Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Vectori de bază. Sistemul de coordonate afine

Audiența are un cărucior cu ciocolată, iar fiecare vizitator astăzi va primi un cuplu dulce - geometria analitică cu o algebră liniară. În acest articol, două secțiuni de matematică superioară vor fi ridicate imediat și vom vedea cum se înțeleg într-o singură învelitoare. Faceți o pauză, fiți plictisitor "Twix"! ... naibii, bine, nonsens spore. Deși bine, nu voi înscrie, în cele din urmă, ar trebui să existe o atitudine pozitivă de studiu.

Dependența liniară a vectorilor, vectorii de independență liniară, vectori de bază și alții. Termeni nu numai că interpretarea geometrică, dar, mai presus de toate, semnificația algebrică. Sostul conceptului de "vector" în ceea ce privește algebra liniară nu este întotdeauna vectorul "obișnuit", pe care îl putem descrie în plan sau în spațiu. Nu este necesar să mergem departe de dovezi, să încercați să trageți un vector de spațiu de cinci dimensiuni. . Sau vectorul meteorologic pentru care am mers doar pe Gismeteo: - temperatura și presiunea atmosferică, respectiv. Un exemplu, desigur, incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, totuși, nimeni nu împiedică formalizarea acestor parametri prin vector. Respirator de toamnă ...

Nu, nu vă voi trimite teoria, spațiile vectoriale liniare, sarcina este a intelege Definiții și teoreme. Termeni noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) se aplică tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar exemplele vor fi date geometrice. Astfel, totul este simplu, accesibil și vizual. În plus față de sarcinile geometriei analitice, vom analiza și câteva sarcini tipice de algebră. Pentru a stăpâni materialul, este recomandabil să se familiarizeze cu lecțiile Vectori pentru ceainici și Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Sistemul de coordonate de bază și coordonate de afinitate

Luați în considerare planul tabelului de calculator (doar o masă, mese de noptieră, podea, tavan, care îi place ce). Sarcina va consta în următoarele acțiuni:

1) Selectați planul de bază. Aproximativ, blaturile au o lungime și lățime, deci este intuitivă că doi vectori vor fi obligați să construiască o bază. Un vector este în mod clar suficient, trei vectori - Lishka.

2) Bazat pe baza selectată setați sistemul de coordonate (Grid Coordonate) Pentru a atribui coordonate tuturor subiecților de pe masă.

Nu fi surprins, mai întâi explicațiile vor fi pe degetele voastre. Și, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul mâinii stângi Pe marginea vârfului de masă, astfel încât să se uite la monitor. Va fi vector. Acum locul mysilineal dreapta dreapta. Pe marginea mesei este exact aceeași - că este îndreptată spre ecranul monitorului. Va fi vector. Zâmbiți, vă uitați minunat! Ce se poate spune despre vectori? Acești vectori collinearny.prin urmare linelo. Exprimată unul în celălalt:
Ei bine, sau viceversa:, unde - un alt număr decât zero.

Imaginea acestei acțiuni poate fi văzută la lecție Vectori pentru ceainiciunde am explicat regula de multiplicare a vectorului pentru un număr.

Degetele dvs. se vor stabili baza pe planul de masă? Evident, nu. Vectorii colinear călătoresc acolo și aici unu Direcția, iar planul are o lungime și o lățime.

Astfel de vectori sunt chemați dependente liniar.

Referinţă: Cuvintele "liniar", "liniar" indică faptul că ecuații matematice., expresii nu există pătrate, cuburi, alte grade, logaritmi, sinusuri etc. Există doar liniară (gradul 1) de expresii și dependențe.

Două avioane vectoriale. dependente liniar Atunci și numai când sunt colinear.

Traversează degetele pe masă pentru a fi între ele orice unghi, cu excepția 0 sau 180 de grade. Două avioane vectoriale.linelo. nudependent de acest lucru și numai dacă nu sunt colinear. Deci, baza este obținută. Nu este necesar să se rușineze că baza sa dovedit a fi "oblică" cu vectori imperpendicari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că pentru construcția sa nu este doar un unghi de 90 de grade, și nu numai vectori de lungime unică, egală

Orice Planul vectorial. singura cale Dezvăluit de bază:
unde - numere valide. Numerele sunt numite coordonatele vectorului În această bază.

De asemenea, spuneți asta vector Postat în formular combinație liniară Vectorii de bază. Adică, expresia este numită descompunerea vectoruluibameu. sau combinație liniară Vectori de bază.

De exemplu, putem spune că vectorul este descompus pe baza ortonormală a avionului și se poate spune că este reprezentată ca o combinație liniară de vectori.

Formula definiția de bază oficial: Planul de bază numită o pereche de vectori liniari independenți (nonolylinear), , în care orice Vectorul planului este o combinație liniară de vectori de bază.

Punctul esențial de definiție este faptul că sunt luați vectorii într-o anumită ordine. Bazele - Acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, degetul mic al mâinii stângi nu va rearanja mâna dreaptă Mizinza.

Baza a dat seama, dar nu este suficient să setați grila de coordonate și să atribuiți coordonatele fiecărui obiect al tabelului computerului. De ce nu este suficient? Vectorii sunt liberi și rătăciți în întregul avion. Deci, cum să atribuiți coordonatele acelor mici puncte murdare ale mesei, care au rămas după un weekend rapid? Avem nevoie de o referință de pornire. Și o astfel de orientare este un punct familiar - începutul coordonatelor. Înțelegem sistemul de coordonate:

Voi începe cu sistemul "școală". Deja la lecția introductivă Vectori pentru ceainici Am subliniat unele diferențe între sistemul de coordonate dreptunghiulare și baza ortonormală. Iată imaginea standard:

Când spun O. sistem de coordonate dreptunghiulare, cel mai adesea înseamnă originea coordonatelor, axele și scala de-a lungul axelor. Încercați să formați în motorul de căutare "sistem de coordonare dreptunghiulară" și veți vedea că multe surse vă vor spune despre familiarizarea cu axele de coordonate de 5-6 ani și cum să amânați punctele în avion.

Pe de altă parte, se pare că sistemul de coordonate dreptunghiulare poate fi determinat printr-o bază ortonormală. Și este aproape de genul ăsta. Formularea sună după cum urmează:

Începutul coordonatelor, I. Ortonormal.set de bază sistemul de coordonate al planului rectangular cartezian . Adică un sistem de coordonate dreptunghiulare definit. Determinată de singurul punct și de doi vectori ortogonali unici. De aceea vedeți desenul pe care l-am condus mai sus - în sarcini geometrice, adesea (dar nu întotdeauna) desenați vectori și coordonează axele.

Cred că toată lumea este clară că, cu ajutorul unui punct (începutul coordonatelor) și baza ortonormală Orice punct al avionului și orice vector de planputeți atribui coordonatele. Figurativ vorbind, "în avion totul poate fi numerotat".

Sunt vectorii de coordonați obligați să fie izolați? Nu, pot avea o lungime arbitrară non-zero. Luați în considerare punctul și două vectori ortogonali de lungime nonzero arbitrară:

O astfel de bază este numită ortogonal. Originea coordonatelor cu vectori a stabilit grila de coordonate și orice punct al avionului, orice vector are propriile coordonate în această bază. De exemplu, sau. Inconvenientele evidente este că vectorii coordonatelor în general Au lungimi diferite altele decât una. Dacă lungimile sunt egale cu una, atunci se obține o bază obișnuită ortonormală.

Fotografiile! Notă : În baza ortogonală, precum și mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, sunt luate în considerare unitățile de pe axe Condiţional. De exemplu, într-o singură unitate de-a lungul axei Abscisa, conține 4 cm, într-o singură unitate de-a lungul axei de ordonare 2, vezi aceste informații este suficient pentru a traduce coordonatele "non-standard" la "centimetrele noastre obișnuite", dacă este necesar.

Și a doua întrebare pentru care este deja dat răspunsul - este necesar să se egaleze la 9 grade între vectorii de bază? Nu! După cum spune definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai nonolylinear. În consecință, unghiul poate fi oricine cu excepția 0 și 180 de grade.

Punctul de punct numit Începutul coordonatelor, I. nonolylinear. vectori , cere aFINE Coordonează sistemul plan :

Uneori se numește un astfel de sistem de coordonate kosholnaya. sistem. Ca exemple în desen, puncte și vectori sunt descrise:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este chiar mai puțin convenabil, nu funcționează formule pentru vectorii și segmentele pe care le-am luat în considerare în a doua parte a lecției Vectori pentru ceainiciMulte formule delicioase legate de vectori de produse scalar. Dar există reguli valide pentru adăugarea vectorilor și multiplicarea vectorului prin numărul, formula diviziunii pe segment în această privință, precum și mai multe sarcini pe care le vom lua în considerare în curând.

Și concluzia că cel mai convenabil caz privat al sistemului de coordonate afinitate este sistemul dreptunghiular decarțian. Prin urmare, ea, nativ, cel mai adesea și trebuie să se gândească. ... Cu toate acestea, totul în această viață este relativ - există o mulțime de situații în care Kosholnaya este adecvată (sau ce altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Da, și umanoidele astfel de sisteme pot veni la gust \u003d)

Du-te la partea practică. Toate sarcinile acestei lecții sunt valabile atât pentru un sistem de coordonare dreptunghiulară, cât și pentru un caz comun afisonal. Nu este nimic dificil, toate materialele sunt chiar disponibile pentru un elev de școală.

Cum să determinați colinearitatea vectorilor de avion?

Lucru tipic. Pentru ca doua vectori planezi au fost colinear, este necesar și suficient pentru ca coordonatele lor relevante să fie proporționale cu. Potrivit creaturii, aceasta este detalierea redefinită a relației evidente.

Exemplul 1.

a) Verificați dacă vectorii colinearny .
b) dacă baza formează vectorii ?

Decizie:
a) Aflați dacă există vectori Coeficientul de proporționalitate, astfel încât să fie efectuat prin egalitate:

Voi spune cu siguranță despre speciile "Pzhonskaya" de aplicare a acestei reguli, care este destul de în practică. Ideea este de a face imediat o proporție și de a vedea dacă va fi adevărat:

Face o proporție din relația dintre coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Peste rosu:
Astfel, coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Atitudinea ar putea fi convertită dimpotrivă, este o versiune egală:

Pentru auto-test, este posibil să se folosească faptul că vectorii colinear sunt exprimați liniar unul în celălalt. În acest caz, există egalitate . Justiția lor este ușor de verificat prin acțiuni elementare cu vectori:

b) Două vectori plane formează o bază, dacă nu sunt colinear (independent liniar). Explorați vectorii de colinearitate . Efectuați un sistem:

Din prima ecuație rezultă că, din a doua ecuație rezultă că, înseamnă asta sistemul este incomplet (Fără soluții). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Ieșire: Vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Versiunea simplificată a soluției arată astfel:

Face o proporție de la coordonatele vectorilor corespunzători :
Aceasta înseamnă că acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, această opțiune nu este marcată de recenzori, dar problema apare în cazurile în care unele coordonate sunt zero. Ca aceasta: . Sau așa: . Sau așa: . Cum să acționeze prin proporție? (Într-adevăr, este imposibil să se împărtășească zero). Din acest motiv am sunat decizia simplificată "Pzhonsky".

Răspuns:a), b) formularul.

Un mic exemplu creativ pentru o soluție independentă:

Exemplul 2.

Cu ce \u200b\u200bvaloare a vectorului parametrilor Va fi colinearinele?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o metodă algebrică elegantă de verificare a vectorilor pentru collinearitate., Sistemizăm cunoștințele și al cincilea element adăugăm:

Următoarele declarații sunt echivalente cu două vectori de avion.:

2) baza vectorilor;
3) vectorii nu sunt colinear;

+ 5) Determinantul compus din coordonatele acestor vectori este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente.:
1) Vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu constituie baza;
3) vectori colinear;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul în celălalt;
+ 5) Determinantul compus din coordonatele acestor vectori este zero.

Sunt foarte și foarte mult sper că în momentul de față sunteți deja de înțeles cu toți termenii și acuzațiile.

Luați în considerare unul nou, al cincilea punct: două avioane vectoriale. Collinearny și numai dacă determinantul compus din coordonatele de date ale vectorilor este zero:. Pentru a aplica această caracteristică, în mod natural, trebuie să puteți găsiți identifică.

Decisiv Exemplu al doilea mod:

a) Calculați determinantul compus din coordonatele vectorilor :
Deci, acești vectori colinear.

b) Două vectori plane formează o bază, dacă nu sunt colinear (independent liniar). Calculați determinantul compus din coordonatele vectorilor :
Deci, vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns:a), b) formularul.

Arată mult mai compactă și mai frumoasă decât soluția cu proporții.

Cu ajutorul materialului considerat, nu numai colinearitatea vectorilor poate fi instalată, dar și pentru a dovedi paralelismul segmentelor, direct. Luați în considerare o pereche de sarcini cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3.

Dana vârfurile unui Quadricle. Dovedește că quadrilul este un paralelogram.

Dovezi: Desenul nu este necesar în sarcină, deoarece soluția va fi pur analitică. Amintiți-vă definiția paralelogramei:
Paralelogram Numit un Quadricle, care are laturi opuse perechea paralelă.

Astfel, trebuie să dovediți:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și.

Ne dovedim:

1) Găsiți vectori:

2) Găsiți vectori:

Sa dovedit același vector ("la școală" - vectori egali). Collinearitatea este complet evidentă, dar este mai bine să luați o decizie cu o aliniere. Calculați determinantul compus din coordonatele vectorilor:
Aceasta înseamnă că acestea sunt vectori colinear și.

Ieșire: Laturile opuse ale cvadrilului sunt paralele paralele, înseamnă că este o paralelogramă prin definiție. Q.E.D..

Mai multe cifre bune și diferite:

Exemplul 4.

Dana vârfurile unui Quadricle. Dovedește că quadrilul este un trapez.

Pentru o formulare mai strictă a dovezii, este mai bine, desigur, pentru a obține definiția unui trapez, dar este suficient și amintiți cum arată.

Aceasta este o sarcină pentru o soluție independentă. Soluția completă la sfârșitul lecției.

Și acum este timpul să vă îndepărtați liniștit din avion în spațiu:

Cum de a determina colinearitatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca două vectori de nave să fie colinear, este necesar și suficient pentru ca coordonatele lor să fie proporționale cu.

Exemplul 5.

Aflați dacă Collinear va fi următorii vectori de spațiu:

dar) ;
b)
în)

Decizie:
a) Verificați dacă există un raport de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are nicio soluție, înseamnă că vectorii nu sunt colinear.

"Simplificat" este emis prin verificarea proporției. În acest caz:
- Coordonatele relevante nu sunt proporționale, înseamnă că vectorii nu sunt colinear.

Răspuns: Vectorii nu sunt colinear.

b-c) Acestea sunt elemente pentru o decizie independentă. Încercați să aranjați în două moduri.

Există o metodă de verificare a vectorilor spațiali pe collinearitate și printr-un determinant al treilea ordin, această metodă este acoperită în articol Vector vector de artă.

Similar cu cazul plat, setul de instrumente considerat poate fi utilizat pentru a studia paralelismul segmentelor spațiale și direct.

Bine ați venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor de spațiu tridimensional.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre legile pe care le-am uitat la avion vor fi corecte pentru spațiu. Am încercat să minimizez rezumatul pe teorie, deoarece ponderea leului de informații este deja degradată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea noi termeni și concepte.

Acum, în loc de planul tabelului de calculator, examinăm spațiul tridimensional. Mai întâi creați baza. Cineva este acum situat în cameră, pe cineva pe stradă, dar în orice caz, nu putem merge nicăieri de la trei dimensiuni: lățimi, lungimi și înălțimi. Prin urmare, vor fi obligați trei vectori spațiali pentru a construi o bază. Unul sau doi vectori sunt mici, al patrulea este inutil.

Și respira din nou pe degete. Ridicați-vă mâna și răspândiți în direcții diferite. mare, index și degetul mijlociu. Acestea vor fi vectori, se uită la direcții diferite, au o lungime diferită și au unghiuri diferite între ele. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu este necesar să se demonstreze astfel de profesori, indiferent cât de răciți degetele, iar definițiile nu merg nicăieri \u003d)

Apoi, vom defini o problemă importantă, orice trei vectori formează baza spațiului tridimensional? Apăsați pe cele trei degete strâns la tabelul de masă al computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt situați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre măsurători - înălțimea. Astfel de vectori sunt complinară Și este evident că baza spațiului tridimensional nu creează.

Trebuie remarcat faptul că vectorii compartimentului nu trebuie să se afle în același plan, pot fi în planuri paralele (doar nu o fac cu degetele, așa că numai Salvador a dat \u003d)).

Definiție: Vectorii sunt chemați complinarăDacă există un avion cu care sunt paralele. Este logic aici că, dacă un astfel de avion nu există, atunci vectorii nu vor complama.

Vectorii de compartimente sunt întotdeauna dependenți liniar., adică exprimată liniar unul în celălalt. Pentru simplitate, ne vom imagina din nou că se află în același avion. În primul rând, vectorii nu sunt suficienți ca Componarii să fie, de asemenea, colinear, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt colinear, atunci cel de-al treilea vector este exprimat prin ele singura modalitate: (Și de ce - ușor de ghicit pe baza materialelor secțiunii anterioare).

Târg și declarația opusă: Trei vectori necompletați sunt întotdeauna independenți liniar, adică, în nici un fel, exprimat într-un singur prieten. Și, evident, numai astfel de vectori pot forma o bază tridimensională.

Definiție: Baza spațiului tridimensional numită vectori independenți independenți (necompletați), independenți (necompletați), a învățat, cu orice spațiu vectorial singura cale Dezvăluită pe această bază, în cazul în care - coordonatele vectorului din această bază

Îmi amintesc că puteți spune, de asemenea, că vectorul este prezentat sub formă de combinație liniară Vectori de bază.

Conceptul sistemului de coordonate este introdus în același mod ca și pentru un caz plat, doar un punct și orice vectori independenți liniar:

Începutul coordonatelor, I. nonComplenar. vectori luate într-o situație clară, cere sistemul de coordonate al spațiului tridimensional :

Desigur, plasă de coordonate "oblică" și de cotitură, dar, totuși, sistemul de coordonare construit ne permite definit. Determinați coordonatele oricărui vector și coordonate ale oricărui punct de spațiu. În mod similar, avionul din sistemul de coordonate afine nu va funcționa pentru unele formule pe care le-am menționat deja.

Cel mai familiar și mai convenabil caz privat al unui sistem de coordonate afine, cum este ghicitul fie toată lumea sistemul de coordonare a spațiului dreptunghiular:

Spațiul de punct numit Începutul coordonatelor, I. Ortonormal.set de bază sistemul de coordonate spațiu dreptunghiular dreptunghiular . Imagine familiară:

Înainte de a trece la sarcini practice, noi sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori de spațiu sunt echivalente cu următoarele afirmații:
1) Vectorii sunt independenți liniar;
2) baza vectorilor;
3) vectorii nu sunt compartimente;
4) vectorii nu se pot exprima reciproc;
5) Determinantul compus din coordonatele acestor vectori este diferit de zero.

Declarații opuse, cred, sunt de înțeles.

Dependența liniară / independența vectorilor spațiali este verificată în mod tradițional utilizarea determinantului (paragraful 5). Sarcinile practice rămase vor fi algebrice puternic exprimate. Este timpul să atârnați un club geometric de unghii și să împachetați o algebră liniară de baseball:

Trei vectori vectoriali Compliannas și numai dacă determinantul întocmit din coordonatele acestor vectori este zero: .

Am atenție la o mică nuanță tehnică: coordonatele vectorilor pot fi înregistrate nu numai în coloane, ci și în șir (valoarea determinantului nu se va schimba de la acest lucru - a se vedea proprietățile determinanților). Dar mult mai bine în coloane, deoarece este mai profitabil pentru rezolvarea unor sarcini practice.

Astfel, cititorii care sunt puțin provocați metode de calculare a factorilor determinanți și pot fi, în general, concentrați asupra lor, vă recomand una dintre cele mai vechi lecții mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6.

Verificați dacă baza tridimensională formează următorii vectori:

Decizie: De fapt, întreaga decizie este redusă la calculul determinantului.

a) Calculați determinantul compus din coordonatele vectorilor (determinantul este descris pe prima linie):

Aceasta înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu compartiment) și formează baza spațiului tridimensional.

Răspuns: Acești vectori formează o bază

b) Acest articol pentru o soluție independentă. Soluția completă și răspunsul la sfârșitul lecției.

Sarcinile creative sunt găsite:

Exemplul 7.

Cu ce \u200b\u200bvaloare a parametrului vectorului va fi compartimentul?

Decizie: Vectorii sunt compartimente dacă și numai dacă determinantul întocmit din coordonatele de date ale vectorilor este zero:

În esență, este necesar să rezolvați ecuația cu determinantul. Ne întoarcem la zerouri ca kerchings pe tuburi - determinantul este cel mai avantajos pentru a dezvălui a doua linie și a scăpa imediat de minusuri:

Realizăm mai multe simplificări și reduceți cele mai simple ecuație liniară:

Răspuns: pentru

Este ușor de efectuat un cec, pentru că trebuie să înlocuiți valoarea primită determinantului original și să vă asigurați că , Overwook-o din nou.

În concluzie, luați în considerare un alt tip de sarcină, care poartă mai multe algebrici și tradițional se aprinde într-o algebră liniară. Este atât de obișnuit, care merită un subiect separat:

Demonstrează că 3 vectori formează o bază tridimensională
și să găsească coordonatele celui de-al patrulea vector principal în această bază

Exemplul 8.

Vectori vastici. Afișați că vectorii formează baza spațiului tridimensional și găsiți coordonatele vectorului din această bază.

Decizie: Mai întâi dezasamblează cu starea. Pentru această condiție, sunt administrați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o bază. Ce bază nu este interesată de noi. Și sunteți interesat de următorul lucru: trei vectori pot forma o nouă bază. Iar prima etapă coincide complet cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt într-adevăr independenți liniar:

Calculați determinantul compus din coordonatele vectorilor:

Deci, vectorii sunt independenți liniar și formează baza spațiului tridimensional.

Condiție prealabilă Dependența liniară a funcțiilor n.

Lăsați funcțiile, au limită derivată (n-1).

Luați în considerare determinantul: (1)

W (x) este obișnuit să fie numit cu siguranță în Vronsky pentru funcții.

Teorema 1. Dacă funcțiile sunt dependente în mod real în intervalul (A, B), Vrosanisanul lor W (x) este identic egal cu zero în acest interval.

Dovezi. Cu condiția teoremei, raportul este efectuat

(2) unde nu sunt egale cu zero. Lasa . Atunci

(3). Diferențiați această identitate n-1 și,

Înlocuind în loc de valorile lor obținute în determinantul lui Vronsky,

primim:

În determinantul Bronkenky, cea de-a doua coloană este o combinație lingy a coloanelor N-1 anterioare și în legătură cu aceasta este zero în întregul punct de interval (A, B).

Teorema 2.În cazul în care funcțiile Y 1, ..., YN sunt soluții independente de ochi ale ecuației l [y] \u003d 0, toate coeficienții care sunt continuu în intervalul (A, B), apoi Rogsmanul Din aceste soluții sunt diferite de zero la fiecare interval de punct (A, B).

Dovezi. Să presupunem opusul. Există x 0, unde w (x 0) \u003d 0. Faceți un sistem N de ecuații

Evident, sistemul (5) are o soluție nonzero. Lasa (6).

Să facem o combinație de lină de soluții Y 1, ..., y n.

(X) este o soluție a ecuației L [y] \u003d 0. În plus. În virtutea teoremei unicității soluției de ecuație L [y] \u003d 0 cu condiții inițiale zero ar trebui să fie doar zero, ᴛ.ᴇ. .

Primim identitate, unde nu toate sunt egale cu zero, ceea ce înseamnă că Y 1, ..., y n dependent linianic, care contrazice starea teoremei. În consecință, nu există un astfel de punct în care W (x 0) \u003d 0.

Pe baza teoremei 1 și a teoremei 2, puteți formula următoarea afirmație. Pentru ca soluțiile N a ecuației L [y] \u003d 0 să fie complet independente în intervalul (A, B), este extrem de important și suficient pentru ca vronoskanul lor să nu fie adresat zero în orice moment al acestui interval.

Dintre teoremele dovedite, sunt urmate și astfel de proprietăți evidente ale lui Vronoskan.

1. Dacă soluțiile N [Y] \u003d 0 sunt zero la un singur punct x \u003d x 0 din intervalul (A, B), în care produsele CEE P I (X) sunt continue, atunci este zero în astfel de puncte din acest interval.
2. Dacă soluțiile N ale ecuației L [Y] \u003d 0 diferă de la zero la un punct x \u003d x 0 din intervalul (A, B), atunci este diferit de zero în întregul punct al acestui interval.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϭᴩᴀᴈᴏᴍ, pentru Lin-Essential N din soluții independente ale ecuației L [y] \u003d 0 în intervalul (A, B), în care coeficienții ecuației R I (X) sunt continuu, este extrem de important și suficient pentru ca vrosanicul lor să fie diferit de zero cel puțin un punct al acestui interval.

Starea necesară a dependenței liniare a funcțiilor n. - concept și specii. Clasificarea și caracteristicile categoriei "Condiția necesară a dependenței liniare a funcțiilor n". 2017, 2018.

-

Nave peste unelte de manipulare a încărcăturii de bord) Curs # 6 Subiect: Gear de marfă (Gear de marfă) 6.1. Navigați angrenajul de manipulare a încărcăturii de bord). 6.2. Macarale de marfă. 6.3. Șorțuri. Supraîncărcarea este mișcarea încărcăturii pe sau de la un vehicul. Mulți ...

- Macarale de marfă (macarale de marfă)

Certificatele (certificate) Separarea funcțiilor (diviziune a sarcinilor) Inspecția, certificarea și responsabilitatea sunt împărțite în acest mod: & ....

- Il cunosti? Lo conocă?

Acolo - Allla aici - Aqui într-o cafenea - En El Cafe la locul de muncă - En El Trabajo pe mare - en El Mar 1. Nu știi unde cafeaua? 2. Nu știi unde sasha? 3. Nu știi unde biblioteca? 4. Nu știi unde este Olya acum? 5. Nu știi unde este Natasha acum? O zi buna! Pe mine ...

- Definiția zminului și Xmin din absența tăierii

Fig.5.9. Despre tăierea roților dinților. Luați în considerare modul în care coeficientul de schimbare a șinei X este asociat cu numărul de dinți, care pot fi tăiate de șină pe roată. Lăsați calea ferată să fie instalată în poziția 1 (Fig.5.9.). În acest caz, capetele feroviare directe vor traversa linia de autobuz N-N în T. și ...

Ord.Sistem de elemente x 1, ..., x M lin. Prospectul V este un dependent liniar, dacă ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0) astfel încât λ 1 x 1 + ... + λ MXM \u003d θ.

Ord.Sistemul de elemente X 1, ..., X M ∈ V este independent liniar, dacă de la egalitate λ 1 x 1 x 1 + ... + λ m x m \u003d θ λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

Ord.Un element x ∈ V este o combinație liniară de elemente x 1, ..., xm ∈ v, dacă ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ astfel încât x \u003d λ 1 x 1 + ... + λ MX m.

Teorema (criteriul de dependență liniară): Sistemul de vectori X 1, ..., X M ∈ V este dependentă liniar dacă și numai dacă cel puțin un sistem al sistemului este exprimat liniar în restul.

Dock. Necesitate: Fie X1, XM dependent liniar ⟹ ∃ ∃ λ 1, ..., λ m ∈ ℝ (| λ 1 | + ... + | λ m | ≠ 0) astfel încât λ 1 x 1 + ... + λ M -1 xm -1 + λ mxm \u003d θ. Să presupunem λ M ≠ 0, atunci

x m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Adecvare: Lăsați cel puțin unul dintre vectorii exprimați liniar în restul vectorilor: XM \u003d λ 1 x 1 + ... + λ M -1 xm -1 (λ 1, ..., λ M -1 ∈ ℝ) λ 1 x 1 + ... + λ M -1 xm -1 + (- 1) xm \u003d 0 λ m \u003d (- 1) ≠ 0 ⟹ x 1, ..., XM - Independent liniar.

Cost. Condiția de dependență liniară:

Dacă sistemul conține un element zero sau un subsistem dependent liniar, este dependent liniar.

λ 1 x 1 + ... + λ M x m \u003d 0 - Sistem dependent liniar

1) Fie x 1 \u003d θ, atunci această egalitate este validă la λ 1 \u003d 1 și λ 1 \u003d ... \u003d λ m \u003d 0.

2) Fie λ 1 x 1 + ... + λ M x m \u003d 0 Fii un subsistem dependent liniar ⟹ | λ 1 | + ... + | λ m |. ≠ 0. Apoi, la λ 1 \u003d 0 obține, de asemenea, | λ 1 | + ... + | λ m |. ≠ 0 ⟹ λ 1 x 1 + ... + λ M x m \u003d 0 este un sistem dependent liniar.

Baza de spațiu liniar. Coordonate vectoriale în această bază. Coordonatele sumelor vectorilor și lucrărilor vectorului pe număr. Condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a sistemului vectorilor.

Definiție: Un sistem ordonat de elemente E 1, ..., E N of Linear Space V se numește baza acestui spațiu dacă:

A) E 1 ... e n Independent liniar

B) ∀ x ∈ α 1 ... α n cum ar fi x \u003d a 1 E 1 + ... + α n e n

x \u003d a 1 E 1 + ... + α n E n - descompunere a unui element X în baza E 1, ..., E n

α 1 ... α n ∈ ℝ - coordonatele elementului X în baza E 1, ..., E n

Teorema: În cazul în care baza E 1, ..., E N este dată în spațiul liniar V, apoi ∀ X ∈ V Coloana de x coordonate în baza E 1, ..., E N este definit în mod unic (coordonatele sunt definite în mod unic)

Dovezi: Fie X \u003d a 1 E 1 + ... + α N E N și X \u003d β 1 E 1 + ... + βN N N

x \u003d ⇔ \u003d θ, adică E1, ..., E n - Independent liniar, apoi - \u003d 0 ∀ I \u003d 1, ..., n ⇔ \u003d ∀ i \u003d 1, ..., n h. d. d.

Teorema: lăsați E 1, ..., E n Fii baza spațiului liniar v; X, Y - Elemente arbitrare ale spațiului V, λ ∈ ℝ - un număr arbitrar. La adăugarea de x și y, coordonatele lor sunt pliate, cu multiplicarea lui X pe λ, coordonatele X sunt, de asemenea, înmulțite cu λ.

Dovezi: x \u003d (E 1, ..., E n) și Y \u003d (E 1, ..., E n)

x + y \u003d + \u003d (E 1, ..., E n)

λx \u003d λ) \u003d (E 1, ..., E n)

Lemma1: (Condiția necesară și suficientă a dependenței liniare a sistemului de sistem)

Fie E 1 ... RO să fie baza spațiului V. Sistemul de elemente F 1, ..., F K ∈ V este dependentă liniar dacă și numai dacă coloanele acestor elemente, în baza E 1 ,. .., en sunt dependente liniar

Dovezi: Spaterate F 1, ..., F K pe baza E 1, ..., E n

f m \u003d (E 1, ..., E n) M \u003d 1, ..., K

λ 1 F 1 + ... + λ k f k \u003d (E 1, ..., E n) [λ 1 + ... + λ n] adică λ 1 F 1 + ... + λ K f k \u003d θ

⇔ λ 1 + ... + λ n \u003d ceea ce trebuia să demonstreze.

13. Dimensiunea spațiului liniar. Teorema conexiunii dimensiunii și a bazei.
Definiție: Spațiul liniar V este numit spațiu n-dimensional, dacă există n elemente independente liniar în V și sistemul de la orice element N + 1 al spațiului V este dependent liniar. În acest caz, N se numește dimensiunea spațiului liniar V și denotă DIMV \u003d n.

Spațiul liniar se numește infinit-dimensional dacă ∀n ∈ ℕ în spațiu V există un sistem independent liniar care conține elemente N.

Teorema: 1) Dacă v este un spațiu liniar n-dimensional, atunci orice sistem comandat de la n elemente independente liniar din acest spațiu este format de bază. 2) Dacă în spațiul liniar v există o bază constând din elemente N, apoi dimensiunea V este N (DIMV \u003d N).

Dovezi: 1) Lăsați DIMV \u003d N ⇒ în V ∃ n elemente independente liniar E 1, ..., E n. Dom dovedi că aceste elemente formează o bază, adică demonstrăm că ∀ X ∈ V poate fi descompus conform E 1, ..., E n. Atașați X: E 1, ..., E N, X pentru ei - Acest sistem conține N + 1 vector și înseamnă că este dependent liniar. Din moment ce E 1, ..., E N este independent liniar, apoi prin teorema 2 x. Linearly exprimate prin E 1, ..., E n i. ∃, ..., cum ar fi X \u003d a 1 E 1 + ... + α n E n. Astfel, E 1, ..., E n este baza spațiului V. 2) Lăsați E 1, ..., E n Fii baza V, așa că în V ∃ n elemente independente liniar. Luați un element arbitrar F 1, ..., F N, F N +1 ∈ V - N + 1. Ne arătăm dependența lor liniară. Răspândiți-le pe bază:

f m \u003d (E 1, ..., E n) \u003d unde m \u003d 1, ..., n a face o matrice din coloane coordonate: a \u003d matrice conține șiruri ⇒ rga≤n. Numărul de coloane N + 1\u003e N ≥ RGA ⇒ Coloanele matricei A (adică, coordonatele coordonatelor F 1, ..., F N, F N +1) sunt dependente liniar. De la LEMMA 1 ⇒, ..., F N, F N +1 - Dependent liniar ⇒ DIMV \u003d N.

Consecinţă:Dacă orice bază conține elemente n, atunci orice altă bază a acestui spațiu conține elemente n.

Teorema 2: Dacă sistemul vectorilor x 1, ..., XM -1, XM este dependentă liniar, iar subsistemul său X1, ..., XM -1 este independent liniar, apoi X M - Linearly exprimat în X 1, .. ., x M -1

Dovezi: pentru că X 1, ..., x M -1, x m - dependent liniar, apoi ∃, ... ,,,

, ..., | , | astfel încât. Dacă ,, ..., | \u003d\u003e x 1, ..., x M -1 - Independent liniar, care nu poate fi. Deci m \u003d (-) x 1 + ... + (-) x m -1.

Rețineți că, în viitor, fără a deranja generalitatea, vom lua în considerare cazul vectorilor în spațiul tridimensional. În avion, luarea în considerare a vectorilor este făcută în mod similar. După cum sa menționat mai sus, toate rezultatele cunoscute din cursul algebrei liniare pentru vectorii algebriici pot fi transferați într-un caz special de vectori geometrici. Atunci, fă-o.

Lăsați vectorii să fie fixați.

Definiție.Suma, în cazul în care - unele numere sunt numite o combinație liniară de vectori. În acest caz, aceste numere vor fi numite coeficienții unei combinații liniare.

Vom fi interesați de problema posibilității de egalitate a combinației liniare la vectorul zero. În conformitate cu proprietățile și axiomele spațiilor vectoriale, devine evident că, pentru orice sistem de vectori, există un set trivial (zero) de coeficienți pentru care se efectuează această egalitate:

Există o întrebare cu privire la existența acestui sistem de vectori ai unui set non-trivial de coeficienți (printre care există cel puțin un coeficient non-peer) pentru care se efectuează egalitatea menționată. În conformitate cu aceasta, vom face distincția între sistemele dependente și independente liniar.

Definiție.Sistemul de vectori este numit liniar independent dacă există un astfel de set de numere, printre care există cel puțin un non-zero, astfel încât combinația liniară corespunzătoare este egală cu vectorul zero:

Sistemul de vectori este numit independent liniar dacă este egalitate

poate numai în cazul unui set trivial de coeficienți:

Listăm proprietățile de bază ale sistemelor liniare dependente și independente dovedite a fi o algebră liniară.

1. Orice sistem de vectori care conțin un vector zero este dependent liniar.

2. Să existe un subsistem dependent liniar în sistemul vectorilor. Apoi, întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

3. Dacă sistemul vectorilor este independent liniar, oricare dintre subsistemul său este, de asemenea, independent liniar.

4. Dacă există doi vectori în vectori, dintre care unul este obținut de la o altă multiplicare cu un număr, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Teorema (criteriul dependenței liniare).Sistemul de vectori este dependent liniar dacă și numai dacă unul dintre vectorii acestui sistem va fi prezentat ca o combinație liniară a vectorilor rămași ai sistemului.

Având în vedere criteriul colinearității a doi vectori, se poate argumenta că colinearitatea lor este criteriul dependenței lor liniare. Pentru trei vectori în spațiu, următoarea declarație este corectă.

Teorema (criteriul dependenței liniare a trei vectori geometrici).Trei vectori și dependenți liniar dacă și numai dacă sunt compartimente.

Dovezi.

Necesitate.Lăsați vectorii și dependenți liniar. Îi dovedim compartimentul. Apoi, conform criteriului general al dependenței liniare a vectorilor algebrici, susținem că unul dintre acești vectori va prezenta sub forma unei combinații liniare a altor vectori. Lăsați, de exemplu,

Dacă toți trei vectori și atașați la începutul general, vectorul coincide cu diagonala paralelogramei construită în vectori și. Dar acest lucru înseamnă că vectorii și se află în același avion, adică. Compliannas.

Adecvare.Lăsați vectorii și comparnarul. Arătăm că ele sunt dependente liniar. În primul rând, luați în considerare cazul în cazul în care un abur de la vectorii colinear specificați. În acest caz, în conformitate cu teorema anterioară, sistemul de vectori conține un subsistem dependent liniar și, prin urmare, este în sine dependentă liniar în funcție de proprietatea a 2 vectori dependenți și independenți liniari. Acum, nu, nici o pereche de vectori în cauză nu sunt colinear. Transmitem toți cei trei vectori la un avion și le dau la începutul general. Să petrecem prin capătul vectorilor vectorilor paraleli și. Introduceți punctul de literă al intersecției unui vector drept, paralel, cu o linie dreaptă, pe care vectorul mințește și punctul de litere al intersecției, paralel cu vectorul, cu o linie dreaptă, pe care vectorul mințește. Prin definirea vectorilor obținem:

.

Deoarece vectorul Collinear este un vector non-zero, atunci există un număr valid

Din considerente similare, existența unui număr valid de astfel încât

Ca rezultat, vom avea:

Apoi, de la criteriul general al dependenței liniare a vectorilor algebrici, obținem vectorii, dependenți liniar. ■.

Teorema (dependența liniară a patru vectori).Orice patru vectori sunt dependenți liniar.

Dovezi. În primul rând, luați în considerare cazul atunci când unele triple din cele patru vectori specificați din compartiment. În acest caz, această triplă este dependentă liniar în funcție de teorema anterioară. În consecință, în conformitate cu proprietatea a 2 sisteme dependente și independente liniar de vectori, iar întregul patru este dependent liniar.

Acum, lăsați vectorii să nu aibă trei vectori ai vectorilor din vectorii aflați în considerare. Dăm tuturor celor patru vectori, la începutul general și petrec după capătul vectorului planului paralel cu avioanele, detectate de cupluri vastă; ; . Punctele de intersecție ale planurilor specificate cu drepte, pe care vectorii se află și, respectiv, litere și. De la determinarea sumei vectorilor rezultă că

care, luând în considerare criteriul general al dependenței liniare ale vectorilor algebriici, sugerează că toți cei patru vectori sunt dependenți liniari. ■.

Definiția 18.2. Sistem de funcțiif., ..., f p.numitl.i-NIP O. Z. și în și s și m. Despre th în interval (dar, (3) Dacă unele nontriviale 5 combinația liniară a acestor funcții este zero la acest interval identic:

Definiția 18.3. Vectori de sistem. G 1, ..., x P Apeluri, este liniar în și în și s și m despre, dacă o combinație nontrivială, liniară a acestor vectori este egală cu un vector de glonț:

L. Pentru a evita confuzia, vom continua numărul componentelor vectorului (funcția vectorului) care urmează să fie indicat de indicele inferior și numărul vectorului însuși (dacă există mai mulți vectori) superiorul.

"Reamintim că combinația liniară se numește nontrivial, dacă nu toți coeficienții din ea sunt zero.

Definiția 18.4. Sistem de funcții vectoriale x 1 ^), ..., x n (t) numit liniar aproximativ Z. și în și s și m în jurul în interval, (dar, / 3) În cazul în care o combinație liniară non-trivială a acestor funcții vectoriale este identică egală cu acest spațiu la zero vector:

Este important să se ocupe de aceste trei concepte (dependența liniară a funcțiilor, vectorilor și funcțiilor vectoriale) una cu cealaltă.

În primul rând, dacă trimiteți formula (18,6) în forma desfășurată (amintindu-vă că fiecare dintre ele x g (1) este un vector)

atunci va fi echivalent cu sistemul egal

adică liniar dependența doamnei Componenta în sensul primei definiții (ca funcții). Se spune că dependența liniară a funcțiilor vectorului îi implică pomponent. Dependență liniară.

Invers, în general, incorect: suficient pentru a lua în considerare un exemplu de o pereche de funcții vectoriale

Primele componente ale acestor funcții vectoriale coincid înseamnă că sunt dependente liniar. A doua componentă sunt proporționale, înseamnă. De asemenea dependentă liniar. Cu toate acestea, dacă încercăm să-și construim combinația liniară, egală cu zero identică, apoi din raport

imediat primiți sistemul

care are singura soluție C - S.-2 - 0. Astfel, funcțiile vectoriale noastre sunt independente liniar.

Care este motivul pentru o astfel de proprietate ciudată? Care este focalizarea care vă permite să construiți funcții vectoriale independente liniar din funcții dependente în mod evident?

Se pare că totul nu este atât de mult în dependența liniară a componentei, ca și în proporția coeficienților, care este necesară pentru obținerea zero. În cazul unei dependențe liniare ale funcțiilor vectoriale, același set de coeficienți servește tuturor componentelor, indiferent de numărul. Dar, în exemplul pe care l-am dat pentru o singură componentă, a fost necesară o proporție de coeficienți și pentru o altă alta. Deci, focalizarea este de fapt simplă: pentru a obține o dependență liniară a funcțiilor vectoriale ale funcției vectoriale, este necesar ca toate componentele să fie dependente liniar "în aceeași proporție".

Acum ne întoarcem la studiul dependenței liniare ale funcțiilor vectoriale și vectorii. Aici este aproape evident pentru faptul că dependența liniară a funcțiilor vectoriale urmează pentru fiecare fix t * Vector

acestea vor fi dependente liniar.

Invers, în general, nu are locul: dependența liniară a vectorilor la fiecare t. Nu o dependență liniară a funcțiilor vectoriale. Este ușor de văzut pe exemplul a două funcții vectoriale.

Pentru t \u003d 1, t \u003d 2 și t \u003d 3 Avem o pereche de vectori

respectiv. Fiecare pereche de vectori este proporțională cu (cu coeficienți de 1,2 și, respectiv, 3). Nu este greu de înțeles ce pentru orice fix t * Perechea noastră de vectori va fi proporțională cu coeficientul t *.

Dacă încercăm să construim o combinație liniară de funcții vectoriale egale cu zero identic, atunci primele componente ne dau raportul

ceea ce este posibil numai dacă DIN = DIN2 = 0. Astfel, funcțiile vectoriale s-au dovedit a fi independente liniar. Din nou, explicația acestui efect este că, în cazul dependenței liniare a funcțiilor vectoriale, același set de constante CJ servește toate valorile t, și în exemplul nostru pentru fiecare valoare t. A cerut proporția dintre coeficienți.