Точка лагранжа l1 системи земля сонце. Крапки Лагранжа

> Крапки Лагранжа

Як виглядають і де шукати точки Лагранжау космосі: історія виявлення, система Земля та Місяць, 5 L-точок системи двох масивних тіл, вплив гравітації.

Будемо відвертими: ми застрягли на Землі. Варто подякувати гравітації за те, що нас не викинуло в космічний простір і ми можемо ходити поверхнею. Але щоб вирватися, доводиться прикладати величезну кількість енергії.

Однак у Всесвіті є певні регіони, де розумна система збалансувала гравітаційний вплив. При правильному підході це можна використовуватиме більш продуктивного і швидкого освоєння простору.

Ці місця називають точками Лагранжа(L-крапки). Найменування отримали від Жозефа Луї Лагранжа, який описав їх у 1772 році. Фактично йому вдалося розширити математику Леонарда Ейлера. Вчений першим відкрив три такі точки, а Лагранж заявив про наступні дві.

Крапки Лагранжа: Про що йдеться?

Коли ви маєте два масивні об'єкти (наприклад, Сонце і Земля), їх гравітаційний контакт чудово збалансований у конкретних 5 ділянках. У кожному з них можна розташувати супутник, який утримуватиметься на місці за мінімальних зусиль.

Найбільш примітна перша точка Лагранжа L1, збалансована між гравітаційним тяжінням двох об'єктів. Наприклад, можна встановити супутник над поверхнею Місяця. Земний тягар вштовхує його в Місяць, але сила супутника також чинить опір. Тож апарату не доведеться витрачати багато палива. Важливо розуміти, що ця точка є між усіма об'єктами.

L2 знаходиться на одній лінії з масою, але з іншого боку. Чому ж об'єднана гравітація не притягує супутника до Землі? Вся справа в орбітальних траєкторіях. Супутник у точці L2 розташується більш високої орбіті і відстає від Землі, оскільки переміщається навколо зірки повільніше. Але земна гравітація підштовхує його і допомагає закріпитися дома.

L3 шукати потрібно на протилежному боці системи. Гравітація між об'єктами стабілізується і апарат легко маневрує. Такий супутник завжди закривався б Сонцем. Три описані точки не вважаються стійкими, тому будь-який супутник рано чи пізно відхилиться. Тож без робочих двигунів там робити нічого.

Є також L4 та L5, розташовані спереду та ззаду нижнього об'єкта. Між масами створюється рівносторонній трикутник, однією зі сторін якого буде L4. Якщо перевернете ногами вгору, то отримаєте L5.

Останні дві точки вважають за стабільні. Це підтверджують знайдені астероїди на великих планетах, як Юпітер. Це троянці, які потрапили в гравітаційну пастку між гравітаціями Сонця та Юпітера.

Як використати такі місця? Важливо розуміти, що є безліч різновидів космічного освоєння. Наприклад, у точках Земля-Сонце та Земля-Луна вже розташовані супутники.

Сонце-земля L1 – чудове місце для проживання сонячного телескопа. Апарат максимально підійшов до зірки, але не втрачає зв'язку з рідною планетою.

У точці L2 планують розмістити майбутній телескоп Джеймса Вебба (1,5 мільйона км від нас).

Земля-Місяць L1 – відмінна точка для місячної станції з дозаправки, яка дозволяє економити на доставці палива.

Найбільш фантастичною ідеєю буде бажання поставити в L4 та L5 космічну станцію Острів III, бо там вона була б абсолютно стабільною.

Давайте все ж подякуємо гравітації та її дивовижній взаємодії з іншими об'єктами. Адже це дозволяє розширити способи освоєння простору.

У системі обертання двох космічних тіл певної маси існують точки в просторі, помістивши в які об'єкт невеликої маси, можна зафіксувати його в стаціонарному положенні щодо цих двох тіл обертання. Ці точки одержали назву точок Лагранжа. У статті йтиметься про те, як вони використовуються людиною.

Що є точки Лагранжа?

Для розуміння цього питання слід звернутися до вирішення проблеми трьох тіл, що обертаються, два з яких мають таку масу, що маса третього тіла зневажливо мала в порівнянні з ними. У такому випадку можна знайти положення в просторі, в яких гравітаційні поля обох масивних тіл компенсуватимуть відцентрову силу всієї системи, що обертається. Ці положення будуть точками Лагранжа. Помістивши в них тіло малої маси, можна спостерігати, як його відстані до кожного з двох масивних тіл не змінюються скільки завгодно довго. Тут можна навести аналогію з геостаціонарною орбітою, перебуваючи на якій супутник завжди розташований над однією точкою земної поверхні.

Необхідно пояснити, що тіло, яке знаходиться в точці Лагранжа (її також називають вільною точкою або точкою L), щодо зовнішнього спостерігача здійснює рух навколо кожного з двох тіл з великою масою, але цей рух у сукупності з рухом двох тіл системи, що залишилися, має такий характер , Що щодо кожного їх третє тіло перебуває у спокої.

Скільки цих точок та де вони знаходяться?

Для системи двох тіл, що обертаються, з абсолютно будь-якою масою існує всього п'ять точок L, які прийнято позначати L1, L2, L3, L4 і L5. Всі ці точки розташовані в площині обертання тіл, що розглядаються. Перші три точки знаходяться на лінії, що з'єднує центри мас двох тіл таким чином, що L1 розташована між тілами, а L2 і L3 за кожним тілом. Точки L4 і L5 розташовані так, що якщо з'єднати кожну з них із центрами мас двох тіл системи, то вийдуть два однакові трикутники у просторі. Нижче на малюнку показані всі точки Лагранжа Земля-Сонце.

Сині та червоні стрілки на малюнку показують напрямок дії результуючої сили при наближенні до відповідної вільної точки. З малюнка можна бачити, що області точок L4 та L5 є набагато більшими, ніж зони точок L1, L2 та L3.

Історична довідка

Вперше існування вільних точок у системі трьох тіл, що обертаються, довів італійсько-французький математик у 1772 році. Для цього вченому довелося запровадити деякі гіпотези та розробити власну механіку, відмінну від механіки Ньютона.

Лагранж обчислив точки L, названі на честь його імені, для ідеальних кругових орбіт обертання. Насправді ж орбіти є еліптичними. Останній факт призводить до того, що вже не існують точки Лагранжа, а існують області, в яких третє тіло малої маси здійснює круговий рух подібно до руху кожного з двох масивних тіл.

Вільна точка L1

Існування точки Лагранжа L1 легко довести, застосовуючи такі міркування: візьмемо для прикладу Сонце і Землю, згідно з третім законом Кеплера, чим ближче тіло знаходиться до своєї зірки, тим коротше його період обертання навколо цієї зірки (квадрат періоду обертання тіла прямо пропорційний кубу середньої відстані від тіла до зірки). Це означає, що будь-яке тіло, яке розташоване між Землею та Сонцем, обертатиметься навколо зірки швидше, ніж наша планета.

Однак не враховує впливу гравітації другого тіла, тобто Землі. Якщо взяти до уваги цей факт, то можна припустити, що чим ближче до Землі знаходиться третє тіло малої маси, тим сильнішою буде протидія земної сонячної гравітації. У результаті знайдеться така точка, де земна гравітація уповільнить швидкість обертання третього тіла навколо Сонця таким чином, що періоди обертання планети та тіла зрівняються. Це і буде вільна точка L1. Відстань до точки Лагранжа L1 від Землі дорівнює 1/100 від радіусу орбіти планети навколо зірки і становить 1,5 млн. км.

Як використовують область L1? Це ідеальне місце, де можна спостерігати за сонячною радіацією, оскільки тут ніколи не буває сонячних затемнень. В даний час в області L1 розташовані кілька супутників, які займаються вивченням сонячного вітру. Одним із них є європейський штучний супутник SOHO.

Що стосується цієї точки Лагранжа Земля-Луна, то вона знаходиться приблизно в 60 000 км від Місяця, і використовується як "перевалочний" пункт під час місій космічних кораблів і супутників на Місяць і назад.

Вільна точка L2

Розмірковуючи аналогічно до попереднього випадку, можна зробити висновок, що в системі двох тіл обертання за межами орбіти тіла з меншою масою повинна існувати область, де падіння відцентрової сили компенсується гравітацією цього тіла, що призводить до вирівнювання періодів обертання тіла з меншою масою і третього тіла навколо тіла з більшою масою. Ця область є вільною точкою L2.

Якщо розглядати систему Сонце-Земля, то до цієї точки Лагранжа відстань від планети буде така сама, як і до точки L1, тобто 1,5 млн км, тільки розташована L2 за Землею і далі від Сонця. Оскільки в області L2 відсутній вплив сонячної радіації завдяки земному захисту, то її використовують для спостережень за Всесвітом, маючи тут різні супутники та телескопи.

У системі Земля-Місяць точка L2 розташована за природним супутником Землі на відстані від нього в 60 000 км. У місячній L2 знаходяться супутники, які використовуються для спостережень за зворотним боком Місяця.

Вільні точки L3, L4 та L5

Точка L3 у системі Сонце-Земля перебуває за зіркою, тому із Землі її не можна спостерігати. Крапка не використовується ніяк, оскільки вона є нестабільною через вплив гравітації інших планет, наприклад, Венери.

Точки L4 і L5 є найстабільнішими областями Лагранжа, тому майже біля кожної планети в них знаходяться астероїди або космічний пил. Наприклад, у цих точках Лагранжа Місяця існує лише космічний пил, а в L4 та L5 Юпітера розташовані троянські астероїди.

Інші застосування вільних точок

Крім встановлення супутників та спостереження за космосом, точки Лагранжа Землі та інших планет можна використовувати і для космічних подорожей. З теорії випливає, що переміщення через точки Лагранжа різних планет є енергетично вигідними та потребують невеликих витрат енергій.

Ще одним цікавим прикладом використання точки L1 Землі став фізичний проект одного українського школяра. Він запропонував розташувати в цій області хмару астероїдного пилу, яка захищатиме Землю від згубного сонячного вітру. Таким чином, точку можна використовувати для впливу на клімат усієї блакитної планети.

Яку б мету ви перед собою не ставили, хоч би яку місію не планували — однією з найбільших перешкод на вашому шляху в космосі буде паливо. Очевидно, що якась його кількість потрібна вже для того, щоб покинути Землю. Чим більше вантажу потрібно вивести за межі атмосфери, тим більше потрібно пального. Але через це ракета стає ще важчою, і все це перетворюється на замкнене коло. Саме це заважає нам відправляти кілька міжпланетних станцій на різні адреси на одній ракеті — на ній просто не вистачить місця для палива. Однак ще в 80-х роках минулого століття вчені знайшли лазівку - спосіб подорожувати Сонячною системою, майже не використовуючи пальне. Він називається "Міжпланетна транспортна мережа".

Нинішні методи космічних польотів

Сьогодні переміщення між об'єктами Сонячної системи, наприклад, подорож із Землі на Марс, зазвичай вимагає так званого перельоту еліпсом Гомана. Носій запускається, а потім прискорюється доти, доки не виявляється далі за орбіту Марса. Біля червоної планети ракета пригальмовує та починає обертатися навколо мети свого призначення. І для прискорення, і для гальмування вона спалює багато палива, але при цьому еліпс Гомана залишається одним із найефективніших способів переміщення між двома об'єктами у космосі.

Еліпс Гомана-Дуга I - переліт із Землі на Венеру. Дуга II-переліт з Венери на Марс Дуга III-повернення з Марса на Землю.

Використовуються також і гравітаційні маневри, які можуть бути ефективнішими. Здійснюючи їх, космічний корабель прискорюється, використовуючи силу тяжіння великого небесного тіла. Надбавка у швидкості виходить дуже значною майже без використання пального. Ми застосовуємо ці маневри щоразу, коли відправляємо свої станції в далеку дорогу від Землі. Однак, якщо кораблю після гравітаційного маневру потрібно вийти на орбіту якоїсь планети, йому все одно доводиться сповільнюватися. Ви, звичайно, пам'ятаєте, що це потребує палива.

Саме тому наприкінці минулого століття деякі вчені вирішили підійти до вирішення проблеми з іншого боку. Вони поставилися до гравітації не як до пращі, бо як до географічного ландшафту, і сформулювали ідею міжпланетної транспортної мережі. Вхідними та вихідними трамплінами до неї стали точки Лагранжа — п'ять районів поруч із небесними тілами, де гравітація та сили обертання приходять до рівноваги. Вони існують у будь-якій системі, в якій одне тіло крутиться навколо іншого, і без претензій на оригінальність пронумеровано від L1 до L5.

Якщо ми помістимо космічний корабель у точку Лагранжа, він висітиме там нескінченно, оскільки гравітація не тягне його в один бік сильніше, ніж у якийсь інший. Проте чи всі ці точки, фігурально висловлюючись, створені рівними. Деякі з них стабільні - якщо ви, перебуваючи всередині, зрушите трохи в бік, гравітація поверне вас на місце - як м'яч на дні гірської долини. Інші точки Лагранжа нестабільні - варто трохи переміститися, і вас почне нести звідти. Об'єкти, що знаходяться тут, нагадують м'яч на вершині пагорба - він триматиметься там, якщо добре встановлений або якщо його там притримують, але навіть легкого вітерця вистачає, щоб він, набираючи швидкість, покотився вниз.

Пагорби та долини космічного ландшафту

Космічні кораблі, що літають за Сонячною системою, враховують усі ці «пагорби» та «долини» під час польоту та на стадії прокладки маршруту. Однак міжпланетна транспортна мережа змушує їх працювати на благо суспільства. Як ви вже знаєте, кожна стабільна орбіта має п'ять точок Лагранжа. Це і система Земля-Місяць, і система Сонце-Земля, і системи всіх супутників Сатурна з самим Сатурном… Можете продовжити самі, зрештою, у Сонячній системі багато чого обертається навколо чогось.

Крапки Лагранжа скрізь і всюди, хоч вони і постійно змінюють своє конкретне розташування в просторі. Вони завжди йдуть по орбіті за меншим об'єктом системи обертання, і це створює ландшафт гравітаційних пагорбів і долин, що постійно змінюється. Іншими словами, розподіл гравітаційних сил у Сонячній системі згодом змінюється. Іноді тяжіння в тих чи інших просторових координатах спрямоване у бік Сонця, в інший момент часу — у бік будь-якої планети, а буває й так, що по них проходить точка Лагранжа, і в цьому місці панує рівновага, коли ніхто нікого нікуди не тягне. .

Метафора з пагорбами та долинами допомагає нам краще уявити цю абстрактну ідею, тому ми ще кілька разів скористаємося нею. Іноді в космосі відбувається так, що один пагорб проходить поряд з іншим пагорбом або іншою долиною. Вони можуть навіть накладатися один на одного. І ось у цей момент космічні переміщення стають особливо ефективними. Наприклад, якщо ваш гравітаційний пагорб накладається на долину, ви можете «скататися» до неї. Якщо на пагорб накладається інший пагорб, ви можете перескочити з вершини на вершину.

Як використовувати міжпланетну транспортну мережу?

Коли точки Лагранжа різних орбіт наближаються одна до одної, не потрібно майже жодних зусиль, щоб переміститися з однієї в іншу. Це означає, що якщо ви нікуди не поспішайте і готові зачекати на їх зближення, то зможете перестрибувати з орбіти на орбіту, наприклад, маршрутом Земля-Марс-Юпітер і далі, майже не витрачаючи палива. Легко зрозуміти, що саме цю ідею використовує міжпланетна транспортна мережа. Мережа точок Лагранжа, що постійно змінюється, схожа на звивисту дорогу, що дозволяє переміщатися між орбітами з мізерною витратою пального.

У науковому середовищі ці переміщення з точки в точку називаються низьковитратними перехідними траєкторіями, і вони вже були кілька разів використані на практиці. Одним із найвідоміших прикладів є відчайдушна, але успішна спроба порятунку японської місячної станції у 1991 році, коли космічний апарат мав надто мало палива, щоб завершити свою місію традиційним способом. На жаль, ми не можемо використовувати цей прийом на регулярній основі, оскільки сприятливого поєднання точок Лагранжа можна чекати десятиліттями, століттями і навіть довше.

Але, якщо час не квапить, ми можемо дозволити собі відправити в космос зонд, який спокійно чекатиме потрібних поєднань, а решту часу збирати інформацію. Дочекавшись, він перескакуватиме на іншу орбіту, і здійснюватиме спостереження, перебуваючи вже на ній. Цей зонд зможе подорожувати Сонячною системою необмежену кількість часу, реєструючи все, що відбувається поблизу нього, і поповнюючи науковий багаж людської цивілізації. Зрозуміло, що це принципово відрізнятиметься від того, як ми досліджуємо космос зараз, але цей спосіб виглядає перспективно навіть для майбутніх довготривалих місій.

Точки Лагранжа - це області в системі двох космічних тіл з великою масою, в яких третє тіло з невеликою масою може бути нерухомим протягом тривалого часу щодо цих тіл.

В астрономічній науці точки Лагранжа називають ще точками лібрації (лібрація від латів. librātiō - розгойдування) або L-точками. Вперше вони були виявлені в 1772 відомим французьким математиком Жозефом Луї Лагранжем.

Крапки Лагранжа найчастіше згадуються при вирішенні обмеженого завдання трьох тіл. У цій задачі три тіла мають кругові орбіти, але маса одного з них менша за масу будь-якого з двох інших об'єктів. Два великі тіла у цій системі звертаються навколо загального центру мас, маючи постійну кутову швидкість. В області навколо цих тіл знаходиться п'ять точок, в яких тіло, маса якого менша за масу будь-якого з двох великих об'єктів, може залишатися нерухомим. Це відбувається за рахунок того, що сили гравітації, що діють на це тіло, компенсуються відцентровими силами. Ці п'ять точок і називаються точками Лагранжа.

Крапки Лагранжа лежать у площині орбіт масивних тіл. У сучасній астрономії вони позначаються латинською літерою "L". Також залежно від свого розташування кожна з п'яти точок має свій порядковий номер, який позначається числовим індексом від 1 до 5. Перші три точки Лагранжа називають колінеарними, решта дві - троянськими або трикутними.

Розташування найближчих точок Лагранжа та приклади точок

Незалежно від типу масивних небесних тіл, точки Лагранжа завжди матимуть однакове місце розташування у просторі між ними. Перша точка Лагранжа знаходиться між двома масивними об'єктами, ближче до того, що має меншу масу. Друга точка Лагранжа знаходиться за менш потужним тілом. Третя точка Лагранжа знаходиться на значній відстані за тілом, що має більшу масу. Точне місце розташування цих трьох точок розраховується за допомогою спеціальних математичних формул індивідуально для кожної подвійної космічної системи, враховуючи її фізичні характеристики.

Якщо говорити про найближчі до нас точки Лагранжа, то перша точка Лагранжа в системі Сонце-Земля перебуватиме на відстані півтора мільйона кілометрів від нашої планети. У цій точці тяжіння Сонця буде на два відсотки сильніше, ніж на орбіті нашої планети, тоді як зменшення необхідної доцентрової сили буде вдвічі менше. Обидва ці ефекти у цій точці будуть врівноважені гравітаційним тяжінням Землі.

Перша точка Лагранжа в системі Земля-Сонце є зручним наглядовим пунктом за головною зіркою нашої планетарної системи – Сонцем. Саме тут вчені-астрономи прагнуть розмістити космічні обсерваторії для спостереження цієї зіркою. Так, наприклад, в 1978 поблизу цієї точки розташувався космічний апарат ISEE-3, призначений для спостереження за Сонцем. У наступні роки в район цієї точки були запущені космічні апарати, DSCOVR, WIND та ACE.

Друга та третя точки Лагранжа

Гайя, телескоп, що розташувався у другій точці Лагранжа

Друга точка Лагранжа знаходиться в подвійній системі масивних об'єктів за тілом, що має меншу масу. Застосування цієї точки в астрономічній науці зводиться до розміщення в її районі космічних обсерваторій і телескопів. На даний момент у цій точці знаходяться такі космічні апарати, як "Гершель", "Планк", WMAP та . У 2018 році туди має вирушити ще один космічний апарат – «Джемс Вебб».

Третя точка Лагранжа знаходиться у подвійній системі на значній відстані за масивнішим об'єктом. Якщо говорити про систему Сонце-Земля, то така точка перебуватиме за Сонцем, на відстані трохи більшій, ніж на якій знаходиться орбіта нашої планети. Пов'язано це з тим, що, незважаючи на свої малі розміри, Земля все ж таки надає незначний гравітаційний вплив на Сонце. Супутники, які розміщені в цій галузі космосу, можуть передавати на Землю точну інформацію про Сонце, появу нових «плям» на зірці, а також передавати дані про космічну погоду.

Четверта та п'ята точки Лагранжа

Четверта та п'ята точки Лагранжа називаються трикутними. Якщо в системі, що складається з двох масивних космічних об'єктів, що обертаються навколо загального центру мас, на основі лінії, що з'єднує ці об'єкти, подумки накреслити два рівносторонні трикутники, вершини якого відповідатимуть положенню двох масивних тіл, то четверта і п'ята точки Лагранжа будуть знаходитися в місці. третіх вершин цих трикутників. Тобто, вони будуть у площині орбіти другого масивного об'єкта в 60 градусах позаду та попереду нього.

Трикутні точки Лагранжа також називають ще й "троянськими". Друга назва точок походить від троянських астероїдів Юпітера, які є найяскравішим наочним проявом четвертої та п'ятої точок Лагранжа у нашій Сонячній системі.

Наразі четверта та п'ята точки Лагранжа в подвійній системі Сонце-Земля ніяк не використовуються. У 2010 році у четвертій точці Лагранжа цієї системи вчені виявили досить великий астероїд. У п'ятій точці Лагранжа на даному етапі жодних великих космічних об'єктів не спостерігається, проте останні дані говорять нам про те, що там знаходиться велике скупчення міжпланетного пилу.

1. У 2009 році два космічні апарати STEREO пролетіли через четверту та п'яту точки Лагранжа.
2. Крапки Лагранжа часто використовують у науково-фантастичних творах. Часто в цих областях простору, навколо подвійних систем, письменники-фантасти розміщують свої вигадані космічні станції, сміттєзвалища, астероїди і навіть інші планети.
3. У 2018 році у другій точці Лагранжа у подвійній системі Сонце-Земля вчені планують розмістити космічний телескоп «Джеймс Вебб». Цей телескоп повинен замінити космічний телескоп « », який знаходиться в цій точці. 2024 року вчені планують помістити в цій точці ще один телескоп «PLATO».
4. Перша точка Лагранжа в системі Місяць-Земля могла б стати чудовим місцем для розміщення пілотованої орбітальної станції, яка могла б значно зменшити витрати ресурсів, необхідних для того, щоб дістатися Землі на Місяць.
5. Два космічні телескопи «Планк» і « », які були запущені в космос у 2009 році, наразі перебувають у другій точці Лагранжа в системі Сонце-Земля.

З боку двох перших тіл може залишатися нерухомим щодо цих тіл.

Більш точно точки Лагранжа є окремим випадком при вирішенні так званої обмеженого завдання трьох тіл- коли орбіти всіх тіл є круговими і маса одного з них набагато менша за масу будь-якого з двох інших. У цьому випадку можна вважати, що два масивні тіла обертаються навколо їхнього загального центру мас з постійною кутовою швидкістю . У просторі навколо них існують п'ять точок, у яких третє тіло з малою масою, що знехтує, може залишатися нерухомим у обертовій системі відліку, пов'язаної з масивними тілами. У цих точках гравітаційні сили, що діють на мале тіло, врівноважуються відцентровою силою.

Крапки Лагранжа отримали свою назву на честь математика Жозефа Луї Лагранжа, який першим в 1772 привів рішення математичного завдання, з якого випливало існування цих особливих точок.

Всі точки Лагранжа лежать у площині орбіт масивних тіл і позначаються великою латинською літерою L з числовим індексом від 1 до 5. Перші три точки розташовані на лінії, що проходить через обидва масивні тіла. Ці точки Лагранжа називаються колінеарнимиі позначаються L 1 L 2 і L 3 . Точки L 4 і L 5 називаються трикутними чи троянськими. Точки L 1 , L 2 , L 3 є точками нестійкої рівноваги, в точках L 4 і L 5 стійка рівновага.

L 1 знаходиться між двома тілами системи, ближче до менш потужного тіла; L 2 - зовні, менш масивним тілом; і L 3 - за більш потужним. У системі координат з початком відліку в центрі мас системи та з віссю, спрямованої від центру мас до менш масивного тіла, координати цих точок у першому наближенні α розраховуються за допомогою наступних формул :

Крапка L 1лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2), і знаходиться між ними, поблизу другого тіла. Її наявність обумовлена ​​тим, що гравітація тіла M2 частково компенсує гравітацію тіла M1. При цьому чим більше M 2 тим далі від нього буде розташовуватися ця точка.

Місячна точка L 1(в системі Земля - ​​Місяць; віддалена від центру Землі приблизно на 315 тис.км) може стати ідеальним місцем для будівництва космічної пілотованої орбітальної станції, яка, розташовуючись на шляху між Землею та Місяцем, дозволила б легко дістатися до Місяця з мінімальними витратами палива та стати ключовим вузлом вантажного потоку між Землею та її супутником.

Крапка L 2лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2), і знаходиться за тілом із меншою масою. Крапки L 1і L 2розташовуються на одній лінії і в межі M 1 M 2 симетричні відносно M 2 . У точці L 2гравітаційні сили, що діють на тіло, компенсують дію відцентрових сил у системі відліку, що обертається.

Крапка L 2в системі Сонце – Земля є ідеальним місцем для будівництва орбітальних космічних обсерваторій та телескопів. Оскільки об'єкт у точці L 2здатний тривалий час зберігати свою орієнтацію щодо Сонця та Землі, проводити його екранування та калібрування стає набагато простіше. Однак ця точка розташована трохи далі за земну тінь (в області півтіні) [прим. 1], так що сонячна радіація блокується не повністю. На гало-орбітах навколо цієї точки на даний момент (2020) знаходяться апарати Gaia і Спектр-РГ. Раніше там діяли такі телескопи як «Планк» та «Гершель», надалі туди планується направити ще кілька телескопів, включаючи Джеймс Вебб (2021 року).

Крапка L 2в системі Земля-Місяць може бути використана для забезпечення супутникового зв'язку з об'єктами на звороті Місяця, а також бути зручним місцем для розміщення заправної станції для забезпечення вантажопотоку між Землею та Місяцем

Якщо M 2 багато менше за масою, ніж M 1 то точки L 1і L 2знаходяться на приблизно однаковій відстані rвід тіла M 2 , що дорівнює радіусу сфери Хілла :

Крапка L 3лежить на прямій, що з'єднує два тіла з масами M 1 і M 2 (M 1 > M 2 ), і знаходиться за тілом з більшою масою. Так само, як для точки L 2У цій точці гравітаційні сили компенсують дію відцентрових сил.

До початку космічної ери серед письменників-фантастів була дуже популярна ідея про існування на протилежному боці земної орбіти у точці L 3іншої аналогічної їй планети, званої «Противоземлею», яка через своє розташування була недоступна для прямих спостережень. Однак насправді через гравітаційний вплив інших планет точка L 3в системі Сонце – Земля є вкрай нестійкою. Так, під час геліоцентричних сполук Землі та Венери по різні сторони Сонця, які трапляються кожні 20 місяців, Венера знаходиться всього в 0,3 а.від крапки L 3і таким чином дуже серйозно впливає на її розташування щодо земної орбіти. Крім того, через незбалансованість [ прояснити] центру тяжкості системи Сонце - Юпітер щодо Землі та еліптичності земної орбіти, так звана «Протиземля» все одно час від часу була б доступна для спостережень і обов'язково була б помічена. Ще одним ефектом, що видає її існування, була її власна гравітація: вплив тіла розміром вже близько 150 км і більше на орбіти інших планет було б помітно. З появою можливості проводити спостереження за допомогою космічних апаратів та зондів було достовірно показано, що у цій точці немає об'єктів розміром понад 100 м .

Орбітальні космічні апарати та супутники, розташовані поблизу точки L 3можуть постійно стежити за різними формами активності на поверхні Сонця - зокрема, за появою нових плям або спалахів, - і оперативно передавати інформацію на Землю (наприклад, в рамках системи раннього попередження про космічну погоду NOAA). Крім того, інформація з таких супутників може бути використана для забезпечення безпеки далеких пілотованих польотів, наприклад, до Марса або астероїдів. У 2010 році було вивчено кілька варіантів запуску подібного супутника

Якщо на основі лінії, що з'єднує обидва тіла системи, побудувати два рівносторонні трикутники, дві вершини яких відповідають центрам тіл M 1 і M 2 то точки L 4і L 5будуть відповідати положенню третіх вершин цих трикутників, розташованих у площині орбіти другого тіла у 60 градусах попереду та позаду нього.

Наявність цих точок та їх висока стабільність обумовлюється тим, що оскільки відстані до двох тіл у цих точках однакові, то сили тяжіння з боку двох масивних тіл співвідносяться в тій же пропорції, що їх маси, і таким чином результуюча сила спрямована на центр мас системи ; крім того, геометрія трикутника сил підтверджує, що результуюче прискорення пов'язане з відстанню до центру мас тієї ж пропорцією, що і двох масивних тіл. Так як центр мас є одночасно і центром обертання системи, результуюча сила точно відповідає тій, яка потрібна для утримання тіла у точці Лагранжа в орбітальній рівновазі з рештою системи. (Насправді, маса третього тіла і не повинна бути зневажливо малою). Ця трикутна конфігурація була виявлена ​​Лагранжем під час роботи над завданням трьох тіл. Крапки L 4і L 5називають трикутними(На відміну від колінеарних).

Також точки називають троянськими: ця назва походить від троянських астероїдів Юпітера, які є найяскравішим прикладом прояву цих точок. Вони були названі на честь героїв Троянської війни з «Іліади» Гомера, причому астероїди у точці L 4одержують імена греків, а в точці L 5- захисників Трої; тому їх тепер так і називають «греками» (або «ахейцями») та «троянцями».

Відстань від центру мас системи до цих точок у координатній системі з центром координат у центрі мас системи розраховуються за такими формулами:

Тіла, вміщені в колінеарних точках Лагранжа, перебувають у нестійкій рівновазі. Наприклад, якщо об'єкт у точці L 1 злегка зміщується вздовж прямої, що з'єднує два масивних тіла, сила, що притягує його до того тіла, до якого воно наближається, збільшується, а сила тяжіння з боку іншого тіла, навпаки, зменшується. В результаті об'єкт все більше віддалятиметься від положення рівноваги.

Така особливість поведінки тіл на околицях точки L 1 відіграє важливу роль у тісних подвійних зоряних системах. Порожнини Роша компонент таких систем стикаються в точці L 1 тому, коли одна з зірок-компаньйонів у процесі еволюції заповнює свою порожнину Роша, речовина перетікає з однієї зірки на іншу саме через околиці точки Лагранжа L 1 .

Незважаючи на це, існують стабільні замкнуті орбіти (в системі координат, що обертається) навколо колінеарних точок лібрації, принаймні, у разі завдання трьох тіл. Якщо на рух впливають і інші тіла (як це відбувається в Сонячній системі), замість замкнутих орбіт об'єкт рухатиметься квазіперіодичними орбітами, що мають форму фігур Ліссажу. Незважаючи на нестійкість такої орбіти,