p / 2).

Odluka:

1) Pišemo jednadžbu tako:

(TG 2 x +1) + 3TGX - 5 \u003d 0

TG 2 x + 3TGX - 4 \u003d 0

tgx \u003d 1 ili tgx \u003d -4.

Dakle:

X \u003d N / 4 + PK ili X \u003d -RCTG4 + PK.

Segment (-p; p / 2)

Vlasnički korijeni -3p / 4, -arctg4, str / 4.

Odgovor: -3p / 4, -arctg4, str / 4.

Znaš šta?

Ako pomnožite svojih godina za 7, pomnožite se sa 1443, tada će rezultat biti vaša godina napisana tri puta zaredom.

Smatramo negativnim brojevima sa nečim prirodnim, ali to nije bilo uvijek. Po prvi put su negativni brojevi legalizirani u Kini u III vijeku, ali su korišteni samo za izvanredne slučajeve, jer su se oni smatrali uopštenim, uokvirenim. Nešto kasnije, negativni brojevi počeli su se koristiti u Indiji kako bi odredili dugove, ali nismo odgovarali Zapadu - čuvena Diofant Aleksandrija tvrdio je da je jednadžba 4x + 20 \u003d 0 - apsurdna.

Američki matematičar George Dzig, bio postdiplomski student na univerzitetu, jednom kasno na lekciju i prihvatio jednadžbu napisanu na Odboru zadaća. Činilo se da mu je to teže kao i obično, ali nakon nekoliko dana uspio ga izvršiti. Pokazalo se da je u statistici odlučio dva "neriješena" problema, što su se mnogi naučnici borili.

U ruskoj matematičkoj literaturi nula nije prirodni broj, a u zapadnom, naprotiv, pripada raznim prirodnim brojevima.

Koristili od nas decimalni sistem Broj je nastao zbog činjenice da je osoba u rukama od 10 prstiju. Sposobnost apstraktnog računa pojavila se kod ljudi koji nisu odmah, već je bio najprikladniji za upotrebu za ocjenu. Majana civilizacija i bez obzira na njih Chukchi povijesno su koristili dvadeset brojevnog sustava, nanošenje prstiju ne samo ruke, već i noge. U srcu dvanaest i šezdeset cifrenih sustava u drevnoj slici i Babilonu, korištenje ruku je takođe bilo: falankovi drugih prstiju dlana broje se palcem, od kojih je broj 12.

Jedna poznata dama zatražila je da je Ajnštajna nazove, ali upozorila je da je njen telefonski broj vrlo teško zapamtiti: - 24-361. Sjećaš se? Ponovite! Iznenađen Ainstein je odgovorio: - Naravno, sjetio sam se! Dva desetina i 19 kvadrata.

Stephen Hawking jedan je od najvećih fizičara teoretičara i populatora nauke. U priči o sebi, hoćijući se spomenulo da je postao profesor matematike, a ne prima nikakvu matematičko obrazovanje od srednje škole. Kad je Hawking počeo podučavati matematiku u Oxfordu, pročitao je udžbenik, ispred svojih vlastitih studenata dvije sedmice.

Maksimalni broj koji mogu zabilježiti rimski brojevi, bez razbijanja pravila Schwartzman (rimske znamenke) - 3999 (MMMCMXCIX) - više od tri znamenke u nizu ne može pisati.

Poznato je puno prispodobi o tome kako jedna osoba nudi još jedno plaćanje s njim za neku uslugu kako slijedi: na prvoj ćeliji šahovske ploče, on će staviti jednu zrno riže, u drugoj - dvije i tako na: za svaku sljedeću ćeliju dvostruko više od prethodnog. Kao rezultat toga, onaj koji plaća na ovaj način sigurno će upropastiti. Ovo nije iznenađujuće: procjenjuje se da opća težina Riža će zaraditi više od 460 milijardi tona.

U mnogim je izvorima, često u cilju poticanja slabo trošenje studenata, odobrenje je utvrđeno da su Einsteine \u200b\u200brane u školskoj matematici ili, osim toga, loše proučavao iz ruku u svim predmetima. U stvari, sve nije bilo istina: Albert je počeo biti talent u matematici u ranoj dobi i znao je da je daleko izvan školskog programa.

EGE 2020 u matematičkom zadatku 19 sa odlukom

Demonstracija opcije 2020. u matematici

Ege u matematici 2020 u PDF formatu Osnovni nivo | Nivo profila

Zadaci za pripremu za ispit u matematici: osnovni i profilni nivo sa odgovorima i rješenjima.

Matematika: Basic | Profil 1-12 | | | | | | | | glavni

EGE 2020 u matematičkom zadatku 19

EGE 2020 u matematici Profil Nive reference 19 sa odlukom

Ege u matematici

Broj P jednak je proizvodu 11 različitih prirodnih brojeva, velikih 1.
Koji je najmanji broj prirodnih razvodnika (uključujući jedinicu i sam broj), broj P.

Svaki prirodni broj n predstavlja posao:

N \u003d (P1 x k1) (P2 x K2) ... itd

Gde P1, P2, itd. - Jednostavni brojevi,

K1, K2, itd. - Cijeli negativni brojevi.

Na primjer:

15 = (3 1) (5 1)

72 \u003d 8 x 9 \u003d (2 x 3) (3 2)

Dakle, ukupan broj prirodnih razvodnika n je jednak

(K1 + 1) (K2 + 1) ...

Dakle, po stanju, p \u003d n1 n2 ... n11, gdje
N1 \u003d (P1 x K) (P2 x K) ...
N2 \u003d (P1 x K) (P2 x K) ...
...,
A to znači da
P \u003d (P1 x (k + k + ... + k)) (P2 x (k + k + ... + k)) ...

A ukupan broj prirodnih razdjelnika broja P je jednak

(K + K + ... + K + 1) (K + K + ... + K + 1) ...

Ovaj izraz zauzima minimalnu vrijednost ako su svi brojevi n1 ... N11 sekvencijalni prirodni stupnjevi istog jednostavnog broja, počevši od 1: n1 \u003d p, n2 \u003d p 2, ... n11 \u003d p 1 1.

To je, na primjer,
N1 \u003d 2 1 \u003d 2,
N2 \u003d 2 2 \u003d 4,
N3 \u003d 2 3 \u003d 8,
...
N11 \u003d 2 1 1 \u003d 2048.

Tada je broj prirodnih razvodnika broja P jednak
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

Ege u matematici

Pronađite sve prirodne brojeve,
Nije prikazano u obliku zbroja dva obostrano jednostavna brojeva osim 1.

Odluka:

Svaki prirodni broj može biti ili (2 k) ili neparni (2 k + 1).

1. Ako je broj neparan:
n \u003d 2 k + 1 \u003d (k) + (k + 1). Brojevi K i K + 1 uvijek međusobno jednostavno

(Ako postoji neki broj D, koji je razdjelnik X i Y, tada se broj | XY | također mora podijeliti u d. (K + 1) - (k) \u003d 1, odnosno treba podijeliti na d , to jest, d \u003d 1, a to je dokaz uzajamne jednostavnosti)

To jest, dokazali smo da svi neparni brojevi mogu biti predstavljeni kao zbroj dva obostrano jednostavna.
Izuzetak po stanju bit će broj 1 i 3, jer se 1 ne može podnijeti u obliku sume prirodnog i 3 \u003d 2 + 1 i ništa drugo, a jedinica kao temelj nije prikladan pod uvjetom.

2. Ako je broj čak:
n \u003d 2 k
Ovdje morate razmotriti dva slučaja:

2.1. k - čak i, i.e. Predstavnik u obliku K \u003d 2 m.
Zatim n \u003d 4 m \u003d (2 m + 1) + (2 m-1).
Brojevi (2 m + 1) i (2 m-1) mogu imati samo zajednički razdjelnik (vidi gore), na koji je broj (2 m + 1) podijeljen - (2 m - 1) \u003d 2. 2 je podijeljeno za 1 i 2.
Ali ako je razdjelnik 2, ispada da se ne čudno podijeli neparni broj 2 m + 1, to ne može biti samo 1.

Dakle, dokazali smo da se svi brojevi obrasca 4 m (koji jest, više 4) može biti predstavljen kao zbroj dvaju obostrano jednostavna.
Postoji izuzetak - broj 4 (m \u003d 1), koji, iako se može zastupati u obliku 1 + 3, ali jedinica kao temelja još uvijek nije prikladna za nas.

2.1. K je neparan, i.e. Predstavnik u obliku K \u003d 2 m-1.
Zatim N \u003d 2 (2 m - 1) \u003d 4 m-2 \u003d (2 m-3) + (2 m + 1)
Brojevi (2 m-3) i (2 m + 1) mogu imati zajednički razdjelnik na koji je broj 4. koji se nalazi 1 ili 2, ili 4., ali ni 2, niti 4, niti 4, niti 4, niti 4, niti 4 + 1) - broj je čudan, a ne 2 se ne može podijeliti u niti.

Dakle, dokazali smo da svi brojevi obrasca 4 m-2 (koji je, sve više 2, ali ne više od 4) može biti predstavljen kao zbroj dva obostrano.
Postoje izuzeci - brojevi 2 (m \u003d 1) i 6 (m \u003d 2), koji su jedan od izraza u raspadanju na nekoliko međusobno jednostavnih jednakih.

Navedite primjer trocifrenog broja, od kojih je iznos broja 20, a zbroj kvadrata brojeva podijeljen je u 3, ali ne djeluju za 9.

Odluka.

SPOTIZIrajte broj 20 na dobro poznate načine:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

Sa raspadanjem metoda 1-4, 7 i 8, broj brojeva nije veći od tri. Kada se raspada na peti način, zbroj kvadrata od više devet. Dekompozicija šestom načinom zadovoljava uvjete zadatka. Dakle, stanje problema zadovoljava bilo koji broj zabilježen podacima 5, 7 i 8, na primjer, broj 578.

Odgovor: 578 | 587 | 758 | 785 | 857 | 875

Izvor: Demo verzija ispita - 2015.

Pronađite trocifreni prirodni broj, više od 400, koji, kada je podijeljen sa 6 i 5, daje jednake ostatke bez nule i prvu s lijeve strane od broja prosječne aritmetičke dvije druge cifre. Kao odgovor, navedite bilo koji takav broj.

Odluka.

Broj ima iste ostatke za vrijeme podjele za 5 i 6, dakle, broj ima isti ostatak tokom podjele za 30, a ovaj ostatak nije nula i manja od pet. Dakle, željeni broj može biti od obrasca :.

At. Nijedan od brojeva nije veći od 400

Sa: 421, 422, 423, 424. Prvi lijevi broj nije prosječna aritmetička dvije druge cifre.

Na: 451, 452, 453, 454. Broj 453 zadovoljava sve uvjete zadatka.

Takođe pogodni brojevi 573 i 693.

Odgovor: 453,573, 693.

Odgovor: 453 | 573 | 693

Pronađite četvorocifreni broj, višestruki 22, proizvod brojeva od kojih je 24. U odgovoru navedite bilo koji takav broj.

Odluka.

Da bi se broj ABCD-a podijelio u 22, treba biti podijeljen u 2, a 11. Proizvod brojeva 24 može biti predstavljen na više načina, na osnovu toga što su osnova djela -. Znak razdjelistivosti za 11: Broj je podijeljen u 11 ako je zbroj brojeva koji stoje na mestima jednaka količini brojeva na neparnim mjestima ili se razlikuje od njega do 11. Dakle, A + C \u003d B + D ili A + C \u003d B + D + 11 ili A + C + 11 \u003d B + D. Pored toga, broj je podijeljen sa 2, onda to mora biti čak. Prema navedenim funkcijama, možete odabrati sljedeće brojeve: 4312, 2134, 1342, 3124

AWN: 2134 | 4312 | 1342 | 3124

Pronađite trocifreni broj, višestrukih 25, a koji su različiti različiti, a zbroj kvadrata brojeva podijeljen je u 3, ali nije podijeljen u 9. U odgovoru, navedite bilo koji takav broj.

Odluka.

Tako da je broj podijeljen sa 25, trebalo bi završiti 00, 25, 50 ili 75. Naš broj se ne može dovršiti, jer svi njegovi brojevi moraju biti različiti. Pijemo sve trocifrene brojeve koji završavaju sa 25, 50 ili 75, a svi su brojevi različiti, pronaći će zbroj kvadrata njihovih brojeva, provjerite je li podijeljena sa 3 i do 9.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva podijeljena je u 3, ali ne djeluju na 9. Ovo je željeni broj.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva podijeljena je u 3, ali ne djeluju na 9. Ovo je željeni broj.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva podijeljena je sa 3 i do 9.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva podijeljena je u 3, ali ne djeluju na 9. Ovo je željeni broj.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva podijeljena je u 3, ali ne djeluju na 9. Ovo je željeni broj.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva podijeljena je u 3, ali ne djeluju na 9. Ovo je željeni broj.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Količina brojeva nije podijeljena u 3.

Prosjek opšte obrazovanje

Merzlyak linija. Algebra i početna analiza (10-11) (Y)

Line Umk A. G. Merzlyak. Algebra i početak analize (10-11) (b)

Linija Ukk G. K. Moralina. Algebra i početak matematičke analize (10-11) (ugljen.)

Line Umk G.K. Muravina, K.S. Maravina, O.V. Energičan. Algebra i započela matematička analiza (10-11) (baze)

Ege-2018 u matematici, osnovni nivo: zadatak 19

Nudimo vašoj pažnji 19 zadaci Ege-a 2018 u matematici. Članak sadrži detaljna analiza Zadaci, algoritam rješenja i preporuke za ciljne priručnike za pripremu EEG-a, kao i izbor materijala u matematici objavljenim ranije.

Matematika: Algebra i započela matematička analiza, geometrija. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. Osnovni nivo od

Udžbenik je uključen u CMD u matematici za klase 10-11 koji proučavaju predmet na osnovni nivo. Teorijski materijal podijeljen je na obaveznu i dodatnu, sustav zadataka razlikuje se nivoom složenosti, a svako poglavlje je dovršen kontrolnim pitanjima i zadacima, a svako poglavlje - Kontrolni rad. Udžbenik uključuje teme projekta i napravile veze s internetskim resursima.

Zadatak 19.

Više od 40, ali na ploči je napisano manje od 48 cijelih brojeva. Aritmetički prosjek ovih brojeva je -3, aritmetički prosjek svih pozitivnih pozitiva je 4, a aritmetički prosjek od svih negativnih je -8 jednak.

a) Koliko brojeva je napisano na ploči?

b) Koji su brojevi zapisani više: pozitivno ili negativno?

u kojem najveći broj Pozitivni brojevi mogu biti među njima?

Odluka

A) pustite ih među pismenim brojevima

x. - Pozitivno

y. - negativan

z. - Zerule

Onda imamo to

• količina pozitivnih brojeva jednaka je 4 x.
• zbroj negativnih brojeva je -8 y.
• zbroj svih brojeva serije 4 x. + (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.)

4(x. – 2y. + 0z.) = –3(x. + y. + z.)

Jer Lijevi dio ravnopravnosti boje 4, pravi dio jednakosti trebao bi biti veći od 4, što znači

x. + y. + z.(Broj brojeva) višestruki 4.

40 < X. + y. + z.< 48,

x. + y. + z.= 44

Dakle, na ploči napisan je 44 brojeve.

B) Razmislite o ravnopravnosti 4 x. + (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.)

4x.– 8y.= – 3x.– 3y.– 3z.

4x. + 3x. + 3z. = 8y. – 3y.

7x. + 3z. = 5y.

Odavde dobijamo, jer z ≥ 0 (broj nula u nizu)

7x. < 5y.

x. < y.

Tako su pozitivni brojevi manji od negativnih.

C) jer x. + y. + z. \u003d 44, zamijenit ćemo ovu vrijednost u jednakosti 4 x.+ (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.),

4x.– 8y. \u003d (-3 · 44) / 4

x -2y. = –33

x. = 2y. – 33

S obzirom na to x. + y. + z. \u003d 44, imamo x. + y. ≤ 44, zamjena x. = 2y. - 33 u ovoj nejednakosti

2y. – 33 +y.≤ 44

3y. ≤ 77

y.≤ 25	2
	3

y.≤ 25, s obzirom na to x. = 2y. - 33 primanje x. ≤ 17.

Zadatak №19 sa osnovnog ispita u matematiciMathvideourok.moy.su

Znakovi razdjela u 2 i 4:

Broj je podijeljen u 2 ako se završava
Slika ili nula.
Brojevi 2346 i 3650 - podijeljen sa 2. Broj 4521 nije
Podijeljen je u 2.
Broj je podijeljen u 4 ako su dvije posljednje
null brojevi ili formiraju broj podijeljen sa 4. u

Brojevi 31700 i 16608 - na 4. 215634 - ne
Podijeljen je u 4.

Znakovi razdjela u 3 i 9:

Samo samo oni brojevi u kojima iznos
Brojevi su podijeljeni u 3.
Brojevi 17835 i 5472 - podijeljen sa 3. Broj 105499 - ne
Podijeljen je u 3.
Samo su oni samo ti brojevi koji
Brojevi su podijeljeni u 9.
Brojevi 2376 i 342000 - podijeljeno sa 9. Broj 106499 - ne
Podijeljen je u 9.

Znakovi razdjela 8 i 6:

Broj je podijeljen u 8 ako je posljednja tri broja
nule ili formiraju broj podijeljen sa 8. u
Ostali slučajevi - nisu deviljivi.
Brojevi 125000 i 111120 - podijeljeno sa 8. brojevi 170004 i
124300 - Nije podeljeno sa 8.
Broj je podijeljen sa 6 ako je istovremeno podijeljen
2 i do 3. Inače, nije djeljiv.
Brojevi 126 i 254610 - podijeljeni s 6. Brojevi 3585 i 6574 nisu podijeljeni sa 6.

Znakovi razdjela na 5 i 25:

5 su podijeljeni s brojevima, posljednju slici od čega 0
ili 5. Ostali - ne dijele.
Brojevi 245 i 56780 - podijeljeni za 5. brojeve 451 i 678 - ne
podijeljeno sa 5.
25 su podijeljeni s brojevima, posljednja dva broja
nule ili formiraju broj podijeljen sa 25 (I.E.
Brojevi koji završavaju u 00, 25, 50 ili 75). Drugi
Ne dijelite.
Brojevi 7150 i 345600 - podijeljeno sa 25. Broj 56755 - ne
Podeljeno je sa 25.

Znakovi razdjela u 10, 100 i 1000:

Samo ti brojevi, posljednja brojka podijeli 10
Koja nula, na 100 - samo oni brojevi koji
Posljednje dvije znamenke nule, na 1000 - samo one
Koja su tri posljednje cifre nule.
Broj 34680 - podijeljen s 10. Broj 56700 - dijeli se na
100 i 10. Broj 87549000 podijeljen je sa 10, 100 i 1000.
Brojevi 75864, 7776539 i 9864032 - Ne podelite 10, 100 i
1000.

Znak razdjela u 11:

Samo postoje samo ti brojevi koji su iznos brojeva,
zauzimaju neparna mjesta ili jednaka količini brojeva,
zauzimajući čak i mesta ili varira od njega po broju,
podijeljeno sa 11.
Broj 103785 podijeljen je u 11, kao iznos brojeva koji zauzimaju
Čudna mesta, 1 + 3 + 8 \u003d 12 jednaka je količini brojeva koji zauzimaju čak
Mjesta 0 + 7 + 5 \u003d 12.
Broj 9163627 podijeljen je u 11, kao iznos brojeva koji zauzimaju
Neparna mjesta, postoji 9 + 6 + 6 + 7 \u003d 28, a količina brojeva koji zauzimaju
Čak i mjesta, postoji 1 + 3 +2 \u003d 6; Razlika između brojeva 28 i 6 je
22, a ovaj broj je podijeljen sa 11.
Broj 461025 nije podijeljen u 11, jer brojevi 4+ 1 + 2 \u003d 7 i b +0 +
5 \u003d 11 nisu jednaki jedna prema drugoj, a njihova razlika 11 -7 \u003d 4 nije podijeljena u 11.

Za početak, razmotrite primjer - rješenje problema 19. (na ovoj temi cijeli brojevi ) - Kim Real EGE 2015. godina, rano razdoblje, osnovni nivo. (Teorija njoj - znakovi razdjela - u nastavku.)

Zadatak 19.

Odlučite 181615121 tri znamenke tako da se rezultirajući broj podijeli sa 12. U odgovoru navedite bilo koji takav broj.

Odluka.

Izjavljujemo razdjelnik - broj 12 na jednostavnim faktorima. 12 \u003d 3 × 4 \u003d 3 × 2 × 2.
Stoga, navedeni broj nakon prelaza treba podijeliti u 3 i 4 ili 2, još jednom u 2 i, na kraju, do 3.
Na 2 postoje čak i brojevi, dakle, 1 na kraju štrajka odjednom. Ostat će 18161512.
Ali treba nam da dijelimo 2 dva puta, i.e. Podijeljen na 4.
Znak djevinosti na 4 tvrdi da za to treba podijeliti u dvocifreni broj koji se formira najnovijom dvocifrenom. 12 : 4 \u003d 3, tako da se dva poslednja broja broja 18161512 ne mogu izbrisati. Oni garantuju podjelu više 4 (na oba dva).
Dakle, da je broj podijeljen za 3, potrebno je da zbroj njegovih brojeva podijeli 3.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 \u003d 3 × 8 + 1 - Možete izbrisati jednu od jedinica, ali po staldu zadatka morate pogoditi još dva broja;
25 \u003d 3 × 7 + 4 - nema dvije znamenke za brisanje, od čijeg bita bi bila 4, jer Posljednje brojke 1 i 2 ne mogu se dodirnuti;
25 \u003d 3 × 6 + 7 - Zbroj dva olikovana brojeva bit će 7, ako izvlačite 6-ku i bilo koju od jedinica koje nisu posljednje.
Dakle, mogući odgovori: 811512 ili 181512. Biramo jedan od njih, na primjer

Odgovor: 181512.

Komentar: Na pravom ispitu provjerite svoj odgovor na podjelu u koloni.

Neko može imati pitanja koja su tako jednostavni faktori i kako staviti na jednostavne faktore?
Jednostavni faktori ne mogu se dalje podijeliti. Jednostavni brojevi podijeljeni su samo na sebi i 1, na primjer, 13: 1 \u003d 13 ili 13:13 \u003d 1 i to je to. I da ga postavite bolje postepeno.
Na primjer, 60 \u003d 6 × 10, 6 \u003d 2 × 3 i 10 \u003d 2 × 5, to znači 60 \u003d 2 × 3 × 2 × 5.

Da biste rešili takve zadatke, morate znati teoreme - znakove razdjela prirodnih brojeva. Što više znate znakove, brže vi odlučite zadatak. Ponovite glavne.

Znakovi razlike prirodnih brojeva

Budući da je čovječanstvo izmislio obične i decimalne frakcije, možemo primijeniti operaciju odjeljenja na bilo koje vrijednosti. Međutim, koncept pojedinačnost brojeva Obično se razmatraju na skupu prirodnih brojeva. Kada kažemo "broj je podijeljen", mislim da se podjela događa bez ostatka, a rezultat podjele je i prirodni broj.

Znak razdjela za 2.

Na 2 podijeljeno sa svim ostalim brojevima. Mi smo zato što ih nazivamo mlađima.

Broj je podijeljen na dva ako i samo ako je njegova posljednja znamenka podijeljena u 2, tj. 2, 4, 6, 8, 0.

Znak razdjelbilnosti za 3.

Prirodni broj je podijeljen u tri ako i samo ako je iznos njegovih brojeva podijeljen sa 3.

Na primjer, 4539861 je podijeljeno u 3, jer 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Broj 36 je podijeljen u 3.
Na primjer, 394762 nije podijeljen u 3, jer 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Broj 31 nije podijeljen u 3.
Možete provjeriti sa svojim omiljenim kalkulatorom
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Ako se iznos brojeva pokazali kao višestruki broj, njegova djelatnost može se provjeriti istim značajkama.
Na primjer, 16539478617177984079 je podijeljen u 3, jer 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 \u003d 111. 111 podijeljeno sa 3, jer 1 + 1 + 1 \u003d 3. Broj 3 je podijeljen u 3.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

Znak razdjelbilnosti za 4.

Prirodni broj koji sadrži najmanje tri znamenke podijeljen je u 4 ako je i samo ako je podijeljen u 4 dvocifren broj formiran zadnje dvije znamenke određenog broja.

Što se tiče provjere djelistivosti sa 4 dvocifre, koristimo činjenicu da 4 \u003d 2 × 2, i.e. Podijelite na 4 - Ista stvar koja je dvaput zaredom da se podijeli na 2. Stoga, dva-znamenkasti broj treba biti čak i, i, drugo, lako se podijeli na 2 i pogledajte li i rezultat da li je i rezultat čak i broj. Na primjer,

5773211789020783 nije podijeljen u 4, jer 83 nije podijeljeno u 2.
4920904953478666 nije podijeljen u 4, jer 66. : 2 \u003d 33 - Neparni broj.
5897592348940996 je podijeljen u 4, jer 96. : 2 \u003d 48 - temeljni broj.

Dokaz o performansama ove funkcije zasnovan je na razdjelu 100 na 4 i iznosu teoreme razdjelnosti, koja je prikazana u nastavku. Ovdje smatramo objašnjenje na primjeru iz danog zadatka upotrebe.
18161512 \u003d 18161500 + 12 \u003d 181615 × 100 + 12 \u003d 181615 × 25 × 4 + 3 × 4 \u003d (181615 × 25 + 3) × 4.
U zagradama će se dobiti prirodni broj, to znači da se početni broj može podijeliti u 4 bez ostatka.

Znak razdjelbilnosti za 5.

Broj je podijeljen sa 5 ako i samo ako je njegova posljednja cifra ili 5 ili 0.

Znak razdjela na 6 Obično se ne formuliše kao teorema. Od 6 \u003d 2 × 3, tada se uzastopno korišteni uzorak koristi za 2 i do 3. Dakle, koristi se za 6 dijelova, od kojih je iznos brojeva podijeljen sa 3.
629 - Ne podeljeno sa 6, neparno.
692 - Nije podijeljen u 6, što je, ali 6 + 9 + 2 \u003d 17 nije podijeljeno u 3.
792 - Podijeljen je u 6, što je također 7 + 9 + 2 \u003d 18 podijeljeno sa 3.

Znak razdjela na 8 Takođe se ne formulira kao teorema.
Od 8 \u003d 2 × 4 i 1000 \u003d 250 × 4, za stoga je za brojeve više od 1000, analogno znakom djelistivosti za 4, provjerava se podjela od 8 brojeva formiranih za tri posljednje cifre, te za brojeve manje od 1000 (trocifrena), uzastopno podijeljena u 2 i provjeriti rezultat dobiven na osnovu podjele za 4. na primjer,
58989081099472 - podijeljeno sa 8, kao 472 : 2 \u003d 236 i 36 podijeljeno sa 4.

Znak razdjela za 9.

Prirodni broj je podijeljen u 9 ako i samo ako je iznos njenog broja podijeljen u 9.

Na primjer, 4539861 je podijeljeno u 9, jer 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Broj 36 je podijeljen u 9.
Na primjer, 394762 nije podijeljen u 9, jer 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Broj 31 nije podijeljen u 9.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

Znak razdjelbilnosti za 10.

Prirodni broj je podijeljen sa 10 ako i samo ako je posljednja cifra 0.

Ova se značajka lako proširi na bilo koji stepen desetaka. Broj je podijeljen sa 100 kada su dvije njegove posljednje cifre nule, na 1000, kada na kraju tri nula itd.

Lako pamćenje znakovi razdjela na jednostavnim brojevima tipa 7, 11, 13, 17 ..., Nažalost nema. Organizatori Ege-a znaju da se zadaci fokusirani na korištenje isključivo takvih rješenja neće biti uključeni. Iako za dugu povijest razvoja tehnike oralnog računa, matematike, naravno, identificirala i formulisala neke zajedničke karakteristike podjele takvih brojeva. Zainteresovani se mogu odnositi na Wikipediju.

Preporučio bih samo obratiti pažnju na drugu 11. Jasno je da je dvocifreni broj podijeljen sa 11 ako se sastoji od identičnih brojeva. Trocifreni broj podijeljen je u 11 ako je njegova prosječna znamenka jednaka zbroju dva ekstremna, ili ako je zbroj prvih i posljednje znamenke jednak prosječnom cifru plus 11. Na primjer, 495 je podijeljeno sa 11, Od 4 + 5 \u003d 9, a 957 je podijeljeno sa 11, pa kao i 9 + 7 \u003d 5 + 11.

I u memoriranju znakovi razdjela za sastojke nije potrebno. Kompozitni brojevi mogu se razgraditi na jednostavnim multiplikatorima.

Teoreme o djelistivosti rada i zbroj prirodnih brojeva.

Ako je u radu barem jedan od faktora podijeljen na neki broj, onda sastav Podijeljen je u ovaj broj.

Na primjer, proizvod od 475 × 1230 × 800 podijeljen je u 3, jer drugi faktor zadovoljava znak podjele za 3 - zbroj njegovih brojeva 1 + 2 + 3 + 0 \u003d 6 podijeljen je sa 3.

Ako je svaki izraz podijeljen na broj, onda suma Podijeljen je u ovaj broj.

Na primjer, iznos od 475 + 1230 + 800 podijeljen je u 5, jer svaki skitnica zadovoljava znak podjele za 5.

Suprotna izjava podjele iznosa nije tačna. Ako svaki iznos sažetka nije podijeljen u neki broj, tada se za iznos moguća obje opcije, jer je podijeljena i nije podijeljena.
43 nije podijeljeno u 5, 17 nije podijeljeno sa 5, 43 + 17 \u003d 60 podijeljeno sa 5.

Suprotna izjava o djelistivosti rada može se formulisati tek nakon raspadanja Divizora jednostavnim uslugama. Zapravo, ova akcija bila je posvećena zadatku koji je postavljen na početku odjeljka.

Ako ste prijatelji sa algebrim i znate kako izvesti zajednički faktor zagrade i smanjiti obične frakcije, tada se teorema iz iznosa razdjevanosti može zapamtiti kao prisutnost zajedničkog mjerila, a teorema o djelu djela , kao prilika za smanjenje obične frakcije.

Korištenjem iznosa iznosa možete "sačuvati" na proračun, na primjer, prilikom provjere znakova djelistivosti za 3 i do 9. Kada dodate velike brojeve, možete baciti sve brojeve očito podijeljene , respektivno za 3 ili 9.
Vratimo se na posljednji primjer iz točke "znak podjele za 3".
Za broj 165394786171277984079 umjesto 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 Izračunajte 1 + + 5 + 4 + 7 + 8 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 \u003d 69. Rezultat je isti - podijeljen sa 3.

I zadnji:
Matematika ne voli puno pisati. Duge prijedloge i ponavljanja istih riječi su dobri kada objašnjavaju rješenje, ali preporučljivo je koristiti simbole kada je poželjno. Za izraz "podijeljen" možete koristiti simbol ⋮ Vertikalna tačka.
48⋮ 6 znači da je 48 podijeljeno u 6, ili da je broj 48 višestruki broj 6.

Zadaci za samotestiranje.

Evo zadataka sa rješenjima koja su privremeno skrivena tako da prvo možete sami razmisliti o njima, a zatim pritisnite tipku za usporedbu svojih i mojih rješenja. Slični zadaci provjere vašeg odgovora mogu se naći u otvorenoj banci zadataka Federalnog zavoda pedagoških mjerenja.

Zadatak 1.

Navedite primjer petocifrenog broja od višestrukih 12, proizvod od kojih je 40. Kao odgovor, navedite tačno jedan takav broj.

Pokazati odluku

Proširite broj 40 na jednostavan množitelje. 40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5.
Postoje samo četiri takva množitelja, brojevi nisu dovoljni za petocifreni broj, ali uvijek možete dodavati jedinicu u posao, rezultat se neće promijeniti.
40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5 × 1.
Dakle, broj u odgovoru može se izvršiti samo iz ovih brojeva: 1,2,2,2,5.
Dakle, da je broj bio više od 12 (ista stvar koja je podijeljena u 12 bez ostatka) treba zadovoljiti znakove djelistivosti za 3 i do 4, kao 12 \u003d 3 × 4.
Provjerite količinu brojeva 1 + 2 + 2 + 2 + 5 \u003d 12. Podijeljen je s 3, tako da će naš broj biti podijeljen u 3 za bilo kakve permutacije brojeva.
I tako da će biti podijeljen na 4, na kraju morate staviti dvije znamenke tako da se broj formirao po njima podijeljen sa 4.
Očito je da bi zadnja cifra trebala biti 2, drugi su čudni. Provjerite opcije 12, 22, 52.
12: 4 \u003d 3; 22: 4 \u003d 11: 2 - Nije podijeljeno sa puno; 52: 4 \u003d 13.
ZAKLJUČAK: Broj se mora sastaviti tako da je na kraju bio 12 ili 52, a na početku je bilo koja permutacija iz preostalih tri znamenke.
Mogući odgovori: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. Kao odgovor, pišemo jednog od njih. Na primjer,

Odgovor: 21252

Komentar: Vaša odluka treba biti nešto kraća, jer je dovoljno pronaći barem jedan od mogućih odgovora.

Zadatak 2.

Dajte primjer trocifrenog broja višestrukih 15, proizvod od kojih je broj 30. U odgovoru navedite tačno jedan takav broj.

Pokazati odluku

Raširite broj 30 na jednostavan množitelje. 30 \u003d 2 × 3 × 5.
Postoje tri takva množitelja, moramo napraviti trocifreni broj, koji je podijeljen na 15, tj. Zadovoljava znakove djeljivosti za 3 i 5, od 15 \u003d 3 × 5.
Tako da je broj podijeljen sa 5, trebao bi završiti broj 5.
Provjerite količinu brojeva 2 + 3 + 5 \u003d 10. Količina brojeva nije podijeljena u 3, tako da naš broj neće biti podijeljen u 3 za bilo kakve permutacije brojeva.
Slijepa ulica? Ne. Ponovo repetitor, možete dodati bilo koji broj jedinica kao fabriku i rezultat se neće promijeniti.
Zamislite 30 AS 2 × 3 × 5 × 1.
Sada mogući cifre za pripremu trocifrenog broja više nego što je potrebno. Stoga smo u kompleksibili nekoliko jednostavnih faktora: 2 × 5 \u003d 10 i 3 × 5 \u003d 15 Ovo nisu brojevi, već dvocifreni brojevi. 2 × 3 \u003d 6 Broj 6 označen je brojem 6.
Zamislite 30 AS 6 × 5 × 1.
Provjerite količinu brojeva 6 + 5 + 1 \u003d 12. Podijeljen je u 3. Dakle, broj u odgovoru može se izdržati od brojeva: 6,51. Posljednja cifra treba biti 5.

Mogući odgovori: 615, 165

Zadatak 3.

Brojevi četverocifrenog broja, višestrukih 5, snimljen u obrnutu narudžbu i primio je drugi četvorocifreni broj. Zatim je, od prvog broja, druga otkrivena i primljena 2277. Donesite tačno jedan primjer takvog broja.

Pokazati odluku

Broj, višestruki 5, završava brojevima 0 ili 5. Tada bi se broj zabilježen u obrnutu narudžbu trebao započeti s 0 ili C. 5. Ako broj započne s 0, neće biti četverocifren, a to će biti tri -digit, jer 0 na početku obično ne piše. Na primjer, 0348 je samo 348. Dakle, željeni broj završava cifrom 5. Ostatak njegovih brojeva odredit će slova a, B, C. Naveden je broj u ovom slučaju aBC5____ .
Dođavola je ovdje potrebna kako ne bi zbunili ovu oznaku algebarskom proizvodom varijabli ( sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: Pomnožiti sa b., pomnožite sa od ...). Broj zabilježen u obrnutu narudžbu je naznačen 5 cBA____ .
Po stanju

aBC5____ − 5cBA____ = 2277.
Zamislite da izvršimo ovu oduzimanje u koloni.
1) 5 manje od 7, a zatim kada su oduzimanje moralo da zauzmu desetak.
10 + 5 − sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: = 7. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: = 15 − 7 = 8.
2) Kada oduzimate desetine, ne tako očigledno, oni su zauzeli ili nisu zauzimali jedinicu u pražnji stotinama. Prvo recimo da nisu zauzeli. Zatim iz smanjenog broja po jedinici c. Jeste li pročitali b. i dobio 7.
(c. − 1) − b. = 7. c. = 8 + b..
Ova je opcija pogodna b. \u003d 0 I. b. \u003d 1. Velike vrijednosti b. Povećati c. do dvocifrene. Izbjegavajte na primjer b. \u003d 1, onda c. \u003d 9, a uvjereni smo da broj 8195 zadovoljava stanje problema.

Odgovor: 8195

Komentar: Možda još jedan pravi odgovor 8085 ako izaberete b. \u003d 0 u koraku 2). Da li će pretpostavka raditi da prilikom oduzimanja desetaka okupiranu jedinicu u praznini stotina, provjerite je sami.