Побудова стохастичною моделі. Метод побудови стохастичних моделей однокрокових процесів Демидова анастасія вячеславовна Стохастические диференціальні рівняння

В останніх розділах цієї книги стохастичні процеси майже завжди представляються з використанням лінійних диференціальних систем, порушуваних білим шумом. Це уявлення стохастичного процесу зазвичай має наступну форму. Припустимо, що

а - білий шум. Вибираючи таке уявлення стохастичного процесу V, його можна моделювати. Іспользоваййе таких моделей може бути обгрунтовано наступним чином.

а) У природі часто зустрічаються стохастичні явища, пов'язані з впливом швидко мінливих флуктуацій на інерційну диференціальну систему. Типовим прикладом білого шуму, що діє на диференціальну систему, є тепловий шум в електронній ланцюга.

б) Як буде видно з подальшого, в лінійній теорії управління майже завжди розглядаються тільки середнє значення і. ковариация стохастичного процесу. Для лінійної моделі ксегда можна апроксимувати будь-які отримані експериментально характеристики середнього значення і ковариационной матриці з довільною точністю.

в) Іноді виникає завдання моделювання стаціонарного стохастичного процесу з відомої спектральної щільністю енергії. В цьому випадку завжди є можливість генерувати стохастический процес як процес на виході лінійної диференціальної системи; при цьому матриця спектральних густин анергии аппроксимирует з довільною точністю матрицю спектральних густин енергії вихідного стохастичного процесу.

Приклади 1.36 і 1.37, так само як і завдання 1.11, ілюструють метод моделювання.

Приклад 1.36. Диференціальна система першого порядку

Припустимо, що виміряна ковариационная функція стохастичного скалярного процесу про який відомо, що він є стаціонарним, описується експоненційної функцією

Цей процес можна моделювати при як стан диференціальної системи першого порядку (див. Приклад 1.35)

де - білий шум інтейсівності - стохастична величина з нульовим середнім і дисперсією.

Приклад 1.37. змішувальний бак

Розглянемо змішувальний бак з прикладу 1.31 (розд. 1.10.3) і обчислимо для нього матрицю дисперсій вихідний змінної прикладі 1.31 передбачалося, що флуктуації концентрацій в потоках описуються експоненціально корельованими шумами і, таким чином, можуть бути змодельовані як рішення системи першого порядку, порушуємо білим шумом. Додамо тепер до диференціальних рівнянь змішувального бака рівняння моделей стохастичних процесів Отримаємо

Тут - скалярний білий шум інтенсивності щоб

отримати дисперсію процесу рівною приймемо Для процесу використовуємо аналогічну модель. Таким чином, отримаємо систему рівнянь

Побудова стохастичною моделі включає розробку, оцінку якості і дослідження поведінки системи за допомогою рівнянь, що описують досліджуваний процес.

Для цього шляхом проведення спеціального експерименту з реальною системою видобувається вихідна інформація. При цьому використовуються методи планування експерименту, обробки результатів, а також критерії оцінки отриманих моделей, що базуються на таких розділах математичної статистики як дисперсійний, кореляційний, регресійний аналіз та ін.

В основі методів побудови статистичної моделі, яка описує технологічний процес (рис.6.1) лежить концепція «чорного ящика». Для нього можливі багаторазові вимірювання вхідних факторів: x 1, x 2, ..., x k і вихідних параметрів: y 1, y 2, ..., y p , За результатами яких встановлюють залежно:

При статистичному моделюванні слідом за постановкою завдання (1) проводиться відсіювання найменш важливих факторів з великого числа вхідних змінних, що впливають на хід процесу (2). Обрані для подальшого дослідження вхідні змінні складають список факторів x 1, x 2, ..., x k в (6.1), керуючи якими можна регулювати вихідні параметри y n. Кількість вихідних параметрів моделі також слід по можливості зменшити, щоб скоротити витрати на експерименти і обробку даних.

При розробці статистичної моделі зазвичай її структура (3) задається довільно, у вигляді зручних для використання функцій, що апроксимують досвідчені дані, а потім уточнюється на основі оцінки адекватності моделі.

Найбільш часто використовується поліноміальна форма моделі. Так, для квадратичної функції:

(6.2)

де b 0, b i, b ij, b ii - коефіцієнти регресії.

Зазвичай спочатку обмежуються найбільш простий лінійної моделлю, для якої в (6.2) b ii \u003d 0, b ij \u003d 0. У разі її неадекватності ускладнюють модель введенням членів, що враховують взаємодію факторів x i, x j і (або) квадратичних членів.

З метою максимального вилучення інформації з проведених експериментів і зменшення їх числа проводиться планування експериментів (4) тобто вибір кількості і умов проведення дослідів необхідних і достатніх для вирішення із заданою точністю поставленого завдання.

Для побудови статистичних моделей застосовують два види експериментів: пасивний і активний. пасивний експеримент проводиться у формі тривалого спостереження за ходом некерованого процесу, що дозволяє зібрати великий ряд даних для статистичного аналізу. В активному експериментіє можливість регулювання умов проведення дослідів. При його проведенні найбільш ефективно одночасне варіювання величини всіх факторів за певним планом, що дозволяє виявити взаємодію факторів і скоротити число дослідів.

На основі результатів проведених експериментів (5) обчислюють коефіцієнти регресії (6.2) і оцінюють їх статистичну значущість, ніж завершується побудова моделі (6). Мірою адекватності моделі (7) є дисперсія, тобто середньоквадратичне відхилення обчислюються значень від експериментальних. Отримана дисперсія зіставляється з допустимою при досягнутої точності експериментів.

Серія «Економіка і управління»

6. Кондратьєв Н.Д. Великі цикли кон'юнктури і теорія передбачення. - М .: Економіка, 2002. 768 с.

7. Кузик Б.М., Кушлин В.І., Яковець Ю.В. Прогнозування, стратегічне планування і національне програмування. М .: Изд-во «Економіка», 2008. 573 с.

8. Лясніков Н.В., Дудін М.Н. Модернізація інноваційної економіки в контексті формування і розвитку венчурного ринку // Громадські науки. М .: Видавництво «МИИ Наука», 2011. № 1. С. 278-285.

9. Секерин В.Д., Кузнєцова О.С. Розробка стратегії управління інноваційним проектом // Вісник Московської державної академії ділового адміністрування. Серія: Економіка. - 2013. № 1 (20). - С. 129 - 134.

10. Яковлєв В.М., Сенін А.С. Інноваційного типу розвитку російської економіки немає альтернативи // Актуальні питання інноваційної економіки. М .: Видавничий Дім «Наука»; Інститут менеджменту та маркетингу Рахни і ГС при Президентові РФ, 2012. № 1 (1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Using environmental approach to innovation-oriented development of industrial enterprises // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, No.2, - P. 189-194.

12. Dudin M.N. A systematic approach to determining the modes of interaction of large and small businesses // European Journal of Economic Studies. 2012. Vol. (2), № 2, P. 84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Innovative Transformation and Transformational Potential of Socio-Economic Systems // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Vol. 17, № 10. P. 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. Innovative foresight as the method for management of strategic sustainable development of the business structures // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Vol. 26, № 8. - P. 1086-1089.

15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G Market: The Essence and Statistical Analysis // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014

Побудова однопараметричній, стохастичною моделі виробничого процесу

к.е.н. доц. Мордасов Ю.П.

Університет машинобудування, 8-916-853-13-32, mordasov2001 @ mail. ги

Анотація. Автором розроблена математична, стохастична модель виконання виробничого процесу, що залежить від одного параметра. Проведено апробацію моделі. Для цього створена імітаційна модель виробничого, машинобудівного процесу з урахуванням впливу випадкових збурень-збоїв. Порівняння результатів математичного і імітаційного моделювання підтверджує доцільність застосування математичної моделі на практиці.

Ключові слова: технологічний процес, математична, імітаційна модель, оперативне управління, апробація, випадкові обурення.

Витрати на оперативне управління можна значно скоротити, розробивши методику, що дозволяє знайти оптимум між витратами на оперативне планування і втратами, які виходять в результаті неузгодженості планових показників з показниками реальних виробничих процесів. Це означає, знайти оптимальну тривалість проходження сигналу в ланцюзі зворотного зв'язку. Практично це означає скорочення кількості розрахунків календарних графіків запуску у виробництво складальних одиниць і за рахунок цього економію матеріальних ресурсів.

Хід виробничого процесу в машинобудуванні носить імовірнісний характер. Постійне вплив безупинно мінливих чинників не дає можливості передбачити на деяку перспективу (місяць, квартал) хід виробничого процесу в просторі і часі. У статистичних моделях календарного планування стан деталі в кожен певний момент часу має задаватися у вигляді відповідної ймовірності (розподілу ймовірностей) знаходження її на різних робочих місцях. Разом з тим необхідно забезпечити детермінованість кінцевого результату діяльності підприємства. Це, в свою чергу, передбачає можливість за допомогою детермінованих методів планувати певні терміни перебування деталей у виробництві. Однак досвід показує, що різні взаємозв'язку і взаємопереходів реальних виробничих процесів різноманітні і численні. При розробці детермінованих моделей це створює значні труднощі.

Спроба врахувати всі чинники, що впливають на хід виробництва, робить модель громіздкою, і вона перестає виконувати функції інструмента планування, обліку і регулювання.

більш простим методом побудови математичних моделей складних реальних процесів, що залежать від великої кількості різних факторів, врахувати які важко або навіть неможливо, є побудова стохастичних моделей. В цьому випадку при аналізі принципів функціонування реальної системи або при спостереженні її окремих характеристик для деяких параметрів будують функції розподілу ймовірностей. При наявності високої статистичної стійкості кількісних характеристик процесу і їх малої дисперсії результати, одержані за допомогою побудованої моделі, добре узгоджуються з показниками функціонування реальної системи.

Основними передумовами побудови статистичних моделей економічних процесів є:

Надмірна складність і пов'язана з нею економічна неефективність відповідної детермірованной моделі;

Великі відхилення теоретичних показників, одержуваних у результаті експерименту на моделі, від показників реально функціонуючих об'єктів.

Тому бажано мати простий математичний апарат, що описує вплив стохастичних збурень на глобальні характеристики виробничого процесу (товарний випуск продукції, обсяг незавершеного виробництва і т.д.). Тобто побудувати математичну модель виробничого процесу, що залежить від невеликого числа параметрів і відображає сумарний вплив безлічі чинників, що мають різну природу, на хід виробничого процесу. Головне завдання, яке повинен ставити перед собою дослідник при побудові моделі, не пасивне спостереження за параметрами реальної системи, а побудова такої моделі, яка при будь-якому відхиленні під впливом збурень виводила б параметри відображаються процесів на заданий режим. Тобто при дії будь-якого випадкового фактора в системі повинен встановлюватися процес, який сходить до планового рішення. В даний час в автоматизованих системах управління ця функція в основному покладено на людину, яка становить одна ланка ланцюга зворотного зв'язку в управлінні виробничими процесами.

Звернемося до аналізу реального виробничого процесу. Зазвичай тривалість планового періоду (періодичність видачі планів цехах) вибирається, виходячи з традиційно сформованих календарних періодів часу: зміна, доба, п'ятиденка і т.п. Керуються при цьому в основному практичними міркуваннями. Мінімальна тривалість планового періоду визначається оперативними можливостями планованих органів. Якщо виробничо-диспетчерський відділ підприємства справляється з видачею скоригованих змінних завдань цехам, то розрахунок проводиться на кожну зміну (тобто щозміни проводяться витрати, пов'язані з розрахунком і аналізом планових завдань).

Для визначення числових характеристик розподілу ймовірностей випадкових віз

Серія «Економіка і управління» мущеній побудуємо вірогідну модель реального технологічного процесу виготовлення однієї складальної одиниці. Під технологічним процесом виготовлення складальної одиниці тут і надалі мається на увазі послідовність операцій (робіт з виготовлення даних деталі або вузла), документально закріплена в технології. Кожна технологічна операція виготовлення продукції відповідно до технологічного маршрутом може бути виконана тільки після попередньої. Отже, технологічний процес виготовлення складальної одиниці є послідовністю подій-операцій. Під впливом різних стохастичних причин тривалість виконання окремої операції може змінюватися. В окремих випадках операція може не виконатися протягом дії даного змінного завдання. Очевидно, що ці події можна розкласти на елементарні складові: виконання і невиконання окремих операцій, яким також можна поставити у відповідність ймовірності виконання і невиконання.

Для конкретного технологічного процесу ймовірність виконання послідовності, що складається з До операцій, можна виразити наступною формулою:

РС5 \u003d к) \u003d (1-рк + 1) ПГ \u003d 1Р1, (1)

де: Р1 - ймовірність виконання 1-ої операції, взятої окремо; г - номер операції по порядку в технологічному процесі.

Цією формулою можна користуватися для визначення стохастичних характеристик конкретного планового періоду, коли відомі номенклатура запускається у виробництво продукції і перелік робіт, які повинні бути виконані в даному плановому періоді, а також їх стохастичні характеристики, які визначаються дослідним шляхом. На практиці перерахованим вимогам задовольняють лише деякі види масового виробництва, що володіють високою статистичною стійкістю характеристик.

Ймовірність виконання однієї окремо взятої операції залежить не тільки від зовнішніх чинників, Але також від конкретного характеру виконуваної роботи і від виду складальної одиниці.

Для визначення параметрів наведеної формули навіть при відносно невеликому наборі складальних одиниць, при малих змінах номенклатури продукції, що випускається потрібно значний обсяг експериментальних даних, що викликає суттєві матеріальні та організаційні витрати і робить даний спосіб визначення ймовірності безперебійного виготовлення продукції маловживаних.

Піддамо отриману модель дослідження на предмет можливості її спрощення. Вихідною величиною аналізу є ймовірність бессбойную виконання однієї операції технологічного процесу виготовлення продукції. У реальних виробничих умовах ймовірності виконання операцій кожного виду різні. Для конкретного технологічного процесу ця ймовірність залежить:

Від виду виконуваної операції;

Від конкретної складальної одиниці;

Від виготовляється паралельно продукції;

Від зовнішніх факторів.

Проведемо аналіз впливу коливань величини ймовірності виконання однієї операції на укрупнені характеристики виробничого процесу виготовлення продукції (обсяг товарного випуску, обсяг незавершеного виробництва і т.п.), які визначаються з використанням даної моделі. Метою дослідження є аналіз можливості заміни в моделі різних ймовірностей виконання однієї операції середнім значенням.

Спільне вплив всіх перерахованих чинників враховується при обчисленні середньої геометричної ймовірності виконання однієї операції усередненого технологічного процесу. Аналіз сучасного виробництва показує, що вона коливається незначно: практично в межах 0,9 - 1,0.

Наочною ілюстрацією того, наскільки малу ймовірність виконання однієї опе

рації відповідає значення 0,9, є наступний абстрактний приклад. Припустимо, що потрібно виготовити десять деталей. Технологічні процеси виготовлення кожної з них містять по десять операцій. Ймовірність виконання кожної операції дорівнює 0,9. Знайдемо ймовірності відставання від графіка різної кількості технологічних процесів.

Випадкова подія, що полягає в тому, що конкретний технологічний процес виготовлення складальної одиниці відстане від графіка, відповідає недовиконання в цьому процесі хоча б однієї операції. Воно протилежно події: виконання всіх операцій без збою. Його ймовірність дорівнює 1 - 0,910 \u003d 0,65. Оскільки відставання від графіка є незалежними подіями, для визначення ймовірності відставання від графіка різної кількості технологічних процесів можна скористатися розподілом ймовірностей Бернуллі. Результати обчислень наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Розрахунок ймовірностей відставання від графіка технологічних процесів

до З ^ о0.35к0.651О-к Сума

З таблиці видно, що з імовірністю 0,92 від графіка відстануть п'ять технологічних процесів, тобто половина. Математичне сподівання кількості відстали від графіка технологічних процесів буде дорівнювати 6,5. Це означає, що в середньому від графіка будуть відставати 6,5 складальних одиниць з 10. Тобто в середньому будуть виготовлятися без збоїв від 3 до 4 деталі. Автору невідомі приклади такого низького рівня організації праці в реальному виробництві. Розглянутий приклад наочно показує, що накладається обмеження на величину ймовірності виконання без збоїв однієї операції чи не суперечить практиці. Всім перерахованим вимогам задовольняють виробничі процеси механоскладальних цехів машинобудівного виробництва.

Таким чином, для визначення стохастичних характеристик виробничих процесів пропонується побудувати розподіл ймовірностей пооперационного виконання одного технологічного процесу, яке виражає ймовірність виконання послідовності технологічних операцій виготовлення складальної одиниці через середню геометричну ймовірність виконання однієї операції. Ймовірність виконання До операцій в цьому випадку буде дорівнює добутку ймовірностей виконання кожної операції, помноженому на вірогідність невиконання решти технологічного процесу, яка збігається з ймовірністю невиконання (К + Т) -ої операції. Цей факт пояснюється тим, що якщо не виконається будь-яка операція, то такі з ним виконатися не можуть. Останній запис відрізняється від інших, так як висловлює ймовірність повного проходження без збоїв всього технологічного процесу. Ймовірність виконання До перших операцій технологічного процесу однозначно пов'язана з ймовірністю невиконання залишилися операцій. Таким чином, розподіл ймовірностей має такий вигляд:

Рй \u003d 0) \u003d р ° (1-р),

Р (§ \u003d 1) \u003d р1 (1-р), (2)

Р (^ \u003d 1) \u003d р1 (1-р),

Р (^ \u003d і-1) \u003d рп "1 (1 - р), Р (£ \u003d п) \u003d рп,

де: ^ - випадкова величина, Кількість виконати операцію;

р - середня геометрична ймовірність виконання однієї операції, п - кількість операцій в технологічному процесі.

Справедливість застосування отриманого, однопараметричного розподілу ймовірностей інтуїтивно можна простежити з таких міркувань. Припустимо, що ми вирахували середнє геометричне значення ймовірності виконання однієї 1 операції по вибірці, що складається з п елементів, де п досить велике.

р \u003d УЩТ7Р7 \u003d тл | п] т \u003d 1р!), (3)

де: Iу - кількість операцій, що мають однакову ймовірність виконання; ] - індекс групи операцій, що мають однакову ймовірність виконання; т - кількість груп, що складаються з операцій, що мають однакову ймовірність виконання;

^ \u003d - - відносна частота появи операцій з ймовірністю виконання р ^.

Згідно із законом великих чисел, при необмеженій кількості операцій відносна частота появи в послідовності операцій з певними стохастическими характеристиками прагне по ймовірності до ймовірності цієї події. Звідки випливає, що

для двох досить великих вибірок \u003d, значить:

де: т1, т2 - кількість груп в першій і другій вибірках, відповідно;

1 *, I2 - кількість елементів в групі першої і другої вибірок, відповідно.

Звідси видно, що якщо параметр розрахований для великої кількості випробувань, то він буде близький до параметру Р, розрахованим за даною досить великій вибірці.

Слід звернути увагу на різну близькість до істинного значення ймовірностей виконання різної кількості операцій технологічного процесу. У всіх елементах розподілу, крім останнього, присутній множник (I - Р). Оскільки величина параметра Р знаходиться в проміжку 0,9 - 1,0, множник (I - Р) коливається в межах 0 - 0,1. Цей множник відповідає множнику (I - р;) в вихідної моделі. Досвід показує, що це відповідність для конкретної ймовірності може викликати помилку до 300%. Однак на практиці зазвичай цікавляться не вірогідністю виконання будь-якого кількості операцій, а ймовірністю повного виконання без збоїв технологічного процесу. Ця ймовірність не містить множник (I - Р), і, отже, її відхилення від дійсного значення невелике (практично не більше 3%). Для економічних задач це досить висока точність.

Побудоване таким чином розподіл ймовірностей випадкової величини є стохастичною динамічною моделлю процесу виготовлення складальної одиниці. Час бере участь в ній неявно, як тривалість однієї операції. Модель дозволяє визначити ймовірність того, що через деякий проміжок часу (відповідну кількість операцій) виробничий процес виготовлення складальної одиниці не перерветься. Для механоскладальних цехів машинобудівного виробництва середня кількість операцій одного технологічного процесу досить велике (15 - 80). Якщо розглядати це число як базове і вважати, що в середньому при виготовленні однієї складальної одиниці використовується невеликий набір укрупнених типів робіт (токарні, слюсарні, фрезерні тощо),

то отримане розподіл можна з успіхом застосовувати для оцінки впливу стохастичних збурень на хід виробничого процесу.

Автором проводився імітаційний експеримент, побудований за цим принципом. Для генерації послідовності псевдовипадкових величин, рівномірно розподілених на відрізку 0,9 - 1,0, застосовувався датчик псевдовипадкових чисел, описаний в роботі. Програмне забезпечення експерименту написано на алгоритмічній мові КОБОЛ.

В експерименті формуються твори згенерованих випадкових величин, що імітують реальні ймовірності повного виконання конкретного технологічного процесу. Вони порівнюються з ймовірністю виконання технологічного процесу, отриманої при використанні середнього геометричного значення, яке обчислювалося для деякої послідовності випадкових чисел того ж розподілу. Середнє геометричне значення зводиться до степеня, що дорівнює кількості множників у творі. Між двома цими результатами обчислюється відносна різниця у відсотках. Експеримент повторюється для різної кількості множників в творах і кількості чисел, для яких обчислюється середнє геометричне значення. Фрагмент результатів експерименту наведено в таблиці 2.

Таблиця 2

Результати імітаційного експерименту:

п - ступінь середнього геометричного значення; до - ступінь твори

п до Твір Відхилення до Твір Відхилення до Твір Відхилення

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

При постановці даного імітаційного експерименту переслідувалася мета дослідити можливість отримання за допомогою розподілу ймовірностей (2) одну з укрупнених статистичних характеристик виробничого процесу - ймовірність виконання без збоїв одного технологічного процесу виготовлення складальної одиниці, що складається з До операцій. Для конкретного технологічного процесу ця ймовірність дорівнює добутку ймовірностей виконання всіх його операцій. Як показує імітаційний експеримент, її відносні відхилення від імовірності, отриманої з використанням розробленої імовірнісної моделі, не перевищують 9%.

Оскільки в імітаційному експерименті використано більш незручне, ніж реальне, розподіл ймовірностей, то практичні розбіжності будуть ще менше. Відхилення спостерігаються як в сторону зменшення, так і в бік перевищення значення, отриманого виходячи з усереднених характеристик. Цей факт наводить на думку, що якщо розглядати відхилення ймовірності бессбойную виконання не окремої технологічного процесу, а декількох, то воно буде значно менше. Очевидно, що воно буде тим менше, чим більше технологічних процесів будуть розглядатися. Таким чином, імітаційний експеримент показує гарне узгодження ймовірності виконання без збоїв технологічного процесу виготовлення продукції з ймовірністю, що отримується при використанні однопараметричній математичної моделі.

Крім того, імітаційні експерименти проводилися:

Для дослідження статистичної збіжності оцінки параметра розподілу ймовірностей;

Для дослідження статистичної стійкості математичного очікування числа виконати без збоїв операцій;

Для аналізу методик визначення тривалості мінімального планового періоду і оцінки неузгодженості планових і реальних показників виробничого процесу, при розбіжності в часі планового і виробничого періодів.

Експерименти показали хороше відповідність теоретичних даних, одержуваних на основі застосування методик, і емпіричних даних, одержуваних за допомогою імітації на

Серія «Економіка і управління»

ЕОМ реальних виробничих процесів.

На основі застосування побудованої математичної моделі автором розроблені три конкретних методики підвищення ефективності оперативного управління. Для їх апробації проводилися окремі імітаційні експерименти.

1. Методика визначення раціонального обсягу виробничого завдання на плановий період.

2. Методика визначення найбільш ефективної тривалості оперативного планового періоду.

3. Оцінка неузгодженості при розбіжності в часі планового і виробничого періодів.

література

1. Мордасов Ю.П. Визначення тривалості мінімального оперативного планового періоду в умовах дії випадкових збурень / Економіко-математичне та імітаційне моделювання із застосуванням ЕОМ. - М: МІУ ім. С. Орджонікідзе, 1984.

2. Нейлор Т. Машинні імітаційні експерименти з моделями економічних систем. -М: Світ, 1975.

Перехід від концентрації до диверсифікації - ефективний шлях розвитку економіки малого та середнього бізнесу

проф. Козленко Н. Н. Університет машинобудування

Анотація. У даній статті розглянута проблема вибору найбільш ефективного розвитку російських підприємств малого та середнього бізнесу за допомогою переходу від стратегії концентрації до стратегії диверсифікації. Розглянуто питання доцільності диверсифікації, її переваги, критерії вибору шляху диверсифікації, наведено класифікацію стратегій диверсифікації.

Ключові слова: підприємства малого і середнього бізнесу; диверсифікація; стратегічне відповідність; конкурентні переваги.

Активне зміна параметрів макросередовища (зміна кон'юнктури ринку, поява нових конкурентів в суміжних галузях, зростання рівня конкуренції взагалі) часто призводить до невиконання намічених стратегічних планів підприємств малого і середнього бізнесу, втрат фінансово-економічної стійкості підприємств через значного розриву між об'єктивними умовами діяльності малих підприємств і рівнем технології управління ними.

Основними умовами економічної стабільності і можливості збереження конкурентних переваг є здатність системи управління своєчасно реагувати і змінювати внутрішні виробничі процеси (змінювати асортимент з урахуванням диверсифікації, перебудовувати виробничо-технологічні процеси, змінювати структуру організації, використовувати інноваційні інструменти маркетингу і менеджменту).

Дослідження практики російських підприємств малого і середнього бізнесу виробничого типу і сервісного обслуговування дозволило виявити такі особливості і базові причинно-наслідкові зв'язки, що стосуються сучасної тенденції переходу малих підприємств від концентрації до диверсифікації.

Більшість компаній малого і середнього бізнесу починають свою діяльність з невеликих підприємств з одним видом бізнесу, які обслуговують місцеві або регіональні ринки. На початку своєї діяльності номенклатура продукції такої компанії вельми обмежена, капітальна база її слабка, а конкурентні позиції уразливі. Зазвичай в стратегії таких компаній головна увага приділяється зростанню обсягу продажів і частки ринку, а також

Як випливає з назви, даний вид моделей орієнтований на опис систем, які проявляють статистично закономірне випадкове поводження, а час в них можна розглядати як дискретну величину. Сутність дискретизації часу така ж, як і в дискретно-детермінованих моделях. Моделі систем такого роду можуть бути побудовані на основі двох схем формалізованого опису. По-перше, це звичайно-різницеві рівняння, серед змінних яких використовують функції, що задають випадкові процеси. По-друге, в них застосовують імовірнісні автомати.

Приклад побудови дискретно-стохастичною системи.Нехай є деяка виробнича система, структура якої зображена на рис. 3.8. В рамках цієї системи переміщається однорідний матеріальний потік, що проходить стадії складування і виробництва.

Нехай, наприклад, потік сировини складається з металевих болванок, які складуються на вхідному складі. Потім ці болванки надходять на виробництво, де з них виробляють якийсь виріб. Готові вироби складуються на вихідному складі, звідки їх забирають для подальших дій з ними (передають на наступні фази виробництва або на реалізацію). У загальному випадку така виробнича система перетворює матеріальні потоки сировини, матеріалів і напівфабрикатів в потік готової продукції.

Нехай крок зміни часу в даній виробничій системі буде дорівнювати одиниці (Д? \u003d 1). За одиницю ми приймемо зміну роботи цієї системи. Будемо вважати, що процес виготовлення виробу триває один часовий крок.

Мал. 3.8, Схема виробничої системи

Управління виробничим процесом здійснюється спеціальним регулюючим органом, якому поставлено план випуску виробів у вигляді директивної інтенсивності випуску продукції (кількість виробів, яке необхідно виготовити за одиницю часу, в даному випадку за зміну). Позначимо цю інтенсивність d t.Фактично це швидкість випуску продукції. нехай d t \u003d а + bt,т. е. є лінійною функцією. Це означає, що з кожною наступною зміною план збільшується на величину bt.

Оскільки ми маємо справу з однорідним матеріальним потоком, то вважаємо, що в середньому обсяг сировини, що приходить в систему в одиницю часу, обсяг виробництва в одиницю часу, обсяг готової продукції, що йде в одиницю часу з системи, повинні бути рівні d t.

Вхідний і вихідний потоки для регулюючого органу некеровані, їх інтенсивність (або швидкість - число болванок або виробів в одиницю часу, відповідно приходять в систему і йдуть з неї) повинні бути рівні d t.Однак в процесі транспортування болванки можуть бути загублені, або частина з них буде неякісної, або з якихось причин їх надійде більше, ніж потрібно, і т.п. Тому будемо вважати, що вхідний потік має інтенсивністю:

х t вх \u003d d t +ξ t вх,

де ξ 1 вх - рівномірно розподілена випадкова величина від -15 до +15.

Приблизно ті ж самі процеси можуть відбуватися з вихідним потоком. Тому вихідний потік володіє наступною інтенсивністю:

х t в и х \u003d d t +ξ t вих,

де ξ t вих - нормально розподілена випадкова величина з нульовим математичним очікуванням і дисперсією, яка дорівнює 15.

Будемо вважати, що і в процесі виробництва є випадковості, пов'язані з неявкою робочих на роботу, поломкою верстатів і т.п. Описує ці випадковості нормально розподілена випадкова величина з нульовим математичним очікуванням і дисперсією, яка дорівнює 15. Позначимо її ξ t / Процес виробництва триває одиницю часу, за яку з вхідного складу вилучається x tсировини, потім цю сировину обробляється і передається на вихідний склад за ту ж одиницю часу. Регулюючий орган отримує інформацію про роботу системи трьома можливими способами (вони відзначені цифрами 1, 2, 3 на рис. 3.8). Ми вважаємо, що ці способи отримання інформації з будь-яких причин є в системі взаємовиключними.

Спосіб 1.Регулюючий орган отримує тільки інформацію про стан вхідного складу (наприклад, про зміну запасів на складі або про відхилення обсягу запасів від їх нормативного рівня) і по ній судить про швидкості протікання виробничого процесу (про швидкість вилучення сировини зі складу):

1) (u t вх - u t-1 вх )- зміна обсягу запасів на складі (u t вх - обсяг сировини на вхідному складі в момент часу t);

2) (ù- u t вх) - відхилення обсягу сировини на вхідному складі від норми запасів.

спосіб2. Регулюючий орган отримує інформацію безпосередньо з виробництва (X t -фактична інтенсивність виробництва) і порівнює її з директивної інтенсивністю (D t -x t).

Спосіб 3.Регулюючий орган отримує інформацію, як і при способі 1, але з вихідного складу в вигляді (u t вих - u t-1 вих )- або (Ù -u t вих). Він також судить про виробничий процес на підстави непрямих даних - зростанні або зменшенні запасів готової продукції.

Щоб підтримати задану інтенсивність випуску продукції d t,регулюючий орган приймає рішення y t,(або (Y t - y t - 1)),націлені на зміну фактичної інтенсивності випуску x t.В якості вирішення регулюючий орган повідомляє виробництву значення інтенсивності, з якою треба працювати, т. Е. x t \u003d y t.Другий варіант керуючого рішення - (Y t -y t-1),тобто регулюючий орган повідомляє виробництву, на скільки потрібно збільшити або зменшити інтенсивність виробництва (Х t х t-1).

Залежно від способу отримання інформації та виду змінної, яка описує керуючий вплив, на прийняття рішень можуть впливати такі величини.

1. База рішення (величина, якої повинна бути дорівнює фактична інтенсивність виробництва, якби не було відхилень):

директивна інтенсивність випуску в момент t (d t);

темп зміни директивної інтенсивності випуску в момент t (d t -d t-1).

2. Величина відхилення:

відхилення фактичного випуску від директивного (D t -x t);

відхилення фактичного обсягу випуску від планового обсягу

Σ d τ - Σ х τ

зміна рівня запасів на вхідному ( (u t вх - u t-1 вх) або вихідному

(U t вих - u t-1 вих) складах;

відхилення рівня запасів на вхідному (ù- u t вх) або вихідному ( ù -u t вих) складах від нормативного рівня.

У загальному випадку управлінське рішення, прийняте регулюючим органом, складається з наступних складових:

Приклади рішень:

y t \u003d d t + y (d t-1 -x t-1);

y t \u003d d t -y (ù -u t вих)

Беручи різні за формою рішення, регулюючий орган прагне досягти головної мети - наблизити фактичну інтенсивність випуску до директивної. Однак він не завжди може безпосередньо орієнтуватися в своїх рішеннях на ступінь досягнення цієї мети (D t - x t).Кінцеві результати можуть виражатися в досягненні локальних цілей - стабілізації рівня запасів на вхідному або вихідному складі ( і t вх (вих) - і t -1 вх (вих)) або в наближенні рівня запасів на складі до нормативного (і- і вх (вих)). Залежно від що досягається мети в керуючому рішенні визначається вид знака (+ або -) перед часткою неузгодженості, використовуваної для регулювання.

Нехай в нашому випадку регулюючий орган отримує інформацію про стан вхідного складу (зміна рівня запасів). Відомо, що в будь-якій системі управління мають місце запізнювання з вироблення і реалізації рішення. В даному прикладі інформація про стан вхідного складу надходить в орган регулювання з запізненням на один часовий крок. Таке запізнювання називається запізненням по виробленню рішення і означає, що до моменту отримання інформації в регулюючому органі реальний стан рівня запасів на вхідному складі буде вже іншим. Після того як регулюючий орган прийняв рішення у tтакож потрібен час (в нашому прикладі це буде одиниця часу) для доведення рішення до виконавця. Значить, фактична інтенсивність виробництва одно не y t,а тому рішенню, яке керуючий орган прийняв одиницю часу назад. Це - запізнювання по реалізації рішення.

Для опису нашої виробничої системи маємо такі рівняння:

x t BX \u003dd t + ξ t вх

x t вих \u003d D t +ξ t вих;

y t \u003d d t + y (u -u t-2 вх)

x t \u003d y t-1 + ξ t

u t вх - u t-1 вх \u003d x t вх - x t

Дана система рівнянь дозволяє побудувати модель виробничої системи, в якій вхідними змінними будуть d t, ξ t вх, ξ t вих, ξ t, а

вихідний - x t.Це так, оскільки зовнішній спостерігач розглядає наше виробництво як систему, яка одержує сировину з інтенсивністю d tі виробляє продукцію з інтенсивністю x t,піддаючись випадковостям ξ t вх, ξ t вих, ξ t. Здійснивши всі підстановки в отриманій системі рівнянь, приходимо до одного рівняння динаміки, що характеризує поведінку x tзалежно від d t, ξ t вх, ξ t вих, ξ t.

Розглянута вище модель не містила обмежень на обсяги складів і потужності виробництва. Якщо прийняти, що ємність вхідного складу дорівнює V вх, ємність вихідного складу - V BX, a потужність виробництва - М,то нова система рівнянь для такої нелінійної виробничої системи буде наступною:

x t BX \u003d Min ((d t+ Ξ t вх), (V вх - u t вх)) - не можна на вхідний склад покласти більше, ніж дозволить місце;

x вих \u003d Min ((d t+ Ξ t вих), (V вих - u t вих)) - не можна взяти з вихідного складу більше виробів, ніж там є;

y t \u003d d t + y (u t вх -u t-1 вх)

x t BX = min (( u t вх, ( y t-1+ Ξ t вх), М,(V вих - u t вих)) - не можна виробити більше виробів, ніж наказано, обмежуючими факторами є число наявних заготовок і наявність вільного місця на вихідному складі;

u t вх -u t-1 вх \u003d x t BX - x t

4. Схема побудови стохастичних моделей

Побудова стохастичною моделі включає розробку, оцінку якості і дослідження поведінки системи за допомогою рівнянь, що описують досліджуваний процес. Для цього шляхом проведення спеціального експерименту з реальною системою видобувається вихідна інформація. При цьому використовуються методи планування експерименту, обробки результатів, а також критерії оцінки отриманих моделей, що базуються на таких розділах математичної статистики як дисперсійний, кореляційний, регресійний аналіз та ін.

Етапи розробки стохастичною моделі:

постановка задачі

вибір факторів і параметрів

вибір виду моделі

планування експерименту

реалізація експерименту за планом

побудова статистичної моделі

перевірка адекватності моделі (пов'язана з 8, 9, 2, 3, 4)

коригування моделі

дослідження процесу за допомогою моделі (пов'язано з 11)

визначення параметрів оптимізації і обмежень

оптимізація процесу за допомогою моделі (пов'язана з 10 і 13)

експериментальна інформація засобів автоматики

управління процесом за допомогою моделі (пов'язано з 12)

Об'єднання етапів з 1 по 9 дає нам інформаційну модель, з першого по одинадцятий - оптимізаційна модель, об'єднання всіх пунктів - модель управління.

5. Інструментальні засоби обробки моделей

За допомогою CAE-систем можна проводити наступні процедури обробки моделей:

накладення сітки кінцевих елементів на 3-х мірну модель,

завдання теплонапруженого стану; завдання гідрогазодинаміки;

завдання тепломасообміну;

контактні задачі;

кінематичні та динамічні розрахунки і ін.

імітаційне моделювання складних виробничих систем на основі моделей масового обслуговування та мереж Петрі

Зазвичай CAE-модулі дають можливість кольорового і півтонування, накладення вихідної і деформованої деталі, візуалізації потоків рідини і газу.

Приклади систем моделювання полів фізичних величин відповідно до МСЕ: Nastrаn, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Приклади систем моделювання динамічних процесів на макрорівні: Adams і Dyna - в механічних системах, Spice - в електронних схемах, ПА9 - для багатоаспектного моделювання, тобто для моделювання систем, принципи дії яких засновані на взаємовплив фізичних процесів різної природи.

6. Математичне моделювання. Аналітичні і імітаційні моделі

Математична модель -сукупність математичних об'єктів (чисел, змінних, множин та ін.) і відносин між ними, яка адекватно відображає деякі (істотні) властивості проектованого технічного об'єкта. Математичні моделі можуть бути геометричними, топологічними, динамічними, логічними та ін.

- адекватність представлення об'єктів, що моделюються;

Область адекватності - область в просторі параметрів, в межах якої похибки моделі залишаються в допустимих межах.

- економічність (обчислювальна ефективність)- визначається витратами ресурсів,
необхідних для реалізації моделі (витрати машинного часу, використовувана пам'ять і ін.);

- точність -визначає ступінь збігу розрахункових і дійсних результатів (ступінь відповідності оцінок однойменних властивостей об'єкта і моделі).

Математичне моделювання- процес побудови математичних моделей. Включає наступні етапи: постановка задачі; побудова моделі і її аналіз; розробка методів отримання проектних рішень на моделі; експериментальна перевірка і коректування моделі і методів.

Якість створюваних математичних моделей багато в чому залежить від правильної постановки завдання. Необхідно визначити техніко-економічні цілі розв'язуваної задачі, провести збір та аналіз всієї вихідної інформації, визначити технічні обмеження. В процесі побудови моделей слід використовувати методи системного аналізу.

Процес моделювання, як правило, носить ітераційний характер, який передбачає на кожному кроці ітерацій уточнення попередніх рішень, прийнятих на попередніх етапах розробки моделей.

Аналітичні моделі -чисельні математичні моделі, які можна представити у вигляді явно виражених залежностей вихідних параметрів від параметрів внутрішніх і зовнішніх. Імітаційні моделі -чисельні алгоритмічні моделі, що відображають процеси в системі при наявності зовнішніх впливів на систему. Алгоритмічні моделі - моделі, в яких зв'язок вихідних, внутрішніх і зовнішніх параметрів задана неявно у вигляді алгоритму моделювання. Імітаційні моделі використовують часто на системному рівні проектування. Імітаційне моделювання виробляють шляхом відтворення подій, що відбуваються одночасно або послідовно в модельному часу. Прикладом імітаційної моделі може вважатися використання мережі Петрі для моделювання системи масового обслуговування.

7. Основні принципи побудови математичних моделей

Класичний (індуктивний) підхід.Реальний об'єкт, що підлягає моделюванню, розбивається на окремі підсистеми, тобто вибираються вихідні дані для моделювання і ставляться цілі, що відображають окремі сторони процесу моделювання. За окремою сукупності вихідних даних ставиться мета моделювання окремої сторони функціонування системи, на базі цієї мети формується деяка компонента майбутньої моделі. Сукупність компонент об'єднується в модель.

Такий класичний підхід може бути використаний при створенні досить простих моделей, в яких можливо поділ і взаємно незалежний розгляд окремих сторін функціонування реального об'єкта. Реалізує рух від часткового до загального.

Системний підхід. На основі вихідних даних, які відомі з аналізу зовнішньої системи, тих обмежень, які накладаються на систему зверху або виходячи з можливостей її реалізації, і на основі мети функціонування формулюються вихідні вимоги до моделі системи. На базі цих вимог формуються орієнтовно деякі підсистеми, елементи і здійснюється найбільш складний етап синтезу - вибір складових системи, для чого використовуються спеціальні критерії вибору. Системний підхід передбачає і деяку послідовність розробки моделей, яка полягає у виділенні двох основних стадій проектування: макропроектірованіе і мікропроектірованіе.

стадія макропроектірованіе - на основі даних про реальну системі і зовнішньому середовищі будується модель зовнішнього середовища, виявляються ресурси і обмеження для побудови моделі системи, вибирається модель системи і критерії, що дозволяють оцінити адекватність моделі реальної системи. Побудувавши модель системи і модель зовнішнього середовища, на основі критерію ефективності функціонування системи в процесі моделювання вибирають оптимальну стратегію управління, що дозволяє реалізувати можливість моделі по відтворенню окремих сторін функціонування реальної системи.

стадія мікропроектірованіе в значній мірі залежить від конкретного типу обраної моделі. У разі імітаційної моделі необхідно забезпечити створення інформаційного, математичного, технічного та програмного забезпечення системи моделювання. На цій стадії можна встановити основні характеристики створеної моделі, оцінити час роботи з нею і витрати ресурсів для отримання заданої якості відповідності моделі процесу функціонування системи .Незавісімо від типу використовуваної моделі
при її побудові необхідно керуватися рядом принципів системного підходу:

пропорційно-послідовне просування по етапах і напрямах створення моделі;

узгодження інформаційних, ресурсних, надежностних та інших характеристик;

правильне співвідношення окремих рівнів ієрархії в системі моделювання;

цілісність окремих відокремлених стадій побудови моделі.

Аналіз застосовуваних методів при математичному моделюванні

При математичному моделюванні рішення диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь з приватними похідними виконується чисельними методами. Ці методи засновані на дискретизації незалежних змінних - їхньому уявленні кінцевим безліччю значень в обраних вузлових точках досліджуваного простору. Ці точки розглядаються як вузли деякої сітки.

Серед сіткових методів найбільшого поширення набули два методи: метод кінцевих різниць (МКР) і метод скінченних елементів (МСЕ). Зазвичай виконують дискретизацію просторових незалежних змінних, тобто використовують просторову сітку. У цьому випадку результатом дискретизації є система звичайних диференціальних рівнянь, які потім при використанні крайових умов наводяться до системи алгебраїчних рівнянь.

Нехай необхідно вирішити рівняння LV(z) = f(z)

з заданими крайовими умовами MV(z) = .(z),

де Lі M -диференціальні оператори, V(z) - фазова змінна, z= (x1, x2, x3, t) - вектор незалежних змінних, f(z) І ψ. ( z) - задані функції незалежних змінних.

В МКРалгебраізація похідних по просторових координатах базується на апроксимації похідних кінцево-різницевими виразами. При використанні методу потрібно вибрати кроки сітки по кожній координаті і вид шаблону. Під шаблоном розуміють безліч вузлових точок, значення змінних в яких використовуються для апроксимації похідної в одній конкретній точці.

МСЕзаснований на апроксимації похідних, а самого рішення V(z). Але оскільки воно невідомо, то апроксимація виконується виразами з невизначеними коефіцієнтами.

При цьому мова йде про апроксимації рішення в межах кінцевих елементів, а з урахуванням їх малих розмірів можна говорити про використання порівняно простих апроксимуючих виразів (наприклад, - поліноми низьких ступенів). В результаті підстановки таких поліномів у вихідне диференціальне рівняння і виконання операцій диференціювання отримують значення фазових змінних в заданих точках.

Поліноміальна апроксимація. Використання методів пов'язане з можливістю апроксимації гладкої функції поліномом і подальшого використання аппроксимирующего полінома для оцінювання координати точки оптимуму. Необхідними умовами ефективної реалізації такого підходу є унімодальне і безперервність досліджуваної функції. Згідно з теоремою Вейєрштрасса про наближення, якщо функція неперервна в деякому інтервалі, то її з будь-яким ступенем точності можна апроксимувати поліномом достатньо високого порядку. Згідно з теоремою Вейерштрасса, якість оцінок координати точки оптимуму, одержуваних за допомогою аппроксимирующего полінома, можна підвищити двома способами: використанням полінома більш високого порядку і зменшенням інтервалу апроксимації. Найпростішим варіантом полиномиальной інтерполяції є квадратична апроксимація, яка заснована на тому факті, що функція, яка приймає мінімальне значення у внутрішній точці інтервалу, повинна бути принаймні квадратичної

Дисципліна «Моделі і методи аналізу проектних рішень» (Казаков Ю.М.)

Класифікація математичних моделей.

Рівні абстракції математичних моделей.

Вимоги до математичних моделей.

Схема побудови стохастичних моделей.

Інструментальні засоби обробки моделей.

Математичне моделювання. Аналітичні і імітаційні моделі.

Основні принципи побудови математичних моделей.

Аналіз застосовуваних методів при математичному моделюванні.

1. Класифікація математичних моделей

Математична модель (ММ) технічного об'єкта є сукупність математичних об'єктів (чисел, змінних, матриць, множин і т. П.) І відносин між ними, яка адекватно відображає властивості технічного об'єкта, що цікавлять інженера, який розробляє цей об'єкт.

За характером відображення властивостей об'єкта:

Функціональні - призначені для відображення фізичних чи інформаційних процесів, що протікають в технічних системах при їх функціонуванні. Типова функціональна модель являє собою систему рівнянь, що описують або електричні, теплові, механічні процеси, або процеси перетворення інформації.

Структурні - відображають структурні властивості об'єкта (топологічні, геометричні). . Структурні моделі найчастіше подаються у вигляді графів.

За належністю до ієрархічним рівнем:

Моделі мікрорівня - відображення фізичних процесів в безперервному просторі і часі. Для моделювання застосовують апарат рівнянь математичної фізики. Прикладами таких рівнянь служать диференціальні рівняння в приватних похідних.

Моделі макрорівня. Використовуються укрупнення, деталізація простору з фундаментального ознакою. Функціональні моделі на макрорівні є системи алгебраїчних або звичайних диференціальних рівнянь, для їх отримання і рішення використовують відповідні чисельні методи.

Моделі метоуровня. Укрупнене описують розглянуті об'єкти. Математичні моделі на метауровне - системи звичайних диференціальних рівнянь, системи логічних рівнянь, імітаційні моделі систем масового обслуговування.

За способом отримання моделі:

Теоретичні - будуються на підставі вивчення закономірності. На відміну від емпіричних моделей, теоретичні в більшості випадків є більш універсальними і застосовними для більш широкого діапазону завдань. Теоретичні моделі бувають лінійними і нелінійними, безперервними і дискретними, динамічними і статистичними.

емпіричні

Головні вимоги до математичних моделей в САПР:

адекватність представлення об'єктів, що моделюються;

Адекватність має місце, якщо модель відображає задані властивості об'єкта з прийнятною точністю і оцінюється переліком розкритих властивостей і областями адекватності. Область адекватності - область в просторі параметрів, в межах якої похибки моделі залишаються в допустимих межах.

економічність (обчислювальна ефективність) - визначається витратами ресурсів, необхідних для реалізації моделі (витрати машинного часу, використовувана пам'ять і ін.);

точність- визначає ступінь збігу розрахункових і дійсних результатів (ступінь відповідності оцінок однойменних властивостей об'єкта і моделі).

До математичних моделей пред'являється і цілий ряд інших вимог:

вичіслімость, Тобто можливість ручного або за допомогою ЕОМ дослідження якісних і кількісних закономірностей функціонування об'єкта (системи).

модульність, Тобто відповідність конструкцій моделі структурним складовим об'єкта (системи).

Алгорітмізіруемость, Тобто можливість розробки відповідного алгоритму і програми, що реалізує математичну модель на ЕОМ.

наочність, Тобто зручне візуальне сприйняття моделі.

Таблиця. Класифікація математичних моделей

ознаки класифікації	Види математичних моделей
1. Належність до ієрархічним рівнем	моделі мікрорівня моделі макрорівня моделі метауровня
2. Характер відображаються властивостей об'єкта	структурні функціональні
3. Спосіб подання властивостей об'єкта	аналітичні алгоритмічні імітаційні
4. Спосіб отримання моделі	теоретичні емпіричні
5. Особливості поведінки об'єкта	детерміновані імовірнісні

Математичні моделі на мікрорівнівиробничого процесу відображають фізичні процеси, що протікають, наприклад, при різанні металів. Вони описують процеси на рівні переходу.

Математичні моделі на макрорівні виробничого процесу описують технологічні процеси.

Математичні моделі на метауровне виробничого процесу описують технологічні системи (ділянки, цехи, підприємство в цілому).

Структурні математичні моделі призначені для відображення структурних властивостей об'єктів. Наприклад, в САПР ТП для представлення структури технологічного процесу, расцеховки виробів використовується структурно - логічні моделі.

Функціональні математичні моделі призначені для відображення інформаційних, фізичних, тимчасових процесів, що протікають в працюючому обладнанні, в ході виконання технологічних процесів і т.д.

Теоретичні математичні моделі створюються в результаті дослідження об'єктів (процесів) на теоретичному рівні.

Емпіричні математичні моделі створюються в результаті проведення експериментів (вивчення зовнішніх проявів властивостей об'єкта за допомогою вимірювання його параметрів на вході і виході) і обробки їх результатів методами математичної статистики.

Детерміновані математичні моделі описують поведінку об'єкта з позицій повної визначеності в сьогоденні і майбутньому. Приклади таких моделей: формули фізичних законів, технологічні процеси обробки деталей і т.д.

Імовірнісні математичні моделі враховують вплив випадкових факторів на поведінку об'єкта, тобто оцінюють його майбутнє з позицій ймовірності тих чи інших подій.

аналітичні моделі - чисельні математичні моделі, які можна представити у вигляді явно виражених залежностей вихідних параметрів від параметрів внутрішніх і зовнішніх.

Алгоритмічні математичні моделі висловлюють зв'язку між вихідними параметрами і параметрами вхідними і внутрішніми у вигляді алгоритму.

Імітаційні математичні моделі - це алгоритмічні моделі, що відображають розвиток процесу (поведінку досліджуваного об'єкта) в часі при завданні зовнішніх впливів на процес (об'єкт). Наприклад, це моделі систем масового обслуговування, задані в алгоритмічній формі.