Поняття тотожності. Тотожності, визначення, позначення, приклади Рівність зі змінною тотожність

то, за допомогою чого одна річ абсолютно подібна інший. Розуміння зазвичай передбачає підведення ( «ідентифікацію») нового знання під те, що ми вже знаємо. Саме в цьому сенсі тотожність - форма будь-якого розуміння. Мейєрсон бачив в синтезі всіх знань про універсум, в їх редукції до тотожності ідеал науки: як раз, наука повинна прийти в результаті до єдиної формулою (представленої сьогодні формулою відносності), з якої ми зможемо вивести всі приватні закони науки. Цей ідеал постає скоріше як філософський, ніж як науковий, тому що науковий прогрес веде скоріше до нескінченної диверсифікації методів науки (спеціалізація), і її безпосередня мета полягає скоріше у вічній можливості пізнання нових об'єктів, ніж в уніфікації методів (ця робота по уніфікації становить мета роздуми про науку, епістемології).

відмінне визначення

Неповне визначення ↓

ТОТОЖНІСТЬ

Поняття Т. є осн. поняттям філософії, логіки і математики, тому до нього ставляться всі труднощі, пов'язані із з'ясуванням і визначенням вихідних (основних, фундаментальних) понять науки. У комплексі питань, що відносяться до поняття Т., на особливу увагу заслуговують два: питання про Т. "... самому по собі. Визнаємо ми, що воно існує, або не визнаємо?" (Plato, Phaed. 74 b; рос. Пер. Соч., Т. 2, 1970) і питання про Т. речей. (Т. речей висловлюють зазвичай символом "\u003d", к-рий зустрічається вперше у Р. Рекорда в його "The whetstone of witte", L., 1557.) Перший з цих питань є частиною питання про онтологічен. статус абстрактних об'єктів (див., напр., Ставлення, Универсалии), другий має самостійно. значення. Як би ці питання ні вирішувалися в філософії, для логіки і математики їх рішення завжди еквівалентно вирішення питання про визначення поняття Т. Однак неважко переконатися, проаналізувавши будь-яке з відомих логічних (математичних) визначень Т. (замість з способом його обґрунтування), що "ідея Т. " і так чи інакше певне "поняття Т." - Це не одне і те ж. Ідея Т. п р е д в а р я е т будь-яке визначення поняття (предиката) Т., так само як і вводиться визначенням поняття "тотожні речі". Це обумовлено тим, що судження про Т. до.-л. об'єктів завжди передбачає, що вже виконані (або повинні бути виконані) якісь інші, допоміжні, але необхідні - аж ніяк не сторонні для даного судження - ототожнення. Саме в зв'язку з проблемою "допустимих ототожнення" філос. аналіз може послужити корисною передумовою для логічного і матем. аналізу поняття Т. Принцип індивідуації. Відповідно до філос. т. зр. слід розрізняти онтологічен., гносеологіч. і семантич. проблеми Т. речей. Онтологічна проблема Т. - це проблема Т. речей "самих по собі" або in se - по їх "внутрішньому обставинах" (Г. Кантор). Вона ставиться і вирішується на основі п р и н ц і п а й н д і в і д у а ц і й (principium individuationis): будь-яка річ універсуму є єдностей. річ; двох різних речей, з яких брало кожна була б тією ж річчю, що й інша, не існує. Саме "... відповідно до началами індивідуації, які виникають від матерії" ми приймаємо, що "... будь-яка самосущого річ, складена з матерії і форми, складена з індивідуальної форми і індивідуальної матерії" (Фома Аквінський, цит. За кн .: "Антологія світової філософії", т. 1, ч. 2, М., 1969, с. 847, 862). Принцип індивідуалізації не містить в собі ніякої вказівки на те, як індивідуалізувати предмети універсуму або як вони індивідуалізовані "самі по собі", оскільки це вже має місце; він лише постулює абстрактну можливість такої індивідуалізації. І це природно, якщо ми розуміємо його як принцип чисто онтологічний. Питання про те, як індивідуалізувати предмети універсуму, є вже гносеологіч. питання. Але в цьому випадку ніяка можлива індивідуалізація не виводить нас за межі того і н т е р в а л а абстракції, до-рим визначається універсум міркування (див. Універсум). Хоча принцип індивідуації є давнім філос. твердженням про світ, його аналоги можна знайти і в (сучасних) власне наукових (математичних, фізичних і ін.) теоріях. У зв'язку з цим можна послатися на ідею "субстанціональних", чи світовою ціною точок (просторових точок в певний момент часу) в чотиривимірному (абстрактному) "світі Маньківського" і пов'язану з нею ідею просторово-временн? Ї моделі физич. реальності, що дозволяє индивидуа-лизировать кожен її об'єкт, або на принцип Паулі, або, нарешті, на гіпотезу Г. Кантора про те, що будь-які два елементи довільного безлічі помітні між собою. Можна навіть вважати, що принцип індивідуації лежить в основі всієї класичної. математики з її - в даному разі онтологическим - "само собою зрозумілим" постулатом упорядкованого (за величиною) числового континууму. Принцип Т. невиразних. Беручи принцип індивідуації, ми, тим не менш, як в повсякденній практиці, так і в теорії, постійно ототожнюємо різні предмети, тобто говоримо про різні речі так, як якщо б вони були однією і тією ж річчю. Виникає при цьому абстракція ототожнення різного була вперше явно відзначена Лейбніцем в його знаменитому принципі Т. нерозпізнаних (Principium identitatis indiscernibilium). Позірна суперечність між принципом індивідуації і принципом Т. невиразних легко пояснити. Протиріччя виникає лише тоді, коли, вважаючи, що, напр., X і у - різні речі, в формулюванні принципу Т. невиразних мають на увазі їх абсолютну, або онтологічну, непомітність, а саме, коли думають, що непомітність x і у передбачає , що x і у "самі по собі" не відрізняються по будь-якою ознакою. Однак, якщо мати на увазі відносну, або гносеологічну, непомітність x і у, напр. їх непомітність "для нас", хоча б ту, з до-рій ми можемо зустрітися в результаті практично здійсненного порівняння х і у (див. про це в ст. Порівняння), то ніякого протиріччя не виникає. Якщо розрізняти поняття "річ", або предмет універсуму "сам по собі", і "об'єкт", або предмет універсуму в пізнанні, в практиці, у ставленні до ін. Предметів, то сумісність принципу Т. нерозпізнаних і принципу індивідуації повинна означати, що немає тотожних речей, але є тотожні об'єкти. Очевидно, що з онтологічен. т. зр., вираженої в принципі індивідуації, Т. представляється абстракцією і, отже, ідеалізацією. Проте воно має об'єктивне підґрунтя в умовах існування речей: практика переконує нас в тому, що існують ситуації, в яких брало "різні" речі поводяться як "одна і та ж" річ. У цьому сенсі принцип Т. невиразних висловлює емпірично підтверджується, заснований на досвіді, факт нашої абстрагирующей діяльності. Тому "ототожнення різного" за принципом Лейбніца не слід розуміти як спрощення або огрубіння дійсності, яке не відповідає, взагалі кажучи, і з т і н н о м у п о р я д к у п р и р о д и. Інтервал абстракції отождест- тичних. Нерозрізненість об'єктів, які ототожнюються відповідно до принципу Т. нерозпізнаних, може виражатися операціонально - в їх "поведінку", тлумачитися в термінах властивостей, взагалі визначатися сукупністю деяких фиксиров. умов нерозрізненості. Ця сукупність умов (функцій або предикатів), щодо яких брало до.-л. предмети універсуму невиразні, визначає інтервал абстракції о т о ж д е з тонн на л е н і я цих предметів. Так, якщо на безлічі предметів визначено властивість А і предмет x ним володіє, то для ототожнення х і у в інтервалі абстракції, який визначається властивістю А, необхідно і достатньо, щоб предмет у також володів властивістю А, що символічно можна виразити наступною аксіомою: A ( x)? ((x \u003d y)? A (y)). Зауважимо, що при наявності "надлишкової" інформації про заведомом (природно - "поза" даного інтервалу абстракції) відмінності предметів їх ототожнення "всередині" даного інтервалу абстракції може навіть здаватися парадоксальним. Типовий приклад з теорії множин - "парадокс Сколема". Якщо дивитися "зсередини" інтервалу абстракції, що визначається властивістю А, то х і у - абсолютно один і той же об'єкт, а не два предмета, як передбачається в наведеному вище міркуванні. Справа в тому, що міркування про Т. двуx і, отже, різні х предметів можливо тільки в недо-ром метаінтервале, що вказує також на можливість індивідуалізації x і у. Очевидно, що непомітність x і у еквівалентна тут їх взаимозаменимости щодо властивості А, але, зрозуміло, не щодо будь-якого властивості. У зв'язку з цим зазначу на абстракцію актуальною розрізнення, витікаючи-ющую з принципу індивідуації і пов'язану з таким тлумаченням цього принципу, при к-ром він зводиться до твердження про існування умов, в яких брало індивідуалізація завжди здійсненна (напр. , Умов, в яких брало x і у вже не будуть синоніми, що і дозволить, природно, говорити про їхню індивідуальність). У цьому сенсі принцип індивідуації відрізняється тим же характером, що і т.зв. "Чисті" постулати існування в математиці, і може розглядатися як абстракція індивідуалізації. Не кажучи вже про "абстрактних" матем. об'єктах, очевидно, що і для "конкретних" физич. предметів природи умови індивідуалізації будь-якого з них аж ніяк не завжди можуть бути знайдені або чітко зазначених у них в якому-небудь конструктивному сенсі. Більш того, завдання їх розвідки іноді принципово нездійсненна, як про це свідчить, напр., Принцип "неподільності квантових станів" і зумовлена \u200b\u200bним, запропонована самою природою, невизначеність в нашому описі "індивідуальної поведінки" елементарних частинок. Д про п про л н е н і я. Інтервал абстракції ототожнення може бути настільки (але не як завгодно) широкий, що в нього увійдуть всі (вихідні) поняття (функції або предикати) розглянутої в тому чи іншому випадку теорії. Тоді кажуть, що х \u003d у для будь-якого поняття А. У цьому випадку і квантор "для будь-якого", і Т. мають відносний характер - вони p е л я т і в і з і р про в а н и безліччю понять теорії, доорої обмежена, в свою чергу, свідомістю цих понять (і н т е р в а л про м значення) по відношенню до предметів універсуму даної теорії. Напр., Предикат "червоний" не визначений на множині натуральних чисел і тому до нього не можуть ставитися слова "для будь-якого предиката", коли говорять про Т. в арифметиці. Такі з м и з л про в и е о г р а н і ч е н і я по суті справи завжди мають місце в додатках теорії, ніж та виключаються протиріччя, пов'язані з порушенням інтервалу абстракції ототожнення. Оскільки в ототожнення мають на увазі тільки предикати даної теорії - інтервал абстракції ототожнення фіксований. Предмети універсуму, невиразні щодо кожного предиката теорії, невиразні абсолютно в даному інтервалі-абстракції і можуть розглядатися як "один і той же" об'єкт, що як раз і відповідає звичайному тлумаченню Т. Якщо щодо кожного такого предиката невиразні всі предмети універсуму, то останній в цьому випадку буде представлятися нам одночленной сукупністю, хоча в ін. інтервалі абстракції він може і не бути таким. Так, якщо умова А - тавтологія, то в яких можливих предметної області всі предмети тотожні в інтервалі А. Інакше кажучи, тавтології не можуть служити критерієм розрізнення об'єктів, вони як би проектують універсум в точку, виробляючи абстракцію ототожнення елементів безлічі будь-якої потужності, "перетворюючи" різні елементи в "один і той же" абстрактний об'єкт. Тому не дивно, що до аксіом "чистого" предикатів обчислення першого ступеня можна без протиріччя приєднувати формулу? ХА (х) ^ / xA (x), яка має тотожність (або абсолютну непомітність) всіх предметів універсуму. Мабуть, ця неповнота чистого обчислення предикатів (елементарної логіки) обумовлена \u200b\u200bсаме його неонтологіческім характері м. У прикладних логічних обчисленнях, зокрема в теорії множин, виходячи зі сфери "чистої логіки", ми змушені - щоб уникнути парадоксов- фіксувати інтервал абстракції ототожнення . У цих випадках Т., оскільки мова йде про ототожнення тільки в даній системі понять, може бути введено кінцевим списком аксіом Т. для конкретних функцій і предикатів даної теорії. Але постулируя т.ч. ті чи інші ототожнення, ми як би ф о р м і р у е м універсум відповідно до принципу Т. невиразних. Значить універсум в цьому сенсі є епістемологіч. поняттям, що залежить від наших абстракцій. Питання, що вважати "одним і тим же" об'єктом, яке число "різних" індивідуумів в предметної області (яка потужність області індивідуумів), - це в певному сенсі питання про те, як ми застосовуємо наші абстракції і які саме, а також яка об'єктивна область їх застосування. Зокрема, це завжди питання про часовий інтервал абстракції. Ось чому з нашої т. Зр. вказівка \u200b\u200bна інтервал абстракції ототожнення у визначенні Т. слід вважати необхідною умовою осмисленого застосування "п о н я т і я Т.". Поняття "інтервал абстракції ототожнення" є гносеологіч. доповненням до поняття абстракції ототожнення і, в певному сенсі (змістовним), його уточненням. Крім того, вводячи поняття Т. в інтервалі абстракції, ми легко досягаємо необхідної спільності в побудові теорії Т., уникаючи звичайного "множення понять", пов'язаного з розрізненням термінів "тотожний", "подібний", "рівний", "еквівалентний" та ін . у зв'язку з вищесказаним визначення предиката Т. в формулюванні Гільберта - Бернайса, що задається, як відомо, умовами: 1) х \u003d х 2) х \u003d y? (A (x)? А (у)), можна інтерпретувати так, що умова 2) буде висловлювати Т. предметів універсуму в інтервалі абстракції, який визначається безліччю аксіом, що задаються схемою аксіом 2). Що ж стосується умови 1), то, висловлюючи властивість рефлексивності Т., воно в даному разі відповідає принципу індивідуації. По крайней мере, очевидно, що з принципу індивідуації не слід заперечення умови х \u003d х, оскільки між принципом індивідуації і традиц. принципом Т. (абстрактним Т. - lex identitatis), що виражається формулою х \u003d х, є такий певна "зв'язок за змістом": якби індивідуальний предмет універсуму ні тотожний з самим собою, то він не був би самим собою, а був би іншим предметом, що, звичайно, веде до заперечення принципу індивідуації (пор. Енгельс Ф .: "... тотожність з собою вже з самого початку має своїм необхідним доповненням відмінність про т в с ь о г о д р у г о г о" - Маркс К. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва., т. 20, с. 530). Т.ч., принцип індивідуації передбачає затвердження х \u003d х, до-рої є його необхідною умовою - логічної про з зв про в про і поняття індивідуального. Досить констатувати сумісність х \u003d х з принципом індивідуації, щоб, грунтуючись на сумісності 1) і 2), стверджувати сумісність принципу індивідуації з принципом Т. невиразних, а беручи до уваги незалежність 1) і 2), прийти до висновку про незалежність цих же принципів , по крайней мере, в даному випадку. Та обставина, що принцип індивідуації в зазначеному вище сенсі відповідає традиц. закону Т. (див. Тотожності закон), представляє особливий інтерес з т. зр. проблеми "бути реалізованим" абстрактного Т. в природі, а значить. і онтологічен. статусу абстракцій взагалі. Принцип Т. нерозпізнаних в тому його тлумаченні, до-рої дано вище - як принцип Т. в інтервалі абстракції, - висловлює по суті філософську гносеологічну ідею Т., заснованого на понятті практики. Що ж стосується математики, де так чи інакше оперують з предикатом Т., з умовою, що тотожне можна замінювати тотожним (див. Правило заміни рівного рівним), то тут, приймаючи принцип індивідуації, тобто вважаючи, що кожен матем. об'єкт в універсумі міркування індивідуальний, по видимості, легко можна уникнути вирішення гносеологіч. проблеми Т., тому що в пропозиціях матем. теорій матем. об'єкти фігурують не "самі по собі", а через своїх представників - позначають їх символи. Звідси можливість побудов, істотно які ігнорують умова індивідуальності цих об'єктів; Так, відоме побудова взаємно-однозначної відповідності між сукупністю натуральних чисел і її частиною - сукупністю всіх парних чисел (парадокс Галілея) ігнорує єдиність кожного натурального числа, задовольняючись Т. його представників: інакше як можливо вказане побудова? Аналогічних побудов в математиці безліч. Утвердженню "предмет x тотожний предмету y" математик зазвичай приписує наступний сенс: "символи x і у позначають один і той же предмет" або "символ x позначає той же предмет, к-рий позначений символом у". Очевидно, що так розуміється Т. відноситься скоріше до мови відповідних обчислень (взагалі до формалізованого мови) і висловлює, по суті, випадок мовної синонімії, а зовсім не філософський гносеологіч. сенс Т. Однак характерно, що навіть і в цьому випадку не вдається уникнути відносить. ототожнення, заснованого на застосуванні принципу абстракції, оскільки синоніми виникають як результат абстракції ототожнення по позначенню (див. Синоніми в логіці). До того ж при інтерпретації обчислень будь-яка така з е м а н т і ч е с ь к о е визначення Т. як "відносини між виразами мови" необхідно доповнювати роз'ясненням того, чт? в цій семантич. формулюванні Т. означають слова "один і той же предмет". У зв'язку з цим формулювання принципу Т., відома як Лейбніцевскіе-расселовского (див. Рівність в логіці і математиці), навряд чи відповідає філос. т. зр. самого Лейбніца. Відомо, що Лейбніц приймав принцип індивідуації: "Якби два індивіда були абсолютно ... не помітні самі по собі, то ... в цьому випадку не було б індивідуального відмінності або різних індивідів" ( "Нові досліди про людський розум", М .-Л., 1936, с. 202). Відомо також, що будь-який нетривіальне вживання Т., відповідне принципу Т. невиразних, передбачає, що x і у - різні предмети, к-які лише щодо невиразні, невиразні в недо-ром інтервалі абстракції, який визначається або роздільною здатністю наших засобів розрізнення, або прийнятої нами абстракцією ототожнення, або, нарешті, що задається самою природою. Але в формулюванні Рассела наявність неогранич. квантора спільності по предикатной змінної, надаючи визначенням а б с о л ю т н и й характер ( "абсолютність" тут слід розуміти як антипод "відносності" в указ. вище сенсі), нав'язує ідею абс. нерозрізненості x і у, що суперечить принципу індивідуації, хоча з визначення Рассела виведена формула х \u003d х, к-раю, як було зазначено вище, сумісна і з принципом Т. невиразних і з принципом індивідуації. У світлі ідеї Т. в інтервалі абстракції з'ясовується ще одна гносеологіч. роль принципу абстракції: якщо у визначенні Т. предикат (хоча б і довільний) характеризує клас абстракції предмета х, і у - елемент цього класу, то тотожність x і у в силу принципу абстракції не припускає, що x і у повинні бути одним і тим ж предметом в онтологічен. сенсі. З цієї т. Зр., Два предмета універсуму, що належать до одного класу абстракції, розглядаються як "один і той же" предмет не в онтологічному, а в гносеологіч. сенсі: вони тотожні тільки як абстрактні представники одного класу абстракції і тільки в цьому сенсі вони невиразні. У цьому, власне, і полягає діалектика поняття Т., а також відповідь на питання: "Як можуть бути тотожні різні предмети?". Літ .: Жегалкина І. І., арифметизации символічної логіки, "Мат. Зб.", 1929, т. 36, вип. 3-4; Яновська С.?., Про так званих "визначеннях через абстракцію", в кн .: Зб. статей по філософії математики, М., 1936; Лазарєв Ф. В., Сходження від абстрактного до конкретного, в кн .: Зб. робіт аспірантів і студентів філософського факультету МДУ, М., 1962; Вейль Г., Доповнення, в сб .: Прикладна комбінаторна математика, пров. з англ., М., 1968. М. Новосьолов. Москва.

Тлумачний словник російської мови. С. І. Ожегов, Н. Ю. Шведова.

тотожність

А та тожество. -а, порівн.

Повна схожість, збіг. Г. поглядів.

(Тотожність). В математиці: рівність, справедливе при будь-яких числових значеннях вхідних в нього величин. || дод. тотожний, -а, -е і тожественни, -а, -е (до 1 знач.). Тотожні алгебраїчні вирази. ТЕЖ [не змішувати з поєднанням займенника "то" і частки "ж"].

1. нареч. Так само, так само, як і будь-що-н. Ти втомився, я т.

   союз. Те ж, що також. Ти їдеш, а брат? - Т.

частинка. Висловлює недовірливе або негативне, іронічне ставлення (прост.). * Т. розумник знайшовся! Він поет. - Поет т. (Мені)!

Новий толково-словотворчий словник російської мови, Т. Ф. Єфремова.

тотожність

1. Абсолютно збігаються з ким-л., Чем-л. як у своїй суті, так і в зовнішніх ознаках і проявах.

   Точна відповідність чогось л. чогось л.

пор. Рівність, справедливе при всіх числових значеннях вхідних в нього букв (в математиці).

Енциклопедичний словник, 1998 г.

тотожність

відношення між об'єктами (предметами реальності, сприйняття, думки), які розглядаються як "один і той же"; "Граничний" випадок відносини рівності. В математиці тотожність - це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень назв змінних.

тотожність

основне поняття логіки, філософії та математики; використовується в мовах наукової теорій для формулювання визначальних співвідношень, законів і теорем. В математиці Т. ≈ це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень назв змінних. З логічної точки зору, Т. ≈ це предикат, зображуваний формулою х \u003d у (читається: «х тотожно у», «х те ж саме, що і y»), якому відповідає логічна функція, справжня, коли змінні х і у означають різні входження «одного і того ж» предмета, і помилкова в інакше. З філософської (гносеологічної) точки зору, Т. ≈ це відношення, засноване на уявленнях або думках про те, що таке «один і той же» предмет реальності, сприйняття, думки. Логічні та філософські аспекти Т. додатковими: перший дає формальну модель поняття Т., другий ≈ підстави для застосування цієї моделі. Перший аспект включає поняття про «одному і тому ж» предмет, але сенс формальної моделі не залежить від змісту цього поняття: ігноруються процедури ототожнення і залежність результатів ототожнення від умов або способів ототожнення, від явно або неявно прийнятих при цьому абстракцій. У другому (філософському) аспекті розгляду підстави для застосування логічних моделей Т. зв'язуються з тим, як ототожнюються предмети, за якими ознаками, і вже залежать від точки зору, від умов і засобів ототожнення. Розрізнення логічних і філософських аспектів Т. сходить до відомого положення, що судження про тотожність предметів і Т. як поняття ≈ це не одне і те ж (див. Платон, Соч., Т. 2, М., 1970, с. 36) . Істотно, проте, підкреслити незалежність і несуперечливість цих аспектів: поняття Т. вичерпується змістом відповідної йому логічної функції; воно не виводиться з фактичної тотожності предметів, «не розгорнеться» з неї, а є абстракцією, заповнює в «потрібних» умовах досвіду або, в теорії, ≈ шляхом припущень (гіпотез) про фактично допустимих ототожнення; разом з тим, при виконанні підстановлювальний (див. нижче аксіому 4) у відповідному інтервалі абстракції ототожнення, «всередині» цього інтервалу, фактичне Т. предметів в точності збігається з Т. в логічному сенсі. Важливість поняття Т. зумовила потребу в спеціальних теоріях Т. Найпоширеніший спосіб побудови цих теорій ≈ аксіоматичний. Як аксіом можна вказати, наприклад, такі (не обов'язково все):

х \u003d у É у \u003d х,

x \u003d y & y \u003d z É x \u003d z,

А (х) É (х \u003d у É А (у)),

де А (х) ≈ довільний предикат, що містить х вільно і вільний для у, а А (х) і А (у) розрізняються лише входженнями (хоча б одним) змінних х і y.

Аксіома 1 постулює властивість рефлексивності Т. В традиційній логіці вона вважалася єдиним логічним законом Т., до якого в якості «нелогічних постулатів» додавали зазвичай (в арифметиці, алгебрі, геометрії) аксіоми 2 і З. Аксіому 1 можна вважати гносеологічно обгрунтованою, оскільки вона є свого роду логічним виразом індивідуації, на якому, в свою чергу, грунтується «даність» предметів в досвіді, можливість їх впізнавання: щоб говорити про предмет «як даному», необхідно якось виділити його, відрізнити від ін. предметів і надалі не плутати з ними. У цьому сенсі Т., засноване на аксіомі 1, є особливим ставленням «самототожності», яке пов'язує кожен предмет тільки з самим собою ≈ і ні з яким ін. Предметом.

Аксіома 2 постулює властивість симетричності Т. Вона стверджує незалежність результату ототожнення від порядку в парах ототожнюються предметів. Ця аксіома також має відоме виправдання в досвіді. Наприклад, порядок розташування гирь і товару на вагах різний, якщо дивитися зліва направо, для покупця і продавця, звернених обличчям один до одного, але результат ≈ в даному випадку рівновага ≈ один і той же для обох.

Аксіоми 1 і 2 спільно служать абстрактним вираженням Т. як непомітності, теорії, в якій уявлення про «один і той же» предмет грунтується на факти не з спостережливості відмінностей і істотно залежить від критеріїв розрізнення, від засобів (приладів), що відрізняють один предмет від іншого , в кінцевому рахунку ≈ від абстракції непомітності. Оскільки залежність від «порогу розрізнення» на практиці принципово непереборна, уявлення про Т., що задовольняє аксіомам 1 і 2, є єдиним природним результатом, який можна отримати в експерименті.

Аксіома 3 постулює транзитивність Т. Вона стверджує, що суперпозиція Т. також є Т. і є першим нетривіальним твердженням про тотожність предметів. Транзитивність Т. ≈ це або «ідеалізація досвіду» в умовах «спадної точності», або абстракція, що заповнює досвід і «створює» новий, відмінний від непомітності, сенс Т .: непомітність гарантує тільки Т. в інтервалі абстракції непомітності, а ця остання не пов'язана з виконанням аксіоми З. аксіоми 1, 2 і 3 спільно служать абстрактним вираженням теорії Т. як еквівалентності.

Аксіома 4 постулює необхідною умовою для Т. предметів збіг їх ознак. З логічної точки зору, ця аксіома очевидна: «одного й того ж» предмету належать всі його ознаки. Але оскільки уявлення про «один і той же» предмет неминуче грунтується на певного роду припущеннях або абстракціях, ця аксіома не є тривіальною. Її не можна верифікувати «взагалі» ≈ по всіх мислимих ознаками, а тільки в певних фіксованих інтервалах абстракцій ототожнення або нерозрізненості. Саме так вона і використовується на практиці: предмети порівнюються і ототожнюються не по всіх мислимих ознаками, а тільки по деяким ≈ основним (вихідним) ознаками тієї теорії, в якій хочуть мати поняття про «одному і тому ж» предмет, засноване на цих ознаках і на аксіомі 4. у цих випадках схема аксіом 4 замінюється кінцевим списком її аллоформ ≈ конгруентність їй «змістовних» аксіом Т. Наприклад, в аксіоматичної теорії множин Цермело ≈ Френкеля ≈ аксіомами:

4.1 z Î x É (x \u003d y É z Î y),

4.2 x Î z É (x \u003d y É y Î z),

визначальними, за умови, що універсум містить тільки безлічі, інтервал абстракції ототожнення множин по «членства в них» і по їх «власного членства», з обов'язковим додаванням аксіом 1≈3, що визначають Т. як еквівалентність.

Перераховані вище аксіоми 1≈4 відносяться до так званим законам Т. З них, використовуючи правила логіки, можна вивести і багато ін. Закони, невідомі в до математичній логіці. Різниця між логічним і гносеологічним (філософським) аспектами Т. не має значення, якщо мова йде про загальні абстрактних формулюваннях законів Т. Справа, однак, істотно змінюється, коли ці закони використовуються для опису реалій. Визначаючи поняття «один і той же» предмет, аксіоматики Т. необхідно впливають на формування універсуму «всередині» відповідної аксіоматичної теорії.

Літ .: Тарський А., Введення в логіку і методологію дедуктивних наук, пер. з англ., М., 1948; Новоселов М., Тотожність, в кн .: Філософська енциклопедія, т. 5, М., 1970; його ж, Про деякі поняттях теорії відносин, в кн .: Кібернетика і сучасне наукове пізнання, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Рівність, схожість, порядок, М., 1971; Кліні С. К., Математична логіка, пер. з англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, B., 1973.

М. М. Новосьолов.

вікіпедія

Тотожність (математика)

тотожність (В математиці) - рівність, що виконується на всьому безлічі значень назв змінних, наприклад:

a − b = (a + b)(a − b) (a + b) = a + 2ab + b

і т. п. Іноді називають тотожністю також рівність, що не містить ніяких змінних; напр. 25 \u003d 625.

Тотожна рівність, коли його хочуть підкреслити особливо, позначається символом «≡».

тотожність

тотожність, тотожність - багатозначні терміни.

• Тотожність - рівність, що виконується на всьому безлічі значень назв змінних.
• Тотожність - повний збіг властивостей предметів.
• Тотожність у фізиці - характеристика об'єктів, при якій заміна одного з об'єктів іншим не змінює стан системи при збереженні даних умов.
• Закон тотожності - один із законів логіки.
• Принцип тотожності - принцип квантової механіки, згідно з яким стану системи частинок, що виходять один з одного перестановкою тотожних частинок місцями, не можна розрізнити ні в якому експерименті, і такі стани повинні розглядатися як одна фізична стан.
• «Тотожність і дійсність» - книга Е. Мейерсона.

Тотожність (філософія)

тотожність - філософська категорія, що виражає рівність, однаковість предмета, явища з самим собою або рівність декількох предметів. Про предметах А і В кажуть, що вони є тотожними, одними і тими ж, якщо і тільки якщо всі властивості. Це означає, що тотожність нерозривно пов'язане з різницею і є відносним. Будь-яке тотожність речей тимчасово, минуще, а їх розвиток, зміна абсолютно. У точних науках, однак, абстрактне, тобто відволікатися від розвитку речей, тотожність відповідно до закону Лейбніца, використовується тому, що в процесі пізнання можливі і необхідні в певних умов ідеалізація і спрощення дійсності. З подібними обмеженнями формулюється і логічний закон тотожності.

Тотожність слід відрізняти від подібності, подоби і єдності.

Подібними ми називаємо предмети, що володіють одним або кількома загальними властивостями; чим більше у предметів загальних властивостей, Тим ближче їх схожість підходить до тотожності. Два предмета вважаються тотожними, якщо їх якості абсолютно подібні.

Однак, слід пам'ятати, що в світі предметному тотожності бути не може, так як два предмета, хоч би які були вони подібні за якостям, все ж відрізняються числом і займаним ними простором; тільки там, де матеріальна природа підноситься до духовності, з'являється можливість тотожності.

Необхідна умова тотожності - це єдність: де немає єдності, не може бути і тотожності. Матеріальний світ, подільний до нескінченності, єдністю не володіє; єдність з'являється з життям, особливо з духовним життям. Ми говоримо про тотожність організму в тому сенсі, що його єдина життя перебуває, не дивлячись на постійну зміну часток, що утворюють організм; де є життя, там є єдність, але в цьому значенні слова ще немає тотожності, оскільки життя убуває і прибуває, залишаючись незмінною лише в ідеї.

Те ж саме можна сказати і про особистості - вищому прояві життя і свідомості; і в особистості нами лише передбачається тотожність, в дійсності ж його немає, так як саме зміст особистості постійно змінюється. Істинне тотожність можливо тільки в мисленні; правильно утворене поняття має вічну цінність незалежно від умов часу і простору, в яких воно мислиться.

Лейбніц своїм principium indiscernibilium встановив думка, що не можуть існувати дві речі абсолютно схожі в якісному і кількісному відносинах, Оскільки така схожість було б ні чим іншим, як тотожністю.

Філософія тотожності виступає центральною ідеєю в роботах Фрідріха Шеллінга.

Приклади вживання слова тотожність в літературі.

Саме в тому й полягає велика психологічна заслуга як стародавнього, так і середньовічного номіналізму, що він грунтовно розірвав первісне магічне або містичне тотожність слова з об'єктом - занадто ґрунтовно навіть для того типу, основа якого закладена не в тому, щоб міцно триматися за речі, а в тому, щоб абстрагувати ідею і ставити її над речами.

це тотожність суб'єктивності і об'єктивності і становить якраз досягнуту тепер самосвідомістю загальність, що підноситься над обома згаданими сторонами, або особливостями, і розчиняють їх у собі.

На цій стадії співвіднесені один з одним самосознающего суб'єкти піднеслися, отже, через зняття їх неоднаковою особливості одиничності до свідомості їх реальної загальності - всім їм властивою свободи - і тим самим до споглядання певного тотожності їх один з одним.

Півтора століття тому в них здивовано вдивлялася Інта, прапраправнучка жінки, якій поступився місцем в космічному кораблі Сарп, вражений її нез'ясовним тотожністю з Велл.

Але коли виявилося, що перед смертю своєю хороший письменник Каманін читав рукопис саме Красногорова і при цьому того самого, чия кандидатура обговорювалася лютим фізиком Шерстнева за секунду до його, Шерстнева, ПОДІБНОЇ Ж загибелі, - тут, чи знаєш, війнуло на мене вже не простим збігом, тут запахло тотожність!

Заслуга Клоссовскі в тому, що він показав: ці три форми тепер пов'язані навіки, але не завдяки діалектичної трансформації і тотожності протилежностей, а завдяки їх розсіюванню по поверхні речей.

У цих своїх роботах Клоссовскі розвиває теорію знака, сенсу і нонсенсу, а також дає глибоко оригінальну інтерпретацію ідеї вічного повернення Ніцше, понятого як ексцентрична здатність стверджувати розбіжності і диз'юнкції, яка не залишає місця ні тотожності Я ні тотожності світу, ні тотожності Бога.

Як і в будь-якому іншому вигляді ідентифікації людини за ознаками зовнішності, в фотопортретной експертизі ідентифікованим об'єктом у всіх випадках є конкретне фізична особа, тотожність якого встановлюється.

Тепер з учня вийшов учитель, і перш за все як учитель впорався він з великої завданням першої пори свого магістерства, здобувши перемогу в боротьбі за авторитет і повне тотожність людини і посади.

Але в ранній класиці це тотожність мислячого і мислимого трактувалося тільки інтуїтивно і тільки описово.

для Шеллінга тотожність Природи і Духа є натурфилософский принцип, що передує емпіричному пізнанню і детермінують розуміння результатів останнього.

На підставі цього тотожності мінеральних ознак і зроблено висновок, що ця шотландська формація сучасна самим нижнім формаціям Валліса, тому що кількість наявних у наявності палеонтологічних даних занадто незначно, щоб за допомогою його можна було підтвердити або спростувати подібного роду положення.

Тепер вже не першооснова дає місце історичності, але сама тканина історичності виявляє необхідність першооснови, яке було б одночасно і внутрішнім, і стороннім, на зразок якоїсь гіпотетичної вершини конуса, де все відмінності, все розсіювання, все переривчастості стискаються в єдину точку тотожності, В той безтілесний образ Тотожного, здатного, проте, розщепнутися і перетворитися в Інша.

Відомо, що нерідко трапляється, коли об'єкт, що підлягає ототожнення по пам'яті, не володіє достатнім числом помітних ознак, які дозволили б встановити його тотожність.

Ясно, отже, що вечей, або повстань, в Москві на людей, які хотіли втекти від татар, в Ростові на татар, в Костромі, Нижньому, Торжку на бояр, вечей, які скликаються усіма дзвонами, не повинно, по одному тотожності назви, змішувати з вечамі Новгорода та інших старих міст: Смоленська, Києва, Полоцька, Ростова, де жителі, за словами літописця, як на думу, на віча сходилися і, що старші вирішували, на те передмістя погоджувалися.

тотожність

відношення між предметами (реальними або абстрактними), яке дозволяє говорити про них як про не відрізняються один від одного, в якийсь сукупності характеристик (напр., властивостей). Насправді всі предмети (речі) зазвичай відрізняються нами один від одного по якимось характеристикам. Це не виключає того обставини, що у них є і загальні характеристики. У процесі пізнання ми ототожнюємо окремі речі в їх загальних характеристиках, об'єднуємо їх в безлічі по цим характеристикам, утворюємо поняття про них на основі абстракції ототожнення (див .: Абстракція). Предмети, що об'єднуються в безлічі по деяким загальним для них властивостями, перестають відрізнятися між собою, оскільки в процесі такого об'єднання ми відволікаємося від їх відмінностей. Іншими словами, вони стають невиразними, тотожними в цих властивостях. Якби все характеристики двох об'єктів а й b виявилися тотожними, об'єкти перетворилися б у один і той же предмет. Але цього не відбувається, т. К. В процесі пізнання ми ототожнюємо відмінні один від одного предмети не за всіма параметрами, а лише за деякими. Без встановлення тотожностей і відмінностей між предметами неможливо ніяке пізнання навколишнього нас світу, ніяка орієнтування в навколишньому середовищі.

Вперше в самій загальній і ідеалізованої формулюванні поняття Т. двох предметів дав Г. В. Лейбніц. Закон Лейбніца можна сформулювати так: "х \u003d у, якщо і тільки якщо х володіє кожним властивістю, яким володіє у, а у володіє кожним властивістю, яким володіє х". Іншими словами, предмет х може бути ототожнений з предметом у, коли абсолютно всі їхні властивості є одними і тими ж. Поняття Т. широко використовується в різних науках: в математиці, логіці і природознавстві. Однак у всіх випадках

його застосування тотожність предметів, що вивчаються визначають не по абсолютно всім загальними характеристиками, А лише за деякими, що пов'язано з цілями їх вивчення, з тим контекстом наукової теорії, в межах якої вивчаються ці предмети.

Словник по логіці. - М .: тумані, вид. центр ВЛАДОС. А.А.Івін, А.Л.Нікіфоров. 1997 .

Синоніми:

Дивитися що таке "тотожність" в інших словниках:

тотожність - Тотожність ♦ Identité Збіг, властивість бути таким же. Таким же, як що? Таким же, як таке ж, інакше це буде вже не тотожність. Таким чином, тотожність є в першу чергу ставлення себе до себе (моє тотожність це і є я сам) або ... Філософський словник Спонвіль

Поняття, що виражає граничний випадок рівності об'єктів, коли не тільки всі родовидові, але і всі індивідуальні їх властивості збігаються. Збіг родовідових властивостей (схожість), взагалі кажучи, не обмежує числа прирівнюваних ... ... філософська енциклопедія

Див ... Словник синонімів

Відношення між об'єктами (предметами реальності, сприйняття, думки), які розглядаються як один і той же; граничний випадок відносини рівності. В математиці тотожність це рівняння, яке задовольняється тотожно, т. Е. Справедливо для ... ... Великий Енциклопедичний словник

ТОТОЖНІСТЬ, а й тотожність, а, пор. 1. Повне схожість, збіг. Т. поглядів. 2. (тотожність). В математиці: рівність, справедливе при будь-яких числових значеннях вхідних в нього величин. | дод. тотожний, а, е і тожественни, а, е (до 1 ... ... Тлумачний словник Ожегова

тотожність - ТОТОЖНІСТЬ поняття, зазвичай представлене в природній мові або в формі «я (є) те ж, що і Ь, або« а тотожно Ь », що може бути символізувати як« а \u003d Ь »(таке твердження зазвичай називають абсолютним Т.) , або у формі ... ... Енциклопедія епістемології і філософії науки

тотожність - (неправильно тотожність) і застаріле тожество (зберігається в мові математиків, фізиків) ... Словник труднощів вимови і наголоси в сучасній російській мові

І ВІДМІННІСТЬ дві взаємозалежні категорії філософії і логіки. При визначенні понять Т. і Р. використовують два фундаментальних принципи: принцип індивідуації і принцип Т. невиразних. Відповідно до принципу індивідуації, який був змістовно розвинений ... Історія Філософії: Енциклопедія

Англ. identity; ньому. Identitat. 1. У математиці рівняння, справедливе при всіх допустимих значеннях аргументів. 2. Граничний випадок рівності об'єктів, коли не тільки всі родові, а й всі індивідуальні їх властивості збігаються. Antinazi. ... ... Енциклопедія соціології

- (позначення ≡) (identity, symbol ≡) Рівняння, що є істинним при будь-яких значеннях вхідних в нього змінних. Так, z ≡ х + y означає, що z завжди сума х і y. Багато економістів часом не послідовні і використовують звичайний знак навіть тоді ... економічний словник

тотожність - ідентичність ідентифікація особистості ID - [] Тематики захист інформації Синоніми ідентічностьідентіфікація лічностіID EN identityID ... Довідник технічного перекладача

книги

• Комплект таблиць. Геометрія. 9 клас. 13 таблиць + методика,. Таблиці віддруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціями для вчителя. Навчальний альбом з 13 аркушів. Координати ...
• Різниця і тотожність в грецькій та середньовічної онтології, Р. А. Лошаков. У монографії досліджуються основні питання грецької (арістотелівської) і середньовічної онтології в світлі розуміння буття як Відмінності. Тим самим демонструється похідний, вторинний, ...

Доказ тотожності. У математиці існує безліч понять. Одне з них тотожність.

• Тотожністю називають рівність, яке виконується при всіх значеннях змінних, які в нього входять.

Деякі тотожності ми вже знаємо. Наприклад, всі формули скороченого множення є тотожністю.

довести тотожність - це значить встановити, що для будь-якого допустимого значення змінні його ліва частина дорівнює правій частині.

В алгебрі існує кілька різних способів докази тотожностей.

Способи докази тотожностей

• лівій частині тотожності. Якщо в результаті отримаємо праву частину, тоді тотожність вважається доведеним.
• Виконати рівносильні перетворення правій частині тотожності. Якщо в результаті отримаємо ліву частину, тоді тотожність вважається доведеним.
• Виконати рівносильні перетворення лівої і правої частини тотожності. Якщо в результаті отримаємо однаковий результат, тоді тотожність вважається доведеним.
• З правої частини тотожності віднімаємо ліву частину.
• З лівої частини тотожності віднімають праву частину. Виробляємо над різницею рівносильні перетворення. І якщо в результаті отримуємо нуль, то тотожність вважається доведеним.

Слід так само пам'ятати, що тотожність справедливо лише для допустимих значень змінних.

Як бачите способів досить багато. Який спосіб вибрати в даному конкретному випадку, залежить від тотожності, яке вам необхідно довести. У міру того, як ви будете доводити різні тотожності, прийде і досвід у виборі способу докази.

Розглянемо кілька простих прикладів

Приклад 1.

Доведіть тотожність x * (a + b) + a * (b-x) \u003d b * (a + x).

Рішення.

Так як в правій частині невелике вираз, спробуємо перетворити ліву частину рівності.

• x * (a + b) + a * (b-x) \u003d x * a + x * b + a * b - a * x.

Наведемо подібні доданки і винесемо загальний множник за дужку.

• x * a + x * b + a * b - a * x \u003d x * b + a * b \u003d b * (a + x).

Отримали що ліва частина після перетворень, стала такою ж як і права частина. Отже, дане рівність є тотожністю.

Приклад 2.

Доведіть тотожність a ^ 2 + 7 * a + 10 \u003d (a + 5) * (a + 2).

Рішення.

В даному прикладі можна поступити наступним способом. Розкриємо дужки в правій частині рівності.

• (A + 5) * (a + 2) \u003d (a ^ 2) + 5 * a + 2 * a + 10 \u003d a ^ 2 + 7 * a + 10.

Бачимо, що після перетворень, права частина рівності стала такою ж як і ліва частина рівності. Отже, дане рівність є тотожністю.