Efectele adaosului de valuri. valuri elastice în picioare

Un caz foarte important de interferență este observat la punerea de valuri plate cu aceeași amplitudine. Procesul oscilator rezultat este numit wave în picioare.

Valurile în picioare practic apar atunci când valurile reflectă obstacolele. Valul care se încadrează în barieră și valul reflectat reflectat de ea spre celălalt, dau un val în picioare.

Luați în considerare rezultatul interferenței a două valuri plate sinusoidale de aceeași amplitudine care se propagă în direcții opuse.

Pentru simplitatea raționamentului, presupunem că ambele valuri provoacă oscilații la începutul coordonatelor în aceeași fază.

Ecuațiile acestor oscilații sunt:

Plierea atât a ecuațiilor, cât și convertirea rezultatului, prin formula pentru suma sinusurilor pe care o vom obține:

- ecuația valului în picioare.

Comparați această ecuație cu ecuația oscilațiilor armonice, vedem că amplitudinea oscilațiilor rezultate este:

De când, dar, atunci.

La punctele ambientale, unde nu există oscilații, adică . Aceste puncte sunt numite undele de valuri în picioare.

La punctele, unde, amplitudinea oscilațiilor este cea mai mare valoare egală cu. Aceste puncte sunt numite puzzle-uri Wave în picioare. Coordonatele fasciculului sunt din această condiție, deoarece atunci.

De aici:

În mod similar, coordonatele nodurilor provin din această condiție:

Din:

Din formulele coordonatelor nodurilor și a beatăților, rezultă că distanța dintre grinzile adiacente, precum și distanțele dintre nodurile adiacente, este egală. Puffy și noduri s-au mutat reciproc cu un sfert din lungimea de undă.

Comparați caracterul oscilațiilor într-un val în picioare și în circulație. În valul de funcționare, fiecare punct efectuează oscilații a căror amplitudine nu este diferită de amplitudinea altor puncte. Dar apare oscilațiile diferitelor puncte diferite faze.

Într-un val în picioare, toate particulele de mediu între două noduri adiacente fluctuează în aceeași fază, dar cu amplitudini diferite. Când treceți prin nod, vibrațiile de fază de oscilație variază, deoarece Modifică semnul.

Un val grafic permanent poate fi descris după cum urmează:

În momentul în care, toate punctele de mediu au deplasări maxime, a căror bord este determinată de semn. Aceste offseturi sunt prezentate în desenul cu săgeți solide.

După un sfert din perioada, când, compensarea tuturor punctelor este zero. Particulele trec printr-o linie cu viteze diferite.

După un alt sfert din perioada, când, particulele vor avea din nou opțiuni maxime, dar direcția opusă (săgețile punctate).

La descrierea proceselor oscilatorii din sistemele elastice, nu numai deplasarea, ci și viteza particulelor, precum și valoarea deformării relative a mediului, pot fi luate.

Pentru a găsi legea schimbării vitezei valului permanent, în raport cu ecuația unei stagnații a valului permanent și de a găsi legea schimbării deformării inetențial de ecuația unui val în picioare.

Analizând aceste ecuații, vedem că nodurile și grinzile de viteză coincid cu nodurile și părtinirea deplasării; Nodurile și balizele de deformare coincid în funcție de grinzile și nodurile vitezei și offsetului.

Șir de vierme

În șirul tensionat atașat cu ambele capete, undele în picioare sunt instalate în timpul excitației oscilațiilor transversale, iar nodurile trebuie plasate în dopuri. Prin urmare, numai astfel de oscilații sunt încântați în șir, jumătate din lungimea căreia este plasată pe lungimea șirului un număr întreg.

Prin urmare, starea:

unde este lungimea șirului.

Sau altfel. Aceste lungimi de undă corespund frecvenței, unde viteza de fază de catifenă. Este determinată de puterea tensiunii și a masei sale.

Când - frecvența principală.

Când - frecvențele proprii ale oscilațiilor șirului ochtons..

efectul Doppler

Luați în considerare cele mai simple cazuri atunci când sursa valurilor și a observatorului se mișcă în raport cu mediul de-a lungul unei linii drepte:

1. Sursa de sunet se deplasează în raport cu mediul la viteze, receptorul de sunet se bazează.

În acest caz, pentru perioada de oscilații, valul sonor se va îndepărta de la nick-ul acru la distanță, iar sursa în sine se va trece la distanța egală.

Dacă sursa este scoasă din receptor, adică. Deplasați-vă în direcția opusă propagării valurilor, apoi lungimea de undă.

Dacă sursa de sunet este mai aproape de receptor, adică Mișcați în direcția distribuției valului, atunci.

Frecvența sunetului este percepută de receptor este:

Înlocuitor în loc de semnificația lor pentru ambele cazuri:

Având în vedere faptul că, în cazul în care - frecvența oscilațiilor sursei, egalitatea va lua forma:

Împărțim numărătorul și numitorul acestei fracții, apoi:

2. Sursa de sunet este fixată, iar receptorul se deplasează în raport cu mediul la viteze.

În acest caz, lungimea de undă din mediu nu se schimbă și este încă egală. În același timp, două amplitudini consecutive, care diferă în timp pentru o perioadă de oscilații, ajungând la receptorul în mișcare, vor diferi în timp în momentele valului valului cu receptorul pentru o perioadă de timp, a cărui mărime este Mai mult sau mai puțin în funcție de faptul dacă receptorul este șters sau abordează sursa. sunet. În timpul când sunetul se aplică la distanță și receptorul se va schimba peste distanță. Suma acestor valori și ne dă lungimea de undă:

Perioada de oscilații percepută de receptor este asociată cu frecvența acestor oscilații prin raport:

Înlocuind în loc de expresia sa din egalitate (1), obținem:

pentru că , unde - frecvența oscilațiilor sursei și, apoi:

3. Sunetele sursă și receptor se deplasează în raport cu mediul. Conectarea rezultatelor obținute în cele două cazuri anterioare, obținem:

Unde sonore

Dacă undele elastice care se extind în aer au o frecvență cuprinsă între 20 și 20.000 Hz, ajungând apoi la urechea umană, ele provoacă un sentiment de sunet. Prin urmare, valurile situate în această gamă de frecvențe se numesc sunet. Valurile elastice cu o frecvență mai mică de 20 Hz sunt numite infrasound. . Valurile cu frecvență de peste 20.000 Hz sunt numite ecografie. Ultrasunetele și urechea umană a infrastrucției nu au auzit.

Senzațiile de sunet sunt caracterizate de înălțimea sunetului, timbrul și luminozitatea. Înălțimea sunetului este determinată de frecvența oscilațiilor. Cu toate acestea, sursa de sunet nu emite unul, ci un întreg spectru de frecvențe. Un set de frecvențe de oscilații prezente în acest sunet se numește. spectrul acustic. Energia oscilațiilor este distribuită între toate frecvențele spectrului acustic. Înălțimea sunetului este determinată de una - frecvența principală dacă această frecvență reprezintă o cantitate mult mai mare de energie decât ponderea altor frecvențe.

Dacă spectrul este alcătuit dintr-o multitudine de frecvențe în intervalul de frecvență înainte, atunci se numește un astfel de spectru solid (exemplu - zgomot).

Dacă spectrul este alcătuit dintr-un set de oscilații de frecvențe discrete, atunci se numește un astfel de spectru linely. (Exemplu - sunete muzicale).

Spectrul acustic al sunetului în funcție de natura sa și distribuția energiei între frecvențe determină originalitatea senzației de sunet, numită temperatura vocii. Diferitele instrumente muzicale au un spectru acustic diferit, adică. Diferit cu un tempor de sunet.

Intensitatea sunetului este caracterizată de valori individuale: oscilațiile particulelor medii, vitezele lor, forțele de presiune, tensiunile în ele etc.

Se caracterizează amplitudinea oscilațiilor fiecărei cantități. Cu toate acestea, deoarece aceste valori sunt interdependente, este recomandabil să se introducă o singură caracteristică energetică. Această caracteristică a valurilor de orice tip a fost propusă în 1877. PE. Umovy.

Am smuls mental din partea din față a valului de funcționare a platformei. În timpul acestei platforme se mută la distanță, unde - viteza valului.

Denotă de energia cuantumului cantității de mediu oscilant. Apoi, energia întregului volum va fi egală.

Această energie a fost transferată în timpul valului care se propagă prin platformă.

Împărtășind această expresie pe și, obținem energia purtată de val prin zona pătratului pe unitate de timp. Această valoare este indicată de scrisoare și se numește vector Melova.

Pentru câmpul sonor vector Umova. Poartă numele sunetului.

Puterea sunetului este caracteristica fizică a intensității sunetului. Evaluăm subiectiv ca volum Sunet. Urechea umană percepe sunetele a căror forță depășește o valoare minimă diferită pentru diferite frecvențe. Această valoare este numită adăugarea pragului Sunet. Pentru frecvențele medii ale ordinului pragului Hz al ordinii auzului.

Cu o forță foarte mare a sunetului de ordine, sunetul este perceput, cu excepția urechii organelor tangibile, iar în urechi provoacă un sentiment dureros.

Valoarea intensității în care se întâmplă acest lucru se numește prag de durere. Pragul durerii, precum și pragul de audiere depinde de frecvența.

O persoană are un aparat destul de complex pentru percepția sunetelor. Oscilațiile de sunet sunt colectate prin coajă de ureche și prin canalul auditiv afectează timpanul. Oscilațiile sale sunt transmise unei cavități mici, numite melc. În interiorul melcului sunt situate un numar mare de Fibrele având diferite lungimi și tensiuni și, prin urmare, diferite frecvențe de oscilație. Când acțiunea de sunet, fiecare dintre fibre rezonează la acel ton, frecvența care coincide cu frecvența proprie a fibrelor. Un set de frecvențe rezonante într-un aparat de zvon și determină zona oscilațiilor sonore percepute de noi.

Subiectiv estimat prin volumul nostru urechii crește mult mai lent decât intensitatea undelor sonore. În timp ce intensitatea crește în progresia geometrică - volumul crește în progresul aritmetic. Pe această bază, nivelul de volum este definit ca un logaritm al raportului de intensitate al acestui sunet la intensitatea adoptată pentru original

Volumul volumului este numit george. Utilizați și unități mai mici - decybel.(De 10 ori mai mic decât Belarus).

unde este coeficientul de absorbție a sunetului.

Amploarea coeficientului de absorbție a sunetului crește proporțional cu pătratul frecvenței sonore, astfel încât sunetele scăzute se aplică în continuare.

În acustica arhitecturală pentru spații mari rol important Joc reverberaţie sau umiditatea spațiilor. Sună, care se confruntă cu reflecții repetate împotriva suprafețelor de închidere, sunt percepute de ascultător pentru o anumită perioadă destul de mare. Acest lucru mărește puterea unui sunet care ajunge, cu toate acestea, cu o reverb prea lungă, sunetele individuale sunt suprapuse unul pe celălalt, iar discursul încetează să mai fie perceput de auto-coerentă. Prin urmare, pereții sălii sunt acoperite cu materiale speciale de absorbție a sunetului pentru a reduce reverbul.

O sursă de oscilații de sunet poate servi oricărui corp oscilant: o limbă clopot, Akton, un șir de vioară, o coloană de aer în instrumente eoliene etc. Aceleași corpuri pot servi ca receptoare de sunet atunci când intră în mișcare sub acțiunea oscilațiilor de mediu.

Ecografie

Pentru a vă îndrepta, adică Aproape de plat, val dimensiunile emițătorului trebuie să fie de multe ori lungimea de undă. Undele sonore din aer au o lungime de până la 15 m, în lichid și corpuri solide Lungimea de undă este și mai mult. Prin urmare, pentru a construi un radiator, care ar crea un val de direcție de lungime similară, este practic nici un posibil.

Oscilațiile cu ultrasunete au o frecvență de peste 20.000 Hz, astfel încât lungimea de undă este foarte mică. Cu o scădere a lungimii de undă, rolul de difracție în timpul răspândirii valurilor este, de asemenea, redus. Prin urmare, undele cu ultrasunete pot fi obținute sub formă de grinzi direcționale ca grinzile luminoase.

Două fenomene folosesc două fenomene pentru a excita undele ultrasonice: reverse efect piezoelectricși magnetosticarea.

Efectul piezoelectric invers este faptul că placa unor cristale (sare feroasă, cuarț, bariu de titanat etc.) sub acțiune câmp electric Ușor deformat. Plasându-l între plăcile metalice, care sunt furnizate la o tensiune alternativă, puteți provoca oscilații forțate ale plăcii. Aceste oscilații sunt transmise mediu inconjurator Și ele dau naștere unui val cu ultrasunete.

Magnetostricirea este că substanțele feromagnetice (fier, nichel, aliajele lor etc.) sub acțiune camp magnetic deforma. Prin urmare, prin plasarea unei tije feromagnetice într-un câmp magnetic alternativ, oscilațiile mecanice pot fi excitate.

Valorile ridicate ale vitezei și accelerațiilor acustice, precum și metodele bine dezvoltate de studiere și primire a fluctuațiilor cu ultrasunete, au permis să le utilizeze pentru a rezolva multe sarcini tehnice. Listează unele dintre ele.

În 1928, omul de știință sovietic S.Ya. Sokolov sa oferit să utilizeze ultrasunete în scopuri defectoscopie, adică. Pentru a detecta defectele interne ascunse, cum ar fi coajă, fisuri, rylot, incluziuni de zgură etc. în produsele metalice. Dacă dimensiunile defectului depășesc lungimea valului de ultrasunete, atunci pulsul cu ultrasunete este reflectat de la defect și returnează înapoi. Trimiterea impulsurilor cu ultrasunete în produs, și înregistrarea semnalelor ECHO reflectate, nu numai că nu numai că a detectat prezența defectelor produselor, ci, de asemenea, să judece mărimea și localizarea acestor defecte. În prezent, această metodă este utilizată pe scară largă în industrie.

Grinzile cu ultrasunete direcționale au fost utilizate pe scară largă în scopuri de amplasare, adică. Pentru a detecta elementele în apă și pentru a determina distanța față de ele. Pentru prima dată, ideea locației cu ultrasunete a fost pedepsită de un fizician francez remarcabil P. LANZHEN. și dezvoltat de el în timpul primului război mondial pentru a detecta submarinele. În prezent, principiile hidroliciilor sunt utilizate pentru detectarea aisbergurilor, șocurilor de pește etc. Aceste metode pot defini, de asemenea, adâncimea mării sub fundul navei (Echo Sounder).

Valurile ultrasonice de amplitudini mari sunt utilizate pe scară largă în tehnica de prelucrare mecanică a materialelor solide, curățarea obiectelor mici (părți ale mecanismelor orare, conducte etc.) plasate în lichid, adugation etc.

La crearea pulsărilor puternice de presiune în mediu, undele ultrasonice determină o serie de fenomene specifice: măcinarea (dispersia) particulelor suspendate în fluid, formarea de emulsii, accelerarea proceselor de difuzie, activarea reacțiilor chimice, impactul asupra obiectelor biologice etc.

Dacă există mai multe valuri în mediu simultan, fluctuațiile mediului sunt cantitatea geometrică de oscilații, care ar efectua particule atunci când propagarea fiecăruia dintre valuri este separată. În consecință, valurile pur și simplu supraporează unul la altul, fără să-și pipăi reciproc. Această declarație se numește principiul suprapunerii (impunerii) valurilor.

În cazul în care oscilațiile cauzate de valuri individuale în fiecare dintre punctele mediului, au o diferență de fază constantă, valurile sunt numite coerente. (Determinarea mai strictă a coerenței va fi dată în § 120.) Atunci când valurile coerente sunt adăugate, apare o interferență, care constă în faptul că fluctuațiile la un moment dat sunt îmbunătățite, iar la alte puncte se slăbesc reciproc.

Un caz foarte important de interferență este observat atunci când se observă două valuri plane viitoare cu aceeași amplitudine. Procesul oscilator rezultat este numit un val în picioare. Valurile în picioare practic apar atunci când valurile reflectă obstacolele. Valul care se încadrează în barieră și valul reflectat reflectat de ea spre celălalt, dau un val în picioare.

Vom scrie ecuații de două valuri plate care să se propagă de-a lungul axei X în direcții opuse:

Plierea împreună a acestor ecuații și transformarea rezultatului prin formula pentru cantitatea de cosinie, ajungem

Ecuația (99.1) este ecuația unui val în picioare. Pentru ao simplifica, alegeți începutul referinței, astfel încât diferența să devină egală cu zero și începutul referinței - astfel încât să se dovedească a fi zero suma în plus, vom înlocui valoarea valului k

Apoi ecuația (99.1) va avea o viziune

Din (99.2) se poate observa că la fiecare punct al valului în picioare există oscilații de aceeași frecvență ca și în contra-valuri, iar amplitudinea depinde de X:

amplitudinea oscilațiilor atinge valoarea maximă. Aceste puncte sunt numite plajele unui val în picioare. De la (99.3), se obțin valorile de coordonate:

Ar trebui să se țină cont de faptul că un purtător nu este un singur punct și planul al cărui puncte au valorile formulei de coordonate x (99,4).

La punctele ale căror coordonate îndeplinesc condiția

amplitudinea oscilațiilor apelează la zero. Aceste puncte sunt numite noduri de val în picioare. Punctele de mediu din noduri nu sunt efectuate. Nodurile coordonează materie

Nodul, ca un piggyback, nu este un punct și avionul, punctele care au valorile coordonatei X, definite prin formula (99,5).

Din formulele (99,4) și (99,5) rezultă că distanța dintre grinzile adiacente, precum și distanța dintre nodurile adiacente, este egală. Puffy și noduri s-au mutat reciproc cu un sfert din lungimea de undă.

Întoarceți din nou la ecuația (99.2). Multiplicatorul când se deplasează prin valoarea zero modifică semnul. În conformitate cu aceasta, faza de oscilație pe diferite laturi ale nodului diferă acest lucru înseamnă că punctele situate de-a lungul unor laturi diferite ale nodului fluctuează în antifaze. Toate punctele încheiate între două noduri adiacente fluctuează simphangul (adică în aceeași fază). În fig. 99.1 Dan Un număr de "fotografii instantanee" ale abaterilor de puncte din poziția de echilibru.

Prima "fotografie" corespunde momentului în care abaterile obțin cea mai mare valoare absolută. Au fost făcute "fotografii" ulterioare la intervale într-un sfert de perioadă. Săgețile prezintă viteze de particule.

Diferența de ecuație (99.2) O dată pe t, și altă dată în x, găsim expresii pentru viteza particulelor și pentru deformarea mediului:

Ecuația (99.6) descrie un val de viteză permanent și (99,7) - un val de deformare permanentă.

În fig. 99.2 "Fotografiile instantanee" ale offsetului, vitezei și deformării pentru momente de timp 0 și din grafice se poate observa că nodurile și grinzile de viteză coincid cu nodurile și părtinirea; Nodurile și vagiditatea deformării coincid în funcție de grinzi și noduri de părtinire. În timp ce atingeți valorile maxime, se transformă în zero și invers.

În consecință, de două ori pentru perioada în care există o transformare a energiei unui val în picioare care este complet în potențial, concentrat în principal în apropierea nodurilor de undă (unde se află margele de deformare), apoi complet în cinetic, concentrat pe valuri, care sunt situate în apropierea margelelor). Ca rezultat, tranziția energetică apare de la fiecare nod la grinzile și spatele. Fluxul mediu de energie în orice secțiune a valului este zero.

6.1 Undele în picioare într-un mediu elastic

Conform principiului suprapunerii, cu o propagare într-un mediu elastic, în același timp, mai multe valuri ale apelor impunerii lor și valurile nu vă depășesc reciproc: fluctuațiile particulelor de mediu sunt suma vectorială a oscilațiile pe care particulele le-ar efectua particulele în fiecare dintre valuri fiecare.

Valuri care creează oscilații ale mediului, diferențele de fază dintre care sunt constante la fiecare punct de spațiu, sunt aprinse coerent.

În plus față de valurile coerente, apare un fenomen interferențeFaptul că, în unele puncte din spațiul de undă să se îmbunătățească reciproc și la alte puncte - slăbite. Un caz important de interferență este asociat cu impunerea a două valuri plane viitoare cu aceeași frecvență și amplitudine. Care rezultă din acest apel oscilații wave în picioare. Mai des, toate valurile permanente apar atunci când se reflectă de voința de alergare din barieră. În acest caz, valul care se încadrează și valul reflectă spre ea, când adăugați, dă un val în picioare.

Obținem ecuația unui val în picioare. Luați două valuri armonice plate care se aplică reciproc de-a lungul axei X. și având aceeași frecvență și amplitudine:

unde - faza de oscilații ale punctelor mediului în pro-plimbare a primului val;

- faza de oscilații ale punctelor mediului în timpul pro-mers pe jos al celui de-al doilea val.

Diferența de fază la fiecare punct de pe axă X. nu va depinde de rețeaua de timp, adică Va fi permanent:

În consecință, ambele valuri vor fi coerente.

Fluctuația particulelor de mediu a apărut ca urmare a adăugării valurilor avute în vedere va fi după cum urmează:

Transformăm cantitatea de unghiuri de cosinie în conformitate cu regula (4.4) și obținem:

Înălțind multiplicatorii, primim:

Pentru a simplifica expresia, alegeți începutul referinței, astfel încât diferența de fază și începutul numărătoarea inversă a timpului, astfel încât suma fazei este zero: .

Apoi, ecuația pentru valoarea valului va lua forma:

Ecuația (6.6) se numește ecuația unui boul în picioare. Se poate observa că frecvența valului în picioare este egală cu frecvența valului de funcționare, iar amplitudinea, spre deosebire de valul de funcționare, depinde de distanța de la începutul referinței:

. (6.7)

Luând în considerare (6.7), ecuația unui val permanent ia forma:

. (6.8)

Astfel, punctele de mediu fluctuează frecvența care coincide cu frecvența valului de funcționare și amplitudinea a.În funcție de poziția punctului de pe axă X.. În consecință, amplitudinea variază în funcție de legea cosinului și are propriul său maximă și minimă (figura 6.1).

Pentru a prezenta vizual locația minimelor și a maximei de amplitudine de înlocuire, conform (5.29), numărul valului este valoarea sa:

Apoi expresia (6.7) pentru amplitudine va lua forma

(6.10)

De aici devine clar că amplitudinea deplasării lui Mac-Symalne la . La puncte, coordonatele care satisface condiția:

, (6.11)

unde

De aici obținem coordonatele punctelor în care amplitudinea amestecului este maximă:

; (6.12)

Puncte în care amplitudinea fluctuațiilor mediului este numită maximă poâmurile de valuri.

Amplitudinea valurilor este zero la punctele în care . Coordonarea acestor puncte numită noduri de valuri, satisface condiția:

, (6.13)

unde

De la (6.13) se poate observa că coordonatele nodurilor au un înțeles:

, (6.14)

În fig. 6.2 prezintă o vedere exemplară a unui val în picioare, locația nodurilor și a bătăliei. Se poate observa că nodurile de co-gri și raquențele de deplasare se vor separa unul de celălalt pentru aceeași distanță.

Vom găsi distanța dintre grinzile adiacente și UZ-LA. De la (6.12) Avem distanța dintre puffs:

(6.15)

Distanța dintre nodurile pe care le obținem de la (6.14):

(6.16)

Din relațiile obținute (6.15) și (6.16), se poate observa că distanța dintre nodurile adiacente, precum și între cartiere, este în mod constant egală; Nodurile și grinzile s-au mutat reciproc unul pe celălalt (figura 6.3).

Din determinarea lungimii de undă, este posibilă scrierea expresiei pentru lungimea valului în picioare: este egală cu jumătate de lungime de undă lungă:

Scream, luând în considerare (6.17), expresii pentru coordonatele cu ultrasunete și beatăți:

, (6.18)

, (6.19)

Multiplicatorul care determină amplitudinea amplitudinii valului își modifică semnul atunci când se deplasează printr-o valoare zero, ca urmare a căreia faza de oscilație pe diferite sute de ruble diferă pe nod. În consecință, toate punctele situate de-a lungul unor părți diferite ale nodului fluctuează în pro-tivofază. Toate punctele dintre UZ-Lami adiacente fluctuează simplitatea.

Nodurile împărtășesc în mod convențional mediul înconjurător regiuni autonomeîn care oscilațiile armonice sunt comise independente. Nu există transmiterea mișcării dintre zonele și, prin urmare, fluxul de energie între regiuni nu este. Adică, nu există nici o eliberare de perturbare de-a lungul axei. Prin urmare, valul este numit în picioare.

Deci, valul permanent este format din două valuri de călătorie opuse direcționale de frecvențe egale și amp-litud. Unitățile fiecăruia dintre aceste valuri sunt egale cu MO-Duoul și sunt opuse direcției, iar cu un simbol, dau zero. În consecință, valul permanent de energie nu tolerează.

6.2 Exemple de valuri în picioare

6.2.1 Wave în picioare în șir

Luați în considerare o lungime a șirului L.consacrate cu ambele con-vaci (figura 6.4).

Puneți de-a lungul șirului axei X. Astfel încât capătul stâng al șirului să aibă o coordonată x \u003d 0., și drept - x \u003d L.. În șir există oscilații descrise prin ecuație:

Scriem condițiile limită pentru fluxul în cauză. Deoarece scopurile sale sunt fixe, atunci la punctele cu coor-dininatam x \u003d 0. și x \u003d L. oscilații Nu:

(6.22)

Considerăm ecuația de oscilație șir bazată pe înregistrările condițiilor de graniță. Noi scriem ecuația (6.20) pentru capătul stâng al șirului cu privire la (6.21):

Raportul (6.23) este efectuat pentru orice moment t. În două cazuri:

1. . Acest lucru este posibil în cazul în care nu există kolas în șir (). Acest caz de interes nu reprezintă și nu îl vom considera.

2 .. Iată faza. Acest caz ne va permite să obținem ecuația oscilației șirului.

Înlocuim valoarea de fază obținută în starea de graniță (6.22) pentru capătul drept al șirului:

. (6.25)

Având în vedere că

, (6.26)

de la (6.25) obținem:

Două cazuri apar din nou în care relația (6.27) este satisfăcută. Cazul în care oscilațiile din șir sunt suficiente (), nu vom lua în considerare.

În al doilea caz, ar trebui efectuată egalitatea:

Și acest lucru este posibil numai atunci când argumentul sinusului este numărul lui Kathen:

Noi eliminăm valoarea, pentru că În același timp, acest lucru ar însemna sau o lungime a șirului zero ( L \u003d 0.) sau un număr nou k \u003d 0.. Având în vedere legătura (6.9) între numărul valului și lungimea de undă, se poate observa că, pentru ca numărul de valori nou să fie zero, lungimea de undă ar trebui să fie infinită, iar acest lucru ar însemna absența oscilațiilor.

De la (6.28) se poate observa că numărul de val când șirurile consacrate la ambele capete pot avea doar anumite valori discrete:

Având în vedere (6.9), scriem (6.30) sub forma:

unde câștigăm expresie pentru posibilele lungimi de undă în șir:

Cu alte cuvinte, pe lungimea șirului L. ar trebui să se potrivească întregului număr n. Semi-a căzut:

Frecvențele corespunzătoare ale oscilațiilor pot fi determinate de la (5.7):

Aici - viteza valului de fază, în funcție, consonantă (5.102), de la densitatea liniară a șirului și puterea șirului:

Înlocuirea (6.34) în (6.33), obținem expresia, descriind frecvențele posibile ale oscilațiilor șirului:

, (6.36)

Frecvențele sunt numite frecvențe proprii curent. Frecvență (ca. n. = 1):

(6.37)

apel frecvența principală (sau tone principal) Siruri de caractere. Frecvențele definite de către n\u003e 1. numit oBRAFTON. sau armonii. Numărul armonic este egal n-1.. De exemplu, frecvența:

corespunde primului armonic și frecvenței:

comunică a doua armonică etc. Deoarece șirul poate fi reprezentat sub forma unui sistem discret cu numărul fără față de grade de libertate, fiecare armonică este mODOY. Șir de vierme. În cazul general, șirurile corzilor sunt o superpoziție.

Fiecare armonică corespunde lungimii sale de undă. Pentru tonul principal (cu n \u003d1) lungimea de undă:

respectiv pentru prima și a doua armonie (când n \u003d2 I. n \u003d3) Lungimile de undă vor fi:

Figura 6.5 prezintă tipul de mai multe moduri de oscilații efectuate de șir.

Astfel, șirul cu capete fixe este în pericol în cadrul fizicii clasice, un caz excepțional este un spectru discret de frecvență de oscilații (sau lungimi de undă). În același mod, ștergerea elastică cu una sau ambele capete fixate și oscilațiile postului de aer în țevi, care vor fi luate în considerare în secțiunile ulterioare.

6.2.2 Efectul condițiilor inițiale de mișcare

Șir continuu. Analiza Fourier.

Fluctuațiile șirului cu capete gropate, în plus față de spectrul de disc, frecvențele de oscilație au o altă proprietate importantă: o formă specifică a oscilației șirului depinde de metoda de excitație a oscilațiilor, adică din condiții evidente. Luați în considerare mai multe detalii.

Ecuația (6.20), descriind o singură modă a voinței în picioare în șir, este o soluție privată de diferențiere ecuația valului. (5.61). Deoarece fluctuația fluxurilor este constată din toate modurile posibile (pentru un șir - o sumă devontală), atunci decizia comună Ecuația valurilor (5.61) constă dintr-un număr infinit de soluții private:

, (6.43)

unde i. - Numărul de modă de oscilații. Expresia (6.43) nu este permisă, dar luând în considerare faptul că capetele corzilor sunt fixe:

precum și luând în considerare conectarea frecvenței i.Moda și numărul valului său:

(6.46)

Aici - numărul valului i.Modă;

- numărul de val de modă 1;

Considerăm magnitudinea fazei inițiale pentru fiecare mod de oscilație. Pentru aceasta în momentul timpului t \u003d 0. Dați formularul de șir descris de funcția f. 0 (X), expresia pentru care ajungem de la (6.43):

. (6.47)

În fig. 6.6 prezintă un exemplu de formă de șir, care descrie funcția mea f. 0 (X).

La momentul timpului t \u003d 0. Șirul se odihnește încă, adică Viteza tuturor punctelor sale este zero. Din (6.43) vom găsi o expresie pentru viteza șirurilor de caractere:

Și, înlocuindu-se în ea t \u003d 0., Am o expresie pentru punctul de viteză al șirului la momentul inițial al timpului:

. (6.49)

De la ora inițială, viteza este zero, expresia (6.49) va fi zero pentru toate punctele de șir, dacă. Rezultă din aceasta că faza de clarificare pentru toate modurile este, de asemenea, zero (). Luând în considerare această expresie (6.43), care descrie mișcarea șirului, ia forma:

, (6.50)

Și expresia (6.47), descriind forma inițială a fluxului, arată ca:

. (6.51)

Valul în picioare în șir este descris de funcția, perio-sălbatic pe interval, unde este egal cu două lungimi de șir (figura 6.7):

Acest lucru este văzut din faptul că frecvența la interval înseamnă:

Prin urmare,

ceea ce ne conduce la exprimare (6.52).

Este cunoscută din analiza matematică că orice funcție NE-Rhodic poate fi descompusă cu o precizie ridicată în seria Fourier:

, (6.57)

unde, - coeficienții Fourier.

Luați în considerare rezultatul interferenței a două valuri fate sinusoidale de aceeași amplitudine și frecvență care se propagă în direcții opuse. Pentru simplitatea raționamentului, presupunem că ecuațiile acestor valuri au forma:

Aceasta înseamnă că, la începutul coordonatelor, ambele valuri provoacă oscilații în aceeași fază. La punctul A cu coordonate x valoarea totală a valorii oscilante, în conformitate cu principiul suprapunerii (a se vedea § 19), egal

Această ecuație arată că, ca urmare a interferenței undelor directe și inverse la fiecare punct al mediului (cu o coordonată fixă, o oscilație armonică are loc cu aceeași frecvență, dar cu o amplitudine

în funcție de valoarea coordonatei x. La punctele de mediu în care lipsesc oscilațiile: aceste puncte se numesc noduri de oscilație.

La punctele în care amplitudinea oscilațiilor este de cea mai mare valoare egală cu aceste puncte se numește oscilații. Este ușor de arătat că distanța dintre nodurile adiacente sau grinzile adiacente este egală cu distanța dintre fascicule și cel mai apropiat nod este egal cu schimbarea lui X pe cosinus în formula (5.16) modifică semnul la opusul (argumentul său Variază, prin urmare, dacă într-o jumătate de val - de la un nod la altul - particulele mediului respinse într-o direcție, apoi în următoarea particulă de jumătate de undă a mediului va fi respinsă în direcția opusă.

Procesul de undă din mediul descris prin formula (5.16) se numește un val în picioare. Un val de poziție grafic poate fi descris ca fiind prezentat în fig. 1.61. Să presupunem că există o deplasare a punctelor de mediu de la starea de echilibru; Apoi formula (5.16) descrie "valul de offset". La un moment dat, când toate punctele de mediu au deplasări maxime, a cărei direcție, în funcție de valoarea coordonatei X, este determinată de semnul acestor compensări sunt prezentate în fig. 1.61 Săgeți solide. După un sfert din perioada, când compensarea tuturor punctelor de mediu este zero; Particulele medii trec printr-o linie cu viteze diferite. După un alt sfert din perioada, când particulele medii vor avea din nou deplasări maxime, dar direcția opusă; Aceste offseturi sunt afișate pe

smochin. 1.61 săgeți punctate. Punct de esența valului de baliză de compensare; Puncte ale nodurilor acestui val.

Caracteristicile caracteristice ale valului în picioare, spre deosebire de propagarea obișnuită sau de funcționare, valurile sunt următoarele (înțeles valuri plate în absența atenuării):

1) În valul în picioare, amplitudinea oscilațiilor este diferită în diferite locuri ale sistemului; Sistemul are noduri și balize de oscilații. În valul "alergând", aceste amplitudini sunt aceleași peste tot;

2) În cadrul site-ului sistemului de la un nod la vecinătatea tuturor punctelor de mediu fluctuează în aceeași fază; Când se deplasează în zona adiacentă, fazele de oscilație se schimbă în invers. În valul de funcționare al fazei de oscilație, conform formulei (5.2), depinde de coordonatele punctelor;

3) Nu există un transfer unilateral de energie într-un val permanent, deoarece are loc în valul de funcționare.

La descrierea proceselor vibraționale din sistemele elastice, este posibil să se ia nu numai deplasarea sau viteza particulelor sistemului, ci și valoarea deformării relative sau amploarea stresului asupra compresiei, întinderii sau schimbării etc. Caz, în valul în picioare, unde se formează viteze pufoase de particule, nodurile de deformări sunt situate și, dimpotrivă, nodurile de viteză coincid cu grinzile de deformări. Conversia energiei de la forma cinetică la potențial și spate are loc în sistemul sistemului de la bernește la nodul adiacent. Se poate presupune că fiecare astfel de zonă nu face schimb de energie cu site-urile vecine. Rețineți că conversia energiei cinetice a particulelor în mișcare în energia potențială a zonelor deformate ale mediului într-o singură perioadă are loc de două ori.

Mai sus, având în vedere interferența undelor directe și inverse (a se vedea expresiile (5.16)), nu am fost interesați de originea acestor valuri. Să presupunem că mediul în care răspândirea fluctuațiilor are dimensiuni limitate, cum ar fi oscilațiile sunt cauzate într-un corp solid - într-o tijă sau șir, într-un pol de lichid sau gaz etc. valul se propagă într-un astfel de mediu (Tele) Se reflectă de la frontiere, prin urmare, în limita acestui organism, interferența valurilor cauzate de o sursă externă și se reflectă continuu de la frontiere.

Ia în considerare cel mai simplu exemplu; Să presupunem că o mișcare oscilantă cu o frecvență este încântată de o sursă sinusoidală externă la punct (figura 1.62). Începutul inversării timpului va alege astfel încât în \u200b\u200bacest moment deplasarea a fost exprimată prin formula

În cazul în care amplitudinea oscilațiilor la punctul cauzată în valul tijei va reflecta de la al doilea capăt al tijei 0% și va merge în opusul

direcţie. Găsiți rezultatul interferenței valurilor drepte și reflectate la un anumit punct al tijei având o coordonate x. Pentru simplitatea raționamentului, presupuneți că nu există o absorbție a oscilațiilor în tijă și, prin urmare, amplitudinile valurilor drepte și reflectate sunt egale.

La un moment dat, atunci când deplasarea particulelor oscilante la punct este egală cu, la un alt punct al tijei, deplasarea cauzată de un val drept va fi, în funcție de formula de undă, egală

Prin același punct și valul reflectat, de asemenea, trece. Pentru a găsi offsetul cauzat la punctul un val reflectat (în același timp, este necesar să se calculeze timpul în care valul va trece de la și înapoi până la punctul în care deplasarea cauzată de punctul de raport reflectat va fi egală cu

Se presupune că, în capătul reflectorizant al tijei în procesul de reflecție, nu există nici o fază de schimbare asemănătoare salturilor de oscilație; În unele cazuri, are loc o astfel de schimbare în fază (numită pierderea de fază) și trebuie luată în considerare.

Complexitatea oscilațiilor cauzate la diferite puncte ale tijei drepte și reflectate de valuri dă un val în picioare; într-adevăr,

În cazul în care o fază permanentă, independentă de coordonate x și valoarea

este o amplitudine de oscilații în punctul depinând de coordonatele X, adică este diferită în diferite locuri ale tijei.

Vom găsi coordonatele acelor puncte de tijă în care sunt formate nodurile și balizele valului în picioare. Circulația cosiniei în zero sau unitate are loc la valorile argumentului, multiple

unde un număr întreg. Cu valoarea ciudată a acestui număr, apelele cosinoase la zero și formula (5.19) oferă coordonatele nodurilor valului permanent; Cu chiar și noi primim coordonatele Beatships.

Deasupra, s-au adăugat doar două valuri: o propagare directă, de la și reflectată, însă, ar trebui luată în considerare faptul că valul reflectat de la marginea tijei va relua și va merge în direcția unui val drept. Astfel de reflecții

de la capetele tijei vor fi multe și, prin urmare, este necesar să găsiți rezultatul interferenței nu două și toate în același timp existente în valurile tijei.

Să presupunem că sursa externă de oscilații a provocat o tijă de undă de ceva timp după care fluxul de energie de oscilație din exterior a încetat. În acest timp, reflecțiile au avut loc în tija, unde timpul în care valul a trecut de la un capăt al tijei la altul. În consecință, tija va exista simultan valuri care merg în direct și valuri mergând în direcțiile opuse.

Să presupunem că, ca urmare a interferenței unei perechi de valuri (directe și reflectate), deplasarea exact și sa dovedit a fi egală cu. Găsiți o condiție în care toate schimburile Y, cauzate de fiecare pereche de valuri, au aceleași direcții la un punct și prin tijă și, prin urmare, se dezvoltă. Pentru această fază de oscilații cauzate de fiecare pereche de valuri la punct ar trebui să difere asupra fazelor de oscilație cauzate de următoarea pereche de valuri. Dar fiecare val se întoarce din nou la punctul A cu aceeași direcție de distribuție numai după timp, adică în spatele fazei cu echivalarea acestui decalaj în care integrul, ajungem

adică de-a lungul lungimii tijei trebuie să se potrivească întregului număr de jumătate de picioare. Rețineți că această condiție a fazei tuturor valurilor venind din direcția înainte diferă unul de celălalt pe locul în care un număr întreg; În același mod, fazele tuturor valurilor venind din direcția opusă diferă unul de celălalt pe el, dacă o pereche de valuri (directe și inverse) dă de-a lungul distribuției tijei de deplasare, determinată prin formula (5.17), atunci În timpul interferenței perechilor de astfel de valuri, distribuția deplasărilor nu se va schimba; Numai amplitudinile de oscilație vor crește. Dacă amplitudinea maximă a oscilațiilor în timpul interferenței a două valuri, conform formulei (5.18), este egală cu interferența multor valuri, acesta va fi mai mult. Denotați-l prin distribuția amplitudinii oscilațiilor de-a lungul tijei în loc de expresie (5.18) este determinată prin formula

Din expresiile (5.19) și (5.20), punctele în care cosinul este determinat sau 1:

În cazul în care numărul întreg de coordonate ale nodurilor de val în picioare este obținut din această formulă cu valori ciudate, apoi în funcție de lungimea tijei, adică valorile

coordonatele de poftare vor rezulta din valori uniforme

În fig. 1.63 arată schematic un val în picioare în tija, a cărui lungime; Puncte de beaunețe, puncte ale nodurilor acestui val în picioare.

În ch. Sa demonstrat că, în absența unor influențe externe periodice, natura mișcărilor de coduri din sistem și în primul rând de valoarea principală este frecvența oscilațiilor - sunt determinate de dimensiunea și proprietățile fizice ale sistemului. Fiecare sistem oscilator are propria sa mișcare vibrațională inerentă; Această oscilație poate fi observată dacă obțineți un sistem dintr-un stat de echilibru și apoi eliminați influențele externe.

În ch. 4 ore am considerat sisteme predominant oscilante cu parametri concentrați, în care masa inertă avea unele corpuri (punct) și proprietăți elastice - alte corpuri (arcuri). În contrast, sistemele oscilatorii în care masa și elasticitatea sunt inerente fiecărui volum elementar, se numesc sisteme cu parametri distribuiți. Acestea includ tijele de mai sus, șirurile, precum și stâlpi de fluid sau de gaz (în instrumente muzicale eoliene) etc. Pentru astfel de sisteme, există valuri permanente; Caracteristica principală a acestor valuri este lungimea de undă sau distribuția nodurilor și a baterii, precum și frecvența oscilației - este determinată numai de mărimea și proprietățile sistemului. Undele permanente pot exista în absența unui impact extern (periodic) asupra sistemului; Acest impact este necesar numai pentru a provoca sau menține valurile în picioare în sistem sau a schimba amplitudinile oscilațiilor. În special, dacă impactul extern asupra sistemului cu parametri distribuiți are loc cu frecvența, frecvența egală Oscilațiile sale proprii, adică frecvența valului permanent, atunci există un fenomen de rezonanță, considerat în CH. 5. Pentru frecvențe diferite la fel.

Astfel, în sistemele cu parametri distribuiți, propriile oscilații sunt valuri permanente - caracterizate printr-un întreg spectru de frecvențe, multiple între ele. Cea mai mică dintre aceste frecvențe corespunzătoare celei mai mari lungimi de undă se numește frecvența principală; Restul) - Overone sau armonici.

Fiecare sistem este caracterizat nu numai de prezența unui astfel de spectru de oscilații, ci și o anumită distribuție a energiei între oscilațiile diferitelor frecvențe. Pentru instrumentele muzicale, această distribuție dă sunetului o caracteristică ciudată, așa-numitul sunet timbre, diverse pentru diferite instrumente.

Calculele de mai sus se referă la lungimea tijei oscilante libere. Cu toate acestea, de obicei, avem tije atașate la una sau ambele capete (de exemplu, șirurile oscilante) sau de-a lungul tijei există unul sau mai multe puncte de consolidare. Locația de fixare, unde Particulele sistemului nu pot efectua mișcările oscilante sunt nodurile de deplasare intern. De exemplu,

dacă este necesar să se obțină valuri în picioare în tijă la una, două, trei puncte de consolidare etc., aceste puncte nu pot fi selectate în mod arbitrar, dar ar trebui să fie amplasate de-a lungul tijei, astfel încât acestea să fie în nodurile valului în picioare formate . Acest lucru este arătat, de exemplu, în fig. 1.64. În aceeași figură, linia punctată arată deplasarea punctelor de tijă în timpul oscilațiilor; La capetele libere, bernele de deplasare este întotdeauna formată, pe nodurile fixe-bias. Pentru coloanele de aer oscilante din țevi, nodurile de deplasare (și viteza) sunt obținute în pereți reflectorizanți solizi; La capetele deschise ale tuburilor, se formează grinzile de deplasări și viteze.

Dacă există mai multe valuri în mediu simultan mai multe valuri, fluctuațiile mediului sunt cantitatea geometrică de oscilații care ar efectua particule în propagarea fiecărei valuri separat. În consecință, valurile pur și simplu supraporează unul la altul, fără să-și pipăi reciproc. Această declarație se numește principiul suprapunerii valurilor. Principiul suprapunerii susține că mișcarea cauzată de răspândirea mai multor valuri este din nou un proces de undă. Un astfel de proces, de exemplu, este sunetul orchestrei. Se ridică din excitarea simultană a fluctuațiilor de aer prin instrumente muzicale separate. Este minunat că atunci când se aplică valurile, pot apărea fenomene speciale. Ele sunt numite efectele adăugării sau, așa cum spun ei, suprapunerea valurilor. Printre aceste efecte, interferențele și difracția sunt cele mai importante.

Interferența este fenomenul răspunsului energiei oscilațiilor în spațiu, ca rezultat al oscilațiilor sunt îmbunătățite în unele locuri, iar altele sunt slăbite. Acest fenomen apare cu adăugarea de valuri cu diferența în fazele diferențelor de timp, așa-numitele valuri coerente. Interferența unui număr mare de valuri se numește difracție. Nu există o diferență fundamentală între interferențe și difracție. Natura acestor fenomene este aceeași. Ne limităm la discuția unui singur efect de interferență foarte important, care este de a forma valuri în picioare.

Condiție prealabilă Formarea valurilor în picioare este prezența limitelor care reflectă valurile care se încadrează pe ele. Undele în picioare sunt formate ca urmare a adăugării valurilor care se încadrează și reflectate. Fenomenele de acest fel sunt destul de comune. Deci, fiecare ton al sunetului oricărui instrument muzical este încântat de un val în picioare. Acest val este format fie în șir (instrumente de șir), fie în coloana de aer (instrumente de alamă). Limitele reflectorizante în aceste cazuri sunt puncte de fixare a șirului și a suprafeței cavităților interioare ale instrumentelor eoliene.

Fiecare val permanent are următoarele proprietăți. Întreaga zonă de spațiu în care este excitat valul poate fi rupt în celule astfel încât celulele oscilației să fie complet absente la limite. Punctele situate pe aceste granițe sunt numite noduri de undă permanente. Fazele oscilațiilor în punctele interioare ale fiecărei celule sunt aceleași. Oscilațiile în celulele vecine sunt făcute unul față de celălalt, adică în antifaz. Într-o singură celulă, amplitudinea oscilației variază în spațiu și într-un anumit loc ajunge la valoarea maximă. Punctele în care se observă se numește plajele unui val în picioare. În cele din urmă, proprietatea caracteristică a valurilor în picioare este discretatea spectrului de frecvențe. Într-un val în picioare, oscilațiile pot fi efectuate numai cu anumite frecvențe, iar tranziția de la unul la altul are loc cu un salt.

Luați în considerare un exemplu simplu de un val în picioare. Să presupunem că șirurile de lungime limitată sunt întinse de-a lungul axei; Capetele sale sunt fixate rigid, iar capătul stâng este la începutul coordonatelor. Apoi va fi coordonarea capătului drept. Excitați valul din șir

,

răspândit de-a lungul lăsat la dreapta. De la capătul drept al șirului de undă va afecta. Să presupunem că se va întâmpla fără pierderi de energie. În acest caz, valul reflectat va avea aceeași amplitudine și aceeași frecvență ca incidentul. Prin urmare, valul reflectat ar trebui să fie:

Faza sa conține o constantă, determinând schimbarea în fază atunci când este reflectată. Deoarece reflecția apare la ambele capete ale șirului și fără pierderi de energie, valurile acelorași frecvențe se vor răspândi simultan în șir. Prin urmare, atunci când adăugați și ar trebui să fie interferențe. Găsiți un val rezultat.

Aceasta este ecuația unui val în picioare. Rezultă din acesta că, la fiecare punct al șirului, există oscilații cu o frecvență. În același timp, amplitudinea oscilațiilor la punct este egală

.

Deoarece capetele corzilor sunt fixe, nu există oscilații. Din starea rezultă asta. Prin urmare, în cele din urmă avem:

.

Acum este clar că la punctele în care nu există oscilații deloc. Aceste puncte sunt nodurile unui val în picioare. Acolo, unde, amplitudinea oscilațiilor este maximă, este egală cu valoarea dublă a amplitudinii oscilațiilor pliate. Aceste puncte sunt plajele unui val în picioare. În apariția de beatăți și noduri, interferența este: În unele locuri, oscilațiile sunt îmbunătățite, iar altele dispar. Distanța dintre nodurile adiacente și bernește este din starea evidentă :. De atunci. În consecință, distanța dintre nodurile adiacente.

Din ecuația valului permanent este clar că multiplicatorul Când treceți prin valoarea zero modifică semnul. În conformitate cu aceasta, fazele de oscilație pe diferite părți ale nodului diferă. Aceasta înseamnă că punctele situate de-a lungul diferitelor părți ale nodului fluctuează în antifaze. Toate punctele încheiate între două noduri adiacente fluctuează în aceeași fază.

Astfel, atunci când adăugați incidente și valuri reflectate, este cu adevărat posibil să se obțină o imagine a unei mișcări de undă care a fost caracterizată mai devreme. În același timp, celulele discutate în cazul unic dimensional sunt segmente încheiate între nodurile adiacente și având o lungime.

Să fim convinși că valul considerat de noi poate exista numai cu anumite frecvențe ale oscilațiilor. Folosim faptul că oscilațiile de la capătul drept al șirului sunt absente, adică. De aici se pare că. Această egalitate este posibilă dacă, în cazul în care - un număr pozitiv complet arbitrar.