EGE en mathématiques Niveau de profil

Le travail est composé de 19 tâches.
Partie 1:
8 tâches avec une brève réponse du niveau de base de la complexité.
Partie 2:
4 tâches avec une réponse brève
7 tâches avec une réponse détaillée haut niveau des difficultés.

Temps de performance - 3 heures 55 minutes.

Exemples des tâches de la EGE

Résoudre les tâches de l'examen en mathématiques.

Pour les solutions auto-values:

1 kilowatt heure d'électricité coûte 1 rouble 80 kopecks.
Le compteur d'électricité le 1er novembre a montré 12625 kilowatth-heures et le 1er décembre a montré 12802 kilowatt-heure.
Quel montant devriez-vous payer pour l'électricité pour novembre?
Donnez la réponse en roubles.

Dans l'échange du paragraphe 1 de la Hryvnia coûte 3 roubles 70 Kopecks.
Les vacanciers ont échangé des roubles à la Hryvnia et ont acheté 3 kg de tomates à un prix de 4 Hryvnia pour 1 kg.
Combien de roubles cet achat a-t-il coûté? Répondre autour d'un entier.

Masha a envoyé des SMS avec la veille du Nouvel An à ses 16 amis.
Le coût d'un message SMS 1 rouble 30 kopecks. Avant d'envoyer un message au compte, Masha avait 30 roubles.
Combien de roubles restera de Masha après avoir envoyé tous les messages?

L'école a des tentes triples touristiques.
Quoi le plus petit nombre Les tentes ont besoin de faire une randonnée dans laquelle 20 personnes participent?

Le train Novosibirsk-Krasnoyarsk démarre à 15h20 et arrive à 16h20 le lendemain (heure de Moscou).
Combien d'heures le train est sur le chemin?

Résous l'équation:

1 / COS 2 x + 3TGX - 5 \u003d 0

Spécifiez les racines
Segment appartenant à (-P; p / 2).

Décision:

1) Nous écrivons l'équation donc:

(TG 2 x +1) + 3TGX - 5 \u003d 0

TG 2 x + 3TGX - 4 \u003d 0

tGX \u003d 1 ou TGX \u003d -4.

D'où:

X \u003d n / 4 + pk ou x \u003d -arctg4 + pk.

Segment (-P; p / 2)

Roots appartenant -3p / 4, -Arctg4, p / 4.

Réponse: -3P / 4, -Arctg4, p / 4.

Vous savez quoi?

Si vous multipliez votre âge de 7, multipliez-vous de 1443, alors le résultat sera votre âge écrit trois fois de suite.

Nous considérons des nombres négatifs avec quelque chose de naturel, mais ce n'était pas toujours. Pour la première fois, les chiffres négatifs ont été légalisés en Chine au IIIème siècle, mais n'ont été utilisés que pour des cas exceptionnels, comme ils étaient considérés, en général, encadré. Un peu plus tard, des nombres négatifs ont commencé à être utilisés en Inde pour désigner des dettes, mais nous ne sommes pas adaptés à l'ouest - la célèbre alexandre Diofante a fait valoir que l'équation est de 4x + 20 \u003d 0 - absurde.

Mathématicien américain George Dzig, étant un étudiant de troisième cycle à l'université, une fois de retard pour une leçon et accepté l'équation écrite au conseil d'administration devoirs. Cela semblait plus difficile pour lui comme d'habitude, mais après quelques jours, il a pu l'exécuter. Il s'est avéré qu'il a décidé de deux problèmes «non résolus» dans les statistiques, que de nombreux scientifiques se battaient.

Dans la littérature mathématique russe, zéro n'est pas un nombre naturel et, dans l'ouest, au contraire appartient à une variété de nombres naturels.

Utilisé par nous système décimal Le nombre est apparu en raison du fait que la personne entre 10 doigts. La capacité à un compte abstrait est apparu chez les personnes non immédiatement, mais c'était le plus pratique d'utiliser pour le score. La civilisation maya et peu importe d'eux que Chukchi utilisait historiquement un système de vingt nombres, appliquant des doigts non seulement des mains, mais aussi des jambes. Au cœur des douze et soixante systèmes courants dans l'antique Tréchmera et Babylone, l'utilisation des mains était également la suivante: les phalanxes d'autres doigts de la paume ont été comptés avec un pouce, dont le nombre est de 12.

Une dame familière a demandé à Einstein de l'appeler, mais a averti que son numéro de téléphone est très difficile à retenir: - 24-361. Rappelles toi? Répéter! Surpris Einstein répondit: - Bien sûr, je me suis souvenu! Deux douzaines et 19 carrés.

Stephen Hawking est l'un des plus importants physiciens des théoriciens et un vulgarisateur de la science. Dans une histoire de lui-même, Hoking a mentionné qu'il était devenu professeur de mathématiques, ne recevant aucune éducation mathématique depuis l'école secondaire. Quand Hawking a commencé à enseigner des mathématiques à Oxford, il a lu un didacticiel, devant ses propres étudiants pendant deux semaines.

Le nombre maximum pouvant être enregistré par les chiffres romains, sans casser les règles de Schwartzman (chiffres romaines) - 3999 (mmmcmxcix) - plus de trois chiffres d'affilée ne peuvent pas écrire.

Il est connu de nombreuses paraboles sur la manière dont une personne offre un autre salaire avec lui pour un service de service comme suit: sur la première cellule de l'échiquier, il mettra un grain de riz, sur le second - deux et ainsi de suite: pour chaque cellule suivante deux fois plus que le précédent. En conséquence, celui qui paie de cette manière va certainement ruiner. Ce n'est pas surprenant: on estime que poids général Le riz fera plus de 460 milliards de tonnes.

Dans de nombreuses sources, il est souvent possible d'encourager les élèves de dépenser mal, l'approbation est constatée que Einstein plaide dans des mathématiques à l'école ou, d'ailleurs, il étudie mal des mains dans tous les sujets. En fait, tout n'était pas vrai: Albert a commencé à être talent en mathématiques à un âge précoce et la connaissait bien au-delà du programme scolaire.

EGE 2020 en mathématiques Tâche 19 avec décision

Manifestation option 2020 en mathématiques

EGE en mathématiques 2020 au format PDF Niveau de base | Niveau de profil

Tâches de préparation à l'examen en mathématiques: niveau de base et de profil avec des réponses et des solutions.

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EGE 2020 en mathématiques Tâche 19

EGE 2020 en mathématiques Niveau de profil Référence 19 avec décision

EGE en mathématiques

Le nombre P est égal au produit de 11 nombres naturels différents, grand 1.
Quel plus petit nombre de diviseurs naturels (y compris l'unité et le nombre lui-même) peut avoir le nombre P.

Tout nombre naturel N représente le travail:

N \u003d (p1 x k1) (p2 x k2) ... etc

Où p1, p2, etc. - des nombres simples,

Un k1, k2, etc. - nombres entiers non négatifs.

Par example:

15 = (3 1) (5 1)

72 \u003d 8 x 9 \u003d (2 x 3) (3 2)

Donc, le nombre total de diviseurs naturels n est égal

(K1 + 1) (K2 + 1) ...

Donc, par condition, p \u003d n1 n2 ... N11, où
N1 \u003d (p1 x k) (p2 x k) ...
N2 \u003d (p1 x k) (p2 x k) ...
...,
Et cela signifie que
P \u003d (p1 x (k + k + ... + k)) (P2 x (k + k + ... + k)) ...

Et le nombre total de diviseurs naturels du nombre P est égal

(K + K + ... + K + 1) (K + K + ... + K + 1) ...

Cette expression prend la valeur minimale si tous les chiffres N1 ... N11 sont des degrés naturels séquentiels du même nombre simple, à partir de 1: N1 \u003d P, N2 \u003d P 2, ... N11 \u003d P 1 1.

C'est, par exemple,
N1 \u003d 2 1 \u003d 2,
N2 \u003d 2 2 \u003d 4,
N3 \u003d 2 3 \u003d 8,
...
N11 \u003d 2 1 1 \u003d 2048.

Ensuite, le nombre de diviseurs naturels du nombre P est égal
1 + (1 + 2 + 3 + ... + 11) = 67.

EGE en mathématiques

Trouver tous les nombres naturels,
Pas représentable sous la forme de la somme de deux nombres mutuellement simples autres que 1.

Décision:

Chaque nombre naturel peut être même (2 K) ou impair (2 K + 1).

1. Si le numéro est impair:
n \u003d 2 k + 1 \u003d (k) + (k + 1). Numéros K et K + 1 Toujours mutuellement simple

(S'il y a un numéro D, qui est un diviseur x et y, alors le nombre | xy | doit également être divisé en d. D. (k + 1) - (k) \u003d 1, c'est-à-dire divisé en D , c'est-à-dire d \u003d 1, et c'est la preuve de la simplicité mutuelle)

C'est-à-dire que nous avons prouvé que tous les nombres impairs peuvent être représentés comme la somme de deux simples mutuellement simples.
L'exception par condition sera le nombre 1 et 3, car 1 ne peut pas être soumis sous la forme de la somme de la somme de naturel, et 3 \u003d 2 + 1 et rien d'autre, et l'unité que la fondation ne convient pas à la condition.

2. Si le nombre est même:
n \u003d 2 K
Vous devez considérer ici deux cas:

2.1. K - Même, c'est-à-dire Représentant sous la forme K \u003d 2 m.
Puis n \u003d 4 m \u003d (2 m + 1) + (2 m-1).
Les chiffres (2 m + 1) et (2 m-1) peuvent avoir un diviseur commun uniquement (voir ci-dessus), à laquelle le nombre (2 m + 1) est divisé - (2 m - 1) \u003d 2. 2 est divisé par 1 et 2.
Mais si le diviseur est 2, il s'avère qu'un nombre impair de 2 m + 1 doit être divisé par 2. Cela ne peut donc pas être seulement 1.

Nous avons donc prouvé que tous les chiffres du formulaire 4 m (c'est-à-dire que plusieurs 4) peuvent également être représentés comme la somme de deux simples mutuellement simples.
Il y a une exception - le numéro 4 (m \u003d 1), lequel, bien qu'il puisse être représenté sous la forme de 1 + 3, mais l'unité que la fondation ne convient toujours pas à nous.

2.1. k est étrange, c'est-à-dire Représentant sous la forme K \u003d 2 m-1.
Puis n \u003d 2 (2 m - 1) \u003d 4 m-2 \u003d (2 m-3) + (2 m + 1)
Les chiffres (2 m-3) et (2 m + 1) peuvent avoir un diviseur commun sur lequel le nombre 4. c'est-à-dire 1, ou 2, soit 4. mais ni 2, ni 4 ne convient, depuis (2 m + 1) - Le nombre est impair et non 2 ne peut pas être divisé en ni.

Nous avons donc prouvé que tous les nombres du formulaire 4 m-2 (c'est-à-dire que tous les multiples 2, mais pas multiples 4) peuvent également être représentés comme la somme de deux mutuellement simples.
Il existe des exceptions - NUMÉROS 2 (M \u003d 1) et 6 (M \u003d 2), qui sont l'une des termes de la décomposition à un couple d'une simplicité d'égale à une.

Donnez un exemple de nombre à trois chiffres, la quantité de nombre de nombres est de 20 et la somme des carrés des nombres est divisée en 3, mais pas divisible par 9.

Décision.

Spatiser le numéro 20 sur les voies bien connues:

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

Avec la décomposition des méthodes 1 à 4, 7 et 8, le nombre de chiffres ne dépasse pas trois. Lorsque la décomposition au cinquième place, la somme des carrés d'un neuf multiple. La décomposition de la sixième voie satisfait aux conditions de la tâche. Ainsi, la condition du problème satisfait à n'importe quel nombre enregistré par les figures 5, 7 et 8, par exemple le nombre 578.

Réponse: 578 | 587 | 758 | 785 | 857 | 875

Source: version de démonstration de l'examen - 2015.

Trouvez un nombre naturel à trois chiffres, plus de 400, qui, lorsqu'ils sont divisés par 6 et 5, donnent des résidus égaux non-zéro et le premier à gauche du nombre est l'arithmétique moyen deux autres chiffres. En réponse, spécifiez n'importe quel numéro de ce type.

Décision.

Le nombre a les mêmes résidus pendant la division 5 et 6, par conséquent, le nombre a le même résidu pendant la division de 30, et ce résidu n'est pas nul et moins de cinq. Ainsi, le nombre souhaité peut être de la forme :.

À. Aucun des chiffres n'est pas supérieur à 400

Avec: 421, 422, 423, 424. Le premier numéro de gauche n'est pas un arithmétique moyen deux autres chiffres.

AT: 451, 452, 453, 454. Le nombre 453 satisfait à toutes les conditions de la tâche.

Numéros appropriés 573 et 693 appropriés.

Réponse: 453 573, 693.

Réponse: 453 | 573 | 693

Trouvez un nombre à quatre chiffres, multiple 22, le produit des nombres dont 24. En réponse, spécifiez un tel nombre.

Décision.

Pour que le nombre d'ABCD soit divisé en 22, il devrait être divisé en 2 et 11. Le produit des nombres 24 peut être représenté par de nombreuses façons, dont la base fonctionne -. Signe de divisibilité avant 11: le nombre est divisé en 11 si la somme des nombres qui se tient sur des endroits égaux est égale à la quantité de chiffres sur des endroits impairs ou diffère de celui-ci par 11. Ainsi, A + C \u003d B + D ou A + C \u003d B + D + 11 ou A + C + 11 \u003d B + D. De plus, le nombre est divisé par 2, puis il doit être même. Selon les fonctionnalités énumérées, vous pouvez choisir les numéros suivants: 4312, 2134, 1342, 3124

AWN: 2134 | 4312 | 1342 | 3124

Trouvez un nombre à trois chiffres, multiple 25, tous les numéros sont différents et la somme des carrés des nombres est divisée en 3, mais elle n'est pas divisée en 9. En réponse, spécifiez un tel nombre.

Décision.

Pour que le nombre soit divisé par 25, il devrait finir par augmenter 00, 25, 50 ou 75. Notre numéro ne peut pas être terminé, car tous ses numéros doivent être différents. Nous buvons tous les nombres à trois chiffres se terminant par 25, 50 ou 75, tous les nombres sont différents, trouveront la somme des carrés de leurs nombres, vérifier si elle est divisée par 3 et par 9.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres est divisée en 3, mais pas divisible à 9. C'est le nombre souhaité.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres est divisée en 3, mais pas divisible à 9. C'est le nombre souhaité.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres est divisée par 3 et par 9.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres est divisée en 3, mais pas divisible à 9. C'est le nombre souhaité.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres est divisée en 3, mais pas divisible à 9. C'est le nombre souhaité.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres est divisée en 3, mais pas divisible à 9. C'est le nombre souhaité.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3.

Moyenne enseignement général

Ligne de merzlyak. Algèbre et analyse de départ (10-11) (Y)

Ligne UMK A. G. MERZLYAK. Algèbre et début d'analyse (10-11) (b)

Ligne UKK G. K. MORAVINA. Algèbre et début de l'analyse mathématique (10-11) (charbon.)

Ligne UMK G.K. MULAVINA, K.S. Maravina, O.v. Vigoureux. Algèbre et a commencé une analyse mathématique (10-11) (bases)

Ege-2018 en mathématiques, niveau de base: tâche 19

Nous offrons à votre attention 19 les tâches de la EGE 2018 en mathématiques. L'article contient analyse détaillée Tâches, algorithme de solutions et recommandations de manuels topiques pour la préparation de l'EEG, ainsi qu'une sélection de matériaux en mathématiques publiées précédemment.

Mathématiques: algèbre et a commencé une analyse mathématique, la géométrie. Algèbre et début de l'analyse mathématique. 11e année. Un niveau de base de

Le manuel est inclus dans la CMD en mathématiques pour les 10-11 classes étudiant le sujet sur niveau de base. Le matériau théorique est divisé en obligatoire et supplémentaire, le système de tâches est différencié par le niveau de complexité, chaque élément de chapitre est terminé par des problèmes de contrôle et des tâches, ainsi que chaque chapitre - Travaux de contrôle domestique. Le manuel comprend des sujets de projet et apporté des liens vers des ressources Internet.

Tâche 19.

Plus de 40, mais moins de 48 entiers sont écrits sur le tableau. La moyenne arithmétique de ces nombres est de -3, la moyenne arithmétique de tous les positifs est de 4, et la moyenne arithmétique de tout négatif est -8 égale.

a) Combien de chiffres sont écrits sur le tableau?

b) quels nombres sont écrits plus: positif ou négatif?

dans lequel le plus grand nombre Les nombres positifs peuvent être parmi eux?

Décision

A) laissez-les parmi les chiffres écrits

x. - Positif

y. - Négatif

z. - zérule

Alors nous avons ça

• la quantité de nombres positifs est égale à 4 x.
• la somme des nombres négatifs est -8 y.
• la somme de tous les numéros de la série 4 x. + (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.)

4(x. – 2y. + 0z.) = –3(x. + y. + z.)

Parce que La partie gauche de l'égalité de la peinture 4, la partie droite de l'égalité doit être supérieure à 4, ce qui signifie

x. + y. + z.(Nombre de chiffres) multiples 4.

40 < X. + y. + z.< 48,

x. + y. + z.= 44

Donc, sur le conseil écrit 44 chiffres.

B) considérer l'égalité 4 x. + (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.)

4x.– 8y.= – 3x.– 3y.– 3z.

4x. + 3x. + 3z. = 8y. – 3y.

7x. + 3z. = 5y.

D'ici nous obtenons, parce que z ≥ 0 (nombre de zéros dans la ligne)

7x. < 5y.

x. < y.

Les nombres donc positifs sont moins que négatifs.

C) parce que x. + y. + z. \u003d 44, nous substituons cette valeur dans l'égalité 4 x.+ (–8y.) + 0z. = –3(x. + y. + z.),

4x.– 8y. \u003d (-3 · 44) / 4

x -2y. = –33

x. = 2y. – 33

Étant donné que x. + y. + z. \u003d 44, nous avons x. + y. ≤ 44, substitut x. = 2y. - 33 dans cette inégalité

2y. – 33 +y.≤ 44

3y. ≤ 77

y.≤ 25	2
	3

y.≤ 25, étant donné que x. = 2y. - 33 recevoir x. ≤ 17.

Tâche №19 de l'examen de base en mathématiquesMathvideourok.moy.su

Signes de divisibilité à 2 et 4:

Le nombre est divisé en 2 si cela se termine même
Figure ou zéro.
Numéros 2346 et 3650 - divisé par 2. Le nombre 4521 n'est pas
Il est divisé en 2.
Le nombre est divisé en 4 si les deux derniers
numéros nuls ou former un numéro divisé par 4. dans

Numéros 31700 et 16608 - Le 4. 215634 - Non
Il est divisé en 4.

Signes de divisibilité à 3 et 9:

Seulement seulement ces chiffres dans lesquels le montant
Les chiffres sont divisés en 3.
Numéros 17835 et 5472 - divisé par 3. Numéro 105499 - Non
Il est divisé en 3.
Seuls les seuls ne sont que ces chiffres qui
Les chiffres sont divisés en 9.
Numéros 2376 et 342000 - divisé par 9. Numéro 106499 - Non
Il est divisé en 9.

Signes de divisibilité sur 8 et 6:

Le nombre est divisé en 8 si les trois derniers chiffres de celui-ci
zéros ou former un numéro divisé par 8. Dans
Autres cas - Non divisible.
Numéros 125000 et 111120 - divisé par 8. Numéros 170004 et
124300 - Non divisé par 8.
Le nombre est divisé par 6 s'il est divisé simultanément
2 et par 3. Sinon, ce n'est pas divisible.
Numéros 126 et 254610 - Divisé par 6. Les chiffres 3585 et 6574 ne sont pas divisés par 6.

Signes de divisibilité sur 5 et 25:

5 sont divisés par des nombres, la dernière figure de laquelle 0
ou 5. Autres - Ne partagez pas.
Numéros 245 et 56780 - divisé par 5. Nombres 451 et 678 - Non
divisé par 5.
25 sont divisés par des nombres, les deux derniers chiffres dont
zéros ou former un numéro divisé par 25 (c'est-à-dire
Nombres se terminant à 00, 25, 50 ou 75). Autres
Ne partage pas.
Numéros 7150 et 345600 - divisé par 25. Numéro 56755 - Non
Il est divisé par 25.

Signes de divisibilité à 10, 100 et 1000:

Seuls ces chiffres, la dernière figure divisée sur 10
quel zéro, 100 - seuls ces chiffres qui
Les deux derniers chiffres des zéros, par 1000 - seulement ceux
qui sont trois derniers chiffres de zéros.
Le nombre 34680 - divisé par 10. Le nombre 56700 - divise sur
100 et 10. Le nombre 87549000 est divisé par 10, 100 et 1000.
Numéros 75864, 7776539 et 9864032 - Ne divisez pas 10, 100 et
1000.

Signe de divisibilité à 11:

Seulement il n'y a que ces chiffres que la quantité de chiffres,
occuper des endroits étranges ou égaux à la quantité de chiffres,
occuper même des endroits ou varie en nombre par nombre,
divisé par 11.
Le numéro 103785 est divisé en 11, comme la quantité de nombres occupant
endroits impairs, 1 + 3 + 8 \u003d 12 est égal à la quantité de nombres occupant même
Places 0 + 7 + 5 \u003d 12.
Le nombre 9163627 est divisé en 11, comme la quantité de nombres occupant
endroits étranges, il y a 9 + 6 + 6 + 6 + 7 \u003d 28 et la quantité de nombres occupant
Même des endroits, il y a 1 + 3 +2 \u003d 6; La différence entre les nombres 28 et 6 est
22, et ce nombre est divisé par 11.
Le nombre 461025 n'est pas divisé en 11, car les chiffres 4+ 1 + 2 \u003d 7 et B +0 + +
5 \u003d 11 ne sont pas égaux les uns aux autres, et leur différence 11 -7 \u003d 4 n'est pas divisée en 11.

Pour commencer, considérons un exemple - solution du problème 19. (sur ce sujet entiers ) - Kim Real EGE 2015. années, période précoce, niveau de base. (Théorie à elle - signes de divisibilité - ci-dessous.)

Tâche 19.

Discuture 181615121 Trois chiffres de sorte que le nombre résultant soit divisé par 12. En réponse, spécifiez l'un de ce type de ce type.

Décision.

Nous déclarons le diviseur - le numéro 12 sur des facteurs simples. 12 \u003d 3 × 4 \u003d 3 × 2 × 2.
Par conséquent, le nombre spécifié après les numéros de croisement doit être divisé en 3 et 4 ou 2, encore une fois à 2 et, enfin, par 3.
Sur 2, il y a même des chiffres, donc 1 à la fin de la fin à la fois. Il restera 18161512.
Mais nous en avons besoin pour partager 2 deux fois, c'est-à-dire partagé sur 4.
Un signe de divisibilité sur 4 soutient que, pour cela, 4 devraient être divisés en un nombre à deux chiffres formé par les deux derniers chiffres. 12 : 4 \u003d 3, les deux derniers numéros du numéro 18161512 ne peuvent pas être supprimés. Ils garantissent la division d'un nombre de 4 (sur les deux deux).
Pour que le nombre soit partagé par 3, il est nécessaire que la somme de ses nombres partagée sur 3.
1+8+1+6+1+5+1+2=25
25 \u003d 3 × 8 + 1 - Vous pouvez supprimer l'une des unités, mais par la condition de tâche, vous devez frapper deux autres numéros supplémentaires;
25 \u003d 3 × 7 + 4 - pas de deux chiffres pour la suppression, dont la somme serait 4, car Les dernières figures 1 et 2 ne peuvent pas être touchées;
25 \u003d 3 × 6 + 7 - La somme des deux nombres délimités sera de 7, si vous dessinez 6-Ku et l'une des unités autres que la dernière.
Donc, des réponses possibles: 811512 ou 181512. Nous en choisissons l'un d'entre eux, par exemple

Réponse: 181512.

Commenter: Sur l'examen réel, vérifiez votre réponse à la division de la colonne.

Quelqu'un peut avoir des questions que de tels facteurs simples et comment mettre des facteurs simples?
Les facteurs simples ne peuvent pas être divisés plus avant. Les numéros simples ne sont divisés que sur eux-mêmes et 1, par exemple, 13: 1 \u003d 13 ou 13:13 \u003d 1 et c'est tout. Et le pondre mieux progressivement.
Par exemple, 60 \u003d 6 × 10, 6 \u003d 2 × 3 et 10 \u003d 2 × 5, cela signifie 60 \u003d 2 x 3 × 2 × 5.

Pour résoudre ces tâches, vous devez connaître les théorèmes - signes de la divisibilité des nombres naturels. Plus vous connaissez les signes, plus vous décidez de la tâche. Répéter les principaux.

Signes de la divisibilité des nombres naturels

Depuis que l'humanité a inventé des fractions ordinaires et décimales, nous pouvons appliquer l'opération de division à toutes les valeurs. Cependant, le concept dividitude des nombres Généralement considéré sur l'ensemble des nombres naturels. Lorsque nous disons "le nombre est divisé", nous voulons dire que la division se produit sans résidus et le résultat de la division est également un nombre naturel.

Signe de divisibilité par 2.

Sur 2 divisé par tous les autres chiffres. Nous sommes parce que nous les appelons plus jeunes.

Le nombre est divisé en deux si et seulement si son dernier chiffre est divisé en 2, c'est-à-dire 2, 4, 6, 8, 0.

Signe de divisibilité par 3.

Le nombre naturel est divisé en trois si et seulement si le montant de son nombre est divisé par 3.

Par exemple, 4539861 est divisé en 3, car 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Le numéro 36 est divisé en 3.
Par exemple, 394762 n'est pas divisé en 3, car 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Le numéro 31 n'est pas divisé en 3.
Vous pouvez vérifier avec votre calculatrice préférée
4539861: 3=1513287
394762: 3=131587,33333333333333333333333333

Si la quantité de chiffres s'est avérée être un nombre à plusieurs niveaux, sa divisibilité peut être vérifiée par la même fonctionnalité.
Par exemple, 16539478617177984079 est divisé en 3, car 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 1 + 7 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 9 + 8 + 4 + 0 + 7 + 9 + 9 + 9 + 9 \u003d 111. 111 divisé par 3, car 1 + 1 + 1 \u003d 3. Le numéro 3 est divisé en 3.
165394786171277984079: 3 = 55131595390425994693

Signe de divisibilité par 4.

Un nombre naturel contenant au moins trois chiffres est divisé en 4 si et uniquement s'il est divisé en 4 nombres à deux chiffres formés par les deux derniers chiffres d'un nombre donné.

Quant à vérifier la divisibilité de 4 deux chiffres, nous utilisons le fait que 4 \u003d 2 × 2, c'est-à-dire Diviser sur 4 - la même chose qui est deux fois consécutive pour diviser 2. Par conséquent, le nombre à deux chiffres doit être même et, deuxièmement, il est facile de diviser sur 2 et de voir si le résultat est également même numéro. Par example,

5773211789020783 n'est pas divisé en 4, car 83 n'est pas divisé en 2.
4920904953478666 n'est pas divisé en 4, car 66. : 2 \u003d 33 - nombre impair.
5897592348940996 est divisé en 4, car 96. : 2 \u003d 48 - un nombre complet.

La preuve des performances de cette fonctionnalité est basée sur la divisibilité 100 sur 4 et la quantité du théorème de divisibilité, indiquée ci-dessous. Nous considérons ici une explication sur l'exemple de la tâche donnée de l'utilisation.
18161512 \u003d 18161500 + 12 \u003d 181615 × 100 + 12 \u003d 181615 × 25 × 4 + 3 × 4 \u003d (181615 × 25 + 3) × 4.
Entre-arrière, le nombre naturel sera obtenu, cela signifie que le nombre initial peut être divisé en 4 sans résidus.

Signe de divisibilité par 5.

Le nombre est divisé par 5 si et seulement si son dernier chiffre est soit 5 ou 0.

Signe de divisibilité sur 6 Il n'est généralement pas formulé comme le théorème. Depuis 6 \u003d 2 × 3, un échantillon utilisé séquentiellement est utilisé par 2 et par 3. Ainsi, il est utilisé pendant 6 parties, dont la quantité de nombres est divisée par 3.
629 - Non divisé par 6, impair.
692 - Il n'est pas divisé en 6, ce qui est, mais 6 + 9 + 2 \u003d 17 n'est pas divisé en 3.
792 - Il est divisé en 6, qui est également 7 + 9 + 2 \u003d 18 divisé par 3.

Signe de divisibilité sur 8 Il n'est pas non plus formulé que le théorème.
Depuis 8 \u003d 2 × 4 et 1000 \u003d 250 × 4, par conséquent, pour des nombres supérieurs à 1000, par analogie avec un signe de divisibilité par 4, une division de 8 numéros formés par trois derniers chiffres est cochée et pour des nombres inférieurs à 1000 (à trois chiffres), divisé séquentiellement en 2 et vérifier le résultat obtenu sur la base de la division par 4. Par exemple,
58989081099472 - Divisé par 8, comme 472 : 2 \u003d 236 et 36 divisé par 4.

Signe de divisibilité par 9.

Le nombre naturel est divisé en 9 si et uniquement si le montant de ses chiffres est divisé en 9.

Par exemple, 4539861 est divisé en 9, car 4 + 5 + 3 + 9 + 8 + 6 + 1 \u003d 36. Le numéro 36 est divisé en 9.
Par exemple, 394762 n'est pas divisé en 9, car 3 + 9 + 4 + 7 + 6 + 2 \u003d 31. Le numéro 31 n'est pas divisé en 9.
4539861: 9=504429
394762: 9=43862,444444444444444444444444444

Signe de divisibilité par 10.

Le nombre naturel est divisé par 10 si et seulement si son dernier chiffre 0.

Cette fonctionnalité est facile à propager à n'importe quel degrés de dizaines. Le nombre est divisé par 100 lorsque les deux de ses derniers chiffres sont des zéros, pour 1000, quand à la fin de trois zéro, etc.

Facile mémorable signes de divisibilité sur un nombre simple de type 7, 11, 13, 17 ..., Malheureusement non. Les organisateurs de l'EGE connaissent que les tâches axées sur l'utilisation de solutions exclusivement ne seront pas incluses. Bien que pour une longue histoire de développement de la technique du compte oral, des mathématiques, bien sûr identifiées et formulées de certaines caractéristiques communes de la divisibilité de ces chiffres. Intéressé peut faire référence à Wikipedia.

Je recommanderais seulement de faire attention à un autre 11. Il est clair que le nombre à deux chiffres est divisé par 11 s'il s'agit de nombres identiques. Le nombre à trois chiffres est divisé en 11 si son chiffre moyen est égal à la somme de deux extrêmes, ou si la somme des premier et du dernier chiffre est égale au chiffre moyen plus 11. Par exemple, 495 est divisé par 11, Depuis 4 + 5 \u003d 9, et 957 sont divisés par 11, de sorte que 9 + 7 \u003d 5 + 11.

Et dans la mémorisation signes de divisibilité pour les électeurs pas nécessaire. Les numéros composites peuvent être décomposés sur des multiplicateurs simples.

Théores sur la divisibilité du travail et la somme des nombres naturels.

Si dans le travail, au moins un des facteurs est divisé en un nombre, puis composition Il est divisé en ce nombre.

Par exemple, un produit de 475 × 1230 × 800 est divisé en 3, car le deuxième facteur satisfait le signe de la division par 3 - la somme de ses nombres 1 + 2 + 3 + 0 \u003d 6 est divisée par 3.

Si chaque terme est divisé en un nombre, alors somme Il est divisé en ce nombre.

Par exemple, la quantité de 475 + 1230 + 800 est divisée en 5, chaque rogue satisfera le signe de la division par 5.

L'énoncé opposé de la division du montant n'est pas vrai. Si chaque montant de résumé n'est pas divisé en un nombre, alors pour le montant que les deux options sont possibles, car il est divisé et il n'est pas divisé.
43 n'est pas divisé en 5, 17 n'est pas divisé par 5, 43 + 17 \u003d 60 divisé par 5.

La déclaration opposée sur la divisibilité du travail peut être formulée uniquement après la décomposition du diviseur à des faveurs simples. En fait, cette action a été consacrée à la tâche qui a été placée au début de la section.

Si vous êtes amis avec une algèbre et savez comment effectuer un facteur commun pour les crochets et réduire les fractions ordinaires, le théorème du montant de la divisibilité peut être rappelé comme la présence d'une référence commune et le théorème sur la divisibilité du travail. , comme une occasion de réduire la fraction ordinaire.

Utilisation du montant de la quantité du montant, vous pouvez "enregistrer" sur les calculs, par exemple, lors de la vérification des signes de divisibilité par 3 et de 9. Lorsque vous ajoutez de grands nombres, vous pouvez jeter tous les numéros de toute évidence divisée , respectivement de 3 ou 9.
Revenons au dernier exemple du point "Signe de la division par 3".
Pour le nombre 165394786171277984079 au lieu de 1 + 6 + 5 + 3 + 9 + 4 + 7 + 8 + 6 + 6 + 1 + 7 + 1 + 1 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 0 + 0 + 7 + 9 + 9 + 9 + 9 Calculer 1 + 5 + 4 + 7 + 8 + 1 + 7 + 1 + 2 + 7 + 7 + 8 + 4 + 0 + 0 + 7 \u003d 69. Le résultat est le même - divisé par 3.

Enfin:
Les mathématiques n'aiment pas écrire beaucoup. Les suggestions longues et les répétitions des mêmes mots sont bonnes lors de l'explication de la solution, mais il est conseillé d'utiliser les symboles quand il est souhaitable. Pour le terme "divisé", vous pouvez utiliser un symbole ⋮ Point vertical.
48⋮ 6 signifie que 48 est divisé en 6, ou que le nombre 48 est multiple de numéro 6.

Tâches d'auto-test.

Voici des tâches avec des solutions temporairement cachées afin que vous puissiez d'abord penser à eux seuls, puis appuyez sur le bouton pour comparer votre propre et mes solutions. Des tâches similaires avec la vérification de votre réponse se trouvent dans la banque ouverte des tâches de l'Institut fédéral des mesures pédagogiques.

Tache 1.

Donnez un exemple de nombre à cinq chiffres de plusieurs 12, le produit des nombres est de 40. En réponse, spécifiez exactement un de ces numéros.

Montrer une décision

Étaler le nombre 40 à des multiplicateurs simples. 40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5.
Il n'y a que quatre multiplicateurs de ce type, les chiffres ne suffisent pas pour un nombre à cinq chiffres, mais vous pouvez toujours ajouter une unité dans le travail, le résultat ne changera pas.
40 \u003d 2 × 2 × 2 × 5 × 1.
Ainsi, le nombre en réponse ne peut être effectué que de ces chiffres: 1,2,2,2,5.
De sorte que le nombre était multiple 12 (la même chose qui a été divisée en 12 sans le résidu), il devrait satisfaire les signes de divisibilité par 3 et par 4, comme 12 \u003d 3 × 4.
Vérifiez la quantité de chiffres 1 + 2 + 2 + 2 + 5 \u003d 12. Il est divisé par 3, notre nombre sera donc divisé en 3 pour toute permutation de nombres.
Et de sorte qu'il soit divisé en 4, à la fin, vous devez mettre deux chiffres afin que le nombre formé par eux soit divisé par 4.
Il est évident que le dernier chiffre devrait être 2, d'autres sont étranges. Vérifiez les options 12, 22, 52.
12: 4 \u003d 3; 22: 4 \u003d 11: 2 - Il n'est pas divisé par beaucoup; 52: 4 \u003d 13.
Conclusion: Le nombre doit être compilé de manière à ce que c'était à la fin de 12 ou 52, et au début, des permutations des trois chiffres restants.
Des réponses possibles: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 522212. En réponse, nous en écrivons l'un d'eux. Par example,

Répondre: 21252

Commenter: Votre décision devrait être quelque peu plus courte, car il suffit de trouver au moins une des réponses possibles.

Tâche 2.

Donnez un exemple de nombre à trois chiffres de plusieurs 15, le produit des nombres est de 30. En réponse, spécifiez exactement un de ces numéros.

Montrer une décision

Étaler le numéro 30 aux multiplicateurs simples. 30 \u003d 2 × 3 × 5.
Il y a trois multiplicateurs de ce type, nous devons faire un numéro à trois chiffres, qui est divisé en 15, c'est-à-dire. Satisfait des signes de divisibilité par 3 et 5, depuis 15 \u003d 3 × 5.
Pour que le nombre soit divisé par 5, il devrait mettre fin au nombre 5.
Vérifiez la quantité de chiffres 2 + 3 + 5 \u003d 10. La quantité de chiffres n'est pas divisée en 3, notre nombre ne sera donc pas divisé en 3 pour toute permutation de nombres.
Impasse? Pas. Repeater à nouveau, vous pouvez ajouter n'importe quel nombre d'unités comme une usine et le résultat ne changera pas.
Imaginez 30 comme 2 × 3 × 5 × 1.
Maintenant, des chiffres possibles pour la préparation d'un nombre à trois chiffres plus que nécessaire. Par conséquent, nous avons regroupé des facteurs simples dans le composé: 2 × 5 \u003d 10 et 3 × 5 \u003d 15 Ce ne sont pas des nombres, mais des nombres à deux chiffres. 2 × 3 \u003d 6 numéro 6 est indiqué par le numéro 6.
Imaginez 30 comme 6 × 5 × 1.
Vérifiez la quantité de chiffres 6 + 5 + 1 \u003d 12. Il est divisé en 3. Ainsi, le nombre en réponse peut être composé de nombres: 6,51. Le dernier chiffre devrait être 5.

Des réponses possibles: 615, 165

Tâche 3.

Les numéros du nombre à quatre chiffres, multiples 5, enregistrés dans l'ordre inverse et ont reçu le deuxième numéro à quatre chiffres. Ensuite, du premier numéro, la seconde a été détectée et reçue 2277. Apportez exactement un exemple d'un tel nombre.

Montrer une décision

Le nombre, multiple 5, se termine par des nombres 0 ou 5. Le nombre enregistré dans l'ordre inverse doit commencer par 0 ou C. 5. Si le numéro commence par 0, il ne sera pas à quatre chiffres, et ce sera trois -Digit, depuis 0 au début, n'écrivez généralement pas. Par exemple, 0348 est juste 348. Donc, le numéro souhaité se termine par un chiffre 5. Le reste de ses numéros désignera des lettres a, b, c. Le nombre dans ce cas est indiqué abc5____ .
L'enfer est nécessaire ici afin de ne pas confondre cette désignation avec le produit algébrique de variables ( uNE. Multiplier par b., multiplier par de ...). Le nombre enregistré dans l'ordre inverse est indiqué 5 cba____ .
Par condition

abc5____ − 5cba____ = 2277.
Imaginez que nous effectuons cette soustraction dans la colonne.
1) 5 moins de 7, puis lorsque la soustraction devait occuper une douzaine.
10 + 5 − uNE. = 7. uNE. = 15 − 7 = 8.
2) Lors de la soustraction des dizaines non si évidemment, ils occupaient ou n'ont pas occupé une unité dans la décharge de centaines. Tout d'abord, disons qu'ils n'étaient pas occupés. Puis du nombre réduit par unité c. Avez-vous lu b. et a 7.
(c. − 1) − b. = 7. c. = 8 + b..
Cette option convient b. \u003d 0 I. b. \u003d 1. Grandes valeurs b. Agrandir c. jusqu'à un double chiffre. Éviter par exemple b. \u003d 1, alors c. \u003d 9, et nous sommes convaincus que le nombre 8195 satisfait à la condition du problème.

Répondre: 8195

Commenter: Peut-être une autre réponse droite 8085 si vous choisissez b. \u003d 0 à l'étape 2). Si l'hypothèse fonctionne que lorsque la soustraction des dizaines occupait une unité dans la décharge de centaines, vérifiez-la vous-même.