Les mathématiques comme une science des relations quantitatives et des formes spatiales de la réalité étudient le monde autour de nous, de phénomènes naturels et sociaux. Mais contrairement aux autres sciences, les mathématiques étudient leurs propriétés spéciales, distrayées des autres. Ainsi, la géométrie étudie la forme et la taille des objets, sans prendre en compte les autres propriétés: couleur, masse, dureté, etc. En général, des objets mathématiques (forme géométrique, nombre, quantité) sont créés par l'esprit humain et n'existent que dans la pensée humaine, dans les signes et les symboles qui forment une langue mathématique.

L'abstrait des mathématiques lui permet de l'appliquer dans une grande variété de zones, c'est un outil puissant de connaissance de la nature.

Les formes de connaissances sont divisées en deux groupes.

Premier groupe Les formes de connaissances sensuelles effectuées avec l'aide de divers sens: vue, audience, odeur, toucher, goût.

Ko deuxième groupe Les formes de pensée abstraite, principalement les concepts, les déclarations et la conclusion.

Les formes de connaissances sensuelles sont ressentir, la perception et représentation.

Chaque article n'en a pas un, mais de nombreuses propriétés, et nous les apprendrons avec l'aide de sensations.

Sentiment - Ceci est un reflet des propriétés individuelles des objets ou des phénomènes du monde matériel, qui sont directement (c'est-à-dire pour le moment) affecter nos sens. C'est un sentiment de propriétés rouges, chaudes, rondes, vertes, douces, lisses et autres d'objets [Hetmanova, p. 7].

Des sensations individuelles, il y a une perception d'un sujet entier. Par exemple, la perception de la pomme est composée de telles sensations: sphérique, rouge, aigre-doux, parfumé, etc.

la perception Il y a une réflexion holistique du sujet de matériau externe, directement affectée par nos sens [hetmanov, p. huit]. Par exemple, une image d'une assiette, de tasses, de cuillères, d'autres plats; L'image de la rivière, si nous naviguons maintenant sur elle ou sommes sur sa côte; Image forestière, si nous sommes venus maintenant dans la forêt, etc.

Les perceptions, bien qu'ils soient un reflet sensuel de la réalité dans notre conscience, dépendent en grande partie de l'expérience humaine. Par exemple, un biologiste percevra des prés d'une manière ou d'une autre (il verra différents types de plantes) et le touriste ou l'artiste est très différent.

Représentation - Ceci est une image sensuelle du sujet, au moment où nous ne sommes pas perçus, mais qui ont précédemment perçu sous une forme ou une autre [Hetmanova, p. dix]. Par exemple, nous pouvons imaginer visuellement les visages de connaissances, notre chambre dans la maison, bouleau ou champignon. Ce sont des exemples reproduction Présentations, puisque nous avons vu ces articles.

La représentation peut être créatif, comprenant fantastique. Nous présentons la belle princesse Swan, ou le roi de Saltan, ou la cave dorée, et de nombreux autres personnages de la fée Tales ..s. Poussin, qui n'a jamais vu et vu. Ces exemples de présentation créative sur description verbale. Nous imaginons aussi la jeune fille de la neige, le père Noël, la sirène, etc.

Donc, les formes de connaissances sensuelles sont des sensations, la perception et la présentation. Avec leur aide, nous apprenons les côtés extérieurs du sujet (ses signes, y compris les propriétés).

Les formes de pensée abstraite sont des concepts, des déclarations et une conclusion.

Concepts. Le volume et le contenu des concepts

Le terme «concept» est généralement utilisé pour désigner toute une classe d'objets de nature arbitraire, qui possède une propriété caractéristique (distinctive, essentielle) ou un ensemble de telles propriétés, c'est-à-dire. Propriétés inhérentes à seulement des éléments de cette classe.

En termes de logique, le concept est une forme spéciale de la pensée caractéristique desquelles sont les suivants: 1) Le concept est un produit de la matière hautement organisée; 2) Le concept reflète le monde matériel; 3) le concept apparaît dans la conscience comme moyen de généralisation; 4) le concept signifie spécifiquement l'activité humaine; 5) La formation du concept dans la conscience d'une personne est inséparable de son expression par discours, enregistrement ou symbole.

Comment le concept de tout objet de la réalité survient-il dans notre conscience?

Le processus de formation d'un concept est un processus progressif dans lequel plusieurs étapes consécutives peuvent être obtenues. Considérez ce processus sur l'exemple le plus simple - la formation de concepts d'enfants sur le numéro 3.

1. À la première étape de la connaissance, les enfants se familiarisent avec divers ensembles spécifiques, tandis que les images de sujet sont utilisées et divers ensembles de trois éléments sont démontrés (trois pommes, trois livres, trois crayons, etc.). Les enfants voient non seulement chacun de ces ensembles, mais peuvent également être nés (toucher) ces objets à partir desquels ces ensembles consistent. Ce processus de "vision" crée dans l'esprit de l'enfant une forme spéciale de réflexion de la vraie réalité, appelée perception (sensation).

2. Nous allons supprimer des objets (objets), constituant chaque ensemble et proposerons des enfants pour déterminer si quelque chose a été commun caractérisant chaque ensemble. Dans la conscience des enfants, le nombre d'articles dans chaque ensemble devrait être capturé, le fait que tout soit "trois". Si oui, alors dans l'esprit des enfants, une nouvelle forme a été créée - l'idée du nombre "trois".

3. Dans la prochaine étape, sur la base d'une expérience mentale, les enfants doivent voir que la propriété exprimée dans le mot "trois" caractérise tout ensemble d'éléments différents de la forme (A; B; c). Ainsi, il y aura d'importants fonctionnalité générale de tels ensembles - "Avoir trois éléments." Maintenant, on peut dire que dans l'esprit des enfants formés le concept de numéro 3.

Concept - Il s'agit d'une forme de pensée spéciale qui reflète les propriétés essentielles (distinctives) des objets ou des objets d'étude.

La forme de concept linguistique est un mot ou un groupe de mots. Par exemple, un "triangle", "numéro trois", "Point", "Straight", "Triangle anoscele", "Plante", "Incurants", "River Yenisei", "Table", etc.

Les concepts mathématiques ont un certain nombre de fonctionnalités. L'essentiel est que des objets mathématiques qui doivent être un concept n'existent pas en réalité. Les objets mathématiques sont créés par l'esprit d'une personne. Ce sont des objets idéaux reflétant des objets réels ou des phénomènes. Par exemple, dans la géométrie, étudiez la forme et la taille des objets, sans prendre en compte les autres propriétés: couleur, masse, dureté, etc. De tout cela est distrait, résumés. Par conséquent, dans la géométrie au lieu du mot "sujet", ils disent "figure géométrique". Le résultat de l'abstraction est à la fois des concepts mathématiques comme "nombre" et "valeur".

Caractéristiques de base personne les concepts sont Suivant: 1) le volume; 2) contenu; 3) relation entre concepts.

Lorsqu'ils parlent d'un concept mathématique, ils signifient généralement l'ensemble du jeu (ensemble) d'objets désignés par un terme (mot ou groupe de mots). Alors, parlant de la place, ils signifient toutes les formes géométriques qui sont des carrés. On pense que l'ensemble de tous les carrés est la portée du concept de "carré".

La portée du concept Il existe de nombreux objets ou articles auxquels ce concept est applicable.

Par exemple, 1) La portée du concept de "parallélogrammes" est un ensemble de quadrangles tels que le parallélogramme, le losange, les rectangles et les carrés; 2) La portée du concept de "nombre naturel sans ambiguïté" sera l'ensemble - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Tout objet mathématique a certaines propriétés. Par exemple, le carré a quatre côtés, quatre coins droits égaux à la diagonale, la diagonale du point d'intersection est divisée de moitié. Vous pouvez également spécifier d'autres propriétés, mais parmi les propriétés de l'objet distinguez significatif (distinctif) et insignifiant.

La propriété est appelée essentiel (distinctif) pour l'objet, s'il est inhérent à cet objet et sans qu'elle ne peut exister; La propriété est appelée hors du sujet Pour un objet, si cela peut exister sans elle.

Par exemple, pour un carré, toutes les propriétés énumérées ci-dessus sont essentielles. Le "côté ad horizontal" sera insignifiant pour la place AVD (Fig. 1). Si vous tournez ce carré, le côté de l'annonce sera vertical.

Considérons un exemple pour les enfants d'âge préscolaire à l'aide d'un matériau visuel (Fig. 2):

Décrire une figure.

Petit triangle noir. Figure. 2.

Grand triangle blanc.

Quelles sont les chiffres?

Quels sont les chiffres différents?

Couleur, grandeur.

Quel est le triangle?

3 côtés, 3 coins.

Ainsi, les enfants découvrent les propriétés essentielles et insignifiantes du concept de "triangle". Propriétés essentielles - "avoir trois côtés et trois angles", des propriétés insignifiantes - couleur et tailles.

La combinaison de toutes les propriétés essentielles (distinctives) d'un objet ou d'un sujet reflété dans ce concept appel concept concept .

Par exemple, pour le concept de "parallélogrammes", un ensemble de propriétés est: a quatre côtés, a quatre côtés, parallèles à quatre côtés, les côtés opposés sont égaux, les angles opposés sont égaux à la diagonale dans les points d'intersection sont divisés par moitié.

Il existe une connexion entre la portée du concept et son contenu: si la portée du concept augmente, son contenu est réduit et vice versa. Ainsi, par exemple, la portée du concept de "un triangle élevé" fait partie du concept de concept de "triangle", et dans le contenu du concept "Un triangle équivalé" comprend plus de propriétés que le concept de concept de "triangle", parce que Un triangle de tout aussi présidé a non seulement toutes les propriétés du triangle, mais également par d'autres, inhérents à des triangles tout aussi réalisables («deux côtés sont égaux», «deux coins sont égaux», deux médianes sont égales, etc.).

En volume, les concepts sont divisés en célibataire, communet Catégories.

Le concept dont le montant est 1, appelé concept unique .

Par exemple, les concepts: "River Yenisei", "République de Tuva", "Ville de Moscou".

Concepts dont le volume est supérieur à 1 sont appelés commun .

Par exemple, les concepts: "ville", "rivière", "quadrilatère", "numéro", "polygone", "équation".

En train d'étudier les fondements de toute science chez les enfants sont formés, principalement des concepts généraux. Par exemple, dans les classes primaires, les élèves se familiarisent avec des concepts tels que "figure", "nombre", "numéros sans ambiguïs", "numéros à double chiffre", "numéros multi-valeurs", "fraction", "partagent" "," Ajout "," Société "," Montant "," Soustraction "," Soustract "," Diminué "," Différence "," Multiplication "," Multiplication "," Travail "," Division "," Divisible "," Divisible "," Divisible "" , "privé", "balle", "cylindre", "cube", "cube", "parallélépiped", "pyramide", "coin", "triangle", "quadrilgil", "carré", "rectangle", " Polygone "," cercle "," cercle "," courbe "," loac "," couper "," longueur coupée "," lumière "," direct "," point "," longueur "," largeur "," "," Périmètre "," silhouette "," volume "," temps "," vitesse "," masse "," prix "," coût "et beaucoup d'autres. Tous ces concepts sont des concepts communs.

Science, ampleur d'apprentissage, relations quantitatives et formes spatiales

La première lettre "m"

La deuxième lettre "a"

Troisième lettre "T"

Dernière lettre de hêtre "A"

Réponse à la question "Science, étudier des valeurs, des relations quantitatives et des formes spatiales", 10 lettres:
mathématiques

Questions alternatives en mots croisés pour les mathématiques

Le représentant de cette science a été acheté par Nobel une mariée et, par conséquent, le succès de son prix Nobel ne donne pas

"Tour" dans le programme polytechnique

Science exacte, ampleur d'apprentissage, relations quantitatives et formes spatiales

Science des valeurs, relations quantitatives, formes spatiales

C'était ce sujet que j'ai enseigné à l'école "Cher Elena Sergeeva" interprété par Marina Nelaova

Détermination du mot mathématiques dans les dictionnaires

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Exemples d'utilisation du mot mathématiques dans la littérature.

Tout d'abord, Trediakovsky abrité Vasily Adadudurov - mathématicien, un étudiant du Grand Jacob Bernoulli, et pour cette prudence, le poète d'un scientifique en français instruit.

Incarné mathématicien Adadudurov, Mécanicien Ladyzhensky, architecte Ivan Blank, attaché à la lumière des assassins de divers conseils, médecins et jardiniers, armée des officiers et flotte.

Derrière la longue table des noix de noix étaient assises dans des chaises deux: Axel Brigs et mathématicien Brodsky, que j'ai appris sur une puissante lysine socratique.

Pontryagin, les efforts desquels la nouvelle section a été créée mathématiques - Algèbre topologique, - étudier diverses structures algébriques dotées de topologie.

Nous notons également en passant que l'époque, décrite par nous, a été témoin du développement de l'algèbre, du département relativement abstrait mathématiquesGrâce à la connexion de ministères moins abstraits de celui-ci, la géométrie et l'arithmétique, est le fait prouvé par le plus ancien des manifestations de l'algèbre, de la moitié algébrique, à moitié géométrique.

Les propriétés idéalisées des objets à l'étude sont soit formulées sous forme d'axiomes, soit énumérées dans la définition des objets mathématiques pertinents. Ensuite, par des règles strictes de sortie logique, d'autres propriétés vraies (théorèmes) sont affichées à partir de ces propriétés. Cette théorie de l'agrégat forme le modèle mathématique de l'objet à l'étude. Ainsi, initialement basé sur des relations spatiales et quantitatives, les mathématiques reçoivent plus de ratios abstraites, dont l'étude est également le sujet des mathématiques modernes.

Traditionnellement, les mathématiques sont divisées en une analyse théorique, qui effectuent une analyse approfondie des structures intramathématiques et appliquées, fournissant à ses modèles à d'autres disciplines de sciences et d'ingénieurs, et certaines d'entre elles occupent une frontière avec des mathématiques. En particulier, la logique formelle peut être considérée comme faisant partie sciences philosophiqueset dans le cadre des sciences mathématiques; Mécanique - la physique et les mathématiques; L'informatique, les technologies informatiques et l'algorithme sont à la fois des sciences d'ingénierie et mathématiques, etc. dans la littérature, de nombreuses définitions différentes des mathématiques ont été proposées.

Étymologie

Le mot "mathématiques" s'est produit du Dr. Grec. άάθημα, ce qui signifie étude, connaissances, la scienceet d'autres grecs. μαθηματικός, à l'origine signifiant susceptible, réussi Plus tard cibléEnsuite mathématique. En particulier, μαθηματικὴ τέχνη , Latin ars Mathematica.moyens art des mathématiques. Le terme dr.-grec. ᾰᾰθημᾰτικά B. signification moderne Ce mot "mathématiques" se trouve déjà dans les écrits d'Aristote (IV Century BC. ER). Selon le Fasmère dans la langue russe, le mot est venu soit par le polonais. Matematyka, soit à travers un lat. Mathematica.

Définitions

L'une des premières définitions du sujet des mathématiques a donné DESCARTES:

Le domaine des mathématiques ne comprend que ces sciences dans lesquelles des commandes ou des mesures sont considérées et ne seront pas complètement significatives, que ce chiffre, des chiffres, des étoiles, des sons ou autre chose, trouveront cette mesure. Ainsi, il doit y avoir une certaine science globale, expliquant tous les éléments liés à la procédure et le moins, sans entrer dans l'étude de sujets privés, et cette science devrait être appelée non étrangère, mais l'ancienne qui a déjà inclus dans l'utilisation de l'universel mathématiques.

L'essence des mathématiques ... Il semble maintenant que la doctrine des relations entre les objets, qui ne soient pas connues, à l'exception de la des décrire de certaines propriétés, est précisément ceux qui sont comme axiom à la base de la théorie ... Les mathématiques sont un ensemble de formes abstraites - structures mathématiques.

Sections de mathématiques

1. Mathématiques comme discipline académique

Désignation

Étant donné que les mathématiques fonctionnent avec des structures extrêmement diverses et assez complexes, le système de désignations est également très complexe. Le système moderne de formules d'enregistrement a été formé sur la base de la tradition algébrique européenne, ainsi que des besoins des sections ultérieures des mathématiques - analyse mathématique, logique mathématique, théorie des ensembles, etc. Géométrie du siècle, utilisée Visual ( Représentation géométrique). Dans les mathématiques modernes, des enregistrements graphiques complexes des systèmes d'enregistrement sont également courants (par exemple, des graphiques de commutation), des indications basées sur des graphiques sont également utilisées.

Histoire courte

Mathématiques de philosophie

Buts et méthodes

Espace R n (\\ displaystyle \\ mathbb (r) ^ (n)), P. N\u003e 3 (\\ displaystyle n\u003e 3) C'est une fiction mathématique. Cependant, une fiction très brillante, qui aide à comprendre mathématiquement des phénomènes complexes».

Base

Intuitionnisme

Mathématiques constructives

clarifier

Sujets principaux

numéro

La section principale compte tenu de l'abstraction du nombre d'algèbres. Le concept de "nombre" initié à l'origine des représentations arithmétiques et était liée au nombre naturel. À l'avenir, avec l'aide de l'algèbre, a été progressivement distribuée au nombre entier, rationnel, valide, complexe et d'autres numéros.

1, - 1, 1 2, 2, 3, 0, 12, ... (\\ displaystyle 1, \\; - 1, \\; (\\ frac (1) (2)), \\; (\\ frac (2) (3)), \\; 0 (,) 12, \\; \\ ldots) Nombres rationnels 1, - 1, 1 2, 0, 12, π, 2, ... (\\ displaystyle 1, \\; - 1, \\; (\\ frac (1) (2)), \\; 0 (,) 12, \\; \\ pi, \\; (\\ sqrt (2)), \\; \\ ldots) Nombres réels - 1, 1 2, 0, 12, π, 3 I + 2, EI π / 3, ... (\\ displaystyle -1, \\; (\\ frac (1) (2)), \\; 0 (,) 12, \\; \\ pi, \\; 3i + 2, \\; e ^ (i \\ pi / 3), \\; \\ ldots) 1, j, k, π j - 1 2 K, ... (\\ displaystyle 1, \\; i, \\; j, \\; k, \\; \\ pi j - (\\ frac (1) (2) ) K, \\; \\ points) Nombres complexes Quaternions

Conversion

Les phénomènes des transformations et des modifications de la forme générale considèrent l'analyse.

Structures

Relations spatiales

Les bases des relations spatiales considèrent la géométrie. La trigonométrie considère les propriétés des fonctions trigonométriques. L'étude d'objets géométriques par analyse mathématique est engagée dans une géométrie différentielle. Les propriétés des espaces restant inchangées de déformations continues et le phénomène même de continuité est étudié la topologie.

Mathématiques discrètes

∀ x (p (x) ⇒ p (x ')) (\\ displaystyle \\ For'vall x (p (x) \\ RightArrorro p (x ")))

Les mathématiques sont nées pendant longtemps. L'homme a collecté des fruits, creusant les fruits, attrapa du poisson et a atteint tout cela pour l'hiver. Pour comprendre combien de nourriture est un homme a inventé un compte. Alors a commencé à émerger des mathématiques.

Ensuite, l'homme a commencé à s'engager dans l'agriculture. Il était nécessaire de mesurer les parcelles de terre, de construire des logements, de la mesure de la mesure.

C'est-à-dire qu'une personne est devenue nécessaire d'utiliser la relation quantitative du monde réel. Déterminez combien de récoltes assemblées, quelles sont les tailles du chantier de construction ou comme une grande partie du ciel sur lequel un certain nombre d'étoiles lumineuses.

En outre, une personne a commencé à définir des formes: le soleil rond, la boîte est carrée, le lac ovale et comment ces articles sont situés dans l'espace. C'est-à-dire que la personne s'intéresse aux formes spatiales du monde réel.

Ainsi, le concept mathématiques Vous pouvez définir comme une science sur les relations quantitatives et les formes spatiales du monde réel.

Actuellement, il n'y a pas une seule profession, où il serait possible de faire sans mathématiques. Le célèbre mathématicien allemand Karl Friedrich Gauss, appelé "King of Mathematics", a déclaré:

"Mathématiques - reine de la science, arithmétique - reine des mathématiques."

Le mot "arithmétique" vient du mot grec "arithmos" - "nombre".

De cette façon, arithmétique Ceci est une section des numéros d'apprentissage des mathématiques et des actions sur eux.

Dans l'école primaire, tout d'abord, apprenez l'arithmétique.

Comment développer cette science, explorons cette question.

La période d'émergence des mathématiques

La période principale d'accumulation de connaissances mathématiques est la période au Ve siècle à notre époque.

Le premier qui a commencé à prouver des dispositions mathématiques - un ancien penseur grec qui a vécu au VIIe siècle avant JC est probablement 625 - 545. Ce philosophe a parcouru les pays de l'est. Les traditions disent qu'il a étudié des prêtres égyptiens et des chaldeys babyloniens.

FALEZ MILETSKY a apporté d'Égypte en Grèce les premiers concepts de géométrie élémentaire: quel diamètre est ce que le triangle est déterminé et ainsi de suite. Il a prédit une éclipse solaire, des structures d'ingénierie conçues.

Pendant cette période, l'arithmétique est progressivement pliée, l'astronomie se développe, la géométrie. L'algèbre et la trigonométrie émergent.

Période de mathématiques élémentaires

Cette période commence avec le VI à notre époque. Maintenant, les mathématiques se présentent comme la science avec des théories et des preuves. Il semble que la théorie des chiffres, la doctrine de la magnitude, sur leur dimension.

Le mathématicien le plus célèbre de cette époque est l'eucyclide. Il a vécu dans le IIIème siècle avant JC. Cet homme est l'auteur du premier du traité théorique en mathématiques qui nous sont venus à nous.

Dans les travaux d'Euclidea, les fondations sont données, la soi-disant géométrie euclidienne sont des axiomes, reposant sur des concepts de base, tels que.

Au cours des mathématiques élémentaires, la théorie des nombres est née, ainsi que la doctrine des valeurs et de la mesure. Les nombres négatifs et irrationnels apparaissent pour la première fois.

À la fin de cette période, la création d'algèbre est observée comme calcul alphabétique. La science de "algèbre" apparaît en Arabes, en tant que science sur la résolution d'équations. Le mot "algèbre" traduit de l'arabe signifie "récupération", c'est-à-dire le transfert de valeurs négatives à une autre partie de l'équation.

La période de variables de mathématiques

Le fondateur de cette période est considéré comme René Descartes, qui vivait au XVIIe siècle de notre époque. Dans ses écrits, Décarttes introduit la première fois le concept de valeur variable.

En raison de cela, les scientifiques transfèrent de l'étude de valeurs constantes à l'étude des dépendances entre variables et à description mathématique Mouvement.

Cette période a été caractérisée par Frederick Engels, il a écrit dans ses écrits:

«Un point pivotant en mathématiques était une variable décartienne. Grâce à cela, les mathématiques sont entrées dans les mathématiques et donc la dialectique, et en raison de la même chose, elle est devenue nécessaire au calcul différentiel et intégré, qui survient immédiatement et, qui était généralement complétée et non inventée par Newton et Leibnian. "

La période des mathématiques modernes

En 20 ans du XIXe siècle, Nikolai Ivanovich Lobachevsky devient le fondateur, la soi-disant géométrie non-enfant.

À partir de ce moment, le développement des plus importants sections des mathématiques modernes commence. Tels que la théorie de la probabilité, la théorie des ensembles, des statistiques mathématiques, etc.

Toutes ces découvertes et nos recherches trouvent une utilisation intensive dans divers domaines de la science.

Et à l'heure actuelle, les mathématiques scientifiques augmentent rapidement, le sujet des mathématiques, y compris de nouvelles formes et de nouvelles relations, sont prouvées par de nouveaux théorèmes, les concepts principaux sont approfondis.

Les propriétés idéalisées des objets à l'étude sont soit formulées sous forme d'axiomes, soit énumérées dans la définition des objets mathématiques pertinents. Ensuite, par des règles strictes de sortie logique, d'autres propriétés vraies (théorèmes) sont affichées à partir de ces propriétés. Cette théorie de l'agrégat forme le modèle mathématique de l'objet à l'étude. Ainsi, initialement, sur la base de relations spatiales et quantitatives, les mathématiques reçoivent plus de ratios abstraites, dont l'étude est également le sujet des mathématiques modernes.

Traditionnellement, les mathématiques sont divisées en une analyse théorique, qui effectuent une analyse approfondie des structures intramathématiques et appliquées, fournissant à ses modèles à d'autres disciplines de sciences et d'ingénieurs, et certaines d'entre elles occupent une frontière avec des mathématiques. En particulier, la logique formelle peut également être considérée comme faisant partie des sciences philosophiques et dans le cadre des sciences mathématiques; Mécanique - la physique et les mathématiques; Les informaticiens, les technologies informatiques et l'algorithme sont liés à la fois aux sciences de l'ingénierie et des mathématiques, etc. dans la littérature, de nombreuses définitions différentes des mathématiques ont été proposées (voir).

Étymologie

Le mot "mathématiques" s'est produit du Dr. Grec. άθθημα ( máthēma.), ce qui signifie étude, connaissances, la scienceet d'autres grecs. μαθηματικός ( mathēmatikós.), signifiant à l'origine susceptible, réussi Plus tard cibléEnsuite mathématique. En particulier, μαθηματικὴ τέχνη (mathēMatikḗ Tékhnē.), en latin ars Mathematica.moyens art des mathématiques.

Définitions

Le domaine des mathématiques ne comprend que ces sciences dans lesquelles l'ordre ou la mesure et absolument pas essentiellement, ces chiffres, chiffres, étoiles, sons ou autre chose, quelle est la pièce. Ainsi, il doit y avoir une certaine science globale, expliquant tous les éléments liés à la procédure et le moins, sans entrer dans l'étude de sujets privés, et cette science devrait être appelée non étrangère, mais l'ancienne qui a déjà inclus dans l'utilisation de l'universel mathématiques.

En temps soviétique, la définition de l'ESB était considérée comme classiquement, A. N. Kolmogorov:

Mathématiques ... Science des relations quantitatives et des formes spatiales de monde valide.

L'essence des mathématiques ... Il semble maintenant que la doctrine des relations entre les objets, qui ne soient pas connues, à l'exception de la des décrire de certaines propriétés, est précisément ceux qui sont comme axiom à la base de la théorie ... Les mathématiques sont un ensemble de formes abstraites - structures mathématiques.

Nous donnons quelques définitions plus modernes.

Les mathématiques théoriques modernes ("Net") sont une science des structures mathématiques, des invariants mathématiques de divers systèmes et processus.

Mathématiques - Science qui offre la possibilité de calculer les modèles donnés à l'esprit standard (canonique). Science sur la recherche de solutions de modèles analytiques (analyse) au moyen de transformations formelles.

Sections de mathématiques

1. Mathématiques comme discipline académique Il est divisé en la Fédération de Russie aux mathématiques élémentaires étudiées au lycée et aux disciplines formées:

• géométrie élémentaire: planimétrie et stéréométrie
• théorie des fonctions élémentaires et des éléments d'analyse

4. La Société mathématique américaine (AMS) a développé sa norme pour la classification des sections de mathématiques. C'est ce qu'on appelle la classification du sujet des mathématiques. Cette norme est périodiquement mise à jour. La version actuelle est MSC 2010. Version précédente - MSC 2000.

Désignation

En raison du fait que les mathématiques fonctionnent avec des structures extrêmement diverses et assez complexes, le système de désignation est également très complexe. Le système d'enregistrement de formule moderne a été formé sur la base d'une tradition algébrique européenne, ainsi que d'une analyse mathématique (concept de fonction, dérivé, etc.). Impact de la géométrie du siècle bénéficiant de représentation visuelle (géométrique). Dans les mathématiques modernes, des enregistrements graphiques complexes des systèmes d'enregistrement sont également courants (par exemple, des graphiques de commutation), des indications basées sur des graphiques sont également utilisées.

Histoire courte

Le développement de mathématiques est basé sur l'écriture et la capacité d'enregistrer des nombres. Les personnes anciennes ont probablement exprimé la quantité en tirant des céréales sur la terre ou en les gratèrent sur du bois. Incas antiques, ayant un système d'écriture différent, représenté et maintenu des données numériques à l'aide d'un système complexe de nœuds de corde, le soi-disant kip. Il y avait beaucoup de systèmes de nombres différents. Les premiers enregistrements connus des chiffres ont été trouvés dans le papyrus Akhmes créé par les Égyptiens du Royaume du milieu. La civilisation indienne s'est développée moderne système décimal Nombre, y compris zéro concept.

Historiquement, les disciplines mathématiques de base sont apparues sous l'influence de la nécessité de mener des calculs dans la sphère commerciale, lors de la mesure de la terre et de la prévision de phénomènes astronomiques et, plus tard, pour résoudre de nouveaux problèmes physiques. Chacune de ces zones joue un rôle important dans le vaste développement des mathématiques, qui consiste à étudier des structures, des espaces et des changements.

Mathématiques de philosophie

Buts et méthodes

Mathématiques étudie des objets imaginaires, des objets idéaux et des ratios entre eux utilisant une langue formelle. En général, les concepts mathématiques et les théorèmes ne se conforment pas nécessairement à quoi que ce soit dans le monde physique. La tâche principale de la section appliquée des mathématiques est de créer un modèle mathématique, assez adéquat à l'objet réel à l'étude. Task Mathematics-Théority - Fournir un ensemble suffisant de moyens confortables pour atteindre cet objectif.

Le contenu des mathématiques peut être défini comme un système de modèles et d'outils mathématiques pour leur création. Le modèle de l'objet prend en compte toutes ses caractéristiques, mais uniquement les plus nécessaires aux fins de l'étude (idéalisées). Par exemple, étudier les propriétés physiques de l'orange, nous pouvons abstraire de sa couleur et de leur goût et de le présenter (même si ce n'est pas parfaitement parfaitement sûr). Si nous devons comprendre combien d'oranges il s'avère si nous nous replions deux et trois, vous pouvez abstraction et de la forme, laissant le modèle qu'une seule caractéristique - le montant. L'abstraction et l'établissement de liens entre les objets de la forme la plus générale sont l'une des principales directions de la créativité mathématique.

Une autre direction, ainsi que l'abstraction - généralisation. Par exemple, résumant le concept d'espace "espace" dans l'espace de mesure N. " Espace, avec une fiction mathématique. Cependant, une fiction très brillante, qui aide à comprendre mathématiquement des phénomènes complexes».

L'étude des objets intramathématiques, en règle générale, survient à l'aide d'une méthode axiomatique: premièrement, la liste des concepts de base et des axiomes sont formulées pour les objets à l'étude, puis les théorèmes de contenu sont obtenus à partir de l'axiome des règles de sortie, dans l'ensemble. former un modèle mathématique.

Base

La question de l'essence et des motifs de mathématiques a été discutée à partir de la période de Platon. Depuis le 20ème siècle, il existe un accord comparatif sur la question, qui devrait être considéré comme une preuve mathématique stricte, mais il n'y a aucun consentement à comprendre que, en mathématiques, il est à l'origine vrai. D'ici, les désaccords surviennent à la fois dans les questions d'axiomatique et de la relation des industries de mathématiques et dans le choix des systèmes logiques qui devraient être utilisés en preuve.

En plus de sceptiques, les approches suivantes de cette question sont connues.

Approche multiple

Il est proposé de considérer tous les objets mathématiques dans le cadre de la théorie des ensembles, le plus souvent avec l'axiomatique de Cermelo-Frankel (bien qu'il y en ait beaucoup d'équivalent). Cette approche est considérée à partir du milieu du XXe siècle par la prédominante, mais la plupart des œuvres mathématiques ne fixent pas les tâches pour traduire strictement leurs déclarations dans la langue de la théorie des ensembles, mais fonctionnent avec des concepts et des faits établis dans certaines régions de mathématiques. Ainsi, si une contradiction est détectée dans la théorie des ensembles, cela n'affectera pas la dépréciation de la plupart des résultats.

Logicisme

Cette approche implique la frappe stricte des objets mathématiques. De nombreux paradoxes évitent dans la théorie des ensembles uniquement par des astuces spéciales sont impossibles en principe.

Formalisme

Cette approche implique l'étude des systèmes formels basés sur la logique classique.

Intuitionnisme

L'intuitionnisme suggère une logique intuitionniste à la base de mathématiques, plus limitées dans des preuves (mais, comme il est considéré comme plus fiable). L'intuitionnisme rejette la preuve du contraire, de nombreuses preuves non constructives deviennent impossibles et de nombreux problèmes de la théorie des ensembles n'ont pas de sens (informalisable).

Mathématiques constructives

Mathématiques constructives - Proche de l'intuitionnisme en mathématiques, étudiant les constructions structurelles [ clarifier]. Selon le critère de constructivité - " il existe - cela signifie être construit" Critères constructifs - une demande plus forte que le critère de cohérence.

Sujets principaux

Nombres

Le concept de "numéro" était initialement lié aux nombres naturels. À l'avenir, il a été progressivement distribué aux nombres entiers, rationnels, réels, complexes et autres.

Nombres entiers Nombres rationnels Nombres réels Nombres complexes Quaternions

Systèmes numériques
Comptes Ensemble	Nombre de nombres naturels () entiers () rationnelles () périodes algébriques () arithmétiques calculables
Nombres réels Et leur expansion	Real () complexes () Quaternions () Cali NUMÉROS (OCTAVES, OCTONIONS) () SEDÉENIONS () Alternatives CALI PROCÉDURE - DIXON Dual HyperComplex Superreal Hypereral Hyperereral Nombre ( anglais)
Autres Systèmes numériques	NUMÉROS NUMÉROS CARDINAL NUMÉRO NUMÉRO NUMÉRO NUMÉRO NUMÉRATURAUMENTAL P-ADIC
voir également	DOUBLE NUMÉROS NUMÉROS NUMÉROS NUMÉRATIONS NUMÉROS TRANSCENDENTAL BIKWATERNION DE TRAVAIL NUMERIC

Conversion

Mathématiques discrètes

Codes dans les systèmes de classification des connaissances

Services en ligne

Il existe un grand nombre de sites fournissant un service pour calculs mathématiques. La plupart d'entre eux sont anglophones. Du russe-parler, vous pouvez noter le service de requêtes mathématiques du moteur de recherche Nigma.

voir également

Populateurs de science

Remarques

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Les mathématiques sont l'une des plus anciennes sciences. Pour donner définition rapide Les mathématiques ne sont pas du tout, son contenu variera surtout en fonction du niveau d'éducation mathématique humaine. Écolier classes primairesPour commencer à étudier l'arithmétique, a déclaré que les mathématiques étudient les règles des articles de comptage. Et il aura raison, car c'est avec cela qu'il se réunit au début. Les anciens écoliers Ajouter à ce qui a été dit que le concept de mathématiques comprend une algèbre et une étude d'objets géométriques: lignes, leurs intersections, leurs figures plates, des corps géométriques, diverses transformations. Les diplômés de la même école secondaire seront inclus dans la définition des mathématiques pour étudier toujours les fonctions et l'action de la transition vers la limite, ainsi que les concepts du dérivé et de l'intégrale associé à celui-ci. Diplômés d'une technique supérieure les établissements d'enseignement ou des installations scientifiques naturelles des universités et des institutions pédagogiques ne satisferont plus les définitions scolaires, car elles savent que la composition des mathématiques comprend d'autres disciplines: la théorie des probabilités, les statistiques mathématiques, le calcul différentiel, la programmation, les méthodes de calcul, ainsi que les applications de ces disciplines pour Modélisation de processus de production, traitement des données expérimentées, des informations de transmission et de traitement. Cependant, le fait qu'il soit répertorié, le contenu des mathématiques n'est pas épuisé. La théorie des ensembles, la logique mathématique, le contrôle optimal, la théorie des processus aléatoires et bien plus encore inclus dans sa composition.

Les tentatives d'identification des mathématiques en transférant les composantes de ses branches nous mèneront de côté, car elles ne donnent pas d'idées que les mathématiques étudient et quelle est son attitude envers le monde qui nous entoure. Si une telle question était réglée sur la physique, un biologiste ou un astronome, chacun d'entre eux donnerait une réponse très courte qui ne contient pas la liste des pièces, dont la science a étudié. Une telle réponse contiendrait une indication des phénomènes de la nature, qu'il explore. Par exemple, un biologiste dirait que la biologie étudie diverses manifestations de la vie. Laissez cette réponse ne sont pas entièrement complétées car elle ne dit pas que ces phénomènes de vie et de vie sont, mais néanmoins, une telle définition aurait donné une image assez complète du contenu de la science de la biologie et des différents niveaux de cette science. Et cette définition ne changerait pas avec l'expansion de nos connaissances en biologie.

Il n'y a pas de tels phénomènes de nature, de processus techniques ou sociaux, qui feraient l'objet d'études de mathématiques, mais ne relatives aux phénomènes de physique, biologique, chimique, ingénierie ou sociale. Chaque discipline scientifique naturelle: la biologie et la physique, la chimie et la psychologie - est déterminée par la caractéristique matérielle de son sujet, des caractéristiques spécifiques de la région du monde réel, qu'elle étudie. L'objet lui-même ou le phénomène peut être étudié par différentes méthodes, notamment des méthodes mathématiques, mais les méthodes changeantes, nous restons toujours dans les limites de cette discipline, car le contenu de cette science est un véritable objet et non une méthode de recherche. Pour les mathématiques, le sujet de la recherche n'a pas de valeur décisive, la méthode utilisée est importante. Par example, fonctions trigonométriques Vous pouvez également utiliser pour l'étude du mouvement oscillatoire et déterminer la hauteur de l'élément inaccessible. Et quels phénomènes du monde réel peuvent être explorés en utilisant une méthode mathématique? Ces phénomènes ne sont pas déterminés par leur nature matérielle, mais exclusivement des propriétés structurelles formelles, et surtout ces relations quantitatives et formes spatiales dans lesquelles elles existent.

Ainsi, des études de mathématiques n'étudient pas des objets matériels, mais des méthodes de recherche et des propriétés structurelles de l'objet d'étude qui vous permettent d'appliquer certaines opérations à elle (sommation, différenciation, etc.). Cependant, une partie importante des problèmes mathématiques, des concepts et des théories a de véritables phénomènes et processus avec sa source principale. Par exemple, l'arithmétique et la théorie des nombres ont été médiatisés à partir des principaux objets pratiques à compter sur la tâche pratique. La géométrie élémentaire a eu ses problèmes source associés à la comparaison de distances, calculant les zones de figures plates ou de corps spatiaux. Tout cela était nécessaire pour trouver, car il était nécessaire de redistribuer terre Entre les utilisateurs, calculer la taille des greniers ou le volume de terrassement pendant la construction de structures de défense.

Le résultat mathématique a la propriété qu'il peut non seulement être utilisé lors de l'étude d'un phénomène ou d'un processus particulier, mais également d'étudier d'autres phénomènes, dont la nature physique est fondamentalement différente de celle précédemment envisagée. Ainsi, les règles d'arithmétique applicables dans les tâches de l'économie et dans des problèmes techniques, et lors de la résolution de problèmes agricultureet dans la recherche scientifique. Les règles arithmétiques ont été développées par le millénaire de retour, mais elles ont conservé une valeur appliquée pour les temps éternels. L'arithmétique fait partie intégrante des mathématiques, sa partie traditionnelle n'est plus soumise au développement créatif dans le cadre de mathématiques, mais il trouve et continuera de trouver de nombreuses nouvelles applications. Ces applications peuvent être d'une grande importance pour l'humanité, mais la contribution elle-même en mathématiques ne sera pas faite.

Mathématiques, comme une force créative, est destinée à développer règles généralesqui devrait être utilisé dans de nombreux cas spéciaux. Celui qui crée ces règles en crée un nouveau, crée. Celui qui applique des règles prêtes à l'emploi n'est plus créé en mathématiques elle-même, mais elle est tout à fait possible, elle crée de nouvelles valeurs à l'aide de règles mathématiques dans d'autres domaines de la connaissance. Par exemple, aujourd'hui, ces données de déchiffrement de campagne, ainsi que des informations sur la composition et l'âge des anomalies rocheuses, géochimiques et géophysiques sont traitées à l'aide d'ordinateurs. Il ne fait aucun doute que l'utilisation d'un ordinateur dans des études géologiques laisse ces études avec géologique. Les principes du travail des ordinateurs et de leur soutien mathématique ont été conçus sans tenir compte de la possibilité de leur utilisation dans l'intérêt de la science géologique. Cette fonctionnalité elle-même est déterminée par le fait que les propriétés structurelles des données géologiques sont conformes à la logique de certains programmes de l'ordinateur.

Deux définitions des mathématiques ont été largement distribuées. Les premiers d'entre eux ont été donnés par F. Engels dans le travail "Anti-Dühring", un autre - un groupe de mathématiciens français connus sous le nom de Nicola Burbaki, dans l'article "Architecture des mathématiques" (1948).

"Les mathématiques propres ont ses propres formes spatiales d'objet et ses relations quantitatives du monde réel." Cette définition décrit non seulement l'objet d'étude des mathématiques, mais indique également son origine - le monde réel. Cependant, cette définition de F. Engels reflète considérablement l'état des mathématiques dans la seconde moitié du XIXe siècle. Et cela ne prend pas en compte ceux de ses nouveaux domaines qui ne sont pas directement liés à aucune relation quantitative ni de formes géométriques. C'est tout d'abord la logique mathématique et les disciplines associées à la programmation. Par conséquent, cette définition nécessite des éclaircissements. Peut-être qu'il convient de dire que les mathématiques ont son propre objet d'étude de formes spatiales, de relations quantitatives et de structures logiques.

Bombaki affirme que "les seuls objets mathématiques deviennent en fait des structures mathématiques". En d'autres termes, les mathématiques doivent être définies comme la science sur les structures mathématiques. Cette définition est essentiellement la tautologie, car elle n'approuve qu'une seule chose: les mathématiques sont engagées dans ces objets qu'elle étudie. Un autre défaut de cette définition est qu'il ne trouve pas la relation entre les mathématiques au monde qui nous entoure. De plus, Bombaki souligne que les structures mathématiques sont créées indépendamment du monde réel et de ses phénomènes. C'est pourquoi Bombaki a été contraint de dire que "le principal problème est dans la relation entre le monde de l'expérimentation et le monde mathématique. Le fait qu'il existe une connexion étroite entre les phénomènes expérimentaux et les structures mathématiques - il semble être confirmé assez de manière inattendue par les découvertes. physique moderne, mais nous sommes complètement inconnus des raisons profondes de cela ... et, peut-être, nous ne les connaîtrons jamais. "

De la définition de F. Engels, une telle production décevante ne peut pas se produire, car elle fournit déjà une déclaration que les concepts mathématiques sont des abstractions de certaines relations et de formes du monde réel. Ces concepts sont tirés du monde réel et sont liés à celui-ci. En substance, c'est précisément que l'applicabilité saisissante des mathématiques entraîne des phénomènes du monde qui nous entoure et, en même temps, le succès du processus de mathématisation des connaissances.

Les mathématiques ne sont pas une exception à tous les domaines de la connaissance - les concepts découlant des situations pratiques et des abstragments ultérieurs sont également formés; Cela vous permet d'étudier la réalité également approximativement. Mais il convient de garder à l'esprit que les mathématiques n'étudient pas aux choses du monde réel, mais des concepts abstraits et que les conclusions logiques sont absolument strictes et précises. Son approche n'est pas un caractère interne, mais est associé à la préparation du modèle mathématique du phénomène. Nous notons également que les règles de mathématiques ne disposent pas d'une applicabilité absolue, car il existe également une zone d'application limitée, où elles dominent que cela est indivis. Clarifiez l'exemple de la pensée exprimée: il s'avère que deux et deux ne sont pas toujours égaux à quatre. On sait que lors du mélange de 2 litres d'alcool et de 2 L d'eau, moins de 4 litres de mélanges sont obtenus. Dans ce mélange, les molécules sont disposées compactes et le volume du mélange est inférieur à la somme des composants de volume. La règle d'arithmétique est cassée. Vous pouvez toujours donner des exemples dans lesquels d'autres vérités d'arithmétiques sont perturbées, par exemple, lors de l'ajout de certains objets, il s'avère que le montant dépend de l'ordre de résumé.

De nombreux mathématiciens considèrent les concepts mathématiques non comme la création d'un esprit pur, mais comme abstraction de choses existantes, de phénomènes, de processus ou d'abstractions des abstractions déjà établies (abstraction de commandes supérieures). Dans la "dialectique de la nature" F. ENGELL a écrit que "toutes les mathématiques soi-disant pures sont engagées dans des abstractions ... toutes ses valeurs, strictement parlant, valeurs imaginaires ..." Ces mots reflètent clairement l'opinion d'un des fondateurs de la philosophie marxiste sur le rôle des abstractions en mathématiques. Nous n'avons besoin que d'ajouter que toutes ces "valeurs imaginaires" sont extraites de la réalité réelle et non conçues de manière arbitraire et libre de la pensée de la pensée. C'est ainsi que le concept du nombre a été inclus dans l'utilisation universelle. Au début, ceux-ci étaient des nombres dans des unités et seulement seulement des nombres positifs entiers. Ensuite, l'expérience a fait l'élargissement de l'arsenal de nombres jusqu'à une douzaine et des centaines. L'idée de la gamme illimitée d'entiers est déjà née historiquement près de nous: Archimède dans le livre "Psammith" ("Calcul des grains") a montré comment concevoir des chiffres encore plus que ceux spécifiés. Dans le même temps, le concept de nombres fractionnaires est né de besoins pratiques. Les calculs associés aux figures géométriques les plus simples ont conduit l'humanité à de nouveaux nombres - irrationnel. Donc, peu à peu, l'idée de l'ensemble de tous les nombres valides a été formée.

Le même chemin peut être traqué pour tout autre concept de mathématiques. Tous sont apparus de besoins pratiques et formés progressivement dans des concepts abstraits. Vous pouvez à nouveau vous souvenir des mots de F. ENGELLS: "... Les mathématiques propres sont importantes, indépendantes de l'expérience spéciale de chaque personnalité ... mais il est tout à fait incorrect que dans un esprit de mathématique propre uniquement avec des produits de son propre créativité et imagination. Les concepts de chiffres et de chiffres ne sont pas pris de quelque part, mais seulement du monde réel. Dix doigts, dans lesquels les gens ont appris à compter, c'est-à-dire de produire la première opération arithmétique, représentent tout ce qui n'est pas un produit de créativité libre de l'esprit. À envisager, il est nécessaire de ne pas seulement être invalides, mais il est possible d'être distraire lorsqu'on envisage ces éléments de toutes les autres propriétés, autres que le nombre, et cette capacité est le résultat d'un long développement historique basé sur l'expérience. . Comme le concept du nombre et du concept de la figure est emprunté exclusivement du monde extérieur et ne figuraient pas dans la tête de la pensée pure. Il aurait dû être des choses qui ont une certaine forme et ces formes étaient censées être comparées avant qu'il ne soit possible de venir au concept de la figure. "

Pensez s'il existe des concepts en sciences créés sans communication avec les progrès passés de la science et des progrès actuels de la pratique. Nous savons parfaitement que la créativité mathématique scientifique est précédée de l'étude de nombreux sujets à l'école, de l'université, de livres de lecture, d'articles, de conversations avec des spécialistes dans leur propre domaine et dans d'autres domaines de la connaissance. Les mathématiques viennent dans la société et des livres, à la radio, d'autres sources, il apprend les problèmes découlant de la science, de l'ingénierie, de la vie publique. En outre, la pensée du chercheur est sous l'influence de toute l'évolution précédente de la pensée scientifique. Par conséquent, il s'avère préparé par. Résoudre certains problèmes nécessaires au progrès de la science. C'est pourquoi le scientifique ne peut pas présenter les problèmes d'arbitraire, de caprices de caprices et de créer des concepts mathématiques et des théories qui seraient utiles pour la science, pour d'autres chercheurs, pour l'humanité. Mais les théories mathématiques conservent leur importance dans des conditions de diverses formations publiques et epochs historiques. En outre, souvent les mêmes idées découlent de scientifiques qui ne sont nullement interconnectées. C'est un argument supplémentaire contre ceux qui adhèrent au concept de créativité libre de concepts mathématiques.

Nous avons donc dit ce qui entre dans le concept de "mathématiques". Mais il y a aussi un tel concept que des mathématiques appliquées. Sous, il comprend la combinaison de toutes les méthodes et disciplines mathématiques qui sont des applications en dehors des mathématiques. Dans l'antiquité, la géométrie et l'arithmétique imaginaient toutes les mathématiques et, depuis l'autre, de nombreuses applications lors des échanges commerciaux, des zones de mesure et des volumes, dans des problèmes de navigation, toutes les mathématiques n'étaient pas seulement théoriques, mais également appliquées. Plus tard, B. La Grèce ancienne, la séparation des mathématiques et des mathématiques appliquées. Cependant, tous les mathématiciens exceptionnels étaient engagés dans des applications et non seulement des études purement théoriques.

Le développement ultérieur des mathématiques a été continuellement liée aux progrès de la science naturelle, de la technologie, avec l'émergence de nouveaux besoins sociaux. À la fin du XVIIIe siècle. Il y avait un besoin (tout d'abord dans le cadre des problèmes de navigation et d'artillerie) la création de la théorie mathématique du mouvement. Cela a été fait dans leurs œuvres G. V. Leibnitz et I. Newton. Mathématiques appliquées reconstituées avec une nouvelle méthode d'étude très puissante - analyse mathématique. Presque en même temps, les besoins de la démographie, l'assurance a conduit à la formation de la théorie des probabilités (voir la théorie des probabilités). XVIIII et XIX siècles. Le contenu des mathématiques appliquées a été élargi en ajoutant la théorie des équations différentielles d'ordinaire et avec des dérivés privés, des équations de physique mathématique, des éléments de statistiques mathématiques, une géométrie différentielle. XX siècle A propos de nouvelles méthodes de recherche mathématique Tâches pratiques: la théorie des processus aléatoires, la théorie des graphiques, l'analyse fonctionnelle, le contrôle optimal, la programmation linéaire et non linéaire. De plus, il s'est avéré que la théorie des chiffres et de l'algèbre abstrait a trouvé des applications inattendues aux tâches de la physique. En conséquence, la condamnation a commencé à s'assurer que les mathématiques appliquées en tant que discipline distincte n'existent pas et que toutes les mathématiques peuvent être considérées comme appliquées. Il n'est peut-être pas nécessaire de dire que les mathématiques sont appliquées et théoriques, mais que les mathématiques sont divisées en approbateurs et aux théoriciens. Pour certaines mathématiques, c'est la méthode de connaissance du monde environnant et se produisant dans des phénomènes informatiques, c'est à cette fin qu'un scientifique développe et élargit les connaissances mathématiques. Pour d'autres, les mathématiques en soi sont un monde entier, dignes d'études et de développement. Pour les progrès de la science, des scientifiques sont nécessaires et l'autre plan.

Mathématiques, avant d'étudier avec ses méthodes, certains phénomènes créent son modèle mathématique, c'est-à-dire énumérant toutes les caractéristiques du phénomène qui seront prises en compte. Le modèle oblige le chercheur à choisir ces mathématiques qui permettront de manière assez adéquate de transférer les particularités du phénomène étudié et de son évolution. À titre d'exemple, prenez le modèle du système planétaire: le soleil et les planètes sont traités comme des points matériels avec les masses correspondantes. L'interaction de tous les deux points est déterminée par la force de l'attraction entre eux.

où M 1 et M 2 sont la masse de points d'interaction, r est la distance entre eux et F est constante. Malgré toute la simplicité de ce modèle, il est déjà trois cents ans avec une grande précision, les caractéristiques du mouvement des planètes du système solaire.

Bien entendu, chaque modèle manipule la réalité et la tâche du chercheur se compose principalement de proposer un modèle transmettant, d'une part, le côté le plus pleinement réel de l'affaire (comme il est habituel de parler, ses caractéristiques physiques) et sur L'autre - donne une approximation importante à la réalité. Bien sûr, pour le même phénomène, vous pouvez proposer plusieurs modèles mathématiques. Tous ont le droit d'exister jusqu'à ce que la différence significative entre le modèle et la réalité commence à affecter.

Les mathématiques sont une science des relations quantitatives et des formes spatiales de monde valide. Dans une connexion inextricable avec les demandes de la science et de la technologie, la marge des relations quantitatives et des formes spatiales étudiées par les mathématiques se développent continuellement. La définition ci-dessus doit donc être comprise dans le sens général.

Le but de l'étude des mathématiques est d'accroître les perspectives globales, la culture de la pensée, la formation de la vision du monde scientifique.

Comprendre la position indépendante des mathématiques en tant que science spéciale est devenue possible après l'accumulation d'un matériau réel suffisamment important et est apparu pour la première fois dans la Grèce antique des siècles VI-V à notre époque. C'était le début d'une période de mathématiques élémentaires.

Au cours de cette période, des études mathématiques ne traitent que d'une réserve de concepts de base assez limitée survenue avec les exigences les plus simples de la vie économique. Dans le même temps, l'amélioration qualitative des mathématiques comme la science se produit déjà.

Les mathématiques modernes sont souvent comparées à une grande ville. C'est une excellente comparaison, car en mathématiques, comme dans une grande ville, il existe un processus continu de croissance et d'amélioration. De nouvelles zones surviennent en mathématiques, aux théories gracieuses et profondes sont construites, semblables à la construction de nouveaux quartiers et de nouveaux bâtiments. Mais les progrès des mathématiques ne sont pas réduits que du changement de la ville en raison de la construction d'un nouveau. Vous devez changer l'ancien. Les théories anciennes sont incluses dans les nouvelles, plus générales; Il est nécessaire de renforcer les fondations de vieux bâtiments. Il est nécessaire de jeter de nouvelles rues pour établir des liens entre les quartiers lointains de la ville mathématique. Mais cela ne suffit pas - la conception architecturale nécessite des efforts considérables, car la différence dans diverses régions de mathématiques gâche non seulement l'impression globale de la science, mais interfère également avec la compréhension de la science en général, l'établissement de connexions entre ses différentes parties.

Une autre comparaison est souvent utilisée: les mathématiques sont comme un grand arbre de ramification, ce qui donne systématiquement de nouvelles pousses. Chaque branche d'un arbre est l'une ou une autre région de mathématiques. Le nombre de branches ne reste pas inchangé, car de nouvelles branches grandissent, elles poussent ensemble d'abord devenues séparées, certaines des branches se dessèchent, dépourvu de jus de nutrition. Les deux comparaisons réussissent et transmettent très bien la situation réelle.

Il ne fait aucun doute que l'exigence de la beauté joue un rôle important dans la construction de théories mathématiques. Il va sans dire que le sentiment de beauté est très subjectif et qu'il y a souvent assez de idées laides à ce sujet. Et pourtant, il est nécessaire d'être surpris par l'unanimité, qui est investi par des mathématiciens au concept de "beauté": le résultat est considéré comme beau si d'un petit nombre de conditions qu'il est possible d'obtenir une conclusion générale relative à une large gamme d'objets. La conclusion mathématique est considérée comme belle s'il y a un raisonnement simple et court pour prouver un fait mathématique important. Mathématiques matures, son talent est deviné par la façon dont il a eu développé un sens de la beauté. Les résultats esthétiquement complétés et mathématiquement parfaits sont plus faciles à comprendre, rappelez-vous et utilisent; Il est plus facile d'identifier leur relation avec d'autres domaines de connaissances.

Les mathématiques ont transformé en une discipline scientifique avec une variété de directions de recherche, un grand nombre de résultats et de méthodes. Les mathématiques sont maintenant si grandes qu'il n'existe aucune possibilité pour une personne de la couvrir dans toutes ses parties, il n'est pas possible d'y être un spécialiste universel. La perte de liens entre ses directions individuelles est certainement un effet négatif du développement rapide de cette science. Cependant, le développement de toutes les industries de mathématiques est le commun - les origines du développement, les racines de l'arbre des mathématiques.

Géométrie euclidienne en tant que première théorie des sciences naturelles

• Dans le IIIème siècle avant JC, le livre d'Euclideus est apparu à Alexandrie avec le même nom, dans la traduction en russe "a commencé". Du nom latin "a commencé" "le terme" géométrie élémentaire "s'est produit. Malgré le fait que les compositions des prédécesseurs d'Euclide ne nous aient pas atteintes, nous pouvons faire des opinions sur ces essais sur le "début de" euclidea. Dans le "début", il y a des sections, logiquement très peu associées à d'autres sections. Leur apparence n'est expliquée que par le fait qu'ils sont fabriqués par la tradition et copier le "début" des prédécesseurs d'Euclide.

  "Début" Euclid se compose de 13 livres. 1 - 6 livres sont consacrés à Planimétry, 7 à 10 livres - sur des valeurs arithmétiques et incommensurables pouvant être construites à l'aide d'une circulation et d'une règle. Les livres de 11 à 13 ont été dévoués à la stéréométrie.

  "Début" commence par la déclaration de 23 définitions et 10 axiomes. Les cinq premiers axiomes sont des "concepts communs", les autres sont appelés "postulates". Les deux premières postulates déterminent les actions à l'aide d'une ligne idéale, la troisième - avec l'aide d'une circulation idéale. Quatrièmement, "tous les coins droits sont égaux à l'autre", est inutile, car il peut être retiré des autres axiomes. Ce dernier, le cinquième postulat lit: "Si direct tombe en deux lignes droites et forme des angles unilatéraux internes dans la quantité inférieure à deux directes, alors, avec une continuation illimitée de ces deux lignes droites, elles vont traversera de l'autre côté où la les coins sont moins de deux directs. "

  Cinq " concepts communs"L'euclidea est les principes de mesure des longueurs, des coins, des zones, des volumes:" égal à la même chose est égale à l'autre "," s'il est égal à égal égal, les sommes sont entre elles ", par exemple" si égale à égale à égale, si elle est égale à égale égale à égale à égale à égale égale à égale à égale à égale à égale à égale égale à égale à égale à égale. Les restes sont égaux les uns aux autres ",", "Comprimé les uns avec les autres sont égaux les uns aux autres", "tout en plus une partie".

  Ensuite, a commencé la critique de la géométrie euclidienne. Les Euclides ont été critiqués pour trois raisons: pour ne pas avoir à ne pas être construites de telles valeurs géométriques à l'aide d'une circulation et d'une règle; Pour le fait qu'il a rompu la géométrie et l'arithmétique et argumenté pour des entiers, ce qui a déjà été prouvé pour les valeurs géométriques et enfin pour les axiomes d'euclidea. Le cinquième postulat est le plus critiqué, le poste Euclid le plus difficile. Beaucoup considèrent superflus et qu'il peut et doit être retiré des autres axiomes. D'autres croyaient que cela devrait être remplacé par un plus simple et visuel, équivalent à lui: "Après le point situé à l'extérieur du droit, vous pouvez passer dans leur avion pas plus d'un direct, ce qui ne traverse pas cette ligne droite."

  La critique de l'écart entre la géométrie et l'arithmétique a conduit à l'expansion du concept du nombre au nombre réel. Litiges sur le cinquième postulat a conduit au fait que début xix. Un siècle N.I.LOBACHEVSKY, I. Bayyai et K.F.GAuss ont construit une nouvelle géométrie dans laquelle tous les axiomes de la géométrie euclidienne ont été réalisés, à l'exception du cinquième postulat. Il a été remplacé par la déclaration opposée: "Dans l'avion à travers un point situé à l'extérieur de la droite, vous pouvez dépenser plus d'un direct et ne pas intersecter cela." Cette géométrie était aussi cohérente que la géométrie d'Euclid.

  Le modèle de planimétrie Lobachevsky sur l'avion euclidien a été construit par le mathématicien français Henri Poincaré en 1882.

  Dans l'avion euclidien, nous dessinons une ligne droite horizontale. Ce direct s'appelle l'absolu (x). Les points du plan euclidien sous-jacent à l'absolu ci-dessus sont les points de l'avion Lobachevsky. Le plan Lobachevsky est le demi-avion ouvert, qui est au-dessus de l'absolu. Les segments de Nevklidovy dans le modèle Poincaré sont des arcs de cercles avec un centre de l'absolu ou des segments d'absolu direct et perpendiculaire (AB, CD). Figure sur le plan Lobachevsky - la figure du demi-plan ouvert sous-jacent l'absolu ci-dessus (F). Le mouvement NEEVKLIDOVO est une composition d'un nombre fini d'inversions avec un centre sur les symétries absolues et axiales dont les axes sont perpendiculaires à l'absolu. Deux segments non-enfants sont égaux si l'un d'entre eux est un mouvement non-enfant peut être traduit dans une autre. Ce sont les concepts de base d'axiomatiques de la planimétrie de Lobachevsky.

  Tous les axiomes de Planimétry Lobachevsky sont consistés. "Nevklidova est direct - il s'agit d'une demi-rapidité avec les extrémités sur l'absolu ou du faisceau avec le début de l'absolu et perpendiculaire absolu." Ainsi, l'affirmation du parallélisme de Lobachevsky est réalisée non seulement pour certains direct A et Point A, qui ne ment pas sur ce droit, mais également pour tout direct A et quiconque ne se couche pas. A.

  D'autres géométries cohérentes sont apparues pour la géométrie de Lobachevsky: la géométrie projective séparée de l'euclidien, la géométrie euclidienne multidimensionnelle a émergé, la géométrie riemannienne a émergé (la théorie globale des espaces avec une loi de mesure de droit arbitraire) et d'autres. De la science des figures en trois dimensions La géométrie spatiale euclidienne de 40 à 50 ans est devenue une collection de diverses théories, uniquement dans quelque chose de similaire avec sa géométrie ancestrale-euclidienne.

  Les principales étapes de la formation de mathématiques modernes. Structure des mathématiques modernes

• Acadégociant A.N. Kolmogorov attribue quatre périodes de développement de mathématiques Kolmogorov A.n. - Mathématiques, mathématiques dictionnaire encyclopédique, Moscou, Encyclopédie soviétique, 1988: L'origine des mathématiques, des mathématiques élémentaires, des mathématiques de valeurs variables, des mathématiques modernes.

  Au cours de la mise au point de mathématiques élémentaires de l'arithmétique, la théorie des chiffres grandit progressivement. Une algèbre est créée comme calculateur de lettre. Créé par les Grecs antiques, le système de présentation de la géométrie élémentaire - la géométrie euclidienne - pour deux millénaires à venir a été échantillon de la construction déductive de la théorie mathématique.

  Au XVIIe siècle, les demandes de la science et de la technologie naturelles ont conduit à la création de méthodes permettant de mathématiquement d'étudier le mouvement, de modifier les changements de valeur, de la transformation chiffres géométriques. Avec l'utilisation de variables dans la géométrie analytique et la création d'un calcul différentiel et intégré, la période de mathématiques des variables commence. Les grandes découvertes du XVIIe siècle sont le concept de magnitude infiniment petite introduite par Newton et Leibniz, la création des fondements de l'analyse des valeurs infiniment légères (analyse mathématique).

  Le concept de fonction est mis en avant à l'avance. La fonction devient le sujet principal de l'étude. L'étude de la fonction mène aux concepts de base de l'analyse mathématique: la limite, le dérivé, le différentiel, l'intégration.

  À ce jour, l'apparition des idées brillantes de R. Dekart sur la méthode de la coordonnée. La géométrie analytique est créée, ce qui vous permet d'étudier des objets géométriques par des méthodes d'algèbre et d'analyse. D'autre part, la méthode de coordonnée a découvert la possibilité d'interprétation géométrique des faits algébriques et analytiques.

  Un développement ultérieur des mathématiques a conduit au début du XIXe siècle à la formulation du problème de l'étude des types possibles de relations quantitatives et de formes spatiales avec un point de vue suffisamment général.

  La connexion de mathématiques et de la science naturelle devient de plus en plus de plus en plus formes complexes. De nouvelles théories se produisent et elles se produisent non seulement à la suite de demandes de la science et de la technologie naturelles, mais également du besoin interne de mathématiques. Un magnifique exemple de cette théorie est la géométrie imaginaire de N.I.Lobachevsky. Le développement de mathématiques dans les XIX et XX siècles lui permet d'être attribués à la période des mathématiques modernes. Le développement des mathématiques lui-même, la mathématisation de divers domaines scientifiques, la pénétration des méthodes mathématiques dans de nombreux domaines d'activité pratique, les progrès de la technologie de calcul ont entraîné l'émergence de nouvelles disciplines mathématiques, par exemple une étude des opérations, du jeu théorie, économie mathématique et autres.

  Les principales méthodes d'études mathématiques sont des preuves mathématiques - un raisonnement logique strict. La pensée mathématique n'est pas réduite uniquement au raisonnement logique. Pour la formulation appropriée du problème, une intuition mathématique est nécessaire pour évaluer le choix de la méthode de sa solution.

  Les modèles mathématiques d'objets sont étudiés en mathématiques. Le même modèle mathématique peut décrire les propriétés des phénomènes réels les uns des autres. Donc, le même équation différentielle Il peut décrire les processus de croissance démographique et la désintégration d'une substance radioactive. Pour les mathématiques, la nature des objets à l'étude est importante, mais la relation entre eux.

  En mathématiques, utilisez deux types de conclusions: déduction et induction.

  Induction - une méthode d'étude dans laquelle conclusion générale Construit sur la base des parcelles privées.

  La déduction est une façon de raisonner, à travers laquelle une conclusion privée est suivie des parcelles communes.

  Les mathématiques jouent un rôle important dans les études scientifiques, ingénieurs et humanitaires naturels. La raison de la pénétration de mathématiques dans diverses branches de connaissances est qu'elle offre des modèles très clairs pour étudier la réalité environnante, contrairement aux modèles moins généraux et plus vagues offerts par d'autres sciences. Sans mathématiques modernes avec ses dispositifs logiques et informatiques développés, des progrès seront impossibles dans divers domaines de l'activité humaine.

  Les mathématiques sont non seulement un moyen puissant de résolution de tâches appliquées et de langage scientifique universel, mais également un élément d'une culture commune.

  Les principales caractéristiques de la pensée mathématique

• Selon cette question, la caractéristique de la pensée mathématique présente un intérêt particulier, donné à A.Y. Khinchin, ou plutôt sa forme historique concrète - le style de la pensée mathématique. Révélant l'essence du style de la pensée mathématique, il met en évidence quatre caractéristiques communes pour toutes les époques, distinguant sensiblement ce style des styles de pensée dans d'autres sciences.

  Premièrement, car les mathématiques se caractérisent par la domination du schéma logique du raisonnement. Mathématicien, qui a perdu, au moins temporairement à l'abri des regards, ce régime est généralement privé de la possibilité de penser scientifiquement. Ce style particulier de pensée mathématique a beaucoup de valeur. Évidemment, cela vous permet de suivre l'exactitude du flux de pensée et de garanties des erreurs; D'autre part, cela oblige la pensée lors de l'analyse d'avoir avant ses yeux l'ensemble des opportunités disponibles et l'oblige à prendre en compte chacun d'eux, qui ne manque personne (ce genre de laissez-passer est tout à fait possible et souvent observé avec autres styles de pensée).

  Deuxièmement, le laconicisme, c'est-à-dire Un désir conscient de toujours trouver les plus courts menant à cet objectif d'un chemin logique, jetant sans merci de tout ce qui est absolument nécessaire pour la parfaite plénitude de l'argument. L'essai mathématique d'un bon style ne tolère aucune "eau", pas de décoration, affaiblissant la tension logique de ranting, distraire sur le côté; La rigidité maximale, la gravité dure de la pensée et de sa présentation constituent une traction intégrale de la pensée mathématique. Cette fonctionnalité a une plus grande valeur non seulement pour les mathématiques, mais également pour tout autre raisonnement sérieux. Lakonis, le désir d'empêcher quoi que ce soit inutile, aide et la réflexion même, ainsi que son lecteur ou son auditeur se concentrent pleinement sur ce cours de pensées, sans être distraire aux idées latérales et sans perdre de contact direct avec la ligne principale du raisonnement.

  Les coriférations de la science, en règle générale, pensent et sont concises concises dans tous les domaines de la connaissance, même lorsque l'idée d'eux crée et énonce fondamentalement de nouvelles idées. Quelle impression majestueuse produit, par exemple, le noble malheur de la pensée et de la parole des plus grands créateurs de la physique: Newton, Einstein, Nielsa Bor! Il peut être difficile de trouver un exemple plus lumineux de la profondeur d'impact qui pourrait avoir le style de penser à ses créateurs sur le développement de la science.

  Pour les mathématiques, la laconide des pensées est une poursuite des siècles canonisés par la loi. Toute tentative de fardeau de la présentation n'est pas nécessairement nécessaire (bien que même agréable et fascinante pour les auditeurs) avec des peintures, des distractions, de ranter à l'avance à la suspicion légale et provoque automatiquement une vigilance critique.

  Troisièmement, démembrement clair des progrès. Si, par exemple, en cas de preuve de toute phrase, nous devons considérer quatre cas possibles, dont chacun peut être divisé en un certain nombre de sous-enfants, puis à chaque moment de raisonnement, le mathématicien devrait clairement se rappeler, auquel cas la sublocalité de Sa pensée est maintenant acquise et quels cas et la sous-avertisseur demeurant toujours à prendre en compte. Avec tout type de transfert ramifié, le mathématicien doit payer un rapport à tout moment dans quel type de concept il répertorie les composants de ses concepts d'espèce. En tant que pensée scientifique ordinaire, nous observons assez souvent dans de tels cas de mélange et de sauts, entraînant une confusion et des erreurs dans le raisonnement. Il arrive souvent qu'une personne a commencé à énumérer les types d'un type de type, puis imperceptiblement pour les étudiants (et souvent pour lui-même), en utilisant la discrimination logique insuffisante du raisonnement, réorganisée dans un autre genre et termine la déclaration que les deux types sont maintenant classifié; Et les auditeurs ou les lecteurs ne savent pas où la limite fonctionne entre l'espèce des premier et deuxième genre.

  Afin de faire un tel mélange et des sauts impossibles, les mathématiques ont longtemps été largement utilisées par de simples numéros externes de la numérotation des concepts et des jugements, parfois (mais beaucoup moins) applicables dans d'autres sciences. Ces cas possibles ou ces concepts génériques à prendre en compte dans ce raisonnement sont renoncés à l'avance; À l'intérieur de chacun des cas, ceux soumis à la sous-hâte, qu'il contient est également renuméroté (parfois, de distinguer tout autre système de numérotation). Avant chaque paragraphe, où l'examen d'une nouvelle sublittance commence, il est mis à cette désignation en expansion (par exemple: II 3 - cela signifie que le troisième cas du troisième cas est considéré ici, ou une description du troisième type de seconde. gentil, s'il s'agit de la classification). Et le lecteur sait que jusque-là, tant qu'il ne surpassera pas à un nouveau titre numérique, toutes les découvertes s'appliquent uniquement à cette occasion et à cette occasion. Soi elle-même, bien sûr, qu'une telle numérotation ne sert que par une réception externe, très utile, mais ce n'est pas obligatoire, et que l'essence de l'affaire n'est pas là, mais dans le démembrement distinct de l'argument ou de la classification, qu'il stimule et la marque.

  Quatrièmement, précision scrupuleuse de symboles, de formules, d'équations. C'est-à-dire que "chaque symbole mathématique a une valeur strictement définie: la remplaçant par un autre symbole ou une autre permutation à un autre endroit, en règle générale, entraîne une distorsion, et parfois la destruction complète du sens de cette déclaration."

  Après avoir mis en évidence les principales caractéristiques du style mathématique de la pensée, a.ya.hinchin note que les mathématiques (en particulier les mathématiques de valeurs variables) par nature ont une nature dialectique et contribue donc au développement de la pensée dialectique. En effet, dans le processus de pensée mathématique, l'interaction d'un visuel (concret) et conceptuel (résumé). "Nous ne pouvons pas penser aux lignes", a écrit ne peux pas, sans dépenser mentalement, nous ne pouvons penser aux trois dimensions, sans dépenser, d'un point de trois perpendiculaire aux autres lignes. "

  L'interaction de "LED" de "LED" abstraite de la réflexion mathématique au développement de nouveaux et nouveaux concepts et catégories philosophiques. Les mathématiques antiques (mathématiques de valeurs constantes) étaient "le nombre" et "espace", qui ont été initialement reflétées dans la géométrie arithmétique et euclidienne, puis dans l'algèbre et divers systèmes géométriques. Mathématiques des variables "basées" sur les concepts dans lesquels le mouvement de la matière a été reflété - "final", "infini", "continuité", "discrète", "infiniment petit", "dérivé", etc.

  Si nous parlons du stade historique moderne du développement de connaissances mathématiques, il va en ligne avec le développement ultérieur des catégories philosophiques: la théorie des probabilités «Masters» catégories de possibles et aléatoires; Topologie - Catégories de relations et de continuité; La théorie des catastrophes - la catégorie de saut; La théorie des groupes - catégories de symétrie et d'harmonie, etc.

  En pensée mathématique, les principaux modèles de construction similaires sous forme de connexions logiques sont exprimés. Avec son aide, la transition d'un (par exemple, de certaines méthodes mathématiques - axiomatique, algorithmique, constructive, théorique et autre) à une spéciale et générale, aux bâtiments déductifs généralisés. L'unité des méthodes et des objets de mathématiques détermine les spécificités de la pensée mathématique, il vous permet de parler d'une langue mathématique spéciale, dans laquelle non seulement la réalité est reflétée, mais également synthétisée, résumée, les connaissances scientifiques sont prédites. Le pouvoir et la beauté de la pensée mathématique - dans la clarté limitante de sa logique, la grâce des structures, des abstractions du bâtiment qualifié.

  Fondamentalement nouvelles possibilités d'activité mentale ouverte avec l'invention de l'ordinateur, avec la création de mathématiques de la machine. Dans la langue des mathématiques, il y avait des changements importants. Si la langue des mathématiques informatiques classiques consistait en des formules d'algèbre, de géométrie et d'analyse, axée sur la description des processus continus de la nature étudiés, principalement en mécanique, de l'astronomie, de la physique, de sa langue moderne est la langue des algorithmes et des programmes, y compris les formules anciennes comme cas privé.

  La langue des mathématiques informatiques modernes devient de plus en plus polyvalente, capable de décrire des systèmes complexes (multi-paramètres). Dans le même temps, je tiens à souligner que tout ce qui est parfait est un langage mathématique, amélioré d'équipements informatiques électroniques, il n'impose pas de connexions avec une langue naturelle variive variée. De plus, la langue conversationnelle est une base de langue artificielle. À cet égard, il intéresse la récente découverte des scientifiques. C'est le fait que l'ancienne langue des Indiens d'Aimara, qui parle d'environ 2,5 millions de personnes en Bolivie et au Pérou, était extrêmement pratique pour les équipements informatiques. Dès 1610 ans, le missionnaire italien-jésuit Louis Burtoni, qui a été le premier dictionnaire d'Aimar, a noté le génie de ses créateurs qui ont atteint une pureté logique élevée. Dans Aimar, par exemple, il n'y a pas de mauvais verbes et aucune exception de quelques règles grammaticales claires. Ces caractéristiques de la langue Aimar ont permis aux mathématiques boliviennes de créer un système de traduction informatique synchrone à partir de l'une des cinq langues européennes posées dans le programme, le «pont» entre lequel est Aimar. EMM "Aimara", créé par le scientifique bolivien, a reçu une évaluation élevée des spécialistes. Résumant cette partie de la question de l'essence du style de pensée mathématique, il convient de noter que son contenu principal est la compréhension de la nature.

  Méthode axiomatique

• L'axiomatique est le moyen principal de construire la théorie, avec l'Antiquité et jusqu'à aujourd'hui confirmer sa polyvalence et toute applicabilité.

  La base de la construction de la théorie mathématique est une méthode axiomatique. La base de la théorie scientifique est certaines dispositions initiales appelées axiomes et toutes les autres dispositions de la théorie sont obtenues comme conséquences logiques des axiomes.

  La méthode axiomatique est apparue dans la Grèce ancienne et s'applique à ce jour dans presque toutes les sciences théoriques et, surtout en mathématiques.

  Comparaison de trois, à un certain respect, complétant la géométrie: euclidien (parabolique), Lobachevsky (hyperbolique) et Riemannov (elliptique), il convient de noter que, avec quelques similitudes, il y a une grande différence entre la géométrie sphérique, d'une part et les géométries euclidiennes et Lobachevsky - de l'autre.

  La différence indigène de la géométrie moderne est que cela couvre maintenant la "géométrie" d'une multitude infinie de différents espaces imaginaires. Toutefois, il convient de noter que toutes ces géométries sont des interprétations de la géométrie euclidienne et sont basées sur une méthode axiomatique pour la première fois utilisée par l'euclide.

  Sur la base de la recherche, la méthode axiomatique a été développée et répandue. En tant que cas particulier de l'application de cette méthode, la méthode de traces dans la stéréométrie est utilisée pour résoudre des problèmes sur la construction de sections de polyèdres et d'autres tâches de position.

  La méthode axiomatique développée au début de la géométrie est devenue un instrument d'étude important et dans d'autres sections de mathématiques, de physique et de mécanique. Actuellement, des travaux sont en cours pour améliorer et une étude plus profonde d'une méthode axiomatique de construction de la théorie.

  La méthode axiomatique de construction de la théorie scientifique consiste à affecter les concepts principaux, à la formulation d'axiomes des théories, et toutes les autres déclarations sont dérivées de la manière logique, sur la base d'eux. On sait qu'un concept doit être expliqué avec l'aide d'autres, qui, à son tour, sont également déterminés à l'aide de concepts connus. Nous arrivons donc aux concepts élémentaires qui ne peuvent pas être déterminés à travers les autres. Ces concepts sont appelés basiques.

  Lorsque nous prouvons l'approbation, le théorème, puis compter sur les prérequis considérés comme déjà prouvés. Mais ces conditions préalables ont également été prouvées, elles devaient justifier. En fin de compte, nous arrivons à des déclarations non éprouvées et les acceptons sans preuve. Ces déclarations sont appelées axiomes. L'ensemble axiom devrait être tel que, en s'appuyant sur elle, on pourrait prouver d'autres allégations.

  Après avoir mis en évidence les concepts de base et la formulation d'axiomes, puis nous dérivons des théorèmes et d'autres concepts avec une manière logique. Ceci est la structure logique de la géométrie. Les axiomes et les concepts de base constituent la base de la planimétrie.

  Comme il est impossible de donner une définition unifiée des concepts de base pour toutes les géométries, les concepts de base de la géométrie doivent être définis comme des objets de toute nature qui satisfont aux axiomes de cette géométrie. Ainsi, dans la construction axiomatique du système géométrique, nous passons de certains systèmes axiomes ou axiomatics. Ces axiomes décrivent les propriétés des concepts de base du système géométrique et nous pouvons présenter les concepts de base sous la forme d'objets de toute nature qui ont les propriétés spécifiées dans les axiomes.

  Après le libellé et la preuve des premières déclarations géométriques, il devient possible de prouver certaines allégations (théorèmes) à l'aide d'autres. La preuve de nombreux théorèmes est attribuée à Pythagora et à Démocrite.

  Hippocrata Chiosky est attribué à la préparation du premier cours systématique de géométrie basé sur les définitions et les axiomes. Ce cours et son traitement ultérieur ont été appelés "éléments".

  Méthode axiomatique de construction de la théorie scientifique

• La création d'une méthode déductive ou axiomatique de la science de la construction est l'une des plus grandes réalisations de la pensée mathématique. Il a exigé le travail de nombreuses générations de scientifiques.

  Une merveilleuse caractéristique du système de présentation déductif est la simplicité de cette construction, ce qui lui permet de la décrire en quelques mots.

  Le système déductif de la présentation est réduit:

  1) à la liste des concepts de base,

  2) à la déclaration des définitions

  3) à l'action des axiomes,

  4) présenter les théorèmes

  5) à la preuve de ces théorèmes.

  Axiome - Approbation prise sans preuve.

  Le théorème est une déclaration découlant de l'axiome.

  La preuve fait partie intégrante du système déductif, c'est un raisonnement, ce qui montre que la vérité de la déclaration implique logiquement de la vérité des théorèmes ou des axiomes précédents.

  À l'intérieur du système déductif, deux questions peuvent ne pas être résolues: 1) sur la signification des concepts de base, 2) sur la vérité de l'axiome. Mais cela ne signifie pas que ces questions sont généralement insolubles.

  L'histoire de la science naturelle montre que la possibilité d'une construction axiomatique d'une ou d'une autre science n'apparaît que à un niveau de développement assez élevé de cette science, basé sur un important matériau réel, vous permet d'identifier clairement les principales connexions et relations existantes entre les objets étudiés par cette science.

  Un échantillon de construction axiomatique de science mathématique est la géométrie élémentaire. Le système d'axiome de la géométrie a été présenté par l'eucyclide (environ 300 g. BC) dans un travail inégalé "a commencé". Ce système dans les principales caractéristiques a été préservé à ce jour.

  Concepts de base: point, droit, images de base plane; Inférieur entre, appartenance, mouvement.

  La géométrie élémentaire a 13 axiomes divisés en cinq groupes. Dans le cinquième groupe, un axiome sur Parallel (V est le post Euclid): à travers le point de l'avion, vous ne pouvez dépenser qu'un direct, ce qui ne traverse pas ce direct. C'est le seul axiome qui a causé le besoin de preuves. Tente de prouver que les cinquièmes postulates sont des mathématiciens occupés de plus de 2 mille ans, jusqu'à la première moitié du 19ème siècle, c'est-à-dire Jusqu'ici ce Nikolai Ivanovich Lobachevsky s'est avéré dans ses écrits une désespoir complète de ces tentatives. Actuellement, la non-refuabilité du cinquième postule est strictement prouvée des faits mathématiques.

  Axiome sur le parallèle N.I. Lobachevsky a remplacé l'axiome: laissez dans ce plan il y a un droit et couché à l'extérieur du point droit. Après ce point, vous pouvez dépenser sur une donnée directe donnée, au moins deux fois parallèles.

  De nouveau système AKSIOM N.I. Lobachevsky avec une rigueur logique impeccable a apporté un système mince les théorèmes qui constituent le maintien de la géométrie non enfant. Les géométries d'Euclidien et de Lobachevsky, comme systèmes logiques sont égaux.

  Trois grandes mathématiques au XIXe siècle presque à la fois, de manière indépendante les unes des autres sont venues à un résultat de la non-rentabilité du cinquième postulat et à la création d'une géométrie non-enfant.

  Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856)

  Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

  Janos Boyai (1802-1860)

  Preuve mathématique

• La méthode principale des études mathématiques est la preuve mathématique - un raisonnement logique strict. En raison de la nécessité objective, le membre correspondant des rondes de Ran L.D. Kudryavtsev Kudryavtsev L.D. - Mathématiques modernes et son enseignement, Moscou, Science, 1985. Les arguments logiques (qui, par nature, s'ils ont raison, sont à la fois stricts) représentent la méthode de mathématiques, sans eux, les mathématiques sont impensables. Il convient de noter que la pensée mathématique n'est pas réduite uniquement au raisonnement logique. Pour énoncer correctement la tâche, évaluer ses données, il est nécessaire d'empêcher sa solution à sa solution, ce qui vous permet d'anticiper le résultat souhaité avant qu'il soit obtenu, décrivez le chemin d'étude avec l'aide d'un raisonnement plausible . Mais la validité du fait à l'examen ne se considère pas en le vérifiant sur un certain nombre d'exemples, et non un certain nombre d'expériences (en soi jouant un rôle important dans les études mathématiques), mais une voie purement logique, selon les lois de formelle logique.

  On pense que la preuve mathématique est la vérité dans la dernière instance. La solution basée sur la logique propre ne peut tout simplement pas être incorrecte. Mais avec le développement de la science et des tâches devant les mathématiques sont de plus en plus complexes.

  «Nous sommes entrés dans l'ère lorsque l'appareil mathématique est devenu si compliqué et encombrant que, à première vue, ne pouvait pas être dit - véridique ou pas rencontré la tâche», croit Kate Devlin de l'Université Stenford de Californie, aux États-Unis. Cela conduit à un exemple de "classification de simples groupes finis", qui a été formulé en 1980 et attiré pleinement avec précision jusqu'à présent. Très probablement, le théorème est fidèle, mais il est impossible d'en parler.

  La solution informatique est également impossible à appeler précis, car de tels calculs ont toujours une erreur. En 1998, HALES a proposé une solution au théorème Kepler à l'aide d'un ordinateur formulé en 1611. Ce théorème décrit l'emballage le plus dense des balles dans l'espace. La preuve a été présentée sur 300 pages et contenait 40000 lignes de code machine. 12 examinateurs ont testé la décision au cours de l'année, mais ils n'ont jamais atteint une confiance de cent pour cent dans l'exactitude des preuves et que l'étude a été envoyée au raffinement. En conséquence, il n'a été publié que quatre ans et sans certification complète des réviseurs.

  Tous les derniers calculs des tâches appliquées sont effectués sur un ordinateur, mais les scientifiques estiment que, pour une plus grande fiabilité, des calculs mathématiques doivent être représentés sans erreurs.

  La théorie de la preuve a été développée en logique et comprend trois composantes structurelles: la thèse (ce qui est censé prouver), des arguments (un ensemble de faits, des concepts, des lois, etc. généralement acceptés) et de la démonstration (la procédure de déploiement de preuves) ; Chaîne de conclusions cohérente lorsque la conclusion de N-bruit devient l'une des parcelles N + 1ère conclusion). Les règles de preuve sont allouées, des erreurs logiques possibles sont indiquées.

  La preuve mathématique a beaucoup en commun avec ces principes établis par la logique formelle. De plus, les règles mathématiques du raisonnement et des opérations ont évidemment servi comme l'une des bases de l'élaboration de la procédure de preuve en logique. En particulier, les chercheurs du développement de la logique formelle de croire qu'à une fois, lorsque Aristote a entrepris les premiers pas de créer des lois et des règlements de la logique, il s'est tourné vers des mathématiques et la pratique de l'activité juridique. Dans ces sources, il a trouvé du matériel pour les constructions logiques de la théorie visée.

  Au 20e siècle, le concept de preuve a perdu une signification stricte, qui s'est produite en raison de la détection de paradoxes logiques, se déroulant dans la théorie des ensembles et en particulier dans le cadre des résultats, qui ont été apportés par les théorèmes de K. Gedel sur la Formalisation incomplète.

  Tout d'abord, il a abordé les mathématiques lui-même, en ce qui concerne lesquelles la croyance a été exprimée avec ce terme "preuve" n'a pas de définition précise. Mais si une telle opinion (avoir lieu et aujourd'hui) affecte les mathématiques elles-mêmes, ils sont alors arrivés à la conclusion, selon quelles preuves ne devraient être prises pas dans le sens logique et mathématique, mais dans un sens psychologique. Avec cela, ce look se trouve à l'Aristote même, qui a estimé qu'il serait de prouver que le raisonnement nous convaincrait d'une telle mesure que, en l'utilisant, nous convaincons que d'autres soient bien. Une certaine nuance d'une approche psychologique trouvée a.e.i.senin-Volpin. Il s'oppose fortement à l'adoption de la vérité sans preuve, en le connectant avec l'acte de foi, puis écrit: "J'appelle une preuve de jugement, j'appelle une réception honnête qui en fait un jugement indiscutable." Yesenin-Volpin donne un rapport que sa définition nécessite même des clarifications. Dans le même temps, la caractéristique de la preuve comme "réception honnête" fait appel de l'appel de l'évaluation morale et psychologique?

  Dans le même temps, la détection de plusieurs paradoxes théoriques et l'apparition des théorèmes de Gedel vient de contribuer au développement de la théorie des preuves mathématiques entreprises par des intitions, en particulier de la direction constructiviste et de D.Gilbert.

  Parfois, on pense que la preuve mathématique est universelle et représente la version idéale des preuves scientifiques. Cependant, ce n'est pas la seule méthode, il existe d'autres moyens de procédures de preuve et d'opérations. Il est vrai que les preuves mathématiques ont beaucoup de choses similaires à la logique formelle, réalisable en sciences naturelles et que les preuves mathématiques ont une certaine spécificité, ainsi qu'un ensemble d'opérations de réception. À ce sujet, nous nous arrêterons, omettant que général qu'il l'ait lié à d'autres formes de preuves, c'est-à-dire sans déployer dans toutes les étapes (même l'algorithme, règles, erreurs, etc. même) Preuve de processus.

  La preuve mathématique représente le raisonnement, ayant une tâche visant à corroborer la vérité (bien sûr, en mathématique, c'est-à-dire en tant que dérivabilité, sens) de toute approbation.

  L'ensemble de règles appliquées dans la preuve a été formée avec l'avènement des constructions axiomatiques de la théorie mathématique. Le plus clair et pleinement a été mis en œuvre dans la géométrie de l'eucyclide. Son "début" est devenu une sorte de norme modèle d'une organisation axiomatique de connaissances mathématiques, et depuis longtemps, est restée telle que des mathématiciens.

  Les déclarations soumises sous la forme d'une séquence spécifique devraient garantir la conclusion que, sous réserve des règles de fonctionnement logique et est considérée comme prouvée. Il convient de souligner qu'un certain raisonnement ne fait que des preuves uniquement en ce qui concerne un système axiomatique.

  Lors de la caractérisation des preuves mathématiques, deux caractéristiques principales sont attribuées. Tout d'abord, le fait que les preuves mathématiques excluent les références à Empirius. Toute la procédure de justification de la vérité de la sortie est effectuée dans le cadre de l'axiomatique accélérée. Académicien A.D. Alksandrov, en relation avec cela, souligne. Vous pouvez mesurer les coins du triangle mille fois et vous assurer qu'ils sont égaux à 2D. Mais les mathématiques ne prouveront rien. Il prouvera si vous apportez l'affirmation alignée de l'axiome. Répéter. Ici, les mathématiques et les méthodes de scholasticastisme proches, qui rejette également fondamentalement l'argument de ces faits.

  Par exemple, lorsque la participation des segments a été découverte, avec la preuve de ce théorème, un appel à l'expérience physique a été exclu, car, d'abord, le concept même de "non-élémentaire" est privé de sens physique et, deuxièmement, Mathématiques et ne pouvaient pas, faire face à l'abstraction, attirer pour l'aide de longueurs spécifiques réelles, mesurée par une réception sensuellement visuelle. L'incomplétude, en particulier, les parties et les diagonales de la place, sont prouvées, sur la base de la propriété d'entiers avec l'implication du théorème de Pythagore sur l'égalité de la place de l'hypoténuse (respectivement - en diagonale) la somme des carrés de la Cathètes (deux côtés du triangle rectangulaire). Ou quand Lobachevsky cherchait une confirmation de sa géométrie, faisant référence aux résultats des observations astronomiques, cette confirmation a été réalisée par eux au moyen d'une nature purement spéculative. Dans les interprétations de la géométrie de Nehvklide réalisée par Cali-Klein et Beltra, ont également apparu des objets mathématiques typiques et non physiques.

  La deuxième caractéristique des preuves mathématiques est son abstraction la plus élevée, qu'elle diffère des procédures de preuve dans le reste des sciences. Et encore, comme dans le cas du concept d'un objet mathématique, nous ne sommes pas seulement du degré d'abstraction, mais de sa nature. Le fait est que le niveau élevé de preuves d'abstraction atteigne à la fois un certain nombre d'autres sciences, par exemple en physique, la cosmologie et, bien sûr, en philosophie, depuis le sujet de ce dernier devient les problèmes limites d'être et de penser. Les mathématiques se distinguent par le fait qu'il existe des variables, dont la signification est de la distraction de toute propriété spécifique. Rappelez-vous que, par définition, des variables - des panneaux qui ne possèdent pas eux-mêmes pas les valeurs et acquièrent le dernier lors de la substitution des noms de certains objets (variables individuelles) ou lors de la spécification de propriétés et de relations spécifiques (variables de prédicat), ou finalement des cas de remplacement par une déclaration significative variable (variable propositionnelle).

  Fonction annoncée et est due à la nature des abréviations extrêmes utilisées dans la preuve mathématique des signes, ainsi que des déclarations qui, grâce à l'inclusion de variables dans leur structure, sont transformées en une fonction de déclaration.

  La procédure de preuve elle-même, déterminée dans la logique en tant que démonstration, procède sur la base des règles de la production, s'appuyant sur la transition de certaines déclarations éprouvées à une autre, formant une chaîne de conclusions de série. Les règles les plus courantes (substitutions et conclusions) et théorème de déduction sont les plus courantes.

  Règle de substitution. En mathématiques, la substitution est définie comme un remplacement de chacun des éléments A d'un ensemble donné par tout autre élément f (a) du même ensemble. Dans la logique mathématique, la règle de substitution est formulée comme suit. Si la vraie formule M dans le décalage Calulus contient la lettre, disons A, puis, le remplaçant partout, où il se produit, une lettre arbitraire D, nous obtenons une formule, également vraie comme l'original. Cela est possible, et permis, car c'est que dans le calcul des déclarations sont distraits par la signification des déclarations (formules) ... seules les valeurs de "vérité" ou "mensonge" sont prises en compte. Par exemple, dans la formule M: \u200b\u200bA -\u003e (Bua) en place, nous remplacons l'expression (Aub), nous obtenons ainsi une nouvelle formule (Aub) -\u003e [(BU (AUB)].

  La règle de sortie de conclusion correspond à la structure de la slitogisme classitablement catégorique de Modus Ponens (toptus approuver) dans la logique formelle. Il a la forme suivante:

  uNE. .

  La déclaration est donnée (a-\u003e b) et est toujours donnée une. À partir de là.

  Par exemple: s'il pleut, puis le pont humide, la pluie est (a), donc le pont humide (B). En logique mathématique, ce syllogisme est écrit de cette manière (A-\u003e B) A-\u003e b.

  La conclusion est définie, en règle générale, des bureaux d'implication. Si l'implication (A-\u003e B) et son antécédent (a) sont données, nous avons donc le droit de rejoindre le raisonnement (preuve) également une implication conséquente (B). Le sillogisme est obligatoire, ce qui rend l'arsenal de moyens de preuve déductifs, c'est-à-dire de répondre absolument aux exigences du raisonnement mathématique.

  Un rôle important dans la preuve mathématique joue le théorème de déduction - le nom général d'un certain nombre de théorèmes, dont la procédure garantit la possibilité d'établir la preuve du composent: A-\u003e B, lorsque la sortie logique de la formule B est évidente Dans la formule A. Dans l'option la plus courante pour les déclarations (en classe classique, intuitionniste et d'autres types de mathématiques), le théorème de déduction approuve ce qui suit. Si le système de colis est donné et la parcelle A, à partir duquel, selon les règles, dérivé BG, AB (- le signe de la sortie), il s'ensuit que des parcelles G, il est possible d'obtenir une offre A - \u003e B.

  Nous avons examiné le type qui est une preuve directe. Dans le même temps, la logique utilise le soi-disant indirecte, il n'y a pas de preuves directes déployées selon le schéma suivant. Sans avoir, en raison d'un certain nombre de raisons (l'inaccessibilité de l'objet de l'étude, la perte de la réalité de son existence, etc.) est la possibilité de preuve directe de la vérité de toute approbation, de la thèse, de créer une antithèse. Ils sont convaincus que l'antithèse conduit à des contradictions et, il est devenu faux. Ensuite, du fait de l'affichage de l'antithèse, ils font sur la base de la loi du troisième exclu (A v) - la conclusion sur la vérité de la thèse.

  En mathématiques, l'une des formes de preuves indirectes est largement utilisée - preuve de méchanceté. Il est particulièrement utile et, en fait, est indispensable dans l'adoption des concepts fondamentaux et des dispositions des mathématiques, par exemple le concept d'infini pertinent, qui est impossible de toute autre manière.

  Le fonctionnement des preuves du contraire est présenté dans la logique mathématique comme suit. La séquence de formules G et de refus A (g, a) sont données. S'il résulte de ce refus (g, ab, non-b), nous pouvons alors conclure que la vérité est dérivée de la séquence de formule G. En d'autres termes, la vérité de la thèse découle de la fausseté de la Antilsis.

  Les références:

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  7. Réseau mondial de l'ENTERNET.

Mathématiques 1. D'où vient le mot mathématique? Qui est venu avec des mathématiques? 3. Sujets de base. 4. Définition 5. Etymologie sur la dernière diapositive.

D'où vient le mot (aller à la diapositive précédente) Maemaa Tika de Greek - Etude, Science) - Science des structures, des commandes et des relations qui ont historiquement développé sur la base du calcul, de la mesure et des descriptions de la forme d'objets. Les objets mathématiques sont créés par l'idéalisation des propriétés des objets mathématiques réels ou autres et enregistrent ces propriétés dans la langue formelle.

Qui est venu avec des mathématiques (aller au menu) Le premier mathématicien est fabriqué pour appeler Falez Miltsky, qui a vécu au VIème siècle. avant JC e. , l'un des soi-disant hommes sages de Grèce. Quoi qu'il en soit, mais c'était celui qui a été le premier à structurer toute la base de connaissances pour cette dépense, qui a longtemps été formée dans le monde connu de lui. Cependant, l'auteur du premier traité en mathématiques nous a atteint était l'eucyclide (III siècle. BC). Il peut également être considérément considéré par le père de cette science.

Les sujets principaux (aller au menu) à la région des mathématiques ne comprennent que ces sciences dans lesquelles l'ordre ou la mesure et absolument pas essentiellement, ces chiffres, figures, étoiles, sons ou autre chose, ce que cette mesure trouvera . Ainsi, il doit y avoir une certaine science globale, expliquant tous les éléments liés à la procédure et le moins, sans entrer dans l'étude de sujets privés, et cette science devrait être appelée non étrangère, mais l'ancienne qui a déjà inclus dans l'utilisation de l'universel mathématiques.

La définition (aller au menu) sur une analyse mathématique classique est basée sur une analyse moderne, considérée comme l'une des trois principales directions de mathématiques (ainsi que d'algèbres et de géométrie). Dans le même temps, le terme "analyse mathématique" de la compréhension classique est principalement utilisé dans le programme et les matériaux. Dans la tradition anglo-américaine, l'analyse mathématique classique correspond au programme de cours avec le nom "Calculus"

Étymologie (Aller au menu) Le mot «mathématiques» s'est produit d'autres. Qu'est-ce que l'apprentissage, la connaissance, la science et les autres. -Grech, qui signifie initialement susceptible, successif, lié suite à l'étude, par la suite liée aux mathématiques. En particulier, en latin, signifie l'art des mathématiques. Le terme dr. -Grech. Dans le sens moderne de ce mot "Mathématiques" se trouve déjà dans les écrits d'Aristote (IV Century BC) dans les textes en russe, le mot "mathématiques" ou "mailématiques" se trouve, du moins du XVIIe siècle, par exemple , Nicholas Spa dans le "Livre de choisi en bref à propos de neuf Musakh et les arts sans fade SEDMI" (1672)