ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்களைக் கண்டுபிடிப்பது. ஃபோரியர் சூத்திரங்களின் எண்ணிக்கையின் குணகங்களின் உறுதிப்பாடு
2½ காலப்பகுதியில் காலக்கெடு செயல்பாடுகளை ஃபோரியர் தொடர்.
ஃபோரியர் தொடர் நீங்கள் அவ்வப்போது செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்ய அனுமதிக்கிறது, அவற்றை கூறுகளுக்குள் சிதைப்பதை அனுமதிக்கிறது. மாறிகள் மற்றும் மின்னழுத்தங்கள், இடப்பெயர்வு, வேகம் மற்றும் க்ராங்க்-இணைக்கும் வழிமுறைகள் மற்றும் ஒலி அலைகளின் முடுக்கம் ஆகியவை பொறியியல் கணக்கீடுகளில் அவ்வப்போது செயல்பாடுகளை பயன்படுத்துவதற்கான வழக்கமான நடைமுறை உதாரணங்கள் ஆகும்.
Forier decomposition இடைவெளியில் செயல்பாடு நடைமுறை மதிப்பு அனைத்து inter செயல்பாட்டின் அனைத்து நடைமுறை மதிப்பு அனைத்து trigonometric வரிசைகள் மாற்றும் வடிவில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (பகுதி தொகைகளின் வரிசை உருவாக்கப்படும் என்றால் எண்ணும் கருதப்படுகிறது கருதப்படுகிறது கருதப்படுகிறது அதன் உறுப்பினர்கள் இணைகிறது:
SINGX மற்றும் COSX தொகை மூலம் தரநிலை (\u003d சாதாரண) பதிவு
f (x) \u003d ஒரு O + A 1 COSX + A 2 COS2X + A 3 COS3X + ... + B 1 SINX + B 2 SIN2X + B 3 SIN3X + ...
அங்கு ஒரு ஓ, ஒரு 1, ஒரு 2, ..., பி 1, பி 2, .. - செல்லுபடியாகும் மாறிலிகள், i.e.
எங்கே வரம்பில் இருந்து π குணகம் வரை வரிசை ஃபோரியர் சூத்திரங்கள் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது:
ஒரு ஓ, ஒரு n மற்றும் b n ஆகியவை அழைக்கப்படுகின்றன ஃபோரியர் குணகம்அவர்கள் காணலாம் என்றால், பின்னர் ஒரு எண் (1) அழைக்கப்படுகிறது ஃபோரியயர் அருகில், தொடர்புடைய செயல்பாடுகளை f (x). ஒரு எண் (1), ஒரு உறுப்பினர் (1 COSX + B 1 SINX) முதல் அல்லது அழைக்கப்படுகிறது முக்கிய ஹார்மோனிக்
ஒரு எண்ணை பதிவு செய்ய மற்றொரு வழி Acosx + bsinx \u003d csin விகிதம் (x + α) பயன்படுத்த வேண்டும்
f (x) \u003d a + c 1 sin (x + α 1) + c 2 sin (2x + α 2) + ... + சி n sin (nx + α n)
அங்கு ஒரு நிலையான, சி 1 \u003d (1 2 + b 1 2) 1/2, n \u003d (ஒரு 2 + பிஎன் 2) 1/2 - பல்வேறு கூறுகளின் வீச்சு, மற்றும் ஒரு \u003d ஆர்க்ஸ்டெக் A / B ஆகும் n.
ஒரு எண் (1), ஒரு உறுப்பினர் (ஒரு 1 COSX + B 1 சங்கிலி) அல்லது சி 1 பாவம் (x + α 1) முதல் அல்லது அழைக்கப்படுகிறது முக்கிய ஹார்மோனிக் (ஒரு 2 COS2X + B 2 SIN2X) அல்லது C 2 SIN (2X + α 2) என்று அழைக்கப்படுகிறது இரண்டாவது ஹார்மோனிக் முதலியன
சிக்கலான சமிக்ஞையின் துல்லியமான விளக்கத்திற்காக, ஒரு எண்ணற்ற உறுப்பினர்கள் பொதுவாக தேவைப்படுகிறார்கள். இருப்பினும், பல நடைமுறை பணிகளில், ஒரு சில முதல் உறுப்பினர்களை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.
2½ காலப்பகுதியில் அல்லாத கால செயல்பாடுகளின் ஃபோரியர் தொடர்.
அல்லாத கால செயல்பாடுகளை வரையறை.
செயல்பாடு f (x) கால இடைவெளியாக இருந்தால், அது அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் சிதைந்து போக முடியாது. இருப்பினும், நீங்கள் 2½ அகலம் எந்த வரம்பில் ஒரு செயல்பாடு குறிக்கும் ஒரு தொடர் வரையறுக்க முடியும்.
கால இடைவெளி குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், நீங்கள் ஒரு புதிய செயல்பாட்டை உருவாக்கலாம், ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பில் F (x) மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, இந்த வரம்பிலிருந்து 2½ இடைவெளியில் இந்த வரம்பிலிருந்து மீண்டும் மீண்டும் செய்யலாம். புதிய செயல்பாடு 2½ காலப்பகுதியுடன் கூடிய காலப்பகுதி என்பதால், இது அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் சிதைந்துவிடும். உதாரணமாக, செயல்பாடு f (x) \u003d x கால இடைவெளி அல்ல. இருப்பினும், அது 2½ நாட்களில் இடைவெளியில் ஒரு நாகரிகத் தொடரில் அதை சிதைக்க வேண்டியது அவசியம் என்றால், ஒரு கால இடைவெளியில் ஒரு இடைவெளி இந்த இடைவெளிக்கு வெளியே கட்டப்பட்டுள்ளது (கீழே உள்ள படம் கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது).
F (x) \u003d x போன்ற கால செயல்பாடுகளுக்கு, ஃபோர்சர் தொடரின் தொகை குறிப்பிட்ட வரம்பின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் மதிப்பு எஃப் (எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது, ஆனால் இது புள்ளிகளுக்கான f (x) க்கு சமமாக இல்லை வரம்பிற்கு வெளியே. 2½ வரம்பில் அல்லாத கால செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் ஒரு வரிசையில் கண்டுபிடிக்க, ஃபோரியர் குணகவசம் ஃபார்முலா பயன்படுத்தப்படுகிறது.
கூட மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளை.
அவர்கள் செயல்பாடு y \u003d f (x) கூடஅனைத்து மதிப்புகள் x f (-x) \u003d f (x) என்றால். கூட செயல்பாடுகளை வரைபடங்கள் எப்போதும் அச்சு y (I.E. கண்ணாடி பிரதிபலித்தது) பொறுத்து சமச்சீரற்ற உள்ளன. கூட செயல்பாடுகளை இரண்டு உதாரணங்கள்: y \u003d x 2 மற்றும் y \u003d cosx.
இது செயல்பாடு y \u003d f (x) ஒற்றைப்படைf (-x) \u003d - F (x) அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் x. ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளை வரைபடங்கள் எப்பொழுதும் ஒருங்கிணைப்புகளின் தொடக்கத்திற்கு சமச்சீரற்ற தொடர்புடையவை.
பல செயல்பாடுகளை கூட அல்லது ஒற்றைப்படை இல்லை.
கோசைன் ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் சிதைவு.
2 ன் காலகட்டத்தில் கூட காலப்போக்கில் செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) நான்காவது தொடர் கோசைன் கொண்ட உறுப்பினர்களைக் கொண்டுள்ளது (I.E., சைனஸுடன் உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை) மற்றும் ஒரு நிரந்தர உறுப்பினரை உள்ளடக்கியிருக்கலாம். எனவே,
அங்கு ஃபோரியர் தொடரின் குணகம் எங்கே
ஒரு வித்தியாசமான கால இடைவெளியின் FOR (X) இன் ஒரு வித்தியாசமான நிகழ்வு எஃப் (எக்ஸ்) சைனஸுடன் மட்டுமே உறுப்பினர்களைக் கொண்டுள்ளது (I.E. கோசைனுடன் உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை).
எனவே,
அங்கு ஃபோரியர் தொடரின் குணகம் எங்கே
அரை ஆடியோ மீது ஃபோரியர் வரிசை.
செயல்பாடு ஒரு வரம்பிற்கு வரையறுக்கப்பட்டால், 0 முதல் π வரை சொல்லவும், 0 முதல் 2½ வரை மட்டுமல்லாமல், ஒரு வரிசையில் மட்டுமே ஒரு வரிசையில் ஒரு வரிசையில் மட்டுமே ஒரு வரிசையில் சிதைந்துவிடும். இதன் விளைவாக ஃபோரியர் தொடர் அழைக்கப்படுகிறது அரை-காலகட்டத்தில் ஃபோரியர் அருகில்.
நீங்கள் ஒரு சிதைவுகளை பெற விரும்பினால் கொசின் ஒரு அரைமுனை மீது ஃபோரியர்0 முதல் π வரை உள்ள வரம்பில் F (x) செயல்படுகிறது, இது கூட அவ்வப்போது செயல்பாடு செய்ய வேண்டும். படம் கீழே உள்ள செயல்பாடு f (x) \u003d x, x \u003d 0 இலிருந்து x \u003d π இலிருந்து இடைவெளியில் கட்டப்பட்டது. கூட செயல்பாடு அச்சு f (x) பொறுத்து சமச்சீரற்ற என்பதால், படம் காட்டப்பட்டுள்ளபடி AB வரி முன்னெடுக்க. கீழே. நீங்கள் கருதப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே இருப்பதாகக் கருதினால், இதன் விளைவாக முக்கோணப் படிவம் ஒரு காலப்பகுதிக்கு கால இடைவெளியாகும், பின்னர் இறுதி அட்டவணையில் வடிவம் உள்ளது, நிகழ்ச்சி. படம் கீழே. ஏனெனில் அது ஒரு நாகரீகமான சிதைவு பெற வேண்டும், ஏனெனில் முன், முன், ஒரு o மற்றும் ஒரு n மற்றும் ஒரு n ஐ கணக்கிட
பெற தேவைப்பட்டால் ஒரு அரை காலப்பகுதியில் ஃபோரியர் சிதைவு 0 முதல் π வரை உள்ள வரம்பில் F (x) செயல்படுகிறது, பின்னர் ஒரு வித்தியாசமான செயல்திட்டத்தை செய்ய வேண்டியது அவசியம். படம் கீழே உள்ள F (x) \u003d x, x \u003d 0 இலிருந்து x \u003d π இலிருந்து இடைவெளியில் கட்டப்பட்ட செயல்பாடு ஆகும். ஒற்றைப்படை செயல்பாடு ஒருங்கிணைப்புகளின் தொடக்கத்துடன் சமச்சீரற்ற தொடர்புடையதாக இருப்பதால், நாம் ஒரு குறுவட்டு வரியை உருவாக்குகிறோம். நாம் கருதப்பட்ட இடைவெளிக்கு வெளியே இருப்பதைப் பற்றி நினைத்தால், இதன் விளைவாக, இதன் விளைவாக SAMN சமிக்ஞை 2½ காலப்பகுதியுடன் அவ்வப்போது உள்ளது, பின்னர் இறுதி அட்டவணையில் படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு அரை காலகட்டத்தில் கோபத்தை ஒரு சிதைவுகளை பெற வேண்டும் என்பதால், முன்னர், ஃபோரியர் குணகத்தை கணக்கிடுவதற்கு முன்பு, பி
ஒரு தன்னிச்சையான இடைவெளியில் ஃபோரியர் தொடர்.
எல் ஒரு காலப்பகுதியில் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் சிதைவு
கால்பந்து செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) எக்ஸ் மீது எக்ஸ் அதிகரித்து வருகிறது, i.e. f (x + l) \u003d f (x). முன்னதாக விவாதிக்கப்படும் செயல்பாடுகளை ஒரு காலப்பகுதியுடன் செயல்படும் ஒரு காலப்பகுதியுடன் செயல்படும் மாற்றம் மிகவும் எளிதானது, ஏனெனில் மாறி பதிலாக செய்ய முடியும் என்பதால்.
-L / 2≤x≤l / 2 வரம்பில் ஒரு ஃபோரியர் தொடர் எஃப் (எக்ஸ்) கண்டுபிடிக்க, நாம் ஒரு புதிய மாறி u அறிமுகப்படுத்துகிறோம் செயல்பாடு f (x) யு.எஸ். U \u003d 2πx / l என்றால், x \u003d -l / 2 U \u003d -π மற்றும் x \u003d l / 2 இல் U \u003d π இல். F (x) \u003d f (lu / 2π) \u003d f (u) ஐ விடவும். ஃபோரியர் தொடர் எஃப் (யூ) பார்வை உள்ளது
(ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகள் எந்த இடைவெளி எல் நீளமும் மாற்றப்படலாம், உதாரணமாக, 0 முதல் L வரை)
INFAIL இல் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கு அரை-காலப்பகுதியில் ஃபோரியர் தொடர்.
பதிலீடு U \u003d πh / L க்கு, x \u003d 0 இலிருந்து x \u003d l இடைவெளியில் U \u003d 0 இலிருந்து U \u003d π இலிருந்து இடைவெளிக்கு ஒத்துள்ளது. இதன் விளைவாக, செயல்பாடு ஒரு வரிசையில் மட்டுமே கோசைன் அல்லது சைனஸில் மட்டுமே சிதைந்துவிடும், i.e. உள்ள அரை unode மீது ஃபோரியர் தொடர்.
0 முதல் எல் வரை உள்ள கோஷத்தின் சிதைவு வடிவம் உள்ளது
செயல்பாட்டு தொடர் வகைகளில் ஒன்று ஒரு முக்கோணவியல் தொடர் ஆகும்
இந்தத் தொடரின் குணகங்களைத் தேர்வு செய்வது, இதனால் இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளை இணைக்கும் [-π, π]; வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், Trigonometric வரிசையில் இந்த செயல்பாட்டை சிதைக்க வேண்டும். இந்த சிக்கலின் பரவலாக்கத்தின் போதுமான நிபந்தனை செயல்பாடு இடைவெளியில் உள்ளது [-π, π] துண்டு-தொடர்ச்சியான மற்றும் துண்டாக்கல் வேறுபட்டது, அதாவது இடைவெளி [-π, π] பகுதியளவு எண்ணிக்கையில் பிரிக்கப்படலாம் இடைவெளிகள், இந்த செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது மற்றும் ஒரு வகைப்பாடு (பகுதி இடைவெளிகளின் முனைகளில், செயல்பாடு ஒரு பக்க வரம்பை வரையறுக்க வேண்டும், பகுதி முடிவில் செயல்பாட்டின் செயல்பாட்டை கணக்கிடும்போது, \u200b\u200bஒரு பக்க வரம்பை வரையறுக்க வேண்டும் இடைவெளி, அதன் ஒரு பக்க வரம்பு எடுக்கப்பட்டன). வித்தியாசத்தின் ஒரு பகுதியின் நிலைமை, செயல்பாட்டின் ஒரு துண்டு ஒற்றுமை ஒரு நிபந்தனையால் மாற்றப்படலாம், அதாவது, செயல்பாடு இடைவெளியில் ஒவ்வொன்றிலும் Monotonne என்று உறுதி செய்ய வேண்டிய தேவை. இடைவெளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் சிதைவுக்கான ஒரு போதுமான நிலை [-π, π] Trigonometric தொடரில் இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட மாற்றத்தை கொண்டுள்ளது. செயல்பாடு f (x) என்ற வரையறுப்பதன் மூலம், இடைவெளியில் ஒரு மட்டுப்படுத்தப்பட்ட மாற்றம் உள்ளது என்றால் இடைவெளியில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இடைவெளியில் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண் உள்ளது
மதிப்பு
அதே எண்ணிலிருந்து மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
நடைமுறை பணிகளின் தீர்வுகளை சமாளிக்க வேண்டிய அத்தகைய செயல்பாடுகளுடன் இது உள்ளது.
குறிப்பிடப்பட்ட மூன்று ஏதேனும் ஒன்றைச் செய்யும்போது போதுமான நிலைமைகள் செயல்பாடு f (x) இடைவெளியில் குறிப்பிடப்படுகின்றன [-π, π] trigonometry அருகில், இதில் குணகம் சூத்திரங்கள் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன இதில்
அத்தகைய குணகங்களுடன், டிரிகோனோமெட்ரிக் வரிசை அழைக்கப்படுகிறது ஃபோரியயர் அருகில். இந்த தொடர் அதன் தொடர்ச்சியின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் f (x) க்கு இணைகிறது; இடைவேளை புள்ளிகளில், இது சராசரி எண்கணித இடது மற்றும் வலது வரம்பு மதிப்புகள், I.E. K, x ஒரு இடைவெளி புள்ளி என்றால் (படம் 1); பிரிவின் எல்லைகளில் ஒரு எண் இணைக்கப்படும்.
படம் 1.
Fonier அருகில் உள்ள செயல்பாடு, ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு உள்ளது, எனவே ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு உள்ளது, எனவே பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு தொகுக்கப்பட்டுள்ளது [-π, π] இந்த பிரிவில் இருந்து இந்த செயல்பாடு (படம் 2) இந்த பிரிவில் இருந்து இணைகிறது.
படம் 2.
Forier செயல்பாடு f (x) ஒரு தன்னிச்சையான இடைவெளியில் [α, α + 2π] நீளம் 2π இல் வழங்கப்பட்டால், பின்னர் வரிசையில் ஒரு 0, ஏ.கே., பி.கே. (ஃபோரேயர் குணகங்கள்) குறிப்பிட்ட சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படலாம் ஒருங்கிணைப்பு வரம்புகள் α மற்றும் α + 2π ஆக மாற்றப்படுகின்றன. பொதுவாக, ஒரு 0, ஒரு K, B K க்கு சூத்திரங்களில் இருந்து, 2½ காலப்பகுதியில் செயல்பாடுகள் உள்ளன, ஒருங்கிணைப்பு எந்த இடைவெளிகளிலும் 2½ நீளத்துடன் செயல்படுத்தப்படலாம்.
ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாட்டின் தோராயமான பிரதிநிதித்துவத்திற்கு பயன்படுத்தப்படலாம், அதாவது செயல்பாடு F (x) என்பது Fonier Serainct இன் முதல் சில உறுப்பினர்களின் அளவு S n (x) ஒரு அளவு S n (x) க்கு மாற்றப்படுகிறது:
Express SN (x), ஒரு 0, AK, BK ஆகியவை ஒரே மாதிரியான அதே இனங்கள் மற்ற வெளிப்பாடுகளுடன் ஒப்பிடும்போது, \u200b\u200bஅதே மதிப்பு n உடன் மற்ற வெளிப்பாடுகளுடன் ஒப்பிடுகையில், ஆனால் பிற குணகங்களுடன், ஒரு குறைந்தபட்ச சராசரியான quadratic விலகல் SN (x ) எஃப் (எக்ஸ்) இருந்து வரையறுக்கப்படுகிறது
செயல்பாட்டின் சமச்சீர் வகையைப் பொறுத்து, சில எளிமையானது சாத்தியம். செயல்பாடு கூட இருந்தால், i.e. f (-x) \u003d f (x), பின்னர்
மற்றும் செயல்பாடு ஒரு கோசை ஒரு வரிசையில் decomposes. செயல்பாடுகளை ஒற்றைப்படை என்றால், i.e. f (-m) \u003d - F (x), பின்னர்
மற்றும் செயல்பாடு சைனஸ் ஒரு வரிசையில் decomposes. செயல்பாடு F (x + π) \u003d - f (x), i.e. அரை பிரிவு தொடர்பான வளைவு 2π கர்வ் ஒரு கண்ணாடியின் பிரதிபலிப்பாகும்,
செயல்பாடு 2½ நீளத்தின் பிரிவில் மட்டும் குறிப்பிடப்படவில்லை, ஆனால் எந்த நீளத்தின் 2L பிரிவிலும் குறிப்பிடப்படுகிறது. இந்த பிரிவில் மேலே உள்ள நிலைமைகளைத் திருப்திப்படுத்தினால், பின்வரும் வகையிலான ஒரு நாகரீகத் தொடரில் இது தீட்டப்பட்டது:
மற்றும் எண்ணின் குணகம் சூத்திரங்களால் கணக்கிடப்படுகிறது
தாவலில். சில செயல்பாடுகளை 1 டானா சிதைவு.
அட்டவணை 1.
Trigonometric Row இந்த வடிவத்தில் பதிவு செய்யலாம்:
ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடு f (x) விரைவில், மென்மையான செயல்பாடு. செயல்பாடு f (x) மற்றும் அதன் பங்குகள் எஃப் "(எக்ஸ்), எஃப்" (எக்ஸ்), ..., FK -1 (x) தொடர்ச்சியானவை என்றால், மற்றும் f (k) (x) இடைவெளியை மட்டுமே அனுமதிக்கிறது 1st genus இறுதியில், ஃபோரியர் குணகம் ஒரு n, பிஎன் செயல்பாடுகளை f (x) இருக்கும்
சின்னம் அத்தகைய ஒரு அளவு குறிக்கப்படுகிறது
Trigonometric வரிசையில் சிதைவு ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது trigonometric செயல்பாடுகளைஇந்த தொடரில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது - ஹார்மோனிக்ஸ். ஹார்மோனிக்ஸ் கூறுகளின் கணக்கீடு ஹார்மோனிக் தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
கட்டமைப்புகளை கணக்கிடுகையில், ஃபோரியர் தொடரில் சிதைவதற்கு பெரும்பாலும் தேவைப்படுகிறது பல்வேறு செயல்பாடுகளைவரைபடங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட, மற்றும் எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக சுமை சித்தரிக்கும். தாவலில். 2 மற்றும் 3 சிதைவு சுமை சக்திகளின் சில செயல்பாடுகளுக்கு வழங்கப்படுகிறது, அடர்த்தியான சக்திகளுக்கு பொருந்தும் வரிசைகள் உட்பட.
அட்டவணை 2.
செயல்பாடுகளை அட்டவணை |
ஃபோரியர் வரிசை |
என் |
தமிழாக்கம்.
ரஷியன் கூட்டமைப்பு நவோசிபிர்ஸ்க் மாநில பல்கலைக்கழக ஆசிரியர்களின் கல்வி மற்றும் விஞ்ஞான அமைச்சகம் ஆர். கே. கே. பெலீவா ரைடோவ் ஃபோரியர் உதாரணங்கள் மற்றும் பணிகளை டுடோரியல் நோவோசிபிர்ஸ்க் 211
2 UDC BBK BBK61 B44 B44 Belleeva ஆர். கே. K. உதாரணங்கள் மற்றும் பணிகள் உள்ள ஃபோரியர் வரிசைகள்: பயிற்சி / நோவோஸிப். நிலை un-t. Novosibirsk, ப. ISBN ஆய்வு கையேடு நான்காளரின் அணிகளின் அடிப்படை தகவல்களைத் தருகிறது, ஒவ்வொரு படிப்பிற்கும் உதாரணங்கள் உள்ளன. ஃபோரியர் முறையின் பயன்பாட்டின் ஒரு உதாரணம் சரம் குறுக்கு அலைவுகளின் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு விரிவாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு விளக்கப்பட பொருள் வழங்கப்படுகிறது. ஒரு சுயாதீனமான தீர்வுக்கான பணிகளை உள்ளன. NSU இன் உடல் ஆசிரியர்களின் மாணவர்களுக்கும் ஆசிரியர்களுக்கும் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. NSU இன் உடல் ஆசிரியர்களின் வழிமுறை ஆணைக்குழுவின் முடிவை அச்சிடப்பட்டது. விமர்சனம் டாக்டர். Fiz.-Mat. விஞ்ஞானம் V. A. ALEKSANDROV BOLLES NIU-NSU PROMUTE அபிவிருத்தி திட்டத்தின் செயல்பாட்டின் ஒரு பகுதியாக தயாரிக்கப்பட்டுள்ளது. Isbn c novosibirski. மாநில பல்கலைக்கழகம்211 சி பெலிலீவா ஆர். கே., 211.
3 1. ஒரு ஃபோரியர் தொடர் வரையறையில் 2½-கால செயல்பாட்டின் சிதைவு. ஃபோர்சர் செயல்பாடு F (x) அருகே செயல்பாட்டு தொடர் ஒரு 2 + (ஒரு COSNX + BN SIN NX) என்று அழைக்கப்படுகிறது, (1) ஒரு, பிஎன் குணகம் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது: a \u003d 1 π bn \u003d 1 π f (x) cosnxdx, n \u003d, 1, ..., (2) எஃப் (எக்ஸ்) பாவம் nxdx, n \u003d 1, 2, .... (3) சூத்திரங்கள் (2) (2) (3) euler ஃபோரியர் சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. செயல்பாடுகளை F (x) ஃபோர்புலா எஃப் (எக்ஸ்) ஒரு ஃபார்முலா எஃப் (எக்ஸ்) ஒரு 2 + (ஒரு COSNX + BN SIN NX) (4) என பதிவு செய்யப்பட்டுள்ளதாகவும், அது வலது புறம் என்று கூறப்படுகிறது சூத்திரம் (4) ஒரு முறையான எண் ஃபோரியர் செயல்பாடு f (x) ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஃபார்முலா (4) என்பது ஒரு n, b n n n formulas (2), (3) மூலம் காணப்படுகிறது. 3.
4 வரையறை. 2½-கால செயல்பாடு f (x) துண்டு துண்டாக அழைக்கப்படுகிறது, இடைவெளியில் இருந்தால் [, π] புள்ளிகளின் வரையறுக்கப்பட்ட எண் \u003d x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4
5 படம். 1. செயல்பாடு function f (x) ஒரு \u003d 1 π f (x) dx \u003d 1 π x 2 π \u003d π, a \u003d 1 π f (x) cosnxdx \u003d 2 π \u003d 2 () x sin nx cos nx + π nn 2 \u003d 2 π (1) n 1 n 2 \u003d bn \u003d 1 π π \u003d 2 π f (x) cosnxdx \u003d cos nx cos n 2 \u003d 4 πn2, n ஒற்றைப்படை, n உடன், f (x ) Sin nxdx \u003d, செயல்பாடு f (x) கூட உள்ளது. F (x) ஒரு முறையான ஃபோரியர் தொடரை எழுதுகிறோம்: F (x): f (x) π 2 4 π k \u003d 5 cos (2k + 1) x (2k + 1) 2.
செயல்பாடு f (x) ஒரு துண்டு துண்டாக இருப்பதா என்பதை அறியவும். இது தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், இடைவெளியை மட்டுமே கணக்கிடுவது மட்டுமே இடைவெளி x \u003d ± ™ இன் வரையறுக்கப்பட்ட புள்ளிகளில் மட்டுமே கணக்கிடப்படுகிறது மற்றும் இடைவெளி x \u003d: மற்றும் F (π h) f (π) π h π Lim \u003d Lim H + HH + H \u003d 1, F (+ H) எஃப் (+) + எச் () LIM \u003d LIM H + HH + HF (+ H) F (+) + H LIM \u003d LIM \u003d 1, H + HH + H \u003d 1, F (h) எஃப் () எச் () எச் () எல் () LIM \u003d LIM \u003d 1. H + HH + H வரம்புகள் உள்ளன மற்றும் வரையறுக்கப்பட்டவை, எனவே, துண்டு துண்டாக மென்மையான செயல்பாடு. நடப்பு கூட்டுத்தொகுதியில் கோட்பாடு படி, அதன் ஃபோரியர் தொடர் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் எண் f (x) க்கு இணைகிறது, அதாவது f (x) \u003d π 2 4 π k \u003d cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 \u003d \u003d π 2 4 (COSX + 19 π COS 3X) COS 5X (7) படம். 2, 3 Foreier Sunds S n (x) பகுதி தொகைகளின் தோற்றத்தின் தன்மையைக் காட்டுகிறது, எஸ் n (x) \u003d ஒரு 2 + (AK COSKX + BK SIN KX), k \u003d 1 செயல்பாடு f (x ) இடைவெளியில் [, π]. 6.
7 படம். 2. செயல்பாடு F (x) பகுதி தொகுப்பின் sums s (x) \u003d a 2 மற்றும் s 1 (x) \u003d A 2 + A 1 COS X ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. 3. SCALLUL F (X) செயல்பாடு எஸ் 99 (எக்ஸ்) \u003d A 2 + A 1 COS X + + A 99 COS 99X 7 ஆகியவற்றின் பகுதி
(7) x \u003d நாம் பெறுவோம்: \u003d π 2 4 π k \u003d 1 (2k + 1) 2, எண் தொடரின் தொகை: \u003d π2 8. இந்த வரிசையின் தெரிவு அளவு, அது பின்வரும் அளவு கண்டுபிடிக்க எளிதாக: S \u003d () s \u003d () \u003d π, எனவே s \u003d π2 6, அதாவது, இந்த புகழ்பெற்ற வரிசையின் 1 n \u003d π தொகை லியோனார்டு யூலரை முதலில் காணப்படுகிறது. இது பெரும்பாலும் கணித பகுப்பாய்வு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளில் காணப்படுகிறது. உதாரணம் 2. ஒரு அட்டவணையை வரையவும், எக்ஸ் ஒரு கொடுக்கப்பட்ட ஃபார்முலா F (x) \u003d x இன் செயல்பாடுகளை நாங்கள் கண்டுபிடித்துள்ளோம்< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8
9 படம். 4. இடைவெளி f (x) விழா f (x) செயல்பாடு இடைவெளியில் தொடர்ந்து மாறுபட்டது (, π). புள்ளிகள் x \u003d ± π, அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரம்பு (5): f () \u003d, f (π) \u003d π. கூடுதலாக, இறுதியில் வரம்புகள் (6): F (+ h) f (+) LIM \u003d 1 மற்றும் H + HF (π H) எஃப் (π +) LIM \u003d 1. எச் + எச் எஃப் (எக்ஸ்) பை (எக்ஸ்) மென்மையானது செயல்பாடு. செயல்பாடு f (x) ஒற்றைப்படை என்பதால், பின்னர் ஒரு n \u003d. BN குணகம் பகுதிகளில் ஒருங்கிணைப்பு கண்டுபிடிக்க: BN \u003d 1 π F (x) sin πnxdx \u003d 1 [x cosnx π n + n \u003d 1 n \u003d 1 πn [(1) n π + (1) n π] \u003d 2 (1) n + \u003d 2 (1) n + ஒன்று. n ஒரு முறையான ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடுகளை 2 (1) n + 1 f (x) பாவம் nx செய்ய. N 9 cosnxdx] \u003d.
10 ஒரு துண்டுகள் மென்மையான 2½ கால செயல்பாட்டின் தற்போதைய ஒருங்கிணைப்பில் தேற்றம் படி, ஃபோரியர் தொடர் எஃப் (எக்ஸ்) அளவு இணைக்கப்படுகிறது: 2 (1) n + 1 Sin nx \u003d n f (x) \u003d x, π என்றால்< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1
11 படம். 6. செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) வரைபடம் s 2 (x) அதன் பகுதியிலுள்ள பகுதி தொகையுடன்). 7. SCALLULE F (எக்ஸ்) செயல்பாடு S 3 (x) 11 (x) 11 இல் superimposed.
12 படம். 8. செயல்பாட்டு எஃப் (x) இன் வரைபடத்தின் வரைபடம் அதன் 99 (x) அதன் பகுதியிலுள்ள பகுதி தொகை) இரண்டு எண் வரிசைகளின் தொகைகளைக் கண்டுபிடிப்பதன் விளைவாக ஃபோரியர் தொடரை பயன்படுத்தவும். (8) x \u003d π / 2 இல் வைக்கவும். பின்னர் 2 () + ... \u003d π 2, அல்லது \u003d (1) n 2n + 1 \u003d π 4. 4. லீபிடஸின் அறியப்பட்ட வரிசையின் தொகையை நாங்கள் எளிதாகக் கண்டறிந்தோம். (8) x \u003d π / 3, நாம் காணலாம் () + ... \u003d π 2 3, அல்லது (1+ 1) () (k) 3½ + ... \u003d 3k
13 உதாரணம் 3. ஒரு அட்டவணையை வரையவும், செயல்பாட்டு எஃப் (எக்ஸ்) \u003d சின் x இன் ஒரு நான்காவது தொடரை கண்டுபிடித்து, அது 2½ காலமாக உள்ளது என்று கருதுகிறது, மற்றும் 1 எண் தொடரின் எண்ணிக்கை 4N 2 ஐ கணக்கிடப்படுகிறது. வரைபட செயல்பாடு f (x) படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 9. வெளிப்படையாக, f (x) \u003d பாவம் எக்ஸ் ஒரு காலப்பகுதியில் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடு ஆகும். ஆனால் 2π செயல்பாடு f (x) ஒரு செயல்பாடு ஆகும். படம். 9. செயல்பாடு செயல்பாடு f (x) ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள். அனைத்து b n \u003d செயல்பாடு கூட உள்ளது. Trigonometry சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி N 1 இல் கணக்கிடுதல் N 1: a \u003d 1 π \u003d 1 π Sin X cosnxdx \u003d 2 π sin x cosnxdx \u003d (sin (1 + n) x sin (1 n) x) dx \u003d 1 () π cos (1 + n) x cos (1 n) x + \u003d 2 () 1 + (1) n \u003d π 1 + n 1 n π 1 n 2 (4 1, n \u003d 2k என்றால், \u003d π n 2 1 என்றால் N \u003d 2k.
14 இந்த கணக்கீடு நமக்கு ஒரு குணகம் கண்டுபிடிக்க அனுமதிக்காது, ஏனெனில் N \u003d 1 உடன், N \u003d 1 உடன், பூஜ்ஜியத்திற்கு முகவரிகள் முகவரிகள். எனவே, நாம் ஒரு குணகம் ஒரு 1 நேரடியாக கணக்கிட: ஒரு 1 \u003d 1 π sin x cosxdx \u003d. F (x) தொடர்ச்சியாக (,) மற்றும் (, π) மற்றும் புள்ளிகள் ஆகியவற்றால் வேறுபட்டதாக இருப்பதால், (கே முழு எண்), இறுதியில் வரம்புகள் (5) மற்றும் (6) மற்றும் (6) ஆகியவை உள்ளன, பின்னர் செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் வரம்பில் இது செயல்படுகிறது ஒவ்வொரு புள்ளியும்: \u003d 2 × 4 π sinx \u003d 2 π cos 2nx 4 π cos 2nx 4n 2 1 \u003d (1 1 1 Cos 2x cos 4x + 1) COS 6X செயல்பாடு f (x) பகுதியளவு தொகைகளால் செயல்படும் f (x) ஃபோரியர் வரம்பு காட்டப்பட்டுள்ளது. (9) படம். 1. பகுதி SUM SUM SUM SUM (x) இல் திட்டமிடப்பட்ட F (x) செயல்பாடு
15 அரிசி 11. செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) பகுதியிலுள்ள பகுதியினருடன்) பகுதி 1 (x) அத்தி பகுதியினருடன். 12. செயல்பாடு எஃப் (x) வரைபடம் S 2 (x) அதன் பகுதியிலுள்ள பகுதி தொகையுடன்). 13. செயல்பாடு function f (x) எஸ் 99 (எக்ஸ்) 15 (எக்ஸ்) 15 உடன் superimposed
16 1 எண் தொடரின் தொகையை கணக்கிடுங்கள். இதற்காக, 4n 2 1 (9) x \u003d இல் வைக்கவும். பின்னர் cosnx \u003d 1 அனைத்து n \u003d 1, 2, ... எனவே, எனவே, 2 × 4 × 1 4n 2 1 \u003d. 1 4N 2 1 \u003d 1 \u003d 1 2. உதாரணம் 4. ஒரு துண்டுகள் மென்மையான தொடர்ச்சியான செயல்பாடு f (x) அனைத்து எக்ஸ் (I.E. π-alctic ஆகும்) ன் (x π) \u003d f (x) திருப்தி அடைந்தால் நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம். பின்னர் ஒரு 2n 1 \u003d b 2n 1 \u003d அனைத்து n 1, மற்றும் நேர்மாறாக, ஒரு 2n 1 \u003d b 2n 1 \u003d அனைத்து n 1, பின்னர் f (x) π-காலத்திற்கு. முடிவு. செயல்பாடு f (x) π-காலமாக இருக்கட்டும். ஒரு 2n 1 மற்றும் b 2n 1: \u003d 1 π (ஒரு 2n 1 \u003d 1 π f (x) cos (2n 1) xdx + f (x) cos (2n 1) xdx \u003d) f (x) cos ஐ கணக்கிடுங்கள். (2n 1) xdx. முதல் ஒருங்கிணைந்த நிலையில், நாம் மாறி x \u003d t π: f (x) cos (2n 1) xdx \u003d f (t π) cos (2n 1) (t + π) dt. பதினாறு
17 காஸ் (2n 1) (t + π) \u003d cos (2n 1) t மற்றும் f (t) \u003d f (t) \u003d f (t), நாம் பெறும்: ஒரு 2N 1 \u003d 1 π (f (x) cos ( 2n 1) x dx +) f (x) cos (2n 1) x dx \u003d. இதேபோல், அது b 2n 1 \u003d என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மாறாக, ஒரு 2n 1 \u003d b 2n 1 \u003d. செயல்பாடு f (x) தொடர்ச்சியானது என்பதால், அதன் அடுத்த ஃபோரியரில் உள்ள செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவத்தின் மீது கோட்பாடு மூலம், நாம் f (x π) \u003d \u003d f (x) \u003d (ஒரு 2n cos 2nx + b 2n பாவம் 2nx). (A2N COS 2N (X π) + b 2n sin 2n (x π)) \u003d (A2N COS 2NX + B 2N SIN 2NX) \u003d f (x) என்று பொருள் (x) ஒரு π-கால செயல்பாடு ஆகும். உதாரணம் 5. ஒரு துண்டுகள் மென்மையான செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) அனைத்து எக்ஸ், பின்னர் ஒரு \u003d மற்றும் ஒரு 2n \u003d பி 2n \u003d அனைத்து n 1, மற்றும் நேர்மாறாக, a \u003d a 2n \u003d b 2n \u003d பின்னர் f (x π) \u003d f (x) அனைத்து எக்ஸ். முடிவு. செயல்பாடு f (x) நிபந்தனை f (x π) \u003d f (x) திருப்தி. அதன் ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள்: 17.
18 \u003d 1 π (a n \u003d 1 π f (x) cos nxdx + f (x) cosnxdx \u003d) f (x) cosnxdx. முதல் ஒருங்கிணைந்த நிலையில், நாம் மாறி x \u003d t π ஐ மாற்றுவோம். பின்னர் f (x) cosnxdx \u003d f (t π) cosn (t π) dt. COS N (t π) \u003d (1) n cosnt மற்றும் f (t π) \u003d f (t) \u003d f (t), நாம் பெறும்: a \u003d 1 π (((1) n) f (t) cosnt dt \u003d என்றால் N கூட, \u003d 2 π f (t) cos nt dt, n ஒற்றைப்படை என்றால். π இதேபோல், அது b 2n \u003d என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. மாறாக, ஒரு \u003d ஒரு 2n \u003d b 2n \u003d, அனைத்து n க்கும் ஒரு 2n \u003d b 2n \u003d அனுமதிக்க. செயல்பாடு f (x) தொடர்ச்சியானது, பின்னர் ஆராய்ச்சிக்கான கோட்பாடு மூலம், சமத்துவம் F (x) \u003d (ஒரு 2n 1 COS (x ) \u003d (ஒரு 2N 1 COS (2N 1) x + b 2n 1 sin (2n 1) x). பதினெட்டு
19 பின்னர் \u003d f (x π) \u003d \u003d \u003d f (x). உதாரணம் 6. செயல்பாடு f (x) இடைவெளியில் (x / 2] இடைவெளியில் [, π / 2] இடைவெளியில் [, π / 2] ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டும் என்பதைப் படிப்போம் [2n 1 cos (2n 1) x. (1) முடிவு. செயல்பாடு வரைபடம் படம் பார்க்க வேண்டும். 14. ஒரு எண் (1) a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d a \u003d all n, பின்னர் உதாரணமாக 5 இது செயல்பாடு f (x) சமத்துவம் f (x π) \u003d f (x) அனைத்தையும் திருப்தி செய்ய வேண்டும் எக்ஸ். இந்த கவனிப்பு செயல்பாடு f (x) இடைவெளியில் [, / 2]: f (x) \u003d f (x + π), படம். 15. வரிசையில் (1) மட்டுமே சமுத்திரங்கள் உள்ளன என்ற உண்மையிலிருந்து தொடர்ச்சியான செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) கூட இருக்க வேண்டும் என்று முடிவுசெய்கிறோம் (I.E. அதன் அட்டவணை Oy அச்சு பொறுத்து சமச்சீரற்றதாக இருக்க வேண்டும்)
20 படம். 14. செயல்பாட்டு வரைபடம் F (x) படம். 15. இடைவெளியில் F (x) ஐ தொடர திட்டமிடலாம் [, / 2] 2
21 எனவே, விரும்பிய செயல்பாடு படத்தில் பார்க்கப்படுகிறது. 16. படம். 16. இடைவெளியில் செயல்பாட்டை F (x) தொடர அட்டவணை [, π] சுருக்கமாக தொடர்கிறது, நாம் செயல்பாடு தொடர்கிறது என்று முடிவு செய்ய வேண்டும்: F (x) \u003d f (x), f (π x) \u003d f ( x), அதாவது, இடைவெளி [π / 2, π], செயல்பாடு F (x) வரைபடம் மையமாக (π / 2), மற்றும் இடைவெளியில் [, π], அதன் வரைபடத்தில் மையமாக சமச்சீரற்றது Oy அச்சு பொறுத்தவரை சமச்சீர் உள்ளது. 21.
22 உதாரணங்களின் பொதுமைப்படுத்தல் 3 6 l\u003e. இரண்டு நிபந்தனைகளைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்: a) f (l x) \u003d f (x); b) f (l + x) \u003d f (x), x [, l / 2]. ஒரு வடிவியல் புள்ளியில் இருந்து, நிபந்தனை (அ) இருந்து வரைபட செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) செங்குத்து நேரடி x \u003d l / 2, மற்றும் நிபந்தனை (பி) கிராபிக் F (எக்ஸ்) மையமாக சமச்சீரற்றதாக இருப்பதால் சமச்சீர் ஆகும் அச்சு abscissa மீது புள்ளி (எல் / 2;) பொறுத்து. பின்னர் பின்வரும் அறிக்கைகள் உண்மை: 1) செயல்பாடு F (x) கூட நிபந்தனை (a), பின்னர் b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 \u003d ... \u003d, ஒரு 1 \u003d ஒரு 3 \u003d ஒரு 5 \u003d ... \u003d; 2) செயல்பாடு f (x) கூட நிலைமை (b), பின்னர் b 1 \u003d b 2 \u003d b 3 \u003d ... \u003d, a \u003d a \u003d a \u003d 4 \u003d ... \u003d; 3) செயல்பாடு f (x) ஒற்றைப்படை மற்றும் நிபந்தனை (a) திருப்தி என்றால், பின்னர் ஒரு \u003d ஒரு 1 \u003d ஒரு 2 \u003d ... \u003d, b 2 \u003d b 4 \u003d b 6 \u003d ... \u003d; 4) செயல்பாடு f (x) ஒற்றைப்படை மற்றும் நிபந்தனை என்றால் (பி) திருப்தி என்றால், பின்னர் ஒரு \u003d ஒரு 1 \u003d ஒரு 2 \u003d ... \u003d, b 1 \u003d b 3 \u003d b 5 \u003d ... \u003d. பணிகளில் பணிகளை 1 7 வரையப்பட்ட வரைபடங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளை ஃபோரியர் தொடர் கண்டுபிடிக்க (அவர்கள் ஒரு காலம் என்று கருதுகின்றனர்: என்றால்< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22
23 (1, என்றால் / 2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23
24 2. இடைவெளியில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் சிதைவு [, π], மட்டுமே சைனஸ் அல்லது கொசின் மூலம் மட்டுமே. இடைவெளியில் செயல்பாடு F ஐ அமைக்கவும் [, π]. நாகரீகத்தின் ஒரு வரிசையில் இந்த இடைவெளியில் இந்த இடைவெளியில் அதை சிதைக்க விரும்புவதால், முதலில் இடைவெளியில் இடைவெளியைத் தொடரும் [, π] தோராயமாக, பின்னர் euler ஃபோரியர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம். செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் நடுவில் உள்ள நடுவில் அதே செயல்பாடு F: [, π] r நாம் வெவ்வேறு ஃபோரியர் வரிசைகளை பெற முடியும். ஆனால் நீங்கள் மட்டும் sines அல்லது cosine மட்டுமே சிதைவு பெற இந்த நடுப்பகுதியில் பயன்படுத்த முடியும்: முதல் வழக்கில், அது ஒரு ஒற்றைப்படை வழி தொடர போதுமானதாக உள்ளது, மற்றும் இரண்டாவது கூட. தீர்வு அல்காரிதம் 1. செயல்பாடு ஒரு ஒற்றைப்படை (கூட) வழியில் (,), பின்னர் அவ்வப்போது 2½ ஒரு காலத்துடனான முழு அச்சில் செயல்பாட்டை தொடரவும். 2. ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள். 3. ஃபோரியர் தொடர் f (x) செய்யுங்கள். 4. வரிசையின் ஒருங்கிணைப்புக்கான நிலைமைகளை சரிபார்க்கவும். 5. இந்த தொடரை இணைக்கும் செயல்பாட்டை குறிப்பிடவும். உதாரணம் 7. செயல்பாடு f (x) \u003d cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис
25 படம். 17. தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் அட்டவணை செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) ஒரு துண்டு துண்டாக உள்ளது என்று தெளிவாக உள்ளது. ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள்: செயல்பாடு f (x) ஒற்றைப்படை ஏனெனில் அனைத்து N \u003d ஒரு n \u003d. N 1 என்றால், பின்னர் bn \u003d 2 π f (x) sin πnxdx \u003d 2 π cosx sin nxdx \u003d 2 π dx \u003d 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + \u003d π n + 1 n 1 \u003d 1 (1) N (1) n 1 \u003d π n + 1 n 1 \u003d 1, n \u003d 2 k + 1, (1) n + 1 (n 1) + (n + 1) \u003d π (n + 1) 1) (n 1) 2 2n, n \u003d 2k என்றால். π n \u003d 1 இல் N \u003d 1 இல் N \u003d 1 இல், வகுப்பறை பூஜ்ஜியத்தை குறிக்கிறது, எனவே குணகம் B 1 நேரடியாக கணக்கிடப்படுகிறது- 25
26: b 1 \u003d 2 π cosx sin xdx \u003d. For (x): f (x) 8 π k \u003d 1 k 4k 2 1 பாவம் 2kx. செயல்பாடு f (x) ஒரு துண்டு துண்டாக உள்ளது என்பதால், துப்பறியும் ஒருங்கிணைப்பு தேற்றம் படி, F (x) செயல்பாடு FOR (எக்ஸ்) செயல்பாடு தொகையை இணைக்கும்: COSX, π என்றால்< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26
27 படம். 18. எஸ் 1 (எக்ஸ்) பகுதி தொகையுடன் செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) வரைபடம் அதில் superimposed உள்ளது. 19. SUTULE F (X) செயல்பாடு S 2 (x) 27 superimposed ஒரு பகுதி தொகை கொண்ட செயல்பாடு
28 படம். 2. செயல்பாடு எஃப் (x) வரைபடம் எஸ் 3 (x) அதன் மீது superimposed பகுதியாக superimposed) வரைபடம்). 21 செயல்பாடு f (x) மற்றும் அதன் பகுதி தொகை S 99 (x) வரைபடங்களைக் காட்டுகிறது. படம். 21. SCALLULE F (X) செயல்பாடு எஸ் 99 (x) 28 இல் superimposed ஒரு பகுதி தொகை கொண்ட செயல்பாடு
29 உதாரணம் 8. செயல்பாடு f (x) \u003d e ax, a\u003e, x [, π], ஒரு கோஷத்தின் ஒரு வரிசையில் மட்டுமே. முடிவு. (,) (அதாவது) (அதாவது) (அதாவது) செயல்பாட்டைத் தொடர்கிறோம் (அதாவது, சமத்துவம் எஃப் (x) \u003d f (x) அனைத்து எக்ஸ் (, π)) செய்யப்படுகிறது, பின்னர் அவ்வப்போது எண் அச்சுக்கு ஒரு முறை . நாம் செயல்பாடு f (x), வரைபடத்தில் வழங்கப்படும் வரைபடம். 22. செயல்பாடு f (x) புள்ளிகளில் படம். 22. தொடர்ச்சியான செயல்பாடு f (x) x \u003d kπ, k ஒரு முழு எண் உள்ளது, ஒரு நரி உள்ளது. ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள்: பி n \u003d, f (x) என்பதால் கூட. நாம் 29 ஐப் பெறும் பகுதிகளில் ஒருங்கிணைக்கிறோம்
30 a \u003d 2 π a \u003d 2 π \u003d 2 cosnxd (e ax) \u003d 2 πa e Aox dx \u003d 2 π a (aπ 1), f (x) cos πnxdx \u003d 2 π πa eax cosnx \u003d 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 ax cos nxdx \u003d + 2n e ax sin nxdx \u003d πa sin nxde ax \u003d 2 πa (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2ex 2n2 e ax cos nxdx \u003d 2 π a π A (EAπ COS N π 1) N2 AA N. 2 எனவே, ஒரு n \u003d 2a e aπ cos n π 1. π ஒரு 2 + n 2 f (x) தொடர்ச்சியானது, பின்னர் தற்போதைய குவிப்பின் தற்போதைய படி, அதன் ஃபோரியர் வரிசை f (x) க்கு இணைகிறது. எனவே, அனைத்து எக்ஸ் [, π], நாம் f (x) \u003d 1 π a (eaπ 1) + 2a π k \u003d 1 e aπ (1) k 1 ஒரு 2 + k 2 coskx (x π). அரிசி ஒரு குறிப்பிட்ட வெடிப்பு செயல்பாட்டிற்கு ஃபோரியர் தொடரின் பகுதி தொகைகளின் படிப்படியான தோராயத்தை நிரூபிக்கிறது. 3.
31 படம். 23. செயல்பாடுகளை f (x) மற்றும் s (x) படம் வரைபடங்கள். 24. செயல்பாடுகளை f (x) மற்றும் s 1 (x) படம் வரைபடங்கள். 25. செயல்பாடுகளை f (x) மற்றும் S 2 (x) படம் வரைபடங்கள். 26. செயல்பாடுகளை எஃப் (எக்ஸ்) மற்றும் எஸ் 3 (எக்ஸ்) வரைபடங்கள் 31
32 படம். 27. செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் f (x) மற்றும் s 4 (x) படம். 28. செயல்பாடுகளை f (x) மற்றும் எஸ் 99 (எக்ஸ்) பணிகளை வரைபடங்கள் 9. செயல்பாடு f (x) \u003d cos x, x π ஐ ஆராயுங்கள். 1. செயல்பாடு f (x) \u003d e AX, a\u003e, x π, ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் மட்டுமே சைனஸில் மட்டுமே ஆராயுங்கள். 11. செயல்பாடு f (x) \u003d x 2, x π, ஐ.ஐ.ஆர். 12. செயல்பாடு f (x) \u003d sin ax, x π, மட்டுமே கோசைன் மூலம் மட்டுமே தொடர்கிறது. 13. செயல்பாடு f (x) \u003d x sin x, x π, சைனஸில் மட்டுமே ஒரு நாகரீகத் தொடரில் பரவியது. பதில்கள் 9. cosx \u003d cosx. 1. E AX \u003d 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π 2 + k2 k \u003d 1 11. x 2 2 [π 2 (1) n 1 π n + 2] n 3 ((1) n 1) பாவம் NX. 32.
33 12. ஒரு முழு எண் இல்லை என்றால், பாவம் AX \u003d 1 COSAπ (1 + 2A COS 2NX) + π 2 (2N) 2 + 2A 1 + COSAπ COS (2N 1) x π 2 (2N 1) 2 ; A \u003d 2M கூட ஒரு எண் என்றால், பின்னர் பாவம் 2mx \u003d 8m cos (2n 1) x π (2m) 2 (2n 1) 2; A \u003d 2M 1 ஒரு நேர்மறையான ஒற்றைப்படை எண் என்றால், பாவம் (2m 1) x \u003d 2 (Cos 2nx) 1 + 2 (2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin sin 2nx. 2 π (4N 2 1) 2 3. ஒரு தன்னிச்சையான காலத்துடனான ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடுகளை செயல்படும் f (x) இடைவெளியில் [l, l], l\u003e அமைக்கப்படுகிறது என்று நினைக்கிறேன். பதிலீடு x \u003d ly, y π, நாம் function g (y) \u003d f (ly / π) ஆகியவற்றைப் பெறுவதன் மூலம், இடைவெளிகளில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது [, π]. இந்த செயல்பாடு G (Y) (முறையான) ஃபோரேயர் தொடர் () ஃபோரேயர் தொடர் () லைஃப் எஃப் \u003d ஜி (y) a π 2 + (ஒரு COSNNY + BN SIN NY), EULER FORIER FORMULA களின் படி அமைந்திருக்கும் குணகம்: ஒரு \u003d 1 π g (y) cosny dy \u003d 1 π f (ly π) cos ny dy, n \u003d, 1, 2, ..., 33
34 bn \u003d 1 π g (y) sinny dy \u003d 1 π f () ly sin ny dy, n \u003d 1, 2, .... π பழைய மாறி திரும்ப, I.E. எழுதப்பட்ட சூத்திரங்கள் y \u003d zx / l , செயல்பாடு f (x) trigonometress தொடர் பல மாற்றியமைக்கப்பட்ட வகை: எஃப் (எக்ஸ்) ஒரு 2 + ஒரு \u003d 1 lbn \u003d 1 lllll (a cos πnx lf (x) cos πnx lf (x) πnx l + bn பாவம் πnx), (11) l dx, n \u003d, 1, 2, ..., (12) DX, N \u003d 1, 2, .... (13) இது சூத்திரங்கள் (11) (13) ஒரு தன்னிச்சையான காலப்பகுதியுடன் ஒரு நாகரீகத் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளில் சிதைவுற்றது. உதாரணம் 9. இடைவெளியில் (எல், எல்) வெளிப்பாட்டின் (எல், எல்) குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் கண்டுபிடிப்போம் (a, l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34
35 a \u003d 1 llf (x) dx \u003d 1 l a dx \u003d 1 ll b dx \u003d a + b, llan \u003d 1 llf (x) cos πnx l dx \u003d 1 l \u003d 1 ll a cos πnx l \u003d a + b π nlbn \u003d 1 l dx + 1 ll b cos πnx l sin πn \u003d n என்றால், ஒரு பாவம் πnx lf (x) πnx l dx \u003d 1 ll dx \u003d b sin πnx l \u003d ba (1 cosπn). πn ஃபோனியர் செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) ஒரு வரிசையை உருவாக்கும்: F (x) A + B ™ (b ஒரு cosπn \u003d (1) n, பின்னர் n dx \u003d dx \u003d (1 cosπn) பாவம் πnx). n \u003d 2k க்கு நாம் n \u003d b \u003d b 2k \u003d \u003d n \u003d 2k 1 b n \u003d b 2k 1 \u003d 35 2 (b a) ™ (2K 1) உடன்.
36 இலிருந்து எஃப் (எக்ஸ்) A + B (BA) ™ (SIN πX + 1 3πX SIN + 1 5πX SIN + ... L 3 L 5 L ஆனது டி.ஆர்.ஜி. எல் என்றால், ஒரு தொகை என்றால் இணைக்கப்படுகிறது< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).
37 படம். 29. Samponics S (x) \u003d A 2 மற்றும் S 1 (x) \u003d b 1 சின்ஸ் மூலம் superimposed வரைபடங்கள் செயல்பாடு f (x) வரைபடம் வரைபடம். மூன்று உயர் ஹார்மோனிக்ஸ் எஸ் 3 (எக்ஸ்) \u003d b 3 SIN 3πX, S L 5 (X) \u003d B 5 SIN 5 SIN 5πX L மற்றும் S 7 (X) \u003d B 7 SIN SIN 7πX 37
38 படம். 3. செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) வரைபடத்தின் பகுதி 99 (x) கொண்ட பகுதியினருடன் அதில் superimposed உள்ளது. 31. FRAGMENT FIG. 3 மற்றொரு அளவிலான 38 இல்
குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளை சிதைக்க பணிகளில் 39 பணிகளைச் செலுத்துகிறது. 14. f (x) \u003d x 1, (1, 1). 15. f (x) \u003d ch2x, (2, 2] F (x) \u003d x (1 x), (1, 1), (1, 1]. 17. எஃப் (x) \u003d cos π x, [1, 1] f (x ) \u003d பாவம் π x, (1, 1). (2 1, 1 என்றால்< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39
40 18. f (x) \u003d 8 (1) n n sin nπx. π 1 4N (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f (x) \u003d al 4 2) 1 (4n 2) πx cos, π 2 (2n 1) 2 L b) f (x) \u003d 4AL (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f (x) \u003d (cos π π 2 2 x 2 2 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x cos 5 π), 2 2 x ... b) f ( x) \u003d 4 (sin π π 2 x 1 3 Sin 3 π) + 2 2 x (sin π π 2 x cos 2 π) 2 x சிக்கலான வடிவம் ஃபோரியர் சிதைவு F (x) \u003d cne inx, cn \u003d 1 2 ± f (x) e inx dx, n \u003d ± 1, ± 2, ... ஒரு தொடர்ச்சியான ஒரு தொடர்ச்சியான ஒரு சிக்கலான வடிவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு சிக்கலான ஃபோரியர் தொடரில் ஒரு சிக்கலான ஃபோரியர் தொடரில் டிஜிட்டல் தொடர்ச்சியான தொடர்ச்சியாக செயல்படும் போது, \u200b\u200bஇது ஃபோரியர் உண்மையான தொடரில் சிதைந்துவிடும். நான்கு
41 உதாரணம் 1. ஃபார்முலா எஃப் (எக்ஸ்) \u003d மின் கோடாரி, இடைவெளியில் [, π) இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் சிக்கலான வடிவத்தில் ஃபோரியர் ஒன்றை கண்டுபிடி, ஒரு உண்மையான எண். முடிவு. குணகங்களை கணக்கிடுங்கள்: \u003d c n \u003d 1 2 π f (x) e inx dx \u003d 1 inx \u003d 1 inx \u003d 1 (1) x dx \u003d 1 ((1) n e a a a a a a) \u003d (1) n sh aπ. 2π (a in) π (ஒரு) செயல்பாடு F இன் சிக்கலான ஃபோரியர் தொடர் Form f (x) sh a a π n \u003d (1) n a a in in. செயல்பாடு f (x) ஒரு துண்டு துண்டாக உள்ளது என்று நம்பப்படுகிறது: இடைவெளி (, π) இது தொடர்ச்சியாக வேறுபடுகிறது, மற்றும் புள்ளிகள் x \u003d ± π ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரம்புகள் (5), (6) லிம் H + EA ( + H) \u003d e a ad, lim h + ea (π h) \u003d e a, ea (+ h) ea (+ h) am (+) lim (+) am (π h) ea (π h) ea (π), லிம் H + h \u003d Aπ. இதன் விளைவாக, செயல்பாடு f (x) ஃபோர்சர் ஷா π π n \u003d (1) n a n \u003d (1) n a a a in ஐ குறிக்கிறது, இது தொகையை இணைக்கிறது: (E S (x) \u003d ax, π என்றால்< x < π, ch a, если x = ±π. 41
42 எடுத்துக்காட்டு 11. ஃபார்முலா எஃப் (எக்ஸ்) \u003d 1 ஒரு 2 1 2A COSX + A2 ஆகியவற்றால் வழங்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் சிக்கலான மற்றும் உண்மையான வடிவத்தில் ஃபோரியர் தொடரை நாங்கள் கண்டுபிடிப்போம்.< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42
43 நினைவுச்சின்னம் q உடன் முடிவிலா வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகை (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43
44 இப்போது நாம் உண்மையான வடிவத்தில் ஒரு ஃபோரியர் தொடர் காண்கிறோம். இதை செய்ய, நாம் n மற்றும் N மற்றும் N உடன் N மற்றும் N உடன் விதிமுறைகளை குழுவாக, ஒரு n e inx + a ninx \u003d 2a neinx + e inx + e inx ஏனெனில் c \u003d 1, பின்னர் 2 \u003d 2a n cos nx. f (x) \u003d 1 a 2 1 2a cosx + a \u003d a n cosnx. 2 இந்த உண்மையான வடிவம் f (x) செயல்பாடு ஒரு ஃபோரியர் தொடர். எனவே, ஒரு ஒருங்கிணைந்த இல்லாமல், பல ஃபோரியர் செயல்பாடுகளை நாங்கள் கண்டோம். அதே நேரத்தில், நாம் ஒரு கடினமான ஒருங்கிணைந்த கணக்கிடப்படுகிறது, அளவுரு COS NXDX 1 2A COSX + A \u003d 2 π ஒரு 2 1 A2, ஒரு< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44
45 a (zz 1) f (x) \u003d 2i (1 a (zz 1) + a) \u003d i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (za) (za 1) \u003d \u003d \u003d i 2 + i () ஒரு 2 za + a 1. 1. Za 1 ஒவ்வொரு எளிய பின்னணிகள் ஒவ்வொன்றும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் சூத்திரத்தின் படி சிதைந்துவிடும்: + AZA \u003d ஒரு 1 z 1 a \u003d aanzzn, n \u003d za 1 za \u003d az \u003d anz n. n \u003d az \u003d a / z \u003d a என்பதால் இது சாத்தியம்< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, அல்லது, மேலும் குறுகிய, சி n \u003d 1 2i a n sgnn. இதனால், ஒரு விரிவான வடிவத்தில் ஃபோரியர் தொடர் காணப்படுகிறது. எண்கள் n மற்றும் n உடன் தொடர்புடையது ஒரு உண்மையான வடிவத்தில் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளை ஒரு தொடர்: \u003d f (x) \u003d + ஒரு sin 1 2a cosx + A + 2 (1 2i a in in in in in in in in in n \u003d +) \u003d Cne inx \u003d ஒரு பாவம் nx. நாம் மீண்டும் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்பை கணக்கிட முடிந்தது: SIN X SIN NXDX 1 2A COSX + A 2 \u003d π ஒரு 1. (16) 45
46 பணிகளை 24. (15) பயன்படுத்தி, COS NXDX 1 2A COSX + a, a,\u003e ஒரு 2 ஒருங்கிணைப்பு கணக்கிட (16) பயன்படுத்தி (16) பயன்படுத்தி, ஒரு ஒரு COSX + A2 இன் SIN X SIN NXDX ஒருங்கிணைக்க பணிகளை, வரிசைகள் ஃபோரியர் செயல்பாடுகளை ஒரு விரிவான வடிவத்தில் கண்டுபிடிக்க. 26. f (x) \u003d sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46
47 5. லியோபூனோவின் சமத்துவம் (Lyapunov சமத்துவம்) சமத்துவம். செயல்பாடு எஃப்: [, π] r இது f 2 (x) dx போன்றது< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47
48 a n \u003d 2 π f (x) cosnxdx \u003d 2 π a cos nxdx \u003d 2 sin na in. எனவே, செயல்பாடு f (x) லைப்பூவோவின் சமத்துவம் வடிவம் எடுக்கும்: 2 2 π + 4 SIN 2 NA \u003d 2A 2 π 2 n 2 π. ஒரு π க்கு கடைசி சமத்துவம் இருந்து நாம் பாவம் 2 na n 2 \u003d ஒரு (π a) 2, ஒரு \u003d π 2 அனுமானித்து, நாம் sin2 na \u003d 1 இல் n \u003d 2k 1 மற்றும் n \u003d 2k மணிக்கு SIN 2 NA \u003d 1 ஐ பெறுகிறோம். இதன் விளைவாக, K \u003d 1 1 (2K 1) 2 \u003d \u003d π2 8. உதாரணம் 14. நாம் lapunov சமத்துவத்தை function f (x) \u003d x cosx, x [, π], மற்றும் நாம் தொகை காண்போம் எண் வரிசை (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π தீர்வு. நேரடி கணக்கீடுகள் \u003d π π f 2 (x) dx \u003d 1 π x 2 cos 2 xdx \u003d 1 π x sin 2xdx \u003d π π x cos x \u003d π x 21 + cos 2x dx \u003d 2 × 1 4 π cos 2xdx \u003d
49 எஃப் (எக்ஸ்) ஒரு செயல்பாடு என்பதால், அனைத்து n க்கும் நாம் bn \u003d, a \u003d 2 π \u003d 1 × 1 \u003d π (n + 1) \u003d f (x) cosnxdx \u003d 2 × 1 cos (n + 1 ) x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx \u003d x (cos (n + 1) x + cos (n 1) x) dx \u003d 1 π sin (n + 1) xdx sin (n 1) xdx \u003d π (n 1) π π 1 + cos (n 1) x \u003d π (n 1) 2 1 (\u003d (1) (n + 1) 1) 1 (+ (1) (n + 1) 1) \u003d π (n + 1) 2 π (n 1) 2 () \u003d (1) (n + 1) 1 1 π (n + 1) + 1 \u003d 2 (n 1) 2 \u003d 2 (1) (n + 1) 1 nk π (n 2 1) \u003d π (4k 2 1) 2, n \u003d 2k + 2 என்றால் N \u003d 2K + 1. N \u003d 1 க்கு பொதுவான சூத்திரத்தில், N \u003d 1 க்கு பொதுவான சூத்திரத்தில் இருந்து தனித்தனியாக கணக்கிடப்பட வேண்டும் பூஜ்ஜியமாக வரையப்பட்டது. \u003d 1 π ஒரு 1 \u003d 2 π F (x) cosxdx \u003d 2 π x (1 + Cos 2x) dx \u003d π 2 1 2 π 49 x cos 2 xdx \u003d sin 2xdx \u003d π 2.
50 இதனால், செயல்பாடு F (x) க்கான Lyapunov சமத்துவம் வடிவம் உள்ளது: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 × 2 (4n 2 + 1) \u003d π, எங்கிருந்து எண் வரிசையின் தொகை (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) \u003d π π பணிகள் 32. ஒரு செயல்பாட்டிற்கான LyaPunov சமத்துவத்தை எழுதுங்கள் (xf (x) \u003d 2 πx, x என்றால்< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5
51 π (2n + 1) \u003d π பாவம் 2απ \u003d \u003d 2sin2 απ α 2 α 2 α 2 α α α α α α α answers answers answers answers sin π π π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; Sin 2 + 2απ \u003d απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 × 35. எஃப் (எக்ஸ்) ஜி (எக்ஸ்) ஜி (எக்ஸ்) டி (எக்ஸ்) டி (எக்ஸ்) டி (எக்ஸ்) டி (எக்ஸ்) எஃப் (எக்ஸ்), மற்றும் DN ஃபோர்சர் குணகம் செயல்பாடுகளை g (x). 6. ஃபோரியர் தொடரின் வேறுபாடு F: r r தொடர்ந்து மாறுபட்ட 2½ கால செயல்பாடு. அவரது ஃபோரியர் தொடரில் வடிவம் உள்ளது: f (x) \u003d a 2 + (n cos nx + b sin nx). இந்த செயல்பாடு Derivative F (x) ஒரு தொடர்ச்சியான மற்றும் 2½ கால செயல்பாடு இருக்கும் ஒரு தொடர்ச்சியான மற்றும் 2½ கால செயல்பாடு இருக்க முடியும் for (x) a 2 + (ஒரு COS NX + BN SIN NX), அங்கு ஒரு, ஒரு, ஒரு, BN, n \u003d 1, 2, ... ஃபோரியர் குணகம் f (x). 51.
52 தேற்றம் (ஃபோரியர் தொடரின் கொல்லப்பட்ட வேறுபாடு பற்றி). மேலே உள்ள ஊகங்கள், சமத்துவம் A \u003d, ஒரு n \u003d nb n, b n \u003d n \u003d n \u003d n \u003d n, n \u003d n, n \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d NB N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N \u003d N நிபந்தனை f (x) dx \u003d, ஒரு சமத்துவமின்மை 2 DX 2 DX, கண்ணாடி சமத்துவமின்மை என்று அழைக்கப்படும் ஒரு சமத்துவமின்மை உள்ளது, மற்றும் அது சமத்துவம் மட்டுமே படிவம் f (x) \u003d a ஆகியவற்றின் செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே மேற்கொள்ளப்படுகிறது என்பதை உறுதிப்படுத்தவும் கோஸ். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், steklov சமத்துவமின்மை நிலைமைகள் கொடுக்கிறது, derivative (RMS) சிறிய செயல்திறன் செய்யும் போது, \u200b\u200bசெயல்பாடு சிறிய பின்வருமாறு (சராசரி-சராசரி-சதுர). முடிவு. இடைவெளியில் இடைவெளிக்கு F (x) ஐ தொடரும். அதே சின்னத்தின் f (x) தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டை குறிக்கவும். பின்னர் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு தொடர்ச்சியாகவும், துண்டுப்பிரசுரத்தின் மீது மென்மையாக்கும். [, Π]. செயல்பாடு f (x) தொடர்ச்சியானது என்பதால், எஃப் 2 (எக்ஸ்) பிரிவு மற்றும் 2 DX இல் தொடர்ச்சியாக உள்ளது< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52
53 தொடர்ச்சியான செயல்பாடு கூட, பின்னர் b n \u003d, a \u003d ஒரு நிபந்தனையின் கீழ். இதன் விளைவாக, Lyapunov சமத்துவம் படிவம் 1 × 2 dx \u003d a 2 π n. (17) F (x) நான்காவது தொடரின் சிந்தனையின் மாறுபாட்டின் முடிவை எஃப் (எக்ஸ்) முடிவுக்கு வந்துவிட்டது, அதாவது ஒரு \u003d, a \u003d nb n, bn \u003d n n, n. Derivative F (x) புள்ளிகள் x 1, x 2, ..., இடைவெளியில் x n இல் இடைவெளிகளை மேற்கொள்கிறது. X \u003d, x n + 1 \u003d π குறிக்கவும். N +1 இடைவெளியில் (x, x 1) இல் ஒருங்கிணைப்பு இடைவெளியை வகுக்கிறோம், ... (x n, x n + 1), எஃப் (எக்ஸ்) ஒவ்வொன்றிலும் தொடர்ந்து வேறுபடுகின்றன. பின்னர், ஒருங்கிணைந்த additivity சொத்து பயன்படுத்தி, பின்னர் பகுதிகளில் ஒருங்கிணைப்பது, நாம் பெறுகிறோம்: BN \u003d 1 π \u003d 1 π \u003d 1 π F (x) sin nxdx \u003d 1 π nf (x) sin nx j \u003d nf ( x) sin nx j \u003d xjnn π xjx jjx jjx jjx jjx jjx jjx jjx jjx zjx zjx \u003d 1 xjx jjx jjf (x) sin nxdx \u003d f (x) cosnxdx \u003d f (x) cosnxdx \u003d \u003d 1 π [(f (f (f ( x 1) பாவம் nx 1 f (x) சின் NX) + + (எஃப் (எக்ஸ் 2) sinnx 2 f (x 1) பாவம் NX 1)
54 + (f (x n + 1) பாவம் nx n + 1 f (x n) sin nx n) na n \u003d 1 π n n \u003d \u003d 1 π n n \u003d n n n. x j + 1 a \u003d 1 f (x) dx \u003d 1 n f (x) dx \u003d π π j \u003d xj \u003d 1 n x j + 1 f (x) π \u003d 1 (f (π) f ()) \u003d. X j π j \u003d செயல்பாடு f (x) சமமாக தொடர்ந்தது, எனவே f (π) \u003d f () என்ற உண்மையின் காரணமாக கடைசி சமத்துவம் நடைபெறுகிறது. இதேபோல், நாம் ஒரு n \u003d nb n ஐ பெறுகிறோம். ஒரு தொடர்ச்சியான துண்டுப்பிரசுரம் ஒரு தொடர்ச்சியான 2½-கால செயல்பாட்டிற்காக நான்காரியே தொடரின் சீரமைப்பு வேறுபாட்டின் திமிங்கலத்தில், இடைவெளியில் [, π] முதல் வகையான இடைவெளிகளை மேற்கொள்வது சரியானது என்பதை நாங்கள் காட்டியுள்ளோம். எனவே f (x) a 2 + (ஒரு cosnx + bn sin nx) \u003d (na n) sin nx, a \u003d, a \u003d nb n \u003d, bn \u003d na n, n \u003d 1, 2, .... என்பதால் 2 dx.< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)
55 (18) வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் (17), பின்னர் 2 DX 2 DX இல் உள்ள வரிசையில் உள்ள உறுப்பினருக்கு அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கலாம். எஃப் (எக்ஸ்) அசல் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியான தொடர்ச்சியாக இருப்பதாக நினைவு கூர்ந்தார், 2 DX 2 DX உள்ளது. Steklov சமத்துவத்தை நிரூபிக்கிறது. இப்போது நாம் steklov சமத்துவமின்மை என்ன செயல்பாடுகளை ஆய்வு, சமத்துவம் உள்ளது. குறைந்தபட்சம் ஒரு N 2 க்கு, குணகம் ஒரு N என்பது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, பின்னர் ஒரு 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55
56 பணிகளை 37. ஒரு துண்டுகள் மென்மையான செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) இடைவெளியில் தொடர்ச்சியாக [, π]. நிபந்தனை f () \u003d f (π) \u003d, ஒரு 2 DX 2 DX சமத்துவமின்மை ஆகும், மேலும் கண்ணாடியிழை சமத்துவமின்மை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அது சமத்துவம் எஃப் (எக்ஸ்) செயல்பாடுகளுக்கு மட்டுமே நடைபெறுகிறது என்பதை உறுதிப்படுத்தவும் \u003d b sin x. 38. செயல்பாடு f இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானது [, π] இல் தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். இது (புள்ளிகளின் இறுதி எண் தவிர்த்து) சதுரத்துடன் ஒருங்கிணைந்த derivative f (x) நிபந்தனைகள் f () \u003d f (π) மற்றும் f (π) மற்றும் f (x) dx \u003d திருப்திகரமாக இருந்தால், ஒரு சமத்துவமின்மை 2 DX 2 DX உள்ளது, இது Virginger இன் சமத்துவமின்மை என்று அழைக்கப்படுகிறது, அது சமத்துவம் மட்டுமே செயல்பாடுகளை மட்டுமே நடைபெறுகிறது படிவம் f (x) \u003d ஒரு cosx + b sin x. 56.
57 7. ஒரு உண்மையான பொருளின் (இயல்பு, உற்பத்தி செயல்முறை, மேலாண்மை அமைப்புகள், முதலியன) இரண்டு காரணிகள் பற்றிய ஆய்வு செய்வதில் தனிப்பட்ட வகைகளில் உள்ள வேறுபாடுகளின் சமன்பாடுகளை தீர்க்க ஃபினீயர் தொடரின் பயன்பாடு அத்தியாவசியமானது: பொருளைப் பற்றிய குவிக்கப்பட்ட அறிவின் நிலை ஆய்வின் கீழ் மற்றும் கணித இயந்திரத்தின் வளர்ச்சியின் அளவு. விஞ்ஞான ஆராய்ச்சியின் தற்போதைய கட்டத்தில், அடுத்த சங்கிலி உருவாக்கப்பட்டது: கணித மாதிரியின் உடல் மாதிரி. பணியின் உடல் உருவாக்கம் (மாதிரி) பின்வருமாறு: செயல்முறையின் வளர்ச்சிக்கான நிலைமைகள் மற்றும் பாதிக்கப்படும் முக்கிய காரணிகளைக் கண்டறியும் நிலைமைகள். கணித உருவாக்கம் (மாடல்) என்பது ஒரு சமன்பாடுகளின் (இயற்கணித, வேறுபட்ட, ஒருங்கிணைந்த, முதலியன) வடிவத்தில் உடல் வடிவமைப்பில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட காரணிகளை விவரிக்க வேண்டும். ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டு இடங்களில் சிக்கலின் தீர்வு இருந்தால், ஒரே மற்றும் தொடர்ச்சியான தொடர்ச்சியான மற்றும் எல்லை நிலைமைகளை சார்ந்துள்ளது. கணித மாதிரியானது கருத்தின் கீழ் பொருளுக்கு ஒத்ததாக இல்லை, ஆனால் சரம் தளர்வான சிறிய குறுகலான ஊசலாட்டங்களின் சமன்பாட்டின் வெளியீட்டின் அதன் தோராயமான விளக்கம் பாடப்புத்தகத்தை பின்பற்றும். சரங்களின் முடிவுகளை சரி செய்யட்டும், மேலும் சரம் தன்னை இறுக்கமாகக் கொண்டது. நீங்கள் சமநிலை நிலைப்பாட்டிலிருந்து சரம் கொண்டு வந்தால் (உதாரணமாக, தாமதப்படுத்த அல்லது அதைத் தாமதப்படுத்த), சரம் 57 தொடங்கும்
58 ஏற்ற இறக்கம். சரத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் அதன் சமநிலை நிலைக்கு (குறுக்கு ஊசலாட்டங்கள்) செங்குத்தாக மாறும் என்று நாங்கள் கருதுகிறோம், ஒவ்வொரு முறையும் சரம் அதே விமானத்தில் உள்ளது. இந்த விமானத்தில் xou செவ்வக ஒருங்கிணைந்த அமைப்பு எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். பின்னர், நேரம் t \u003d ஆரம்ப நேரத்தில் டி \u003d சரம் OX அச்சு அருகே அமைந்திருந்தால், பின்னர் u சமநிலை நிலையை இருந்து சரம் விலகல் அர்த்தம், அதாவது, abscissa x கொண்டு சரம் புள்ளி நிலையை உள்ளது ஒரு தன்னிச்சையான தருணத்தில் செயல்பாடு u (x, t) பொருந்துகிறது. டி ஒவ்வொரு நிலையான மதிப்பு கொண்டு, வரைபட செயல்பாடு u (எக்ஸ், டி) நேரம் t (படம் 32) மணிக்கு ஊசலாடும் சரம் வடிவத்தை பிரதிபலிக்கிறது. எக்ஸ் ஒரு நிலையான மதிப்புடன், செயல்பாடு u (x, t) நேராக, இணை அல்லது அச்சு, இந்த இயக்கத்தின் வேகத்தை வகைப்படுத்தி, மற்றும் இரண்டாவது derivative 2 உடன் ஒரு abscissa x உடன் புள்ளி இயக்கம் சட்டம் கொடுக்கிறது, மற்றும் இரண்டாவது derivative 2 U t 2 முடுக்கம். படம். 32. சரங்களை ஒரு எண்ணற்ற சிறிய நீட்டிக்க பயன்படுத்தப்படும் படைகள் செயல்பாடு u (x, t) திருப்தி செய்ய வேண்டும் சமன்பாடு இருக்கும். இதை செய்ய, நாம் இன்னும் சில எளிமையான அனுமானங்களை செய்வோம். 58 - நாம் சரம் முற்றிலும் சக்தியை கருத்தில் கொள்வோம்
59 கொய், அதாவது, சரம் வளைவுகளை எதிர்த்து நிற்காது என்று நாங்கள் கருதுவோம்; இதன் பொருள் சரம் உள்ள எழும் அழுத்தங்கள் எப்போதும் அதன் உடனடி சுயவிவரத்தின் ஒரு தொடர்ச்சியான நோக்கமாக உள்ளன. சரம் தொண்டை ஒரு மீள் மற்றும் பருமனான சட்டம் என்று கருதப்படுகிறது; இதன் பொருள் இறுக்கம் சக்தியின் அளவிலான மாற்றம் சரத்தின் நீளத்தில் மாற்றத்திற்கு விகிதத்தில் உள்ளது என்பதாகும். சரம் ஓரினச்சேர்க்கை என்று நாங்கள் கருதுவோம்; இதன் பொருள் அதன் நேரியல் அடர்த்தி ρ மாறிலி. புற சக்திகளை புறக்கணிக்கிறோம். இதன் பொருள் நாம் இலவச ஊசலாட்டங்களைக் கருத்தில் கொள்கிறோம். நாம் சிறிய சரம் ஏற்ற இறக்கங்களை மட்டுமே படிப்போம். நீங்கள் abscissa அச்சு இடையே ஒரு கோணத்தை abscissa புள்ளி எக்ஸ் abscissa புள்ளி எக்ஸ் சரம் இடையே ஒரு கோணத்தில் டி.டி. φ (x, t), i.e. φ ஒப்பிடுகையில் φ (x, t), I.E. φ ஒப்பிடுகையில் ஒப்பிடுக. இங்கிருந்து உடனடியாக அது ஊசலாட்டத்தின் செயல்பாட்டில் எந்த சரத்தின் நீளத்திலும் மாற்றத்தை புறக்கணிக்கலாம். உண்மையில், abscissa அச்சு இடைவெளிக்கு வடிவமைக்கப்பட்ட சரம் மீ 1 மீ 2 இன் நீளம், x 2 \u003d x 1 + x l \u003d x 2 x () 2 u dx x க்கு சமமாக இருக்கும். எக்ஸ் எமது அனுமானங்களால் பதற்றமான சக்தியின் மதிப்பு முழு சரம் வழியாக மாறும் என்று காட்டுகிறோம். இந்த சரம் மீ 1 மீ 2 (படம் 32) எந்த பகுதியையும் (படம் 32) எடுத்துக்கொள்ளவும் மற்றும் நிராகரிக்கப்பட்ட பகுதியின் செயலை மாற்றவும் - 59
60 துண்டுகள் டி 1 மற்றும் டி 2. டி 1 மற்றும் டி 2. நிபந்தனையின் கீழ் அனைத்து சரம் புள்ளிகளும் OU அச்சுக்களுக்கு இணையாக நகரும் மற்றும் வெளிப்புற சக்திகள் காணவில்லை, OX அச்சு மீது பதற்றம் சக்திகளின் கணிப்புகளின் தொகை பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும்: T 1 cosφ (x 1, t) + t 2 cosφ (x 2, t) \u003d. இங்கே இருந்து, கோணங்களில் சிறியது காரணமாக φ 1 \u003d φ (x 1, t) மற்றும் φ 2 \u003d φ (x 2, t), நாம் t 1 \u003d t 2. t 1 \u003d t இன் மொத்த மதிப்பைக் குறிக்கிறோம் 2 டி. இப்போது நாம் OU அச்சில் உள்ள அதே சக்திகளின் திட்டத்தின் தொகையை கணக்கிடுகிறோம்: f u \u003d t sin φ (x 2, t) t sin φ (x 1, t). (X, t) tg φ (x, t), மற்றும் டி.ஜி. φ (x, t) u (x, t) / x, பின்னர் சமன்பாடு (2) சமன்பாடு (2) (Tg (x 2, t) tg φ (x 1, t)) (u tx (x 2, t) x) x (x 1, t) xx t 2 ux 2 (x 1, t) x. புள்ளி x 1 தன்னிச்சையாக தேர்வு ஏனெனில், பின்னர் f U t 2 u x2 (x, t) x. மீ 1 மீ 2 பிரிவில் செயல்படும் அனைத்து படைகளும் காணப்படுகின்றன, நாம் அவருக்கு இரண்டாவது நியூட்டன் சட்டத்திற்கு விண்ணப்பிப்போம், இதன் விளைவாக, வெகுஜனத்தின் தயாரிப்பு அனைத்து தற்போதைய சக்திகளின் தொகைக்கு சமமாக உள்ளது. சரம் மீ 1 மீ 2 இன் வெகுஜன m \u003d ρ l ρ x, மற்றும் முடுக்கம் 2 U (x, t) ஆகும். நியூட்டன் சமன்பாடு T 2 படிவம் எடுக்கிறது: 2 U டி (எக்ஸ், டி) x \u003d u 2 α2 2 x2 (x, t) x, அங்கு α 2 \u003d t ρ ஒரு நிலையான நேர்மறை எண். 6.
61 எக்ஸ் வெட்டுவது, நாங்கள் 2 U t (x, t) \u003d u 2 α2 2 x2 (x, t) பெறுகிறோம். (21) இதன் விளைவாக, ஒரு நேர்கோட்டு ஒத்திசைவு சமன்பாடு இரண்டாவது வரிசையில் தனியார் வகைகளுடன் நிலையான குணகங்களுடன் பெற்றது. இது சரம் ஊசலாட்டம் சமன்பாடு அல்லது ஒரு பரிமாணத்தை அழைக்கப்படுகிறது அலை சமன்பாடு. சமன்பாடு (21) முக்கியமாக நியூட்டனின் சட்டத்தை சீர்திருத்தமாகவும் சரம் இயக்கத்தை விவரிக்கிறது. ஆனால் பணியின் உடல் வடிவமைப்பில், சரங்களின் முடிவை சரி செய்யப்பட்டது மற்றும் சில நேரங்களில் சரம் நிலை அறியப்படுகிறது என்று தேவைகள் உள்ளன. இந்த நிலைமைகள் இந்த நிலைமைகளால் பதிவு செய்யப்படும்: a) சரங்களின் முனைகளில் புள்ளிகள் x \u003d மற்றும் x \u003d l, அதாவது நாம் அனைத்து t, விகிதங்கள் u (, t) \u003d, u என்று கருதி என்று கருதுவோம் என்று கருதுவோம். l, t) \u003d; (22) b) அந்த நேரத்தில் t \u003d சரம் நிலைப்பாட்டின் நிலை வரைபட செயல்பாடு f (x), i.e. உடன் இணைந்திருக்கும் என்று நாங்கள் கருதுவோம், சமத்துவம் u (x,) \u003d f (x,) \u003d f ( எக்ஸ்); (23) b) abscissa x உடன் சரம் நேரத்தில் t \u003d புள்ளி வேக ஜி (எக்ஸ்), I.E. நாம் u (x,) \u003d g (x) என்று கருதுவோம் என்று கருதுவோம். (24) டி விகிதங்கள் (22) எல்லை நிலைமைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, உறவுகள் (23) மற்றும் (24) மற்றும் (24) ஆரம்ப நிலைமைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தளர்வான சிறிய குறுக்கு 61 இன் கணித மாதிரி
62 சரம் ஏற்றத்தாழ்வு (21) எல்லை நிலைமைகள் (22) மற்றும் ஆரம்ப நிபந்தனைகள் (22) மற்றும் (22) மற்றும் (22) மற்றும் (22) மற்றும் (24), சரம் இலவச சிறிய குறுக்கு ஊசலாட்டங்களின் சமன்பாட்டின் சமன்பாட்டின் சமன்பாட்டின் சமன்பாடு தீர்வு சமன்பாடு (21) புலத்தில் எக்ஸ் எல்,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. (21) is (21), நாம் பெறுவோம்: x t \u003d α 2 x t, (26) அல்லது t (t) α 2 t (t) α 2 t (t) x (x) x (x). (27) மாறிகள் பிரிப்பு ஏற்பட்டது என்று அவர்கள் சொல்கிறார்கள். எக்ஸ் மற்றும் டி ஒருவருக்கொருவர் சார்ந்து இல்லை என்பதால், இடது பக்க (27) எக்ஸ் சார்ந்து, டி மற்றும் டி மற்றும் இந்த உறவுகளின் மொத்த மதிப்பு 62
63 நிரந்தரமாக இருக்க வேண்டும், இது λ: t (t) α 2 t (t) \u003d x (x) x (x) \u003d λ மூலம் குறிக்கப்படுகிறது. இங்கிருந்து இரண்டு சாதாரணமாக கிடைக்கும் வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்: X (x) λx (x) \u003d, (28) t (t) α 2 λt (t) \u003d. (29) இந்த வழக்கில், எல்லை நிலைமைகள் (22) வடிவம் x () t (t) \u003d மற்றும் x (l) t (t) \u003d எடுக்கும். அவர்கள் T, T\u003e, பின்னர் x () \u003d x (l) \u003d செய்யப்பட வேண்டும் என்பதால் அவர்கள் செய்யப்பட வேண்டும். (3) சமன்பாட்டின் தீர்வுகளை நாம் காணலாம் (28) எல்லை நிலைமைகளை (3) திருப்திப்படுத்துகிறது. மூன்று வழக்குகளைக் கருதுங்கள். வழக்கு 1: λ\u003e. Λ \u003d β 2. சமன்பாடு (28) படிவம் x (x) β 2 x (x) \u003d. அதன் பண்பு சமன்பாடு k 2 β 2 \u003d வேர்கள் k \u003d ± β உள்ளது. எனவே, பொதுவான முடிவு சமன்பாடுகள் (28) வடிவம் x (x) \u003d c e βx + de βx உள்ளது. நாம் கான்ஸ்டன்ட் சி மற்றும் டி தேர்வு செய்ய வேண்டும், அதனால் எல்லை நிலைமைகள் (3), i.e. x () \u003d c + d \u003d, x (l) \u003d c e βl + de βl \u003d. Β என்பதால், சமன்பாடுகளின் இந்த முறை ஒரு தீர்வு சி \u003d d \u003d ஆகும். இதன் விளைவாக, x (x) மற்றும் 63.
64 U (x, t). இதனால், 1 விஷயத்தில், நாம் ஒரு அற்பமான முடிவைப் பெற்றோம், நாங்கள் இன்னும் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம். வழக்கு 2: λ \u003d. பின்னர் சமன்பாடு (28) வடிவம் x (x) \u003d மற்றும் அதன் தீர்வு வெளிப்படையாக தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது: எக்ஸ் (எக்ஸ்) \u003d சி X + D. எல்லை நிலைமைகளில் இந்த தீர்வை மாற்றுதல் (3), எக்ஸ் () \u003d d \u003d மற்றும் x (l) \u003d cl \u003d ஐப் பெறுகிறோம், இது c \u003d d \u003d என்று பொருள். இதன் விளைவாக, எக்ஸ் (எக்ஸ்) மற்றும் U (எக்ஸ், டி), நாம் மீண்டும் ஒரு சிறிய தீர்வை பெற்றோம். வழக்கு 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64
எதிர்காலத்தில் 65, நாம் n \u003d 1, 2 இன் நேர்மறையான மதிப்புகளை வழங்குவோம், எதிர்மறையான n உடன், λ n \u003d λ n \u003d இன் தீர்வுகள் (இனங்கள். Nπ) இன் தீர்வுகள் தங்கள் சொந்த எண்களை அழைக்கப்படுகின்றன செயல்பாடுகள் xn (x) \u003d c n sin πnx ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு (28) அதன் சொந்த செயல்பாடுகளை (2) உடன் (3). இப்போது சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம் (29). அதற்கு பதிலாக, பண்பு சமன்பாடு வடிவம் k 2 α 2 λ \u003d உள்ளது. (32) L 2 சமன்பாடு (28) சமன்பாடு (28) சமன்பாடு (28) சமன்பாடு (28) மட்டுமே எதிர்மறையானது λ, λ \u003d n2 π 2 க்கு சமமாக இருக்கும், பின்னர் நாம் போன்றவற்றை கருத்தில் கொள்வோம். சமன்பாட்டின் வேர்கள் (32) k \u003d ± iAl λ, மற்றும் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் (29) படிவம் (29) படிவம்: t n (t) \u003d ஒரு n sin πndr + b n cos πndt, (33) எல் எல் ஒரு n மற்றும் b n தன்னிச்சையான மாறிலிகள் எங்கே. (31) மற்றும் (33) மற்றும் (33) மற்றும் (33), சமன்பாட்டின் தனியார் தீர்வுகளை (21) எட்ஜ் நிலைமைகளை (22) திருப்திப்படுத்துவோம் (22): (ஐ.நா., டி) \u003d பிஎன் COS πNα + ஒரு பாவம்) சிஎன் பாவம் πnx. எல்எல்எல் ஒரு மல்டிபிளேயர் சி N ஐ அடைப்புக்குள் அறிமுகப்படுத்துகிறது மற்றும் வடிவமைப்பை அறிமுகப்படுத்துதல் C n a n \u003d b n c n \u003d a, ஐ.நா. (எக்ஸ், டி) படிவத்தில் (ஐ.நா., டி) \u003d ஒரு cos anndt + bn sin πndt) பாவம் πnx . (34) l l l 65.
66 சரம் ஏற்ற இறக்கங்கள் தீர்வுகள் U n (x, t) தொடர்புடைய தங்கள் சொந்த சரம் ஏற்ற இறக்கங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சமன்பாடு (21) மற்றும் எல்லை நிலைமைகள் (22) நேரியல் மற்றும் ஒரேவிதமானவை என்பதால், தீர்வுகளின் ஒரு நேரியல் கலவையாகும் (u (x, t) \u003d a cos πndr + bn sin πndt) பாவம் πnx (35) lll தீர்க்கப்பட வேண்டும் சமன்பாட்டின் மூலம் (21) திருப்திகரமான எல்லை நிலைமைகள் (22) ஒரு சிறப்பு தேர்வு ஒரு சிறப்பு தேர்வு ஒரு சிறப்பு தேர்வு, வரிசையின் சீருடை ஒருங்கிணைப்பு உறுதி இது. இப்போது நாம் இப்போது நாம் ஒரு மற்றும் பிஎன் தீர்வுகளை (35) தெரிந்து கொள்வோம், அதனால் அது எல்லைக்கு மட்டுமல்ல, ஆரம்ப நிபந்தனைகளும் (23) மற்றும் (24), எஃப் (எக்ஸ்), ஜி (எக்ஸ்) குறிப்பிட்ட செயல்பாடுகளை (மற்றும் f ( ) \u003d f (l) \u003d g () \u003d g (l) \u003d). Functions F (x) மற்றும் g (x) ஃபோரியர் தொடரில் சிதைவு நிலைமைகளை திருப்திப்படுத்துவதாக நாங்கள் நம்புகிறோம். (35) t \u003d ன் மதிப்பு, நாம் u (x,) \u003d ஒரு n sin πnx l \u003d f (x) பெறுகிறோம். தொடர்ச்சியான (35) t மற்றும் tracting t \u003d, நாம் UT (x,) \u003d πnα bn sin πnx l \u003d g (x), மற்றும் இது செயல்பாடுகளை f (x) மற்றும் g (x) ஆகியவற்றின் சிதைவு ஆகும் ஃபோரியர் தொடர். எனவே, ஒரு n \u003d 2 l l f (x) sin πnx l dx, b n \u003d 2 l g (x) sin πnx dx. πna l (36) 66.
67 Severituting பரீட்சை செல்கள் ஒரு n மற்றும் b n ஒரு வரிசையில் (35) செல்கள் (21) நாம் எல்லை நிலைமைகள் (22) மற்றும் ஆரம்ப நிலைமைகள் (23) மற்றும் (23) திருப்தி சமன்பாட்டின் தீர்வு பெற. இவ்வாறு, சரத்தின் இலவச சிறிய குறுக்கு அதிர்வுகளின் சிக்கலை நாங்கள் தீர்த்தோம். EigenFunctions u n (x, t) உடல் பொருள் கண்டுபிடிக்க ஃபார்முலா (34) வரையறுக்கப்பட்ட சரங்களை இலவச ஏற்ற இறக்கங்களின் பணிகளை கண்டுபிடிக்க. U n (x, t) \u003d α n cos πna l α n \u003d a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnam δ n \u003d arctg b n n \u003d artg b. எல் ஒரு n ஒரு n (37) சரம் அனைத்து புள்ளிகள் அதே அதிர்வெண் ω n \u003d πnα மற்றும் πnam δ n கட்டத்தில் ஹார்மோனிக் ஊசலாடுகளை செய்ய காட்டுகிறது. ஊசலாட்டத்தின் வீச்சு சரம் புள்ளியின் abscissa x இன் l l இல் பொறுத்தது மற்றும் α n பாவம் πnx க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய ஒரு ஊசலாட்டத்துடன், சரம் அனைத்து புள்ளிகள் ஒரே நேரத்தில் ஒரு திசையில் அல்லது மற்றொரு அதிகபட்ச விலகல் அடைய ஒரே நேரத்தில் அதே நேரத்தில் சமநிலை நிலையை கடந்து. அத்தகைய ஊசலாட்டங்கள் நின்று அலைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. நின்று அலை சின் πnx சமன்பாடு \u003d இடைவெளியில் [, L] இன் வேர்கள் மூலம் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. நிலையான புள்ளிகள் நின்று அலை முனைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. முனைகளில் நடுவில் நடுவில், குறைபாடுகள் அதிகபட்சமாக எட்டும் புள்ளிகள் உள்ளன; இத்தகைய புள்ளிகள் பஃப்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு சரம் கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட அதிர்வெண்களின் சொந்த ஊசலாடுகளை ω n \u003d πnam, n \u003d 1, 2, .... இந்த அதிர்வெண்கள் தங்கள் சொந்த சரம் அதிர்வெண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. சரங்களை உருவாக்கக்கூடிய குறைந்த தொனியில் 67 ஆல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது
68 குறைந்த சொந்த அதிர்வெண் ω 1 \u003d π t மற்றும் சரம் முக்கிய தொனியில் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எல் ½ அதிர்வெண்களுக்கு ω n, n \u003d 2, 3 க்கு தொடர்புடைய மீதமுள்ள டன்கள் ... obramstones அல்லது hamponics என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தெளிவு, நாம் வழக்கமான சரம் சுயவிவரங்களை காண்பிப்போம், அடிப்படை தொனியை (படம் 33), முதல் oberton (படம் 34) மற்றும் இரண்டாவது ஓபர்டன் (படம் 35) ஆகியவற்றை உமிழும். படம். 33. சரம் சுயவிவரம், அடிப்படை தொனியை வெளியிடுகிறது. 34. சரம் சுயவிவரம் முதல் Operton அரிசி வெளியிடுகிறது. 35. சரம் சுயவிவரம் மூலம் வெளியிடப்பட்ட சரம் சுயவிவரம் ஆரம்ப நிலைமைகளால் நிர்ணயிக்கப்பட்ட இலவச ஊசலாட்டங்களைச் செயல்படுத்தினால், செயல்பாடு U (எக்ஸ், டி) என்பது ஃபார்முலா (35) இலிருந்து காணப்படுவதாக தெரிகிறது, தனிப்பட்ட ஒத்திசைவுகளின் தொகையாகும். இதனால், ஒரு தன்னிச்சையான ஏற்ற இறக்கத்தை 68.
69 சரங்களை நின்று அலைகளின் ஒரு சூப்பரூஷன் ஆகும். அதே நேரத்தில், சரம் (தொனி, ஒலி, ஒலி சக்தி, Timbre) தன்மை, தனிப்பட்ட ஹார்மோனிக்ஸ் படை, உயரம் மற்றும் ஊசலாடும் சரத்தின் ஒலி மற்றும் குரல் ஏற்ற இறக்கத்தை தூண்டுகிறது காற்று, சரம் வெளியிட்ட ஒலி என மனித காது மூலம் உணரப்பட்டது. ஒலி சக்தி ஆற்றல் அல்லது ஊசலாடுகளின் வீச்சு மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது: அதிக ஆற்றல், ஒலி அதிக சக்தி. ஒலி உயரம் அதன் அதிர்வெண் அல்லது ஊசலாட்டம் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: அதிக அதிர்வெண், அதிக ஒலி. ஒலி Timbre overtones முன்னிலையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, ஹார்மோனிக்ஸ் மூலம் ஆற்றல் விநியோகம் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, i.e., ஊசலாடுதல்கள் தூண்டுதல் முறை. Overtones பரவல்கள், பொதுவாக பேசும், முக்கிய தொனியில் குறைந்த வீச்சு, மற்றும் Operton கட்டம் தன்னிச்சையாக இருக்கலாம். எங்கள் காது ஊசலாட்ட கட்டத்திற்கு உணர்திறன் இல்லை. உதாரணமாக, படத்தில் இரண்டு வளைவுகள் ஒப்பிடுக. 36 இருந்து கடன். இது கிளாரினெட் (அ) மற்றும் பியானோ (பி) ஆகியவற்றிலிருந்து பிரித்தெடுக்கப்பட்ட அதே முக்கிய தொனியில் ஒலி ஒரு பதிவு ஆகும். இரண்டு ஒலிகளும் எளிமையான சினோசோடைல் ஊசலாடுகளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒலி முக்கிய அதிர்வெண் அதே தான் அதே தொனியை உருவாக்குகிறது. ஆனால் வளைவுகளின் வரைபடங்கள் வேறுபட்டவை, ஏனென்றால் வெவ்வேறு Obhrothon முக்கிய தொனியில் பயன்படுத்தப்படும். ஒரு அர்த்தத்தில், இந்த வரைபடங்கள் Timbre என்ன காட்டுகின்றன. 69.
Hyperbolic வகை சமன்பாடுகள். முடிவில்லாத மற்றும் அரை-முடிவற்ற சரத்தின் ஊசலாடுகிறது. ஃபோரியர் முறை ஃபோரேயர் முறை நின்று அலைகள் 4 விரிவுரை 4.1 ஹைபர்போலிக் வகை சமன்பாடுகள். முடிவற்ற மற்றும் அரை-எல்லையற்ற ஊசலாட்டங்கள்
மாஸ்கோ மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம் சிவில் விமான போக்குவரத்து வி.m. Lyubimov, E.A. Zhukova, v.a. Wokova, yu.a. Shurinov ma t e m a t t மற்றும் k a r நான் துறவிகள் மற்றும் விதிமுறைகளை ஆய்வு செய்வதற்காக வெளியிடுகிறேன்
ரஷ்யாவின் கல்வி மற்றும் விஞ்ஞானத்தின் கல்வி மற்றும் விஞ்ஞான அமைச்சகம், உயர் தொழில்முறை கல்வி Mati ரஷியன் ஸ்டேட் டெக்னாலஜிகல் பல்கலைக்கழகம் K. E. Tsiolkovsky க்குப் பிறகு பெயரிடப்பட்டது
பெலாரஸ் யுஓ குடியரசின் கல்வி அமைச்சு "Vitebsk State Technological University" தீம். தத்துவார்த்த மற்றும் அப்ளைடு கணிதத் திணைக்களத்தின் "வரிசைகள்". DC ஆல் உருவாக்கப்பட்டது. E.b. Dunin. பராமரிப்பு
உயர் தொழில்முறை கல்வி தென் பெடரல் பல்கலைக்கழக கல்வி நிறுவனத்திற்கான ஃபெடரல் ஏஜென்சி, எம்.எஸ். எம். க்விரிலோவா, ஜி. எஸ்.
ஃபினீயர் தொடரின் ஃபினீயர் தொடரின் நடைமுறை ஆக்கிரமிப்பின் செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகளைத் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளைத் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளைத் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளை உருவாக்குகிறது
தொடரின் கோட்பாடு தொடரின் கோட்பாடு கணித பகுப்பாய்வின் ஒரு முக்கிய பகுதியாகும் மற்றும் கோட்பாட்டு மற்றும் பல நடைமுறை பயன்பாடுகளைக் காண்கிறது. எண் மற்றும் செயல்பாட்டு எண்கள் உள்ளன.
ஃபோரியர் தொடர் 4 இன் உள்ளடக்கங்களின் அட்டவணை 4 Trigonometric polynomial 6 3 orthogonal செயல்பாடுகளை 4 trigonometric dicier தொடர் 3 5 மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளை 6 6 decomposition
கல்வி மாஸ்கோ மாநில பல்கலைக்கழகம் ஜியோடீஸ் மற்றும் கார்டோகிராஃபி (Miigaik) (Miigaik) சுதந்திர அறிவுறுத்தல்கள் மற்றும் உயர் கணித எண் விகிதத்தில் சுயாதீனமான வேலை முறைகள் மற்றும் பணிகளை கூட்டாட்சி நிறுவனம்
விரிவுரை 4. ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு. ஃபோரியர் தொடர் கால செயல்பாடுகளை. அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தில் ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு பெரும்பாலும் அவ்வப்போது நிகழ்வுகள் சமாளிக்க வேண்டும், I.E., மூலம் மீண்டும் மீண்டும்
TOPIC V தொடர் DECOMPONSITION DECOMPOSITION DECOMPOSITION இயல்பு மற்றும் தொழில்நுட்பத்தில் ஏற்படும் பல செயல்முறைகளின் வரிசையில் ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளிகளில் சில இடைவெளிகளைப் போன்ற செயல்முறைகளுக்குப் பிறகு மீண்டும் பெற வேண்டும்
உயர் கணிதத்தின் "சாதாரண மாறுபட்ட சமன்பாடுகள்" (தொடர் இரட்டை ஒருங்கிணைப்பு சமன்பாடுகள் "என்ற விகிதத்தில் தீர்வு ஒதுக்கீடுகளுக்கான முறையான வழிகாட்டுதல்கள், ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் மாறுபாடுகளின் எண்ணற்ற வரிசைகளின் வரிசைகளின் உள்ளடக்கங்களின் அணிகளின் தரவரிசை
6 ஃபோரியர் வரிசைகள் 6 ஆர்த்தோகனல் செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகளை φ () மற்றும் ψ () வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகளை φ () மற்றும் ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது [], இந்த பிரிவில் orthoGonal என்று அழைக்கப்படுகிறது
சில ஒருங்கிணைந்த. ஒருங்கிணைந்த தொகை மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு y \u003d f (), பிரிவு [, B] இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது, எங்கே கொடுக்கப்படுகிறது, எங்கே< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
5 பவர் வரிசைகள் 5 பவர் வரிசைகள்: வரையறை, பிராந்தியம் பிராந்தியம் செயல்பாட்டு வரிசை (A + a) + A () + கே + ஏ () + கே a) (, (5) எங்கே, A, A, K, A, K சில எண்கள் ஒரு சக்திவாய்ந்த எண் என்று அழைக்கப்படுகின்றன
பெலாரஷியன் மாநில பல்கலைக்கழக ஆசிரியர்களின் அப்ளிகேஷன்ஸ் மற்றும் தகவல்தொடர்பு திணைக்களத்தின் திணைக்களத்தின் திணைக்களத்தின் திணைக்களம் மற்றும் முறையான கணிதம் மற்றும் தகவல்தொடர்பு மாணவர்களுக்கு முறையான கையேடு
சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள். உதாரணமாக. இந்த தொடர் ஒரு + AQ + ... + AQ N + ... (அ) பொதுவான உறுப்பினரின் சூத்திரத்தின் எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகையை நாம் காணலாம். ஒரு n \u003d aq n. அதன் பகுதி தொகைகளை கணக்கிடுங்கள். Q \u003d என்றால்
பணி 1.1. குறிப்பிட்ட எல்லை நிலைகளை (ஸ்டர்ம் லிய்வில்வில்) தீர்வுகளை திருப்திப்படுத்தும் வித்தியாசமான சமன்பாட்டின் ஒத்த பூஜ்ய தீர்வுகள் y \u003d y (x) இலிருந்து பல்வேறு குறிப்பிட்ட பகுதியிலிருந்து வேறுபட்டது: கவனியுங்கள்
கணித பகுப்பாய்வு பொருள்: புரிந்துகொள்ள முடியாத ஒருங்கிணைப்பு விரிவுரையாளர்களின் ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைந்த Pakhomova E.G. 2017 பாடம் II. ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைந்த மற்றும் அதன் பயன்பாடு 1. ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைந்த மற்றும் அதன் பண்புகள் 1. பணிகளை,
Sturm liouville sturm Liouville இன் விரிவுரை, சரம் சரம் சிறிய குறுகலான ஏற்ற இறக்கங்கள் விவரிக்கும் இரண்டாவது வரிசையில் பகுதி பங்குகள் ஒரு வித்தியாசமான சமன்பாடுகளுக்கு ஆரம்ப எல்லை பிரச்சனை கருத்தில்
உரை விளக்கம்: அடையாளம் "சமமானதாக உள்ளது" மற்றும் அடையாளம் வலது பக்கத்தில் சமன்பாடுகள் மற்றும் இடது இடது சமன்பாடுகள் தீர்வுகள் தொகுப்புகளை அமைக்கிறது என்று குறிக்கிறது, ஐஆர் அடையாளம் உண்மையான எண்கள் பல்வேறு குறிக்கிறது, உள்நுழைக
82 4. பிரிவு 4. செயல்பாட்டு மற்றும் ஆற்றல் வரிசைகள் 4.2. பாடம் 3 4.2. பாடம் 3 4.2 .. டெய்லர் வரையறை வரிசையில் ஒரு செயல்பாடு சிதைவு 4.2 .. செயல்பாடு y \u003d f (x) சில சூழல்களில் எண்ணற்ற வேறுபாடுகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை வைத்துக்கொள்ளுங்கள்
உயர் தொழில்முறை கல்வி "சமாரா மாநில தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகம்" K E F E D R a frult கணிதத்தின் கூட்டாட்சி மாநில வரவுசெலவுத் திட்ட கல்வி நிறுவனத்தின் கல்வி மற்றும் விஞ்ஞான அமைச்சு
மத்திய ரயில்வே போக்குவரத்து ஏஜென்சி யூரால் ஸ்டேட் பல்கலைக்கழகம் திணைக்களத்தின் திணைக்களம் துறை "உயர் மற்றும் பொருந்தும் கணிதம்" N. P. Chuev ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு கூறுகள் முறையானது
விரிவுரை 3 டெய்லரின் ரேங்க்ஸ் மற்றும் மகரோரானா பவர் வரிசைகளின் பயன்பாடு டெய்லர் மற்றும் மேகுளோராவின் தொடரின் பவர் வரிசைகளில் செயல்பாடுகளை சிதைத்து, இந்த செயல்பாடு ஒரு சக்தி வரிசையில் இந்த செயல்பாடு புரிந்து கொள்ள முடியும் முக்கியம், அந்த செயல்பாடு இந்த செயல்பாடு புரிந்து கொள்ள முடியும் முக்கியம்
சி ஒரு Lavrenchenko wwwwwrckoru விரிவுரை ஒருங்கிணைந்த மாற்றுமுறை முறை ஒருங்கிணைந்த மாற்றுமுறை கருத்தியல் கணித இயற்பியல் சக்திவாய்ந்த முறைகள் ஒன்று ஒரு சக்திவாய்ந்த தீர்வு ஆகும்
செயல்பாடு ஒருங்கிணைப்பு (Riemnn மூலம்) மற்றும் பிரச்சினைகளை தீர்க்க ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைந்த உதாரணங்கள் ஒருங்கிணைப்பு 1. நிலையான செயல்பாடு எஃப் (எக்ஸ்) \u003d சி ஒருங்கிணைக்கப்படும், எந்த பகிர்வு மற்றும் புள்ளிகள் எந்த தேர்வு இருந்து ξ நான் எந்த தேர்வு
நான் விகிதம், பணி. Riemann செயல்பாடு என்று நிரூபிக்க, 0, எம் M R () என்றால், எம், எம்., மற்றும் பின்னம் கோளாறு, 0, பகுத்தறிவு, ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு புள்ளியில் உடைக்க மற்றும் ஒவ்வொரு பகுத்தறிவு தொடரும் என்றால். முடிவு.
1 2 பொருளடக்கம் 1 டிகிரி வரிசைகள் 5 1.1 Trigonometric ஃபோரியர் தொடர் ............ 5 1.2 மட்டுமே பாவம் & cos ................... .. 7 1.3 ஒரு சிக்கலான வடிவத்தில் ஃபோரியர் தொடர் ........... 11 1.4 எஃப் (x) \u003d ck? ...................... .....
கணித இயற்பியல் சமன்பாடுகள் 1. தனிப்பட்ட derivatives கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் தெரியாத செயல்பாடு u (x 1, x 2, ..., x n), சுயாதீன மாறிகள் x 1, x 2, ..., x n மற்றும் தனியார் இணைக்கும் சமன்பாடுகள்
விரிவுரை 4. அலை சமன்பாடுகள் 1. சரம் இன் அலைவரிசை சமன்பாட்டின் முடிவு 2. ராட் இன் நீளமான ஊசிகளின் சமன்பாடு 3. ஆரம்ப நிலைமைகள், எல்லை நிலைமைகள் 4. பணிகளை அமைத்தல் 1. சரம் ஊசலாட்டம் சமன்பாட்டின் வெளியீடு
1. Electrontatatics 1 1. Electrostatatics பாடம் 6 கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ள மாறிகள் பிரிப்பு 1.1. (பணி 1.49) z \u003d விமானம் ஒரு அடர்த்தி σ (x, y) \u003d σ sin (αx) sin (αy) sin (αy), அங்கு σ, α, β நிலையானது.
தொகுதி பொருள் செயல்பாட்டு காட்சிகள் மற்றும் தொடர் வரிசை வரிசை வரிசைகளின் தொடர்ச்சியான ஒருங்கிணைந்த காட்சிகளின் பண்புகள் மற்றும் தொடர் பவர் வரிசை வரிசைகள் விரிவுரையின் வரையறை மற்றும் வரிசைகள் சமமாக
பரவளைய வகை சமன்பாடுகள். மாறிகள் பிரிப்பு முறை ஒத்திசைவான எல்லை மதிப்பு பிரச்சனை மூலக் கடத்துத்திறன் 7 விரிவுரையின் சமன்பாடு 7.1 பரவளைய வகைகளின் சமன்பாட்டின் சமன்பாடு ஆகும். பிரிப்பு முறை
விரிவுரை எண் வரிசைகளின் அறிகுறிகளின் அறிகுறிகள் + + + + + + + + + + + + + + + + + + + என்ற எண்ணிக்கையிலான எண்ணற்ற வெளிப்பாடுகளின் அறிகுறிகளின் அறிகுறிகள்
35 7 Trigonometric for drigonometric for drigonometric for the trintic செயல்பாடுகளை டி. எஃப் (எக்ஸ்) ஒரு துண்டுப்பிரசுரம் இருக்கட்டும் - ஒரு காலகட்டத்தில் தொடர்ச்சியான காலப்பகுதி செயல்பாடு
உயர் கணிதத் திணைக்களத்தின் உற்பத்தித் துறையின் மெட்டல்ஜிகிகல் பீடம் முறையான அறிவுறுத்தல்கள் Novokuznetsk 5 கூட்டாட்சி நிறுவனம் உயர் தொழில்முறை கல்வி கல்வி நிறுவனம் கல்வி நிறுவனம்
கணிதம் மற்றும் தகவல்தொடர்பு கூறுகள், உயர் கணிதம் கல்வி மற்றும் சிபிஏ மாணவர்கள் CPA, ரிமோட் டெக்னாலஜிஸ் தொகுதி வேறுபட்ட கால்குலஸ் கம்பைலர் பயன்படுத்தி மாணவர்கள்:
9. முன்கூட்டியே போன்ற மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த 9. இடைவெளியில் I RES செயல்பாடு f (). F () இடைவெளியில் F () IN இடைவெளியில் F () illitive function f () என அழைக்கப்படுகிறது, எஃப் () \u003d f ()
ஒரு மாறி கருத்தாக்கத்தின் செயல்பாடுகளை வகைப்படுத்துதல், சிக்கலின் அதன் வடிவியல் மற்றும் உடல் அர்த்தம், ஒரு புள்ளியில் ஒரு புள்ளியில் வரி y f (x) க்கு தற்செயலான எஸ்.எல். f (
Hyperbolic வகை சமன்பாடுகள். முடிவில்லாத மற்றும் அரை-முடிவற்ற சரத்தின் ஊசலாடுகிறது. Dalamber முடிவிலா சரம் முறை. Dalamber ஃபார்முலா அரை-எல்லையற்ற சரம் 3 விரிவுரை 3.1 ஹைபர்போலிக் வகை சமன்பாடுகள்.
உள்ளடக்கங்களின் அட்டவணை அறிமுகம். அடிப்படை கருத்துகள் .... 4 1. ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள் வால்டர் ... வீட்டு வேலைகள் 5 விருப்பங்கள் .... 8 2. Volterra ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகளை ரெசால்வேல். 10 வீட்டுப்பாடம் விருப்பங்கள் .... 11.
வரிசைகள். எண் வரிசைகள். முக்கிய வரையறைகள் எண்கள் வெளிப்பாடு (முடிவிலா தொகை) ஒரு முடிவிலா வரிசை வழங்கப்படுகின்றன (முடிவிலா தொகை) ஒரு, ஒரு 2, ..., ஒரு N, ... ஒரு i \u003d A + A 2 + + A N + ... () i \u003d எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. எண்கள்
8. பவர் வரிசைகள் 8 .. வடிவம் சி n (z) n, (8.) n \u003d n \u003d n எண் வரிசை, ஆர் நிலையான எண், மற்றும் Z r ஆகியவை C no குணகங்களுடன் சேருகின்றன. மாறிகள் பதிலாக
~ ~ ஒரு பழமையான மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைந்த ஒரு காலவரையற்ற மற்றும் குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைந்த கருத்து. இந்த செயல்பாடுகள் பின்வருவனவற்றுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால் FRISING F
3724 வரிசைகள் பல மற்றும் curvilinear ஒருங்கிணைப்பு வரிசைகள் 1 வேலை நிரல் "மடங்குகள் மற்றும் curvilinear ஒருங்கிணைப்புகள்" 11 எண் வரிசைகள் எண் வரிசைகள் எண் வரிசைகள் எண் வரிசைகள் எண் வரிசைகள் எண் வரிசைகள் எண் வரிசைகள் எண்ணிக்கைகள் ஒருங்கிணைப்பு தேவையான அடையாளம் கருத்து
சாப்பிடுங்கள். கணித பகுப்பாய்வு. NUMICIC மற்றும் Functional Series Novosibirsk 200 2 Mino பாதுகாப்பு ரஷ்யா Gou VPO "Novosibirsk அரசு Pedagogical பல்கலைக்கழகம்" E.m. கணித பகுப்பாய்வு.
விரிவுரை N 7. சக்திவாய்ந்த தொடர் மற்றும் டெய்லரின் தொடர் .. பின்னர் வரிசைகள் ..... பல டெய்லர் .... டெய்லர் மற்றும் மேக்லரின் தொடரில் சில அடிப்படை செயல்பாடுகளை பயன்பாடு .... 5 4. பவர் வரிசைகளைப் பயன்படுத்துதல் .... 7. SSED.
சதுர சமன்பாடுகள் சதுர சமன்பாடுகள் அட்டவணை ... 4. 4. மற்றும் சதுர சமன்பாடுகளின் ஆய்வு ... 4 .. எண் குணகங்களுடன் சதுர சமன்பாடு ... 4 .. சதுர சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் மற்றும் ஆராயவும்
அளவுருக்கள் கொண்ட பணிப் பிரிவு அளவுருக்கள் கொண்ட கருத்துக்களைப் பொறுத்தவரை, பயன்பாட்டின் கட்டமைப்பில் பாரம்பரியமாக சிக்கலான பணிகளை, விண்ணப்பதாரரிடமிருந்து அனைத்து வழிமுறைகளின் உரிமையையும், பல்வேறு தீர்வுகளைப் பெறுவதற்கும் தேவைப்படும் பயன்பாட்டின் கட்டமைப்பில் பாரம்பரியமாக சிக்கலான பணிகளாகும்
வித்தியாசமான கால்குலஸ் ஒரு கணித பகுப்பாய்வுக்கு அறிமுகம் வரிசை மற்றும் செயல்பாட்டின் எல்லை. உள்ளே உள்ள நிச்சயமற்ற தன்மைகளை வெளிப்படுத்துதல். பெறப்பட்ட செயல்பாடு. வேறுபாடு விதிகள். பயன்பாட்டு வகைப்பாடு
அல்ஜீப்ரா சமத்துவத்தின் பார்வையில் இருந்து ஃபோர்சர் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகளை - R அல்லது C இலிருந்து ஒரு குணகங்களின் செயல்பாடுகள் திசையன் திசையன் ஒரு நேர்கோட்டு கலவையாகும் என்பதாகும்
1. சில ஒருங்கிணைந்த 1.1. பிரிவு [, B] R. பிரிவில் குறிப்பிட்டுள்ள ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு [, b] பிரிவின் பிளவு [, b] τ \u003d (x, x 1, ..., xn 1, xn) , b], இது \u003d x.< x 1 < < x n 1
Chulflage ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு ஒரு முற்பகல் பொதுவான வடிவில் ஒரு வரிசை எனப்படும்: ஒரு ஏ (அ) ஏ (அ) ஏ (அ) (), எங்கே
வேண்டும்:1) திட்டமிடல் திட்டமிடுங்கள் f (x) இந்த செயல்பாடு அவ்வப்போது காட்டப்படும் இரண்டு காலங்களில் குறைந்தபட்சம் இடைவெளியில்;
2) ஒரு கால அட்டவணையை வரையவும் எஸ் (எக்ஸ்) இதேபோல், என்ன புள்ளிகளில் காணப்பட வேண்டும் f (x) ¹s (x);
3) ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள் மற்றும் ஃபோரியர் ஒரு வரிசையை எழுதுங்கள்.
பணிகள்
№1. Furiate.
முடிவு. அதை கவனி f (x) நீளம் நீளம் அமைக்க T \u003d 4.. ஏனெனில் f (x) இது அவ்வப்போது கருதப்படுகிறது, பின்னர் இந்த எண் அதன் காலம், பின்னர் - l \u003d 2.
1) வரைபடம் f (x):
2) வரைபடம் எஸ் (எக்ஸ்):
வரிகளின் முனைகளில் அம்புகள், இடைவெளியில் குறிப்பிடப்பட்ட வெளிப்பாட்டிலிருந்து நிர்ணயிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை செயல்பாடு ஏற்கவில்லை என்பதைக் காட்டுகின்றன. வரைபடங்களை ஒப்பிடுகையில் f (x) மற்றும் எஸ் (எக்ஸ்) இடைவேளை புள்ளிகளில் அது தெளிவாக தெரியும் f (x) ¹s (x).
3) ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள். இது சூத்திரங்கள் (3 *) மூலம் செய்யப்படலாம்:; ; . சரியாக:; அதனால்,
சிதைவு f (x) ஃபோரியர் வடிவம் உள்ளது:
கருத்துரைகள். 1) ஒருங்கிணைக்கும் போது [-1;3] இந்த பிரிவு உடைந்துவிட்டது மற்றும் ஏனெனில் இந்த பிரிவுகளில் f (x) வெவ்வேறு மதிப்புகளை அமைக்கவும்.
2) குணகங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தும்போது: மற்றும், எங்கே a \u003d cong..
№2 . Furiate.
முடிவு. இங்கே T \u003d 2., l \u003d 1..
ஃபோரியர் தொடரில் வடிவம் உள்ளது: எங்கே; ; ஏனெனில் l \u003d 1..
1) வரைபடம் f (x):
2) வரைபடம் எஸ் (எக்ஸ்):
№3. சீயர் மீது ஃபோரியர் சிதைந்து போனது
முடிவு. உண்மையில் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளை மட்டுமே நாகரீக சின்சஸில் தொடங்கப்பட்டது. ஏனெனில் f (x) மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது x\u003e 0, xî (0; 2) è (2; 3)இது ஒரு சமச்சீரற்ற இடைவெளியில் இதன் பொருள் (-3; -2) è (-2; 0) f (x)சமத்துவம் தொடர வேண்டும் f (-x) \u003d -f (x). எனவே, எந்த இடைவெளியின் நீளம் f (x) இது ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடாக அமைக்கப்படுகிறது, 6. எனவே T \u003d 6, l \u003d 3. ஃபோரியர் தொடர் f (x) இது வடிவம் உள்ளது :, n \u003d 1, 2, 3, (சூத்திரங்கள் (5 ") படி).
1) வரைபடம் f (x).
வரைபடத்தை வரைய f (x) ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடாக, முதல் அட்டவணையை வரையவும் (0; 2) è (2; 3)பின்னர், ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளின் தொடக்கத்தில் சமச்சீரற்றதாக இருப்பதை பயன்படுத்தி கொள்ளுங்கள். இந்த கருத்துக்களில் இருந்து நாம் ஒரு கால அட்டவணையைப் பெறுகிறோம் f (x) அதன் மேல் (-3; -2) è (-2; 0). பின்னர் தொடரவும் f (x) T \u003d 6..
2) வரைபடம் எஸ் (எக்ஸ்).
அட்டவணை எஸ் (எக்ஸ்) அட்டவணையில் இருந்து வேறுபடுகிறது f (x) இடைவேளை புள்ளிகளில் f (x). உதாரணமாக, t இல். x \u003d 2 f (x)வரையறுக்கப்படவில்லை, மற்றும் எஸ் (எக்ஸ்) மணிக்கு x \u003d 2. அரை பக்க செயல்பாடு வரம்புகளுக்கு சமமாக பொருள் f (x), எங்கே,.
எனவே, பின்னர் சிதைவு f (x) ஃபோரியர் வடிவம் உண்டு :.
№4 . கொசைன் மீது ஃபோரியர் அனுப்பவும்.
முடிவு. கூட செயல்பாடுகளை மட்டுமே கொசினியில் ஒரு வரிசையில் தொடங்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஏனெனில் f (x) மட்டுமே அமைக்க x\u003e 0, xî (0; 2) è (2; 3], இது ஒரு சமச்சீரற்ற இடைவெளியில் இதன் பொருள் [-3; -2) è (-2; 0) f (x)சமத்துவம் செய்யப்படுவதால் தொடர வேண்டியது அவசியம்: f (-x) \u003d f (x). எனவே, எந்த இடைவெளியின் நீளம் f (x) ஒரு செயல்பாடு 6 சமமாக இருக்கும் என அமைக்கவும் T \u003d 6, l \u003d 3. இந்த விஷயத்தில் ஃபோரியர் தொடர் தெரிகிறது:
எங்கே; ; n \u003d 1,2, ... (சூத்திரங்கள் (4 ") படி).
1) வரைபடம் f (x).
வரைபடத்தை வரைய f (x) செயல்பாடுகளை கூட, ஒரு அட்டவணையை முதலில் வரையவும் f (x) அதன் மேல் (0; 2) è (2; 3]பின்னர் ஒரு செயல்பாட்டின் ஒரு வரைபடம் ஒழுங்குமுறையின் அச்சைப் பற்றி சமச்சீராக இருப்பதைப் பயன்படுத்தி கொள்ளுங்கள். இந்த கருத்துக்களில் இருந்து நாம் ஒரு கால அட்டவணையைப் பெறுகிறோம் f (x) அதன் மேல் [-3; -2) è (-2; 0). பின்னர் தொடரவும் f (x) ஒரு காலப்பகுதியில் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடாக முழு எண் நேரடியாக நேரடியாக T \u003d 6..
இங்கே ஒரு அட்டவணை f (x) செயல்பாடு இரண்டு முழு காலங்களில் வரையப்பட்ட.
2) வரைபடம் S (x).
அட்டவணை எஸ் (எக்ஸ்) அட்டவணையில் இருந்து வேறுபடுகிறது f (x) இடைவேளை புள்ளிகளில் f (x). உதாரணமாக, t இல். x \u003d 0 f (x)வரையறுக்கப்படவில்லை, மற்றும் எஸ் (எக்ஸ்) பொருள் உள்ளது: , அதனால் திட்டமிடல் எஸ் (எக்ஸ்) T இல் குறுக்கிடாதே. x \u003d 0., கால அட்டவணையைப் போலல்லாமல் f (x).
சிதைவு f (x) நாளின் நான்காவது ஒரு வரிசையில், அது வடிவம் உள்ளது :.
№5. Furiate. f (x) \u003d | x | x | xî (-2; 2)..
முடிவு. நிபந்தனை, f (x) கூட ஒரு செயல்பாடு உள்ளது (-2;2) ; அந்த. அவரது ஃபோரியர் தொடரில் மட்டுமே சமுத்திரங்கள் உள்ளன T \u003d 4, l \u003d 2, ,
எங்கே; ; n \u003d 1, 2,
1) வரைபடம் f (x):
2) வரைபடம் எஸ் (எக்ஸ்):
3) ஏனெனில், ஏனெனில் | X | \u003d X.ஐந்து x\u003e 0.; .
பின்னர் சிதைந்து விடுங்கள் f (x) ஃபோரியர் வடிவம் உண்டு :. வெளிப்பாடுகளை ஒருங்கிணைப்பது அல்லது பகுதிகளில் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரம் பொருந்தும் போது: எங்கே u \u003d x; Dv \u003d cos (AX) DX.அல்லது Dv \u003d sin (AX) DX.
№6. நான்காவது தொடரில் செயல்பாட்டை சிதைக்க: a) இடைவெளியில் (-?,?); b) இடைவெளியில் (0, 2?); சி) இடைவெளியில் (0,?) சின்சஸ் வரிசையில்.
முடிவு. ஒரு) செயல்பாடு வரைபடம் 2? - காலத்தின் தொடர்ச்சி
செயல்பாடு dirichlet கோட்பாட்டின் நிலைமைகளை திருப்திப்படுத்துகிறது, எனவே அது ஒரு தொடர்ச்சியான நாகரீகமாக சிதைக்கப்படலாம்.
ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள். செயல்பாடு கூட கூட, பின்னர் bn \u003d 0 (n \u003d 0, 1, 2, ...) மற்றும் (n \u003d 0, 1, 2, ...).
இந்த ஒருங்கிணைந்த கணக்கிட, ஒரு குறிப்பிட்ட ஒருங்கிணைப்பு உள்ள பகுதிகளில் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பெறவும்
இந்த செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் தொடர் வடிவம் உள்ளது. Dirichle இன் அடையாளம் காரணமாக, இந்த தொடர் இடைவெளியில் செயல்பாடு x2 ஐ பிரதிபலிக்கிறது (-?,?).
b) இடைவெளி (0, 2?) ஒருங்கிணைப்புகளின் தொடக்கத்தில் சமச்சீர் இல்லை, அதன் நீளம் 2 எல் \u003d 2? ஃபோரிஸ் மூலம் ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள்:
எனவே, ஃபோரியர் ஒரு வடிவம் உண்டு. Dirichlet தேற்றத்தின் மூலம், ஒரு தொடர் எக்ஸ் புள்ளிகளில் செயல்பாடுகளை உருவாக்குகிறது. (0.2?), மற்றும் புள்ளிகள் 0 மற்றும் 2 இல்? அர்த்தம். வரிசையின் அளவின் தொகை வடிவம் உள்ளது
சி) சைனஸ் வரிசையில் சிதைந்த செயல்பாடு ஒற்றைப்படை இருக்க வேண்டும். எனவே, நாம் குறிப்பிட்ட செயல்பாடு x2 (-π, π) ஒரு ஒற்றைப்படை வழி, i.e. நாம் செயல்பாட்டை கருத்தில் கொள்கிறோம். இந்த செயல்பாடு f (x) நாம் ஒரு \u003d 0 (n \u003d 0, 1, 2, ...) மற்றும்
விரும்பிய சிதைவு வடிவம் உள்ளது.
வரிசையின் அளவின் தொகை வடிவம் உள்ளது
புள்ளிகள் x \u003d (-π, π) இல், ஃபோரியர் வரிசை பூஜ்ஜியத்திற்கு இணைகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க.
№7 ஃபோரியரில் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு:
முடிவு . F (x) க்கு வெளிப்படையான வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம். செயல்பாடு வரைபடம் ஒரு நேர் கோடு, நாம் வடிவத்தில் நேரடி சமன்பாடு பயன்படுத்த. வரைதல் இருந்து பார்க்க முடியும், நான். f (x) \u003d x - 1 (-1< x < 1) и период Т = 2.
இந்த அம்சம் dirichlet விதிகளை திருப்தி, எனவே அது ஃபோரியர் தொடரில் சிதைகிறது. ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள் ( எல் = 1):
; (n \u003d 1, 2, ...);
செயல்பாடு f (x) க்கான ஃபோரியர் தொடர் காட்சி உள்ளது
இது செயல்பாடு f (x) இல் -1 இல் பிரதிபலிக்கிறது< x < 1, а в точках х0 = -1 и х0 = 1 ряд сходится к -1.
№8. பிரிவில் Drigonometric வரிசையில் செயல்பாட்டை அனுப்பவும், இதன் விளைவாக தொடர்ச்சியான தொடரின் செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடவும்.
முடிவு.ஒரு காலப்பகுதியில் அல்லது முழு அச்சில் அவ்வப்போது தொடர்ச்சியாக ஒரு செயல்பாட்டின் அட்டவணையை வரையவும். தொடர்ச்சியான செயல்பாடு ஒரு காலம் உள்ளது.
ஃபோரியர் தொடரின் (டின்னி-லிப்சிட்சா, ஜோர்டான், டிரிக்லெட்) ஆகியவற்றின் போதுமான அறிகுறிகளின் நிலைமைகளை சரிபார்க்கவும்.
பிரிவு Pieceewise Monotonna பிரிவில்: அது அதிகரிக்கிறது மற்றும் மீது அதிகரிக்கிறது. புள்ளிகளில், செயல்பாடு முதல் வகையான இடைவெளிகளைக் கொண்டுள்ளது.
செயல்பாடு சமநிலை அல்லது ஒற்றைப்படை கண்டுபிடிக்க: செயல்பாடு கூட அல்லது ஒற்றைப்படை இல்லை.
a) செயல்பாடு குறிப்பிடப்பட்டால்
b) செயல்பாடு அமைக்கப்பட்டால்
ஒரு வரிசையில் ஃபோரியர் செயல்பாட்டை உருவாக்கவும் :.
இந்த தொடர் ஒருங்கிணைப்பு தற்போதைய அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்தி, இந்த தொடரின் செயல்பாட்டை இணைக்கும் செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடவும்: Dirichle இன் அறிகுறியின் படி, ஒரு ஃபோரியர் தொடர் செயல்பாடுகளை தொகைக்கு இணைகிறது:
№9. நான்காவது வரிசையில் ஒரு தொடரின் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளை அகற்றவும், இந்த சிதைவு உதவியுடன் எண் தொடரின் தொகை கண்டுபிடிக்க உதவியுடன்.
முடிவு.செயல்பாடு கூட (ஒற்றைப்படை) வழி (- பி0) அல்லது (- எல்0), பின்னர் அவ்வப்போது 2 காலத்துடன் பி அல்லது 2. எல் முழு அச்சில் செயல்பாட்டை தொடரவும்.
நாம் செயல்பாட்டை ஒரு ஒற்றைப்படை வழியில் தொடர்கிறோம், பின்னர் அவ்வப்போது, \u200b\u200bஒரு காலப்பகுதியில், முழு அச்சையும் தொடரும்.
ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்ச்சியின் வரைபடத்தை வரையவும். படிவத்தின் செயல்பாடு கிடைக்கும்:
ஃபோரியர் தொடரின் (டின்னி-லிபிகா, ஜோர்டான், டிரிக்லெட்) ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளின் போதுமான அறிகுறிகளின் நிலைமைகளை சரிபார்க்கவும்.
இடைவெளியில் செயல்பாடு பிக்ஸிவிஸ் மாறிலி: இது -1 மற்றும் 1 இல் சமமாக உள்ளது. புள்ளிகளில், செயல்பாடு முதல் வகையான இடைவெளிகளைக் கொண்டுள்ளது.
ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள்:
அதன் ஃபோரியர் குணகம் சூத்திரங்களால் கணக்கிடப்படுகிறது:
ஒரு வரிசையில் ஃபோரியர் செயல்பாடு செய்யுங்கள். .
இந்த தொடர் ஒருங்கிணைந்த துப்பறியும் அறிகுறிகளைப் பயன்படுத்தி இந்த தொடர் இணைக்கும் செயல்பாட்டை குறிப்பிடவும்.
Dirichle இன் அடையாளம் படி, பல ஃபோரியர் செயல்பாடு தொகையை இணைக்கிறது:
இதன் விளைவாக,
மதிப்புகள் மாற்றுதல், குறிப்பிட்ட எண் தொடரின் தொகையை குறிப்பிடவும்.
இதன் விளைவாக சிதைந்துவிடும், நாம் கண்டுபிடிப்போம்
எங்கே, ஏனெனில்.
№10. ஒரு செயல்பாட்டிற்காக parcevers சமத்துவத்தை எழுதவும், மற்றும் இந்த சமத்துவத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டு, எண் தொடரின் அளவு கண்டுபிடிக்க.
முடிவு.இந்த அம்சம் ஒரு ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சதுரத்துடன் செயல்படும் என்பதை நிறுவவும்.
செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது, எனவே, ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது. அதே காரணத்திற்காக, அதன் சதுர ஒருங்கிணைக்க.
ஃபோரிஸ் மூலம் ஃபோரியர் குணகங்களை கணக்கிடுங்கள்:
ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டிலிருந்து, அதன் ஃபோரியர் குணகம் சூத்திரங்களால் கணக்கிடப்படுகிறது:
ஒருங்கிணைந்த கணக்கிட.
ஒரு ஃபார்முலா Parseval ஐ எழுதுங்கள்:
இதனால், ஃபார்முலா Parseval படிவம் உள்ளது
தேவைப்பட்டால், சரியான மற்றும் இடது பகுதியிலுள்ள எண்கணித நடவடிக்கைகள், இந்த எண் தொடரின் அளவு பெற.
144 க்குள் பெறப்பட்ட சமத்துவத்தின் இரு பகுதிகளையும் பகிர்ந்துகொள்கிறோம் :.
№11. ஃபோரியர் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகளை கண்டறியவும்
மற்றும் அதை அட்டவணை உருவாக்க.
முடிவு.ஒரு செயல்பாடு ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்க.
ஃபோரியர் ஒருங்கிணைந்த (டின்னி, டிரிக்லெட்-ஜோர்டான் அல்லது அவற்றின் விளைவுகளை) ஒருங்கிணைப்பதற்கான போதுமான அறிகுறிகளின் நிலைமைகளை நிறைவேற்றவும்.
செயல்பாடு முற்றிலும் இடைவெளியில் ஒருங்கிணைக்கப்படுகிறது, தொடர்ச்சியான போது, \u200b\u200bமற்றும் புள்ளியில் முதல் வகையான இடைவெளி உள்ளது. மேலும், மற்றும் செயல்பாடு ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட derivative உள்ளது, மற்றும் இறுதி வலது மற்றும் இடது derivatives பூஜ்ஜியத்தில் உள்ளன. செயல்பாட்டின் சமநிலை அல்லது ஒற்றைப்படை கண்டுபிடிக்க. செயல்பாடு கூட அல்லது ஒற்றைப்படை இல்லை. ; .
எனவே, அல்லது,
ஃபோரியயர் அருகில் இடைவெளியில் F (x) செயல்பாடுகளை (-π; π) படிவத்தின் ஒரு முக்கோணத் தொடர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:எங்கே
இடைவெளியில் Forier செயல்பாடு F (x) அருகில் (-L; எல்) படிவத்தின் ஒரு முக்கோணத் தொடர் உருவாகும்: 
எங்கே
நோக்கம். ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் Forier ஒரு வரிசையில் செயல்பாடு f (x) சிதைத்து வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.
தொகுதி செயல்பாடுகளை (உதாரணமாக, | x |), பயன்படுத்த கொசைன் மூலம் சிதைவு.
செயல்பாடுகளை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்:
தொகுதி செயல்பாடுகளை, கோசைன் சிதைவு பயன்படுத்த. உதாரணமாக, | x | ஒரு தொகுதி இல்லாமல் ஒரு செயல்பாடு நுழைய வேண்டும், I.E. எக்ஸ்.தொடர்ந்து தொடர்ச்சியான தொடர்ச்சியான தொடர்ச்சியான தொடர்ச்சியான, துண்டு துண்டாக்கப்பட்ட மற்றும் இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட (- எல்;எல்) செயல்பாடுகளை முழு எண் அச்சில் இணைக்கிறது.
ஃபோரியர் தொடர் எஸ் (எக்ஸ்) தொகை:
- இது ஒரு காலப்பகுதியில் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு ஆகும் எல். செயல்பாடு u (x) ஒரு காலம் t (அல்லது t- காலம்) கால இடைவெளியில் அழைக்கப்படுகிறது, அனைத்து எக்ஸ் மண்டலம் r, u (x + t) \u003d u (x).
- இடைவெளியில் (- எல்;எல்) செயல்பாடு மூலம் இணைந்து எஃப்(எக்ஸ்.), முறிவு புள்ளிகளைத் தவிர
- இடைவேளையின் புள்ளிகளில் (முதல் வகை, ஏனெனில் செயல்பாடு குறைவாக இருப்பதால்) செயல்பாடுகள் எஃப்(எக்ஸ்.) இடைவெளியின் முனைகளில் சராசரியாக எடுக்கும்:
இந்த செயல்பாடு இடைவெளியில் ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் தீட்டப்பட்டது என்று கூறப்படுகிறது (- எல்;எல்):
.
ஏ எஃப்(எக்ஸ்.) - கூட செயல்பாடு, பின்னர் கூட செயல்பாடுகளை அதன் decomposition ஈடுபட்டு, அதாவது, b n.=0.
ஏ எஃப்(எக்ஸ்.) - ஒரு ஒற்றைப்படை செயல்பாடு, பின்னர் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகளை அதன் சிதைவு ஈடுபட்டு, என்று, ஒரு.=0
ஃபோரியயர் அருகில்
செயல்பாடுகளை எஃப்(எக்ஸ்.) இடைவெளியில் (0; எல்) கோசைன் டூக்களில்
வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது: 
எங்கே 
.
ஃபோரியயர் அருகில்
செயல்பாடுகளை எஃப்(எக்ஸ்.) இடைவெளியில் (0; எல்) பல வில் sines மீது
வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது: 
எங்கே 
.
பல வளைவுகளின் கொசின் மூலம் ஃபோரியர் தொடரின் தொகை 2 காலகட்டத்தில் ஒரு கால இடைவெளியாகும் எல்எஸ். எஃப்(எக்ஸ்.) இடைவெளியில் (0; எல்) தொடர்ச்சியான புள்ளிகளில்.
பல வளைவுகளின் sines இல் உள்ள நான்காவது தொடரின் தொகை 2 ஒரு காலப்பகுதியில் ஒரு வித்தியாசமான செயல்பாடு ஆகும் எல்எஸ். எஃப்(எக்ஸ்.) இடைவெளியில் (0; எல்) தொடர்ச்சியான புள்ளிகளில்.
இந்த இடைவெளியில் இந்த இடைவெளியில் இந்தச் செயல்பாட்டிற்கான ஃபோரியர் தொடர் தனித்துவத்தின் சொத்துக்களைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதை விட வேறு விதமாக பெறப்பட்டால், உதாரணமாக, குணகங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதைப் பயன்படுத்தி, இந்த குணகங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சூத்திரங்கள்.
உதாரணம் எண் 1. செயல்பாடு f (x) \u003d 1:
a) இடைவெளியில் ஃபோரியர் முழு அளவில்(-π ;π);
பி) இடைவெளியில் பல வளைவுகளின் ஒரு வரிசையில் ஒரு வரிசையில்(0;π); இதன் விளைவாக ஃபோரியர் தொடரின் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்கவும்
முடிவு:
ஒரு) இடைவெளியில் ஒரு ஃபோரியர் தொடரில் சிதைவு (-π; π) படிவம் உள்ளது: 
,
மற்றும் அனைத்து குணகங்களும் b n.\u003d 0, ஏனெனில் இந்த அம்சம் கூட உள்ளது; இந்த வழியில்,
வெளிப்படையாக, நீங்கள் எடுத்தால் சமத்துவம் செய்யப்படும்
ஆனாலும் 0 =2, ஆனாலும் 1 =ஆனாலும் 2 =ஆனாலும் 3 =…=0
தனித்துவத்தின் பண்புகளின் மூலம், இது விரும்பிய குணகங்களாகும். இவ்வாறு, விரும்பிய சிதைவு: 
அல்லது 1 \u003d 1.
இந்த வழக்கில், ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளுடன் ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டுடன் இணைந்தால், ஒரு தொடர்ச்சியான நான்காரியின் எண்ணிக்கை முழு எண் வரிசையில் செயல்பாட்டின் அட்டவணையில் நிகழ்ந்தது.
b) இடைவெளியில் (0; π) பல வளைவுகளில் உள்ள இடைவெளியில் (0; π) படிவம் உள்ளது:
சமத்துவம் சமத்துவம் சாத்தியமற்றது என்பதால் குணகங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது சாத்தியமில்லை. குணகங்களை கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்:
இவ்வாறு, கூட என் (என்=2கே) வேண்டும் b n.\u003d 0, ஒற்றைப்படை ( என்=2கே-1) - 
இறுதியாக, 
.
அதன் பண்புகளை பயன்படுத்தி (மேலே பார்க்க) பயன்படுத்தி 9 தொடர்ச்சியான தொடரின் வரைபடத்தை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.
முதலில், ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் இந்த செயல்பாட்டின் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம். அடுத்து, எண்ணின் தொகையின் துல்லியத்தைப் பயன்படுத்தி, அட்டவணையை ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம் ஒருங்கிணைப்புகளின் தொடக்கத்தை நாங்கள் தொடர்கிறோம்: 
முழு எண் அச்சும் ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் நாங்கள் தொடர்கிறோம்: 
இறுதியாக, இடைவெளிகளில் சராசரியாக (வலது மற்றும் இடது வரம்புக்கு இடையில்) சராசரியை நிரப்பவும்: 
உதாரணம் எண் 2. செயல்பாடு நிராகரிக்கப்பட்டது 
பல வளைவுகளின் sines மீது இடைவெளியில் (0; 6).
முடிவு: விரும்பிய சிதைவு வடிவம்:
இடதுபுறத்தில் இருந்து, சமத்துவத்தின் சரியான பகுதி மட்டுமே உள்ளது சின் செயல்படுகிறது. பல்வேறு வாதங்கள் இருந்து, அவர்கள் n (இயற்கை!) எந்த மதிப்புகள் பொருந்தும் என்பதை சரிபார்க்கவும் சமத்துவம் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளில் உள்ள sinuses வாதங்கள்:
அல்லது, N \u003d 18 எங்கிருந்து. இது போன்ற ஒரு கால வலது பக்கத்திலும், அது குணாதிசயத்துடனும் இடது பக்கத்தில் உள்ள குணகத்துடன் இணைந்திருக்க வேண்டும் என்பதாகும். பி 18 =1;
அல்லது, N \u003d 4 இடத்திலிருந்து. அது அர்த்தம் பி 4 =-5.
இதனால், குணகங்களின் தேர்வு உதவியுடன், விரும்பிய சிதைவுகளை பெற முடியும்.
