Trouver les coefficients de la série Fourier. Détermination des coefficients d'un nombre par formules de Fourier

Série de Fourier de fonctions périodiques avec une période de 2π.

La série Fourier vous permet d'étudier des fonctions périodiques, de les décomposer en composants. Les variables, les tensions, les déplacements, la vitesse et l'accélération des mécanismes de connexion de la manivelle et des ondes acoustiques sont des exemples pratiques typiques de l'utilisation de fonctions périodiques dans les calculs d'ingénierie.

La décomposition de Fourier repose sur l'hypothèse que toute la valeur pratique de la fonction dans l'intervalle -π ≤x≤ π peut être exprimée sous la forme de lignes trigonométriques convergentes (le nombre est considéré comme convergent si la séquence de SUMS partielles composées de ses membres converge:

Enregistrement standard (\u003d normal) à travers le montant sinx et cosx

f (x) \u003d A O + A 1 COSX + A 2 COS2X + A 3 COS3X + ... + B 1 SINX + B 2 SIN2X + B 3 SIN3X + ...

où un O, un 1, A 2, ..., B 1, B 2, .. - Constantes valides, c'est-à-dire

Où pour la gamme de -π à π coefficients rangée Fourier Calculé par des formules:

Les coefficients a o, a n et b n sont appelés coefficients de Fourieret s'ils peuvent être trouvés, un nombre (1) est appelé près de Fourier, Les fonctions correspondantes f (x). Pour un nombre (1), un membre (A 1 COSX + B 1 sinx) est appelé premier ou harmonique principal

Une autre façon d'enregistrer un nombre consiste à utiliser le rapport ACOSX + BSINX \u003d CSIN (x + α)

f (x) \u003d A O + C 1 Sin (x + α 1) + C 2 sin (2x + α 2) + ... + C N SIN (NX + α N)

Où AO est une constante, C 1 \u003d (A 1 2 + B 1 2) 1/2, avec N \u003d (un 2 + Bn 2) 1/2 - amplitude des différents composants, et est un \u003d arct an / b n.

Pour un numéro (1), un membre (A 1 COSX + B 1 sinx) ou C 1 sin (x + α 1) est appelé le premier ou harmonique principal (A 2 COS2X + B 2 SIN2X) ou C 2 SIN (2x + α 2) appelé deuxième harmonique etc.

Pour une présentation précise du signal complexe, un nombre infini de membres est généralement requis. Cependant, dans de nombreuses tâches pratiques, il suffit de ne considérer que quelques premiers membres.

Série de Fourier de fonctions non périodiques avec une période de 2π.

Définition des fonctions non périodiques.

Si la fonction F (x) n'est pas périodique, cela signifie qu'il ne peut pas être décomposé dans une série de Fourier pour toutes les valeurs x. Cependant, vous pouvez définir une série de Fourier, représentant une fonction dans n'importe quelle portée de 2π largeur.

Si la fonction non périodique est spécifiée, vous pouvez créer une nouvelle fonction, la sélection des valeurs de F (x) dans une plage spécifique et de les répéter de cette plage avec un intervalle de 2π. Étant donné que la nouvelle fonction est périodique avec une période de 2π, il peut être décomposé dans une série de Fourier pour toutes les valeurs x. Par exemple, la fonction F (x) \u003d x n'est pas périodique. Toutefois, s'il est nécessaire de le décomposer dans une série de Fourier à l'intervalle d'environ 2π, une fonction périodique d'une période de 2π est construite à l'extérieur de cet intervalle (comme illustré à la Fig. Ci-dessous).

Pour les fonctions non périodiques, telles que f (x) \u003d x, la somme de la série Fourier est égale à la valeur F (x) à tous les points de la plage spécifiée, mais il n'est pas égal à F (x) pour les points en dehors de la gamme. Pour trouver une rangée de Fourier de la fonction non périodique de la plage de 2π, la formule de coefficients de Fourier est utilisée.

Fonctions paires et impaires.

Ils disent la fonction y \u003d f (x) mêmeSi f (-x) \u003d f (x) pour toutes les valeurs x. Les graphiques de fonctions pair sont toujours symétriques par rapport à l'axe Y (I.E. sont reflétés par le miroir). Deux exemples de fonctions paires: y \u003d x 2 et y \u003d cosx.

On dit que la fonction y \u003d f (x) impairsi f (-x) \u003d - f (x) pour toutes les valeurs x. Les graphiques de fonctions impaires sont toujours symétriques par rapport au début des coordonnées.

De nombreuses fonctions ne sont ni même ni impair.

Décomposition dans une série de Fourier par cosinus.

La série Fourier de la fonction même périodique F (x) avec une période de 2π ne contient que des membres avec cosinus (c'est-à-dire ne contenant pas de membres avec sinus) et peut inclure un membre permanent. D'où,

où les coefficients de la série Fourier

La série de Fourier d'une fonction périodique étrange F (x) avec une période de 2π ne contient que des membres avec sinus (c'est pas contiennent des membres avec cosinus).

D'où,

où les coefficients de la série Fourier

Fourier rangée sur une demi-aode.

Si la fonction est définie pour une plage, dites de 0 à π, et non seulement de 0 à 2π, il peut être décomposé dans une rangée uniquement sur les Sines ou Tolo par cosinus. La série Fourier résultante est appelée près de Fourier sur une demi-période.

Si vous voulez avoir une décomposition Fourier sur un semi-croom de cosinusfonctions F (x) Dans la plage de 0 à π, il est nécessaire de faire une fonction uniforme périodique. En figue. Ci-dessous la fonction F (x) \u003d x, construite sur l'intervalle de x \u003d 0 à x \u003d π. Comme la fonction même est symétrique par rapport à l'axe F (x), effectuez la ligne AB comme indiqué sur la Fig. au dessous de. Si vous supposez qu'à l'extérieur de l'intervalle considéré, la forme triangulaire résultante est périodique avec une période de 2π, puis le calendrier final a la forme, montrant. En figue. au dessous de. Parce qu'il est nécessaire d'obtenir une décomposition de Fourier par cosinus, comme avant, calculez les coefficients de Fourier A O et A N

Si nécessaire pour obtenir décomposition de Fourier sur une semi-période de Sines Fonctions F (x) Dans la plage de 0 à π, il est nécessaire de faire une fonction périodique étrange. En figue. Ci-dessous la fonction F (x) \u003d x, construite sur l'intervalle de x \u003d 0 à x \u003d π. Étant donné que la fonction impaire est symétrique par rapport au début des coordonnées, nous construisons une ligne de CD, comme illustré à la Fig. Si nous supposons qu'à l'extérieur de l'intervalle considéré, le signal scié résultant est périodique avec une période de 2π, puis la planification finale a l'apparence illustrée à la Fig. Comme il est nécessaire d'obtenir une décomposition de fureur à une demi-période de Sines, comme avant, calculez le coefficient de Fourier. B.

Série de Fourier pour un intervalle arbitraire.

Décomposition d'une fonction périodique avec une période de L.

La fonction périodique F (x) est répétée en augmentant X sur L, c'est-à-dire. f (x + l) \u003d f (x). La transition des fonctions précédemment discutées avec une période de 2π pour fonctionner avec une période L est assez simple, car elle peut être faite en remplaçant la variable.

Pour trouver une série Fourier F (X) dans la gamme -L / 2≤X≤L / 2, nous introduisons une nouvelle variable U de telle manière que la fonction F (x) se produise 2π par rapport à l'U. Si u \u003d 2πx / l, alors x \u003d -l / 2 à u \u003d -π et x \u003d l / 2 à u \u003d π. Aussi laissez F (x) \u003d f (lu / 2π) \u003d f (u). La série Fourier F (U) a la vue

(Les limites d'intégration peuvent être remplacées par n'importe quel intervalle L longueur, par exemple de 0 à l)

Série de Fourier sur une demi-période pour les fonctions spécifiées dans l'intervalle l ≠ 2π.

Pour la substitution U \u003d πH / L, l'intervalle de x \u003d 0 à x \u003d l correspond à l'intervalle de U \u003d 0 à u \u003d π. Par conséquent, la fonction peut être décomposée dans une rangée uniquement par des cosinus ou uniquement chez Sinus, c'est-à-dire dans série Fourier sur HIGH AODE.

La décomposition de cosinus dans la gamme de 0 à L a la forme

L'un des types de série fonctionnelle est une série trigonométrique

La tâche consiste à choisir les coefficients de la série afin qu'il converge sur les fonctions données dans l'intervalle [-π, π]; En d'autres termes, il est nécessaire de décomposer cette fonction de la ligne trigonométrique. Une condition suffisante de solvabilité de ce problème est que la fonction est dans l'intervalle [-π, π] une différenciable par morceaux et différenciable par morceaux, c'est-à-dire que l'intervalle [-π, π] peut être divisé en un nombre fini de intervalles, dans chacun de laquelle cette fonction est continue et présente un dérivé (aux extrémités des intervalles partiels, la fonction doit avoir des limites unilatérales finies et des dérivés unilatéraux, lors du calcul de la fonction de la fonction à la fin de la partie partielle. intervalle, sa limite unilatérale est prise). La condition d'un élément de différentiabilité peut être remplacée par une condition d'une pièce monotonie de la fonction, c'est-à-dire la condition de s'assurer que la fonction est monotonne dans chacun des intervalles partiels. Une condition suffisante pour la décomposabilité de la fonction dans l'intervalle [-π, π] dans la série trigonométrique est également l'exigence de sorte que, dans cet intervalle, la fonction ait un changement limité. Par définition de la fonction F (x), il existe un changement limité dans l'intervalle si avec une partition de cet intervalle à un nombre fini d'intervalles

valeur

limité d'au-dessus du même nombre.

C'est avec de telles fonctions qui doivent faire face aux solutions de tâches pratiques.

Lors de l'exécution de l'un des trois spécifiés conditions suffisantes La fonction F (x) est représentée dans l'intervalle [-π, π] trigonométrique proche, dans laquelle les coefficients sont déterminés par des formules

Avec de tels coefficients, la ligne trigonométrique est appelée près de Fourier. Cette série converge à F (x) à chaque point de sa continuité; Aux points de rupture, il converge sur les valeurs de limite de gauche et de droite arithmétiques moyennes, c'est-à-dire si x est un point d'écart (figure 1); Aux frontières du segment, un nombre converge à.

Image 1.

Fonction exprimée près de Fourier, il existe une fonction périodique, et donc un nombre compilé pour une fonction spécifiée sur le segment [-π, π] converge hors de ce segment à une continuation périodique de cette fonction (Fig. 2).

Figure 2.

Si la fonction Fourier F (x) est présentée dans un intervalle arbitraire [α, α + 2π] longueur 2π, les coefficients de la rangée A 0, AK, BK (coefficients de Fourier) peuvent être déterminés par les formules spécifiées dans lesquelles la Les limites d'intégration sont remplacées par α et α + 2π. En général, étant donné dans des formules pour 0, A K, B K, il existe des fonctions avec une période de 2π, l'intégration peut être effectuée à tout intervalle d'une longueur de 2π.

La série Fourier peut être utilisée pour une représentation approximative de la fonction, à savoir: la fonction F (x) est remplacée par une quantité approximativement égale du montant S n (x) des premiers membres de la série Fourier:

Expression sn (x), où une 0, AK, BK sont des coefficients de Fourier F (x), comparé à d'autres expressions de la même espèce avec la même valeur N, mais avec d'autres coefficients, conduit à une déviation quadratique moyenne minimale SN (x ) de F (x), qui est défini comme

Selon le type de symétrie de la fonction, certaines simplifications sont possibles. Si la fonction est même, c'est-à-dire la (-X) \u003d f (x), puis

et la fonction se décompose dans une rangée de cosinus. Si les fonctions sont impairs, c'est-à-dire de la (-M) \u003d - F (x), puis

et la fonction se décompose dans une rangée de sinus. Si la fonction répond à la condition F (x + π) \u003d - F (x), c'est-à-dire la courbe relative à la moitié du segment 2π est un reflet de miroir de l'autre moitié de la courbe,

La fonction peut être spécifiée non seulement sur le segment de 2π de long, mais également sur le segment de n'importe quelle longueur 2L. Si elle répond aux conditions ci-dessus sur ce segment, il est disposé dans une série de Fourier du type suivant:

et les coefficients du nombre sont calculés par des formules

Dans l'onglet. 1 DÉCOMPOSITION DANA de certaines fonctions.

Tableau 1.

La ligne trigonométrique peut être enregistrée dans ce formulaire:

La fonction de série Fourier F (x) converge dans le plus tôt, la fonction plus douce. Si la fonction F (x) et ses dérivés F "(x), F" (x), ..., FK -1 (x) sont continues et F (k) (x) (x) ne permet que les points d'écart de la 1er genre finalement, les coefficients de Fourier A N, BN Fonctions F (x) seront

Le symbole est indiqué par une telle ampleur

La décomposition dans la ligne trigonométrique est appelée analyse harmonique et fonctions trigonométriquesinclus dans cette série - harmoniques. Le calcul des composants des harmoniques est appelé synthèse harmonique.

Lors du calcul des structures, il est souvent nécessaire de se décomposer dans la série Fourier diverses fonctionsdéfini par des graphiques, et surtout représentant la charge. Dans l'onglet. Les décompositions 2 et 3 sont données pour certaines fonctions caractéristiques des charges, y compris les lignes correspondant aux forces concentrées.

Tableau 2.

Calendrier des fonctions	Rangeur	n.

Transcription.

1 Ministère de l'éducation et de la science de la Fédération de Russie Faculté de la Fédération de la Fédération de Russie Faculté de la Faculté de la Faculté de R. K. Belleeva Ryadov Fourier dans des exemples et des tâches Tutoriel Novosibirsk 211

2 UDC BBK BL161 B44 B44 B44 Belleva R. K. Fourier Rows dans des exemples et des tâches: Tutoriel / Novosib. État UN-T. Novossibirsk, p. ISBN Le manuel d'étude définit des informations de base sur les rangs de Fourier, il existe des exemples pour chaque sujet étudié. Un exemple d'utilisation de la méthode de Fourier est démonté en détail pour résoudre le problème des oscillations transversales de chaîne. Un matériau illustratif est donné. Il y a des tâches pour une solution indépendante. Conçu pour les étudiants et les enseignants de la faculté physique de la NSU. Imprimé par la décision de la commission méthodologique de la faculté physique de la NSU. Reviewer Dr. Fiz.-Mat. la science V. A. ALEKSANDROV Indemnité préparée dans le cadre de la mise en œuvre du programme de développement du programme NIU-NSU. Isbn c novosibirski université d'État, 211 C Belleva R. K., 211

3 1. Décomposition d'une fonction de 2π-périodique dans une définition de série Fourier. Près de la fonction Fourier F (x) est appelée série fonctionnelle A 2 + (un COSNX + BN SIN NX), (1) où un coefficients Bn est calculé à l'aide des formules: A \u003d 1 π Bn \u003d 1 π f (x) COSNXDX, N \u003d, 1, ..., (2) F (x) SIN NXDX, N \u003d 1, 2, .... (3) Les formules (2) (3) sont appelées formules d'Euler Fourier. Le fait que les fonctions f (x) correspondent à la série de Fourier (1) sont enregistrées sous forme de formule F (x) A 2 + (un COSNX + BN SIN NX) (4) et on dit que le côté droit de la formule (4) est une fonction de formelle Fourier Fourier F (x). En d'autres termes, la formule (4) signifie seulement que les coefficients A N, B N sont trouvés par des formules (2), (3). 3.

4 Définition. La fonction de 2π-périodique f (x) est appelée morce-pied lisse, si dans l'intervalle [, π] il y a un nombre fini de points \u003d x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Fig. 1. Fonction fonction F (x) Calculez des coefficients de Fourier A \u003d 1 π F (x) dx \u003d 1 π x 2 2 2 π \u003d π, an \u003d 1 π f (x) cosnxdx \u003d 2 π \u003d 2 () x sin nx cos cos nx + π nn 2 \u003d 2 π (1) n 1 n 2 \u003d bn \u003d 1 π π \u003d 2 π f (x) cosnxdx \u003d cos nx cos n 2 \u003d 4 πn2, avec n impair, avec n même ) Sin nxdx \u003d, car la fonction f (x) est même. Nous écrivons une série formelle de Fourier pour la fonction F (x): F (x) π 2 4 π k \u003d 5 COS (2K + 1) x (2K + 1) 2.

6 Découvrez si la fonction F (x) est un morceau lisse. Étant donné qu'il est continu, on calcule seulement les limites (6) au niveau des points finis de l'écart x \u003d ± π et au niveau du point de la rupture x \u003d: f (π h) f (π) π h π lim \u003d lim H + HH + H \u003d 1, F (+ H) F (+) + H () LIM \u003d LIM H + HH + HF (+ H) F (+) + H LIM \u003d LIM \u003d 1, H + HH + H \u003d 1, f (h) f () h () Lim \u003d lim \u003d 1. Les limites H + HH + H existent et sont finies, donc un morceau de fonction lisse par morceaux. Selon le théorème de la convergence actuelle, sa série Fourier converge sur le nombre F (x) à chaque point, c'est-à-dire F (x) \u003d π 2 4 π k \u003d cos (2K + 1) + x (2K + 1) 2 \u003d \u003d π 2 4 (COSX + 19 π COS 3X) COS 5X (7) à la Fig. 2, 3 montre la nature de l'approximation des sommes partielles de la série Fourier S n (x), où s n (x) \u003d a 2 + (ak coskx + bk sin kx), k \u003d 1 à la fonction f (x ) dans l'intervalle [, π]. 6

7 Fig. 2. Le graphique de la fonction F (x) avec les sommes partielles S (x) \u003d A 2 et S 1 (x) \u003d A 2 + A 1 Cos X est superposé dessus. 3. Calendez la fonction F (x) avec une somme partielle de S 99 (x) \u003d A 2 + A 1 COS X + + A 99 COS 99X 7

8 substitut dans (7) x \u003d Nous obtenons: \u003d π 2 4 π k \u003d 1 (2K + 1) 2, de l'endroit où nous trouvons la somme de la série numérique: \u003d π2 8. Le montant sachant de cette ligne, il est Facile à trouver le montant suivant: S \u003d () S \u003d () \u003d π, donc s \u003d π2 6, c'est-à-dire 1 n \u003d π somme de cette célèbre ligne trouvée Leonard Euler en premier. Il est souvent trouvé dans l'analyse mathématique et ses applications. Exemple 2. Dessinez un calendrier, nous trouvons une série de Fourier de la fonction d'une formule F (x) donnée \u003d x pour x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Fig. 4. Calendez la fonction F (x) F (x) Fonction de manière continue différente de l'intervalle (, π). Aux points x \u003d ± π, il a une limite finie (5): F () \u003d, F (π) \u003d π. De plus, il existe des limites d'extrémité (6): F (+ H) F (+) LIM \u003d 1 et H + HF (π H) F (π +) lim \u003d 1. h + h signifie F (x) morceaux lisse une fonction. Puisque la fonction f (x) est impair, alors un n \u003d. Coefficients BN Trouver l'intégration dans les pièces: Bn \u003d 1 π F (x) sin πnxdx \u003d 1 [x Cosnx π πn + 1 n \u003d 1 πn [((1) N + (1) N π] \u003d 2 (1) N + une. n Faites une série formelle de Fourier de fonctions 2 (1) N + 1 F (x) sin NX. N 9 cosnxdx] \u003d

10 Selon le théorème de la convergence actuelle d'une fonction de périodique lisse de 2π, la série F Fourier F (X) est convergée à la quantité: 2 (1) N + 1 sin NX \u003d N F (x) \u003d x, si π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Fig. 6. Le graphique de la fonction F (x) avec la somme partielle de S 2 (x) superposée dessus). 7. Tableau F (x) fonction avec une somme partielle de S 3 (x) 11 superposée dessus.

12 Fig. 8. Le graphique de la fonction F (x) avec la somme partielle de S 99 (x) superposée dessus) Utilisez la série Fourier résultante pour trouver les sommes de deux rangées numériques. Mettre en (8) x \u003d π / 2. Puis 2 () + ... \u003d π 2, ou \u003d n \u003d (1) N 2N + 1 \u003d π 4. Nous avons facilement trouvé la somme de la rangée connue du Leibitus. Mettre en (8) x \u003d π / 3, nous allons trouver () + ... \u003d π 2 3, ou (1+ 1) () (k) 3π + ... \u003d 3k

13 Exemple 3. Dessinez un calendrier, nous trouvons une série de Fourier de la fonction F (x) \u003d SIN X, supposant qu'il a une période de 2π, et 1 calculer la somme de la série numérique 4N 2 1. La solution. La fonction graphique F (x) est illustrée à la Fig. 9. Évidemment, f (x) \u003d Sin X est une fonction pair continue avec une période de π. Mais 2π est également fonction de la fonction F (x). Figure. 9. Fonction Fonction F (x) Calculez les coefficients de Fourier. Tout b n \u003d parce que la fonction est même. Tirer parti des formules trigonométriques Calculer un à N 1: an \u003d 1 π \u003d 1 π sin x COSNXDX \u003d 2 π sin X COSNXDX \u003d (sin (1 + N) x sin (1 N) x) DX \u003d 1 () π COS (1 + n) x cos (1 N) x + \u003d 2 () 1 + (1) n \u003d π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, si n \u003d 2k, \u003d π n 2 1, si N \u003d 2k.

14 Ce calcul ne nous permet pas de trouver le coefficient A 1, car avec N \u003d 1, le dénominateur adresse à zéro. Par conséquent, nous calculons le coefficient A 1 directement: a 1 \u003d 1 π sin x cosxdx \u003d. Puisque f (x) est différencié de manière continue par (,) et (, π) et à des points Kπ, (k entier), il existe des limites d'extrémité (5) et (6), puis la plage de Fourier de la fonction converge en chaque point: \u003d 2 π 4 π sinx \u003d 2 π 4 π COS 2NX 4N 2 1 \u003d (1 1 1 COS 2x COS 4X + 1) COS 6X La nature de l'approximation de la fonction F (x) par les sommes partielles de la plage de Fourier est indiquée. (9) Fig. 1. Tableau F (x) fonction avec la somme partielle S (x) 14 superposée dessus

15 riz 11. Le graphique de la fonction f (x) avec la somme partielle) avec la somme partielle de S 1 (x) fig. 12. Le graphique de la fonction F (x) avec la somme partielle de S 2 (x) superposée dessus). 13. Fonction Function F (x) avec une somme partielle de S 99 (x) 15 superposée dessus

16 1 Calculez la somme de la série numérique. Pour cela, 4N 2 1 placez (9) x \u003d. Puis Cosnx \u003d 1 pour tous N \u003d 1, 2, ... et donc, 2 π 4 π 1 4N 2 1 \u003d. 1 4N 2 1 \u003d 1 \u003d 1 2. Exemple 4. Nous prouvons que si une fonction continue lisse par morceaux F (x) satisfait la condition F (x π) \u003d f (x) pour tous x (c'est-à-dire π-périodique), Ensuite, 2N 1 \u003d B 2N 1 \u003d Pour tous N 1, et vice versa, si un 2n 1 \u003d B 2N 1 \u003d pour tous N 1, puis f (x) π-périodique. Décision. Laissez la fonction f (x) être π-périodique. Calculez ses coefficients de Fourier A 2N 1 et B 2N 1: \u003d 1 π (A 2N 1 \u003d 1 π F (x) COS (2N 1) XDX + F (X) COS (2N 1) XDX \u003d) F (x) COS (2n 1) xdx. Dans la première intégrale, nous remplacerons la variable x \u003d t π: f (x) cos (2n 1) xdx \u003d f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. seize

17 Prendre de cette façon que COS (2n 1) (t + π) \u003d COS (2N 1) T et F (T π) \u003d F (t), nous obtenons: A 2N 1 \u003d 1 π (F (x) COS ( 2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx \u003d. De même, il est prouvé que b 2n 1 \u003d. Au contraire, laissez un 2n 1 \u003d b 2n 1 \u003d. Étant donné que la fonction f (x) est continue, puis par le théorème sur la représentabilité de la fonction au point de son prochain Fourier, nous avons alors f (x π) \u003d \u003d f (x) \u003d (a 2n cos 2 nx + b 2n Sin 2nx). (A2N COS 2N (x π) + B 2N SIN 2N (x π)) \u003d (A2n COS 2NX + B 2N SIN 2NX) \u003d F (x), ce qui signifie que f (x) est une fonction π-périodique. Exemple 5. Nous prouvons que si une fonction lisse par morceaux F (x) satisfait la condition F (x) \u003d f (x) pour tous x, puis a \u003d et un 2n \u003d b 2n \u003d pour tous N 1, et vice versa, Si A \u003d A 2N \u003d B 2N \u003d, puis f (x π) \u003d f (x) pour tous x. Décision. Laissez la fonction F (x) satisfait la condition F (x π) \u003d f (x). Calculer ses coefficients de Fourier: 17

18 \u003d 1 π (a n \u003d 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx \u003d) f (x) cosnxdx. Dans la première intégrale, nous remplacerons la variable x \u003d t π. Alors f (x) cosnxdx \u003d f (t π) COSN (t π) dt. Prise de cette façon que COS N (T π) \u003d (1) N COSNT et F (T π) \u003d F (T), nous obtenons: A \u003d 1 π ((1) N) F (t) COSNT DT \u003d, si N Même, \u003d 2 π f (t) cos NT DT, si n est impair. De même, il est prouvé que b 2n \u003d. Au contraire, laissez A \u003d un 2n \u003d b 2n \u003d, pour tous n 1. car la fonction F (x) est continue, puis par le théorème sur la représentabilité, l'égalité F (x) \u003d (A 2N 1 COS (x ) \u003d (A 2N 1 COS (2N 1) X + B 2N 1 SIN (2N 1) X). dix-huit

19 alors \u003d f (x π) \u003d \u003d \u003d f (x). Exemple 6. Nous étudions comment poursuivre la fonction F (x) intégrée à l'intervalle [, π / 2] à l'intervalle de [, π] de sorte que sa série Fourier croit: A 2N 1 COS (2N 1) x. (1) Décision. Laissez le graphique de fonction être vu à la Fig. 14. Étant donné dans un numéro (1) A \u003d A 2N \u003d B 2N \u003d pour tous N, alors à partir de l'exemple 5, il suit que la fonction F (x) doit satisfaire à l'égalité F (x π) \u003d f (x) pour tous X. Cette observation donne un moyen de poursuivre la fonction F (x) à l'intervalle [, / 2]: F (x) \u003d f (x + π), fig. 15. Du fait que la ligne (1) ne contient que des cosinus, nous concluons que la fonction continue F (x) devrait être même (c'est-à-dire que son horaire doit être symétrique par rapport à l'axe OY), au riz

20 Fig. 14. Fonction Graph F (x) Fig. 15. Horaire pour poursuivre la fonction F (x) pour l'intervalle [, / 2] 2

21 Donc, la fonction souhaitée est visualisée à la Fig. 16. FIGUE. 16. Calendrier de poursuivre la fonction F (x) pour l'intervalle [, π] Résumé, nous concluons que la fonction devrait être poursuivie comme suit: F (x) \u003d f (x), f (π x) \u003d f x), c'est-à-dire l'intervalle [π / 2, π], le graphique de la fonction F (x) est de manière centrale symétrique par rapport au point (π / 2) et sur l'intervalle [, π], son graphique est symétrique par rapport à l'axe OY. 21

22 Généralisation des exemples 3 6 Laissez l\u003e. Considérer deux conditions: a) f (l x) \u003d f (x); b) F (L + X) \u003d F (x), X [, L / 2]. D'un point de vue géométrique, condition (a) signifie que la fonction de graphique F (x) est symétrique par rapport à la valeur directe verticale X \u003d L / 2, et la condition (b) que le graphique F (x) est de manière centrale symétrique en ce qui concerne le point (L / 2;) sur l'axe Abscissa. Ensuite, les affirmations suivantes sont vraies: 1) si la fonction F (x) est même de condition (a), puis b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 \u003d ... \u003d, a 1 \u003d a 3 \u003d A 5 \u003d ... \u003d; 2) si la fonction F (x) est même de condition (B), alors b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 \u003d ... \u003d, a \u003d A 2 \u003d a 4 \u003d ... \u003d; 3) Si la fonction F (x) est impair et que la condition (A) est satisfaite, alors A \u003d A 1 \u003d a 2 \u003d ... \u003d, B 2 \u003d B 4 \u003d B 6 \u003d ... \u003d; 4) Si la fonction F (x) est impair et que la condition (B) est satisfaite, alors a \u003d A 1 \u003d a 2 \u003d ... \u003d, b 1 \u003d ... \u003d. Tâches dans Tâches 1 7 Dessinez des graphiques et trouvez la série Fourier pour les fonctions (en supposant qu'ils ont une période de 2π:, si< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, if / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Décomposition de la fonction spécifiée dans l'intervalle [, π], uniquement par sinus ou uniquement par cosinus. Laissez la fonction F définie dans l'intervalle [, π]. Voulant la décomposer dans cet écart d'une rangée de Fourier, nous continuerons d'abord le F dans l'intervalle [, π] de manière aléatoire, puis utilisez des formules d'Euler Fourier. L'arbitraire dans la continuation de la fonction conduit au fait que pour la même fonction F: [, π] R Nous pouvons obtenir différentes lignes de Fourier. Mais vous pouvez utiliser cet arbitraire pour obtenir une décomposition uniquement en Sines ou uniquement par cosinus: dans le premier cas, il suffit de continuer à devenir une voie étrange, et dans la seconde même. L'algorithme de solution 1. Continuez la fonction à une voie impairée (même) sur (,), puis périodiquement avec une période de 2π continuez la fonction sur l'axe entier. 2. Calculez les coefficients de Fourier. 3. Faire une série Fourier F (x). 4. Vérifiez les conditions de la convergence de la ligne. 5. Spécifiez la fonction à laquelle cette série convergera. Exemple 7. Étalez la fonction F (x) \u003d COSX,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Fig. 17. Le calendrier de la fonction continue est évident que la fonction F (x) est un morceau de morceaux. Calculez les coefficients de Fourier: a n \u003d pour tous n car la fonction F (x) est impair. If n 1, alors bn \u003d 2 π f (x) sin πnxdx \u003d 2 π sin nxdx \u003d 2 π dx \u003d 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + \u003d π n + 1 n 1 \u003d 1 (1) N (1) N 1 1 \u003d π N + 1 N 1 \u003d 1, IF \u003d 2 K + 1, (1) N + 1 (N 1) + (N + 1) \u003d π (n + 1) (n 1) 2 2n, si n \u003d 2k. π n 2 1 à n \u003d 1 dans des calculs précédents, le dénominateur fait référence à zéro, le coefficient B 1 est donc calculé directement- 25

26: B 1 \u003d 2 π COSX SIN XDX \u003d. Nous formerons une rangée de fonctions Fourier F (x): f (x) 8 π k \u003d 1 k 4k 2 1 sin 2kx. Étant donné que la fonction f (x) est un morceau lisse, alors selon le théorème de convergence du détective, la plage de Fourier de la fonction F (x) converge à la quantité: COSX, si π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Fig. 18. Le graphique de la fonction F (x) avec la somme partielle de S 1 (x) est superposé dessus. 19. Annexe F (x) Fonction avec une somme partielle de S 2 (x) 27 superposée

28 fig. 2. Le graphique de la fonction F (x) avec la somme partielle de S 3 (x) superposée dessus) de la Fig. 21 montre les graphiques de la fonction F (X) et de sa somme partielle 99 (x). Figure. 21. L'annexe F (x) fonction avec une somme partielle de S 99 (x) 28 superposée dessus

29 Exemple 8. Défaut de la fonction F (x) \u003d E AX, A\u003e, X [, π], dans une rangée de Fourier uniquement par cosinus. Décision. Nous continuons la fonction d'une manière égale (,) (c'est-à-dire que l'égalité f (x) \u003d f (x) a été effectuée pour tous x (, π)), puis périodiquement avec une période de 2π par axe numérique par axe numérique . Nous obtenons la fonction F (x), dont le graphique est présenté à la Fig. 22. Fonction F (x) aux points Fig. 22. Le calendrier de la fonction continue f (x) x \u003d kπ, k est un entier, a un renard. Calculez les coefficients de Fourier: B n \u003d, puisque f (x) est même. Intégrer dans des parties nous obtenons 29

30 AN \u003d 2 π A \u003d 2 π \u003d 2 COSNXD (E AXE) \u003d 2 πA E AX DX \u003d 2 π A (EAπ 1), F (x) Cos πnxdx \u003d 2 πa EAx Cosnx \u003d 2 πa (EAπ COSNπ 1 ) + 2N πA 2 π E AX COS NXDX \u003d + 2N E AX SIN NXDX \u003d πA SIN NXDE AX \u003d 2 πA (EAπ COS N π 1) + 2N π Sin NX π A 2EJ 2N2 E AX COS NXDX \u003d 2 π A 2 π A (EAπ COS N π 1) N2 AA N. 2 Par conséquent, un N \u003d 2A E Aπ COS N π 1. π A 2 + N 2 Depuis F (x) est continu, alors selon le courant de la convergence actuelle, sa ligne de Fourier converge à F (x). Donc, pour tous x [, π], nous avons F (x) \u003d 1 π A (EAπ 1) + 2A π k \u003d 1 E Aπ (1) K 1 A 2 + K 2 Coskx (x π). Le riz démontre l'approximation progressive des sommes partielles de la série Fourier à une fonction d'éclatement donnée. 3.

31 Fig. 23. Graphes des fonctions F (x) et S (x) fig. 24. Graphes des fonctions F (x) et S 1 (x) fig. 25. Graphiques de fonctions F (x) et S 2 (x) fig. 26. Graphes des fonctions F (x) et S 3 (x) 31

32 Fig. 27. Fonction Graphiques F (x) et S 4 (x) fig. 28. Tableaux de fonctions F (x) et S 99 (x) Tâches 9. Explorez la fonction F (x) \u003d COS X, X π, dans la rangée de Fourier uniquement par cosinus. 1. Explorez la fonction F (x) \u003d E AXE, A\u003e, X π, dans une série de Fourier uniquement dans les sinus. 11. Explorez la fonction F (x) \u003d x 2, x π, dans la série Fourier uniquement dans les sinus. 12. Étaler la fonction F (x) \u003d Sin AXE, X π, dans la série Fourier par uniquement cosinus. 13. Étaler la fonction f (x) \u003d x sin x, x π, dans une série de Fourier uniquement dans les sinus. Réponses 9. COSX \u003d COSX. 1. E AX \u003d 2 [1 (1) K E Aπ] K SIN SIN KX. π A 2 + K2 K \u003d 1 11. x 2 2 [π 2 (1) N 1 π n + 2] N 3 ((1) N 1) SIN NX. 32.

33 12. Si un entier n'est pas un entier, Sin Sin AX \u003d 1 COSAπ (1 + 2A COS 2NX) + π A 2 (2N) 2 + 2A 1 + COSAπ COS (2N 1) x π A 2 (2n 1) 2 ; Si A \u003d 2M est un nombre pair, alors sin Sin 2mx \u003d 8M COS (2N 1) x π (2m) 2 (2N 1) 2; Si A \u003d 2M 1 est un nombre impair positif, alors sin (2m 1) x \u003d 2 (cos 2 nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 N SIN X SIN 2NX. 2 π (4n 2 1) 2 3. Série Fourier de fonctions avec une période arbitraire supposée que la fonction F (x) soit définie dans l'intervalle [L, L], L\u003e. En faisant la substitution x \u003d ly, y π, nous obtenons la fonction g (y) \u003d f (ly / π), déterminée dans l'espace π [, π]. Cette fonction g (y) correspond à (formelle) série Fourier () LY F \u003d G (Y) A π 2 + (Cosny + Bn Sin NY), dont les coefficients sont situés selon Euler Fourier Formulas: an \u003d 1 π g (y) costy dy \u003d 1 π f (ly π) cos ny dy, n \u003d, 1, 2, ..., 33

34 bn \u003d 1 π g (Y) sinny dy \u003d 1 π f () Ly Sin NY DY, N \u003d 1, 2, .... π Retournez à l'ancienne variable, c'est-à-dire croire dans les formules écrites y \u003d πx / l , nous obtenons la fonction F (X) Série trigonométrique plusieurs types modifiés: où f (x) a 2 + an \u003d 1 lbn \u003d 1 lllll (un cos πnx lf (x) cos πnx lf (x) sin πnx l + bn sin), (11) l dx, n \u003d, 1, 2, ..., (12) dx, n \u003d 1, 2, .... (13) On dit que les formules (11) (13) sont une décomposition spécifiée dans une série de fonctions de Fourier avec une période arbitraire. Exemple 9. Nous trouverons une série de Fourier de la fonction spécifiée dans l'intervalle (L, L) de l'expression (A, si l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a \u003d 1 llf (x) dx \u003d 1 l a dx + 1 ll b dx \u003d A + B, llan \u003d 1 lllf (x) cos πnx l dx \u003d 1 l \u003d 1 ll a cos πnx l \u003d a + b π nlbn \u003d 1 l dx + 1 ll b cos πnx l sin πn \u003d, if n, ll a sin de πnx lf (x) sin (x) sin de πnx l dx + 1 ll dx \u003d b sin πnx l \u003d BA (1 cosπn). πn fera une rangée de fonctions de Fourier F (x): F (x) A + B π (B A A depuis Cosπn \u003d (1) N, puis N DX \u003d DX \u003d (1 COSπN) Sin πnx). l pour n \u003d 2k nous obtenons b n \u003d b 2k \u003d, avec n \u003d 2k 1 B N \u003d B 2K 1 \u003d 35 2 (B a) π (2K 1).

36 d'ici f (x) A + B (BA) π (sin πX + 1 3πx sin + 1 5πx sin + ... L 3 l 5 l Selon le théorème de la convergence dégénérée, la série Fourier F (x) est convergé au montant A, si L.< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 FIGUE. 29. Le graphique de la fonction F (x) avec les graphiques superposés par les harmoniques S (x) \u003d A 2 et S 1 (x) \u003d B 1 sinx. Pour des graphiques de clarté de trois harmoniques plus élevés S 3 (x) \u003d B 3 SIN 3πX, S L 5 (x) \u003d B 5 Sin 5πx L et S 7 (x) \u003d B 7 Sin 7πx a décalé verticalement L 37

38 FIGUE. 3. Le graphique de la fonction F (x) avec la somme partielle de S 99 (x) est superposé dessus. 31. Fragment Figment. 3 sur une autre échelle 38

39 tâches dans les tâches de décomposer les fonctions spécifiées dans les intervalles spécifiés. 14. F (x) \u003d x 1, (1, 1). 15. F (x) \u003d CH2X, (2, 2] F (x) \u003d x (1 x), (1, 1]. 17. F (x) \u003d cos π x, [1, 1] f (x ) \u003d sin π x, (1, 1). (2 1, si 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. F (x) \u003d 8 (1) N N SIN NπX. π 1 4n (1) N 2N + 1 COS πX. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (L 22. a) F (x) \u003d AL 4 2) 1 (4n 2) πx cos, π 2 (2n 1) 2 L b) f (x) \u003d 4al (1) N 1 (2n 1) πX péché. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f (x) \u003d (cos π π 2 2 2 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x ... B) F ( x) \u003d 4 (péché π π π 2 2 x 1 3 Sin 3π) + 2 2 x (sin π π π 2 x COS 2π) 2 x forme complexe d'une série de décomposition Fourier F (x) \u003d CNE INX, où cn \u003d 1 2π F (x) E INX DX, N \u003d ± 1, ± 2, ... est appelée forme complexe d'une série de Fourier. La fonction se décompose dans une série complexe Fourier lors de la réalisation des mêmes conditions dans lesquelles il se décompose dans la série Vérië de Fourier. quatre

41 Exemple 1. Trouver une série de Fourier dans la forme complexe d'une fonction spécifiée par la formule F (x) \u003d E AX, dans l'intervalle [, π), où a est un nombre réel. Décision. Calculez les coefficients: \u003d C N \u003d 1 2π F (x) E INX DX \u003d 1 2π E (A in) x DX \u003d 1 ((((1) N E Aπ (1) N E Aπ) \u003d (1) N SH Aπ. 2π (A IN) π (A In) La série complexe Fourier de la fonction F a la forme F (x) SH Aπ π n \u003d (1) N A dans Einx. Il est convaincu que la fonction F (x) est un morgiquement lisse: dans l'intervalle (, π) il est continuellement différent et à des points x \u003d ± π existent une limite finie (5), (6) lim h + ea ( + H) \u003d e aπ, lim h + ea (π h) \u003d e aπ, ea (+ h) EA (+) lim h + h \u003d ae aπ ea (π h) ea (π), lim h + h \u003d Ae aπ. Par conséquent, la fonction F (x) représente le Fourier SH Aπ π n \u003d (1) N A dans Einx, qui converge à la quantité: (E S (x) \u003d hache, si π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 Exemple 11. Nous trouverons une série de Fourier dans la forme complexe et réelle d'une fonction donnée par la formule F (x) \u003d 1 A 2 1 2a COSX + A2, où un< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Rappelons que la somme de la progression géométrique infinie avec le dénominateur Q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Maintenant, nous trouvons une série de Fourier sous forme réelle. Pour ce faire, nous avons regroupé les termes avec des chiffres N et N pour N: A N E INX + A N E INX \u003d 2A NEINX + E INX car c \u003d 1, puis 2 \u003d 2A N COS NX. f (x) \u003d 1 A 2 1 2A COSX + A \u003d A N COSNX. 2 Il s'agit d'une série de Fourier dans la fonction réelle F (x). Ainsi, sans avoir une seule intégrale, nous avons trouvé un certain nombre de fonctions de Fourier. Dans le même temps, nous avons calculé une intégrale difficile, en fonction du paramètre COS NXDX 1 2A COSX + A \u003d 2 π AN 2 1 A2, A< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 A (ZZ 1) F (x) \u003d 2i (1 A (ZZ 1) + A 2) \u003d I 2 + I (A + A 1) Z 2 2 (ZA) (ZA 1) \u003d \u003d I 2 + I () A 2 ZA + A 1. ZA 1 Chacune des fractions simples décomposez selon la formule de progression géométrique: + AZA \u003d A 1 Z 1 A \u003d AANZZN, N \u003d ZA 1 ZA \u003d AZ \u003d AZ \u003d AZ N. n \u003d ceci est possible parce que az \u003d a / z \u003d a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, ou plus court, c n \u003d 1 2i a n sgnn. Ainsi, la série de Fourier d'une forme complète trouvée. Regroupé les termes avec des chiffres N et N Nous obtenons une série de fonctions de Fourier dans une forme réelle: \u003d F (x) \u003d + A SIN X 1 2A COSX + A + 2 (1 2i AN E INX 1 2I AN EX INX N \u003d +) \u003d CNE InX \u003d Un SIN NX. Nous avons de nouveau réussi à calculer l'intégrale complexe suivante: SIN X SIN NXDX 1 2A COSX + A 2 \u003d π A 1. (16) 45

46 Tâches 24. Utilisation (15), Calculez le COS NXDX 1 2A COSX + A 2 Intégrale pour Real A, A,\u003e Utilisation (16), Calculez le SIN X SIN NXDX INTEGRAL POUR REAL A, A\u003e A COSX + A2 IN Tâches, trouvez les rangées Fourier dans une forme complète pour les fonctions. 26. f (x) \u003d sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. L'égalité du théorème Lyapunov (Égalité Lyapunov). Laissez la fonction F: [, π] r il est tel que f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 A N \u003d 2 π F (x) COSNXDX \u003d 2 π A COS NXDX \u003d 2 SIN NA πN. Par conséquent, l'égalité de Lyapunov pour la fonction F (x) prend la forme: 2 A 2 π + 4 Sin 2 na \u003d 2a 2 π 2 N 2 π. À partir de la dernière égalité pour un π, nous trouvons SIN 2 NA N 2 \u003d A (π A) 2, en supposant A \u003d π 2, nous obtenons SIN2 NA \u003d 1 à N \u003d 2K 1 et SIN 2 NA \u003d AT N \u003d 2K. Par conséquent, k \u003d 1 1 (2k 1) 2 \u003d \u003d π2 8. Exemple 14. Nous écrirons l'égalité de la Lapunov pour la fonction F (x) \u003d x cosx, x [, π], et nous trouverons la somme du Rangée numérique (4N 2 + 1) 2 (4N 2 1) 4. 1 π solution. Calculs directs Donnez \u003d π π f 2 (x) dx \u003d 1 π x 2 cos 2 xdx \u003d 1 π x sin 2xdx \u003d π π x cos x \u003d π x 21 + cos 2x dx \u003d 2 π 1 4π cos 2xdx \u003d

49 Etant donné que f (x) est une fonction pair, alors pour tous N, nous avons bn \u003d, an \u003d 2 π \u003d 1 π 1 \u003d π (n + 1) \u003d f (x) cosnxdx \u003d 2 π 1 COS (n + 1 ) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx \u003d x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx \u003d 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx \u003d π (n 1) π 1 + cos (n 1) x \u003d π (n 1) 2 1 (\u003d (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) \u003d π (n + 1) 2 π (n 1) 2 () \u003d (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 \u003d 2 (n 1) 2 \u003d 2 (1) (n + 1) 1 nk π (N 2 1) \u003d π (4K 2 1) 2, si N \u003d 2K, 2, si N \u003d 2K + 1. Le coefficient A 1 doit être calculé séparément, car dans la formule générale pour n \u003d 1, le dénomoter est tiré à zéro. \u003d 1 π a 1 \u003d 2 π f (x) cosxdx \u003d 2 π x (1 + cos 2x) dx \u003d π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx \u003d sin 2xdx \u003d π 2.

50 Ainsi, l'égalité de Lyapunov pour la fonction F (x) a la forme: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) \u003d π, de l'endroit où nous trouvons la somme de la rangée numérique (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) \u003d π π Tâches 32. Écrivez une égalité LYAPUNOV pour une fonction (XF (x) \u003d 2 πx, si x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) \u003d π sin 2απ 2απ \u003d 2Sin2 απ α 2 π 2 réponses + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 N 2) 2; Sin 2απ 1 2απ \u003d απ N 2 4Sin2 π 2 (α 2 N 2) 2. 1 π 35. F (x) g (x) dx \u003d CNDN, où le coefficient de Fourier CN 2π fonctions F (x) et DN Fourier coefficient Fonctions g (x). 6. Différenciation de la série Fourier Soit F: R r Fonction périodique différente différente de 2π. Sa série de Fourier a la forme: F (x) \u003d A 2 + (A N COS NX + B N SIN NX). Le dérivé F (x) de cette fonction sera une fonction continue et de 2π-périodique pour laquelle la gamme de Fourier formelle peut être écrite: F (x) A 2 + (COS NX + BN SIN NX), où un, Bn, n \u003d 1, 2, ... coefficients de Fourier F (x). 51.

52 théorème (sur la différenciation tuée de la série Fourier). Avec les hypothèses fabriquées ci-dessus, égalité A \u003d, A N \u003d NB N, B N \u003d NA N, N 1. Exemple 15. Laissez une fonction lisse par morceaux F (x) en continu dans l'intervalle [, π]. Nous prouvons que lors de l'exécution de la condition F (x) DX \u003d, il existe une inégalité 2 DX 2 DX, appelée inégalité de verre, et assurez-vous que l'égalité de celui-ci n'est effectuée que pour les fonctions du formulaire F (x) \u003d A COSX. En d'autres termes, l'inégalité de Steklov donne des conditions, lors de l'exécution de la petite taille de la dérivée (dans la RMS), suit la petite de la fonction (dans la moyenne de la place moyenne). Décision. Nous continuerons la fonction F (x) pour l'intervalle [,] uniformément. Dénote la fonction continue du même symbole F (x). Ensuite, la fonction continue sera continue et lisse par morceaux sur le segment [, π]. Puisque la fonction f (x) est continue, alors f 2 (x) est continu sur le segment et 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Depuis que la fonction continue est même, alors b n \u003d, a \u003d sous la condition. Par conséquent, l'égalité de Lyapunov prend la forme 1 π 2 dx \u003d A 2 π n. (17) Il est convaincu que pour F (x) la conclusion du théorème sur la différenciation inimannale de la série Fourier est conclue, c'est-à-dire qu'un \u003d, an \u003d nb n, bn \u003d na n, n 1. Laissez le Dérivé F (x) subit les pauses aux points X 1, x 2, ..., x N dans l'intervalle [, π]. Note x \u003d, x n + 1 \u003d π. Nous divisons l'intervalle d'intégration [, π] sur N +1 Gap (x, x 1), ..., (x N, x n + 1), sur chacun de laquelle f (x) est continuellement différent. Ensuite, en utilisant la propriété de l'additivité de l'intégrale, puis d'intégration de pièces, nous obtenons: Bn \u003d 1 π \u003d 1 π \u003d 1 π f (x) sin nxdx \u003d 1 π nf (x) sin nx j \u003d nf ( x) sin nx j \u003d xj + 1 xjx j + 1 xjnn π njj \u003d xj + 1 xjx j + 1 xjf (x) sin nxdx \u003d f (x) cosnxdx \u003d f (x) cosnxdx \u003d \u003d 1 π [(F ( x 1) sin nx 1 f (x) sin nx) + + (f (x 2) sinnx 2 f (x 1) sin nx 1)

54 + (x N + 1) sin NX N + 1 F (x N) sin nx n)] NA n \u003d 1 π na n \u003d \u003d 1 π na n \u003d na n. x J + 1 A \u003d 1 f (x) dx \u003d 1 n f (x) dx \u003d π π j \u003d xj \u003d 1 n x j + 1 f (x) π \u003d 1 (f (π) f ()) \u003d. X J π J \u003d La dernière égalité a lieu en raison du fait que la fonction F (x) a été maintenue uniformément, et donc f (π) \u003d F (). De même, nous obtenons un n \u003d nb n. Nous avons montré que le théorème de la différenciation de la rénovation de la série de Fourier pour une fonction permanente avec une fonction de 2π lisse de 2π par morceaux, dont le dérivé dans l'intervalle [, π] subit les premières pauses, est correcte. Donc f (x) a 2 + (un COSNX + BN SIN NX) \u003d (NA N) SIN NX, AS A \u003d, AN \u003d NB N \u003d, BN \u003d NA N, N \u003d 1, 2, .... 2 dx.< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Étant donné que chaque membre de la rangée de (18) est supérieur ou égal à l'élément correspondant de la ligne de (17), puis 2 DX 2 DX. Rappelant que f (x) est une continuation même de la fonction d'origine, nous avons 2 DX 2 DX. Ce qui prouve l'égalité de Steklov. Maintenant, nous enquêtons sur les fonctions de l'inégalité de Steklov, il y a égalité. Si au moins pour un N 2, le coefficient A N est différent de zéro, puis a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 Tâches 37. Laissez une fonction lisse par morceaux F (x) en continu dans l'intervalle [, π]. Prouvez que lorsque vous effectuez la condition F () \u003d F (π) \u003d, il existe une inégalité de 2 DX 2 DX, également appelée inégalité de verrerie, et assurez-vous que l'égalité de celui-ci ne se déroule que pour les fonctions du formulaire F (x) \u003d b sin x. 38. Laissez la fonction F est continue dans l'intervalle [, π] et en elle (à l'exception du nombre final de points), le dérivé F (x) intégré au carré. Prouver que si les conditions f () \u003d f (π) et f (x) dx \u003d sont satisfaites, il existe une inégalité 2 DX 2 DX, appelée inégalité de vierge, et l'égalité de celui-ci ne se produit que pour les fonctions du formulaire f (x) \u003d un cosx + b sin x. 56.

57 7. L'utilisation de séries de Fourier pour résoudre des équations différentielles dans des dérivés privés dans l'étude d'un objet réel (le phénomène de la nature, du processus de production, des systèmes de gestion, etc.) Deux facteurs sont essentiels: le niveau de connaissances accumulées sur l'objet à l'étude et le degré de développement de l'appareil mathématique. Au stade actuel de la recherche scientifique, la chaîne suivante a été développée: le modèle physique du modèle mathématique. La formulation physique (modèle) de la tâche est la suivante: les conditions de développement du processus et les principaux facteurs qui l'affectent sont détectés. La formulation mathématique (modèle) consiste à décrire les facteurs sélectionnés dans la formulation physique sous la forme d'un système d'équations (algébrique, différentielle, intégrale, etc.). La tâche s'appelle correctement définie si dans un espace fonctionnel spécifique, la solution du problème existe, le seul et le continu dépend des conditions initiales et limites. Le modèle mathématique n'est pas identique à l'objet à l'étude, mais sa description approximative de la sortie de l'équation de petites oscillations transverses en vrac de la chaîne suivra le manuel. Laissez les extrémités des cordes sont fixes et la ficelle elle-même est serrée. Si vous apportez la chaîne de la position d'équilibre (par exemple, pour retarder ou frapper), la chaîne commencera 57

58 Fluctuer. Nous supposons que tous les points de la chaîne se déplacent perpendiculairement à sa position d'équilibre (oscillations transversales) et à chaque fois que la chaîne réside dans le même plan. Prenez dans cet avion le système de coordonnées rectangulaire Xou. Ensuite, si au moment initial du temps t \u003d La chaîne était située le long de l'axe de bœuf, vous signifieriez la déviation de la chaîne de la position d'équilibre, c'est-à-dire la position du point de la chaîne avec l'abscisse x dans Un moment arbitraire T correspond à la fonction U (x, t). Avec chaque valeur fixe de T, la fonction graphique U (x, t) représente la forme de la chaîne oscillante à l'heure t (Fig. 32). Avec une valeur constante de x, la fonction U (x, t) donne la loi du mouvement du point avec une abscisse x le long de l'axe ou de l'axe de commande droit, parallèle, le dérivé de la vitesse de ce mouvement et du second dérivé 2 U t 2 accélération. Figure. 32. Les forces appliquées à une étreinte infiniment petite des chaînes seront l'équation à laquelle la fonction u (x, t) doit satisfaire. Pour ce faire, nous ferons d'autres hypothèses de simplification. Nous allons considérer la chaîne absolument puissance - 58

59 koy, c'est-à-dire que nous supposerons que la chaîne ne résiste pas à la flexion; Cela signifie que les contraintes résultant de la chaîne sont toujours destinées à une tangente de son profil instantané. La chaîne est supposée être une loi élastique et obèse de la gorge; Cela signifie que la variation de l'ampleur de la force de tension est proportionnelle au changement de la longueur de la chaîne. Nous supposerons que la chaîne est homogène; Cela signifie que sa densité linéaire ρ est constante. Nous négligeons les forces extérieures. Cela signifie que nous considérons les oscillations libres. Nous étudierons uniquement les petites fluctuations de chaînes. Si vous désignez φ (x, T) un angle entre l'axe Abscisse et la tangente à la chaîne du point Abscisse X au moment de l'heure T, la condition des oscillations est due à la valeur de φ 2 (x, t) peut être Négligé comparé à φ (x, t), c'est-à-dire 2. Étant donné que l'angle est petit, Cosφ 1, φ sin φ tg φ u est donc, la valeur (UXX,) 2 peut également être négligée. De là, il suit immédiatement que, dans le processus d'oscillations, nous pouvons négliger le changement de la longueur de toute chaîne. En effet, la longueur de la chaîne m 1 m 2, conçue pour l'écart d'axe abscisse, où x 2 \u003d x 1 + x est égal à l \u003d x 2 x () 2 u dx x. X Nous montrons que, avec nos hypothèses, la valeur de la force de tension t sera constante sur toute la chaîne. Prendre pour cette section de la chaîne M 1 m 2 (Fig. 32) à l'heure et remplacez l'action de la partie rebardée - 59

60 morceaux de forces de tension T 1 et T 2. Depuis la condition, tous les points de chaîne se déplaçaient parallèlement aux axes ou les forces externes sont manquantes, la somme des projections des forces de tension sur l'axe de bœuf doit être nulle: T 1 cosφ (x 1, t) + t 2 cosφ (x 2, t) \u003d. D'ici, en raison de la petite taille des angles φ 1 \u003d φ (x 1, t) et de 2 \u003d φ (x 2, t), nous concluons que t 1 \u003d t 2. désigne la valeur totale de t 1 \u003d t 2 à T. Maintenant, nous calculons la quantité de projections F u des mêmes forces sur l'axe ou de l'axe: F u \u003d t sin φ (x 2, t) t sin φ (x 1, t). (2) depuis pour petits angles sin φ (x, t) tg φ (x, t) et tg φ (x, t) u (x, t) / x, puis l'équation (2) peut être réécrit pour que ce soit (Tg φ (x 2, t) tg φ (x 1, t)) (u tx (x 2, t) u) x (x 1, t) xx t 2 ux 2 (x 1, t) x. Puisque le point x 1 est sélectionné arbitrairement, alors f u t 2 u x2 (x, t) x. Une fois que toutes les forces agissantes sur la section M 1 m 2 sont trouvées, nous lui demanderons la deuxième loi Newton, selon laquelle le produit de la masse à accélérer est égal à la somme de toutes les forces actuelles. La masse de la chaîne m 1 m 2 est m \u003d ρ l ρ x et l'accélération est 2 u (x, t). L'équation de Newton T 2 prend la forme: 2 u t (x, t) x \u003d u 2 α2 2 x2 (x, t) x, où α 2 \u003d t ρ est un nombre positif constant. 6

61 Coupe to X, nous obtenons 2 u t (x, t) \u003d u 2 α2 2 x2 (x, t). (21) En conséquence, nous avons obtenu une équation différentielle linéaire homogène avec des dérivés privés de second ordre avec des coefficients constants. Il s'appelle l'équation d'oscillation à cordes ou un dimension Équation de vagues. L'équation (21) est essentiellement reformuler la loi de Newton et décrit le mouvement des cordes. Mais dans la formulation physique de la tâche, les exigences étaient présentes que la fin des chaînes est fixée et la position de la chaîne à un moment donné est connue. Ces conditions seront enregistrées dans ces conditions: a) Nous supposerons que les extrémités des chaînes sont fixées à des points X \u003d et x \u003d L, c'est-à-dire que nous supposons que pour tous les T, les ratios u (, t) \u003d, u ( l, t) \u003d; (22) b) Nous supposerons qu'au moment de t \u003d la position de la chaîne coïncide avec la fonction graphique F (x), c'est-à-dire que nous supposons que l'égalité u (x,) \u003d f (x,) \u003d f X); (23) B) Nous supposerons qu'à l'époque t \u003d point de la chaîne avec l'Abscisse X est donné la vitesse g (x), c'est-à-dire que vous supposerons que u (x,) \u003d g (x). (24) Les ratios t (22) sont appelés conditions limites et relations (23) et (24) sont appelées conditions initiales. MODÈLE MATHÉMATIQUE DE PETIT DU PETIT TRANSFORMER 61

62 Les fluctuations de la chaîne consistent à résoudre l'équation (21) avec des conditions limites (22) et des conditions initiales (23) et (24), la solution de l'équation d'oscillations transversales gratuites de la chaîne par la méthode Fourier de résolution de l'équation équation (21) dans le champ x l,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Substitution (25) dans (21), nous obtenons: x t \u003d α 2 x t, (26) ou T (t) α 2 t (t) \u003d x (x) x (x). (27) Ils disent que la séparation des variables s'est produite. Étant donné que x et t ne dépendent pas l'un de l'autre, le côté gauche de (27) ne dépend pas de x, et le droit de t et la valeur totale de ces relations 62

63 devrait être permanent, qui est noté par λ: t (t) α 2 t (t) \u003d x (x) x (x) \u003d λ. D'ici nous obtenons deux ordinaires Équations différentielles: X (x) λx (x) \u003d, (28) t (t) α 2 λt (t) \u003d. (29) Dans ce cas, les conditions limites (22) prendront la forme x () T (t) \u003d et x (l) t (t) \u003d. Comme ils doivent être effectués pour tous T, T\u003e, puis x () \u003d x (l) \u003d. (3) Nous trouvons des solutions d'équation (28) qui répondent aux conditions limites (3). Considérer trois cas. Cas 1: λ\u003e. Noter λ \u003d β 2. L'équation (28) prend la forme x (x) β 2 x (x) \u003d. Son équation caractéristique K 2 β 2 \u003d a les racines K \u003d ± β. D'où, décision commune Les équations (28) ont la forme x (x) \u003d c e βx + de βx. Nous devons choisir Constant C et D pour que les conditions limites soient observées (3), I.E. x () \u003d c + d \u003d, x (L) \u003d c E βl + de βl \u003d. Depuis β, ce système d'équations a une solution unique C \u003d D \u003d. Par conséquent, x (x) et 63

64 u (x, t). Ainsi, dans le cas de 1, nous avons reçu une décision triviale que nous ne considérerons pas plus en plus. Cas 2: λ \u003d. Ensuite, l'équation (28) prend la forme x (x) \u003d et sa solution est évidemment définie par la formule: x (x) \u003d C x + d. En substituant cette solution dans les conditions limites (3), nous obtenons x () \u003d d \u003d et x (L) \u003d cl \u003d, cela signifie c \u003d d \u003d. Par conséquent, x (x) et u (x, t), et nous avons de nouveau reçu une solution triviale. Cas 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 À l'avenir, nous ne donnerons que n seules valeurs positives de n \u003d 1, 2, ..., depuis avec N négatif n, les solutions de cette (espèce. Nπ) de λ n \u003d sont appelés leurs propres nombres, et Les fonctions xn (x) \u003d c n sin sd πNx avec ses propres fonctions d'une équation différentielle (28) avec des conditions limites (3). Maintenant, résolvons l'équation (29). Pour cela, l'équation caractéristique a la forme K 2 α 2 λ \u003d. (32) L 2 Étant donné que nous avons découvert que les solutions non triviales x (x) d'équation (28) ne sont disponibles que pour négatif λ, égal à λ \u003d n2 π 2, nous considérerons alors de tels λ. Les racines de l'équation (32) sont K \u003d ± Iα λ et des solutions d'équation (29) ont la forme: t N (t) \u003d A N Sin πnαt + B N COS πnαT (33) l l l constate arbitraire N et B N. Substituer des formules (31) et (33) en (25), nous trouverons des solutions privées d'équation (21) qui satisfont aux conditions de bord (22): (ONU (x, t) \u003d bn cos πnαt + un sin πnαt) cn péché πnx. LLL introduisant un multiplicateur C N dans le support et introduire la désignation C N A N \u003d BN et B n c n \u003d an, écrire un (x, t) sous la forme (UN (x, t) \u003d un cos πnαt + bn sin πnx) . (34) l l l 65

66 Fluctuations de chaîne correspondant aux solutions U n (x, t) sont appelées leurs propres fluctuations de chaîne. Étant donné que l'équation (21) et les conditions limites (22) sont linéaires et homogènes, alors une combinaison linéaire de solutions (34) (u (x, t) \u003d un cos πnαt + bn sin πnαt) sin πnx (35) lll sera résolu Par équation (21) Conditions de limites satisfaisantes (22) avec une sélection spéciale des coefficients et BN, qui assure la convergence uniforme de la rangée. Nous allons maintenant sélectionner maintenant les coefficients et les solutions BN (35) afin qu'elle satisfait non seulement la limite, mais également des conditions initiales (23) et (24), où F (x), g (x) fonctions spécifiées (et f ( ) \u003d f (l) \u003d g () \u003d g (l) \u003d). Nous croyons que les fonctions f (x) et g (x) satisfont aux conditions de décomposition dans la série Fourier. Substitution de (35) la valeur de t \u003d, nous vous obtenons u (x,) \u003d A N SIN πNX L \u003d F (x). Différencier la série (35) par t et substitut t \u003d, nous obtenons ut (x,) \u003d πnα bn sin de πnx l l \u003d g (x), et c'est la décomposition des fonctions F (x) et g (x) dans la série de Fourier. Par conséquent, un n \u003d 2 l l f (x) sin πnx l dx, b n \u003d 2 l g (x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Examens de substitutionLes cellules A N et B N dans une rangée (35), nous obtenons la solution d'équation (21) qui répond aux conditions limites (22) et aux conditions initiales (23) et (24). Ainsi, nous avons résolu le problème des petites vibrations transversales gratuites de la chaîne. Découvrez la signification physique de l'Eigenfunctions U n (x, T) les tâches des fluctuations libres des chaînes définies par formule (34). Nous la réécrivons sous la forme où u n (x, t) \u003d α n cos πnα l α n \u003d a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin, (37) l πnα δ n \u003d arctg b n. L A N de formule (37) montre que tous les points de la chaîne font des oscillations harmonique avec la même fréquence Ω n \u003d πnα et la phase Δnα δ n. L'amplitude de l'oscillation dépend de la L l de l'abscisse X du point de la chaîne et est égale à α n sin.nx. Avec une telle oscillation, tous les points de la chaîne atteignent simultanément leur libiffation maximale dans une direction ou une autre et passent en même temps la position d'équilibre. De telles oscillations sont appelées vagues debout. Les vagues debout auront n + 1 point fixe défini par les racines de l'équation Sin πNx \u003d dans l'intervalle [, L]. Les points fixes sont appelés les nœuds de la vague debout. Au milieu entre nœuds, il y a des points dans lesquels les écarts atteignent le maximum; Ces points sont appelés bouffées. Chaque chaîne peut avoir ses propres oscillations de fréquences strictement définies Ω n \u003d πnα, n \u003d 1, 2, .... Ces fréquences sont appelées leurs propres fréquences de chaîne. Le ton le plus bas qui peut produire des chaînes est déterminé par 67

68 Fréquence basse propre Ω 1 \u003d π t et s'appelle la tonalité principale de la chaîne. Les tons restants correspondant aux fréquences L ρ Ω n, n \u003d 2, 3, ... sont appelées obramstones ou harmoniques. Pour plus de clarté, nous montrerons des profils de chaîne typiques, émettrons la tonalité de base (Fig. 33), le premier Oberton (figure 34) et le deuxième Oberton (Fig. 35). Figure. 33. Profil de chaîne, publiant la tonalité de base. 34. Profil de chaîne Publication du premier riz Operton. 35. Profil String Publié par le deuxième Obton si la chaîne effectue des oscillations libres déterminées par les conditions initiales, la fonction U (x, t) semble être vue de la formule (35), comme une somme d'harmoniques individuelles. Ainsi, une fluctuation arbitraire 68

69 cordes est une superposition de vagues debout. Dans le même temps, la nature de la chaîne (ton, la puissance du son, la timbre) dépendra du rapport entre les amplitudes de la force d'harmonie individuelle, la hauteur et la voix du son de la chaîne oscillante excite les fluctuations de L'air, perçu par l'oreille humaine comme son, publié par la chaîne. La puissance du son est caractérisée par l'énergie ou l'amplitude d'oscillations: plus l'énergie est grande, plus la puissance du son est grande. La hauteur du son est déterminée par sa fréquence ou sa période d'oscillations: plus la fréquence est grande, plus le son est élevé. Son TIMBRE est déterminé par la présence de surtones, la distribution de l'énergie par harmoniques, c'est-à-dire la méthode d'excitation des oscillations. Les amplitudes de surtones, de manière générale, moins d'amplitude du ton principal et la phase d'Operton peut être arbitraire. Notre oreille n'est pas sensible à la phase d'oscillation. Comparer, par exemple, deux courbes de la Fig. 36 emprunté à partir de. Il s'agit d'un enregistrement de son avec la même tonalité principale extraite de la clarinette (A) et du piano (B). Les deux sons ne constituent pas de simples oscillations sinusoïdales. La fréquence principale du son dans les deux cas est la même et crée le même ton. Mais les dessins des courbes sont différents parce que différents Obhrothon sont appliqués sur le ton principal. En un sens, ces dessins montrent ce que le timbre est. 69

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devrait:

1) Calendrier de dessin f (x) sur l'espace au moins une longueur de deux périodes pour montrer que cette fonction est périodique;

2) Dessine un horaire S (x) De même, être vu dans quels points f (x) ¹S (x);

3) Calculez des coefficients de Fourier et écrivez une rangée de Fourier.

Tâches

№1. Furié

Décision. remarquerez que f (x) Placez sur la longueur de la longueur T \u003d 4.. Parce que f (x) Il est supposé être périodique, alors ce nombre est sa période, puis - l \u003d 2.

1) graphique f (x):

2) graphique S (x):

Les flèches aux extrémités des lignes montrent que la fonction n'accepte pas les valeurs déterminées à partir de l'expression spécifiée sur l'intervalle. Lors de la comparaison des graphiques f (x) et S (x) Il est clairement visible qu'aux points de rupture f (x) ¹S (x).

3) Calculez les coefficients de Fourier. Cela peut être fait par des formules (3 *) :; ; . Exactement: ; donc,

Décomposition f (x) Fourier a la forme:

Commentaires. 1) lors de l'intégration sur [-1;3] Ce segment a été brisé sur et car Sur ces segments f (x) Définir des valeurs différentes.

2) Lorsque vous calculez les coefficients utilisées des intégrales: et, où a \u003d const.

№2 . Furié

Décision. Ici T \u003d 2., l \u003d 1..

La série Fourier a la forme: où; ; car l \u003d 1..

1) graphique f (x):

2) graphique S (x):

№3. Décomposer Fourier sur Sines

Décision. Notez que seules les fonctions impaires sont lancées dans les Sinus de Fourier. Parce que f (x) Défini uniquement pour x\u003e 0, xî (0; 2) è (2; 3)alors cela signifie que sur un intervalle symétrique (-3; -2) è (-2; 0) f (x)besoin de continuer afin que l'égalité f (-x) \u003d -f (x). Donc, la longueur de l'écart sur lequel f (x) Il est défini comme une fonction étrange, égale à 6. SO T \u003d 6, l \u003d 3. Série Fourier pour f (x) Il a la forme:, où, n \u003d 1, 2, 3, (selon les formules (5 ")).

1) graphique f (x).

Pour dessiner graphique f (x) En tant que fonction étrange, tirez en premier lieu le calendrier sur (0; 2) è (2; 3), puis profiter du fait que le calendrier de la fonction impaire est symétrique au début des coordonnées. De ces considérations, nous obtenons un horaire f (x) sur le (-3; -2) è (-2; 0). Puis continuer f (x) T \u003d 6..

2) graphique S (x).

Horaire S (x) Diffère de l'horaire f (x) aux points de rupture f (x). Par exemple, dans t. x \u003d 2 f (x)non défini, et S (x) a à x \u003d 2. Signification égale à des limites de fonction semi-reverses f (x), exactement: où,.

Alors, puis décomposition f (x) Fourier a la forme :.

№4 . Envoi Fourier sur cosinus.

Décision. Notez que seules les fonctions même sont lancées dans une rangée de Fourier sur cosinus. Parce que f (x) Ensemble seulement pour x\u003e 0, xî (0; 2) è (2; 3], alors cela signifie que sur un intervalle symétrique [-3; -2) è (-2; 0) f (x)il est nécessaire de continuer afin que l'égalité soit effectuée: f (-x) \u003d f (x). Donc, la longueur de l'écart sur lequel f (x) définir comme une fonction même est égale à 6, puis T \u003d 6, l \u003d 3. La série Fourier dans ce cas regarde:

où; ; n \u003d 1,2, ... (selon les formules (4 ")).

1) graphique f (x).

Pour dessiner graphique f (x) comme des fonctions voire, dessinez d'abord un calendrier f (x) sur le (0; 2) è (2; 3]Et ensuite profiter du fait qu'un graphique d'une fonction pair est symétrique sur l'axe de l'ordonnée. De ces considérations, nous obtenons un horaire f (x) sur le [-3; -2) è (-2; 0). Puis continuer f (x) sur l'ensemble numérique direct comme une fonction périodique avec une période T \u003d 6..

Voici un horaire f (x) Tiré sur deux périodes de fonction complètes.

2) graphique S (x).

Horaire S (x) Diffère de l'horaire f (x) aux points de rupture f (x). Par exemple, dans t. x \u003d 0 f (x)non défini, et S (x) a la signification: , alors horaire S (x) Non interrompu en t. x \u003d 0., contrairement à l'horaire f (x).

Décomposition f (x) Dans une rangée de Fourier sur cosinés, il a la forme :.

№5. Furié f (x) \u003d | x |, xî (-2; 2)..

Décision. Par condition, f (x) est une fonction pair sur (-2;2) ; ceux. Sa série de Fourier contient uniquement des cosinus, tandis que T \u003d 4, l \u003d 2, ,

où; ; n \u003d 1, 2,

1) graphique f (x):

2) graphique S (x):

3), parce que | X | \u003d X.pour x\u003e 0.; .

Puis décomposer f (x) Fourier a la forme :. Notez que lors de l'intégration des expressions ou applique la formule d'intégration dans les parties: où u \u003d x; DV \u003d COS (AX) DXou alors DV \u003d SIN (AX) DX.

№6. Décomposer la fonction dans la série Fourier: a) dans l'intervalle (-?,?); b) dans l'intervalle (0, 2?); c) Dans l'intervalle (0,?) Dans une rangée de sinus.

Décision. a) Fonction Graph avec 2? - La continuation périodique est

La fonction satisfait aux conditions du théorème de Dirichlet et peut donc être décomposée en une série de Fouriers.

Calculez des coefficients de Fourier. Puisque la fonction est même, alors bn \u003d 0 (n \u003d 0, 1, 2, ...) et (n \u003d 0, 1, 2, ...).

Pour calculer cette intégrale, la formule d'intégration en pièces d'une intégrale spécifique est utilisée. Recevoir

La série de Fourier de cette fonction a la forme. En raison du signe de Dirichle, cette série représente la fonction x2 dans l'intervalle (-?,?).

b) l'intervalle (0, 2?) n'est pas symétrique au début des coordonnées et sa longueur 2 l. \u003d 2 ?. Calculez des coefficients de Fourier par formules:

Par conséquent, Fourier a une forme. En vertu du théorème de Dirichlet, une série converge pour générer des fonctions à des points X? (0.2?), Et aux points 0 et 2? au sens. La somme de la quantité de la ligne a la forme

c) La fonction décomposée dans une rangée de sinus doit être étrange. Par conséquent, nous fournirons la fonction spécifiée x2 dans (-π, π) une manière impaire, c'est-à-dire. Nous considérons la fonction. Pour cette fonction f (x) nous avons un \u003d 0 (n \u003d 0, 1, 2, ...) et

La décomposition souhaitée a la forme.

La somme de la quantité de la ligne a la forme

Notez qu'à points x \u003d (-π, π), la ligne Fourier converge à zéro.

№7 Poser une fonction spécifiée graphiquement dans Fourier:

Décision . Nous obtenons une expression explicite pour f (x). Le graphique de la fonction est une ligne droite, nous utilisons l'équation directe sous la forme. Comme on peut le voir sur le dessin ,, I.e. f (x) \u003d x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.

Cette fonctionnalité satisfait aux termes du Dirichlet, de sorte qu'il se décompose dans la série Fourier. Calculez les coefficients de Fourier ( l. = 1):

; (n \u003d 1, 2, ...);

Série Fourier pour la fonction F (x) a la vue

Il représente la fonction f (x) à -1< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.

№8. Envoyez la fonction de la ligne trigonométrique de Fourier sur le segment et spécifiez la fonction à laquelle la série résultante converge.

Décision.Dessinez un calendrier d'une fonction en continuant périodiquement avec une période ou sur l'axe entier. La fonction continue a une période.

Vérifiez les conditions de signes suffisants de la convergence de la série Fourier (Dini-Lipschitsa, Jordanie, Dirichlet).

Fonction par morceaux monotonna sur le segment: il augmente sur et sur. Aux points, la fonction a le premier type de lacunes.

Découvrez la parité ou la bizarrerie de la fonction: la fonction n'est ni même ni impair.

a) Si la fonction est spécifiée sur

b) Si la fonction est définie sur

Créer une ligne Fourier Fonction :.

Spécifiez la fonction à laquelle cette série convergera, en utilisant les signes actuels de convergence: selon le signe de Dirichle, une série de fonctions de Fourier converge au montant:

№9. Éliminez la fonction d'une série de Fourier sur Sines ON et avec l'aide de cette décomposition pour trouver la somme de la série numérique.

Décision.Continuez que la fonction est même (impair) sur (- p.0) ou (- l.0), puis périodiquement avec une période de 2 p. ou 2 l. Continuez la fonction sur l'axe entier.

Nous continuons la fonction de manière étrange, puis périodiquement, avec une période, continuera à l'axe entier.

Dessiner un graphique d'une continuation périodique. Nous obtiendrons la fonction du formulaire:

Vérifiez les conditions de signes suffisants de la convergence de la série Fourier (Dini-Lipica, Jordanie, Dirichlet).

Fonction Constante par morceaux dans l'intervalle: il est égal à -1 sur et 1 sur. Aux points, la fonction a le premier type de lacunes.

Calculez les coefficients de Fourier:

Ses coefficients de Fourier sont calculés par des formules:

Faire une ligne Fourier Fonction. .

Spécifiez la fonction à laquelle cette série convergera, en utilisant les signes de détective de la convergence.

Selon le signe de Dirichle, un certain nombre de fonctions de Fourier convergent au montant:

Par conséquent, pour

En substituant les valeurs, spécifiez la somme de la série numérique spécifiée.

Croire dans la décomposition résultante, nous allons trouver

où, parce que.

№10. Écrivez l'égalité des parquins pour une fonction et, sur la base de cette égalité, trouvez le montant de la série numérique.

Décision.Installez si cette fonctionnalité est une fonction avec un carré intégrable.

La fonction est continue et donc intégrée sur. Pour la même raison, son carré s'intègre.

Calculez des coefficients de Fourier par formules:

Depuis une fonction étrange, ses coefficients de Fourier sont calculés par des formules:

Calculer l'intégrale.

Écrivez une formule Parseval:

Ainsi, la formule Parseval a la forme

Disposés, si nécessaire, des actions arithmétiques dans les parties droite et gauche, pour obtenir la quantité de cette série numérique.

Partage des deux parties de l'égalité obtenue par 144, nous trouvons :.

№11. Trouver des fonctions intégrées de Fourier

et construire le calendrier.

Décision.Construire un graphique d'une fonction.

Vérifiez l'accomplissement des conditions de signes suffisants de la convergence de la Fourier Integral (Dini, Dirichlet-Jordan ou les conséquences d'entre eux).

La fonction est absolument intégrée dans l'écart, continue lorsque et, et au point, il y a une lacune du premier type. En outre, avec et la fonction a un dérivé fini et les dérivés finaux droit et gauche existent en zéro. Découvrez la parité ou la bizarrerie de la fonction. La fonction n'est ni même ni impair. ; .

Donc, ou,

Près de Fourier Les fonctions F (x) sur l'intervalle (-π; π) sont appelées série trigonométrique de la forme:
où

Près de la fonction Fourier F (x) sur l'intervalle (-L; L) est appelée série trigonométrique de la forme:
où

Objectif. Calculatrice en ligne Conçu pour décomposer la fonction F (x) dans une rangée de Fourier.

Pour les fonctions de module (par exemple, | x |), utilisation décomposition par cosinus.

Règles de saisie de fonctions:

Pour les fonctions de module, utilisez la décomposition de la cosinus. Par exemple, pour | x | Il est nécessaire d'entrer une fonction sans module, c'est-à-dire X.

Série de Fourier Paice-pied continu, par morceaux monotones et limités sur l'intervalle (- l.;l.) Les fonctions convergent sur l'axe numérique complet.

La somme de la série Fourier S (x):

• c'est une fonction périodique avec une période de 2 l.. La fonction U (X) est appelée périodique avec une période T (ou T-périodique), si pour la totalité de la région x R, U (x + t) \u003d u (x).
• sur l'intervalle (- l.;l.) coïncide avec la fonction f.(x.), sauf pour les points de rupture
• aux points de rupture (premier type, car la fonction est limitée) Fonctions f.(x.) Et aux extrémités de l'intervalle prend des moyennes:

.
On dit que la fonction est disposée dans une série de Fourier sur l'intervalle (- l.;l.): .

Si un f.(x.) - même fonction, alors seules des fonctions sont impliquées dans sa décomposition, c'est-à-dire b N.=0.
Si un f.(x.) - une fonction étrange, alors seules les fonctions impaires sont impliquées dans sa décomposition, c'est-à-dire uN.=0

Près de Fourier Les fonctions f.(x.) sur l'intervalle (0; l.) sur Dougs de cosinine appelé ligne:
où
.
Près de Fourier Les fonctions f.(x.) sur l'intervalle (0; l.) sur les sines de multiple arc appelé ligne:
où .
La somme de la série de Fourier par cosinus de multiples arcs est une fonction pareile et une période de 2 l.Coïncidant f.(x.) sur l'intervalle (0; l.) À des points de continuité.
La somme de la série Fourier en Sines de plusieurs arcs est une fonction périodique étrange avec une période de 2 l.Coïncidant f.(x.) sur l'intervalle (0; l.) À des points de continuité.
La série Fourier pour cette fonction à cet intervalle a la propriété de l'unicité, c'est-à-dire si la décomposition est obtenue de toute autre manière que l'utilisation de formules, par exemple, à l'aide de la sélection des coefficients, alors ces coefficients coïncident avec les formules calculées par les formules.

Exemple numéro 1. Poser la fonction f (x) \u003d 1:
a) Dans la gamme complète de Fourier sur l'intervalle(-π ;π);
b) dans une rangée sur les sines de multiples arcs sur l'intervalle(0;π); construire un graphique de la série Fourier résultante
Décision:
a) la décomposition dans une série de Fourier sur l'intervalle (-π; π) a la forme:
,
et tous les coefficients b N.\u003d 0, parce que Cette fonctionnalité est même; de cette façon,

Évidemment, l'égalité sera effectuée si vous prenez
mais 0 =2, mais 1 =mais 2 =mais 3 =…=0
En vertu des propriétés de l'unicité, il s'agit des coefficients désirés. Ainsi, la décomposition souhaitée: ou juste 1 \u003d 1.
Dans ce cas, lorsqu'une série coïncide identique à sa fonction, le calendrier d'une série de Fourier coïncide avec le calendrier de la fonction sur toute la ligne numérique.
b) la décomposition sur l'intervalle (0; π) sur les sines de multiples arcs a la forme:
Il est impossible de choisir les coefficients afin que l'égalité soit identique impossible. Nous utilisons la formule pour calculer les coefficients:


Ainsi, pour même n. (n.=2k.) Avoir b N.\u003d 0, pour impair ( n.=2k.-1) -
Pour terminer, .
Nous construisons un graphique de la série Fourier résultante en utilisant ses propriétés (voir ci-dessus).
Tout d'abord, nous construisons un graphique de cette fonction à un intervalle spécifié. Ensuite, en utilisant la précision de la somme du nombre, nous continuons le calendrier symétriquement le début des coordonnées:

Nous continuons de manière périodique sur l'ensemble de l'axe numérique:


Et enfin, aux points d'écart, remplissez la moyenne (entre la limite droite et la limite gauche) de la valeur:

Exemple numéro 2. Rejeter la fonction Sur l'intervalle (0; 6) sur les sines de plusieurs arcs.
Décision: La décomposition souhaitée a la forme:

Depuis la gauche, et la partie droite de l'égalité ne contient que fonctions péché. De divers arguments, vérifiez s'ils correspondent à toutes les valeurs de N (naturel!) Les arguments des sinus dans les parties gauche et droite de l'égalité:
Ou, d'où n \u003d 18. Cela signifie qu'un tel terme est contenu sur le côté droit et le coefficient qu'il doit coïncider avec le coefficient du côté gauche: b. 18 =1;
Ou, d'où n \u003d 4. Ça veut dire b. 4 =-5.
Ainsi, avec l'aide de la sélection des coefficients, il était possible d'obtenir la décomposition souhaitée.