Знайти розподіл суми двох випадкових величин. Закон розподілу суми двох випадкових величин

1) c + d ≤ z ≤ a + d. тоді

2) а + d ≤ z ≤ b + c. тоді

3) b + c ≤ z ≤ a + b. тоді

Такий розподіл називається законом Сімпсона. На рис.8, 9 зображені графіки щільності розподілу СВ при з=0, d=0.

Скористаємося викладеним вище загальним методом для вирішення однієї задачі, а саме для знаходження закону розподілу суми двох випадкових величин. Є система двох випадкових величин (X, Y) з щільністю розподілу f (x, у).

Розглянемо суму випадкових величин X і Y: і знайдемо закон розподілу величини Z. Для цього побудуємо на площині хОу лінію, рівняння якої (Рис. 6.3.1). Це - пряма, що відсікає на осях відрізки, рівні z. пряма ділить площину хОу на дві частини; правіше і вище її ; лівіше і нижче

Область D в даному випадку - ліва нижня частина площині хОу, заштрихованная на рис. 6.3.1. Відповідно до формули (6.3.2) маємо:

Це - загальна формула для густини розподілу суми двох випадкових величин.

З міркувань симетричності завдання щодо X і Y можна написати інший варіант тієї ж формули:

Потрібно зробити композицію цих законів, т. Е. Знайти закон розподілу величини:.

Застосуємо загальну формулу для композиції законів розподілу:

Підставляючи ці вирази в уже зустрічалося нам формулу

а це є не що інше, як нормальний закон з центром розсіювання

До того ж висновку можна прийти значно простіше за допомогою наступних якісних міркувань.

Не розкриваючи дужок і не виробляючи перетворень в підінтегральної функції (6.3.3), відразу приходимо до висновку, що показник ступеня є квадратний тричлен щодо х виду

де в коефіцієнт А величина z не входить зовсім, в коефіцієнт В входить в першого ступеня, а в коефіцієнт С - в квадраті. Маючи це на увазі і застосовуючи формулу (6.3.4), приходимо до висновку, що g (z) є показова функція, експонента якої - квадратний тричлен щодо z, а щільність аспределенія; такого виду відповідає нормальному закону. Таким чином, ми; приходимо до чисто якісному висновку: закон розподілу величини z повинен бути нормальним. Щоб знайти параметри цього закону - і - скористаємося теоремою складання математичних очікувань і теоремою складання дисперсій. По теоремі складання математичних очікувань . По теоремі додавання дисперсій або звідки випливає формула (6.3.7).

Переходячи від среднеквадратических відхилень до пропорційних їм імовірним відхилень, отримаємо:
.

Таким чином, ми прийшли до наступного правила: при композиції нормальних законів виходить знову нормальний закон, причому математичні очікування і дисперсії (або квадрати ймовірних відхилень) підсумовуються.

Правило композиції нормальних законів може бути узагальнене на випадок довільного числа незалежних випадкових величин.

Якщо є n незалежних випадкових величин: підлеглих нормальними законами з центрами розсіювання і среднеквадратическими відхиленнями, то величина також підпорядкована нормальному закону з параметрами

Якщо система випадкових величин (X, Y) розподілена за нормальним законом, але величини X, Y залежні, то неважко довести, так само як раніше, виходячи із загальної формули (6.3.1), що закон розподілу величини є теж нормальний закон. Центри розсіювання як і раніше складаються алгебраїчно, але для среднеквадратических відхилень правило стає більш складним: , Де, r - коефіцієнт кореляції величин X і Y.

При додаванні декількох залежних випадкових величин, підпорядкованих у своїй сукупності нормальному закону, закон розподілу суми також виявляється нормальним з параметрами

де - коефіцієнт кореляції величин X i, X j, а підсумовування поширюється на всі різні попарні комбінації величин.

Ми переконалися в дуже важливому властивості нормального закону: при композиції нормальних законів виходить знову нормальний закон. Це - так зване «властивість стійкості». Закон розподілу називається стійким, якщо при композиції двох законів цього типу виходить знову закон того ж типу. Вище ми показали, що нормальний закон є стійким. Властивістю стійкості мають дуже деякі закони розподілу. Закон рівномірної щільності нестійкий: при комбінації двох законів рівномірної щільності на ділянках від 0 до 1 ми отримали закон Сімпсона.

Стійкість нормального закону - одне з істотних умов його широкого поширення на практиці. Однак властивістю стійкості, крім нормального, володіють і деякі інші закони розподілу. Особливістю нормального закону є те, що при композиції досить великого числа практично довільних законів розподілу сумарний закон виявляється як завгодно близький до нормального незалежно від того, які були закони розподілу доданків. Це можна проілюструвати, наприклад, складаючи композицію трьох законів рівномірної щільності на ділянках від 0 до 1. Що Виходить при цьому закон розподілу g (z) зображений на рис. 6.3.1. Як видно з креслення, графік функції g (z) вельми нагадує графік нормального закону.

Особа, яка приймає рішення, може використовувати страхування для зменшення несприятливого фінансового впливу деяких типів випадкових подій.

Але це розгляд вельми загальне, так як під особою, яка приймає рішення, міг матися на увазі як окрема людина, яка шукає захист від збитку, що завдається власності, заощадженням або доходам, так і організація, яка шукає захист від того ж роду збитку.

Насправді такою організацією може виявитися страхова компанія, яка шукає способи захистити себе від фінансових втрат через занадто великого числа страхових випадків, що сталися з окремим її клієнтом або з її страховим портфелем. Такий захист називається перестрахуванням.

Розглянемо одну з двох моделей (а саме модель індивідуальних ризиків) Широко використовуваних у визначенні страхових тарифів і резервів, а також в перестрахуванні.

позначимо через Sвеличину випадкових втрат страхової компанії по деякої частини її ризиків. В цьому випадку Sє випадковою величиною, для якої ми повинні визначити розподіл ймовірностей. Історично для розподілів С.В. Sбуло два набори постулатів. Модель індивідуальних ризиків визначає Sнаступним чином:

де С.В. бозначают втрати, завдані об'єктом страхування з номером i, а nозначає загальну кількість об'єктів страхування.

Зазвичай передбачається, що є незалежними випадковими величинами, оскільки в цьому випадку простіше математичні розрахунки і не потрібно відомостей про характер залежності між ними. Другою моделлю є модель колективних ризиків.

Вже згадана модель індивідуальних ризиків не відображає зміни цінності грошей з плином часу. Це робиться для спрощення моделі, і саме тому в назві статті йдеться про короткому інтервалі часу.

Будемо розглядати тільки замкнуті моделі, тобто ті, в яких число об'єктів страхування n у формулі (1.1) відомо і зафіксовано в самому початку даного інтервалу часу. Якщо ми вводимо припущення про наявність міграції з або в страхову систему, то отримуємо відкриту модель.

Випадкові величини, що описують індивідуальні виплати

Спочатку нагадаємо основні положення, що стосуються страхування життя.

При страхуванні на випадок смерті на термін один рік страховик зобов'язується виплатити величину b, Якщо страхувальник помре протягом року з моменту укладення договору страхування, і не виплачує нічого, якщо страхувальник проживе цей рік.

Імовірність настання страхового випадку протягом зазначеного року позначається через.

Випадкова величина, що описує страхові виплати, має розподіл, яке може задаватися або функцією ймовірностей

(2.1)

або відповідною функцією розподілу

(2.2)

З формули (2.1) і з визначення моментів отримуємо

(2.4)

Ці формули можна також отримати, записавши Xу вигляді

де - постійна величина, що виплачується на випадок смерті, а - випадкова величина, що приймає значення 1 при настанні смерті і 0 в іншому випадку.

Таким чином, і , І середнє значення і дисперсія С.В. рівні і відповідно, а середнє значення і дисперсія С.В. рівні і, що збігається з виписаними вище формулами.

Випадкова величина з областю значень (0,1) широко застосовується в актуарних моделях.

У підручниках з теорії ймовірностей вона називається індикатором, бернуллиевского випадкової величиною або біноміальної випадковою величиною в схемі єдиного випробування.

Ми будемо називати її індикаторомз міркувань стислості, а також тому, що вона вказує наступ,, або не настання,, розглянутого події.

Перейдемо до пошуку більш загальних моделей, в яких величина страхової виплати також є випадковою величиною і в розглянутому інтервалі часу може статися кілька страхових випадків.

Страхування на випадок хвороби, страхування автомобілів і інших видів власності, а також страхування цивільної відповідальності відразу ж надають безліч прикладів. Узагальнюючи формулу (2.5), покладемо

де - випадкова величина, що описує страхові виплати в розглянутому інтервалі часу, С.В. позначає загальну величину виплат в цьому інтервалі і С.В. є індикатором для події, що складається в тому, що стався щонайменше один страховий випадок.

Будучи індикатором такої події, С.В. фіксує наявність () або відсутність () страхових випадків в цьому інтервалі часу, але не кількість страхових випадків в ньому.

Імовірність як і раніше буде позначатися через.

Обговоримо кілька прикладів і визначимо розподіл випадкових величин і в деякій моделі.

Розглянемо спочатку страхування на випадок смерті на термін один рік з додатковою виплатою, якщо смерть наступила в результаті нещасного випадку.

Для визначеності припустимо, що якщо смерть сталася в результаті нещасного випадку, то величина виплати складе 50000. При настанні смерті по іншим причинам величина виплати складе 25000.

Припустимо, що для особи даного віку, стану здоров'я та професії ймовірність смерті в результаті нещасного випадку протягом року дорівнює 0,0005, а ймовірність смерті по іншим причинам дорівнює 0,0020. У вигляді формули це виглядає так:

Підсумовуючи по всіх можливих значеннях, отримаємо

,

Умовний розподіл с. в. за умови має вигляд

Розглянемо тепер страхування автомобілів від зіткнень (відшкодування виплачується власнику автомобіля за шкоду, завдану його автомобілю) з величиною безумовної франшизи 250 і з максимальним розміром виплати 2000.

Для наочності припустимо, що ймовірність настання одного страхового випадку в розглянутий період часу для окремої особи становить 0,15, а ймовірність настання більш ніж одного зіткнення дорівнює нулю:

, .

Нереалістичне припущення про те, що протягом одного періоду може статися не більше одного страхового випадку, робиться для того, щоб спростити розподіл С.В. .

Ми відмовимося від цього припущення в наступному розділі після того, як розглянемо розподіл суми декількох страхових випадків.

Оскільки є величиною виплат страховика, а не збитком, нанесеним автомобілю, ми можемо розглядати дві характеристики, і.

По-перше, подія включає в себе ті зіткнення, в яких збиток менше, ніж безумовна франшиза, яка дорівнює 250.

По-друге, розподіл С.В. матиме "згусток" ймовірнісної маси в точці максимального розміру страхових виплат, який дорівнює 2000.

Припустимо, що імовірнісна маса, зосереджена в цій точці, дорівнює 0,1. Далі, припустимо, що величину страхових виплат в інтервалі від 0 до 2000 можна моделювати безперервним розподілом з функцією щільності, пропорційній для (На практиці безперервна крива, яка вибирається для подання розподілу страхових виплат, є результатом досліджень розмірів виплат в попередньому періоді.)

Підсумовуючи ці припущення про умовне розподіл С.В. за умови, ми приходимо до розподілу змішаного типу, що має позитивну щільність в інтервалі від 0 до 2000 і деякий «згусток» ймовірнісної маси в точці 2000. Це ілюструється графіком на рис. 2.2.1.

Функція розподілу цього умовного розподілу виглядає так:

Рис.2.1. Функція розподілу С.В. В за умови I \u003d 1

Обчислимо математичне сподівання і дисперсію в розглянутому прикладі з автомобільним страхуванням двома способами.

По-перше, випишемо розподіл С.В. і скористаємося нею для розрахунку і. Позначаючи через функцію розподілу С.В. , маємо

для x<0

Цей розподіл змішаного типу. Як показано на рис. 2.2, воно має як дискретну ( «згусток» ймовірнісної маси в точці 2000), так і безперервну частину. Такий функції розподілу відповідає комбінація функції ймовірностей

Мал. 2.2. Функція розподілу С.В. X \u003d IB

і функції щільності

Зокрема, і . Тому .

Є ряд формул, що пов'язують моменти випадкових величин з умовними математичними очікуваннями. Для математичного очікування і для дисперсії ці формули мають вигляд

(2.10)

(2.11)

Мається на увазі, що вирази в лівих частинах цих рівностей обчислюються безпосередньо з розподілу С.В. . При обчисленні виразів в правих частинах, а саме та, використовується умовний розподіл С.В. при фіксованому значенні С.В. .

Ці вирази є, таким чином, функціями С.В. , І ми можемо обчислити їх моменти, використовуючи розподіл С.В. .

Умовні розподілу використовуються в багатьох актуарних моделях, і це дозволяє безпосередньо застосовувати виписані вище формули. У нашій моделі. Розглядаючи С.В. як і С.В. як, отримуємо

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

і розглянемо умовні математичні очікування

(2.16)

(2.17)

Формули (2.16) і (2.17) визначають як функцію від с.в. , Що може бути записано у вигляді такої формули:

Так як при, то (2.21)

Для ми маємо і (2.22)

Формули (2.21) і (2.22) можна об'єднати: (2.23)

Таким чином, (2.24)

Підставляючи (2.21), (2.20) і (2.24) в (2.12) і (2.13), ми отримуємо

Застосуємо отримані формули для обчислення і в прикладі автомобільного страхування (рис. 2.2). Оскільки функція щільності С.В. В за умови виражається формулою

причому P (B \u003d 2000 | I \u003d 1)\u003d 0,1, ми маємо

Нарешті, вважаючи q \u003d 0,15, з формул (2.25) і (2.26) ми отримаємо наступні рівності:

Для опису іншої страхової ситуації можна запропонувати інші моделі для с.в. .

Приклад: модель для числа смертей в результаті авіаційних катастроф

Як приклад розглянемо модель для числа смертей, що сталися в результаті авіаційних катастроф за річний період діяльності авіакомпанії.

Ми можемо почати з випадкової величини, яка описує число смертей для одного рейсу, а потім підсумувати такі випадкові величини по всіх рейсах за рік.

Для одного рейсу подія означатиме наступ авіакатастрофи. Число смертей, яке спричинила за собою ця катастрофа, буде представлятися твором двох випадкових величин і, де - коефіцієнт завантаженості літака, т. Е. Число осіб, що знаходилися на борту в момент авіакатастрофи, і - частка смертей серед осіб, які перебували на борту.

Число смертей представляється саме таким чином, оскільки роздільна статистика для величин і буває більш доступною, ніж статистика для с.в. . Отже, Хоча частка смертей серед осіб, які перебували на борту, і число осіб, що знаходилися на борту, ймовірно, пов'язані між собою, в якості першого наближення можна припустити, що С.В. і незалежні.

Суми незалежних випадкових величин

У моделі індивідуальних ризиків страхові виплати, вироблені страховою компанією, представляються як сума виплат багатьом окремим особам.

Нагадаємо два методу визначення розподілу суми незалежних випадкових величин. Розглянемо спочатку суму двох випадкових величин ,, вибіркове простір яких зображено на рис. 3.1.

Мал. 2.3.1. подія

Пряма і область, що знаходиться під цією прямою, є подія. Тому функція розподілу С.В. S має вигляд (3.1)

Для двох дискретних невід'ємних випадкових величин ми можемо скористатися формулою повної ймовірності і записати (3.1) у вигляді

якщо X і Y незалежні, остання сума може бути переписана у вигляді

(3.3)

Функція ймовірностей, відповідна цієї функції розподілу, може бути знайдена за формулою

(3.4)

Для безперервних невід'ємних випадкових величин формули, відповідні формулами (3.2), (3.3) і (3.4), мають вигляд

Коли або одна, або обидві випадкові величини X і Y мають розподіл змішаного типу (що характерно для моделей індивідуальних ризиків), формули аналогічні, але більш громіздкі. Для випадкових величин, які можуть приймати також негативні значення, суми і інтеграли в наведених формулах беруться за всіма значеннями у від до.

У теорії ймовірностей операція в формулах (3.3) і (3.6) називається сверткой двох функцій розподілу і і позначається через. Операція згортки може також бути визначена для пари функцій ймовірностей або функцій щільності за допомогою формул (3.4) і (3.7).

Для визначення розподілу суми більш ніж двох випадкових величин ми можемо використовувати ітерації процесу взяття згортки. для , Де є незалежними випадковими величинами, позначає функцію розподілу С.В., а є функцією розподілу С.В. , ми отримаємо

Приклад 3.1 ілюструє цю процедуру для трьох дискретних випадкових величин.

Приклад 3.1. Випадкові величини, і незалежні і мають розподілу, які визначаються стовпцями (1), (2) і (3) наведеної нижче таблиці.

Випишемо функцію ймовірностей і функцію розподілу С.В.

Рішення. У таблиці використовуються позначення, введені перед прикладом:

У стовпчиках (1) - (3) міститься наявна інформація.

Стовпець (4) отримано з стовпців (1) і (2) із застосуванням (3.4).

Стовпець (5) отримано з стовпців (3) і (4) із застосуванням (3.4).

Визначення стовпця (5) завершує знаходження функції ймовірностей для с.в. . Її функція розподілу в стовпці (8) є набором часткових сум стовпця (5), починаючи зверху.

Для наочності ми включили стовпець (6), функцію розподілу для стовпця (1), стовпець (7), який можна отримати безпосередньо з стовпців (1) і (6), застосовуючи (2.3.3), і стовпець (8), який визначається аналогічно за стовпцями (3) і (7). Стовпець (5) можна визначити з шпальти (8) послідовним відніманням.

Перейдемо до розгляду двох прикладів з безперервними випадковими величинами.

Приклад 3.2. Нехай С.В. має рівномірний розподіл на інтервалі (0,2), і нехай С.В. не залежить від с.в. і має рівномірний розподіл на інтервалі (0,3). Визначимо функцію розподілу С.В.

Рішення. Оскільки розподілу С.В. і безперервні, скористаємося формулою (3.6):

тоді

Вибіркове простір С.В. і ілюструється рис. 3.2. Прямокутна область містить всі можливі значення пари і. Цікавить нас подія,, зображується на малюнку для п'яти значень s.

Для кожного значення пряма перетинає вісь Y в точці s і пряму в точці. Значення функції для цих п'яти випадків описуються наступною формулою:

Мал. 3.2. Згортка двох рівномірних розподілів

Приклад 3.3. Розглянемо три незалежні С.В. . Для С.В. має показовий розподіл і. Знайдемо функцію щільності С.В. , Застосовуючи операцію згортки.

Рішення. маємо

Скориставшись формулою (3.7) тричі, ми отримаємо

Інший метод визначення розподілу суми незалежних випадкових величин заснований на єдиності виробляє функції моментів, яка для с.в. визначається співвідношенням .

Якщо це математичне очікування звичайно для всіх t з деякого відкритого інтервалу, що містить початок координат, то є єдиною виробляє функцією моментів розподілу С.В. в тому сенсі, що не існує іншої функції, відмінній від, яка була б виробляє функцією моментів розподілу С.В. .

Цю єдиність можна використовувати наступним чином: для суми

Якщо незалежні, то математичне сподівання добутку у формулі (3.8) дорівнює ..., так що

Знаходження явного вираження для того єдиного розподілу, яке відповідає виробляє функції моментів (3.9), завершило б знаходження розподілу С.В. . Якщо вказати його в явному вигляді не вдається, то можна проводити його пошук чисельними методами.

приклад 3.4. Розглянемо випадкові величини з прикладу 3.3. Визначимо функцію щільності С.В. , Користуючись виробляє функцією моментів С.В. .

Рішення. Відповідно до рівності (3.9), що можна записати в вигляді за допомогою методу розкладання на найпростіші дроби. рішенням є . Але є виробляє функцією моментів показового розподілу з параметром, так що функція щільності С.В. має вид

приклад 3.5. При дослідженні випадкових процесів було введено зворотне гауссовское розподіл. Воно використовується в якості розподілу С.В. В, Величини страхових виплат. Функція щільності і виробляє функція моментів зворотного гауссовского розподілу задаються формулами

Знайдемо розподіл С.В. , Де С.В. незалежні і мають однакові зворотні гаусові розподілу.

Рішення. Скориставшись формулою (3.9), отримаємо такий вираз для виробляє функції моментів С.В. :

Виробляє функції моментів відповідає єдине розподіл, і можна переконатися, що має зворотну гауссовское розподіл з параметрами і.

Наближення для розподілу суми

Центральна гранична теорема дає метод знаходження чисельних значень для розподілу суми незалежних випадкових величин. Зазвичай ця теорема формулюється для суми незалежних і однаково розподілених випадкових величин, де .

Для будь-якого n розподіл С.В. де \u003d , Має математичне сподівання 0 і дисперсію 1. Як відомо, послідовність таких розподілів (при n\u003d 1, 2, ...) прагне до стандартного нормального розподілу. коли n велике ця теорема застосовується, щоб наблизити розподіл С.В. нормальним розподілом з середнім μ і дисперсією. Аналогічно, розподіл суми n випадкових величин наближається нормальним розподілом з середнім і дисперсією.

Ефективність такої апроксимації залежить не тільки від числа доданків, а й від близькості розподілу доданків до нормального. У багатьох елементарних курсах статистики вказується, що n повинно бути не менше 30 для того, щоб апроксимація була розумною.

Однак одна з програм для генерації нормально розподілених випадкових величин, які використовуються в імітаційному моделюванні, реалізує нормальну випадкову величину у вигляді середнього 12 незалежних рівномірно розподілених на інтервалі (0,1) випадкових величин.

У багатьох моделях індивідуальних ризиків випадкові величини, що входять в суми, не є однаково розподіленими. Це буде проілюстровано прикладами в наступному розділі.

Центральна гранична теорема поширюється і на послідовності неоднаково розподілених випадкових величин.

Для ілюстрації деяких додатків моделі індивідуальних ризиків ми скористаємося нормальної аппроксимацией розподілу суми незалежних випадкових величин, щоб отримати чисельні рішення. якщо , то

і далі, якщо С.В. незалежні, то

Для розглянутого додатки нам потрібно лише:

• знайти середні і дисперсії випадкових величин, що моделюють індивідуальні втрати,
• підсумувати їх для того, щоб здобути середню і дисперсію втрат страхової компанії в цілому,
• скористатися нормальним наближенням.

Нижче ми проілюструємо цю послідовність дій.

Додатки до страхування

У цьому розділі на чотирьох прикладах ілюструється використання нормального наближення.

Приклад 5.1. Компанія, що займається страхуванням життя, пропонує договір страхування на випадок смерті на термін один рік з виплатами розміру 1 і 2 одиниць особам, ймовірності смерті яких складають 0,02 або 0,01. Наведена нижче таблиця показує число осіб nk в кожному з чотирьох класів, утворених відповідно до виплатою b k і ймовірністю настання страхового випадку q k:

Страхова компанія хоче зібрати з цієї групи Із 1800 осіб суму, рівну 95-й процентилі розподілу загальної величини страхових виплат по цій групі. Крім того, вона хоче, щоб частка кожної особи в цій сумі була пропорційна очікуваному розміру страхової виплати для даної особи.

Частка особи з номером, середня виплата якого дорівнює, повинна скласти. З вимоги 95-ї процентилі слід, що. Величина перевищення,, є ризиковою надбавкою, а називається відносної ризикової надбавкою. Підрахуємо.

Рішення. Величина визначається співвідношенням \u003d 0,95, де S \u003d X 1 + X 2 + ... + X 1800.Це твердження про ймовірність еквівалентно наступному:

Відповідно до того, що говорилося про центральної граничної теореми в розд. 4, ми аппроксимируем розподіл С.В. стандартним нормальним розподілом і скористаємося його 95-й процентиль, звідки отримуємо:

Для чотирьох класів, на які розбиті страхувальники, ми отримуємо наведені нижче результати:

Таким чином,

Тому відносна ризикова надбавка дорівнює

Приклад 5.2. Клієнти компанії, що займається страхуванням автомобілів, розподілені за двома класами:

Усеченное показовий розподіл визначається за допомогою функції розподілу

Цей розподіл змішаного типу з функцією щільності , І «згустком» ймовірнісної маси в точці L. Графік цієї функції розподілу показаний на рис.5.1.

Мал. 5.1. Усеченное показовий розподіл

Як і раніше, ймовірність того, що загальна величина страхових виплат перевищує суму, зібрану з страхувальників, повинна бути рівною 0,05. Ми припустимо, що відносна ризикова надбавка повинна бути однаковою в кожному з двох розглянутих класів. Обчислимо.

Рішення. Цей приклад дуже схожий на попередній. Різниця полягає лише в тому, що величини страхових виплат є тепер випадковими величинами.

Спочатку ми отримаємо вирази для моментів усіченого показового розподілу. Це буде підготовчий крок для застосування формул (2.25) і (2.26):

Скориставшись значеннями параметрів, даними в умові, та застосовуючи формули (2.25) і (2.26), ми отримуємо наступні результати:

Отже, S, Загальна сума страхових виплат, має моменти

Умова для визначення залишається тим же, що і в прикладі 5.1, а саме,

Скориставшись знову аппроксимацией нормальним розподілом, отримуємо

Приклад 5.3. У портфель страхової компанії входить 16 000 договорів страхування на випадок смерті на термін один рік відповідно до наступної таблиці:

Імовірність настання страхового випадку q для кожного з 16 000 клієнтів (ці події передбачається взаємно незалежними) дорівнює 0,02. Компанія хоче встановити рівень власного утримання. Для кожного страхувальника рівень власного утримання є величиною, виплати нижче якої ця компанія (компанія-цедент) здійснює самостійно, а виплати, що перевершують цю величину, покриваються за договором перестрахування іншою компанією (перестрахувальником).

Наприклад, якщо рівень власного утримання дорівнює 200 000, то компанія залишає за собою покриття суми до 20 000 для кожного страхувальника і купує перестрахування для покриття різниці між страховою виплатою і сумою 20 000 для кожного з 4500 страхувальників, страхові виплати для яких перевищують суму 20 000 .

В якості критерію для прийняття рішення компанія вибирає мінімізацію ймовірності того, що страхові виплати, залишені на власному утриманні, плюс та сума, яка сплачується за перестрахування, перевершить суму 8 250 000. Перестрахування варто 0,025 на одиницю покриття (тобто 125% від очікуваної величини страхових виплат за одиницю 0,02).

Ми вважаємо, що даний портфель замкнутий: нові страхові договори, укладені протягом поточного року, не враховуватимуться в описаному процесі прийняття рішення.

Часткове вирішення. Проведемо спочатку все обчислення, вибравши за одиницю виплат 10 000. В якості ілюстрації припустимо, що с. в. S є величиною виплат, залишених на власному утриманні, має такий вигляд:

До цих страхових виплатах, залишеним на власному утриманні, S, Додається сума перестрахувальних премій. Разом, загальна величина покриття за такою схемою становить

Сума, залишена на власному утриманні, дорівнює

Таким чином, загальна перестрахуватися величина становить 35 000-24 000 \u003d 11 000 і вартість перестрахування становить

Значить, при рівні власного утримання, що дорівнює 2, залишені на власному утриманні страхові виплати плюс вартість перестрахування складають. Критерій для прийняття рішення заснований на ймовірності того, що ця загальна сума перевищить 825,

Використовуючи нормальний розподіл, ми отримуємо, що ця величина приблизно дорівнює 0,0062.

Середні значення страхових виплат при страхуванні ексцедента збитковості, як одного з видів перестрахування, можна апроксимувати, користуючись нормальним розподілом як розподілу загальних страхових виплат.

Нехай загальні страхові виплати Х мають нормальний розподіл із середнім і дисперсією

Приклад 5.4. Розглянемо страховий портфель, як в прикладі 5.3. Знайдемо математичне сподівання величини страхових виплат при договорі страхування ексцедента збитковості, якщо

(А) індивідуальне перестрахування відсутня і безумовна франшиза встановлена \u200b\u200bрівної 7 500 000

(B) встановлено власне утримання в розмірі 20 000 за індивідуальними страховими договорами і величина безумовної франшизи по портфелю складає 5 300 000.

Рішення.

(А) За відсутності індивідуального перестрахування і при переході до 10 000 в якості грошової одиниці

застосування формули (5.2) дає

що становить суму 43 770 у вихідних одиницях.

(B) У прикладі 5.3 ми здобули середню і дисперсію сумарної величини страхових виплат при індивідуальному рівні власного утримання 20 000, рівні 480 і 784 відповідно, якщо розглядати 10 000, в якості одиниці. Таким чином, \u003d 28.

застосування формули (5.2) дає

що становить суму 4140 у вихідних одиницях.

На практиці часто виникає потреба знаходити закон розподілу суми випадкових величин.

Нехай є система (Х ь Х 2) двох безперервних с. в. і їх сума

Знайдемо щільність розподілу с. в. У. Відповідно до спільного рішення попереднього пункту, знаходимо область площині де х + х 2 (рис. 9.4.1):

Диференціюючи цей вислів по у, отримаємо п. Р. випадкової величини У \u003d Х + Х 2:

Так як функція ф (х ь х 2) \u003d Xj + х 2 симетрична щодо своїх аргументів, то

Якщо з. в. Х і Х 2 незалежні, то формули (9.4.2) і (9.4.3) приймуть вигляд:

У разі, коли складаються незалежні с. в. х х і Х 2, говорять про композиції законів розподілу. провести композицію двох законів розподілу - це значить знайти закон розподілу суми двох незалежних с. в., розподілених за цими законами. Для позначення композиції законів розподілу застосовується символічна запис

якої по суті позначаються формули (9.4.4) або (9.4.5).

Приклад 1. Розглядається робота двох технічних пристроїв (ТУ). Спочатку працює ТУь після його виходу з ладу (відмови) включається в роботу ТУ 2. Часи безвідмовної роботи ТУ Ь ТУ 2 - х х і Х 2 - незалежні і розподілені по показовим законам з параметрами А, 1 і Х 2. Отже, час Y безвідмовної роботи ТУ, що складається з ТУ! і ТУ 2, буде визначатися за формулою

Потрібно знайти п. Р. випадкової величини Y, т. е. композицію двох показових законів з параметрами і Х 2.

Рішення. За формулою (9.4.4) отримаємо (у\u003e 0)

Якщо знаходиться композиція двох показових законів з однаковими параметрами (? Ц \u003d Х 2 \u003d У), то у виразі (9.4.8) виходить невизначеність типу 0/0, розкриваючи яку, отримаємо:

Порівнюючи цей вираз з виразом (6.4.8), переконуємося в тому, що композиція двох однакових показових законів (? Ц \u003d Х 2 = X)є закон Ерланга другого порядку (9.4.9). При композиції двох показових законів з різними параметрами х х і А-2 отримують узагальнений закон Ерланга другого порядку (9.4.8). ?

Завдання 1. Закон розподілу різниці двох с. в. Система с. в. (Х і Х 2) має спільну п. р ./ (х ь х 2). Знайти п. Р. їх різниці У \u003d Х - Х 2.

Рішення. Для системи с. в. (Х ь - Х 2) п. р. буде / (х ь - х 2), т. е. ми різницю замінили сумою. Отже, п. Р. випадкової величини убуде мати вигляд (див. (9.4.2), (9.4.3)):

якщо с. в. Х х ІХ 2 незалежні, то

Приклад 2. Знайти п. Р. різниці двох незалежних показово розподілених с. в. з параметрами х х і Х 2.

Рішення. За формулою (9.4.11) отримаємо

Мал. 9.4.2 Мал. 9.4.3

На малюнку 9.4.2 зображена п. Р. g (У). Якщо розглядається різниця двох незалежних показово розподілених с. в. з однаковими параметрами (A-i= Х 2 = А,),то g (У) \u003d / 2 - вже знайомий

закон Лапласа (рис. 9.4.3). ?

Приклад 3. Знайти закон розподілу суми двох незалежних с. в. Х і Х 2, розподілених за законом Пуассона з параметрами а х і а 2.

Рішення. Знайдемо ймовірність події (Х х + Х 2 = т) (т \u003d 0, 1,

Отже, с. в. У \u003d Х х + Х 2 розподілена за законом Пуассона з параметром а х2) - а х + а 2. ?

Приклад 4. Знайти закон розподілу суми двох незалежних с. в. х х і Х 2, розподілених по біноміальним законам з параметрами п х ри п 2, р відповідно.

Рішення. Уявімо с. в. х х у вигляді:

де Х 1) - індикатор події А ву "-м досвіді:

Ряд розподілу с. в. X, - має вигляд

Аналогічне подання зробимо і для с. в. Х 2:де Х] 2) - індикатор події А в у "-м досвіді:

отже,

де Х? 1) + (2) якщо індикатор події А:

Таким чином, ми показали, що с. в. тесть сума (Щ + п 2) індикаторів події А, Звідки випливає, що с. в. ^ Розподілена за біноміальним законом з параметрами ( п х + п 2), р.

Зауважимо, що якщо ймовірності р в різних серіях дослідів різні, то в результаті складання двох незалежних с. в., розподілених по біноміальним законам, вийде с. в., розподілена не по біноміальному закону. ?

Приклади 3 і 4 легко узагальнюються на довільне число доданків. При композиції законів Пуассона з параметрами а ь а 2, ..., а т знову виходить закон Пуассона з параметром а (т) \u003d а х + а 2 + ... + а т.

При композиції біноміальних законів з параметрами (П ь р); (Я 2, р) , (П т, р) знову виходить біноміальний закон з параметрами ( «(«), Р), де п (т) \u003d щ + п 2 + ... + п т.

Ми довели важливі властивості закону Пуассона і біноміального закону: «властивість стійкості». Закон розподілу називається стійким, якщо при композиції двох законів однакового типу виходить закон того ж типу (розрізняються лише параметри цього закону). У підрозділі 9.7 ми покажемо, що таким же властивістю стійкості має нормальний закон.

Скористаємося викладеним вище загальним методом для вирішення однієї задачі, а саме для знаходження закону розподілу суми двох випадкових величин. Є система двох випадкових величин (X, Y) з щільністю розподілу f (x, у). Розглянемо суму випадкових величин X і Y: і знайдемо закон розподілу величини Z. Для цього побудуємо на площині хОу лінію, рівняння якої (рис. 7). Це - пряма, що відсікає на осях відрізки, рівні z. Пряма ділить площину хОу на дві частини; правіше і вище її; лівіше і нижче.

Область D в даному випадку - ліва нижня частина площині хОу, заштрихованная на рис. 7. Відповідно до формули (16) маємо:

Диференціюючи цей вислів по змінної z, що входить в верхня межа внутрішнього інтеграла, одержимо:

Це - загальна формула для густини розподілу суми двох випадкових величин.

З міркувань симетричності завдання щодо X і Y можна написати інший варіант тієї ж формули:

який рівносильний першому і може застосовуватися замість нього.

Приклад композиції нормальних законів. Розглянемо дві незалежні випадкові величини X і Y, підлеглі нормальними законами:

Потрібно зробити композицію цих законів, т. Е. Знайти закон розподілу величини:.

Застосуємо загальну формулу для композиції законів розподілу:

Якщо розкрити дужки в показнику ступеня підінтегральної функції і привести подібні члени, отримаємо:

Підставляючи ці вирази в уже зустрічалося нам формулу

після перетворень отримаємо:

а це є не що інше, як нормальний закон з центром розсіювання

і среднеквадратическим відхиленням

До того ж висновку можна прийти значно простіше за допомогою наступних якісних міркувань.

Не розкриваючи дужок і не виробляючи перетворень в підінтегральної функції (17), відразу приходимо до висновку, що показник ступеня є квадратний тричлен щодо х виду

де в коефіцієнт А величина z не входить зовсім, в коефіцієнт В входить в першого ступеня, а в коефіцієнт С - в квадраті. Маючи це на увазі і застосовуючи формулу (18), приходимо до висновку, що g (z) є показова функція, експонента якої - квадратний тричлен щодо z, а щільність розподілу; такого виду відповідає нормальному закону. Таким чином, ми; приходимо до чисто якісному висновку: закон розподілу величини z повинен бути нормальним. Щоб знайти параметри цього закону - і - скористаємося теоремою складання математичних очікувань і теоремою складання дисперсій. По теоремі складання математичних очікувань. По теоремі додавання дисперсій або звідки слід формула (20).

Переходячи від среднеквадратических відхилень до пропорційних їм імовірним відхилень, отримаємо:.

Таким чином, ми прийшли до наступного правила: при композиції нормальних законів виходить знову нормальний закон, причому математичні очікування і дисперсії (або квадрати ймовірних відхилень) підсумовуються.

Правило композиції нормальних законів може бути узагальнене на випадок довільного числа незалежних випадкових величин.

Якщо є n незалежних випадкових величин: підлеглих нормальними законами з центрами розсіювання і среднеквадратическими відхиленнями, то величина також підпорядкована нормальному закону з параметрами

Замість формули (22) можна застосовувати рівносильну їй формулу:

Якщо система випадкових величин (X, Y) розподілена за нормальним законом, але величини X, Y залежні, то неважко довести, так само як раніше, виходячи із загальної формули (6.3.1), що закон розподілу величини є теж нормальний закон. Центри розсіювання як і раніше складаються алгебраїчно, але для среднеквадратических відхилень правило стає більш складним:, де, r - коефіцієнт кореляції величин X і Y.

При додаванні декількох залежних випадкових величин, підпорядкованих у своїй сукупності нормальному закону, закон розподілу суми також виявляється нормальним з параметрами

або в ймовірних відхиленнях

де - коефіцієнт кореляції величин X i, X j, а підсумовування поширюється на всі різні попарні комбінації величин.

Ми переконалися в дуже важливому властивості нормального закону: при композиції нормальних законів виходить знову нормальний закон. Це - так зване «властивість стійкості». Закон розподілу називається стійким, якщо при композиції двох законів цього типу виходить знову закон того ж типу. Вище ми показали, що нормальний закон є стійким. Властивістю стійкості мають дуже деякі закони розподілу. Закон рівномірної щільності нестійкий: при комбінації двох законів рівномірної щільності на ділянках від 0 до 1 ми отримали закон Сімпсона.

Стійкість нормального закону - одне з істотних умов його широкого поширення на практиці. Однак властивістю стійкості, крім нормального, володіють і деякі інші закони розподілу. Особливістю нормального закону є те, що при композиції досить великого числа практично довільних законів розподілу сумарний закон виявляється як завгодно близький до нормального незалежно від того, які були закони розподілу доданків. Це можна проілюструвати, наприклад, складаючи композицію трьох законів рівномірної щільності на ділянках від 0 до 1. Що Виходить при цьому закон розподілу g (z) зображений на рис. 8. Як видно з креслення, графік функції g (z) вельми нагадує графік нормального закону.