Grafice funcții și tabelul proprietăților acestora. Studiu grafic al funcțiilor

13.08.2020

Principalele funcții elementare inerente proprietăților și graficelor corespunzătoare sunt una dintre Azov. cunoștințe matematicesimilar cu gradul de importanță cu tabelul de multiplicare. Funcțiile elementare sunt o bază bazată pe studierea tuturor problemelor teoretice.

Articolul de mai jos oferă materiale cheie pe tema funcțiilor elementare de bază. Vom introduce termeni, să le lăsăm definiții; Să studiem în detaliu fiecare tip de funcții elementare, vom analiza proprietățile acestora.

Următoarele tipuri de funcții elementare de bază se disting:

Definiție 1.

funcția constantă (constantă);
rădăcină n-grad;
funcția de alimentare;
functie exponentiala;
funcția logaritmică;
funcții trigonometrice;
funcțiile frate trigonometrice.

O funcție constantă este determinată prin formula: y \u003d c (c este un anumit număr) și are, de asemenea, un nume: constantă. Această funcție determină corespondența cu orice valoare validă a unei variabile independente x a aceleiași valori ale acelei variabile c.

Programul constantei este drept, care este paralel cu axa Abscisa și trece printr-un punct cu coordonate (0, C). Pentru claritate, oferim grafice de funcții permanente y \u003d 5, y \u003d - 2, y \u003d 3, y \u003d 3 (în desenul desemnat cu culori negre, roșii și albastre, respectiv).

Definiția 2.

Această funcție elementară este determinată prin formula y \u003d x n (N - numărul natural al mai multor unități).

Luați în considerare două variante ale funcției.

Rădăcina n -y de grad, n - Număr număr

Pentru claritate, indicați desenul, care prezintă grafice ale acestor funcții: y \u003d x, y \u003d x 4 și y \u003d x 8. Aceste funcții sunt marcate cu culoarea: negru, roșu și albastru, respectiv.

Vizualizare similară a funcțiilor unei funcții uniforme la diferite valori ale indicatorului.

Definiția 3.

Proprietăți Funcția Rădăcină N-ESH, N - Număr

zona de definiție este setul de numere valide ne-negative [0, + ∞);
când X \u003d 0, funcția y \u003d x n are o valoare egală cu zero;
acest funcția funcției forma generală (nu sau chiar ciudată);
zona de valoare: [0, + ∞);
această funcție y \u003d x n la indicatorii chiar al creșterii rădăcinii în zona de definiție;
funcția are convexitate spre în sus pe întreaga zonă de definiție;
nu există puncte de inflexiune;
asimptote sunt absente;
graficul funcției de la N chiar trece prin punctele (0; 0) și (1; 1).

Rădăcină N-I Grad, N este un număr impar

Această funcție este definită pe întregul set de numere valide. Pentru claritate, ia în considerare graficele funcțiilor y \u003d x 3, y \u003d x 5 și X 9. În desen, ele sunt indicate de flori: culori negre, roșii și albastre ale curbelor, respectiv.

Alte valori ciudate ale ratei rădăcinii funcției y \u003d x n va da un grafic al unei specii similare.

Definiție 4.

Proprietăți funcția n-es grad rădăcină, n - număr impar

zona de definiție este setul de toate numerele valide;
această caracteristică este ciudată;
gama de valori este setul de toate numerele valide;
funcția y \u003d x n cu indicatoare de rădăcini ciudate crește pe întreaga zonă de definiție;
funcția are o concavă pe interval (- ∞; 0] și convexitatea la intervalul [0, + ∞);
punctul de inflexiune are coordonate (0; 0);
asimptote sunt absente;
graficul funcției cu N ODD trece prin punctele (- 1; - 1), (0; 0) și (1; 1).

Funcția de alimentare

Definiție 5.

Funcția de alimentare este determinată prin formula Y \u003d x A.

Vizualizarea graficelor și proprietățile funcției depind de valoarea indicatorului.

atunci când o funcție de alimentare are un întreg indicator A, tipul de grafic al funcției de alimentare și proprietățile sale depind de indicatorul uni sau impar, precum și de semnul gradului. Luați în considerare toate aceste cazuri speciale mai detaliat mai jos;
un indicator al unei grade poate fi fracționat sau irațional - în funcție de aceasta, vizualizarea graficelor și proprietățile funcției variază. Vom analiza cazuri speciale prin stabilirea mai multor condiții: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funcția de alimentare poate avea un indicator zero, acest caz este citit, de asemenea, mai jos.

Vom analiza funcția de alimentare Y \u003d x A Când A este un număr pozitiv impar, de exemplu, A \u003d 1, 3, 5 ...

Pentru claritate, indicăm grafica a unor astfel de funcții de alimentare: y \u003d x (grafică negru), y \u003d x 3 (grafic albastru de culoare), y \u003d x 5 (grafică roșie), y \u003d x 7 (grafică verde). Când a \u003d 1, obținem o funcție liniară y \u003d x.

Definiția 6.

Proprietățile funcției de putere, atunci când indicatorul gradului este un impar pozitiv

funcția este în creștere cu x ∈ (- ∞; + ∞);
funcția are o umflătură la x ∈ (- ∞; 0] și o concavă la x ∈ [0; + ∞) (cu excepția funcției liniare);
punctul de inflexiune are coordonate (0; 0) (cu excepția funcției liniare);
asimptote sunt absente;
puncte de trecere ale funcției: (- 1; - 1), (0; 0), (1; 1).

Vom analiza funcția de alimentare y \u003d x A Când A este un număr pozitiv, de exemplu, A \u003d 2, 4, 6 ...

Pentru claritate, indică o grafică a acestor funcții de alimentare: y \u003d x 2 (graficul de culoare neagră) y \u003d x 4 (culoarea grafică albastră) y \u003d x 8 (grafică roșie). Când a \u003d 2, obținem o funcție patrată, graficul căruia este o parabolă patrată.

Definiție 7.

Proprietățile funcției de putere, atunci când indicatorul de grad este chiar pozitiv:

zona de definiție: x ∈ (- ∞; + ∞);
scădere la x ∈ (- ∞; 0];
funcția are o concavă la x ∈ (- ∞; + ∞);
punctele de înregistrare lipsesc;
asimptote sunt absente;
puncte de trecere ale funcției: (- 1; 1), (0; 0), (1; 1).

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice ale funcției de alimentare. Y \u003d x A Când A este un număr negativ impar: y \u003d x - 9 (grafică neagră); y \u003d x - 5 (grafic albastru de culoare); y \u003d x - 3 (grafică roșie); Y \u003d x - 1 (grafică verde). Când a \u003d - 1, obținem proporționalitate inversă, al cărei grafic este o hiperbolă.

Definiție 8.

Proprietățile funcției de alimentare, atunci când indicatorul de grad este un impar negativ:

Când X \u003d 0, obținem ruptura celui de-al doilea tip, deoarece Lim X → 0 - 0 x A \u003d - ∞, Lim X → 0 + 0 xa \u003d + ∞ la A \u003d - 1, - 3, - 5 ,. ... Astfel, linia dreaptă x \u003d 0 este asimptota verticală;

gama de valori: Y ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
funcția este ciudată, deoarece Y (- X) \u003d - Y (x);
funcția scade la x ∈ - ∞; 0 ∪ (0; + ∞);
funcția are o bulgăre la x ∈ (- ∞; 0) și o concavă la x ∈ (0; + ∞);
punctele de inflexție sunt absente;

k \u003d Lim X → ∞ x A x \u003d 0, B \u003d Lim X → ∞ (x A - K x) \u003d 0 ⇒ y \u003d k x + b \u003d 0, când a \u003d - 1, - 3, - 5 ,. . . .

puncte de trecere ale funcției: (- 1; - 1), (1; 1).

Figura de mai jos prezintă exemple de grafice ale funcției de alimentare y \u003d x A, când A este un număr egal: y \u003d x - 8 (graficul de culoare neagră); y \u003d x - 4 (grafic albastru de culoare); Y \u003d x - 2 (grafică roșie).

Definiția 9.

Proprietățile funcției de putere, atunci când indicatorul gradului este chiar negativ:

zona de definire: x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);

Când X \u003d 0, obținem ruptura celui de-al doilea tip, deoarece Lim X → 0 - 0 x A \u003d + ∞, Lim X → 0 x 0 xa \u003d + ∞ la A \u003d - 2, - 4, - 6 ,. ... Astfel, linia dreaptă x \u003d 0 este asimptota verticală;

funcția este chiar, deoarece y (- x) \u003d y (x);
funcția este în creștere cu X ∈ (- ∞; 0) și în scădere la x ∈ 0; + ∞;
funcția are o concavă la x ∈ (- ∞; 0) ∪ (0; + ∞);
punctele de inflexție sunt absente;
asimptotta orizontală - drept y \u003d 0, deoarece:

k \u003d Lim X → ∞ x A x \u003d 0, B \u003d Lim X → ∞ (x A - K x) \u003d 0 ⇒ y \u003d K x + B \u003d 0, când a \u003d - 2, - 4, - 6 ,. . . .

puncte de trecere ale funcției: (- 1; 1), (1; 1).

De la început, acordați atenție următoarelor aspecte: În cazul în care A este o fracțiune pozitivă cu un numitor ciudat, unii autori sunt luați ca zonă de determinare a acestui interval de funcționare a puterii - ∞; + ∞, în același timp, în același timp că indicatorul A este o fracțiune instabilă. În prezent, autorii multor publicații educaționale pe algebră și principiul analizei nu definesc funcțiile de putere, unde indicatorul este o fracțiune cu un numitor ciudat cu valori negative ale argumentului. Apoi, vom permite această poziție: luați zona de determinare a funcțiilor de putere cu indicatori pozitivi fracționați ai setului de grad [0; + ∞). Recomandarea pentru studenți: aflați opinia profesorului în acest moment pentru a evita dezacordurile.

Deci, vom analiza funcția de alimentare y \u003d x A când rata de grad este rațională sau numărul irațional, cu condiția ca 0< a < 1 .

Noi ilustrează funcțiile de alimentare a graficelor y \u003d x A atunci când a \u003d 11 12 (grafică neagră); A \u003d 5 7 (grafică roșie); A \u003d 1 3 (culoarea grafică albastră); A \u003d 2 5 (grafică verde).

Alte valori ale indicatorului gradului A (furnizate 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definiția 10.

Proprietățile funcției de alimentare la 0< a < 1:

gama de valori: Y ∈ [0; + ∞);
funcția este în creștere cu x ∈ [0; + ∞);
funcția are o umflătură la x ∈ (0; + ∞);
punctele de inflexție sunt absente;
asimptote sunt absente;

Vom analiza funcția de alimentare Y \u003d x A, când rata de grad este un număr rațional sau irațional care nu este țintă, cu condiția ca A\u003e 1.

Noi ilustrează funcția de alimentare a graficelor y \u003d x A În condițiile specificate de exemplu de astfel de funcții: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (negru, roșu, albastru, grafic verde, respectiv).

Alte valori ale indicatorului gradului și sub condiția A\u003e 1 vor oferi un tip similar de grafică.

Definiția 11.

Proprietățile funcției de alimentare la un\u003e 1:

definiție zonă: x ∈ [0; + ∞);
gama de valori: Y ∈ [0; + ∞);
această funcție este o funcție de formă comună (nu există nici ciudat, nici nici măcar);
funcția este în creștere cu x ∈ [0; + ∞);
funcția are o concavă la x ∈ (0; + ∞) (când 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
punctele de inflexție sunt absente;
asimptote sunt absente;
puncte de trecere ale funcției: (0; 0), (1; 1).

Vă acordăm atenția! Când a este o fracțiune negativă cu un numitor ciudat, în lucrările unor autori există o privire că zona de definiție în acest caz este intervalul - ∞; 0 ∪ (0; + ∞) Cu rezervarea, care este un indicator al gradului A este o fracțiune instabilă. În prezent, autorii materialelor educaționale pe algebră și principiul analizei nu definesc funcțiile de alimentare cu un indicator sub forma unei fracții cu un numitor ciudat cu valori negative ale argumentului. Apoi, aderăm la o astfel de aspect: luați zona de determinare a funcțiilor de putere cu indicatori negativi fracționați (0; + ∞). Recomandarea pentru studenți: Specificați viziunea profesorului dvs. în acest moment pentru a evita dezacordurile.

Continuăm subiectul și dezasamblați funcția de alimentare y \u003d x A furnizat: - 1< a < 0 .

Dăm desenul de grafice următoarele funcții: y \u003d x - 5 6, y \u003d x - 2 3, y \u003d x - 1 2 2, y \u003d x - 1 7 (linii negre, roșii, albastre, verde, respectiv).

Definiția 12.

Proprietățile funcției de alimentare la - 1< a < 0:

lim X → 0 + 0 x A \u003d + ∞, când - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

zona de valoare: Y ∈ 0; + ∞;
această funcție este o funcție de formă comună (nu există nici ciudat, nici nici măcar);
punctele de inflexție sunt absente;

Desenul de mai jos prezintă graficele funcțiilor de alimentare y \u003d x - 5 4, y \u003d x - 5 3, y \u003d x - 6, y \u003d x - 24 7 (culori negre, roșii, albastre, verde ale curbelor) .

Definiția 13.

Proprietățile funcției de alimentare la o< - 1:

zona de definire: x ∈ 0; + ∞;

lim X → 0 + 0 x A \u003d + ∞ când a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

gama de valori: y ∈ (0; + ∞);
această funcție este o funcție de formă comună (nu există nici ciudat, nici nici măcar);
funcția scade la x ∈ 0; + ∞;
funcția are o concavă la x ∈ 0; + ∞;
punctele de inflexție sunt absente;
asimptotta orizontală - dreaptă y \u003d 0;
funcția funcției: (1; 1).

Când a \u003d 0 și x ≠ 0, obținem funcția y \u003d x 0 \u003d 1, care definește direct, din care este exclusă punctul (0; 1) (este de acord că expresia 0 0 nu va fi dată valoare).

Funcția indicativă are forma Y \u003d A x, unde a\u003e 0 și un ≠ 1, iar graficul acestei funcții pare diferit, pe baza valorii de bază a. Luați în considerare cazurile private.

Mai întâi vom analiza situația în care baza funcției indicative contează de la zero la una (0< a < 1) . Exemplul vizual va servi grafice de funcții la A \u003d 1 2 (curba de culoare albastră) și A \u003d 5 6 (curba roșie).

Aceeași specie vor avea grafice de o funcție indicativă la alte valori de bază furnizate 0< a < 1 .

Definiția 14.

Proprietățile funcției indicative atunci când baza este mai mică decât una:

gama de valori: y ∈ (0; + ∞);
această funcție este o funcție de formă comună (nu există nici ciudat, nici nici măcar);
funcția indicativă în care baza este mai mică decât unitatea coboară în întreaga zonă de definiție;
punctele de inflexție sunt absente;
asimptotta orizontală - dreaptă y \u003d 0 cu o variabilă x, încercând până la + ∞;

Luați în considerare acum cazul când baza funcției indicative este mai mare decât unitatea (A 1).

Ilustrez acest caz particular prin grafic al funcțiilor indicative y \u003d 3 2 x (curba culorii albastru) și y \u003d e x (grafică roșie).

Alte valori de bază, unități mari, oferă un tip similar de grafic al funcției indicative.

Definiția 15.

Proprietățile funcției indicative atunci când baza este mai mare decât unitatea:

zona de definiție este de multe numere valide;
gama de valori: y ∈ (0; + ∞);
această funcție este o funcție de formă comună (nu există nici ciudat, nici nici măcar);
funcția indicativă în care baza este mai mare decât unitatea crește la x ∈ - ∞; + ∞;
funcția are o concavă la x ∈ - ∞; + ∞;
punctele de inflexție sunt absente;
asimptotta orizontală - dreaptă y \u003d 0 cu o variabilă x, încercând la - ∞;
punctul funcției: (0; 1).

Funcția logaritmică are forma Y \u003d log a (x), unde a\u003e 0, a ≠ 1.

Această funcție este definită numai cu valori pozitive ale argumentului: la x ∈ 0; + ∞.

Graficul funcției logaritmice are aspect diferitPe baza valorii bazei A.

Luați în considerare mai întâi situația în care 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Alte valori de bază, nu unități mari, vor oferi un tip similar de grafică.

Definiția 16.

Proprietățile funcției logaritmice, când baza este mai mică decât una:

zona de definire: x ∈ 0; + ∞. Când X tinde la zero la dreapta, valorile funcției tind la + ∞;
gama de valori: y ∈ - ∞; + ∞;
această funcție este o funcție de formă comună (nu există nici ciudat, nici nici măcar);
logaritm
funcția are o concavă la x ∈ 0; + ∞;
punctele de inflexție sunt absente;
asimptote sunt absente;

Acum vom analiza un caz special când baza funcției logaritmice este mai mare decât: A 1 . În desenul de mai jos, funcțiile logaritmice y \u003d log 3 2 x și y \u003d ln x (grafice albastre și roșii, respectiv).

Alte valori de bază mai mari decât unitatea vor da un tip similar de grafic.

Definiția 17.

Proprietățile funcției logaritmice, când baza este mai mare decât:

zona de definire: x ∈ 0; + ∞. Când X tinde la zero la dreapta, valorile funcției au tendința de a - ∞;
gama de valori: y ∈ - ∞; + ∞ (toate numerele valide);
această funcție este o funcție de formă comună (nu există nici ciudat, nici nici măcar);
funcția logaritmică crește la x ∈ 0; + ∞;
funcția are o umflătură la x ∈ 0; + ∞;
punctele de inflexție sunt absente;
asimptote sunt absente;
punctul funcției: (1; 0).

Funcții trigonometrice - Este sinus, cosin, tangent și catangenes. Vom analiza proprietățile fiecăruia dintre ele și graficele corespunzătoare.

În general, pentru toate funcțiile trigonometrice, proprietatea frecvenței este caracteristică, adică. Când valorile funcțiilor se repetă la diferite valori ale argumentului, diferă una de cealaltă prin perioada F (x + T) \u003d F (x) (perioada t). Astfel, în lista proprietăților funcțiilor trigonometrice, se adaugă elementul "cea mai mică perioadă pozitivă". În plus, vom specifica astfel de valori ale argumentului în care funcția corespunzătoare adaugă la zero.

Funcția sinusală: y \u003d păcat (x)

Graficul acestei caracteristici este numit sinusoid.

Definiția 18.

Proprietățile funcției sinusale:

zona de definire: toate seturile de numere valide x ∈ - ∞; + ∞;
funcția se referă la zero când X \u003d π · K, unde K ∈ Z (Z este un set de numere întregi);
funcția crește la x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ z și scădere la x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ z;
funcția sinusală are maximă locală la punctele π 2 + 2 π · k; 1 și minimele locale la punctele - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
funcția sinusoidale concav atunci când x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ z și convex atunci când x ∈ 2 π · k; π + 2 π · k, k ∈ z;
asimptote sunt absente.

Funcția cosinică: Y \u003d cos (x)

Graficul acestei caracteristici este numit Cosineida.

Definiția 19.

Proprietățile funcției cosinine:

zona de definiție: x ∈ - ∞; + ∞;
cea mai mică perioadă pozitivă: t \u003d 2 π;
gama de valori: Y ∈ - 1; unu ;
această funcție este chiar, deoarece Y (- X) \u003d Y (x);
funcția crește la x ∈ - π + 2 π · k; 2 π · k, k ∈ z și scădere la x ∈ 2 π · k; π + 2 π · k, k ∈ z;
funcția cosinică are maximă locală la punctele 2 π · k; 1, k ∈ z și minimele locale la punctele π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
funcția concavului cosinus atunci când x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ z și convex când x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ z;
punctele de inflexiune au coordonate π 2 + π · k; 0, k ∈ z
asimptote sunt absente.

Funcția tangentă: Y \u003d t g (x)

Graficul acestei caracteristici este numit tangensoid.

Definiția 20.

Proprietățile funcției tangente:

zona de definiție: x ∈ - π 2 + π · k; π 2 + π · k, unde k ∈ z (z este un set de numere întregi);
Comportamentul funcției tangentei la limita zonei de definiție a Lim X → π 2 + π · K + 0 Tg (x) \u003d - ∞, lim X → π 2 + π · k - 0 tg ( x) \u003d + ∞. Astfel, drept x \u003d π 2 + π · k k ∈ z sunt asimptote verticale;
funcția se referă la zero când x \u003d π · k pentru k ∈ z (Z este o multitudine de numere întregi);
gama de valori: y ∈ - ∞; + ∞;
această funcție este un impar, deoarece Y (- X) \u003d - Y (x);
funcția crește la - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ z;
funcția tangentă este concavă la x ∈ [π · k; π 2 + π · k), k ∈ z și convex la x ∈ (- π 2 + π π k; π · k], k ∈ z;
punctele de inflexiune au coordonate π · k; 0, k ∈ z;

Funcția Cotangentă: Y \u003d c t g (x)

Programul acestei funcții se numește Kotangensoid .

Definiția 21.

Proprietățile funcției Cotangente:

zona de definiție: x ∈ (π · k; π + π · k), unde k ∈ z (Z este o multitudine de numere întregi);

Comportamentul funcției cotangente la limita zonei limită a lim X → π · k + 0 t g (x) \u003d + ∞, lim x → π · k - 0 t g (x) \u003d - ∞. Astfel, drept x \u003d π · k k k ∈ z sunt asimptote verticale;

cea mai mică perioadă pozitivă: t \u003d π;
funcția se referă la zero când X \u003d π 2 + π π K la K ∈ Z (Z este setul de numere întregi);
gama de valori: y ∈ - ∞; + ∞;
această funcție este un impar, deoarece Y (- X) \u003d - Y (x);
funcția scade la x ∈ π · k; π + π · k, k ∈ z;
funcția Cotangentă este concavă la x ∈ (π π k; π 2 + π · k], k ∈ z și convex la x ∈ [- π 2 + π π k; π · k), k ∈ z;
punctele de inflexiune au coordonate π 2 + π · k; 0, k ∈ z;
asimptote înclinate și orizontale sunt absente.

Funcțiile trigonometrice inverse sunt Arksinus, Arkkosinus, Arctangen și Arkotangent. De multe ori, datorită prezenței prefixului "Ark" în titlu, funcțiile trigonometrice inverse sunt numite arcfuncții .

Funcția de arxinus: y \u003d a r c păcat (x)

Definiția 22.

Proprietățile funcției Arksinus:

această funcție este un impar, deoarece Y (- X) \u003d - Y (x);
funcția Arksinus are o concavă la x ∈ 0; 1 și convexitatea la x ∈ - 1; 0;
punctele de inflexiune au coordonate (0; 0), este, de asemenea, zero funcții;
asimptote sunt absente.

Funcția Arkkosinus: y \u003d a r c cos (x)

Definiția 23.

Proprietățile funcției Arkkosinus:

zona de definire: x ∈ - 1; unu ;
zona de valoare: Y ∈ 0; π;
această funcție este o formă comună (nici uniformă sau ciudată);
funcția scade în câmpul de definiție;
funcția Arcsinus are o concavă la x ∈ - 1; 0 și convexitatea la x ∈ 0; unu ;
punctele de inflexiune au coordonate 0; π 2;
asimptote sunt absente.

ARCTAGENT FUNCTION: y \u003d a r c g (x)

Definiția 24.

Proprietățile funcției Artangens:

zona de definiție: x ∈ - ∞; + ∞;
gama de valori: y ∈ - π 2; π 2;
această funcție este un impar, deoarece Y (- X) \u003d - Y (x);
funcția crește pe tot parcursul definiției;
funcția ArtrGangentă are o concavă la x ∈ (- ∞; 0] și convexitatea la x ∈ [0; + ∞);
punctul de inflexiune are coordonate (0; 0), este, de asemenea, funcții zero;
asimptote orizontale - drept y \u003d - π 2 la x → - ∞ și y \u003d π 2 la x → + ∞ (în imaginea asimptotelor sunt linii verzi).

Funcția ArkkoThangent: y \u003d a r c n g (x)

Definiția 25.

Proprietățile funcției Arkkhangence:

zona de definiție: x ∈ - ∞; + ∞;
zona de valori: y ∈ (0; π);
această funcție este o formă comună;
funcția scade în câmpul de definiție;
funcția ArcCothange are o concavă la x ∈ [0; + ∞) și convexitatea la x ∈ (- ∞; 0];
punctul de inflexiune are coordonate 0; π 2;
asimptote orizontale - drepte y \u003d π cu x → - ∞ (pe desen - linia verde) și y \u003d 0 la x → + ∞.

Dacă observați o greșeală în text, selectați-o și apăsați CTRL + ENTER

Construiți o funcție

Vă aducem atenția un serviciu pentru a părăsi programele de funcții online, toate drepturile la care fac parte companii Desmos.. Pentru a introduce funcții, utilizați coloana din stânga. Puteți introduce manual fie folosind o tastatură virtuală în partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu un program, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Avantajele programelor de construcție online

Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
Construirea de grafice foarte complexe
Construcția de grafice specificate implicit (de exemplu, elipse x ^ 2/9 + y ^ 2/16 \u003d 1)
Abilitatea de a salva grafice și de a obține un link pe ele care devine disponibil tuturor pe Internet.
Managementul scalei, culoarea liniei
Abilitatea de a construi grafice cu puncte, utilizarea constantelor
Clădirea simultană mai multe grafice de funcții
Construcția de grafice în sistemul de coordonate polar (Utilizare R și θ (\\ ETA))

Cu noi sunt ușor de construit grafice de complexitate variabilă. Clădirea este făcută instantaneu. Serviciul este în cerere pentru găsirea punctelor de intersecție a funcțiilor, pentru imaginea graficelor pentru a le deplasa în continuare la cuvânt, ca ilustrații la rezolvarea sarcinilor, pentru a analiza caracteristicile comportamentale ale funcțiilor funcțiilor. Browserul optim pentru lucrul cu programele de pe acest site de pagină este Google Chrome.. Când utilizați alte browsere, corectitudinea muncii nu este garantată.

Graficul funcției este o reprezentare vizuală a comportamentului unei anumite funcții pe planul de coordonate. Graficele ajută la înțelegerea diferitelor aspecte ale funcției care nu pot fi determinate de funcția în sine. Puteți construi grafice de multe funcții, iar fiecare dintre ele va fi specificat printr-o anumită formulă. Programul oricărei funcții se bazează pe un algoritm specific (dacă ați uitat procesul precis de construire a unui grafic specific specific).

Pași

Construirea unei grafice de funcții liniare

Determinați dacă funcția este liniară. Funcția liniară este dată prin formula formularului F (x) \u003d k x + b (\\ displaystyle f (x) \u003d kx + b) sau y \u003d k x + b (\\ displaystyle y \u003d kx + b) (de exemplu,), iar programul său este o linie dreaptă. Astfel, formula include o variabilă și o constantă (constantă) fără indicatori de grade, semne rădăcină și altele asemenea. Dacă funcția este dată o specie similară, construiți un grafic al unei astfel de funcții este destul de simplu. Iată alte exemple de funcții liniare:

Utilizați constanta pentru a marca punctul de pe axa y. Constanta (b) este punctul de intersecție "y" coordonate al graficului cu axa Y. Aceasta este, acesta este punctul, coordonatul "X" din care este 0. Astfel, dacă în formula să înlocuiască x \u003d 0, apoi y \u003d b (constant). În exemplul nostru y \u003d 2 x + 5 (\\ displaystyle y \u003d 2x + 5) Constanta este de 5, adică punctul de intersecție cu axa Y are coordonate (0,5). Aplicați acest punct pe planul de coordonate.

Găsiți coeficientul de colț direct. Este egal cu multiplicatorul cu o variabilă. În exemplul nostru y \u003d 2 x + 5 (\\ displaystyle y \u003d 2x + 5) Cu variabila "x" există un multiplicator 2; Astfel, coeficientul unghiular este 2. Coeficientul unghiular determină unghiul de înclinare directă la axa X, adică, cu atât este mai mare coeficientul unghiular, cu atât funcția mai rapidă crește sau scade.

Înregistrați coeficientul unghiular sub forma unei fracții. Coeficientul unghiular este egal cu unghiul de înclinare tangentă, adică raportul dintre distanța verticală (între două puncte pe o linie dreaptă) la distanța orizontală (între aceleași puncte). În exemplul nostru, coeficientul unghiular este de 2, astfel încât să puteți declara că distanța verticală este 2, iar distanța orizontală este egală cu 1. Înregistrați-o sub formă de fracțiune: 2 1 (\\ AfișajStyle (\\ Frac (2) (1))).

Dacă coeficientul unghiular este negativ, funcția scade.

Din punctul de intersecție directă cu axa Y, aplicați al doilea punct utilizând distanța verticală și orizontală. Graficul funcției liniare poate fi construit pe două puncte. În exemplul nostru, punctul de intersecție cu axa Y are coordonate (0,5); Din acest punct, treceți la 2 diviziuni în sus, apoi 1 diviziune la dreapta. Marcați punctul; Va avea coordonate (1.7). Acum puteți petrece direct.

Cu ajutorul liniei, glisați direct în două puncte. Pentru a evita erorile, găsiți al treilea punct, dar în majoritatea cazurilor, programul poate fi construit pe două puncte. Astfel, ați construit un grafic al unei funcții liniare.

Puncte de aplicare pe planul de coordonate
1. Determinați funcția. Funcția este indicată ca f (x). Toate valorile posibile ale variabilei "y" sunt numite funcția valorilor funcției și toate valorile posibile ale variabilei "x" sunt numite zona de definiție a câmpului. De exemplu, considerăm că funcția y \u003d x + 2, și anume f (x) \u003d x + 2.
  
  Desenați două linii drepte perpendiculare intersectate. Orizontal drept - acesta este X. Linia dreaptă verticală este axa Y.
  
  Marcați axa coordonatelor. Spice fiecare axă pe segmente egale și amorți-le. Punctul de intersecție al axelor este 0. Pentru axa X: dreapta (de la 0) este aplicată numere pozitive, iar stânga este negativă. Pentru axa y: partea de sus (de la 0) sunt numere pozitive și fundul negativ.
  
  Găsiți valorile valorilor "x". În exemplul nostru F (x) \u003d x + 2. Submold în această formulă definită valorile "x" pentru a calcula valorile corespunzătoare ale "y". Dacă este dată o funcție complexă, simplificați-o, prin rotirea "Y" pe o parte a ecuației.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Aplicați puncte la planul de coordonate. Pentru fiecare pereche de coordonate, procedați în felul următor: găsiți valoarea corespunzătoare pe axa X și glisați linia verticală (punctată); Găsiți valoarea corespunzătoare pe axa Y și glisați linia orizontală (linia punctată). Indicați punctul de intersecție al două linii punctate; Astfel, ați arătat un punct de program.
  
  Ștergeți liniile punctate. Fă-o după ce a aplicat planul de coordonate al tuturor punctelor grafului. Notă: Graficul funcției F (X) \u003d X este direct, trecând prin centrul de coordonate [punctul cu coordonate (0,0)]; Graficul F (x) \u003d X + 2 este o linie dreaptă, F (x) \u003d x, dar deplasată de două unități în sus și, prin urmare, trecând printr-un punct cu coordonate (0,2) (deoarece constanță este 2).
Construirea unei diagrame a unei funcții complexe

Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele acestora Nu mai puțin important decât cunoașterea tabelului de multiplicare. Ele sunt ca fundație, totul se bazează pe ele, din care totul este construit și totul se apropie de ei.

În acest articol, menționăm toate principalele funcții elementare, vom da programele lor și nu vom da și dovezi. proprietățile funcțiilor elementare de bază Potrivit schemei:

comportamentul funcției asupra limitelor zonei de definiție, asimptote verticale (dacă este necesar, a se vedea clasificarea articolului a punctelor de spargere a funcției);
paritate și ciudățenie;
intervalele convexității (în sus) și concavitatea (convexitatea în jos), punctele de inflexiune (dacă este necesar, a se vedea cazul convexității funcției, direcția convexității, punctul de inflexiune, condițiile de convexitate și inflexiune );
înclinat și orizontal asimptote;
caracteristici speciale ale funcțiilor;
proprietăți speciale ale unor funcții (de exemplu, cea mai mică perioadă pozitivă în funcțiile trigonometrice).

Dacă sunteți interesat sau, puteți merge la aceste secțiuni ale teoriei.

Caracteristici elementare de bază Acestea sunt: \u200b\u200bo funcție constantă (constantă), gradul N-grad, funcție de putere, funcție indicativă, logaritmică, funcții trigonometrice și inverse trigonometrice.

Navigarea paginii.

Funcție permanentă.

Funcția constantă este setată pe setul de toate numerele valide cu formula în care C este un număr valid. Funcția constantă pune în conformitate cu fiecare valoare valabilă a unei variabile independente x aceeași valoare a variabilei dependente Y - valoarea cu. Funcția constantă este, de asemenea, numită constantă.

Graficul funcției constante este axa directă, paralelă a abscisa și trecerea prin punctul cu coordonate (0, C). De exemplu, arătăm grafice de funcții constante y \u003d 5, y \u003d -2 și, în figura de mai jos, liniile drepte negre, roșii și albastre corespund corespunzător.

Proprietățile unei funcții constante.

Zona de definire: toate numerele valide.
Funcția constantă este chiar.
Gama de valori: un set constând dintr-un singur număr cu.
Funcția constantă este non-câștig și un awening (este constantă).
Este logic să vorbim despre constantă bulgărească și concavitate.
Asimptot nu.
Funcția trece prin punctul (0, c) al planului de coordonate.

Ni-gradul de rădăcină.

Luați în considerare funcția elementară de bază, care este definită prin formula, unde n este un număr natural, mai multe unități.

N-gradul de rădăcină, n este un număr par.

Să începem cu funcția rădăcinii N-grad la valorile uniforme ale indicatorului rădăcinii N.

De exemplu, oferim un desen cu imagini de grafuri de imagine Și ele corespund liniilor negre, roșii și albastre.

O specie similară au funcții ale funcțiilor unui grad uniform la alte valori ale indicatorului.

Proprietăți Funcția Rădăcină N-gradul la Chiar și N.

N-gradul de rădăcină, n este un număr impar.

Funcția rădăcinii N-grad cu un indicator de rădăcini ciudate N este definit pe întregul set de numere valide. De exemplu, dați grafice de funcții Și ei corespund curbelor negre, roșii și albastre.

Cu alte valori ciudate ale ratei razei grafice, funcțiile vor avea o viziune similară.

Proprietăți funcția rădăcină N-gradul cu n.

Funcția de alimentare.

Funcția de alimentare este specificată prin formula formularului.

Luați în considerare tipul de grafice ale funcției de alimentare și proprietățile funcției de alimentare în funcție de valoarea gradului.

Să începem cu o funcție de putere cu un întreg indicator a. În acest caz, tipul de grafice de funcții de putere și proprietățile funcțiilor depind de paritatea sau ciudățenia indicatorului, precum și de semnul său. Prin urmare, considerăm mai întâi funcțiile de putere la valori pozitive impare ale indicatorului A, în continuare - cu indicatori negativi și cu indicatori negativi și, în final, cu un negativ.

Proprietățile funcțiilor de alimentare cu indicatori fracționari și iraționali (precum și forma grafurilor de astfel de funcții de alimentare) depind de valoarea indicatorului A. Vom fi considerați, în primul rând, cu un zero la unul, în al doilea rând, cu unități mari, în al treilea rând, cu unități minus la zero, al patrulea, cu un minus mai mic.

În concluzia acestui articol pentru completitudinea imaginii, descriem funcția de alimentare cu zero.

Funcția de alimentare cu un indicator pozitiv pozitiv.

Luați în considerare o funcție de putere cu un indicator pozitiv impar, care este, atunci când a \u003d 1,3,5, ....

Figura de mai jos prezintă graficele de putere Funucles - linia neagră, linia albastră, - linia roșie, este o linie verde. La a \u003d 1 avem funcție liniară y \u003d x.

Proprietățile unei funcții de alimentare cu un indicator pozitiv impar.

Funcția de alimentare cu un indicator chiar pozitiv.

Luați în considerare o funcție de putere cu un indicator chiar pozitiv, adică la A \u003d 2,4,6, ....

De exemplu, oferim grafice de funcții de putere - linia neagră, - linia albastră, - linia roșie. La A \u003d 2 avem o funcție patrată, a cărei graficul este parabala quadratica..

Proprietățile funcțiilor de alimentare cu un indicator chiar pozitiv.

Funcția de alimentare cu un indicator negativ impar.

Uită-te la graficele funcției puternice cu valorile negative impare ale indicatorului gradului, care este, când și \u003d -1, -3, -5, ....

În imagine, graficele funcțiilor de alimentare sunt afișate ca exemple - o linie neagră - o linie albastră, - o linie roșie, - o linie verde. Când și \u003d -1 au proporționalitate inversăal cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de alimentare cu un indicator negativ impar.

Funcția de alimentare cu un indicator chiar negativ.

Să ne întoarcem la funcția de alimentare la A \u003d -2, -4, -6, ....

Figura prezintă grafice de funcții de putere - linie neagră - linie albastră, - linie roșie.

Proprietățile funcțiilor de alimentare cu un indicator chiar negativ.

Funcția de alimentare cu un indicator rațional sau irațional, a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică de una.

Notă! Dacă A este o fracțiune pozitivă cu un numitor ciudat, atunci unii autori consideră că zona de determinare a puterii intervalului. În același timp, ei negociază faptul că indicatorul gradului A este o fracțiune inconsecventă. Acum, autorii multor manuale pe algebră și principiul analizei nu determină funcțiile de alimentare cu un indicator sub forma unei fracții cu un numitor ciudat cu valori negative ale argumentului. Vom respecta doar o astfel de aspect, adică vom lua în considerare zonele de determinare a funcțiilor de putere cu indicatori pozitivi fracționați ai gradului. Vă recomandăm elevilor să afle aspectul profesorului dvs. pentru acest moment subtil pentru a evita dezacordurile.

Luați în considerare o funcție de putere cu un indicator rațional sau irațional A și.

Dăm grafice de funcții de putere la A \u003d 11/12 (linia neagră) și \u003d 5/7 (linia roșie), (linia albastră), a \u003d 2/5 (linia verde).

Funcția de alimentare cu un indicator non-rațional sau irațional, unități mari.

Luați în considerare o funcție de putere cu un indicator non-rațional sau irațional A și.

Oferim grafice de funcții de putere specificate prin formule (Linii negre, roșii, albastre și verzi, respectiv).

Cu alte valori ale gradului de grad, graficele funcției vor avea o viziune similară.

Proprietățile funcțiilor de alimentare la.

Funcția de alimentare cu un indicator valid, care este mai mult minus unul și mai mic decât zero.

Notă! Dacă A este o fracțiune negativă cu un numitor ciudat, atunci unii autori iau în considerare zona de determinare a puterii intervalului . În același timp, ei negociază faptul că indicatorul gradului A este o fracțiune inconsecventă. Acum, autorii multor manuale pe algebră și principiul analizei nu determină funcțiile de alimentare cu un indicator sub forma unei fracții cu un numitor ciudat cu valori negative ale argumentului. Vom adera doar la o astfel de aspect, adică vom lua în considerare zonele de determinare a funcțiilor de putere cu indicatori fracționari fracționați negativi ai gradului, respectiv. Vă recomandăm elevilor să afle aspectul profesorului dvs. pentru acest moment subtil pentru a evita dezacordurile.

Mergeți la o funcție puternică, Kgod.

Pentru a preveni o bună formă de grafuri de funcții de putere, oferim exemple de grafice de funcții (curbe negre, roșii, albastre și verzi, respectiv).

Proprietățile funcției de alimentare cu indicatorul A.

Funcția puternică cu un indicator non-eficient, care este mai mic de minus unul.

Oferim exemple de grafice de funcții de putere atunci când Acestea sunt descrise linii negre, roșii, albastre și verzi, respectiv.

Proprietățile funcției de alimentare cu un indicator negativ non-țintă, mai puțin minus unul.

Când a \u003d 0 și avem o funcție - acesta este un punct direct al căruia este exclus (0; 1) (expresia 0 0, nu a fost posibilă de a da nici o valoare).

Functie exponentiala.

Una dintre principalele funcții elementare este funcția indicativă.

Graficul funcției indicative, în cazul în care este nevoie de o formă diferită în funcție de valoarea bazei A. Ne vom da seama în ea.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției indicative ia valoarea de la zero la una, adică.

De exemplu, oferim grafice ale funcției indicative la A \u003d 1/2 - linia albastră, A \u003d 5/6 - linia roșie. O specie similară au grafice ale unei funcții indicative cu alte valori de bază din interval.

Proprietățile unei funcții indicative bazate pe o unitate mai mică.

Du-te în cazul în care baza funcției indicative este mai mare decât unitatea, adică.

Ca o ilustrare, oferim grafica funcțiilor indicative - linia albastră și linia roșie. Cu alte valori ale bazei, unitățile mari, graficele funcției indicative vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției indicative pe baza unei unități mari.

Funcția logaritmică.

Următoarea funcție principală principală este funcția logaritmică, unde,. Funcția logaritmică este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului, adică când.

Graficul funcției logaritmice are o formă diferită în funcție de valoarea bazei A.

Să începem cu cazul când.

De exemplu, dați grafice de funcția logaritmică la o linie albastră \u003d 1/2 - A \u003d 5/6 - linia roșie. Cu alte valori de bază care nu depășesc unitățile, graficele funcției logaritmice vor avea o vedere similară.

Proprietățile funcției logaritmice cu baza unei unități mai mici.

Ne întoarcem la caz în care baza funcției logaritmice este mai mare decât una ().

Să arătăm grafice de funcții logaritmice - linie albastră, - linie roșie. Cu alte valori ale bazei, unitățile mari, graficele funcțiilor logaritmice vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției logaritmice pe baza unei unități mari.

Funcțiile trigonometrice, proprietățile și grafica acestora.

Toate funcțiile trigonometrice (sinus, cosin, tangente și catangenes) se referă la principalele funcții elementare. Acum ne vom uita la proprietățile lor grafice și listă.

Funcțiile trigonometrice Conceptul inerente periodicitate (Repetabilitatea funcțiilor de funcții cu valori diferite de argument, diferite una de cealaltă prin suma perioadei În cazul în care T este o perioadă), prin urmare, elementul adăugat la lista de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice "Cea mai mică perioadă pozitivă". De asemenea, pentru fiecare funcție trigonometrică, indicăm valorile argumentului în care funcția corespunzătoare este trasă la zero.

Acum ne vom ocupa de toate funcțiile trigonometrice în ordine.

Funcția sinusului y \u003d păcatul (x).

Voi descrie un grafic al funcției sinusale, se numește "sinusoid".

Proprietăți funcția sinus y \u003d sinx.

Funcția cosinică y \u003d cos (x).

Graficul funcției cosinei (se numește "Cosineida") are forma:

Proprietăți funcția cosinus y \u003d cosx.

Funcția tangentă y \u003d tg (x).

Programul funcției tangente (se numește "tangensoid") are forma:

Proprietățile funcției tangente y \u003d tgx.

Funcția Cotangentă Y \u003d CTG (X).

Voi descrie programul funcției Kotangent (se numește "Kotanensoid"):

Proprietățile funcției Cotangentului Y \u003d CTGX.

Funcțiile trigonometrice inverse, proprietățile și grafica acestora.

Funcțiile trigonometrice inverse (Arksinus, Arkskosinus, Arctangent și ArkoTanent) sunt principalele funcții elementare. Adesea datorită funcțiilor trigonometrice inverse prefixe "Ark" se numesc arcfuncții. Acum ne vom uita la proprietățile lor grafice și listă.

Funcția ARXINUS Y \u003d Arcsin (x).

Voi descrie programul funcției Arksinus:

Proprietățile funcției arkothangence y \u003d ArcctG (x).

Bibliografie.

Kolmogorov A.N., Abramov a.m., Dudnitsyn Yu.P. și alții. Algebră și începutul analizei: studii. Pentru 10-11 cl. Instituțiile generale.
Profitabil m.ya. Manual de matematică elementară.
Novoselov S.I. Algebră și funcții elementare.
Tumanov s.i. Algebră elementară. Manual pentru auto-educație.

Vizualizări

Salvați la colegii de clasă Salvați Vkontakte