Transformation de Fourier avec des limites d'intégration finie. Conditions suffisantes pour la représentasibilité de la fonction intégrale de Fourier

Qui a déjà marre. Et je sens que le moment est venu quand il est temps d'extraire une nouvelle théorie des aliments en conserve à partir de réserves stratégiques. Est-il possible de décomposer la fonction d'une ligne différente? Par exemple, exprimer une coupe d'une ligne droite à travers des sinus et des cosinés? Cela semble incroyable, mais tel, cela semblerait lointain.
"Réunion". En plus des degrés teints de théorie et de pratique, il existe d'autres approches de la décomposition d'une fonction d'affilée.

À cette leçon, nous ferons connaissance avec le trigonométrique près de Fourier, en prenant la question de sa convergence et de ses sommes et, bien sûr, nous analyserons de nombreux exemples sur la décomposition des fonctions dans une série de Fourier. Je voulais sincèrement que je voulais appeler l'article "Preuils de Fourier pour Doodles", mais ce serait une lucave, car de résoudre des problèmes, la connaissance d'autres sections d'analyse mathématique et une expérience pratique sera nécessaire. Par conséquent, le préambule ressemblera à la formation des astronautes \u003d)

Premièrement, l'étude des matériaux de la page doit être approchée sous une excellente forme. J'ai survécu, reposé et sobre. Sans émotions fortes sur les pattes de hamster brisé et les pensées obsessionnelles sur la vie des poissons d'aquarium. La série Fourier n'est pas compliquée du point de vue de la compréhension, cependant, des tâches pratiques nécessitent simplement une concentration accrue d'attention - idéalement être complètement déduites des stimuli externes. La situation est aggravée par le fait qu'il n'y a pas de moyen le plus simple de vérifier la solution et de répondre. Ainsi, si votre état de santé est inférieur à la moyenne, il est préférable de faire quelque chose de plus facile. Vérité.

Deuxièmement, avant de voler dans l'espace, il est nécessaire d'étudier le tableau de bord du vaisseau spatial. Commençons par les valeurs des fonctions qui doivent être fermées sur la machine:

Avec n'importe quelle signification naturelle:

une) . Et en fait, la sinusoïde "points" "l'axe d'abscisse à travers chaque" PI ":
. Dans le cas des valeurs négatives de l'argument, le résultat, bien sûr, sera le même :.

2). Mais ce n'était pas tout le monde savait. Cosinus "pi fr" est l'équivalent des "clignotants":

L'argument commercial négatif ne change pas: .

Peut-être assez.

Et troisièmement, cher détachement de cosmonautes, vous devez être capable de ... intégrer.
En particulier, en toute confiance faire une fonction sous le signe de différentiel, intégrer dans les parties et être en freaks avec formule de Newton Labeau. Commençons d'importants exercices supposés. I Catégoriquement je ne recommande pas de passer, de sorte qu'il ne flatte pas d'apesanteur:

Exemple 1.

Calculer certaines intégrales

où reçoit des valeurs naturelles.

Décision: L'intégration est effectuée en fonction de la variable "X" et à ce stade, la variable discrète "EN" est considérée comme une constante. Dans toutes les intégrales balayer la fonction sous le signe du différentiel:

Une courte version de la solution auquel il serait agréable de tirer, ressemble à ceci:

S'habituer à:

Quatre articles restants seuls. Essayez de traiter consciencieusement la tâche et d'organiser les intégrales de manière courte. Échantillons de solutions à la fin de la leçon.

Après des exercices d'exercice de haute qualité, nous mettons sur le spacesuit
et préparez-vous pour le début!

Décomposition d'une fonction d'une rangée de Fourier sur l'intervalle

Considérer une fonction que défini Au moins dans l'intervalle (A, peut-être, à l'intervalle supérieur). Si cette fonction est intégrée sur le segment, elle peut être décomposée en trigonométrique. rangeur:
où - le soi-disant coefficients de Fourier.

Avec le nombre appelé période de décompositionet nombre - décomposition semi-époque.

Évidemment, dans le cas général, la série de Fourier se compose de sinus et de cosinus:

En effet, nous l'écrivons en détail:

Le membre zéro de la série est habituel sous la forme.

Les coefficients de Fourier sont calculés selon les formules suivantes:

Je comprends parfaitement que de nouveaux termes sont réduits débutants pour étudier le sujet: période de décomposition, demi-hésitation, coefficients de Fourier et al. Sans panique, il n'est pas comparable à l'excitation avant d'entrer dans l'espace extérieur. Nous comprendrons tout dans l'exemple proche, avant d'effectuer lesquels il est logique de poser les problèmes pratiques urgents:

Quel doit être fait dans les tâches suivantes?

Envoi de la fonction dans une rangée de Fourier. De plus, il est souvent nécessaire de représenter le graphique de la fonction, le graphique de la somme de la rangée, une quantité partielle et dans le cas de fantasmes de professeur sophistiqués - à faire autre chose.

Comment décomposer la fonction d'une rangée de Fourier?

Essentiellement besoin de trouver coefficients de Fourier , c'est-à-dire maquiller et calculer trois certaine intégrale.

Veuillez réécrire la vue générale d'une série de Fourier et de trois formules de travail à vous-même dans un cahier. Je suis très heureux que certains visiteurs du site à mes yeux, le rêve des enfants soit effectué pour devenir une astronaute \u003d)

Exemple 2.

Envoi de la fonction dans la série Fourier de l'intervalle. Construire une planification, une somme graphique d'un nombre et d'une quantité partielle.

Décision: La première partie de la tâche consiste à décomposer la fonction de la série Fourier.

Démarrer commencer, assurez-vous d'écrire cela:

Dans ce problème, la période de décomposition, semestrielle.

Étaler la fonction dans la série Fourier à l'intervalle:

En utilisant les formules appropriées, nous allons trouver coefficients de Fourier. Maintenant, vous devez compenser et calculer trois certaine intégrale. Pour plus de commodité, j'ai numéroté des articles:

1) La première intégrale est cependant le plus simple et nécessite un œil sur les yeux:

2) Nous utilisons la deuxième formule:

Cette intégrale est bien signe et il est pris en parties:

Lorsqu'il est utilisé, utilisé méthode de résumant une fonction sous le signe de différentiel.

Dans cette tâche, il est plus pratique d'utiliser immédiatement formule d'intégration d'intégration dans une intégrale spécifique :

Une paire de commentaires techniques. Tout d'abord, après l'application de la formule toute expression doit entrer dans de grandes supportsPuisque la constante est située devant l'intégration originale. Ne le perds pas! Les supports peuvent être révélés à une étape supplémentaire, je l'ai fait à tout le moins. Dans la première "pièce" Nous montrons une précision extrême dans la substitution, comme vous pouvez le constater, la constante n'est pas dans les cas et les limites d'intégration sont substituées dans les travaux. Cette action est mise en évidence par des crochets. Eh bien, l'intégrale de la deuxième "pièce" de la formule est bien familiaris avec la tâche de formation ;-)

Et la chose la plus importante est la concentration maximale d'attention!

3) Nous recherchons un tiers coefficient de Fourier:

Reçu un parent de l'intégrale précédente, qui aussi s'intègre en pièces:

Cette instance est légèrement compliquée, commentaire sur des actions supplémentaires étape par étape:

(1) Expression complète entièrement en grandes supports. Je ne voulais pas sembler ennuyeux, je perds trop souvent la constante.

(2) Dans ce cas, j'ai immédiatement révélé ces grandes crochets. Attention particulière Nous payons la première "pièce": la constante fumée sur la touche de côté et ne participe pas à la substitution des limites d'intégration (et) dans le travail. En raison de la clusterness de l'enregistrement, cette action est à nouveau conseillé de mettre en évidence avec des crochets. Avec la deuxième "pièce" Tout est plus facile: ici la fraction est apparue après la divulgation de grands crochets et la constante - à la suite de l'intégration de l'intégration familière ;-)

(3) De entre crochets, nous effectuons une conversion et, dans la droite, la substitution des limites d'intégration.

(4) Nous effectuons des "clignotants" des crochets:, après quoi nous révélons les crochets internes :.

(5) Convient aux crochets de 1 et -1 appropriés entre crochets et effectuer des simplifications finales.

Enfin, tous les trois coefficients de Fourier ont été trouvés:

Les substituer dans la formule :

Dans le même temps, n'oubliez pas de diviser en deux. À la dernière étape de la constante ("moins deux"), indépendamment de "fr", est effectuée au-delà de la quantité.

Ainsi, nous avons reçu une décomposition d'une fonction d'une rangée de Fourier sur l'intervalle:

Étudions l'émission de la convergence de la série Fourier. Je vais expliquer la théorie, en particulier théorem Dirichlet., littéralement "sur tes doigts", donc si vous avez besoin d'un libellé strict, veuillez vous reporter au manuel d'analyse mathématique. (Par exemple, le 2e Tom Buchana; ou le 3ème volume de Fihtendulz, mais il est plus difficile dedans).

Dans la deuxième partie de la tâche, vous devez décrire le calendrier, le numéro de la somme de la plage et la somme partielle.

Le graphique de la fonction est l'habituel tout droit sur l'avionqui a été réalisée par une ligne pointillée noire:

Nous traitons avec la somme de la ligne. Comme vous le savez, la série fonctionnelle converge des fonctions. Dans notre cas, une série de Fourier construite avec tout sens "x" Il aura lieu à la fonction décrite en rouge. Cette fonctionnalité est tolérée râpe 1 Aux points, mais définis en eux (points rouges dans le dessin)

De cette façon: . Il est facile de voir ce qui est sensiblement différent de la fonction source, c'est pourquoi dans l'enregistrement L'icône "Tilda" est définie, pas un signe d'égalité.

Nous étudions l'algorithme, selon lequel il convient de construire la somme de la rangée.

À l'intervalle central, la série Fourier converge sur la fonction elle-même (la coupe rouge centrale coïncide avec la ligne pointillée noire de la fonction linéaire).

Maintenant, nous missions de la nature de la décomposition trigonométrique à l'étude. Dans une rangée Fourier Seules des fonctions périodiques (constantes, sinus et cosinus), donc la somme de la ligne représente également une fonction périodique.

Qu'est-ce que cela signifie dans notre exemple particulier? Et cela indique que la somme de la ligne – certainement périodique Et la coupe d'intervalle rouge est obligée de répéter à plusieurs reprises à gauche et à droite.

Je pense que maintenant j'ai finalement effacé le sens de la phrase "période de décomposition". Parler simpliste, à travers chaque situation encore et encore répéter.

En pratique, il suffit généralement de décrire trois périodes de décomposition, comme cela est fait dans le dessin. Eh bien, plus «matériel» des périodes voisines - comprendre que le calendrier se poursuit.

D'intérêt particulier sont point de vide du 1er genre. À de tels points, la ligne de Fourier converge des valeurs isolées situées à Rasnohonko au milieu du "saut" de la pause (points rouges dans le dessin). Comment apprendre l'ordonnée de ces points? Tout d'abord, trouvez l'ordonnée "Top étage": pour cela, nous calculons la valeur de la fonction au point de droite extrême de la période de décomposition centrale :. Pour calculer l'ordonnée "étage inférieure", le moyen le plus simple de prendre la plus grande valeur de la même période est le plus facile: . L'ordonnée de la valeur moyenne est la quantité arithmétique du "Verkh et Niza" :. Pleasant est le fait que, lorsque vous construisez un dessin, vous verrez immédiatement, correctement ou incorrectement calculé au milieu.

Nous construisons la somme partielle de la ligne et nous répétons en même temps la signification du terme "convergence". Le motif est connu de la leçon sur somme de rangée numérique. Malade Notre richesse détaillée:

Pour compiler une quantité partielle, il est nécessaire d'enregistrer zéro + deux autres membres de la ligne. C'est à dire,

Dans le dessin, le graphique de la fonction est représenté par la couleur verte et, comme vous pouvez le constater, il remporte étroitement "enveloppe" le montant total. Si vous envisagez une quantité partielle sur cinq membres d'une série, le graphique de cette fonctionnalité sera encore plus précis pour apporter des lignes rouges, si cent membres - alors le "snipé vert" se remplit complètement avec des segments rouges, etc. Ainsi, la série Fourier converge à sa quantité.

Il est intéressant de noter que tout montant partiel est fonction continueCependant, la quantité totale de la ligne se brise toujours.

En pratique, il n'est pas si rarement nécessaire de construire un graphe de somme partielle. Comment faire? Dans notre cas, il est nécessaire de prendre en compte la fonction sur le segment, calculer ses valeurs aux extrémités du segment et à des points intermédiaires (plus les points considèrent - plus le calendrier est précis). Ensuite, vous devriez marquer ces points dans le dessin et décrire doucement l'horaire de la période, après quoi il «frotter» les intervalles adjacents. Sinon comment? Après tout, l'approche est également une fonction périodique ... «Quelque chose de son graphique me rappelle même le rythme cardiaque sur les écrans du dispositif médical.

Il n'est pas très pratique d'effectuer la construction, car il est nécessaire d'exercer une super-charge, la précision n'est pas inférieure à une demi-millimètre. Cependant, les lecteurs qui ne sont pas en panne avec dessin, je ferai - dans la tâche "réelle" pour faire un dessin, il n'est pas toujours possible, quelque part dans 50% des cas, il est nécessaire de décomposer la fonction dans la série Fourier et c'est ça.

Après avoir terminé le dessin, nous complétons la tâche:

Répondre:

Dans de nombreuses tâches, la fonction tolère écart À droite sur la période de décomposition:

Exemple 3.

Faites défiler dans une série de Fourier une fonction spécifiée sur le segment. Dessinez un graphique de la fonction et du montant total de la ligne.

La fonction proposée est définie par morceaux (et remarquez seulement sur le segment) Et tolérer écart Au point. Est-il possible de calculer des coefficients de Fourier? Aucun problème. Et les parties gauche et droite de la fonction sont intégrables à leurs intervalles, les intégrales de chacune des trois formules doivent être représentées comme la somme de deux intégrales. Voyons, par exemple, comment cela se fait au coefficient zéro:

La deuxième intégrale s'est avérée égale à zéro, qui a été perdue, mais cela ne se produit pas toujours.

De même, deux autres coefficients de Fourier sont décrits.

Comment décrire la somme de la ligne? Sur l'intervalle gauche, le segment de la ligne droite et sur l'intervalle - la ligne droite (pesant hardiment la section axe). C'est-à-dire dans l'intervalle de la décomposition, la somme de la ligne coïncide avec la fonction partout, à part trois "mauvais" points. Au point de rupture de la fonction, la ligne de Fourier aura lieu à une valeur isolée située exactement au milieu "saut" de la pause. Il est facile de voir et par voie orale: limite gauche du côté:, limite droite du droit: Et, il est évident que l'ordonnée du milieu est de 0,5.

En raison de la fréquence de la quantité, la photo doit être "propagée" aux périodes voisines, notamment pour décrire les mêmes intervalles et. Dans le même temps, aux points, la rangée de Fourier va descendre aux valeurs médianes.

En fait, il n'y a rien de nouveau ici.

Essayez de faire face à cette tâche. Exemplaire de conception d'échantillons et de dessin à la fin de la leçon.

Décomposition de la fonction d'une rangée de Fourier sur une période arbitraire

Pour une période arbitraire de décomposition, où "el" - tout nombre positif, formules d'une série de coefficients de Fourier et de Fourier se distingue par un argument légèrement compliqué de sinus et de cosines:

Si, les formules d'écart sont obtenues à partir desquelles nous avons commencé.

L'algorithme et les principes de résolution du problème sont entièrement préservés, mais la complexité technique des calculs augmente:

Exemple 4.

Éliminez la fonction dans une série de Fourier et créez un résumé.

Décision: réellement analogue de l'exemple n ° 3 avec écart Au point. Dans ce problème, la période de décomposition, semestrielle. La fonction est définie uniquement sur le semi-intervalle, mais cela ne change pas le cas - il est important que les deux fonctions soient intégrées.

Étaler la fonction dans la série Fourier:

Étant donné que la fonction se brise au début des coordonnées, chaque coefficient de Fourier est évidemment écrit sous la forme de la somme de deux intégrales:

1) La première intégrale va écrire autant que possible:

2) pair soigneusement à la surface de la lune:

Deuxième intégrale prendre des pièces:

Que devriez-vous accorder une attention particulière à, après que nous demandions aux étoiles d'ouvrir la continuation de la solution?

Tout d'abord, ne perdez pas la première intégrale où effectuer immédiatement résumant un signe différentiel. Deuxièmement, n'oubliez pas la constante constante mal formée aux grands supports et ne pas confondre dans les signes Lorsque vous utilisez la formule . Grands crochets, après tout, il est plus pratique de révéler immédiatement à l'étape suivante.

Le reste de la technologie, des difficultés ne peuvent entraîner que le manque d'expérience avec des solutions.

Oui, pas étonnant que les célèbres collègues des mathématiques français Fourier soient indignes - comment cela osait-il écarter les fonctions en rangées trigonométriques ?! \u003d) Pour le mot, tout le monde est probablement intéressant sens pratique La tâche à l'étude. Fourier lui-même a travaillé sur le modèle mathématique de la conductivité thermique et, par la suite, un nombre appelé par son nom a commencé à être utilisé pour étudier de nombreux processus périodiques, qui dans le monde environnant apparemment invisible. Au fait, au fait, je me suis attrapé penser que cela ne comparait pas accidentellement le graphique du deuxième exemple avec le rythme périodique du cœur. Ceux qui souhaitent se familiariser avec application pratique transformer de Fourier En sources tierces. ... Bien que cela soit mieux non nécessaire - je me souviendrai de la première amour \u003d)

3) Compte tenu des liens faibles mentionnés à plusieurs reprises, nous traitons avec le troisième coefficient:

Nous intégrons dans les parties:

Substituant les coefficients de Fourier trouvés dans la formule , sans oublier de diviser le coefficient zéro en deux:

Construire un horaire de la somme d'un nombre. Répétez brièvement la procédure: sur l'intervalle, nous construisons une ligne droite, et sur l'intervalle est droit. À la valeur zéro de "x", nous avons mis le point au milieu du "saut" de l'écart et "reprocher" le calendrier des périodes voisines:


Dans les "articulations" des périodes, le montant sera également égal au milieu du "saut" de l'écart.

Prêt. Je vous rappelle que la fonction elle-même est déterminée par la condition uniquement sur le demi-intervalle et, évidemment, coïncide avec la somme de la plage à intervalles

Répondre:

Parfois, une fonction spécifiée par morceaux est continue sur la période de décomposition. L'échantillon le plus simple: . Décision (Voir le 2e Tom Buchana) La même chose que les deux exemples précédents: malgré fonction de continuité Au point, chaque coefficient de Fourier est exprimé par la somme de deux intégrales.

Sur l'intervalle d'expansion points de croissance du 1er genre et / ou «joint» des points de l'annexe peuvent être plus (deux, trois et en général tout fini quantité). Si la fonction est intégrée à chaque partie, elle est également décomposée dans une série de Fourier. Mais de l'expérience pratique, une telle histoire que je ne me souviens pas de quelque chose. Néanmoins, il y a des tâches plus difficiles que de juste envisager et à la fin de l'article pour tous, il y a des références à la série de Fourier de complexité élevée.

En attendant, nous nous détendons, appuyé sur les chaises et contemplerons les espaces étoilés sans fin:

Exemple 5.

Envoyez la fonction dans une série de Fourier sur l'intervalle et construisez une horaire de la somme de la ligne.

Dans cette tâche, la fonction continu Sur le semi-intervalle de la décomposition, qui simplifie la solution. Tout est très similaire à l'exemple n ° 2. Depuis le vaisseau spatial, ce n'est pas n'importe où - il devra décider \u003d) un exemple d'échantillon de conception à la fin de la leçon, l'horaire est joint.

Décomposition dans une série de Fourier pour des fonctions lues et impaires

Avec des fonctions pair et impair, le processus de résolution du problème est simplifié sensiblement. Et c'est pourquoi. Revenons à la décomposition de la fonction dans une série de Fourier sur la période "Deux PI" et période arbitraire "deux el" .

Supposons que nos fonctions soient noires. Le membre général de la série, comme vous le voyez, contient des koshinus et des sines impaires. Et si nous posions une fonction pair, alors pourquoi avons-nous besoin d'impair de Sines ?! Réinitialisons le coefficient inutile :.

De cette façon, une fonction facile se déroule dans une rangée de Fourier uniquement par cosinus:

Dans la mesure où intégrales de quelles fonctionsselon un zéro relatif symétrique, le segment de l'intégration peut être doublé, les autres coefficients de Fourier sont simplifiés.

Pour l'écart:

Pour un écart arbitraire:

Pour les exemples choisitiques qui sont pratiquement dans tout manuel sur Matanaliz incluent la décomposition de fonctions de lecture. . En outre, ils ont rencontré à plusieurs reprises dans ma pratique personnelle:

Exemple 6.

DANA FONCTION. A besoin:

1) décomposer la fonction dans une série de Fourier avec une période où - un nombre positif arbitraire;

2) Enregistrez la décomposition sur l'intervalle, créez une fonction et un graphique du montant total de la ligne.

Décision: Dans le premier paragraphe, il est proposé de résoudre le problème en général, et c'est très pratique! La mise en œuvre apparaîtra - il suffit de substituer votre valeur.

1) Dans ce problème, la période de décomposition, semestrielle. Au cours d'autres actions, en particulier, lors de l'intégration, EL »est considéré comme une constante

La fonction est même et donc, elle est disposée dans une série de Fourier uniquement par cosinus: .

Les coefficients de Fourier recherchent des formules . Faites attention à leurs avantages inconditionnels. Premièrement, l'intégration est effectuée sur un segment positif de la décomposition et nous nous débarrassons donc en toute sécurité du module. , examinant de deux pièces seulement "x". Et, deuxièmement, l'intégration est sensiblement simplifiée.

Deux:

Nous intégrons dans les parties:

De cette façon:
Dans le même temps, la constante, qui ne dépend pas du «fr», nous sortons le montant.

Répondre:

2) Nous écrivons la décomposition sur l'intervalle, pour cela, dans la formule générale, nous substituons la valeur souhaitée de la demi-période:

I. Transformations de Fourier.

Définition 1. Une fonction

Appelé transformation de Fourier Les fonctions.

L'intégrale ici est comprise dans le sens de la principale importance

Et on croit qu'il existe.

Si - la fonction est absolument intégrée, car Lorsque, pour une telle fonction, la transformation de Fourier (1) a du sens et que l'intégrale (1) converge absolument et uniformément sur toute la ligne.

Définition 2.. Si un - Fonction de transformation de Fourier
, puis comparé intégrale

Compris dans le sens de la principale importance est appelé fonction intégrale de Fourier .

Exemple 1. Trouver des fonctions de conversion Fourier

La fonction spécifiée est absolument intégrable sur, en effet,

Définition 3 Compris dans le sens de la principale importance intégrale

Appelé respectivement cosinus- et fourier Sinus Transformations .

A cru , , , se familiariser partiellement par les rangs de Fourier

Comme on peut le voir des relations (3), (4),

Les formules (5), (6) montrent que les transformations de Fourier sont entièrement déterminées tout au long de la valeur directe, si elles sont connues uniquement pour des valeurs non négatives de l'argument.

Exemple 2. Trouvez des cosinus - et sinus - Fourier Transformer fonction

Comme indiqué dans l'exemple 1, la fonction spécifiée est absolument intégrée.

Nous trouverons sa transformation de cosinus - Fourier de formule (3):

De même, il n'est pas difficile de trouver la fonction de transformation des sinus - Fourier f.(x.) Par formule (4):

En utilisant des exemples 1 et 2, il n'est pas difficile de s'assurer que pour f.(x.) Le ratio (5) est effectué.

Si la fonction est vraiment reconnue, alors de formules (5), (6) dans ce cas devrait

Depuis dans ce cas, les fonctions réelles sur R, qui peuvent être vues à partir de leurs définitions (3), (4). Cependant, l'égalité (7) fournie Il s'avère et directement de la définition (1) de la transformation de Fourier, si nous considérons que le signe de conjugaison peut être effectué sous le signe de l'intégrale. L'observation récente vous permet de conclure que l'égalité est juste pour toute fonctionnalité.

Il est également utile de noter que s'il s'agit d'une fonction réelle et même, c'est-à-dire. T.

s'il s'agit d'une fonction réelle et impaire, c'est-à-dire T.

Et si c'est une fonction purement imaginaire, c'est-à-dire . T.

Notez que s'il s'agit d'une fonction de valorisation réelle, l'intégration de Fourier peut également être écrite comme

Où

Exemple 3.
(compte )

Depuis que nous connaissons la valeur du Dirichlet Integral

La fonction considérée dans l'exemple n'est pas absolument intégrable et sa transformation de Fourier a des pauses. Que la transformation de Fourier est une fonction absolument intégrable n'a pas de pauses, dit ce qui suit

Lemme 1. Si la fonction localement intégrable et absolument intégrable sur T.

une) sa transformation de Fourier défini avec n'importe quel sens

b)

Rappeler que si - fonction réelle ou complexe à valeur définie dans l'ensemble ouvert cette fonction appelé intégrable localement par si quelqu'un point Il a un quartier dans lequel la fonction est intégrée. En particulier, si, la condition de l'intégrabilité locale de la fonction est évidemment équivalente au fait que Pour tout segment.

Exemple 4.Trouver la fonction de transformation de Fourier :

Différenciant la dernière intégrale par paramètre et intégrant ensuite dans les parties, nous trouvons que

ou alors

Ça veut dire , où est la constante, qui, utilisant l'Euler-Poisson Integral, nous trouvons du ratio

Nous avons donc constaté que, et dans le même temps, montrait que, et .

Définition 4. On dit que la fonction défini dans le quartier poncturé du point satisfait Dini au point si

a) Au point, il y a à la fois des limites unilatérales

b) à la fois intégrale

converger absolument.

Convergence absolue intégrale signifie la convergence absolue de l'intégrale au moins avec une certaine valeur.

Conditions suffisantes Représentabilité de la fonction intégrale de Fourier.

Théorème 1.Si absolument intégré sur et fonction de la fonction continue localement par morceaux satisfait au point les conditions de Dini, puis son intégrale de Fourier converge à ce stade et au sens

égal à la limite gauche et droite des valeurs de fonction à ce stade.

Corollaire 1.Si la fonction continu, a à chaque point dérivés finis unilatéraux et absolument intégré sur alors il semble avec son intégrale Fourier

où fonction de transformation de Fourier .

La fonction de la fonction intégrale de Fourier peut être réécrite sous la forme:

Commenter. Formulé dans le théorème 1 et la conduction 1 Les conditions de la fonction sont suffisantes, mais ne sont pas nécessaires pour la possibilité d'une telle soumission.

Exemple 5. Présenter la fonction intégrale de Fourier si

Cette fonction est impair et continue sur ℝ, sauf pour les points ,.

En raison de la bizarrerie et de la matérialité de la fonction, nous avons:

et d'égalité (5) et (10), il suit que

Aux points de continuité, nous avons:

Mais la fonction est étrange, donc

depuis que l'intégration est calculée au sens de la principale importance.

Fonction est même, donc

si un , . Lorsque l'égalité doit être effectuée

Croire d'ici que nous trouvons

Si dans la dernière expression pour mettre, alors

Croire ici nous trouverons

Si la fonction est valide de manière réelle, une partie continue sur tout segment du direct réel absolument intégrable et que les dérivés finaux unilatéraux à chaque point sur les points de continuité de la fonction apparaissent comme une intégrale de Fourier

et au point de pause, la partie gauche de l'égalité (1) devrait être remplacée par

Si continu, absolument intégré sur la fonction a des dérivés unilatéraux finis à chaque point, puis dans le cas où cette fonction est même, l'égalité est juste

et dans le cas où - une fonction étrange, l'égalité est effectuée

Exemple 5 '. Présenter une fonctionnalité intégrale de Fourier si:

Puisqu'il est continu sur une fonction pair, puis en utilisant des formules (13,2), (13,2 '), nous avons

Note par le symbole compris dans le sens de l'importance majeure de l'importance

Corollaire 2.Pour toute fonction satisfaisant les conditions de corollaire 1, il y a toutes les transformations , , , et avoir l'égalité

Avoir à l'esprit ces ratios, la transformation (14) est souvent appelée transformation inverse de Fourieret plutôt qu'ils écrivent, et l'égalité elles-mêmes (15) sont appelées formule de conversion de Fourier.

Exemple 6.Soit I.

Notez que si , alors avec n'importe quelle fonction

Prenez maintenant la fonction. Puis

Si vous prenez une fonction qui est une continuation étrange de la fonction , sur l'axe numérique entier, alors

En utilisant le théorème 1, nous obtenons cela

Toutes les intégrales ici sont comprises dans le sens de la principale importance,

Séparer les deux dernières intégrales Pièces valides et imaginaires, trouvez des intégrales Laplace

Définition . Une fonction

appelons la transformation de Fourier normalisée.

Définition . S'il s'agit d'une fonction de transformation de Fourier normalisée, alors l'intégral compal

Nous appellerons la fonction intégrale de Fourier normalisée.

Nous considérerons la transformation de Fourier normalisée (16).

Nous introduisons la notation suivante pour la commodité:

(ceux. ).

En comparaison avec les désignations précédentes, il s'agit simplement d'une renormalisation: cela signifie notamment les relations (15) permettant de conclure que

ou dans un enregistrement plus court

Définition 5 Opérateur, nous serons appelés la transformation de Fourier normalisée et l'opérateur s'appellera la transformation Fourier Rationed inverse.

Dans le Lemme 1, il a été noté que la transformation de Fourier de toute fonction absolument intégrée a tendance à l'infini à zéro. Dans les deux états suivants, il est indiqué que, comme des coefficients de Fourier, la transformation de Fourier est plus forte à zéro, le smoost de la fonction à partir de laquelle elle est prise (dans la première approbation); Mutual avec ce fait sera que la fonction plus rapide s'efforce de zéro, à partir duquel la transformation de Fourier est prise, le durcissement de sa transformation de Fourier (deuxième approbation).

Approbation 1.(Sur la connexion de la douceur de la fonction et du taux de diminution de sa transformation de Fourier). Si un et toutes les fonctions absolument intégrable par , cette:

mais) avec tout

b)

Approbation 2.(Sur la connexion de la vitesse de fonctionnement descendant et de douceur de sa transformation de Fourier). Si la fonction intégrable localement : telle est la fonction absolument intégrable N.mais , cette:

mais) fonction de transformation de Fourier appartenir à la classe

b) il y a une inégalité

Nous donnons les principales propriétés matérielles de Fourier Transform.

Lemme 2. Supposons pour les fonctions et il y a une transformation de Fourier (respectivement, la transformation inverse de Fourier), qu'est-ce que des chiffres et une transformation de Fourier (respectivement, la transformation inverse de Fourier) et pour la fonction , et

(respectivement).

Cette propriété s'appelle la linéarité de transformation de Fourier (respectivement, la transformation inverse de Fourier).

Corollaire. .

Lemme 3.La transformation de Fourier, ainsi que la transformation inverse, constitue une conversion mutuellement sans ambiguïté sur un ensemble de fonctions continuellement intégrables sur l'axe total des fonctions ayant des dérivés unilatéraux à chaque point.

Cela signifie que si les deux sont deux fonctions du type spécifié et si (respectivement, si ), puis sur l'axe entier.

De l'approbation de Lemma 1, vous pouvez obtenir le lemme suivant.

Lemme 4.Si la séquence de fonctions absolument intégrables et la fonction absolument intégrable est telle que

la séquence de manière uniforme sur l'axe total converge sur la fonction.

Nous allons maintenant étudier la conversion de Fourier d'un tas de deux fonctions. Pour plus de commodité, nous voyons la définition d'une convolution, ajoutant un multiplicateur supplémentaire

Théorème 2. Laissez les fonctions et sont limitées, sont continues et absolument intégrées sur l'axe réel, puis

ceux. La conversion de Fourier de deux fonctions est égale au produit de transformations de Fourier de ces fonctions.

Nous ferons une table consolidée n ° 1 des propriétés de la transformation de Fourier normalisée, utile lors de la résolution des tâches ci-dessous.

Tableau №1

Une fonction	Transformation de Fourier normalisée

En utilisant des propriétés 1-4 et 6, nous obtenons

Exemple 7.Trouver la fonction de transformation de Fourier normalisée

Dans l'exemple 4, il a été montré que

comme si

Selon cela, nous avons:

De même, vous pouvez faire une table numéro 2 pour la conversion de Fourier normalisée:

Tableau 2.

Une fonction	Transformation inverse de Fourier normalisée

Comme avant, en utilisant les propriétés 1-4 et 6, nous obtenons cela

Exemple 8.Trouver une conversion de fonction Fourier normalisée

Comme suit de l'exemple 6

Quand nous avons:

Présenter une fonction sous la forme

nous utilisons la propriété 6 quand

Options pour le réglage et le travail graphique

1. Trouvez des fonctions Sinus - Fourier Convertir

2. Trouver la fonction de transformation Sinus - Fourier

3. Trouver des cosines - Fourier Transformation Fonction

4. Trouver des cosinus - Fourier Transformation Fonction

5. Trouver la fonction de transformation Sinus - Fourier

6. Night Kosinus - Fonction de transformation Fourier

7. Night Sinus - Fonction de transformation Fourier

8. Trouver la fonction de transformation cosinus - Fourier

9. Trouver la fonction de transformation cosinus - Fourier

10. Trouver Sinus - Fourier Convertir Fonctions

11. Trouver des fonctions de transformation Sinus - Fourier

12. Trouver la conversion de la fonction Sinus -

13. Trouver la conversion de la fonction sinus

14. Trouver la conversion de la fonction cosinus

15. Trouver la conversion de la fonction cosinus

16. Trouver Fourier Convertir des fonctions si:

17. Trouver Fourier Convertir des fonctions si:

18. Trouver Fourier Convertir des fonctions si:

19. Trouver Fourier Convertir des fonctions si:

20. Trouver Fourier Convertir des fonctions si:

21. Trouver Fourier Convertir des fonctions si:

22. Trouver la conversion normalisée de la fonction Fourier

En utilisant la formule

24. Trouver la conversion normalisée de la fonction Fourier

En utilisant la formule

26. Trouver la conversion de la fonction Fourier normalisée

En utilisant la formule

28. Trouver la conversion de la fonction Fourier normalisée

En utilisant la formule

30. Trouver la fonction de transformation de Fourier inverse normalisée

En utilisant la formule

23. Trouver la conversion normalisée de la fonction Fourier

En utilisant la formule

25. Trouver la conversion normalisée de la fonction Fourier inverse

En utilisant la formule

27. Trouver la conversion de Fourier Fourier normalisée

En utilisant la formule

29. Trouver une conversion de fonction de Fourier normalisée

En utilisant la formule

31. Trouver la fonction de conversion de Fourier normalisée

En utilisant la formule

32. Soumettre la fonction intégrale de Fourier

33. Présenter la fonction intégrale de Fourier

34. Présenter la fonction intégrale de Fourier

35. Présenter la fonction intégrale de Fourier

36. Présenter une fonction intégrale de Fourier

37. Présenter la fonction intégrale de Fourier

38. Présenter une fonction intégrale de Fourier

39. Présenter la fonction intégrale de Fourier

40. Présenter la fonction intégrale de Fourier

41. Présenter une fonction intégrale de Fourier

42. Présenter une fonction intégrale de Fourier

43. Présenter une fonction intégrale de Fourier en continuant à un moyen étrange de l'intervalle si:

44. Présenter une fonction intégrale de Fourier en continuant à un moyen étrange de l'intervalle si.

L'un des moyens puissants d'étudier les problèmes de physique mathématique est la méthode des transformations intégrées. Laissez la fonction F (x) être définie sur l'intervalle (A, 6), fini ou infini. La conversion intégrale de la fonction F (x) est la fonction où K (x, w) est fixée pour cette fonction de conversion appelée noyau de la conversion (il est supposé que l'intégration (*) existe ou incompréhensible). §une. Fourier Integral Toute fonction F (x), qui sur le segment [-f, i] satisfait aux conditions de décomposabilité d'une rangée de Fourier, peut être présentée par nombre de coefficients trigonométriques de coefficients A * et 6 "(1) (1). Par Euler Fourier Formulas: transformation de Fourier Fourier complexe Fourier Formulaire de transformation intégrale Fourier Cosine et Sine Conversion Amplitude et phase des propriétés de l'application Un nombre dans la partie droite de l'égalité (1) peut être enregistré sous une forme différente. À cette fin, nous le ferons de formules (2) les valeurs des coefficients A "et de l'OP, nous soumettrons sous les signes de cos ^ x et des intégrales de péché (ce qui est possible, car la variable d'intégration est T ) O) et utilisez la formule pour la différence causée. Nous aurons si la fonction / g) a été initialement déterminée sur l'intervalle de l'axe numérique, supérieure au segment [-1,1] (par exemple, sur l'ensemble de l'axe), puis la décomposition (3) reproduirea le Les valeurs de cette fonction uniquement sur le segment [-1, 1] et continueront sur l'ensemble de l'axe numérique sous forme de fonction périodique avec une période 21 (Fig. 1). Par conséquent, si la fonction F (x) (généralement parole, non périodique) est définie sur l'ensemble de l'axe numérique, dans la formule (3), vous pouvez essayer d'aller à la limite à I + OO. Il est naturel d'exiger les conditions suivantes: 1. F (x) satisfait aux conditions de décomposabilité d'une rangée de Fourier sur tout segment fini OH \\ 2. La fonction F (x) est absolument intégrée à l'axe numérique tout en effectuant Condition 2, le premier terme de la partie droite de l'égalité (3) avec I - * + OO a tendance à zéro. En fait, nous allons essayer d'établir ce qui ira à la limite à la somme i + oo dans la droite, partie 3). Il est donc alors que la somme du côté droit (3) prendra une forme en raison de la convergence absolue de l'intégrale de cette quantité, je diffère peu de l'expression qui ressemble à une quantité intégrée pour la fonction variable £ -Composée pour la intervalle (0, + oo) changements d'attendre naturellement, comme pour la somme (5), il se transforme en intégrale du côté source, avec fixe) à partir de formule (3), il suit que nous obtenons des conditions suffisantes pour l'équité de La formule (7) est exprimée par le théorème suivant. Théorème 1. Si la fonction F (x) est absolument intégrée à l'ensemble de l'axe numérique, avec son dérivé, un nombre fini des points de rupture de premier ordre sur tout segment [A, 6], puis l'égalité est juste à la en même temps dans n'importe quel point de XQ, qui est un point de rupture 1 "La fonction de genre / g), la valeur de l'intégrale dans le côté droit (7) est égale à la formule (7) s'appelle le Fourier Integral La formule et l'intégrale de l'intégrale de Fourier est appelée dans sa partie droite. Si vous tirez parti de la formule de la diversité de la différence, la formule (7) peut être écrite sous forme de fonctions A (£), B (£) Les analogues des coefficients de Fourier correspondants versaient 2TG-périodiques, Mais ces derniers sont définis pour des valeurs discrètes de P, l'OMC A (0\u003e mais des valeurs définitives définitives de £ g (-oo, + oo). La forme complexe de l'intégrale de Fourier est supposée / (x) absolument intégré à travers l'axe entier OH, considérez l'intégrale de cette intégrale convergée de manière uniforme, car elle est donc une fonction continue et évidemment, une fonction étrange de mais d'autre part, l'intégrale est une fonction uniforme de la variable de sorte que l'intégrale Fourier La formule peut être écrite comme suit: je vais multiplier l'égalité sur l'unité imaginaire I et ajouter à l'égalité (10). Nous allons obtenir d'où la formule d'Euler aura une forme complète de l'intégration de Fourier. Ici, l'intégration externe de £ est compris dans le sens de la valeur principale de Cauchy: §2. Transformation de Fourier. Cosine et sinus-transforment Fourier Funier Le F (x) est un morceau lisse sur tout segment fini de l'axe OH et absolument intégrable à travers tout l'axe. Définition. La fonction d'où, en vertu de la formule d'Euler, sera appelée la transformation de Fourier de la fonction / (d) (fonction spectrale). Il s'agit d'une transformation de fonction intégrale / (D) sur l'intervalle (-O, + oo) avec le noyau à l'aide de la formule intégrale Fourier, nous obtenons cette conversion dite de Fourier, qui donne la transition de F (£) à / ( X). Parfois, une transformation directe de Fourier est spécifiée comme ceci: la transformation de Fourier inverse est déterminée par la fonction de formule de transformation de Fourier / (g) est également déterminée comme suit: Formulaire intégré de transformation de Fourier Fourier Fourier de la transformation Fourier Cosineuse et Sinus Conversion de conversion Spectra de l'application alors, à son tour, en même temps, la position du multiplicateur ^ est assez arbitraire: elle peut entrer soit en formule (1 "), soit en formule (2"). Exemple 1. Trouver la fonction de transformation de Fourier -4 Nous avons cette égalité pour faire la différenciation de £ sous le signe intégré (l'intégration résultant après la différenciation converge uniformément lorsque (appartient à tout segment final): Intégration dans les parties, nous aurons un éteint terme intégré accepté à zéro et nous obtenons de l'endroit où (C est une intégration constante). Croyant en (4) £ \u003d 0, nous trouvons c \u003d f (0). En vertu de (3), nous savons que, en particulier, nous obtenons cet exemple 2 (démoqué Kokdemsetor à travers SPO). Considérons la fonction 4 pour les spectres de la fonction F (£) Nous arrivons d'ici (Fig. 2). La condition de l'intégrité absolue de la fonction F (x) sur l'ensemble de l'axe numérique est très difficile. Il élimine, par exemple, ces fonctions élémentaires, comme) \u003d COS, F (x) \u003d E1, pour laquelle la Fourier se transforme (sous la forme classique à l'étude) n'existe pas. Fourier-image n'a que ces fonctions qui s'efforcent rapidement de zéro à | x | - + + oo (comme dans les exemples 1 et 2). 2.1. Conversion de cosinus et de sinus de Fourier utilisant une formule de cosinus, une différence qui réécrit la formule intégrale de Fourier sous la forme suivante: Soit F (x) être une fonction même. Ensuite, de sorte que les agems (5) ont dans le cas d'un impair f (x), dans le cas de l'impair f (x), il est similaire à celui de F (x) uniquement à (0, -Foo) , puis formule (6) continue F (x) à l'axe entier OH Unifoly, et la formule (7) est impair. (7) Définition. La fonction s'appelle la fonction de cosinus de transformation de Fourier F (X). À partir de (6), il suit que pour une fonction même F (x), cela signifie que f (x), à son tour, est une conversion de cosinus pour FC (£). En d'autres termes, fonctions / et FC sont des transformations de cosinus mutuelles. Définition. La fonction s'appelle la fonction de conversion Fourier Sinus F (X). De (7), nous obtenons cela pour une fonction étrange f (x) i.e. F et FS sont des transformations mutuelles des sinus. Exemple 3 (impulsion rétropulaire). Soit F (t) être une fonction même définie comme suit: (Fig. 3). Nous utilisons le résultat résultant pour calculer l'intégration par force de formule (9) que nous avons la figure 3 0 0 au point T \u003d 0 La fonction F (t) est continue et égale à une. Par conséquent, de (12 "), nous obtenons 2.2. L'amplitude et les spectres de phase de l'intégral Fourier Soirent périodiquement avec la fonction de période 2T / (x) se décompose dans la série Fourier, cette égalité peut être écrite sous la forme de la forme - l'amplitude de oscillations avec la fréquence de P, - phase. Sur ce chemin, nous arrivons aux concepts de l'amplitude et des spectres de phase de la fonction périodique. Pour la fonction non périodique F (x) spécifiée sur (OO, + OO), Dans certaines conditions, il s'avère possible de le présenter à la Fourier Integral par l'expansion de cette fonction dans toutes les fréquences (décomposition sur le spectre de fréquence continue). Définition. La fonction spectrale, ou la densité spectrale de l'intégrale de Fourier, est appelée expression (la transformation directe de la fonction Fourier F s'appelle un spectre d'amplitude, et la fonction F ") \u003d -Aggsfc) est un spectre de phase de la fonction / ("). Le spectre d'amplitude. Et (£) sert de mesure de la contribution de fréquence £ dans la fonction / g). Exemple 4. Trouver les spectres d'amplitude et de phase de la fonction 4 Nous trouvons la fonction spectrale d'ici les graphiques de ces fonctions sont illustrés à la Fig. 4. §3. Propriétés de transformation de Fourier 1. Lutilité. Si g (0 est la transformation de Fourier des fonctions / (x) et D (x), respectivement, avec toute transformation permanente A Fourier de la fonction AF (x) + RD (x), il y aura une fonction a Utilisation de la propriété de la linéarité intégrale, nous avons une telle transformation de Fourier possède un opérateur linéaire. Désignant que nous écrirons. Si f (£) est la transformation de Fourier est absolument intégrée à l'axe numérique complet de la fonction / (g) , alors f (() est limité du tout. Laisser la fonction f (x) absolument intégrable sur l'axe entier - fonction de transformation Fourier F (x). Puis 3 "fltsj. Soit F (x) être une fonction, l'admission de La transformation KNCEA de Fourier, L-Fusion Numbers. Fondation FH (x) \u003d F (ZH) est appelée le changement de puejdi F (x). L'utilisation de la transformation de Fourier est définie pour montrer que la tâche. Laisser le f (z) Fonction de Fourier F (0\u003e H est un nombre valide. Montrez que 3. Transformation de Fourier et traitement de la différenciation. Soit une fonction absolument intégrable F (x) a un dérivé F "(x), également absolument intégré à l'axe entier Oh, donc / (i) cherche zéro à | f | - "+ oo. Considérant F "(x) une fonction lisse, écriture de l'intégration des pièces, nous aurons une adresse non inhibition à zéro (puisque, et que nous obtenons ainsi la différenciation de la fonction / (x) correspond à la multiplication de son image de Fourier ^ n /] au multiplicateur si la fonction F (x) a un * "Les dérivés absolument destinés à commander m inclusif et tous, ainsi que la fonction F (x), s'efforcent de zéro à cela, en intégrant des pièces Le nombre de fois souhaité, nous obtenons la transformation de Fourier est très utile précisément parce qu'il remplace l'opération de différenciation de la multiplication de fonctionnement et simplifie ainsi la tâche de certains types d'équations différentielles. Puisque la transformation de Fourier est une fonction absolument intégrée F ^ K \\ x) est une fonction limitée de (propriété 2), puis du rapport (2), nous obtenons la note suivante: Fourier transformation intégré Fourier Complexe Former Fourier Transformation Fourier Fourier Cosine et Sine Spectra Spectra de la conversion des propriétés de l'application de cette note avec ICE: plus la fonction f (x) est grande de dérivés absolument intégrables, plus sa transformation de Fourier a tendance à zéro à zéro. Commenter. La condition est tout à fait naturelle, puisque l'activité habituelle d'intégral de Fourier traite des processus qui, d'une manière ou d'une autre, ont le début et les chevaux, mais ne continuent pas indéfiniment sur la même intensité. 4. Communication entre le taux de diminution de la fonction F (x) à | Z | - "-F OO et douceur de son fureur de conversion. Supposons que non seulement / (x), mais aussi son produit XF (x) est une fonction absolument intégrable sur l'axe entier OH. Ensuite, la transformation de Fourier) sera différenciée par la fonction. En effet, la différenciation formelle par paramètre £ de la fonction intégrée entraîne une intégrale convergente absolument et uniformément par rapport au paramètre par conséquent, la différenciation est possible, c'est-à-dire que le fonctionnement de la multiplication F (x) sur l'argument x va après la transformation de Fourier. Si, avec la fonction F (x), les fonctions sont absolument intégrées à l'aide de l'ensemble de l'axe, le processus de différenciation peut être poursuivi. Nous obtenons que la fonction a été dérivée pour commander m inclusive et, donc, plus la fonction F (x) est plus rapide diminue à la fonction la plus lisse du théorème 2 (sur le forage). Transformer des fonctions de Fourier /, (g) et F2 (x), respectivement. Ensuite, la double intégrale de la partie droite converge absolument. Met - x. Ensuite, nous aurons soit changé d'ordre d'intégration, la fonction s'appelle une convolution des fonctions et est indiquée par le symbole de la formule (1) peut être écrite maintenant: on peut voir que la conversion de Fourier des fonctions F \\ ( x) et F2 (x) n'est pas multiplié par Y / 2 le produit des transformations de Fourier des fonctions coagulées, remarque. Il n'est pas difficile d'installer les propriétés de convolution suivantes: 1) Linéarité: 2) Commutativité: §4. Applications de transformation de Fourier 1. Soit p (^) un opérateur différentiel linéaire d'ordre M avec des coefficients constants à l'aide de la formule pour convertir des dérivés de Fourier de fonctions dans (x), nous trouvons "considérer l'équation différentielle où p est l'opérateur différentiel introduit ci-dessus . Supposons que la décision recherchée (x) ait une transformation de Fourier (O. et la fonction F (x) a une transformation / (£) à l'aide de la transformation de Fourier en équation (1), nous obtenons au lieu de l'équation algébrique différentielle sur le Axe par rapport à l'endroit où, officiellement, où le symbole indique la transformation inverse de Fourier. La limitation de base de l'applicabilité de cette méthode est associée aux faits suivants. Décision commune Équation différentielle avec des coefficients constants contient les fonctions de la forme ate *, EAZ COS correction, eah Sin. Px. Ils ne sont pas absolument intégrables sur l'axe -oo< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и