EGE la nivel de profil matematic

Lucrarea este formată din 19 sarcini.
Partea 1:
8 sarcini cu un răspuns scurt al nivelului de bază al complexității.
Partea 2:
4 sarcini cu un scurt răspuns
7 sarcini cu un răspuns detaliat nivel inalt dificultăți.

Timp de performanță - 3 ore și 55 de minute.

Exemple de sarcini ale egenei

Rezolvarea sarcinilor examenului în matematică.

Pentru soluții de sine:

1 kilowatt oră costuri de electricitate 1 ruble 80 de copeici.
Metrul de energie electrică pe 1 noiembrie a arătat 12625 kilowatt-ore, iar pe 1 decembrie a arătat 12802 kilowatt-oră.
Ce sumă ar trebui să plătiți pentru electricitate pentru luna noiembrie?
Dați răspunsul în ruble.

În schimbul 1 al Hrivnei costă 3 ruble 70 de copeici.
Vacanții au schimbat rublele la hrivna și au cumpărat 3 kg de roșii la un preț de 4 grivne pe 1 kg.
Câte ruble au costat această achiziție? Răspundeți la un număr întreg.

Masha a trimis SMS cu salutări de Anul Nou la cei 16 prieteni.
Costul unui mesaj SMS 1 Ruble 30 Kopecks. Înainte de a trimite un mesaj în contul, Masha avea 30 de ruble.
Câte ruble vor rămâne de la Masha după trimiterea tuturor mesajelor?

Școala are corturi turistice triple.
Ce cel mai mic număr Corturile trebuie să facă o excursie, în care participă 20 de persoane?

Trenul Novosibirsk-Krasnoyarsk pleacă la ora 15:20 și sosește la 4:20 a doua zi (ora Moscovei).
Câte ore trenul este pe drum?

Rezolva ecuația:

1 / cos 2 x + 3TGX - 5 \u003d 0

Specificați rădăcinile
Aparținând segmentului (-p; p / 2).

Decizie:

1) scriem ecuația astfel:

(Tg 2 x +1) + 3TGX - 5 \u003d 0

Tg 2 x + 3TGX - 4 \u003d 0

tgx \u003d 1 sau tgx \u003d -4.

Prin urmare:

X \u003d N / 4 + PK sau X \u003d -ArctG4 + PK.

Segment (-p; p / 2)

Rădăcini deținute -3P / 4, -ACTG4, P / 4.

Răspuns: -3P / 4, -ACTG4, P / 4.

Știi ce?

Dacă vă înmulțiți vârsta cu 7, apoi multiplicați până la 1443, atunci rezultatul va fi vârsta dvs. scrisă de trei ori la rând.

Considerăm numere negative cu ceva natural, dar nu întotdeauna. Pentru prima dată, numerele negative au fost legalizate în China în secolul III, dar au fost utilizate numai pentru cazuri excepționale, așa cum au fost considerate, în general, încadrate. Un pic mai târziu, numerele negative au început să fie folosite în India pentru a desemna datorii, dar nu ne-am încadrat Occidentul - faimosul Diofant Alexandria a susținut că ecuația este de 4x + 20 \u003d 0 - absurd.

Matematician american George Dzig, fiind un student postuniversitar la Universitatea, o dată târziu pentru o lecție și a acceptat ecuația scrisă pe bord teme pentru acasă. Părea mai dificil pentru el ca de obicei, dar după câteva zile a reușit să o execute. Sa dovedit că a decis două probleme "nerezolvate" în statistici, pe care mulți oameni de știință se luptau.

În literatura matematică rusă, zero nu este un număr natural, iar în vest, dimpotrivă, aparține unei varietăți de numere naturale.

Folosit de noi sistem zecimal Numărul a apărut datorită faptului că persoana din mâinile a 10 degete. Abilitatea unui cont abstract a apărut în oameni care nu sunt imediat, dar a fost cea mai convenabilă de utilizat pentru scor. Civilizația Maya și indiferent de ele Chukchi a folosit istoric un sistem de douăzeci de numere, aplicând degetele nu numai mâinile, ci și picioarele. În centrul celor douăsprezece și șaizeci de sisteme comune în anticul și Babilonul, folosirea mâinilor a fost, de asemenea: falangele altor degete ale palmei au fost numărate cu un deget mare, numărul căruia este 12.

O doamnă familiară a cerut lui Einstein să o numească, dar a avertizat că numărul său de telefon este foarte greu de reținut: - 24-361. Tine minte? Repeta! Surprins Einstein a răspuns: - Desigur, mi-am amintit! Două zeci și 19 pătrați.

Stephen Hawking este unul dintre cei mai mari fizici ai teoreticienilor și un popularizator al științei. Într-o poveste despre el însuși, a menționat că a devenit profesor de matematică, fără a primi nici o educație matematică de la școala secundară. Când Hawking a început să predea matematica din Oxford, a citit un tutorial, înainte de propriile sale studenți timp de două săptămâni.

Numărul maxim care poate fi înregistrat de cifre romane, fără a sparge regulile lui Schwartzman (cifre romane) - 3999 (mmmcmxcix) - mai mult de trei cifre la rând nu pot scrie.

Este cunoscut o mulțime de pilde despre modul în care o persoană oferă o altă plată cu el pentru un anumit serviciu după cum urmează: La prima celulă a șahului, el va pune un bob de orez, pe al doilea - doi și așa mai departe: pentru fiecare celulă următoare de două ori mai mult decât cea anterioară. Ca urmare, cel care plătește în acest fel va ruina cu siguranță. Acest lucru nu este surprinzător: se estimează că greutate generală Rice va face mai mult de 460 de miliarde de tone.

În multe surse, este adesea în scopul de a încuraja studenții săi de cheltuieli, aprobarea se constată că rănile Einstein în matematică școlară sau, în plus, a studiat din mâini rău în toate subiecții. De fapt, totul nu era adevărat: Albert a început să fie talent în matematică la o vârstă fragedă și cunoștea-o departe dincolo de programul școlar.

EGE 2020 în sarcina matematică 19 cu decizia

Demonstrație opțiuni 2020 în matematică

Ege în matematică 2020 în format PDF Nivel de bază | Nivelul de profil

Sarcini pentru pregătirea examenului în matematică: nivel de bază și profil cu răspunsuri și soluții.

Matematică: de bază | Profilul 1-12 | | | | | | | | principalul

EGE 2020 în sarcina matematică 19

EGE 2020 în profilul de profil matematic Referința 19 cu decizie

În matematică

Numărul P este egal cu produsul de 11 numere naturale diferite, mari 1.
Ceea ce cel mai mic număr de divizori naturali (inclusiv unitatea și numărul în sine) poate avea numărul P.

Orice număr natural N reprezintă lucrarea:

N \u003d (P1 x K1) (P2 x K2) ... etc

Unde P1, P2, etc. - numere simple,

Un k1, k2 etc. - Numere integrale non-negative.

De exemplu:

15 = (3 1) (5 1)

72 \u003d 8 x 9 \u003d (2 x 3) (3 2)

Deci, numărul total de divizori naturali n este egal

(K1 + 1) (K2 + 1) ...

Deci, după condiție, p \u003d n1 n2 ... n11, unde
N1 \u003d (P1 x K) (P2 x K) ...
N2 \u003d (P1 x K) (P2 x K) ...
...,
Și asta înseamnă asta
P \u003d (P1 x (K + K + K + K) (P2 x (K + K + K + K)) ...

Și numărul total de divizoare naturale ale numărului P este egal

(K + K + ... + K + 1) (K + K + ... + K + 1) ...

Această expresie ia valoarea minimă dacă toate numerele N1 ... N11 sunt grade naturale secvențiale ale aceluiași număr simplu, începând de la 1: N1 \u003d P, N2 \u003d P 2, ... N11 \u003d P 1 1.

Care este, de exemplu,
N1 \u003d 2 1 \u003d 2,
N2 \u003d 2 2 \u003d 4,
N3 \u003d 2 3 \u003d 8,
...
N11 \u003d 2 1 1 \u003d 2048.

Apoi, numărul divizorilor naturali ai numărului P este egal
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

În matematică

Găsiți toate numerele naturale,
Nu este reprezentat sub forma a două numere simple reciproc simple decât 1.

Decizie:

Fiecare număr natural poate fi fie chiar (2 K), fie ciudat (2 K + 1).

1. Dacă numărul este impar:
n \u003d 2 K + 1 \u003d (k) + (K + 1). Numerele K și K + 1 întotdeauna simplu simple

(Dacă există un număr D, care este un divizor x și y, atunci numărul | XY | De asemenea, trebuie împărțit în d. (K + 1) - (k) \u003d 1, adică 1 ar trebui împărțite în d , adică d \u003d 1, și aceasta este dovada simplității reciproce)

Adică, am demonstrat că toate numerele impare pot fi reprezentate ca suma de două simplă.
Excepția în condiții va fi numărul 1 și 3, deoarece 1 nu poate fi depusă sub formă de sumă de natural și 3 \u003d 2 + 1 și nimic altceva, iar unitatea ca fundație nu este adecvată în condiții.

2. Dacă numărul este chiar:
n \u003d 2 k
Aici trebuie să luați în considerare două cazuri:

2.1. k - chiar, adică Reprezentant în forma K \u003d 2 m.
Apoi n \u003d 4 m \u003d (2 m + 1) + (2 m-1).
Numerele (2 M + 1) și (2 M-1) pot avea doar un divizor comun (vezi mai sus), la care este împărțit numărul (2 M + 1) - (2 m - 1) \u003d 2.2 este împărțit cu 1 și 2.
Dar dacă divizorul este 2, se pare că un număr impar de 2 m + 1 trebuie împărțit la 2. Acest lucru nu poate fi, prin urmare, rămâne doar 1.

Așadar, am demonstrat că toate numerele formularului 4 m (adică mai multe 4) pot fi, de asemenea, reprezentate ca suma a două simple reciproc.
Există o excepție - numărul 4 (m \u003d 1), care, deși poate fi reprezentat sub formă de 1 + 3, dar unitatea ca fundație nu este încă potrivită pentru noi.

2.1. k este ciudat, adică Reprezentant în forma K \u003d 2 M-1.
Apoi n \u003d 2 (2 m - 1) \u003d 4 m-2 \u003d (2 m-3) + (2 m + 1)
Numerele (2 M-3) și (2 M + 1) pot avea un divizor comun la care numărul 4. acesta este, fie 1, fie 2, sau 4. dar nici 2, nici 4 nu sunt adecvate, deoarece (2 m + 1) - Numărul este ciudat, iar nr. 2 nu poate fi împărțit în nici.

Așadar, am demonstrat că toate numerele formei 4 M-2 (adică toate cele mai multe 2, dar nu multiple 4) pot fi, de asemenea, reprezentate ca suma de două simplă.
Există excepții - numerele 2 (m \u003d 1) și 6 (m \u003d 2), care sunt unul dintre termenii din descompunere la un cuplu de mod reciproc simple cu unul.

Dați un exemplu de număr din trei cifre, cantitatea de numere din care este de 20, iar suma pătratelor numerelor este împărțită în 3, dar nu divizibilă cu 9.

Decizie.

Spatizați numărul 20 la modurile bine-cunoscute:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

Odată cu descompunerea metodelor 1-4, 7 și 8, numărul numerelor nu depășește trei. Când descompunerea în a cincea, suma pătratelor unui număr multiplu nouă. Descompunerea de către a șasea mod satisface condițiile sarcinii. Astfel, condiția problemei satisface orice număr înregistrat de Figurile 5, 7 și 8, de exemplu, numărul 578.

Răspuns: 578 | 587 | 758 | 785 | 857 | 875

Sursa: versiunea demo a examenului - 2015.

Găsiți un număr natural de trei cifre, mai mult de 400, care, atunci când este împărțit la 6 și 5, oferă reziduuri egale non-zero și primul din partea stângă a numărului de a căror aritmetică medie este altor două cifre. Ca răspuns, specificați un astfel de număr.

Decizie.

Numărul are aceleași reziduuri în timpul diviziunii cu 5 și 6, prin urmare, numărul are același reziduu în timpul diviziunii cu 30, iar acest reziduu nu este zero și mai mic de cinci. Astfel, numărul dorit poate fi al formularului :.

La. Nici unul dintre numere nu este mai mare de 400

Cu: 421, 422, 423, 424. Primul număr stâng nu este un aritmetic mediu altor două cifre.

La: 451, 452, 453, 454. Numărul 453 satisface toate condițiile sarcinii.

De asemenea, numerele adecvate 573 și 693.

Răspuns: 453,573, 693.

Răspuns: 453 | 573 | 693

Găsiți un număr de patru cifre, mai multe 22, produsul numerelor care este 24. Ca răspuns, specificați un astfel de număr.

Decizie.

Pentru ca numărul ABCD să fie împărțit în 22, acesta trebuie împărțit în 2 și 11. Produsul de numere 24 poate fi reprezentat de mai multe moduri, pe baza cărora sunt lucrări -. Semnul divizibilității cu 11: Numărul este împărțit în 11 dacă suma numerelor care stau chiar și în locuri este egală cu cantitatea de numere din locurile ciudate sau diferă de el cu 11. Astfel, A + C \u003d B + D sau A + C \u003d B + D + 11 sau A + C + 11 \u003d B + D. În plus, numărul este împărțit la 2, atunci trebuie să fie chiar. Conform caracteristicilor enumerate, puteți alege următoarele numere: 4312, 2134, 1342, 3124

AWN: 2134 | 4312 | 1342 | 3124

Găsiți un număr de trei cifre, mai multe 25, toate numerele care sunt diferite, iar suma pătratelor numerelor este împărțită în 3, dar nu este împărțită în 9. Ca răspuns, specificați un astfel de număr.

Decizie.

Astfel încât numărul să fie împărțit la 25, ar trebui să se încheie 00, 25, 50 sau 75. Numărul nostru nu poate fi finalizat, deoarece toate numerele sale trebuie să fie diferite. Beaim toate numerele din trei cifre care se termină cu 25, 50 sau 75, toate numerele care sunt diferite, vor găsi suma pătratelor numerelor lor, verificați dacă este împărțită la 3 și 9.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere este împărțită în 3, dar nu divizibilă la 9. Acesta este numărul dorit.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere este împărțită în 3, dar nu divizibilă la 9. Acesta este numărul dorit.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere este împărțită la 3 și cu 9.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere este împărțită în 3, dar nu divizibilă la 9. Acesta este numărul dorit.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere este împărțită în 3, dar nu divizibilă la 9. Acesta este numărul dorit.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere este împărțită în 3, dar nu divizibilă la 9. Acesta este numărul dorit.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

Cantitatea de numere nu este împărțită în 3.

In medie educatie generala

Linia merzlyak. ALGEBRA și analiza inițială (10-11) (y)

Linia Umk A. G. Merzlyak. Algebra și începutul analizei (10-11) (b)

Line Ukk G. K. Moravina. Algebră și începutul analizei matematice (10-11) (cărbune).

Linia UMK G.K. Muravina, K.S. Maravina, O.V. Viguros. Algebra și a început analiza matematică (10-11) (baze)

EGE-2018 în matematică, nivel de bază: sarcină 19

Vă oferim atenția 19 sarcinile Ege 2018 în matematică. Articolul conține analiza detaliată Sarcini, algoritm de soluții și recomandări ale manualelor topice pentru pregătirea pentru EEG, precum și o selecție de materiale în matematică publicată mai devreme.

Matematică: algebră și a început analiza matematică, geometria. Algebră și începutul analizei matematice. Clasa a 11a. Un nivel de bază al

Manualul este inclus în CMD în matematică pentru cele 10-11 clase care studiază subiectul nivel de bază. Materialul teoretic este împărțit în obligatoriu și suplimentar, sistemul de sarcini este diferențiat de nivelul de complexitate, fiecare element de capitol este completat prin probleme de control și sarcini și fiecare capitol - lucrări de control la domiciliu. Manualul include subiecte de proiect și au făcut legături către resursele de internet.

Sarcina 19.

Mai mult de 40, dar mai puțin de 48 de numere întregi sunt scrise pe tablă. Media aritmetică a acestor numere este -3, media aritmetică a tuturor pozitivelor este de 4, iar media aritmetică a întregului negativ este -8 egală.

a) Câte numere sunt scrise pe tablă?

b) Ce numere sunt scrise mai mult: pozitive sau negative?

in care cel mai mare număr Numerele pozitive pot fi printre acestea?

Decizie

A) să le lași printre numerele scrise

x. - pozitiv

y. - negativ

z. - Zerule.

Apoi avem asta

• cantitatea de numere pozitive este egală cu 4 x.
• suma numerelor negative este -8 y.
• suma tuturor numerelor din seria 4 x. + (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.)

4(x. – 2y. + 0z.) = –3(x. + y. + z.)

pentru că Partea stângă a egalității vopselei 4, partea dreaptă a egalității ar trebui să fie mai mare de 4, ceea ce înseamnă

x. + y. + z.(Număr de numere) mai multe 4.

40 < X. + y. + z.< 48,

x. + y. + z.= 44

Deci, pe tablă a scris 44 de numere.

B) ia în considerare egalitatea 4 x. + (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.)

4x.– 8y.= – 3x.– 3y.– 3z.

4x. + 3x. + 3z. = 8y. – 3y.

7x. + 3z. = 5y.

De aici ajungem, pentru că z ≥ 0 (număr de zerouri în rând)

7x. < 5y.

x. < y.

Deci numerele pozitive sunt mai mici decât negative.

C) pentru că x. + y. + z. \u003d 44, vom înlocui această valoare în egalitatea 4 x.+ (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.),

4x.– 8y. \u003d (-3 · 44) / 4

x -2y. = –33

x. = 2y. – 33

Având în vedere că x. + y. + z. \u003d 44, avem x. + y. ≤ 44, înlocuitor x. = 2y. - 33 în această inegalitate

2y. – 33 +y.≤ 44

3y. ≤ 77

y.≤ 25	2
	3

y.≤ 25, având în vedere că x. = 2y. - 33 de primire x. ≤ 17.

Sarcina №19 din examenul de bază din Mathematsmathvideourok.moy.su

Semne de divizibilitate pe 2 și 4:

Numărul este împărțit în 2 dacă se termină chiar
Figura sau zero.
Numerele 2346 și 3650 - împărțite la 2. Numărul 4521 nu este
Este împărțită în 2.
Numărul este împărțit în 4 dacă cele două dureri
numere nulle sau formează un număr împărțit la 4. în

Numbers 31700 și 16608 - pe 4. 215634 - Nu
Este împărțită în 4.

Semne de divizibilitate la 3 și 9:

Numai numerele în care suma
Numerele sunt împărțite în 3.
Numbers 17835 și 5472 - împărțit la 3. Numărul 105499 - Nu
Este împărțită în 3.
Numai cele sunt doar acele numere care
Numerele sunt împărțite în 9.
Numeri 2376 și 342000 - împărțite la 9. Numărul 106499 - Nu
Este împărțită în 9.

Semne de divizibilitate la 8 și 6:

Numărul este împărțit în 8 dacă ultimele trei numere ale acesteia
zerouri sau formează un număr împărțit la 8. în
Alte cazuri - nu sunt divizibile.
Numbers 125000 și 111120 - împărțite la 8. Numere 170004 și
124300 - Nu este împărțit la 8.
Numărul este împărțit la 6 dacă este împărțit simultan
2 și de la 3. în caz contrar, nu este divizibil.
Numerele 126 și 254610 - împărțite la 6. Numerele 3585 și 6574 nu sunt împărțite la 6.

Semne de divizibilitate la 5 și 25:

5 sunt împărțite la numere, ultima figură din care 0
sau 5. alții - nu împărtășesc.
Numbers 245 și 56780 - împărțite la 5. Numeri 451 și 678 - Nu
împărțit la 5.
25 sunt împărțite la numere, ultimele două numere din care
zerouri sau formează un număr împărțit la 25 (adică
Numerele care se termină la 00, 25, 50 sau 75). Alții
Nu imparti.
Numbers 7150 și 345600 - împărțite la 25. Numărul 56755 - Nu
Este împărțită cu 25 de ani.

Semne de divizibilitate la 10, 100 și 1000:

Numai acele numere, ultima cifră se împart pe 10
care zero, la 100 - numai acele numere care
Ultimele două cifre ale zerourilor, la 1000 - numai acelea
care sunt trei cifre de ultimă oră de zerouri.
Numărul 34680 - împărțit la 10. Numărul 56700 - se împarte
100 și 10. Numărul 87549000 este împărțit la 10, 100 și 1000.
Numbers 75864, 7776539 și 9864032 - nu împărțiți 10, 100 și
1000.

Semnul divizibilității la 11:

Doar există numai acele numere pe care le numerele,
ocupând locuri ciudate sau egale cu cantitatea de numere,
ocupând chiar și locuri sau variază de la el prin număr,
împărțit la 11.
Numărul 103785 este împărțit în 11, deoarece cantitatea de numere ocupând
Locuri ciudate, 1 + 3 + 8 \u003d 12 sunt egale cu cantitatea de numere care ocupă chiar și
Locuri 0 + 7 + 5 \u003d 12.
Numărul 9163627 este împărțit în 11, deoarece cantitatea de numere ocupând
locuri ciudate, există 9 + 6 + 6 + 7 \u003d 28, iar cantitatea de numere ocupând
Chiar și locurile, există 1 + 3 +2 \u003d 6; Diferența dintre numerele 28 și 6 este
22, iar acest număr este împărțit la 11.
Numărul 461025 nu este împărțit în 11, deoarece numerele 4+ 1 + 2 \u003d 7 și B +0 +
5 \u003d 11 nu sunt egale unul cu celălalt, iar diferența lor 11 -7 \u003d 4 nu este împărțită în 11.

Pentru a începe, luați în considerare un exemplu - soluția problemei 19. (pe această temă numere întregi ) - Kim real EGE 2015. ani, timp timpuriu, nivel de bază. (Teoria lui - semne de divizibilitate - de mai jos.)

Sarcina 19.

Distruia 181615121 Trei cifre, astfel încât numărul rezultat este împărțit la 12. Ca răspuns, specificați un astfel de număr respectiv.

Decizie.

Declarăm separatorul - numărul 12 pe factori simpli. 12 \u003d 3 × 4 \u003d 3 × 2 × 2.
Prin urmare, numărul specificat după trecerea numerelor trebuie împărțit în 3 și 4 sau 2, încă o dată la 2 și, în final, cu 3.
Pe 2, există chiar numere, prin urmare 1 la începutul loviturii deodată. Va rămâne 18161512.
Dar avem nevoie de ea pentru a împărtăși 2 de două ori, adică. împărtășită pe 4.
Un semn de divizibilitate pe 4 susține că, pentru acest lucru, 4 ar trebui împărțite într-un număr din două cifre format de cele mai recente două cifre. 12. : 4 \u003d 3, astfel încât cele două numere de ultimă oră din numărul 18161512 nu pot fi șterse. Acestea garantează împărțirea unui număr de 4 (în ambele două).
Astfel încât numărul este împărțit de 3, este necesar ca suma numerelor sale să fie împărtășite la 3.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 \u003d 3 × 8 + 1 - Puteți șterge una dintre unități, dar prin starea de sarcină trebuie să găsiți încă două numere;
25 \u003d 3 × 7 + 4 - Nu există două cifre pentru ștergere, suma ar fi 4, deoarece Ultimele figuri 1 și 2 nu pot fi atinse;
25 \u003d 3 × 6 + 7 - Suma celor două numere delicitate va fi de 7, dacă trageți 6-KU și oricare dintre unitățile, altele decât cele ulterioare.
Asa de, raspunsuri posibile: 811512 sau 181512. Noi alegem unul dintre ei, de exemplu

Răspuns: 181512.

Cometariu: Pe examenul real, verificați răspunsul dvs. la diviziunea din coloană.

Cineva poate avea întrebări ca acești factori simpli și cum să pună factori simpli?
Factorii simpli nu pot fi împărțiți în continuare. Numerele simple sunt împărțite numai pe ei înșiși și 1, de exemplu, 13: 1 \u003d 13 sau 13:13 \u003d 1 și asta este. Și să-l pună mai bine treptat.
De exemplu, 60 \u003d 6 × 10, 6 \u003d 2 × 3 și 10 \u003d 2 × 5, înseamnă 60 \u003d 2 × 3 × 2 × 5.

Pentru a rezolva astfel de sarcini, trebuie să cunoașteți teoremele - semne de divizibilitate a numerelor naturale. Cu cât știți mai mult semnele, cu atât veți decide mai repede sarcina. Repetați cele principale.

Semne de divizibilitate a numerelor naturale

Deoarece omenirea a inventat fracțiunile obișnuite și zecimale, putem aplica operațiunea de divizare la orice valoare. Cu toate acestea, conceptul distribuirea numerelor De obicei luate în considerare pe setul de numere naturale. Când spunem că "numărul este împărțit", atunci înțelegem că diviziunea are loc fără un reziduu, iar rezultatul diviziunii este, de asemenea, un număr natural.

Semnul divizibilității cu 2.

Pe 2 împărțite la toate celelalte numere. Suntem pentru că îi numim mai tineri.

Numărul este împărțit în două dacă și numai dacă ultima sa cifră este împărțită în 2, adică. 2, 4, 6, 8, 0.

Semnul divizibilității cu 3.

Numărul natural este împărțit în trei dacă și numai dacă cantitatea de numere este împărțită la 3.

De exemplu, 4539861 este împărțită în 3, pentru că 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Numărul 36 este împărțit în 3.
De exemplu, 394762 nu este împărțită în 3, pentru că 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Numărul 31 nu este împărțit în 3.
Puteți verifica cu calculatorul dvs. preferat
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Dacă cantitatea de numere sa dovedit a fi un număr multivalit, divizibilitatea sa poate fi verificată de aceeași caracteristică.
De exemplu, 16539478617177984079 este împărțită în 3, pentru că 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 \u003d 111. 111 împărțit la 3, pentru că 1 + 1 + 1 \u003d 3. Numărul 3 este împărțit în 3.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

Semnul divizibilității cu 4.

Un număr natural care conține cel puțin trei cifre este împărțit în 4 dacă și numai dacă este împărțit în 4 număr de două cifre format din ultimele două cifre ale unui număr dat.

În ceea ce privește verificarea divizibilității cu 4 cifre duble, folosim faptul că 4 \u003d 2 × 2, adică Împărțiți-vă pe 4 - același lucru care este de două ori la rând pentru a împărți pe 2. Prin urmare, în primul rând, numărul de două cifre ar trebui să fie chiar și, în al doilea rând, este ușor de împărțit pe 2 și să vedeți dacă rezultatul este, de asemenea, chiar număr. De exemplu,

5773211789020783 nu este împărțită în 4, pentru că 83 nu este împărțită în 2.
4920904953478666 nu este împărțită în 4, pentru că 66. : 2 \u003d 33 - Număr impar.
589759234894099 este împărțită în 4, pentru că 96. : 2 \u003d 48 - Un număr aprofundat.

Dovada performanței acestei funcții se bazează pe divizibilitatea 100 pe 4 și pe valoarea teoremei divizibilității, care este prezentată mai jos. Aici considerăm o explicație cu privire la exemplul din sarcina dată a utilizării.
18161512 \u003d 18161500 + 12 \u003d 181615 × 100 + 12 \u003d 181615 × 25 × 4 + 3 × 4 \u003d (181615 × 25 + 3) × 4.
În paranteze, se va obține numărul natural, înseamnă că numărul inițial poate fi împărțit în 4 fără un reziduu.

Semnul divizibilității cu 5.

Numărul este împărțit la 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este de 5 sau 0.

Semn de divizibilitate pe 6 De obicei nu este formulată ca teoremă. Deoarece 6 \u003d 2 × 3, atunci un specimen secvențial utilizat este utilizat de 2 și de la 3. Astfel, se utilizează pentru 6 părți, cantitatea de numere este împărțită la 3.
629 - Nu este împărțit la 6, ciudat.
692 - Nu este împărțită în 6, care este, dar 6 + 9 + 2 \u003d 17 nu este împărțită în 3.
792 - Este împărțită în 6, care este de asemenea 7 + 9 + 2 \u003d 18 împărțită la 3.

Semn de divizibilitate pe 8 De asemenea, nu este formulată ca teoremă.
Deoarece 8 \u003d 2 × 4 și 1000 \u003d 250 × 4, prin urmare, pentru numere mai mari de 1000, prin analogie cu un semn de divizibilitate cu 4, o divizie de 8 numere formate de trei ultimele cifre este verificată și pentru numere mai mici de 1000 (trei cifre), împărțită secvențial în 2 și verifică rezultatul obținut pe baza divizării cu 4. De exemplu,
58989081099472 - împărțit la 8, ca 472 : 2 \u003d 236 și 36 împărțite la 4.

Semnul divizibilității cu 9.

Numărul natural este împărțit în 9 dacă și numai dacă cantitatea de numere este împărțită în 9.

De exemplu, 4539861 este împărțită în 9, deoarece 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Numărul 36 este împărțit în 9.
De exemplu, 394762 nu este împărțită în 9, pentru că 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Numărul 31 nu este împărțit în 9.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

Semnul divizibilității cu 10.

Numărul natural este împărțit la 10 dacă și numai dacă ultima sa cifră 0.

Această caracteristică este ușor de răspândit la orice grade de zeci. Numărul este împărțit la 100 atunci când cele două dintre ultimele sale cifre sunt zerouri, la 1000, când la sfârșitul a trei zero, etc.

Easy memorabil semne de divizibilitate pe un număr simplu de tip 7, 11, 13, 17 ..., Din pacate, nu. Organizatorii EGE cunosc sarcinile axate pe utilizarea exclusiv a unor astfel de soluții nu vor fi incluse. Deși pentru o lungă istorie de dezvoltare a tehnica contului oral, matematica, desigur, a identificat și a formulat câteva caracteristici comune ale divizibilității acestor numere. Interesat se poate referi la Wikipedia.

Aș recomanda doar să acorde o atenție la alta 11. Este clar că numărul de două cifre este împărțit la 11 dacă este alcătuit din numere identice. Numărul de trei cifre este împărțit în 11 dacă cifra sa medie este egală cu suma a două extreme sau dacă suma primelor și a ultimelor cifre este egală cu cifra medie plus 11. De exemplu, 495 este împărțită la 11, Deoarece 4 + 5 \u003d 9 și 957 este împărțit la 11, astfel încât 9 + 7 \u003d 5 + 11.

Și în memorare semne de divizibilitate pentru constituenți nu este necesar. Numerele compozite pot fi descompuse pe multiplicatori simpli.

Teoreme privind divizibilitatea muncii și suma numerelor naturale.

Dacă în lucrare cel puțin unul dintre factori este împărțit într-un număr, atunci compoziţie Este împărțită în acest număr.

De exemplu, un produs de 475 × 1230 × 800 este împărțit în 3, deoarece al doilea factor satisface semnul diviziunii cu 3 - suma numerelor sale 1 + 2 + 3 + 0 \u003d 6 este împărțită la 3.

Dacă fiecare termen este împărțit într-un număr, atunci sumă Este împărțită în acest număr.

De exemplu, cantitatea de 475 + 1230 + 800 este împărțită în 5, deoarece fiecare Rogue satisface semnul diviziei cu 5.

Declarația opusă a diviziunii sumei nu este adevărată. Dacă fiecare sumă sumară nu este împărțită într-un număr, atunci pentru suma sunt posibile ambele opțiuni, deoarece este împărțită și nu este împărțită.
43 nu este împărțită în 5, 17 nu este împărțită la 5, 43 + 17 \u003d 60 împărțită la 5.

Declarația opusă privind divizibilitatea lucrării poate fi formulată numai după descompunerea divizorului la favoruri simple. De fapt, această acțiune a fost dedicată sarcinii care a fost plasată la începutul secțiunii.

Dacă sunteți prieteni cu o algebră și știți cum să efectuați un factor comun pentru paranteze și să reduceți fracțiunile obișnuite, atunci teorema sumei divizibilității poate fi amintită ca prezență a unui punct de referință comun și teorema divizibilității lucrării , ca o oportunitate de a reduce fracțiunea obișnuită.

Folosind cantitatea de cantitate a sumei, puteți "salva" calculele, de exemplu, atunci când verificați semnele divizibilității cu 3 și 9. Când adăugați numere mari, puteți arunca toate numerele de evident divizate , respectiv cu 3 sau 9.
Să ne întoarcem la ultimul exemplu din punctul "semn de divizare cu 3".
Pentru numărul 165394786171277984079 în loc de 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 calculați 1 + 5 + 4 + 7 + 8 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 \u003d 69. Rezultatul este același - împărțit la 3.

Și ultima:
Matematica nu-i place să scrie foarte mult. Sugestii lungi și repetiții ale acelorași cuvinte sunt bune atunci când explicați soluția, dar este recomandabil să utilizați simbolurile atunci când este de dorit. Pentru termenul "împărțit" puteți utiliza un simbol ⋮ Punct vertical.
48⋮ 6 înseamnă că 48 este împărțită în 6 sau că numărul 48 este multiplu din numărul 6.

Sarcini pentru auto-test.

Iată sarcini cu soluții care sunt ascunse temporar, astfel încât să vă puteți gândi mai întâi la ele pe cont propriu și apoi apăsați butonul pentru a compara propriile dvs. și soluțiile mele. Sarcini similare cu verificarea răspunsului dvs. pot fi găsite în banca deschisă a sarcinilor Institutului federal de măsurători pedagogice.

Sarcina 1.

Dați un exemplu de un număr de cinci cifre de mai multe 12, produsul numerelor care este de 40. Ca răspuns, specificați exact un astfel de număr.

Arată o decizie

Răspândiți numărul 40 la multiplicatori simpli. 40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5.
Există doar patru astfel de multiplicatori, numerele nu sunt suficiente pentru un număr de cinci cifre, dar puteți adăuga întotdeauna o unitate în lucrare, rezultatul nu se va schimba.
40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5 × 1.
Astfel, numărul ca răspuns poate fi făcut numai din aceste numere: 1,2,2,2,5.
Astfel încât numărul a fost multiplu 12 (același lucru care a fost împărțit în 12 fără reziduu) ar trebui să satisfacă semnele divizibilității cu 3 și 4, ca 12 \u003d 3 × 4.
Verificați cantitatea de numere 1 + 2 + 2 + 2 + 5 \u003d 12. Este împărțită la 3, astfel încât numărul nostru va fi împărțit în 3 pentru orice permutări de numere.
Și astfel încât să fie împărțită în 4, la capăt, trebuie să puneți două cifre, astfel încât numărul format de ei să fie împărțit la 4.
Este evident că ultima cifră ar trebui să fie de 2, alții sunt ciudați. Verificați opțiunile 12, 22, 52.
12: 4 \u003d 3; 22: 4 \u003d 11: 2 - nu este împărțită de o mulțime; 52: 4 \u003d 13.
Concluzie: Numărul trebuie să fie compilat astfel încât, la sfârșit, a fost 12 sau 52 și la început, orice permutări din cele trei cifre rămase.
Raspunsuri posibile: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. Ca răspuns, scriem unul dintre ei. De exemplu,

Răspuns: 21252

Cometariu: Decizia dvs. ar trebui să fie oarecum mai scurtă, deoarece este suficient să găsiți cel puțin unul dintre răspunsurile posibile.

Sarcina 2.

Dați un exemplu de număr de trei cifre de mai multe 15, produsul numerelor care este de 30 de ani. Ca răspuns, specificați exact un astfel de număr.

Arată o decizie

Răspândiți numărul 30 la multiplicatori simpli. 30 \u003d 2 × 3 × 5.
Există trei astfel de multiplicatori, trebuie să facem un număr de trei cifre, care este împărțit în 15, adică. Satisface semnele de divizibilitate cu 3 și 5, deoarece 15 \u003d 3 × 5.
Astfel încât numărul să fie împărțit la 5, ar trebui să încheie numărul 5.
Verificați cantitatea de numere 2 + 3 + 5 \u003d 10. Cantitatea de numere nu este împărțită în 3, astfel încât numărul nostru nu va fi împărțit în 3 pentru orice permutări de numere.
Capat de drum? Nu. Repeater Din nou, puteți adăuga orice un număr de unități ca o fabrică și rezultatul nu se va schimba.
Imaginați-vă 30 ca 2 × 3 × 5 × 1.
Acum, posibile cifre pentru pregătirea unui număr de trei cifre mai mult decât este necesar. Prin urmare, am grupat câțiva factori simpli în compus: 2 × 5 \u003d 10 și 3 × 5 \u003d 15 Acestea nu sunt numere, ci numere de două cifre. 2 × 3 \u003d 6 Numărul 6 este indicat de numărul 6.
Imaginați-vă 30 ca 6 × 5 × 1.
Verificați cantitatea de numere 6 + 5 + 1 \u003d 12. Este împărțită în 3. Astfel, numărul de răspuns poate fi realizat din numere: 6,51. Ultima cifră ar trebui să fie de 5 ani.

Raspunsuri posibile: 615, 165

Sarcina 3.

Numerele numărului de patru cifre, mai multe 5, înregistrate în ordinea inversă și primite cel de-al doilea număr de patru cifre. Apoi, de la primul număr, al doilea a fost detectat și primit 2277. Aduceți exact un exemplu de un astfel de număr.

Arată o decizie

Numărul, mai multe 5, se termină cu numerele 0 sau 5. Apoi, numărul înregistrat în ordinea inversă trebuie să înceapă cu 0 sau C. 5. Dacă numărul începe cu 0, acesta nu va fi de patru cifre și va fi trei -Digit, deoarece 0 la început este de obicei nu scrie. De exemplu, 0348 este doar 348. Deci numărul dorit se termină cu o cifră 5. Restul numerelor sale vor desemna litere a, B, C. Numărul în acest caz este indicat abc.5____ .
Iadul este necesar aici pentru a nu confunda această denumire cu produsul algebric al variabilelor ( a. Înmulțit cu b., înmulțit cu din ...). Numărul înregistrat în ordinea inversă este indicat 5 cBA____ .
Prin condiție

abc.5____ − 5cBA____ = 2277.
Imaginați-vă că îndeplinim această scădere în coloană.
1) 5 mai puțin de 7, atunci când scăderea a trebuit să ocupe o duzină.
10 + 5 − a. = 7. a. = 15 − 7 = 8.
2) Când scădea zeci care nu sunt atât de evident, au ocupat sau nu au ocupat o unitate în descărcarea a sute. În primul rând, să spunem că nu au ocupat. Apoi, de la numărul redus pe unitate c. ai citit b. și a primit 7.
(c. − 1) − b. = 7. c. = 8 + b..
Această opțiune este potrivită b. \u003d 0 I. b. \u003d 1. Valori mari b. Excursie c. până la o cifră dublă. Evitați de exemplu b. \u003d 1, atunci c. \u003d 9, și suntem convinși că numărul 8195 satisface starea problemei.

Răspuns: 8195

Cometariu: Poate un alt răspuns corect 8085 dacă alegeți b. \u003d 0 la pasul 2). Indiferent dacă ipoteza va funcționa că atunci când scădea zeci au ocupat o unitate în descărcarea a sute, verificați-vă singur.